kE!iiUNlVERSlDAD AUTONOMA METROPOLITANA148.206.53.84/tesiuami/reportesok/uamr0202.pdf · CAPITULO...

kE!iiUNlVERSlDAD AUTONOMA METROPOLITANA Caraabieria all- UNIDAD IZTAPALAPA División de Ciencias Básicas e Ingeiiiería

*o"

0403~10007.90 -/

NOTAS DE CURSO

NOTAS PARA MATEMATICAS I C.B.I.

VOL. I, I1 If I11

FERNANDO GALAZ FONTES

MATEMATICAS

ANALISIS APLICADO

O4031110 001.90

i

En mi opinión, los cursos de Matemáticas en el tronco canún de Ciencias Básicas

e Ingeniería, dado e l tipo de estudiantes para los que están dirigidos y el ti-

po destinado para hace,~o, deben cumplir necesariamente los siguientes dos puntos

para realizar sus proflsitos:

a) Presentar el mterial de m e r a mencs rígida O craüicionai que mi 10s cü~sos

usuales para estudiantes de Ciencias.

b) Destacar los conceptos y métodos más importantes del Cálculo.

En dirección a cirmplir las condiciones anteriores, en este trabajo traté de ha-

cer un breve, mds bien míninio, bosquejo histdrico del surgimiento y evolución de

las ideas y mcStcdos centrales del Calculo. En todo nnwnto, ha sido la intenciór,

e l señalar las al;licaciones y la resolución de problemas copllo medida de ia r e l e

vancia de los conceptos y t6cnica.s int'roducidas. En lo que fue posible,se mcis

nari egemplos específicos de Física.

-

Es bastante conocida la preparación deficiente con que la mayoría de los alum-

nos ingresan a la UAY-I. Teniendo esto en cuenta, algunos ejanplodsecciones lie

v m cl prop6sito de servir cam repaso o corregir algunos errores frecuentes.

Si;: embargo, pienso que este importante problema requiere un esfuerzo mucho ma-

-

yor.

E l Capítulo 11, referente a Gecxrietr'ía Analítica, lo introduje con la iÜea de

texto o de consulto que este trabajo fuera auto-contenido y pudiera servir

para los alumnos de ?latanáticas I. Excepto por este capítulo, e l resto del ;nace-

r i a l forma parte del contenido del curso, aunque quizás no en la extensi611 que

aquí se señala.

Respecto a l último capltulo, pienso cpe e l estudio de las funciones exponen-

c ia i y logarftmica corresponde al curco de EktemSticas 11, donde se introduce

e; concepto de integral.

ii

Naturalmente, illllchas persona han influido en este trabajo. Respect0 a su prow

sito, quiero pensar, sobre todo, en los alunaos. Referente a l material, quien sea

un pooo obéienrador, podrá ver en los ejerrploc, lac discusiones o las pruebas la

presencia de los textos de Cálculo de @Stoi# Mise, -8 y los excelentes li-

bros de inter& gen~rai, que son: "oué es la Natematica" y temática& su Con-

tenido, M6tcdo.s y Significado" [ver bibliografía.).

Adanás de la influencia anterior, tengo que agradecer a Alejandra Ruiz sus va-

liosos ccínentarios sabre algunos ejemplos y ejercicios; de E d i t h García Berna1

debo señalar que sus sugerencias y correcciones fueron amstantes. Sus observa-

ciones han hecho que este trabajo esté mms distante de c\ñ[p?lir sus objetivos.

Finalnwite, agradezoo a Martha Patricia Sánchez y a Edith la ayuda en ese tra-

bajo, mnt5-m y árido, pero necesario, que es el pasar a máquina.

iii

I N D I C E

Prólogo

~ntroduccián

i

1

CAPI’T?~.Q I: NüMEXXS REALES

Introducción

1. Propiedades Algebráicas: Axicnnas de Camp

3. rl Orden de los Reales y su Representac;Ór, &a&trica

3 . Conjuitos. Intervalos. Operaciones con Conjuntos

4. Propiedades del Orden. Desigualdades. Conjuntos Acotados

5. Raíces Cuadradas

6. Valor Absoluto y Distancia

7. Principio de Induccián Matdtica. Smatorias

8. Binomio de Newton

9. Complete2 de los Ntkeros Reales: A x i m del Suprem

10.Consecuencias del Axioma del Suprenio

il . iicpresentación Decimal

CAPITULO 11: ELEEflNTcXc DE G m ANALITICA

Introducción

17. aistemas de Coordenadas

13. Líneas Rectas y sus Ecuaciones

i4. Ecuaciones de Lugares GeonrStricos

15. Circunferencias y sus Ecuaciones

i6. Pardbolas y sus Ecuaciones

Ixtrcducc ión

17. Fuiiciones : sc Gráfica y su Rango

2

4

15

19

28

35

37

43

52

56

61

64

52

I- - Y?

iv

18. Polinanios: Funciones Lineales y CuadrSticas

19. Algunas Observaciones y 6 s E p m p i o s sobre Gráficas

20. Operaciones con Funciones. Dominio Mbtinio

21. F’unciones Racionales

22. ~ s i c i ó n de Fdciones

23. Funciones Trigonmétricas

24. Un poco ~-6s cobre Gráficas

25. Función Inversa

W I m Iv: LIMITES Y COWTINUIDAD

Intrcducc ión

26. Sucesiones. Llmite de Una Sucesión

27. Operaciones con Sucesiones. Algebra de Límites

28. Concepto de Límite y de Continuidad de una Función

29. Algebra de Llmites. Ejemplos

30. Continuidad

31. Algebra de Funciones Continuas. Continuidad de Polincmhs y de

Funciones Racionales

32. Continuidad de la COmposici6n

23. Propiedades Bdsicas de las F’unciones Continuas - 7

;?. liaíces Ez~ésimas

CAPITULO V: DERIVACION Y SUS APLICACIONES

introducción

35. Derivada de una Función. Algebra de Derivadas

36. Derivadas de Polinanios y de Funciones Racionales

37. Interpretaci6n Geornétrica de la Derivada

38. Derivada de 1, E’unción Inversa. Derivada de FiakeS rn&3imas

39. Diferencial y Aproximación Lineal de una Función

iü2

108

111

115

12 3

142

17 7

1b5

LEE

145

.-, r ~

.-d&

2GC

267

40. Regla de l a Cadena

41. Velocidad y Aceleraci6n: La üerivads c m Raz6n de Cambio

42. Puntos Críticos, P4SxirriO.s y Minims

43. Teorema del Valor Medio. Dibujo de Gráficas

44. Derivación Implícit.,

ZAPITULO V I : E ~ X C I O ~ T S fRAsm-2E\:-s

introducción

45. Funciones Trigonométricas Inversas

46. Función Larítmica

47. Funcidn Exponencia1

Soluciones de Algunos Ejercicios

,. . r L*LJ

2 í 4

221

231

240

251

Bibliografía 2 6 3

INTRODUCCION _. _______

En el notable progreso que ha t e r , i u o lugar en l a ciencia y tecnologia modernas, el desarrollo de las matemáticas ha constituido uno de los principales factores. Esto se puede ver, esplendidamente, en el surgimiento y desarrollo de l a ramti de l a s matemáticas conocida como --- Cálculo . Este aparece como una herramienta natural y poderosa para - aborda r una variedad de problemas en diversas discipl inas c i en t í f i ca s , a l rea l izar : 1 ) La formulación precisa de conceptos f í s i cos fundamentales como --

veiocidac, dceleración, fuerza, trabajo. 2 ) E l desarro:lo de métodos que perrciten optimizar, o minimizar, c i2 r -

t a s situaciones e investigar la nanera er, que és tas cambian.

ü n a de las carac te r í s t icas sorprender,te; ar7 Cálculo es que sus concer tos y técnicas están relacionadas con l a solución a los dos sicjuientes problemas, cuya relevancia parece s e r t a n solo geométrica.

1 ) Encontrar l a tangente de u n a curva

2 Determinar e área b a j o una curva

i

Al estudiar los problemas anter iores , el Cálculo se divide en Cálculo Diferencial y Cálculo Integral , respectivamente.

En es tas notas nos ccupará l a atención el primer problema. Empezaremos por establecer aquellas propiedades de los números, y de sus operac:ones, que son básicas para l a compresión y desarrollo de los conceptos, méioaos y técnicas que intervienen en S ~ J solución.

INTKODUCC . ... - - 1 OV x> *-

Cs dc nri$.ro; conoc-¡(io í i 1 r(..,i:o dct que los números se h a n originado' 1 3 nececidad d e resolver c i e r t o s problemas práct icos . Por ejemplo, remontánao- nos alqún tiempo hacia a t rás , podemos "ver" cómo de! proceso d e contar van surgiendo los números na tura les , y cómo de l a rnedicion de var ias magnitudes ( lonqi tudes, á r e a s ) , aparecen los números fraccionarios o racionales .

Estudiando algunos problemas geométricos, los antiguos griegos descu-- brieron, s i n enbz,,20, que no bastaban los números racionales pa ra medir - - - cualquier 1ofi:;icuG. Es decir , se dieron cum:? de *¡it i-xistencsa at. s t p x . ; : : inconrnensurahlcs, es to es dos secmefitus ta'e .'."e si di-IC es e-:c<10c C ¿ : x - -

. ' a longitud cel u t ~ s e - x n r.3 SE S L I - C ~ en?res i r p s ~ T,-. - , - gÚn niherc raciona; . E S ~ descubrimiezto c;..<sS GI; grar impac;o cn t re -iss T U -

ter.,icicos de aque1:d igoca, a1 q r s d u c1.2 :.-i:*:s? d ~ i a 7eyenca cici'!cier,do r.d? ? - - - revelzdor de e s t e conocimiento nab:'& s ; ú a ciistjaacio p o r ios ciioses por ; e s ~ ~ - S r i u n a i rnperfecci ón del u n i vers9.

Tal iciper'eccjón c o n s i s t í a , simplemente, en el hecho - ahora bas'Lmte aceotahie - d a qlie no podernos medir emvleando únicamente níimeros racionales. Si se queríc iredir cualquier longi tud, h a b í a entonces que arrpl i a i - los número3 e x i s t e n t e s . Aparecen 3sí los números _ . ~ i r r a c i o n a i e s , oue con ?os números racionales constituyen el conjunto de números real es .

es l a que también obliqa l a introducci6n gradual del O y de los números nega- t i v o s . Por ejemplo, éstosnos permitenresolver cualquier ecuacicin de la f o r m ax+b = 3, l o cua l , a su vez, t i ene gran importancia "?ráctica ' i , pues sabemos qiie u n a ecuación es l a forma en que planteamos, maternaticamente, muchos t ipos de problemas. En el presente capítirlo nuestro objet ivo será el es tudiar a lYnaS de 73s Pro Qiedades y relaciones mis importantes de los números rea les , Para pr inc ip ia r nucstro es tudio , pareceria muy natural preguntarse L c , ~ , é es ,r nijmero r e a l ? Esta pregunta, de g r a n importancia fi losófica. . , no"'ziene, s i n - - embargo, igual trascendencia p a r a nuestros objet ivos Lo que cos i n t e r s s a i-,v es t a n t o lo que u n número "sea" t ienen, a s í como l a forma en que podemos a p l i c a r l o s p a r a l a sol¿iciÓn ce c j e r - tos problemas. r!iu,y s e r i o : t u d i a r ? ¿Qué t a l s i no todos coincidimos en .i¿iestra i a e a (personal) acerca ¿e el los? Así,podría suceder que, al hablar de nÚmer.os r e a l e s , personas d i s t i n - t a s se r e f i r i e r a n a objetos d i f e r e n t e s .

La necesidad de tener u n sistema numérico que cumpla c i e r t a s orOoied2¿2S.

s ino las propiedsdes y relaciones que t . ;?os

De 1 u a n t e r i o r , no obstante , parzceria der ivarse Lin ?roi?-lelna s i no sabemos qué es u n núinero !.:>al, iconic; :os vamos 2 goásr 2s-

¿cómo resol veremos e s t a s interrogaciones? La forma es 'la siql ; iente: ( e s d e c i r , el concevto de número real se.rá ilna noción 2rirnitiva ?arb r40sotros) Dodemos ponernos de acuerdo en dos puntos fundamentales, que sor,: 3 ) Los números rea les ?oseen una c i e r t a s e r i e de propiedades "Gav-ias" , l a s q ! ~ e

3 ' C'..alquier propi-edad de los números rea:es clue no s?2 :ln d X i z % . r i e k r 6 :?-- --csx:-a:-se a D a r t i , - l i e é s t o s , üt i l izando ? o s métodos de scüeba ccrrcc-~::cs. l e es ta manera, p a r a a f i rmar que los niimeros rea ies t'enen c i e r t a ?ro;:i?..silc. no es necesario saber Qué es lo que son ;.?q n6nero. j , - c a l e s , s i n o .tan <io;3 ,;ro- b a r que l a afpmacion es deducible d ncirtir de los axiomas que w m o s LoindG~, como verdaderos.

Aún cuando %o definamos 1~ que es u n nhei-o rea:

1 S,ai-emos axionas.

3

A este modo de desarrollar un conjunto de conocinientoc se le l l a m a método -____- axiomático, ,y ha tenido enorme importancia en el proareso de la ciencia. Gradualmente, iremos introduciendo y cxminando las propiedades que tomaremos como ciertas para l o s números reales.

---

1. A x i o m a s de Campo

Representaremos con Tii el conjunto de los numeros reales.

En lo que sigue a,b,c denotarán números reales.

c0) Existen dos oceraciones en E, llamadas surnato adici6n)y

multiplic-.ción. de manera que con cada pareja de números

reales a,b poderos formar lasuma de a,b : a+b ; y el

,iioZ qcto de a,b: ab. Estas oi3eraciones tienen las siguien -

tes propiedades:

ci) Asociatividad:

a+(b+c)=(a+b)+c , a(bc)=(ab)c

c2) Conmutatividad 0

a+b=b+a ab=ba 3

c3) Existen dos nfimeros distintos, denotados por O y 1, que

cumplen:

a+O=O+a=a , l-a=a*l=a

A éstos se les llama elementos identidad (o neutro) bajo la

cuma y multiplicación, respectivamente.

c4) Para cada real a, existe un niimero real -a tal que

a+(-a)=(-a)+a=O. A este n6mero le llamaremos inverso aditi -

vo de a .

c5 ) Para cada real a#O, existe un ndmero real a-’ tal que

a.a-’=a”.a=l . A este número se Le llama inverso muitLpii -

cativo (o reclproco) de a .

c6) Distributividad:

a (b+c) =ab+ac

En general, a cualquier sistema numérico (considerando sus

operaciones) que satisface los axiomas anteriores se le l l a

ma un campo. Es interesante, e ilustrativo, investigar si

alguno de los conjuntos de números naturales, enteros o ra-

cionales constjtuyen ejemplos de campos.

Es importante notar que, a partir de los axiomas de campo,

podemos probar las reglas que conocenos del algebra elemental.

A continuación enunciaremos aiguL:as de ellas CQm repaw. Para es-,

-

sean.a,b,c,d, nhros reales.

Teorema 1.1 Ley de Cancelación para la suma:

Si a+b=a+c, entjonces b=c.

Teorema 1.2 Posibilidad de la sustracción:

Dados a y b, existe un único x tal que a+x=b. Dicho x es

b+(-a) .

Corolario 1.3

El elemento neutro aditivo y el inverso aditivo de un número son

únicos.

Teorema 1.4 Ley de cancelación para la multiplicaci6nr

Si ab=ac y a:#O, entonces b=c.

Teorema 1.5 Posibilidad de divisi6n entre un número distinto

de cero:

Dados a,b y a#O, existe un único x tal que ax=b.

Dicho x es baa”.

O

Corolario 1.6 _ _

ci clcmento nciitro multip’ iccitivo ( 1 ) , y el inverso muitipli- --

cativo de un ntímcro son í inicoc.

Aqui cabe observar que al hablar de operaciones no hemos men -

cionado la resta y la divisibn. E l l o es debido a que tgstasopfix:ch=-

las podernos definir mediante las operaciones y propieüaües

mencionadas en los axiomas. A s i , Dara dos nQmeros reales

Hacienao a,b definimos a-b=a+(-b), y si bfO, b a - - a(b”).

a = l en la igualdad anterior, obtenemos También COR - 1 - b-1 6 -

viene notar que, debido a la asociatividad de las operaciones,

las expresiones del tipo a+b+c+d, y abcd, estan bien defini-

das.

Teorema 1.7 O (ii) Si bfO, = O

Notemos que de este resultado se sigue que O no tiene inver .-

a - estas d e b so rnultiplícativo. Por esta razón, el cociente

finido siempre y cuando bfO.

Teorema 1.8

(i) -(-a}=a . (ii) Si bfO , (b”)”=b I

Teorema 1.9 Regla de los signos para la multiplicaciOn

ii) (-a)b=a(-SI=-ab. En particular, (-l)b=~b.

iii) (-a) (-b)=ab.

e q u i v a l e n t e a Q " ) .

E j emp 1 os m 5 P' m J p L t r 1) S i m p l i f i c a el c o c i e n t e e

- 5 - 3 2 1 - 2 t - 2 , m 2 p - l t - 2 = m 2 7. Pt - !-?I

m 5 ? ' m j P L t L

2) Prce=ia q u e 2 y 3 s o n l a s ú n i c a s razces d e x2-5x+tj=G.

Sea y una r a í z de x 2 - 5 x + 6 = 3 . E n t o n c e s , y2-5y+6=0 <=>

(y-3) (y-2)=0 . A p l i c a n d o a q u l e l teorema 11, c o n c l u i m o s

y-3=0 o y-2=0 <+ y=3 o y=2

Q.E.D.

( L a a b r e v i a c i ó n ' ' Q . E . 3 . " i n d i c a r á q u e n u e s t r a p r u e b a h a con-

c l u i d o ) .

no 3

4x2 -4 3) S e ñ a l a p a r a q u e valores d.e x l a e x p r e s i ó n

r e p r e s e n t a un número .

L a e x p r e s i ó n dada es una f r a c c i ó n . E s t a f r a c c i ó n e s t a r á

d e f i n i d a , es dec i r , r e p r e s e n t a r á un número , s i e m p r e y cuan-

do s u d e n o m i n a d o r sea d i s t i n t . 0 d e cero. D e e s t a f o r m a , p r g

g u n t a r s e p a r a q u é va lo res de x la e x p r e s i ó n

r e p r e s e n t a un número , e q u i v a l e a b u s c a r los números x q u e

a n u l a n a l d e n o m i n a d o r 4 x 2 - 4 . 4x2-4=0 <=> 4 ( x 2 - 1 ) = 0 <=> x2-.1=o <=> x 2 = 1 <=> (x+;) ( x - ~ ) = o

n o 3

4 x 2 - 4

x=-1 6 x = l . A s í p u e s , p a r a x=-1 6 x = l , l a e x p r e -

n o r e p r e s e n t a ni .ngbn número. 3 s i 6 n 4x2-4

C o n t i n u a m o s e n u n c i a n d o p r o p i e a a d e s algebráicas:

7

Antes de establecer las siguientes :'6rmuias algebraicas, mcly

empleadas por cierto, r c C ~ j r - ~ C m o s que para un entero positivo

n, se define xn=,:.x- - x (n veces), x-"=(x-') , y x"=l n

para cualquier real x .

(iii) (a+b) *=a2+2ab+b2. (iv) (a+S) (a-b)=a2-h2.

Teorema 1.11

Si ab=O, entonces a=O Ó b=O. En otras palabras; si ios fac -

tores a,b son distintos de cero, el producto ab también io

es.

~oroiarioLi2

Si $=,I, entonces a= b6 a=- b .

Veremos enseguida algunos ejemplos de la manera en que se

aplican los resultados anteriores. Pero antes, introducire-

mos una notación para simplificur el desarrollo y la expre---

sión de nuestros procedimientos.

La ley de cancelación para la suma establece que si a+b =

afc, entonces, b=c. Esto último, lo expresaremos escribien-

do simplemente: a+b=a+c => b=c.Lynem¡, el slmbolo " 2 3 Q " -- establece que en toda ocasión donde se cumpla P, también se

cumplirá la proposición Q . Si además de P + Q , se cumple --

también QS P, escribiremos P & Q . T a l es el caso de nuestro

ejemplo: a+b=a+c e b=c.

El sfmbolo "P+Q" se lee "P implica Q" (o "si P entonces

Q " ) , mientras "P @ Q", como "P si y solo si Q" (o "P es --

9

( i i ) S i a+O, bfO, (abj”=a’15’1.

Teorema 1 . 1 4 Propiedades d i l a igualdad de fracciones

Supongamos b , d f 9 . Entonceis:

<=; ad=bc a c b - d

- ( i ) - - a ad ( i i) g = - bd

Teorema 1 . 1 5 Regla de los signos 2ara l a divis ión

-a a a ( -a) - a b o (ii) - - - - = - -

b f -b ( i ) - - b -b S i b#O,

Teorema 1 . 1 6 Suma y d i ferenc ia de f racc iones :

a c ad+bc a - - c - - ad-bc . b d bd ’ b d bd S i b,d#O, - + - =

Teorema 1 . 1 7 Multiplicaci i jn de f racc iones :

S i b ,d#O, (F c - - bd, ac c

Teorema 1.18 División de Fracciones. ( “Ley del Sandwich”)

a S i b , c , d # O , entonces 5 = ad

- C bc d

Señalabamos antes , que l a s :reglas d e l algebra elemental se

pueden deducir a p a r t i r de :Los axiomas de campo. Cabe --

observar, s i n embargo, que nuestro propósito a l enunciar

l a s propiedades a lgebráicas anter iores no e s e l que cada

paso algebráico s e j u s t i f i q u e formalmente,sino indicar que

t a l j u s t i f i c a c i ó n puede s e r hecha cuando se requiera.

De acuerdo con e s t o , no haremos mención e s p e c í f i c a de to-

das l a s propiedades algebrdicas ut i l izadas a l resolver las

s iguientes ecuaciones.

so

Ejemplos

2 x + - 4 = 3 + - X

5 4 4 ) ?j-

Tomando común

8x-3x = 5 x - 11 Simplificando: 12 - - 12 5 5 denominador I

Debido a las propiedades de quebrados, la igualdad anterior

es equivalente a 1 3 2 (5~)5=11(12) <=> 2 5 ~ ~ 1 3 2 <=> x = - 25

1 3 2 Luego, la solución de la ecuación planteada e s x = - 2 5

2 - - - 1 5, x+2 3x+1

Observamos primero que, cuando x es solución de la ecua-

ción, x+2 y 3 x + 1 no pueden ser cero. Entonces,debido

a las propiedades de la igualdad de quebrados, resulta

2 - 1 - - - <=> 2 ( 3 ~ + 1 ) = x + 2 <=> 6 x + 2 = ~ + 2 <=> 5x=o <=> X=O x+2 3x+1

Luego, la solución de la ecuación dada es x = O

Como ilustración de las técnicas que se usan para la demostra -

ción de las propiedades que hemos enunciado, probaremos ense-

guida algunas de ellas.

Teorema 1.1 Ley de Cancelación para la suma:

Si a+b=a+c => b=c.

Demos t r a c i Ón

Supongamos a+b=a+c. Por el axioma c.4, existe (-a) tal que

(-a)+a=O Entonces, -a+(a+b)=-a+ (a+c) . Luego, por la asocia-

t i v i d a d d e la suma, r e s u l t a (-.a+a)+b= (-a+a)+c. Empleanco

a h o r a los axiomas C.4 y t 3 , tendremos O+b=O+c => S=c

Q.E.D.

Teorema 1 . 2

Dados dos números reales a r b , e x i s t e un Gnico x t a l que

a+x=b .

»em0 s t r a c i 6 n

Sea x=b-a=b+ ( -a ) . Por l a c o n m u t a t i v i d a d y la a s o c i a t i v i d a d

de l a suma,se cumple a+x=x+a = ( b + ( - a ) ) + a = b+O=b. Esto -- p r u e b a que hay a l menos un x t a l q u e a+x=b. V e a m o s que es

e l ú n i c o . Para e l l o , supongamos que e x i s t e y t a l que a+y=a

Tendremos e n t o n c e s a+x=a+y. E n t o n c e s , e l teorema 1.1 i m p l i c a

x=y. E s t o p r u e b a q u e t a l x es Gnico (e i g u a l a b-a)

Q.U.D.

Corolar io 1 . 6

E l e l e m e n t o n e u t r o m u l t i p l i c a t i v o , y e l i n v e r s o mul t ip1 ica t ;vU

de un número s o n ú n i c o s .

Demost rac ión \ (Probaremos e s t a p r o p o s i c i ó n a p a r t i r d e l teorema 1.5.)

La u n i c i d a d d e l e l e m e n t o n e u t r o m u l t i p l i c a t i v o se s i g u e d e l

teorema 1 . 5 , o b s e r v a n d o que é s t e sa t i s face l a e c d a z i ó n i-x=l,

y que 1 es ü i s t i n t o de cero.

Sea afO. L a u n i c i d a d de s u i n v e r s o m u l t i p l i c a t i v o tambiér,

se s i g u e del t eo rema 1 . 5 , o b s e r v a n d o q u z és te s a t i s f a c e l a

e c u a c i ó n a - x = l y a#O.

Q.E.D.

Teorema 1.7

i) (O)a=at02-0. ii) Si O b - = o .

Demostración

(i) O-a=(O+O) a=Oa+Oa. Por el axiomac3, O-a=O+O-a

De lo anterior, concluimos Oa+Oa=O+Oa. Aplicando la Ley

de Cancelación para la suma resulta Oa=O.

(ii) Si b#O, 5 - - O * b " = O , por 1s psrte (i).

Teorema 1.9

(i) (-a) b=a (-b) =-ab. (i') (-l)b=-D.

(ii) (-a) (-b)=ab.

Demos t ra c i 6 n

Por la unicidad del inverso aditivo, basta probar que

(-a)b+ab=O. Factorizando (Es decir, empleando la propiedad

distributiva) , obtendremos (-a)b+ab=[(-a)+a]b=O-b=O. Por

lo tanto, se cumple (i).

La prueba de a(-b)=-ab

loga. Tomando a=l en (i), se sigue que (-l)b=-(l-b)=-b,

se realiza en forma enteramente anb -

como se afirma en (i').

Mostraremos ahora que (-a) (-b)=ab, aplicando dos veces el

resultado probado en (i) : (-a) (-b)=-(a(-b))=-(-ab)=ab.

Q.E.D.

Teorema 1.14

(1) si b,d#O, a = - <=> ad=bc.

Demostración

C b d

Supongamos b,u#O, a - - %I@ a.b-'=cd-'. Mul-iplicando e s t a

igualdad por bd, resulta (a-b-" )(b#c-d-') (bd), y por la -- asociatividad y conmutatividad del producto: a. (bb-' Id =

c(d-'d)b. Finalmente, por los axiomas c.3 y c.5, obtenemos

a. (1 - d) =c (1 - b) , es decir, ad==bc.

Por o t r a parte, si ad=bc y b,d#O, existen b-', y d-l. Multiplicando la igualdad (1') por b-"" , tendremos que ---

a c b d o

ab"=cd-', e s , -- = --

Q.E.D.

Ejercicios 1

1.- Simplifica la fracción

distintos de cero.

a b

-. , siendo b,c,d, - C (a)

Encuentra el valor de

3+ 2

2

1+ 1 2

3- - -

Simplifica las siguientes fracciones algebrdicas.

4.-

5.-

6.-

7.-

8 . -

6 3 2x-1 X - - - 1 x#O, X#Z

x 2 + 5 - x2-x - - 3 xL-4x+3 (x-1) L' x- 3

x+ 1 - + x2+x I x#O X

'I J. - + x X

Sean a,b,c números reales tales que a-'b-'c-'=2. Calcula

(abcI4

a) Señala números a,b tales que (a+b) 3#a3+b3.

b) ¿Qué relación debe existir entre a y b para que

(a+b) 3=a3+b3?

Resuelve l a ecuación:

9.-

11 .-

13.-

14 .-

15.-

16.-

x - - - 4 - 3 X

4 x +4x2 -x- 1=0

1 (x-3) -- - ( 2 ~ + 1 ) - 4 10.-

2 = - x-3 12.- 2xL-7x+3 5

Señala los valores de x para l o s que l a expresión x+ 2 ( x - ~ ) ~ x * + x ( x - ~ ) - x + ~ - n o representa un número.

Señala cuál es e l e r r o r e n :a s i g u i e n t e "demostraci6n":

Sean a , b números r e a l e s t a l e s que a=b, =+ ab=b2 =5

ab-a 2 - -b '-a2 => a(b-a )=(b+a) (b-a) => a=b+a => a=2a

U) ( 2 )

(3 1 (4) t 5)

(b) * 1 = 2 !

Resuelve e l sistema de ecuaciones:

3x - y = -1

2 x + x = 2 2

Prueba que x2=0 => x=o.

15

2 . E l O r d e n de l o s Reales y S U Rc9resentaci6n Geomgtrica - Además de s u s operaciones,, una de l a s propiedades fundamen -

t a l e s de los números es sue nos permiten comparar d i s t i n t a s - magnitudes y d e c i d i r cuál es l a mayorr o l a menor, según se - requiera. E r l d comparación e s posible pues consideramos que

los números rea les n o están "dispuestos" arbitrariamente, sir@

que s i g u e n c i e r t o orden. Lrw-L+nG y~:xy;iC- l a s propiedades de e s - t e orden que tomaremos como eviuentes, y a p a r t i r de las cua - l e s estableceremos var ias c a r a c t e r í s t i c a s que son de impor--

tancia para l l e v a r a cabo nuestro estudio.

Como se acostumbra, con a .- b" representará l o mismo que "b < a " , y "a 4 b" será

una abreviación de "a 

Axiomas d e Orden

b o a = b".

O . 1 ) Tricotomfa

Para cualesquiera ntímeroc rea iec a , b s e cumple exactamen-

t e una de l a s s iguientes t r e s re lac iones :

i ) a b

O . 2) Trancit ividad

Para cualesquiemnúmeros rea les a r b , c , s e cumple:

a O < a b

Observemos que los dos Gitimos axlornds establecer, una

relación entre las operaciones de suma y multiplicación

y el orden que estamos considerando.

De la propiedad de tricotomía, tomando b=O , se sigue inmediatamente due cualqcier número a, distinto de cero,

es mayor o rtenor que cero. Esta característica, junto con

l a ideu intuitiva que nos hemos forn;cw de los números, nos

permite representar los números reales mediante una recta,

lo cual haremos enseguida.

Representaci6n Geométrica de IR

Hemos hablado ya de la necesidad de tener un sistema nlhe -

Representaci6n Geométrica de IR

Hemos hablado ya de la necesidad de tener un sistema nlhe -

rico con el cual pudiésemos medir cualquier longitud, y de -

cómo es que los números se van extendiendo, hasta formar los

números reales, para obtener tal sistema de medición. Este

hecho fundamental nos permite establecer una correspondencia

entre los números reales y los puntos de una recta R de la

siguiente manera:

a) Escogemos un punto arbitrariOJ que representamos por O,

de la recta R dada (fig. 1)

b ) Escogemos otro p u n t o , distinto al anterior y situado a

su derecha, que denotamos por 1. Esto nos determina la uni-

dad de medida para nuestras distancias.

- c) Tomemos ahora un número x cualquiera, distinto de cero.

17

Sabemos que se cumple x < O a' O < x ,

En el primer caso, representamos a x mediante un punto P,

a la derecha de O, tal que la Elistancia OP sea x . EIA

el otro caso, representamos a x utilizando un punto PI,

situado a la izqi7ierda de O , de modo que la distancia OP'

Llamando positivos a los números mayores que cero, y negati-

vos a los menores, observamos que los positivos quedan repre -

sentados a la derecha de O y los negativos a su izquierda.

Notemos que la representaci6n anterior a cada número real

le hace corresponder un único punto de la recta y,recl-

procamente, a cada punto en la recta le hace corresponder un

único número real. Este tipo de correspondencias son llama-

das biunlvocas.

Desde un punto de vista "ilustrativo", la representación

que estamos considerando es muy conveniente pues nos permite

''ver" intuitivamente muchas propiedades que, en abstracto,

parecen no ser tan evidentes. Además, esta interpretación

permite introducir, en nuestra discusión de los nheros rea-

l e s , parte del lenguaje geométrico que, si bien en ocasiones

no es preciso, en cambio, es muy sugestivo y "natural". Por

ejemplo, la afirmación x < y se reduce, con esta represen -

tación, a indicar que el punto x está a la izquierda del

punto y. Analogamente, x < p < z significa, simplemente,

que p está entre x y z . Este hecho, de considerar los --

números reales como l o s puntos de una recta, es tan común, -

q u e f r e c u e n t e m e n t e hablamos uc los números como p u n t o s y

v i c e v e r s a . A d e c i r v e r d a d , i o acabamos d e hacer n o s o t r o s .

( ¿donde?)

G s o m é t r i c a m e n t e , e l orden c o n s i d e r a d o e n e l c o n j u n t o d e los

números reales d i v i d e a és te e n tres c o n j u n t o s , c o n f o r m e

se v e e n l a f i g . ( 3 ) .

3 . Con juntos. Intervalos . Operaciones con Con juntos

Nociones Básicas de Conjuntos -

A n t e s de continuar, conviene introducir c i e r t o s conceptos

y notación que nos servirán para expresarnos de una manera más

c l a r a y concisa. S e t r a t a de l a terminología de conjuntos.

Usaremos e l símbolo Cx 1 P ( x ) ) para representar e l conjun -

t o de todos aquellos ob je tos x que cumplen l a propiedad P(x).-

A cada uno de es tos objetos se l e llama elemento o miembro uei

conjunto en cuestión. En general , l o s elementos de un conjun-

t o pueden ser de cualquier c l a s e , pero nos interesarán, funda-

mentalmente, aquellos conjuntos que t i e n e n números como elemen -

tos .

Para denotar que a es un elemento del conjunto A, escribi - remos a e A . En t a l caso, también se dice que "a pertenece a l

conjunto A" o , más brevementeyna e s t á e n A" . Naturalmente, -- a # A expresará que a no es un elemento del conjunto A .

Además de l a forma a n t e r i o r de d e f i n i r un conjunto, seña-

lando una propiedad que c a r a c t e r i c e s u s elementos, también se

acostumbra representar un conjunto indicando explícitamente -- s u s elementos, según se aprecia en l o s s i g u i e n t e s ejemplos.

Ejemplos

i ) {-i,2,31 es e l conjunto cuyos elementos son -1,2,3. -- Llamando A a e s t e conjunto, se cumple - l € A , O te A , 2 6 A. ---- Obsérvese q u e a l representar un conjunto de e s t a forma, s u s -- elementos son aquellos ob je tos que están incluidos dentro de -

s u s l l a v e s .

2ü

2) Si B = { x ~ x E I R , 6x7-5x+1 = O:?, encuentra los elementos

de B.

Resolviendv 1'1 ( ~ c u c 1 c 1 6 n 6xL-5x+1 = O , r esu l ta xl=--, 1 1 2 X2'3

1 1 2 3 ... B = { - I -1

De aquí en adelante, un conjunto de la forma { x j x e l R , P ( x ; )

l o indicaremos, simplemente, por {XGB j P ( x ) i . Esta notaciór, se

i e e como " e l conjunto de l o s núxcros r e a l e s que sa t i s facen i a - propiedad P " .

Ya que, intuit ivamente, un conjunto A e s t á caracterizado - por l o s elementos que t i e n e , convendremos en considerar dos con -

juntos A y B como iguales , siempre y cuando consten de los mic-

mos elementos. Esto e s , A = B s i cualquier elemento de A es -- también un elemento de B. v cualauier elemento de B l o es tarn--

b i e n de A.

Ejemplos

A p a r t i r de l a discusión a n t e r i o r , se t i e n e n l o s siguientes

resultados:

1 ) {1,2,3) = {2,3,1) = {1,2,2,3,3,11

2 ) { x I x 2 = o ) = {O,

Hay algunas proposiciones P que n u n c á son verdaderas. En

ese caso e i conjunto { x ~ P ( x ) ) no t i e n e elementos, por lo que se

le da e l nombre de conjunto vacío. Convendremos en representar

e l conjunto vacío mediante l a l e t r a griega Q ( f i ) , o b i e n , u t i -

lizando unas l laves "vacías" : i ) . Por ejemplo,

$I = { x c m I O.x=l l = { 1

2i

I n t e rvalos

En e l estudio d e l Cálculo es muy frecuente l a aparición de

c i e r t o s conjuntos llamados in terva los , y que ?resentamos - enseguida. Sean a y b números rea les .

a ) Se llama intervalo cerrado a un conjunto de l a forma

{x e IR I a ,< x 6 b ) , e l cual s e denotará por [a ,bl .

