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presentacioacuten sistemaacutetica de costos y beneficios financieros y su correspondiente asignacioacuten en el tiempo o lo que es lo mismo Identificar y valorar

Ct Costos de cada tiempo t y los beneficios de cada tiempo t Vj Cantidades de insumas Pi Precio de esos insumas

Ct = Ln

Yjt Pi j l

Xi Cantidades de productos o servicios producidos por el proyecto Pi Precio

Bt =Ln

Xit Pit i==O

BNT Beneficio neto de cada tiempo

BNT = Ln

XitPit _ Ln

Yjt Pit i=O j =l

Asiacute el valor neto de los beneficios netos seraacute T

VABNB = LBNtvt 1=0

Siendo Vt Factor de ponderacioacuten del beneficio neto seguacuten sea el tiempo en que se presente

Esto porque el valor de los costos y los beneficios no solo dependen de su monto si no tambieacuten del momento en que ocurran Por ello puede decirse que los beneficios no vienen solos hay que pagar por ellos tiempo recursos y costos

La consideracioacuten del efecto del tiempo sobre el valor del dinero y los recurso cuando se toman decisiones permite indagar sobre lo que lilas interesa financieramente de los proyectos de inversioacuten que es su rentabilidad Asiacute entonces podemos dedicarnos en un primer paso a valorar los BNt ( beneficios netos de cada tiempo t ) por medio de unas teacutecnicas que nos permite definir su estructura llamada tambieacuten flujo de fondos neto Luego por medio del calculo de valores actualizados de

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estos fluJos de fondos se podraacute formar el indicador de evaluacioacuten Esto nos llevara al calculo de la tasa de descuento

En este momento podriacutea decirse que un proyecto es la estimacioacuten de un conjunto de activos capaz de funcionar como una unidad econoacutemica independiente La operacioacuten de este conjunto de activos esta institucionalizada mediante un conjunto de contratos que significan ingresos y egresos elos permiten que por un lado se cubra la deuda de proyecto y ademaacutes se pueda generar un rendimiento para fas inversionistas posterior al cubrimiento de los costos de operacioacuten

Con estos elementos se da fa formacioacuten de un flujo de fondos ef cua para mejor visualizacioacuten aparece en el siguiente cuadro con fas elementos fiacutesicos y financieros del proyecto

GRAFICO 13

PRESTAMOS REEMBOLSO DEUDA

Fon~os de Rendimientos de Kapital accionistas

632 Tecnica de flujo de fondo neto

El flujo de fondos equivale al disponible despueacutes de impuesto tanto para el inversionista en el supuesto que el proyecto fuera financiado con recursos propios (flujo puro) como para el financista en el supuesto que el proyecto fuera financiado con deuda ( nujo del proyecto financiado) Este nujo constituye la herramienta de valoracion de proyectos mas completa dado que centra su anaacutelisis en el concepto de caja antes que en el concepto de causaci6n como lo presupone la contabilidad

El flujo de fondos neto puede expresarse en teacuterminos de dos componentes El flujo de fondos disponible (caja) y el monto invertido

I Materia prima bull r

I

AC1TVOS DEL PROYECTO Productos

Ingresos Por venta

~~)~~ v _uAD Nc luacute~ALos ~ 93 - JHW MU11JJII

DEPTO DE B[BLlOTEC

18LlOTECA MINA

en capital del proyecto Esto da lugar a que los costos de proyecto se identifiquen como costos de inversioacuten y costos de operacioacuten

Ahora bien el resultado de la proyeccioacuten del flujo de fondos neto y la tasa de descuento utilizada para expresar sus resultados en valor presente constituyen los factores claves para la consistencia del proceso de valoracion del proyecto De ahiacute que se proponga un proceso de cuatro pasos relevantes para configurar el fllujo de fondos neto

1 Determinar cuates son Ilos elementos relevantes del flujo de fondos es decir el tipo de cuentas y la forma como se ordenan

2 Considerar unos supuestos de proyeccioacuten para cuentas especiales tales como depreciacioacuten valores residuales limpuestos perdidas y ganancias ocasionales

3 Establecer e involucrar una perspectiva histoacuterica del horizonte del proyecto (vida uacutetil + periodo de montaje)

4 Calcular y valorar eventos especiales ( claves)

6321 Elementos relevates del flujo de fondos

1) Ingresos atribuibles al proyecto Son ingresos marginales (incremeacutentales) lo cual significa que se perciben uacutenicamente por la incorporacioacuten del proyecto en este sentido tendriacuteamos

a) Los ingresos operativos Son los que se reciben por las operaciones normales del negocio (venta de productos o servicios) derivados de la operacioacuten del proyecto

b) Ingresos financieros Pueden ser el resultado de la capitalizacioacuten de intereses producto de excedentes de flujo de caja (Excedentes de capital de trabajo)

c) Ingresos por venta de subproductos Cuando se presentan inventarios de productos defectuosos que no cumplen especificaciones del mercado

d) Recuperacioacuten del capital de trabajo Producto de excesos de capital o de liquidacioacuten del proyecto

e) Ingreso por venta de activos en reposicioacuten Caso de venta de una maquina a reemplazar por obsoleta o venta de un vehiacuteculo de gerencia por mejora de imagen corporativa y otros casos similares o venta de un bien del proyecto mas allaacute de su valor en libros lo cual genera una ganancia ocasional

En su conjunto estos ingresos son gravables es decir se clasifican antes de impuestos a menos que el ingreso sea por recuperacioacuten de un costo caso en el cual seria no gravable como por ejemplo la venta de un activo por su valor en libros

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2) Cuentas especiales~

Valor en libros de un activo = Costo de adquisicioacuten - depreciacioacuten acumulada Depreciacioacuten =Valor del activo I Nro de antildeos de vida uacutetil

Son cargos no efectivos ( no desembolsables) deduddos de los ingresos gravables antes de impuestos como reconocimiento al uso u obsolescencia de los activos en el proceso productivo Si son activos nominales ( patentes gastos preoperativos) se llaman amortizaciones

3) Costos de inversioacuten Son los montos de capital necesarios para adquirir la propiedad de la planta y equipos necesarios para desarrollar la actividad fundamental del proyecto Tambieacuten incluye a los activos nominales que son aquellos costos intangibles necesarios para poner en funcionamiento el proyecto tales como patentes capacitacioacuten consultoriacutea etc Ademaacutes en los costos de inversioacuten habraacute de incluirse el capital de trabajo_ que son aquellos desembolsos necesarios para iniciar el primer ciclo de produccioacuten de bienes o servicios del proyecto tales como efectivo materiales y todos aquellos elementos necesarios para poner en marcha los activos fijos y nominales Los cambios en el capital de trabajo producto de un incremento en la produccioacuten tambieacuten son un costo de inversioacuten

4) Costos de operacioacuten~ Son los desembolsos por insumas y aportes al ciclo productivo en los distintos periodos de funcionamiento del proyecto tales como arrendamientos mano de obra intereacutes imprevistos insumas Su diferencia con los costos de inversioacuten es que no tienen efecto (beneficio) mas allaacute del periodo en que ocurren

5) Impuestos Son los desembolsos legales que representan una menor utilidad Su liquidacioacuten es sobre la utilidad gravable asiacute

Monto de impuesto = ( Ingresos gravables- costo deducibleshydepreciacioacuten) x Tasa Impositiva

6) Costo muerto Son gastos inevitables o sea irrelevantes que ocurren independientemente que se haga el proyecto por ejempilo todos los costos de infraestructura informacioacuten y dotaciones que no pagamos por ellas por que no son especiacuteficamente para el proyecto

7) Costo de oportunidad~ siempre que el proyecto que se este analizando involucre un insumo o recurso que tiene uso alternativos el

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valor de su costo depende de los ingresos que se percibiriacutea por este recurso si se utiacutelizara en otra alternativa (no es desembolsable)

Por ejemplo El salario que se debe registrar por un inversionista que maneje su propio proyecto es el equivalente a Ilos ingresos que devengariacutea en la otra actividad en la que se empleariacutea

8) Valores residuales~ Son los ingresos por venta de los activos del proyecto los cuales ocurre cuando se repone o cuando se liquida el proyecto En cierto sentido son la recuperacioacuten de un costo que puede ocurrir por el mismo valor en libros superior al valor en libros o inferior presentaacutendose en consecuencia una ganancia ocasional que es gravable o una perdida ocasional que es deducible y que se trata como costo aunque no lo es o sea

Valor residual Valor comercial del activo - Valor en libros del activo

Ganancia ocasional ( ingreso gravabe) - Perdida ocasional (costo deducible)

Valor en libros Valor del activo - depreciacioacuten acumulada

Depreciacioacuten acumulada Depreciacioacuten del periodo por el numero de periodos en funcionamiento del activo

Asiacute entonces el esquema de flujo de fondos seria

Ingresos gravables costos deducibles ( incluye deprecy perdidas)

Ingresos gravables - Impuestos + Otros ingresos no gravables - Otros costos no deducibles

+ Depreciacioacuten o perdida - Costos de inversioacuten Flujo neto de fondos

Habraacute que tomarse en cuenta que la razoacuten para que la depreciacioacuten vuelva a sumarse es porque esta es solo un costo contable que se registra para pagar menos impuestos ya que el verdadero costo fue el costo de inversioacuten que el gobierno considera no deducible En el periodo en que la inversioacuten que se paga no se considera deducible mas bien cuando esta inversioacuten se desgasta por razoacuten de su uso en un proceso productivo se registra como depreciacioacuten en cada uno de los

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periodos de funcionamiento del proyecto Esta es la causa por la cual se vuelve a sumar despueacutes de impuesto

Se habriacutea dicho inicialmente que Al identificar tanto los costos como los ingresos (Beneficios) del proyecto es importante incluir uacutenicamente aquellos costos y beneficios que ocurren en funcioacuten del proyecto Por ello se deberaacute separar los costos y beneficios de la empresa con proyecto Vs los costos y beneficios de la empresa sin proyecto el resultado es el flujo de fondos incremental que significa los beneficios netos atribuibles al proyecto Graacuteficamente seria

BENE~CIOS i BENEFICIOS CON PROYECTO

COSTOS 7 lelOS NETO N~REMEacuteNTALES

I ~Os NETOStNOJOYECTO

PERIODOS

Lo cual significa que Ilos ingresos netos (beneficios netos) asignables al proyecto son los incremeacutentales es decir los que se ocasionan uacutenicamente por razoacuten del proyecto

En siacutentesis se puede decir que el flujo de fondos refleja las etapas del montaje (inversioacuten)operacioacuten (ingresos y costos operacionales) y desmontaje (valores residuales de un proyecto)

DIFERENTES COSTOS PARA DIFERENTES DECISIONES

Supongamos que una persona quiere saber disponiendo de un capital si acaso construye o no una faacutebrica Para ello contrata los servicios de un ingeniero que realiza los planos y caacutelculos de la instalacioacuten determinando cuaacutel seriacutea la capacidad oacuteptima de la misma y la maquinaria necesaria para la puesta en marcha El ingeniero cobra por este asesoramiento $250 Esta cantidad ha sido ya gastada para que se hiciera el estudio de factibilidad El estudio muestra que los gastos que demandariacutea la construccioacuten y operacioacuten de la faacutebrica seriacutean

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- Mano de obra $5400 - Patente anual $350 - Permiso para la construccioacuten de la faacutebrica $700

La persona que desea realizar esta inversioacuten trabaja actualmente en otra empresa donde le pagan $ 155 antildeo Si eacutel construyera su propia faacutebrica tendriacutea que dejar ese trabajo y dejariacutea de percibir los $ 155 Por lo tanto eacuteste constituye su sueldo alternativo va a formar la empresa si por lo menos puede ganar en ella los $155 que podriacutea ganar trabajando en su ocupacioacuten alternativa Es por ello que aunque no vaya a figurar en la planilla de sueldos esta cantidad para la decisioacuten de fannar la empresa debe impuumltarse como costo el suumleldo altemativo que la persona podriacutea ganar en otra parte (ya que dejariacutea de percibirlo por trabajar en su propia empresa)

Supongamos que esta persona tiene un capital propio de $ 10000 que estaacuten invertidos en bonos caja de ahorro o tiacutetulos valores Ademaacutes dispone de un creacutedito bancario de hasta $1500 que es renovable antildeo a antildeo Se necesita para la faacutebrica comprar una maacutequina que cuesta $9000 y un edificio que cuesta $500 Se supone que la maacutequina yel edificio van a durar indefinidamente que no se desgasta o deprecia con el uso Suponga que se necesita mantener un capital circulante de $1300 en concepto de inventarios saldos bancaiacuteios etc Suumlponga ademaacutes que existe un impuesto anual del 1 sobre el valor de la maquinaria y edificios

Para simplificar el ejemplo se supone que en esta economiacutea rige una tasa del intereacutes dell 10 que es igual para el que pide prestado que para elque presta como tambieacuten es 110 que puede obtenerse en caja de ahorro bonos y debentures

iquestCuaacutel seraacute el ingreso anual miacutenimo que va a tentar a esta persona para formar Ia empresa Es decir iquestcuaacuteles son os costos pertinentes para esta decisioacuten

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CAPITULO VII

EL VALOR MONETARIO DEL TIEMPO Y LA TASA DE DESCUENTO

El flujo de fondos no conduce directamente a la toma de decisiones sobre la conveniencia o inconveniencia de asignar recursos a una determinada alternativa Aun quedan por contestar dos preguntas

1 Cuando un flujo de fondos representa un proyecto rentable 2 De los proyectos de inversioacuten identificados en cual se deberaacuten

colocar los recursos de inversioacuten que tenemos disponibles

Responder a estas preguntas implica en primer lugar descontar las diferencias temporales de los beneficios y costos del proyecto para permitir convertirlos en su equivalente en un antildeo o periodo de referencia de manera que se puedan comparar faacutecilmente los diferentes proyectos El descuento permite por tanto corregir las diferencias o el efecto del tiempo en los flujos netos (BNt) La pregunta central es entonces Cual es la tasa de descuento de esos flujos Luego habraacute que comparar los flujos descontados para elegir la alternativa mas rentable

La eleccioacuten de la tasa de descuento nos lleva a considerar que todo dinero asignado a una alternativa deja de generar rendimientos en otra en virtud de la oportunidad de opciones que el dinero tiene lo cual permite indicar que el dinero tiene un costo de oportunidad cuando se asigna a un proyecto que refleja el rendimiento representativo de sus oportunidades de inversioacuten En consecuencia un proyecto no se evaluacutea en el vaciacuteo sino frente a otras oportunidades de inversioacuten Para que este sea rentable debe generar como miacutenimo lo que habriacutea ganado este dinero en la alternativa mas atractiva lo cual equivale a decir que para que sea rentable tiene que compensar como miacutenimo su costo de oportunidad

La tasa de intereacutes de oportunidad es la tasa que refleja e1 costo de oportunidad de los dineros del inversionista por tanto es la tasa que representa el rendimiento de las alternativas de inversioacuten que se podriacutean seleccionar si se decidiera no invertir en el proyecto

Esta tasa es asimilable a una tasa de colocacioacuten de fondos o a una tasa que refleje las oportunidades sacrificadas al tomar la decisioacuten de invertir en el proyecto depende entonces de la persona que invierte en el proyecto ya que es el rendimiento representativo de sus oportunidades de inversioacuten

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La rentabilidad de un proyecto seraacute aquella tasa de ganancia surgida del proyecto que este por encima de lo que habriacutea ganado de escoger invertir el dinero en otras alternativas

Se pueden ver asiacute estas afirmaciones Mercado Financiero

fK -----------------~ K( 1 +i) hoy mantildeana

Proyecto fK -----------------~ K( 1+i)

mantildeana

Si K( 1+i) gt K( 1 +i) el proyecto es rentable porque i es la tasa de oportunidad o tasa de descuento

Esto se podria indicar en una regla enunciada asiacute Para determinar el valor de la rentabilidad del proyecto es necesario descontar los beneficios netos del proyecto por el costo de oportunidad del dinero En otras palabras Un inversionista realiza aquellas inversiones en las que el rendimiento esperado del proyecto supera el costo de capital del proyecto el cual viene dado por el costo de oportunidad de los financiadores del proyecto

71 CALCULO DE LA TASA DE DESCUENTO

El costo de oportunidad (tasa de oportunidad) que es la tasa a la que se deberaacuten descontar los flujos de fondos netos (BNt) para comparar todos los costos y beneficios como si se presentaran en el antildeo O ( descuento intertemporal) permite comparar sumas que se presentan en diferentes momentos del tiempo teniendo en cuenta la compensacioacuten del costo de oportunidad del dinero o sea elimina las diferencias temporales Sin embargo queda pendiente por resolver la pregunta iquest Como se calcula dicho costo de oportunidad para que sea concordante metodologicamente con el caJculo de los flujos de fondos

Para que ello sea asiacute este costo deberaacute cumplir las siguientes condiciones 1

1 Establecerse como un promedio ponderado de todos los recursos de capital que hayan sido considerados en el flujo de fondos

1 El riesgo sistemaacutetico es el que se debe remunerar mientras que el riesgo proveniente de otras formulas se puede diversificar mediante la composicioacuten de portafolios

100

2 Si el flujo de fondos es computado despueacutes de impuesto el costo de capital deberaacute tener en consecuencia el mismo criterio

3 El costo deberaacute expresarse en tasas nominales de la misma periodicidad del flujo de fondos

4 Puesto que cada fuente de capital debe ser recompensada seguacuten el nivel de riesgo que asume la ponderacioacuten de cada fuente que va a contribuir en la formacioacuten del costo de capital deberaacute ajustarse al riesgo sistemaacutetico1 de cada tiempo en que esa fuente de financiamiento participa No debe olvidarse que un inversionista seraacute mas exigente con proyectos con mayor nivel de riesgo y esta es la razoacuten para el incremento en el costo de capital utilizado como tasa de descuento Deuda capital (recursos propios) y deuda convertible en capital

Al momento de calcular el factor de ponderacioacuten de los elementos integrantes del costo de capital cada uno de ellos deberaacute considerar su peso dentro del mercado entendiendo esto como el espectro de posibilidades de financiacioacuten del proyecto Ello en razoacuten a que el proyecto deberaacute asumir en su estructura de financiacioacuten las condiciones del mercado Para desarrollar entonces una ponderacioacuten adecuada debe considerarse la estructura de financiamiento mas adecuada (proporcioacuten entre deuda y kapital)

72 EL CONCEPTO DE TASA DE INTERES

El concepto de intereacutes es la espina dorsal del anaacutelisis relativo a la evaluacioacuten financiera de las inversiones en razoacuten a que eacuteste no es maacutes que un costo o una renta generada por el uso del dinero en un tiempo determinado Inversiones preacutestamos a terceros y ahorro se justifican mediante el intereacutes iquestCoacutemo surge entonces el concepto de tasa de intereacutes

El recurso financiero igual que la tierra y el trabajo tiene la capacidad de generar riqueza con el transcurso del tiempo Esto es asiacute porque las cantidades de dinero disponible tienen la capacidad de crecer cuando se invierten en alternativas productivas La cuantiacutea de los cambios en el valor del dinero con el tiempo depende de queacute otras oportunidades de inversioacuten tenemos

Podemos entonces determinar la cuantiacutea de los cambios del valor del dinero con el tiempo calculando lo que nuestros recursos (expresados en teacuterminos monetarios) podriacutean ganar en diferentes oportunidades de inversioacuten existentes en otras palabras el monto de las utilidades a las que se debe renunciar con el fin de invertir nuestros recursos en un proyecto de inversioacuten es lo que significa el costo de oportunidad que

101

especiacuteficamente representa la cuantiacutea a la que se reduciraacuten los flujos del proyecto con el tiempo

Para que un inversionista acepte entonces recibir una suma de dinero dentro de un periacuteodo en lugar de disponer de esa suma ahora seraacute preciso entregarle dentro de un periacuteodo una suma superior a la actual Esa cantidad adicional que es necesario reconocer refleja la capacidad que el dinero tiene de crecer en sus propias manos 110 cual expresado como un porcentaje de la inversioacuten inicial se Hama tasa de intereacutes del periacuteodo

Si tenemos una suma P (hoy) por efecto de la potencialidad de crecer cuando se invierte en alternativas productivas esa suma seraacute P + AP (mantildeana) Este AP I P 100 seraacute entonces la tasa de intereacutes Sobre esta argumentacioacuten se pueden dar varias definiciones de tasa de intereacutes que son equivalentes bull Tasa que cuantifica la oportunidad que tiene el dinero de crecer

bull Tasa de rendimiento que el duentildeo del dinero habriacutea ganado si lo hubiera invertido en lugar de prestarlo (o sea costo de oportunidad del capital)

bull Cuota que se paga por el uso del dinero

bull Compensacioacuten financiera por aplazar en el tiempo el uso del dinero o sea que la tasa de intereacutes es un premio por dejar de consumir

bull Desembolso de lo que hubiera podido ganarse si se recibiacutea el dinero anteriormente y se utilizaba para otros fines

bull El intereacutes es un medidor que asocia dinero tiempo y riesgo

73 EL CONCEPTO DE EQUIVALENCIA

Basados en el concepto de tasa de intereacutes estamos en capacidad de desarrollar un conjunto de relaciones matemaacuteticas entre sumas de dinero que se reciben en diferentes momentos del tiempo para establecer equivalencias entre ellas

Se dice entonces que para todo K existe una suma mayor K + iK =K( 1 + i )

102

tal que K( 1 + i ) mantildeana es equivalente financieramente a K hoy o sea numeacutericamente seriacutea $1000 == $1500 0 tasa de intereacutes del periacuteodo =050

Se quiere significar que el concepto de equivalencia es un concepto relativo a la tasa de intereacutes por tanto lo que es equivalente para un inversionista no lo es para otro

Habraacute que tomar en cuenta que equivalencia quiere decir lo mismo que indiferencia En este sentido si $1000 == (indiferente) a $1500 es porque $1000 tienen hoy oportunidades de inversioacuten que permiten convertir los $1000 de ahora en $1500 de mantildeana Lo que se quiere reiterar es que la piacuteeferencia pOi iacuteecibir sumas de dinero antes y no despueacutes se manifiesta a traveacutes de la tasa de intereacutes en virtud de que eacutesta cuantifica la oportunidad que tiene el dinero de crecer

Este concepto a su vez permite construir relaciones matemaacuteticas que expresan las diferentes equivalencias entre sumas de dinero que se reciben en diferentes momentos del tiempo las cuales nos permiten realizar los siguientes anaacutelisis

bull Determinar el costo de financiacioacuten o la rentabilidad de la inversioacuten

bull Elaborar planes de financiamiento cuando se vende o compra a creacutedito

bull Seleccionar formas de amortizacioacuten seguacuten las condiciones de liquidez y rentabilidad del empresario

bull Calcular el costo del capital

bull Escoger altemativas de inversioacuten a corto y largo plazo

bull Seleccionar entre diferentes alternativas de costos

731 EQUIVALENCIAS FINANCIERAS

1) Entre una suma presente y una suma futura con tasa de Amortizacioacuten simple

1 = FP -1I F =P(1+ni) I n

I P - FooI nI - ~ 11I T J

103

2) Equivalencia entre una suma presente y una futura con tasa de Amortizacioacuten compuesta

F=P(1+lt =gt 1=(FP)11n_1 p = r= f( 1 -I-i)n ii nnrque la i nanl capmiddotta1izIfiomiddotn en el esc~narlmiddoto d~I 1 bull I I - 1 t 1I _1 11 _11 _

una tasa compuesta

3) Amortizacioacuten compuesta de una serie uniforme (valor futuro de una serie)

150 A+ A(1+1) + A(1+1)2 +A(1+1)3 + A(1+lt-

C) F(1 +1) = A(1 +1) ~~~ ~~~-1 (1 +1)

1 - 2 = F[(1 +1)-1] = A[(1 +It -1] F = A[(1+lt -1]

4) Amortizacioacuten de una suma futura A= FI

(1+j)n_1 I

6) Recuperacioacuten del capital en una serie uniforme A = FI A= P(1 +It 1

(1+I)n -1 (1+W-1

7) Valor presente de una serie uniforme P =A[( 1 +1t -11

(1 +I)ni

732 EQUIVALENCIAS FINANCIERAS ENTRE TASAS DE INTERES

Periodos de capita1izacioacuten de intereacutes tiempo sobre el cual se liquidan los intereses para permitir posteriormente su retiro o

acumulacioacuten

Tasa nominal no tiene en cuenta el nuacutemero de veces que liquidan los intereses dentro del periodo

