LA COMPRENSIÓN LECTORA EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
93
7 LA COMPRENSIÓN LECTORA EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS LUZDARY MONTOYA GIRALDO ISA MARGARITA RAMÍREZ ARCILA UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA FACULTAD DE EDUCACIÓN LICENCIATURA EN MATEMÁTICAS Y FÍSICA MEDELLÍN 2007
Transcript of LA COMPRENSIÓN LECTORA EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
7
LA COMPRENSIÓN LECTORA EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
LUZDARY MONTOYA GIRALDO
ISA MARGARITA RAMÍREZ ARCILA
UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA
FACULTAD DE EDUCACIÓN
LICENCIATURA EN MATEMÁTICAS Y FÍSICA
MEDELLÍN
2007
8
LA COMPRENSIÓN LECTORA EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
LUZDARY MONTOYA GIRALDO
ISA MARGARITA RAMÍREZ ARCILA
Trabajo para optar el título de Licenciado en educación matemática y física
CARLOS HUMBERTO OSPINA NOREÑA
Asesor
UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA
FACULTAD DE EDUCACIÓN
LICENCIATURA EN MATEMÁTICAS Y FÍSICA
MEDELLÍN
2007
9
AGRADECIMIENTOS El resultado de esta iniciativa investigativa no habría sido posible sin la
consagrada asistencia, revisión y sugerencias de nuestro asesor Carlos
Ospina, quien con paciencia y profesionalismo supo encauzarnos en las
rutas de búsqueda y de materialización de lo que hoy, con satisfacción y
agradecimiento, definimos como nuestro trabajo de grado.
Igualmente, la constancia y apoyo de nuestras familias, que no desistieron
en brindarnos todas sus orientaciones, estímulos y observaciones que
fueron materia indispensable de esta obra, en la cual sintetizamos un
proceso de formación universitaria con grandes lecciones de vida, de
búsqueda y lucha.
Un gracias de proporciones inconmensurables a nuestra Alma Mater que
fue y será testigo de nuestra historias académicas y existenciales; testigo
de pensamientos y acciones que nos hicieron crecer como seres humanos
sensibles ante la realidad y ante el papel que en ella juega el conocimiento.
10
CONTENIDO Pág.
INTRODUCCIÓN
1. MARCO CONTEXTUAL 13-17
1.1 ANTECEDENTES 17-21
2. DISEÑO TEÓRICO 22
2.1 FORMULACIÓN DEL PROBLEMA 22
2.2 JUSTIFICACION 23-25
2.3 OBJETIVO GENERAL 25
2.4 PREGUNTAS DE INVESTIGACIÓN 25
2.5 TAREAS DE INVESTIGACIÓN 26
3. FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA 27
3.1 MARCO TEÓRICO 28
3.1.1 Pensamiento numérico 28
3.1.2 La resolución de problemas en la educación matemática 32
Del ejercicio al problema 34
Cómo resolver problemas matemáticos 35-36
La resolución de problemas en el proceso de enseñanza y
aprendizaje
36-40
3.1.3 Representación matemática 41
Modelación matemática 42
3.1.4 Enfoque del pensamiento por medio del lenguaje y la manipulación
de símbolos
42
Componente narrativo en la solución de problemas 43
Comprensión lectora 44
Algunas estrategias metodológicas para facilitar la comprensión
lectora
47
Comprensión texto matemático 48-53
11
3.1.5 Competencia 53
Competencia matemática 54
Competencia lectora 54
3.1.6 Niveles en matemáticas 55
3.1.7 Evaluación 56
4. DISEÑO METODOLÓGICO 57
4.1 FORMA Y TIPO DE INVESTIGACIÓN 58
4.2 POBLACIÓN Y MUESTRA 59
4.3 PROPUESTA DE INTERVENCIÓN 59
4.3.1 Estructura de las guías de trabajo 59
4.3.2 Metodología 59-61
5. RESULTADOS 62-68
6. CONCLUSIONES 69
7 RECOMENDACIONES 71
8. BIBLIOGRAFÍA
9. ANEXOS
9.1 ANEXO A
9.2 ANEXO B
9.3 ANEXO C
9.4 ANEXO D
9.5 ANEXO E
9.6 ANEXO F
9.7 ANEXO G
12
INTRODUCCIÓN
Cuando los caminos se abren en el deambular de los valles, los hombres poco a
poco empiezan a reconocer que tanto la salud como la enfermedad son semillas
del mismo huerto y cuando nuestros sentidos logren persuadirse que la unión es
el objetivo podremos reconocer en las ciencias un único fin, el avance y el
progreso cifrado en el bienestar que las ramas del saber le brindan a la
humanidad.
Y tras este fin, hemos canalizado nuestros esfuerzos en unir los contextos
matemáticos, pues es común creer que la matemática es rígida y cifrada
únicamente en códigos numéricos y símbolos matemáticos que para muchos
hacen de ella una ciencia fría y en ocasiones una roca dura de bruñir, pero no
descubren que al contacto, tal roca es cálida y de ella proviene la obra más
hermosa que el hombre pueda pulir.
13
1. MARCO CONTEXTUAL
El Colegio de la Presentación está ubicado en la calle 47N. 62-235, barrio el
Porvenir, municipio de Rionegro. Este municipio está ubicado en la región del
Oriente Antioqueño a una distancia de 40 km. de la capital Antioqueña, tiene una
extensión de 196 km2, una temperatura promedio de 17º C, su clima es frío y se
encuentra a una altura de 2.125 metros sobre el nivel del mar. Sus límites son: Al
norte con Guarne y San Vicente; al sur con La Ceja y el Carmen de Víboral; al
oriente con Marinilla y el Carmen de Víboral, al occidente con el Retiro y al
suroeste con Envigado. La Comunidad Educativa del Colegio de La Presentación Rionegro, está integrada
por estudiantes que se agrupan desde grado jardín hasta el grado 11 de la media
académica, por todos los padres de familia y/o acudientes, docentes, directivos, el
personal administrativo y de servicios generales, también están todos los
egresados y los representantes del sector productivo.
Los estudiantes son en su gran mayoría del municipio de Rionegro; también
asisten estudiantes de otros municipios cercanos como: Marinilla, La Ceja, El
Carmen de Víboral, El Retiro, El Santuario y Guarne; provienen de hogares
constituidos básicamente de padres profesionales o dedicados al comercio, lo que
hace que tengan una vida solvente y se ubiquen en el estrato social 3 ó 4.
El impacto social de la Institución en la comunidad es de gran aceptación y
prestigio, lo que ha permitido contar con un buen número de estudiantes ya que
satisface las expectativas en cuanto a las exigencias de la disciplina, la
preparación académica y la adquisición de valores necesarios en el mundo de
hoy. Además es una institución netamente católica, lo que lleva a una educación
con excelentes principios morales; así mismo dichos padres buscan preparación
14
profesional de sus hijas y encuentran que la Institución brinda elementos
necesarios para el ingreso a la educación superior.
El grupo humano que acompaña, orienta y lidera el proceso educativo en la
Presentación Rionegro se caracteriza por su sentido de pertenencia, idoneidad
profesional, calidez humana, con un testimonio de vida coherente con el evangelio
y el que hacer educativo, basados en los principios éticos y morales que la
sociedad actual reclama.
RELACIONES INTERINSTITUCIONALES
El colegio de la Presentación de Rionegro buscando una formación integral y que
satisfaga las necesidades de la comunidad educativa, reconoce la importancia de
las relaciones interinstitucionales para la buena marcha de la institución, es así
como el Colegio participa y atiende los llamados de CONACED, asistiendo a
capacitaciones, encuentros de docentes, estudiantes y egresados, espacios que
ayudan a que el proceso educativo vaya en mejora cada día. De esta misma
manera se acatan las directrices enviadas desde el núcleo y/o secretaria de
educación, La Diócesis (Iglesia particular).
A través de las salidas pedagógicas se tiene acceso a instituciones culturales
como: Museos, casas de la cultura, universidades, parques ecológicos entre otros
que ofrecen elementos de apoyo y dinamizan el proceso pedagógico. También se
mantiene contacto permanente con otros colegios para la realización de
actividades culturales, deportivas, sociales, religiosas que lleven a una sana
integración y permitan la práctica de valores cívicos y sociales.
A través de estas relaciones se busca mejorar y fortalecer el servicio educativo ya
que brindan elementos pertinentes al que hacer educativo de la institución.
15
EL P.E.I EN RELACIÓN CON LOS NIVELES LOCAL, REGIONAL Y NACIONAL
La Presentación a nivel local y regional goza de prestigio, credibilidad y un alto
nivel de reconocimiento como institución que llena las expectativas de padres de
familia, estudiantes y comunidad en general, que ésa esta abierta al cambio,
satisfacer intereses y necesidades que surjan en el entorno.
La institución acoge y aplica lo reglamentado a nivel local, regional y lo propuesta
por el MEN, logrando con esto actuar en concordancia con lo estipulado en la
constitución Nacional, ley 115 y los procesos de Gestión de Calidad que se estén
implementando desde la provincia; claro esta adaptando todo lo anterior a las
exigencias del medio, razón por la cual la institución hace uso de su autonomía en
la elaboración, difusión y ejecución del PEI.
FILOSOFIA
Las Hermanas de la Presentación fieles al carisma de su Fundadora viven hoy su
Proyecto Educativo y su consejo: “Las Hermanas mirarán como uno de sus
principales deberes, la Educación e Instrucción de la Juventud”.
En el Proyecto Educativo, se ponen de relieve las actitudes que deben caracterizar
al “hombre nuevo”, teniendo en cuenta a cada uno de los estamentos que
conforman la Comunidad Educativa, especialmente a los alumnos comprometidos
en su proceso de formación permanente; al educador que participa en la misión
salvífica de la Iglesia, asumiendo su tarea como un compromiso de fe; a los
padres de familia, primeros educadores de sus hijos; a la Comunidad Religiosa
que ha de ser fermento en la misión, a la sociedad que debe velar por la calidad
de la educación y primera beneficiaria del proyecto educativo.
Los objetivos de la Educación Católica que impartimos se definen desde la
16
perspectiva de la Nueva Evangelización, atendiendo en forma explícita a una
educación personalizante y liberadora. Es la proyección del hombre nuevo como
respuesta a las múltiples exigencias de la sociedad Latinoamericana para que sea
capaz de crear un mundo más humano, justo y solidario.
MISIÓN
La presentación de RIONEGRO es una institución educativa de carácter privado,
católica, al servicio de la niñez y de la juventud con una filosofía humanizante,
personalizante y evangelizadora, centrada en valores, que imparte una formación
académica y tecnológica, mediante unos procesos metodológicos, dinámicos,
iluminados por los principios del proyecto de Marie Poussepin.
VISIÓN
Nuestra Institución Educativa LA PRESENTACIÓN DE RIONEGRO será en cinco
años líder y cualificada en su oferta. Con un currículo pertinente y abierto a nuevos
paradigmas, generadora de procesos educativos que posibiliten a sus estudiantes
el pleno desarrollo de la personalidad, su inserción en la educación superior y/o en
el mundo del trabajo con un perfil de alta calidad académica, ética, humana y
cristiana.
POLÍTICA DE CALIDAD
Nuestro servicio educativo se da en un ambiente propicio para el pleno desarrollo
de las potencialidades; responde a las expectativas de estudiantes, padres de
familia y entorno.
Con un equipo de trabajo idóneo y comprometido, optimizamos los recursos y
procesos, respondiendo a las exigencias de la legislación educativa garantizamos
la calidad en el servicio, con el apoyo de otras instituciones educativas y empresas
17
que favorecen a los estudiantes para ser gestores de su futuro y de la comunidad.
Garantizamos la calidad en el servicio con la implementación de planes de
mejoramiento.
MANUAL DE CONVIVENCIA La convivencia es una experiencia de participación el la diferencia a partir de la
cual se estrechan los lazos de cooperación, consenso y formación en lo colectivo.
Convivir es dinamizar relaciones en el respeto, a tolerancia, el aprendizaje, la
solidaridad y la autonomía; por ello todo intento comunitario, debe estar
respaldado en una comunicación clara, coherente y oportuna, pues la palabra
facilita el acuerdo y la definición de acciones que favorezcan el bienestar y la
armonía. En el escenario educativo, la convivencia es su factor determinante que
vincula lo académico, lo social, lo individual y lo colectivo, de ahí que el educando
se enfrente simultáneamente al desarrollo de su personalidad y el reconocimiento
de sus semejantes en la diferencia de sus pensamientos, acciones y
proyecciones.
La convivencia traza los caminos de la participación y define los espacios de
interacción democrática en el libre ejercicio de la decisión y elección. Aprender
para elegir es aprender a renunciar y así mismo, asumir el cambio como un evento
consustancial a la especie humana. Convivir es compartir, cooperar, consolidar,
confrontar y corresponde lo ideal con lo concreto en lo humano y contradictorio, ya
que se debate el derecho del individuo con el deber de las personas, por eso
nuestros derechos llegan hasta donde empiezan los derechos del otro
1.1. Antecedentes: Las pruebas saber nos muestran de manera alarmante los
bajos rendimientos de un amplio porcentaje de nuestros estudiantes en lectura y
matemáticas, es muy probable que las dificultades que enfrentan los estudiantes
en estos campos estén relacionadas y cada vez es mayor el número de
18
especialistas e investigadores que defienden esta idea, ya que se hace difícil
intentar resolver un problema matemático, sin conocerse el conjunto de símbolos y
expresiones propias del lenguaje matemático, necesarios para modelar e
interpretar correctamente los planteamientos.
Según Resnik y Ford (1990), “uno de los principales factores que afectan la
enseñanza – aprendizaje de la matemática, es el lenguaje matemático, porque
éste permite formalizar, precisar, simplificar las ideas y conceptos abstractos,
evitando las diferentes interpretaciones causadas por el lenguaje coloquial.”1
Poder leer, escribir e interpretar el lenguaje formal matemático es condición
necesaria para que el estudiante pueda comprender el discurso matemático
desarrollado en el salón de clase, así como para resolver los problemas
planteados.
Afirma también Pim, “el uso de sistemas de códigos y símbolos en el área
matemática, como ciencia exacta, permite expresar ideas con alto grado de
precisión. Esto conlleva a que los estudiantes, al no interpretarlos correctamente,
fracasen en su intento de solución, convirtiéndose así, la matemática en un área
de alta dificultad para su interpretación y comprensión."2
Las matemáticas, siendo una ciencia exacta contiene un sistema de códigos y
símbolos que permiten expresar las ideas de una forma muy singular y precisa, lo
que la hace algo difícil para muchos estudiantes, y las dificultades se agrandan
cuando el profesor no utiliza en su enseñanza este lenguaje de una manera
apropiada, sino que utilizan algunas veces expresiones ambiguas como:
cancelamos estas dos cosas que son iguales.
1 RESNIK Y FORD, citado por BEYER, W., en: Influencia del lenguaje formal en la solución de problemas. Revista Educación y Ciencia Humana N.10, Caracas, Venezuela, 1998. p.61, 64 2 Ibid., p.61
19
Reverand (1986) en una investigación realizada con una muestra de estudiantes
de educación secundaria, afirma que un alto porcentaje de errores cometidos por
éstos, al intentar resolver problemas algebraicos literales están en la fase de
traducción y el uso del lenguaje formal con el cual se enuncian los planteamientos
del problema.
De todas formas, si al estudiante no se le explica bien el significado de la
simbología y del lenguaje formal utilizado en un determinado problema y de su
utilización adecuada en su resolución, es poco lo que se avanza en este tipo de
aprendizaje.
