LA ACTIVIDADES TRIGO 5° - BAIXARDOC

Tr i g o n o m e t r í aActividades

Editorial

Quinto grado de Secundaria

TrigonomeTría

Libro de acTividades

QuinTo grado de secundaria

coLección inTeLecTum evoLución

© Ediciones Lexicom S. A. C. - Editor RUC 20545774519 Jr. Dávalos Lissón 135, Cercado de Lima Teléfonos: 331-1535 / 331-0968 / 332-3664 Fax: 330 - 2405 E-mail: [email protected] www.editorialsanmarcos.com

Responsable de edición: Yisela Rojas Tacuri

Equipo de redacción y corrección: Josué Dueñas Leyva / Christian Yovera LópezMarcos Pianto Aguilar / Julio Julca VegaÓscar Díaz Huamán / Kristian Huamán RamosSaby Camacho Martinez / Eder Gamarra Tiburcio

Jhonatan Peceros Tinco

Diseño de portada: Miguel Mendoza Cruzado / Cristian Cabezudo Vicente

Retoque fotográfico: Luis Armestar Miranda

Composición de interiores: Lourdes Zambrano Ibarra / Natalia Mogollón Mayurí Carol Clapés Hurtado / Roger Urbano Lima Miguel Lancho Santiago Gráficos e Ilustraciones: Juan Manuel Oblitas / Ivan Mendoza Cruzado

Primera edición 2013Tiraje: 12 000

Hecho el depósito legal en la Biblioteca Nacional del PerúN.º 2013-12013ISBN: 978-612-313-084-8Registro de Proyecto Editorial N.º 31501001300690

Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra,sin previa autorización escrita del editor.

Impreso en Perú / Printed in Peru

Pedidos:Av. Garcilaso de la Vega 978 - Lima.Teléfonos 331-1535 / 331-0968 / 332-3664E-mail: [email protected]

Impresión:Aníbal Paredes Editor S.A.C.Calle San Carlos, mz. B lote 5, urb. Santa Marta, Lima, ATERUC 20538732941

Este libro se terminó de imprimir en los talleres gráficos de Aníbal Paredes Editor S.A.C.Calle San Carlos, mz. B lote 5, urb. Santa Marta, Lima, ATERUC 20538732941

La coLección inTeLecTum evoLución para Secundaria ha sido concebida a partir de los lineamientos pedagógicos establecidos en el Diseño Curricular Nacional de la Educación Básica Regular, además se alinea a los patrones y estándares de calidad aprobados en la Resolución Ministerial N.º 0304-2012-ED.La divulgación de la coLección inTeLecTum

evoLución se adecúa a lo dispuesto en la Ley 29694, modificada por la Ley N.º 29839, norma que protege a los usuarios de prácticas ilícitas en la adquisición de material escolar.El docente y el padre de familia orientarán al estudiante en el debido uso de la obra.

ContenidoTemas Páginas

PRIMERAUNIDAD

Sistemas de medición angularAplicamos lo aprendido Practiquemos

68

Sector circularAplicamos lo aprendidoPractiquemos

1012

Razones trigonométricas de ángulos agudosAplicamos lo aprendidoPractiquemos

1517

Resolución de triángulos rectángulosAplicamos lo aprendidoPractiquemos

2022

Maratón matemática 25

SEGUNDAUNIDAD

Ángulos verticales y horizontalesAplicamos lo aprendido Practiquemos

2729

Razones trigonométricas de ángulos de cualquier magnitudAplicamos lo aprendido Practiquemos

3234

Reducción al primer cuadranteAplicamos lo aprendido Practiquemos

3739

Circunferencia trigonométricaAplicamos lo aprendido Practiquemos

4143


TERCERAUNIDAD

Identidades trigonométricasAplicamos lo aprendido Practiquemos

4850

Ángulos compuestosAplicamos lo aprendido Practiquemos

5254

Ángulos múltiplesAplicamos lo aprendido Practiquemos

5658

Transformaciones trigonométricasAplicamos lo aprendido Practiquemos

6062

Funciones trigonométricasAplicamos lo aprendido Practiquemos

6466


CUARTAUNIDAD

Funciones trigonométricas inversasAplicamos lo aprendido Practiquemos

7173

Ecuaciones trigonométricasAplicamos lo aprendido Practiquemos

7678

Resolución de triángulos oblicuángulosAplicamos lo aprendido Practiquemos

8082

Secciones cónicasAplicamos lo aprendido Practiquemos

8587

Límites y derivadas de funciones trigonométricasAplicamos lo aprendido Practiquemos