Tasa efectiva Tiene en cuenta el nuacutemero de veces que los intereses liquidados empiezan a ganar intereses y se incrementa asiacute el retorno efectivo de la inversioacuten

104

Cuando el periodo de capitalizacioacuten es maacutes corto que el que cubre la tasa nominal =gt la tasa efectiva es gt que la tasa nominal

m= de veces en el antildeo que se capitalizan los intereses m= 12 capitalizacioacuten mensual m= 4 capitalizacioacuten trimestral

IYm= ilm tasa perioacutedica

Deduccioacuten P(1 +i) f P(1 +ilm)m (1 +i) = (1 +im)m

ilr = (1+im)m -1= ie

Equivalencia de intereacutes efectivo en teacuterminos de intereacutes nominal

lI iacutee= (1 +Ymt -1 ie= (1+imt-1

PASAR de una tasa efectiva a tasa perioacutedica (1+Ym)m -1= ie (1 +Ym)m = le+1 (1+Ym) =(ie+1)1m =gt Ym= (ie+1)1m_1

Equivalencia de intereacutes perioacutedico en teacutenninos de intereacutes efectivo

IYm =(ie+1 1m -1

La tasa de intereacutes efectiva expresa la rentabilidad como una tasa de intereacutes compuesta teniendo en cuenta la acumulacioacuten de intereses dentro del periodo de inversioacuten la cual puede modificar el rendimiento efectivo de la inversioacuten Tambieacuten toma en cuenta la forma de pago de los intereses reconociendo que el pago de intereses en forma anticipada permite al que los reciacutebe reinvertirlos maacutes temprano que en el caso que se pagan en forma vencida

La tasa efectiva refleja la rentabilidad verdadera de la inversioacuten como tal deberaacute ser la tasa que se utiliza en el manejo de la s equivalencias financieras con la condicioacuten que la tasa efectiva este expresada en los periodos en que se expresa n (tiempo en el flujo de fondos)

EL INTEREacuteS ANTICIPADO ia Se recibe K -iaK = (1-ia) K =P

paga K= F

105

Ii = KlK( 1-ia -1 i = 1 --1

-1-ia

Intereacutes vencido en teacuterminos de intereacutes anticipado

Equivalencia entre tasa de intereacutes nominal anticipada y tasa vencida

iacutev== [KlK(1-iacutea)]-1 iv== [1( 1-ia)J-1

~ _ 1 1 1 - shy

a iv + 1

Equivalencia entre una tasa de intereacutes nominal anticipada y una tasa de intereacutes efectiva

iexclnoma == tasa de intereacutes nominal antfcipada

Relacioacuten entre Ym y Yma i =(Fp)1n -1 P == (1-Yma)K F=K I I

fm = KI K(1- fma) -1 ~l__f_m__==___1____-_1________1~1~~ (1-Yma) )

Yma == 1 -1(Ym+1)

ie == (1+Ym)m-1 1+ie == (1+Ym)m

De 1 se deduce que (1 + Ym) == 1 (1-Yma)

1+ie =[1(1-Yma)]m

ie = [1(1-Yma)]m -1 ~ Intereacutes efectivo en teacutermino de intereacutes anticipado perioacutedico

106

Vm ( Ie middot 1 1m-j1 1 Id - I - I 1I T ) =gtIiitereacutes perioacutedico anticipado en teacuterminos de intereacutes efectivo

CONCLUSiOacuteN Entre mayor nuacutemero de periodos de liquidacioacuten de los intereses tenga una tasa de intereacutes anticipada menor seraacute su impacto sobre la tasa de intereacutes efectiva

~~)~~ v _uAD Nc luacute~ALos ~ 93 - JHW MU11JJII

DEPTO DE B[BLlOTEC

18LlOTECA MINA

en capital del proyecto Esto da lugar a que los costos de proyecto se identifiquen como costos de inversioacuten y costos de operacioacuten

Ahora bien el resultado de la proyeccioacuten del flujo de fondos neto y la tasa de descuento utilizada para expresar sus resultados en valor presente constituyen los factores claves para la consistencia del proceso de valoracion del proyecto De ahiacute que se proponga un proceso de cuatro pasos relevantes para configurar el fllujo de fondos neto

1 Determinar cuates son Ilos elementos relevantes del flujo de fondos es decir el tipo de cuentas y la forma como se ordenan

2 Considerar unos supuestos de proyeccioacuten para cuentas especiales tales como depreciacioacuten valores residuales limpuestos perdidas y ganancias ocasionales

3 Establecer e involucrar una perspectiva histoacuterica del horizonte del proyecto (vida uacutetil + periodo de montaje)

4 Calcular y valorar eventos especiales ( claves)

6321 Elementos relevates del flujo de fondos

1) Ingresos atribuibles al proyecto Son ingresos marginales (incremeacutentales) lo cual significa que se perciben uacutenicamente por la incorporacioacuten del proyecto en este sentido tendriacuteamos

a) Los ingresos operativos Son los que se reciben por las operaciones normales del negocio (venta de productos o servicios) derivados de la operacioacuten del proyecto

b) Ingresos financieros Pueden ser el resultado de la capitalizacioacuten de intereses producto de excedentes de flujo de caja (Excedentes de capital de trabajo)

c) Ingresos por venta de subproductos Cuando se presentan inventarios de productos defectuosos que no cumplen especificaciones del mercado

d) Recuperacioacuten del capital de trabajo Producto de excesos de capital o de liquidacioacuten del proyecto

e) Ingreso por venta de activos en reposicioacuten Caso de venta de una maquina a reemplazar por obsoleta o venta de un vehiacuteculo de gerencia por mejora de imagen corporativa y otros casos similares o venta de un bien del proyecto mas allaacute de su valor en libros lo cual genera una ganancia ocasional

En su conjunto estos ingresos son gravables es decir se clasifican antes de impuestos a menos que el ingreso sea por recuperacioacuten de un costo caso en el cual seria no gravable como por ejemplo la venta de un activo por su valor en libros

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2) Cuentas especiales~

Valor en libros de un activo = Costo de adquisicioacuten - depreciacioacuten acumulada Depreciacioacuten =Valor del activo I Nro de antildeos de vida uacutetil

Son cargos no efectivos ( no desembolsables) deduddos de los ingresos gravables antes de impuestos como reconocimiento al uso u obsolescencia de los activos en el proceso productivo Si son activos nominales ( patentes gastos preoperativos) se llaman amortizaciones

3) Costos de inversioacuten Son los montos de capital necesarios para adquirir la propiedad de la planta y equipos necesarios para desarrollar la actividad fundamental del proyecto Tambieacuten incluye a los activos nominales que son aquellos costos intangibles necesarios para poner en funcionamiento el proyecto tales como patentes capacitacioacuten consultoriacutea etc Ademaacutes en los costos de inversioacuten habraacute de incluirse el capital de trabajo_ que son aquellos desembolsos necesarios para iniciar el primer ciclo de produccioacuten de bienes o servicios del proyecto tales como efectivo materiales y todos aquellos elementos necesarios para poner en marcha los activos fijos y nominales Los cambios en el capital de trabajo producto de un incremento en la produccioacuten tambieacuten son un costo de inversioacuten

4) Costos de operacioacuten~ Son los desembolsos por insumas y aportes al ciclo productivo en los distintos periodos de funcionamiento del proyecto tales como arrendamientos mano de obra intereacutes imprevistos insumas Su diferencia con los costos de inversioacuten es que no tienen efecto (beneficio) mas allaacute del periodo en que ocurren

5) Impuestos Son los desembolsos legales que representan una menor utilidad Su liquidacioacuten es sobre la utilidad gravable asiacute

Monto de impuesto = ( Ingresos gravables- costo deducibleshydepreciacioacuten) x Tasa Impositiva

6) Costo muerto Son gastos inevitables o sea irrelevantes que ocurren independientemente que se haga el proyecto por ejempilo todos los costos de infraestructura informacioacuten y dotaciones que no pagamos por ellas por que no son especiacuteficamente para el proyecto

7) Costo de oportunidad~ siempre que el proyecto que se este analizando involucre un insumo o recurso que tiene uso alternativos el

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valor de su costo depende de los ingresos que se percibiriacutea por este recurso si se utiacutelizara en otra alternativa (no es desembolsable)

Por ejemplo El salario que se debe registrar por un inversionista que maneje su propio proyecto es el equivalente a Ilos ingresos que devengariacutea en la otra actividad en la que se empleariacutea

8) Valores residuales~ Son los ingresos por venta de los activos del proyecto los cuales ocurre cuando se repone o cuando se liquida el proyecto En cierto sentido son la recuperacioacuten de un costo que puede ocurrir por el mismo valor en libros superior al valor en libros o inferior presentaacutendose en consecuencia una ganancia ocasional que es gravable o una perdida ocasional que es deducible y que se trata como costo aunque no lo es o sea

Valor residual Valor comercial del activo - Valor en libros del activo

Ganancia ocasional ( ingreso gravabe) - Perdida ocasional (costo deducible)

Valor en libros Valor del activo - depreciacioacuten acumulada

Depreciacioacuten acumulada Depreciacioacuten del periodo por el numero de periodos en funcionamiento del activo

Asiacute entonces el esquema de flujo de fondos seria

Ingresos gravables costos deducibles ( incluye deprecy perdidas)

Ingresos gravables - Impuestos + Otros ingresos no gravables - Otros costos no deducibles

+ Depreciacioacuten o perdida - Costos de inversioacuten Flujo neto de fondos

Habraacute que tomarse en cuenta que la razoacuten para que la depreciacioacuten vuelva a sumarse es porque esta es solo un costo contable que se registra para pagar menos impuestos ya que el verdadero costo fue el costo de inversioacuten que el gobierno considera no deducible En el periodo en que la inversioacuten que se paga no se considera deducible mas bien cuando esta inversioacuten se desgasta por razoacuten de su uso en un proceso productivo se registra como depreciacioacuten en cada uno de los

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periodos de funcionamiento del proyecto Esta es la causa por la cual se vuelve a sumar despueacutes de impuesto

Se habriacutea dicho inicialmente que Al identificar tanto los costos como los ingresos (Beneficios) del proyecto es importante incluir uacutenicamente aquellos costos y beneficios que ocurren en funcioacuten del proyecto Por ello se deberaacute separar los costos y beneficios de la empresa con proyecto Vs los costos y beneficios de la empresa sin proyecto el resultado es el flujo de fondos incremental que significa los beneficios netos atribuibles al proyecto Graacuteficamente seria

BENE~CIOS i BENEFICIOS CON PROYECTO

COSTOS 7 lelOS NETO N~REMEacuteNTALES

I ~Os NETOStNOJOYECTO

PERIODOS

Lo cual significa que Ilos ingresos netos (beneficios netos) asignables al proyecto son los incremeacutentales es decir los que se ocasionan uacutenicamente por razoacuten del proyecto

En siacutentesis se puede decir que el flujo de fondos refleja las etapas del montaje (inversioacuten)operacioacuten (ingresos y costos operacionales) y desmontaje (valores residuales de un proyecto)

DIFERENTES COSTOS PARA DIFERENTES DECISIONES

Supongamos que una persona quiere saber disponiendo de un capital si acaso construye o no una faacutebrica Para ello contrata los servicios de un ingeniero que realiza los planos y caacutelculos de la instalacioacuten determinando cuaacutel seriacutea la capacidad oacuteptima de la misma y la maquinaria necesaria para la puesta en marcha El ingeniero cobra por este asesoramiento $250 Esta cantidad ha sido ya gastada para que se hiciera el estudio de factibilidad El estudio muestra que los gastos que demandariacutea la construccioacuten y operacioacuten de la faacutebrica seriacutean

97

- Mano de obra $5400 - Patente anual $350 - Permiso para la construccioacuten de la faacutebrica $700

La persona que desea realizar esta inversioacuten trabaja actualmente en otra empresa donde le pagan $ 155 antildeo Si eacutel construyera su propia faacutebrica tendriacutea que dejar ese trabajo y dejariacutea de percibir los $ 155 Por lo tanto eacuteste constituye su sueldo alternativo va a formar la empresa si por lo menos puede ganar en ella los $155 que podriacutea ganar trabajando en su ocupacioacuten alternativa Es por ello que aunque no vaya a figurar en la planilla de sueldos esta cantidad para la decisioacuten de fannar la empresa debe impuumltarse como costo el suumleldo altemativo que la persona podriacutea ganar en otra parte (ya que dejariacutea de percibirlo por trabajar en su propia empresa)

Supongamos que esta persona tiene un capital propio de $ 10000 que estaacuten invertidos en bonos caja de ahorro o tiacutetulos valores Ademaacutes dispone de un creacutedito bancario de hasta $1500 que es renovable antildeo a antildeo Se necesita para la faacutebrica comprar una maacutequina que cuesta $9000 y un edificio que cuesta $500 Se supone que la maacutequina yel edificio van a durar indefinidamente que no se desgasta o deprecia con el uso Suponga que se necesita mantener un capital circulante de $1300 en concepto de inventarios saldos bancaiacuteios etc Suumlponga ademaacutes que existe un impuesto anual del 1 sobre el valor de la maquinaria y edificios

Para simplificar el ejemplo se supone que en esta economiacutea rige una tasa del intereacutes dell 10 que es igual para el que pide prestado que para elque presta como tambieacuten es 110 que puede obtenerse en caja de ahorro bonos y debentures

iquestCuaacutel seraacute el ingreso anual miacutenimo que va a tentar a esta persona para formar Ia empresa Es decir iquestcuaacuteles son os costos pertinentes para esta decisioacuten

98

CAPITULO VII

EL VALOR MONETARIO DEL TIEMPO Y LA TASA DE DESCUENTO

El flujo de fondos no conduce directamente a la toma de decisiones sobre la conveniencia o inconveniencia de asignar recursos a una determinada alternativa Aun quedan por contestar dos preguntas

1 Cuando un flujo de fondos representa un proyecto rentable 2 De los proyectos de inversioacuten identificados en cual se deberaacuten

colocar los recursos de inversioacuten que tenemos disponibles

Responder a estas preguntas implica en primer lugar descontar las diferencias temporales de los beneficios y costos del proyecto para permitir convertirlos en su equivalente en un antildeo o periodo de referencia de manera que se puedan comparar faacutecilmente los diferentes proyectos El descuento permite por tanto corregir las diferencias o el efecto del tiempo en los flujos netos (BNt) La pregunta central es entonces Cual es la tasa de descuento de esos flujos Luego habraacute que comparar los flujos descontados para elegir la alternativa mas rentable

La eleccioacuten de la tasa de descuento nos lleva a considerar que todo dinero asignado a una alternativa deja de generar rendimientos en otra en virtud de la oportunidad de opciones que el dinero tiene lo cual permite indicar que el dinero tiene un costo de oportunidad cuando se asigna a un proyecto que refleja el rendimiento representativo de sus oportunidades de inversioacuten En consecuencia un proyecto no se evaluacutea en el vaciacuteo sino frente a otras oportunidades de inversioacuten Para que este sea rentable debe generar como miacutenimo lo que habriacutea ganado este dinero en la alternativa mas atractiva lo cual equivale a decir que para que sea rentable tiene que compensar como miacutenimo su costo de oportunidad

La tasa de intereacutes de oportunidad es la tasa que refleja e1 costo de oportunidad de los dineros del inversionista por tanto es la tasa que representa el rendimiento de las alternativas de inversioacuten que se podriacutean seleccionar si se decidiera no invertir en el proyecto

Esta tasa es asimilable a una tasa de colocacioacuten de fondos o a una tasa que refleje las oportunidades sacrificadas al tomar la decisioacuten de invertir en el proyecto depende entonces de la persona que invierte en el proyecto ya que es el rendimiento representativo de sus oportunidades de inversioacuten

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La rentabilidad de un proyecto seraacute aquella tasa de ganancia surgida del proyecto que este por encima de lo que habriacutea ganado de escoger invertir el dinero en otras alternativas

Se pueden ver asiacute estas afirmaciones Mercado Financiero

fK -----------------~ K( 1 +i) hoy mantildeana

Proyecto fK -----------------~ K( 1+i)

mantildeana

Si K( 1+i) gt K( 1 +i) el proyecto es rentable porque i es la tasa de oportunidad o tasa de descuento

Esto se podria indicar en una regla enunciada asiacute Para determinar el valor de la rentabilidad del proyecto es necesario descontar los beneficios netos del proyecto por el costo de oportunidad del dinero En otras palabras Un inversionista realiza aquellas inversiones en las que el rendimiento esperado del proyecto supera el costo de capital del proyecto el cual viene dado por el costo de oportunidad de los financiadores del proyecto

71 CALCULO DE LA TASA DE DESCUENTO

El costo de oportunidad (tasa de oportunidad) que es la tasa a la que se deberaacuten descontar los flujos de fondos netos (BNt) para comparar todos los costos y beneficios como si se presentaran en el antildeo O ( descuento intertemporal) permite comparar sumas que se presentan en diferentes momentos del tiempo teniendo en cuenta la compensacioacuten del costo de oportunidad del dinero o sea elimina las diferencias temporales Sin embargo queda pendiente por resolver la pregunta iquest Como se calcula dicho costo de oportunidad para que sea concordante metodologicamente con el caJculo de los flujos de fondos

Para que ello sea asiacute este costo deberaacute cumplir las siguientes condiciones 1

1 Establecerse como un promedio ponderado de todos los recursos de capital que hayan sido considerados en el flujo de fondos

1 El riesgo sistemaacutetico es el que se debe remunerar mientras que el riesgo proveniente de otras formulas se puede diversificar mediante la composicioacuten de portafolios

100

2 Si el flujo de fondos es computado despueacutes de impuesto el costo de capital deberaacute tener en consecuencia el mismo criterio

3 El costo deberaacute expresarse en tasas nominales de la misma periodicidad del flujo de fondos

4 Puesto que cada fuente de capital debe ser recompensada seguacuten el nivel de riesgo que asume la ponderacioacuten de cada fuente que va a contribuir en la formacioacuten del costo de capital deberaacute ajustarse al riesgo sistemaacutetico1 de cada tiempo en que esa fuente de financiamiento participa No debe olvidarse que un inversionista seraacute mas exigente con proyectos con mayor nivel de riesgo y esta es la razoacuten para el incremento en el costo de capital utilizado como tasa de descuento Deuda capital (recursos propios) y deuda convertible en capital

Al momento de calcular el factor de ponderacioacuten de los elementos integrantes del costo de capital cada uno de ellos deberaacute considerar su peso dentro del mercado entendiendo esto como el espectro de posibilidades de financiacioacuten del proyecto Ello en razoacuten a que el proyecto deberaacute asumir en su estructura de financiacioacuten las condiciones del mercado Para desarrollar entonces una ponderacioacuten adecuada debe considerarse la estructura de financiamiento mas adecuada (proporcioacuten entre deuda y kapital)

72 EL CONCEPTO DE TASA DE INTERES

El concepto de intereacutes es la espina dorsal del anaacutelisis relativo a la evaluacioacuten financiera de las inversiones en razoacuten a que eacuteste no es maacutes que un costo o una renta generada por el uso del dinero en un tiempo determinado Inversiones preacutestamos a terceros y ahorro se justifican mediante el intereacutes iquestCoacutemo surge entonces el concepto de tasa de intereacutes

El recurso financiero igual que la tierra y el trabajo tiene la capacidad de generar riqueza con el transcurso del tiempo Esto es asiacute porque las cantidades de dinero disponible tienen la capacidad de crecer cuando se invierten en alternativas productivas La cuantiacutea de los cambios en el valor del dinero con el tiempo depende de queacute otras oportunidades de inversioacuten tenemos

Podemos entonces determinar la cuantiacutea de los cambios del valor del dinero con el tiempo calculando lo que nuestros recursos (expresados en teacuterminos monetarios) podriacutean ganar en diferentes oportunidades de inversioacuten existentes en otras palabras el monto de las utilidades a las que se debe renunciar con el fin de invertir nuestros recursos en un proyecto de inversioacuten es lo que significa el costo de oportunidad que

101

especiacuteficamente representa la cuantiacutea a la que se reduciraacuten los flujos del proyecto con el tiempo

Para que un inversionista acepte entonces recibir una suma de dinero dentro de un periacuteodo en lugar de disponer de esa suma ahora seraacute preciso entregarle dentro de un periacuteodo una suma superior a la actual Esa cantidad adicional que es necesario reconocer refleja la capacidad que el dinero tiene de crecer en sus propias manos 110 cual expresado como un porcentaje de la inversioacuten inicial se Hama tasa de intereacutes del periacuteodo

Si tenemos una suma P (hoy) por efecto de la potencialidad de crecer cuando se invierte en alternativas productivas esa suma seraacute P + AP (mantildeana) Este AP I P 100 seraacute entonces la tasa de intereacutes Sobre esta argumentacioacuten se pueden dar varias definiciones de tasa de intereacutes que son equivalentes bull Tasa que cuantifica la oportunidad que tiene el dinero de crecer

bull Tasa de rendimiento que el duentildeo del dinero habriacutea ganado si lo hubiera invertido en lugar de prestarlo (o sea costo de oportunidad del capital)

bull Cuota que se paga por el uso del dinero

bull Compensacioacuten financiera por aplazar en el tiempo el uso del dinero o sea que la tasa de intereacutes es un premio por dejar de consumir

bull Desembolso de lo que hubiera podido ganarse si se recibiacutea el dinero anteriormente y se utilizaba para otros fines

bull El intereacutes es un medidor que asocia dinero tiempo y riesgo

73 EL CONCEPTO DE EQUIVALENCIA

Basados en el concepto de tasa de intereacutes estamos en capacidad de desarrollar un conjunto de relaciones matemaacuteticas entre sumas de dinero que se reciben en diferentes momentos del tiempo para establecer equivalencias entre ellas

Se dice entonces que para todo K existe una suma mayor K + iK =K( 1 + i )

102

tal que K( 1 + i ) mantildeana es equivalente financieramente a K hoy o sea numeacutericamente seriacutea $1000 == $1500 0 tasa de intereacutes del periacuteodo =050

Se quiere significar que el concepto de equivalencia es un concepto relativo a la tasa de intereacutes por tanto lo que es equivalente para un inversionista no lo es para otro

Habraacute que tomar en cuenta que equivalencia quiere decir lo mismo que indiferencia En este sentido si $1000 == (indiferente) a $1500 es porque $1000 tienen hoy oportunidades de inversioacuten que permiten convertir los $1000 de ahora en $1500 de mantildeana Lo que se quiere reiterar es que la piacuteeferencia pOi iacuteecibir sumas de dinero antes y no despueacutes se manifiesta a traveacutes de la tasa de intereacutes en virtud de que eacutesta cuantifica la oportunidad que tiene el dinero de crecer

Este concepto a su vez permite construir relaciones matemaacuteticas que expresan las diferentes equivalencias entre sumas de dinero que se reciben en diferentes momentos del tiempo las cuales nos permiten realizar los siguientes anaacutelisis

bull Determinar el costo de financiacioacuten o la rentabilidad de la inversioacuten

bull Elaborar planes de financiamiento cuando se vende o compra a creacutedito

bull Seleccionar formas de amortizacioacuten seguacuten las condiciones de liquidez y rentabilidad del empresario

bull Calcular el costo del capital

bull Escoger altemativas de inversioacuten a corto y largo plazo

bull Seleccionar entre diferentes alternativas de costos

731 EQUIVALENCIAS FINANCIERAS

1) Entre una suma presente y una suma futura con tasa de Amortizacioacuten simple

1 = FP -1I F =P(1+ni) I n

I P - FooI nI - ~ 11I T J

103

2) Equivalencia entre una suma presente y una futura con tasa de Amortizacioacuten compuesta

F=P(1+lt =gt 1=(FP)11n_1 p = r= f( 1 -I-i)n ii nnrque la i nanl capmiddotta1izIfiomiddotn en el esc~narlmiddoto d~I 1 bull I I - 1 t 1I _1 11 _11 _

una tasa compuesta

3) Amortizacioacuten compuesta de una serie uniforme (valor futuro de una serie)

150 A+ A(1+1) + A(1+1)2 +A(1+1)3 + A(1+lt-

C) F(1 +1) = A(1 +1) ~~~ ~~~-1 (1 +1)

1 - 2 = F[(1 +1)-1] = A[(1 +It -1] F = A[(1+lt -1]

