LA DERIVADA EN EL ANALISIS DE FUNCIONES
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LA DERIVADALA DERIVADA
EN ELEN EL
ANALISIS DEANALISIS DE
FUNCIONESFUNCIONES
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TEOREMATEOREMA
f ’(c) = 0
Si c es un punto de extremo local de f, entonces
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PUNTOS CRITICOSPUNTOS CRITICOSDefinición:Definición:
Un número c del dominio de f se llama número crítico o punto crítico de f si f ’(c) = 0.Ejemplo: Determinar el punto crítico de:
13)( 23 xxxf
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1. Hallar todos los puntos críticos de f en [a, b]2. Hallar f(c) para cada punto crítico c3. Calcular f(a) y f(b)4. El mayor de los números hallados en 2
y 3 es el máximo absoluto de f en [a,b] y el menor el mínimo absoluto.
Procedimiento para determinar los máximos o mínimos de una función continua f en [a, b][a, b]
Ejemplo: Determinar los valores máximo y mínimo absolutos de:
4;21
13)( 23 enxxxf
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TEOREMATEOREMA
Sea f continua en [a, b] y derivable en
(a, b), entonces:Si f ’(x) 0 en (a, b) entonces>
f es estrictamente CRECIENTE en [a, b]
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TEOREMATEOREMA
Sea f continua en [a, b] y derivable en
(a, b), entonces:Si f ’(x) 0 en (a, b) entonces
f es estrictamente DECRECIENTE en [a, b]
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Ejemplo:
Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de:
196)( 23 xxxxf
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Criterio de la primera Criterio de la primera derivadaderivada
Si c es un punto crítico de f y f es derivable alrededor de c, entonces:
i) Si f ´ cambia de + a - en la vecindad de c,
entonces c es un punto de MÁXIMO local de f
ii) Si f ´ cambia de - a + en la vecindad c, entonces c es un punto de MÍNIMO
local de f
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Ejemplo:
Determinar los valores extremos locales de:
196)( 23 xxxxf
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TEOREMATEOREMA
Sea f derivable en el intervalo (a, b), que contiene a c, tal que existe f ’’(c), entonces:
Si f ’’(c) 0 la gráfica de f es cóncava hacia
en x = carriba
>
+
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TEOREMATEOREMA
Sea f derivable en el intervalo (a, b), que contiene a c, tal que existe f ’’(c), entonces:
Si f ’’(c) 0 la gráfica de f es cóncava hacia
en x = cabajo
<
-
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Punto de inflexiónPunto de inflexión
La gráfica de f tiene en el punto (c, f(c)) un punto de inflexión si:
1 f es continua en c
2 La gráfica tiene tangente en el punto
3 La concavidad cambia de sentido en c
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PROCEDIMIENTO PARA DETERMINAR PROCEDIMIENTO PARA DETERMINAR LOS PUNTOS DE INFLEXIONLOS PUNTOS DE INFLEXION
i) Determinar los puntos donde f ’’ es cero
ii) Verificar si cada uno de estos puntos es de inflexión. Esto es:• Si f es continua• Si f ’’ cambia de signo
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Ejemplo:
Determinar:
a) Intervalos de concavidad.
b) Puntos de inflexión
c) Trazar la gráfica de f
Para:
196)( 23 xxxxf
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Criterio de la segunda Criterio de la segunda derivadaderivada
Sea c un punto crítico de f en el cual:
f ’(c) = 0, entonces,Si f ’’(c) > 0, c es un punto de mínimo
local
Si f ’’(c) < 0, c es un punto de máximo local