9294


Unidad 1

ReflexionaRecuerda

Arquímedis de Siracusa (287 a. C.-212 a. C.)Nació y falleció en Siracusa (Sicilia). Las mayores contribucio-nes de Arquímedes fueron en Geometría. Desarrolló métodos anticipados de cálculo integral 2000 años antes de Newton y Leibniz. Arquímedes era un nativo en Siracusa, Sicilia y estu-dió en Alejandría, volviendo enseguida a su patria. Dedicó su genio a la Geometría, Mecánica, Física e Ingeniería. Su geo-metría es una geometría de la medida. Efectúa cuadraturas de superficies planas y curvas. Escribió varias obras, las cuales se han ordenado según la época en que fueron escritas:

1. Esfera y cilindro. 2. Medida del círculo. 3. Gnoides y esferoides. 4. Espirales. 5. Equilibrio de los planos y sus centros de gravedad. 6. Cuadratura de la parábola. 7. El arenario. 8. Cuerpos flotantes. 9. Los lemas. 10. El método.

Arquímedes demostró que la superficie de una esfera es cua-tro veces la de uno de sus círculos máximos. Calculó áreas de zonas esféricas y el volumen de segmentos de una esfera. De-mostró que “El área de un casquete esférico es igual a la super-ficie de un círculo que tiene por radio la recta que une el centro del casquete con un punto de la circunferencia basal”. El pro-blema al cual le atribuía gran importancia era el de demostrar que “El volumen de una esfera inscrita en un cilindro es igual a 2/3 del volumen del cilindro”. Como posterior homenaje se colocó una esfera inscrita en un cilindro. Asimismo Arquímedes demostró que la superficie de esta esfera era también los 2/3 de la superficie del cilindro.Es tal vez su trabajo sobre Medida del círculo el más interesan-te. Trata de la rectificación de la circunferencia y el área del círculo. Arquímedes es el primero que hizo un intento verdade-ramente positivo sobre el cálculo de pi(p) asignándole un valor

entre 3 3y7110

7010 .

El método que empleó consiste en calcular los perímetros de los polígonos regulares inscritos y circunscritos a un mismo círculo.

• El verdadero heroísmo consiste en sersuperioralosmalesdelavida.

• El hombre superior busca en sí mismotodo loquequiere; elhombre inferior lobuscaenlosdemás.

• Elhombresuperiorsecultivaasímismopara ganar respeto propio. Si no estácontentoconesto,seperfeccionaparahacerfelices a otros y si aúnno está contentocon eso, continúa perfeccionándose paraconferir paz y prosperidad a todo elmundo.

• Tenerun ideal es teneruna razónparavivir. Es también un medio para vivirunavidamásampliaymáselevada.

¡Razona...!

¿Qué letra continúa en la siguiente sucesión?

L; U; M; D; M; T; J; ...

Halla: x + y + z

A) S B) O C) N

D) C E) D

Aplicamos lo aprendido

6 Intelectum 5.°

TEMA 1: Sistemas de medición angular

1 Del gráfico, calcula x.

2x − 10° 30° − 4x

3x

A) 20° B) 30° C) 60°

D) 40° E) 50°

2 Del gráfico, calcula q.

18θ°

30θg

A) 1 B) 2 C) 3

D) 4 E) 5

3 Calcula x, si se sabe que:

30 3 °x rad rad2

906

p p+ = -` j

A) 5° B) 4° C) 7°

D) 6° E) 3°

4 Convierte a radianes: ''810 000

p

A) rad5

4 B) rad2

3 C) rad3

2

D) rad4

5 E) rad7

3

5 Se sabe que: C S

R

C S

C S32 2+

+=

-

+

Si C, S y R son los sistemas de medidas para un mismo

ángulo, halla la medida del ángulo en radianes.