3 +-- J b La,

b) Se llaman intervalos semicerrados aquellos subconjuntos

de IR de l a forma {x E: IR I a < x < b) o { x E IR I a < x d b i .

Estos se representao, respectivamente, por Ca,b) y (a,b]

c) Se llama intervalo ab ier to a un s u b c o n j u n t o de IR de la

forma (x c IR 1 a < x < b ) , e l cual se representará por (a,b)-

N6tese - 0 un paréntesis rectangular , [ o I, i n d i c a que e i

punto adyacente pertenece a l in terva lo e n cuest ión, mientras

que un paréntesis "curvo", ( a ) , señala l o contrar io . As€ --- p u e s , los puntos extremos de un intervalo a b i e r t o no pertene - ten a é s t e .

Los conjuntos anter iores no constituyen todos l o s t ipos de - intervalos . A saber, f a l t a n aquellos intervalos que se ex--

tienden indefinidamente. Antes de señaiar s u def in ic ión , id

manera en que s e denotan, y s u representación geometrica, -- conviene notar que los símbolos - c = , c = s e u t i l i z a n para lograr

una notación sugerente , y de ninguna manera deben confundir-

se con números. En todo caso, podemos imaginarlos como dos

puntos ideales : - - 0 3 s i tuaido a l a izquierda de cualquier pun-

t o y u), - situado a l a derecha de cualquier punto.

d, ( - c = , á J =

Observemos q u e todo elemento d e l in terva lo ( a , b ) también per -

tenece a l in terva lo cerrado [a,b] . Esta propiedad s e expre -

sa diciendo que e l conjunto ( a , b ) est6 contenido, o e s un --

subconjunto, de [a,b] . Másjeneralmente, tenemos l a siguien -

t e def inic ión.

2 3

Def i n i c i C n

S e a n A , B , c o n j u n t 0 s . A está c o n t e n i d o e n B, o A es un s u b c o n -

j u n t o de B , s i todo e l e m e n t o de A t a m b i é n es e l e m e n t o de B.

En t a l caso, escribiremos AcB .- (o B S A).

Con esta n o t a c i ó n , se t i e n e : ; d , b ) c ( ; , b ] c [ a , b ] .

U t i l i z a n a o e l c o n c e p t o de c o n t e n c i ó n , podemos expresar que O G C

c o n j u n t o s son i g u a l e s , A=B, m e d i s n c e las c o n d i c i o n e s A c B y BcA.

Si A c B , pero BkA, se d i c e q u e A e s un s u b c o n j u n t o propio de 3.

O p e r a c i o n e s con C o n j u n t o s

M e d i a n t e dos c o n j u n t o s A , B , podemos formar " n u e v o s " con--

j u n t o s de varias m a n e r a s . A és tas les llamaremos operaciones,

y las m5s i m l w r t a r i t e s son l a u n i ó n , i n t e r s e c c i ó n y d i f c r e n c i i

de c o n ~ u n t o s ; .

D e f i n i c i ó n

L a u n i ó n de los c o n j u r i t o s AyB, que s i m b o l i z a r e m o s por - -

A L J B , es e l c o n j u n t o { x [ x r . A o x c B ) . Es d e c i r , A G i 3 c o n s t a de

todos los elen:e.itos q u e e s t á n e n A, o e s t á n e n B.

E j emp los

Y 1 1 ) E n c u e n t r a L - i , 2 ] U c-3, .1 /2) , H a c i e n d o A = l - 3 , -1 , 2 . ~=[-i,2j

b o s q u e j a n d o estos i n t e r v a l o s , &----A ----9

vemos f a c i l m e n t e q u e [-:L,2] U [ - 3 , 1 / 2 ) es e l i n t e r v a l o

[-3,2].

Convendremos en r e p r e s e n t a r c o n IN e l c o n j u n t o de los números

n a t u r a l e s . Es d e c i r , IN = i l , 2 , 3 , . . . }

2 ) S i A = ( s I s = n * , n € N , n < 4 ) y B = { s ( s = 2 n r n c N , 2 < n < 4 ) , --- e n c u e n t r a A U B .

Una forma de p r o c e d e r , es t r a t a r de h a l l a r A y B " e x p l i c i t a -

m e n t e " . AS:, e n c o n t r a m o s q u e A = ~ S / S = T ; ~ ~ n=;,2,3,4}=(1,4,9,;u3

y B = { x l x = 2 n , n = 2 , 3 , 4 ) = { 4 , 6 , 8 1 . Lue50, A ü B ={1,4,6,8,9,16)

D e f i n i c iÓn

La i n t e r s e c c i ó n de los c o n j u n t o s A , B , q u e s i m b o l i z a r e m o s por

A n B , es e l c o n j u n t o A í7 B = { X I X E A y x c B j E s d e c i r , Af', D

c o n s t a de los e l e m e n t o s c o m u n e s ' a A y B.

E j e mp 1 os

i) E n c u e n t r a (-i,2] r\ [--311/2).

H a c i e n d o un b o s q u e j o de l o s i n t e r v a l o s dados, vemos q u e s u --

i n t e r s e c c i ó n , es d e c i r , e l c o n j u n t o formado por los e l e m e n t o s

s 4

c o m u n e s , es e l i n t e r v a l o E-&, a, I) . 4 5

2 ) D e i g u a l m a n e r a a l a a n t e r i o r , se v e r i f i c a q u e ( - 1 , 3 ) i q [ 3 , 4 j = \

R e p r e s e n t a r e m o s c o n Z e l c o n j u n t o d e l o s números e n t e -

ros . Esto e s , Z = {..., - 5 , - 4 ~ 3 , - 2 , - 1 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , . . . ~

3) S i A = { x c Zrlx es m ú l t i p l o d e 2) y B={xeZlx es m f i l t i p l o de 3 ; ;

encuentra A r \ B.

Una "observación" q u e n o s permitirá o b t e n e r f a c i l m e n t e lo q u e s e

n o s p i d e , es q u e "un número e n t e r o x es m ú l t i p l o de 6 siempre y

cuando sea n t l c i p l o d e 2 y m ú l t i p l o d e 3" . M e d i a n t e este resal-

tado tendrerrius :

A A B=ixcZlx es m ú l t i p l o de 2 ) {xr:'6jx es m ú l t i p l o d e 3)

= { x ~ Z l x es m ú l t i p l o d e 2 y es G i ú i t i p l o d e 3 ) = { x c Z / x es m ú l t i -

p l o de 6 ) .

Un p r o c e d i m i e n t o i n t u i t i v o q u e nos s u g e r i r l a e l r e s u l t a d o obte-

n i d o es e l s i g u i e n t e :

A={ ...,- 6 , -4, - 2 , 0 , 2 , 4 , 6 , . . . I B={ ....- 9 , - 6 , - 3 , 0 , 3 , 6 , 9 , . . . 1

.O. A A B=E ..... - 1 2 , 6 , 0 , 6 , 1 2 , . 8 . . )


Sean A , B c o n j u n t o s , A - B , (se lee "A menos B") se d e f i n e como -- e l c o n j u n t o (x1xc.A y xg!B). E!; dec i r , A-B es tá c o n s t i t u i d o

por los elementos de A q u e no s o n e l e m e n t o s d e B.

Ejemplos

1) E n c u e n t r a A-B, y B-A s i A:=[-1,2] , B = ( 1 / 3 , 5 / 4 ) .

B o s q u e j a n d o l o s i n t e r v a l o s A , B dados, podemos ver q u e

-A.-4

Def i n i c i d n

Dado un s u b c o n j u n t o A de IR, llamaremos complemento d e A a l con -

j u n t o IR-A, y l o r e p r e s e n t a r e m o s por AC. Esto e s , AC={xeIRI xgA;-.

2) Encuentra el complemento de A={O) y el de B=[2,3) U (-1/2,1)*

a) {x x es mexicano) , {x

Bosquejando los conjuntos dados, facilmente encontramos que

x vive en México)

t- 6 4 I - 0 4

-i o 1 2 3

b) {x

Ejercicios 3

1.- Cuatro hombres, uno de los cuales ha cometido un error, respondieron a una interrogación lo siguiente: Alfonso : David lo hizo. David : Tomás lo hizo. Gustavo : Y o no lo hice% Tomás : David miente al decir que yo lo hice.

Si solo una de las contestaciones es verdadera, ¿quién es el culpable? Si so lo una de las aseveraciones es falsa, ¿quién es el - culpable.

a)

b)

x es entero positivo) , { x x es un número primo)

a) Indica dos elementos de A . b) Señala 3 subconjuntos, no vacLos, de Ab c) Determina si 4 y 10 son elementos de Ab

5.- Sea A={1,2,{2)) . Indica cuáles afirmaciones son ciertas. a) IcA. b) {l)cA. c) 12)cA.

6.- Sea A un conjunto. "Completa" correctamente las igualdades a) AU$ = b) AUA =

encuentra A A B.

io.- I n d i c a un ejemplo d e c o n j u n t o s A , B , C q u e s a t i s f a g a n :

a ) A- (B -C) = (A-B) UC . b:i A- (B-C) # (A-B) UC

1 1 . - Señala con juntos A , B q u e cumplan l o q u e se pide .

a ) A& I' 3-A={3,4). b:) ( A - B ) U (B-A) ={ 1,2 1. C ) AC!'\, E = I 2 I 3 I 5 I (IC; c o r i j u n t o s A y B , menc ionados &n cada i n c i s o , T.C SCT. n e c e s a r i a m e n t e ios mismosi

1 2 . - Sea A un c o n j u n t o . "Completa" c o r r e c t a m e n t e los s i g u i e n - tes r e s u l t a d o s : a ) A 1-j h= b ) A l l , A=

1 3 .- "Completa" C o r r e c t a m e n t e los s i g u i e n t e s r e s u l t a d o s , donde A es un c o n j u n t o .

a ) A-A= b) A - @ = c ) ( A- B ) U ( B ri A ) =

1 4 .- Sea A c ñ i . "Completa" c o r r e c t a m e n t e las s i g u i e n t e s ~ q x z l - dades : a ) (AC)C= b) r3C= ( 2 ) IRC = c h ) A P A c = 0) >.yL- $-C=

is.- S e a n A , B , C c o n j u n t o s . P r u e b a l a l e y d e s t r i b u t i v a :

A;; ( B U C ) = ( A p , B ) U ( A f i C ) .

1 6 . - S e a n A , B c o n j u n t o s . Demuestra l a l e y debMorgan:

( A n B ) c= A c U B c (AC fif = ,!A- b"

4. Propicdddcc d e l Orden. D c s i c j u a l d a d e s . Conjuntos Acotados

Para seguir adelante, necesitamos hacer algunas observaciones

y establecer varias propiedades del orden que estamos analizando.

Para ello a,b,c y d representarán numeros reales.

Teorema 4.1

a 0 a+b < d+c :

Llamaremos desigualdad a cualquier expresión de la forma S * P,

son expresiones algebráicas y * es uno de los símbo - donde S y P

los <,>,.c<,>. A S y P se les llama los miembros de la desigual -

dad. En estos términos, el tercer axioma de orden nos indica que

una desigualdad no se "altera" al sumar el mismo número en ambos

miembros de la desigualdad original.

Teorema 4 . 3

a) Si a > O => -a < O - b) Si a < O => -a > O. 6

Teorema 4 . 4

S i a O => ac < bc

Evidentemente, este resultado nos señala que una desigualdad

no se altera si multiplicamos cada uno de sus miembros por un -

número positivo.

Teorema 4.5

a) Si a ac > be.

b) En particular, si a < O q c < O => ac > O. Esto es, el

producto de números negativos es positivo.

Notése que e; teorema anteriolr establece que una desigualdad

se "invierte" ai muitipiicar sus miembros ?or un número negativo.

Esto nos obliga a tener un poco más del cuidado usual, ai traba--

jar con desigualdades.

Antes de proseguir, veamos algunas aplicaciones de los resul-

tados anteriores.

Ejemplos

1 ) Supongamos a cumple O < a < - 1. Entonces, como O < a y

a < 1, el teorema 4.4 nos indica que a* < a. De nuevo, por el

mismo teorema, resulta a3 < a2. Siguiendo este procedimiento,

resulta la sucesibn de desigualdades: 1 > a > a2 > a3 > ... >

an > an+l . .. * 2) Verifica que si x E [2,4J,entonces 2x+3 E: [7,111.

x~[2,4] <=> 2,<xá4 <=> 4,<2x,<Ei <=> 4+362x+3<8+3 <=> 7,<2x+3,<11.

3 ) Expresa el conjunto A = {XER 1 3 - 2x<4x-5) como intervalo.

E l conjunto A está definido por la desigualdad 3-2xC4x-5.

Enseguida encontraremos una desigualdad equivalente a ésta, pero

"simplificada". Esto lo hacemos, as€: 4 3

< 8: <=> - < x c 8 6

3 - 2 ~ < 4 ~ - 5 <=> 8<6x <=> - 4 - 4

3 Esto es, A ={x~lR 1 - < x) - (3,") o

i \ I

g u a l d a d e q u i v < i i e n t e , p e r o a r - n c i i l a , se l e i lama ' ' reso;uci5,-~' ' .

. I Para r e s o l v e r una ' 'dot, ,-" d e s i g u a l d a d , por ejemplo

5x-4<2x+3<1-3x 9 c b n v i e n e c o n s i d e r a r por separado l a s d e s i g u a l -

Luego, A('\ B c o r l s i s t i r á d e los números q u e s a t i s f a c e n ambas, es-

t o e s , A ~ \ B '-,,,-;] .

2x+1 < 3 ) u t i l i z a n d o i n t e r v U 5 1 Expresa e l coriiurito B = :xc IR ,

l o s , y b o c q u e j a i o e n l a rec ta r e a l .

- x+ 1

2x+i 3. l o n s i d e r e m o s 13 d e s i g u a l d a d q u e d e f i n e a B : - x + l

L. :lervemos p r i m e r o q u c de é s t a no se s i g u e que 2x+i < 3 ; x + l i ,

r i ! cs el teorema 4 . 5 nos señala q u e s i x+1<0 , l a des igua lCaC or: -

. ~ i n a l se i n v i e r t e .

~ i , Xt, i 3 Tenemos e n t o n c e s ue C o n s i d e r a r dos casos: i) x+itO ,

. i ) xt; C

x+1<0 <=: x < - l . E s t a c o n d i c i ó r . d e f i n e e l i n t e r v a l ; ( - = , - l ) = L ~ l

Lx+l 3 (= > 2x+;>3 ( x + i ) <=> 2>(+1>3x+3 <=> --;x. X - t l '

- E s t a c o n d i c i ó r J d e t e r m i n a e l i n t e r v a l o ( - U j I - 2 j =A, . ¿a i n t e r -

sección Ai[? A, nos dará a q u e l l o s e l e m e n t o s q u e satisfacer, ia -

d e s i g u a l d a d e n e l caso c o n s i ü e r a d o . E s t o es , B 1 = A 8 fl A2 =

( - ,-I) r\ ( - - , - 2 j = (-..,-2-J .

3i

ii) ~ + 1 > 0

x+1>0 ¿=:, x i - l . Esta desiguüldad define el intervalo (-l,m)=A:

Esta desigualdad determina el intervalo L - 2 , m ) = A 4 . La intersec-

ción A 3 n Ab TIOS dará, en este caso, los elementos que buscamos.

:-.:Sto es, 5 =A>/-\ A~ = ( - l , c o ) ( \ j"-2,m) = (-1,~).

Por último, uniendo los conju.ntus obtenidos en los dos casosl

vemos que el conjunto buscado esL B=B1 0 B ~ = ( - w ,-22 L' ( - l , 4 = ( - 2 / - l ; c

7i

-z -1

Conjuntos Acotados

Definiciones

Consideremos un subconjunto I3 de IR.

a) Si existe un número M tal que bgM para todo beB, decimos que B

está acotado superiormente. A M se le llama una cota superior

de B. Indicamos "una", porque todo número mayor de M tambiéri

será cota superior.

b) Cuando exista 1111 número m tal que *b para todo beB, indicare -

mos que A esta acotado inferiormente; y a m le llamaremos cota

inferior de A.

c ) Para señalar que un conjunto está acotado tanto superior como

inferiormente, simplemente diremos que es acotado.

Ejemplos

1) El conjunto de l o s números positivos está acotado' inferiormenre,

pero superiormente no. Una cota inferior es cero. ( E s la mayor)

1 1 2 n 2) La sucesián de números de la forma 1,-,...,-,..-constituye un

conjunto acotado. Aqul,el 1 es una cota superior y cero es

una cota inferior.

3 ) Cualquier intervalo [m,M] , siendo m y M números reales, e s

un conjunto acotado.

Nbtese que la definición de un conjunto acotado A se puede

interpretar como que A está contenicio en el intervalo [m,M3 , siendo m una cota inferior y M una cota superior.

Enseguida enunciamos otras propiedades del orden en los

números reales.

Teorema 4 . 6

Si af0 =>

Teorema 4 . 7

Si ab>O =>

Teorema 4 . 8

a2>0.

alb son positivos 6 ajb son negativos.

Si O<a<b + 1 1 o<- < - b a

Es importante notar que la mayoria de los resultados enuncia-

dos siguien cumpliéndose al utilizar 1161' en lugar de " < " .

Para finalizar esta sección, probamos algunas de las propieda-

des señaladas,como ilustración de los métodos y técnicas que se

utilizan en este tipo de demostraciones.

Teorema 4 . 5

Si a<b, y c<O => ac>bc-

3 3

Demostración

Basta con probar ac-bc70, que es lo que haremos.

ac-bc = (a-b)c= (-a+b) (-c) = (-c) (b-a) (I). Como b>a,

b-a>O. Además, puesto que c<O => -c>O. Por lo tanto, (I)

indica que ac-bc c s un producto de números positivos. Luego,

ac-bc es positivo.

Q.E.D.

Teorema 4 . 6

Si a es un número distinto (le cero => a2>0.

Demostración

Sea a , distinto de cero. =3> a>O 6 a<O.

Si a>O, por ser producto de números positivos, a2 es tambien

positivo.

si a<O, por ei teorema 4 . 5 , (a)( a)>O <=> a2>0 .

Q.E.D.

Teorema 4 . 7

Si ab>O. Entonces a,b son positivos o a,b s3n negativos.

Demostración

Por el teorema 4 . 5 , si a>Oy b<O => abcO. Analogamente, si

a<Oy O ab<O. Esto implica que, con la condici6n ab>O, no

se puede cumplir a<O y O<b; ni, O<a y b<O. Como ab>Q, entonces

ay b son distintos de cero, lo cual trae como consecuencia que

se cumplan los únicos casos restcntes: a<O, b<O Ó a>O,. b>O.

Q.E.D.

34

Eiercicios 4

1.- Indica si las siguientes afirmaciones son falsas o verdaderas. En caso de ser alguna falsa, señala un ejemplo donde - ésta no se cumpla.

3 a) x 3x d i 1 b, l+x‘

c j x+l>x ch) x+x>x

2.- Demuestra que, si a>l entonces an+l>an>an-l> ... >a2>a>1,~cc”. 3.- Prueba que a2+b2=0 => a=b=O.

4 . - Demuestra que ningún número real satisface la ecuación 1+x2=0.

5.- Señala si es cierta la proposición: Si a ac<bd.

6.- Si a<b<O, prueba que

7 . - Si a>O prueba que - > O.

8. - Localiza en qué intervalo se encuentran los números de la

1 a

forma 1 cuando xe(2,4). 2?3

9.- Resuelve la desigualdad 6-2x<3x+1<9-2~. 9 2 10.- Si A={xcIR I 3x-2<4x+3) , B={xcIR 1 x-3>3x+5) y C={xelR 1 - -< -3x<G1,

11.- Determina el conjunto A={xeIR 1 ->O).

12.- Encuentra el conjunto B={xcIR 1 x2<x)..

encuentra ( A - B ) ~ c .

x- 1 X+l*

13.- Determina par qué valores de x se cumple - 4x 4 2 . x+2 1 2

1-x x 14.- Resuelve la desigualdad - > -

15.- Encuentra el conjunto

16.- Sea AclR. Si A es acotado y BcA, prueba que B también es

C={xelR 1 O<=< 1). x-1

acotado.

3;

5 . R a í c e s Cuadradas

!Sea x u n número r e a l y supongamos que t i e n e una r a í z c u a -

d r a d a a . E n t o n c e s , s e cumple :(=a2. L u e g o , p o r e l t e o r e m a 4 . 6 ,

c o n c l u i m o s que x 2 0 . E s t o nos i n d i c a l a n e c e s i d a d de que u n nú-

mero s e a n o - ' ~ e g a t i v o p a r a que t e n g a r a í z c u a d r a d a . Debe s e r

c l a r o que ? S t o no i m p l i c a que t o d o número n o - n e g a t i v o deba

p ~ s e e r u n a r a í z c u a d r a d a r e a l . 2e riecho e s t o s í s u c e d e , p e r o

l o d e m o s t r a r e m o s más a d e l a n t e ( s e c c i ó n 1 0 ) . Cons ideremos p u e s ,

que x 3 0 y s e a a una r a í z c u a d r a d a de x . Como (-a)=a'=x, vemos 2

que - a t a m b i é n l o e s . S i b e s o t r a r a í z c u a d r a d a de x , s e s a -

t i s f a c e b = x = a . A p l i c a n d o e l c o r o l a r i o 1 . 1 2 , s e c o n c l u y e e n t o n -

c e s que b=a o b = - a . E s d e c i r , e s t o nos i n d i c a que a y - a son

l a s Únicas r a í c e s c u a d r a d a s de x . Cuando x fO, t a m b i é n afO y

l a s dos r a í c e s c u a d r a d a s , a y - a , s o n d i s t i n t a s : una p o s i t i v a

2 2

y l a o t r a n e g a t i v a . S i x=O, e v i d e n t e m e n t e a = - a = O . Tomando en

c u e n t a l o a n t e r i o r convendremos en r e p r e s e n t a r por J x ' l a r a i z

c u a d r a d a n o - n e g a t i v a de x . N 6 t e s e que d i c h a e x p r e s i ó n e s t á d e -

f i n i d a s i e m p r e y cuando xaO.

E j empl o s

1 ) Sean a y b números r e a l e s t a l e s que OSacb .

a ) Ya que a 3 0 y b > O , a l m u l t i p l i c a r l a d e s i g u a l d a d atb p o r

e s t o s números r e s u l t a : a'sab y a b c b 3 $<bz. a

Si a = - 2 y b = l , s e cumple a c b , p e r o no e s c i e r t o a k b ? E s t o

nos i n d i c a que s e n e c e s i t t i ten,&' l a c o n d i c i ó n a 2 0 p a r a po-

d e r c o n c l u i r que a k b f

b ) Supongamos ~%'d? . Cornlo KzO, lo que acabamos de p r o b a r

i m p l i c a (Er3(n)L@ a 2 b . Ya que l a d e s i g u a l d a d Ú l t i m a

no se c u m p l e , debe s a t i s f a c e r s e =<s. En c o n c l u s i ó n , hemos p r o b a d o l o s i g u i e n t e :

a ) Osacb 3 az<b2 b ) Ol<a<b& =<c. 2) C o n s i d e r e m o s un c o c i e n t e donde a p a r e c e n r a í c e s c u a d r a d a s en

e l d i v i s o r . P o r e j e m p l o :

i l a m a r a c i o n a l i z a r a l p r o c e s o GC e x p r e s a r e l c o c i e n t e dado de

f o r m a e q u i v a l e n t e , e n l a c u a l y a no a p a r e z c a n r a í c e s c u a d r a d a s

9 , l+dT - $3- m' LCI e s t a s c i r c u n s t a n c i a s , s e

e n e l d i v i s o r . A c o n t i n u a c i ó n i n d i c a m o s como h a c e r l o c o n l o s e -

j e m p l o s s e ñ a l a d o s .

l+n-fiz3 (3+n)-3+3$2+E+2_5+4P KT 3 - ( 3 + J T ) ' 9 -2 - 7

E j e r c i c i o s 5

1 . - Dados l o s números n o n e g a t i v o s x,y, am s e l e l l a m a s u r a í z g e o m é t r i c a , m i e n t r a s que 25% e s su m e d i a a r i t m é t i c a . P r u e b a

que l a m e d i a a r i t m é t i c a s i e m p r e es m a y o r o i g u a l que l a m e d i a g e o m é t r i c a .

2 . - Supongamos a c b . a+b a ) V e r i f i c a que a c T < b .

b ) S i a20, ¿ e s c i e r t o q u e a c m t b ?

3.- S e ñ a l a p a r a q u é v a l o r e s de x l a e x p r e s i ó n s e n t a u n número .

- lo no r e p r e - F - 4 -

3 2 1 4 . - S i m p l i f i c a l a s u m a 6 T + r v + m .

5 . - P r u e b a l a d e s i g u a l d a d 2(4= 2 ( - 6 ? - m ) , s i e n d o x > l .

6.- R e s u e l v e l a e c u a c i ó n J x + l - i n = 3 .

6 . Valor Absoluto y Distancia

El valor absoluto de un número expresa su distancia al origen.

Por lo tanto, el v a l o r absoluto de x es un nhero no-negativo, que

denotaremos por I x I ,determinado por Ix I= x si x20 -x si xc0

Ejemplos

1) 121= 2, I - fa= -(-E) =

A partir de su definicibn,se obtienen facilmente las propieda-

des del valor absoluto señaladas a continuación.

Teorema 6.1

i) 1x1 = 0 <+ x = 0

- a X: O w a

Sea a)O. En l a figura ariter'r~p': , se puede observar que la con-

dición -acxc,a es equivalente a la condición ixI<a, puesto que

ambas definen el conjunto de números cuya distancia a l origen no

excede de a. De la misma manera, como [xl>a indica que la distan-

cia de x a l origen es mayor que a, vemos que esta condición equi- b

vale a x<-a o x>a. Enunciamos esto en el siguiente teorema.

Teorema 6 . 2

ii) si a)O, entonces l x J > a (=9 x<-a B x)a.

Nótese que en (i) no s e ha puesto riinguna restricci6n sobre a.

Esto es correcto; pues si a<G, tanto ixic,a como -aSxSa determinan

el conjunto vaclo.

E s importante notar que,mediante el resultado anterior, podemos

pasar de una Czsigualdad donde aparezca un valor absoluto a okra

donde no se presente y viceversa. La sic;i;iente proposición se re-

f i e r e a una situación análoga: pasar 6s una iguaidaa donüe apare-

cen valores absolutos a otra donde no se encuentren.

Teorema 6.3

1x1 = iyl <=> xa=yz.

Demostraci6n

41 1x1 = Iyl 3 x2= ixiz= ly(= y2,utilizando la propiedad (iii) . a.

e ) xz= y2 =+ \XI = J== sp= \y\. Q.E.D.

Hemos señalado que se cumple ixyl = 1x1 1 y\ . Sin embargo, para la suma el valor absoluto no se comporta "analogamente". Esto es, la

proposición I x+y I = I xi +iyi no es cierta. Por ejemplo: t5-21 # I S \ +\-2i.

No obstante, para esta operqción persiste una desigualdad muy im-

portante, por lo útil de sus aplicaciones,conocida con el nombre

de Desigualdad del Triángulo.

Desigualdad del Triángulo

I X+Yl& 1x1 + I y1 . Demostración

Como I x+yl , 1x1 +!y\ son números no-negativos; la desigualdad

Ix+yl ~lxi+iyi equivale a ix+y125 ( I x l + j y i ) . Enseguida, utilizando las propiedades (iii), (v ) y (vii) del teorema 6.1, se obtiene:

2

- a 2 2 '1 IX+y{ = (X+y) = X + 2Xy ya= I XI +- 2Xy + - IXIL+ 2 1 XiIy] i- JY\"

39

2. L 2. ( i x i + i y i ) - Luego, \ x + y \ ' - o x i + l y l ) .

Q.E.D.

Consideremos dos números r e a l e s a y b . Después de a n a l i z a r l a s

d i s t i n t a s p o s i c i o n e s que pueden guardar e n t r e sí, notamos que - l a

d i s t a n c i a e n t í e l o s Duntos a , b e s la-bl .

b' L CI. b o b" U"

Veremos ahora a lgunas a p l i c a c i o n e s de l a s propiedades y r e s u l -

tados que se han e s t a b l e c i d o .

Ejemplos

I) LOS con jun to s A = { X G R I t x+21 < i) , B = {XGR I1x+21 = 1)

C = {xeR I 1x+21 > 11 , d i v i d e n l a r e c t a r e a l en tres p a r t e s d i s j u n -

y

t a s ; l o c a l l z a l o s geometricamente.

Abreviemos por d ( a , b ) 1.a d i s t a n c i a e n t r e a y b . Luego,

I x+21= ix- (-211 = d ( x , - 2 ) . Interpretando l o s con jun to s dados de e s t a

forma, r e s u l t a A = ~ X G R I d ( x , - 2 ) < 1 ) , B = fxeRI d(x,-2)=1] , y

C = { xttR d ( x , - 2 ) > l ] , l o s c u a l e s podemos l o c a l i z a r f á c i l m e n t e :

C -1-1- C

Sea a R . Si rzo, a i con junto { X ~ R / ix-ai<rj l e llamaremos la

vecindad de a con rad io r . Nijtece que,en e s t o s t é r n i n o s , e l conjuri-

t o A d e l e jemplo a n t e r i o r e s l a vec indad de -2 con rad io 1.

2 ) Resuelve l a ecuación 12x-31 = 13x-11 . Por e l teorema 6 . 3 , 12x-3\= 13x-1) (2x-3)% = ( 3 x - l ? &

4 u

4x2-12x+9= 9x2-6x+1 e 5xL+6x-8=G. De aqul, aplicando la fórríiuld

para resolver una ecuación de segundo grado, se obtienen los valo-

res xi= - y xz= -2, que constituyen las soluciones de la ecuación

dada. ( E s instructivo resolver este ejercicio por un métoüo serne-

jante al desarrcllado en el ejemplo anterior.)

4 5

3 ) Si B = ;xCR 1 ix-Si< Ix+i\j , Represéntúio geometricanentz. Observando que ios puntos de O son aquellos cuya aistar'cia

a 5 es menor que su distancid U -1, es seRciilo verificar que I3

es el intervalo (2,- ) . -.'..'.". 2 5 -i o

4) Resuelve la desigualdad 13x-l1<2x+S . Por el teorema 6.2, ]3x-l1<2x+5 6 -(2x+5)< 3x-l<2x+5

4 5 --<X y x<6 e -2x-5c3x-1 y 3~-1<2~+5 (2 - 4 < 5 ~ y ~ 4 6

4 4 5 -+x(6. Por lo tanto, la desigualdad se cumple para x€(--,6;.

5 ) Encuentra el conjunto A={x€RI x34}.

Consideremos la desigualdad que define al conjunto A: &4.

Como 420, podemos utilizar el resultado: Osaacb @ GtE. Luego, 4 < x 2 & iT<-. Ya que E~=IXI , resulta la desigualdad 2 x(-2 o 2<x . Por lo tanto, A= (-@,-2)L) (2,a).

En la sección 4 hemos visto que un conjunto B es acotado s; y

solo si B esta contenido en un intervalo Cm,M]. En este caso, es

c l a r o que podemos escoger 00, suficientemente grande, para que se

cumpla: BcLm,M]c- C-C,~]. Hecho esto, para todo bEB se satisface

-csb-c <* Ib\%c. Recíprocamente, si I b i g c para todo bCB -=>

BC[-c,c]. De esta manera, hemos probado que una forma equivalei-.te

de expresar que un conjunto es acotado es la siguiente:

Teorema 6 . 5

B e s un conjunto acotaao <*) e x i s t e c7O t a l que \ b i $ c , para b € B .

La desigualdad d e l tr iángulo nos indica que ix+y\< \ x \ + \ y \ . si en lugar de y tomamos a+b r e s u l t a I x+a+bl S 1x1 + ia+b\$\x\ + I ai + \bi , aplicando de nuevo l a desigualaad citada. Repitienao este procedi-

miento se ;>atiene l a desigualdaá i x , -P. . .-.-x, 15 .x, i t.. .t \ &\ . Z s t a

expresi6n es muy Ú t i l cuando u n o <,;ere v e r i f i c a r si c i e n o con-

j u n t G de números constituye un conjurito acotado, proporcionando,

ademds,informacidn sobre l a s co tas . Veamos un ejem2io de e l l o .

Ejemplo

6 ) Indica una cota superior y una cota inferior d e l conjunto

{x4 -4x2+3 I -1sxs2}.

Pr-Lomero observemos que s i -1SxS2 .+ Ixl52 . I Cono

1 x4 -4x2 + 3 ,C I x41+ \ - & I + I 3 I = I xi4+ 4 \ x i f 3 y

i x i t 4ixIL+ 3(Z4+ 4 ( 2 ) 2 + 3 = 3 5 . Por l o tanto ,

i x I 5 2, r e s u l t a :

[x4-4x'+311 55.

De aqui concluimos que 3 5 es ima cQta superior y - 3 5 es una CO-

t a i n f e r i o r . Debe quedar c l a r o que l a estimacidn obtenida por

e s t e método puedo no ser muy prec i sa . Esto es, quizás con o t ros

procedimientos se p u d i e r a obtener una nayor cota i n f e r i o r I( una

menor cota superior, i o cual nos d a r l a una mayor información.


1. - Escribe "simbolicamente" (2 c o n junto de i a s números cuya dic- tanc ia a - 2 e s menor que 4 17 'mayor que 1 ; y l o c a l l z a l o geometricamente.

1 2 . - Determina e l in terva lo cerra& St-. longitud 2 y centro en -- 2 '

3 . - Encuentra e l conjunto A= +x& 1 f2+xI<O).

Determina l o s siguientes conjuntos: 4 . - B= \xER 1 Ix2-5x+6 \ = ~ ‘ - 5 ~ + 6 ) .

5.-

6.- D={zdR I ( Z l =31.

7 .- A= { X t R I Ix-11 I ~ + 3 l =3) . 8 . - B = { x ~ R 1 1 < \ ~ + 2 \ < 4 ) .

9 . - C=(XCR I O<\~-11(3]. 10.- D = { x c R 1 i2x+i\ <3x+2).

c= j x m I IX-21 + 17-XI = 5 } .

1 ’ 2 11.- si ~ = j i c ~ ; i 1 txic-) , B={ x e ~ 1ix-ii-~23, encuentra A ~ B y AUB.

12.- Señala para qu6. valores de x se cw,?,plelx2-li<l. 1 3 . - Indica para qué valores de x se cumple 1

1;;;<4. 14.- En cada caso señala un intervalo de Pa forma [-c,c] que con- - -

5 1’ c-2, -41 b) [+,3] C) [-9,4] tenga al intervalo indicado: a)

15.- Indica una cota superior y una cota inferior del conjunto {x3-4x+51 - 2 5 x 2 3 1 .

1 6 . - Demuestra que, si a<xtb, acycb Ix-y\Lb-a. 17.- Prueba que para toda X E R se cumple Ixnl=(xla. 18.- Prueba la desigualdad ix-y\% 11x1 - \ y [ [ .

7 P r i n c i p i o .___a- a e I n d u c c i ó n M a t e m i t i c a . _- .- - - S u m a t o r i a s _- - -- .

C o n s i d e r e m o s u n j u e g o , como e ; de ¡a f i g u r a , d o n a e el o b j e t i v o e s

tzz b t r a s l a d a r los d i s c a s en l a b a s e A a c u a l q u i e r a de l a s b a s e s B o C.

i d i ín ica coridi ;c- i tn e s q u e a; rez:izár 70s caJ7i;;os ue una ase a c T r d ,

nunca s s c e a i i que bn i i i s c ü e s t i enc ima i~ u z r o C O R z e n o r d - i i i r , ~ t r o . h u e s -

t r a p r e g u n t a e s e n t o n c e s l a s i g u ; c n c e : ¿ S e r á p u s l b l e h a c e r ;a; t r ü s 7 a -

d o p a r a c u a l q u i e r número n d e d i s c o s ?

R e p r e s e n t e m o s p o r F, l a p r o p o s i c i ó n "es p o s i b l e el t r a s l a d o d e n

d i s c o s d e b h A a c u a l - q u i e r a de l a s b a s e s B o C , s i g u i e n d o l a r e g l a

i n d i c a d a " . En e s t o s t é r m i n o s , deseamos v e r i f i c a r que P es c i e r t a pa-

ra t o d o v a l o r de n en los números n a t u r a l e s . Una forma de h a c e r l o s e

s i g u e d e o b s e r v a r l o s p r ó x i m o s h e c h o s .

