UUNNIIVVEERRSSIIDDAADD CCAATTÓÓLLIICCAA

SSAANNTTOO TTOORRIIBBIIOO DDEE MMOOGGRROOVVEEJJOO

FFAACCUULLTTAADD DDEE HHUUMMAANNIIDDAADDEESS

EESSCCUUEELLAA PPRROOFFEESSIIOONNAALL DDEE EEDDUUCCAACCIIÓÓNN

TITULO :

La derivada como razón de cambio.

AUTORA :

Luzmila Sandoval Ynoñan.

COAUTOR :

Lic. Jorge Guillermo Díaz Albujar.

CICLO :

VIII

Chiclayo – 2009

Sumario

Introducción.

1. Velocidad y aceleración de un cuerpo en movimiento rectilíneo.

Problemas.

2. Razones de cambio relacionados.

2.1. Problemas.

Conclusiones.

Bibliografía.

Introducción

El análisis es una rama de las matemáticas, que se empieza a desarrollar a

partir del inicio de la formulación rigurosa del cálculo y estudia conceptos como

la continuidad, limites, la integración, la derivada y la diferenciabilidad de

diversas formas. Es por ello, que se desarrolla la presente investigación

denominada “la derivada como razón de cambio” con el propósito de conocer

más sobre el tema y problemas relacionados con la misma.

Por tal razón se tiene en cuenta que la derivada es la razón de cambio en la

curva, que está creciendo o decreciendo, pero que tanto, por eso es una razón

de cambio, además por que se puede interpretar como una división, que es la

tangente de un triangulo de tamaño minúsculo. En otras palabras la razón de

cambio es la forma o velocidad con que va cambiando la variable. Si lo

comparamos con la física, podríamos que es como la aceleración y la

aceleración es cómo varía la velocidad respecto respecto en el tiempo.

Ante ello, se puede decir que el concepto más general de la razón de cambio

instantáneo se puede relacionar con el concepto de de la velocidad en

movimiento en el movimiento rectilíneo. Pues la razón de cambio instantáneo

es una razón de cambio de la distancia respecto al tiempo, y si s=f (t) describe

un movimiento rectilíneo, está razón de cambio en cualquier instante “t” esta

representada por f¨´ (t0). De modo semejante nos interesamos en una razón de

cambio de una cantidad respecto a otra.

Para su desarrollo de se ha plateado los siguientes objetivos: dar a conocer la

derivada como razón de cambio y explicar problemas relacionados con el tema.

Para ello el trabajo refiere a dos puntos importantes que se toman en cuenta en

el trabajo como es: velocidad y aceleración de un cuerpo en movimiento

rectilíneo y razones de cambio relacionados.

Por lo tanto, dicha investigación es de relevancia, puesto que es una ayuda

personal para enriquecer más los conocimientos y ponerlos en práctica, y a la

vez proporcionar información a otros, con la finalidad que se profundicen aun

mas en el tema.

1. Velocidad y aceleración de un cuerpo en movimiento rectilíneo.

Aquí se estudiaran cuerpos que se mueven sobre el eje x, cuya ley del

movimiento se conoce, es decir, la función que relaciona la

distancia x reconocida por el cuerpo, la cual su medida es en metros, en

términos del tiempo t empleado en recorrer dicha distancia, pero medida en

segundos.

Otras veces ocurrirá que la función tiene un buen sentido para toda

“t” real, siendo su dominio natural R. Sin embargo, está función por ser

representada físicamente. Sólo se considera valores de t no negativos. De

hecho el valor de la función para , es la posición

inicial del cuerpo, es decir, que viene a ser el punto sobre el eje x de donde

va a partir el movimiento del cuerpo. Pues es importante calcular la

velocidad y aceleración del movimiento de este cuerpo y darle interpretación

físicas a los resultados y por ende la herramienta que se utiliza para esta

clase de problemas serán las derivadas de la función .

