La Cuarta Ley de La Molienda
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50 MOLIENDA rocas y minerales ABRIL 2010 H ace ya más de 25 años, como resultado de intensas delibera- ciones entre los especialistas de esa época en el Centro de Investi- gaciones Mineras y Metalúrgicas (CIMM) en Chile, respecto de cómo optimizar la eficiencia operacional de un típico circuito de molienda fina con- vencional, surgió un nuevo concepto que coloquialmente se denominó "La Cuarta Ley de la Molienda/Clasifica- ción". Éste fue publicado por primera vez en noviembre de 1984 en el IV Simposio ARMCO sobre Molienda de Minerales, en Viña del Mar, Chile (1) . Con la valiosa perspectiva de un cuarto de siglo de aplicaciones de esta Cuarta Ley, la presente publica- ción – dividida en dos partes – intenta describir la génesis, los fundamentos teóricos, los beneficios esperados y los detalles de la puesta en práctica del mencionado criterio optimizante, el que, en lo esencial, aporta pautas específicas en cuanto a cómo operar mejor los clasificadores (hidrociclo- nes) en su rol subsidiario a la opera- ción del molino; tópico de recurrente interés y discusión en las más diver- sas operaciones de concentración de minerales alrededor del mundo mine- ro internacional. Foto 1. En esta primera parte de la presen- te publicación, se abordan los funda- mentos teóricos que sustentaron su formulación original y las conclusiones obtenidas durante la siguiente etapa de verificación experimental a escala industrial. En una segunda parte, se abarcarán los detalles y requerimientos operacionales de su correcta implan- tación práctica y los potenciales bene- ficios a obtener frente a las nuevas aplicaciones de este denominado cri- terio de la Cuarta Ley. INTRODUCCIÓN A comienzos de la década de los 80, la División El Teniente de CODELCO Chile encargó a CIMM el desarrollo de un simulador digital, suficientemente detallado y realista, de los procesos Un simple criterio operacional para mejorar la productividad de los tradicionales circuitos de molienda convencional, en circuito cerrado con hidrociclones. La Cuarta Ley de la Molienda/ Clasificación I. Formulación y Verificación Experimental JAIME E. SEPÚLVEDA, PH. D. Moly-Cop Grinding Systems SCAW Metals Group Foto 1. Nave de molienda: molinos e hidrociclones. DR. JAIME E. SEPÚLVEDA Se graduó en 1973 como Ingeniero Civil de Industrias, Mención Mecánica, de la Universidad Católica de Chile. En la Universidad de Utah, obtuvo los títu- los de Magister en Metalurgia en 1977 y Doctor en Metalurgia en 1979. A su regreso a Chile trabajó como Jefe de Proyectos de la División Mineralurgia del Centro de Investigación Minera y Metalúrgica (CIMM), y en 1986 ingresó al staff de Moly-Cop Chile S. A., uno de los primeros productores mundiales de bolas de acero para molienda de minerales, donde ocupa actualmente el cargo de Gerente General y Vicepre- sidente para Latinoamérica. Ha recibido valiosos reconocimientos entre ellos el "Premio Sútulov 2005". Su mayor contribución al procesa- miento de minerales ha sido el desa- rrollo del software Moly-Cop Tools, para el análisis optimizante de circui- tos de molienda.
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Hace ya más de 25 años, comoresultado de intensas delibera-ciones entre los especialistas
de esa época en el Centro de Investi-gaciones Mineras y Metalúrgicas(CIMM) en Chile, respecto de cómooptimizar la eficiencia operacional deun típico circuito de molienda fina con-vencional, surgió un nuevo conceptoque coloquialmente se denominó "La
Cuarta Ley de la Molienda/Clasifica-ción". Éste fue publicado por primeravez en noviembre de 1984 en el IVSimposio ARMCO sobre Molienda deMinerales, en Viña del Mar, Chile(1).
Con la valiosa perspectiva de uncuarto de siglo de aplicaciones deesta Cuarta Ley, la presente publica-ción – dividida en dos partes – intentadescribir la génesis, los fundamentos
teóricos, los beneficios esperados ylos detalles de la puesta en prácticadel mencionado criterio optimizante,el que, en lo esencial, aporta pautasespecíficas en cuanto a cómo operarmejor los clasificadores (hidrociclo-nes) en su rol subsidiario a la opera-ción del molino; tópico de recurrenteinterés y discusión en las más diver-sas operaciones de concentración deminerales alrededor del mundo mine-ro internacional. Foto 1.
En esta primera parte de la presen-te publicación, se abordan los funda-mentos teóricos que sustentaron suformulación original y las conclusionesobtenidas durante la siguiente etapade verificación experimental a escalaindustrial. En una segunda parte, seabarcarán los detalles y requerimientosoperacionales de su correcta implan-tación práctica y los potenciales bene-ficios a obtener frente a las nuevasaplicaciones de este denominado cri-terio de la Cuarta Ley.
INTRODUCCIÓNA comienzos de la década de los 80,la División El Teniente de CODELCOChile encargó a CIMM el desarrollo deun simulador digital, suficientementedetallado y realista, de los procesos
Un simple criterio operacional para mejorar
la productividad de los tradicionales circuitos de molienda
convencional, en circuito cerrado con hidrociclones.
La Cuarta Leyde la Molienda/ClasificaciónI. Formulación y
Verificación ExperimentalJAIME E. SEPÚLVEDA, PH. D.
Moly-Cop Grinding SystemsSCAW Metals Group
Foto 1. Nave de molienda: molinos e hidrociclones.
DR. JAIME E. SEPÚLVEDA
Se graduó en 1973 como IngenieroCivil de Industrias, Mención Mecánica,de la Universidad Católica de Chile. Enla Universidad de Utah, obtuvo los títu-los de Magister en Metalurgia en 1977y Doctor en Metalurgia en 1979. A suregreso a Chile trabajó como Jefe deProyectos de la División Mineralurgiadel Centro de Investigación Minera yMetalúrgica (CIMM), y en 1986 ingresóal staff de Moly-Cop Chile S. A., unode los primeros productores mundialesde bolas de acero para molienda deminerales, donde ocupa actualmenteel cargo de Gerente General y Vicepre-sidente para Latinoamérica.Ha recibido valiosos reconocimientosentre ellos el "Premio Sútulov 2005".Su mayor contribución al procesa-miento de minerales ha sido el desa-rrollo del software Moly-Cop Tools,para el análisis optimizante de circui-tos de molienda.
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de molienda convencional en su con-
centrador Colón, con el principal pro-
pósito de maximizar la capacidad de
tratamiento de cada una de las, a esa
fecha, 12 secciones de molienda/cla-
sificación configuradas bajo el tradi-
cional esquema ‘DIRECTO’ (alimenta-
ción fresca ‘directa’ al molino) repre-
sentado en la Figura 1 siguiente.
Interesaba además explorar algu-
nas alternativas de doble ciclonaje
específicamente la reclasificación del
flujo de descarga (underflow) de los
hidrociclones a fin de reducir el retorno
de partículas finas a los molinos y su
consecuente e innecesaria remolien-
da. Cuando el modelo estuvo formula-
do y el simulador debidamente estruc-
turado, se enfrentó la disyuntiva de
determinar las deseadas condiciones
de operación y diseño requeridas para
la óptima operación de las secciones
de molienda. Se habían identificado
más de diez variables que podían
afectar a la eficiencia del proceso; sin
embargo, desconociendo las comple-
jas interrelaciones entre tan alto núme-
ro de variables, se llegó pronto a la
inesperada conclusión que -a pesar de
disponer de un adecuado simulador
del proceso- el problema planteado
era prácticamente insoluble, dado que
se carecía de algún criterio selectivo
que guiara la búsqueda del deseado
conjunto de condiciones operaciona-
les óptimas. La búsqueda ‘a ciegas’
involucraría miles y miles de simulacio-
nes. Esta fue una primera constatación
de que las llamadas Leyes de la Con-
minución(2-5) – incluida la de F. C. Bond(4)
– no aportaban a solución del proble-
ma planteado, simplemente porque
éstas no abordan el crítico rol global
del agua en el proceso.
EN BÚSQUEDA DE LA EVIDENCIA EMPÍRICASe optó por salir a terreno a preguntar
a los ‘molineros’ sus ideales y creen-
cias en cuanto a las prácticas opera-
cionales de sus circuitos de molien-
da/clasificación para el cumplimiento
de sus respectivas ‘tareas de molien-
da’; definidas simplemente como el
objetivo de convertir la mayor cantidad
de toneladas de mineral de una cierta
fineza de alimentación (F80) aportada
por la etapa previa del proceso (típica-
mente trituración, molienda SAG o
barras) a una determinada fineza de
producto (P80) exigida por la etapa
siguiente (típicamente flotación).
Pronto se concluyó que, una vez
definida la tarea de molienda, existían
tres condiciones principales que podían
limitar al operador en el cumplimiento
de su misión:
- Disponibilidad de agua de proceso,
recurso generalmente limitado y par-
ticularmente escaso en operaciones
de alta montaña.
- Densidad de la pulpa de descarga de
los hidrociclones, la que debe ser
necesariamente mantenida por debajo
de los límites impuestos por la necesi-
dad de evitar la obstrucción de las
boquillas de descarga (ápices); inde-
seable condición operacional referida
como ‘acordonamiento’ (roping).
- Capacidad de la bomba requerida
para la alimentación de pulpa a los
hidrociclones y la consecuente
generación de la carga circulante
del circuito; definida ésta como la
razón entre el flujo másico (ton
secas/hr) de descarga de los hidro-
ciclones y el flujo másico de rebose
de los mismos.
Y con cierta sorpresa, se constató
también que las preferencias expresa-
das por distintos operadores respecto
de estas condiciones específicas eran
muchas veces discrepantes entre sí.
Agregar la mayor cantidad de agua
disponible equivalente a diluir el flujo de
rebose de los hidrociclones (porque es
por este flujo por donde debe abando-
nar la totalidad del agua agregada al
proceso) presentaba el mayor grado de
concordancia, excepto para aquellos
que tenían bombas de velocidad fija
cercanas al límite de su máxima capaci-
dad. Para estos últimos, contrariamen-
te a sus objetivos, incrementar la dosifi-
cación de agua les obligaría a reducir el
tonelaje de alimentación fresca al circui-
to, como resultado del consecuente
incremento en la carga circulante del
sistema, el cual ocasionaría mayores
requerimientos para la ya limitada capa-
cidad de bombeo disponible.
Sin excepciones, todos los opera-
dores encuestados concordaban en
que la recirculación de finos (partículas
de tamaño muy inferior al P80 estable-
cido) es causa de ineficiencia (sobre-
molienda), no sólo en el proceso
mismo de molienda sino también en
las etapas posteriores de la cadena de
procesamiento en que las partículas
excesivamente finas contaminan los
concentrados e incluso pueden afec-
tar negativamente la recuperación de
las especies valiosas. Concordaban en
que los hidrociclones no son clasifica-
dores ideales o perfectos y que se
comportan como si existiera un corto-
circuito (by-pass) de pulpa entre el flujo
de alimentación y el flujo de descarga
(ver Figura 2). Este cortocircuito sería
el que arrastra directamente a la des-
carga (y de retorno al molino) una pro-
porción Bpf de los finos alimentados en
directa proporción al cortocircuito Bpw
de agua que los acompaña. Por lo
tanto, los operadores concordaban
también en que es preciso controlar la
densidad de pulpa (o equivalentemen-
te, el % de sólidos) en el flujo de des-
carga al máximo posible; bajo la lógica
de menor Bpw, menor Bpf. No existía
consenso, sin embargo, si esta condi-
Agua
Alimentación
Fresca
Descarga
Alimentación
Ciclones
Rebose
4
3
2
5
7
6
1
5
Agua
Alimentación
Fresca
Descarga
Alimentación
Ciclones
Rebose
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Figura 1. Representación esquemática de un circuito de molienda/clasificaciónconvencional bajo la configuración ‘DIRECTA’.
