La ecuación Young-Laplace enlaces capilaridad con la óptica geométrica

ResumenLas analogías de la física son las coincidencias inusuales que pueden ser muy útiles para resolver problemas y para aclarar algunos conceptos teóricos. Aparte de su propio la curiosidad, las analogías son herramientas atractivas, ya que reducen la producción de algunos fenómenos complejos de tal manera que éstos pueden ser entendidas por los medios de otros fenómenos más cercanos a la experiencia cotidiana. Por lo general, dos sistemas análogos comparten un aspecto común, como el movimiento de las partículas o el transporte de la materia.A causa de esto, la analogía que se presenta es excepcional ya que los implicados fenómenos son un desagregado a priori. La ecuación más importante de capilaridad, la ecuación de Young-Laplace, tiene la misma estructura que la ecuación de Gullstrand de la óptica geométrica, que relaciona la potencia óptica de una lente gruesa para su geometría y las propiedades de los medios de comunicación.

1. introducciónDos sistemas físicos son análogos cuando los fenómenos respectivos se expresan mediante de las ecuaciones de forma idéntica, pero con diferentes variables. La analogía más conocida en el la física es la patente mecánica equivalencia entre movimientos acelerados, es decir, en línea recta movimiento y movimiento de rotación. En este caso, la masa momento de inercia y la velocidad angular-velocidad aparecen en las ecuaciones similares. Por lo tanto, un movimiento de rotación puede ser modelada como la superposición de infinitas rectas movimientos en diferentes direcciones, incluso como un movimiento en línea recta se pueden ver como un movimiento de rotación con un radio infinito. Hay otras analogías que involucran disociadas fenómenos tales como la conducción de calor y electricidad o cinemática. La carga eléctrica, espacial posición y el calor están relacionados por medio de un conjunto similar de ecuaciones. La existencia de analogías generalmente facilita el análisis del problema. En consecuencia, la resistencia eléctrica de un medio visualmente puede ser descrito como un coeficiente de amortiguación, la corriente eléctrica como un flujo de calor y el concepto abstracto de potencial se puede imaginar fácilmente como la temperatura.

Además, similitudes entre las formas de las ecuaciones diferenciales que gobiernan los fenómenos mecánicos y acústicos así como los de los sistemas eléctricos nos permiten resolver los problemas mecánicos y acústicos a través de análisis de circuitos eléctricos [1].

Cualitativamente, las analogías nos ayudan a entender por qué, por ejemplo, la tensión superficial aparece como una fuerza tangencial a la superficie del líquido, aunque la fuerza neta desequilibrada en un grueso molécula se dirige hacia el interior (una fuerza vertical) [2] o por qué anfifilo (surfactante) moléculas tienden a migrar y ubicarse en superficies libres de líquidos. Análoga a una tracción mecánica sistema, una molécula se eleva horizontalmente por la tensión superficial para crear una nueva superficie mientras el "efecto hidrofóbico" asociada con tensoactivos es visto como una microscópica "de Arquímedes principio [3]. Esas relaciones ocultas y los acuerdos que vienen de los campos más lejanos son, al mismo tiempo, el más fructífero y el más difícil de estado.

2. la ecuacion de Young–Laplace y Gullstrand Una interfaz es la zona existente entre dos sustancias inmiscibles. La forma de una interfaz entre dos sustancias no sólidas (1 y 2) es descrita por la generalizada ecuación de Young-Laplace [4]:

(1)

Donde γ12 representa la tensión Interfacial, ∆ P por la diferencia de presión a lo largo del interfaz, CH para el esfuerzo de flexión y R1 y R2 para los radios de curvatura principales. Curvatura mide la flexión local de una curva o superficie. Curvaturas locales de superficie se mide por(1) seccionar la superficie con un plano,(2) que mejor se ajusta un círculo osculador de la curva resultante en el punto de interés, y(3) que informa sobre su radio de reciprocidad.