P r o p o s i c i ó n

4 es c i e r t a .

D e m o s t r a c i ó n

S i u n i c a m e n t e hay u n d i s c o , c l a r a m e n t e lo podemos p a s a r a c u a l - q u i e r a de las b a s e s B o C .

Q . E . D .

P r o p o s i c i ó n

pZ e s c i e r t a .


A n t e s d e p r i n c i p i a r l a p r u e b a , c o n v e n d r e m o s en que los d i s c o s s e -

r á n i n d i c a d o s de menor a mayor d i á m e t r o , t a l como en l a f i g u r a a n t e ?

r i o r . Con e s t a n o t a c i ó n : t r a s l a d a m o s e l d i s c o 1 a l a b a s e C . Después,

e l d i s c o 2 a l a b a s e B y , f - i n a l m e n t e , t r a s l a d a m o s e l d i s c o 1 s o b r e

el disco 2 en la base B.

E s claro que procediendo analogdmente,podemos poner los discos.so-

bre la-base C.

. Q.E.D.

Proposición

F3 es cierta.

Demos t ra. LI ón

Utilizando la proposición anterior, trasladamos los discos 1 y 2

a la base C.(Ver figura siguiente). Enseguida, cambiamos el disco 3

a l a base B. Ahora, de nuevo por la proposición anterior, es posible

llevar los discos 1 y2 sobre el disco 3, según la regla acordada. El

traslado a la otra base se realiza en forma similar.

Q.E.D.

Proposición

% e s cierta.

Demos t rac i Ón

Mediante la proposición anterior, podemos llevar los discos 1,2 y

3 a la base C. Trasladamos enseguida el disco 4 a la base B. Aplicülz -

do otra vez la proposición anterior, pasamos l o s discos 1,2 y 3, f i -

nalizando según se requería.

Q.E.D.

Siguiendo con este proceso, podemos ver que Ps es cierta; lo mis-

mo que pb , y proseguir así, indefinidamente. Sin em go, este procg

dimiento no probará nunca que P, es verdadera para &-natural n .

Ello be debe ¿i que N es un conjunto infinito, por lo que siempre ha-

brá níímeros naturales para los cuales no habremos verificado la a f i i - -

macidn señalada. No obstante, a partir de las pruebas de las proposi -

cienes Pi, P z , P3 y P4 podemos darnos cuenta de la siguiente caraete -

rística de la proydsici6n P,.

ProDosición

Demostraci6n

Consideremos la base A con k + l discos. Y a que P, es cierta, es po -

T C 1 * &,eL k + i

-

Y+ A L L \ L A s i b l e pasar l o s primeros k discos a la base C. Enseguida, pasamos el

disco k + l a la base B. Ahora, de nuevo utilizamos que PK es cierta pa

ra afirmar que e s posible trasladar los discos 1,2, ..., k de ia base C

a la base B. De manera similar, se hace el traslado a la base C.

Q.E.D.

Dando a n todos los posibles valores naturales, mediante el resul-

tado anterior se obtiene la siguiente cadena de implicaciones:

P, j P2 ... (1); P* =+ P3 ... (2); ...... ?K -3 P&+,. . . (k) ; . . . . Como hemos visto que P, es cierta, de (1) se sigue que P2 también io

es. Enseguida, por (2), concluiinos que P, también es cierta. Repitier. -

do este argumento, vemos que P,, es cierta para cualquier natural ir,

con lo que cumplimos nuestro objetivo original”

En general, el razonamiento anterior sigue valiendo cuando traba-

jamos con proposiciones acerea de números naturales. Dicho razonamien -

to se basa en las anteriores proposiciones (I) y (I11 , y constituye el método de inducción matemática, que enunciamos a continuación.

Principio de Inducción Matemática

Sea Pn una proposición acerccl de los números naturales. Si

a) Pi es cierta y b) PK 3t, Pr.& para cada kcN, entonces

P, es verdadera para todo natural n.

Enseguida probiremos una fórmula para los nberos naturales u-

tilizando el rr&rodo de inducción.

Teorenz 4 . 1

Para todo natural n, 1+2+3+ ...+ n=n(n+l) 2

Demostracián

Nótese primero que, en este caso, la proposición P,es la fdrmu - la n (n+i)

2 1+2+. . .+h= a ) Para n=l, el miembro izquierdo de (A) es 1, y el miembro derecho

'('+') = 1, cumpliéndose la igualdad. es 2 k(k+Pj ii)

2 b) Supongamos que la fórmula vale:-$ara' n=k, es decir,l+2+ ...+ k= Queremos verificar que la fórmula también se cumple cuando n=k+l.

Sumando k + l en ambos miembros de la ecuaci6n (1) y realizando algu

nos pasos algebráicos,se obtiene :

-

k (k+1)+2 (k+l) - ( k + 2 ) (k+l) I que k(k+l) +k+l= -

2 2 2 1+2+. . . + k + ' ( k + l ) =

es precisamente la fórmula dada, cuando n=k+l.

Q.E.D.

Como otra aplicación del método de inducción probaremos la par - z 3 1 1

t e derecha de la desigualdad 1' + 2 2 + . . .+ ( n - 1 ) < < la +2'+ . . .+ (n-l)i-n.

Recordando los pasos del método de inducción matemática, debe-

mos probar las dos propiedades siguientes: 1 a) Que la d e s i g u a l d a d vale para n=l: Como 3'1, esto es cierto.

b) Que si vale para n=k, también se cumple cuando n=k+l. Si la de

sigualdad vale para n=k, se satisface 3<1 +...+ k . Sumando ( k + l )

- k3 2 2 2

. . _

47

3

en ambos miembros, resulta + +R+lf< 12+ ...+ k2+(k+l)? . . (1). Ahora, J

(k+i)3 -k3+3k2+3k+& = $ + k 2 + k + I< $+ k"+ 2k + 1 - k'+ (k+l)?, 3 - 3 - como

se obtiene (k+1)3<''$3+ (k+l)'( 12 t ...+ k2+ ( k + l ) . Por l o tanto, 2

(k+1)3< 12+. . .+ k"+ (k+l)2, lo que prueba la desigualdad cuando n=k+l. 3

Cabe abservar que se puede utiliaar el método de induccidn para

probar que una proposición, o fórmula, acerca de los números enteros

se cumple a partir de un cierto ea'cexo N (no necesariamente positivo).

En esta situación, en lugar de probar que la afirmación e s cierta pa - ra 1, se prueba para N. El paso Cle inducción sigue efectuándose en

igual forma que antes.

Probemos que n37 n2+5 , si n= 3 , 4 , . . . . a) Para n = 3 , n3 = 27, mientras que nz+ 5 = 14. Por lo tanto, la desi-

gualdad señalada es verdadera para N=3.

b) Supongamos que la desigualdad se cumple para n=k. Entonces, k3> k2+5.

Empleando este hecho, al desarrollar ( k + l ) se obtiene:

( k + l f = k3 +3k2 + 3 k + l > ka+5+3kZ+3k-k1= (k+l)= +5+k+3k2L> ( k + l ? +5 . Lo cual

prueba que la desigualdad se cumple si n=k+l.

3

Q.E.D.

Sumatorias

Todos sabemos lo conveniente que es ahorrar tiempo y espacio. Por

ello queremos escribir en forma abreviada sumas como:

a, + a,+. . .+ a, O x5 + xb + xT+ xe+ xy

La notación que emplearemos es 14a de sumatorias y consiste en indi-

car una suma mediante la letra griega sigma: 2. A s í :

a) f+= a, +a,+...+a,

4 t i

A la letra que aparcce en lc2 cumatoria (k en (a) y J en íb)), se re

llama índice de la sumatoria. Nótese que podemos usar como índice de

una sumatoria cualquier letra.

Tambieíi es importante observar que una sarna ia podemos expresar por

cumatorias distintas. Tal es el caso siguiente:

2) 1+2+22+23+24= 2q'1= 2r = 2 5-n = 26-k

q=l r = O n= d k=2

Cuando ak = a, k=1,2, ... n, se escribe simplemente 1 a. As í :

k=l 3) 2=20 y f 3=18.

k=l k=5

n

k=l Como 1 (a +b )=(al+bl)+.. .+( an+bn)=(al+ ...+ an)+(bl+ ...+ bn) resulta k k n n n n

1 (ak+bk) k=l k=l k=l k=l = 1 ak+ 1 bk. Similarmente, 1 cak=cal+ ...+ can = que

n n = c(al+ ...+ an) implica que 1 cak = c 1 ak. Esto prueba las primeras

k=l k= 1

dos propiedades de las cumatorias anunciadas a continuación. La tercera

es consecuencia de que 1 (ak-ak,l)=(al-ao)+(az-al)+.. .+(an-a,-l). En - k=l

esta expresión se cancelan todos los términos intermedios, excepto ei --

primero y el último; de lo cual se obtiene n 1 (a k -a k-1 )=a n -ao .

k=l

n n n

k=l k=l i) Propiedad aditiva 1 (ak+bk) = k=l 1 ak+ 1 bk

n n _. .~

ii) Propiedad homogénea 1 Cak=C ak k=l k=l n

b=l iii) Propiedad telescópica 1 (Ak-Ak,l) = An - A D

L .

E l próximo r e s u l t a d o nos i n d i c a una f o r k d e cáicularblwid:+xtx'+ . . . t^ ,

llamada progres ión geométr ica . SóLese que cada sumando se o b t i e n e mülti-

pl icando e l a n t e r i o r por e l f a c t o r c o n s t a n t e x.

Teorema 7 . 2 n+ 1

, si x#i. 1-X n

k=9 *-A 1 xk =

Demostración

L a prueba s e r á por inducc ión . Veamos entonces que l a fórmula áada

= @- )cf+r) = i+ = xoT xA. I- x

a ) E s c i e r t a para n=l. Esto se cumple pues 7 A-x

b) Suponiendo que v a l e para n=k, también se cumple para n=k+i.

k + l k 1-x . Sumando x k+l en ambos Corno v a l e para n=k: l+x+ ...+ x = -

miembros r e s u l t a : l + . . . + x +x = - + x k+l+xk+l k+2 - - k'ix k+l - 1-x -X - k k + l It-x

:I-x 1-x k+2

; l o c u a l s i g n i f i c a que l a k + l :L-x k+2 = -

1-x . Es dec i r , l+...+x 1-x 1-x

igualdad v a l e para n=k+l.

Q.E.D.

Ejemplos

1) Calcu la 1 j . 1000

j = i

Aplicando l a fórmuia d e l teorema 7.i con n=1000, r e s t i l t a

L j = l

2 ) Calcu la 2 1 0 + 2 " + . . . + 2 2 0 . .

En e s te c a s o hay que observar que l a expre s ión aadaes p a r t e de una

Z2l'1 - 2'O-l - - 2 2 1 -210 . ptqweigeométrica. Así, 2" = 2" - ;2*= 2-1 1 n=10 n=O n=O

1 . - Encuentra ei v ¿ i i o r de l a s :>i~,~ientes sumas:

2.- El isótopope radio 228Ra pierde 9 . 8 % de su intensidad de radiación cada año. Si 1; denota la intensidad original, a) ¿Cuál es .a iritensLdad después de uno y dos años? b) ¿Cub1 e s I;,tensidad I después de n Gños?

ri

3.- 24 jurJ:.,¿res prt;cipúron en un torrAez CIS Ljearez, el c u a l se d i v l - di6 en 2 secciones. Zn cada ana, ZGCO participante l u g 6 una. part;- La contra los participantes reUt:.:.-.xs. La sección ib tuvo 69 jaequs más que la sección A. El Sr. Gambito, invicto en l a seccidn A , c o t ( liz6 ' S , S - puntos. LCudntos jueqos d e l Sr. Gambit0 fuer6n tablas? (Nota: i juego ganado v a i e 1-punto, i juego empatado (tablas) vale 1/21.

n(n+l) (2n+l) b) calcula j2

j=40 6 4.- a) Demuestra 1 2 + 2 ' + ...+ n2 =

n 5.- a) Verifica que con 2 -1 pasos se puede hacer el traslado de n discos de una base a otra, en el juego mencionado al principio de esta sección. b) ¿Es posible hacerlo con menos?

2 7.- a) Prueba que 1+3+ . . . + ( 2n-l)=n . 5) Calcula 1+3+ ...+ 1011.

8.- Demuestra que 1'+2'+ . . .+ n3=(1+2+ ...+ n)'. 3.- Indica si e s cierta la afirmación: para cada n, el número

n'-n+41 es primo.

ir;.- Observa que ( 1 - ¡ , ' 2 ) = 1 / 2 , (1-1/2) (1-1/3)=1/3, (1-1/2) (1-1/3) (1-1/4j=1/4.

Trata ae hallar una fórmilla breve para el producto (1-1/2). . . (l-l/l?), n=2,3 . . . y ? ruébala por inducción.

11.- Observa que 1=1, 1 - 4 = - ( 1 i - 2 ) , 1-4+9=i+2+3, i-4+9-16 = -(1+2+3+4). Encuentra la regia de formación "sugerida" y pruébala por inÜucciÓr-

12.- Encuentra una regia que simplifique el producto (1-1/4) (l-l/9j . . . (l-l/n2) y pruébala por inducción.

13.- Una persona incurre en una deuda, de manera que en el iésiino a I a tiene que pagar G forma siguiente:

pesos, siendo la cantidad Gi calculada de i a i

a) G . = l b) Gi'Giq+ iit2 1

;.Cuál es la cantidad que ha pagado al cabo de n dlas?.

14.- Prueba que si n es un entero 1. n' es par, entonces n es par.

15.- Demuestra que n3-n es divisible entre 6, para n c N .

8 . Binomio d e hjcwtcin ---_

E:; iiien C O ~ O C I ~ < - I I , ] I - C C J ~ : ~ para elevar un binomio al cuadrado:

(atb)?=a"+2ab+b2. Esta fórmula se puede generalizar, de manera que

c o n ella podamos '-2icular cualquier potencia natural de un binomio.

E s t a generaiiL3ci6r. es l a que SE? conoce como l a "fórmula ae: bitlo--

n i 0 de N c . , . ; ~ n " . Ar.~es Ce enunciarla ;J c.a-,ostrar;a harexoc, COT;~G

cis costumbre, aigunas definiciones y 0Dservacione.s necesarias.

Definicidn

a) O!=l ,n! = (1) (2) ... (n) (El símbolo n se iee como 'In factoria;";

b) Si niN , y k es un entero Ockán, n! k! (n-k)!

Ejemplos

l!=l, 5 1 = ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) ( 5 ) = 120

! 5 \ id ,

Calcula

5 ) 5 ! 3 I = 3 1 ( 5 - 3 ) !

n! io) = O! (n-O) !

Teorema 8.1

a) ( n + i ) ! = n! (n+ij

Demostraci A n

a) S i n=O, (n+i)=l, y se cumple l ! = O I

S1 nbl, ( n + l ) ! = ( i ) ( 2 ) . . (n) (n+i)=ji(2). . . (n)] (n+l)=n! í n + i ;

i)c\L)c notarsc que si O:.kan - . OGn-kdn.

Q.E.D.

Lema 8 . 2

Sean n,k e:.Ldzcs, n ~ 1 y l.<ñán. Entonces,

Demostraci5n

- nl - n! - (k-1) ! (n- (k-1) ) ! + k! (n-k) ! (k-1) ! (n+l-k) r n!

kn! + (ntl-kN! - ( n + i ) n! - - - n! k! (n-k) ! k! (n+l-k) ! k! (n+l-k) ! + -----

Q.E.D.

Binomio de Newton

k=O

Demostración

Lo probaremos por inducción.

1 n-k k n (a) Para n=l, 1 (k; a b = 1 (k) an-kbk = a'bo+aob' =

k=O

a+b= (a+b) ' . k=O

(b) Supongamos que la igualdad SE! verifica cuando n=j. Entonces,

ía+b) n+l= (a+b) (a+b) "=a (a+b) "+b (a+bj . tesis de induccibn, resulta ía+b) =

n

j+i Aplicando enseguida la h i p 5

j j / j i j-k,K+:

1 ( k / a r3

j 7 j-k k: j+l-kbk+ 3-kbk+b 1 (k) a b = 1 (k) a k=O k=O k=O k=O

5 4

3 \ , ; + l - k . K Ccimbiando Indices, la últiina suma se ex2resa como (k-i) b ;

a partir de lo cual se obtiene: k=l

k=O k=l k=l

Utilizanao ahora el lema 8.2, podemos ccncluir que

k=l k=O

precisamente lo que indica la fórmula para n=j+l.

Q.E.D.

n-kbk al desarro De acuerdo al resultado anterior, el coefkciente de a -

(3 = (3 * llar la potencia (a+b)” es (k) . Luego, la fórmula

‘n-l) si \ k l,<k,<n-l, permite obtener los coeficientes en el desarrollo n- 1 de (a+b)” a partir de los coeficientes en el desarrollo de (a+b) . De

esta forma, principiando por los coeficientes de (a+b)’, y teniendo en -

cuenta que. a y bn siempre tienen coeficiente 1 al desarrollar (a+b)”, n

resulta el llamado Triángulo de Pascal:

potencia coeficientes

1 1 - 1

2 I , 2 1 . , . . 3 1 5. $ 1

\ . I

4 1 4 ‘O 4 1

5 1 5 10 10 5 1 ‘ ,‘ ‘ J E! 1 6 15 20 15 6 1

Ejercicios 8

('3" 1 1.- Calcula

2.- ¿Para qué valor de n se cumpie

3.- Determina e l coeficiente de x2 y' al desarrollar (x+yI7.

4.- Demuestra que para h > O y n c N I (l+h)" a l + n h .

5.- Señala un valor de n para el que

6.- Ynaica si la sucesión de números x,=íl+l)', x ~ = ( i + - ) 2... X n = \ -+_ I . . . ,

( Y ) = 45?

10 2">1ú . 1- i * I .

2 . I constituyen un conjunto acotudo.

9 . C o m p l e t c z dc Los Números .- ' - 2 s : Axioma d e l Supremo

C o n s i d e r e m o s l a e c u C i c iór. x 2 = 2 . D e s d e tiempo de. P i t á g o r a s , se cc-

noce q u e n i n g ú n número raciomal l a satisface. E s t o e s , n i n g ú n númerc;

r a c i o n a l elevado a l c u a d r a d o e s i g u a l a dos; como l o p r o b a r e m o s erice -

g u i d a .

Teorem' '.i

~o e x i s t e número r a c i o n a l x, E,- q u e x L = 2 .

Demos t rdc i 6 n

Procederemos por contradicciÓn,suponiendo q u e exis te un racio:;ü- -%

t a l q u e x a = 2 , h a s t a o b t e n e r iina c o n c l u s i ó n a b s u r d a . Por ser d i c h i ; 2;

r a c i o n a l , se p u e d e e s c r i b i r x = E , s i e n d o p y q e n t e r o s s i n faccorc; 9 )

primos e n común. As€, e l e v a n d o a l c u a d r a d o , se o b t i e n e x"= 2 = L . .,c

a q u í q u e p2= 2q *. . . . (1). E s t o n o s i n d i c a q u e p 2 e s p a r . Como p es eri-

t e r o , se s i g u e q u e p es p a r ( d e l o c o n t r a r i o paser ía impar I . Püdé-

3 < -

q2

mos e s c r i b i r e n t o n c e s p = 2 c , para a l g ú n e n t e r o c . S u s t i t u y e n d o estc e;

(11, r e s u l t a 4ca= 2q' 2 c = q2. R e p i t i e n d o e l a r g u m e n t o a n t e r i G r , 2

c o n c l u i m o s q u e q t a m b i é n es p a r ; l o c u a l c o n t r a d i c e q u e p y q n o C L ~ - -

n e n factores primos e n común.

/ Q.E.D.

C o n s i d e r e m o s e l s i q u i e n t e t r i á n ! g u l o r e c t á n g u l o Por e; %G-

rema de P i t d g o r a s , sabemos q u e l a l o n g i t u a de ia h i p o t e n u s a es ilr. T.:- -

mero x t a l q u e x 2 = 2 . La p r o p o s i c i ó n a n t e r i o r n o s dice q u e es te :.L?X -

r o n o forma p a r t e de los r a c i o n a l e s . Como c o r , s s c u e n c i a de e l l o , r ~ j 3 ~ - -

t a a l g o muy i m p o r t a n t e , ya m e n c i o n a d o a l c o m e n z a r n u e s t r o e s t u a i ú : :k

es p o s i b l e medir c u a i q u i e r l o n g i t u d u t i l i z a n d o s o l a m e n t e los ,?;L-~c.- -- !L

r a c i o n a l e s . Para s u p e r a 4 e s t a d i f i c u l t a d se i n t r o d u c e n los nfineru.,

r r a c i o n a l e s , q u e c o n los r a c i o n a i e s c o n s t i t u y e n e l c o n j u n t o u e rLkL.L-

-

ros r e a l e s .

Para mostrar l a u t i l i c a d de l o s números r e a l e s , debemos entonces

de probar que con t i i los s l podemos medir cualquier longitud. S i n em

bargo, de l o s axiomas de campo y de'orden que hemos establec ido no

es posible d e u u c i r t a l consecuencia. La razón e s que, de poderse rea

l i z a r , ést? también s e r í a c i e r t a para ccaLquier conjunto que cwn~lie -

r a dichos axiomas. Como 19s racionslzc l o s cumpien,se contraGrr5a 2;

teorema anter ior .

-

-

kmos a s € l a necesidau de ampliar nuestro sistema de axiomas parü

i n c l u i r los números i r rac ionales en l a estructura numérica que eiios

definen. P a r a lograr e s t e o b j e t i v o , basta ahora tan solo introducir

o t ro axioma, llamado de l supremo o de completez. Este proporciona a

l o s números r e a l e s l a propiedad de continuidad, que es fundamental

p a r a l a e s t r u c t u r a lógica del Cálculo y para sus apl icaciones "prác-

t i cas .'I

- Definición

Sea S un conjunto. Cuando aES es t a l que a%s (ass) para toda SCC,

Le llamarnos elemento máximo (mlnimo) de S .

E j emplos

1) Consideremos e l i i i tervalo I= [O,a . Evidentemente, max.1 = 1 y

m i n . 1 = O .

2 ) Consideremos ahora e l i n t e r v a l o J= 0 , l ) . De naevo, es c l a r o que

m i n . J = O . Sin embargo, J no t i e n e eiemento máximo.

E n conjuntos q u e están acotados superiormente pero no t ienen eLe

mento máximo, como e l intervalo J del e jemplo a n t e r i o r , e l conce?to

-

d e mfnima cota superior o supremo toma e l lugar de l a noción de e l L -

mento máximo.

Definiclón

Sea BcR. E l número s es e l supremo, o mínima cota superior,de B s i :

a) s e s cota superior de B, y

b) Ningún nCu,aero menor que s es cota superior.

Indicayenos l o anter ior con l a r iotáci in s=sup B.

Nótese que cuando e l conjunru B t iene elemento máximo, éste t m b i é :

e s e l supremo de dicho conjunto. No obstante, hay muchos conjuntos que

no poseen elemento máximo pero s í supremo. Por ejemplo, e s t o ocurre ei

e l ejemplo (21, donde sup J= 1. E l axioma d e l supremo, con e l que coir. -

Fletaremos l a d e s c r i p c i 6 n de l o s números r e a l e s , nos indica que e s t o

siempre sucede cuando B es un conjunto no vacío y acotado superiormen -

t e .

Axioma del Supremo

J c,t3s ScJpUrYo-

O

Todo conjunto de números r e a l e s que es no vacío y e s t á acotado su-

periormente, t i e n e supremo.

Enseguida señalamos dos propiedades importantes del concepto ante-

r i o r .

Teorema 9 . 1

Cuando e x i s t e , e i supremo de un conjunto de n h e r o s es Gnico.

Demostración

Consideremos un conjunto a r b i t r a r i o B , y supongamos que posee dcs

supremos d i s t i n t o s : s y m. Entonces, se cumpie s t m o mcs. Y a que taí.-

t o s como m son cotas superiores, e s t o indica que no se sa t i s face l á

condición (b) de l a def inic ión de supremo. ‘Com-c e s t o no puede sei‘,

l a suposición o r i g i n a l de que m y s s o n l d i s t i n t o s , es incorrec te . rr

Q . G.

Supongamos s= sup B , y consideremos €30 a r b i t r a r i o . Como s - E n 0 es

5 9

cota superior ae B , e x i s t e b € B t c l que s-&<bCs . Nótese que es to

s e cumple para todo€>O, no importa q u e tan pequeño sea éste.

De l a misma"Fsrna"en que se def in ió l a mínima cota superior de un

conjunto, s e &fine e l concepto ae máxima cota i n f e r i o r o Infirno.

Facily,:.-LLe s e puede v e r i f i c a r qcle posc, l a s propiedaües corresponb.'

dientes a l a s señaladas para e i a-L,~reino. En p a r t i c u l a r , como conse-

cuencia del axioma del supremo, r e s u l t a que cualquier conjunto no

vaclo y acotado inferiormente, posee una máximo cota i n f e r i o r .

Teorema 9 . 2

Todo conjunto de números r e a l e s que e s no vacfio y e s t á acotado

inferiormente posee Infimo.

Demostración

Consideremos un conjunto B que es no vacío y e s t á acotado i n f e -

riormente, y llamemos C a l conjunto de s u s cotas i n f e r i o r e s . Por h i -

p ó t e s i s , C es no vacfo y e s t á acotado superiormente, pues cada e l e -

mento de B e s cota superior de C . Luego, e l axioma d e l supremo nos

indica q u e e x i s t e m = sup C. lbamos que m = i n f C : Como cada be3

es cota superior ae C , entonces mlb; l o cual indica que m es cota

i n f e r i o r de B. S i c es cota i n f e r i o r de 3 => c f C c s m . Luego, m

es l a máxima cota i n f e r i o r .

Q . E . D .

Ejemplo

3 ) Consideremos l a sucesión de números: 1 , 2, 7 ,

Claramente, s u máximo e s 1. No obstante qui3 e s t a sucesión no t ief ie

I - 1 1 . . . , n , . . .

mínimo, su ínfimo e s O .

6 0

E j e r c i c i o s 9 I n d i c a s i e x i s t e n cl S G ~ ~ L - ~ ; : I A ~ y el í n f i m o de las s i g u i e n t e s c o n -

j u n t o s . Cuando e x i s t a a l c j j ~ ; ? ~ ut' &11os, s e ñ a l a s u va lor . 1+2+. . . +n I ntN) 2.- B=[x 1 X= ( - 1 . 5 ) , nEN) 1 . - A=[x/x= n

1 4.- . = \ X I x= - 2* noN1 3.- c = { x ~ x = (-iln (i-;) , níN)

5 .- E= \FkQ+l p2< Zq')

n

n!

SI- Considezen-,os una e i r c u n f e e e n c i a de radio 1. Para cad2 po1lc;ono P i n s c r i t r J e n l a c i r c u n f e r e n c i a , sea X ( 9 ) s u perímetro. Si A es e l conjLi;.to de números k(P), d e t e r r n i n a sus A.

7.- D e t e r m i n a dos c o n j u n t o s , A y ¿, qLe sean n o v a c í o s , a j e n o s y sa - t i c f a g a n s u p A= sus B , i n f A= i n f B.

.c

61

1 0 . Consecuencias del Axioma d c l Supremo

La consecuencia más importante d e l axioma d e l supremo cons is te

en implicar l a e x i s t e n c i a de l a s números i r r a c i o n a l e s , e s t o e s , nú-

meros que no son cocientes de enteros. En p a r t i c u l a r , ahora s í pode -

mos demostrar que todo número pos i t ivo t iene una r a í z cuadrada. Aun -

que e s t o se 2odrla r e a l i z a r enceguida, nosots;os l o probaremos m e - -

diante un resultado más general. que se es tab lecerá en l a sección 3 4 .

Las propiedades que señalamos a continuación son l o bastante e v i -

dentes para aceptar las s i n prueba. NCi obstante , resul ta interesante

observar que s u demostración requiere e l uso d e l axioma d e l supremo.

Teorema 1 0 . 1

Los nfimeros naturales no están acotados superiormente.

Demostración

Lo probaremos por contradicción, suponiendo que IN sf e s t á acotado

superiormente. En e s t e caso, como N es no vacío , e l axioma d e l supre -

mo asegura que e x i s t e s= sup N., Consideremos entonces un natural n

que sea mayor que s-1: s - l < n 23 s c n + l . Como n + l también es natura l ,

e s t o contradice que s e s cota superior de IN.

Q . E . D .

Como coro lar ios del teorema a n t e r i o r , se obtienen los s iguientes

resultados:

Teorema 1 0 . 2

Para cada r e a l x e x i s t e un entero pos i t ivo N t a l que N>x.

Propiedad Arquimediana

Sea x>O. Entonces, para todo M, e x i s t e un entero pos i t ivo N t a i

que NxlM.

6 2

Geometricamente, la propiedad aryuimediana indica que cualquier

segmento, no importa cuán largo, puede cubrirse mediante un número

finito de segmentos de recta de una longitud dada, sin importar lo

pequeña que ésta sea. En otras palabras, nos señala que con una re-

gla pequeña se pueden medir distancias arbitrariamente grandes.

*

A partir de la propiedaa arquimediana, no es muy diflzil demos-

trar que entre cualquier par de números distintos se encuentra un

número racional, lo mismo que un irracional. Repitiendo este argu-

mento, vemos que no sólo podemos e.ncontrar uno, sino una infinidad

de números racionales e irracionales entre dos números reales dife-

rentes. Para expresar esta hecho se dice que los racionales e irra-

cionales son densos en la recta real.

Hemos visto que la suma y el producto de dos racionales también

es un número racional. Esta característica no la poseen los números

irracionales. Es decir, en ocasiones la suma o el producto de irra-

cionales puede ser un número racional. Por ejemplo:

n-n= o (J2) ($2) = 2.

Sin embargo, en los siguientes casos el resultado de la operaci6n

siempre es un ndmero irracional.

Teorema 10.4

Sea L un número racional y z un irracional. Entonces, los siguien -

tes números son irracionales:

i) r+z, r-z, z-r ii) rz, si 1 9 0 z r iv) - r’ z iii) -L si rf0.

Demostración

Probaremos unicamente (i), pues los demás resultados se demuestran

mediante un argumento similar. ?cocedamos por contradicci6n, supo-

niendo que p=r+z es racional. Entonces, r+z=p -3 z=p-r -3 z es ra-

cional, pues r y p lo son.

Q.E.D.

Ejemplo

- JT es racional. 1+ E m Zetermina si el ndmero

Para determinar lo que se pidle, expresemos el número dado de una

manera sencilla, realizando para ello algunas simplificaciones alge-

bráicas:

Este número es la suma de un racional y un irracional. Por la propo

cición anterior, concluímos que :se trata de un irracional.

-

h: jercicios 10

1.- Supongamos acR y Osas- para todo ntzíN. Prueba que a=O.

2.- a) Prueba que la sucesión: a, a’, ..., a ,... no está acotada 1 n

n

si a,l. b) ¿Qué pasa cuando O,(a,<l?

3.- Sea x>O un número irracional. Indica s i m e s racional o irracio - nal.

6 4

11. Representación Decimal

Desde nuestros primeros contactos con los números, "sabems" que

éstos se pueden expresar también en forma decimal. Por ejemplo:

30 - = 4 .285724 1 7

- _ *; -- 5 .75

(la barra sosre ciertas cifras indica que ese conjunto de cifras es

periór'.L<o, esto es, se repiten indefi:;áamente.)

La forma en que se encuentra representación decimal de un nU -

mero positivo x es como sigue:

Si x no es entero, entonces está entre dos enteros consecutivos,

digamos: a < x < a + 1. Enseguida dividimos el intervalo

a ' " ' . - I x ' " . &+l , a +11 en diez partes iguales.

Si de nuevo x no es ningún punto de la división, otra vez resulta a, +I localizado entre dos puntos consecutivos de ella:. .a +AL, x < a + 10

siendo al un entero entre O y 9 . Continuando con este proceso, tene -

mos "finalmente" dos posibilidades:

a ) x coincide con alguno de los puntos de una división,digamos la

m-ésima; o

b) x no coincide con ningCn punto de las divisiones.

10

En el primer caso, la expresión decimal obtenida es x = a . a , a , . . ¿&

mientras que, en el segundo, la sucesión a,, az,. .., an, ... prosig~e indefinidamente, y escribimos x = a .aLa2 ... a,.. .

Nótese que en la n-&sima subdivisión, el número x satisface l a s

desigualdades

Luego, si x = a .a,...a,..., la expansión decimal finita a .ai...an

a . ala,. . .a, c x c a . a%%. . .a, + + (1)

I aproxima a x con un error menor que - . Como practicamente es iqpo- 1 O"

sible operar con expansiones decimales infinitas, la manerd en

que éstas se trabajan es "cortándolas" en cierta cifra deciinai. Zn

esta situación, la observación anterior permite afirmar que, tomsziio

un número suficientemente grandz ae cifras decimales, se puede obtg

tener cualquier precisión requerida.

Practicamente, para determinar la representación decimal de un

racional E , basta con efectuar la división indicada. Si se trata de un irracional, hay que seguir los pasos antes señalados.

9

Consideremos dos números reales, x = á.a,a, ... a,...

y = b.b+b, ... b, ... , cuyas expansiones decimales han sido encontra das por el método indicado. Si x # y, las expansiones decimales de

estos números no pueden coincidir. Supongamos que éstas difieren

por primera vez en la n-ésima cifra decimal: Si an< b, => x < y ;

en cambio, si a,,> b , 3 x > y .

-

Ejemplos

1) 23.304 > 10.102 -

2) 2.001 > 2.001 , pues 2 . 0 0 1 = 2.0010101 y 2.001 = 2.001001~i

h a vez que dStamo&.disc.iikkendo las represeBtaciones+decima&es

de810s nheros, podemos preguntar si, en base a ellas, se pueden

distinguir los racionales de los irracionales. La respuesta, sor-

prendente, la da el siguiente resultado, que tan sólo se enuncia.

Teorema 11.1

ü-i número es racional si y sólo si su representación decimal es

periódica.

Ejemplos

Representa en forma decimal l m o s siguientes racionales:

2 3 3 ) -g 2 3 4.) 3 7

66

2.875

70 81 23

6 0 40 -

1.3529411764705882 17 [23

6 0 90

50 160

70 20

30 130 110

80 120

100 150 140

40 6

Considerando las divisiones anteriores, se puede ver porqué todo

racional tiene una representaci6n decimal periódica. Para ello,debe

notarse que al hacer la división Vntre un entero p,

que van resultando siempre son menores que p. Como sólo hay un nú-

mero finito de estos, llega el momento en que uno de ellos se repi -

te ( el 6 en el ejemplo (2) 1 , por lo que también se repetirán las

los residuos

siguientes cifras.

Acontinuación, emplearemos un argumento intuitivo para indicar

una manera en que, dada una expresión decimal periódica, se puede

encontrar el número racional al que pertenece.

E] emploc

Representa l o s siguientes racionales como cociente de enteros.

5 ) 0.123

- .-- - . Haga*ios x ’ = .m EKtoncec l O O O x = 123.123 Enseguida,

restando, se tiene l O O O x = 123.123 De donde resulta que - -

-x = -0.123 999x = 123

123 999 - . x = -

6) Por medio d e l mismo argumento a l ejemplo1 anterior se obtiene la

l o s prdximos ejemplos.

7 ) 0.0018

1 18 - 1 100 99 550

_.

0.0018 = L0-2(.18) = - - - - 8 ) 2.1235-

2.1236 = 2.12 + -(.E) 1 = 2.12 + - I 3 6 - 2 1 2 . 1 - - 100 -- 100 99 - 100 25 i1

53 + - - - 1 - 584 25 275 275 -

Puestc que la expresión decimal de los siguientes números no es periódica, en base al teorema anunciado,se duede afirmar que se trcl ta de números irracionales.

9) 0.123456789101112131415 ... 10) 2.10100100010000100000 ....

-

1

Para finalizar esta sección, realizaremo4 unas operaciones utili - zando notación decimal.

fi) Simplifica .O0488 10" + . 98*10-9 1 Lo primero que conviene hacer es expresar cada sumando en térmi-

nos de la misma potencia. ASP, 0.0048.16' +,0.98*10 = 0.48=16'+0.98r109

Enseguida, factorizando, resulta (0.48 + 0.98)i69= (1.46)=1Ó9.

