Evolución Química

Variables Globales

Variables globales, función del tiempo.

La tasa de creación de remanentesestelares

W

La tasa de eyección de metales de estrellasEZ

La tasa de eyección de masa de estrellasE

Masa total del sistemaM

Masa total de los remanentesMw

Masa total en estrellasMs

Masa total de gas interestelarMg

Claramente,M=Mg+Ms+Mw

Parámetros GlobalesParámetros especificados de antemano. Pueden ser

función del tiempo.

La función inicial de Masa (IMF)φ(m)

Abundancia metálica del material sale oentra al sistema.

Zf

Tasa de flujo de material saliendo o entrandoal sistema.

f

Tasa de formación de estrellasψ

Variables que vienen deevolución estelar

La fracción de masa estelar reciclada que seconvierte en metales y se pierde en el mediointerestelar.

pZ

La masa de una estrella en el punto de quiebrede ls SP de una población con t=τ

mtn

El tiempo de vida de una estrella de la SP demasa m.

τ

La masa del remanente estelarw

El objetivo es derivar Z(t); la fracción de metales en elmaterial interestelar en función del tiempo

Ecuacionesde Evolución

Química

Hay cinco ecuaciones diferencialesacopladas que describen laevolución química del sistema.

fZEZdt

ZMd

Wdt

dM

fEdt

dM

WEdt

dM

fdt

dM

fZ

g

w

g

s

++!"=

=

++!"=

""!=

=

)(

Conservación de masa

Controlan la cantidadde masa que queda enestrellas o es enviadaal medio interestelar

Tasa de eyección de masa de estrellas

Tasa de creación de remanentes estelares

Tasa de flujo de material saliendo o entrando al sistema.

fZEZdt

ZMdfZ

g++!"=

)(

Describe como la metalicidad del medio interestelar cambia con el tiempo

Metales del medioInterestelar en estrellas

Cantidad de metalesliberados por estrellas

Metales inyectadoso perdidos desdeafuera

No todas la variables son independientes. ConsideremosE; la tasa de eyección de masa de estrellas. Ya que laperdida de masa sólo ocurre en etapas posteriores a laSP, la tasa de perdida de masa se relaciona con elnúmero de estrellas que evolucionan de la SP en untiempo dado. Si la galaxia consiste de estrellas de unasola población, entonces

)()()()( 0 wmdt

dmmMwmNtE

tn

tn

tntntn!=!= "

Sin embargo, para una galaxia con formación de estrellas, elcálculo de la tasa de eyección de masa debe considerar el númerode estrellas de la SP en el punto de quiebre de todas las edades.Entonces el material interestelar devuelto de estrellas en tiempo t1,

dmtmtwmEtn

m

mtn

u

t

),()()( !"!# $$%$=

Donde mu es el límite superior en la IMF, y mt es lamasa de quiebre de una población de edad t. De igualforma, la ecuación para la masa total de los remanentesque se forman es,

dmtmtwWtn

m

mtn

u

t

),()( !"!# $$%=

La ecuación para EZ es un poco más complicada ya quetiene dos términos:

dmtmttZmpwmdmtmtmE tn

m

mtntnztn

m

mtnZ

u

t

u

t

),()()()(),()( !"!!!"! ## $$%$$$+$$%=

Cantidad de metales nuevosgenerados por las estrellas

Cantidad de metales perdidos delISM cuando la estrella se formó,pero ahora se re-envía al ISM.

Finalmente tenemos una ecuación para la conservaciónde metales. Entonces, la cantidad total de metalesproducidos en una galaxia en un tiempo de Hubble es,

dmdttmtmpZMMMZ m

t m

mmzgwss

u

t

')',()'()(1

0!"!# # $$%=++

Contenido metálicomedio en estrellas.

dmtmtwmEtn

m

mtn

u

t

),()()( !"!# $$%$=

dmtmtwWtn

m

mtn

u

t

),()( !"!# $$%=

dmtmttZmpwmdmtmtmE tn

m

mtntnztn

m

mtnZ

u

t

u

t

),()()()(),()( !"!!!"! ## $$%$$$+$$%=

dmdttmtmpZMMMZ m

t m

mmzgwss

u

t

')',()'()(1

0!"!# # $$%=++

Ecuaciones a resolver

Aproximación analíticaLa solución a estas ecuaciones acopladas con cuatro

variables independientes (ψ, φ, ƒ y Zf) no es trivial.Consideraremos dos aproximaciones para simplificarel problema,

Aproximación 1:IMF indep. de t

Aproximación 2:Reciclado instantáneo

)(),( mtm !! =

Se consideran sólo dos tipos de estrellas:•m < m1 estrellas que viven para siempre•m > m1 estrellas que evolucionan ymueren instantáneamente.Aproximación buena si consideramos que unaestrella de 5Msol vive 108 años, lo quecosmológicamente hablando es instantáneo, yuna de menos de 1Msol prácticamente vivepara siempre.

Definamos,

fracción de gas queRetorna al ISM

Fracción de materiaoscura bariónica

Producto neto(del elemento i)

!"

#=1

)()(m

dmmwmR $

!"

=1

)(m

dmmwD #

!"

#=

1

)(1

1

mzi dmmmp

Ry $

En palabras,

Es la fracción del metal i producido porestrellas por cada 1 Msol de material enestrellas o en remanentes estelares.

yi

Es la fracción de masa que una generacióntransforma en remanentes estelares.D

Es la fracción de masa que una generaciónde estrellas inyecta al medio interestelarR

La importancia de estas tres cantidades es que dependensolamente del IMF. Si supones una forma universal del IMF,entonces R, D y yi son constantes que dependen sólo de laevolución estelar. En otras palabras, son cantidades conocidas.