Los radios de curvatura principales coinciden con los valores máximo y mínimo de los radios asociado con círculos ortogonales osculadores. Los pasos mencionados para medir el director radios de curvatura son brevemente muestra en la figura 1 para el caso de una gota sésil.La forma de una gota de líquido en otro líquido inmiscible es similar a una lente óptica convergente (figura 2). De hecho, tal un par de superficies capilares es frecuentemente etiquetado como una lente. Además, un sistema óptico es un conjunto de superficies que separan los índices de refracción diferentes medios. de acuerdo con esta definición, la caída antes mencionada se considera un sistema óptico, ya que se compone de dos interfaces (figura 3). Este hecho no es sólo una coincidencia curiosa, pero también señala la existencia de un paralelismo formal entre la óptica geométrica y la capilaridad. La primera equivalencia asoma entre el principio de Fermat [5] y el estado de equilibrio de un líquido-líquido interfaz [6], los dos extremos condiciones2 siendo aplicables a las cantidades diferentes: la ruta óptica y el potencial macro canonical. Como se citan a continuación, también existe una relación dual en referencia a la correspondencia entre dos interfaces y una lente, es decir, la equivalencia entre dos superficies esféricas de refracción y una interfaz. Nos centraremos en esto debido a su equivalencia el uso práctico y la facilidad de tratamiento.

El P ' op potencia óptica de una lente (de espesor) o un sistema de centrado en general se define como el recíproco de su correspondiente focal equivalente de longitud f' signed3 adecuadamente (véase el apéndice A.1). Este parámetro está relacionado con la capacidad de una lente para enfocar en un medio dado, de tal manera que una lente se dice que es más potente (en valor absoluto) cuando su punto focal está situado más cerca (interior o exterior) a una de sus caras. Aunque un objetivo utilizado para ser tratado como un objeto plano sin espesor, las lentes reales tienen un espesor dado. La potencia óptica de una lente gruesa (de espesor d)

2 Cada una de estas leyes pueden ser formuladas en términos de una integral estacionaria bajo variaciones infinitesimales.3 Las distancias a los puntos situados en el interior del medio más denso (dentro de la lente), así como los radios de cualquier convexa caras en el cristalino, son longitudes positivas. Esta es la convención de signos empleados en este trabajo en lugar de la convención habitual de la

geometría analítica (convención de signos cartesiana [7, 8]).

Figura 1. Planos principales de curvatura (dibujo superior) y los radios de curvatura principales R1 y R2

(dibujo inferior) de una gota sésil.

Figura 2. Sección longitudinal de una lente líquida.

Compone de dos segmentos esféricos de curvatura R1 y R2 radios con un índice de refracción n1 y sumergido en un medio con un índice de refracción n2 se expresa por medio de la Gullstrand la ecuación (véase el apéndice A.2):

(2)

3. analogía

Si la ecuación (2) se compara con la ecuación (1), algunas analogías son evidentes. El Interfacial

γ 12 tensión es equivalente a la cantidad n1/n2−1, conocida como refractividad, que también depende exclusivamente en los medios de comunicación, es decir, sobre el material de la lente (fase 1) y en la sustancia que lo rodea (fase 2). El índice de refracción se define como el recíproco de la velocidad relativa

Figura 3. Vista superior de sésiles agua dos gotas en una película de betún (a) y sobre una superficie de Teflón (b). Las imágenes fueron adquiridas con el trazado de configuración (c) se explica en detalle en otra parte [9]. La interiores anillos brillantes en imágenes (a) y (b) son las imágenes de la fuente de luz anular a través de la interfaz agua-aire. La naturaleza de refracción de betún provoca la aparición de un segundo anillo interior en imagen (un).

de luz en el medio. Así, el índice de refracción es extremadamente sensible a cualquier cambio de densidad en el medio debido a la temperatura, la heterogeneidad o anisotropía. Como la velocidad de la luz es más lenta en materiales más densos, sus índices de refracción siempre superior a uno y por lo tanto, n1 es mayor que n2. El índice de refracción es también una función de la presión, aumentando a medida que aumenta la presión, debido al aumento resultante en la densidad, aunque esta dependencia es muy débil con líquidos debido a su incompresibilidad relativa. El índice de refracción es una indicación de la manera en que una molécula interactúa con la luz igual que la tensión Interfacial es una medida de intermolecular fuerzas. Los radios de curvatura de cada componente refringentes coincidir con el radio de curvatura director de la interfaz. Estos radios pueden ser positivos o negativos dependiendo de la curvatura dirección (figura 4). La analogía entre la potencia óptica y la diferencia de presión a lo largo la interfaz no es evidente a pesar de estas cantidades coinciden en señal de si la lente y la interfaz mantener la igualdad de la convexidad. Por lo tanto, el término izquierda en las ecuaciones (1) y (2) será positivo convexa de las lentes convergentes y interfaces4. Además, las interfaces mínimas [10] (por ejemplo el catenoid5) son aquellos cuya diferencia de presión es cero en la misma forma que afocal o lentes telescópicos indican cero la potencia óptica. Una interpretación más intuitiva de la analogía entre la potencia óptica y la diferencia de presión a

lo largo de la interfaz proviene del uso la ecuación conocida lente delgada o la ecuación de Gauss (véase el apéndice A.1):