- 9

i

12) Realiza el proaucto ( 7 . 8 ~ 1 6 ~ ) (0.49*10-5).

Para efectuar este producto se aplica la regla 10"*lOm= i G n * w i

Así, (7.8. l o 4 ) (O. 49-16') = (7.8~0.49) (io-*= 3.822* io-'

Ejercicios 11

1.- Ordena de mayor a menor los siguientes números: a ) 7 1 I (.3), -1 99 34 , .333~, (.T? b) (1.01)",1, (.Sf'

2.- Señala cuáles de los siguientes enunciados son falsos y cu5iec

6 8

son verdaderos. Corrige los esunciados falsos. 3 - > . 7 5 ; - 5 < 5 ; -6>3 ; -1(0<1 ; -5)l)O. 4

zan con 1.0234107, 1.0235106, 1.023510, respectivamente. Indica si los siguientes enunciados son falsos o verdaderos.

d) yz,1.04 a) x<y b) x+y< 2.046 c) x+y> 2.04692 ch) y=z

3 . - Sean x , y , z números reales cuyas expansiones decimales comien-

4.- Determina la representación decimal de los siguientes números racionales: a) 24 b) - 14

9 - 11

5.- Indica la expresión racional Ce los nheros a ) 0.81 b) 0.0013 c) 2.07

6 . - Multplica los números a=3.21 y b=1.06

7.- Encuentra un nhero racional entre las siguientes parejas de de números irracionales: a) .12‘ , b) 1.10100100010000.. . . ,1.100100010000.. .

5 8.- Determina un número irracional entre y 0 . 8 3 2

9.- Calcula 5 ~ 1 0 ” (2xi8”+ . l 8 x l Ó r 3 )

10.- Determina el supremo y el ínfimo del conjuntcJ de números reales cuya expansión decimal empieza por 0.12

ELE4 ENTOS D E J P : O . a, , ' l l i<íA A N A L I T I C A . _-

I n t roduccibn

Indudablemente, e l Cálculo se desarrol ló a p a r i t i r de c i e r t o s

conocimientos s rev ios . In antecedente indispensable l o f u e e l des-

cubrimientfi ae la 5eon;etrfa AnalTtica, que permitió in terpre tar

geometricamente diversos conceptos aicjeDr6icos y , v iceversa , seña-

16 un método algebráico para rtscl-ver problemas geométricos.

En e s t e capi tu lo , e l i n t e r é s primordial res ide e n e s t a b l e c e r ,

o recordar, algunos de los resultados básicos concernientes a 11-

n c a s r e c t a s , c ircunferencias y parábolas, que son fundamentales pa

ra entender y manejar l o s conceptos y métodos c a r a c t e r l s t i c o s del

Cdlculo.

-

1 2 . Sistemas de Coordenadas

En l a sección 2 se indicó l a representación geométrica de l o s

números r e a l e s como puntos de una r e c t a . Para e s t a representación

es necesario e l e g i r un punto a r b i t r a r i o O , llamado or igen, y otro

punto P que defina l a unidad de d. istancia. Se acostumbra que 2 s e

.$ 0 P 'x, ___ x2 O % i

l o c a l i c e a l a derecha del origen; entonces, a un punto FL, s i t u ~ ~ i o

a l a derecha de 0,le asignamos l a d i s tanc ia x = O P . En cambio, si

F$ e s t á %-la izquierda de O , se l e hace corres2o;der e l número x,= - -0;-

De e s t a manera,a cada punto Q e n l a r e c t a l e corresponde un Ú n i c s

fiumero r e a l x , que será llamado i a coordenada de (1.

E l procedimiento rec ién descr i to es tab lece una correspondencia

biunfvoca entre l o s puntos de una rectaLy l o s números r e a l e s , qUe

llamaremos sistema de coordenadas para L. En l a sección 6 se est:,-

7 0

*.- I

-2.5

d - - - - - - - ,

blcció, además, que si xi y x , ~ süii las coordenadas de los puntos

- _ - _ _ 3 t

L 2

i A *Y.

-A

PI y Pz , la distancia entre éstos es IxI- x21.

Enseguida se determinará un sistema de coordenadas para el pla-

no. Con este fj,, elegimos dos rectas perpendiculares (usualmente

se toman como en l a figura) que llamaremos, respectivamente, eje Y

y eje Y. Estos se intersectan en un sólo punto,que representaremos

por O .y llamaremos origen. En caca uno de estos ejes se supone

un sistema de coordenadas con la misma unidad de medida. Considere -

mos ahora cualquier punto P en el plano. Partiendo de P, trazamos

rectas perpendiculares a los ejes Y y Y , respectivamente. La in-- big - - --, 2

P I - - - d , tersección de estas rectas con el eje correspondiente constituye,

en cada caso, un punto. Llamemos .I a la intersección con el eje K ,

y sea x su coordenada. Entonces, a x le llamaremos la abcisa, o

coordenada x , de P. Analogamente, si N es la intersección con el

eje Y, y este punto tiene y por coordenada, a ésta le llamaremos

la ordenada, o coordenada y, de P.

Yediante el proceso anterior,cada punto P queda descrito por

sus coordenadas x, y . Para hacer esta descripción se conviene en

escribir siempre primero la coordenada x,y en6egaida.la'coordenada

y . Por esto se dice que se ha establecido una correspondencia en-

tre los puntos P del plano y las parejas ordenadas ( x , y ) . Nótese

distintos determinan parejas ordenadas distintas, as€ como que to-

da pareja ordenada representa un pi-.-.to del plano. Para indicar l o an

t c r i o r , se dice que l a correvpondencia definida es biunívoca y que

establece un sistema de coordenadas para el plano. P o r estas razo-

nes,se acostumbra indicar P = ( x , y ) para expresar que el punto P

-

t i l i z a d o .

1

t iene por coordcrddas los números x , y. Y á s aún, a l Señalar puntos

sobre los e j e s , se acostumbra e s c r i b i r y e n lugar de ( O , y ) , y x e n

lugar de (x,O).

Í5(1,2\

'b - ,

I L 1 * 'i

- - - - . - - ?+>Z)

t

Los e j e s de coordenadas separan a l plano en cuatro regiones, l l a - madas cuadrantes. Estos se enumeran como en l a figura s i g u i e n t e .

24 5

As€, un punto ( x , y ) e s t á e n e l primer cuadrante cuando x>O, y 7 0 ; - en e l segundo s i x<O, y)O; en e l tercero s i x(0, yC0;yen e l cuarto

si x>O, y<O.

ES importante comprender que l a e lecc i6n realizada de los e j e s de

coordenadas e s puramente convencional. Los s i g u i e n t e s ejemplos i n d i -

c a n otras posibilidades. Nótese que una pareja de coordenadas puede

guida se determinArd una fdrmula j?ara calcular l a distancia entre

dos de sus puntos, en base a Las coordenadas correspondientes.

72

Demostración

Si x i = x 2 o y, =yzl la fórmula se verifica inmediatamente. En ca -

so contrario, ?or ei teorema de Pitágoras (ver figura) se sigue: 4%

I

P Z p, ," = ( P ~ R ) ~ +(RP, )2 . Por otra parte, P z R = lxz-xll I y RP'=(y, -yl¡ - 2 a 2 2

= j x2 -x,I+ I yz -yL /'= CX, -x, 1 + (y, -yL Luego, (P, p2 - Q.E.D.

Consideremos dos puntos distintos, P , = (x,,y,)

y supongamos xi>x2. Si P = el punto medio

1

I I 1 ! ;\ r r3,- - f pi & - - -

1 px %¿ =I- XL

de la figura anterior podemos ver q u e se cumple : PA pa - YA -y2 ..... (1) y 2 = - - Pi Pz = XI -xa PAP Y,-Y PIP x 1 - X

x = similarmente, De (1) se sigue: 2xi-2x = x j - x L 2

P,P = PP, . Luego, 2 = -

( 2 ) resulta y = e. 2 ES sencillo verificar que las fórmulas

. . (2) ae

ante -

riores siguen cumpliéndose cuando xi ( x 2 0 xi= x 2 . En base a eilo,Se

concluye que las coordenadas del p u n t o medioidel segmento Pi P2 son X I +x2 YA +Y2

I Y = - 2 2 x =

7 3

E j e r c i c i o s 1 2

1.- E n c u e n t r ? e l p r n t o medic> ut31 s e g m e n t o c u y o s extremos son los

2 . - S i el p u n t o (2,6) es un extremo d e l s e g m e n t o c u y o p u n t o medio es

p u n t o s ( 2 , T ) y ( - , 3 ) .

( 3 , 3 ) , ¿ c u á l es e l otro?

3

3 . - D e t e r m i n a s i los p u n t o s ( - 2 , 3 ) , ( 0 , l ) y ( 3 , 4 ) s o n los vértices de un t r i á n g . d l o rectángulo.

4 . - Sea 8C <-i c u a d r a d o c u y o c e n t r o es e l a r i g e n y uno de sus v é r t i - ces es e l p u n t o í1,i). Ca1cul .a l a s Z o o r d e n a d a s de los demas.

5 . - E n c u e n t r a e l p u n t o sobre el. e j e x q u e es e q u i d i s t a n t e de (-1,-2) y (2,3).

6 . - D e s a r r o l l l a l a p o r l a s i g u i e n t e

demostración f i g u r a .

de 1 teorema de Pitácroras

b

a

U b

s u g e r i d a

7 4

13. Llneas Rectas y sus Ecuac;or.c:..

Consideremos una rects ¿, que no sea vertical, y fijemos dos pun - tos en ella: P, = ( x i , y L ) y P, = ( x a , y , ) . (Supondremos que xi7xz,--

tal como se aprecia en la figura siguiente.) Si Q = ( x , y ) es cual-

quier otro punto de L, colocándolo en las distintas posiciones que

puede ocupar con respecto a PF y Pa , resulta que en todos los casos

y z - y i = y -YA @ y z - y i - - Y-YL M u1 t iplicanda. .est a se cumple: xi-x2* XA'X xz-xi x-xi igualdad por x-xl , se concluye que la ecuación

Y-y4 . - (x-x,) ...... (I) x2-xi

es satisfecha por todos los puntos de L excepto, posiblemente, PIy Pc.

No obstante, l a sustitución de las coordenadas de estos puntos en (I)

i n d i c a que también La satisfacen. Observemos que este proceso se pue -

de invertir. Es decir, a partir de que un punto P = (x,y) cumple (I),

se obtiene la pertenencia de éste a la recta determinada por PIy P2.

Como consecuencia de ia discusión anterior resulta el próximo teorema

Teorema 13.1

La ecuación de una l í n e a recta, no vertical, y que pasa por las

. - (x 'Xi) ....... (I) x2 -xA Y ' Y ,

Considerando en la siguiente figura los triángulos semejantes

-

1

75

& -& = y4 -.\7, . Luego, x2. -XI x4 'X.3

<* P,AP, y P, BP4 se s i q u e : y.. -yi = -$, x i -x x, - x j

dc e s t a i g u a l d a d se c o n c l u y e c l u e l número d e t e r m i n a d o p o r e l c o c i e n

t e k%.~ x2 'XL

p u n t o s u t i l i z a d o s para c a l c u l a r l o .

es una c o n s t a n t e de l a recta L , ya q u e n o d e p e n d e de l o s

D e f i n i c i ó n y& -y; x p -xA La p e n C l e L i t e de u n a rec ta n o - v c r t i c a l LL; e l c o c i e n t e , de-

terminado p o r c u a l q u i e r p a r de pu:itGa, rij, = (x , ,yJ p, = ( X Z I Y X ) I so -

bre e l l a .

S i e n l a e c u a c i ó n (I) se r e p r e s e n t a por m l a p e n d i e n t e de l a rec-

t a , se o b t i e n e e l s i g u i e n t e r e s u l t a d o .

Teorema 1 3 . 2 --

La e c u a c i ó n de una recta de p e n d i e n t e m y q u e pasa por e l p u n t o

y-yi = m(x-x,). ...... (11)

Ejemplo

1) D e t e r m i n a una e c u a c i ó n de l a r e c t a que pasa por l o s p u n t o s (2,O)

y (3,l).

Como l o s p u n t o s dados t i e n e n d i s t i n t a a b c i s a , se t r a t a de u n a - 1-0 - 3-2 r e c t a n o - v e r t i c a l . L u e g o , s u p e n d i e n t e es m = - - 1. E n s e g u i d a , t o

mando e n l a e c u a c i ó n (71) Pi = ( 2 , 0 ) , r e s u l t a y-O = 1 ( x - 2 ) <-z)

y = x-2.

S i a h o r a e n l a e c u a c i ó n (11) s e toma como P d p A a o n d e l a recta L

intercecta e l e j e y , q u e es de l a forma ( O ; b ) , r e s u l t a o t r a W r U

de expresar l a e c u a c i ó n de una r e c t a .

C o r o l a r i o 1 3 . 3

La e c u a c i d n de u n a recta c o n p e n d i e n t e m y q u e pasa por el_ p u n t o

,.--.-. > (0,b) es y = mx+b.. . . . . t A

Toda r e c t a v e r t i c a l t iene una ecuación de l a forma x = c , siendo

c l a abcisa de cualquiera de s u s puntos. Tornando e s t o e n cuenta,

a s í como q u e una ecuación e s equivalente a o t r a obtenida a l m u l t i -

p l i c a r l a p o r tn fac tor d i s t i n t o de cero , cz puede probar facilmente

e l próximo teorema.

Teorema 1 3 . 4

Toda r e c t a t iene una ecuación de l a forma

Ax+Ey+C = O , donde A#O o B#O ..... ( O ) Reciprocamente, toda ecuación como ( O ) representa una r e c t a .

Ejemplo

2 ) Describe geometricamente e l conjuntoL-{(x,y) I 2x+3y = 1)

L a ecuación que define a L e s 2x+3y = 1. Luego, por e l teorema

a n t e r i o r , se concluye que es una r e c t a . Localicemos dos puntos de

ella: por ejemplo, las intersecciones con los e j e s . Para e l l o , s e

toma primero x=O, después y=O, y s e calculan l o s valores correspon - dientes de y , s d e x según l a ecuación señalada. Así:

1 2 x=- . 2 ( 0 ) + 3 y = 1 y=; : 2 x + 3 ( 0 ) = 1

1 1 Entonces,L es l a r e c t a que pasa por l o s puntos ( 0 , ~ ) y ( 7 ’ 0 ) .

Consideremos dos r e c t a s , R y L , con igual pecziente. Entonces,

sus ecuaciones s o n de l a forma y=mx+i+. . ( l ) , y=mx+b, ... ( 2 ) . S i b,=b,,

e s c l a r o q u e l a s r e c t a s R y L coinciden. Si b,#bl ,se sigue que l a s

ecuaciones (1) y ( 2 ) no t i e n e n solución común. P o r elio, K y L tam-

poco tendrán n i n g ú n punto e n común, es d e c i r , son para le las . Zsto

prueba una parte d e l s iguiente teorema.

Teorema 1 3 . 5

Dos r e c t a s no-ver t i ca ies son para le las s i y sólo s i s u s peadicn-

tes coinciden.

Demostraci6n

<=) Esta implicación fue l a que se probó.

3) Supongar;c>s que L y R son r e c t a s p a r a l e l a s , de ecuaciones

y = mlx+b (l), y = m,x+b,.. . (2). Restando (2) de ( 1 )

se obtiene: O =. .. mix-m,x+bL-bo,= (mi-m,)x+b,-b,& (mi-m,)x=D,-b,.

y su or- S i m l # m , , r e s u l t a que e l punto cuya abcisa e s x =

nada se ca lcu la con cualquiera de l a s ecuaciones (1) o ( 2 ) p e r t e n e -

ce a ambas rectas. Que e s t e punto es Clnico,se s i g u e de que e l sis-

tema de ecuaciones formado por ( 1 ) y ( 2 ) s ó l o t iene una solución,

qu+la calculada. En conclusión,, l o anter ior indica que si mi+ %,

l a s r e c t a s no son para le las .

b, -b i m i -m,

Q . E . D .

En re lac ión con e l teorema a n t e r i o r , nótese que cualesquiera dos

rec tas v e r t i c a l e s son para le las .

La oemostración delresultado anter ior i l u s t r a una de l a s carac te -

r f s t i c a s de l a Geometrla Anal í t ica : Haciendo uso de propiedades a l -

gebráicas, en e s t e caso de propiedades de l a s ecuaciones, se o b t i e -

nen conclusiones geometricas.

Debe s e r c l a r o que una "curva" e n e l plano puede ser descr i ta me -

diante muchas ecuaciones. Por e:jemplo, l a recca d e ecuaciófi y=x se

puede expresar también por l a s ciquientes ecuaciones:

x-y=o, 3 ~ - 3y=O , íx-y)2 =o S i n embargo, en e l caso de una :recta no-ver t i ca l , sólo e x i s t e una

ecuación de l a forma y=mx+b . ¿a razón e s que, e n e s t e caso,

78

m es l a pendiente de l a r e c t a , miei,.cras que b es l a ordenada d e l

p u n t o donde intercecta el e j e y .

Enseguida, veremos cómo están relacionadas l a s pendientes de

dos rectas no-verticales y perpendiculares entre sf.

Teorema 1 3 . 6

Sean L y R rectas de ecuaciones y=rnlx-rai , y=m2x+bZ . 1, y R son perpendiculares si y s610 s i x i & q = - l .

Demostración

+) Como l a perpendicuiaridad e s una propiedad que se conserva

bajo paralelismo, se puede suponer que l a q e c t a s dadas son y

R , de ecuaciones y=mlx, y=m,x. Entonces, sea P= (ai ,bi) un punto

e n L y Q=(a, ,b2) uno de R , ambos d is t in tos d e l origen. Como e l

cu

N -

triángulo QOP e s rectángulo, se cumple: P

(QP)' = (QO)' + (OPf <* (a , -a2 f + (bl-h$ =a2 +b; +al +b: . Desarrollando enseguida los cuadrados y simplificando, resul ta :

+af+b, o <=3> bL bz +a+a2 =O a$ -2a, a, +Q' + b l -2b,b,+b> =q2 +b, ba y m a = - . bF-O bi a2

<* b + = - a r . . . (1). Por o t ra parte , mi= - = - al b, ai-O a , I Luego, de (1) se sigue q u e mi = - - .

<=I Supongamos ahora que L y R son dos rectas de pendientes m, y

m 2 , t a l e s que mi= -- . E s c laro entonces que mi# m , , por i o

que L y R n o son paralelas. Sea P e l punto donde se intersectan,

y llamemos R a l a rec ta perpendicular a L que pasa por es te pun-

m Z

1 m 2

t o . Por l o q u e a c a b a m o s de p r o b a r , I d p c n ü i e n t e de R es -- . Lo m i c u a l i n d i c a q u e L y R t i e n e n i g u a l p e n d i e n t e . Y a q u e p a s a n por un

mismo p u n t o , c o n c l u i m o s q u e L y R c o i n c i d e n y , por l o t a n t o , L es

p e r p e n d i c u l a r a R.

Q . E . D .

En relaclbri c o n e l teorema a n t e r i o r , c o n v i e n e observar q u e una

recta v e r t i c a l es p e r p e n d i c u l a r a otzü recta, siempre y c u a n d o ésta

sea h o r i z o n t a l .

Ejemplo

3 ) Sea R l a recta de e c u a c i ó n 3x--2y=4. D e t e r m i n a l a e c u a c i ó n de l a

recta L, q u e es p e r p e n d i c u l a r a I? y pasa por e l p u n t o (3,-1!.

C a l c u l e m o s primero l a p e n d i e n t e mk de L , u t i l i z a n d o e l teorema :3 3

2 2 3x-2y=4 /c-r y=;-x-2, l a p e n d i e n t e de R es m=- . a n t e r i o r . Como

L u e ( j o , l a p e n d i e n t e de L es m , = - i ñ - 3 It- . Ya q u e e n t o n c e s L t e n d r % una

e c u a c i ó n de l a forma y" -3x+b, c a l c u l a m o s e l valor de b para q u e l a

recta pase por e l p u n t o (3,-1). As€:

2

-I=-- 2(31+b -1=-2+b b=z 1 3

2 3 En c o n c l u s i ó n , l a e c a a c i ó n b u s c a d a es y=--x+l.

Ejerc ic ios 1 3

1 . - Sea R l a recta de e c u a c i ó n 5x+4y-7=0. D e t e r m i n a c u á l e s de 1 s si

2 . - ¿ C G a l es l a p e n d i e n t e de u n a rec ta c u y a i n t e r s e c c i ó n c o n e l e j e

g u i e n t e s p u n t o s p e r t e n e c e n a e l l a : (O,O), (1,3), (-1,3), ( 0 , T ) . 2 -

x c o i n c i d e c o n l a i n t e r s e c i d n e n e l e j e y?

3 . - E n c u e n t r a una e c u a c i ó n de l a l í n e a recta q u e pasa por 10s P u n t G s 2 1

2 ( - 3 , 3 ) y (2,--), y b o s q u e j a és ta .

4 . - D e t e r m i n a una e c u a c i ó n para cada uno de l o s e j e s c o o r d e n a d o s .

8 0

En los s i g u i e n t e s 3 e j e r c i c i o s , i:lt>squeja l a recta R q u e cumple l o señalado y determina su ecuaci3n.

5.- R pasa por e l punto < 1 , 2 ) y s u pendiente es 2 .

6 . - R e s paralela a l a rec ta de ecuación 2x+3y=-3, y pasa por e l or&

7 . - R pasa por el punto ( 3 , - 1 ) y es perpendicular a l a rec ta de ecua - gen.

ción -5x+iOy=3.

8.- Descrlhe l a familia de rectas x-y+c=G.

1 7 4 9. - Determina l a intersección de liis rectas 2 x + 3 y = ~ , -y--x=1. 2 3

10.-Determina l a intersección de l a s rectas 3x+2y=O , 6x+4y-8=0.

11.-Si P=(3,1), Q=(-l,l) y R son los vértices de un triángulo equilá tero PQR, encuentra R.

81

1 4 . Ecuacioncs de Lugares Gcométri c r d

In lugar geométrico e s , sim2lemente, un conjunto de puntos en e l

clan0 que t ienen cierta'lpropiedad geométrica". Cuando se introduce

un sistema de coordenadas, cada propiedad geométrica define una r e l a

ción que deben c u m p l i r l a s coordenadas x , y de todos los puntos con

e s t a propiedad y ninguno más. En algunos casos, e s t a re lac ión se ex-

presa mediante una ecuación donde aparecen x , y ; y a é s t a se l e llama

ecuaci6n del lugar geométrico. Por ejemplo, uno de los principales

resultados de l a sección anter ior expresa q u e cualquier r e c t a t i e n e

una ecuación de l a forma Ax+By+C=O, donde AfO o B#O.

-

Ejemplos

1 ) Encuentra una ecuación d e l conjunto A de puntos que equidistan

de P , = ( - l , O ) y P , = ( 2 , 3 ) .

Desarrollando es tos cuadrados y simplificando la ecuación resul tante ,

se t i ene : x2+2x+l+y"= x2-4x+4+yz -Gy+9 (3 6x+Gy-S-O 3 ~ + 3 ~ - 4 = 0 .

Como é s t a e s l a ecuación de una r e c t a , concluimos que A e s una rea ta .

No es d i f í c i l v e r i f i c a r que se t r a t a de l a rnediatriz del segmento Pi%,

es d e c i r , l a r e c t a perpendicular a PIPz y que pasa por s u punto medio. --

2) Encuentra l a ecuación de l a c ircunferencia B de radio 1 y con cen-

t r o en e l punto C = ( - 1 , 2 ) .

82

en virtud de la fórmula para calcular üictancia entre dos puntos. De-

sarrollando los cuadrados indicados resulta:

~'+2~+1+~"-2~+4=1 <+ x2+2x+y2 -2y+4=0. Luego, una ecuación de B es x2+2x+y2-2y+4=0.

En los ejemplos anteriores partimos de una propiedad geométrica y

se obtuvo una ecuación para los puntos con dicha propiedad. Este pro -

cedimiento también se puede invertir, es decir, toda ecuación en x , y

determina un conjunto de puntos en el plano, a saber, aquellos donde

se satisface la ecuación.

3) Indica cómo es el conjunto A, cuya ecuación es ~ " 1 x 1 .

Para localizar el conjunto A recordemos que Ix ¡= x si OCx

A s f , la ecuación de A .también se puede expresar como y- l x si ocx

De esta expresión, se ve que A coincide con la rect y=x en los pun-

tos con abcisa positiva, y con la recta y = - ~ cuando la abcisa es ne-

8 3

c j a t i v a . Por l o t a n t o , A es e l c i 3 ; i j u n t o b o s q u e j a d o e n l a f i g u r a ante-

r i o r .

4 ) I n d i c a s i e l punto P = ( - 3 , 0 ) p e r t e n e c e a l c o n j u n t o de e c u a c i ó n

x2+xy-y2+2x+l=O.

Para ver s i P p e r t e n e c e a l c o n j u n t o e n c u e s t i ó n , basta c o n veri-

ficar s i cumple i a e c u a c i ó n señal .a&. Como ( -3) ’ +O-0+2 ( -3)+1=9-6+1=

420 , c o n c i u l m o s que P no sa t i s face l a e c u a c i 6 n . L u e g o , n o p e r t e n e c e

a l c o n j u n t o dado.

f i n a l i z a m o s esta s e c c i ó n , h a c i e n d o n o t a r q u e problemas como los

anteriores donde, dado un l u g a r geométrico, se . t i e n e q u e e n c o n t r a r

s u e c u a c i 6 n y , d a d a una e c u a c i ó n , hay que e n c o n t r a r cómo es e l con-

j u n t o de p u n t o s que l a s a t i s f a c e n , s o n de las p r i n c i p a l e s c u e s t i o n e s

ye l a Geometría A n a l í t i c a i n t e n t a . resolver.

E j e r c i c i o s 1 4

1 . - Sea A e l c o n j u n t o de p u n t o s c u y a d i s t a n c i a a l o r i g e n es e l dobie de s u d i s t a n c i a a l p u n t o ( 3 , O ) . D e t e r m i n a una e c u a c i ó n para A ,

2 . - Sea F , = ( - l , O ) , F 2 = ( 1 , 0 ) y B e l c o n j u n t o de p u n t o s ta les que F,P+PF,=3. Determina una e c u a c i ó n para B.

. B o s q u e j a l o s s u b c o n j u n t o s d e l p l a n o d e f i n i d o s por l a s s i g u i e n t e s c o n d i c i o n e s :

3 . - x > o , y=3 .

4 .- xJ+yzL: 1 .

84

8 . - Bosqueja e l con jun to Ue puntos cuya ecuac idn e s l x l + ) y j = l . (Sugerenc ia : cons idera cada cuadrante por s eparado . )

9 . - Ind ica por c u á l e s de los s i g u i e n t e s pun to s p a s a l a curva de ecua- c i ó n y=x3-3x: (3 , -2 ) , (-i,-2), (2,-i), (i,-2).

15. Circunferencias y sus Ecuac:iciI,c .,

Dados un número positivo r y un punto P, la circunferencia con

centro en P y radio r, es el conjunto de puntos cuya distancia a P

es r. Enseguida determinaremos una ecuación para esta circunferencia.

Sea P=(h,k) el centro de la circunferencia y representemos por

Q = ( x , y ) un punto arbitrario de ella. Entonces, por la fórmula para

calcular distancias en el plano, resulta:

PQ=r '+> (PQ)' =rU (x-h) 2 +(y-kI2 =r2-

Esto prueba el siguiente teorema.

Teorema 15.1

La circunferencia con centrcl en P = ( h , k ) y radio r, consiste de

los puntos ( x , y ) tales que (x-h.)" + (y-k)' =r?. . . . (I)

Nótese que cuando la circunferencia está centrada en el origen,

la ecuación (I) se convierte en. x2+y2=r2.. . I . (E)

Elemplo

1) Considérese la ecuación (x-2)' +(y+3) ' =1 que, por el teorema ante

rior, determina la circunferencia con centro en ( 2 , - 3 ) y radio 1.

Desarrollando l o s cuadrados, se tiene:

-

( ~ - 2 ) ~ + ( ~ + 3 ) ~ =1 x2-2x+4+y2+6y+9=1 @ xz-2~+y2+6y+I.2=O.. (1)

Esto nos indica que la ecuación (1) también define la circunferencia

C. Observando que esta ecuacitin es de la forma x~+Y~+Dx+E~+F=O, cabe

preguntarse s i cualquier expresión de este t i p o d e f i n e una circunferer. -

c í a . El s i g u i e n t e teorema ceiiala cuál es l a respuesta.

Teorema 1 5 . 2

La ecuaci6n x2 + - ; / 2 + D ~ + E y + PO.. . . . (111) determina una c ircunferencia ,

un punto, o e l conjunto vacío.

DemostraiiÓn

Consideremos l a ecuación indica&; x2+y2+Dx+Ey+F=0

Rqrupando términos y completando cuadrados, r e s u l t a : x2 +Dx +y2 +Ey+F=O C x2+Dx&) D 2 +y”+Ey+ (2) E 2 - (2) D 2 - (2) E z +F=O @

. . . . . (13 D a E 2 - D 2 + E 2 - 4 F (x+$ + (y+$ - 4

Analicemos ahora l a s distintas posiblidades para el n h e r o D2 +E3-4 P.

a ) S i D L + E ’ - 4 R 0 , 1 a ecuación (1) es de l a forma ( I ) con h=-z , k=-- 2 y D E

+E’ -4F r= 9 . En este caso, d e f i n e la circunferencia con centro e n L

&lFGF=z- -

2 (-2, -$ E y radio r=

D a b) S i D2+E2-4F=O, l a ecuacidn (1) e s (x+z) +(y+:? = O . Como é s t a se

cumple x=-z, y = - 2 , concluimos que, e n este caso,determina un D E

D E punto: (-2,-2).

c) S i D 2 + E 2 - 4 F < 0 , l a ecuación (1) no se cumple para ninguna pare ja

(x,y). Luego, e n este caso, se determina e l conjunto vac€o.

Q.E.D.

Para f i n a l i z a r e s t a sección nótese q u e , s i AfO, l a ecuacidn

A X ~ + A Y * + D X + E Y + F =O . . . . . (I v) , se convierte en una de t i p o (1x1) a l d i v i d i r entre A. P o r e l l o , l a s

conclusiones del teorema anter ior también se cumplen para ecuacio-

nec como l a anter ior .

Eprcicios 15

Bosqueja las curvas cuyas ecuaciones son:

j . - xa+y2-2x+6~9

2. - 4?+4y2-4x+8y+3=0

3.- Indica cuáles &e los sicpientes nuntos pertenecen a la circunferencia de ecuaci6n x2+y2-4=O: ( 0 , 2 ) , ( 2 , 1 ) , (- 3 , -11, (/T,-m, (0,O).

4.- lquestza que ?ara cualquier v, la ecuaci6n x2+y2-2vyi representa una cir- mferencia que nasa wr los untos (1,O) y (-1,O). ¿Dónde está su centro?

ih los cicquientec seis ejercicios, encuentra una ecuación de la circunferen

cia C que cumpla las condiciones señaladas, y bosqu6jala.

-

5.- c tiene su centro en e l x>unto ( 3 , s ) y radio 8 -

6.- C tiene su centro en e l origen y pasa nor el punto (9,-1).

7 . - C pasa por los puntos (0,O) I ( O I 6 ) , (-1,s). S.- C tiene radio 5 v Daca por los nuntos (-3,O) y (3,O).

5.- C tiene por diámetro e l cegilu3n to cuyos w s son (0,2) y (-2,O).

io.< tiene su centro en (1,l) y es tangente al eje x.

11.- .una r e c t a intersecta a una circunferencia en el único punto ( 0 , l ) . Si el centro de l a circunferencia es (-1,3), ¿Cual es la pendiente de esta recta?

12.- Encuentra una ecuación de l a tangente a la circunferencia x2+y2+4x-8y-5=0 en e l punto (3,7).

13.- Detennina los puntos sobre la circunferencia xz+y2=2, donde l a tangente

a ésta F r dichos pwttos oasa nor (2,O).

racuentra los nuntos donde se intersectan las curvas definidas por las siguientes ecuaciones:

1.1. - v-x=-3 I x”y~-4x-8v+ll=O.

15. - Y ~ - ~ Y + X ~ = O , y2+6~+x2=0.

i 6 . - x2+yG2, x2+y2=4.

8 8

Sea R una recta y P un punto q t ~ no pertenece a ella. id dis tanc ia de P a

l a recta R, se define entonces cam l a longitud del -to PQ, perpendicu-

l a r a R (que se ha denotado por FQ).

n Consideremos un punto F y una recta D que no pase por 61 (ver siguiente

f igura) . La parábola

equidistan de F y de

de foco Fy d i r e c t r i z D es el conjunto de puntos P

D , es dec i r , c u q l e n FT? = Di . A la recta perpendim-

1;ir a D, y que pasa r>or el foco F, se le llama e l eje de la Darábola, y a l

punto V donde éste corta l a p a r h l a , se le nombra Vértice. Determinaras

enseguida una ecuación para l a parábola. Para ello, establecenios nuestro

sitema de coordenadas situando a l vértice en e l punto V=(h,k) , y l a direc-

triz parale la a l eje x (ver s i w e n t e figura). A s i mi-, se elige p de ma-

nera que e l foco tenqa coordenadas [h,k+nj

t i v o o negativo.) . Entonces, !+ix,vj es un punto .sobre l a parábola - (nótese que P ~ u e d e ser -si-

P F=P LI <=3 (x-h)' + (y-p-k)' = (v--k+o)2e (x-h)' + (y4l2 -2 (y-k)p$f=

( y - F +2 (y-k)p+Yg (3 (>c-h)" =4p(y-k) <=) y-k' - (x-h? ..... (1) 4??

. ... . (2) I la ecuac:ión (1) se expresa cam 1 Escribiendo a= - 4-3 2 y-k=a(x-h) . . . . . (I)

invir t lcncb ahora los p a s s y el igiendo n de iraera que se satisfaga (2) I

se obtieiie e l s iquiente resultado.

Teorema 16.1

Ma parábola vertical (de d i r e c t r i z paralela a l eje x) con vértice

\-=(h ,k) t i e n e una ecuación de l a fom e y-k=a(x-h) . . . . . (I) (a # O )

Reclprocamente l a ecuación (I) r e m e s e n t a una parábola vertical con l. vértice en e l punto (h,k) y foco en (h,k+ =).

Convicnc observar que l a parábola, se abre hacia abajo cuando a<O y I si

*i j0, sc abre hacia arr iba .

A l d e s a r r o l l a r l a ecuación ( I ) , r e s u l t a :

y-k=a (x2 -2hx+h2 =ax2-2&+ah2 e 3 y=ax2+ (-2ah) x+ (ah2+k) . bidenterciente, l a ecuación que se obtuvo es del tipo y=Ax2+Bx+cl con Af3.

S i atmra p r i n c i p i m s con una ecuación m l a a n t e r i o r , camletando m a -

drados se t i e n e :

Esta ecuación es del tipo (I) . Luego, se trata de una parábola vertical

y se &re hacia arriba o hacia abajo, con v é r t i c e en (- 2A,

según se cumpla Z V O o A<O. iieslñninios io ¿interior mediante e l próximo remi

4_4c - ' 4.4

- tado.

' i ' c~(~r( .~raLi í O . 2 -------

hCi curva c s u n a parSbcila vcrticdi si y sólo si tiene una ecuación

de la forma y=Ax2 +ax+C, con AfO.. . . . (11)

Como consecuencia inmediata del teorema anterior, resulta que la

ecuac iór, J = A X ~ + E X + D ~ + C , donce A#O y E#C,. . . . . (III), tambi;:. representa una parábola verticai.

Ejemplo

1 ) Encuentra -1 vértice de la p rábola y=-2 '+3

P a r a determinar el vértice de la parábola,seguiremos el método de

completación de cuadrados utilizado en la prueba del teorema anterior.

y = - 2 x z + 3 x = - 2 (x2-&c+-) 9 9 +- & y-pJ'-2 9 (x-4) 3 2 2 16 8

Comparando con la ecuación (I), $oncluimos que el vértice es el punto

t T r a ) . Ndtese que esta parábola se abre hacia abajo. 3 9

Finalmente,querernos observar que una parábola horizontal (ae e j e

paralelo al eje x ) tiene una ecuación del tipo x=Ay2+By+C, asl como

que, en general, la ecuación de una parábola en una posici6n d i s t i n -

ta de las mencionadas, no toma una expresión tan sencilia.

Ejercicios 10

1.- Indica ios puntos d e l tercer caadrante situados a una distancia 5 del origen y a una distancia 3 del eje x.

2.- Encuentra los pUntos situados a ana distancia 2 de ia recta y = 3 , y a una distancia 4 de la recta x=5.

k:iicucritra e1 1-0c:o y l a d ~ L r c c c r ~ z de l a parábola con ecuación: 2

3 . - y=; x . 2 4 . - y=(2x+1) .

Bosqueja l a s curvas cuyas ecuacionec son l a s s i g u i e n t e s :

5.- y = ( x - l ) ( x + 2 ) .

2 6.- 2~ +2y=óx+-4 . 7 . - Encuentra l a ecuación de :La pargbola v e r t i c a l con v é r t i c e en

el origen y que pasa por (.-4,-2>.

8.- Determina una ecuación para l a parábola v e r t i c a l que pasa por los puntos (-2,O), (0 , -2 ) , (2,4).

9 . - Indica e l punto donde l a parábola de ecuación xa+4x-8y+28=0 c o r t a la r e c t a y = 3 .

10.- Señala l o s p u n t o s e n que las curvas 2y=x+4, y-x2+2=0, s e intersectan.

i I , t r ,?duc:c 1 Ón __

Liguieridc - 1 E - ->ceso de desarrol lo de l a s matemáticas como res-

i~i iecta a necesi c i t 3 ~ ~ técnicas y c i e n t f f i c a s , veamos cómo aparece el

concepto -7 ur .<i6:] .

E s muv zonocido q u e l a c i e n c i a y ;a t 6 c n i c a se originaron a l tra -

t :- de comprender y aprovechar los ,en6menos que suceden a nuestro

a 1 rc-f?t-7dor. Para lograr lo , p r o n t o se hace evidente q u e es indicpensa-

blc u n d descripcibn adecuada de los hechos que interesan. Con este

t't-oiv.5si t o , en e'no< 3 % . ya"reinotas", s e van anotar,do mediciones de tiem -

' 1 0 , y datos c7cCsrca d e superficies y volGmenes; se l levan reg is t ros

de l l u v i a s , inundaciones, guerras; se efectGan l a s primeras observacio -

nes astronómicas y se las relaciona con e l movimiento de los planetas,

de 1.a l u n a y de l a s mareas. S iglos más tarde, a p a r t i r del Renacimien -

t 9 , se investigun procesos donde intervienen magnitudes variables co-

mo distancia y tiempo, volíímen y presión, elongación y temperatura.

La base de toda e s t a actividad l a constituyó l a convicción de que,

en cada c a s o , l a s magnitudes están l igadas de manera t a l , que cono-

ciendo una de e l l a s e s posible determinar e l va lo r de l a o t r a . En-

tonces, se intenta encontrar una re lac ión cuant i ta t iva entre l a s

magni tudes . A s í :

1) J a l i l e o busca cómo varía l a d is tanc ia con respecto a l tiempo,

cuando un cuerpo cae libremente bajo l a acción de l a gravedad.

2 ) Boyle-Nariotte buscan l a re lac ión de depindencia entre e l vo16-

men de un gas y s u presión, cuando la temperatura se mantiene

constante.

3 ) Hooke se pregunta cómo cambia l a elongación de un resor te e n

93

re lac ión a l a fuerza e j e r c i d a .

Sabemos ahora que l a s investigaciones anter iores tuvieron é x i -

t o y q u e l a s fórmulas dvscubiert:as fueron:

1) S ( t ) = g t 2 , siendo g l a aceleración debida a l a gravedad.

2) Vp)= -, donde L, es una constante dependiente de cada gas

1

k P

y de l a temperatura a l a que se encuentra.

3 ) F(s)= k.,, donde F es l a fuerza e j e r c i d a y s l a elonqación pro -

ducida. La constante k depende del material que constituye e l

resor te .

La noción matemática de función -como se podrá apreciar a l o

largo del presente capftulo- conserva de todo e s t e proceso l a i-

dea c e n t r a l , consis tente en q u e , dado un número, es posible as ignarle

otro mediante una regla bien definida y , de e s t a manera, precisa

l a hu'& de dependencia entre diversas var iables .

Como conclusión de e s t a breve discusión, podemos dec i r que las

funciones se introducen para descr ibir , matemáticamente,los f e n b -

menos que nos interesan, hasta ahora, físicos e n s u mayoría. D e

e s t a propiedad se deriva l a gran importancia d e l estudio de l a s

funciones en l a s aplicaciones d e l a s matemáticas.

Enalmente, como e n algunas ocasiones e l estudio de l a s propie -

dadec de l a s funciones puede parecer "árido" y s i n motivo, convie -

ne tener siempre presente que, en todo caso, é s t a s indican l a s p r o -

piedades de los fenómenos o prclcesos con e l l a s descr i tos .

9 4

E j emp 1 os

1 ) Dc un cuadrado sct conctriivcb ' . l i d caja rectangular de altura x ,

corno la señalada en la figura anterior. Entonces, su volúmen está

dado por la fórmula V(x)=x(a-2~)~ . Evidentemente, para hacer posible tal construcción debe cumplirse Ocxc;.

2) Supóngase un poste de luz levantado en el centro de un circulo

de radio r. En estas circunstancias, se sabe que la iluminación I

a la orilla del círculo está dada por la fdrmula I=hL+r A , donee

A es una constante que depende del faro y del medio ambiente.

- - - - -

Ejercicios

1.- Indica, específicamente, cinco funciones que describan algún fenómeno natural.

2.- Supóngase que un experimento es descrito mediante las variables 1 y t. Si 1 puede calcularse con una precisión de lo-' y t con una de , a) ¿Con qué precisión se calcula l+t? b) ¿Con qué precisión se calcula It?

17. Funciorcs, sus G r á f i c a s y sus Ranqos r

Consideremos (los conjuntr):;, A y B. h a función f de A en B es una

regla o corresponderir.:-J que J c a d a elemento de A, l e asocia uno y s6-

lo un elemento de B.

Para indicar F nibolicamente lo anterior, se escribe:

T ::A-B , o bien, A - B .

En este C ~ S O , al conjunto A se le llama dominio de la funcidn f y al

conjunto B, contradominio.En algunas ocasiones, representaremos el dc -

minio de f por D f . Si f es una función de A en B, para cada X G A , representaremos por

f ( x ) el único elemento de B que f le asocia a x. Se acostumbra llamar

a f ( x ) "el valor de f en XI', o bien, "la imagen de x bajo f". (El s í m -

bolo 'If ( x ) " se lee como 'If de x:". ) Al conjunto de estos valores se le

nombra rango y, en algunas situaciones, lo denotaremos por R f . Así:

R f = { y ( Y = f ( x ) , x€D+}

No obstante que en la definición de función los conjuntos A y B

s o n arbitrarios, para nue*'stro interés actual es suficiente considerar

el caso en que A y B están constituidos por números reales. A tales

f u n c i o n e s les llamaremos funciones reales. En esta situación, existe

una conexión muy importante entre la geometría y l a s funciones. S e -

trata de la g r á f i c a de una función, que nos permitirá representarla

geometricamente.

96

i ) ( B f i n i c i ó r i

Sean A y B subconjuntos dc ~ t ! y f:A-+B. La gráfica de f es e l con - junto G = { ( ~ , ~ ) E I R ~ I x c ~ , y=f(x)}.

Según lo discutido en el capltulo pasado, la definición anterior

también se puede dstablecer indicando que la gráfica de una función f

es aquel subconjunto de R2cuya ecuación es y=f(x), x~D&.Esto nos indi

ca que esquematicamente, la gráfica Cl2 una función f se obtiene rea-

iizando los siguientes pasos:

a) Se localiza el dominio de f sobre el eje x . (leer siguiente figura,)

b) Sobre cada uno de los puntos del dominio, se traza aquel cuya altu-

-

ra se obtiene de acuerdo a la regla de correspondencia y=f (x) .

Es importante observar que, si se conoce la gráfica de una función,

su rango se puede obtener proyectando aquella sobre el eje y. En cam-

bio, si la proyección de la gráfica se efectúa sobre el eje x , resulta

el dominio de la función.

Notemos también, que el hecho de que a cada elemento x del dominio

de una funci6n f, le corresponda uno y sólo un elemento f(x) d e l rar ,gc

se traduce, geometricamente,’en que cada recta vertical que pasa For

un punto del dominio, corta la gráfica en un ~610 punto. Por ejemplo,

esto nos indica que la curva de la siguiente figura no es la gráfica

k K ) I . \ - --

E j emp los

1 ) F u n c i ó n I d c n t i d a d

Sea I:%- iR l a f u i i c i ó n d e f i n i d a p o r I ( x ) = x . E s t a recibe e l nombre

de f u n c i ó n i d e n t i d a d . H a c i e n d o y=:I ( x ) = x , e n c o n t r a m o s q u e s u g r á f i c a

es l a recta de . .¿uaciÓn y=x. Observemos q u e e s t a f u n c i ó n toma c u a l -

q u i e r v a l o r r e a l , p o r l o q u e s u r a n g o es R.

+x - - - - / - i

-

D e f i n i c i ó n / ,

Diremos q u e una f u n c i ó n es acotada, s i s u r a n g o es un c o n j u n

t o a c o t a d o .

A s f , l a o b s e r v a c i ó n f i n a l d e l ejemplo a n t e r i o r i n d i c a q u e l a i d e n -

t i d a d no es una f u n c i ó n a c o t a d a .

\ 2 ) Además de l a g r á f i c a , e x i s t e n o t r a s formas de r e p r e s e n t a r una f u n -

c i ó n . .na de e l l a s es m e d i a n t e una t a b l a , como l a señalada e n s e g u i d a .

--3.#cLizc En una de l a s c o l u m n a s se i n d i c a n l o s e l e m e n t o s p e r t e n e c i e n t e s a l do-

m i n i o de l a f u n c i ó n , y e n l a o t r a l o s v a l o r e s c o r r e s p o n d i e n t e s . En l a

f i g u r a a n t e r i o r se s e ñ a l a n a l g u n o s e l e m e n t o s de l a t a b l a c o r r e s p o n d i e n -

t es a l a f u n c i d n f : íN -*N d e t e r m i n a d a por f ( n ) = n ! . Cabe n o t a r q u e , como

f n o toma c u a l q u i e r v a l o r e n t e r o , se c u m p l e R(# IN.

3 ) FunciCi i 'alar A b s o l u t o

Sea g : R - - 4 , l a f u n c i ó n d e f i n i d a por g ( x ) = l x 1 . Esta rec ibe e l nom-

k,re d e f u n c i ó n v a l o r a b s o l u t o . Nótese q u e g ( O ) = O , g ( - 2 . 5 ) = 2 . 5 y

g (-ni=P . Su g r d f i c a t iene p o r e c u a c i ó n y = g ( x ) = Ix I . C o n s i d e r a n d o por

s e p a r a d o los c a p . , s x<O, y x?O, r e s u l t a q u e és ta es l a s e ñ a l a d a e n s e g u i -

da. ( @ase l a s e c c i ó n 1 4 . ) Nótese q u e e l r a n g o de g es[O,@).

En v i s t a de l a d e f i n i c i ó n de f u n c i ó n , tomaremos como e v i d e n t e e l

próximo r e s u l t a d o .

Teorema 1 7 . 1

Dos f u n c i o n e s , f y 9 , s o n i g u a l e s s i y sólo s i :

a l T i e n e n e l m i s m o d o m i n i o D , y

b) Para todo XE.D, f ( x ) = g ( x ) .

La p r o p o s i c i 6 n a n t e r i o r s e ñ a l a q u e p a r a especi f icar una f u n c i ó n bas -

t a c o n i n d i c a r s u d o m i n i o , y e l v a l o r q u e é s t a toma e n cada uno de

sus e l e m e n t o s : t a l como se h a h e c h o e n los ejemplos c o n s i d e r a d o s .

E j e r c i c i o s 1 7 . C a l c u l a f ( T ) , 1

1.- Sea f:iR--fR l a f u n c i ó n d e f i n i d a p o r f ( x ) = si xgcn f ( m , f (Jc ; ) , f ( 2 . 3 4 5 6 ) . c si xciQ

2.- Sea f ; N - - , N U ( O ~ , l a f u n c i ó n q u e para cada ncN, $ ( n ) es e l número de primos q u e s o n m e n o r e s o i g u a l e s q u e n . C a l c u l a f ( l ) , f ( l O ) , y f ( 3 0 ) .

3 . - Definamos g:R- IR por g ( x ) = [ X I , donde [x] es e l mayor de los e n t e r o s

menores c) iqur i l r~c que x3] ; 1 ) T.:nc:uontr;i c j (J2) , (J (---I 4 % , (1 f..'), CJ (-2.304) y ~~(0.349). b) 1)i.J)u ) , I i ; i ( j r5f ic;i tic. I I : u n c i ó n g . c ) Determina s u r a n g o .

4 . - si p r , J cada r a c i r J i : , l J X-", s i e n d o p y q e n t e r o s , se d e f i n e H ( x ) = p ? ; ¿ r e s u l t a r 5 ser I ~ : Q - - - * z un3 f u n c i ó n ?

, s i x=E; p y q s i n f a c - tores primos comunes.

9

O s i x es i r r a c i o n a l .

r i" 5 . - Sea f:íR-c iR J a f u n c i ó n d e f i n i d . a por f ( x k

C a l c u l a f(g-1 , f ( n ) , f ( 2 . 5 ) , f ( rZ) y f(J6).

ellos como e l c o n j u n t o A * B = f ( a , b ) / a r A y bel3

3

Da;lris dos c o n j u n t o s , A y B , SE! d e f i : , c e l p oducto c a r t e s i a n o de

6 . - S i A = { a , b , l ) y B = ( c , d , 2 } , c a l c u l a AXB y BxA.

7 . - Sea A={XG[N(~SXS~) . E n c u e n t r a C = { ( a , b ) ) a a A y b=a$ .

18. Polinomios: -- Funciones L i i i c ~ a l c s y ____ CuadrSticas

F u n c i hri Cori c t <I ti t f h

S 1 í : A - [ R , y f f x ) = c parr i toda xcA, diremos que f es iina fuIicll_;n

constante (en A ) . Njtese que una función constante se caracteriza

porque su rar i l ,o consiste de un s ó l o punto: Q={c).

Cuando ('A dominio es R y c=-2, results la función constante

f ( x ) = - 2 , cuya gráfica se muestra eyseguida.

A'3

----,x

J=-2 I

Función Linea 1

una función l i n e a l es una función f-:R-+iR, .cuya regla de correspon -

dencia es de l a forma f(x)=mx+b, siendo m y b números fijos. .

Las funciones lineales reciben este nombre porque su gráfica es u - * .

na línea recta: l a de ecuación y=mx+b. Tomando m=O, resulta f(x)=b;

lo que permite concluir que l a s funciones constantes son un caso par -

titular de funciones lineales.

Ejemplo

1) Consideremos la función lineal g(x)=Zx-l.

De la definiciÓn,es claro que se cumple: 1 1

g (O) =2 ( O ) -1=-1; g (2) =2 (2) - 1 ~ 0 ; 9 (x+h) -4 (~)=2 (x+h) -1- (2~-1)=

= 2 h , después de realizar algunas simplificaciones algebráicas.

Su qráfica es l a recta de ecuación y=2x-1, señalada a continuación.

1 2' Nótese que el rango de la función g es IR. A los puntos como x=- don -

d e t j ( x ) = O , les llamaremos las ra€c:ec o ceroskg. Y á s generalmente, -

realizamos la próxima definición.

Definición

Sea f una funci6n. Si XGDF es tal que f (x)=O, diremos que x es una

rafz o cero de f.

Observemos que las raíces de una función corresponden, geometrica -

mente, a los puntos donde su gráfica intersecta el eje x.

Teniendo en cuente el ejemplo anterior, no es difícil ver que to-

da función lineal f(x)=mx+b, con m f 0 , tendrá IR como rango. Por lo

tanto, no es una función acotada. Sin embargo, cuando su dominio se

rcctringe a un intcrvalo [a,b] , los valores que en 61 toma s l consti -

tuyen un EQd>aGtci acotado.

Polinomios

Se llama polinomial, o polinoniio, a toda función P:IR-iR, cuya re -

gla de correspondencia es de la fiorma P'(x)=c, +c,x+. . .+c,x" . A los

números co ,c, , . . . , c , se les llama los coeficientes del polinomio P.

Si cn#O, decimos que P es de grado n. En parbcular, a los polinomios

de grado 2 , 3 . y 4 se acostumbra liamarlos, respectivamente, cuadrbti-

102

cos, c ú b i c o s o c u á d r i c o s .

tn c o n j u n t o muy i m p o r t a n t e de e c u a c i o n e s son de l a forma

C n X " +c,,ix+A +. . . + C , X + . C , " O . . . (I) Haciendo P ( x ) = C , x n + . . .+cc , r e s u l t a q u e x es s o l u c i ó n de (1)-

= O . E s b n o s i n d i c a q u e l a s o l u c i ó n (o ra l i z ) de una e c u a c i 6 n como

puede v e r s e como una r a í z d e l p o l i n o m i o P. Es p o r l o a n t e r i o r

e l c á l c u l o d e l a c r a f c e s o ceros de f u n c i o n e s c o n s t i t u y e uno de

p rob lemas m á s i m p o r t a n t e s ( e i n t e r e s a n t e s ) d e n t r o de las m a t e m á -

t i c a s .

bo lv iendo a l o s p o l i n o m i o s , n ó t e s e q u e los de grado cero s o n l a s

c o n s t a n t e s d i s t i n t a s de cero, y l o s de p r i m e r g r a d o s o n a q u e l l o s de

l a forma P'(x)=mx+b, con m#O. limos y a q u e l as g r á f i c a s de estos p o l i -

nomios s o n l í n e a s rectas . A c o n t i n u a c i ó n , d i s c u t i r e m o s a l g u n a s p r o -

p i e d a d e s de l o s p o l i n o m i o s de segundo g r a d o .

Cons ideremos l a f u n c i ó n c u a d r d t i c a f ( x ) = a x 2 + b x + c . Para e n c o n t r a r

s u g r á f i c a hacemos y = f ( x ) ( + y=ax2+bx+c.

D e l o d i s c u t i d o e n l a s e c c i ó n 1 6 , se puede c o n c l u i r q u e l a e c u a c i 6 n

a n t e r i o r c o r r e s p o n d e a una p a r á b o l a verti.ca1, con vér t ice e n e l pun -

4ac-b2 ) y q u e se abre h a c i a a r r i b a o h a c i a abajo, según se t o (-=, 4a

cumpla a>O o a<O.

E j e m p 1 o

2 ) Cons ideremos e l p o l i n o m i o c u a d r á t i c o P (x )=x2+3x+1 .

a ) Determina l a s r a f c e s de P .

x es r a l z de P L 1 P ( x ) = O W x2+3x+1=0

A p l i c a n d o l a f ó r m u l a p a r a r e s o l v e r e c u a c i o n e s de segundo g r a d o , re-

-3-Js s o n l a s r a f c e s b u s c a d a s . Y xz= 2 -3+E c u l t a q u e x i=

b) Encuentra cl v , i l o i - i n E n i n i o cliic’ toma P .

Haciendo y = P ( x ) , y completendo cuadrados, se obtiene: 2 9 9 3 2 5 y=x?’+3x+l=x + 3 x + - t l - ~ 4 ( x + ~ ) -- 4 .

De esta expresión para y, se concluye que su valor es mínimo cuando 3 3 x + ~ =O <+ x=- . El valor minima será entonces y=--

éste corresponde a la ordenada del. vértice de la parábola y=x2+3x+1.

c) Bosqueja la gráfica de P, y determina su rango.

Nótese que 4 ’

Sabemos ya que se trata de una parábola. El primer inciso indica

sus intersecciones con el eje x , y el segundo señala las coordenadas

de su vértice. Para determinar la intersección con el eje y, se toma

x=O , resultando y = l . A partir de los datos precedentes, enseguida

se bosqueja la gráfica de P. AY

Como se mencionó en la secci6n pasada, el rango de P se obtiene pro - 3 yectando su gráfica sobre el eje y. Así, R,= [-z,a).

En los siguientes ejemplos, aplicaremos los resultados y métodos

desarrollados para resolver algunos problemas específicos.

3) h a persona tiene 300m de alambre para cercar tres lados de un

terreno rectangular. El cuarto lado lo formará sobre una cerca rec - -

ta ya existente. Encuentra las dimensiones del terreno de área má-

Y

1 0 4

Consideremos 12 figura anterior. El área del rectángulo señalado

es A=xy.. . ( 1 ) . »e los d a t o s d e l problema, se sigue la relación

2x+y=300 ... (21, entre x,y- Despejando y de (2) y sustituyenuo el re - sultado en (11, resulta A(x)=x(300-2x)=-2x2+300x. Como x representa

la longitud de un lado del rectánqulo, es claro que debe cumplirse

05x5150.. . ( 3 ) . Sin esta restricción, la gráfica de la función

A(x)=-2x2+300x es una parábola que se abre hacia abajo. Luego, la -

función A tendrá un valor máximo; calculémoslo: 2 A=-2-(x2 -150~+ ( 7 5 ) * ) +2 (75f =-2 (X-75) +11250.

De esta expresión se concluye que el valor máximo de A ocurre para

x=75. Ya que x=75 satisface la condición ( 3 ) , éste es la solución

del problema planteado. Nótese que la dimensión del otro lado es

150m, mientras que el área máxima es 11250m2.

Antes de proseguir, conviene tener en cuenta la siguiente obser-

vaci6n:

En todos los casos tratados, los valores de una función se han

representado por la letra y , mientras que con x se ha nombrado a los

elementos del dominio. Debe quedar claro que esto se hace tan sólo

con el fin de realizar más comodamente el desarrollo y la exposición;

de ninguna manera es una notación que siempre se usa. Practicamente,

se acostumbra designar a las variables por medio de letras adecuadas

al problema en cuestiÓn,tal como se podrá aprecia enseguida.

Consideremos un cuerpo que se mueve en linea recta, dotada ésta

de un sistema de coordenadas. Representemos por xo su posición r,y

por &su velocidad, ambas en el instante t=O. Si la aceleración a -

con que el cuerpo se mueve es constante, la Iísica señala que;

a3 Su posición en el instante t es x(t)=xo+v, t+ F t , y 1 2

b

11) Su velocidad cn cl instante t es v(t)=v,+at.

Ndtese q u e la posición depende cuadraticamente del tiempo, mientras

que la velocidad lo hace en forma lineal. Además, conviene observar

la interpretación física de cada uno de l o s coeficientes.

Ejemplo

4) Supongamos la función x(t)=t'+3t+l indica la posición de un - cuerpo, sujeto a las condiciones del párrafo anterior.Entonces,por

(a), se puede concluir que en el instante t=O su posición es 1 y

su velocidad es 3 . Su aceleración se calcula a partir de que -a=l

<.j a=2. Observando que x(t)=t2+3t+l es el polinomio del ejemplo

1 2

(2), e s interesante interpretar los datos obtenidos entonces en el

contexto actual. De esta manera, resulta:

-3-J5 ei cuerpo está en ei origen. 2 y t = -3+ 6 a) Para t =- 2 b) La posición más a la "izquierda",o más"abajo" (depende cómo es-

té la línea recta), a la que llega el cuerpo es -7 . c ) De la gráfica vemos que, conforme aumenta el tiempo,partiendo

del iaskante. t=-? , el cuerpo se: aleja cada vez más del origen.

5

2

5) Dos objetos,A y B, caen por 1.a acción de la gravedad, según se

indica en la figura siguiente. Si sus velocidades iniciales son,

respectivamente, 3m/seg y O, para qué tiempos t se cumple que el

obeto A está abajoguoel objeto 13.

Eligiendo sistemas de coordenadas como en la figura, resulta - que la posición de A está dada por la función s (t)=-2+3t+4.9t2 y la,

Ze B por la función x(t)=4.9t2. En estos términos, A estará debajo

Ejercicios 18

1.- Consideremos un cuerpo de masa m. La segunda ley de Newton esta blece entre la fuerza Fsobre un cuerpo y su aceleración la rela ción F=ma. Además, en Esica el momento lineal de este cuerpo se define como p=mv. a) Describe cómo es la variación de la fuerza en términos de la aceleración, y cómo depende el momento lineal de la velocidad. b) Si la aceleración es constante, ¿que se puede decir de la fuer za?. Si la velocidad es constante, ¿qué se puede decir del momen- to lineal?

-

2.- Hagamos S=(PIP es un polinomio #O], y consideremos la función S :P-*WU{Oj , determinada por S ( P I = grado de P. Encuentra: a ) G (xg+x-2), r, (x3-2x) , b) GC (x2+x-2) (x3-2xg

3.- Señala una función lineal T que cumpla T ( 1 ) = 2 y T(3)=-1.

4 . - cuerpo se mueve en línea recta y con aceleración uniforme.

tema de coordenadas, en los tiempos que se señalan. Experimentalmente, se obtiene su posición, con respecto a un sis

Calcula la función x(t) que describe su movimiento.

-

@ 5.- a) Encuentra los puntos donde se intersectan las gráficas de los

polinomios f(x)=xx-x y g(x)=2x2+4x+i.

de interseccián. b) Dibuja las porciones de las gráficas situadas entre los puntos

6.- Durante el intervalo de tiempoC0,2 horas] , se mide la distancia de una partícula a un punto fijo. Si esta distancia se mide en metros

y el tiempo en horas, la función que se obtiene (durante ese inter valo) es s(t)=l?+3t, Lcuál es la función que resulta al medir la distancia en cm. y el tiempo en segundos?

-

7.- La temperatura de un alambre incandescente, de un metro de largo, se mide en cada uno de sus puntos. Si dicha temperatura B e mide en grados centlgrados, y la distancia ( con respecto a un extremo) en cm., se obtiene la función T(s)=s+100, OSsS100, que describe la va riación de la temperatura T con la distancia s . ¿Qué función resui ta cuando la temperatura se mide en grados kahrenheit y la distancia en metros?

8 . - Encuentra la distancia más corta de ( 0 , 3 ) a un punto de la p a r á b o - la x2=4y.

9.- Encuentra los polinomios P que tienen grado menor que 3 , y cum- len P(2x)=P(l+x).

1 0 . - I n d i c a una f u n c i ó n lineal T yule s a t i s f a g a T(kx)=kT(x) y T(l)=fl.

1 1 . - D ibu jando v a r i a s de l a s g r á f i c a s de l a f a m i l i a de f u n c i o n e s f ( x ) = x n , n = 1 , 2 , ...; o b s e r v a cómo v a r i d n é s t a s a l cambiar e l expo- n e n t e .

a 1 2 . - Y u e s t r a que l a f u n c i ó n h(x)=3+3x-x es p o s i t i v a s i x<-2.

1 9 . A lgunas O b s e r v a c i o n e s y m á s E jemplos sobre G r á f i c a s

En muchas o c a s i o n e s , e n l u g a r de i n t e n t a r b o s q u e j a r d i r e c t a m e n t e

12 q r á f i c a de una f u n c i ó n d a d a , c o n v i e n e t r a z a r p r i m e r o l a de o t r a

f u n c i ó n , q u e llamaremos a u x i l i a r . Ina de e s t a s o c a s i o n e s es cuando -

se c o n s i d e r a un f u n c i ó n d e l a forma g ( x ) = If (x ) l . En este caso, es - c o n v e n i e n t e t r a z a r p r i m e r o l a g r á f i c a de f y r e f l e j a r é s t a sobre e l

e j e x , t a l como se puede a p r e c i a r e n l a s s i g u i e n t e s f i g u r a s .

/ h

-x

En a l g u n a s s i t u a c i o n e s , l a s g r á f i c a s pueden a y u d a r e n l a s o l u c i ó n

de p r o b l e m a s q u e , con o t ros métodos, se t o r n a n labor iosos y l a r g o s .

Ina d e estas s i t u a c i o n e s es e n l a r e s o l u c i ó n de d e s i g u a l d a d e s . P o r e -

j emplo , una d e s i g u a l d a d d e l t i p o f ( x ) > / g ( x ) , se puede resolver de l a

manera s i g u i e n t e :

a ) Se t r a z a n l a s g r á f i c a s de f y de g , c a l c u l a n d o p r e c i s a m e n t e l o s

p u n t o s donde se i n t e r s e c t a n .

5 ) E n t o n c e s , los p u n t o s x donde l a g r á f i c a de f es tá sobre, o c o i n c i -

d e , con l a , g r d f i c a de g , c o n s t i t u y e n e l c o n j u n t o b u s c a d o .

Ejemplos

1 ) R e s u e l v e l a d e s i g u a l d a d Ix+ll< I2x-11.

Para s e g u i r e l método e n u n c i a d o , d i b u j a m o s e n s e g u i d

de l a s f u n c i o n e s f ( x ) = i x + l l y g ( x ) = I2x-11.

O '

O b s e r v a n d o q u e 1->1 c o n j u i \ t o h u s c a d o es ix 1s ( x ) p f (XI}, de l a f i g u r a

a n t e r i o r se concluye q u e e s ( - co ,O)U ( 2 , ~ ) .

2) Consideremos l a f u n c i ó n h : [ - - l , l ] -R , d e f i n i d a por h ( x ) = h - x 2 .

De l a d e f i n i c i ó n de h se s i g u e : h ( 0 ) = 1 , h ( - l ) = h ( l ) = O , h(-)=-.

P a r a d e t e m i n a r l a g r á f i c a de nacemos y=h(x)= h-x2 3 y2=l-x2

@ y2+x2=1. Como los valores y de esta f u r c i ó n s o n 3 O , se c o n c l u y e

3 4 5 5

q u e l a g r a f i c a de h es l a partle s u p e r i o r de l a c i r c u n f e r e n c i a c o n

e c u a c i ó n xz +y2 =l.

-x s i xS0 3) Sea f:íR-,iR l a f u n c i ó n d e f i n i d a por f ( x ) = 1 s i O<x<3

a ) C a l c u l a f ( - l ) , f ( 4 ) y f(z). 1 c s i 3 S x

Liendo e n l a d e f i n i c i 6 n de h , c u á l es r e g l a d e c o r r e s p o n d e n c i a

a p l i c a b l e e n cada caso , se o b t i e n e n l o s s i g u i e n t e s r e s u l t a d o s : 1 f (-l)=- (-l)=l, f (z)=1 y f ( 4 ) = d X = 2 .

b) B o s q u e j a l a g r á f i c a de f .

En este t i p o de s i t u a c i o n e s , c o n v i e n e d i v i d i r e l d o m i n i o de l a

f u n c i ó n e n v a r i o s i n t e r v a l o s , de m a n e r a q u e e n cada uno de e l l o s

se pueda o b t e n e r una e c u a c i ó n para la g r á f i c a . R e a l i z a n d o e s t o ,

e n e l p r e s e n t e ejemplo se o b t i e n e l a s i g u i e n t e g r á f i c a .

110

Ejercicios 19

1.- Bosqueja la gráfica de la función h(x)=x+lxl+l.

2.- Dibuja la gráfica de la función f, definida por f(t)=(-2t t2+i si t<-i-

3 3.- Consideremos las funciones f (x)=x y g(x)=x , definidas en a) Encuentra los puntos donde sus gráficas se intersectan. b) Determina el conjunto B={xcRIf (x)7 g(x)).

si -1st R.

4 . - Sea f:R-,iR la función definida por f (x)=(2x+31. 1 a) Encuentra la gráfica de f.

b) Determina el conjunto A=(x~Rlf (x)=~}. c) Indica los valores máximo y mínimo de f en el intervalo [-4,0).

a) Encuentra los puntos donde sus gráficas se intersectan. b) Bosqueja, en un mismo sistema de coordenadas, las gráficas de f

c) Determina el conjunto A= (x€R I g(x)< f (x)}. 6 .- Considera la función f (x) =-2 I x 1.

a ) Calcula f(O), f(-2) y f(-1). b) Bosqueja la gráfica de f. c) Determina los valores máximo y mínimo de f en el intervalo [-1,2].

5.- Consideremos las funciones f ( x ) = lax-11 y g(x)= 13x+iL

Y de 9.

7 .- Encuentra el conjunto A= {x€R 1 ( ~ ~ 3 4 ) . 2x+3 fi si 168

8.- Bosqueja la gráfica de la función g, donde g(tb{$, Si 1 ~ ~ ~ ‘ ~ A ; , , ; J , Z . ~ , . . . 1

9.- Indica si la función g(x)=,fmes acotada. \p si tsO

2 0 . Operaciones con Kinciones. --I______I_- Dominio Máximo

Consideremos dos func iones , f y g . Como e n cada punto d e l conjun - t o q n D a los v a l o r e s f ( X I y g ( x ) e s t á n determinados, se pueden d e f i - n i r las s i g u i e n t e s operaciones entre func iones :

a ) La suma de f y g es l a función f+g:Qn%"R, determinada por l a

r eg la de correspondencia ( f+g) ( x ) = f ( x ) + g ( x ) . ( l a d i f e r e n c i a se d e f i - ne en forma s i m i l a r . )

b) ~l producto de f y g es l a función fg:qO%+IR, determinada por

la reg la de correspondencia f g (x) =f ( x ) g (x) . Bare. *4ae *.esta . , c) E l coc i en te de f y g e s t á d e f i n i d o por -(x)-g(~)-. f -f (XI

g operacidn ( d i v i s i ó n ) tenga s e n t i d o , hay que q u i t a r de @ni+ a q u e l l o s

f puntos donde g(x)=O. Luego, e l dominio de - 9 es &n4-{xc09Ig(x)=O).

E j emp lo s 1 s i Odx$l G s i 1<x62 1) Sea f : [0 ,2j+R, d e f i n i d a por f ( x ) =

a ) Bosqueja l a g r á f i c a de f .

I

2 x. i

b) Encuentra f2. s i 06xQ1 .

f 2 : ~ , ~ J + I R , e s t á d e f i n i d a por f 2 ( x ) =

c ) Determina f + f = 2 f . s i OSxSl . 2 f : [0,2]4R, e s t á d e f i n i d a pcir 2f=

ch) ¿Es f 2 = 2 f ?

Claramente no, pues f f ( 0 ) = i , mientras que 2f(0)=2.

Consideremos un [ ) ( - > I irioiiijo I-' ( X I - c o -f ci x t . . . CC., xn . Representando por I la función iderit icl'id, e r i t o r l r r ~ s I n ( x ) = x h y @L palinómio P se puede -

h expresar como P=c, +c, T+. . - 4 C, 1 . L o c u a l indicii q u e todo polinomio

es una suma de funciones constantes multiplicadas por potencias de

l a identidad.

Dominio Máximo

Como se puede apreciar considerando los ejemplos discutidos, los

valores de una función están dados usualmente por medio de una f6r-

mula: x 5 +xa-2x+2, c/x"-4' , K" , vr2x+f+ 1 m.. .etc. Estoha -que,

por brevedad, se haya acostumbrado en hablar de la fufición

f ( x ) = m , o de la función g(x)=v2x+l? +

e s el dominio donde se está trabajando.En estas situaciones, donde

sin especificar cuál 1 f F 5 7 '

no se especifica el dominio, acordaremos que éste es el conjunto mbs --I

"grande" en el cual la fórmula tiene sentido. A este conjunto le lla

maremos el dominio máximo de l a fórmula. -

De esta manera, es claro que el dominio máximo de p(x)=x5tx3-2x+2

es R. A continuación obtendremos los dominios máximos de algunas de

l a s fórmulas mencionadas.

Ejemplos

2) h(t)=

Para que E' tenga sentido, debe cumplirse t30, pues sólo los nú-

meros no-negativos tienen ráiz cuadrada real. Ya que después hay -

que sacar rdiz cuadrada a E! -1 , también deberá cumplirse n-130 H vT3le) t31 . Luego, h estará definida siempre y cuando t30 y tial.

Como t3l + t?O, se puede concluir que el dóminio máximo de h es el

intervalo [',.o>.

113

En l o que s i g u e dc es t r i s nota:; , convendremos e n q u e l a s v a r i a b l e s

que a p a r e z c a n s i n espcci f i c a c i ó n , se r e f e r i á n s i empre a números rea-

les. l

1 3 ) g ( x ) = r n +- -

-1 La e x p r e s i ó n e s t á definida s i empre y cuando 2x+1)/0 @ -7.

a=-si? es t é de te rminado , debe c u m p l i r s e 4-5x>O Para que e l c o c i e n t e

4 5>x. Como x t i e n e que s a t i s f a c e r ambas c o n d i c i o n e s , r e s u l t a que e l

i n t e r v a l o -2.'x<v c o n s t i t u y e e l dominio máximo de l a fórmula dada .

Ejercicios 2 0

l + t y g ( t)=tZ-l , d e t e r m i n a f+g, i n d i c a n d o s u dominio. 1.- S i f ( t ) q - 3 t+2 -1 s i 141 X I 2 s i 2 i 1x1 2 . - C a l c u l a f + g , s i f ( x ) = ( 3 s i ¡ X I < 2

3 .- Determina e l c o n j u n t o A={ xtíF! 1!2x-ll + Ix+3! >, (3x+21} . l + x 4 . - S i f ( x ) = -

5 . - Cons ide ra l a s f u n c i o n e s f ( x ) = n 2 y g ( x ) = - 2 +3x.

X f e n c u e n t r a a ) - y b) f g ( 4 ) . y g ( x ) = = I g X 7

a ) E n c u e n t r a e l dominio máxi-mo de f . b ) Determina e l v a l o r mínimo d e f. c ) S e ñ a l a los p u n t o s donde se cor ta l a g rá f i ca de f con l a de g.

1-x f+g f -g y Df/cy 6 . - S i f ( x ) = w y g ( x ) = r , , - X e n c u e n t r a D

7 . - D ibu ja l a g r á f i c a d e l a f u n c i ó n f ( x ) = x + 1x1 +x-l+ lx-l\ . 8. - Bosqueja l a g r á f i c a d e la f u n c i ó n H(x)=- x+ 1 1x1 .

Encuen t ra e l dominio máximo de l a s s i g u i e n t e s fórmulas:

.- -~

10.- g ( x ) = - I x l + r n

11.- h(x)=Jx-rlXL -x-2 4

1 2 . - Dadas dos f u n c i o n e s f :A-+lR y g : A + i R , se d e f i n e n l a s f u n c i o n e s h = m i n ( f , g ) y H=max( f ,g ) , hac i endo h ( X I =min (f ( X I I 9 ( X I ) Y

114

f+q- tf-gl H=max (f (x) , g ( x ) ) . k r i f i c a que entonces h= f + g + If-(i I

2 y H=

13.- Determina la qr5fic-d de i l = i n a x ( f , g ) y la de h=min(f,g), cuando f(xI=x2-3 y CJ(X)=~X.

1 4 . - S e a n f ( t ) = I t - 3 1 y g ( t ) = l t - l l . S i h=f+g, encuentra los nheros t ta les que h ( t + 2 ) = h ( t ) .

11 5

21. Funciones Rac iona les

ina func ión r a c i o n a l R,es una func ión cuya r e g l a de correspon-

p ( X I Q ( X I d enc ia es de l a forma R(x)=- , donde P y Q son po l inomioc y ,

ademds, Q # O . Nótese que R e s t á d e f i n i d a para todo v a l o r de x , s a l - VO en l a s r a í c e s de Q .

E j emp 1 os

, c a l c u l a e l producto f g . i) S i f ( t ) = , y g ( t ) = - t - 3 t + 2

Como f e s t 6 d e f i n i d a s i t # O y g s i tf3, f g e s t a r á d e f i n i d a

siempre y cuando t # O y t f 3 , es d e c i r , e l dominio de fg es R-(O,3j . Su v a l o r en un punto t d e l dominio, e s f ( t ) g ( t ) = - - -- t t - 3 t - 3 '

t +2 t -t +2

2 ) S i g ( s ) = S2-2Sf1 , s a + l determina todos los números s t a l e s que g ( s ) = 3

s2+1 s a - 2 s + 1 = 3 i=) s ' - 2 s = 3 s 2 + 3 +==I 2sa+2s+2=0 ts. g ( s ) = 3 L-s.

sa+s+i=O. Como e s t a ecuac ión no t i e n e s o l u c i ó n r e a l , concluímoc que

ningún número s a t i s f a c e g ( s ) = 3 . Luego CXCR I g(x)=3)=+.

, encuentra s u rango Rh. X* 3 ) S i h ( x ) = y x 2 X 2 a e s de l a forma x-2 acRh e> . Es d e c i r , debemos ver s i ex i s t e

a: &TG7 xcR t a l que a=- xa

Luego, para que xER, es nece sar i ; y s u f i c i e n t e que a cumpla aa-8ab0.

x2=ax-2a H x2-ax+2a=0 (3 x= x- 2

Para resolver e s t a de s igua ldad puede u t i l i z a r s e e l método ind i cado e n

l a s e c c i 6 n a n t e r i o r . D e e s t a forma, como l a g r á f i c a de p (a )=a2-8a es

una parábola que se abre h a c i a a r r i b a , e i n t e r s e c t a a l e je a en a=O y

e n a=8 , r e s u l t a que a 2 - 8 a 3 0 k > as0 o a%8. P o r l o t a n t o , Rh=(-m,0M[8,a). 1 4 ) Bosqueja l a g r á f i c a de l a func ión f ( x ) = x .

La g r á f i c a de e s t a func ión t i e n e por ecuac ión y=L. Aunque en e l X

116

sequndo cdpf till(, n o C? ¿ . s t . < i h I ( " ' I 6 , c!n Uconietrfa Analfica se prueba

que esta ecu.ici6n cc; : c l una h i r ) f i r b o l a , cuyas ramas tienen por 5

sIntotas a los ejes de coordenadas, y su eje es 'la recta ykx. Todo

1.0 anterior se puede apreciar en la siguiente figura.

5 j Al trabajar con una funci6n racional R(x)=- p ( x ) si grP>,grQ, con- Q ( X I ' viene realizar la división indicada y considerar la nueva expresión

de R. Así, por ejemplo, si f ( x ) = - + f (x)=l+- . Bosquejando la gráfica de f'rksulta evidente que el rango de f es ( -@, l )u( l , a ) .

x+2 2 X X !

1 1

!

Cambio de coordenadas para el Dibujo de Gráficas

Evidentemente , en un 1)lano se pi ieden construir muchos sistemas de

coordenadas. Considercmos dar; : ; i . ; t c r n ~ i s , X-y , x"y' , donde los ejes x ' ,

y' se o b t i e n e n , respcctjv;iment.c., a p a i t i t - de los e j e s x,y, mediante

una traslación. Esto es, el nuevo e j e x ' es paralelo 21 eje x , el e j e

y ' l o es a l e j e y , y conservamos la unidad de medida. En estas con-

-1-1 Y' -

d i c i o n e s , cada punto P en e l p lano t i e n e unas coordenadas (x ,y)

con r e s p e c t o a l pr imer s i s t e m a ( I ) , o t r a s coordenadas ( x ' , y ' ) en

e l segundo s i s t e m a (111 , y nos i n t e r e s a s aber que r e l a c i ó n hay

e n t r e e s t a s dos p a r e j a s de coordenadas. Para a v e r i g u a r l o , repre-

sentemos por ( a , b ) l a s coordenadas d e l o r i g e n O ' con r e s p e c t o a l

s i s t e m a x-y ( I ) . Observando las d i s t i n t a s p o s i c i o n e s que puede o-

cupar O ' (ver f i g u r a a n t e r i o r ) , r e s u l t a e l próximo teorema.

Teorema 2 1 . 1

Sean ( x , y ) y ( x ' , y ' ) l a s coordenadas de un punto p con respec-

t o a los s i s t e m a s ( I ) y (11) r e spec t i vamente . S i e l o r i g e n O ' t i e

ne cocrdenadas ( a , b ) en e l s i s t e m a ( I ) , en tonces

-

x =x'+a, y =y '+b .

Ejemplo

1) SupRngase que l o s e j e s se t r a s l a d a n de manera que e l nuevo o r i -

gen t i e n e coordenadas ( -1 ,2) . Det.ermina l a s nuevas coordenadas d e l

punto con coordenadas ( 2 , - 1 ) en e 1 s i s t e m a o r i g i n a l .

Apl icando e l teorema a n t e r i o r , se t i e n e x'=x-a, y'=y-b. Como en

e s te ca so a=-ly b=2, r e s u l t a x '=3, ~ ' ' -3 .

Consideremos ahora una func ión de l a forma g ( x ) = f (x+a) , donde f

es una func ión conoc ida . En t a l c a s o nos i n t e r e s a s a b e r cómo d e t e r - minar l a g r á f i c a de g , a p a r t i r de l a g r á f i c a de f . E l procedimien -

t o que r e s u l t a es s e n c i l l o . Para o b t e n e r l o , efectuemos e l cambio de

coordenadas x'=x+a, y '=y . D e e s t a manera, vemos que l a g r á f i c a de

la func ión g t i e n e por ecuac ión y ' = f ( x ' ) en e l s i s t e m a XI-y'. Por

i o t a n t o , con r e s p e c t o a este cisterna, l a g r á f i c a de g es como l a

de f . - EA i n d i c a que , para ob tener l a g r á f i c a de g basta tral

l adar e l s i s t ema d e coordenadas I ) i i n t o (-a,O), y e n e s t e nuevo

s i s t ema d i b u j a r l a g r á f i c a dc f.

Ejemplos

2 ) Traza l a g r á f i c a de g ( x ) = ( x - 3 ) . 2.

En este c a s o , l o primero que se debe observar es que g ( x ) = L ( x - 3 ) ,

s i endo f (x )=x2 . Luego,por e l procedimiento r e c i é n

que s u g r á f i c a es l a seña lada enseguida .

1 3 ) Bosqueja l a g r á f i c a de h ( x ) = x .

En este c a s o , h ( x ) = f (x+l) , donde f ( x ) = ~ . Como

g r á f i c a de f , podemos u t i l i z a r e l método expues to

g r á f i c a de h ; lo c u a l hacemos a con t inuac ión .

d i s c u t i d o , vemos

ya conocemos l a

para bosquejar l a

E l método que se ha d e s c r i t o también sirve para d i b u j a r l a s grb-

ficas de func iones de l a forma g ( x ) = f ( x ) + c , s i se conoce l a g r á f i c a

de f . En e s t a s i t u a c i ó n , se hace y '=y-c, x'=x y se e f e c t ú a n l o s

m i s m o s pasos de a n t e s . E l s i g u i e n t e e jemplo comprende e s t a s i t u a c i ó n

y l a a n t e r i o r .

1 4 ) Bosqueja l a g r á f i c a de g ( ~ ) = 3 + ~ ~ + ~ ~ .

119

Y= 3+ G 2

- /4>< I

I

I

-I'

Para o b t e n e r l a q r d f i c a de y , conv iene r e a l i z a r e l cambio d e coor -

4%

- - 3 -

*U i

x2 -1 x- 1 2.- p ( x ) = x + l , q (x)=- .

-Determina e l dominio máximo d e l a s s i g u i e n t e s f u n c i o n e s : 2x2+x-3 x3+3xx2 - 3 5 . - h ( x ) = F y xz -x

3.- f (x)=2x2-x-1 4 . - 9 ( X ) = X 3 + X f - 2 X x ( x 1

X 6 . - Determina e l r ango de l a f u n c i ó n f (x)==_

7 . - Bosqueja l a g r á f i c a d e l a f u n c i ó n g ( x ) =

8 . - S i l a s coordenadas d e l "v ie jc l" o r i g e n e n un sistema nuevo son

x l ' (x+3) (x-4)

x-2

( - 3 , 2 ) , c u á l e s s o n l a s co0rdena.da.s d e l nuevo o r i g e n e n e l s i s t e m a a n t e r i o r ?

9 . - Encuen t ra e l l n f i m o y e l supremo d e l r ango d e l a f u n c i ó n

X* 10.- D e t e r m i n a s i l a f u n c i ó n f (x )= . l+x" es a c o t a d a .

120

22. Composición dc Funciones

Consideremos dos funciones, f y 9. Cuando el valor f(x) cae en el

dominio de 4 , le podemos aplicar q y obtener as€ otro valor, que es

g (f (x) ) . A esta operación entre funciones se le llama composición y se representa por gof. (Este sImbolo se lee como 'If seguida de g " )

As€, el dominio de gof es el conjunto (x€Df(-f(x)tD.-[i- Si Dgof= $, di- 9 remos que la composición no está definida.

Es importante notar que cuando R C D el dominio de la composición f 9'

gof coincide con el dominio de f.

Ejemplos

1 ) si f(x)=x-3 y g(x)=xe+2, calcula fog y gof.

Ya que f y g tienen como dominioiP; las composiciones fog y g o f

también lo tendrán. Calculemos el valor de éstas en cada número real X : fwg(x)=f (g(X))=f(x2+2)= (X 2 +2)-3=x2-1. fog(x)=x'-l.

gbf (X)=g(f (X) )=g(X-3)=(X-3)' +2=x2-6x+11. gof (~)=~'-6~+3.1.

Observemos que f0gZg.f. E s t o nos indica que la operación de composi-

ción no es conmutativa. Por ello, hay que tener cuidado con el orden

en que se realiza la composición.

2 ) si f ( t ) = < t T y g(t)=v't+5; calcula gof y fog.

Necesitamos primero hallar el dominio A de f , y el dominio 6 de

121

g . H a c i é n d o l o , r e s u l t a A = { t l t 2 2 5 } , y C = R . Ya q u e e l r a n g o d e f e s t á

contenido e n e l d o m i n i o de q , r e s u l t a q u e e l d o m i n i o de g o f es A.

E l valor dc c ~ o f c s g o f ( t ) = y ( ~ t 7 ~ ~ ) = = t ' - 5 + 5 = ~ = I t l . A s f p u e s ,

g o f : A - . R , es tá d e f i n i d a por g o f ( t ) = l t l .

C l a r a m e n t e g 2 ( t ) b 5 . L u e g o , e l d o m i n i o de f o g es IR. S u v a l o r e n

cada p u n t o es f o g ( t ) = f ( g ( t ) ) = f ( J t . 2 + 5 ) = ~ = I t l .

1 3 ) S e a n f ( x ) = x 2 , g ( x ) = x + l y h ( x ) = : - . E n c u e n t r a u n a e x p r e s i ó n para

l a f u n c i ó n F ( X I = (x+3)4

X

1 , u s a n d o s o l a m e n t e l a s f u n c i o n e s f , g , h y

l a c o m p o s i c i ó n e n t r e e l l a s .

Notemos q u e g o g o g ( x ) = g o g ( g ( x ) ) = g ( g ( x + l ) ) = g ( x + 2 ) = ~ + 3 . Luego,

1 8 f 0 f o h 0 9 o g og ( X ) =f o f (-) = f ( 1 hog0 904 ( X ) =h ( X+ 3 ) =- x+ 3 I Y x+ 3

. Así, F ( X I = ~ f o f o h o g O g ~ ~ g ( x ) , s i x#-3. - 1 - (x+3).

.

Ejerc ic ios 2 2

1.- s i ~ ( x ) = x ' + ~ . y g ( x ) = x - 2 , c a l c u l a f s g y g o f .

2 . - si f ( x ) = 1 2 x + l 1 y g ( x ) = x 2 + 9 , c a l c u l a g o f .

3 . - S i F ( x ) = -

4 . - E n c u e n t r a e l d o m i n i o de gof s i f ( s ) = s 2 - s + 1

5 . - S i f ( x ) = r Z F T , g(x)=- y h(x)=-+ - I e n c u e n t r a foh y

x+ 1 y G ( X ) = ~ c a l c u l a F O G y G o F . x+ 1 1+xe

S y g ( s ) = s .

x 1 goh. ( R e c u e r d a q u e , e n cada caso d e b e ' i n d i c a r s e e l d o m i n i o . )

6 . - S i f ( x ) = 2 x + 3 y g ( x ) = m , c a l c u l a f o g y g o f .

E n c u e n t r a e l dominio de f o g , e n los s i g u i e n t e s casos:

7 . - g (x )=2x-3 y f ( x ) = G F = T .

8 . - g ( x ) = 2 ~ - 3 y f ( x ) = 4'7F . 3 9 . - g ( u ) = g T l r - U y f ( u ) = u .

10 . - g(u)=+v-=T y f ( u ) = J u - l ' .

122

' s i I X Í S ~ calcula g o f y si 2c 1x1 ' 1 si i x i C 1 11.- si f si , x t

f o g . . - -_

12. - Expresa la función f> (x) - di -2xz1 (mrno composicibn de funciones más "sencillas".

.. . . .. .. . .

123

2 3 . Funciones Trigonométricas

Consideremos dos semirrectas AP,PB que parten de un punto

corntin P. Observando l a f igura a n t e r i o r , vemos que é s t a s deter-

minan dos ángulos,representados por CI y B . Cuando se t r a b a j a

con ángulos no mayores de 18OC', como sucede e n l a mayoría de -- los casos tratados e n Geometrlía elemental , r e s u l t a c l a r o a cud1

de es tos ángulos nos referimos cuando hablamos d e l ángulo entre

AP y P B , que se denota por eZPB.

a l el iminar l a r e s t r i c c i ó n a n t e r i o r , e l s ignif icado de @PB - es ambiguo, ya que no hay manizra de d e c i d i r entre cuyP. Para

correg i r e s t a si tuación se introduce una orientación en los a n -

S i n embargo, e n trigonometrza,

'! 4

CJ'

I i

i "\' -.. . -.. . .

I I

l o s , de l a s iguiente manera.. Ha\ dos formas de g i r a r e l e j e

x para que ocupeetllo~t&$~:e'f . S i l a dirección es en l a de las

manecillas del r e l o j , diremos que é s t a es negativa y cuando es

contra de l a s manecil las , le llamaremos pos i t iva . Con e s t a -- convención, definimos $APB como e l ángulo que resul ta a l g i -

r a r AP en l a dirección pos i t iva -I__ hasta l l e g a r a PB. Asf, -

124

e n l a f i g u r a 1 , $APB = fi .

C o n s i d e r e m o s l a c i r c u n f e r e n c i a C i de radio 1 y c e n t r o e n

e l o r i g e n . Un grado, por d e f i n i c i ó n , es l a medida d e l á n g u l o

q u e r e s u l t a a l d i v i d i r l a c i r c u n f e r e n c i a C 1 e n 3 6 0 p a r t e s i g u a

l es . La medida de c u a l q u i e r o t r o á n g u l o se determina v i e n d o - -

c u a n t o s á n g u l o s u n i d a d " c a b e n " e n é l , y t e n i e n d o en c u e n t a su

o r l e n t a c i ó n . E $ d o c i r , tendrá signo positivo cuando s u d i r e c c i ó n Sea positpa

-

ow &!-u ,,-&LIVO cuando tenga direcciciri rieqativa.

Hay o t r a u n i d a d más c o n v e n i e n t e q u e l a de grado para medir

á n g u l o s . E s t a se o b t i e n e o b s e r v a n d o q u e un á n g u l o q u e d a deter-

minado por e l arco de l a c i r c u n f e r e n c i a q u e és te "abarca". En

este caso se d e f i n e una medida d e l á n g u l o AOB como l a medida

d e l arco A B , y decimos q u e es ta es s u medida e n r a d i a n e s .

Es i m p o r t a n t e n o t a r q u e , u t i l i z a n d o grados o r a d i a n e s , l a

medida de un á n g u l o se o b t i e n e a p a r t i r de l a medida d e l arco

correspondiente . Solo q u e , c u a n d o u t i l i z a m o s g r a d o s , l a m i d a d

u , empleada para medir l a c ircunferencia , no es la unidad de longitud usmi.

125

211 - JI YA que . I c i I o r i q i t ucl dc C, es 2n y u =- -- 360 180 I

obtenemos l a siguiente relación entre l a medida en grados y

radianes de un ángulo : 1' = -- r' 180 vendrenios en que los ángulos estaran determinados en radianes,

radianes. D& aquí en adelante, con-

Estrictamente hablando, a l considerar ángulos menores que

O y mayores o iguales a 2% es necesario hacer algunas modi-

f icaciones a l a discusión anterior. La principal e s que, a -- diferencia de ( A ) , dos semirectas AP y PB ya no determinan - un solo ángulo

e- 2lÍ , * producen fina1ment.e l a misma relación entre l a s - B, sino que ot.ros ángulos, por ejemplo B+ 2% I ,

semirrectas AP y PB.

Consideremos un ángulo QPR = O entre O y ' % . , y formemos

un triángulo rectángulo, según se muestra en l a figura 5. Se

definen entonces l a s siguientes funciones, llamadas trigonomé-

t r i c a s : (B)

cateto adyacente - a - -- hipotenusa C hipotenusa C

cos o = cateto opuesto - b _ - sen O =

1 = - cateto adyacente cateto opuesto t a n O

- - ctan O = cateto opuesto - cateto adyacente a tan O =

- 1 - -- hipotenusa cateto adyacente ccls O sec O =

- 1 hipotenusa - = cateto opuesto sen O

Consideremos otro triángulo rectángulo Q' P' Re, donde

4 Q ' P' R' = O (1) . Como se trata de triángulos rectán-

gulos, esto basta para concluir que los triángulos Q P R y -- Q' P' R' son semejantes (ver figura 5). Luego

. Esto nos indica que sen O lo podemos cal a - a a' c cr

cular utilizando cualquier triángulo rectángulo que cumpla. (1).

De manera similar se prueba que sucede lo mismo para las ---

--' - :, => - = -

dem& funciones trigonométricas.

De la definicidn anterior de sen O y cos O, vemos que -- O<O<2 . Il ésta solo es posible cuando

ángulo puede tener como medida cualquier número real, quisi6-

ramos extender esta definici6n y poder hablar de sen x , cos x

donde x es un número real arbitrario. Para hacer esto, con -

sideremos la circunferencia C1 y un ángulo O<x<Il/2. Llaniemos

Sin embargo, ya que un

4 'i

P, al punto determinado al recorrer en C,, una distancio x en

la dirección positiva. Si P~=(a,b), del triángulo rectángulo

formado por los puntos O, (a,o) y Px, resulta:

127

n 2 Esto nos indica que, para O<x<- , podemos interpretar

a cos x y s e n x como l a abcisa y l a ordenada del punto Px.

Ya que es to últimokpuede hacer para cualquier x, l o aprovecha - mos para hacer l a siguiente definición.

Definici6n

a ) S i x c IR I y Px=(a,b) es e l punto determinado a l cami-

nar sobre Cl ,en l a dirección posit iva s i x >/ O , o en la d i -

reccián negativa cuando x < O , una distancia 1x1 , entonces

C O S X = ~ y s e n x = b .

b) Las demás funciones trigon,ométricas se definen como en

A continuación, indicaremos algunas propiedades impor-

tantes de las funciones trigonométricas.

Ya que l a longitud de C i es 2i i , a l caminar sobre Ci -- una distancia 2 i l , en cualquier dirección, regresamos al -- punto de partida. P o r lo tanto, siempre se cumple

px = px+2rI Y 'X = ' ~ - 2 n ~e aquí se sigue e i prá- resd-

Teorema 23.4

sen (x+2ii) = sen x , cos (x+21I) = cos x

Como Po = (l,O), Pn,2 = (0,1), pn = ( - l , O ) , y P3n/2 = (O,-l)t

l a d e f i n i c i ó n d e seno y coseno nos señala e l siguiente r e s u l -

tado.

128

Teorema‘33.2

sen I I = O Ti s e n - = 1 2 s e n 0 = O 3n 2 s e n - = - 1

311 - 0 cos - - 2 cos I I = - 1 - 0 cos - -

2 coso = 1

Para c u a l q u i e r x E I R , e l p u n t o Px = (cos x , s e n x )

es tá e n ci. Luego se cumple c o s 2 x + s e n 2 x = l , como se -- afirma e n e l s i g u i e n t e teorema.

Teorema 23.3

P a r a todo x E I R , cos ’x + s e n 2 x = 1

Teorema 2 3 . 4

s e n ( - x ) r - s e n x , c o s ( - x ) = cos x

Demos t r ac ión

Sea x c I R . Vaanos q u é r e l a c i ó n hay e n t r e l o s p u n t o s - PX

I

i

A ~ ‘ - j . H a y v a r i o s casos, uno d e lo s c u a l e s se m u e s t r a e n l a

f i g u r a . N o o b s t a n t e , e n t odos e l l o s se zumpleyPx y P-x -

t i e n e n i g u a l abc i sa , y s u s o r d e n a d a s d i f i e r e n t a n solo e n

s i g n o , q u é es la c o n c l u s i ó n ’ d e l teorema.

Q . E . D .

129

Teorema 23.5 ~

sen(x+ii) = - sen x cos(x+I;) = - cos x

Demostración

Para cualquier x c I R , los puntos PX y PX+n son diame -

tralmente opuestos. ( E n i a f i - j u r a se muestra una posibilidadj

Luego, sus coordenadas so5 ac sigr'o opuesto. E s t o e s ,

cos(x+ii) = - cos x , sen(x+ll) = - sen X .

Q . E . D .

En algunos casos , conviene r e d u c i r el cdlculo d e l seno y

coseno de un ángulo, a l cá lcu lo de e s t a s funciones pero e n un

drigulo d e l primer cuadrante. E l s iguier i te resultado nos i n d i - ca cómo hacerlo.

Teorema 23.6

31i 2 c) Si - .c P < 2R =, cos 0 = cos(2Ii-O), s e n O =- s e n ( 2 , - 0 ) .

Demos t r ac i ón

a ) D e l tr iángulo rectángulo OAPL', s e sigue que

cos(rl-O) = - cos C! 1

cos o = - cos(E-O) 'E.

sen(irl-0) = sen O 1

Los demás casos se pruebanen forma simi-lar .

Q.E.D.

Antes de es tab lecer otras propiedades, veamos cómo son

l a s gráficas de l a s funciones, seno y coseno. Observemos -

primero que basta conocer s u s valores e n e l in terva lo [0,2:2

pues, en v i r t u d del teorema 3-21 es tos valores se i rán re--

pitiendo periodicamente, a intcrvalos dc l o n g i t u d 211. F o r

e s t a razón se l e s llama funciones per iódicas , y diremos qiie

22 es su período. Teniendo en cuenta e s t o , la def inic i6n -

d e Las funciones seno y coseno, y tabuiando alqunos va lores

cic sen x y cos x , resultan las s iguientes gráfi-cas.

l? 4 t a n x . As€ mismo,tan O = O y t a n - = 1. En bc:- -sen x = - - -

cos x se a l a i n f o r m a c i ó n a n t e r i o r , a 1í-i d e f i n i c l a i , clct t a n x L/ cGA-.-

c u l a n u o a l g u n o s de s u s valores, bosquejdlws ~ 1 s s c 5 c l ~ d a l a qrS- 1

f i c a de l a f u n c i ó n t a n x . , I

TeoremaCl.? -- -

Sea P u=i p u n t o en >;c.mi I r - c ' c t ; i OFe y r=01. Entonces,

l a s coordenadas de P son x = I cos 0 , y = I sen O .

Demos t rac ión

Como P es un p u n t o e n l a semirrecta Ope, e l segmento OP form? - hr - c"va

I \ \ %!

también un ángulo O con l a parte pos i t iva

suponer - < 8 < , pues l o s demás casos

t e . Con e s t a condición, O < IT-O < F/2.

rI 2

tr iángulos rectángulos OAP y O A ' P O , se t i e n e : - x -cos (r7 - cos(JI-O) = 7 = --. x = r c o s O .

d e l e j e x . Podemos

e t ratan sirnilarmel?

Considerando l o s -- --

sen O _. - ,, y = r s e n O . 1 sen(11-13) = -.Y = r

Q.E.D.

-7

a ) z c u á 1 es l a f u e r z a r e s u l t a n t e R = F + 5 b) ¿ C u á l es s u m a q n i t u d ?

Para e n c o n t r a r R ü t i l i z a r c m o c e l método de d e s c o m p o s i c i Ó n en

c o m p o n e n t e s .

L

F, = F cos 30" = 10 cos 30"= 8 . 6 6 , Fy = F s e n 3 0 " = 10(.5) = 5

Px = P cos 135" = - 10 cos 4 S C ' = - 7 . 0 7 , P y = P s e n 135' = 7 . 9 7

Luego Rx = Fx + P X = 1 . 5 9 I Ry = Fy +'Py = 1 2 . 0 7 - + .- - . -. y l a f u e r z a r e s u l t a n t e R e s t 5 d a d a por l a s c o m p o n e n t e s afiteric

res. S u m a g n i t u d es JRx'+RyL' = 1 2 . 1 3

Ley d e brcosenos b . E ~ ~ O R C ~ S I \, Supongamos un t r i á n g u l o c.nrno

--L-- c'=a'+b'-2ab cos O. C-


Elegimos un sistema de coordenauas como se muestra en l a i L q ~ : : ~ -

!. 4 i

Demo s t r ac i Ón

Considerenos los puntos A ,I3 y C de coordenadas

>, 6 \ A $ ' c j x-t-\ ,y

\

( : , o ) , ( C O S S ,

/ I \

1 \

y (cos (O+$) , sen ( O + @ ) 1 , respectivamente.

Enseguida rotamoc nuestro s is tema de coordenadas; de manera

que e l nuevo e j e x r quede cobre O B . Naturalmente, l a s coor-

denadas de los puntos A,B,C cambiar, a l r e a l i z a r l o arit&rior, - y sus nuevas coordenadas son ( c o s ( -0) , s e n (-3) ) = (cos0,-ser,G) I

, (-1) y í c o s q , s e n q ~ ) . Calculando l a dis tar ic iü O e n t r e A y L,

niedi. Tstos dos s is temas de coorden&s, r e s u l t a :

d'=(l-cos(l++)) '+sen2 ( ~ ? + ~ ) = l - 2 c o s ( O + Q ) + c o s 2 (Cl tq )+sen ' (O+( , ;

=2-2cos (C+$) .,., (1)

F i n a l m e n t c , iqualando ( 1 1 1' (2), obtenemos cos ( r ' + ~ ; = c o s 8 c o c ~ - S C ~ r - ; ~ - . - .

-. I_ , L . _' .

135

Tomando - ¢ J cn lu<;;¿ir de ,) en el teorenid ar-.terior, obtentli.oJ

el s i g u i e n t e r c ~ i i 1 t ad<) .

Corolar io 2 3 . 1 0

l L L Le r,á reino 2' S i e n lugar de O , en e l ceorema a n t e i i o r conanios n Il

2 2 2

1

cos( - -o) = cos 2 c o s @ + sen s e n 4 = s e n Q . Ahora, s i e n vez de

' 1 11 + sust i tuimos 2- - O , r e s u l t a sen (---O) = cos (z- (---cI) j = COSO 2 2 2 2

Indicamos e s t o s resul tados en l a s i g u i e n t e proposic ión:

Coro lar io 23. íí

cos (---O) n = s e n t ? , sen(:-(!) = c o s ~ '

___-

2

?-

En Geometría e lementa l , s i O es un ánqulo entre O y i!, 2

a _ _ -0 s e l e llama s u complemento. Etimologicamente, l a

palabra _____- - coseno s i g n i f i c a ceno de s u conplemento, que es l o

7, 2

que nos i n d i c a e l c o r o l a r i o a n t e r i o r .

Teorema 2 3 . 1 L _-.-- -----

Demostración

Por e l corolaric) anterior, s e i : ( ~ t i J ) = C O S ( - - ( O + $ ) ) = c o s ( \ - L - ~ > - -

Empleando e l c o r o l a r i o 3 . 1 3 , tei7dremos s e n ( !7+(1) =cos (---0j cos+

n 2 L

il 2

136

1 . ; 2.- Calcula la suma 3 5 O . 3 5 + 23'43 ' .

(El símbolo " ' " indica minutos y equivale a la sesentava

p a r t e Qe un grado, z

\

b L,

Y 3.- Determina el valer de x, seybn los datos que se i n c i c a n L L

eo la tJ&.fd- G yL---- x

4 . - A partir de la definición, calcula;

z n IT b) cos3 % sen3. n; a) cosq 3 sen4 . i

PrJieb;i las ,siquientes fórmulas: L

G, - 1 + hL,\ (3 = ..<.<.-CY

6 . - - sen 20 = 2 sen0 cos0

7.- cos 20 = 1 - 2 sen70

2.- Prueba que el área del triángulo isóscelec assena o

2 e s A =

Bosque]a las gráficas de las siguientes funciones:

9:- f (x) = c ,tan x io.- g(x) = sec x 11 .- h ( x ) = CS8C x

x.- F(X) = sen'x .la.- ~ ( x ) = sen x2

13.- Suponiendo el &qulo x está calcula el b-igiilc y señaiado en 1~ siguiente figura.

- - Ccnsideremos una circunferencia de radio r. Calcula ia ionqituct 1 Gel A & ~ ~

de cada uno de los siguientes pollgonos inscritos en ella.

14.- Tridngulo equilátero. 15.- Cuadrado. 16,- fidqono regular.

137

24. Un poco m6c cobre G r Z f I ( - ~ I S - - -

E l e f e c t o geométrico cobre l a g r á f i c a de una función, que

r e s u l t a de m u l t i p l i c a r l a por una cons t an te , l o podemos apreciar

e n los s i g u i e n t e s ejemplos.

E j emp los

1 ) Gráfica d e f ( x ) = 2 x 3

Como podemos O b w v a c , la g r á f i c a de f ( x ) = i x 3 es de l a -- misma "forma" que l a tkr .g (x )=x3 ; pero con l a d i f e r e n c i a de que -

l a g r á f i c a de f e s t á mas a ' lejada d e l e je x que l a de g . En genera1 ,es to siempre pasará cuando f (x)=Ag(x) y 1 < A . S i O < A < 1 , l a g r á f i c a de f (:<I = A g ( x ) e s t á más próxima a l e ;e

x quela& g.

1 2

2) Gráfica de F ( x ) = - - cos x

Primero notamos que, si f(x)=-g(x), la gráfica de f sc!

obtiene reflejando la gráfica de g mediante el eje x . En general, cuando %O, la gráfica de F(x)=AG(x)=-(-AG(x) 1

se obtiene reflejando la de -AG(x), también mediante el eje

X .

La discusión anterior, junto con la realizada al final

de la sección 21;, nos permite dibujar gráficas de funciones

del tipo f(x)=A cos ( x + B ) + C y g(x)=A sen ( x + B ) + C , como en

el siguiente ejemplo.

Ejemplo

3) Gráfica de G(x)= 2 sen (x+-) - 1 r. 4

Algunas funciones, como l a s siguientes, tienen cierta>,

caracterrsticas que facilitan el dibujo de su gráfica.

i39

Definición

a ) Una función f es par, si. cuando x ~ D f da- xEDf y f ( - x ) = f , x ) .

b) Una f u n c i í j n f e s impar, s i cuando xEDforJanur- xeDf y f i -x)=-f (x) .

La def in ic ión de función par indica que su g r á f i c a es simé-

t r i c a con respecto a l e j e y: ya q u e s i P=(x,f(x)) pertenece a -- l a g r á f i c a f , también l o hace e l punto (-x, f ( x ) ) , que e s e l s i -

métrico de P con respecto a l e j e y . Esto implica que para dibu-

j a r l a g r á f i c a de una función par , bas ta d i b u j a r l a parte situadc

I

a l a derecha d e l e j e y . Pues,, en t a l caso , re f le jando é s t a m e -

d iante dicho e j e obtenemos 1, i par te de l a izquierda, s e g h ce

puede a p r e c i a r e n e l s iguiente ejemplo.

Ejemplo

4 ) Gráf ica de f ( x ) = x s e n x .

En este caso f e s t á d e f i n i d a e n IR, y f ( - x ) = ( - x ) (sen -x)

= x sen x = f ( x ) . Luego, f (2s u n a función par.

Nótese la conveniencia de t r a z a r l a s r e c t a s y = x , y = - X I que nos seña lan los puntos donde s en x=l o sen x=-1.

Cuando una función f es impar, s u g r á f i c a también es -0

s i m é t r i c a , pero con re spec to a l o r igen . Esto es, cuando --- P=(x , f (x ) ) pertenece a s u g r á f i c a , también lo hace e l punto - ( - x , - f ( x ) ) , que es e l simétrico de P con re spec to a l origen.

la\ como sucede con las funciones pares , para conocer l a g r á f i c a

\

\ I I \ I

( U, Cr*d

de una función i m p a r basta d i b u j a r l a p a r t e s i t u a d a a l a dere

cha d e l eje y , pues la o t r a par te se pueda obtener de l a mane

ra señalada en l a figura a n t e r i o r .

- -

Ejemplo

5 ) Gráfica de g(x) = x 5

141

El dominio de g es ai y (1 ( - x ) = ' J = - ~ " - ~ ( ~ ) . Luego,

g es una función impar.

E j e r i c i o s 24 .