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ción operacional era suficientemente
relevante para justificar el incremento
del contenido de sólidos en la descar-
ga de los hidrociclones, arriesgando
así alcanzar la referida condición de
‘acordonamiento’. Algunos manifes-
taban su preferencia de operar con
descargas más diluidas; no obstante,
el mayor cortocircuito de finos retor-
nados. Más específicamente, al
menos un par de operadores indica-
ron la conveniencia de operar los
hidrociclones de manera tal que el
ángulo incluido del cono de descarga
oscile en el rango de 30° a 35°. Cabe
mencionar que, posteriormente, se
han desarrollado variados diseños de
sensores(6) para la medición y control
de dicho ángulo.
En cuanto a la carga circulante
desarrollada por el circuito, existía res-
pecto de ésta una percepción negativa
bastante generalizada. Aquellos circui-
tos donde la carga circulante era rela-
tivamente alta eran considerados
menos eficientes que aquellos donde
ocurría lo contrario. Lo cierto es que
los clasificadores, cualquiera sea su
principio o diseño, fueron incorpora-
dos a los circuitos de molienda hace
muchas décadas por una buena
razón: evitar la salida de partículas
demasiado gruesas hacia la etapa
posterior del proceso. Pero ello trajo
consigo un efecto secundario todavía
más relevante: incrementar el flujo cir-
culante a través del molino para así
mantener el molino limpio de aquellas
partículas que ya hayan alcanzado
suficiente fineza, las que al ser presen-
tadas con mayor frecuencia a los cla-
sificadores tienen también mayores
oportunidades de abandonar el circui-
to como producto final de rebose. Con
alta carga circulante, las bolas en el
molino actúan preferentemente sobre
las partículas más gruesas que todavía
necesitan ser fracturadas, evitándose
al mismo tiempo la sobremolienda de
las partículas más finas, simplemente
porque el contenido porcentual de
estas últimas en el interior del molino
es relativamente más bajo, para una
tarea de molienda dada.
Considerando que el patrón de flujo
de pulpa a través de un molino de
determinadas dimensiones se aproxi-
ma bastante al denominado modelo
de mezclador perfecto (caracterizado
por el hecho de que la composición de
su contenido interno es muy similar a
la composición de su flujo de descar-
ga), operar un molino en circuito abier-
to (es decir, sin clasificadores) implica-
ría aplicar toda la energía de molienda
contenida por la carga de bolas sobre
un conjunto de partículas cuya granu-
lometría sería necesariamente muy
cercana a la especificación del pro-
ducto final molido. Resulta fácil visuali-
zar que ésta sería una condición extre-
madamente ineficiente desde el punto
de vista del aprovechamiento de la
energía aportada al proceso.
Sin duda, la condición operacional
que suscitaba mayor polémica era la
referida a la densidad de pulpa (0% de
sólidos) en el flujo de alimentación a los
hidrociclones. No tan polémica entre los
‘molineros’ de las diversas faenas
encuestadas sino más bien, entre los
‘molineros’ y los ‘cicloneros’, por así
denominar a los fabricantes/proveedo-
res de hidrociclones. En base a sus pro-
pias observaciones empíricas, los ‘moli-
neros’ reconocían que una alta densi-
dad de alimentación a ciclones (típica-
mente en el rango de 60 - 65 % de sóli-
dos (en peso) en el caso de minerales
de densidad 2,7 - 2,8 g/cm3; es decir
35 – 40 % de sólidos (en volumen)),
generalmente asociada a altos niveles
de carga circulante, les permitía mejorar
la capacidad de tratamiento de sus
secciones de molienda; y, por ende,
optimizar la eficiencia energética de sus
procesos. Por otra parte, los ‘ciclone-
ros’ sostenían que, con el propósito de
incrementar la eficiencia de los hidroci-
clones (definiendo eficiencia de clasifi-
cación como la capacidad del hidroci-
clón para discriminar entre partículas
finas y gruesas), estos equipos deben
ser alimentados con pulpas diluidas
(típicamente por debajo del 50 % de
sólidos (en peso) en el caso de minera-
les de densidad 2,7 - 2,8 g/cm3; es
decir, 25 % de sólidos (en volumen)).
Sin desechar la contundente evidencia
empírica se debe entonces reconocer
que la búsqueda de la eficiencia de cla-
sificación y/o la eficiencia energética del
proceso pueden ser rutas de optimiza-
ción inevitablemente antagónicas.
En resumen, la principal conclusión
de la referida encuesta a operadores
de circuitos de molienda fue que no
existía suficiente consenso respecto
de los criterios operacionales que ase-
guraran un óptimo rendimiento econó-
mico de cada instalación en referencia.
Fue posible además constatar en el
terreno que las citadas Leyes de la
Conminución no aportaban a la solu-
ción del problema planteado, simple-
mente porque éstas no abordan el crí-
tico rol del agua en el proceso.
Así nació el concepto de la Cuarta
Ley, como irónicamente se le denomi-
nó, en alusión a que las otras tres así
llamadas Leyes de la Conminución(2-5)
no eran suficientes para determinar
bajo qué condiciones se podría obte-
ner el máximo rendimiento operacional
de un circuito de molienda dado; o
sea, ... faltaba más legislación.
RESOLVIENDO LAS INQUIETUDES DEL OPERADOR:LA CUARTA LEY DE LA MOLIENDA/CLASIFICACIÓNA manera de enunciado, el criterio de
la Cuarta Ley simplemente postula
que:
"Para una óptima eficiencia ener-
gética del proceso de molienda, se
requiere que el contenido de partí-
culas finas en el interior del molino
sea tan bajo como sea posible ...
para una tarea de molienda dada."
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
10 100 1000
Tamaño de Partícula, Pm
% a
la D
escarg
a
ByPass de Pulpa (Bpf)
ByPass de Agua (Bpw)
Eficiencia de Clasificación
Bpf
5
7
6 0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
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10 100 1000
Tamaño de Partícula, Pm
% a
la D
escarg
a
ByPass de Pulpa (Bpf)
ByPass de Agua (Bpw)
Eficiencia de Clasificación
Bpf
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Figura 2. Representación esquemática del cortocircuito de pulpa desde laalimentación a la descarga de un hidrociclón.
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Como se intenta demostrar en los
párrafos siguientes, este objetivo puede
ser siempre alcanzado operando el cir-
cuito al mínimo posible % sólidos en el
rebose (utilizando el máximo de agua
y/o capacidad de bomba disponibles) y
el máximo posible % sólidos en la des-
carga de los hidrociclones (reduciendo
el diámetro de los ápices a su mínima
dimensión, un poco antes de alcanzar la
condición de ‘acordonamiento’). Una
vez impuestas estas dos condiciones
base, el % sólidos en la alimentación a
los ciclones y la carga circulante adop-
tarán valores óptimos consistentes con
el balance de masas del sistema que,
como se demuestra más adelante,
impone la relación (ver Figura 2):
(1+ CCopt)
(fs5)opt = (1)
1/(fs7)min + CCopt/(fs6)max
donde:
fsk = fracción (en peso) de sólidos en
el flujo k, %/100
CC = fracción de carga circulante,
definida como la razón entre el
flujo másico de descarga (Flujo
6) de los hidrociclones y el flujo
másico de rebose (Flujo 7) de
los mismos, %/100.
La derivación formal del criterio de
la Cuarta Ley se apoya en los siguien-
tes tres supuestos base, todos ellos
de amplia aceptación práctica:
1. Relación Energía / Tamaño de Pro-
ducto.
La fineza del producto molido es fun-
ción directa de la energía específica
(kWh/t) aplicada a las partículas; con-
sistente con lo establecido por las
citadas Leyes de la Conminución(2-5).
2. Aleatoriedad del Impacto.
Las bolas que constituyen la carga
del molino impactan (y comprimen)
aleatoriamente a todas las partículas
presentes en el molino, distribuyendo
el total de la energía cinética/poten-
cial por ellas contenida entre las dis-
tintas fracciones granulométricas, en
directa proporción a la concentración
relativa de estas últimas.
3. Proporcionalidad de los ‘Cortocir-
cuitos’ de finos y agua.
El ‘cortocircuito’ de finos (Bpf) a la
descarga de los hidrociclones es
directamente proporcional al
correspondiente ‘cortocircuito’ de
agua (Bpw): (ver Figura 2)
Bpf = λ Bpw (2)
donde la constante de proporciona-
lidad λ normalmente alcanza valo-
res cercanos y menores que 1.
Sobre la base de los supuestos 1 y
2 así enunciados, se desprende nece-
sariamente que, con el propósito de
maximizar la velocidad de molienda de
las partículas más gruesas (que toda-
vía requieren ser fracturadas), éstas
deben ser predominantes en la carga
interior del molino. Igualmente, con el
propósito de evitar la sobremolienda
de las partículas más finas (que ya no
requieren ser fracturadas), su presen-
cia relativa en la carga debe ser tan
baja como sea posible, tal como indi-
ca el criterio de la Cuarta Ley arriba
enunciado ... teniendo siempre en
mente que se debe cumplir con la
tarea de molienda preestablecida. Esto
último es muy importante considerar,
porque sería relativamente fácil mante-
ner el molino limpio de finos si la espe-
cificación de tamaño del producto
molido no obligara a generarlos en la
cantidad necesaria para cumplir con
dicha tarea.
La conexión entre la aceptación
del enunciado criterio de la Cuarta
Ley y sus implicancias respecto de
las condiciones operacionales del cir-
cuito que aseguren su debida
implantación queda ilustrada por la
serie de tres balances de materiales
presentados a continuación para el
caso particular de un circuito de con-
figuración ‘DIRECTA’, como el repre-
sentado en la Figura 1 anterior;
haciendo notar que las mismas con-
clusiones se obtendrían si se tomara
como base cualquier otra configura-
ción de circuito.
1. BALANCE DE TONELAJES SECOS (MSK)
A estado estacionario, con referencia
a la Figura 1, las siguientes relaciones
de balance deben necesariamente
cumplirse:
MS1 + MS6 = MS2
MS2 = MS3
MS3 = MS5 (3)
MS5 = MS6 + MS7
MS6 = CC MS7
donde MSk representa el flujo másico
(expresado en toneladas secas por
hora, t/h) de mineral en el Flujo k y
donde la última ecuación es simple-
mente la definición de carga circulante.
No fue casual que se haya decidido
aislar la carga circulante como una
variable independiente dado que ésta
fuera reconocida por los operadores
como una condición relevante del pro-
ceso que podría llegar a limitar su ren-
dimiento y respecto de la cual se
observó que no existía pleno consen-
so entre los operadores respecto de
su nivel óptimo operacional.
Las ecuaciones 3 constituyen un
sistema lineal de 5 ecuaciones y 5
incógnitas, tomando MS1 y CC como
variables independientes, cuya solu-
ción está dada por:
MS1 = MS1 (dado)
MS2 = (1 + CC) MS1
MS3 = (1 + CC) MS1
MS4 = 0 (sólo agua) (4)
MS5 = (1 + CC) MS1
MS6 = (CC) MS1
MS7 = MS1
2. BALANCE DE PULPAS (MPK)
Nuevamente, con referencia a la Figu-
ra 1 anterior, las siguientes relaciones
de balance deben necesariamente
cumplirse:
MP1 + MP6 = MP2
MP2 = MP3
MP3 + MP4 = MP5
MP5 = MP6 + MP7 (5)
MP1 = MS1 / fs1
MP6 = MS6 / fs6
MP7 = MS7 / fs7
donde MPk representa el flujo másico
(t/h) de pulpa mineral en el Flujo k
(nótese que el Flujo 4 es sólo agua) y
donde las últimas tres ecuaciones son
simplemente la definición de la frac-
ción (porcentaje) de sólidos para los
flujos indicados. De esta manera, se
aisló intencionalmente como variables
independientes a fs6 (fracción de sóli-
dos en la descarga) y fs7 (fracción de
sólidos en el rebose) que - al igual que
la carga circulante - fueran reconoci-
das por los operadores como relevan-
tes para la productividad del proceso.
La variable fs1 no es relevante y estará
siempre determinada por defecto a
partir de la humedad del mineral de ali-
mentación fresca.