A) 2 rad B) 16 rad C) 15 rad

D) 3 rad E) 8 rad

6 Dos ángulos complementarios miden (3x)° y x

3

20 gc m .

Halla el valor de x.

A) 15 B) 10 C) 9

D) 16 E) 18

Claves

7TRIGONOMETRÍA - ACTIVIDADES UNIDAD 1

7 La suma de las medidas de dos ángulos es 7p/20 rad y su

diferencia es 30g. Calcula la medida del menor ángulo en el

sistema centesimal.

A) 20g B) 30g C) 15g

D) 15g E) 8g

8 Convierte 50m a segundos sexagesimales.

A) 1730’’ B) 1800’’ C) 3600’’

D) 1620’’ E) 1542’’

9 Si se escribe 54g en lugar de 54°, calcula el error cometido

en radianes.

A) rad100

3p B) rad180

p C) rad3

2p

D) rad6

p E) rad7

p

10 Se cumple: S = x2 - 3x - 10

C = x2 - 2x - 4

Si S y C son los sistemas de medidas para un mismo ángulo

(x ! R+), halla la medida del ángulo en radianes.

A) rad103p B) rad

9

p C) rad10

11p

D) 8p rad E) rad3

7p

11 El producto de los números que expresan la medida de un

ángulo en los sistemas inglés, francés y radial es 6p . Halla la

medida del ángulo en grados sexagesimales.

A) 1° B) 2° C) 3°

D) 4° E) 5°

12 Al medir un ángulo se tiene la siguiente relación:

a = (179x + 185)° = (1 + x)p rad

Calcula el ángulo en el sistema francés.

A) 800g B) 1500g C) 1200g

D) 1000g E) 1600g

13 Calcula el error en radianes al escribir 315° en lugar de 315g.

A) 9

7p rad B) 13

7p rad C) 125p rad

D) 40

7p rad E) 7

3p rad

14 Si n es el número de radianes del ángulo 175°, calcula el

número de radianes de M° si:

M = 1p

(36n - 30p)

A) 35

36

p B) 36

p C) 35

p

D) 33

35p E) 37

30p

1. D

2. B

3. E

4. D

5. B

6. B

7. A

8. D

9. A

10. C

11. C

12. C

13. D

14. B

Practiquemos

8 Intelectum 5.°

Nivel 1

Comunicación matemática

1. Indica la relación correcta:

A) 3° = 3g = 3 rad

B) 1° < 1g < 1 rad

C) 2 rad > 2° > 2g

D) 1 rad < 50°

E) 1 rad > 80°

2. De la figura, analiza y calcula el valor de y.

A) 1140°

-60°

y

O A

BC

B) 1110°

C) 1120°

D) 1080°

E) 1000°

Razonamiento y demostración

3. Si x es la treintava parte de 4° e y es la

treintaiseisava parte de 2g.

Calcula: Mx y

x y

5 4

3 4=

-

+

A) 1/7 B) 5/7 C) 5/7

D) 3/7 E) 9/7

4. Halla el error cometido, en radianes, si se

escribe 36g en lugar de escribir 36°.

A) 10

p B) 5

2p C) 50

p

D) 3p E)

32p

5. Reduce: R

C S R

200

20p p+ + ; si S, C y R son

los sistemas de medidas para un mismo

ángulo.

A) 1 B) 2 C) 4

D) 6 E) 3

6. Si S, C y R son los sistemas de medidas

para un mismo ángulo. Calcula la medida

de dicho ángulo en radianes, si además:

SCR = 162

p

A) 180

p B) 90

p C) 30

p

D) 15

p E) 8p

7. Calcula la medida de un ángulo que

cumple: C2 - S2 = 76.Si S y C son los sistemas de medidas para

un mismo ángulo.