Espinosa y Pardo, presentan algunas dificultades con las que se encuentran los
estudiantes al momento de enfrentarse con un enunciado matemático:
“Se les dificulta notoriamente pasar del lenguaje natural al lenguaje
matemático.
Al ver el enunciado matemático empiezan a realizar una serie de
operaciones, así el enunciado exija sólo una interpretación gráfica o espacial.
Cuando el enunciado está formado por dos o más partes, el estudiante
trabaja con una de ellas y olvida las otras, lo cual le impide captar de manera
general el problema”3
Luego de presentar las anteriores dificultades, Espinosa y Pardo enfatizan la
importancia que debe dársele al lenguaje para la solución correcta de problemas
en matemática. Para ello recomiendan algunas estrategias a los docentes, entre
las cuales señala:
1. “Estudiar claramente los problemas asociados al significado, entre los
3 ESPINOSA M, Gabriel y PARDO T, Miriam. “La comprensión de lectura en la matemática”. En: Revista Educación y Cultura Nº 29, 1993. p 59
20
cuales se encuentran la polisemia∗ y la sinonimia∗∗.
2. Indicar claramente el significado de la terminología propia de la matemática
3. Familiarizar al estudiante con el vocabulario formal propio de la matemática.
4. Hacer estos señalamientos en forma constante al estudiante, para
garantizar que éste asigne importancia al lenguaje como elemento básico
para su éxito al resolver problemas.”4
Gilberto Obando Zapata y otros autores, plantean que “la enseñanza de los
números enteros ha estado situada hacia los grados 6º o 7º de la educación
básica. Además, dada la organización curricular lineal y rígida de la matemática
escolar, antes de estos grados los niños difícilmente son puestos en situaciones
de aula en las que se vean en la necesidad de utilizar, de manera intuitiva,
nociones básicas relacionadas con los números enteros, o mejor aún, con las
nociones básicas de lo positivo y lo negativo. Esta situación se presenta a pesar
de que ellos, en su vida cotidiana, se ven enfrentados a situaciones que implican
una primera aproximación a este sistema numérico; por ejemplo cuando juegan
(pierden, ganan, quedan debiendo); en sus casas (sus padres tienen deudas,
hacen préstamos, pagan acreencias); en las noticias (información estadística
sobre la economía del país, las tasas de interés, etc.
La presencia de situaciones como las anteriores en la vida cotidiana de los
alumnos, muestran que, en principio, si tendría sentido generar propuestas de
aula que inicien el trabajo de los números enteros desde los primeros grados de la
educación básica (claro está, sin pretender que a esta edad se aprenda el
tratamiento formal que implica la complejidad de los enteros como sistema
matemático.
∗ Polisemia se refiere a la pluralidad de significados de una palabra. Las palabras pueden ser monosémicas (un significado), disémicas (dos significados) o polisémicas. ∗ ∗Sinonimia se refiere a la coincidencia de significados entre dos o más significantes. 4 Ibid., p.59
21
Algunas dificultades en el aprendizaje de los números enteros: Es común encontrar
que los alumnos al enfrentarse a situaciones que requieran del uso de los números
enteros, los asuman como si se tratará de números naturales. Esto se evidencia en
situaciones como:
Se interpreta como negativo todo aquello que esté antecedido de un signo menos,
por ejemplo: El número –x siempre se grafica a la izquierda del cero,
independiente de que x sea o no mayor que cero.
No se comprende que cuando x es menor que cero entonces – x es positivo
La marcada dependencia de la ley de los signos es otro asunto que impide un
manejo adecuado de las diferentes interpretaciones del signo menos. Por
ejemplo: Para encontrar el resultado de -2 – 3 algunos estudiantes no dudan en
afirmar que es +6 luego de multiplicar los números dados y sus correspondientes
signos; o en otros casos +5 después de sumar los números y multiplicar los
signos. Esto como resultado de omitir la interpretación de la expresión como la
suma del opuesto de 2 con el opuesto de 3 o alternativamente, la resta de tres al
opuesto de 2.
Al despejar una ecuación, en la cual se aplique la propiedad invertiva del
producto, también se hace inversión del signo: en la ecuación, 3x = 15 se despeja
como 53
15−=
−=x
La no comprensión de la sustracción como la operación inversa de la suma. Esto
es, que en los enteros sólo tiene sentido hablar de la operación suma, pues
cualquier resta se puede interpretar como una suma de inversos aditivos.
Sólo se admite el signo menos como un operador binario, esto es, la expresión 5-
3 sólo puede denotar la resta, y no se ve el -3 como el inverso aditivo de 3.
La no comprensión de los diferentes significados del signo menos. Por ejemplo –
(-3), el primer signo menos indica el operador opuesto de.., mientras que el signo
menos al interior del paréntesis puede denotar, o bien el opuesto aditivo, o bien un
número negativo.”5
5 OBANDO ZAPATA, Gilberto et al, “Números enteros”, en: pensamiento numérico y sistemas numéricos, Gobernación de Antioquia Secretaría de Educación para la Cultura, Medellín (Colombia), 2006, pp.31-32
22
2. DISEÑO TEÓRICO
2.1. FORMULACIÓN DEL PROBLEMA
Desde las observaciones realizadas en el aula de clase en el Colegio de La
Presentación de Rionegro, nuestro interés se enfoca en las dificultades que
presenta el estudiante al enfrentarse a solucionar problemas con enunciados
literales; a pesar de que el estudiante maneja con propiedad los algoritmos, le
cuesta establecer relaciones entre el lenguaje literal, las operaciones y símbolos
que le representan dicho enunciado.
Parece ser que la falencia para la solución de un problema matemático no radica
tanto en la aplicación de los algoritmos pertinentes sino en la dificultad para
entender el enunciado lingüístico que el problema plantee: la solución de un
problema matemático pasa primero por la comprensión del respectivo enunciado
lingüístico.
Todo lo anterior nos lleva a formular el siguiente problema: ¿Cómo lograr que los estudiantes del grado séptimo del Colegio de la Presentación de Rionegro, a partir de enunciados literales planteen ecuaciones de primer grado con números enteros que le faciliten la solución de problemas?
Este planteamiento es importante, ya que han sido pocas las investigaciones
realizadas donde se articule el lenguaje matemático con el lingüístico; además
por medio de la resolución de problemas se pretende que el estudiante asimile
los procesos matemáticos y los contextualice.
23
2.2. JUSTIFICACIÓN
Existen diversos paradigmas filosóficos, lingüísticos y matemáticos que se logran
enmarcar en un cuadro de reflexión a un sin número de pensadores, y es quizás
el paradigma de la vida una de las razones filosóficas que más puede llegar a
inquietarnos; pero sin duda existe una gran cantidad de elementos y sucesos que
nos avocan y nos hacen cómplices de la reflexión, tal es el caso de la articulación,
de la recopilación, donde se codifica y decodifica, es decir, donde el niño empieza
a aprender.
Imaginemos por un instante un niño que acaba de hacer su arribo a la humanidad
y nos sorprende con sus maravillosos actos de ternura, y pronto descubre que
posee movilidad, que puede balbucear y dar “manotazos”, luego reconoce su
fuerza y logra transformarla en un juego armonioso de habilidades, descubriendo
que puede gatear e incluso sostenerse de pie y dar sus primeros pasos, luego
volverse tan hábil que incluso puede hasta jugar y correr; de pronto, empieza a
descubrir que de sus cuerdas vocales emanan sílabas y éstas se resumen en
palabras como papá, mamá, casa, hasta poder sostener pequeños diálogos, luego
a medida que los niños crecen, los padres desean que ellos se vuelvan más
habilidosos en el manejo de su cuerpo y exploren sus habilidades mentales, y es
aquí, en su proceso de formación académica donde ocurre un fenómeno casi
inexplicable, o al menos sorprendente, pues de manera estructurada al niño se le
presentan figuras, colores y letras, descubriendo que puede articular las vocales
con las consonantes logrando construir a través de las letras el reconocimiento del
mundo.
Resulta curioso, cómo algunos matemáticos pretenden construir discurso a partir
de las mismas matemáticas creyendo innecesario o por lo menos relegando el
proceso articulado que debe existir entre las matemáticas y la lingüística; es aquí,
donde debemos recordar al estudiante que los logros académicos son la
24
compilación de los procesos, que a la vez éstos son el producto de las
motivaciones, aciertos y desaciertos que de una u otra forma hayan construido
con sus formadores.
Por todo esto nos hemos puesto en la tarea de reconocer las fortalezas, de hacer
remembranza del conocimiento y formar a partir del trabajo articulado entre la
lingüística y la matemática un estudiante que reconozca a partir de la palabra y
las estructuras gramaticales un lenguaje matemático, pues tanto la lingüística
como las matemáticas se hallan compuestas de códigos y símbolos, resultando
absurdo concebir la una sin la otra, ya que la misma naturaleza lo muestra y nos
enseña que la unidad es el objetivo y ningún proceso, ni elemento puede
concebirse como elemental, pues todos se hacen partícipes de la construcción del
conocimiento.
Es así como este proyecto está dirigido a estudiantes de 7º, a quienes se
brindarán pautas necesarias para que ellos realicen un reconocimiento lingüístico
con bases lo suficientemente sólidas para entender y desarrollar problemas donde
sea necesario realizar una lectura adecuada, extrayendo la parte propositiva de la
lingüística, toda la edificación matemática, y transformando de esta manera toda
la estructura literaria en planteamientos lógicos matemáticos, que doten al
estudiante de elementos sólidos que les permitan proponer y solucionar de
manera adecuada un problema matemático.
Con este proyecto se pretende que los estudiantes sean capaces de llegar a
relacionar su lenguaje cotidiano con el lenguaje y los símbolos matemáticos. El
uso de la comunicación oral y escrita como una herramienta con la cual los
estudiantes puedan reflejar su comprensión de las matemáticas, les ayudará a
personalizar y realizar conexiones entre los conceptos matemáticos.
La resolución de problemas juega un papel trascendental en esta nueva
aproximación de la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas, pues requiere
25
el manejo de una serie de elementos que lo lleven a saber formular, comprender,
utilizar, aplicar y comunicar conceptos y conocimientos matemáticos. Este análisis
se basa en la competencia interpretativa que lo lleva a utilizar estrategias que van
más allá del enunciado, donde se debe utilizar la interdisciplinariedad entre la
lingüística y la matemática.
2.3 OBJETIVO
Diseñar, aplicar y evaluar una propuesta metodológica sobre comprensión lectora
en resolución de problemas con números enteros para estudiantes de grado
séptimo.
2.4 PREGUNTAS DE INVESTIGACIÓN
Para el logro del objetivo planteado, nos proponemos hallarle respuesta a las
siguientes preguntas de investigación:
¿Qué establecen y sugieren las investigaciones en cuanto a la enseñanza de
las matemáticas enfatizada en la resolución de problemas y de qué manera
influye la comprensión lectora en el planteamiento de ecuaciones con números
enteros?
¿Cuáles aspectos debe reunir una propuesta metodológica basada en
resolución de problemas en el conjunto de los números enteros, que le
facilite al estudiante su comprensión?
¿Cómo se debe diseñar la evaluación para que permita constatar las habilidades
adquiridas por el estudiante en el planteamiento y resolución de problemas de
ecuaciones de primer grado en el conjunto de los números enteros?
26
2.5. TAREAS DE INVESTIGACIÓN
Hacer una revisión y recolección bibliográfica referente a la resolución de
problemas y a la relación entre lenguaje matemático y lingüístico.
Diseñar una propuesta metodológica que contribuya a solucionar el
problema formulado.
Diseñar y aplicar una propuesta evaluativa que permita indicar las
bondades del trabajo, la obtención del logro y la solución del problema
planteado.
27
3. FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA
“Aprender sin pensar nos vuelve caprichosos, pensar sin aprender, es un desastre” Confucio
El colegio La Presentación de Rionegro, con una fundamentación epistemológica
agrupada en los preceptos cristianos de Marie Poussepin y en las etapas de
desarrollo de Jean Piaget, enfoca su proceso de aprendizaje en una perspectiva
holística de formación temática y pragmática conforme a los estándares y
lineamientos que el MEN imparte para regular el esquema académico hacia la
toma y conciencia de las competencias básicas: interpretativa, argumentativa y
propositiva.
Ahora bien, dicho esquema basado en las competencias no logra abrir el abanico
didáctico hacia nuevas herramientas que faciliten y dinamicen las prácticas
pedagógicas. Es por ello que se hace urgente la apertura a nuevos dispositivos
de enseñanza que viabilicen la correspondencia entre los enunciados literales y
las codificaciones matemáticas que de éstos se pueden hacer.
A la luz de los resultados en las Pruebas estandarizadas presentados en las
estudiantes del colegio La Presentación de Rionegro, se pudieron detectar
diversidad de falencias que parten del equívoco análisis de los textos que ofrecen
inversiones matemáticas, en una clara evidencia de poca comprensión y
asimilación semántica entre lo literal y los símbolos matemáticos.
Desde este panorama se hace un rastreo teórico que brinda los elementos
pertinentes para apoyar una propuesta encaminada a la congruencia semántica
entre los enunciados literales y su equivalencia en símbolos matemáticos, sin
28
dejar de establecer el vínculo cognitivo entre lenguaje, pensamiento y discurso
lógico –matemático.
3.1 MARCO TEÓRICO 3.1.1 Pensamiento numérico: Resulta inconcebible realizar una propuesta de
carácter educativo al margen de lo que propone y sugiere el MINISTERIO DE
EDUCACIÓN NACIONAL que debe ser tenido en cuenta e incorporado en el
proceso de enseñanza y de aprendizaje en las instituciones educativas, por tal
razón se hace un recorrido por la Ley General de Educación, los Lineamientos
Curriculares para Matemáticas y los Estándares Básicos de Calidad para
Matemáticas con el propósito de extraer de éstos, aquellos aportes que hacen en
el marco de los números enteros en el grado séptimo.
De igual forma y continuando con nuestro recorrido, según los Estándares y los
Lineamientos Curriculares para Matemáticas nuestra propuesta de intervención
pedagógica se centra en el pensamiento numérico y los sistemas numéricos,
específicamente en el sistema de los números enteros. Esta propuesta se
enmarca en el pensamiento numérico debido a que nuestra intención es lograr
una comprensión, por parte de los estudiantes, de los números enteros y de las
operaciones fundamentales que existen con estos números y, a su vez, que
puedan aplicar dichos conocimientos en diferentes contextos.
Los autores de los estándares afirman que los niños con sentido numérico
comprenden los números y sus múltiples relaciones, reconocen las magnitudes
relativas de los números y el efecto de las operaciones entre ellos y han
desarrollado puntos de referencia para cantidades y medidas.
En este sentido Mcintosh (1992) amplía este concepto y afirma que: “El
pensamiento numérico se refiere a la comprensión general que tiene una persona
sobre los números y las operaciones, junto con la habilidad y la inclinación a usar
29
esta comprensión en forma flexible para hacer juicios matemáticos y para
desarrollar estrategias útiles al manejar números y operaciones”6 Así se refleja
una inclinación y métodos cuantitativos como medios para comunicar, procesar e
interpretar información.
Desde una perspectiva más amplia, Resnick, 1989 (citada por Judith Sowder,
1992), propone que el pensamiento numérico debe ser considerado como una
forma de pensamiento superior y que por tanto debe presentar características
como:
“No algorítmico, esto es, el camino de la acción no está totalmente
especificado de antemano.
Tiende a ser complejo: el camino total no es visible desde ningún lugar en
particular.
Abre un campo de soluciones múltiples, cada una con costos y beneficios,
antes que una única solución.
Involucra juzgar e interpretar
Involucra la aplicación de varios criterios: no siempre que iniciamos una
tarea, conocemos el camino para su solución.