Que relaciona la longitud focal de las posiciones de objeto e imagen, debidamente firmados, con lo que se refiere a los dos planos principales. El último término de las ecuaciones Gullstrand alude a la flexión estrés CH de la ecuación (1), que se refiere a la comba de la lente debido a su espesor. Para resumir arriba, las equivalencias entre las cantidades citadas se exhiben en la tabla 1.

4 Las superficies que sobresalen. 5 de la superficie de revolución

cuya generatriz es una catenaria (la línea de la cadena).

Figura 4. Correspondencia geométrica entre los radios de curvatura de una lente y un fluido líquido-interfaz. De la ecuación (4) y el convenio de signos utilizado en este trabajo, hay tres tipos de lentes convergentes (P 'op> 0): bi-convexa (a), plano-convexa (b) y cóncavo convexo-(c).

Tabla 1. Cantidades análogas en la capilaridad y la óptica geométrica.

Para una lente delgada, es decir, una para el que la condición d «R1 + R2 se mantiene, la ecuación (2) puede ser simplificado como

Que se conoce como ecuación el fabricante de lentes de [11, 12] y es análoga a la versión clásica de la ecuación de Young-Laplace [13]:

Estas dos ecuaciones coinciden también en los diversos enfoques utilizados en su demostración. La ecuación fabricante de lentes se puede derivar utilizando pruebas diferentes [5, 14, 15] sobre la base geométrica construcciones, el trazado de rayos, la óptica de onda, el principio de Fermat, etc. Asimismo, la ecuación Young-Laplace se obtiene por medio de equilibrio de fuerzas, el método variacional, los argumentos termodinámicos, etc., a partir de los casos básicos de la ecuación general [13, 16, 17].

Finalmente, la ecuación es válida en Gullstrand paraxial6 o óptica de primer orden. Este aproximación considera que sólo los rayos de luz monocromática que viajan cerca del eje óptico, donde los objetos y las aberturas son tan pequeñas que los senos y tangentes trigonométricas del ángulos sostenidos se puede aproximar por sus argumentos. En esta aproximación todas las lentes son perfectas y no sufren ninguna aberración resultante de la naturaleza de las lentes reales. Además este método evita la dependencia del índice de refracción de la luz wavelength7 es decir, con el tipo de luz que se utiliza: monocromático o blanco (mezcla). Asimismo, la ecuación (1) se limita a las interfaces moderadamente curvadas, donde la tensión Interfacial es la curvatura independiente y donde los líquidos y fluidos químicamente puros [4].

Óptica geométrica también comparte varias analogías con la mecánica, tales como la identificación entre el equilibrio de una cadena inextensible sometido a fuerzas conservadoras y la luz

6 Cerca del eje. 7 Dispersión.

Figura 5. Axisimétricas líquido-líquido interfaces con curvatura media constante en términos de diferente valores del factor de forma (β). El caso β <0 también corresponde a un menisco confinado entre dos cilindros coaxiales de radios reducida y 1 (β - 1) β /. Igualmente una caída

de exprimido de una circular hendidura con un radio igual a (β-1) / β coincide con el caso β> 1. Cuando la anchura de la rendija (o el apoyo alambre espesor) tiende a cero entonces la interfaz será un toro.

Los rayos [18], la equivalencia de índice de refracción y velocidad de la partícula no relativista [19] y incluso una analogía óptico-mecánica de la relatividad general [20]. Del mismo modo la termodinámica y la mecánica es también análogo [21], reunido en fenómenos interfaciales [13, 17].