Con estas aproximaciones miremos E, W y EZ . Sisuponemos φ(m) independiente del tiempo, y usamos laaproximación de reciclamiento instantáneo, entonces

!="!=

""!"=

#

#

Rdmmwmt

dmtmtwmE

u

t

u

t

m

m

m

m

mm

)()()(

),()()(

$

%$%

De igual manera, la ecuación para remanentes es,

[ ])1(

resulta, que lo

)()(

),()(

RyZRE

Ddmmwt

dmtmtwW

Z

m

m

m

m

mm

u

t

u

t

!+"=

"="=

!!"=

#

#

$

%$%

Con estas suposiciones las ecuaciones de evolución química:

fZRyRZdt

dZM

Ddt

dM

fRdt

dM

DRdt

dM

fdt

dM

f

g

w

g

s

+!"+!"!=

"=

+"!!=

"!!=

=

)1()1(

)1(

)1(

fZEZdt

ZMd

Wdt

dM

fEdt

dM

WEdt

dM

fdt

dM

fZ

g

w

g

s

++!"=

=

++!"=

""!=

=

)(

[ ])1( RyZRE

DW

RE

Z !+"=

"=

"=

Que se puede simplificar diferenciando,

dt

dZM

dt

dMZ

dt

ZMdg

gg+=

)(

sustituyendo

fZZRydt

dZ

fRdt

dM

f

g

)()1(M

obtiene, se

)1(

g !+!"=

+"!!=

Test de Formación de EstrellasLas ecuaciones anteriores nos permiten estimar la

historia de formación de estrellas en la vecindad solar.Si escribimos la ecuación,

!"

#$%

&!!"

#$$%

&

''=

''=(

dt

Zd

Zd

dM

DRdt

dM

DR

sslog

log1

1

1

1

como!""= )1( DR

dt

dMs

Si medimos la metalicidadde estrellas en la vecindadsolar, podemos determinarcuanta masa hay en funciónde la metalicidad.

Estudiando estrellas tipo F cercanas,y comparando sus luminosidades a lasde estrella F de la SP, podemosestimar sus edades. Si medimos susmetalicidades tenemos este término.

Haciendo algo parecido podemos estimar la historia dematerial que cae.

dt

Zd

Zd

dM

DR

R

Zd

dM

Rdt

dMf

fRdt

dM

gg

g

g

log

log1

1

log

)1(

)1(

!"#

$%&

''

'+=

('+=

+(''=

Si medimos las metalicidad de nubes HI y H2 demasa distintas, entonces todos los términos de estaecuación son conocidos, y la historia del materialque cae es conocida.

Modelo Cerrado de EvoluciónQuímica

Como ejemplo de lo que el modelo de evolución químicapuede hacer, consideremos un sistema cerrado, dondetodo el material para la formación estelar viene de lapérdida de masa de generaciones de estrellasprecursoras. In este caso f=0. Partamos de la ecuación,

)1()()1(Mg RyfZZRydt

dZf !"=!+!"=

Considerando también la siguiente ecuación,

!""=+!""= )1()1( RfRdt

dM g

Dividiendo una porla otra,

yd

dZ

dt

dMdt

dZ

g

!==g

g

g

MM

M

Ya que y es una constante de evolución estelar,

!!

"

#

$$

%

&'='('=) )

0

1

01ln

1

0

1

0g

g

Z

Z

M

M g

g

M

MyZZ

M

dMydZ

g

g

Masa del gas hoyMg1

Metalicidad del gas hoyZ1

Masa inicial del gasMg0

Metalicidad inicial del gasZ0

Si,

!"#

$%& '

=

(()

*++,

-'='./

()

*+,

-=(

)

*+,

-=((

)

*++,

-=

y

ZZ

ZZZZ

M

M

M

M

M

M

y

Dsg

11

11 0

exp

ln

µµ

µ

µ

01µ

Recordando,

!"#

$%& '

()

*+,

-

'

''(()

*++,

-=((

)

*++,

-()

*+,

-=

'

'''==

+.''=.''=

y

ZZ

R

DR

yd

d

dZ

d

R

DR

d

d

dt

dM

dt

dM

fRdt

dMDR

dt

dM

gs

gs

1exp1

1

dZ

d

entonces,

1

1

)1( )1(

µ

µ

/µ/

µ

/

Finalmente, si escribimos esta ecuación en términos de logZ,

!"#

$%& '

(()

*++,

-()

*+,

-

'

''(()

*++,

-=

y

ZZ

R

DR

y

Z 1

1

11 exp1

110ln

dlogZ

d

.

µ..

Ya que el número de medidas de metalicidad estelar no esmuy abundante, es mejor estudiar la función distribuciónacumulativa, i.e. El número de estrellas con metalicidadesmenor que Z. Para esto integramos la ecuación anterior.Juntemos las constantes en

!!"

#$$%

&!"

#$%

&

'

''=

1

1

1

1

(

µ

R

DRG

La función acumulativa será,

!"#

$%&

'(()

*++,

- ''= 1exp1 1

1 y

ZZG

.

.

!"#

$%&

'(()

*++,

- ''= 1exp1 1

1 y

ZZG

.

.

Cuando esta función se compara con las observaciones, esclaro que las metalicidades de las estrellas en la vecindadsolar no se puede ajustar con un modelo cerrado deevolución galáctica. Alguna razones,

•ó Z0 ≠ 0•ó La población inicial de estrella no tenían la misma IMF•ó f ≠ 0•ó hay in-homogeneidades químicas severas en el ISM, y laformación de estrellas ocurren preferentemente en regionesde metalicidad más alta.