Involucra autorregulación de los procesos de pensamiento
Involucra imposición del significado, encontrando estructura en el aparente
desorden.”7
Así pues, como “el pensamiento numérico se adquiere gradualmente y va
evolucionando en la medida en que los alumnos tienen la oportunidad de pensar
en los números y de usarlos en contextos significativos”8, proponemos tres guías
como medio facilitador para representar numéricamente enunciados lingüísticos.
Así mismo, en el marco de este pensamiento “es fundamental la manera cómo los
estudiantes escogen, desarrollan y usan métodos de cálculo, incluyendo cálculo 6 Ministerio de Educación Nacional. Lineamientos curriculares matemáticas, Bogotá, 1998, p.43 7 Ibid,. p.43 8 Ibid,. p.44
30
escrito, cálculo mental”9 y, por supuesto, la manera cómo reflexionan sobre las
respuestas obtenidas. Por consiguiente, no se trata solamente de aplicar unos
algoritmos sino también de reflexionar si esa solución a la que se llegó tiene
sentido y coherencia de acuerdo con los ejercicios o problemas a los que se
enfrenten los estudiantes.
El trabajo escolar debe centrar su atención en tres aspectos que son ampliamente
tratados en el documento de Lineamientos Curriculares. Estos aspectos son:
Comprensión de los números y de la numeración
Comprensión del concepto de las operaciones
Cálculo con números y aplicación de números y operaciones
“El pensamiento numérico implica reconocer que con frecuencia existen diferentes
estrategias de resolución para un problema dado. Cuando una estrategia inicial
parece ser improductiva, la respuesta apropiada es formular y aplicar una
estrategia alternativa. Esta tendencia a dedicarse a un problema de diversas
maneras permite comparaciones de diferentes métodos antes de hacer un juicio
definitivo o dedicarse a una sola estrategia”10
Por otro lado, continuando con los Estándares básicos de calidad en matemáticas,
se sugiere que los estudiantes de séptimo grado en cuanto al pensamiento
numérico orientado en los números enteros, deben ser capaces de11:
Utilizar los números en sus diferentes representaciones (resolver y formular
problemas aplicando propiedades de los números y de sus operaciones.
9 Ibid, pág.43 10 Ibid. Pág.55 11 Ministerio de Educación Nacional. Estándares, Santafé de Bogotá, 1996, p. 26
31
Resolver y formular problemas, utilizando propiedades fundamentales de la
teoría de los números.
Formular y resolver problemas en situaciones aditivas y multiplicativas en
diferentes contextos.
Justificar operaciones aritméticas utilizando las relaciones y propiedades
de las operaciones.
Desde los lineamientos curriculares de matemáticas se hace especial énfasis en la
resolución de problemas como método integral de la enseñanza de la matemática.
Allí se indica que la resolución de problemas es un proceso que debe penetrar
todo el diseño curricular y proveer el contexto en el cual los contenidos y las
actitudes pueden ser aprendidos. La habilidad de plantear y resolver problemas
con una variedad de estrategias y recursos, aparece no sólo como contenido
procedimental, sino también como una de las bases del enfoque general con que
han de trabajarse los contenidos de matemática, situándose como un aspecto
central en la enseñanza y el aprendizaje de esta área.
Esta recomendación descansa en una concepción particular sobre lo que significa
la matemática, su enseñanza y su aprendizaje.
La concepción sobre la matemática afecta la propia concepción sobre cómo debe
ser enseñada. La manera de enseñar es un indicador sobre lo que uno cree que
es esencial en ella....El punto entonces no es ¿cuál es la mejor manera de
enseñar?, sino, ¿de qué se trata la matemática?
Sin embargo, estas concepciones, al igual que el término “resolución de
problemas” varían ampliamente. Thompson (1992) señala que existe una visión
de la matemática como una disciplina caracterizada por resultados precisos y
procedimientos infalibles cuyos elementos básicos son las operaciones
aritméticas, los procedimientos algebraicos y los términos geométricos y teoremas;
saber matemática es equivalente a ser hábil en desarrollar procedimientos e
identificar los conceptos básicos de la disciplina. La concepción de enseñanza de
32
la matemática que se desprende de esta visión conduce a una educación que
pone el énfasis en la manipulación de símbolos cuyo significado raramente es
comprendido.
Una visión alternativa acerca del significado y la naturaleza de la matemática
consiste en considerarla como una construcción social que incluye conjeturas,
pruebas y refutaciones, cuyos resultados deben ser juzgados en relación al
ambiente social y cultural. La idea que subyace a esta visión es que “saber
matemática” es “hacer matemática”. Lo que caracteriza a la matemática es
precisamente su hacer, sus procesos creativos y generativos. La idea de la
enseñanza de la matemática que surge de esta concepción es que los resultados
deben enfocarse en actividades con sentido, originadas a partir de situaciones
cotidianas estas situaciones requieren de un pensamiento creativo, que permita
conjeturar y aplicar información, descubrir, inventar y comunicar ideas, así como
probar esas ideas a través de la reflexión crítica y la argumentación.
3.1.2 La resolución de problemas en la educación matemática: Existe un
acuerdo general en aceptar la idea de que el objetivo primario de la educación
matemática debería ser que los alumnos aprendan matemática a partir de la
resolución de problemas. Sin embargo, dadas las múltiples interpretaciones del
término, este objetivo es difícilmente claro.
Una característica de las matemáticas en términos de la resolución de problemas
refleja una dirección que cuestiona la aceptación de las matemáticas como un
conjunto de hechos, algoritmos, procedimientos, o reglas que el estudiante tiene
que memorizar o ejercitar. En su lugar los estudiantes participan activamente en
el desarrollo de las ideas matemáticas, los problemas son definidos con menos
precisión, y donde el aprendizaje se relaciona con la práctica de desarrollar
matemáticas. Es decir, el estudiante aprende matemáticas al ser inmerso en un
medio similar al de la gente que hace matemáticas. “…Concebir a las matemáticas
33
como una disciplina didáctica implica reformular tanto los contenidos como la
forma de su enseñanza. Es necesario reducir el énfasis en los cálculos
aritméticos o fórmulas, y dar más importancia al significado de las operaciones, a
la evaluación razonable de los resultados y a la selección de procedimientos y
estrategias adecuadas”12
Enseñar a resolver problemas no consiste sólo en dotar a los estudiantes de
destrezas y estrategias eficaces sino también de crear en ellos el hábito y la
actitud de enfrentarse al aprendizaje como un problema al que hay que encontrar
respuesta. No se trata sólo de enseñar a resolver problemas, sino también de
enseñar a plantearse problemas, a convertir la realidad en un problema que
merece ser indagado y estudiado. El aprendizaje de la solución de problemas sólo
se convertirá en autónomo y espontáneo, si se genera en el estudiante la actitud
de buscar respuestas a sus propias preguntas. El verdadero objetivo final de que
el alumno aprenda a resolver problemas es que adquiera el hábito de plantearse y
resolver problemas como forma de aprender.
Analicemos ahora algunos puntos importantes relacionados con el concepto de
“problema” con el fin de sentar posición frente al concepto en este trabajo.¿Qué es un problema?” Según Rogert Garret un problema “es una situación o conflicto
para el que no tenemos una respuesta inmediata ni algoritmo ni heurístico”13
Según Fraisse y Peaget, “en principio se puede considerar como problema, toda
situación que un sujeto no puede resolver mediante la utilización de su repertorio
de respuestas inmediatamente disponibles. Sólo se puede hablar de problemas
en los casos en que una solución es posible”14
Para Polya, “resolver un problema es abordar la situación con un cierto número 12 SANTOS TRIGOS, Luz Manuel, “La naturaleza de las matemáticas y sus implicaciones didácticas”, en revista Mathesis, volumen IX, (4), México, 1993, pp. 426-427 13 HENAO CIRO, Rubén Darío. “Un viaje literario en la enseñanza de las matemáticas, ed., Nuevo horizonte Ltda, Medellín, 2005, p.64 14 FRAISSE y PEAGET J. “La inteligencia”, ed., Paidós, Buenos Aires, 1973, p.54
34
de esquemas de respuestas que se intentan aplicar, pero que muestran no ser
eficaces y desean ser modificados o reemplazados por otro que el sujeto
inventa”15
Allan Schoenfield, define el problema como “una tarea en la cual el alumno está
interesado o involucrado y para la cual desea obtener una resolución, pero no
dispone de un medio matemático accesible para dicha resolución”16
Del ejercicio al problema: Podemos partir de una definición ya clásica de
problema, que lo identifica con una situación que un individuo o un grupo quiere o
necesita resolver y para la cual no dispone de un camino rápido y directo que le
lleve a la solución. Esta definición con la cual parecen estar de acuerdo la
mayoría de los autores hace referencia a que una situación sólo puede ser
concebida como un problema en la medida en que no dispongamos de
procedimientos de tipo automático que nos permitan solucionarla de forma más o
menos inmediata, sino que requiere de algún modo un proceso de reflexión o toma
de decisiones sobre la secuencia de pasos a seguir.
Esta última característica es la que diferencia un verdadero problema de los
ejercicios. Expresado con otras palabras, un problema se diferenciará de un
ejercicio en que, en este caso, disponemos y utilizamos mecanismos que nos
llevan de forma inmediata a la solución. Por tanto, es posible que una misma
situación constituya un problema para una persona, mientras que para otra ese
problema no existe, reduciéndose a un mero ejercicio. Por ejemplo, arreglar un
circuito eléctrico es un ejercicio sencillo para algunas personas, pero un complejo
y costoso problema para otras. Del mismo modo, interpretar la información
recogida en una gráfica o despejar una incógnita en una ecuación matemática,
puede constituir un problema, un ejercicio o ninguna de las dos cosas, con
15 POLYA, George, cómo plantear y resolver problemas, ed.Trillas, 5ª edición México: , 1970 16 HENAO CIRO, Op. Cit., p.64
35
alumnos con distintos conocimientos y actitudes.
En definitiva, la resolución de problemas y la realización de ejercicios constituyen
un continuo educativo cuyos límites no siempre son fáciles de delimitar. Sin
embargo, es importante que en las actividades de aula la distinción entre ejercicios
y problemas esté bien definida y, sobre todo, que quede claro para el estudiante
que las tareas reclaman algo más de su parte que el simple ejercicio repetido.
Ahora queremos resaltar que los ejercicios y problemas requieren de los
estudiantes la activación de diferentes tipos de conocimiento, no sólo de diferentes
procedimientos sino también de distintas actitudes, motivaciones y conceptos. En
la medida en que son situaciones más abiertas o nuevas, la solución de problemas
supone para el alumno una demanda cognitiva y motivacional mayor que la
ejecución de ejercicios, por lo que muchas veces los estudiantes no habituados a
resolver problemas son inicialmente remisos a intentarlo y procuran reducir los
problemas a ejercicios rutinarios.
A pesar de los diferentes tipos de problemas y las divergencias en los
procedimientos de resolución, también es cierto que existen una serie de
procedimientos y habilidades que son comunes en todos los problemas y que
todas las personas ponemos en marcha con un menor o mayor acierto.
Evidentemente, para resolver cualquier problema tenemos que atender,
recordar, relacionar entre sí ciertos elementos, pero también es verdad que en la
mayoría de los problemas estas habilidades tienen que hacerse en un
determinado orden para que nos lleven a la meta.
¿Cómo resolver problemas matemáticos?, ¿Qué es la resolución de problemas?: La resolución de problemas es un proceso cognoscitivo
complejo que involucra conocimiento almacenado en la memoria a corto y a
largo plazo.
36
La resolución de problemas consiste en un conjunto de actividades mentales y
conductuales, en ellas se involucran factores de naturaleza cognoscitiva, afectiva y
motivacional.
Resolver un problema implica realizar tareas que demandan procesos de
razonamiento más o menos complejos y no simplemente una actividad asociativa
y rutinaria.
La resolución de problemas en el proceso de enseñanza y aprendizaje:
Muchos investigadores han analizado la actividad de resolución de problemas y
señalan que tal actividad es un proceso que involucra una serie de etapas. En
1965 Polya desarrolla una propuesta, a la que le añadimos los aportes de J.
Rodríguez, S. Krulik y otros, considerando la resolución de problemas dentro del
contexto de la enseñanza y aprendizaje de los estudiantes.
PRIMERA ETAPA: Comprender el Problema Durante esta etapa los estudiantes podrán distinguir claramente las partes del
problema, la incógnita, los datos y las condiciones. Los estudiantes deben dar
respuesta a interrogantes como:
a) ¿Qué se pide en el problema?
b) ¿Cuáles son los datos y las condiciones del problema?
c) ¿Es posible representarlo mediante gráfica, esquema o un diagrama?
d) ¿Es posible estimar la respuesta?
e) ¿Puedes enunciar el problema con tus propias palabras?
SEGUNDA ETAPA: Elaborar un Plan En esta etapa, se elabora un plan de acción para resolver el problema,
estableciendo una conexión entre los datos, las condiciones y el requerimiento del
problema. Muchas veces se llega a establecer estructuras matemáticas; esto es,
emplear un lenguaje matemático a partir del lenguaje natural.
Algunas preguntas que deben responder los estudiantes en esta etapa son:
a) ¿Se ha resuelto un problema similar a éste, antes?
37
b) Si ya se resolvió un problema semejante, ¿en qué podría ayudarnos a resolver
el problema actual?
c) ¿Se pueden organizar los datos en tablas y / o gráfico?
d) ¿Es posible resolver el problema por partes?
e) ¿Es posible considerar uno o varios caminos para la solución del problema?
f) ¿Cuál es su plan para resolver el problema?
g) ¿Qué estrategias se tendrán que desarrollar?
El desarrollar un plan requiere el empleo de una variedad de estrategias, entre
ellas podemos citar:
• Efectuar una o más operaciones aritméticas.
• Iniciar el proceso de solución de atrás hacia adelante.
• Organizar la información en una tabla.
• Búsqueda de patrones.
• Inducir a la aplicación de fórmulas.
TERCERA ETAPA: Ejecutar el Plan En esta etapa, se trata de llevar a cabo el plan establecido. Los estudiantes
deben:
a) Ejecutar el plan elaborado, verificando paso a paso el proceso que se sigue.
b) Efectuar los cálculos indicados en el plan
c) Ejecutar todas las estrategias pensadas, obteniendo varias maneras de
resolver el mismo problema.
CUARTA ETAPA: Hacer la Retrospección y Verificación En esta etapa, se comprueba y analiza la solución obtenida. Asimismo,
realizamos la retrospección, repasando todo el proceso seguido para alcanzar la
respuesta. Este espacio es un excelente ejercicio de aprendizaje que sirve
también para detectar y corregir posibles errores. Los estudiantes deben:
a) Examinar si la solución obtenida satisface las condiciones que exige el
problema.
38
b) Buscar una solución diferente y comparar resultados
c) Verificar la coherencia del resultado con los datos del problema.
Todas estas acciones son importantes y necesarias pero no son suficientes. Este
espacio debe dedicarse además a la reflexión, al desarrollo del pensamiento
crítico y creativo del alumno. Para ello se propone (según sea el caso) que el
estudiante:
Compruebe que la respuesta es posible y razonable. Por ejemplo, un peso de
183,23 kg no parece ser posible para alguien de siete años de edad, 22 ,45 kg
tiene más sentido.
Asimismo, decir que necesitamos 8,85 autobuses para trasladar a 460 sabiendo
que cada autobús puede llevar 52 alumnos; la respuesta es aritméticamente
correcta, pero no tiene sentido en la práctica. Los alumnos deben considerar si la
respuesta tiene sentido y es razonable. En este caso, debería considerarse 9
autobuses.