4) Amortizacioacuten de una suma futura A= FI

(1+j)n_1 I

6) Recuperacioacuten del capital en una serie uniforme A = FI A= P(1 +It 1

(1+I)n -1 (1+W-1

7) Valor presente de una serie uniforme P =A[( 1 +1t -11

(1 +I)ni

732 EQUIVALENCIAS FINANCIERAS ENTRE TASAS DE INTERES

Periodos de capita1izacioacuten de intereacutes tiempo sobre el cual se liquidan los intereses para permitir posteriormente su retiro o

acumulacioacuten

Tasa nominal no tiene en cuenta el nuacutemero de veces que liquidan los intereses dentro del periodo

Tasa efectiva Tiene en cuenta el nuacutemero de veces que los intereses liquidados empiezan a ganar intereses y se incrementa asiacute el retorno efectivo de la inversioacuten

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Cuando el periodo de capitalizacioacuten es maacutes corto que el que cubre la tasa nominal =gt la tasa efectiva es gt que la tasa nominal

m= de veces en el antildeo que se capitalizan los intereses m= 12 capitalizacioacuten mensual m= 4 capitalizacioacuten trimestral

IYm= ilm tasa perioacutedica

Deduccioacuten P(1 +i) f P(1 +ilm)m (1 +i) = (1 +im)m

ilr = (1+im)m -1= ie

Equivalencia de intereacutes efectivo en teacuterminos de intereacutes nominal

lI iacutee= (1 +Ymt -1 ie= (1+imt-1

PASAR de una tasa efectiva a tasa perioacutedica (1+Ym)m -1= ie (1 +Ym)m = le+1 (1+Ym) =(ie+1)1m =gt Ym= (ie+1)1m_1

Equivalencia de intereacutes perioacutedico en teacutenninos de intereacutes efectivo

IYm =(ie+1 1m -1

La tasa de intereacutes efectiva expresa la rentabilidad como una tasa de intereacutes compuesta teniendo en cuenta la acumulacioacuten de intereses dentro del periodo de inversioacuten la cual puede modificar el rendimiento efectivo de la inversioacuten Tambieacuten toma en cuenta la forma de pago de los intereses reconociendo que el pago de intereses en forma anticipada permite al que los reciacutebe reinvertirlos maacutes temprano que en el caso que se pagan en forma vencida

La tasa efectiva refleja la rentabilidad verdadera de la inversioacuten como tal deberaacute ser la tasa que se utiliza en el manejo de la s equivalencias financieras con la condicioacuten que la tasa efectiva este expresada en los periodos en que se expresa n (tiempo en el flujo de fondos)

EL INTEREacuteS ANTICIPADO ia Se recibe K -iaK = (1-ia) K =P

paga K= F

105

Ii = KlK( 1-ia -1 i = 1 --1

-1-ia

Intereacutes vencido en teacuterminos de intereacutes anticipado

Equivalencia entre tasa de intereacutes nominal anticipada y tasa vencida

iacutev== [KlK(1-iacutea)]-1 iv== [1( 1-ia)J-1

~ _ 1 1 1 - shy

a iv + 1

Equivalencia entre una tasa de intereacutes nominal anticipada y una tasa de intereacutes efectiva

iexclnoma == tasa de intereacutes nominal antfcipada

Relacioacuten entre Ym y Yma i =(Fp)1n -1 P == (1-Yma)K F=K I I

fm = KI K(1- fma) -1 ~l__f_m__==___1____-_1________1~1~~ (1-Yma) )

Yma == 1 -1(Ym+1)

ie == (1+Ym)m-1 1+ie == (1+Ym)m

De 1 se deduce que (1 + Ym) == 1 (1-Yma)

1+ie =[1(1-Yma)]m

ie = [1(1-Yma)]m -1 ~ Intereacutes efectivo en teacutermino de intereacutes anticipado perioacutedico

106

Vm ( Ie middot 1 1m-j1 1 Id - I - I 1I T ) =gtIiitereacutes perioacutedico anticipado en teacuterminos de intereacutes efectivo

CONCLUSiOacuteN Entre mayor nuacutemero de periodos de liquidacioacuten de los intereses tenga una tasa de intereacutes anticipada menor seraacute su impacto sobre la tasa de intereacutes efectiva

94

2) Cuentas especiales~

Valor en libros de un activo = Costo de adquisicioacuten - depreciacioacuten acumulada Depreciacioacuten =Valor del activo I Nro de antildeos de vida uacutetil

Son cargos no efectivos ( no desembolsables) deduddos de los ingresos gravables antes de impuestos como reconocimiento al uso u obsolescencia de los activos en el proceso productivo Si son activos nominales ( patentes gastos preoperativos) se llaman amortizaciones

3) Costos de inversioacuten Son los montos de capital necesarios para adquirir la propiedad de la planta y equipos necesarios para desarrollar la actividad fundamental del proyecto Tambieacuten incluye a los activos nominales que son aquellos costos intangibles necesarios para poner en funcionamiento el proyecto tales como patentes capacitacioacuten consultoriacutea etc Ademaacutes en los costos de inversioacuten habraacute de incluirse el capital de trabajo_ que son aquellos desembolsos necesarios para iniciar el primer ciclo de produccioacuten de bienes o servicios del proyecto tales como efectivo materiales y todos aquellos elementos necesarios para poner en marcha los activos fijos y nominales Los cambios en el capital de trabajo producto de un incremento en la produccioacuten tambieacuten son un costo de inversioacuten

4) Costos de operacioacuten~ Son los desembolsos por insumas y aportes al ciclo productivo en los distintos periodos de funcionamiento del proyecto tales como arrendamientos mano de obra intereacutes imprevistos insumas Su diferencia con los costos de inversioacuten es que no tienen efecto (beneficio) mas allaacute del periodo en que ocurren

5) Impuestos Son los desembolsos legales que representan una menor utilidad Su liquidacioacuten es sobre la utilidad gravable asiacute

Monto de impuesto = ( Ingresos gravables- costo deducibleshydepreciacioacuten) x Tasa Impositiva

6) Costo muerto Son gastos inevitables o sea irrelevantes que ocurren independientemente que se haga el proyecto por ejempilo todos los costos de infraestructura informacioacuten y dotaciones que no pagamos por ellas por que no son especiacuteficamente para el proyecto

7) Costo de oportunidad~ siempre que el proyecto que se este analizando involucre un insumo o recurso que tiene uso alternativos el

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valor de su costo depende de los ingresos que se percibiriacutea por este recurso si se utiacutelizara en otra alternativa (no es desembolsable)

Por ejemplo El salario que se debe registrar por un inversionista que maneje su propio proyecto es el equivalente a Ilos ingresos que devengariacutea en la otra actividad en la que se empleariacutea

8) Valores residuales~ Son los ingresos por venta de los activos del proyecto los cuales ocurre cuando se repone o cuando se liquida el proyecto En cierto sentido son la recuperacioacuten de un costo que puede ocurrir por el mismo valor en libros superior al valor en libros o inferior presentaacutendose en consecuencia una ganancia ocasional que es gravable o una perdida ocasional que es deducible y que se trata como costo aunque no lo es o sea

Valor residual Valor comercial del activo - Valor en libros del activo

Ganancia ocasional ( ingreso gravabe) - Perdida ocasional (costo deducible)

Valor en libros Valor del activo - depreciacioacuten acumulada

Depreciacioacuten acumulada Depreciacioacuten del periodo por el numero de periodos en funcionamiento del activo

Asiacute entonces el esquema de flujo de fondos seria

Ingresos gravables costos deducibles ( incluye deprecy perdidas)

Ingresos gravables - Impuestos + Otros ingresos no gravables - Otros costos no deducibles

+ Depreciacioacuten o perdida - Costos de inversioacuten Flujo neto de fondos

Habraacute que tomarse en cuenta que la razoacuten para que la depreciacioacuten vuelva a sumarse es porque esta es solo un costo contable que se registra para pagar menos impuestos ya que el verdadero costo fue el costo de inversioacuten que el gobierno considera no deducible En el periodo en que la inversioacuten que se paga no se considera deducible mas bien cuando esta inversioacuten se desgasta por razoacuten de su uso en un proceso productivo se registra como depreciacioacuten en cada uno de los

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periodos de funcionamiento del proyecto Esta es la causa por la cual se vuelve a sumar despueacutes de impuesto

Se habriacutea dicho inicialmente que Al identificar tanto los costos como los ingresos (Beneficios) del proyecto es importante incluir uacutenicamente aquellos costos y beneficios que ocurren en funcioacuten del proyecto Por ello se deberaacute separar los costos y beneficios de la empresa con proyecto Vs los costos y beneficios de la empresa sin proyecto el resultado es el flujo de fondos incremental que significa los beneficios netos atribuibles al proyecto Graacuteficamente seria

BENE~CIOS i BENEFICIOS CON PROYECTO

COSTOS 7 lelOS NETO N~REMEacuteNTALES

I ~Os NETOStNOJOYECTO

PERIODOS

Lo cual significa que Ilos ingresos netos (beneficios netos) asignables al proyecto son los incremeacutentales es decir los que se ocasionan uacutenicamente por razoacuten del proyecto

En siacutentesis se puede decir que el flujo de fondos refleja las etapas del montaje (inversioacuten)operacioacuten (ingresos y costos operacionales) y desmontaje (valores residuales de un proyecto)

DIFERENTES COSTOS PARA DIFERENTES DECISIONES

Supongamos que una persona quiere saber disponiendo de un capital si acaso construye o no una faacutebrica Para ello contrata los servicios de un ingeniero que realiza los planos y caacutelculos de la instalacioacuten determinando cuaacutel seriacutea la capacidad oacuteptima de la misma y la maquinaria necesaria para la puesta en marcha El ingeniero cobra por este asesoramiento $250 Esta cantidad ha sido ya gastada para que se hiciera el estudio de factibilidad El estudio muestra que los gastos que demandariacutea la construccioacuten y operacioacuten de la faacutebrica seriacutean

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- Mano de obra $5400 - Patente anual $350 - Permiso para la construccioacuten de la faacutebrica $700

La persona que desea realizar esta inversioacuten trabaja actualmente en otra empresa donde le pagan $ 155 antildeo Si eacutel construyera su propia faacutebrica tendriacutea que dejar ese trabajo y dejariacutea de percibir los $ 155 Por lo tanto eacuteste constituye su sueldo alternativo va a formar la empresa si por lo menos puede ganar en ella los $155 que podriacutea ganar trabajando en su ocupacioacuten alternativa Es por ello que aunque no vaya a figurar en la planilla de sueldos esta cantidad para la decisioacuten de fannar la empresa debe impuumltarse como costo el suumleldo altemativo que la persona podriacutea ganar en otra parte (ya que dejariacutea de percibirlo por trabajar en su propia empresa)

Supongamos que esta persona tiene un capital propio de $ 10000 que estaacuten invertidos en bonos caja de ahorro o tiacutetulos valores Ademaacutes dispone de un creacutedito bancario de hasta $1500 que es renovable antildeo a antildeo Se necesita para la faacutebrica comprar una maacutequina que cuesta $9000 y un edificio que cuesta $500 Se supone que la maacutequina yel edificio van a durar indefinidamente que no se desgasta o deprecia con el uso Suponga que se necesita mantener un capital circulante de $1300 en concepto de inventarios saldos bancaiacuteios etc Suumlponga ademaacutes que existe un impuesto anual del 1 sobre el valor de la maquinaria y edificios

Para simplificar el ejemplo se supone que en esta economiacutea rige una tasa del intereacutes dell 10 que es igual para el que pide prestado que para elque presta como tambieacuten es 110 que puede obtenerse en caja de ahorro bonos y debentures

iquestCuaacutel seraacute el ingreso anual miacutenimo que va a tentar a esta persona para formar Ia empresa Es decir iquestcuaacuteles son os costos pertinentes para esta decisioacuten

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CAPITULO VII

EL VALOR MONETARIO DEL TIEMPO Y LA TASA DE DESCUENTO

El flujo de fondos no conduce directamente a la toma de decisiones sobre la conveniencia o inconveniencia de asignar recursos a una determinada alternativa Aun quedan por contestar dos preguntas

1 Cuando un flujo de fondos representa un proyecto rentable 2 De los proyectos de inversioacuten identificados en cual se deberaacuten

colocar los recursos de inversioacuten que tenemos disponibles

Responder a estas preguntas implica en primer lugar descontar las diferencias temporales de los beneficios y costos del proyecto para permitir convertirlos en su equivalente en un antildeo o periodo de referencia de manera que se puedan comparar faacutecilmente los diferentes proyectos El descuento permite por tanto corregir las diferencias o el efecto del tiempo en los flujos netos (BNt) La pregunta central es entonces Cual es la tasa de descuento de esos flujos Luego habraacute que comparar los flujos descontados para elegir la alternativa mas rentable

La eleccioacuten de la tasa de descuento nos lleva a considerar que todo dinero asignado a una alternativa deja de generar rendimientos en otra en virtud de la oportunidad de opciones que el dinero tiene lo cual permite indicar que el dinero tiene un costo de oportunidad cuando se asigna a un proyecto que refleja el rendimiento representativo de sus oportunidades de inversioacuten En consecuencia un proyecto no se evaluacutea en el vaciacuteo sino frente a otras oportunidades de inversioacuten Para que este sea rentable debe generar como miacutenimo lo que habriacutea ganado este dinero en la alternativa mas atractiva lo cual equivale a decir que para que sea rentable tiene que compensar como miacutenimo su costo de oportunidad

La tasa de intereacutes de oportunidad es la tasa que refleja e1 costo de oportunidad de los dineros del inversionista por tanto es la tasa que representa el rendimiento de las alternativas de inversioacuten que se podriacutean seleccionar si se decidiera no invertir en el proyecto

Esta tasa es asimilable a una tasa de colocacioacuten de fondos o a una tasa que refleje las oportunidades sacrificadas al tomar la decisioacuten de invertir en el proyecto depende entonces de la persona que invierte en el proyecto ya que es el rendimiento representativo de sus oportunidades de inversioacuten

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La rentabilidad de un proyecto seraacute aquella tasa de ganancia surgida del proyecto que este por encima de lo que habriacutea ganado de escoger invertir el dinero en otras alternativas

Se pueden ver asiacute estas afirmaciones Mercado Financiero

fK -----------------~ K( 1 +i) hoy mantildeana

Proyecto fK -----------------~ K( 1+i)

mantildeana

Si K( 1+i) gt K( 1 +i) el proyecto es rentable porque i es la tasa de oportunidad o tasa de descuento

Esto se podria indicar en una regla enunciada asiacute Para determinar el valor de la rentabilidad del proyecto es necesario descontar los beneficios netos del proyecto por el costo de oportunidad del dinero En otras palabras Un inversionista realiza aquellas inversiones en las que el rendimiento esperado del proyecto supera el costo de capital del proyecto el cual viene dado por el costo de oportunidad de los financiadores del proyecto

71 CALCULO DE LA TASA DE DESCUENTO

El costo de oportunidad (tasa de oportunidad) que es la tasa a la que se deberaacuten descontar los flujos de fondos netos (BNt) para comparar todos los costos y beneficios como si se presentaran en el antildeo O ( descuento intertemporal) permite comparar sumas que se presentan en diferentes momentos del tiempo teniendo en cuenta la compensacioacuten del costo de oportunidad del dinero o sea elimina las diferencias temporales Sin embargo queda pendiente por resolver la pregunta iquest Como se calcula dicho costo de oportunidad para que sea concordante metodologicamente con el caJculo de los flujos de fondos

Para que ello sea asiacute este costo deberaacute cumplir las siguientes condiciones 1

1 Establecerse como un promedio ponderado de todos los recursos de capital que hayan sido considerados en el flujo de fondos

1 El riesgo sistemaacutetico es el que se debe remunerar mientras que el riesgo proveniente de otras formulas se puede diversificar mediante la composicioacuten de portafolios

100

2 Si el flujo de fondos es computado despueacutes de impuesto el costo de capital deberaacute tener en consecuencia el mismo criterio

3 El costo deberaacute expresarse en tasas nominales de la misma periodicidad del flujo de fondos

4 Puesto que cada fuente de capital debe ser recompensada seguacuten el nivel de riesgo que asume la ponderacioacuten de cada fuente que va a contribuir en la formacioacuten del costo de capital deberaacute ajustarse al riesgo sistemaacutetico1 de cada tiempo en que esa fuente de financiamiento participa No debe olvidarse que un inversionista seraacute mas exigente con proyectos con mayor nivel de riesgo y esta es la razoacuten para el incremento en el costo de capital utilizado como tasa de descuento Deuda capital (recursos propios) y deuda convertible en capital

Al momento de calcular el factor de ponderacioacuten de los elementos integrantes del costo de capital cada uno de ellos deberaacute considerar su peso dentro del mercado entendiendo esto como el espectro de posibilidades de financiacioacuten del proyecto Ello en razoacuten a que el proyecto deberaacute asumir en su estructura de financiacioacuten las condiciones del mercado Para desarrollar entonces una ponderacioacuten adecuada debe considerarse la estructura de financiamiento mas adecuada (proporcioacuten entre deuda y kapital)

72 EL CONCEPTO DE TASA DE INTERES

El concepto de intereacutes es la espina dorsal del anaacutelisis relativo a la evaluacioacuten financiera de las inversiones en razoacuten a que eacuteste no es maacutes que un costo o una renta generada por el uso del dinero en un tiempo determinado Inversiones preacutestamos a terceros y ahorro se justifican mediante el intereacutes iquestCoacutemo surge entonces el concepto de tasa de intereacutes

El recurso financiero igual que la tierra y el trabajo tiene la capacidad de generar riqueza con el transcurso del tiempo Esto es asiacute porque las cantidades de dinero disponible tienen la capacidad de crecer cuando se invierten en alternativas productivas La cuantiacutea de los cambios en el valor del dinero con el tiempo depende de queacute otras oportunidades de inversioacuten tenemos

Podemos entonces determinar la cuantiacutea de los cambios del valor del dinero con el tiempo calculando lo que nuestros recursos (expresados en teacuterminos monetarios) podriacutean ganar en diferentes oportunidades de inversioacuten existentes en otras palabras el monto de las utilidades a las que se debe renunciar con el fin de invertir nuestros recursos en un proyecto de inversioacuten es lo que significa el costo de oportunidad que

101

especiacuteficamente representa la cuantiacutea a la que se reduciraacuten los flujos del proyecto con el tiempo

Para que un inversionista acepte entonces recibir una suma de dinero dentro de un periacuteodo en lugar de disponer de esa suma ahora seraacute preciso entregarle dentro de un periacuteodo una suma superior a la actual Esa cantidad adicional que es necesario reconocer refleja la capacidad que el dinero tiene de crecer en sus propias manos 110 cual expresado como un porcentaje de la inversioacuten inicial se Hama tasa de intereacutes del periacuteodo

Si tenemos una suma P (hoy) por efecto de la potencialidad de crecer cuando se invierte en alternativas productivas esa suma seraacute P + AP (mantildeana) Este AP I P 100 seraacute entonces la tasa de intereacutes Sobre esta argumentacioacuten se pueden dar varias definiciones de tasa de intereacutes que son equivalentes bull Tasa que cuantifica la oportunidad que tiene el dinero de crecer

bull Tasa de rendimiento que el duentildeo del dinero habriacutea ganado si lo hubiera invertido en lugar de prestarlo (o sea costo de oportunidad del capital)

bull Cuota que se paga por el uso del dinero

bull Compensacioacuten financiera por aplazar en el tiempo el uso del dinero o sea que la tasa de intereacutes es un premio por dejar de consumir

bull Desembolso de lo que hubiera podido ganarse si se recibiacutea el dinero anteriormente y se utilizaba para otros fines

bull El intereacutes es un medidor que asocia dinero tiempo y riesgo

73 EL CONCEPTO DE EQUIVALENCIA

Basados en el concepto de tasa de intereacutes estamos en capacidad de desarrollar un conjunto de relaciones matemaacuteticas entre sumas de dinero que se reciben en diferentes momentos del tiempo para establecer equivalencias entre ellas

Se dice entonces que para todo K existe una suma mayor K + iK =K( 1 + i )

102

tal que K( 1 + i ) mantildeana es equivalente financieramente a K hoy o sea numeacutericamente seriacutea $1000 == $1500 0 tasa de intereacutes del periacuteodo =050

Se quiere significar que el concepto de equivalencia es un concepto relativo a la tasa de intereacutes por tanto lo que es equivalente para un inversionista no lo es para otro

Habraacute que tomar en cuenta que equivalencia quiere decir lo mismo que indiferencia En este sentido si $1000 == (indiferente) a $1500 es porque $1000 tienen hoy oportunidades de inversioacuten que permiten convertir los $1000 de ahora en $1500 de mantildeana Lo que se quiere reiterar es que la piacuteeferencia pOi iacuteecibir sumas de dinero antes y no despueacutes se manifiesta a traveacutes de la tasa de intereacutes en virtud de que eacutesta cuantifica la oportunidad que tiene el dinero de crecer

Este concepto a su vez permite construir relaciones matemaacuteticas que expresan las diferentes equivalencias entre sumas de dinero que se reciben en diferentes momentos del tiempo las cuales nos permiten realizar los siguientes anaacutelisis

bull Determinar el costo de financiacioacuten o la rentabilidad de la inversioacuten

bull Elaborar planes de financiamiento cuando se vende o compra a creacutedito

bull Seleccionar formas de amortizacioacuten seguacuten las condiciones de liquidez y rentabilidad del empresario

bull Calcular el costo del capital

bull Escoger altemativas de inversioacuten a corto y largo plazo

bull Seleccionar entre diferentes alternativas de costos

731 EQUIVALENCIAS FINANCIERAS

1) Entre una suma presente y una suma futura con tasa de Amortizacioacuten simple

1 = FP -1I F =P(1+ni) I n

I P - FooI nI - ~ 11I T J

103

2) Equivalencia entre una suma presente y una futura con tasa de Amortizacioacuten compuesta

F=P(1+lt =gt 1=(FP)11n_1 p = r= f( 1 -I-i)n ii nnrque la i nanl capmiddotta1izIfiomiddotn en el esc~narlmiddoto d~I 1 bull I I - 1 t 1I _1 11 _11 _

una tasa compuesta

3) Amortizacioacuten compuesta de una serie uniforme (valor futuro de una serie)

150 A+ A(1+1) + A(1+1)2 +A(1+1)3 + A(1+lt-

C) F(1 +1) = A(1 +1) ~~~ ~~~-1 (1 +1)

1 - 2 = F[(1 +1)-1] = A[(1 +It -1] F = A[(1+lt -1]

4) Amortizacioacuten de una suma futura A= FI

(1+j)n_1 I

6) Recuperacioacuten del capital en una serie uniforme A = FI A= P(1 +It 1

(1+I)n -1 (1+W-1

7) Valor presente de una serie uniforme P =A[( 1 +1t -11

(1 +I)ni

732 EQUIVALENCIAS FINANCIERAS ENTRE TASAS DE INTERES

Periodos de capita1izacioacuten de intereacutes tiempo sobre el cual se liquidan los intereses para permitir posteriormente su retiro o

acumulacioacuten

Tasa nominal no tiene en cuenta el nuacutemero de veces que liquidan los intereses dentro del periodo

Tasa efectiva Tiene en cuenta el nuacutemero de veces que los intereses liquidados empiezan a ganar intereses y se incrementa asiacute el retorno efectivo de la inversioacuten

104

Cuando el periodo de capitalizacioacuten es maacutes corto que el que cubre la tasa nominal =gt la tasa efectiva es gt que la tasa nominal

m= de veces en el antildeo que se capitalizan los intereses m= 12 capitalizacioacuten mensual m= 4 capitalizacioacuten trimestral

IYm= ilm tasa perioacutedica

Deduccioacuten P(1 +i) f P(1 +ilm)m (1 +i) = (1 +im)m

ilr = (1+im)m -1= ie

Equivalencia de intereacutes efectivo en teacuterminos de intereacutes nominal

lI iacutee= (1 +Ymt -1 ie= (1+imt-1

PASAR de una tasa efectiva a tasa perioacutedica (1+Ym)m -1= ie (1 +Ym)m = le+1 (1+Ym) =(ie+1)1m =gt Ym= (ie+1)1m_1

Equivalencia de intereacutes perioacutedico en teacutenninos de intereacutes efectivo

IYm =(ie+1 1m -1

La tasa de intereacutes efectiva expresa la rentabilidad como una tasa de intereacutes compuesta teniendo en cuenta la acumulacioacuten de intereses dentro del periodo de inversioacuten la cual puede modificar el rendimiento efectivo de la inversioacuten Tambieacuten toma en cuenta la forma de pago de los intereses reconociendo que el pago de intereses en forma anticipada permite al que los reciacutebe reinvertirlos maacutes temprano que en el caso que se pagan en forma vencida

La tasa efectiva refleja la rentabilidad verdadera de la inversioacuten como tal deberaacute ser la tasa que se utiliza en el manejo de la s equivalencias financieras con la condicioacuten que la tasa efectiva este expresada en los periodos en que se expresa n (tiempo en el flujo de fondos)

EL INTEREacuteS ANTICIPADO ia Se recibe K -iaK = (1-ia) K =P

paga K= F

105

Ii = KlK( 1-ia -1 i = 1 --1

-1-ia

Intereacutes vencido en teacuterminos de intereacutes anticipado

Equivalencia entre tasa de intereacutes nominal anticipada y tasa vencida

iacutev== [KlK(1-iacutea)]-1 iv== [1( 1-ia)J-1

~ _ 1 1 1 - shy

a iv + 1

Equivalencia entre una tasa de intereacutes nominal anticipada y una tasa de intereacutes efectiva

iexclnoma == tasa de intereacutes nominal antfcipada

Relacioacuten entre Ym y Yma i =(Fp)1n -1 P == (1-Yma)K F=K I I

fm = KI K(1- fma) -1 ~l__f_m__==___1____-_1________1~1~~ (1-Yma) )

Yma == 1 -1(Ym+1)

ie == (1+Ym)m-1 1+ie == (1+Ym)m

De 1 se deduce que (1 + Ym) == 1 (1-Yma)

1+ie =[1(1-Yma)]m

ie = [1(1-Yma)]m -1 ~ Intereacutes efectivo en teacutermino de intereacutes anticipado perioacutedico

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Vm ( Ie middot 1 1m-j1 1 Id - I - I 1I T ) =gtIiitereacutes perioacutedico anticipado en teacuterminos de intereacutes efectivo

CONCLUSiOacuteN Entre mayor nuacutemero de periodos de liquidacioacuten de los intereses tenga una tasa de intereacutes anticipada menor seraacute su impacto sobre la tasa de intereacutes efectiva

95

valor de su costo depende de los ingresos que se percibiriacutea por este recurso si se utiacutelizara en otra alternativa (no es desembolsable)

Por ejemplo El salario que se debe registrar por un inversionista que maneje su propio proyecto es el equivalente a Ilos ingresos que devengariacutea en la otra actividad en la que se empleariacutea

8) Valores residuales~ Son los ingresos por venta de los activos del proyecto los cuales ocurre cuando se repone o cuando se liquida el proyecto En cierto sentido son la recuperacioacuten de un costo que puede ocurrir por el mismo valor en libros superior al valor en libros o inferior presentaacutendose en consecuencia una ganancia ocasional que es gravable o una perdida ocasional que es deducible y que se trata como costo aunque no lo es o sea

Valor residual Valor comercial del activo - Valor en libros del activo

Ganancia ocasional ( ingreso gravabe) - Perdida ocasional (costo deducible)

Valor en libros Valor del activo - depreciacioacuten acumulada

Depreciacioacuten acumulada Depreciacioacuten del periodo por el numero de periodos en funcionamiento del activo

Asiacute entonces el esquema de flujo de fondos seria

Ingresos gravables costos deducibles ( incluye deprecy perdidas)

Ingresos gravables - Impuestos + Otros ingresos no gravables - Otros costos no deducibles

+ Depreciacioacuten o perdida - Costos de inversioacuten Flujo neto de fondos

Habraacute que tomarse en cuenta que la razoacuten para que la depreciacioacuten vuelva a sumarse es porque esta es solo un costo contable que se registra para pagar menos impuestos ya que el verdadero costo fue el costo de inversioacuten que el gobierno considera no deducible En el periodo en que la inversioacuten que se paga no se considera deducible mas bien cuando esta inversioacuten se desgasta por razoacuten de su uso en un proceso productivo se registra como depreciacioacuten en cada uno de los

96

periodos de funcionamiento del proyecto Esta es la causa por la cual se vuelve a sumar despueacutes de impuesto

Se habriacutea dicho inicialmente que Al identificar tanto los costos como los ingresos (Beneficios) del proyecto es importante incluir uacutenicamente aquellos costos y beneficios que ocurren en funcioacuten del proyecto Por ello se deberaacute separar los costos y beneficios de la empresa con proyecto Vs los costos y beneficios de la empresa sin proyecto el resultado es el flujo de fondos incremental que significa los beneficios netos atribuibles al proyecto Graacuteficamente seria

BENE~CIOS i BENEFICIOS CON PROYECTO

COSTOS 7 lelOS NETO N~REMEacuteNTALES

I ~Os NETOStNOJOYECTO

PERIODOS

Lo cual significa que Ilos ingresos netos (beneficios netos) asignables al proyecto son los incremeacutentales es decir los que se ocasionan uacutenicamente por razoacuten del proyecto

En siacutentesis se puede decir que el flujo de fondos refleja las etapas del montaje (inversioacuten)operacioacuten (ingresos y costos operacionales) y desmontaje (valores residuales de un proyecto)

DIFERENTES COSTOS PARA DIFERENTES DECISIONES

Supongamos que una persona quiere saber disponiendo de un capital si acaso construye o no una faacutebrica Para ello contrata los servicios de un ingeniero que realiza los planos y caacutelculos de la instalacioacuten determinando cuaacutel seriacutea la capacidad oacuteptima de la misma y la maquinaria necesaria para la puesta en marcha El ingeniero cobra por este asesoramiento $250 Esta cantidad ha sido ya gastada para que se hiciera el estudio de factibilidad El estudio muestra que los gastos que demandariacutea la construccioacuten y operacioacuten de la faacutebrica seriacutean

97

- Mano de obra $5400 - Patente anual $350 - Permiso para la construccioacuten de la faacutebrica $700

La persona que desea realizar esta inversioacuten trabaja actualmente en otra empresa donde le pagan $ 155 antildeo Si eacutel construyera su propia faacutebrica tendriacutea que dejar ese trabajo y dejariacutea de percibir los $ 155 Por lo tanto eacuteste constituye su sueldo alternativo va a formar la empresa si por lo menos puede ganar en ella los $155 que podriacutea ganar trabajando en su ocupacioacuten alternativa Es por ello que aunque no vaya a figurar en la planilla de sueldos esta cantidad para la decisioacuten de fannar la empresa debe impuumltarse como costo el suumleldo altemativo que la persona podriacutea ganar en otra parte (ya que dejariacutea de percibirlo por trabajar en su propia empresa)

Supongamos que esta persona tiene un capital propio de $ 10000 que estaacuten invertidos en bonos caja de ahorro o tiacutetulos valores Ademaacutes dispone de un creacutedito bancario de hasta $1500 que es renovable antildeo a antildeo Se necesita para la faacutebrica comprar una maacutequina que cuesta $9000 y un edificio que cuesta $500 Se supone que la maacutequina yel edificio van a durar indefinidamente que no se desgasta o deprecia con el uso Suponga que se necesita mantener un capital circulante de $1300 en concepto de inventarios saldos bancaiacuteios etc Suumlponga ademaacutes que existe un impuesto anual del 1 sobre el valor de la maquinaria y edificios

Para simplificar el ejemplo se supone que en esta economiacutea rige una tasa del intereacutes dell 10 que es igual para el que pide prestado que para elque presta como tambieacuten es 110 que puede obtenerse en caja de ahorro bonos y debentures

iquestCuaacutel seraacute el ingreso anual miacutenimo que va a tentar a esta persona para formar Ia empresa Es decir iquestcuaacuteles son os costos pertinentes para esta decisioacuten

98

CAPITULO VII

EL VALOR MONETARIO DEL TIEMPO Y LA TASA DE DESCUENTO

El flujo de fondos no conduce directamente a la toma de decisiones sobre la conveniencia o inconveniencia de asignar recursos a una determinada alternativa Aun quedan por contestar dos preguntas

1 Cuando un flujo de fondos representa un proyecto rentable 2 De los proyectos de inversioacuten identificados en cual se deberaacuten

colocar los recursos de inversioacuten que tenemos disponibles

Responder a estas preguntas implica en primer lugar descontar las diferencias temporales de los beneficios y costos del proyecto para permitir convertirlos en su equivalente en un antildeo o periodo de referencia de manera que se puedan comparar faacutecilmente los diferentes proyectos El descuento permite por tanto corregir las diferencias o el efecto del tiempo en los flujos netos (BNt) La pregunta central es entonces Cual es la tasa de descuento de esos flujos Luego habraacute que comparar los flujos descontados para elegir la alternativa mas rentable

La eleccioacuten de la tasa de descuento nos lleva a considerar que todo dinero asignado a una alternativa deja de generar rendimientos en otra en virtud de la oportunidad de opciones que el dinero tiene lo cual permite indicar que el dinero tiene un costo de oportunidad cuando se asigna a un proyecto que refleja el rendimiento representativo de sus oportunidades de inversioacuten En consecuencia un proyecto no se evaluacutea en el vaciacuteo sino frente a otras oportunidades de inversioacuten Para que este sea rentable debe generar como miacutenimo lo que habriacutea ganado este dinero en la alternativa mas atractiva lo cual equivale a decir que para que sea rentable tiene que compensar como miacutenimo su costo de oportunidad

La tasa de intereacutes de oportunidad es la tasa que refleja e1 costo de oportunidad de los dineros del inversionista por tanto es la tasa que representa el rendimiento de las alternativas de inversioacuten que se podriacutean seleccionar si se decidiera no invertir en el proyecto

Esta tasa es asimilable a una tasa de colocacioacuten de fondos o a una tasa que refleje las oportunidades sacrificadas al tomar la decisioacuten de invertir en el proyecto depende entonces de la persona que invierte en el proyecto ya que es el rendimiento representativo de sus oportunidades de inversioacuten

99

La rentabilidad de un proyecto seraacute aquella tasa de ganancia surgida del proyecto que este por encima de lo que habriacutea ganado de escoger invertir el dinero en otras alternativas

Se pueden ver asiacute estas afirmaciones Mercado Financiero

fK -----------------~ K( 1 +i) hoy mantildeana

Proyecto fK -----------------~ K( 1+i)

mantildeana

Si K( 1+i) gt K( 1 +i) el proyecto es rentable porque i es la tasa de oportunidad o tasa de descuento

Esto se podria indicar en una regla enunciada asiacute Para determinar el valor de la rentabilidad del proyecto es necesario descontar los beneficios netos del proyecto por el costo de oportunidad del dinero En otras palabras Un inversionista realiza aquellas inversiones en las que el rendimiento esperado del proyecto supera el costo de capital del proyecto el cual viene dado por el costo de oportunidad de los financiadores del proyecto

71 CALCULO DE LA TASA DE DESCUENTO

El costo de oportunidad (tasa de oportunidad) que es la tasa a la que se deberaacuten descontar los flujos de fondos netos (BNt) para comparar todos los costos y beneficios como si se presentaran en el antildeo O ( descuento intertemporal) permite comparar sumas que se presentan en diferentes momentos del tiempo teniendo en cuenta la compensacioacuten del costo de oportunidad del dinero o sea elimina las diferencias temporales Sin embargo queda pendiente por resolver la pregunta iquest Como se calcula dicho costo de oportunidad para que sea concordante metodologicamente con el caJculo de los flujos de fondos

Para que ello sea asiacute este costo deberaacute cumplir las siguientes condiciones 1

1 Establecerse como un promedio ponderado de todos los recursos de capital que hayan sido considerados en el flujo de fondos

1 El riesgo sistemaacutetico es el que se debe remunerar mientras que el riesgo proveniente de otras formulas se puede diversificar mediante la composicioacuten de portafolios

100

2 Si el flujo de fondos es computado despueacutes de impuesto el costo de capital deberaacute tener en consecuencia el mismo criterio

3 El costo deberaacute expresarse en tasas nominales de la misma periodicidad del flujo de fondos

4 Puesto que cada fuente de capital debe ser recompensada seguacuten el nivel de riesgo que asume la ponderacioacuten de cada fuente que va a contribuir en la formacioacuten del costo de capital deberaacute ajustarse al riesgo sistemaacutetico1 de cada tiempo en que esa fuente de financiamiento participa No debe olvidarse que un inversionista seraacute mas exigente con proyectos con mayor nivel de riesgo y esta es la razoacuten para el incremento en el costo de capital utilizado como tasa de descuento Deuda capital (recursos propios) y deuda convertible en capital

Al momento de calcular el factor de ponderacioacuten de los elementos integrantes del costo de capital cada uno de ellos deberaacute considerar su peso dentro del mercado entendiendo esto como el espectro de posibilidades de financiacioacuten del proyecto Ello en razoacuten a que el proyecto deberaacute asumir en su estructura de financiacioacuten las condiciones del mercado Para desarrollar entonces una ponderacioacuten adecuada debe considerarse la estructura de financiamiento mas adecuada (proporcioacuten entre deuda y kapital)

72 EL CONCEPTO DE TASA DE INTERES

El concepto de intereacutes es la espina dorsal del anaacutelisis relativo a la evaluacioacuten financiera de las inversiones en razoacuten a que eacuteste no es maacutes que un costo o una renta generada por el uso del dinero en un tiempo determinado Inversiones preacutestamos a terceros y ahorro se justifican mediante el intereacutes iquestCoacutemo surge entonces el concepto de tasa de intereacutes

El recurso financiero igual que la tierra y el trabajo tiene la capacidad de generar riqueza con el transcurso del tiempo Esto es asiacute porque las cantidades de dinero disponible tienen la capacidad de crecer cuando se invierten en alternativas productivas La cuantiacutea de los cambios en el valor del dinero con el tiempo depende de queacute otras oportunidades de inversioacuten tenemos

Podemos entonces determinar la cuantiacutea de los cambios del valor del dinero con el tiempo calculando lo que nuestros recursos (expresados en teacuterminos monetarios) podriacutean ganar en diferentes oportunidades de inversioacuten existentes en otras palabras el monto de las utilidades a las que se debe renunciar con el fin de invertir nuestros recursos en un proyecto de inversioacuten es lo que significa el costo de oportunidad que

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especiacuteficamente representa la cuantiacutea a la que se reduciraacuten los flujos del proyecto con el tiempo

Para que un inversionista acepte entonces recibir una suma de dinero dentro de un periacuteodo en lugar de disponer de esa suma ahora seraacute preciso entregarle dentro de un periacuteodo una suma superior a la actual Esa cantidad adicional que es necesario reconocer refleja la capacidad que el dinero tiene de crecer en sus propias manos 110 cual expresado como un porcentaje de la inversioacuten inicial se Hama tasa de intereacutes del periacuteodo

Si tenemos una suma P (hoy) por efecto de la potencialidad de crecer cuando se invierte en alternativas productivas esa suma seraacute P + AP (mantildeana) Este AP I P 100 seraacute entonces la tasa de intereacutes Sobre esta argumentacioacuten se pueden dar varias definiciones de tasa de intereacutes que son equivalentes bull Tasa que cuantifica la oportunidad que tiene el dinero de crecer

bull Tasa de rendimiento que el duentildeo del dinero habriacutea ganado si lo hubiera invertido en lugar de prestarlo (o sea costo de oportunidad del capital)

bull Cuota que se paga por el uso del dinero

bull Compensacioacuten financiera por aplazar en el tiempo el uso del dinero o sea que la tasa de intereacutes es un premio por dejar de consumir

bull Desembolso de lo que hubiera podido ganarse si se recibiacutea el dinero anteriormente y se utilizaba para otros fines

bull El intereacutes es un medidor que asocia dinero tiempo y riesgo

73 EL CONCEPTO DE EQUIVALENCIA

Basados en el concepto de tasa de intereacutes estamos en capacidad de desarrollar un conjunto de relaciones matemaacuteticas entre sumas de dinero que se reciben en diferentes momentos del tiempo para establecer equivalencias entre ellas

Se dice entonces que para todo K existe una suma mayor K + iK =K( 1 + i )

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tal que K( 1 + i ) mantildeana es equivalente financieramente a K hoy o sea numeacutericamente seriacutea $1000 == $1500 0 tasa de intereacutes del periacuteodo =050

Se quiere significar que el concepto de equivalencia es un concepto relativo a la tasa de intereacutes por tanto lo que es equivalente para un inversionista no lo es para otro

Habraacute que tomar en cuenta que equivalencia quiere decir lo mismo que indiferencia En este sentido si $1000 == (indiferente) a $1500 es porque $1000 tienen hoy oportunidades de inversioacuten que permiten convertir los $1000 de ahora en $1500 de mantildeana Lo que se quiere reiterar es que la piacuteeferencia pOi iacuteecibir sumas de dinero antes y no despueacutes se manifiesta a traveacutes de la tasa de intereacutes en virtud de que eacutesta cuantifica la oportunidad que tiene el dinero de crecer

Este concepto a su vez permite construir relaciones matemaacuteticas que expresan las diferentes equivalencias entre sumas de dinero que se reciben en diferentes momentos del tiempo las cuales nos permiten realizar los siguientes anaacutelisis

bull Determinar el costo de financiacioacuten o la rentabilidad de la inversioacuten

bull Elaborar planes de financiamiento cuando se vende o compra a creacutedito

bull Seleccionar formas de amortizacioacuten seguacuten las condiciones de liquidez y rentabilidad del empresario

bull Calcular el costo del capital

bull Escoger altemativas de inversioacuten a corto y largo plazo

bull Seleccionar entre diferentes alternativas de costos

731 EQUIVALENCIAS FINANCIERAS

1) Entre una suma presente y una suma futura con tasa de Amortizacioacuten simple

1 = FP -1I F =P(1+ni) I n

I P - FooI nI - ~ 11I T J

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2) Equivalencia entre una suma presente y una futura con tasa de Amortizacioacuten compuesta

F=P(1+lt =gt 1=(FP)11n_1 p = r= f( 1 -I-i)n ii nnrque la i nanl capmiddotta1izIfiomiddotn en el esc~narlmiddoto d~I 1 bull I I - 1 t 1I _1 11 _11 _

una tasa compuesta

3) Amortizacioacuten compuesta de una serie uniforme (valor futuro de una serie)

150 A+ A(1+1) + A(1+1)2 +A(1+1)3 + A(1+lt-

C) F(1 +1) = A(1 +1) ~~~ ~~~-1 (1 +1)

1 - 2 = F[(1 +1)-1] = A[(1 +It -1] F = A[(1+lt -1]

4) Amortizacioacuten de una suma futura A= FI

(1+j)n_1 I

6) Recuperacioacuten del capital en una serie uniforme A = FI A= P(1 +It 1

(1+I)n -1 (1+W-1

7) Valor presente de una serie uniforme P =A[( 1 +1t -11

(1 +I)ni

732 EQUIVALENCIAS FINANCIERAS ENTRE TASAS DE INTERES

Periodos de capita1izacioacuten de intereacutes tiempo sobre el cual se liquidan los intereses para permitir posteriormente su retiro o

acumulacioacuten

Tasa nominal no tiene en cuenta el nuacutemero de veces que liquidan los intereses dentro del periodo

Tasa efectiva Tiene en cuenta el nuacutemero de veces que los intereses liquidados empiezan a ganar intereses y se incrementa asiacute el retorno efectivo de la inversioacuten

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Cuando el periodo de capitalizacioacuten es maacutes corto que el que cubre la tasa nominal =gt la tasa efectiva es gt que la tasa nominal

m= de veces en el antildeo que se capitalizan los intereses m= 12 capitalizacioacuten mensual m= 4 capitalizacioacuten trimestral

IYm= ilm tasa perioacutedica

Deduccioacuten P(1 +i) f P(1 +ilm)m (1 +i) = (1 +im)m

ilr = (1+im)m -1= ie

Equivalencia de intereacutes efectivo en teacuterminos de intereacutes nominal

lI iacutee= (1 +Ymt -1 ie= (1+imt-1

PASAR de una tasa efectiva a tasa perioacutedica (1+Ym)m -1= ie (1 +Ym)m = le+1 (1+Ym) =(ie+1)1m =gt Ym= (ie+1)1m_1

Equivalencia de intereacutes perioacutedico en teacutenninos de intereacutes efectivo

IYm =(ie+1 1m -1

La tasa de intereacutes efectiva expresa la rentabilidad como una tasa de intereacutes compuesta teniendo en cuenta la acumulacioacuten de intereses dentro del periodo de inversioacuten la cual puede modificar el rendimiento efectivo de la inversioacuten Tambieacuten toma en cuenta la forma de pago de los intereses reconociendo que el pago de intereses en forma anticipada permite al que los reciacutebe reinvertirlos maacutes temprano que en el caso que se pagan en forma vencida

La tasa efectiva refleja la rentabilidad verdadera de la inversioacuten como tal deberaacute ser la tasa que se utiliza en el manejo de la s equivalencias financieras con la condicioacuten que la tasa efectiva este expresada en los periodos en que se expresa n (tiempo en el flujo de fondos)

EL INTEREacuteS ANTICIPADO ia Se recibe K -iaK = (1-ia) K =P

paga K= F

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Ii = KlK( 1-ia -1 i = 1 --1

-1-ia

Intereacutes vencido en teacuterminos de intereacutes anticipado

Equivalencia entre tasa de intereacutes nominal anticipada y tasa vencida

iacutev== [KlK(1-iacutea)]-1 iv== [1( 1-ia)J-1

~ _ 1 1 1 - shy

a iv + 1

Equivalencia entre una tasa de intereacutes nominal anticipada y una tasa de intereacutes efectiva

iexclnoma == tasa de intereacutes nominal antfcipada

Relacioacuten entre Ym y Yma i =(Fp)1n -1 P == (1-Yma)K F=K I I

fm = KI K(1- fma) -1 ~l__f_m__==___1____-_1________1~1~~ (1-Yma) )

Yma == 1 -1(Ym+1)

ie == (1+Ym)m-1 1+ie == (1+Ym)m

De 1 se deduce que (1 + Ym) == 1 (1-Yma)

1+ie =[1(1-Yma)]m

ie = [1(1-Yma)]m -1 ~ Intereacutes efectivo en teacutermino de intereacutes anticipado perioacutedico

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Vm ( Ie middot 1 1m-j1 1 Id - I - I 1I T ) =gtIiitereacutes perioacutedico anticipado en teacuterminos de intereacutes efectivo

CONCLUSiOacuteN Entre mayor nuacutemero de periodos de liquidacioacuten de los intereses tenga una tasa de intereacutes anticipada menor seraacute su impacto sobre la tasa de intereacutes efectiva

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periodos de funcionamiento del proyecto Esta es la causa por la cual se vuelve a sumar despueacutes de impuesto

Se habriacutea dicho inicialmente que Al identificar tanto los costos como los ingresos (Beneficios) del proyecto es importante incluir uacutenicamente aquellos costos y beneficios que ocurren en funcioacuten del proyecto Por ello se deberaacute separar los costos y beneficios de la empresa con proyecto Vs los costos y beneficios de la empresa sin proyecto el resultado es el flujo de fondos incremental que significa los beneficios netos atribuibles al proyecto Graacuteficamente seria

BENE~CIOS i BENEFICIOS CON PROYECTO

COSTOS 7 lelOS NETO N~REMEacuteNTALES

I ~Os NETOStNOJOYECTO

PERIODOS

Lo cual significa que Ilos ingresos netos (beneficios netos) asignables al proyecto son los incremeacutentales es decir los que se ocasionan uacutenicamente por razoacuten del proyecto

En siacutentesis se puede decir que el flujo de fondos refleja las etapas del montaje (inversioacuten)operacioacuten (ingresos y costos operacionales) y desmontaje (valores residuales de un proyecto)

DIFERENTES COSTOS PARA DIFERENTES DECISIONES

Supongamos que una persona quiere saber disponiendo de un capital si acaso construye o no una faacutebrica Para ello contrata los servicios de un ingeniero que realiza los planos y caacutelculos de la instalacioacuten determinando cuaacutel seriacutea la capacidad oacuteptima de la misma y la maquinaria necesaria para la puesta en marcha El ingeniero cobra por este asesoramiento $250 Esta cantidad ha sido ya gastada para que se hiciera el estudio de factibilidad El estudio muestra que los gastos que demandariacutea la construccioacuten y operacioacuten de la faacutebrica seriacutean

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- Mano de obra $5400 - Patente anual $350 - Permiso para la construccioacuten de la faacutebrica $700

La persona que desea realizar esta inversioacuten trabaja actualmente en otra empresa donde le pagan $ 155 antildeo Si eacutel construyera su propia faacutebrica tendriacutea que dejar ese trabajo y dejariacutea de percibir los $ 155 Por lo tanto eacuteste constituye su sueldo alternativo va a formar la empresa si por lo menos puede ganar en ella los $155 que podriacutea ganar trabajando en su ocupacioacuten alternativa Es por ello que aunque no vaya a figurar en la planilla de sueldos esta cantidad para la decisioacuten de fannar la empresa debe impuumltarse como costo el suumleldo altemativo que la persona podriacutea ganar en otra parte (ya que dejariacutea de percibirlo por trabajar en su propia empresa)

Supongamos que esta persona tiene un capital propio de $ 10000 que estaacuten invertidos en bonos caja de ahorro o tiacutetulos valores Ademaacutes dispone de un creacutedito bancario de hasta $1500 que es renovable antildeo a antildeo Se necesita para la faacutebrica comprar una maacutequina que cuesta $9000 y un edificio que cuesta $500 Se supone que la maacutequina yel edificio van a durar indefinidamente que no se desgasta o deprecia con el uso Suponga que se necesita mantener un capital circulante de $1300 en concepto de inventarios saldos bancaiacuteios etc Suumlponga ademaacutes que existe un impuesto anual del 1 sobre el valor de la maquinaria y edificios

Para simplificar el ejemplo se supone que en esta economiacutea rige una tasa del intereacutes dell 10 que es igual para el que pide prestado que para elque presta como tambieacuten es 110 que puede obtenerse en caja de ahorro bonos y debentures

iquestCuaacutel seraacute el ingreso anual miacutenimo que va a tentar a esta persona para formar Ia empresa Es decir iquestcuaacuteles son os costos pertinentes para esta decisioacuten

98

CAPITULO VII

EL VALOR MONETARIO DEL TIEMPO Y LA TASA DE DESCUENTO

El flujo de fondos no conduce directamente a la toma de decisiones sobre la conveniencia o inconveniencia de asignar recursos a una determinada alternativa Aun quedan por contestar dos preguntas

1 Cuando un flujo de fondos representa un proyecto rentable 2 De los proyectos de inversioacuten identificados en cual se deberaacuten

colocar los recursos de inversioacuten que tenemos disponibles

Responder a estas preguntas implica en primer lugar descontar las diferencias temporales de los beneficios y costos del proyecto para permitir convertirlos en su equivalente en un antildeo o periodo de referencia de manera que se puedan comparar faacutecilmente los diferentes proyectos El descuento permite por tanto corregir las diferencias o el efecto del tiempo en los flujos netos (BNt) La pregunta central es entonces Cual es la tasa de descuento de esos flujos Luego habraacute que comparar los flujos descontados para elegir la alternativa mas rentable

La eleccioacuten de la tasa de descuento nos lleva a considerar que todo dinero asignado a una alternativa deja de generar rendimientos en otra en virtud de la oportunidad de opciones que el dinero tiene lo cual permite indicar que el dinero tiene un costo de oportunidad cuando se asigna a un proyecto que refleja el rendimiento representativo de sus oportunidades de inversioacuten En consecuencia un proyecto no se evaluacutea en el vaciacuteo sino frente a otras oportunidades de inversioacuten Para que este sea rentable debe generar como miacutenimo lo que habriacutea ganado este dinero en la alternativa mas atractiva lo cual equivale a decir que para que sea rentable tiene que compensar como miacutenimo su costo de oportunidad

La tasa de intereacutes de oportunidad es la tasa que refleja e1 costo de oportunidad de los dineros del inversionista por tanto es la tasa que representa el rendimiento de las alternativas de inversioacuten que se podriacutean seleccionar si se decidiera no invertir en el proyecto

Esta tasa es asimilable a una tasa de colocacioacuten de fondos o a una tasa que refleje las oportunidades sacrificadas al tomar la decisioacuten de invertir en el proyecto depende entonces de la persona que invierte en el proyecto ya que es el rendimiento representativo de sus oportunidades de inversioacuten

99

La rentabilidad de un proyecto seraacute aquella tasa de ganancia surgida del proyecto que este por encima de lo que habriacutea ganado de escoger invertir el dinero en otras alternativas

Se pueden ver asiacute estas afirmaciones Mercado Financiero

fK -----------------~ K( 1 +i) hoy mantildeana

Proyecto fK -----------------~ K( 1+i)

mantildeana

Si K( 1+i) gt K( 1 +i) el proyecto es rentable porque i es la tasa de oportunidad o tasa de descuento

Esto se podria indicar en una regla enunciada asiacute Para determinar el valor de la rentabilidad del proyecto es necesario descontar los beneficios netos del proyecto por el costo de oportunidad del dinero En otras palabras Un inversionista realiza aquellas inversiones en las que el rendimiento esperado del proyecto supera el costo de capital del proyecto el cual viene dado por el costo de oportunidad de los financiadores del proyecto

71 CALCULO DE LA TASA DE DESCUENTO

El costo de oportunidad (tasa de oportunidad) que es la tasa a la que se deberaacuten descontar los flujos de fondos netos (BNt) para comparar todos los costos y beneficios como si se presentaran en el antildeo O ( descuento intertemporal) permite comparar sumas que se presentan en diferentes momentos del tiempo teniendo en cuenta la compensacioacuten del costo de oportunidad del dinero o sea elimina las diferencias temporales Sin embargo queda pendiente por resolver la pregunta iquest Como se calcula dicho costo de oportunidad para que sea concordante metodologicamente con el caJculo de los flujos de fondos

Para que ello sea asiacute este costo deberaacute cumplir las siguientes condiciones 1

1 Establecerse como un promedio ponderado de todos los recursos de capital que hayan sido considerados en el flujo de fondos

1 El riesgo sistemaacutetico es el que se debe remunerar mientras que el riesgo proveniente de otras formulas se puede diversificar mediante la composicioacuten de portafolios

100

2 Si el flujo de fondos es computado despueacutes de impuesto el costo de capital deberaacute tener en consecuencia el mismo criterio

3 El costo deberaacute expresarse en tasas nominales de la misma periodicidad del flujo de fondos

4 Puesto que cada fuente de capital debe ser recompensada seguacuten el nivel de riesgo que asume la ponderacioacuten de cada fuente que va a contribuir en la formacioacuten del costo de capital deberaacute ajustarse al riesgo sistemaacutetico1 de cada tiempo en que esa fuente de financiamiento participa No debe olvidarse que un inversionista seraacute mas exigente con proyectos con mayor nivel de riesgo y esta es la razoacuten para el incremento en el costo de capital utilizado como tasa de descuento Deuda capital (recursos propios) y deuda convertible en capital

Al momento de calcular el factor de ponderacioacuten de los elementos integrantes del costo de capital cada uno de ellos deberaacute considerar su peso dentro del mercado entendiendo esto como el espectro de posibilidades de financiacioacuten del proyecto Ello en razoacuten a que el proyecto deberaacute asumir en su estructura de financiacioacuten las condiciones del mercado Para desarrollar entonces una ponderacioacuten adecuada debe considerarse la estructura de financiamiento mas adecuada (proporcioacuten entre deuda y kapital)

72 EL CONCEPTO DE TASA DE INTERES

El concepto de intereacutes es la espina dorsal del anaacutelisis relativo a la evaluacioacuten financiera de las inversiones en razoacuten a que eacuteste no es maacutes que un costo o una renta generada por el uso del dinero en un tiempo determinado Inversiones preacutestamos a terceros y ahorro se justifican mediante el intereacutes iquestCoacutemo surge entonces el concepto de tasa de intereacutes

El recurso financiero igual que la tierra y el trabajo tiene la capacidad de generar riqueza con el transcurso del tiempo Esto es asiacute porque las cantidades de dinero disponible tienen la capacidad de crecer cuando se invierten en alternativas productivas La cuantiacutea de los cambios en el valor del dinero con el tiempo depende de queacute otras oportunidades de inversioacuten tenemos

Podemos entonces determinar la cuantiacutea de los cambios del valor del dinero con el tiempo calculando lo que nuestros recursos (expresados en teacuterminos monetarios) podriacutean ganar en diferentes oportunidades de inversioacuten existentes en otras palabras el monto de las utilidades a las que se debe renunciar con el fin de invertir nuestros recursos en un proyecto de inversioacuten es lo que significa el costo de oportunidad que

101

especiacuteficamente representa la cuantiacutea a la que se reduciraacuten los flujos del proyecto con el tiempo

Para que un inversionista acepte entonces recibir una suma de dinero dentro de un periacuteodo en lugar de disponer de esa suma ahora seraacute preciso entregarle dentro de un periacuteodo una suma superior a la actual Esa cantidad adicional que es necesario reconocer refleja la capacidad que el dinero tiene de crecer en sus propias manos 110 cual expresado como un porcentaje de la inversioacuten inicial se Hama tasa de intereacutes del periacuteodo

Si tenemos una suma P (hoy) por efecto de la potencialidad de crecer cuando se invierte en alternativas productivas esa suma seraacute P + AP (mantildeana) Este AP I P 100 seraacute entonces la tasa de intereacutes Sobre esta argumentacioacuten se pueden dar varias definiciones de tasa de intereacutes que son equivalentes bull Tasa que cuantifica la oportunidad que tiene el dinero de crecer

bull Tasa de rendimiento que el duentildeo del dinero habriacutea ganado si lo hubiera invertido en lugar de prestarlo (o sea costo de oportunidad del capital)

bull Cuota que se paga por el uso del dinero

bull Compensacioacuten financiera por aplazar en el tiempo el uso del dinero o sea que la tasa de intereacutes es un premio por dejar de consumir

bull Desembolso de lo que hubiera podido ganarse si se recibiacutea el dinero anteriormente y se utilizaba para otros fines

bull El intereacutes es un medidor que asocia dinero tiempo y riesgo

73 EL CONCEPTO DE EQUIVALENCIA

Basados en el concepto de tasa de intereacutes estamos en capacidad de desarrollar un conjunto de relaciones matemaacuteticas entre sumas de dinero que se reciben en diferentes momentos del tiempo para establecer equivalencias entre ellas

Se dice entonces que para todo K existe una suma mayor K + iK =K( 1 + i )

102

tal que K( 1 + i ) mantildeana es equivalente financieramente a K hoy o sea numeacutericamente seriacutea $1000 == $1500 0 tasa de intereacutes del periacuteodo =050

Se quiere significar que el concepto de equivalencia es un concepto relativo a la tasa de intereacutes por tanto lo que es equivalente para un inversionista no lo es para otro

Habraacute que tomar en cuenta que equivalencia quiere decir lo mismo que indiferencia En este sentido si $1000 == (indiferente) a $1500 es porque $1000 tienen hoy oportunidades de inversioacuten que permiten convertir los $1000 de ahora en $1500 de mantildeana Lo que se quiere reiterar es que la piacuteeferencia pOi iacuteecibir sumas de dinero antes y no despueacutes se manifiesta a traveacutes de la tasa de intereacutes en virtud de que eacutesta cuantifica la oportunidad que tiene el dinero de crecer

Este concepto a su vez permite construir relaciones matemaacuteticas que expresan las diferentes equivalencias entre sumas de dinero que se reciben en diferentes momentos del tiempo las cuales nos permiten realizar los siguientes anaacutelisis

bull Determinar el costo de financiacioacuten o la rentabilidad de la inversioacuten

bull Elaborar planes de financiamiento cuando se vende o compra a creacutedito

bull Seleccionar formas de amortizacioacuten seguacuten las condiciones de liquidez y rentabilidad del empresario

bull Calcular el costo del capital

bull Escoger altemativas de inversioacuten a corto y largo plazo

bull Seleccionar entre diferentes alternativas de costos

731 EQUIVALENCIAS FINANCIERAS

1) Entre una suma presente y una suma futura con tasa de Amortizacioacuten simple

1 = FP -1I F =P(1+ni) I n

I P - FooI nI - ~ 11I T J

103

2) Equivalencia entre una suma presente y una futura con tasa de Amortizacioacuten compuesta

F=P(1+lt =gt 1=(FP)11n_1 p = r= f( 1 -I-i)n ii nnrque la i nanl capmiddotta1izIfiomiddotn en el esc~narlmiddoto d~I 1 bull I I - 1 t 1I _1 11 _11 _

una tasa compuesta

3) Amortizacioacuten compuesta de una serie uniforme (valor futuro de una serie)

150 A+ A(1+1) + A(1+1)2 +A(1+1)3 + A(1+lt-

C) F(1 +1) = A(1 +1) ~~~ ~~~-1 (1 +1)

1 - 2 = F[(1 +1)-1] = A[(1 +It -1] F = A[(1+lt -1]

4) Amortizacioacuten de una suma futura A= FI

(1+j)n_1 I

6) Recuperacioacuten del capital en una serie uniforme A = FI A= P(1 +It 1

(1+I)n -1 (1+W-1

7) Valor presente de una serie uniforme P =A[( 1 +1t -11

(1 +I)ni

732 EQUIVALENCIAS FINANCIERAS ENTRE TASAS DE INTERES

Periodos de capita1izacioacuten de intereacutes tiempo sobre el cual se liquidan los intereses para permitir posteriormente su retiro o

acumulacioacuten

Tasa nominal no tiene en cuenta el nuacutemero de veces que liquidan los intereses dentro del periodo

Tasa efectiva Tiene en cuenta el nuacutemero de veces que los intereses liquidados empiezan a ganar intereses y se incrementa asiacute el retorno efectivo de la inversioacuten

104

Cuando el periodo de capitalizacioacuten es maacutes corto que el que cubre la tasa nominal =gt la tasa efectiva es gt que la tasa nominal

m= de veces en el antildeo que se capitalizan los intereses m= 12 capitalizacioacuten mensual m= 4 capitalizacioacuten trimestral

IYm= ilm tasa perioacutedica

Deduccioacuten P(1 +i) f P(1 +ilm)m (1 +i) = (1 +im)m

ilr = (1+im)m -1= ie

Equivalencia de intereacutes efectivo en teacuterminos de intereacutes nominal

lI iacutee= (1 +Ymt -1 ie= (1+imt-1

PASAR de una tasa efectiva a tasa perioacutedica (1+Ym)m -1= ie (1 +Ym)m = le+1 (1+Ym) =(ie+1)1m =gt Ym= (ie+1)1m_1

Equivalencia de intereacutes perioacutedico en teacutenninos de intereacutes efectivo

IYm =(ie+1 1m -1

La tasa de intereacutes efectiva expresa la rentabilidad como una tasa de intereacutes compuesta teniendo en cuenta la acumulacioacuten de intereses dentro del periodo de inversioacuten la cual puede modificar el rendimiento efectivo de la inversioacuten Tambieacuten toma en cuenta la forma de pago de los intereses reconociendo que el pago de intereses en forma anticipada permite al que los reciacutebe reinvertirlos maacutes temprano que en el caso que se pagan en forma vencida

La tasa efectiva refleja la rentabilidad verdadera de la inversioacuten como tal deberaacute ser la tasa que se utiliza en el manejo de la s equivalencias financieras con la condicioacuten que la tasa efectiva este expresada en los periodos en que se expresa n (tiempo en el flujo de fondos)

EL INTEREacuteS ANTICIPADO ia Se recibe K -iaK = (1-ia) K =P

paga K= F

105

Ii = KlK( 1-ia -1 i = 1 --1

-1-ia

Intereacutes vencido en teacuterminos de intereacutes anticipado

Equivalencia entre tasa de intereacutes nominal anticipada y tasa vencida

iacutev== [KlK(1-iacutea)]-1 iv== [1( 1-ia)J-1

~ _ 1 1 1 - shy

a iv + 1

Equivalencia entre una tasa de intereacutes nominal anticipada y una tasa de intereacutes efectiva

iexclnoma == tasa de intereacutes nominal antfcipada

Relacioacuten entre Ym y Yma i =(Fp)1n -1 P == (1-Yma)K F=K I I

fm = KI K(1- fma) -1 ~l__f_m__==___1____-_1________1~1~~ (1-Yma) )

Yma == 1 -1(Ym+1)

ie == (1+Ym)m-1 1+ie == (1+Ym)m

De 1 se deduce que (1 + Ym) == 1 (1-Yma)

1+ie =[1(1-Yma)]m

ie = [1(1-Yma)]m -1 ~ Intereacutes efectivo en teacutermino de intereacutes anticipado perioacutedico

106

Vm ( Ie middot 1 1m-j1 1 Id - I - I 1I T ) =gtIiitereacutes perioacutedico anticipado en teacuterminos de intereacutes efectivo

CONCLUSiOacuteN Entre mayor nuacutemero de periodos de liquidacioacuten de los intereses tenga una tasa de intereacutes anticipada menor seraacute su impacto sobre la tasa de intereacutes efectiva

97

- Mano de obra $5400 - Patente anual $350 - Permiso para la construccioacuten de la faacutebrica $700

La persona que desea realizar esta inversioacuten trabaja actualmente en otra empresa donde le pagan $ 155 antildeo Si eacutel construyera su propia faacutebrica tendriacutea que dejar ese trabajo y dejariacutea de percibir los $ 155 Por lo tanto eacuteste constituye su sueldo alternativo va a formar la empresa si por lo menos puede ganar en ella los $155 que podriacutea ganar trabajando en su ocupacioacuten alternativa Es por ello que aunque no vaya a figurar en la planilla de sueldos esta cantidad para la decisioacuten de fannar la empresa debe impuumltarse como costo el suumleldo altemativo que la persona podriacutea ganar en otra parte (ya que dejariacutea de percibirlo por trabajar en su propia empresa)

Supongamos que esta persona tiene un capital propio de $ 10000 que estaacuten invertidos en bonos caja de ahorro o tiacutetulos valores Ademaacutes dispone de un creacutedito bancario de hasta $1500 que es renovable antildeo a antildeo Se necesita para la faacutebrica comprar una maacutequina que cuesta $9000 y un edificio que cuesta $500 Se supone que la maacutequina yel edificio van a durar indefinidamente que no se desgasta o deprecia con el uso Suponga que se necesita mantener un capital circulante de $1300 en concepto de inventarios saldos bancaiacuteios etc Suumlponga ademaacutes que existe un impuesto anual del 1 sobre el valor de la maquinaria y edificios

Para simplificar el ejemplo se supone que en esta economiacutea rige una tasa del intereacutes dell 10 que es igual para el que pide prestado que para elque presta como tambieacuten es 110 que puede obtenerse en caja de ahorro bonos y debentures

iquestCuaacutel seraacute el ingreso anual miacutenimo que va a tentar a esta persona para formar Ia empresa Es decir iquestcuaacuteles son os costos pertinentes para esta decisioacuten

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CAPITULO VII

EL VALOR MONETARIO DEL TIEMPO Y LA TASA DE DESCUENTO

El flujo de fondos no conduce directamente a la toma de decisiones sobre la conveniencia o inconveniencia de asignar recursos a una determinada alternativa Aun quedan por contestar dos preguntas

1 Cuando un flujo de fondos representa un proyecto rentable 2 De los proyectos de inversioacuten identificados en cual se deberaacuten

colocar los recursos de inversioacuten que tenemos disponibles

Responder a estas preguntas implica en primer lugar descontar las diferencias temporales de los beneficios y costos del proyecto para permitir convertirlos en su equivalente en un antildeo o periodo de referencia de manera que se puedan comparar faacutecilmente los diferentes proyectos El descuento permite por tanto corregir las diferencias o el efecto del tiempo en los flujos netos (BNt) La pregunta central es entonces Cual es la tasa de descuento de esos flujos Luego habraacute que comparar los flujos descontados para elegir la alternativa mas rentable

La eleccioacuten de la tasa de descuento nos lleva a considerar que todo dinero asignado a una alternativa deja de generar rendimientos en otra en virtud de la oportunidad de opciones que el dinero tiene lo cual permite indicar que el dinero tiene un costo de oportunidad cuando se asigna a un proyecto que refleja el rendimiento representativo de sus oportunidades de inversioacuten En consecuencia un proyecto no se evaluacutea en el vaciacuteo sino frente a otras oportunidades de inversioacuten Para que este sea rentable debe generar como miacutenimo lo que habriacutea ganado este dinero en la alternativa mas atractiva lo cual equivale a decir que para que sea rentable tiene que compensar como miacutenimo su costo de oportunidad

La tasa de intereacutes de oportunidad es la tasa que refleja e1 costo de oportunidad de los dineros del inversionista por tanto es la tasa que representa el rendimiento de las alternativas de inversioacuten que se podriacutean seleccionar si se decidiera no invertir en el proyecto

Esta tasa es asimilable a una tasa de colocacioacuten de fondos o a una tasa que refleje las oportunidades sacrificadas al tomar la decisioacuten de invertir en el proyecto depende entonces de la persona que invierte en el proyecto ya que es el rendimiento representativo de sus oportunidades de inversioacuten

99

La rentabilidad de un proyecto seraacute aquella tasa de ganancia surgida del proyecto que este por encima de lo que habriacutea ganado de escoger invertir el dinero en otras alternativas

Se pueden ver asiacute estas afirmaciones Mercado Financiero

fK -----------------~ K( 1 +i) hoy mantildeana

Proyecto fK -----------------~ K( 1+i)

mantildeana

Si K( 1+i) gt K( 1 +i) el proyecto es rentable porque i es la tasa de oportunidad o tasa de descuento

Esto se podria indicar en una regla enunciada asiacute Para determinar el valor de la rentabilidad del proyecto es necesario descontar los beneficios netos del proyecto por el costo de oportunidad del dinero En otras palabras Un inversionista realiza aquellas inversiones en las que el rendimiento esperado del proyecto supera el costo de capital del proyecto el cual viene dado por el costo de oportunidad de los financiadores del proyecto

71 CALCULO DE LA TASA DE DESCUENTO

El costo de oportunidad (tasa de oportunidad) que es la tasa a la que se deberaacuten descontar los flujos de fondos netos (BNt) para comparar todos los costos y beneficios como si se presentaran en el antildeo O ( descuento intertemporal) permite comparar sumas que se presentan en diferentes momentos del tiempo teniendo en cuenta la compensacioacuten del costo de oportunidad del dinero o sea elimina las diferencias temporales Sin embargo queda pendiente por resolver la pregunta iquest Como se calcula dicho costo de oportunidad para que sea concordante metodologicamente con el caJculo de los flujos de fondos

Para que ello sea asiacute este costo deberaacute cumplir las siguientes condiciones 1

1 Establecerse como un promedio ponderado de todos los recursos de capital que hayan sido considerados en el flujo de fondos

1 El riesgo sistemaacutetico es el que se debe remunerar mientras que el riesgo proveniente de otras formulas se puede diversificar mediante la composicioacuten de portafolios

100

2 Si el flujo de fondos es computado despueacutes de impuesto el costo de capital deberaacute tener en consecuencia el mismo criterio

3 El costo deberaacute expresarse en tasas nominales de la misma periodicidad del flujo de fondos

4 Puesto que cada fuente de capital debe ser recompensada seguacuten el nivel de riesgo que asume la ponderacioacuten de cada fuente que va a contribuir en la formacioacuten del costo de capital deberaacute ajustarse al riesgo sistemaacutetico1 de cada tiempo en que esa fuente de financiamiento participa No debe olvidarse que un inversionista seraacute mas exigente con proyectos con mayor nivel de riesgo y esta es la razoacuten para el incremento en el costo de capital utilizado como tasa de descuento Deuda capital (recursos propios) y deuda convertible en capital

Al momento de calcular el factor de ponderacioacuten de los elementos integrantes del costo de capital cada uno de ellos deberaacute considerar su peso dentro del mercado entendiendo esto como el espectro de posibilidades de financiacioacuten del proyecto Ello en razoacuten a que el proyecto deberaacute asumir en su estructura de financiacioacuten las condiciones del mercado Para desarrollar entonces una ponderacioacuten adecuada debe considerarse la estructura de financiamiento mas adecuada (proporcioacuten entre deuda y kapital)