A) rad5

p B) rad10p C) rad

36

p

D) rad20

p E) rad9

p

8. Calcula la medida de un ángulo en

radianes, si se cumple:

15S C

91

101- + =c cm m

Si S y C son los sistemas de medidas para

un mismo ángulo.

A) p rad B) rad3

p C) rad5

p

D) rad6

p E) rad10p

9. Expresa 30,5g en grados, minutos y

segundos sexagesimales.

A) 27° 40' B) 28° 27' C) 27° 27'

D) 25° 25' E) 24° 20'

Resolución de problemas

10. Sea un ángulo a, cuya suma del n.° de

minutos sexagesimales y n.° de minutos

centesimales de a es igual a 1540, calcula

a en radianes.

A) 12p rad B)

18

p rad C) 20

p rad

D) 10

p rad E) 15

p rad

11. Un ángulo mide 130g y su suplemento

mide (8n – 1)°

Expresa ng en radianes.

A) rad16

p B) rad24

p

C) rad48

p D) rad50

p

E) rad25

p

NIVEL 2


12. Se tienen los ángulos a = 786,75' y

b = 4217,09m; al expresarlos en grados,

minutos y segundos tenemos:

a = a° b' c" y b = xg ym zs

Indica verdadero (V) o falso (F) según

corresponda.

I. a y b son equivalentes.

II. b y z están en razón de 2 a 3.

III. c es menor que z.

A) VFF B) VFV C) FVV

D) VVV E) FVF

13. En la figura expresa el suplemento de x en

términos de a y b

α°

β°

x°

A) a° + b° B) a° - b°

C) 180° + a° - b° D) 180° + b° - a°

E) 180g + ag + b°


14. Sabiendo que: 40° = aag aam aas; calcula:

2a y demuestra que:

40° . aag aam aas

A) 45 B) 30 C) 90

D) 60 E) 8

15. Si S, C y R son los sistemas de medidas

para un mismo ángulo.

C + S + C + S + ... C + S = 3800Rp

n términos

Calcula 2n° en radianes.

A) 9p

rad B) 18

p rad C)

16

p rad

D) 20

p rad E)

2p

rad

16. Sean A y B dos nuevos sistemas de

medición angular. Si 160A equivale a la

tercera parte de una vuelta y 27B equivale

a un ángulo recto. ¿A cuántos grados B

equivale 120A?

A) 120B B) 160B C) 27B

D) 10B E) 90B


17. Se tienen tres ángulos tal que la suma

del primero con el segundo es 20°; del

segundo con el tercero es 40g y del

primero con el tercero es 5p/9 rad. Halla

el mayor de dichos ángulos.

A) 42° B) 9

140 gc m C) 240g

D) 90

29p rad E) 190°

9TRIGONOMETRÍA - ACTIVIDADES UNIDAD 1

Cla

ve

s

Nivel 1

1.

C

2.

B

3.

E

4.

C

5.

B

6.

A

7.

B

8.

C

9.

C

10. C

11. E

Nivel 2

12. E

13. B

14. E

15. A

16. C

17. D

18. A

19. D

20. C

21. D

22. B

Nivel 3

23. E

24. D

25. C

26. B

27. A

28. C

29. C

30. B

31. E

18. En un cierto ángulo se cumple que el

número de segundos sexagesimales

menos tres veces el número de minutos

centesimales es igual a 29 400.

Calcula la medida del ángulo, en radianes.

A) 20

p B) 5p C)

10

p

D) 30

p E) 15

p

19. Los ángulos de un triángulo isósceles

miden 5xg y (4x + 5)°. Halla la medida

del tercer ángulo desigual en el sistema

internacional.

A) rad4

p B) rad3

p C) rad5

p

D) rad2

p E) rad5

2p

20. En el triángulo mostrado, halla el valor

de x.

54°

xCA

B

A) 30g B) 45g C) 70g

D) 55g E) 60g

21. Si: rad13

3p = ° ' ''a b c4 3 1 .

