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1 Ecuaciones diferenciales III: Metodos multipasos

Para estimar yn+1 se puede partir de yn, yn−1, ... y fn, fn−1, ... y hasta fn+1 (fi = f(yi, ti)

Metodo general de k − pasos

yn+1 =

k∑i=1

αiyn−i+1 + h

k∑i=0

βifn−i+1

• β0 = 0 metodo explıcito (no contiene fn+1)

• β0 6= 0, metodo implıcito

Los diferentes metodos explıcitos multipasos se obtienen de las diferentes esquemas dediferencias finitas.

Por ejemplo del esquema media centrada

dy

dt≈ 1

∆tµδyn =

1

2∆t[yn+1 − yn−1]

la EDO se transforma en secuencia de ecuaciones en diferencias finitas

yn+1 = yn−1 + fn2∆t+O[(∆t)3] (1a)

yn+2 = yn + fn+12∆t+O[(∆t)3] (1b)

este metodo de dos pasos se conoce con el nombre de tecnica leapfrog

1.1 Metodos Predictor - Corrector

Un metodo predictor-corrector consta de un paso predictor y un paso corrector en cadaintervalo. El predictor estima la solucion para el nuevo punto y el corrector mejora suprecision. Los metodos predictor-corrector son metodos multipasos. El predictor es unaformula explıcita, mientras que el corrector puede considerarse como una prescripcionimplıcita

Las formulas predictoras -correctoras se obtienen al sustituir una aproximacion poli-nomial adecuada de y′(t) en la ecuacion y′ = f(y, t), es decir

yn+1 = yn +

∫ tn+1

tn

pk−1(t)dt (2)

donde pk−1(t) es un polinomio de grado k−1 que interpola f(y, t) en (yn−j , tn−j), j =0, ...k − 1.

Si p0(t) = f(yn, tn) obtenemos el metodo de Euler

Usando la formula general de interpolacion hacia atraz de Newton Gregory

f(tn + τ) = fn + u∇fn +u(u+ 1)

2!∇2fn + . . . (3)

donde u = τ/h y ∇ los operadores de diferencias finitas hacia atraz

La ecuacion (2) se puede reescribir utilizando la variable u

yPn+1 = yn + h

∫ 1

0f(tn + uh)du (4)

2

Sustituyendo la ecuacion (3) en (4) se obtiene la formula general predictora de Adams-Bashfort

yPn+1 = yn + h[fn +1

2∇fn +

5

12∇2fn +

3

8∇3fn + ...] + E(τ) (5)

Dependiendo de la cantidad de terminos en la serie (grado del polinomio de interpolacion)se obtienen diferentes formulas correctoras.

yPn+1 = yn + hfn + 0(h2) (6a)

yPn+1 = yn +h

2[3fn − fn−1] + 0(h3) (6b)

yPn+1 = yn +h

12[23fn − 16fn−1 + 5fn−2] + 0(h4) (6c)

Una vez conocida yPn+1 se hace el paso de evaluacion para determinar la calidad de lamagnitud

fPn+1 = f(yPn+1)

Reemplazando en la formula de interpolacion (3) a partir del punto tn+1 se espera obtenermayor precision

yn+1 = yn + h

∫ 0

1f(tn+1 + uh)du (7)

se obtiene la la formula general de correctores de Adams-Multon

yn+1 = yn + h[fn −1

2∇fn+1 −

1

12∇2fn+1 − ...] (8)

A continuacion se enumera las primeras formulas correctoras de primer, segundo y tercerordenes.

yn+1 = yn + hfPn+1 + 0(h2) (9a)

yn+1 = yn +h

2[fPn+1 + fn] + 0(h3) (9b)

yn+1 = yn +h

12[5fPn+1 + 8fn − fn−1] + 0(h4) (9c)

El error generado, por ejemplo, mediante el corrector de tercer orden es,

0(h4) = − 1

24h4yIV (ψ), tn−1 ≤ ψ ≤ tn+1 (10)

El paso final de la evaluacion consiste en hallar fn+1 = f(yn+1) y sirve para el predictoren el siguiente paso.

Ventajas y desventajas de los metodos P-C Una de las ventajas es su eficienciacomputacional: utlizan la informacion de pasos anteriores. Generalemente no se inicializanpor si mismos; es necesario utilizar adicionalmente algun otro metodo para obtener lospuntos iniciales.