1 . - Dibuja la g r á f i c a de f ( x ) = 2 c o s ( x + ~ ) ri + 1 - V e r i f i c a s i las s i g u i e n t e s funciones s o n pares o impares, y

d i b u j a su g r á f i c a .

2.- g(x) = x c o s x 3 . - h ( x ) = x 2 s e n x 4 . - F ( x ) = X * COS x

142

25. Función Inversa

Consideremos l a s funciones definidas por los siguientes diagra-

mas: n

Es claro que estas funciones son distintas. En base a sus diferencias

estableceremos un tipo muy importante de funciones. M a distincidn -

que se nota inmediatamente entre f y g, es la que resulta de comparar

sus contradominios. En el caso de g, podemos observar que cada elemen - to en el contradominio es imagen de algún elemento en el domdnio, he-

cho que no sucede en el contradominio de la funcidn f. A las funcio-

nes con la propiedad mencionada para g , les llamaremos funciones so-

bre (o suprayectiva). Ndtese que h también es una función sobre.

Si ahora comparamos h con f, y con g, se puede ver que, en el caso

de f y de g, hay elementos distintos cuya imagen es la misma:

f(l)=f(2)=2 , g(2)=g(3)=4. A las funciones, como h, que no tie -

nen esta característica se les llama uno-a-uno (o inyectiva).

&continuación se resume en forma precisa la discusión anterior. Definición

se<r f : ~ B una función.

a) Decimos que f: es sobre (o sobre B) si se cumple B=Rango de í3. Es

decir, si cada elemento del contradominio es imagen de algún elemento

en el dominio.

b) Liecimos que, f es una función uno-a-uno,si cuando x , x ' E D f y xfx' => f(x)#flx'). Es decir, cuando las imágenes de elementos distintos tam-

bién son distintas.

c) Cuando f sea uno-a-uno y sobre le llamaremos biyectiva o biunlvocú.

143

Conviene observar que l a c o n d i c i ó n para que f sea una f u n c i ó n uno -

a-uno t a m b i é n se puede expresar como: s i f ( x ) = f ( x ' ) =9 x = x ' .

En g e n e r a l , e s ta manera es más cóinoda que l a d e f i n i c i ó n , para compro -

b a r si una f u n c i ó n es uno-a-uno.

Dada una f u n c i ó n F:A+B, consideremos e l s i g u i e n t e problema: ¿Qué

c o n d i c i o n e s d e b e c u m p l i r F para q u e se p w d a u e f i n i r una func iór i

F - L : B 3 A ; l a c u a l corresponda, e n c i e r t a forma, a l a " a c c i 6 n " i n v e r s a

de F ?

A n a l i z a n d o las f u n c i o n e s f , g y h de nuevo (ver d i a g r a m a s a n t e r i o -

r e s ) , r e s u l t a c l a r o que F debe ser sobre y uno-a-uno. Sobre, porque

de esta manera a cada e l e m e n t o yeB se l e puede asociar un e l e m e n t o

x que cumpla F ( x ) = y . Asímismo, e l hecho de ser uno-a-uno i n d i c a que

s o l a m e n t e hay un t a l x ; l o c u a l es n e c e s a r i o para establecer que i a

f u n c i ó n i n v e r s a es tá b i e n d e f i n i d a .

Nótese que para h l a f u n c i ó n h-' e s t á dada según e l s i g u i e n t e d i a - (Ti--.- ----+f3 3 - ---

grama : _ _ _ _ - 3

Para f y g l a s f u n c i o n e s i n v e r s ' a s no e x i s t e n , pues n i f n i g son L

uno-a-uno. S i n t e t i z a m o s l o s argumentos a n t e r i o r e s e n l a s i g u i e r . t e


Sea f :A- B una f u n c i ó n b i y e c t i v a (o b i y e c c i ó n ) . La f u n c i ó n i n v e r r z ~

de f , que representaremos por f-i es l a f u n c i ó n que cumple:

a ) f - L : B - + A J b ) S i y e B , f-'(y)=x, donde x es e l ú n i c o e1ement.o eil A

que s a t i s f a c e f ( x ) = y .

No debe c o n f u n d i r s e e l sfmbolc) f-L, que representa l a f u n c i ó n ir,- 1 1 F, que r e p r e s e n t a a la f u n c i ó n -- v e r s a , con

f ( x ) * Nóttlse q u e , por d e f i n i c i ó n , siempBe se cumple;

xcB -+ f (f-'(x) ) = x Y >:EA 3 f-if ( x ) ) = x .

1 4 4 '

Consideremos una funciGn f quc no scs. uno-a-uno. Entonces, existen

elementos distintos, x y x ' , cuya imagen es la misma; esto es,f(x)=

f.(x')=b. 'Geometricamente, esto significa que la recta horizontal que

pasa por el punto (0,b) corta la g$dfi'c?a de f en dos puntos distin-

t'J l. y'px) '>

* !

I i I y+-,/ I -

t - - , -- , r X k -.

I /

tos: ( x , b ) y (xl,b). Reciprocamente, si una recta horizontal, como

la anterior, corta la gráfica de f en dos puntos distintos, es c l z -

ro que f ( x ) = f ( x ' ) y la función f no es uno-a-uno. De esta manera,

se obtiene el siguiente resultado.

. Teorema 25.1

Zna función es uno-aduno si y sólo si cualquier recta horizorital

corta su gráfica en a lo más un punto.

Ejemplos

1) Observando la gráfica de la función identidad I(x)=x, resulta cla -

ro que s e trata de una biyección. Adenás IoL=1.

En general, de la misma manera anterior, se puede verificar que

cualquier función lineal f(x)=mx+b es una biyección, con tal que mfO.

2 ) Encuentra la función inversa de f ( x ) = 3 x - 5 .

y=f-"(x) t) f (y)=f ( f - l ( x ) )=x e 3y-S=x c3 y=-3- x+5 . Luego, f-'ái<)= -

2 3 ) Ya que ( - 2 ) =22, l a funcidn f(x)=x2no es uno-a-uno. Por- lo tanto,

no t i e n e f u n c i ó n i n v e r s a . N o o b s t a n t e , S L n o s r e s t r i n g i m o s a cor is lck I

r a r s610 l o s e l e m e n t o s n o - n e g a t i v o s d e s u d o m i n i o , a h € s í resulta

ser i n v e r t i b l e , Ensegu ida se calcula s u f u n c i ó n i n v e r s a :

y=f-&(x) ii, f ( y ) = f ( f - ' (x) )=x <+ y2=x e+ y= Jx" o y=-<X' ,

Tomande a h o r a e n c u e n t a q u e y s ó l o toma v a l o r e s n o - n e g a t i v o s , r e s u l -

t a y= riff. Así pues, g ( x ) = CZ' es la f u n c i ó n i n v e r s a de f ( x ) = x 2 , rcs-

t r i n g i d a a l i n t e r v a l o [O,@).

A c o n t i n u a c i ó n veremos l a r e l a c i ó n e x i s t e n t e e n t r e l a g r á f i c a de

una f u n c i ó n b i y e c t i v a y l a d e s u i n v e r s a . P a r a e l l o ae necesi ta pri-

mero comprender c u á l es e l p u n t o q u e a p a r e c e a l r e f l e j a r un p u n t o

( x , y ) con r e s p e c t o a l a rec ta y = x , t a l como se aprecia en la s i g u i e n -

t e f i g u r a . ! !.1 I ! /

En l a f i g u r a a n t e r i o r podemos v e r q u e e l t r i á n g u l o OPA se r e f i e j u

e n e l t r i á n g u l o O P ' A , m i e n t r a s que e l t r i á n g u l o O P B l o h a c e sobre e l

t r i d n g i ; l o O P ' B . D e e s t o se cigue+t ,s i P= ( x , y ) ~ P ' * ~ u , v ) , e n t o r i c e s x=v,.

y=u . E s decir , a l r c f l c l a r el pixito P = ( x , y ) con r e s p e c t o a i a r e c t a

y=>;, se o b t i e n e el p u n t o P ' = ( y , : c ) .

b l v i e n d o d l a i n t e n c i ó n original, c o n s i d e r e m o s un p u n t o ' ( ~ ~ 1 7 ) e!:

l a g r á f i c a de f-I. E n t o n c e s , y=f- ' (x) & f (y)=x.Conicecto s i g n i f i c a s u e

e l punro ( y , x ) p e r t e n e c e a l a q r á f i c a de f , hemos p r o b a d o q u e LIT- ~ U I - .-

t o p e r t e n e c e a l a g r á f i c a de f-'ciernpre y cuando s u " r e f l e j a d o " pe l i t c -

146

n e z c a a la g r á f i c a d e f . Luego , p a r a o b t e n e r la g r á f i c a de $a fun-

c i ó n i n v e r s a f - 'basta r e f l e j a r la

- -4 d e f m e d i a n t e l a recta y=x.

E je rc i c ios 2 5

1.- S i h ( x ) = 4 x - 5 y g ( x ) = 8 x 3 - 4 ,

2.- Sea f l a f u n c i ó n d e f i n i d a p o r f ( x ) = e , OsxS1. E n c u e n t r a f-:

3.- Prueba q u e la f u n c i ó n h:tR-+[R,definida por h ( t ) = - , e s una b i y e c c i ó n

a ) E n c u e n t r a h"'(x) y g"(x). b ) C a l c u l a h-'og'(x).

1 t y e n c u e n t r a h-'.

4 . - C o n s i d e r a d0.s f u n c i o n e s f : A + B y g : B - c C . P r u e b a : a ) S i f y g s o n uno-a-uno =+ g o f es uno-a-uno. b) S i f y g s o n sobre g o f es sobre.

w1m Iv 147

LII.1 ITES Y CONTIN LEDAD

i n t r aducción

E l ConceDto de límite, iunto con e l de función 11 e l de número real, cons-

t i tuyen las nociones fundmentales Dara m r e n d e r e l CAlculo v , en qeneral ,

lasMater6ticas. La idea de lWte anarece en f o m natural en clivercos ti-

p s de moblaws, de los cuales darems varios ejemlos a continuaci6n.

H i s t o r i c a m n t e , e l D r i i r i e r e?ermlo se r e m n t a hasta hace 2200 años anroxi-

mitamente. En esta é m a v i v i ó Arnulmedes, m i e n se i n t e r e s ó en encontrar e l

área de un sector naraból ico , es d e c i r , un sector c m e l se6alad.o en l a fi-

qura 1. Enseguida se D0drb-i anrecia- las idea.; Msicas que u t i l i z ó Arquhedes

1 para c a l c u l a r e l á r e a , cfrm en su orocedjmiento anarece l a noción de I€-

mite.

Para simplificar la e m s i c i ó n , sumndrerms a = l v que la nardbola t i e n e

mr eLmación FX'. Entonces, el sector C est5 def inido nor las condiciones

r):x~i, Wvsx2. ES claro que e l sector .$ no esta formado m r res ionec i imita-

das por polígonos, en cuvo caso C e roiirla d e s c o m n e r en tr idnqulos v c a l c u

l a r su área. No obstante , noclemoc ohsenrar que u t i l i z a n d o rectdnqulos es DO

-

-

148

sible estimar la maqnbtud del área. (ver fiqura 2). E l unto i.mmrtan'ce con-

siste en darse cuenta que l a estimación puede hacerse t a n orecisa corm se re-

quiera, con tal de eleqir los rectáncnilos adecuadamente. Para esto, dividams

e l intervalo [O,U en n nartes iquales nor =dio de los D U ~ ~ O S %='I, q-ñ , 1

(9ÍkSn) ( k e r r i m a 3 ) . Sobre e l intervalo n ,.. . , x , , ~ =l 2 k

xz-ñ , . . . , xy-y _ _ [k , e] cano &se, constniinioc un rectánquio cum aitura es e l valor l a

l A-

k k" 1

función en e l extrerm ezauierdo, esto es, f("= + . Llamcxios % a l k-esinm

rectángulo obtenido de esta form (e l DrUrrer "rec&cplo(ltiene altura cero)

y % a su área. ccario \ tiene nor hace e i intervalo [y , :] , resdta k-1

1 k - l a - (k-1l2 l\k= (7) - 7.

Luego, e l área Sn de l a reqi6n cubierta nor los n rectánqulos es n

2 (q2+i2 +. . .+ (n-i) . (k-1I2 -

0

s =c.\ K=.i =c k:. n3 - 3

Itilizando la fórmula 1*+. . .+m2= m(ml) 6 , (secalada en e l ejercicio

A 'ap la npciriihn 6) . s se emresa mr 1

b b

I h g m c ahora una estmci6n entre el área A que buscms v la aproximación

Sn. Para el

cubren los

.lo, conciderems l a f i a r a 4 v observas me

rectángulos Q1, Ti, ..., Rn al Fnerlos uno ei

1

l. - es el área n icYna de otro.

gue

-0 I

l. Para el lo, conciderems l a f i a r a 4 v observas me - n es el área gue

'ne cubren los rectángulos Q1, Ti, ..., Rn al Fnerlos uno encima de otro. -o,

1

149

1 cam0 E se va acercando a cero conForme rl

anterior se conclwe que Sn se avroxim a 1

to , diremos que A es e l límite de Sn cuando

va amentando, de l a iqualdad

a l crecer n. Para exorecar es-

n tiende a infinito, lo mal

simbolizarenios nor A = l i m S . P9r o t r a mrte, de la igualdaci (B) es

claro que l.im Sn =

h*Xn

(1) (2) = J- i 3 . ~ . Lueqo, e l área buscada es

J

Ejercicios

1.- Calcula e l área de l a req i6n señalada en la figura.

i50

26. Sucesiones . Lfímitc de una Cuccsión

\.Urns e n l a in t roducc ión de l a s e c c i ó n a n t e r i o r que e l área de un sector pa-

rabólico se puede c a l c u l a r com l 5 m i t e de una suces ión : A=lim S Ensepida, m n - c i o n a r m s alqunas características de l a s suces iones en general y estableceremos

formalnente e l concepto de lrinjte.

n- n'

i k f i n i c i ó n

h a suces ión es un con junto de l a forma {Xn jn=i,2,3.. .] .

E j emp los 1 1) %=ñ ; n = 1 , 2 , 3 , . . .

En q e n e r a l , a los valores que va tomando Xn cuando n = l 1 2 , . . . , se les llama

téminos de l a sucesión. As€, los primeros c i n c o términos de l a sucesi6n indica- 1 1 1 1

da son xl=l, x2-7 , x 3 ~ , x s ~ x 5 ~ . Toda suces ión de nfmeros reales D u d e r e m e s e n t a r s e qdtricaniente, locali-

zando sus términos en la recta real, t a l como se r e a l i z a e n s q u i d a .

A l a letra n que anarece e n l a d e f i n i c i ó n de suces ión le i.idnldl-txm edite.

Debe ser claro que no importa cuál sea l a letra u t i l i z a d a rara remesentarlo.

1 1 9l v 4 = ~ etc. 1

2) S i yk=- ; k=1,2,. . . , entonces vL =-1, v =- 4 ' v3=- 1 k

(-1)' 1 1 1 1 z 3 = 3 ' Z . 7 zs=-, ... 3) S i z =i= ; j=l,2, ..., entonces zi=-ll z z y 5 7

151

m m - 1 1 2 3 4 4) S i s=(-l) - ;m=l , 2 , .. . , entonces ul=O , u 2 7 , u 3 = 3 , u4-7, ~ 5 ' 5 ' . . . m

2 5) S i vi=i : i=1,2, . . . , entonces vl=l, v2=4, v3=9, v4=l6, v5=25, ...

.3 . 6) S i y=-] ; 1'1 , 2 , . . . , entonces q=-i 1' w2=-8 , ~ ~ " - 2 7 , w4=-64 , w5=-125,. . .

VJY W A -- w3 - - - 27 -8 -i o

1 n Considerems la orimera sucesión: Xn= - . Ceqfm lo que hams discutido,

1 m-1 es claro que i im - = O. ~e i q a l maneira, debe ser claro que lim (-i)* 7

e n w+Q>

no existe, pues sus términos no se acercar! a un n h r o f i j o , sino que "osci-

lan" alrededor de -1 v 1. Cabe entonces, prequntarse sobre las caracterfs-

ticas de una sucesión m.ra que se pueda afirmar que tiene Ifmite. Eh otras

palabras, lo que se está tratando de isuqerir es que, una vez captada l a i-

dea de llmite, e l siguiente paso me ';e necesita realizar es precisarla n ~ -

diante una deffnición apropiada. E l nronósito de lo que sigue es mtivar tal

definición.

Se ha dicho que b = lim bn

cercando a b conform n aumenta. ¿ C Ó m debemos entender esto? !X la m e r a

s i los tFrminos de la sucesión (hi se van a- n;Kp

sigxiente : Tomemos una vecindad alrededor de b con radio 0 C: (b-€ ,ME) .

Aunque b = lim & , es claro que no todos los términos de la cucesi6n{&}

tienen prqu6 estar dentro de esta vezindad. No obstante, l o importante es n3U.

que , a pasar de que ¿>O pueda ser 11uV pequeño, todos los términos est&

en ( b - E , M ) a partir de cierto ínclic? . - Xotando que an€ (b-E,b+&) @

.L J ...

I an-b]< E

Definiciones y Notaci6n

a) Dir-s que b es e l límite de l a sucesi6n (hi s i para tdo

ble elegir N , suficientente qrande, t a l que para toda n+N, se ample

, resulta la ciguicmtr> citifiriiaón.

€ > U , es posi-

J&-bIct .

no tienen, divergentes.

Si b = l i m bn , también diremos que l a sucesián ih) converge a In. n+cP

Para nuestros propósitos, e l concepto intuitivo de límite bastará en l a ra-

w¡? y yorfa de los casos. N o obstante, indicaremos un e j m l o de lo que debe

Zarse para probar, formalmente, que una sucesión converse a cierto px~"a.

Ejemplo

7 ) Prueba que lim = O . 1

n+- Corro en la definición, sea&;>O. Entonces , se necesita encontrar un lndice ü

1 1 1 1 partir del am1 todos los términos

Luego, p o d m s tomar corn ínciice cualquier entero Y que saticfaqa N r k ; pues e!: -

tonc=es, s i n?N 3 LSLcE. Votese que N decende del E dado.

cumplan I O- n IC E - n < & e 7' n . 1

n N

k f inición

sea {%i una sucesión. Diremos qiic? {x,j e s t 5 acotada s i e l conjunto ÜC .3t.d

t6rminos lo estb. Es decir, s i existe!I t a l que jxnlSM; n = l , % , ...

Eiemnlos

8) Las sucesioncs señaladas en los incisoc(l) , (2), ( 3 ) v ( 4 ) est&r í;coczcei~.

153

Observms que la última de éstas no es converqente.

9) Las sucesiones señaladas en los incisos (5) v (6) no son acotadas. Cuando,

m en estos casos, el valor absolutcl de los términos va"aUnientand0" indefi-

nidamente y éstos, a partir de cierto Indice, son de signo constante, diremos

que la sucesión tiende am o a -q sec,-Cjr. sea el siqrio. As€, iim(r?)=

la(-n )=-a.

v n+rP,

3

n *m

Se ha mencionado ya,que entre cualesquiera dos n-ros reales es siapre

posible encontrar un n h r o racional.Si fijms uno de ellos, lla&n~slo x, y

el otro se va tomando cada vez nbs pr6xim a él, obtenems una sucesi6n de nfi-

meros racionales {rn) que, evidentemente, convergerá I$ I ? ,.A

I I - x x*2s - ,A* I

quiente proposición.

Teorema 26.1

a x. Pesulta as€ la si-

Todo número real es límite de una sucesi6n de nhros racionales.

Coriviene observar que l a conclus&íwterior se sique cumpliendo si en lugar

de númroc racionales se emplean números irracionales.

Ejercicios 26

1.- SI %=2n;n=1,2,. . . , calcula Can. 2.- Considera la sucesión definida wr b&-,=k sus términos impares y por

ic4

<!=5l

b,,=-k sus términos pares. a) Señala los primeros diez términcs de la sucesión. b) Calcula b,oo+hiot.

2 3.- Determina el conjunto A={xI~''s x52 ; j=í,?, . .j . ->

indica a partir de qué indice, resnectivamente, los términos de las sic-,ie.i tee sucesiones distan de su lírrute en menos de &=loe6. -

; n=1,2, ... (-1) 4.-

n 5.- bn=ñ+l ;n=1,2 , . . .

Caicula el límite de l a c siquicintec wccsiones: n 2 7.- cn= -K ; n=1,2,. . . 1 1

6.- bi--Z, b w L y n ; n=1,2, ... 8.- %=m -Jn"; n=1,2,. .. 9.- Senala si la sucesián %-A=l, a2" =n ;n=1,2,. . . , es acotada. 10.- Indica una sucesión de nC.itTieros irracionales que converja a cero.

155

2 7 . Operaciones -- YO:^ Sucesiones. Algebra de Límites

AI. igual que C O ; ~ Los números y con las funciones, e n las suce-

siones se tienen t,xnbién las operaciones de suma, resta, multiplicación y di-

visi6n. Estas operaciones se efectúan 'haciendo la opración correspondiente tér - mino a término. Por e~esnplo, s i {an} y {&I son dos sucesiones, su suma es l a

sucesión { cn i cloncic (';.=an+%.

Es & s t a t e natural esperar que s i an- y b n - + b , entonces an+& tenderá -0J n+u,

hacia a+b, mientras que e l producto an& se acercará hacia ab. Esto es l o que

indica e l siguiente t a r a , que t a n sólo se enuncia.

eem [%j y {bl } siiccsiones convergentes. Entonces:

i) lim (a,tb,)=lim an 1 i 1 ~ b, . a\-*& n - t a d n JCD

s i en una sucesihn, 51, e l divisor mnveqe a cero, ya no se pude aolicar e l

inciso (iii) del tenrana anterior. En esta situaci6n no se p u d e decidir, en forna

neneral, s i 13 sucesión converqe o diveme, t a l corn se puede apreciar a conr-inua-

cibn.

z J mplos 1 1 1) Consideremos las sucesiones %T y yn? . Evidentmte, ambas sucesiones

- n y - - - aúri cuando en cada caso % convergen a cero. Sin embargo, c m -- - Yn

e l denaminador tiende a cero, la primera sucesión cociente diverge, mientras que

yn 1 - Xn n '

la secpnda converqe a cero.

Xn 'cn n+a. y , Yn

2 ) Su;>ongms lim yn=0 y 'pe l a sucesión- converge. Entonces, c m x =- yn, ei

inciso (iii) del teor-ana anterior impl.ica que lim %=O. (Este es un resultado qc;e

conviene recordar, pues se Litilizará ni& adelante.) n u o

156

I c m las sucesiones 4 3n'+2j y 1 5n2 -2n+ij tienden a infinito, expresareaos la sucesión dada en una forma distinta. Para ello, dividinos numerador y deno-

minador entre la mayor potencia que2aparezca en el denominador; en este caco, _ . J t . .

. De esta expresión, es claro que 3n2+2 - n2 5n2-2n+l 5&L

n n2 r? . As€, se obtiene:

5 4 -2n +4-n 4) Indica si existe lim 5n4-2n1+2 . 4

4 -2ni--1 . De es -2n5+4-n - rr+ Procediendo corn en el e j q l o anterior, resulta 5rp-2n2+2-5- -

nz e ta expresión es fácil observar que el cociente tiende a - 03 , SI

la sucesión no converge.

Luego,

ti) Para terminar esta sección, se calculará el área de un sector circular c m

el señalado en la figura siguiente. Cl método que se qleará corresponde al sg

quid0 para determinar cl área de un sector parabólico.

Dividanios el arco BC en n partes iguales, por medio de los pmtos Pix,, XI, ..., x,,=C. Se forman as€ n tri;íngulos isosceles congruentes, cuya área ccnnún está C;acia .-

bnkn p r a n = r . (En la figura se señalan k, y b.) ~,uego, el área total cubierta

1 1 ? I I1

por estos triángulos es

finida p r los puntos x,,x1, ..., x

h = n a n T , donde 1, es la longitud de la p l i g o n a l de -

Al hacer n-+zo, es claro que ln-+5,simdo n' S la lonoitud del arco Bc, y hn4i . Luqo, lim >=$S. Cam0 también An se ¿+x~Y: I

n-.r W

1 ma al área del sector circular, se puede concluir que ésta es A T . '36tesc CL - - -

157

ra S=S, resul ta que e l área de un cfrculo de radio 1 esG.

Ejercicios 27

Calcula e l límite de las siguientes sucecior.ss:

2.- al=0.3, a2=0.33, a -0.333,..., an=0.33 ... 3 3- 4-2n 2 1. - +*=

n

1 1 1 C l k 3.- al-7, a22f i s , . . . ,a = n k=,(9 .

- - 28. concepto de Línute y de Continuidad de una ~uncidn

m las dos secciones anteriores discutimos el concepto de ifnute de una suce-

sibn. A continuación verms c6m esa idea también se aplica de forma natural pa - ra funciones.

Considerams las sicpientes funciones y sus gráficas:

Para obtener

(XI =-x. Lueqo,

la gráfica definotams que para x>O, I X I = ~ ; mientras que si x<O, 1 si OCx O si O=x . De esta la fmci6n f también se puede expresar cam

91 $C.)

---_ . - ( - 4 + e x - € E V 'g

expresión es muy sencillo ver que la gráfica de f es la Señalada arriba.

. . . -

1 31 i:(x)=Sx+2 . I

Centras toda nuestra atención en l as diferencias que presentan

anteriores en una vecindad del punto x =O. 9190 que ii-Knediatamnte

las funciones

se nota es que

las dos primeras gráficas .se"rmpen" en el eje y, mientras que la tercera es "ccn - tinua". Tratemos de precisar la causa por la cual murre dicho ra+nie?to. 3

priner lugar, ohservms que para esta Frecisión no es necesario estudiar el cm-

i59

portamiento global (en todo su dominio) clr, ?,I., í-unciones, puesto que e l "ranpmuer. - to" ocurre a l "llegar" a l e je y. Es d e c i r , hay que darse cuenta que pai'a describir

e l hecho que nos interesa, se p u d e ccrsiderar cualquier vecindad (-E,&) alrededor

de O , no importa qué tan pequeña, e investigar ah€ e l comportamiento de l a funcián

considerada. Analicms ahora los distintos casos:

1) observms que a l acercarse x a O ,, l o cual simblizarg;K>s p r x 4 , f (x) no se

comporta"regu1axmente". Esto es, s i x se aproxima a O por l a izquierda (es decir,

por valores menores que O ) , l o cual s:imholizarerrios por XM-, f (x) se acerca a -1

( de hecho,f (x) =-1) ; en cambio, si x se aproxim a O por la derecha, lo cual simb -

lizaremos por x - d , f (x) se acerca a 1 (de hecho, f (x)=i) . Para indicar en forma

simb5lica las situaciones anteriores escribiremos lim f (x)=-1, l im f (x)=l . Conviene observar que estos dos límites, que llamaremos laterales, con distintos.

X+' 0- Y 3 o+

2) este ejgi-cplo resulta sencillo olxrvar que a l acercarse x a O ( sin tcmar es - te valor), los valores g(x) se aproximan a 1. Para indicar lo anterior escribire-

m s

función en O , que es g(O)=O.

l im g ( x ) = l . Conviene notar que este límite es distinto del valor que tara la %-*O

1 1 1 3)

con el de la función en O , que es h ( 0 ) T .

Para 13 función h(x)=2x+2 se cumple lim !17(x)=lim(2x4-)5- , valor que coincide x -*e m+o 2 2

1

:?a>- dos puntos Importantes que aparecen en la discusión anterior. E1 primero es

que e l fm6ma-a del "rompiniento"de uia gráfica se puede estudiar mediante la no-

ción de límite. El segundo consiste e:n que, intuitivamente, la condición para

que la gráfica de una función no se rcmpa en :c=x+,, es que se cumpla

lim f (XI= f (x,) . S i una función tiene esta propiedad diremos que es cont inua en

&. Este concepto ocupará nuestra atención más adelante "xc

en este capítulo. Por l o

pronto, volvamos a la idea de límite, la cual aún se t ime que formalizar.

Considerms una funci6n f definida en una vecindad de x,, excepto posihlmente

en dicho punto. IIerrios dicho que l im f (x)=9 si a l acercarse x a x, ( s in tarar estt:

valor) los valores f (x) (]lie va tcsundo la func i6~ se van aproximardo al níbero A. *'+*o

Esto se puede precisar indicando que para toda vecindad V alrededor de A,

@-€#A+&) existe una vecindad IJ alrededor de x,, (x,-d,x,+b), con la propiedad de f

Def inici6n

a) i im f (XI= A si para todo E> O , existe ó7 O t a l que

I x - x , \ < ~ Y eo * I f ( X ) - A I < E .

b) E l límite la teral izquierdo (derecho) se define anSlogamente, con la codici6n

adicional xcx, (x>x,).

c) Para indicar l im f (x)=A, también e s c r i b i r a s f (x)+ si x-wc,. Ud ñn

J2nseguida se harán algunos ccmentarios sobre l a importantísima definición ante-

rior.

Para principiar,merece notarse que el valor de f en x, no interviene para -

nada en l a definicidn de lim f (x) . N o obstante, canio ya se ha mcionado, cuari20 A+ % o

una funci6n es continua en x, se ccnnple f(x,)=lim f (x ) .

?;o es d i f í c i l darse cuenta que si lirn f ( x ) existe, entonces también existen los *-ma

1C~Ltes laterales, lim n+ f (x) $Fi+f(x) , y son iguales entre sí. Por otra parte,

si los límites laterales con iguales, se puede ccsnprobar que lim f (x j c o i n c i d e con

ellos. 21 conclusión, esta observacidn señala un cr i ter io para decidir si wia L:AI -

y

x + k .

cidn tiene límite, en base a l cálculo de los límites laterales.

Canparando las definiciones de límite para una sucesión y para una fmc3%J e:-

ciertos nfheros se aproxinan a m n5ntzx, 2L- c o n t r m s en ellas una idea básica:

jo; cuando el índice crece en el caso de una sucesión, o cuando l a variable A se

acerca a x,en el caso de una función.

Finalmente, conviene ob- que la igualdad lim f (x)=A también se p e e ex- Y+&

presar por lim (f (x) -A) =O. x+uo

29.- Algebra de Límites. Ejemplos

Las propiedades del concepto de límite que estabiecemos a CGII-

tinuación, son importantes porque permiten reducir el cálculo del

1ímit.e de una expresibn donde aparecen varias funciones, al. cblcu -

Lc 2el límite de cada ana de éstas. EsEas pro2iecades 5011 >da%,-.

te naturales, pero ei obletivo principal al Lroukzlas es rnas-t-rür -

el uso formal del concepto de límite.

En las siguientes proposiciones f y g son fuliciones definidas

en cierta vecindad alrededor de xc,, excepto posiblemente en esLe

puntc.

Teorema 23.1

Si lim f (x) y lim g(x) existen, entonces lim(f (x)+g(x) )=liinf ~ x ) x-fx o x-fx 0 X’X 0 x+x 0

+ lim g(x). x-fx 0

3emoctración

Hagamos A=lim f (x) y B+lim g(x). Sea c>O. ?or definicxjn Ce X’X 0 x-fx 0

Ifmite, para probar que A+B=lim ( f ( x ) + g(x)), debemos encontraí

& > O tal que si ix-xf,l,:6 y x#xO, entonces jf(x) + g(x)-(A+Bjj<,.

Para esto, es importante notar que 1 f (x) + g (xi - (A+B) / f ( x ) - A ,

x-fx 0

- g ( x ) - B i , por la desigualdad del triángulo. Luego, si tonámos F . - - G para que If(x) - A I < 7 , y 6 2 > 0 para que jg(x)- a , < 2 2 ,

se cumplirá jf(x) + g(x) - A - B ~ < E para l o s x tales que x#xD j!

jx-xOj< min (6,,6?) . Basta entonces tomar 6 = min { U l , B i ) .

Lema 29.2

Si lim f ( x ) existe, entonces existe & > O tal que f es a c o ~ a U ~ , UT. x+x 0

‘.XI jx-xo ja x f x f j l .

Demostración

Hagamos A=lim f(x) y tomemos ~ = l en la definición de límite. X'X 0

Entonces, existe 6 > 0 para el que se cumple:

si Ix-xo]<6 y x#xo => If(x)-Al<l*

Aplicando la desigualdad del triángulo, as€ como la desigualdad

anterior, ressiita I f (x) I = I f (x) -A+AI < I f (x)-AI +]AI <l+IAl , si Ix-xo 1 O

y x#xg. Esto implica que los valores fjx) de la función están -- acotados por 1+]Ai, cuando Ix-xoi<S y x#xo.

Q.E.D.

Ndtese que el conjunto donde la funci6n resulta ser acotada no

es una vecindad de xo, pues le falta precisamente este punto.

El teorema anterior es bastante claro "geometricamente". Pues,

como al acercars-e x a XO, f (x) se aproxima a A, basta tomar x su-

ficientemente cercano a xo para poder asegurar que f(x) estará

próximo a A y , por lo tanto, estos valores estarán acotados.

Teorema 29.3

Demostración

Hagamos A=lim f i x ) y B=lim g(x), y tomemos € > O . Consideremos x+x 9 x-tx 0

el valor absoluto 1 f (x)g(x)-AB] . f con A y g con B, introduciremos el sumando adicional f(x)B.

Con el objeto de poder comparar

De esta manera se tiene:

Aplicando la desigualdad del triánguJor resulta:

jf(:<)g(x)-ABlélf(x) I Ig(x)-Bl+lf(x)-AIbI t

Observando que habremos terminado si ipgrarnos que la parte de-

recha de la expresi6n anterior sea menor que F, tomamos:

1 ) 6 1 = . Q taJ que If ( x ) ](M s i X#XO Y Ix-Y,l 0 tal que If(x)-AI<Z(lyBO E (Tomamos l+$lporque B puede ser - ce3.0, en CUYO caso - no está definido). 2B L U e g O , si x#xo y 6 = min (61r¿i2r63), todas las condiciones

anteriores se cumplen, por lo que si x#xa y Ix-xp 1.6, se '=+YS - E E E lBl< - + = E.

E + l b ? :f(x)g(x)-ABI<M 2~ + 2(l+a) 2 2

Q.E.D,

En particular, nótese que si C es una constante, el teorema

anterior establece lim (Cf(x) = C lim f (x) x-fx 0 x+x 0

si lim g(x)#o, entonces existe & > O tal que en ti":{xlx#~, Y x+x 0

I I x-x9 1 ~6 1 se cumple 1 g (x) 1 >M>O. En particular, ahí g ( x ) # O

Demostración

Hagamos B= lim g(x). Supvnqamos B>O; el otro caso se prueba

Ue m a n e r a similar. El procedimiento es sencillo: Basta COA tQmf x-tx 0

Y __z i'

convenientemente una vecindad V alrededor de B, conbenida en IR+

Pues eri tal caso, habrá un

f(x) cYQ'=(B- t , B + L ) => If(x)i>B-f>O.

& > O tal qge si xfxo y IX-Xol<s C >

Si elegimos t=F ' I entonces

B ~ i 3 (B-E I B+l)=(z I -1 consta solamente Ce números positivos,

dirhc S>o, s -+*b-? c , por L ;r(.. hemos terminado. 2

a

¿

Q.E.D.

Nótese que en el conjunto U' del lema anterior, también se

cumple que g ( x ) y lim g(x) tienen igual signo. x+x 0

Teorema 29.5

Supongamos lirn f (x ) y lim q ( x ) existen. Si, ademds lim g(xi#G; x+x 0 X'X 0 x+x 0

entonces lim - (x ) - - iim f ( x )

lim g ( x ) x+xo g ( x ) x+xo

x+x 0

Demostración

El procedimiento que emplearenios es similar al de la prueba del

teorema 29.3. Hagamos A = lim f ( x ) , B = lirn g(x) y sea € > O . x+x 0 x+x 0

Por el lema anterior, tomamos 6 1 > 0 de manera que se cumplan SUS

conclusiones. Entonces:

Y

Empleando la desigualdad del tridagulz

una de las propiedades del valor absoluto resulta:

recha de e s t a desigualdad- wricu que E , habrexr.os acabado. Para e l i o -- basta con hacer cada sumando menor que - 1) 62>0 tal que I f ( x ) \<MI .

. (M está dada por el lema anterior) 2 ) 6 3 > 0 tal que /B-g(x)l< --

3 ) 6 4 > ~ tal que I f ( x ) - A l < 5 I B I . Como io hemos hecho anteriormente. Tomemos 6 = min (61,628638drl.