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Las ecuaciones 5 constituyen un
sistema lineal de 7 ecuaciones y 7
incógnitas, tomando MS1, CC, fs1, fs6
y fs7 como variables independientes,
cuya solución está dada por:
MP1 = MS1/fs1
MP2 = (1/fs1 + CC/fs6) MS1
MP3 = (1/fs1 + CC/fs6) MS1
MP4 = (1/fs7 - 1/fs1) MS1 (6)
MP5 = (CC/fs6 + 1/fs7) MS1
MP6 = (CC/fs6) MS1
MP7 = (1/fs7) MS1
Combinando adecuadamente las
ecuaciones 4 y 5 se confirma que la
estructura de la ecuación 1 se valida
en el balance de materiales del siste-
ma al obtener:
(1 + CC)
(fs5) = (7)
1/(fs7) + CC/(fs6)
aunque todavía falta por demostrar
que la condición de optimalidad del
circuito se alcanza cuando fs6 toma
valores máximos y fs7 valores mínimos.
La Figura 3 ilustra los rangos típicos
de valores de las distintas condiciones
operacionales bajo consideración,
según lo establecido por la ecuación 7.
Para un determinado nivel de carga cir-
culante constante, una disminución del
% sólidos de rebose (agregando más
agua al circuito) o una disminución del
% de sólidos de descarga (modificando
el número, tamaño o geometría de los
hidrociclones en la batería) se traduciría
en una disminución del % de sólidos de
alimentación a ciclones; condición de
interés para los ‘cicloneros’ aunque en
todo caso, muy sobre el máximo nor-
malmente recomendado por ellos para
este tipo de clasificadores. Más aún,
cabe reconocer que en circuitos reales,
CC, fs6 y fs7 no son variables indepen-
dientes entre sí. De hecho, dos cuales-
quiera de ellas casi determinan el valor
de la tercera. De manera tal que, en la
práctica operacional, tanto la dilución
del rebose como de la descarga de los
hidrociclones implica siempre un
aumento de la carga circulante que
viene a compensar cualquier dilución
posible del flujo de alimentación a los
mismos, según la ecuación 7. En otras
palabras, no es posible diluir significati-
vamente la alimentación a ciclones. No
importa cuanta agua se pueda agregar
o quitar del sistema, el contenido de
sólidos en este flujo tiende a auto-com-
pensarse y se mantiene relativamente
constante. Así, ningún ‘molinero’ debie-
ra sentirse culpable o avergonzado por-
que el % de sólidos en la alimentación a
ciclones oscile siempre en torno a valo-
res relativamente altos, en el rango de
35 – 40 % (en volumen).
Por otra parte, resulta paradójico
constatar que la vasta mayoría de los
sistemas de control automático de
estos procesos tienen como objetivo,
de al menos uno de sus lazos básicos
de control, ... estabilizar una variable
que se estabiliza sola.
Por combinación de las ecuaciones
4 y 6 anteriores es posible además
observar la influencia de las variables
CC, fs6 y fs7 sobre el ‘cortocircuito’ de
agua Bpw, el que queda totalmente
determinado por la expresión:
CC (1/fs6 -1)
Bpw = (8)
(1/fs7 -1) + CC (1/fs6 - 1)
El ‘cortocircuito’ o ‘by-pass’ de
agua (Bpw), considerado por muchos
como indicativo de la ‘ineficiencia de
clasificación’, podría entonces ser
reducido – para complacencia de los
‘cicloneros’ – diluyendo el flujo de
rebose y espesando el flujo de des-
carga de los hidrociclones, tal como
se ilustra en la Figura 4 ... siempre y
cuando la carga circulante permane-
ciera constante. Sin embargo, como
ya se mencionara, la respuesta natu-
ral de los sistemas reales es que
aumente la carga circulante a medida
que se diluye el rebose. En conse-
cuencia, Bpw – al igual que fs5 - resul-
ta auto-compensado y se mantiene
en un rango de valores relativamente
constantes, como se sugiere también
en la Figura 4. Nuevamente, ningún
‘molinero’ debiera sentirse culpable o
avergonzado porque el ‘cortocircuito’
de sus ciclones oscile siempre en
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50
55
60
65
70
75
80
30 32 34 36 38 40 42 44 46 48
% Sólidos de Rebose
% S
óli
do
s d
e A
lim
en
tac
ión % Sólidos
Descarga
80
7672807672
CC
5
2 fs5 =(1 + CC)
1/fs7 + CC/fs6
Respuesta de un Sistema Real
Respuesta de un Sistema Real
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65
70
75
80
30 32 34 36 38 40 42 44 46 48
% Sólidos de Rebose
% S
óli
do
s d
e A
lim
en
tac
ión % Sólidos
Descarga
80
7672807672
CC
5
2 fs5 =(1 + CC)
1/fs7 + CC/fs6
Respuesta de un Sistema Real
Respuesta de un Sistema Real
Figura 3. Relación de balance entre las diluciones de alimentación, rebosey descarga de un hidrociclón y la carga circulante desarrollada por el circuito,
según la ecuación 7.
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
30 32 34 36 38 40 42 44 46 48
% Sólidos de Rebose
By
Pa
ss
de
Ag
ua
, °/
1 Bpw =CC (1/fs6 1)
(1/fs7 1) + CC (1/fs6 1)
% Sólidos
Descarga
727680
727680
CC
5
2
Respuesta de un Sistema RealRespuesta de un Sistema Real
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
30 32 34 36 38 40 42 44 46 48
% Sólidos de Rebose
By
Pa
ss
de
Ag
ua
, °/
1 Bpw =CC (1/fs6 1)
(1/fs7 1) + CC (1/fs6 1)Bpw =
CC (1/fs6 1)
(1/fs7 1) + CC (1/fs6 1)Bpw =
CC (1/fs6 1)
(1/fs7 1) + CC (1/fs6 1)
% Sólidos
Descarga
727680
727680
CC
5
2
Respuesta de un Sistema RealRespuesta de un Sistema Real
Figura 4. Relación de balance entre el ‘cortocircuito’ de agua y las diluciones de rebose y descarga de un hidrociclón y la carga circulante desarrollada por el
circuito, según la ecuación 8.
57
rocas y
min
era
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2010
torno a valores relativamente altos, en
el rango de 35 – 40 % ... es simple-
mente lo que determina el balance de
materiales del sistema.
3. BALANCE DE FINOS (mK)Los primeros dos grupos de ecuacio-
nes de balance arriba presentados
permitieron descartar las condiciones
de dilución del flujo de alimentación a
ciclones y el ‘cortocircuito’ de agua a
la descarga de los mismos como con-
diciones relevantes para la optimalidad
global del circuito.
Se requería entonces encontrar otra
condición operacional que pudiera
relacionarse directamente con un
mejor rendimiento del circuito de
molienda/clasificación. En este con-
texto, el criterio de optimalidad que dio
origen a la Cuarta Ley hace directa
referencia al contenido de finos en la
carga del molino, al postular:
definiendo, para tales efectos, el con-
tenido de finos como el porcentaje (en
peso) de partículas menores que la
abertura de la última malla de la serie
de tamices utilizados (típicamente, el
% - 325# o el % - 400#). Surgió enton-
ces la inquietud si sería también posi-
ble establecer ecuaciones de balance
para los ‘finos’ que permitieran relacio-
nar la tarea global de molienda (carac-
terizada para estos efectos por la
dupla de valores conocidos F1 = %
Finos en la Alimentación Fresca y F7 =
% de Finos en el Rebose) con el
correspondiente contenido de finos en
el interior del molino y las demás con-
diciones operacionales que lo determi-
nan (CC, fs6 y fs7).
Más aún, tomando en considera-
ción que el flujo de pulpa a través de
un molino cualquiera es altamente
turbulento - aproximándose clara-
mente más a un régimen de ‘mezcla-
dor perfecto’ que a uno de ‘flujo pis-
tón’ – se postuló que la única forma
de mantener su contenido interior
libre de finos es asegurando que su
flujo de descarga (Flujo 3 en Figura 1)
contenga también un mínimo de par-
tículas finas ... teniendo siempre pre-
sente que se debe cumplir con la
tarea de molienda preestablecida.
Así se logró establecer las siguien-
tes relaciones de balance, a estado
estacionario, para las partículas más
finas presentes en un circuito como el
representado en la Figura 1:
m1 + m6 = m2
m3 = m5
m5 = m6 + m7 (9)
m6 = Bpf m5
donde mk representa el flujo másico
(t/h) de finos en el Flujo k.
A las ecuaciones 9 se agrega la
ecuación 2 del postulado 3 arriba
enunciado:
Bpf = λ Bpw (2)
para conformar así un sistema lineal de
5 ecuaciones y 5 incógnitas (recono-
ciendo que m1 y m7 son conocidos y
definidos por la tarea de molienda)
cuya solución está dada por:
m1 = m1 (dado)
m2 = m1 + [ λBpw/(1-λBpw)] m7
m3 = [ 1/(1-λBpw)] m7
m4 = 0 (sólo agua) (10)
m5 = [ 1/(1-λBpw)] m7
m6 = [λBpw/(1-λBpw)] m7
m7 = m7 (dado)
En particular, la tercera de estas
expresiones - junto con la ecuación 8
que define Bpw y la tercera de las
ecuaciones 4 que define MS3 - permi-
tieron finalmente obtener la deseada
relación para la fracción de finos en la
descarga del molino (F3):
Un análisis de sensibilidad deta-
llado de esta última ecuación –con el
apoyo gráfico de la Figura 5– vino a
demostrar que el criterio básico de la
Cuarta Ley en cuanto a que el conte-
nido de finos en el flujo de descarga
del molino debe ser tan bajo como
sea posible se satisface plenamente
cuando el circuito es operado al míni-
mo posible % de sólidos en el rebose
(utilizando el máximo de agua y/o
capacidad de bomba disponibles) y
el máximo posible de % sólidos en la
descarga de los hidrociclones (redu-
ciendo el diámetro de los ápices a su
mínima dimensión, siempre evitando
el riesgo de ‘acordonamiento’). Una
vez impuestas estas dos condiciones
base, el % de sólidos en la alimenta-
ción a los ciclones y la carga circu-
lante adoptarán valores óptimos con-
sistentes con el balance de masas
del sistema, según lo establecido por
la ecuación 1 anterior.
En efecto, en el caso hipotético
ilustrado en la Figura 5, sería posible
reducir a la mitad (de 20 % a 10 %)
el contenido de finos en la descarga
del molino incrementando la dosifi-
cación total de agua al circuito (para
reducir el % sólidos de rebose de 46
% a 32 %) y reduciendo el número
de ciclones en la batería o cerrando
adecuadamente los ápices (para
incrementar el % de sólidos de des-
carga de 72 % a 80 %). La carga cir-
culante del sistema naturalmente
aumentaría como consecuencia del
incremento en el flujo de agua sumi-
nistrado al circuito, aportando signifi-
cativamente al objetivo de reducción
del contenido de finos en la descar-
ga del molino. El mayor grado de
cumplimiento de tal objetivo – según
la Cuarta Ley – sería beneficioso en
términos de productividad del circui-
to para una determinada tarea de
molienda. Como se discute en deta-
lle en la segunda parte de esta publi-
cación, la puesta en práctica de
estas mejoras estará siempre supe-
ditada a la capacidad de la bomba -
que actúa como un verdadero ‘cora-
zón’ del circuito - para manejar la
mayor carga circulante desarrollada,
Foto 2.
El haber descubierto la forma de
ligar el cumplimiento del criterio opti-
mizante a las condiciones operacio-
nales que lo determinan – a través de
los distintos balances de materiales
presentados; particularmente el últi-
mo grupo – fue ciertamente un gran
breakthrough o paso adelante en la
búsqueda de condiciones óptimas
para la operación de un circuito de
molienda/clasificación cualquiera.
VERIFICACIÓN EXPERIMENTALIntuitivamente, los postulados que
dieron origen al criterio de la Cuarta
Ley parecían entonces correctos y
... con el propósito de evitar la
sobremolienda de las partículas más
finas, su presencia relativa en la carga
debe ser tan baja como sea posible...
F7 [(1/fs7 - 1) + CC (1/fs6 - 1)]
F3 = m3 / MS3 = (11)
(1+CC) [(1/fs7 - 1) + (1 - λ)CC (1/fs6 - 1)]
58
MOLIENDA
rocas y
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2010
ahora, más de 25 años después,
este autor se declara firmemente
convencido de que así lo son. Hoy en
día, nadie podría argumentar con
base que en los sistemas de molien-
da/clasificación no exista una directa
relación entre la energía específica
(kWh/t) suministrada y la tarea de
molienda, que el impacto (contacto)
de las bolas entre sí no sea esencial-
mente aleatorio y que el cortocircuito
de finos no sea proporcional al corto-
circuito de agua a la descarga de los
ciclones. No son supuestos realmen-
te restrictivos, a la luz del entendi-
miento que hoy existe respecto de
estos sistemas, pero sí son supues-
tos suficientes para sustentar la vali-
dez de la postulada Cuarta Ley.
Resulta lógico entonces concluir que
"el que poco asume, poco se aleja de
la verdad y por tanto, poco tiene que
demostrar". No obstante, la tentación
de verificar experimentalmente la
aplicabilidad de la postulada Cuarta
Ley fue del todo irresistible.
Durante 1987, tanto Cía. Minera
Carolina de Michilla como CODELCO,
División El Teniente, ambas empresas
Chilenas, aceptaron desarrollar exten-
sos programas experimentales a esca-
la industrial tendientes a confirmar la
aplicabilidad de la Cuarta Ley(7,8).
No resultó fácil recopilar todos los
antecedentes experimentales reque-
ridos en una base comparativa, libre
de las diversas distorsiones opera-
cionales enfrentadas durante cada
campaña de muestreo; particular-
mente en cuanto a asegurar que
todas las condiciones ensayadas
entregaban una misma tarea de
molienda preestablecida. Para supe-
rar este inconveniente, se optó por
recurrir a la ecuación de Bond(4),
tomando como indicador represen-
tativo del rendimiento operacional
Foto 2: Circuitos de molienda-clasificación; válvulas automáticas en distribuidores
0.10
0.12
0.14
0.16
0.18
0.20
0.22
0.24
0.26
0.28
30 32 34 36 38 40 42 44 46 48
% Sólidos de Rebose
% F
ino
se
n D
es
c.
Mo
lin
oF3 =
(1/fs7 1) + CC (1/fs6 1)
(1/fs7 1) + (1 O)CC (1/fs6 1)
F7
(1 + CC)
% Sólidos
Descarga
72
76
80
72
76
80
CC
2
5
Respuesta de un Sistema Real
Respuesta de un Sistema Real
0.10
0.12
0.14
0.16
0.18
0.20
0.22
0.24
0.26
0.28
30 32 34 36 38 40 42 44 46 48
% Sólidos de Rebose
% F
ino
se
n D
es
c.
Mo
lin
oF3 =
(1/fs7 1) + CC (1/fs6 1)
(1/fs7 1) + (1 O)CC (1/fs6 1)
F7
(1 + CC)F3 =
(1/fs7 1) + CC (1/fs6 1)
(1/fs7 1) + (1 O)CC (1/fs6 1)
F7
(1 + CC)F3 =
(1/fs7 1) + CC (1/fs6 1)
(1/fs7 1) + (1 O)CC (1/fs6 1)
F7
(1 + CC)
% Sólidos
Descarga
72
76
80
72
76
80
CC
2
5
Respuesta de un Sistema Real
Respuesta de un Sistema Real
Figura 5. Relación de balance entre el contenido de ‘finos’ en el flujo de descargadel molino y las diluciones de rebose y descarga de un hidrociclón y la carga
circulante desarrollada por el circuito, según la ecuación 11.
60
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del circuito su Índice de TrabajoOperacional (Wio, kWh/t), definidocomo:
Wio = (E/10)/(1/P800.5 –1/F80
0.5) (12)
donde E representa el consumo espe-cífico de energía suministrada al circui-to, expresado normalmente en kWh/tmolida. Sobre esta base fue posiblehomologar el conjunto de resultadosobtenidos, bajo el supuesto de que elWio es relativamente invariante frente aleves variaciones en la tarea de molien-da definida por la dupla de valores(F80, P80).
Primeramente, la Figura 6 presentalos resultados obtenidos en Carolinade Michilla(7) en Chile donde los ensa-yos se llevaron a cabo en un molino de10 ft φ x 11.5 ft con motor de 520 kWque operaba en circuito cerrado con 1ciclón de 20 in φ, bajo la configuración‘DIRECTA’, a una tasa de tratamientonominal de 30 t/h. En ellos se observóuna clara tendencia entre el contenidode finos en el molino y el Índice de Tra-bajo Operacional del circuito, revelan-do un potencial de optimización delorden de un 26 % de reducción en elWio como consecuencia de una reduc-ción del 30 % al 15 % - 325# en el flujode descarga del molino.
Complementariamente, la Figura 7confirma que incrementos en el %sólidos de descarga de los ciclones,sumado a incrementos en la cargacirculante, se traducen en un menorcontenido de finos en la descarga delmolino. Como cabe esperar, el incre-mento de carga circulante estuvoasociado a una mayor dilución delrebose. De hecho, los valores haciael extremo derecho del gráfico(menores % - 325# en descarga moli-no) corresponden a los muestreos rea-lizados con mayor adición de agua alcircuito, tal como postula el criteriode la Cuarta Ley.
Análogamente, la Figura 8 presentaresultados experimentales correspon-dientes a los ensayos realizados para-lelamente en CODELCO-Chile, Divi-sión El Teniente(8), específicamente enla Sección 2 de su ConcentradoraColón, consistente en un molino de14.5 ft φ x 24 ft que operaba en circui-to cerrado con 5 ciclones de 20 in φ ybomba de velocidad variable, bajo laconfiguración ‘DIRECTA’, a una tasade tratamiento nominal de 160 t/h. Los
antecedentes recopilados ratifican lasmismas observaciones desprendidasde la Figura 6 anterior; es decir, que esposible reducir significativamente elÍndice de Trabajo Operacional alimplantar las condiciones sugeridas
por el criterio de la Cuarta Ley tendien-tes a reducir el contenido de finos en ladescarga del molino.
Igualmente, la Figura 9 ratificatambién que un alto flujo circulantepermite mantener el contenido de
8
10
12
14
16
18
20
6 10 14 18 22 26 30 34 38
% 325 # en Descarga Molino
Ind
ice
de
Tra
ba
jo O
pe
rac
ion
al,
kW
h/t
on
Baja (<300%)
Media
Alta (>400%)
Carga Circulante
8
10
12
14
16
18
20
6 10 14 18 22 26 30 34 38
% 325 # en Descarga Molino
Ind
ice
de
Tra
ba
jo O
pe
rac
ion
al,
kW
h/t
on
Baja (<300%)
Media
Alta (>400%)
Carga Circulante
10
14
18
22
26
30
34
38
66 70 74 78 82 86
% Sólidos en la Descarga
%
32
5 #
en
De
sc
arg
a M
oli
no
Baja (<300%)
Media
Alta (>400%)
Carga Circulante
10
14
18
22
26
30
34
38
66 70 74 78 82 86
% Sólidos en la Descarga
%
32
5 #
en
De
sc
arg
a M
oli
no
Baja (<300%)
Media
Alta (>400%)
Carga Circulante
14
16
18
20
22
10 14 18 22 26 30 34
% 325 # en la Descarga Molino
Ind
ice
de
Tra
ba
jo O
pe
rac
ion
al,
kW
h/t
on
Figura 6. Efecto del contenido de finos en la descarga del molino sobre el Índicede Trabajo Operacional, sobre la base de muestreos realizados en Minera
Carolina de Michilla, Chile.
Figura 7. Efecto del % de sólidos en la descarga de los hidrociclones sobre elcontenido de finos en la descarga del molino, sobre la base de muestreos
realizados en Minera Carolina de Michilla, Chile.
Figura 8. Efecto del contenido de finos en la descarga del molino sobre el Índice de Trabajo Operacional, sobre la base de muestreos realizados en
CODELCO-Chile, División El Teniente.
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finos en la descarga del molino en elrango de valores más bajo que seaposible. Este mayor flujo circulantees necesaria consecuencia de unamayor dilución del rebose de loshidrociclones.
Un interesante corolario que sedesprende de los antecedentesempíricos aquí presentados es que–contrario a las creencias populares-no necesariamente una mayor cargacirculante es indicativa de un mineralmás duro y difícil de moler. En estecaso, las mayores cargas circulantesy demás condiciones operacionalesimpuestas permitieron reducir losfinos en la descarga del molino y deesta manera reducir también el Índi-ce de Trabajo Operacional. En otraspalabras, al imponer las condicionesoperacionales sugeridas por el crite-rio de la Cuarta Ley es posible redu-cir el Wio, haciéndole creer al molinoque el mineral fuera más blando;contrario a lo que se observa cuandolos operadores toleran un mayorcontenido de finos en el interior delmolino. Dependiendo de la capaci-dad de bombeo disponible, los ope-radores podrán optar por tomar ven-taja del menor Wio observado paraalternativamente moler más tonela-das para una tarea de moliendadada o incrementar la fineza del pro-ducto final para una misma meta detonelaje procesado.
Se ha contra-argumentado queuna excesiva carencia de finos en lacarga del molino podría llegar aafectar la reología de la pulpa y, porende, impactar negativamente en la
capacidad intrínseca del molino.Afortunadamente, la ineficiencianatural de los hidrociclones aseguraque un contenido suficiente de finos– de al menos 10 % (en peso) –estará siempre presente en el inte-rior del molino por lo que el objetivoteórico de eliminar todos los finos noes nunca alcanzable en la prácticaoperacional.
COMENTARIOS FINALES
En esta primera de dos partes de lapresente publicación se reseñan losfundamentos básicos que sustentan
la formulación de la denominadaCuarta Ley de la Molienda/Clasifica-ción; criterio operacional que, en loesencial, aporta pautas específicasen cuanto a cómo operar mejor losclasificadores (hidrociclones) en supapel subsidiario a la operación delmolino y que específicamente pos-tula que ‘el contenido de finos en elflujo de descarga del molino debeser tan bajo como sea posible’.Para ello el circuito debe ser opera-do al mínimo posible % de sólidosen el rebose (utilizando el máximode agua y/o capacidad de bombadisponibles) y el máximo posible %de sólidos en la descarga de loshidrociclones (reduciendo el diáme-tro de los ápices a su mínimadimensión, evitando el riesgo de‘acordonamiento’).
Se han presentado además los pri-meros antecedentes empíricos recolec-tados a nivel industrial que permitieron irconstruyendo confianza respecto a lavalidez de las enseñanzas que necesa-riamente se desprenden del postuladocriterio de la Cuarta Ley.
En una segunda parte a ser pronta-mente publicada por este mismomedio, se analizará en detalle losrequerimientos específicos y lospotenciales beneficios a obtener comoresultado de la correcta aplicación delreferido criterio de la Cuarta Ley.
10
14
18
22
26
30
34
0 200 400 600 800 1000
% Carga Circulante
%
32
5 #
en
De
sc
arg
a M
oli
no
Alto
Medio
Bajo
% Sólidos Rebalse
10
14
18
22
26
30
34
0 200 400 600 800 1000
% Carga Circulante
%
32
5 #
en
De
sc
arg
a M
oli
no
Alto
Medio
Bajo
% Sólidos Rebalse
Figura 9. Efecto del tonelaje circulante a través del molino sobre el contenido de finos en la descarga del molino, sobre la base de muestreos realizados en
CODELCO, División El Teniente.
REFERENCIAS
1. Sepúlveda, J. E., "Una Cuarta Ley para la Molienda/Clasificación", IV Simposio ARMCO sobre Molienda, Viña del Mar, Chile, Noviem-bre, 1984.
2. Von Rittinger, P. R., "Leherbuch der Aufbereitungskunde", Berlín,1867.
3. Kick, F., "Das Gesetz der Proportionalen Widerstande und SeineAnwendung", A. Felix, Leipzig, 1885.
4. Bond, F. C., "The Third Theory of Comminution", AIME Trans., Vol.193, p. 484, 1952. También en Mining Engineering, Mayo, 1952.
5. Gutiérrez, L. y Sepúlveda, J.E., Dimensionamiento y Optimizaciónde Plantas Concentradoras Mediante Técnicas de ModelaciónMatemática, Publicación del Centro de Investigación Minera yMetalúrgica (CIMM), Chile, 1986.
6. Bouso, J. L. "Control Automático de la Clasificación en los Circuitosde Molienda", Moly-Cop 2005: X Simposio sobre Procesamiento deMinerales, Termas de Chillán, Chile, Noviembre, 2005.
7. Sepúlveda, J. E., Informe CIP-8601, ARMCO Chile S. A., 1987.
8. Sepúlveda, J. E., Informe CIP-8606, ARMCO Chile S. A., 1987.
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LA CUARTA LEY DE LA MOLIENDA/CLASIFICACIÓNA manera de enunciado, el criterio de
la Cuarta Ley simplemente postula
que(1,2):
Tal como se discute en la referida
primera parte de la presente publica-
ción(2), este objetivo puede ser siem-
pre alcanzado operando el circuito al
mínimo posible % de sólidos en el
rebose (utilizando el máximo de agua
y/o capacidad de bomba disponibles)
y el máximo posible % de sólidos en
la descarga de los hidrociclones
(reduciendo el diámetro de los ápices
a su mínima dimensión, un poco
antes de alcanzar la condición de
‘acordonamiento’). Una vez impues-
tas estas dos condiciones base, el %
de Sólidos en la alimentación a los
ciclones y la carga circulante adopta-
rán valores óptimos consistentes con
el balance de masas del sistema que
impone la relación:
(1 + CCopt)
(fs5)opt = (1)
1/(fs7)min + CCopt/(fs6)máx
donde:
fsk = fracción (en peso) de sólidos en
el flujo k, %/100
CC = fracción de carga circulante,
definida como la razón entre el
flujo másico de descarga (Flujo
6) de los hidrociclones y el flujo
másico de rebose (Flujo 7) de
los mismos, %/100.
OPTIMIZANDO EL PROCESOUna vez superado el desafío de
demostrar la validez teórica y práctica
del criterio de la Cuarta Ley(2), a partir
de un mínimo de supuestos de amplia
aceptación práctica y sin necesidad de
recurrir a complejas formulaciones
matemáticas, fue reconfortante cons-
tatar que los modelos más modernos y
detallados para procesos de molien-
da/clasificación disponibles en la litera-
tura(3-5) - que fueran desarrollados con
bastante anterioridad al criterio de la
Cuarta Ley - y que han dado origen a
diversos simuladores suficientemente
realistas de estos procesos, son total-
mente consistentes con los supuestos,
conclusiones y recomendaciones que
surgen de la correcta aplicación del cri-
terio optimizante de la Cuarta Ley.
En términos prácticos, el verdadero
valor del conocimiento teórico queda
demostrado por su potencial para
guiar a los responsables del proceso
en la adopción de acciones concretas
que apunten a mejorar sus niveles de
rendimiento operacional. En otras
palabras, el marco teórico establecido
para el análisis de un problema parti-
cular cualquiera debe aportar respues-
tas a la pregunta:
- Y ahora ....¿Qué se puede hacer
distinto para mejorar?
Definitivamente, el rol principal del
ingeniero de procesos de una planta
concentradora no es - como lamenta-
blemente hoy muchas veces se obser-
va - preparar decenas y decenas de
informes rutinarios que rara vez alguien
pueda leer con algún grado de deten-
ción. Muy por el contrario, el rol del
ingeniero de procesos es fundamen-
talmente ‘digerir’ la información opera-
cional disponible y complementar sus
bases de datos, según juzgue necesa-
rio, para luego concentrarse en idear y
preseleccionar alternativas de optimi-
zación de su proceso.
En 1994, acogiendo la invitación de
Samarco Mineraçao de Brasil, este
autor preparó un listado de recomen-
daciones específicas que correcta-
mente adoptadas debieran conducir a
alcanzar el objetivo permanente de
optimizar la productividad de los circui-
tos de molienda fina convencional.
Tales recomendaciones abarcan
desde lo más obvio, como el ajuste del
nivel de carga en los molinos, hasta lo
más complejo, como es la implanta-
ción de avanzados sistemas de control
operacional experto. Con un propósito
netamente didáctico, este listado reci-
bió el nombre de "Diez ‘Mandamien-
tos’ para Mejorar la Productividad de
sus Molinos"(6). En tal contexto, la
Cuarta Ley aportó específicamente
tres de tales ‘Mandamientos’:
Mandamiento # 6.
Maximizar el contenido de sólidos
en la descarga de los ciclones
La postulada Cuarta Ley indica la
conveniencia de mantener la densidad
de la pulpa de descarga de la batería
de hidrociclones lo más alta posible,
La Cuarta Leyde la Molienda/ClasificaciónII. Implicaciones Prácticas
de su Correcta AplicaciónJAIME E. SEPÚLVEDA, PH. D.
Moly-Cop Grinding SystemsSCAW Metals Group
"Para una óptima eficiencia ener-
gética del proceso de molienda, se
requiere que el contenido de partí-
culas finas en el interior del molino
sea tan bajo como sea posible ...
para una tarea de molienda dada."
Esta segunda parte abarca los requerimientos específicos y los potenciales beneficios a obtener como resultado de lacorrecta aplicación del mencionado criterio de la Cuarta Ley.
65
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sin llegar a alcanzar la indeseable con-
dición de ‘acordonamiento’, momento
en que la descarga se obstruye y los
ciclones comienzan a desviar la totali-
dad de la alimentación al flujo de rebo-
se, Foto 1. En cada aplicación particu-
lar, los operadores deben determinar
por la vía empírica el límite máximo de
operación segura, el que normalmente
cae en el rango de 56 % - 60 % de
sólidos (en volumen) para los ciclones
verticales más tradicionales y hasta 65 %
- 67 % de sólidos (en volumen) para
los mismos ciclones pero inclinados
(casi horizontales) o los denominados
‘de fondo plano’. Precisamente, la
principal ventaja de estas dos últimas
variedades de instalación o diseño de
clasificadores es que permiten operar
a mayores densidades de descarga
que con ciclones verticales y lograr así
un mayor grado de cumplimiento de lo
indicado por la Cuarta Ley.
Con el apoyo del simulador Ball-
Sim_Direct incorporado al paquete de
software Moly-Cop Tools(7), la Tabla 1
presenta los resultados de una serie de
simulaciones del efecto esperado de
incrementar la densidad de la descarga
de los hidrociclones en el rango de
72% a 80 % de sólidos (en peso), lo
que se traduciría en un incremento de
3.3 % en la capacidad de tratamiento
del circuito, para la misma ‘tarea de
molienda’ (P80 = 180 µm, constante).
Tal vez de mayor relevancia, en caso de
existir una capacidad limitada de bom-
beo, sería la consecuente reducción en
la carga circulante lo que permitiría
aumentar la dosificación de agua al cir-
cuito, en consonancia con el Manda-
miento # 7 siguiente.
Mandamiento # 7.
Maximizar la dosificación de agua al
cajón de la bomba
De mayor impacto efectivo que el
Mandamiento #6 anterior, la postulada
Cuarta Ley indica también la conve-
niencia de diluir al máximo posible el
flujo de rebose de los hidrociclones;
obviamente sujeto a la disponibilidad
de agua existente en cada aplicación
particular.
La Tabla 2 presenta los resultados
de una serie de simulaciones del efec-
to esperado de incrementar la dosifi-
cación de agua al circuito, diluyendo
en consecuencia el flujo de rebose de
los hidrociclones en el rango de 42 %
a 34 % de sólidos (en peso), lo que se
traduciría en un incremento de casi un
8 % en la capacidad de tratamiento
del circuito, para la misma ‘tarea de
molienda’, Foto 2.
Resulta interesante observar que el
potencial de optimización implícito en el
ejemplo de la Tabla 2 anterior se lograría
Foto 1. Descarga de hidrociclones en ángulo correcto, transición cordón-paraguas.
Simulación Simulación Simulación Simulación Simulación
0 1 2 3 4
TRATAMIENTO
ton/hr 458.4 463.6 467.9 471.2 473.7
% CC 532.9 413.8 339.9 289.5 252.9
P80, micras 180.0 180.0 180.0 180.0 180.0
ENERGIA
kW (neto) 3,885 3,885 3,885 3,885 3,885
kWh/ton (bruto) 8.48 8.38 8.30 8.24 8.20
Wio, kWh/ton 14.62 14.45 14.32 14.22 14.14
CLASIFICADORES
% Sólidos Alimentación 64.7 64.4 64.2 63.9 63.7
% Sólidos Rebose 42.0 42.0 42.0 42.0 42.0
% Sólidos Descarga 72.0 74.0 76.0 78.0 80.0
Alim. Ciclones, m3/hr 2,619 2,165 1,883 1,691 1,551
Presión, psi 10.0 10.0 10.0 10.0 10.0
ByPass Finos, % 0.570 0.487 0.415 0.353 0.298
ByPass Agua, % 0.600 0.513 0.437 0.372 0.314
% Finos Desc. Molino 17.0 17.2 17.4 17.5 17.7
Tabla 1. Efecto del % de Sólidos de Descarga sobre la Capacidad y otras respuestas del circuito, en base a simulacionesdesarrolladas con BallSim_Direct de Moly-Cop Tools.
66
MOLIENDA
rocas y
min
era
les
AB
RIL
2010
con sólo leves variaciones del % sóli-
dos de alimentación a ciclones (fs5) y el
‘cortocircuito’ de finos a la descarga
(Bpf), como se indica en la Figura 1,
debido al efecto compensatorio del
incremento en la carga circulante origi-
nada por la mayor dosificación de
agua al cajón de la bomba. Ello viene a
reiterar que fs5 y Bpf - tradicionalmente
ligadas a la mal llamada ‘eficiencia’ de
clasificación - no son determinantes
del rendimiento global del circuito(2). No
tiene sentido práctico la búsqueda de
la máxima eficiencia de clasificación
per se. Según la Cuarta Ley, los hidro-
ciclones cumplen un rol muy importan-
te, pero sólo ‘subsidiario’ a lo que ocu-
rra en el interior del molino.
Mandamiento # 8.
Incrementar la capacidad
de la bomba
Estrechamente ligado al Mandamien-
to #7, este Mandamiento #8 anticipa la
posible necesidad de reemplazar la
bomba existente por una de mayor
capacidad, idealmente de velocidad
variable, producto del esperado incre-
mento en carga circulante a medida que
aumenta la dosificación de agua al circui-
to. En algunos casos, ha sido suficiente
un cambio de poleas del sistema de
transmisión del motor a la bomba para
acomodar los mayores flujos circulantes.
En el ejemplo de la Tabla 2 ante-
rior, la carga circulante subiría de
290% a 430%, lo que implicaría unFoto 2. Descarga de molino y caja de bomba.
Simulación Simulación Simulación Simulación Simulación
3 5 6 7 8
TRATAMIENTO
ton/hr 471.2 481.2 490.7 499.8 508.5
% CC 289.5 320.6 354.3 391.1 431.5
P80, micras 180.0 180.0 180.0 180.0 180.0
ENERGIA
kW (neto) 3,885 3,885 3,885 3,885 3,885
kWh/ton (bruto) 8.24 8.07 7.92 7.77 7.64
Wio, kWh/ton 14.22 13.92 13.65 13.40 13.17
CLASIFICADORES
% Sólidos Alimentación 63.9 63.6 63.3 63.0 62.7
% Sólidos Rebose 42.0 40.0 38.0 36.0 34.0
% Sólidos Descarga 78.0 78.0 78.0 78.0 78.0
Alim. Ciclones, m3/hr 1,691 1,880 2,087 2,316 2,571
Presión, psi 10.0 10.0 10.0 10.0 10.0
ByPass Finos, % 0.353 0.357 0.361 0.364 0.366
ByPass Agua, % 0.372 0.376 0.380 0.383 0.385
% Finos Desc. Molino 17.5 16.3 15.1 14.0 12.9
Tabla 2. Efecto del % de Sólidos de Rebose sobre la Capacidad y otras respuestas del circuito, en base a simulacionesdesarrolladas con BallSim_Direct de Moly-Cop Tools.