Por esta razón, se recuerda que la derivada de la ley del movimiento

del cuerpo, representa la velocidad instantánea del cuerpo a los t segundo

de haber comenzado su movimiento

Esta derivada mide la rapidez de variación de la distancia respecto del

tiempo . Para tenemos que es la velocidad inicial del

cuerpo, denotado como . Observe que si , entonces la función

es una función creciente, lo cual significa que los valores de

aumentan con el tiempo, es decir para , se tiene:

, lo cual se interpreta en términos de la dirección del

movimiento del cuerpo, como que esta ganando distancia a medida que

pasa el tiempo.

De la misma forma si entonces la función es decreciente,

es decir, que para se tiene , lo cual

significa que los valores de disminuye con el tiempo. A continuación

veamos problemas relacionados con el tema.

1. La ley del movimiento de un cuerpo es , en donde x se

mide en metro y t en segundos. Determine:

(a) La posición inicial, (b) la velocidad inicial, (c) la velocidad a los 2

segundos de haber comenzado el movimiento, (d) la velocidad a los 5

segundos de haber comenzado el movimiento, (e) el tiempo durante el

cual se está moviendo hacia la derecha, (f) el tiempo durante el cual se

esta moviendo hacia la izquierda.

Solución: a. La posición inicial del cuerpo es:

Esto indica que su movimiento comienza en

el origen.

Por consiguiente, para dar respuesta a lo siguiente se usará la

derivada de la función , la cual es

b. La velocidad inicial es

entonces de lo cual se concluye que el cuerpo comienza a

moverse hacia la izquierda.

c. A los 2 segundos la velocidad es ,

esto quiere decir que el cuerpo se sigue moviendo hacia la izquierda.

d. A los 5 segundos la velocidad es . Esto

quiere decir que ahora el cuerpo se esta moviendo hacia la derecha.

e. Mientras el cuerpo se moverá hacia la derecha. Es decir

mientras .

Esto ocurre para t > 3. Así pues, después de los 3 segundos, el

movimiento del cuerpo es hacia la derecha.

f. De (e) se concluye que para , el movimiento del cuerpo es

hacia la izquierda.

Se observa que en el instante en el que ocurre el cambio de

dirección en el movimiento, el cuerpo se encontraba en

Pues esta a 9m a la izquierda del

origen.

El movimiento de este cuerpo puede presentarse esquemáticamente

como sigue:

t = 5t = 3

t = 2 t = 0

-9 0 x

Por otro lado, tenemos la aceleración, que se calcula como la derivada,

respecto de t de la velocidad

Es decir, en términos de la función que proporciona la ley de

movimiento del cuerpo, la aceleración “a” es Esta vendrá

a ser la segunda derivada de la función

Las unidades por la que se mide la aceleración es en m/s². También se

observa que si entonces la función es creciente, es decir, si

, entonces la función . Esto significa que

el cuerpo va aumentando su velocidad.

De igual manera, si , entonces la función es decreciente. Es

decir, si , entonces , lo cual significa que

el cuerpo va disminuyendo su velocidad.

2. Un cuerpo se mueve sobre el eje x con una ley de movimiento

, en donde x se mide en metros y t en minutos. Determinar

los momentos en que el cuerpo se mueve hacia la derecha, hacia la

izquierda, con aceleración positiva y con aceleración negativa.

Solución:

La velocidad del cuerpo es . El cuerpo se moverá hacia

la derecha cuando lo cual ocurre para y para

. Es decir, que después de los minutos, el cuerpo se mueve hacia

la derecha y por razonamiento se deduce que para , el

movimiento del cuerpo es hacia la izquierda. En el instante t en que el

cuerpo cambia de dirección en su movimiento y se encontraba en la posición

hacia la izquierda.

La aceleración es la cual es positivo para y negativa

para . Es decir, la velocidad del cuerpo es siempre creciente.

Estos resultados obtenidos se muestran en la gráfica:

t = √2

t = 0

0 x-4√2

3. La ley de un punto sobre el eje x es en donde x se

mide en centímetros y t en minutos. Determinar la velocidad y aceleración

del punto a los y

Solución: La velocidad en el instante es y la aceleración

es

Al tiempo la velocidad instantánea del punto es de

Esto quiere decir que el punto se mueve

hacia la izquierda.

Al tiempo la velocidad es de

Esto quiere decir que el punto se mueve hacia la derecha.

La aceleración del movimiento siempre en positivo e igual a

4. Un punto sobre el eje x se mueve bajo la ley ,

en donde x se mide en metros y t en minutos. Determinar la velocidad inicial

del punto, los intervalos de tiempo en que el movimiento es a la izquierda y

los intervalos de tiempo en que el movimiento es a la derecha.

Solución:

La velocidad instantánea es de modo que en

, se tiene Este es la velocidad inicial del punto. Es decir

que su movimiento comienza hacia la derecha.

Pero el movimiento del punto será hacia la izquierda en los tiempos t en que

y hacia la derecha en los tiempos t en que

Como representa

geométricamente una parábola que abre hacia arriba y corta el eje t en

, vemos que para y para se tiene y

por lo tanto el movimiento será hacia la derecha, mientras que para

se tiene y entonces para este tiempo el movimiento es a

la izquierda.

En el instante en que ocurre el cambio de dirección en el movimiento

del punto de derecha a izquierda, es se encontraban

a la derecha del origen.

Mientras que a los cuando ocurre el segundo cambia de dirección

en el movimiento del punto de izquierda a derecha, éste se encontraba en

de metro a la derecha del

origen.

El esquema de todo esto es el siguiente:

t = 4

t = 2t = 0

0 8/15 2/3 y x

5. Dos cuerpos que han partido del origen comienza a moverse en , sobre

el eje x, con leyes de movimiento y

respectivamente, en donde los se miden en

metros y los en minutos. Decir si estos dos cuerpos se encuentran en

igual instante . En caso afirmativo, calcular la velocidad de ambos en el

instante del encuentro.

Solución: Primero se observa que ambos cuerpos comienzan respectivamente sus

movimientos en el origen, pues y . Tenemos que

los derivados de las leyes del movimiento de estos dos cuerpos son:

y . Aquí para tenemos:

y . Esto quiere decir, que el primer

cuerpo comienza moviéndose hacia la izquierda con una velocidad inicial de

y el segundo comienza su movimiento hacia la derecha con una

velocidad inicial de .

Pero se pregunta si es que existe el encuentro de estos cuerpos. Si es que

esto pasara, ocurriría en algún valor para el cual , lo cual nos

conduce a procurar una solución positiva de la ecuación:

de donde se obtienen las raíces

y . Este último es la solución que se busca. Es decir, que a los

5min. de haber comenzado su movimiento, los dos cuerpos se encuentran a

los metros del origen, con

velocidades de y

.

Entonces en el momento del encuentro ambos cuerpos se están moviendo

hacia la derecha.

6. Tres puntos se mueven en el eje , sus respectivas leyes de movimiento

son:

en

donde x se mide en metros y t en minutos. Verificar que en un momento los

tres puntos se encuentran. Descubrir la posición y la velocidad de cada uno

de los puntos en ese instante.

Solución: Los puntos comienzan su movimiento en y

respectivamente. Pero se debe ver que existe una para

lo cual . Es decir, se debe observar que el sistema de

ecuaciones:

Tiene una solución positiva. Considerando sólo la primera igualdad:

, se obtiene t = 4, este es el mismo valor por el

cual:

.

Es entonces, a los de haber comenzado el movimiento, que los

tres puntos se encuentran en

La velocidad de cada uno de los puntos en el instante del encuentro es:

y

, se están moviendo hacia la derecha

respectivamente de 3,2 y 1 por minutos.

2. Razones de cambio relacionados

Aquí se abordaron problemas en la cual va a contener lo siguiente:

Se toman dos variables que están cambiando con el tiempo, digamos:

y . Ambos pueden ser distancias, áreas, volúmenes, etc. Las

variables a su vez están relacionadas entre si por medio de una ecuación como

.

Ya se conoce la velocidad a lo que está cambiando con el tiempo, digamos

alguna de estas variables y se quiere conocer la velocidad a la que está

cambiando la otra variable, es decir, que al conocer . Se quiere

conocer , respectivamente, Pero la manera de abordar estos

problemas es considera la relación esta será la ecuación que se

debe obtener correctamente, ya que conecta las variables “x” y “y”, los cuales

deben ser en primera bien identificados.

Después de esto, lo que sigue es saber derivar bien la expresión

respecto del tiempo, aplicando debidamente la regla de la cadena y obtener lo

que el problema pide; sustituyendo la información del mismo en la expresión

o derivado. A continuación se dan a conocer problemas

relacionados.

1. Se lanza una piedra a un estanque de aguas tranquilas y se genera una

serie de ondas circulares concéntricas. El radio de la primera onda aumenta a

razón de 0.5 centímetros cada segundo. ¿A que velocidad está cambiando el

área del circulo que encierra esta onda cuando el radio del círculo es metro?

Solución:

Primero el radio r del círculo de la onda que se está expandiendo y segundo el

área A de tal circulo.

Estas dos variables son funciones del tiempo: a medida que transcurre el

tiempo tanto el radio como el área cambian. Este hecho lo enfatizamos

escribiendo . A su vez estas dos variables están

relacionadas entre sí.

En el problema se nos proporciona la velocidad, de aquella a la que varía el

radio del círculo. Esta velocidad es la derivada . Pero si derivamos

ambos miembros en respecto del tiempo obtenemos:

De esta última expresión conocemos , y queremos calcular que

es la velocidad a la que esta variando el área con el tiempo cuando el radio es

de Observe que este último dato es importante, pues en la

expresión obtenida para , se delata que esta variación del área aumenta a

medida que crece r. Así pues se quiere conocer cuando r = 100 cm, siendo

cm/s.

Entonces .

Esto quiere decir que el área del círculo está cambiando una de

centímetros cuadrados cada segundo.

r=f(t)

A =g(t) = πr²

2. Un punto se mueve sobre la parábola de tal modo que su abscisa x

aumenta a una velocidad constante de Calcular la velocidad a la que

varía la ordenada de este punto cuando pasa por (1,1).

Solución:

Primer tanto la abscisa como la ordenada del punto que se mueve sobre la

carretera están variando con el tiempo. En el problema se nos da la

información de que y se nos pregunta en el instante en que el

punto pasa por . Este es un punto de la parábola . Al derivar

respecto de t la expresión obtenemos:

Si sustituimos los valores y =2 obtenemos que:

Es decir la ordenada del punto se está moviendo a una velocidad de 4 cm/s en

el instante en que el punto está pasando por (1,1).

3. Un punto se mueve sobre la hipérbola de tal modo que su abscisa x

aumenta a una velocidad constante de 2cm/s. Calcular la velocidad a la que

varía la ordenada de este punto

Solución:

Tanto la abscisa x como la ordenada y del punto que se mueve sobre la carrera

están variando con el tiempo, digamos que .

Pues en el problema se nos da la información de que , y se nos

pregunta por en el instante en que el punto pasa por . Este viene a ser

el punto de la hipérbola . Al derivar respecto de t la expresión

obtenemos:

Si sustituimos los valores y , obtenemos que:

La presencia del signo menos en el resultado, indica que el punto está pasando

por (1,1), la ordenada es una función decreciente del tiempo, la

ordenada va tomando valores cada vez más pequeños.

Entonces cuando el punto esta pasando por (1,1), con su abscisa que crece a

una velocidad de 2cm/s, su ordenada está decreciendo con la misma rapidez,

es decir con una velocidad de .

Por lo tanto, el punto esta moviéndose sobre la parábola del ejemplo 2.

y = x²

x 2cm/s

4. Se inyecta gas a un floro esférico a razón de . Calcular la rapidez a la

que esta aumentando el radio del globo después de 2 horas de haber

comenzado a inflarlo.

Solución:

Llamaremos al radio del globo en metros al tiempo en horas, y

sea el volumen en del globo en el instante t. Las variables V y r

están relacionadas por

(el volumen V de una esfera de radio r). Si derivamos respecto de t

en ambos miembros de esta expresión nos queda:

Sabemos que y queremos saber el valor de después de dos

horas de haber comenzado a inflar el globo. En este instante el volumen del

globo es de , de modo que su radio lo obtenemos de la formula , o

sea:

Entonces de la expresión que obtuvimos entre nos queda que:

Es decir a las dos horas de haber comenzado a llenar el globo su radio está

aumentando con una velocidad de 13 centímetros por hora.