Cambiar las condiciones del problema. En esta actividad, el docente o los
estudiantes realizan algunos cambios en las condiciones dadas inicialmente al
problema, incrementando la dificultad y el requerimiento. Reflexionar a inquietudes
como: ¿qué ocurre si...?¿y si...? conduce a conceptos matemáticos más
avanzados. Extender el problema. El objetivo es descubrir qué capacidades y contenidos
matemáticos subyacen en el problema. Luego de reflexionar sobre la forma de
solución efectuada, se propone lanzar alguna hipótesis como: “entonces, quiere
decir que....” “en general se puede establecer que ....” Esta extensión puede
conducir a que el estudiante enuncie conceptos, deduzca fórmulas y establezca
generalizaciones.
39
Formular problemas. En esta etapa, el alumno debe tratar de formular nuevos
problemas similares al que resolvieron, los mismos que pueden ser resueltos
utilizando estrategias y procedimientos seguidos en la solución del problema
original. Esto permite que el alumno desarrolle su capacidad creativa y de
razonamiento.
QUINTA ETAPA: Comunicar sus hallazgos en forma oral y escrita Para un mejor logro de los aprendizajes, a los estudiantes debe dárseles
oportunidad para compartir sus soluciones con sus compañeros, de manera que
todos se beneficien de la experiencia. Asimismo, este hecho favorece el
desarrollo de las habilidades comunicativas y el uso del lenguaje matemático para
comunicar sus ideas. Es necesario hacer un resumen sobre el problema y su
solución, el resumen fuerza a los estudiantes a examinar sus métodos de
pensamiento desde el comienzo del proceso; esta forma de “metaconocimiento”,
de pensar sobre su propio conocimiento, ayuda a los estudiantes a clarificar sus
procesos mentales y reflexionar sobre sus propias ideas y habilidades de
razonamiento.
Finalmente, debemos hacer notar que, el mayor esfuerzo que los docentes deben
desplegar durante la resolución de problema con sus alumnos, está concentrado
en el primer y cuarto paso, destinado a la comprensión del problema, la
verificación de resultados y la reflexión de los procesos seguidos durante su
solución, así como el análisis crítico con relación a la respuesta.
40
ESQUEMA PARA RESOLVER UN PROBLEMA
Recuperar conocimientos
previos
Cerciorarse que se
comprende el
Comprender el problema
No conocer los pasos a
seguir
Conocer que paso se
deben seguir para solucionarlo
Emprender la búsqueda de posibles soluciones
Idear un plan
Ejecutar el plan
Verificar los resultados
- Identificar los datos, las condiciones y el requerimiento.
- Buscar un modo de representarlo. - Enunciar el problema en sus
propias palabras. - Estimar una respuesta
- Utilizar conocimientos previos de problemas similares
- Simplificar el problema - Tratar de resolver el
problema por partes. - Buscar varios caminos
de solución. - Establecer las
estrategias a utilizar. - Determinar las
operaciones que se aplicarán.
- Controlar rigurosamente los pasos planeados.
- Efectuar las operaciones previstas.
- Verificar la coherencia del resultado con los datos y las condiciones.
- Buscar una solución diferente y comparar resultados.
- Reflexión crítica de la respuesta. - Ampliar el problema. Generalizar. - Formular problemas similares.
Comunicar sus hallazgosHacer resúmenes sobre el proceso seguido y comunicar sus hallazgos, haciendo uso del lenguaje matemático para comunicar sus ideas.
41
3.1.3 Representación matemática: La representación es un conjunto de
símbolos que refuerza y ayuda al desarrollo de la interpretación de la realidad en
términos de cantidades; en el mismo momento en el que las representaciones son
consideradas herramientas con fines concretos, tanto para la comunicación, como
para la propia comprensión, adquieren un carácter estratégico para resolver
problemas y situaciones.
Del mismo modo en que nos es difícil actuar sobre algo sin representarlo, gran
cantidad de actividades matemáticas se vuelven inabarcables sin esta habilidad.
La visualización de los conceptos y contenidos matemáticos no será siempre, ni
en todos los estudiantes, ni en todos los casos, única. Es precisamente la
habilidad para cambiar de un código a otro la que refleja el dominio de un
estudiante en esta área. Al igual que las palabras no pueden usarse para
representar cualquier cosa, tampoco las representaciones matemáticas pueden
ser empleadas sin entender al contenido que reflejan. El uso de una
interpretación matemática específica para reflejar una situación implica el
reconocer en ella un modelo matemático concreto. Por tanto, una adecuada
representación matemática se basa forzosamente en un correcto análisis y
abstracción previos.
En cierto modo la resolución de problemas podría ser considerada también como
un proceso de traducción entre representaciones. Los problemas matemáticos
escolares se presentan como representaciones verbales de una situación que ha
de traducirse finalmente a una representación matemática (algebraica) o a una
sucesión de ellas. De hecho, una estrategia poderosa para solucionar problemas
lingüísticos es el empleo de representaciones intermedias.
El dominio de la matemática, por tanto necesita de la capacidad de representar en
diferentes códigos. Pero, además, como son en sí mismas un código con
42
vocabulario, sintaxis∗** y uso específico, aportan medios particulares para la
representación.
Modelación matemática: El poder modelar, es decir reproducir las
relaciones fundamentales que se establecen en el enunciado de un problema
despojado de elementos innecesarios o términos no matemáticos que dificultan la
comprensión, es una capacidad muy importante como la evidencian expertos en la
resolución de problemas. Una de las formas de modelar los problemas es mediante esquemas gráficos que
permitan a los estudiantes hacer visibles a los elementos que componen el
enunciado y las relaciones cuantitativas que se establecen entre ellos.
3.1.4..Enfoque del pensamiento por medio del lenguaje y la manipulación de símbolos: Este enfoque establece que la habilidad para pensar está dada por la
capacidad para manejar el lenguaje y las formas simbólicas; relaciona el lenguaje,
el pensamiento y la acción, presentando al lenguaje como el origen y la solución
de los problemas del pensamiento, y a la escritura como una ocasión para pensar,
y ya no como un medio de representar los pensamientos.
Este enfoque se basa en la visión de Vigotsky según la cual el pensamiento es la
interiorización del lenguaje, así la escritura sería el pensamiento sobre una hoja
en blanco y se utilizaría para pensar en la resolución de un problema o en el
aprendizaje de nuevos conocimientos. Una radicalización de este enfoque concibe
el objetivo de la educación como el proceso a través del cual los individuos se
hacen buenos oyentes, oradores, lectores y escritores estableciendo una relación
estrecha entre los procesos de lectura y escritura, en términos de la
transformación mutua de un proceso a partir del otro.
∗ ∗∗Sintaxis se refiere a la eestructuración organizada de las palabras, oraciones y frases, en matemática se refiere al orden lógico de las operaciones matemáticas.
43
El componente narrativo en la solución de problemas matemáticos: El
primer estadio para resolver cualquier problema matemático consiste en traducir
las palabras o signos del problema a una representación interna, que va desde
las palabras hasta una ecuación; por ello para la traducción o comprensión del
problema son fundamentales los conocimientos lingüístico y semántico.
El conocimiento lingüístico, hace referencia al conocimiento de la lengua en que
está redactado el problema, que permite reconocer las palabras, determinar su
significado.
El conocimiento semántico, se refiere al conocimiento de los hechos acerca del
mundo, así por ejemplo sabemos que una hora tiene 60 minutos, que los ríos
tienen corrientes que van río arriba y río abajo.
Además de los conocimientos del lenguaje la traducción del problema requiere la
utilización del conocimiento esquemático, mediante el cual quien enfrenta el
problema lo encaja en una forma general o esquema que ha interiorizado
previamente, de hecho muchas de las dificultades que tienen las personas para
resolver problemas provienen de la utilización de esquemas equivocados.
La solución del problema implica la utilización de los conocimientos operativo y
estratégico, el operativo se refiere a cómo llevar a cabo la secuencia de
operaciones matemáticas necesarias para encontrar la solución, es decir los
algoritmos necesarios para generar la respuesta correcta. El estratégico se
relaciona con las técnicas que utiliza quien resuelve el problema para saber cómo
utiliza los conocimientos que tiene disponibles en su enciclopedia cultural para
resolver un problema dado.
Tratemos de ilustrar el proceso de resolución de problemas mediante un ejemplo.
44
Un niño tiene en su maleta una caja de dos docenas de colores, en la clase de
educación artística presta a sus compañeros Juan 2 colores, a Pedro 3 colores y
a Luís 2 colores, para pintar los dibujos que han realizado. ¿Cuántos colores
prestó y cuántos le quedan en la caja?
Estadio
(problema)
Tipo de conocimiento
Ejemplo
Traducción
Solución
(respuesta)
Lingüístico
Semántico
Esquema
Operativo
Estratégico
Caja es un sustantivo
2 docenas = 24 colores
Este es un problema de suma y resta.
Reglas de la suma y la resta de aritmética.
Establecer subjetivos como por ejemplo: hallar la relación entre medidas de cantidad.
Análisis de la resolución del problema matemático de la caja de colores
Los procesos de solución de los problemas matemáticos siempre incluyen su
correspondiente argumentación, de ahí que exista una relación entre las formas
de argumentar y los procedimientos matemáticos, en los cuales necesariamente
interviene el lenguaje , este hecho se puede observar en las soluciones que dan
los niños a diferentes tipos de problemas desde muy temprana edad.
Comprensión lectora: A partir de las propuestas aplicadas al
mejoramiento de la calidad de la educación, realizadas por los autores: Rubén
Darío Hurtado, Mauricio Pérez y Gloria Inés Yepes, entre Otros; se puede decir
45
que para saber leer bien, no basta con los resultados del proceso, lo importante es
dominar el proceso lector. “Leer no consiste única y exclusivamente en descifrar
un código de signos sino que además y fundamentalmente supone la comprensión
de significado o mensaje que trata de transmitir el autor”17. Leer significa
comprender, entendiendo la comprensión como “una operación del pensamiento
que le permite al discente apropiarse del conocimiento, dándole la capacidad de ir
del todo a las partes y viceversa, también porque les permite la asimilación de los
conceptos, con su ayuda seleccionan los rasgos comunes y fundamentales de los
objetos y fenómenos que forman el contenido de los conceptos.”18 Rubén Darío Hurtado, expresa que “durante este proceso el lector debe ver la
información con esquemas que le permitan la representación organizada y
coherente del texto, es por esto que varios lectores comprenden de manera
diferente un mismo texto, ya que el resultado del proceso de lectura es un proceso
creativo que esta determinado por el pensamiento y el lenguaje que le permite
recrear la lectura. No se puede dejar de lado los componentes que siempre están
presentes como son el lector, el texto y el contexto.”19
Al respecto Gloria Inés Yépez citando a Goodman (1982) presenta algunas
estrategias que se deben tener en cuenta a la hora de leer:
“Muestreo: Es la capacidad para procesar la información gráfica del texto sin
sobrecargar el aparato perceptivo; es decir, se trata del reconocimiento
instantáneo de las palabras impresas.
17 ALONSO, Jesús, et al. “Comprensión lectora, modelos, entrenamiento, y evaluación”. En Revista Infancia, y Aprendizaje. Nº31- 32, 1995, p. 5 – 10. 18 NAVARRO L, Moisés, et al. Comprensión de textos matemáticos, tesis (Especialista en desarrollo del pensamiento reflexivo y la creatividad en educación). Universidad de Antioquia, Facultad de Educación, Medellín, 1999, p.45
19HURTADO V, Rubén Darío. Incidencia de la técnica del recuento en la comprensión lectora de los enunciados matemáticos en niños de 5º en educación básica primaria, Tesis (Magíster en Lingüistica) Facultad de Educación, Universidad de Antioquia, Medellín, 1996, P.28
46
Inferencia: Es la capacidad para deducir sobre la información que no está
planteada explícitamente en el texto.
Auto corrección: Es una estrategia por la cual, los lectores buscando mayor
información en el texto, proceden con cautela leyendo más despacio,
retrocediendo para comprender mejor los pasajes confusos, entre otros.”20
Según Mauricio Pérez (1999), un buen texto o discurso debe tener bien definidos
los siguientes elementos:
“Coherencia: Se refiere a la posibilidad de configurar una unidad global de
significado (macroestructura), gracias a la organización y secuenciación de los
enunciados, siguiendo algún tipo de estructura.
Cohesión: Opera en el nivel superficial del texto y corresponde al uso explícito de
recursos lingüísticos para establecer los nexos entre enunciados y símbolos. Uso
de pronombres y conectores, son algunos de estos recursos. Léxico: Se refiere a la selección de un tipo de lenguaje en atención al interlocutor
del texto, a una intencionalidad y a un contexto de comunicación. Un texto
configura un campo semántico.
Contexto: Entendido como la situación de comunicación en la que aparecen los
discursos y los textos: los escenarios, los interlocutores y sus roles, los intereses,
las ideologías en juego, las variables políticas son aspectos que definen el
contexto de comunicación
Intencionalidad: Los textos se producen en atención a un propósito comunicativo
y de acción. Leer es pasar directamente de lo que está escrito a la comprensión 20 YEPES C., Gloria Inés. “Leer: Todo un proceso. Universidad de Antioquia. Facultad de Educación
47
del mismo, debe ser comprendido como un acto cognitivo en el que no interviene
necesariamente la vocalización. La lectura es una actividad compleja que va más
allá del “clasificar”, o sea, del simple traducir el escrito en forma oral para poderlo
comprender. Leer significa fabricar sentido directamente a partir del escrito. No se
puede “enseñar” a leer. Se aprende a leer, como se aprende a hablar, a
caminar… lo que la escuela puede y debe hacer es ayudar al alumno en su
camino personal hacia la lectura, facilitarle las situaciones que le permitan vivir la
lectura y disfrutarla.”21
Algunas estrategias pedagógicas para facilitar la comprensión lectora:
El profesor Rubén Darío Hurtado recomienda las siguientes estrategias
pedagógicas para mejorar la comprensión lectora:
“Actividades para realizar antes y durante la lectura: Desde el mismo título del
texto y de sus imágenes, se puede invitar a los niños a escribir o hablar sobre el
posible contenido del texto; también se puede trabajar con los comentarios
previos. Otra actividad es la de leer pequeños comentarios sobre el texto, por
ejemplo reseñas; además se puede presentar videos alusivos al tema de la
lectura.
Estrategias pedagógicas para después de la lectura: El propósito central de
las estrategias para después de la lectura es habilitar a los niños para que den
cuenta de lo que dice el texto y reconstruyan las redes conceptuales que habitan
en él.
La técnica del recuento: La técnica del recuento es una estrategia que facilita la
reconstrucción del significado del texto. Después de leído, se invita a los niños a
hablar sobre lo que comprendieron, lo cual permite que expresen los resultados de
21 PERÉZ ABRIL, Mauricio. “Hacia una pedagogía del discurso”, elementos para pensar la comprensión argumentativa de los procesos de escritura en educación básica. En: Competencias y proyecto pedagógico, Santa fe de Bogotá, Universidad Nacional de Colombia, 2000
48
la interacción con el texto. A medida que los niños verbalizan, el profesor
promueve la discusión sobre lo comprendido.
La relectura: La discusión sobre lo comprendido en la lectura posee sus limites,
se llega a un punto en el cual cada participante de la discusión se aferra a su
punto de vista sin ceder, cuando esto sucede la única salida es la relectura, o sea
volver a leer el texto y verificar aquellos aspectos que no son claros. Esta es una
de las estrategias más potentes para mejorar la comprensión de la lectura y con
ella se logra reconstruir el significado de un texto.
El parafraseo: Otra estrategia para mejorar la comprensión de lectura es el
parafraseo, es decir, que los niños escriban con sus palabras lo que
comprendieron de un texto. El uso de un lenguaje propio permite observar el nivel
de apropiación del significado del texto leído.”22
Comprensión texto matemático: En el aprendizaje y enseñanza de las
matemáticas uno de los problemas que con mayor frecuencia se encuentran los
alumnos, es la lectura e interpretación del texto matemático. A continuación se
presentan algunos argumentos teóricos que explican los diversos elementos que
intervienen al enfrentarse a un texto de este tipo.
Vanegas, Denis y Gutiérrez, Jesús María en la tesis “ Estrategias de intervención
pedagógica para la enseñanza de las matemáticas desde su propio lenguaje”
plantean que muchas de las dificultades con las cuales se encuentran los
docentes y alumnos en el proceso de enseñanza y aprendizaje de las
matemáticas, están en el uso e interpretación de los lenguajes allí involucrados,
los cuales denominan de la siguiente manera: el lenguaje natural, donde se
definen conceptos, se verbalizan procesos y se plantean situaciones problema; el
22 HURTADO V., Op.Cit.,p.53
49
lenguaje especializado, en el cual muchas palabras y enunciados adquieren una
significación especial, y el lenguaje simbólico, donde se expresan las
matemáticas. Resaltan que en el lenguaje especializado (o técnico) se encuentran
palabras creadas en el lenguaje natural y que adquieren diferentes significados en
el contexto de las situaciones problemas, además su representación simbólica
guarda relación con los demás símbolos matemáticos que interactúan en la
situación.
Resaltan la importancia de mejorar la comprensión de los términos y los
significados, para lo cual se ha recomendado aclarar y negociar, en la medida en
que sea posible, el significado del lenguaje matemático antes de ser utilizado en
los problemas y aclarar el significado de los términos de uso corriente que
adquiere significado específico de las matemáticas. Así mismo, resaltan que el
hecho más significativo y quizá el de mayor dificultad radica en que las
matemáticas en sí poseen un lenguaje con una sintaxis y una semántica muy
particular que posibilitan la matematización de situaciones problemas o el tránsito
de situaciones expresadas en palabras tanto del lenguaje natural como del
especializado, a símbolos que permitan la aplicación formal de las reglas del
álgebra o de la aritmética.
Al respecto NAVARRO, Moisés y otros proponen que para “comprender el
conjunto de ideas expresadas en el lenguaje matemático, el alumno ha de conocer
el significado de las palabras inmersas en éste, para lo cual recomienda que el
profesor desarrolle estrategias que permitan focalizar la atención, activar los
conocimientos, potenciar el pensamiento y fomentar la creatividad.”23
Con el objetivo de seguir encontrando elementos que constituyen el lenguaje
matemático, Vanegas, Denis y Gutiérrez, Jesús María, plantean que en dicho
lenguaje “se pueden diferenciar palabras, frases, oraciones y proposiciones,
23 NAVARRO L., Op. Cit., p.39
50
resaltando los siguientes elementos para algunos de ellos: serán frases las
expresiones como “siete más ocho (7+8)”, “dos tercios (2/3)”; mientras que serán
oraciones las siguientes expresiones: “7+8 = 15 y 8/4 = 2”, las cuales se leen
“siete más ocho igual a quince” y “ocho dividido cuatro es igual a dos”
respectivamente. Así mismo aclaran que en el lenguaje matemático son de
carácter enunciativo y de ellas se pueden afirmar su falsedad o verdad, dichas
oraciones se conocen en el campo matemático como proposiciones, las cuales en
procesos algorítmicos y aritméticos el estudiante no las conocen como tal.”24
Consideramos, muy importante, que los estudiantes en el proceso de aprendizaje
de las matemáticas se habiliten para la escritura y la lectura de enunciados
matemáticos; pues desafortunadamente se les induce a partir de órdenes con
relación a algoritmos, centrando su atención en los símbolos más que en su
significado y generando escrituras que no comunican mucho en el campo
matemático, como es el caso de las operaciones verticales en donde se pierde la
riqueza comunicativa de las expresiones y surgen dificultades básicamente con el
uso del signo igual ( = ).
Con respecto al aprendizaje de las matemáticas se plantea que uno de los
aspectos de gran importancia en éste es la incidencia del lenguaje; resulta que “el
educando debe interpretar enunciados, axiomas y teoremas, presentando de
forma verbal o escrita, buscando las aplicaciones y relaciones que le permitan
interiorizar los contenidos del área, también debe comprender las relaciones
lógico-gramaticales. Esto es, las connotaciones de los símbolos, las palabras y
las proposiciones y de los vínculos entre ellos. “25
Espinosa y Pardo, retoman a Mile A. Claret para resaltar que de la forma cómo se
presenta el enunciado de un problema, depende el éxito o el fracaso de los
24 GUTIERREZ M., et al. “Estrategia de intervención pedagógica para la enseñanza de las matemáticas desde su propio lenguaje”, tesis (Especialista en enseñanza de las matemáticas) Universidad de Antioquia, Facultad de Educación Medellín, 2000, p. 40
25 NAVARRO L., Op. Cit., p.47
51
estudiantes para resolver el problema. Resaltan que las palabras usadas por los
maestros, los estudiantes no las comprenden en su totalidad, además éstos no
poseen completamente desarrollado el vocabulario utilizado por el profesor. De
igual manera referencian a Gaston, Mialeret (1995) quien demostró que la
importancia de la formulación del enunciado juega un papel de primer orden.
Dicen Espinosa y Pardo “que un mismo problema puede enunciarse de tres
formas diferentes: concreta, intermedia y abstracta, y según el enunciado los
resultados son diferentes”26. Consideran que algo similar ocurre entre problemas
parecidos en un plano matemático cuando se utilizan números pequeños y
grandes, se creería que los números grandes producen miedo al estudiante
haciéndolo perder la relativa seguridad que tiene cuando trabaja con números
pequeños (1993, 59).
David Pimm en su libro “El Lenguaje Matemático” resalta los “textos matemáticos
mixtos o simbólicos”, los cuales hacen más compleja la lectura de los diversos
símbolos que conforman el sistema matemático escrito. Clasifica los símbolos
individuales en cuatro clases: logogramas, pictogramas, símbolos de puntuación y
símbolos alfabéticos. Con respecto a los logogramas y pictogramas resalta que
con ellos sólo es posible leerlos como una palabra. Ante la expresión “2+3”, dice
que puede leerse como “dos más tres”, “dos y tres” o “tres sumado a dos”; el
símbolo “+” suele denominarse “signo más” y para poderlo leer se debe reconocer
su nombre, de lo contrario no podría escribirse. “La representación escrita no
ayuda a ello, ni existe nada parecido a una correspondencia paritaria entre los
signos y las posibles vocalizaciones” (1990, 200).
En lo relacionado con los signos de puntuación y alfabéticos se resaltan dos
posibilidades generales: “leer en el nivel de los significados o en el nivel de los
símbolos de puntuación o alfabéticos”. Se presenta como ejemplo la expresión 26 ESPINOSA M., Op. Cit., p.
52
“dx / dy”, la cual puede leerse en el nivel de los símbolos mismos como “d y sobre
d x”, y en el del significado como “derivada de x respecto a y”. Los dos casos
presentan diferencias en la lectura, así, en el primero, se pronuncia cada símbolo
de manera aislada teniendo en cuenta la descripción de las posiciones relativas de
los símbolos; en el segundo, “el significado orienta la vocalización”.
Vanegas y Gutiérrez resaltan “que todo lenguaje está constituido a partir de un
alfabeto o conjunto de signos primitivos, los cuales se pueden agrupar formando
las palabras o las oraciones, pero aclaran que sólo son permitidas ciertas clases
de agrupaciones, las cuales obedecen a reglas de formación previamente
definidas .”27 Consideran como símbolos matemáticos los siguientes: “Grafemas: Símbolos que son utilizados en el contexto matemático y que
sustituyen palabras completas: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, +, -, <, >, ÷ entre otros.
Pictogramas: “Son los íconos utilizados en los que el símbolo está muy
relacionado con su significado”. Ejemplos: , para representar un triangulo; para
representar el cuadrado; etc.
Símbolos de puntuación: En el legnguaje matemático los símbolos como la
coma, el punto, el punto y coma, los dos puntos, son reemplazados por los
diferentes signos de puntuación.”28
Ellos plantean que “algunos símbolos que se emplean generalmente en
matemáticas, en ortografía, se utilizan como signos de puntuación. Ejemplos: a: b,
donde los dos puntos denotan la razón de “a” con respecto a “b”; f : A B, sirven
para indicar la definición de una función. Así mismo se resaltan otros símbolos
que corresponden a la puntuación en matemáticas como son: “(, [ ,{, y sus
correspondientes”. Dicen que la importancia de los símbolos no debe
menospreciarse, en especial cuando en matemáticas se cambia con frecuencia el
27 GUTIERREZ M., Op.Cit., p.35 28 Ibid., p.37
53
significado de algunos símbolos. “Los numerales están ligados a sus significados,
lo que supondría una seria violencia conceptual utilizar el símbolo numérico 6, por
ejemplo, como nombre de variable”.” 29
Para Gutiérrez y Vanegas “la notación matemática constituye un sistema muy
conservador en el que los mismos símbolos se utilizan de manera reiterada con
significados distintos en contextos diferentes, en vez de inventar otros nuevos.”30
(2000, 40). Resaltan que para evitar tantos obstáculos en el aprendizaje de las
matemáticas, se hace necesario que los símbolos empleados existan como
objetos conceptuales para los estudiantes, es decir, que sean reconocidos,
escritos y distinguidos sin esfuerzo.
Uno de los procesos fundamentales para que se comprenda lo que se lee es la
competencia, ya que si se tiene una buena competencia lectora es indiscutible que
haya un proceso de comprensión acorde a las necesidades.
3.1.5 Competencia: Actualmente en el ámbito de la educación se ha puesto de
moda el término de competencia, pero esto no significa que se conozca realmente
su sentido, antes por el contrario poco se sabe de sus implicaciones y
connotaciones, lo que se debe en gran medida a que es un término polisémico, lo
que se evidencia en los diferentes significados que se le atribuyen, dependiendo
en el campo al cual se aplique.
La propuesta General (ICFES, 1999, 21) define la competencia como: “las
acciones que un sujeto realiza cuando interactúa significativamente en un
contexto”.31
29 Ibid., p.38 30 Ibid., p.40 31 Ministerio de Educación Nacional. ICFES
54
“Competencia matemática: Se entiende el "saber hacer" en el contexto
matemático. Las competencias se evidencian en el "uso" que el estudiante hace
de la matemática para comprender, utilizar, aplicar y comunicar conceptos y
procedimientos matemáticos. Este "uso" de la matemática en diferentes niveles de
complejidad permite una aproximación al pensamiento matemático que el
estudiante va desarrollando en su vida escolar”32.
En las pruebas saber se establecen tres niveles de competencia, definidos por los
grados de complejidad a los que los estudiantes pueden llegar. A lo que cada
estudiante llega, es lo que se ha denominado "logro en la competencia
matemática". Los niveles en los que se expresan los resultados son los siguientes:
Competencia lectora: Retomando la noción de competencia en términos
de “las capacidades con que un sujeto cuenta para…” se mira entonces el “saber
puesto en acción”, es decir se mira qué hacen los estudiantes con el saber
adquirido ya sea para solucionar problemas o construir situaciones nuevas en un
determinado contexto que sea significativo para ellos.
a. Conocimientos previos: Cuando leemos no partimos de cero, sino
que la lectura se apoya en una serie de conocimientos que se
poseen, permitiendo la captación del mensaje escrito.
Estrategias personales de lectura y aprendizaje: Es poder detenerse en los
puntos sobresalientes o en aquellos que se relacionan con sus intereses y pasar
por alto todo lo demás. Formar hipótesis sobre lo que se va leyendo, predecir,
confirmar o reestructurar esas hipótesis.
Por lo tanto podemos afirmar que la competencia lectora es contraria del
aprendizaje memorístico ya que “la competencia se trata de un conocimiento 32 Ministerio de Educación Nacional, Op.Cit., p.26
55
derivado de un aprendizaje significativo” y no a la simple yuxtaposición de letras
para conformar palabras y luego oraciones. Ser competente, más que poseer un
conocimiento es saber utilizarlo de manera adecuada y flexible en nuevas
situaciones.
3.1.6 Niveles33 en matemáticas
Nivel I: En este nivel se consideran los alumnos que son capaces de resolver
ejercicios formales eminentemente reproductivos (saber leer y escribir números,
establecer relaciones de orden en el sistema decimal, reconocer figuras planas y
utilizar algoritmos rutinarios usuales), es decir, en este nivel están presentes
aquellos contenidos y habilidades que conforman la base para la comprensión
Matemática.
Nivel II. Situaciones problemáticas, que están enmarcadas en los llamados
problemas rutinarios, que tienen una vía de solución conocida, al menos para la
mayoría de los alumnos, que sin llegar a ser propiamente reproductivas, tampoco
pueden ser consideradas completamente productivas. Este nivel constituye un
primer paso en el desarrollo de la capacidad para aplicar estructuras Matemáticas
a la resolución de problemas.
Nivel III. Problemas propiamente dichos, donde la vía por lo general no es
conocida para la mayoría de los alumnos y donde el nivel de producción de los
mismos es más elevado. En este nivel los estudiantes son capaces de reconocer
estructuras matemáticas complejas y resolver problemas que no implican
necesariamente el uso de estrategias, procedimientos y algoritmos rutinarios sino
33 Silvia Puig (2003). Medición de la eficiencia del aprendizaje de los alumnos. Una aproximación a los niveles de desempeño cognitivo. Citado por Escobar Londoño Julia Victoria, módulo evaluación en educación matemática, de la teoría a la práctica. Gobernación de Antioquia Secretaría de Educación para la Cultura, Medellín (Colombia), 2007, p.67
56
que posibilitan la puesta en escena de estrategias, razonamientos y planes no
rutinarios que exigen al estudiante poner en juego su conocimiento matemático.
3.1.7 Evaluación: De acuerdo al decreto 230. “evaluar un alumno es una acción
por medio de la cual se busca emitir un juicio valorativo sobre el proceso de
desarrollo del estudiante, previo un seguimiento permanente que permita
determinar qué avances ha alcanzado con relación a los logros propuestos, qué
conocimientos ha adquirido o construido y hasta qué punto se ha apropiado de
ellos, qué habilidades y destrezas ha desarrollado, qué actitudes y valores ha
asumido y hasta dónde éstos se han consolidado”34 Por otro lado en este mismo decreto se plantea que la evaluación total del
estudiante busca analizar en forma global, los logros, dificultades, limitaciones o
potencialidades del estudiante, tanto en el campo de sus conocimientos como en
el de sus habilidades, actitudes y desempeños, en diferentes momentos y a través
de diferentes actividades, pruebas y mecanismos, en la cual además de los
docentes, madres y padres de familia mediante la heteroevaluación, participa el
mismo estudiante, con su autoevaluación, y la coevaluación con su docente. La
evaluación hoy en día, busca ser de corte más democrático y participativo, mucho
más flexible y abierta, como una acción comunicativa que invita a la reflexión, la
motivación y búsqueda de estrategias y alternativas para superar las debilidades y
deficiencias La evaluación tiene tres funciones:
Función diagnóstica, que consiste en identificar las condiciones y posibilidades
iniciales de aprendizaje de los estudiantes.
Función de control del aprendizaje, consiste en averiguar si los objetivos de
enseñanza están siendo alcanzados.
Función de discriminación o clasificación, consiste en averiguar cuál ha sido el
desempeño de un estudiante en un intervalo de tiempo amplio.
34 MARTÍNEZ GUERRA, Omar Raúl, HERRERA BOBB, Rosmary. Finalidades y alcances del Decreto 230 del 11 de febrero de 2002 Currículo, Evaluación y Promoción de los Educandos, y Evaluación Institucional
57
4. DISEÑO METODOLÓGICO
“La enseñanza de las matemáticas contribuye al pensamiento creativo y a la fantasía cuando los alumnos participan activamente en la búsqueda de nuevos
conocimientos y relaciones entre ellos; de ideas para la solución de ejercicios y problemas.” (Ballester, 1992, p.30)
En el esquema metodológico que se ha definido para pensar el encuentro
coherente entre los enunciados literales y los símbolos matemáticos, se ha hecho
una estructuración de guías en un diseño de actividades exploratorias, de
profundización y de aplicación y creatividad, a partir de las cuales se enfrenta al
estudiante a un reto cognitivo que transversaliza lo conceptual y lo numérico en un
desarrollo claro de casos y situaciones lingüísticas y procedimentales en el campo
de las matemáticas.
La población dispuesta para este escenario experimental, 16 estudiantes de 7º del
Colegio La Presentación de Rionegro, pasaron por una prueba diagnóstica en la
evidencia temática de pruebas estandarizadas que recogen las tres competencias
básicas en un formato de contexto, formulación de pregunta y opciones de
respuesta en el campo de la interpretación analítica, la argumentación sustentada
y la proposición semántica desprendida del diseño de la prueba.
El evento reflexivo de esta experiencia permitió formular diferentes interrogantes
que pusieron de manifiesto la poca equivalencia mental que el estudiante
estructura entre lo literal y lo simbólico numérico; de ahí que el carácter de la
investigación metodológica y empírica abra un abanico de opciones, para agrupar
simultáneamente elementos de la investigación aplicada y de la investigación
acción experimental con una preponderancia pragmática, en la cual el estudiante
lee y ejecuta desde una comprensión textual y dinámica.
58
Ahora bien, el método bibliográfico e inductivo, pone lo teórico como una tabula de
rigurosidad que expone trámites conceptuales de gran valor pedagógico en la
relación entre pensamiento, lenguaje y procedimientos matemáticos, de tal
manera que, tanto lo cualitativo como lo cuantitativo pasan a ser dos perspectivas
de análisis que no pierden el relieve de lo descriptivo y lo acumulativo para pensar
la matemática desde el texto bien construido y desde los ejercicios bien
enunciados.
De esta manera, el capítulo cumple un propósito orientador de la propuesta, y
canaliza los aspectos investigativos que delinean y depuran el vínculo enseñanza
– aprendizaje en la holística de un pensamiento conectado con el lenguaje y con
las formas matemáticas que lo expresan.
4.1 FORMA Y TIPO DE INVESTIGACIÓN Nuestra investigación puede ser asumida como una investigación metodológica y
empírica al mismo tiempo, pues las actividades exploratorias le dan la posibilidad
al estudiante de “poner en juego sus conocimientos”.
A lo largo de la propuesta hacemos uso de la metodología cuantitativa, en cuanto
a la recogida de los datos de las diferentes pruebas que se realizarán durante la
propuesta y que servirán para diagnosticar los avances obtenidos durante la
misma. Igualmente, la metodología cualitativa cobra su importancia dentro de la
investigación en la medida que nos arroja la parte interpretativa de las respuestas
que proporcionan los estudiantes en la aplicación de la intervención pedagógica.
4.2 POBLACIÓN Y MUESTRA
Para aplicar esta propuesta pedagógica se escogieron de forma aleatoria 16
59
estudiantes del grupo 7ºB del Colegio de La Presentación de Rionegro, porque
este tema se había trabajado en el primer semestre y no fue posible retomarlo
con todo el grupo para aplicar las guías. Por esta razón se pidió autorización a
la Rectora y a la Coordinadora Académica para trabajar la propuesta en otro
espacio de clase.
4.3 PROPUESTA DE INTERVENCIÓN 4.3.1 Estructura de las guías: Para trabajar el tema de ecuaciones con números
enteros se han diseñado tres guías; la primera trabaja modelación de enunciados,
la segunda solución de problemas por método del tanteo, la tercera solución de
problemas más complejos aplicando propiedades de las operaciones básicas.
Cada guía tiene tres momentos. El primer momento denominado: actividades de exploración. Aquí se incluyen algunos acontecimientos históricos referentes
al tema, se plantean algunas preguntas para asegurar conocimientos previos y
se proponen algunos ejemplos. Estas actividades permiten el reconocimiento de
los preconceptos que se necesitarán para aprender y comprender los temas que
se pretenden desarrollar.
El segundo recibe el nombre de actividades de profundización. Durante éstas
se presenta el cuerpo conceptual de los temas que se desean abordar durante el
proceso. Aquí se incluyen talleres conceptuales orientados, consulta del tema,
planteamiento y solución de algunos problemas cotidianos.
El tercero se denomina como actividades de aplicación y creatividad. Después
de haber experimentado y recreado los conceptos, se pretende profundizar o
afianzar éstos con actividades que potencien el desarrollo del pensamiento
numérico, crítico, reflexivo y creativo, además de la integración de las áreas.
60
4.3.2 Metodología: Inicialmente se aplicó la prueba diagnóstica, y a partir de
ésta se empezaron a trabajar las guías, cada una con una duración de 2 horas de
clase. Las actividades de profundización y aplicación las trabajaron en la casa.
Las clases en las que se dio paso a la aplicación de la propuesta de intervención
pedagógica se caracterizaron por estar enmarcadas por los siguientes momentos
o etapas:
REFLEXIÓN: El espacio de reflexión aborda las preocupaciones, dificultades,
inquietudes e ideas que tienen los estudiantes respecto a un tema, un problema o
un suceso que haya acontecido en días anteriores, aunque también las reflexiones
se dan en torno a la lectura de una frase o texto, con miras a que los estudiantes
expresen lo que les suscita.
ASEGURAMIENTO DEL NIVEL DE PARTIDA: Aquí se hace un pequeño repaso
de lo que se vio en la clase anterior, de modo que se pueda dar una articulación al
contenido abordado con anterioridad y el nuevo que va a ser estudiado. En este
espacio se hacen preguntas a los estudiantes con respecto a dicho contenido,
esto con el fin de asegurar e identificar cuáles conocimientos han afianzado y
comprendido los estudiantes.
ORIENTACIONES GENERALES: En este espacio se les dice a los estudiantes
cuáles son los temas a abordar en dicha clase, incluyendo a su vez los momentos
en que se van a desarrollar los ejercicios; también en este punto se dicen cuáles
son las reglas del juego preparado para esta clase, o cómo se va a abordar la
guía.
DESARROLLO DEL CONTENIDO: Se refiere al momento en el que se está
llevando a cabo el desarrollo de las guías, la lectura del material por parte de los
estudiantes o la explicación por parte del profesor incluyendo ejemplos y la
solución de ejercicios de aplicación por parte de los estudiantes.
61
SOCIALIZACIÓN: Los estudiantes expresan cómo les pareció la actividad, qué
les gustó, qué se debería mejorar y demás interrogantes. También aquí se
expresa qué aspectos del nuevo contenido se comprendieron y qué se debería
volver a abordar para la próxima clase.
EVALUACIÓN: Este es el momento de constatación, en el que nos damos cuenta
si el estudiante ha comprendido lo trabajado en ésta y en las anteriores clases.
62
5. RESULTADOS CÁLCULO DEL TAMAÑO DE LA MUESTRA
POBLACIÓN: 46
Denotación de parámetros
N2: Población de estudio – 46 estudiantes
p: Probabilidad de que se alcancen los objetivos, P = 95% = 0,95
q: Complemento de p 05,095,01)1( =−=−=⇒ pq
E: Error permitido, es decir transcripción, omisión de palabras, digitación de
notas.
Se reemplazan estos valores en la siguiente fórmula estadística: la técnica para
calcular la muestra “n”
[ ] [ ]
[ ] [ ]
1676195,15)19,0()3645,0(
74,8
)19,0()45)(00810,0(74,8
05,0*95,0*4)146(*)09,0()46*05,0*95,0*4(
**4)1(*)***4(
2
2
≅=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
+=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
+=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
+−=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
+−=
n
n
n
n
qpNENqpn
De donde en una confiabilidad del 95% se puede determinar que la muestra
óptima es de 16 estudiantes.
MUESTRA = 16 estudiantes
63
ANÁLISIS DE PRUEBA DIAGNÓSTICA Análisis global
En promedio las notas obtenidas por los estudiantes es de
aproximadamente 2.8, lo que indica que éstos presentan dificultades en
cuanto al contenido abordado en la prueba diagnóstica con relación a los
conocimientos previos que poseen sobre la representación matemática y la
resolución de problemas con números enteros.
Aproximadamente el 63% de los estudiantes tiene una calificación igual o
inferior a 2.8
El 25% obtuvieron una nota entre 4.0 y 4.9, lo que indica que dichos
estudiantes tuvieron una calificación sobresaliente, por lo tanto podemos
concluir que una minoría de estudiantes están en capacidad de
comprender, representar y plantear ecuaciones de primer grado en el
conjunto de los números enteros.
El 12% obtuvieron una nota entre 3.0 y 3.9, lo que indica que dichos
estudiantes tuvieron una calificación aceptable, lo que permite afirmar que
esta minoría presentan deficiencias para comprender enunciados literales,
representarlos y plantear la ecuación de primer grado en el conjunto de los
números enteros.
En términos generales, aproximadamente el 63% de los estudiantes
obtuvieron una nota igual o inferior a 2.9, lo que nos indica que dichos
estudiantes tuvieron una calificación deficiente o insuficiente en cuanto a
los conocimientos que poseen sobre el contenido abordado en la prueba
diagnóstica, por lo tanto podemos concluir que la mayoría de los
estudiantes presentan dificultades para comprender enunciados literales,
64
representarlos y plantear la ecuación de primer grado en el conjunto de los
números enteros. Representar con números expresiones literales El 53% de las estudiantes representan correctamente los enunciados con
símbolos matemáticos.
En términos generales a las estudiantes les cuesta representar correctamente
enunciados literales, lo que nos permite concluir que no relacionan el lenguaje
natural con los símbolos y operaciones matemáticas. En el numeral 1b se
presenta una mayor dificultad, ya que el enunciado incluye varias operaciones
matemáticas.
Resolución de problemas El 46% de las estudiantes resuelven correctamente problemas matemáticos. Se
evidencia que las estudiantes tienen dificultades al relacionar el problema con las
operaciones matemáticas que implican su solución, a pesar de realizar este tipo
de algoritmos en ejercicios, concluyendo que las estudiantes aplican
procedimientos aritméticos, pero presentan dificultades para comprender el
problema y representarlo adecuadamente.
65
ANÁLISIS PRUEBA FINAL Análisis global
En promedio las notas obtenidas por los estudiantes es de
aproximadamente 4.3, lo que indica que éstos han adquirido conocimientos,
habilidades y hábitos para plantear ecuaciones de primer grado en el
conjunto de los números enteros a partir de enunciados literales. El 100% de los estudiantes ganaron la prueba, obteniendo excelente el
31%, sobresaliente el 50% y aceptable el 19%.
Aproximadamente el 37.5% de los estudiantes tienen una calificación igual
o inferior a 4.3
Representar con números expresiones literales El 90% de las estudiantes representan correctamente enunciados, relacionando el
lenguaje literal con los símbolos y operaciones matemáticas, se observa una
mayor comprensión lectora.
Resolución de problemas El 86% de las estudiantes resuelven correctamente los problemas. Se observa
que las estudiantes han adquirido conocimientos, habilidades y hábitos para
resolver problemas, lo que permite concluir que aplican métodos e instrumentos
de cálculo en la resolución de problemas en el conjunto de los números enteros.
En general se puede concluir que a través de la aplicación progresiva de las
diferentes guías de trabajo, los estudiantes mejoraron satisfactoriamente en la
comprensión de enunciados literales, su representación, planteamiento y solución
de ecuaciones de primer grado en el conjunto de los números enteros.
66
Las estudiantes mostraron interés en el desarrollo de la propuesta, realizando
tareas en clase, en la casa y abordaron las guías en su totalidad; las guías
permitieron un trabajo independiente de acuerdo al ritmo de cada estudiante.
A través del desarrollo de la propuesta las estudiantes se sintieron motivadas,
rompiendo esquemas de tediosidad hacia el desarrollo de las actividades
matemáticas; participaron activamente en las socializaciones.
Lograron una mejor comprensión lectora del enunciado de los problemas
matemáticos, estableciendo relaciones entre el lenguaje literal y el matemático,
aplicaron y relacionaron los enunciados con las operaciones matemáticas y sus
propiedades.
Se arriesgaron a justificar sus procedimientos y a formular problemas coherentes
comprobando la validez de éstos, de tal forma que el estudiante comprendió el
proceso y la aplicación de las operaciones básicas a las situaciones.
PRUEBA CHI CUADRADO Se aplica una prueba a 16 estudiantes del Colegio de La Presentación de
Rionegro para diagnosticar los conocimientos y habilidades que poseen para la
comprensión de enunciados literales, su representación, planteamiento y solución
de ecuaciones de primer grado en el conjunto de los números enteros.
Para esta prueba se tienen las siguientes opciones
1 Correcto
2 Incorrecto
PLANTEAMIENTO DE LAS HIPÓTESIS
H0: Las estudiantes del grado 7º del Colegio de La Presentación de Rionegro
presentan dificultades para la comprensión de enunciados literales, su
representación, planteamiento y solución de ecuaciones de primer grado en el
conjunto de los números enteros, por lo tanto es necesario implementar
67
estrategias que posibiliten la solución de problemas.
Hi: Los estudiantes del grado 7º del Colegio de La Presentación de Rionegro NO
presentan dificultades para la comprensión de enunciados literales, su
representación, planteamiento y solución de ecuaciones de primer grado en el
conjunto de los números enteros, por lo tanto NO es necesario implementar
estrategias .
PREGUNTA OPCIÓN 1 Fo Fe Fo- Fe (Fo-
Fe)2 (Fo- Fe)2/
Fe 1a 9 8,4 0,60 0,36 0,0431b 2 8,4 -6,40 40,96 4,8761c 8 8,4 -0,40 0,16 0,0191d 14 8,4 5,60 31,36 3,7331e 9 8,4 0,60 0,36 0,043TOTAL 42 8,714
Fo: Frecuencia observada
Fe: Frecuencia esperada
X2 = 8,714
Según tabla X2 para ((k-1); 95%)
X2 = ((5-1); 95%)
X2 = 4; 95% =
X2=9,49 Comparando X2 (cálculo) < X2
(tabla). Por lo tanto se acepta Ho
PREGUNTA OPCIÓN 2 Fo Fe Fo- Fe (Fo- Fe)2 (Fo- Fe)2/
Fe 1ª 7 8,1 -1,10 1,21 0,149 1b 14 8,1 5,90 34,81 4,298 1c 8 8,1 -0,10 0,01 0,001 1d 2 8,1 -6,10 37,21 4,594 1e 7 8,1 -1,10 1,21 0,149 TOTAL 38 9,191
68
X2 = 9,191
Según tabla X2 para ((k-1); 95%)
X2 = ((5-1); 95%)
X2 = 4; 95% =
X2=9,49 Comparando X2 (cálculo) < X2
(tabla). Por lo tanto se acepta Ho
Lo anterior nos permite aceptar con una confiabilidad mínima óptima del 95% el
diagnóstico realizado a las estudiantes del grado 7º para evaluar la forma cómo
interpretan los enunciados literales, su representación, planteamiento y solución
de ecuaciones de primer grado en el conjunto de los números enteros. Es decir
los estudiantes fueron capaces de desarrollar los problemas, pero no es relevante
la diferencia existente ya que sólo el 50% de los estudiantes lo realizan
correctamente; por otra parte para expresiones más complejas como en el caso
del numeral 1b el 87% de los estudiantes no representaron correctamente el
enunciado, por lo tanto es necesario implementar estrategias de mejoramiento.
69
6. CONCLUSIONES
A través de la aplicación progresiva de las diferentes guías de trabajo, los
estudiantes mejoraron satisfactoriamente en la comprensión de enunciados
literales, su representación, planteamiento y solución de ecuaciones de primer
grado en el conjunto de los números enteros.
Las estudiantes mostraron interés en el desarrollo de la propuesta, realizando
tareas en clase, en la casa y abordaron las guías en su totalidad; las guías
permitieron un trabajo independiente de acuerdo al ritmo de cada estudiante.
A través del desarrollo de la propuesta las estudiantes se sintieron motivadas,
rompiendo esquemas de tediosidad hacia el desarrollo de las actividades
matemáticas; participaron activamente en las socializaciones.
Lograron una mejor comprensión lectora del enunciado de los problemas
matemáticos, estableciendo relaciones entre el lenguaje literal y el matemático,
aplicaron y relacionaron los enunciados con las operaciones matemáticas y sus
propiedades.
70
7. RECOMENDACIONES
Es necesario dinamizar nuevas estrategias en la enseñanza de las matemáticas
mediante un fondo metodológico hacia la comprensión de textos literarios
llevados a símbolos matemáticos.
Esta propuesta le da la oportunidad al docente de mirar a sus educandos como
sujetos activos de su propio aprendizaje y a realizar metodologías adecuadas
teniendo en cuenta el entorno del alumno, propiciando en el aula un ambiente
escolar más agradable.
Para posteriores investigaciones se recomienda diseñar una encuesta que
permita establecer de qué variables depende la comprensión lectora en el
planteamiento de ecuaciones con números enteros y cuál de ellas está más
correlacionada; entonces podríamos mirar si esta variable depende de la
comprensión de los números y de la numeración, de la comprensión del
concepto de las operaciones, de las estrategias empleadas, de la
comunicación oral, de la comunicación escrita, del lenguaje cotidiano.
Igualmente se podría evaluar de qué variables depende la solución de
problemas con números enteros y cuál de ellas está más relacionada.
Podríamos citar entonces variables tales como: Conocimientos, habilidades o
destrezas, tipo de enseñanza, planteamiento de ecuaciones, memoria,
hábito, actitudes.
Se recomienda incluir en las guías textos matemáticos donde se evalúe la
comprensión lectora a través de preguntas relacionadas con la lectura.
71
8. BIBLIOGRAFÍA
AGUDELO ZAPATA, Olga Lucía y otros. Estrategias de aprendizaje y habilidades
del pensamiento. Tesis de grado: Universidad de Antioquia 1998, p. 45-48
ALONSO, Jesús, MATEOS Maria del Mar. Comprensión lectora; modelos,
entrenamiento, y evaluación. En Revista Infancia, y Aprendizaje. Nº31- 32 (1995);
p. 5 – 10.
BEEK, Isabel L. El mejoramiento de la práctica mediante la comprensión de la
lectura. En: Currículo y Cognición. Argentina: AIque, 1996. 75 – 79 p.
BAÑUELOS, Ana María. Resolución de problemas matemáticos en estudiantes
de bachillerato. Revista Perfiles Educativos N. 67. Universidad Nacional
Autónoma de México 1998, p.52
EYER, Walter y SUÁRES SEGOVIA, Nelson. Influencia del lenguaje formal en la
solución de problemas. Decanato – Postgrado. Universidad Nacional
Experimental Simón Rodríguez. Revista Educación y Ciencia humana año VI, N.
10, Caracas, Venezuela, enero – junio 1998, p.61-64
ESPINOSA M, Gabriel y PARDO T, Miriam. La comprensión de lectura en la
matemática. En: Revista Educación y Cultura; Nº 29, (1993). p 59
GARCÌA GARCÍA, Jose Joaquin. Didáctica de las ciencias:Resolución de
problemas y Desarrollo de la Creatividad. Editorial Colciencias-Facultad de
educación de la universidad de Antioquia. Medellín 1998. Págs 33-53
72
GUTIERREZ M, Jesús María y Venegas V, Maria Dennis. Estrategia de
intervención pedagógica para la enseñanza de las matemáticas desde su propio
lenguaje. Medellín, 2000. 25 – 45 p. Tesis (Especialista en enseñanza de las
matemáticas) Universidad de Antioquia, Facultad de Educación, 2000
HURTADO V, Rubén Darío. Incidencia de la técnica del recuento en la
comprensión lectora de los enunciados matemáticos en niños de 5º en educación
básica primaria. Medellín, 1996 25 – 45 p. Tesis (Magíster en Lingüistica) Facultad
de Educación, Universidad de Antioquia.
MINISTERIO DE EDUCACION NACIONAL. 2001 resultados de las pruebas
censales en las áreas de lenguaje y matemáticas, aplicadas entre 1997 y 1998.
____________ Lineamientos Curriculares en el área de matemáticas. Colombia,
1998, p. 43
MONSALVE P, Orlando. Relaciones estructurales elementales de la aritmética y
sus relaciones con el lenguaje. En: Revista Educación y Pedagogía, Facultad de
educación, Universidad de Antioquia. Nº . 1993. p 88
NAVARRO L, Moisés; MADERAC, Celso y PULIDO, Mildred. Comprensión de
textos matemáticos. Medellín, 1999. 25 – 55 p. Tesis (Especialista en desarrollo
del pensamiento reflexivo y la creatividad en educación). Universidad de Antioquia,
Facultad de Educación.
OBANDO ZAPATA, Gilberto y otros. Pensamiento numérico y sistemas
numéricos. Gobernación de Antioquia. Secretaría de Educación para la Cultura,
primera edición, Medellín, Colombia, 2006, p.31-32
73
PERÉZ ABRIL, Mauricio. Hacia una pedagogía del discurso. Elementos para
pensar la comprensión argumentativa de los procesos de escritura en educación
básica. En: Competencias y proyecto pedagógico. Santa fe de Bogotá.
Universidad Nacional de Colombia. 2000.
PÌMM, David. El lenguaje matemático en el aula. Madrid: Ediciones Morata S. A.
1990. 301 p.
PERALES PALACIOS, F. Javier. La resolución de problemas en la didáctica de
las ciencias experimentales. Revista Educación y Pedagogía N. 21. Vol.X, 1998.
Universidad de Antioquia. Facultad de Educación
POLYA, G. Cómo plantear y resolver problemas. Ed.Trillas, 15ª ed. México
1970
SAMPER DE CAICEDO, Carmen. Sugerencias para el desarrollo de habilidades
en la resolución de problemas. Revista ciencia y tecnología N. 5. Santafé de
Bogotá, 1999.
74
ANEXO A
EVALUACIÓN DIAGNÓSTICA –GRADO 7º
TEMA: ECUACIONES CON NÚMEROS ENTEROS
OBJETIVO Diagnosticar la forma cómo los estudiantes interpretan y dan solución a problemas matemáticos
1. Representa con números las siguientes expresiones:
a. Diez aumentado en tres ___________________________________________
b. La suma de ocho y cinco más su diferencia es igual al duplo de
ocho__________________________________________________________
c. Un número menos cuatro es igual a ocho _____________________________
d. El triple de nueve es veintisiete______________________________________
e. Menos tres disminuido en dos ______________________________________
Resuelve los siguientes problemas 2. Un número aumentado en cinco es igual a siete. ¿Cuál es el número? 3. Si catorce libros cuestan ochenta y cuatro pesos. ¿Cuánto cuestan nueve
libros?
4. En un corral hay cierto número de gansos, ayer nacieron dos nuevos gansos,
quedando en el corral diecisiete gansos. ¿Cuántos gansos habían inicialmente
en el corral?
75
5. Después de ganar once kilogramos, el peso de María es setenta y dos
kilogramos. ¿Cuál era su peso anteriormente?
6. La suma de dos números es ciento seis y el mayor excede al menor en ocho.
Hallar los números.
76
ANEXO B
GUIA DE INTERVENCIÓN No.
1
OBJETIVO Identificar enunciados del lenguaje natural que se pueden representar numéricamente.
Acerca del estudio de la aritmética y del álgebra a lo largo de la historia: Si nos remontamos al siglo XIV, vemos cómo en el mundo capitalista comienza a
hacer falta saber contar, repartir los beneficios o las pérdidas en función del
negocio; el tamaño de los negocios exigía contabilidad de los capitales que se
arriesgaban, un oficio que era necesario aprender. En las escuelas los maestros
(llamados escritores) enseñaban, además de la aritmética, lo que era útil para el
comercio, (entre los más destacados: Nicolás Chuquet, Luca Pacioli, Antonio
Rompiani). Las escuelas florentinas conocidas como las boticas del cálculo, fueron
famosas porque la enseñanza de las matemáticas tenía en ellas un lugar especial.
A partir de esto se empezaron a escribir textos que fueran “guía, enseñanza y
declaración de todos los mercaderes del buen saber contar”.
Pero si miramos más atrás, siglo V A. De C., vemos que los babilónicos tenían un
considerable conocimiento matemático, inclusive de la solución de ecuaciones,
para esto utilizaban tablas en las cuales encontraban unas secuencias lógicas de
números donde por comparación encontraban los buscados*. Estas tablas
también eran utilizadas para operaciones con fraccionarios, raíces cuadrados y
cúbicas, etc.
77
1. ¿Crees que todos los enunciados expresados en lenguaje natural se
pueden representar con números? Por qué?
2. ¿Será posible representar con números los siguientes enunciados: “las
aves son grandes”, “el cielo es azul”, “los balones ruedan”, “Pedro es alto”,
“María es inteligente”, “mañana es sábado”?. Argumenta tu respuesta
3. Representa con números la siguiente expresión: “Luis tiene setenta pesos
y Carlos tiene treinta pesos, entre los dos tienen cien pesos
LENGUAJE NATURAL REPRESENTACIÓN NUMÉRICA
Diez aumentado en 3 10+3
Trece disminuido en 2 13-2
María tiene ochenta pesos y Teresa tiene veinte
pesos, entre las dos tienen cien pesos
80+20=100
El producto de nueve y ocho 9x8
Tres veces cuatro es doce 3x4=12
4+4+4 = 12
La longitud de cada lado de un triángulo
equilátero es 6, su perímetro es dieciocho
6+6+6=18
6x3=18
Juan tiene doce naranjas y las reparte entre sus
tres amigos, cada uno recibe cuatro naranjas
12÷3 =4
Las frases que sugieren adición, sustracción, multiplicación o división se
pueden traducir a expresiones numéricas.
78
Cuatro veces ocho es treinta y dos 8 + 8 + 8 + 8 =32
4x8=32
3 x 9 = 27 El triple de nueve es veintisiete
9 +9 +9 =27
La suma de ocho y cinco más su diferencia es
igual al duplo de ocho
(8+5) + (8-5) = 16
La suma de noventa y dieciséis es ciento seis,
dividido entre la mitad del mayor
90 + 16 = 106 ÷45
1. Lee atentamente los siguientes enunciados y si es posible represéntalos
con números
LENGUAJE NATURAL REPRESENTACIÓN NUMÉRICA
Cinco aumentado en tres es ocho El producto de ocho y siete es sesenta y tres Las naranjas son amarillas Matilde tiene doscientos pesos y Juan tiene ochenta pesos
Siete veces nueve es sesenta y tres El niño juega Cuarenta y ocho repartido entre cuatro Seis multiplicado por siete es cuarenta y dos Dos veces la suma de cinco y seis El producto de cincuenta por la suma de dos y cinco
El doble de cuarenta y seis es noventa y dos Cuarenta y cinco dividido entre quince
79
Tres aumentado en el doble de cinco Cien incrementada en el cociente de cuarenta y
cinco y tres
La suma de dos veces tres, más dos veces dos es
igual a diez
Treinta excedido en diez 30 + 10
2. Diga qué operación sugiere cada uno de los siguientes enunciados:
El producto de…
El cociente de …
La suma de…
El doble de…
Un tercio de …
Un total de …
Multiplicado por…
La mitad de…
Dividido entre…
La diferencia de…
El triple de…
Sumado a …
Aumentado en…
Disminuido en…
Veces…
Más que…
Restado de…
Incrementado en…
Menos que…
80
3. Clasifica las siguientes palabras según la operación que represente,
ubícalas en cada columna.
Razón, suma, menos, mitad, cociente, perder, multiplicado por, más, ganar,
aumentar, elevar, expansionar, más que, doble, mayor que, menor que, veces,
más grande que, decrecer, triple, agrandar, bajar, crecer, acortar, incrementar,
diferencia, más pequeño que, producto, disminuir, más bajo que, menos que,
depreciar, dos veces, dividido por.
PALABRAS QUE INDICAN ADICIÓN
PALABRAS QUE INDICAN
SUSTRACCIÓN
PALABRAS QUE MULTIPLICACIÓN
PALABRAS QUE INDICAN DIVISIÓN
1. Propone cinco enunciados que pueda representar con números y dos que no
puedan ser modelables
2. Teniendo en cuenta las siguientes representaciones con números, propone un
enunciado verbal que relacione la expresión
81
4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 20
1.000 – 600 = 400
20 + 5 = 25
3. A continuación vas a encontrar unas expresiones verbales traducidas al
lenguaje numérico, indica si son falsas o verdaderas y justifica tu respuesta.
La expresión veinte dividido cuatro es igual a cinco, se puede representar
20 4÷ = 5_____________________________________________________
La mitad de siete es 2 ÷7_________________________________________
Seiscientos cuarenta y dos repartido entre cuatro 642 ÷4______________
En la siguiente sopa de letras busca palabras para formar
enunciados verbales, luego represéntalos con números.
S E L D O S P I T A
E D E T R I P L E U
C A G D O C E O R M
I U C E S D S A N E
N S A P L I A T O N
C E T T S E C E R T
O T O R R Z N M I A
M E R E L O L P U D
A I C S E T O H C O
S S E S I E T E A O
82
RESUELVE LOS SIGUIENTES PROBLEMAS:
• Luisa tiene cincuenta sellos y su amiga María le regala treinta sellos.
¿Cuántos sellos tiene Luisa ahora?
• Pedro tiene cuarenta naranjas y le da veinte naranjas a Teresa. ¿Con
cuántas naranjas quedó Pedro?
• Si tengo doce unidades. Cuántos grupos de tres unidades cada uno, puedo
formar?
• Cuatro niños tenían tres manzanas cada uno. ¿Cuántas manzanas tenían en
total?
• A un cumpleaños fueron invitados diez niños. Se compraron veinte globos
para repartir por igual entre los niños. ¿Cuántos globos le correspondieron a
cada niño?
• Luisa tiene cuatro blusas y tres faldas distintas. ¿De cuántas maneras
distintas se puede vestir?
• ¿Cuántas baldosas de 1m2 se necesitan para cubrir un solar rectangular
cuyas dimensiones son 30m de largo y 40m de ancho?
83
ANEXO C
GUIA DE INTERVENCIÓN No. 2
OBJETIVO Hallar términos desconocidos aplicando
operaciones básicas a través del tanteo.
Antes del siglo XVII de nuestra era, no se habían empleado regularmente los
símbolos que hoy usamos en el álgebra escolar, más bien hallábamos cierta
inclinación hacia el razonamiento numérico para justificar reglas de resolución
para el tipo de problemas que hoy constituyen el tipo de álgebra elemental.
En la primera aritmética en ser impresa en las colonias inglesas de América
(Boston 1719), el autor Odre, no da símbolos antes de la página 201 y en ella
anota: “Note que un + significa adición, y dos líneas así = igualdad o ecuación,
pero una x así, multiplicación” y no se usaba ningún otro símbolo.
Los signos más y menos aparecieron impresos por primera vez en la aritmética
de Widman en 1489. El primero en hacer uso de los signos + y – para escribir
una ecuación algebraica fue el matemático Danés Vander Hoecke (1514)
84
1. Un número aumentado en cinco es igual a siete. ¿Cuál es el
número?
DATOS CONOCIDOS DATOS DESCONOCIDOS Número aumentado en cinco es igual a
siete
¿Cuál es el número?
Representemos el número desconocido con cualquier símbolo que deseemos,
puede ser un cuadro, un triángulo, un signo de pregunta, una letra, un círculo….
Con lo que quieras En este caso vamos a representar el número desconocido con un cuadro:
+ 5 = 7. Vamos a resolver este problema por tanteo. Observemos: Al
reemplazar el cuadro por 3, así 3 + 5 = 7 ¿esto es posible? Por qué?. El tres
no satisface la igualdad, ya que 3 + 5 = 8
+ 5 = 7. Intentemos reemplazando por otro número. Observemos: Al
reemplazar el cuadro por 4, así 4 + 5 = 7 ¿esto es posible? Por qué?. El tres no
satisface la igualdad ya que 4 + 5 = 9 + 5 = 7. Reemplacemos el cuadro por 2 así 2 + 5 = 7 ¿esto es posible? Por
qué?. De los números asignados el único que satisface la igualdad es el 2 porque
2 + 5 = 7
Una igualdad es un concepto matemático que indica que dos expresiones son iguales o que tienen el mismo valor
85
Susana tiene un canasto con manzanas. Si Juan le pide la mitad de lo que hay en el canasto, quedan cincuenta manzanas. ¿Cuántas manzanas habían inicialmente en el canasto?
DATOS CONOCIDOS DATOS DESCONOCIDOS Susana tiene un canasto con
manzanas, Juan le pide la mitad de lo
que hay en el canasto y le quedan
sesenta manzanas
¿Cuántas manzanas habían inicialmente
en el canasto?
Vamos a representar el número de manzanas que habían inicialmente con un
2÷ = 60. Vamos a buscar un número que al dividirlo por 2 nos de cómo resultado 60 130 2÷ = 60? 250 2÷ = 125 Así continuaremos buscando el número hasta encontrar el único que satisfaga la igualdad. En este caso 120 2÷ = 60, esto quiere decir que en el canasto habían 120 manzanas inicialmente.
RESUELVE LOS SIGUIENTES PROBLEMAS ARITMÉTICOS
1. Cuánto costó un carro que al venderse en doce mil quinientos diecisiete
pesos deja una pérdida de mil trescientos dieciocho pesos?
2. El duplo del menor de dos números es seiscientos dieciocho pesos y la suma
de ambos es catorce mil seiscientos setenta y tres pesos. Hallar el número
mayor
3. Si catorce libros cuestan ochenta y cuatro pesos. ¿Cuánto cuestan nueve
libros?
4. Si diecinueve sombreros cuestan cincuenta y siete pesos. ¿Cuántos sombreros
podrían comprar con ciento ocho pesos?
86
5. En un corral hay cierto número de gansos, ayer nacieron dos nuevos gansos,
quedando en el corral diecisiete gansos. ¿Cuántos gansos habían inicialmente
en el corral?
6. Tomás tiene una hacienda de cuarenta hectáreas y quiere repartir la herencia
entre su esposa y sus 4 hijos, a la esposa le corresponde la mitad y la otra
mitad la reparte entre sus cuatro hijos. ¿Cuántas hectáreas recibió su esposa?
¿Cuántas hectáreas recibió cada hijo?
1. Propone tres enunciados donde tengas que hallar un término desconocido
2. Práctica este ejercicio con tus compañeros,
• Piensa un número • Súmale 7
• Multiplícalo por 2 • Réstale 4 • Encuentre la mitad • Réstele el número inicial
• Piensa un número • Súmale dos • Eleva el resultado al cuadrado • Réstale cuatro veces tu número inicial • Dime lo que te sale, y te diré, rápidamente tu número inicial
3. En la siguiente tabla completa los cuadrados faltantes
÷ 4 -2 5 -1
-80 -16 20 5 -10
100 -50 -140 -28
87
4. EXPRESIONES INCOMPLETAS: Coloca los signos apropiados de adición, sustracción, multiplicación o división entre los números para hacer que se cumplan las igualdades siguientes:
LA LARGA MARCHA:
Si lleva a cabo todas las operaciones indicadas y acaba con el número 97 en el círculo. ¿Con qué número comenzó?
6 3 -2
6 - 3 2
6 3 - 2
- 6 3 - 2
= 16
= -4
= -18
= 9
88
ANEXO D
GUIA DE INTERVENCIÓN No.
3
OBJETIVO Resolver problemas con una incógnita, donde se involucren los números enteros, aplicando las propiedades de las igualdades y de las operaciones básicas.
En matemáticas se llama ecuación a una igualdad que está condicionada a cierto
valor que debe tomar un número que se desconoce. Por ejemplo la igualdad
4 + x = 18 es cierta siempre y cuando x valga 14. Si toma un valor diferente de 14
entonces la igualdad no es correcta.
Resolver una ecuación, es encontrar el valor que debe tomar el número
desconocido para que la igualdad sea correcta.
La igualdad es una proposición verdadera, si ambos miembros representan un
mismo objeto. Es falsa, si alguno de los miembros representa un objeto diferente
del que indica el otro miembro.
Igualdad verdadera Igualdad falsa
89
Marca con una F todas las proposiciones falsas que se encontraron en la caña
Para que las balanzas queden equilibradas, une con una línea la igualdad que corresponda
90
Practica igualdades, formadas por diferentes operaciones; escribe en cada
cuadro el número correspondiente.
1. ¿Si a ambos miembros de una igualdad le sumamos un mismo número, nos
da siempre una igualdad?. Ejemplifica
2. ¿Si a ambos miembros de una igualdad le restamos un mismo número,
nos da siempre una igualdad?. Ejemplifica
3. ¿Si a ambos miembros de una igualdad le multiplicamos por un mismo
número, nos da siempre una igualdad?. Ejemplifica
4. ¿Si a ambos miembros de una igualdad los dividimos por un mismo
número diferente a cero, nos da siempre una igualdad?. Ejemplifica
91
Teniendo en cuenta lo aprendido en las guías anteriores, representa
simbólicamente las siguientes expresiones:
ENUNCIADO REPRESENTACIÓN
Un número menos cuatro es igual a ocho
Un medio de un número es igual a diez
Diez veces un número es igual a veinte
Un número aumentado en doce es igual a
diecisiete
El doble de un número sumado con ocho es igual
a dieciséis
El triple de un número menos quince es
veintisiete
La suma de un número con su duplo es dieciocho
Un número sumando con cuatro es igual a cinco
veces dicho número
Dos veces la suma de un cierto número más
cinco es veinticuatro
En la fase de profundización de la guía N.2 se planteaban algunas
adivinanzas, en las que un compañero piensa un número y luego tú lo puedes
decir el número que él pensó. Veamos cómo podríamos representar esto con
ecuaciones
92
ENUNCIADO ESQUEMA REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA
Piensa un número ⊡ X
Súmale 7 ⊡ ⋆⋆⋆⋆⋆⋆⋆ X + 7
Multiplícalo por 2 ⊡ ⋆⋆⋆⋆⋆⋆⋆
⊡ ⋆⋆⋆⋆⋆⋆⋆
2.(X + 7) = 2X + 14
Réstale 4 ⊡ ⋆⋆⋆⋆⋆⋆⋆
⊡ ⋆⋆⋆
2X + 10
Encuentre la mitad ⊡ ⋆⋆⋆⋆⋆
X +5
Réstele el número inicial
⋆⋆⋆⋆⋆ 5
Bajo este esquema de trabajo se pueden desarrollar innumerables problemas que permitan explorar conceptos elementales del álgebra y la aritmética.
A continuación vamos a resolver algunos problemas
La suma de dos números es ciento seis y el mayor excede al menor en ocho. Hallar los números
DATOS CONOCIDOS DATOS DESCONOCIDOS
La suma de dos números es 106 El mayor excede al menor en 8
Hallar los números
Si representamos con ☆ el número menor, ¿podríamos representar con ☆ + 8 el
número mayor? ¿por qué?
En la siguiente tabla, escribe al frente el procedimiento que se está aplicando en
cada paso:
93
☆ + ☆ + 8 = 106
2☆ + 8 = 106
2☆ + 8 – 8 = 106-8
2☆ = 98
2☆÷ 2 = 98÷2
☆ = 49
¿Cuál será el número menor? , ¿Cuál será el número mayor?
Resuelve los siguientes problemas aritméticos
Esta semana le entregaron a mi primo la lista de útiles escolares: Pagó
tres mil doscientos cincuenta pesos por un borrador, un lápiz y una
escuadra. El borrador costó ochocientos pesos más que el lápiz y la
escuadra doscientos cincuenta pesos menos que el lápiz. ¿Cuánto pagó
mi primo por cada objeto?
Si al duplo de mi edad añado 16 años tendría 80 años. ¿Qué edad tengo?
La edad de Luisa es el triple de la de Juan y ambas edades suman 40 años.
Halla las dos edades
Cuándo nació mi hermano Andrés, yo tenía veintitrés años, ahora tengo
treinta y cinco años. ¿Cuál es la edad de mi hermano?
Después de ganar once kilogramos, el peso de María es setenta y dos
kilogramos. ¿Cuál era su peso anteriormente?
El triple de cierto número disminuido en 21 es 12. ¿Cuál es ese número?
Entre Luis y Lorena tienen $5.890. Si Luis tiene $970. ¿Cuánto tiene
Lorena?
94
¿Cuánto mide cada lado de un triángulo equilátero sabiendo que su
perímetro es de 42cm?
APLICACIÓN Y CREATIVIDAD:
Propone y soluciona tres problemas de la vida cotidiana en los cuales tengas un término desconocido
95
ANEXO E. ESCALA DE VALORACIÓN CUESTIONARIO
Con el fin de determinar cuáles son los conocimientos que tienen los estudiantes
en cuanto al planteamiento de ecuaciones de primer grado con números enteros,
asumimos la escala de valoración que va de cero (0) a cinco (5), siendo la
calificación cinco la más alta y la calificación cero la más baja.
Cada punto del cuestionario tiene su respectiva calificación dependiendo de las
exigencias que se hagan en el mismo, así:
El punto 1 vale 1.0, en donde cada numeral equivale a 0.2
Los demás puntos tienen una valoración de 0.8.
LOGROS: A continuación se presentan los logros que permitirán evaluar las respuestas que
den los estudiantes en cada una de las preguntas del cuestionario.
1. Empleo notación simbólica adecuada como recurso de representación y
comprensión del problema.
2. Aplico procedimientos aritméticos utilizando las relaciones y propiedades de
las operaciones.
3. Aplico métodos e instrumentos de cálculo en la resolución de problemas en
el conjunto de los números enteros.
96
ANEXO F. INSTRUMENTO PARA EVALUAR LAS GUÍAS DE TRABAJO GUÍA N._______ Cada ítem se evalúa de 0 a 5 , al final se efectúa la sumatoria y se calcula el promedio, de acuerdo a éste se asigna la siguiente escala: 5.0 Excelente 4.0-4.9 Sobresaliente 3.0-3.9 Aceptable 2.0-2.9 Insuficiente 0.0-1.9 Deficiente
ASPECTO CALIFICACIÓN1. Desarrolla completamente la guía 2. Realiza las tareas extraclase 3. Tiene actitud de trabajo en el desarrollo de la clase. 4. Aporta y propone en las diferentes actividades de
socialización.
5. Realiza un plan bien fundamentado matemáticamente para la resolución del problema.
6. Ejecuta el plan siguiendo las pautas establecidas previamente. Explica por escrito apoyado en razonamientos matemáticos lo que se ha de hacer.
7. Expresa por escrito justificando las operaciones realizadas
8. Emplea notación simbólica adecuada como recurso de representación y comprensión del problema.
9. Una vez concluido el problema, revisa la solución para ver si es razonable y concuerda con lo planteado en el enunciado.
10. Se observará el grado de coherencia de su razonamiento escrito, en orden a la resolución del problema.
97
GRÁFICOS PRUEBA DIAGNÓSTICA Y FINAL
PRUEBA DIAGNÓSTICA PREGUNTA 1a
56%
44%
0%
20%
40%
60%
OPCION
OPCION 1 OPCION 2
PRUEBA DIAGNÓSTICA PREGUNTA 1b
13%
87%
0%
20%
40%
60%
80%
100%
OPCION OPCION 1
OPCION 2
PRUEBA DIAGNÓSTICA PREGUNTA 1C
50% 50%
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
OPCION
OPCION 1 OPCION 2
PRUEBA DIAGNÓSTICA PREGUNTA 1d
88%
12%
0%
20%
40%
60%
80%
100%
OPCION
OPCION 1 OPCION 2
P RUEBA FI NAL P REGUNTA 1a
100%
0%
0%
50%
100%
150%
OP CION
OPCION 1 OPCION 2
PRUEBAFINAL PREGUNTA 1b
63%
37%
0%
20%
40%
60%
80%
OPCION
OPCION 1 OPCION 2
PRUEBA FINAL PREGUNTA 1c
94%
6%
0%
20%
40%
60%
80%
100%
OPCION
OPCION 1 OPCION 2
PRUEBA FINAL PREGUNTA 1d
94%
6%
0%
20%
40%
60%
80%
100%
OPCION
OPCION 1 OPCION 2
98
PRUEBA DIAGNÓSTICA PREGUNTA 1e
56%
44%
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
OPCION
OPCION 1 OPCION 2
PRUEBA DIAGNÓSTICA PREGUNTA 2
19%
81%
0%
20%
40%
60%
80%
100%
OPCION
OPCION 1 OPCION 2
PRUEBA DIAGNÓSTICA PREGUNTA 3
81%
19%
0%
20%
40%
60%
80%
100%
OPCION
OPCION 1 OPCION 2
PRUEBA DIAGNÓSTICA PREGUNTA 4
31%
69%
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
OPCION
OPCION 1 OPCION 2
PRUEBA FINAL PREGUNTA 1e
100%
0%0%
20%
40%
60%
80%
100%
120%
OPCION
OPCION 1 OPCION 2
PRUEBA FINAL PREGUNTA 2
63%
37%
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
OPCION
OPCION 1 OPCION 2
PRUEBA FINAL PREGUNTA 3
94%
6%
0%
20%
40%
60%
80%
100%
OPCION
OPCION 1 OPCION 2
PRUEBA FINAL PREGUNTA 4
100%
0%0%
20%
40%
60%
80%
100%
120%
OPCION
OPCION 1 OPCION 2
99
PRUEBA DIAGNÓSTICA PREGUNTA 5
69%
31%
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
OPCION
OPCION 1 OPCION 2
PRUEBA DIAGNÓSTICA PREGUNTA 6
31%
69%
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
OPCION
OPCION 1 OPCION 2
PRUEBA FINAL PREGUNTA 5
100%
0%0%
20%
40%
60%
80%
100%
120%
OPCION
OPCION 1 OPCION 2
PRUEBA FINAL PREGUNTA 6
75%
25%
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
OPCION
OPCION 1 OPCION 2