54.0
56.0
58.0
60.0
62.0
64.0
66.0
200 250 300 350 400 450 500 550 600 650
% Carga Circulante
% S
ólid
os A
lim
en
tació
n
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
1.20
'Co
rto
cir
cu
ito
' d
e F
ino
s
78%82%
74%
78%
82%
74%
54.0
56.0
58.0
60.0
62.0
64.0
66.0
200 250 300 350 400 450 500 550 600 650
% Carga Circulante
% S
ólid
os A
lim
en
tació
n
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
1.20
'Co
rto
cir
cu
ito
' d
e F
ino
s
78%82%
74%
78%
82%
74%
54.0
56.0
58.0
60.0
62.0
64.0
66.0
200 250 300 350 400 450 500 550 600 650
% Carga Circulante
% S
ólid
os A
lim
en
tació
n
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
1.20
'Co
rto
cir
cu
ito
' d
e F
ino
s
78%82%
74%
78%
82%
74%
Figura 1. Efecto del incremento de la carga circulante asociado a la
dilución del flujo de rebose de los ciclones de 42% a 33%
Figura 1. Efecto del incremento de la carga circulante asociado a la dilución del flujode rebose de los ciclones de 42% a 33% sólidos, bajo distintos niveles de densidad
en la descarga de los mismos, según los valores indicados sobre el gráfico.
67
rocas y
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aumento del flujo de alimentación aciclones de 1.690 m3/h a 2.570 m3/h.Es probable que una misma bomba,aunque sea de velocidad variable, nosea capaz de absorber tal variaciónde flujo.
Cabe resaltar que las conclusio-nes y recomendaciones que surgende la correcta aplicación del criteriooptimizante de la Cuarta Ley sonplenamente consistentes con loindicado por los diversos modelosmatemáticos y simuladores disponi-bles en la literatura(3-5,7); los que fue-ran desarrollados con bastanteanterioridad a la postulación de estecriterio de la Cuarta Ley(1). Sobre labase de las diversas simulacionesaquí presentadas, la Figura 2 confir-ma que para lograr una óptimareducción efectiva en el Índice deTrabajo Operacional (Wio) - y asílograr el mejor rendimiento globaldel circuito - es necesario minimizarel contenido de finos en la descargadel molino y para ello se requierediluir el rebose y espesar la descar-ga de los ciclones; es decir, precisa-mente lo que plantea la Cuarta Ley(ver ecuación 1).
Límites Operacionales
a la Carga Circulante:
EL CRITERIO DE ARBITER
Nathaniel Arbiter (8) ha publicadodiversos estudios tendientes a pre-determinar las condiciones opera-cionales de un molino de bolas con-vencional (con descarga tipo over-flow) que podrían llevar a éste a unacondición de sobrecarga (o sobrelle-
nado) caracterizada por una reduc-ción significativa de la potenciademandada y la incapacidad delmolino para hidráulicamente trans-portar la pulpa desde su boca de ali-mentación hasta su boca de descar-ga. Arbiter postuló que para evitar lacondición de sobrecarga de undeterminado molino en operación,debe cumplirse que la velocidadaxial de la pulpa a través del molinosea inferior al 2,2 % de la velocidadtangencial de la coraza del mismomolino(8).
La razón de las velocidades axial ytangencial antes referidas es expresa-ble como:
Vel. Axial Q / fm ANq = = (2)
Vel. Tangencial π N D
donde :Q = Flujo volumétrico de pulpa a tra-
vés del molino, ft3/minfm,= Volumen de pulpa mineral en la
carga, expresado como fraccióndel volumen total del molino,%/100
A = Área de la sección transversal delmolino, πD2/4
N = Velocidad de giro del molino,rev/min = Nc (76,6/D0.5)
Nc= Fracción de la velocidad críticadel molino, %/100
D = Diámetro interior del molino, ft.
y, por lo tanto, reemplazando cada tér-mino y simplificando se obtiene:
Nq = 0,00529 Q / (fm Nc D2.5) (3)
Por otra parte, fm está relacionadoal nivel de llenado aparente total delmolino (Jtot), incluyendo bolas y pulpa,por la expresión:
fm = Jtot - (1-fv) Jb (4)
donde :fv = Fracción volumétrica de espacios
vacíos entre las bolas, %/100Jb = Fracción aparente de llenado del
molino con bolas, %/100.
De esta forma, el último término dela ecuación 4 anterior representa elvolumen neto ocupado por las bolasen el molino, expresado como fraccióndel volumen total. Por lo tanto, el volu-men restante para completar el volu-men aparente total (Jtot) correspondeal contenido de mineral, fm.
Arbiter recolectó información dediversas instalaciones en el mundo,cuyos molinos se encontraban ope-rando en condiciones críticas (al límitede la sobrecarga) y reagrupando laecuación 3, determinó la correlaciónempírica :
fm* Nq* = 0,00529 Q* / (Nc D2,5) = 0,0109 – 0.0144 Jb= 0.022 (0,5 – 0,66 Jb) (5)
donde el símbolo (*) denota ‘condicióncrítica’. La Figura 3 ilustra la validezempírica de esta correlación, segúnArbiter(8).
Estudios complementarios sobre eltransporte de masa a través de moli-nos de bolas han indicado que lasobrecarga se produce cuando lacarga total del molino llega a ocuparun 50% de su volumen interior; esdecir, Jtot = 0,5. Si además aceptamosque, por la compactación natural del‘riñón’ de bolas en movimiento, sóloqueda un fv = 34 % de espacio libreentre las bolas (en contraste al fv =40%, típicamente aceptado para car-gas en reposo), de la ecuación 4 seobtiene:
fm* = 0,5 - (1 - 0,34) Jb= 0,5 - (0,66) Jb (6)
y por directa substitución en la ecua-ción 5:
Nq* = 0.022 (7)
es decir, recordando la definición deNq (ecuación 2), se concluye que la
12
13
14
15
10 12 14 16 18 20
% 400# en Descarga Molino
Wio
, kW
h/t
on
78%82%
74%
12
13
14
15
10 12 14 16 18 20
% 400# en Descarga Molino
Wio
, kW
h/t
on
78%82%
74%
Figura 2. Efecto de la reducción del contenido de finos en la descarga del molino al diluir el flujo de rebose de los ciclones de 42 % a 33 % de sólidos,
bajo distintos niveles de densidad en la descarga de los mismos, según los valores indicados sobre el gráfico.
68
MOLIENDA
rocas y
min
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RIL
2010
velocidad axial de la pulpa a través del
molino debe ser inferior al 2,2 % de la
velocidad tangencial de la coraza del
mismo molino, a fin de evitar la condi-
ción de sobrecarga.
Finalmente, retomando la ecuación
5 anterior, la condición crítica así deri-
vada, permite definir el denominado
Arbiter’s Flow Number:
‘Arbiter’s Flow Number’ = Q /
[Nc D2,5 (0,5 - 0,66 Jb)] < 4,16 (8)
con Q en ft3/min y D en ft.
La Figura 4 adjunta presenta un
conjunto de información operacional
personalmente recolectada de distin-
tas fuentes que abarca una amplia
variedad de instalaciones, predomi-
nantemente chilenas. Esta gráfica con-
firma que, en general, la operación
normal de todo molino se desarrolla
bajo condiciones tales que el Arbiter’s
Flow Number sea menor que 4,16,
como sugiere la ecuación 8.
Una segunda implicancia de la acep-
tación del criterio propuesto por Arbiter
es que permite definir el mínimo tiempo
medio de residencia (τ) de la pulpa en su
paso a través del molino, que sea com-
patible con una operación normal libre
de sobrecarga. De las ecuaciones 13 y
18 anteriores, se obtiene:
(Vel. Axial) • τNq = < 0,022 (9)
π N D • τ
donde el numerador de esta expresión
corresponde necesariamente al largo
efectivo del molino (L), de modo que :
τ > (L/D) / (0,022 π N) (10)
De donde, retomando la relación N
= Nc (76,6/D0,5) (ver ecuación 2), se
obtiene finalmente:
τ > 0,189 D0.5 (L/D) / Nc (11)
la cual sugiere que una menor razón
(L/D) y una mayor velocidad de giro
(Nc) facilitan una operación a mayo-
res tonelajes a través del molino; es
decir, con menores tiempos medios
de residencia. Ambos parámetros
son por lo tanto importantes de con-
siderar en la etapa de selección de
un nuevo molino, tal como se des-
prende de la Figura 5.
Desde otro punto de vista, Austin(9) ha
hecho referencia a un posible ‘efecto col-
chón’ que se produciría cuando el volu-
men de pulpa retenida en el molino
sobrepasa el espacio intersticial existen-
te entre las bolas (fm > fvJb). Bajo tal con-
dición extrema, la eficiencia energética
del proceso de molienda se vería negati-
vamente afectada contrapesando las
ventajas de una mayor carga circulante.
Aunque compartiendo la base de su
argumentación, este autor sólo ha cono-
cido una aplicación industrial, muy parti-
cular, en que este fenómeno podría estar
presente; pero no en la generalidad de
las aplicaciones a escala industrial.
En cualquier caso, la Figura 6 indica
que, no obstante, la limitación impues-
ta por el criterio de Arbiter aquí descri-
to o la advertencia planteada por Aus-
tin, niveles de carga circulante tan ele-
vados como 450%, son, en general,
recomendables según la Cuarta Ley y
operacionalmente compatibles en la
práctica industrial.
A modo de corolario, cabe mencio-
nar que es posible distinguir dos tipos
de carga circulante, según sea su
causa de origen:
- La carga circulante ‘mala’ que se ori-
gina al diluir el flujo de descarga de
los hidrociclones, dado que arrastra
mayor cantidad de ‘finos’ que no se
requiere retornar al molino, y ...
- La carga circulante ‘buena’ que se
origina al diluir el flujo de rebose de
los hidrociclones, dado que éstos
afinan su tamaño de corte (d50) y
retornan mayor cantidad de partí-
culas gruesas al molino.
La correcta aplicación del criterio
de la Cuarta Ley - sintetizado en su
enunciado de la ecuación 1 - pro-
mueve el segundo tipo de carga cir-
culante al recomendar la dilución del
flujo de rebose de los hidrociclones y
evita el primero al recomendar el
espesamiento del flujo de descarga
de los mismos.
0.003
0.004
0.005
0.006
0.007
0.008
0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5
Llenado con Bolas, Jb
0.0
0529 Q
* /
(Nc
D2.5)
Experimental
Correlación
Sobrecarga
0.00529 Q* / (Nc D2.5) = 0.022 (0.5 – 0.66 Jb)
0.003
0.004
0.005
0.006
0.007
0.008
0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5
Llenado con Bolas, Jb
0.0
0529 Q
* /
(Nc
D2.5)
Experimental
Correlación
SobrecargaSobrecarga
0.00529 Q* / (Nc D2.5) = 0.022 (0.5 – 0.66 Jb)
Figura 3. Evidencia empírica de sobrecarga de molinos, la que se produciría cadavez que las condiciones operacionales se posicionen por sobre el límite
de la diagonal. Extractada de Referencia 8.
0
1
2
3
4
5
6
8 10 12 14 16 18 20 22 24
Diámetro Nominal del Molino, ft
Flo
w N
um
ber,
Nq
Operación Normal
Operación Extrema
Salvador
Andina
Colón
MDO
Sacatón
Salvador
Emablos
TteSAG
ChuquiMEL
Copperton
Bronces MEL
MAA
Candelaria
Cadia
Andina
Chacay ColónSierrita
Chino
Pinto Valley
TteSAG
Bougainville
MAA
0
1
2
3
4
5
6
8 10 12 14 16 18 20 22 24
Diámetro Nominal del Molino, ft
Flo
w N
um
ber,
Nq
Operación Normal
Operación Extrema
Salvador
Andina
Colón
MDO
Sacatón
Salvador
Emablos
TteSAG
ChuquiMEL
Copperton
Bronces MEL
MAA
Candelaria
Cadia
Andina
Chacay ColónSierrita
Chino
Pinto Valley
TteSAG
Bougainville
MAA
Figura 4. Comparación de operaciones normales y extremas (sobrecarga) en términos del Arbiter’s Flow Number.
70
MOLIENDA
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2010
BOMBAS DE VELOCIDAD VARIABLE
¿Un lujo prescindible?
En la etapa de proyecto de una
nueva instalación surge recurrente-
mente la disyuntiva de instalar o no
instalar bombas de velocidad variable
en las distintas secciones de molien-
da. Dado el mayor costo de inversión
de este tipo de bombas, en compa-
ración con las tradicionales de veloci-
dad fija, se tiende a pensar que éstas
son un lujo prescindible que sólo
interesa a los ingenieros más refina-
dos encargados de la automatización
del proceso. Muy por el contrario,
este autor plantea que las bombas
de velocidad variable no son en
absoluto un lujo prescindible sino
equipos cuya disponibilidad otorga
valiosa flexibilidad operacional y efec-
tividad global al circuito.