4.-aplicación

En la ausencia de gravedad, según la ecuación (5), la interfaz de equilibrio mecánicamente debe ser uniforme en su curvatura media (véase el apéndice A.3). Teniendo en cuenta simetría axial interfaces (que son de importancia más práctica y accesible para el análisis teórico), los hay sólo seis superficies geométricas que cumplan la condición anterior [3]. Entre ellos, las tres superficies más simples (plano, cilindro y la esfera) son uniformes, no sólo en su media curvatura, pero también por separado con respecto a cada curvatura principal. Los tres restantes superficies (formando unduloid, nodoid y catenoide) son uniformes sólo en su curvatura media.Cualquier interfaz axisimétrica, excepto el sphere8, sólo se puede alcanzar el estado de equilibrio en el contacto con los sólidos. Por esta razón, estos tres meniscos capilares son conocidos como puentes líquidos (figura 5).

Cualquier interfaz moderadamente curvado está determinada por un parámetro intrínseca (relacionada con el los medios de comunicación) y otra puramente geométrica (el radio de curvatura principales en un punto de referencia). En este caso, la familia antes mencionada de interfaces muestra una línea característica similar a un "cuello" o "anca", es decir, un ecuador, cuyo radio será denotado por R0. La integración de la ecuación (5) para axial simétrico interfaces con curvatura media constante (véase el apéndice A.3), los radios de curvatura principales pueden ser escritos en una forma reducida (x≡ x /R0) como sigue:

8 Una esfera es la única variante posible para las superficies de intersección del eje de revolución.

Donde β es el factor de forma define como:

En términos de las características de la lente y el factor de escala R0. La elección de un factor de forma adecuada sobre la base de la convexidad interfaz concavidad / parece un criterio simple y excelente para diseñar lentes delgadas con una geometría impuesta. Este criterio requiere algunas equivalencias de referencia como el cilindro (una lente plano-convexa), la esfera (un bi-lente convexa con las caras del mismo curvatura), el catenoide (una lente cóncava-convexa, pero con caras de la misma curvatura sin firmar), etc.

Por lo tanto, si una lente convergente de alta curva se solicita a continuación, el factor de forma debe ser mayor que 1, dando dos configuraciones posibles (cóncavo-convexo y bi- convexa) de acuerdo con el valor de la coordenada radial r. De manera similar, si la lente se divergentes entonces el factor de forma debe ser negativa, la elección entre el y convexa-cóncava bi-cóncavas opciones. En la región de β ∈] 0, 1] de las tendencias de los radios se conectan con respecto a la caso β> 1, aunque con pequeñas curvaturas. Debido a esta clara asimetría en la forma factor, el diseñador puede invertir la configuración, teniendo un efecto negativo radio ecuatorial R0. A pesar de la notación utilizada, el radio de curvatura R1 meridiano no está relacionado con el radio de la primera

Una vez que un valor de β se elige por simple inspección, diferentes radios reducido están disponibles a partir ecuaciones (6) de acuerdo con el valor de r (tabla 2). Finalmente, los radios reales se calculan utilizando el valor respectivo de R0, aunque para el caso especial β = 0, este valor es arbitrario. El caso de lentes gruesas y no moderadamente interfaces de curvas es más complicado. No obstante, es obvio que una lente gruesa afocal actúa como un punto de una interfaz curvada donde la diferencia de presión es cero. Como resultado, la siguiente relación se deriva:

Por lo tanto, los fenómenos complejos, como la influencia de CH el ángulo de contacto o espontánea de la curvatura, se puede venir más comprensible. Hay otros efectos de segundo orden similares a el momento de flexión Interfacial que son físicamente importante para los sistemas o fenómenos como- las ondas capilares, lípidos membranas, emulsiones y micro emulsiones.

Aparte de la utilización indicada, esta analogía o isomorfismo es también interesante por su valor pedagógico notable, siendo muy útil en la comprensión de algunos fenómenos interfaciales de las nociones simples de la óptica. Con un examen preliminar de la óptica geométrica, este artificio se puede aplicar en cursos de introducción, así como en un aula graduado.

Agradecimientos

El apoyo financiero de Ministerio de Ciencia y Tecnología, el Plan Nacional de Investigación Científica, Desarrollo e Innovación 'en Tecnológica (I + D + I), MAT2001-2843-C02-01 es agradecido reconoció. Los autores también quieren agradecer a los árbitros para la lectura crítica del manuscrito y hacer varias observaciones útiles.

Apéndice A.1. longitud focal

En la óptica de Gauss, la trayectoria de la luz que cruza una superficie de refracción esférica de radio R (convexo por por defecto), que separa dos medios homogéneos de índices de refracción n2 y n1 (n1> n2), Se describe el principio de Fermat por [11, 12]: