La derivada y sus funciones
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Tema : LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN Y SUS APLICACIONES Pablo Segarra P.
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Tema :
LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN Y SUS APLICACIONES
Pablo Segarra P.
2Objetivos: . Definir la derivada de una función. . Determinar los puntos críticos de una
función. . Determinar los extremos absolutos de
una función continua en un intervalo
cerrado. . Describir el concepto de punto de
inflexión de una gráfica. . Analizar la concavidad de una función a través de su segunda derivada. . Resolver problemas de máximos y
mínimos de una función en una variable.
3La Pendiente de una Curva
¿Una curva tiene pendiente?
Entenderemos por pendiente de una curva a la pendiente de la recta que mas se asemeja (ajusta) a la curva.
¿y cuál es esta recta?
4
x
y
0x
)( 0xf
)( 0 hxf
hx 0
h
5
x
y
0x
)( 0xf
)( 0 hxf
hx 0h
6
x
y
0x
)( 0xf
)( 0 hxf
hx 0h
7
x
y
0x
)( 0xf
)( 0 hxf
hx 0h
8
x
y
0x
)( 0xf
)( 0 hxf
hx 0h
9
x
y
0x
)( 0xf
)( 0 hxf
hx 0h
10
x
y
0x
)( 0xf
)( 0 hxf
hx 0h
11
x
y
0x
)( 0xf
)( 0 hxf
hx 0h
12
x
y
0x
)( 0xf
)( 0 hxf
hx 0h
13
x
y
0x
)( 0xf
)( 0 hxf
hx 0h
14
x
y
0x
)( 0xf
)( 0 hxf
hx 0h
15
x
y
0x
)( 0xf
)( 0 hxf
hx 0h
16
x
y
0x
)( 0xf
)( 0 hxf
hx 0h
17
x
y
0x
)( 0xf
)( 0 hxf
hx 0h
18
x
y
0x
)( 0xf
)( 0 hxf
hx 0h
19
x
y
0x
)( 0xf)( 0 hxf
hx 0h
20
x
y
0x
)( 0xf)( 0 hxf
hx 0h
21
x
y
0x
)( 0xf)( 0 hxf
hx 0h
22
x
y
0x
)( 0xf)( 0 hxf
hx 0h
23
x
y
0x
)( 0xf)( 0 hxf
hx 0h
24
x
y
0x
)( 0xf)( 0 hxf
hx 0h
25
x
y
0x
)( 0xf )( 0 hxf
hx 0h
26
x
y
0x
)( 0xf )( 0 hxf
hx 0h
27
x
y
0x
)( 0xf )( 0 hxf
hx 0h
28
x
y
0x
)( 0xf )( 0 hxf
hx 0
Tangente!!!
29
x
y
0x
)( 0xf )( 0 hxf
hx 0
30
x
y
0x
)( 0xf )( 0 hxf
hx 0
31
x
y
0x
)( 0xf )( 0 hxf
hx 0
32
La Pendiente de una Curva
x
y
0x
)( 0xf
)( 0 hxf
hx 0x
y
33La Pendiente de una Curva
hh
h
)f(x)f(xlimm 00
0t
Es el límite de un cociente de incrementos
x)f(xx)f(xlimm 00
0t
x
Si h = x
34
Determina la ecuación de la recta tangente a la curva que tiene por ecuación, en el punto de abscisa
24 xy 1x
y
x
Ejemplo
35Definición de Derivada
La derivada de una función f con respecto a la variable x es la función cuyo valor en x es:
siempre que el límite exista
hf(x)h)f(xlim´(x)f
0h
Nota 1: f es una función definida en un intervalo abierto que incluye a x.
36Observación
La derivada de una función es un límite. Nota 2: Para calcular ese límite se requiere que la función esté definida en el punto.
a-xf(a)f(x)lim
hf(x)h)f(xlim
ax0h
37REGLAS DE DERIVACIÓN
4. Si f es derivable y c constante, se tiene: xfcxcf
3. Sea f(x) = xn, entonces: 1 nnxxf
n
1. Sea f(x) = k, entonces: 0 xf
k
D (c) = 0
x2. Sea f(x) = x, entonces: 1 xf
38Reglas de Derivación
5. Si f y g son funciones derivables y a y b son constantes se tiene que:
xgxfxgxf 6. Si f y g son funciones derivables,
entonces la derivada del producto es: xgxfxgxfxgxf *
Reglas de Derivación 39
7. Si f y g son funciones derivables y no es cero, entonces la derivada del cociente es:
)(xg
)()()()()(
)()(
2 xgxgxfxgxf
xgxf
8. Si y , entonces la regla de la cadena se define por:
nxgxf )()(
)()()( 1 xgxgnxf n
n
40Observación
Sea y = f(u) donde u = g(x)
Si todas las derivadas involucradas existen, entonces otra forma de definir la REGLA DE LA CADENA es:
dxdu
dudy
dxdy
xuy
41
La función exponecial y=ex y la función logaritmo natural y= ln x
1 e
e
1
y = ex
y = ln x
x
y
42
Definición:Si x es cualquier número real, entonces ln y = x si y sólo si ex = y
TeoremaSi p y q son números reales, entoncesi) ii) iii)qp
q
p
eee qpqp eee pqqp ee
43
Derivada de funciones exponencialesi)
ii) Derivada de funciones logarítmicasi)ii)
x
xfxxf 1)(;ln)(
xgexfexf xgxg )(;)(
)()(
1)(;ln)( xgxg
xfxgxf
xx exfexf )(;)(
Derivadas de funciones EXP y LOG
44 LA DERIVADA
EN EL ANALISIS DE FUNCIONES
45TEOREMA
f ’(c) = 0Si c es un punto de extremo local de f, entonces
46PUNTOS CRITICOS
Definición:Un número c del dominio de f se llama número crítico o punto crítico de f si f ’(c) = 0.
47
1. Hallar todos los puntos críticos de f en [a, b]2. Hallar f(c) para cada punto crítico c3. Calcular f(a) y f(b)4. El mayor de los números hallados en
2 y 3 es el máximo absoluto de f en[a,b] y el menor el mínimo.
Procedimiento para determinar los máximos o mínimos de una función continua f en [a, b]
48TEOREMA
Sea f continua en [a, b] y derivable en (a, b), entonces:
Si f ’(x) 0 en (a, b) entonces
f es estrictamente CRECIENTE en [a,b]
>
49Criterio de la primera derivada
Si c es un punto crítico de f y f es derivable alrededor de c, entonces:
i) Si f ´ cambia de + a - en la vecindad de c entonces c es un punto de MÁXIMO local de fii) Si f ´ cambia de - a + en la vecindad c entonces c es un punto de MÍNIMO local de f
50TEOREMA
Sea f derivable en el intervalo (a, b), que contiene a c, tal que existe f ’’(c), entonces:
Si f ’’(c) 0 la gráfica de f es cóncava hacia
en x = carriba
>
+
51Agradecimiento
PREGUNTAS?
Gracias por su atención
52Criterio de la segunda derivada
Sea c un punto crítico de f en el cual f ’(c) = 0, entonces,
Si f ’’(c) > 0, c es un punto demínimo local
Si f ’’(c) < 0, c es un punto demáximo local