Calcula: J = (a + b)c

A) 16 B) 18 C) 20

D) 24 E) 32

22. Si x e y representan los números de

minutos centesimales y sexagesimales

respectivamente de un ángulo, además

se cumple que x - y = 368. ¿Cuál es la

medida del ángulo en radianes?

A) 25

p rad B)

25

2p rad C)

50

p rad

D) 30

p rad E)

16

p rad

NIVEL 3


23. Sean S, C y R los números que

representan la medida del ángulo en el

sistema sexagesimal, centesimal y radial

respectivamente. Indica la expresión

incorrecta.

A) S C

9

9

10

10-=

-

B) S C R

19

20

p+

=

C) C R C S

200 20p--

=-

D) S CR

81

22

p=

E) SC R

90

4002p

=

24. Se tiene un nuevo sistema de medida

angular V. Si el número de grados en el

nuevo sistema y el número de grados

sexagesimales están en razón de 7 a 6.

Encuentra la expresión incorrecta.

A) V = 210

pR

B) C = 21

20 V

C) m+1 vuelta = 420V

D) 36V = 42°

E) 7V = 360'


25. Si S y C representan la medida de un

mismo ángulo en el sistema sexagesimal

y centesimal respectivamente, calcula:

EC S

C S

C S

C S2=

-

++

+

--

A) 23 B) 2 17 C) 6

D) 3 14 E) 3 15

26. Reduce la siguiente expresión:

......M

rad rad rad rad2 4 6 14011 22 33 770 400g g g g

p=+ + + +

+ + + +; E

A) 10 B) 11 C) 15

D) 22 E) 7

27. Calcula (a + b), sabiendo que:

a

a a

b

b b a bm

g m g

m

g m mg m=c cm m

Si: a > b

A) 103 B) 202 C) 101

D) 142 E) 200

28. Se idea dos nuevos sistemas de medidas

angulares W y V. Sabiendo que la unidad

de medida de W (1W) es la quinta parte

de la unidad de medida en el sistema

sexagesimal; y que 20 grados V (20v) es

10g. Halla la relación entre los sistemas.

A) 1W = 2v B) 1v = 2W

C) 1v = 2,25W D) 1W = 1v

E) 1

1v

W

= 2

29. Calcula:

°

°M

x rad x x

x x rad x

92 50 15

2053 80

g

g

p

p=

+ +

+ +

^c

hm

A) 1 B) 3 C) 2

D) 4 E) 8


30. Del gráfico, calcula:

Eba

2

75=

am-b'

A) 5/6 B) 25/3 C) -25/3

D) -5/6 E) 1

31. Sabiendo que S, C y R son el número de

grados sexagesimales, centesimales y

radianes de un mismo ángulo, halla:

E SCR6 3 23

= -^ h

Además:

3S C R

180 2003 3 3 p+ + =

A) 10 B) 30 C) 50

D) 80 E) 60

Aplicamos lo aprendido

10 Intelectum 5.°

tema 2: Sector circular

1 Halla el área de la región sombreada.

π/5 3π

B

CD

A

O

4π

A) 2

35 p B) 2

25 p C) 16p

D) 7

18 p E) 37 p

2 Halla el número de vueltas que dará cada rueda de la bicicleta

cuando el ciclista haya dado 20 vueltas en la circunferencia.

20r

3r r

A) 3

400 y 400 B) 5

300 y 200

C) 3

500 y 100 D) 7

400 y 400

E) 3

250 y 150

3 Si se cumple que: 2S2 = 3S1

Calcula: OD

OA

θ

BD

O

A

C

r

S1 S2

A) 2

5 B) 5

2 C) 2

3

D) 2 5 E)3

2 3

4 La figura muestra dos engranajes. Si la rueda mayor gira 18°,

¿qué ángulo gira la rueda menor?

A

B

2 m4 m

A) 45° B) 40° C) 38°

D) 36° E) 37°

5 Halla el área del sector sombreado.

8

O 14

6

A) 45 B) 32 C) 28

D) 72 E) 27

6 Halla el área de la región sombreada.

1 radO 6 m A 8 m

A) 12 m2 B) 16 m2 C) 14 m2

D) 17 m2 E) 15 m2

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