72 EL CONCEPTO DE TASA DE INTERES

El concepto de intereacutes es la espina dorsal del anaacutelisis relativo a la evaluacioacuten financiera de las inversiones en razoacuten a que eacuteste no es maacutes que un costo o una renta generada por el uso del dinero en un tiempo determinado Inversiones preacutestamos a terceros y ahorro se justifican mediante el intereacutes iquestCoacutemo surge entonces el concepto de tasa de intereacutes

El recurso financiero igual que la tierra y el trabajo tiene la capacidad de generar riqueza con el transcurso del tiempo Esto es asiacute porque las cantidades de dinero disponible tienen la capacidad de crecer cuando se invierten en alternativas productivas La cuantiacutea de los cambios en el valor del dinero con el tiempo depende de queacute otras oportunidades de inversioacuten tenemos

Podemos entonces determinar la cuantiacutea de los cambios del valor del dinero con el tiempo calculando lo que nuestros recursos (expresados en teacuterminos monetarios) podriacutean ganar en diferentes oportunidades de inversioacuten existentes en otras palabras el monto de las utilidades a las que se debe renunciar con el fin de invertir nuestros recursos en un proyecto de inversioacuten es lo que significa el costo de oportunidad que

101

especiacuteficamente representa la cuantiacutea a la que se reduciraacuten los flujos del proyecto con el tiempo

Para que un inversionista acepte entonces recibir una suma de dinero dentro de un periacuteodo en lugar de disponer de esa suma ahora seraacute preciso entregarle dentro de un periacuteodo una suma superior a la actual Esa cantidad adicional que es necesario reconocer refleja la capacidad que el dinero tiene de crecer en sus propias manos 110 cual expresado como un porcentaje de la inversioacuten inicial se Hama tasa de intereacutes del periacuteodo

Si tenemos una suma P (hoy) por efecto de la potencialidad de crecer cuando se invierte en alternativas productivas esa suma seraacute P + AP (mantildeana) Este AP I P 100 seraacute entonces la tasa de intereacutes Sobre esta argumentacioacuten se pueden dar varias definiciones de tasa de intereacutes que son equivalentes bull Tasa que cuantifica la oportunidad que tiene el dinero de crecer

bull Tasa de rendimiento que el duentildeo del dinero habriacutea ganado si lo hubiera invertido en lugar de prestarlo (o sea costo de oportunidad del capital)

bull Cuota que se paga por el uso del dinero

bull Compensacioacuten financiera por aplazar en el tiempo el uso del dinero o sea que la tasa de intereacutes es un premio por dejar de consumir

bull Desembolso de lo que hubiera podido ganarse si se recibiacutea el dinero anteriormente y se utilizaba para otros fines

bull El intereacutes es un medidor que asocia dinero tiempo y riesgo

73 EL CONCEPTO DE EQUIVALENCIA

Basados en el concepto de tasa de intereacutes estamos en capacidad de desarrollar un conjunto de relaciones matemaacuteticas entre sumas de dinero que se reciben en diferentes momentos del tiempo para establecer equivalencias entre ellas

Se dice entonces que para todo K existe una suma mayor K + iK =K( 1 + i )

102

tal que K( 1 + i ) mantildeana es equivalente financieramente a K hoy o sea numeacutericamente seriacutea $1000 == $1500 0 tasa de intereacutes del periacuteodo =050

Se quiere significar que el concepto de equivalencia es un concepto relativo a la tasa de intereacutes por tanto lo que es equivalente para un inversionista no lo es para otro

Habraacute que tomar en cuenta que equivalencia quiere decir lo mismo que indiferencia En este sentido si $1000 == (indiferente) a $1500 es porque $1000 tienen hoy oportunidades de inversioacuten que permiten convertir los $1000 de ahora en $1500 de mantildeana Lo que se quiere reiterar es que la piacuteeferencia pOi iacuteecibir sumas de dinero antes y no despueacutes se manifiesta a traveacutes de la tasa de intereacutes en virtud de que eacutesta cuantifica la oportunidad que tiene el dinero de crecer

Este concepto a su vez permite construir relaciones matemaacuteticas que expresan las diferentes equivalencias entre sumas de dinero que se reciben en diferentes momentos del tiempo las cuales nos permiten realizar los siguientes anaacutelisis

bull Determinar el costo de financiacioacuten o la rentabilidad de la inversioacuten

bull Elaborar planes de financiamiento cuando se vende o compra a creacutedito

bull Seleccionar formas de amortizacioacuten seguacuten las condiciones de liquidez y rentabilidad del empresario

bull Calcular el costo del capital

bull Escoger altemativas de inversioacuten a corto y largo plazo

bull Seleccionar entre diferentes alternativas de costos

731 EQUIVALENCIAS FINANCIERAS

1) Entre una suma presente y una suma futura con tasa de Amortizacioacuten simple

1 = FP -1I F =P(1+ni) I n

I P - FooI nI - ~ 11I T J

103

2) Equivalencia entre una suma presente y una futura con tasa de Amortizacioacuten compuesta

F=P(1+lt =gt 1=(FP)11n_1 p = r= f( 1 -I-i)n ii nnrque la i nanl capmiddotta1izIfiomiddotn en el esc~narlmiddoto d~I 1 bull I I - 1 t 1I _1 11 _11 _

una tasa compuesta

3) Amortizacioacuten compuesta de una serie uniforme (valor futuro de una serie)

150 A+ A(1+1) + A(1+1)2 +A(1+1)3 + A(1+lt-

C) F(1 +1) = A(1 +1) ~~~ ~~~-1 (1 +1)

1 - 2 = F[(1 +1)-1] = A[(1 +It -1] F = A[(1+lt -1]

4) Amortizacioacuten de una suma futura A= FI

(1+j)n_1 I

6) Recuperacioacuten del capital en una serie uniforme A = FI A= P(1 +It 1

(1+I)n -1 (1+W-1

7) Valor presente de una serie uniforme P =A[( 1 +1t -11

(1 +I)ni

732 EQUIVALENCIAS FINANCIERAS ENTRE TASAS DE INTERES

Periodos de capita1izacioacuten de intereacutes tiempo sobre el cual se liquidan los intereses para permitir posteriormente su retiro o

acumulacioacuten

Tasa nominal no tiene en cuenta el nuacutemero de veces que liquidan los intereses dentro del periodo

Tasa efectiva Tiene en cuenta el nuacutemero de veces que los intereses liquidados empiezan a ganar intereses y se incrementa asiacute el retorno efectivo de la inversioacuten

104

Cuando el periodo de capitalizacioacuten es maacutes corto que el que cubre la tasa nominal =gt la tasa efectiva es gt que la tasa nominal

m= de veces en el antildeo que se capitalizan los intereses m= 12 capitalizacioacuten mensual m= 4 capitalizacioacuten trimestral

IYm= ilm tasa perioacutedica

Deduccioacuten P(1 +i) f P(1 +ilm)m (1 +i) = (1 +im)m

ilr = (1+im)m -1= ie

Equivalencia de intereacutes efectivo en teacuterminos de intereacutes nominal

lI iacutee= (1 +Ymt -1 ie= (1+imt-1

PASAR de una tasa efectiva a tasa perioacutedica (1+Ym)m -1= ie (1 +Ym)m = le+1 (1+Ym) =(ie+1)1m =gt Ym= (ie+1)1m_1

Equivalencia de intereacutes perioacutedico en teacutenninos de intereacutes efectivo

IYm =(ie+1 1m -1

La tasa de intereacutes efectiva expresa la rentabilidad como una tasa de intereacutes compuesta teniendo en cuenta la acumulacioacuten de intereses dentro del periodo de inversioacuten la cual puede modificar el rendimiento efectivo de la inversioacuten Tambieacuten toma en cuenta la forma de pago de los intereses reconociendo que el pago de intereses en forma anticipada permite al que los reciacutebe reinvertirlos maacutes temprano que en el caso que se pagan en forma vencida

La tasa efectiva refleja la rentabilidad verdadera de la inversioacuten como tal deberaacute ser la tasa que se utiliza en el manejo de la s equivalencias financieras con la condicioacuten que la tasa efectiva este expresada en los periodos en que se expresa n (tiempo en el flujo de fondos)

EL INTEREacuteS ANTICIPADO ia Se recibe K -iaK = (1-ia) K =P

paga K= F

105

Ii = KlK( 1-ia -1 i = 1 --1

-1-ia

Intereacutes vencido en teacuterminos de intereacutes anticipado

Equivalencia entre tasa de intereacutes nominal anticipada y tasa vencida

iacutev== [KlK(1-iacutea)]-1 iv== [1( 1-ia)J-1

~ _ 1 1 1 - shy

a iv + 1

Equivalencia entre una tasa de intereacutes nominal anticipada y una tasa de intereacutes efectiva

iexclnoma == tasa de intereacutes nominal antfcipada

Relacioacuten entre Ym y Yma i =(Fp)1n -1 P == (1-Yma)K F=K I I

fm = KI K(1- fma) -1 ~l__f_m__==___1____-_1________1~1~~ (1-Yma) )

Yma == 1 -1(Ym+1)

ie == (1+Ym)m-1 1+ie == (1+Ym)m

De 1 se deduce que (1 + Ym) == 1 (1-Yma)

1+ie =[1(1-Yma)]m

ie = [1(1-Yma)]m -1 ~ Intereacutes efectivo en teacutermino de intereacutes anticipado perioacutedico

106

Vm ( Ie middot 1 1m-j1 1 Id - I - I 1I T ) =gtIiitereacutes perioacutedico anticipado en teacuterminos de intereacutes efectivo

CONCLUSiOacuteN Entre mayor nuacutemero de periodos de liquidacioacuten de los intereses tenga una tasa de intereacutes anticipada menor seraacute su impacto sobre la tasa de intereacutes efectiva

98

CAPITULO VII

EL VALOR MONETARIO DEL TIEMPO Y LA TASA DE DESCUENTO

El flujo de fondos no conduce directamente a la toma de decisiones sobre la conveniencia o inconveniencia de asignar recursos a una determinada alternativa Aun quedan por contestar dos preguntas

1 Cuando un flujo de fondos representa un proyecto rentable 2 De los proyectos de inversioacuten identificados en cual se deberaacuten

colocar los recursos de inversioacuten que tenemos disponibles

Responder a estas preguntas implica en primer lugar descontar las diferencias temporales de los beneficios y costos del proyecto para permitir convertirlos en su equivalente en un antildeo o periodo de referencia de manera que se puedan comparar faacutecilmente los diferentes proyectos El descuento permite por tanto corregir las diferencias o el efecto del tiempo en los flujos netos (BNt) La pregunta central es entonces Cual es la tasa de descuento de esos flujos Luego habraacute que comparar los flujos descontados para elegir la alternativa mas rentable

La eleccioacuten de la tasa de descuento nos lleva a considerar que todo dinero asignado a una alternativa deja de generar rendimientos en otra en virtud de la oportunidad de opciones que el dinero tiene lo cual permite indicar que el dinero tiene un costo de oportunidad cuando se asigna a un proyecto que refleja el rendimiento representativo de sus oportunidades de inversioacuten En consecuencia un proyecto no se evaluacutea en el vaciacuteo sino frente a otras oportunidades de inversioacuten Para que este sea rentable debe generar como miacutenimo lo que habriacutea ganado este dinero en la alternativa mas atractiva lo cual equivale a decir que para que sea rentable tiene que compensar como miacutenimo su costo de oportunidad

La tasa de intereacutes de oportunidad es la tasa que refleja e1 costo de oportunidad de los dineros del inversionista por tanto es la tasa que representa el rendimiento de las alternativas de inversioacuten que se podriacutean seleccionar si se decidiera no invertir en el proyecto

Esta tasa es asimilable a una tasa de colocacioacuten de fondos o a una tasa que refleje las oportunidades sacrificadas al tomar la decisioacuten de invertir en el proyecto depende entonces de la persona que invierte en el proyecto ya que es el rendimiento representativo de sus oportunidades de inversioacuten

99

La rentabilidad de un proyecto seraacute aquella tasa de ganancia surgida del proyecto que este por encima de lo que habriacutea ganado de escoger invertir el dinero en otras alternativas

Se pueden ver asiacute estas afirmaciones Mercado Financiero

fK -----------------~ K( 1 +i) hoy mantildeana

Proyecto fK -----------------~ K( 1+i)

mantildeana

Si K( 1+i) gt K( 1 +i) el proyecto es rentable porque i es la tasa de oportunidad o tasa de descuento

Esto se podria indicar en una regla enunciada asiacute Para determinar el valor de la rentabilidad del proyecto es necesario descontar los beneficios netos del proyecto por el costo de oportunidad del dinero En otras palabras Un inversionista realiza aquellas inversiones en las que el rendimiento esperado del proyecto supera el costo de capital del proyecto el cual viene dado por el costo de oportunidad de los financiadores del proyecto

71 CALCULO DE LA TASA DE DESCUENTO

El costo de oportunidad (tasa de oportunidad) que es la tasa a la que se deberaacuten descontar los flujos de fondos netos (BNt) para comparar todos los costos y beneficios como si se presentaran en el antildeo O ( descuento intertemporal) permite comparar sumas que se presentan en diferentes momentos del tiempo teniendo en cuenta la compensacioacuten del costo de oportunidad del dinero o sea elimina las diferencias temporales Sin embargo queda pendiente por resolver la pregunta iquest Como se calcula dicho costo de oportunidad para que sea concordante metodologicamente con el caJculo de los flujos de fondos

Para que ello sea asiacute este costo deberaacute cumplir las siguientes condiciones 1

1 Establecerse como un promedio ponderado de todos los recursos de capital que hayan sido considerados en el flujo de fondos

1 El riesgo sistemaacutetico es el que se debe remunerar mientras que el riesgo proveniente de otras formulas se puede diversificar mediante la composicioacuten de portafolios

100

2 Si el flujo de fondos es computado despueacutes de impuesto el costo de capital deberaacute tener en consecuencia el mismo criterio

3 El costo deberaacute expresarse en tasas nominales de la misma periodicidad del flujo de fondos

4 Puesto que cada fuente de capital debe ser recompensada seguacuten el nivel de riesgo que asume la ponderacioacuten de cada fuente que va a contribuir en la formacioacuten del costo de capital deberaacute ajustarse al riesgo sistemaacutetico1 de cada tiempo en que esa fuente de financiamiento participa No debe olvidarse que un inversionista seraacute mas exigente con proyectos con mayor nivel de riesgo y esta es la razoacuten para el incremento en el costo de capital utilizado como tasa de descuento Deuda capital (recursos propios) y deuda convertible en capital

Al momento de calcular el factor de ponderacioacuten de los elementos integrantes del costo de capital cada uno de ellos deberaacute considerar su peso dentro del mercado entendiendo esto como el espectro de posibilidades de financiacioacuten del proyecto Ello en razoacuten a que el proyecto deberaacute asumir en su estructura de financiacioacuten las condiciones del mercado Para desarrollar entonces una ponderacioacuten adecuada debe considerarse la estructura de financiamiento mas adecuada (proporcioacuten entre deuda y kapital)

72 EL CONCEPTO DE TASA DE INTERES

El concepto de intereacutes es la espina dorsal del anaacutelisis relativo a la evaluacioacuten financiera de las inversiones en razoacuten a que eacuteste no es maacutes que un costo o una renta generada por el uso del dinero en un tiempo determinado Inversiones preacutestamos a terceros y ahorro se justifican mediante el intereacutes iquestCoacutemo surge entonces el concepto de tasa de intereacutes

El recurso financiero igual que la tierra y el trabajo tiene la capacidad de generar riqueza con el transcurso del tiempo Esto es asiacute porque las cantidades de dinero disponible tienen la capacidad de crecer cuando se invierten en alternativas productivas La cuantiacutea de los cambios en el valor del dinero con el tiempo depende de queacute otras oportunidades de inversioacuten tenemos

Podemos entonces determinar la cuantiacutea de los cambios del valor del dinero con el tiempo calculando lo que nuestros recursos (expresados en teacuterminos monetarios) podriacutean ganar en diferentes oportunidades de inversioacuten existentes en otras palabras el monto de las utilidades a las que se debe renunciar con el fin de invertir nuestros recursos en un proyecto de inversioacuten es lo que significa el costo de oportunidad que

101

especiacuteficamente representa la cuantiacutea a la que se reduciraacuten los flujos del proyecto con el tiempo

Para que un inversionista acepte entonces recibir una suma de dinero dentro de un periacuteodo en lugar de disponer de esa suma ahora seraacute preciso entregarle dentro de un periacuteodo una suma superior a la actual Esa cantidad adicional que es necesario reconocer refleja la capacidad que el dinero tiene de crecer en sus propias manos 110 cual expresado como un porcentaje de la inversioacuten inicial se Hama tasa de intereacutes del periacuteodo

Si tenemos una suma P (hoy) por efecto de la potencialidad de crecer cuando se invierte en alternativas productivas esa suma seraacute P + AP (mantildeana) Este AP I P 100 seraacute entonces la tasa de intereacutes Sobre esta argumentacioacuten se pueden dar varias definiciones de tasa de intereacutes que son equivalentes bull Tasa que cuantifica la oportunidad que tiene el dinero de crecer

bull Tasa de rendimiento que el duentildeo del dinero habriacutea ganado si lo hubiera invertido en lugar de prestarlo (o sea costo de oportunidad del capital)

bull Cuota que se paga por el uso del dinero

bull Compensacioacuten financiera por aplazar en el tiempo el uso del dinero o sea que la tasa de intereacutes es un premio por dejar de consumir

bull Desembolso de lo que hubiera podido ganarse si se recibiacutea el dinero anteriormente y se utilizaba para otros fines

bull El intereacutes es un medidor que asocia dinero tiempo y riesgo

73 EL CONCEPTO DE EQUIVALENCIA

Basados en el concepto de tasa de intereacutes estamos en capacidad de desarrollar un conjunto de relaciones matemaacuteticas entre sumas de dinero que se reciben en diferentes momentos del tiempo para establecer equivalencias entre ellas

Se dice entonces que para todo K existe una suma mayor K + iK =K( 1 + i )

102

tal que K( 1 + i ) mantildeana es equivalente financieramente a K hoy o sea numeacutericamente seriacutea $1000 == $1500 0 tasa de intereacutes del periacuteodo =050

Se quiere significar que el concepto de equivalencia es un concepto relativo a la tasa de intereacutes por tanto lo que es equivalente para un inversionista no lo es para otro

Habraacute que tomar en cuenta que equivalencia quiere decir lo mismo que indiferencia En este sentido si $1000 == (indiferente) a $1500 es porque $1000 tienen hoy oportunidades de inversioacuten que permiten convertir los $1000 de ahora en $1500 de mantildeana Lo que se quiere reiterar es que la piacuteeferencia pOi iacuteecibir sumas de dinero antes y no despueacutes se manifiesta a traveacutes de la tasa de intereacutes en virtud de que eacutesta cuantifica la oportunidad que tiene el dinero de crecer

Este concepto a su vez permite construir relaciones matemaacuteticas que expresan las diferentes equivalencias entre sumas de dinero que se reciben en diferentes momentos del tiempo las cuales nos permiten realizar los siguientes anaacutelisis

bull Determinar el costo de financiacioacuten o la rentabilidad de la inversioacuten

bull Elaborar planes de financiamiento cuando se vende o compra a creacutedito

bull Seleccionar formas de amortizacioacuten seguacuten las condiciones de liquidez y rentabilidad del empresario

bull Calcular el costo del capital

bull Escoger altemativas de inversioacuten a corto y largo plazo

bull Seleccionar entre diferentes alternativas de costos

731 EQUIVALENCIAS FINANCIERAS

1) Entre una suma presente y una suma futura con tasa de Amortizacioacuten simple

1 = FP -1I F =P(1+ni) I n

I P - FooI nI - ~ 11I T J

103

2) Equivalencia entre una suma presente y una futura con tasa de Amortizacioacuten compuesta

F=P(1+lt =gt 1=(FP)11n_1 p = r= f( 1 -I-i)n ii nnrque la i nanl capmiddotta1izIfiomiddotn en el esc~narlmiddoto d~I 1 bull I I - 1 t 1I _1 11 _11 _

una tasa compuesta

3) Amortizacioacuten compuesta de una serie uniforme (valor futuro de una serie)

150 A+ A(1+1) + A(1+1)2 +A(1+1)3 + A(1+lt-

C) F(1 +1) = A(1 +1) ~~~ ~~~-1 (1 +1)

1 - 2 = F[(1 +1)-1] = A[(1 +It -1] F = A[(1+lt -1]

4) Amortizacioacuten de una suma futura A= FI

(1+j)n_1 I

6) Recuperacioacuten del capital en una serie uniforme A = FI A= P(1 +It 1

(1+I)n -1 (1+W-1

7) Valor presente de una serie uniforme P =A[( 1 +1t -11

(1 +I)ni

732 EQUIVALENCIAS FINANCIERAS ENTRE TASAS DE INTERES

Periodos de capita1izacioacuten de intereacutes tiempo sobre el cual se liquidan los intereses para permitir posteriormente su retiro o

acumulacioacuten

Tasa nominal no tiene en cuenta el nuacutemero de veces que liquidan los intereses dentro del periodo

Tasa efectiva Tiene en cuenta el nuacutemero de veces que los intereses liquidados empiezan a ganar intereses y se incrementa asiacute el retorno efectivo de la inversioacuten

104

Cuando el periodo de capitalizacioacuten es maacutes corto que el que cubre la tasa nominal =gt la tasa efectiva es gt que la tasa nominal

m= de veces en el antildeo que se capitalizan los intereses m= 12 capitalizacioacuten mensual m= 4 capitalizacioacuten trimestral

IYm= ilm tasa perioacutedica

Deduccioacuten P(1 +i) f P(1 +ilm)m (1 +i) = (1 +im)m

ilr = (1+im)m -1= ie

Equivalencia de intereacutes efectivo en teacuterminos de intereacutes nominal

lI iacutee= (1 +Ymt -1 ie= (1+imt-1

PASAR de una tasa efectiva a tasa perioacutedica (1+Ym)m -1= ie (1 +Ym)m = le+1 (1+Ym) =(ie+1)1m =gt Ym= (ie+1)1m_1

Equivalencia de intereacutes perioacutedico en teacutenninos de intereacutes efectivo

IYm =(ie+1 1m -1

La tasa de intereacutes efectiva expresa la rentabilidad como una tasa de intereacutes compuesta teniendo en cuenta la acumulacioacuten de intereses dentro del periodo de inversioacuten la cual puede modificar el rendimiento efectivo de la inversioacuten Tambieacuten toma en cuenta la forma de pago de los intereses reconociendo que el pago de intereses en forma anticipada permite al que los reciacutebe reinvertirlos maacutes temprano que en el caso que se pagan en forma vencida

La tasa efectiva refleja la rentabilidad verdadera de la inversioacuten como tal deberaacute ser la tasa que se utiliza en el manejo de la s equivalencias financieras con la condicioacuten que la tasa efectiva este expresada en los periodos en que se expresa n (tiempo en el flujo de fondos)

EL INTEREacuteS ANTICIPADO ia Se recibe K -iaK = (1-ia) K =P

paga K= F

105

Ii = KlK( 1-ia -1 i = 1 --1

-1-ia

Intereacutes vencido en teacuterminos de intereacutes anticipado

Equivalencia entre tasa de intereacutes nominal anticipada y tasa vencida

iacutev== [KlK(1-iacutea)]-1 iv== [1( 1-ia)J-1

~ _ 1 1 1 - shy

a iv + 1

Equivalencia entre una tasa de intereacutes nominal anticipada y una tasa de intereacutes efectiva

iexclnoma == tasa de intereacutes nominal antfcipada

Relacioacuten entre Ym y Yma i =(Fp)1n -1 P == (1-Yma)K F=K I I

fm = KI K(1- fma) -1 ~l__f_m__==___1____-_1________1~1~~ (1-Yma) )

Yma == 1 -1(Ym+1)

ie == (1+Ym)m-1 1+ie == (1+Ym)m

De 1 se deduce que (1 + Ym) == 1 (1-Yma)

1+ie =[1(1-Yma)]m

ie = [1(1-Yma)]m -1 ~ Intereacutes efectivo en teacutermino de intereacutes anticipado perioacutedico

106

Vm ( Ie middot 1 1m-j1 1 Id - I - I 1I T ) =gtIiitereacutes perioacutedico anticipado en teacuterminos de intereacutes efectivo

CONCLUSiOacuteN Entre mayor nuacutemero de periodos de liquidacioacuten de los intereses tenga una tasa de intereacutes anticipada menor seraacute su impacto sobre la tasa de intereacutes efectiva