Para aplicar la Cuarta Ley a su
máximo beneficio se requiere disponer
de bombas de velocidad variable o al
menos tener la opción de incrementar
la capacidad de las bombas fijas exis-
tentes. Nuevamente, recurriendo al
simulador BallSim_Direct del paquete
de software Moly-Cop Tools(7), la Figu-
ra 7 presenta un ejemplo de la res-
puesta de un sistema de molienda/cla-
sificación frente a la dilución del flujo
de rebose de los ciclones, como resul-
tado del incremento de la dosificación
de agua al cajón de la bomba, depen-
diendo si la bomba disponible es de
velocidad fija o variable.
En este ejemplo, a medida que se
diluye el rebose desde 42 % de sólidos
hasta 33 %, la bomba de velocidad
variable tendría la capacidad de absor-
ber el mayor flujo circulante y mejorar
así el cumplimiento de la ‘tarea de
molienda’ a un mayor ritmo de trata-
miento de mineral (de 465 t/h a 519
t/h). Por el contrario, la única opción
con la bomba de velocidad fija para
continuar cumpliendo con la ‘tarea de
molienda’ especificada, incapacitada
de absorber la mayor proporción de
carga circulante, sería lamentablemen-
te reducir el tonelaje de alimentación
de mineral fresco al circuito (de 465 t/h
a 368 t/h). Como consuelo, la fineza
del producto molido se vería incremen-
tada (de P80 = 180 µm a P80 = 112
µm), lo que en algunos casos permiti-
ría mejorar marginalmente la eficiencia
del proceso siguiente en la cadena
(por ejemplo, la recuperación en la
etapa de flotación). No obstante,
desde una perspectiva económica, el
beneficio de un mayor tonelaje normal-
mente predomina sobre el beneficio de
una mayor eficiencia.
El tema de las bombas de veloci-
dad fija versus las de velocidad varia-
ble fue abordado extensivamente por
H. Toro(10). Siguiendo la misma línea de
argumentación, la Tabla 3 presenta el
caso hipotético comparativo de una
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
10 12 14 16 18 20 22 24 26
Diámetro Efectivo del Molino, ft
Tie
mp
o M
ínim
o d
e
Resid
en
cia
, m
in
L/D
1.6
1.3
1.0
Nc
0.72
0.75
0.78
Wmin = 0.189 D0.5 (L/D) / Nc
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
10 12 14 16 18 20 22 24 26
Diámetro Efectivo del Molino, ft
Tie
mp
o M
ínim
o d
e
Resid
en
cia
, m
in
L/D
1.6
1.3
1.0
Nc
0.72
0.75
0.78
Wmin = 0.189 D0.5 (L/D) / Nc
Figura 5. Definición de los tiempos mínimos de residencia de la pulpa en el molino, a fin de evitar la condición de sobrecarga,
según el criterio establecido por Arbiter(8).
Figura 6. Límite máximo para la carga circulante impuesto por el criterio de Arbiter. Los valores indicados sobre el gráfico corresponden al % sólidos de descarga de los hidrociclones asumido para cada serie de simulaciones
en que el flujo de rebose se diluyó de 42 % a 33 % de sólidos.
Figura 7. Respuesta simulada de un sistema de molienda/clasificación frente a la dilución del flujo de rebose de los ciclones, dependiendo si la bomba
disponible es de velocidad fija o variable.
200
250
300
350
400
450
500
550
30 32 34 36 38 40 42 44
% Sólidos en el Rebose
Ca
pa
cid
ad
, to
n/h
r
50
100
150
200
250
300
350
400
Ta
mañ
o P
80,
mic
rasVel. Variable
Vel. Fija
Vel. VariableVel. Fija
200
250
300
350
400
450
500
550
30 32 34 36 38 40 42 44
% Sólidos en el Rebose
Ca
pa
cid
ad
, to
n/h
r
50
100
150
200
250
300
350
400
Ta
mañ
o P
80,
mic
rasVel. Variable
Vel. Fija
Vel. VariableVel. Fija
2
3
4
5
6
200 250 300 350 400 450 500 550 600 650
% Carga Circulante
Nú
mero
de A
rbit
er
78%
82%
74%
Límite Máximo
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200 250 300 350 400 450 500 550 600 650
% Carga Circulante
Nú
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de A
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74%
Límite Máximo
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sección de molienda con una bomba
de velocidad fija contra la misma sec-
ción equipada con una bomba de
velocidad variable, cuando la dureza
del mineral procesado varía en ± 10 %.
En condiciones normales, la sec-
ción con bomba de velocidad fija
opera a razón de 475 t/h, cumpliendo
con la tarea de molienda especificada
(F80, P80) = (9.795 µm, 180 µm) y utili-
zando el 100% de la potencia de bom-
beo disponible (30 kW). Frente a un
mineral de dureza 10% mayor, el siste-
ma respondería incrementando la
dosificación de agua al cajón de la
bomba de 677 m3/h a 701 m3/h, utili-
zando los mismos 30 kW de potencia
de bombeo disponible. No obstante,
como es de esperar debido al 10% de
incremento en dureza, el tonelaje pro-
cesado disminuiría en 7,59%, mante-
niendo la tarea de molienda. Nótese
que el porcentaje de reducción de
capacidad sería menor que el 10%
gracias al efecto positivo de diluir leve-
mente el rebose, dentro de las limita-
ciones impuestas por la bomba. Por el
contrario, si la dureza del mineral de
alimentación bajara en un 10%, el sis-
tema respondería incrementando la
tasa de tratamiento en un 7,15 %. En
este caso, el porcentaje de aumento
en tonelaje sería menor que el 10 %
debido a la capacidad limitada de la
bomba que no podría exceder los 30
kW de potencia máxima disponible, lo
que obligaría a reducir la dosificación
total de agua al sistema. En otras pala-
bras, limitado por la velocidad fija de la
bomba, el sistema no tendría la capa-
cidad para aprovechar a plena magni-
tud la ‘bonanza’ de recibir un mineral
de alimentación de menor dureza.
Por otra parte, siguiendo con el
ejemplo de la Tabla 3, si la sección
fuese equipada con una bomba de
velocidad variable, en condiciones
normales, la sección desarrollaría una
capacidad de 493 t/h, cumpliendo con
la misma tarea de molienda especifica-
da y utilizando el 100% del total de
agua de proceso disponible; estableci-
da para estos efectos en 800 m3/h.
Frente a un mineral de dureza 10%
mayor, el sistema respondería simple-
mente manteniendo la dosificación de
agua a su máximo nivel de disponibili-
dad, sacrificando el tonelaje en un
8,45% (todavía proporcionalmente
menor que el 10% de incremento en
dureza) y manteniendo la tarea de
molienda. Es interesante señalar a este
respecto que, si al menos temporalmen-
te la operación tuviera acceso, por
ejemplo, a un 10% de mayor disponibi-
lidad de agua, ésta podría ser utilizada
con la misma bomba para diluir un poco
más el rebose y compensar en mejor
forma el incremento en dureza del mine-
ral, limitando la reducción en capacidad
de la sección a sólo un 6,7% respecto
de la condición normal (ver Tabla 3,
columna de la extrema derecha). Por el
contrario, si la dureza del mineral de ali-
mentación bajara en un 10%, el sistema
respondería incrementando la tasa de
tratamiento en un 8,23%. En este caso,
el porcentaje de aumento en tonelaje
sería menor que el 10% debido a la
máxima disponibilidad de agua de pro-
ceso, limitada en este ejemplo a 800
m3/h, lo que obligaría a un negativo
espesamiento del rebose de un 37,4 %
a un 39,2% de sólidos. Nuevamente, si
al menos temporalmente la operación
tuviera acceso, por ejemplo, a un 10%
de mayor disponibilidad de agua, ésta
podría ser utilizada con la misma bomba
para casi mantener la dilución del rebo-
se y tomar mayor ventaja de la bonanza
de menor dureza del mineral, alcanzan-
do un 10,52% de aumento en tonelaje
procesado respecto de la condición
Dureza del Mineral 10% Std + 10% 10% 10% Std + 10% + 10%
Disponibilidad de Agua Std Std Std + 10% Std Std Std + 10%
TRATAMIENTO
ton/hr 509 475 439 545 534 493 452 460
% Relativo 7.15 0.00 7.59 10.52 8.23 0.00 8.45 6.70
% CC 303 328 359 341 327 351 380 398
F80, micras 9,795 9,795 9,795 9,795 9,795 9,795 9,795 9,795
P80, micras 180 180 180 180 180 180 180 180
ENERGIA
kW (neto) 3,885 3,885 3,885 3,885 3,885 3,885 3,885 3,885
kWh/ton (bruto) 7.63 8.17 8.85 7.12 7.27 7.87 8.60 8.44
Wio, kWh/ton 13.2 14.1 15.3 12.3 12.5 13.6 14.8 14.5
CLASIFICADORES
% Sólidos Alimentación 63.7 63.2 62.7 63.3 63.4 63.0 62.6 62.5
% Sólidos Rebose 42.7 40.4 37.8 37.5 39.2 37.4 35.4 33.7
% Sólidos Descarga 75.9 76.4 76.9 79.2 78.1 78.3 78.4 79.6
Alim. Ciclones, m3/hr 1,903 1,909 1,915 2,256 2,133 2,102 2,071 2,193
Presión, psi 8.23 8.20 8.18 10.47 9.67 9.41 9.14 9.93
Potencia Bomba, kW 30.0 30.0 30.0 45.3 39.5 37.9 36.3 41.7
Agua Total, m3/hr 655 677 701 880 800 800 800 880
ByPass Finos, % 0.397 0.386 0.375 0.332 0.353 0.350 0.346 0.325
ByPass Agua, % 0.418 0.406 0.395 0.349 0.372 0.368 0.364 0.342
% Finos Desc. Molino 18.3 16.8 15.3 14.8 15.9 14.9 13.8 12.8
(*) Batería de Hidrociclones: 12 unidades de 20", con Vortex de 7.5" y Apex de 3.75".
Bomba Velocidad Fija Bomba Velocidad Variable
Tabla 3. Efecto de variaciones en la Dureza del Mineral en función del tipo de bomba disponible, en base a simulacionesrealizadas con BallSim_Direct de Moly-Cop Tools.
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normal (ver Tabla 3, columna central). Es
claro que ninguna de estas provechosas
acciones correctivas serían posibles si la
bomba fuese de velocidad fija.
A mayor ahondamiento, la Tabla 4
siguiente presenta un caso análogo
al anterior en que se simula la ocu-
rrencia de variaciones en la granulo-
metría del mineral de alimentación a
la sección, cuando la sección es
equipada alternativamente con
bomba de velocidad fija o bomba de
velocidad variable.
Las observaciones que se despren-
den de la Tabla 4 apuntan en la misma
línea que las ya planteadas respecto
de la Tabla 3 anterior y, por lo tanto,
queda su análisis a la iniciativa de
aquellos lectores más interesados.
Sólo reafirmar que - a diferencia de
una bomba de velocidad fija - la dispo-
nibilidad de una bomba de velocidad
variable permite tomar ventaja de las
oportunidades operacionales (menor
dureza del mineral, mayor fineza de ali-
mentación), así como también tomar
acciones compensatorias para minimi-
zar el perjuicio de las contingencias
que la operación pueda enfrentar
(mayor dureza del mineral, menor fine-
za de alimentación).
CIRCUITO DIRECTO VS. INVERSO
Una polémica recurrente
El postulado básico de la Cuarta Ley
permite también construir opinión res-
pecto de un tema recurrentemente
debatido, tanto en ambientes acadé-
micos como en la práctica industrial: la
configuración ‘DIRECTA’ versus la
‘INVERSA’.
Existiría una percepción generali-
zada que la configuración ‘INVERSA’,
esquematizada en la Figura 8 (donde
el flujo de alimentación fresca es diri-
gido al cajón de la bomba) sería
intrínsecamente más productiva que
la configuración ‘DIRECTA’, esque-
matizada en la Figura 9 adjunta
(donde el flujo de alimentación fresca
es dirigido ‘directamente’ al molino).