A continuación se grafica el punto moviéndose sobre la curva

y =In(3x+1)

1cm/sx

y

5. Un punto comienza a moverse en , partiendo del origen de

coordenadas, por la curva de tal modo que su ordenada crece

a una velocidad de 5cm/s.

Solución:

De acuerdo con la expresión , obtenemos, al derivar respecto

del tiempo, que:

Se dice que y se nos pregunta por el instante en que . Al

sustituir estos datos en la expresión anterior obtenemos que:

Es decir, cuando el punto está pasando por el punto de abscisa es que

está creciendo a una velocidad de . La ordenada correspondiente de

este punto es , puesto que está último está

creciendo a una velocidad de , concluimos que es después de

segundos de haber comenzado el movimiento, cuando el

punto está pasando por y por lo tanto, cuando su abcisa está

aumentado a una velocidad de 5cm/s. A continuación se grafica:

x 2 cm/s

y=1/x

El punto se está moviendo sobre la hipérbola del ejemplo anterior N° 3.

6. En un recipiente, en forma de cono circular recto (invertido), con radio de

base R = 30 cm. Y altura H = 50 cm, se vierte agua a razón de dos litros cada

minuto. Si en el recipiente estaba vació, calcular la velocidad a la que

esta aumentando el nivel de agua en el recipiente, después de 5 minutos de

haber comenzado a llenarse.

Solución:

Llamemos x a la altura del agua medida, en cm respecto de la base en que

descansa el recipiente. En un instante dado , hay un cono de agua dentro

del recipiente cónico, el cual tiene altura x y radio de la base r. Tanto x como r

son funciones del tiempo t, digamos y . El volumen V de este

cono de agua es:

La variación que tiene este volumen respecto del tiempo es .

Por otra parte las variables r y x están relacionadas entre sí.

Para determinar esta relación.

Observemos la siguiente figura.

R=30cm

H=50 cm

30 B´A´

A B

50

O

X

El es semejante al de modo que:

Es decir que:

, de donde se obtiene que , y el volumen de agua vertido al

recipiente, en términos de altura x, se ve como:

Al derivar respecto del tiempo ambos miembros de esta expresión obtenemos:

Se quiere saber , la rapidez a la que esta subiendo el nivel del agua en el

recipiente, a los 5m de haber comenzado a llenarse. Puesto que se están

vertiendo 2 litros cada minuto, a los 5 m. hay 10 litros (10000cm3) de agua en el

recipiente. Entonces se tiene que:

Es decir, a los 5m de comenzar a vaciar el agua al recipiente, la altura del

líquido era de 29.823. De la relación encontrada entre obtenemos que:

Así el nivel del líquido está subiendo a una rapidez de 1.988 centímetros cada

5 minutos después de que comenzó el llenado.

Conclusiones

La derivada no es más que la pendiente de una recta cualquiera

la cual es tangente a una curva, que es continua en (a, b) y la

razón de cambio es la proporción, donde una variable cambia con

respecto a otra como por ejemplo la velocidad, la cual es una

razón de cambio del espacio con respecto al tiempo.

Los problemas relacionados con el tema de la derivada como

razón de cambio, han permitido entender más sobre el tema, ya

que se toman puntos como el movimiento rectilíneo que se ve en

Física más la aceleración, el tiempo en que se mueve un cuerpo,

entre otro.

Bibliografía

• Edwards, C. H y Ponney, D. E. (1997). Calculo diferencial o integral.

Sexta edición. México: Prentice Hall.

• Espinoza, E. (2008). Análisis matemático I. Cuarta edición. Lima:

Servicios Gráficos. J. J.

• Kong, M. (1995). Calculo diferencial. Tercera edición. Lima: Pontificia

Universidad Católica del Perú.

• Pita, C. (1998). Calculo de una variable. México: Prentice Hall.