99

La rentabilidad de un proyecto seraacute aquella tasa de ganancia surgida del proyecto que este por encima de lo que habriacutea ganado de escoger invertir el dinero en otras alternativas

Se pueden ver asiacute estas afirmaciones Mercado Financiero

fK -----------------~ K( 1 +i) hoy mantildeana

Proyecto fK -----------------~ K( 1+i)

mantildeana

Si K( 1+i) gt K( 1 +i) el proyecto es rentable porque i es la tasa de oportunidad o tasa de descuento

Esto se podria indicar en una regla enunciada asiacute Para determinar el valor de la rentabilidad del proyecto es necesario descontar los beneficios netos del proyecto por el costo de oportunidad del dinero En otras palabras Un inversionista realiza aquellas inversiones en las que el rendimiento esperado del proyecto supera el costo de capital del proyecto el cual viene dado por el costo de oportunidad de los financiadores del proyecto

71 CALCULO DE LA TASA DE DESCUENTO

El costo de oportunidad (tasa de oportunidad) que es la tasa a la que se deberaacuten descontar los flujos de fondos netos (BNt) para comparar todos los costos y beneficios como si se presentaran en el antildeo O ( descuento intertemporal) permite comparar sumas que se presentan en diferentes momentos del tiempo teniendo en cuenta la compensacioacuten del costo de oportunidad del dinero o sea elimina las diferencias temporales Sin embargo queda pendiente por resolver la pregunta iquest Como se calcula dicho costo de oportunidad para que sea concordante metodologicamente con el caJculo de los flujos de fondos

Para que ello sea asiacute este costo deberaacute cumplir las siguientes condiciones 1

1 Establecerse como un promedio ponderado de todos los recursos de capital que hayan sido considerados en el flujo de fondos

1 El riesgo sistemaacutetico es el que se debe remunerar mientras que el riesgo proveniente de otras formulas se puede diversificar mediante la composicioacuten de portafolios

100

2 Si el flujo de fondos es computado despueacutes de impuesto el costo de capital deberaacute tener en consecuencia el mismo criterio

3 El costo deberaacute expresarse en tasas nominales de la misma periodicidad del flujo de fondos

4 Puesto que cada fuente de capital debe ser recompensada seguacuten el nivel de riesgo que asume la ponderacioacuten de cada fuente que va a contribuir en la formacioacuten del costo de capital deberaacute ajustarse al riesgo sistemaacutetico1 de cada tiempo en que esa fuente de financiamiento participa No debe olvidarse que un inversionista seraacute mas exigente con proyectos con mayor nivel de riesgo y esta es la razoacuten para el incremento en el costo de capital utilizado como tasa de descuento Deuda capital (recursos propios) y deuda convertible en capital

Al momento de calcular el factor de ponderacioacuten de los elementos integrantes del costo de capital cada uno de ellos deberaacute considerar su peso dentro del mercado entendiendo esto como el espectro de posibilidades de financiacioacuten del proyecto Ello en razoacuten a que el proyecto deberaacute asumir en su estructura de financiacioacuten las condiciones del mercado Para desarrollar entonces una ponderacioacuten adecuada debe considerarse la estructura de financiamiento mas adecuada (proporcioacuten entre deuda y kapital)

72 EL CONCEPTO DE TASA DE INTERES

El concepto de intereacutes es la espina dorsal del anaacutelisis relativo a la evaluacioacuten financiera de las inversiones en razoacuten a que eacuteste no es maacutes que un costo o una renta generada por el uso del dinero en un tiempo determinado Inversiones preacutestamos a terceros y ahorro se justifican mediante el intereacutes iquestCoacutemo surge entonces el concepto de tasa de intereacutes

El recurso financiero igual que la tierra y el trabajo tiene la capacidad de generar riqueza con el transcurso del tiempo Esto es asiacute porque las cantidades de dinero disponible tienen la capacidad de crecer cuando se invierten en alternativas productivas La cuantiacutea de los cambios en el valor del dinero con el tiempo depende de queacute otras oportunidades de inversioacuten tenemos

Podemos entonces determinar la cuantiacutea de los cambios del valor del dinero con el tiempo calculando lo que nuestros recursos (expresados en teacuterminos monetarios) podriacutean ganar en diferentes oportunidades de inversioacuten existentes en otras palabras el monto de las utilidades a las que se debe renunciar con el fin de invertir nuestros recursos en un proyecto de inversioacuten es lo que significa el costo de oportunidad que

101

especiacuteficamente representa la cuantiacutea a la que se reduciraacuten los flujos del proyecto con el tiempo

Para que un inversionista acepte entonces recibir una suma de dinero dentro de un periacuteodo en lugar de disponer de esa suma ahora seraacute preciso entregarle dentro de un periacuteodo una suma superior a la actual Esa cantidad adicional que es necesario reconocer refleja la capacidad que el dinero tiene de crecer en sus propias manos 110 cual expresado como un porcentaje de la inversioacuten inicial se Hama tasa de intereacutes del periacuteodo

Si tenemos una suma P (hoy) por efecto de la potencialidad de crecer cuando se invierte en alternativas productivas esa suma seraacute P + AP (mantildeana) Este AP I P 100 seraacute entonces la tasa de intereacutes Sobre esta argumentacioacuten se pueden dar varias definiciones de tasa de intereacutes que son equivalentes bull Tasa que cuantifica la oportunidad que tiene el dinero de crecer

bull Tasa de rendimiento que el duentildeo del dinero habriacutea ganado si lo hubiera invertido en lugar de prestarlo (o sea costo de oportunidad del capital)

bull Cuota que se paga por el uso del dinero

bull Compensacioacuten financiera por aplazar en el tiempo el uso del dinero o sea que la tasa de intereacutes es un premio por dejar de consumir

bull Desembolso de lo que hubiera podido ganarse si se recibiacutea el dinero anteriormente y se utilizaba para otros fines

bull El intereacutes es un medidor que asocia dinero tiempo y riesgo

73 EL CONCEPTO DE EQUIVALENCIA

Basados en el concepto de tasa de intereacutes estamos en capacidad de desarrollar un conjunto de relaciones matemaacuteticas entre sumas de dinero que se reciben en diferentes momentos del tiempo para establecer equivalencias entre ellas

Se dice entonces que para todo K existe una suma mayor K + iK =K( 1 + i )

102

tal que K( 1 + i ) mantildeana es equivalente financieramente a K hoy o sea numeacutericamente seriacutea $1000 == $1500 0 tasa de intereacutes del periacuteodo =050

Se quiere significar que el concepto de equivalencia es un concepto relativo a la tasa de intereacutes por tanto lo que es equivalente para un inversionista no lo es para otro

Habraacute que tomar en cuenta que equivalencia quiere decir lo mismo que indiferencia En este sentido si $1000 == (indiferente) a $1500 es porque $1000 tienen hoy oportunidades de inversioacuten que permiten convertir los $1000 de ahora en $1500 de mantildeana Lo que se quiere reiterar es que la piacuteeferencia pOi iacuteecibir sumas de dinero antes y no despueacutes se manifiesta a traveacutes de la tasa de intereacutes en virtud de que eacutesta cuantifica la oportunidad que tiene el dinero de crecer

Este concepto a su vez permite construir relaciones matemaacuteticas que expresan las diferentes equivalencias entre sumas de dinero que se reciben en diferentes momentos del tiempo las cuales nos permiten realizar los siguientes anaacutelisis

bull Determinar el costo de financiacioacuten o la rentabilidad de la inversioacuten

bull Elaborar planes de financiamiento cuando se vende o compra a creacutedito

bull Seleccionar formas de amortizacioacuten seguacuten las condiciones de liquidez y rentabilidad del empresario

bull Calcular el costo del capital

bull Escoger altemativas de inversioacuten a corto y largo plazo

bull Seleccionar entre diferentes alternativas de costos

731 EQUIVALENCIAS FINANCIERAS

1) Entre una suma presente y una suma futura con tasa de Amortizacioacuten simple

1 = FP -1I F =P(1+ni) I n

I P - FooI nI - ~ 11I T J

103

2) Equivalencia entre una suma presente y una futura con tasa de Amortizacioacuten compuesta

F=P(1+lt =gt 1=(FP)11n_1 p = r= f( 1 -I-i)n ii nnrque la i nanl capmiddotta1izIfiomiddotn en el esc~narlmiddoto d~I 1 bull I I - 1 t 1I _1 11 _11 _

una tasa compuesta

3) Amortizacioacuten compuesta de una serie uniforme (valor futuro de una serie)

150 A+ A(1+1) + A(1+1)2 +A(1+1)3 + A(1+lt-

C) F(1 +1) = A(1 +1) ~~~ ~~~-1 (1 +1)

1 - 2 = F[(1 +1)-1] = A[(1 +It -1] F = A[(1+lt -1]

4) Amortizacioacuten de una suma futura A= FI

(1+j)n_1 I

6) Recuperacioacuten del capital en una serie uniforme A = FI A= P(1 +It 1

(1+I)n -1 (1+W-1

7) Valor presente de una serie uniforme P =A[( 1 +1t -11

(1 +I)ni

732 EQUIVALENCIAS FINANCIERAS ENTRE TASAS DE INTERES

Periodos de capita1izacioacuten de intereacutes tiempo sobre el cual se liquidan los intereses para permitir posteriormente su retiro o

acumulacioacuten

Tasa nominal no tiene en cuenta el nuacutemero de veces que liquidan los intereses dentro del periodo

Tasa efectiva Tiene en cuenta el nuacutemero de veces que los intereses liquidados empiezan a ganar intereses y se incrementa asiacute el retorno efectivo de la inversioacuten

104

Cuando el periodo de capitalizacioacuten es maacutes corto que el que cubre la tasa nominal =gt la tasa efectiva es gt que la tasa nominal

m= de veces en el antildeo que se capitalizan los intereses m= 12 capitalizacioacuten mensual m= 4 capitalizacioacuten trimestral

IYm= ilm tasa perioacutedica

Deduccioacuten P(1 +i) f P(1 +ilm)m (1 +i) = (1 +im)m

ilr = (1+im)m -1= ie

Equivalencia de intereacutes efectivo en teacuterminos de intereacutes nominal

lI iacutee= (1 +Ymt -1 ie= (1+imt-1

PASAR de una tasa efectiva a tasa perioacutedica (1+Ym)m -1= ie (1 +Ym)m = le+1 (1+Ym) =(ie+1)1m =gt Ym= (ie+1)1m_1

Equivalencia de intereacutes perioacutedico en teacutenninos de intereacutes efectivo

IYm =(ie+1 1m -1

La tasa de intereacutes efectiva expresa la rentabilidad como una tasa de intereacutes compuesta teniendo en cuenta la acumulacioacuten de intereses dentro del periodo de inversioacuten la cual puede modificar el rendimiento efectivo de la inversioacuten Tambieacuten toma en cuenta la forma de pago de los intereses reconociendo que el pago de intereses en forma anticipada permite al que los reciacutebe reinvertirlos maacutes temprano que en el caso que se pagan en forma vencida

La tasa efectiva refleja la rentabilidad verdadera de la inversioacuten como tal deberaacute ser la tasa que se utiliza en el manejo de la s equivalencias financieras con la condicioacuten que la tasa efectiva este expresada en los periodos en que se expresa n (tiempo en el flujo de fondos)

EL INTEREacuteS ANTICIPADO ia Se recibe K -iaK = (1-ia) K =P

paga K= F

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Ii = KlK( 1-ia -1 i = 1 --1

-1-ia

Intereacutes vencido en teacuterminos de intereacutes anticipado

Equivalencia entre tasa de intereacutes nominal anticipada y tasa vencida

iacutev== [KlK(1-iacutea)]-1 iv== [1( 1-ia)J-1

~ _ 1 1 1 - shy

a iv + 1

Equivalencia entre una tasa de intereacutes nominal anticipada y una tasa de intereacutes efectiva

iexclnoma == tasa de intereacutes nominal antfcipada

Relacioacuten entre Ym y Yma i =(Fp)1n -1 P == (1-Yma)K F=K I I

fm = KI K(1- fma) -1 ~l__f_m__==___1____-_1________1~1~~ (1-Yma) )

Yma == 1 -1(Ym+1)

ie == (1+Ym)m-1 1+ie == (1+Ym)m

De 1 se deduce que (1 + Ym) == 1 (1-Yma)

1+ie =[1(1-Yma)]m

ie = [1(1-Yma)]m -1 ~ Intereacutes efectivo en teacutermino de intereacutes anticipado perioacutedico

106

Vm ( Ie middot 1 1m-j1 1 Id - I - I 1I T ) =gtIiitereacutes perioacutedico anticipado en teacuterminos de intereacutes efectivo

CONCLUSiOacuteN Entre mayor nuacutemero de periodos de liquidacioacuten de los intereses tenga una tasa de intereacutes anticipada menor seraacute su impacto sobre la tasa de intereacutes efectiva

100

2 Si el flujo de fondos es computado despueacutes de impuesto el costo de capital deberaacute tener en consecuencia el mismo criterio

3 El costo deberaacute expresarse en tasas nominales de la misma periodicidad del flujo de fondos

4 Puesto que cada fuente de capital debe ser recompensada seguacuten el nivel de riesgo que asume la ponderacioacuten de cada fuente que va a contribuir en la formacioacuten del costo de capital deberaacute ajustarse al riesgo sistemaacutetico1 de cada tiempo en que esa fuente de financiamiento participa No debe olvidarse que un inversionista seraacute mas exigente con proyectos con mayor nivel de riesgo y esta es la razoacuten para el incremento en el costo de capital utilizado como tasa de descuento Deuda capital (recursos propios) y deuda convertible en capital

Al momento de calcular el factor de ponderacioacuten de los elementos integrantes del costo de capital cada uno de ellos deberaacute considerar su peso dentro del mercado entendiendo esto como el espectro de posibilidades de financiacioacuten del proyecto Ello en razoacuten a que el proyecto deberaacute asumir en su estructura de financiacioacuten las condiciones del mercado Para desarrollar entonces una ponderacioacuten adecuada debe considerarse la estructura de financiamiento mas adecuada (proporcioacuten entre deuda y kapital)

72 EL CONCEPTO DE TASA DE INTERES

El concepto de intereacutes es la espina dorsal del anaacutelisis relativo a la evaluacioacuten financiera de las inversiones en razoacuten a que eacuteste no es maacutes que un costo o una renta generada por el uso del dinero en un tiempo determinado Inversiones preacutestamos a terceros y ahorro se justifican mediante el intereacutes iquestCoacutemo surge entonces el concepto de tasa de intereacutes

El recurso financiero igual que la tierra y el trabajo tiene la capacidad de generar riqueza con el transcurso del tiempo Esto es asiacute porque las cantidades de dinero disponible tienen la capacidad de crecer cuando se invierten en alternativas productivas La cuantiacutea de los cambios en el valor del dinero con el tiempo depende de queacute otras oportunidades de inversioacuten tenemos

Podemos entonces determinar la cuantiacutea de los cambios del valor del dinero con el tiempo calculando lo que nuestros recursos (expresados en teacuterminos monetarios) podriacutean ganar en diferentes oportunidades de inversioacuten existentes en otras palabras el monto de las utilidades a las que se debe renunciar con el fin de invertir nuestros recursos en un proyecto de inversioacuten es lo que significa el costo de oportunidad que

101

especiacuteficamente representa la cuantiacutea a la que se reduciraacuten los flujos del proyecto con el tiempo

Para que un inversionista acepte entonces recibir una suma de dinero dentro de un periacuteodo en lugar de disponer de esa suma ahora seraacute preciso entregarle dentro de un periacuteodo una suma superior a la actual Esa cantidad adicional que es necesario reconocer refleja la capacidad que el dinero tiene de crecer en sus propias manos 110 cual expresado como un porcentaje de la inversioacuten inicial se Hama tasa de intereacutes del periacuteodo

Si tenemos una suma P (hoy) por efecto de la potencialidad de crecer cuando se invierte en alternativas productivas esa suma seraacute P + AP (mantildeana) Este AP I P 100 seraacute entonces la tasa de intereacutes Sobre esta argumentacioacuten se pueden dar varias definiciones de tasa de intereacutes que son equivalentes bull Tasa que cuantifica la oportunidad que tiene el dinero de crecer

bull Tasa de rendimiento que el duentildeo del dinero habriacutea ganado si lo hubiera invertido en lugar de prestarlo (o sea costo de oportunidad del capital)

bull Cuota que se paga por el uso del dinero

bull Compensacioacuten financiera por aplazar en el tiempo el uso del dinero o sea que la tasa de intereacutes es un premio por dejar de consumir

bull Desembolso de lo que hubiera podido ganarse si se recibiacutea el dinero anteriormente y se utilizaba para otros fines

bull El intereacutes es un medidor que asocia dinero tiempo y riesgo

73 EL CONCEPTO DE EQUIVALENCIA

Basados en el concepto de tasa de intereacutes estamos en capacidad de desarrollar un conjunto de relaciones matemaacuteticas entre sumas de dinero que se reciben en diferentes momentos del tiempo para establecer equivalencias entre ellas

Se dice entonces que para todo K existe una suma mayor K + iK =K( 1 + i )

102

tal que K( 1 + i ) mantildeana es equivalente financieramente a K hoy o sea numeacutericamente seriacutea $1000 == $1500 0 tasa de intereacutes del periacuteodo =050

Se quiere significar que el concepto de equivalencia es un concepto relativo a la tasa de intereacutes por tanto lo que es equivalente para un inversionista no lo es para otro

Habraacute que tomar en cuenta que equivalencia quiere decir lo mismo que indiferencia En este sentido si $1000 == (indiferente) a $1500 es porque $1000 tienen hoy oportunidades de inversioacuten que permiten convertir los $1000 de ahora en $1500 de mantildeana Lo que se quiere reiterar es que la piacuteeferencia pOi iacuteecibir sumas de dinero antes y no despueacutes se manifiesta a traveacutes de la tasa de intereacutes en virtud de que eacutesta cuantifica la oportunidad que tiene el dinero de crecer

Este concepto a su vez permite construir relaciones matemaacuteticas que expresan las diferentes equivalencias entre sumas de dinero que se reciben en diferentes momentos del tiempo las cuales nos permiten realizar los siguientes anaacutelisis

bull Determinar el costo de financiacioacuten o la rentabilidad de la inversioacuten

bull Elaborar planes de financiamiento cuando se vende o compra a creacutedito

bull Seleccionar formas de amortizacioacuten seguacuten las condiciones de liquidez y rentabilidad del empresario

bull Calcular el costo del capital

bull Escoger altemativas de inversioacuten a corto y largo plazo

bull Seleccionar entre diferentes alternativas de costos

731 EQUIVALENCIAS FINANCIERAS

1) Entre una suma presente y una suma futura con tasa de Amortizacioacuten simple

1 = FP -1I F =P(1+ni) I n

I P - FooI nI - ~ 11I T J

103

2) Equivalencia entre una suma presente y una futura con tasa de Amortizacioacuten compuesta

F=P(1+lt =gt 1=(FP)11n_1 p = r= f( 1 -I-i)n ii nnrque la i nanl capmiddotta1izIfiomiddotn en el esc~narlmiddoto d~I 1 bull I I - 1 t 1I _1 11 _11 _

una tasa compuesta

3) Amortizacioacuten compuesta de una serie uniforme (valor futuro de una serie)

150 A+ A(1+1) + A(1+1)2 +A(1+1)3 + A(1+lt-

C) F(1 +1) = A(1 +1) ~~~ ~~~-1 (1 +1)

1 - 2 = F[(1 +1)-1] = A[(1 +It -1] F = A[(1+lt -1]

4) Amortizacioacuten de una suma futura A= FI

(1+j)n_1 I

6) Recuperacioacuten del capital en una serie uniforme A = FI A= P(1 +It 1

(1+I)n -1 (1+W-1

7) Valor presente de una serie uniforme P =A[( 1 +1t -11

(1 +I)ni

732 EQUIVALENCIAS FINANCIERAS ENTRE TASAS DE INTERES

Periodos de capita1izacioacuten de intereacutes tiempo sobre el cual se liquidan los intereses para permitir posteriormente su retiro o

acumulacioacuten

Tasa nominal no tiene en cuenta el nuacutemero de veces que liquidan los intereses dentro del periodo

Tasa efectiva Tiene en cuenta el nuacutemero de veces que los intereses liquidados empiezan a ganar intereses y se incrementa asiacute el retorno efectivo de la inversioacuten

104

Cuando el periodo de capitalizacioacuten es maacutes corto que el que cubre la tasa nominal =gt la tasa efectiva es gt que la tasa nominal

m= de veces en el antildeo que se capitalizan los intereses m= 12 capitalizacioacuten mensual m= 4 capitalizacioacuten trimestral

IYm= ilm tasa perioacutedica

Deduccioacuten P(1 +i) f P(1 +ilm)m (1 +i) = (1 +im)m

ilr = (1+im)m -1= ie

Equivalencia de intereacutes efectivo en teacuterminos de intereacutes nominal

lI iacutee= (1 +Ymt -1 ie= (1+imt-1

PASAR de una tasa efectiva a tasa perioacutedica (1+Ym)m -1= ie (1 +Ym)m = le+1 (1+Ym) =(ie+1)1m =gt Ym= (ie+1)1m_1

Equivalencia de intereacutes perioacutedico en teacutenninos de intereacutes efectivo

IYm =(ie+1 1m -1

La tasa de intereacutes efectiva expresa la rentabilidad como una tasa de intereacutes compuesta teniendo en cuenta la acumulacioacuten de intereses dentro del periodo de inversioacuten la cual puede modificar el rendimiento efectivo de la inversioacuten Tambieacuten toma en cuenta la forma de pago de los intereses reconociendo que el pago de intereses en forma anticipada permite al que los reciacutebe reinvertirlos maacutes temprano que en el caso que se pagan en forma vencida

La tasa efectiva refleja la rentabilidad verdadera de la inversioacuten como tal deberaacute ser la tasa que se utiliza en el manejo de la s equivalencias financieras con la condicioacuten que la tasa efectiva este expresada en los periodos en que se expresa n (tiempo en el flujo de fondos)

EL INTEREacuteS ANTICIPADO ia Se recibe K -iaK = (1-ia) K =P

paga K= F

105

Ii = KlK( 1-ia -1 i = 1 --1

-1-ia

Intereacutes vencido en teacuterminos de intereacutes anticipado

Equivalencia entre tasa de intereacutes nominal anticipada y tasa vencida

iacutev== [KlK(1-iacutea)]-1 iv== [1( 1-ia)J-1

~ _ 1 1 1 - shy

a iv + 1

Equivalencia entre una tasa de intereacutes nominal anticipada y una tasa de intereacutes efectiva

iexclnoma == tasa de intereacutes nominal antfcipada

Relacioacuten entre Ym y Yma i =(Fp)1n -1 P == (1-Yma)K F=K I I

fm = KI K(1- fma) -1 ~l__f_m__==___1____-_1________1~1~~ (1-Yma) )

Yma == 1 -1(Ym+1)

ie == (1+Ym)m-1 1+ie == (1+Ym)m

De 1 se deduce que (1 + Ym) == 1 (1-Yma)

1+ie =[1(1-Yma)]m

ie = [1(1-Yma)]m -1 ~ Intereacutes efectivo en teacutermino de intereacutes anticipado perioacutedico

106

Vm ( Ie middot 1 1m-j1 1 Id - I - I 1I T ) =gtIiitereacutes perioacutedico anticipado en teacuterminos de intereacutes efectivo

CONCLUSiOacuteN Entre mayor nuacutemero de periodos de liquidacioacuten de los intereses tenga una tasa de intereacutes anticipada menor seraacute su impacto sobre la tasa de intereacutes efectiva

101

especiacuteficamente representa la cuantiacutea a la que se reduciraacuten los flujos del proyecto con el tiempo

Para que un inversionista acepte entonces recibir una suma de dinero dentro de un periacuteodo en lugar de disponer de esa suma ahora seraacute preciso entregarle dentro de un periacuteodo una suma superior a la actual Esa cantidad adicional que es necesario reconocer refleja la capacidad que el dinero tiene de crecer en sus propias manos 110 cual expresado como un porcentaje de la inversioacuten inicial se Hama tasa de intereacutes del periacuteodo