Al menos a primera vista, parece
razonable creer que si una fracción
del mineral alimentado corresponde a
material suficientemente fino - partí-
culas tamaño producto - sería efecti-
vo impedirles que ingresen al molino
alimentándolas directamente a los
clasificadores. Pero ... ¿tiene esto
siempre sentido práctico? ¿Bajo qué
condiciones operacionales específi-
cas podría ser una configuración
ventajosa respecto de la otra?
En el contexto de la Cuarta Ley, es
lógico afirmar que será preferible
adoptar aquella configuración que - a
estado estacionario - mantenga el
molino con menor contenido de finos
en su interior.
Con referencia a la Figura 9, corres-
pondiente a la configuración ‘DIREC-
TA’, el balance de materiales del siste-
ma indica(2):
F3DIRECTA = F7 /(1-Bpf)/(1+CC) (12)
la cual expresa claramente que para
reducir los finos en la descarga del moli-
no (F3) es preciso reducir el ‘cortocircui-
to’ (Bpf) y aumentar la razón de carga cir-
culante (CC), teniendo en consideración
que la proporción de finos en el rebose
(F7) es un valor objetivo predeterminado.
Análogamente, siguiendo la misma
secuencia de balances de materiales
presentados en la primera parte de
esta publicación(2), esta vez aplicados a
la configuración ‘INVERSA’ de la Figu-
ra 8, es posible establecer:
F3INVERSA = F7 /(1-Bpf)/CC - F1 /CC (13)
donde F1 representa la fracción de
finos que ingresan al circuito con la
Fineza de Alimentación Fina Std Gruesa Fina Fina Std Gruesa Gruesa
Disponibilidad de Agua Std Std Std + 10% Std Std Std + 10%
TRATAMIENTO
ton/hr 497 475 443 529 518 493 457 465
% Relativo 4.49 0.00 6.81 7.27 5.02 0.00 7.46 5.74
% CC 309 328 359 347 332 351 383 401
F80, micras 6,951 9,795 13,253 6,951 6,951 9,795 13,253 13,253
P80, micras 180 180 180 180 180 180 180 180
ENERGIA
kW (neto) 3,885 3,885 3,885 3,885 3,885 3,885 3,885 3,885
kWh/ton (bruto) 7.82 8.17 8.77 7.34 7.50 7.87 8.51 8.35
Wio, kWh/ton 13.9 14.1 14.8 13.0 13.3 13.6 14.4 14.1
CLASIFICADORES
% Sólidos Alimentación 63.2 63.2 63.2 62.9 63.0 63.0 63.0 62.9
% Sólidos Rebose 41.7 40.4 38.3 36.8 38.5 37.4 35.7 34.0
% Sólidos Descarga 75.9 76.4 77.2 79.0 77.8 78.3 78.8 80.0
Alim. Ciclones, m3/hr 1,910 1,909 1,909 2,240 2,117 2,102 2,080 2,202
Presión, psi 8.20 8.20 8.20 10.30 9.50 9.41 9.27 10.06
Potencia Bomba, kW 30.0 30.0 30.0 44.2 38.5 37.9 36.9 42.4
Agua Total, m3/hr 669 677 691 880 800 800 800 880
ByPass Finos, % 0.392 0.386 0.377 0.332 0.353 0.350 0.345 0.323
ByPass Agua, % 0.413 0.406 0.397 0.349 0.372 0.368 0.363 0.340
% Finos Desc. Molino 17.5 16.8 15.7 14.3 15.4 14.9 14.0 13.0
(*) Batería de Hidrociclones: 12 unidades de 20", con Vortex de 7.5" y Apex de 3.75".
Bomba Velocidad Fija Bomba Velocidad Variable
Tabla 4. Efecto de variaciones en la Granulometría del Mineral de Alimentación, en función del tipo de bomba disponible, en base a simulaciones desarrolladas con BallSim_Direct de Moly-Cop Tools.
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alimentación fresca; un término que no
aparece en la ecuación 12 equivalente.
Incidentalmente, esta ecuación 13
reconfirma - esta vez para la configura-
ción ‘INVERSA’ - que para reducir los
finos en la descarga del molino (F3) es
preciso reducir el ‘cortocircuito’ (Bpf) y
aumentar la carga circulante (CC).
Retomando el criterio de la Cuarta
Ley, la configuración ‘INVERSA’ será
preferible cada vez que se cumpla:
F3INVERSA < F3
DIRECTA (14)
Reemplazando a partir de las ecua-
ciones 22 y 23 anteriores, suponiendo
que ambas configuraciones operarían
a valores similares de Bpf y CC, condu-
ce a la condición crítica discriminante:
F1 > F7 /(1-Bpf)/(1+CC) (15)
La Figura 10 fue construida sobre la
base de la ecuación 15 para ilustrar
bajo qué condiciones la configuración
‘INVERSA’ sería preferible (zona supe-
rior derecha de la curva correspon-
diente) y por defecto, bajo qué condi-
ciones la configuración ‘DIRECTA’
sería preferible (zona inferior izquierda
de la curva correspondiente).
Considerando valores típicos de
Bpf = 0,4 y CC = 3,5, se concluye que:
F1 > 0,37 F7 (16)
es decir; para que la configuración
‘INVERSA’ sea la configuración preferi-
da, la fracción de finos en la alimentación
fresca (F1) debe ser al menos superior al
37% de la fracción de finos especificada
para el producto final de rebose (F7).
Como aproximación, la ecuación 15
puede ser expresada también en térmi-
nos del tamaño P80 del producto final,
suponiendo que la razón (en peso) de
los finos en el rebose y la alimentación
fresca (F7/F1) sea de magnitud similar a
la razón (en peso) del material pasante el
tamaño P80 en ambos flujos de rebose
y alimentación; es decir:
F7/F1 ≈ [% bajo P80]Rebose/
[% bajo P80]Alim (17)
y puesto que, por definición, [% bajo
P80]Rebose es igual a 80 %, entonces la
ecuación 15 se transforma en:
[% bajo P80]Alim > 80 /(1-Bpf) /
(1+CC) (18)
la cual, para los mismos valores típicos
Bpf = 0,4 y CC = 3,5 antes considerados,
se reduce a la simple ‘Regla del Pulgar’:
Agua
Alimentación
Fresca
Descarga
Alimentación
Ciclones
Rebose
4
3
2
5
7
6
1
5
Agua
Alimentación
Fresca
Descarga
Alimentación
Ciclones
Rebose
4
3
2
5
7
6
1
5
Figura 8. Representación esquemática de un circuito de molienda/clasificaciónconvencional bajo la configuración ‘INVERSA’.
Agua
Alimentación
Fresca
Descarga
Alimentación
Ciclones
Rebose
4
3
2
5
7
6
1
5
Agua
Alimentación
Fresca
Descarga
Alimentación
Ciclones
Rebose
4
3
2
5
7
6
1
5
Figura 9. Representación esquemática de un circuito de molienda/clasificaciónconvencional bajo la configuración ‘DIRECTA’.
0.20
0.25
0.30
0.35
0.40
0.45
0.50
2.0 3.0 4.0 5.0
Razón de Carga Circulante
Ra
zó
n C
ríti
ca
, F
1/F
7
0.30
0.35
0.40
Bpf
CIRCUITO DIRECTO
CIRCUITO INVERSO
Figura 10. Valores críticos de la Razón F1/F7 en función del ‘cortocircuito’ depulpa y la carga circulante, según la ecuación 15. G La configuración ‘INVERSA’
será preferible a la ‘DIRECTA’ cada
vez que la alimentación al circuito
contenga más de un 30% de partí-
culas menores que el tamaño P80
objetivo:
MOLIENDA
[% bajo P80]Alim > 30 % (19)
En la práctica industrial, esta con-
dición crítica a favor de la configura-
ción ‘INVERSA’ sólo puede ser
alcanzada en algunas pocas situa-
ciones puntuales, como podría ser
el caso de molinos secundarios ali-
mentados por molinos de barras o
"verdaderos" molinos SAG (es decir,
con menos de 10 – 12 % de bolas y
sin remoción de pebbles), casos en
los cuales el flujo de alimentación
fresca a la etapa de molienda con-
vencional bien podría contener una
suficiente proporción de partículas
finas bajo el tamaño P80 especifica-
do. De esta manera se concluye que
la configuración ‘DIRECTA’ debiera
ser el diseño preferido en la vasta
mayoría de las aplicaciones, a
menos que prevalezcan otras consi-
deraciones de lay-out.
COMENTARIOS FINALES
No cabe duda que la plena implan-
tación de los criterios optimizantes
propuestos por la Cuarta Ley exigen
una mayor atención y capacidad de
respuesta al operador, por cuanto los
beneficios se logran llevando el siste-
ma al límite de sus restricciones ope-
racionales: agua, carga circulante,
riesgo de ‘acordonamiento’, etc. Si se
pretende obtener el máximo rendi-
miento de una instalación cualquiera,
es preciso apoyar al operador con un
adecuado sistema de control auto-
mático del proceso, porque sin este
apoyo se estaría exigiendo algo real-
mente imposible de alcanzar, incluso
para operadores experimentados. En
esta línea - reconociendo que en las
últimas décadas se han desarrollado
cientos de tales sistemas, en base a
muy diversas estrategias de control -
Yianatos et al.(11) implementaron en
CODELCO, Div. El Teniente un intere-
sante desarrollo consistente con el
espíritu de la Cuarta Ley; es decir,
prestando atención preferencial a las
densidades de descarga y rebose de
los hidrociclones, más que a la densi-
dad de alimentación a los mismos.
Al concluir el presente documento,
este autor debe reconocer que en su
momento - e incluso en los tiempos
actuales - la denominación Cuarta
Ley provocó molestia en algunos cír-
culos académicos especializados en
el tema de la molienda de minerales,
por considerarlo ofensivo al trabajo
pionero de los proponentes de las
primeras tres leyes originales. Lo
cierto es que, en estricto rigor, ningu-
na de las clásicas tres ‘Leyes de la
Conminución’ - que postulan relacio-
nes ‘consumo de energía / tamaño
de producto’ - son esencialmente
‘leyes’ como sí lo son, por ejemplo, la
Ley de Newton y las Leyes de la Ter-
modinámica. La Cuarta Ley tampoco
es una verdadera ‘ley’, pero sí que
complementa a las citadas tres ante-
riores. A diferencia de ellas, la Cuarta
Ley no es otra propuesta de relación
‘energía/tamaño’ sino un criterio que
básicamente norma el adecuado uso
del agua en el proceso de
molienda/clasificación, tema que
hasta entonces estaba abandonado.
A fin de cuentas, como en todo
marco legal complementario, no
todas las leyes deben versar necesa-
riamente sobre el mismo tema ...
También cabe reconocer que la
Cuarta Ley - quizás por dejación per-
sonal inexcusable - no ha alcanzado
la difusión internacional que podría
haberse esperado. Básicamente, la
Cuarta Ley no es conocida interna-
cionalmente porque, aunque ha
acompañado a este autor por déca-
das en múltiples congresos y semi-
narios para los más diversos grupos
de colegas, casi no ha sido publica-
da en Inglés; lo que no deja de forta-
lecer un cierto grado de orgullo
nacionalista/regionalista. Es en tie-
rras suramericanas donde la minería
actual crece y se desarrolla mucho
más que en cualquier otra parte del
mundo. De modo que ...
it’s about time they learn some Spanish!
REFERENCIAS1. Sepúlveda, J. E., "Una ‘Cuarta Ley’ para la Molienda/Clasificación",
IV Simposio ARMCO sobre Molienda, Viña del Mar, Chile, Noviembre,1984.
2. Sepúlveda, J.E., "La ‘Cuarta Ley’ de la Molienda/Clasificación, Parte I:Formulación y Verificación Experimental", Rocas y Minerales, Mayo 2010.
3. Gutiérrez, L. y Sepúlveda, J.E., Dimensionamiento y Optimización de Plan-tas Concentradoras Mediante Técnicas de Modelación Matemática, Publi-cación del Centro de Investigación Minera y Metalúrgica (CIMM), Chile,1986.
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5. Herbst, J. A. et al., "Population Balance Models for the Design ofContinuous Grinding Mills", 10th IMPC, p. 23, Londres, 1973.
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11.Yianatos, J. B., Lisboa, M. A. y D. R. Baeza, "Grinding CapacityEnhancement by Solid Concentration Control of Hydrocyclone Over-flow", Minerals Engineering 15, p. 317, 2002.
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