Si tenemos una suma P (hoy) por efecto de la potencialidad de crecer cuando se invierte en alternativas productivas esa suma seraacute P + AP (mantildeana) Este AP I P 100 seraacute entonces la tasa de intereacutes Sobre esta argumentacioacuten se pueden dar varias definiciones de tasa de intereacutes que son equivalentes bull Tasa que cuantifica la oportunidad que tiene el dinero de crecer

bull Tasa de rendimiento que el duentildeo del dinero habriacutea ganado si lo hubiera invertido en lugar de prestarlo (o sea costo de oportunidad del capital)

bull Cuota que se paga por el uso del dinero

bull Compensacioacuten financiera por aplazar en el tiempo el uso del dinero o sea que la tasa de intereacutes es un premio por dejar de consumir

bull Desembolso de lo que hubiera podido ganarse si se recibiacutea el dinero anteriormente y se utilizaba para otros fines

bull El intereacutes es un medidor que asocia dinero tiempo y riesgo

73 EL CONCEPTO DE EQUIVALENCIA

Basados en el concepto de tasa de intereacutes estamos en capacidad de desarrollar un conjunto de relaciones matemaacuteticas entre sumas de dinero que se reciben en diferentes momentos del tiempo para establecer equivalencias entre ellas

Se dice entonces que para todo K existe una suma mayor K + iK =K( 1 + i )

102

tal que K( 1 + i ) mantildeana es equivalente financieramente a K hoy o sea numeacutericamente seriacutea $1000 == $1500 0 tasa de intereacutes del periacuteodo =050

Se quiere significar que el concepto de equivalencia es un concepto relativo a la tasa de intereacutes por tanto lo que es equivalente para un inversionista no lo es para otro

Habraacute que tomar en cuenta que equivalencia quiere decir lo mismo que indiferencia En este sentido si $1000 == (indiferente) a $1500 es porque $1000 tienen hoy oportunidades de inversioacuten que permiten convertir los $1000 de ahora en $1500 de mantildeana Lo que se quiere reiterar es que la piacuteeferencia pOi iacuteecibir sumas de dinero antes y no despueacutes se manifiesta a traveacutes de la tasa de intereacutes en virtud de que eacutesta cuantifica la oportunidad que tiene el dinero de crecer

Este concepto a su vez permite construir relaciones matemaacuteticas que expresan las diferentes equivalencias entre sumas de dinero que se reciben en diferentes momentos del tiempo las cuales nos permiten realizar los siguientes anaacutelisis

bull Determinar el costo de financiacioacuten o la rentabilidad de la inversioacuten

bull Elaborar planes de financiamiento cuando se vende o compra a creacutedito

bull Seleccionar formas de amortizacioacuten seguacuten las condiciones de liquidez y rentabilidad del empresario

bull Calcular el costo del capital

bull Escoger altemativas de inversioacuten a corto y largo plazo

bull Seleccionar entre diferentes alternativas de costos

731 EQUIVALENCIAS FINANCIERAS

1) Entre una suma presente y una suma futura con tasa de Amortizacioacuten simple

1 = FP -1I F =P(1+ni) I n

I P - FooI nI - ~ 11I T J

103

2) Equivalencia entre una suma presente y una futura con tasa de Amortizacioacuten compuesta

F=P(1+lt =gt 1=(FP)11n_1 p = r= f( 1 -I-i)n ii nnrque la i nanl capmiddotta1izIfiomiddotn en el esc~narlmiddoto d~I 1 bull I I - 1 t 1I _1 11 _11 _

una tasa compuesta

3) Amortizacioacuten compuesta de una serie uniforme (valor futuro de una serie)

150 A+ A(1+1) + A(1+1)2 +A(1+1)3 + A(1+lt-

C) F(1 +1) = A(1 +1) ~~~ ~~~-1 (1 +1)

1 - 2 = F[(1 +1)-1] = A[(1 +It -1] F = A[(1+lt -1]

4) Amortizacioacuten de una suma futura A= FI

(1+j)n_1 I

6) Recuperacioacuten del capital en una serie uniforme A = FI A= P(1 +It 1

(1+I)n -1 (1+W-1

7) Valor presente de una serie uniforme P =A[( 1 +1t -11

(1 +I)ni

732 EQUIVALENCIAS FINANCIERAS ENTRE TASAS DE INTERES

Periodos de capita1izacioacuten de intereacutes tiempo sobre el cual se liquidan los intereses para permitir posteriormente su retiro o

acumulacioacuten

Tasa nominal no tiene en cuenta el nuacutemero de veces que liquidan los intereses dentro del periodo

Tasa efectiva Tiene en cuenta el nuacutemero de veces que los intereses liquidados empiezan a ganar intereses y se incrementa asiacute el retorno efectivo de la inversioacuten

104

Cuando el periodo de capitalizacioacuten es maacutes corto que el que cubre la tasa nominal =gt la tasa efectiva es gt que la tasa nominal

m= de veces en el antildeo que se capitalizan los intereses m= 12 capitalizacioacuten mensual m= 4 capitalizacioacuten trimestral

IYm= ilm tasa perioacutedica

Deduccioacuten P(1 +i) f P(1 +ilm)m (1 +i) = (1 +im)m

ilr = (1+im)m -1= ie

Equivalencia de intereacutes efectivo en teacuterminos de intereacutes nominal

lI iacutee= (1 +Ymt -1 ie= (1+imt-1

PASAR de una tasa efectiva a tasa perioacutedica (1+Ym)m -1= ie (1 +Ym)m = le+1 (1+Ym) =(ie+1)1m =gt Ym= (ie+1)1m_1

Equivalencia de intereacutes perioacutedico en teacutenninos de intereacutes efectivo

IYm =(ie+1 1m -1

La tasa de intereacutes efectiva expresa la rentabilidad como una tasa de intereacutes compuesta teniendo en cuenta la acumulacioacuten de intereses dentro del periodo de inversioacuten la cual puede modificar el rendimiento efectivo de la inversioacuten Tambieacuten toma en cuenta la forma de pago de los intereses reconociendo que el pago de intereses en forma anticipada permite al que los reciacutebe reinvertirlos maacutes temprano que en el caso que se pagan en forma vencida

La tasa efectiva refleja la rentabilidad verdadera de la inversioacuten como tal deberaacute ser la tasa que se utiliza en el manejo de la s equivalencias financieras con la condicioacuten que la tasa efectiva este expresada en los periodos en que se expresa n (tiempo en el flujo de fondos)

EL INTEREacuteS ANTICIPADO ia Se recibe K -iaK = (1-ia) K =P

paga K= F

105

Ii = KlK( 1-ia -1 i = 1 --1

-1-ia

Intereacutes vencido en teacuterminos de intereacutes anticipado

Equivalencia entre tasa de intereacutes nominal anticipada y tasa vencida

iacutev== [KlK(1-iacutea)]-1 iv== [1( 1-ia)J-1

~ _ 1 1 1 - shy

a iv + 1

Equivalencia entre una tasa de intereacutes nominal anticipada y una tasa de intereacutes efectiva

iexclnoma == tasa de intereacutes nominal antfcipada

Relacioacuten entre Ym y Yma i =(Fp)1n -1 P == (1-Yma)K F=K I I

fm = KI K(1- fma) -1 ~l__f_m__==___1____-_1________1~1~~ (1-Yma) )

Yma == 1 -1(Ym+1)

ie == (1+Ym)m-1 1+ie == (1+Ym)m

De 1 se deduce que (1 + Ym) == 1 (1-Yma)

1+ie =[1(1-Yma)]m

ie = [1(1-Yma)]m -1 ~ Intereacutes efectivo en teacutermino de intereacutes anticipado perioacutedico

106

Vm ( Ie middot 1 1m-j1 1 Id - I - I 1I T ) =gtIiitereacutes perioacutedico anticipado en teacuterminos de intereacutes efectivo

CONCLUSiOacuteN Entre mayor nuacutemero de periodos de liquidacioacuten de los intereses tenga una tasa de intereacutes anticipada menor seraacute su impacto sobre la tasa de intereacutes efectiva

102

tal que K( 1 + i ) mantildeana es equivalente financieramente a K hoy o sea numeacutericamente seriacutea $1000 == $1500 0 tasa de intereacutes del periacuteodo =050

Se quiere significar que el concepto de equivalencia es un concepto relativo a la tasa de intereacutes por tanto lo que es equivalente para un inversionista no lo es para otro

Habraacute que tomar en cuenta que equivalencia quiere decir lo mismo que indiferencia En este sentido si $1000 == (indiferente) a $1500 es porque $1000 tienen hoy oportunidades de inversioacuten que permiten convertir los $1000 de ahora en $1500 de mantildeana Lo que se quiere reiterar es que la piacuteeferencia pOi iacuteecibir sumas de dinero antes y no despueacutes se manifiesta a traveacutes de la tasa de intereacutes en virtud de que eacutesta cuantifica la oportunidad que tiene el dinero de crecer

Este concepto a su vez permite construir relaciones matemaacuteticas que expresan las diferentes equivalencias entre sumas de dinero que se reciben en diferentes momentos del tiempo las cuales nos permiten realizar los siguientes anaacutelisis

bull Determinar el costo de financiacioacuten o la rentabilidad de la inversioacuten

bull Elaborar planes de financiamiento cuando se vende o compra a creacutedito

bull Seleccionar formas de amortizacioacuten seguacuten las condiciones de liquidez y rentabilidad del empresario

bull Calcular el costo del capital

bull Escoger altemativas de inversioacuten a corto y largo plazo

bull Seleccionar entre diferentes alternativas de costos

731 EQUIVALENCIAS FINANCIERAS

1) Entre una suma presente y una suma futura con tasa de Amortizacioacuten simple

1 = FP -1I F =P(1+ni) I n

I P - FooI nI - ~ 11I T J

103

2) Equivalencia entre una suma presente y una futura con tasa de Amortizacioacuten compuesta

F=P(1+lt =gt 1=(FP)11n_1 p = r= f( 1 -I-i)n ii nnrque la i nanl capmiddotta1izIfiomiddotn en el esc~narlmiddoto d~I 1 bull I I - 1 t 1I _1 11 _11 _

una tasa compuesta

3) Amortizacioacuten compuesta de una serie uniforme (valor futuro de una serie)

150 A+ A(1+1) + A(1+1)2 +A(1+1)3 + A(1+lt-

C) F(1 +1) = A(1 +1) ~~~ ~~~-1 (1 +1)

1 - 2 = F[(1 +1)-1] = A[(1 +It -1] F = A[(1+lt -1]

4) Amortizacioacuten de una suma futura A= FI

(1+j)n_1 I

6) Recuperacioacuten del capital en una serie uniforme A = FI A= P(1 +It 1

(1+I)n -1 (1+W-1

7) Valor presente de una serie uniforme P =A[( 1 +1t -11

(1 +I)ni

732 EQUIVALENCIAS FINANCIERAS ENTRE TASAS DE INTERES

Periodos de capita1izacioacuten de intereacutes tiempo sobre el cual se liquidan los intereses para permitir posteriormente su retiro o

acumulacioacuten

Tasa nominal no tiene en cuenta el nuacutemero de veces que liquidan los intereses dentro del periodo

Tasa efectiva Tiene en cuenta el nuacutemero de veces que los intereses liquidados empiezan a ganar intereses y se incrementa asiacute el retorno efectivo de la inversioacuten

104

Cuando el periodo de capitalizacioacuten es maacutes corto que el que cubre la tasa nominal =gt la tasa efectiva es gt que la tasa nominal

m= de veces en el antildeo que se capitalizan los intereses m= 12 capitalizacioacuten mensual m= 4 capitalizacioacuten trimestral

IYm= ilm tasa perioacutedica

Deduccioacuten P(1 +i) f P(1 +ilm)m (1 +i) = (1 +im)m

ilr = (1+im)m -1= ie

Equivalencia de intereacutes efectivo en teacuterminos de intereacutes nominal

lI iacutee= (1 +Ymt -1 ie= (1+imt-1

PASAR de una tasa efectiva a tasa perioacutedica (1+Ym)m -1= ie (1 +Ym)m = le+1 (1+Ym) =(ie+1)1m =gt Ym= (ie+1)1m_1

Equivalencia de intereacutes perioacutedico en teacutenninos de intereacutes efectivo

IYm =(ie+1 1m -1

La tasa de intereacutes efectiva expresa la rentabilidad como una tasa de intereacutes compuesta teniendo en cuenta la acumulacioacuten de intereses dentro del periodo de inversioacuten la cual puede modificar el rendimiento efectivo de la inversioacuten Tambieacuten toma en cuenta la forma de pago de los intereses reconociendo que el pago de intereses en forma anticipada permite al que los reciacutebe reinvertirlos maacutes temprano que en el caso que se pagan en forma vencida

La tasa efectiva refleja la rentabilidad verdadera de la inversioacuten como tal deberaacute ser la tasa que se utiliza en el manejo de la s equivalencias financieras con la condicioacuten que la tasa efectiva este expresada en los periodos en que se expresa n (tiempo en el flujo de fondos)

EL INTEREacuteS ANTICIPADO ia Se recibe K -iaK = (1-ia) K =P

paga K= F

105

Ii = KlK( 1-ia -1 i = 1 --1

-1-ia

Intereacutes vencido en teacuterminos de intereacutes anticipado

Equivalencia entre tasa de intereacutes nominal anticipada y tasa vencida

iacutev== [KlK(1-iacutea)]-1 iv== [1( 1-ia)J-1

~ _ 1 1 1 - shy

a iv + 1

Equivalencia entre una tasa de intereacutes nominal anticipada y una tasa de intereacutes efectiva

iexclnoma == tasa de intereacutes nominal antfcipada

Relacioacuten entre Ym y Yma i =(Fp)1n -1 P == (1-Yma)K F=K I I

fm = KI K(1- fma) -1 ~l__f_m__==___1____-_1________1~1~~ (1-Yma) )

Yma == 1 -1(Ym+1)

ie == (1+Ym)m-1 1+ie == (1+Ym)m

De 1 se deduce que (1 + Ym) == 1 (1-Yma)

1+ie =[1(1-Yma)]m

ie = [1(1-Yma)]m -1 ~ Intereacutes efectivo en teacutermino de intereacutes anticipado perioacutedico

106

Vm ( Ie middot 1 1m-j1 1 Id - I - I 1I T ) =gtIiitereacutes perioacutedico anticipado en teacuterminos de intereacutes efectivo

CONCLUSiOacuteN Entre mayor nuacutemero de periodos de liquidacioacuten de los intereses tenga una tasa de intereacutes anticipada menor seraacute su impacto sobre la tasa de intereacutes efectiva

103

2) Equivalencia entre una suma presente y una futura con tasa de Amortizacioacuten compuesta

F=P(1+lt =gt 1=(FP)11n_1 p = r= f( 1 -I-i)n ii nnrque la i nanl capmiddotta1izIfiomiddotn en el esc~narlmiddoto d~I 1 bull I I - 1 t 1I _1 11 _11 _

una tasa compuesta

3) Amortizacioacuten compuesta de una serie uniforme (valor futuro de una serie)

150 A+ A(1+1) + A(1+1)2 +A(1+1)3 + A(1+lt-

C) F(1 +1) = A(1 +1) ~~~ ~~~-1 (1 +1)

1 - 2 = F[(1 +1)-1] = A[(1 +It -1] F = A[(1+lt -1]

4) Amortizacioacuten de una suma futura A= FI

(1+j)n_1 I

6) Recuperacioacuten del capital en una serie uniforme A = FI A= P(1 +It 1

(1+I)n -1 (1+W-1

7) Valor presente de una serie uniforme P =A[( 1 +1t -11

(1 +I)ni

732 EQUIVALENCIAS FINANCIERAS ENTRE TASAS DE INTERES

Periodos de capita1izacioacuten de intereacutes tiempo sobre el cual se liquidan los intereses para permitir posteriormente su retiro o

acumulacioacuten

Tasa nominal no tiene en cuenta el nuacutemero de veces que liquidan los intereses dentro del periodo

Tasa efectiva Tiene en cuenta el nuacutemero de veces que los intereses liquidados empiezan a ganar intereses y se incrementa asiacute el retorno efectivo de la inversioacuten

104

Cuando el periodo de capitalizacioacuten es maacutes corto que el que cubre la tasa nominal =gt la tasa efectiva es gt que la tasa nominal

m= de veces en el antildeo que se capitalizan los intereses m= 12 capitalizacioacuten mensual m= 4 capitalizacioacuten trimestral

IYm= ilm tasa perioacutedica

Deduccioacuten P(1 +i) f P(1 +ilm)m (1 +i) = (1 +im)m

ilr = (1+im)m -1= ie

Equivalencia de intereacutes efectivo en teacuterminos de intereacutes nominal

lI iacutee= (1 +Ymt -1 ie= (1+imt-1

PASAR de una tasa efectiva a tasa perioacutedica (1+Ym)m -1= ie (1 +Ym)m = le+1 (1+Ym) =(ie+1)1m =gt Ym= (ie+1)1m_1

Equivalencia de intereacutes perioacutedico en teacutenninos de intereacutes efectivo

IYm =(ie+1 1m -1

La tasa de intereacutes efectiva expresa la rentabilidad como una tasa de intereacutes compuesta teniendo en cuenta la acumulacioacuten de intereses dentro del periodo de inversioacuten la cual puede modificar el rendimiento efectivo de la inversioacuten Tambieacuten toma en cuenta la forma de pago de los intereses reconociendo que el pago de intereses en forma anticipada permite al que los reciacutebe reinvertirlos maacutes temprano que en el caso que se pagan en forma vencida

La tasa efectiva refleja la rentabilidad verdadera de la inversioacuten como tal deberaacute ser la tasa que se utiliza en el manejo de la s equivalencias financieras con la condicioacuten que la tasa efectiva este expresada en los periodos en que se expresa n (tiempo en el flujo de fondos)

EL INTEREacuteS ANTICIPADO ia Se recibe K -iaK = (1-ia) K =P

paga K= F

105

Ii = KlK( 1-ia -1 i = 1 --1

-1-ia

Intereacutes vencido en teacuterminos de intereacutes anticipado

Equivalencia entre tasa de intereacutes nominal anticipada y tasa vencida

iacutev== [KlK(1-iacutea)]-1 iv== [1( 1-ia)J-1

~ _ 1 1 1 - shy

a iv + 1

Equivalencia entre una tasa de intereacutes nominal anticipada y una tasa de intereacutes efectiva

iexclnoma == tasa de intereacutes nominal antfcipada

Relacioacuten entre Ym y Yma i =(Fp)1n -1 P == (1-Yma)K F=K I I

fm = KI K(1- fma) -1 ~l__f_m__==___1____-_1________1~1~~ (1-Yma) )

Yma == 1 -1(Ym+1)

ie == (1+Ym)m-1 1+ie == (1+Ym)m

De 1 se deduce que (1 + Ym) == 1 (1-Yma)

1+ie =[1(1-Yma)]m

ie = [1(1-Yma)]m -1 ~ Intereacutes efectivo en teacutermino de intereacutes anticipado perioacutedico

106

Vm ( Ie middot 1 1m-j1 1 Id - I - I 1I T ) =gtIiitereacutes perioacutedico anticipado en teacuterminos de intereacutes efectivo

CONCLUSiOacuteN Entre mayor nuacutemero de periodos de liquidacioacuten de los intereses tenga una tasa de intereacutes anticipada menor seraacute su impacto sobre la tasa de intereacutes efectiva

104

Cuando el periodo de capitalizacioacuten es maacutes corto que el que cubre la tasa nominal =gt la tasa efectiva es gt que la tasa nominal

m= de veces en el antildeo que se capitalizan los intereses m= 12 capitalizacioacuten mensual m= 4 capitalizacioacuten trimestral

IYm= ilm tasa perioacutedica

Deduccioacuten P(1 +i) f P(1 +ilm)m (1 +i) = (1 +im)m

ilr = (1+im)m -1= ie

Equivalencia de intereacutes efectivo en teacuterminos de intereacutes nominal

lI iacutee= (1 +Ymt -1 ie= (1+imt-1

PASAR de una tasa efectiva a tasa perioacutedica (1+Ym)m -1= ie (1 +Ym)m = le+1 (1+Ym) =(ie+1)1m =gt Ym= (ie+1)1m_1

Equivalencia de intereacutes perioacutedico en teacutenninos de intereacutes efectivo

IYm =(ie+1 1m -1

La tasa de intereacutes efectiva expresa la rentabilidad como una tasa de intereacutes compuesta teniendo en cuenta la acumulacioacuten de intereses dentro del periodo de inversioacuten la cual puede modificar el rendimiento efectivo de la inversioacuten Tambieacuten toma en cuenta la forma de pago de los intereses reconociendo que el pago de intereses en forma anticipada permite al que los reciacutebe reinvertirlos maacutes temprano que en el caso que se pagan en forma vencida

La tasa efectiva refleja la rentabilidad verdadera de la inversioacuten como tal deberaacute ser la tasa que se utiliza en el manejo de la s equivalencias financieras con la condicioacuten que la tasa efectiva este expresada en los periodos en que se expresa n (tiempo en el flujo de fondos)

EL INTEREacuteS ANTICIPADO ia Se recibe K -iaK = (1-ia) K =P

paga K= F

105

Ii = KlK( 1-ia -1 i = 1 --1

-1-ia

Intereacutes vencido en teacuterminos de intereacutes anticipado

Equivalencia entre tasa de intereacutes nominal anticipada y tasa vencida

iacutev== [KlK(1-iacutea)]-1 iv== [1( 1-ia)J-1

~ _ 1 1 1 - shy

a iv + 1

Equivalencia entre una tasa de intereacutes nominal anticipada y una tasa de intereacutes efectiva

iexclnoma == tasa de intereacutes nominal antfcipada

Relacioacuten entre Ym y Yma i =(Fp)1n -1 P == (1-Yma)K F=K I I

fm = KI K(1- fma) -1 ~l__f_m__==___1____-_1________1~1~~ (1-Yma) )

Yma == 1 -1(Ym+1)

ie == (1+Ym)m-1 1+ie == (1+Ym)m

De 1 se deduce que (1 + Ym) == 1 (1-Yma)

1+ie =[1(1-Yma)]m

ie = [1(1-Yma)]m -1 ~ Intereacutes efectivo en teacutermino de intereacutes anticipado perioacutedico

106

Vm ( Ie middot 1 1m-j1 1 Id - I - I 1I T ) =gtIiitereacutes perioacutedico anticipado en teacuterminos de intereacutes efectivo

CONCLUSiOacuteN Entre mayor nuacutemero de periodos de liquidacioacuten de los intereses tenga una tasa de intereacutes anticipada menor seraacute su impacto sobre la tasa de intereacutes efectiva

105

Ii = KlK( 1-ia -1 i = 1 --1

-1-ia

Intereacutes vencido en teacuterminos de intereacutes anticipado

Equivalencia entre tasa de intereacutes nominal anticipada y tasa vencida

iacutev== [KlK(1-iacutea)]-1 iv== [1( 1-ia)J-1

~ _ 1 1 1 - shy

a iv + 1

Equivalencia entre una tasa de intereacutes nominal anticipada y una tasa de intereacutes efectiva

iexclnoma == tasa de intereacutes nominal antfcipada

Relacioacuten entre Ym y Yma i =(Fp)1n -1 P == (1-Yma)K F=K I I

fm = KI K(1- fma) -1 ~l__f_m__==___1____-_1________1~1~~ (1-Yma) )

Yma == 1 -1(Ym+1)

ie == (1+Ym)m-1 1+ie == (1+Ym)m

De 1 se deduce que (1 + Ym) == 1 (1-Yma)

1+ie =[1(1-Yma)]m

ie = [1(1-Yma)]m -1 ~ Intereacutes efectivo en teacutermino de intereacutes anticipado perioacutedico

106

Vm ( Ie middot 1 1m-j1 1 Id - I - I 1I T ) =gtIiitereacutes perioacutedico anticipado en teacuterminos de intereacutes efectivo

CONCLUSiOacuteN Entre mayor nuacutemero de periodos de liquidacioacuten de los intereses tenga una tasa de intereacutes anticipada menor seraacute su impacto sobre la tasa de intereacutes efectiva

106

Vm ( Ie middot 1 1m-j1 1 Id - I - I 1I T ) =gtIiitereacutes perioacutedico anticipado en teacuterminos de intereacutes efectivo

CONCLUSiOacuteN Entre mayor nuacutemero de periodos de liquidacioacuten de los intereses tenga una tasa de intereacutes anticipada menor seraacute su impacto sobre la tasa de intereacutes efectiva