Para ello, tomamos E: 2 .

E M2 2 Ml

2

Luego, si X#XO y Ix-xo I <6, todas las condiciones anteriores se crirupit~

y resulta:

Q.E,D.

Cabe observar que ias demostraciones omitidas en el caso de su:ce-

sionec, son enteramente similares a 6L.Las, obviamente, con las moaifi - caciones naturales.

Un tipo muy importante de límites aparecen como lirn =,en donde

lirn g(x)=O . En este caso, el teorema anterior no proporciona ninguna x+x 0 información, por lo que e s necesario buscar otra manera de calcularlo.

g (x) x-tx 0

Los siguientes ejemplos indican cómo hacerlo en ciertos casos.

Ejemplos

1) Supongamos lirn fo existe y l i r n g(x)=O. Entonces, ~ypy x+x 0 g ( X I x+x 0

f ( x ) = - g(x), e l teorema 29.3 implica que lim f (x)=O. X'X 0

g ( X I

E s t o nos indica que, si iim g(x)=O, para que lirn f(x) exista e s

necesario que lirn f ( x ) = O . x+x 0 x+xog (XI

X'X 0

X 3 f l 12) Discute lirn XL-4X+3 . X - t l

Como lirn (x2-4x+3j = 1-4+3=0, el teorema anterior no se puede x-+l

aplicar. Veamos qué pasa con el numerador cuando x-t;.

lim (x2+1)=l+l=2. Como el límite es distinto de cero, el resultaco x + l del ejemplo anterior nos indica que lirn XL-4X+3 x 2 + i no existe.

X-tl

x 2 - 1 3) Calcula lirn xL4x+3 x+ 1

En este caso, divisor 9 ' numerador tienden a cero cuando x-tl(x+Xc)

S i m p l d - ~ , como ahora, se trata de polinomios, conviene factorizar amos

polinomios por x-1 (En general, por x-xo . Esto siempre ser3 . p o s l L i e

pues es una consecuencia de que 1im f (x) = lim g(x)=O.) y simpliiicar

el cociente, como se aprecia enseguida. X-+X 0 x+x 0

z-1 x+l 2 = lim - = x2-1 - - x2-1 - - XL-4X+3 (x-3) (x-1) x-3 lim xL-4x+3 x+l x-3 -2 x+l

i 1 3 1 x 1 - ~ 3 * 4 ) Calcula lim - -)

x+l no exisLen,nopodemos aplicar el y lirn - 3 1 Como lirn - 1-x x+l 1 - ~ 3 x+l

29.1. Procedamos entonces a realizar la operación indicada

teorema

y simpli - :L+x+x2-3 - x2+x-2 Luego, 3 - - 1 ficar el resultado: - - - - - 1-x 1-x3 ( 1 4 ) 1-xJ

x2+~;2 . Ya que iim (i-X3)=0 y lim(x2+x-2)=0 ) = iim iim (1, - - I-x 3 x-tl x+ 1 x+l x+l 1-x 1

estamos en la situación del ejemp:to anterior.

x2+x-2 - (x-1) (x+2) 1 3 . Por lo tanto iim ( - - - ) = - A s í , l-x5 (x-1) (-l-x-xL) l-x 1-x3 x+l

=- 1. -(x+2) - - -(1+2) lim l+X+XL 1+1+1

f (x+h)-f - (x) h 5) Sea f(x)=xn, siendo neN. Calcula lirn

h+O . Cuando h+O, numerador y divi-

sor tienden a cero. Procedamos entonces a simplificar el numeraaor.

(x+h) n-xn f (x+h)-f (XI = - h h Si hfO,

Así, empleando la fórmula del binomio de Newton resulta:

sumandos con h como factor tienden a cero. Luego, GbterAemos:

x2+1 3x1 2x 6 ) Discute lim

x-to Como lirn 2x=O, y lirn x2+13x1= 02+jO[=O; denominador y nuneracur

x-to X-tO tienden a cero, cuando x+O. Ya que en este caso, el numerador rio es

un polinomio, el método que hemos utilizado en los ejemplos anter;Cres

no nos sirve. En situaciones como ésta, donde podemos "simpiificar"

la funcidn dependiendo de que x>O 6 x<O, conviene calcular límites la - terales. A s f :

x + 3(-x) = lim (z x 3 - = - - 3 , mientras que 2 x2+13x1 = lim

x-to- x-to- 2x x-to- lirn 2 x

- - - como los lfmites laterales s o n x2+3x 2x 2 -

2x

1ir CLZL = lim x+o+ 2x x+o+

xLri3X' no existe. distintos, concluimos que lirn x-to

Debe ser claro que as€ como hablamos de lim f (x) cuando x-tx",

podemos considerar los casos de cuando x crece indefinidamente o

cuando x decrece indefinidamente, y definir así lirn f(x) y lim f ( x ) . X'a x+-w

Convendremos en que esto ha sido hecho. En las mismas condicion -

es que con sucesiones,~ también diremos que lirn f(x)=a o lirn g(x)=-a*

Enseguida veremos algunos ejemplos. x-tx 0 X'X 0

E] emplos

7 ) Calcula lirn cos x

1 X+W Observemos primero que lirn - = O; mientras que cuando x*a, cos x

no tiende a un límite ya que "oscila" de -1 a 1. No obstante, como X X-tm

si x>O. De esta desigualda;, icos x 1 -

haciendo x tender a m, concluimos que lim = o .

\cos x l < l resulta i X I<m-:t cos x

X X-+m

E n a'iunas situaciones, para dibujar la gráfica de una función

conviene calcular l i r n f(x) cuando x tiende a a, a -00 y a otros pun -

t o s especiales4 por ejemplo, donde no está definida. Hacemos esKo

Q cht:pbLic* .

1 8 ) Bosqueja l a g r á f i c a de f ( x ) = T~T- . Los pun tos donde f no es tá d e f i n i d a s o n las raíces de g (x )=2x2+x-1 .

1 1 2 Ca lcu lando és tas , r e s u l t a n x l = - l , x2= - . Luego, g ( x ) = 2 ( x + l ) (x-2).

7 7 .L I

Es claro que i i m 2xt+x-l = O l i n i 2x;L+x-1 -4 . X + = 'b X+Q'

1 1 I

2 ( x + 1 ) (x-1) - y l i m X + l

2

I

-- 2

2 ( x + 1 ) (x-1) Discutamos a h o r a l i r n x-t-1 - - 2

G e n e r a l m e n t e , e n e s t o s c a s o s , rí&s que t r a t a r de c a l c u l a r d i rec ta -

mente los l í m i t e s a n t e r i o r e s , c o n v i e n e c o n s i d e r a r los l € m i t e s la te-

r a l e s . = + ", 1 lim 2 ( x + 1 ) (x-1) -

x+- 1- 9

pues cuando x+-1 p o r l a i z q u i e r -

1 L 1 d a , (x+l)+O' y (x-2) es n e g a t i v o => ( x + l ) (x-T)+O+. S i m i l a r m e n t e ,

= w . 1 lim 2(x+1) (x-1)

=-w y 1 = - 0 0 , l i m - 1

- 2 x+l+

2 2 ( , x + l ) (x-1) -

2 X-t l ' 2

2 ( x + 1 ) (x-1) 1 im - - 2 x+ (-1) +

Reunida e s t a i n f o r m a c i ó n , podemos b o s q u e j a r l a g r á f i c a de l a fun -

En t o d o caso, r e s u l t a . ' t r ? & w c C t l . a I comparada con 1 c i ó n f ( x ) = - g ( x ) - la f unc i ñ

Supongamos dos f u n c i o n e s f y g s o n ta les que O < f ( x ) < g ( x ) .

S i l i m g ( x ) = O , es c laro e n t o n c e s que t ambién l i m f ( x ) = O , p u e s t o que

los v a l o r e s f ( x ) s i e m p r e e s t á n e n t r e O y g ( x ) . D e este r e s u l t a d o - x-+x 0 X'X 0

se s i g u e l a s i g u i e n t e p r o p o s i c i ó n más g e n e r a l .

Teorema 28.6

Supongamos H(x)<F(x)<G(x) para XE xllx-xol<6, x#x0), 6>0. Si c l i r n H(x) = l i m G (x) =A, e n t o n c e s t a m b i é n l i m F ( x ) =A. x-tx 0 x+x 0 x+x 0

Demostración

D e l a d g u a l d a d H (x)= F (x). G ( X ) , r e s t a n d o H(x) se o b t i e n e

O~H(x)-P(x)~G(x)-H(x). Hagamos f (x)=d(x)-F(x) y g(x)=G(x)-H(x),

Como l i r n g(x) = l i r n G(x) - lim i i (x) = O , podemos emplear l a obser-

v a c i d n previa a l teorema y c o n c l u i r que l i r n f (x)=O <=> l im(F(x>-H(x$=O

Luego , ya q u e F(x)=(F(x)-H(x))+H(x), e l teorema 29.1 i m p l i c a

i i m f l x ) = l i m (F(x)-H(x)) + l i m H(x) = l i r n H(x) ; A o x+x 0 x+x 0 x+x 0 x+x 0

x+x 0 X'X 0 x-tx 0

X'X 0 X'X o

Q 6 E . D .

Supongamos que deseamos probar q u e para cierta f u n c i ó n f ,

iim f (x)=A. Si logramos e n c o n t r a r dos f u n c i o n e s h(x) y g(x) que x - f x o cumplan kr cudt.c ,~,<p,>.j .¿ e l teorema a n t e r i d $ & vri6 a s e g u r a l o b u s c a d o .

s e n x E n s e g u i d a emplearemos este método para probar q u e l i m = 1. x-fx 0

Teorema 2 9 . 7

s e n x lirn x+o

Demostrac ión

supongamos primero que x>O. Cómo solo nos n x < ~ . pequeños de x, también podemos suponer

interesan valores

Localizando el punto

P=(COS x,‘ sen x) en la circunferencia unitaria, se tiene una situa-

ción como la señalada en la figura anterior. Yaque l o s triángulos sen x AC - sen => AC = . cos x

O- B-P y O - A-C son semejantes, se cumple - 1 - cos 8

Como el lado B P es de menor lonqitud que el arco A P resulta

sen x<x (1). Además , puesto que el area del sector circular O A P

<=> sen x 1 sen x se cumple - x< 1 cos 2 2 2 cos x es - x y la del triángulo O A C es

( 2 ) . De (1) y ( 2 ) , obtenemos x cos x<sen x < x , debido a rI 2 X

x < sen x

que cos x > O s i O<x<- . De e&t:a se sigue cos x <

Como cosi(-+l cuando x O + , aplicando el teorema anterior a la desigual -

dad (3) resulta lim

cos x sen x < l ( 3 ) .

sen x -, = 1. Hasta aquí hemos probado lim --I sen x

X+O+ X x+o+

Para terminar la demostración basta ahora con verificar que

1 im = 1 también. !?i x<O, hagamos u=-x. Entonces x=-u y sen x

sen u lim = 1. u+o +

U

Q.E.D.

Es interegante observar que lit prueba del límite anterior, ha si-

do enteramente distinta de los otros procedimientos que habeamos --- utilizado antes.

1, obtendremos un límite que - sen x - Enseguida, utilizando lim -- - >: x-to necesitaremos más adelarite.

E jémplos

9) Calcula lim . COS h-1 h+O

COS h-1 - (COS h-1) (COS h+l) - COS‘ h-1 - - h (l+cos h) - - - h (1 + cos h) h Sea hfO. Entonces,

sen n l i r n - C O S h-1 = l im - s e n h Sen sen . L u e g o , l i m h l+cos h h+O h

h+O - - -

l+cos h h h+O

) (1) = o . - 0 = 1,

E j e r c i c i o s 2 9 .

¿ a l c u l a los s i g u i e n t e s l lmites : 2 5 x 3 + 2 7 5 ~ ' - 2

x3+8 3 . - lirn X L - 4

1 :- i i m x+ o

x+- 2

5 . -

7 .-

l i r n x+ 1

l i r n

( X f i - x + & -1) x- 1

x 2 + 1 9.- a ) l i r n - x- 2 x+2+

l+x 10.' a ) lirn

XTrn

( x + i ) 11.- l i n i xL+l X+m

tan A 13.- lirn -

X x-, o _ - sec x-1 _ _ . lirn

SA0 _ -

X

1 2.- l i r n 7

x-to 1+-

X-8 4 . - l i r n - x+8 3X-2

6.' . l i r n i x

X

Ixl? X'9

8.' ¿ E x i s t e lim X x+o

x2+1 b) l i r n - x - 2 x-, 2-

l+x b) l i r n - 1-x X-+W

x XL 1 12.' l i r n

X + a 2 3 - -k X

s e n 2 x 14. - l i r n x+o

0 s e n 2 0 16.- l i r n

0+0

f (x+h) - f ( X ) en los s i g u i e n t e s casos: h Z a l c u l a lirn

h+O

17.- f (x) = v s

1 s i x=O 19. - Sea f l a f u n c i ó n d e f i n i d a por f (x) =

s e n x s e n x y l i r n -- . a ) E n c c e n t r a l i r n X x+-w X X-tW

b) M u e s t r a q u e g es una f u n c i d n p a r .

C )

2 0 .-

21 .- 22 :-

B o s q u e j a la g r á f i c a de

C a l c u l a l i rn jx sen X+m

D i b u j a

f ( x ) =

g ( x ) =

la g r á f i c a 1

l + x L 1

x - 4 x+ 3 --

q. X

f .

de las siguientes funciones:

30. Continuidau

En l a sección 28 velanios que e l "rqimiento"de la gráfica de una función

f está relacionado con que no se cumpla lim f (x)=f (x,) . m u l a gráfica

funciones que describen fenbraenos flsicos es "continua4' ( e s s e , nose mlY\po 1 I)

sulta natural analizar las funciones con dicha propiedad, lo cual constituye e l

de mchas . -

re- x+Xo

objetivo de las secciones restantes de este capitulo.

Definiciones

Considereros una fuiicióz f definida en un Litervalo I y ~ ~ € 1 .

a) f es continua en x, s i lh f (x)=f (x,) . x-rxo

b) f es continua si lo es en cada punto de su dcssinio.

c) Si f no es continua en x,, direnos que es díscontinua en dicho punto.

Es impoutante notar que f debe estar definida en x, para ser continua ald. Cuan

alquno ue los e x v m n s del intervai.0 i - ei i h i t e de la definicJ'An dew do x , es

entenderse c m e l límite lateral correspondiente.

ia defi~ición de coztimickd que se Fa establecizo tzrbih se pede excresar co -

m lo indica el siguiente resultado, donde x,pertenece a l intervalo I, dminio de f.

Teorema 30.1

f es cont inua en x,, s i y sólo s i para cualquier 00, existes-O tal que

Demostración

La prueba no es mds que escribir l a definición de lim f (x) =f (x,) y considerar m- 60

los casos de cuando x, es un extrem del intervalo I. -sl hacerlo, l a restricción

x#x, que aparece en la definición queda inmediatamente eliminada, pues x=X, am-

ple la condición ~1 desarrollo detalla& de lo an -

terior se deja cam ejercicio a l lector.

If (x)-f (x3)I<&, para todo 0 0.

En términos geanétricos, el teora anterior se?,iia que para cualquier: vecindad

V de radio E, O alrededor de f (x,) , no importa lo p p e ñ a que ésta sea, existe una

vecindad U de radio ¿> O, alrededor de x,, que kajo f cae en i7; esto es, si x i j

=> f (x)EV. Esto se puede internretx cxx-m e l hecho de que a increrrientos peque-

ños de x, alrededor de x,, corresponden increnentos en los valopes f (x) tatybién

S i f es continua en x,, se cumple l i i n f (x)=f (xo) . Cam x, se pude expresar CG- X-I’UO

m x , = l h x, la condición de continuidad también se puede indicar por X-J k

l i m f(x)=f(lin x). Basándose en esta igualdad, se concluye que, si f es continua m+xG %.+>(o

en xo, se pueden intercambiar los procesos de evaluación y límite.

E jaydoc

1) Toda función constante es continua.

La prueba es sencilla. Supongamos f(x)=c y consideremos cualquier x,€LR. Enton-

ces, cam f (x) siempre es igual a c, resulta lim f (x)=lim cr-c=f (x,) . %+%O *x,

2) La función identidad es continua.

í l a g m s I(x)=x y consideras cualquier punto x, en el

Entonces, l i m I (x) =lin x= x, . Cam0 éste es e l valor de I

es continua. x-w, X+Xe

dcaninio de I , que es R.

en x,, conciuimos qpe I

Para t e n n i n a r esta sección, cabe notar que l a definición de continuidad tazSi6n

se p u d e expresar como lim f (x,+h)= f (:<,I o, equivalentenente, 1 ‘ (f (x,+n) - f (xJ) )=U.

Para obtener estas expresiones es suf i c iente tariar

x=x,+h.

h + O r?,o , en l a definición,xde la foms

Ejercicios 30

1.- si g(x)=2x+3, encuentra un radio 6.0 t a l que

2. - S i h(u)= 2u +¡I, encuentra 6’0 tal que ] h ( ~ ) - h ( O ) \ < ~ si \u\<¿.

3.- Determina ¿>O I

1 (c~(x)-c j(2) \<3 si Ix-2i4.

2 1

manera que si x, y , difieren, respectivamente, de 2 y de 6 en m o s de 6 , e; mces x+y difiera de 8 en menos de O. 25.

4.- ¿Qué tan cerc. delE estar x de 1 para que su cuadrado diste de 1 eri m o s cie o. Ol?

5.- Verifjca que la función valor absoluto g ( x i = 1x1 es continua.

31. Algebra de Funciones Continuas. Continuidad de P o l i n a i o s y Funciones RÉicicrzic;

E l siguiente resultado establece qde el conjunto de las funciones continuas en

un punto x,, es un conjunto cerrado bajo las operaciones usuales; en el caso del co-

ciente de funciones, hay que pedir adent4s que el valor de la funci6n divisora en x,

sea d i s t in to de cero.

TecrraM 31.1

S i Ids funciones f y g son continuas en x,, entonces:

a) f+g y f -g con continuas en x,.

b) fg es continua en x, . f c) - es continua en x,, cuando g(x,)#O. 9 str ac i6n

Las pruebas de las afirmaciones anter iores son consecuencia inmediata de las pro-

piedades de límite señaladas en la secci6n 29. Canr, muestra, se probará (b) . Para

esto recordems que para determinar la Continuidad de fg en x,, debe verif icarse

Corolario 31.2

Todo p l i n u n i o es una funci6n continua.

~ s t r a c i 6 n

Sea P(x) = c,+cIx+ ...+ cnx n , un polinanio ai-bitrario. &presentando por I A.

función identidad, es claro c p e I2 (x)=>c2,. . . , In ( x ) ' ~ " . Entonces,P se pude mpre-

car c m P (x)=c,+cL I ( X I + . +c,,I~ (x) . la identidad con continuas, aplicando el teorema anterlor resu l ta que l.as funcio-

c, , c, I, c, I*, . . . , cnIn también son continuas. Aplicando de nuevo dicho tarem,

se concluye c,+cI I (XI +c2 I (XI . . .+c,I" (x) =P (XI es una función continua.

ya sabeiruos que las funciones constante y

Q.E.D.

Corolario 3 1 . 3

Toda función racional es continua.

Demostracidn

Sea R u n a función racional arb i t rar ia ; entonces R(x)=W, siendo P y Q polino- Q mios. C5 xo está en e l dominio de R entonces Q(xo)#O. Luego, como P y Q son fun-

ciones continuas en x o y el teorema 3 1 . 1 indica que 2- también lo es. P 7-

Q . E , 3 .

Nótese que 'la proposición anterior no indica que la función racional R sea con-

t i n u a en R. Obviamente, no lo será en aquellos puntos donde Q(x)=O.

Aún cuando hasta e l siguiente capítulo probaremos que las funciones seno y CG-

seno son continuas, haremos uso de este hecho en el siguiente ejemplo.

E j empl os

1) Determina los puntos donde la funcjÓn F ( x ) = x s i x#o es continua. {- b s i x=O Por ser cociente de funcionesaa&as,tL&r-o W F e s continua cuando xf0. Para

senx que F sea continua en x=Q, debe cumplirse lim F(x)=F(O) /1 lim 7 = b <=)

b = l . x+ o x-o

2 ) E n general, lo que se h i z o en el ejemplo anterior no siempre es posible. Por

eiemplo, Para cualquier valor d e b la.funci6n G(x)=[i si es,discontinua er, (b s i x=O

Ejercicios 31

1 . - Indica u n a función f:IR-dR tal que f ( x ) = x , s i ~ $ 0 , f(2)#4,y F S S ~ Gcv\';v13d'

. ¿QG v a l o r debe tener - 2 s i xá2 2 . - Considera l a función definida por q ( x ) = $+b s i 24x 5 de rianera que g sea u n a función continu .

Detemiina el valor ae 5

h 3 - - Sea ii l a función definida ?or h ( x ) =

179

para que h sea una función continua.

continua. 4.- Encuentra b de manera que la fiinción f , definida por f ( x ) sea

5.- Determina c de manera que l a función 9, definida por g(x)= p + ~ x s i X<Z sea continua.

6.- Localiza los p¿;;itos donde l a función h(x) 4xe-8 si 2+x<7

7 . - Sea f l a flrnción definida por f ( x ) = s e n X s l *#O y f(Ct)=b. ¿Es posible ele-

8.- Considera l a función G, definida por G ( x ) =

es discontinua.

, 5 si 71x

1

I gir k~ para que f sea continua en x=O?

a ) Bosqueja la gráfica de G . O s i x=O b ) Verifica que G es continua en 9.

t s e n x si x+ .O

s i x=p donde p y q son enteros, w 9 ; q ’ estando x en forma reducida. 9.- Sea f l a función definida por f ( x ) =

\Q s i x es irracionni Verifica CIUP f es discontinua en todo punto racional.

10.- Considera dos funciones, f y g, definidas en un intervalo I . S i éstas son continuas, prueba que las funciones m á x ( f , g ) y min(f,g) también lo son. ( Véase e. jercicio i2,sección 20.)

180

32. Continuidad de la Composición

Al igual que sucede con las operaciones algebráicas, la continuidad también se

conserva bajo composicián, según indica el siguiente resultado.

Teorema 32.1

Supongamos f:I+ y g:J+, donde I y J son intervalos.

Si f es ccLcinua en xo y g lo es en f (x,) , entcr.c:es gof es continua en xo.

3ecostración

?robaremos la continuidad de gof en xo mediante el teorema 30.1. Sea pues O O .

La continuidad de g en f(x,) implica que existe &;>O, tal que sy (y-f(xo)lcd:, y E J , e " i o ~ ~ ~ . ~ :

c

lg(y)-g(f(xo))l<L

para el que se cumple lx-xo1<6 , XCI + If(x)-f(xfJ)l*.61 . ~amo en este ca-

so jg(f(x))-g(f(xr,)I<& , es claro que Ix-xol<&, XEI determinan que se cumpla

. Para este &>O, por la continuidad de f en xo, existe & > O

i 9 ( f (x 1 1-9 (f( Xf, 1 )I. E . Q.E.D.

Para finalizar esta breve sección obsérvese que, mediante el teorema anterior,

es muy sencillo verificar que funciones como f(x)= sen(i+x3) son continuas.

Ejercicios 32

1.- Si iim f(x)=Z y Jim g(x)=3, calcula i i m (gof)(x) . 2.- Prueba que la función h(x)= sen(sen x) es continua.

<-+ ?. X ? 2 n-3,

i81

33. Propiedades Básicas de Funciones Continuas

A continuación discutiremos algunas de las propiedades básicas de

las funciones continuas. Merece destacarse el papel tan importante

que desempeña el axioma del supremo en la obtención de los principales

resultados.

Teorema 33.1

Sea f una función definida en el intervalo [a,b] y continua en

c~(a,b). Si f(c)#O, entonces existe una vecindad de c, con radio &>O,

en donde f tiene el mismo signo que f (c) .

Demostración

Esta propiedad de las funciones continuas es consecuencia inmediata

de la observación que sigue al teorema 3 0 . 4 , ya que lim f(x)=f(c)#O. x+c Gl0E.b.

Consideremos la gráfica de una funci6n f con la caracterlstica de

I

DX d C b

que el punto (a,f(a)) está sobre una cierta recta horizontal, mientras

que el punto (b,f(b)) está debajo (o viceversa). Si f es continua, es

claro que la gráfica debe cortar ésta recta en al menos un punto (c,f(c)).

Esta e s la interpretación geométrica de un resultado probado por B. B o i -

zano (1781-1848) en 1817. Primero consideremos el caso en que la recta

horizontal es el eje x .

182

Teorema de Bolzano

Sea f una función continua en el intervalo [a,b] . Si f(a) yq(b)

tienen signos opuestos, entonces existe al menos un punto ce(a,b) don-

de f(c)=O.

Demostración

Supondremss f ( a ) i O y f(b)>O. El otro caso se prueba anaiojamente.

Definimos A={xc Ib,b] I f (x) <O}. Es claro que A está acotado superior -

mente,~ es no vacío pues aeA. Luego, existe sup A. Veamos que este -- número,c=sup A,satisface las condiciones del teorema, esto es, f(c)=O.

Por definición de c es claro que a<c<b. Luego, hay tres posibilidaües

para f(c) : i) f ( c ) < O , ii) f ( c ) > O , iii) f(c)=O . Probando la. imposi-

bilidad de' las dos primeras, s e seguirá que f(c)=O.

i) Supongamos se cumple f(c)<O. Por el teorema anterior, existe un

intervalo (c-6,c+6), donde f (x) sigue siendo negativo. En este inter-

valo existen números mayores que c, lo que contradice que c es cota - superior de A.

f P W @

ii) Si se cumple f(c)>O, también por el teorema anterior, existe un -- intervalo (c-&,c+6), donde f(x) sigue siendo positivo. En este inter-

valo existen números menores que c; los cuales también serían cotas -- superiores de A, contradiciendo que c es la rnfnirna de las cotas C U P ~ - -

riores de A. Como f (a)<O y f (b)’O, es claro que c~(a,b). Q . E . B .

Teorema del Valor Intermedio

Si f e s continua en el intervalo [a,b] , entonces f toma tad0 valor entre f (a) y f ( b ) .

Demostraci6n

Si f i a ) = f (b) , no hay n a d a que proba:. Supongamos, sin perder gene -

ralidad, f (b) >f (a), y consideremos cualquier k tal que f (a) <k<f (b) . - Debemos probar que existe X ~ E (a,h) , donde f (xo)=k. Para ello forme -

mos la función auxiliar g(x)=f (x)-k, definida en el intervalo‘ [a,b].

Como f es continua, g también lo es. Además, g(a)=f (a)-k<O y

g(b )=f (b) -k>O . Por el teorema de Bolzano, existe X O E (a,b) tal que

g(Xo)=O <=> f (xo)=k.

Q.E.D.

El teorema de Bolzano proporciona un criterio para decidir si una

ecuación f(x)=O, siendo f continua, tiene solución. Tal criterio con - ciste en que si logramos encontrar dos puntos, a y b, donde € tenga - signos opuestos, podemos concluir que hay una raíz de f entre a y b.

Una de las desventajas de este método es que no proporciona ningdn -- procedimiento para calcularla. ,

Ejemplos

1) Verifica que la ecuaci On 3x2-i+sen X=O tiene soluciones.

En este caso, la función que define la ecuaci6n es f (x)=3x2-l+sen x.

Evidentemente se trata de una función continua. Podemos emplear eriton

ces el teorema de Bolzano. Para ello, al tanteo, hay que encontrar -- dos puntos donde f tenga signos distintos. Como f (O)=-lr f ( l l > O , ---

-

concluimos que hay una solución entre O y 1.

184

n 2) Consideremos una ecuación de la fo rna a x +...+ alx+ao=O, a #O . Probaremos que si r! es impar, tal ecuación tiene al menos una solu-

n t

ción.

La función que define la ecuación es el polinomio fl P(x)=a x +...+ a l - : t a o ; el cual es continuo. Podemos emplear entonces

el teorema cie Liolzüno. Para ello, observwo; que conforme x+W, iíx;

tiene l y u a i signo que el de anx , pues L a c e término crece más rzi3iúL-

mente q u e la suma de l o s restantes. Cuando x-t-~, por la misma razón,

P(x) tiene el signda xn.

casos, P(x) tendrá signo distinto cuando 1x1 sea suficientemente cran -

n

n

Como x tiene signos distintos en los doc n

de. Luego, existe un punto xo donde P(xo)=O.

Para muchos propósitos "prácticos", como veremos en la próxima

sección, conviene saber qué condiciones debe cumplir una funcidn si

ésta ha de poseer un valor máximo o un valor mínimo. Precisamos en-

sequida estos conceptos.

Definicián

La función f toma un valor máximo (mlnimo) absoluto si existe un

punto X Q tal que f ( x d ) af (x) , (f ( x o ) < f ( x ) ) , para todo x en el dominio

de f. I'

Es claro que cualquier función lineal no constante no tiene ni va-

lor máximo, ni valor mínimo. Poar€amos argumentar que este hecho ocu -

rre porque el dominio se extiende indefinidamente. No obstante, cuan -

do consideramos intervalos acotados, pueden ocurrir algunas "anomaiias"

que permitan que la función, de nuevo, rio tenga ni un vaior mdxiim rli

valor mínimo. En el caso de l a figura ( 2 ) , podríamos decir que ~d --

anomalía. consiste en las discon:i,-.¿,aades de la función en iOS p u n t o s

x=x, y x=x,. La anomalía de ya f.igura ( 3 ) es más dlficil de ver, pero

resulta de que el intervalo considerado no es cerrado. No obstante, I ,

nótese que se trata de una función continua. Nuestro objetivo siguien -

' te es mostrar que las razones anteriores son las únicas que imposibiii - tan la existencia de valores máxiino y mlnimo.

Teorema 3 3 . 4

Toda función continua en un intervalo cerrado [a,b] es acotada.

Demostración

Consideremos cualquier funcidn f continua en b , b ] , y supongamos que

f no es acotada. Dividimos el intervalo [a,b] por la mitad y escogertos

como [al,bl] una de las "mitades" donde f no está acotada. Repitamos

el proceso, es decir, dividamos [al,bl] por la mitad, y tornemos coni@

Caz,b2] una de las "r,itades" dondle f no está acotada. Continuaneo e a z ~

proceso de bisección, obtenemos una colección de intervalos Lal,b12,

Cal , b u 1 , . . . . . . [an,bJ , [an+l ,b,+l] , donde [an+l,'Dn+l] es una "mitaá"

de Can,bd donde f no está acotada ( * ) . Además, como la l o r i g i t u d C%

Lan+irbn+l] es

división [an,bd es 1/2" (b-a).

-

bn - 2 s.* _ _ resulta que la longitud de ia n-ésima sdb-

. . Hagamos A= [al;a2,. . . , l . Es claro que A es no vacío. 'Puesto

que todos los intervalos que hemos obtenido son subconjuntos de [a,a>,

A está acotado superiormente por b. 7'cwymos ahora ct=Sup A. Y a $&

a,<alia<b, es claro que clc:[a,&l. El teorema Z S . 2 implica entonces

q u e f es acotada en una vecindad de radio & > O alrededor de a . Veamos

que esto e s una contradicción.

Para ello, por ( * ) , basta con verificar que para n suficientemente

grande, el intervalo [an,bJ está contenido en (~-6,a+6). Lo cual

es ciar0 pues la sucesidn {an) cumple aláap,<. . .,<anáan+l<..-, y‘ además

se va aproximando a c1 y la longitud de los intervalos tiende a cero.

Q.E.D.

Definición

Si f es acotada en [a,b] , entonces a ) sup f = sup {f (x) I adxfb). b) inf f = inf {f ( x ) I a<x<b).

Teorema de Wekstrass (1815-1897)

Sea f una función continua en el intervalo [a,b]. Entonces, exis - ten puntos xo ,x1~Ea,bj tales que f ( x o ) = vaL% f y f ( x i ) = *5r\ f.

e

Demostración

Probaremos unicamente la proposición relativa a l supremo. El otro

caso es análogo.

Hagamos M=sup f. Procedamos por contradiccidn, e s t o es, cuponga-

mos que no existe x,-,~Ea,b] tal que f(xo)=M.

Definamos en [a,b] y g ( x ) = M - f ( x ) . Como f es continua, g también lo i es, y además s ( x ) r O . Esto implica que la función h(x)=l/g(x)= , w-cbr] . I

definida en [a,b], tambi6.n es continua. Luego, por el teorema anterior,

existe c>O tal que I h ( x ) I<c para toda x~.[a,b]. Es decir,

- .*a to indica que M-l/c es una c o t a para los valores de f en [a,b]; lo cual

contradim que

Q'c <=> M - f ( x ) 2 l / c => M- + : ; f ( x ) , para cualquier xi[a,b:. Es-

M era ia mínima cota superior. Luego f (x, )=Sup f=maX f-

Q.E.D.

Corolario 33.6 - -

Sea f urU función continua definida e:- ,a,bJ. Entonces, el coajuata

de valores de f en [a,bJ es el intezvcio [bin f, f] . Demostración

La prUeba se sigue inmediatamente aplicando el teorema de Wehrstrass

y el del valor intermedio.

Ejercicios 33.

1 .- Supongamos que f es continua en ei intervalo E-i, i] , f (-1) =2, f(0)=-1, f ( l ) = 3 . ¿Cuál es el mínimo número de raSces que f puede tener en el intervalo dado?

2.- Señala dos intervalos, distintos, que contengan alguna ralz Ce ia ecuación x4+4x3+x2-6x+2=0.

3.- Sea f(x)=tan x . A pesar de que f ( r [ / 4 ) = 1 , f (3rI /4 )=-1 , no existe Explica por que esta situación no x o E [T1/4,311/4] donde f ( x o ) = O .

contradice el teorema de Bolzano.

4 . - b qué podemos afirmar de una función continua en un intervalo y que solo toma valores racionales?

k n 5.- Sea P un polinomio de grado n, P ( x ) = 1 akx , tal que aoan<O. Prueba

que P tiene al menos una raíz real. k=O

6.- Calcula el valor mlnimo de f (x )=2x2-x , restrigida al intervalo 11-11 21 -

3

34. RaLces EnScimx

Considerams un natural n. Ccario es sabido, s i an=b se dice que a es r a h en&-

sima de b. Conviene di:;cutir por separado los cacos en que n es impar de los ca-

sos en que n es par, pues presentan algunas diferencias importantes. La principal

es que si n es pi?:, entonces an

tienen raíces r,-Ssimas, cuando n es par.

de en t a l caso. pero antes, estableceros L: resdtado que nos serb ú t i i .

es no-negativo. ~uego, los nfnieros negativos - no

f;r,secfl;idc; pro'bareros cpe &to s610 SUZ? d

Lana 34.1

Sean a y b n h r o s positivos.

, para n=1,2,3 ,... i) S i a<b, entonces

ii) S i an< bn para alguna n 3 a<b.

Damstración

i) LD probarems por induccibn. S i n=l, por hipótesis se cumple a b SUp0nq-S

an< bn

k k que la desigualdad se cumple cuando n=k, esto es, a O y

$>O, se cumple a k k a c b a y bkaCb%. Luego, ak+l< bk'l.

ii) Procedms por contradicción, suponiendo a3b. Aplicando ( i ) ,resulta entonces

para toda n=1,2,3, ...; lo cual contradice l a hip6teseis establecida. que an?b Q.E.D.

n

La supsici6n de que a y b sean positivosf en e l t e o r m anterior) es importa;? - te cuanda n es par. Por ejemplo, aunque -3C2, a l elevar a l cuadrado se obtiene

2 (-3) > 22. EYI e l siguiente capítulo, por un naétodo bastante genexal, se obten

drá fácilmente que t a l restricción no es necesaria para potencias impares.

Teorema 34.2

Todo número positivo tiene una única ralz n-ésima positiva.

Demstrac ión

Consideranos cualquier b>O. DebglK>s verificar que existe a>O tal que an=b. Pa -

ra ello utilizaresnos el tearema itei valor intermedio. f(x)=xn es una función

1b9

continua y f (O)=O, si seklams un número tic/ donde f (c)=c%b, dicho t e o r a ase-

gura que ex i s t e a, entre O y c, tal c p e f (a)=an=b. Eli janios entonces c de manera

que c ) m ( 1,b). AS€, cn>c>h . La unicidad es

Supongamos n es i ~ p x y h es negativo. Sea a

consecuencia del lema anterior.

Q.E.D.

la r a í z n-ésima de -b. caria

;-a) "= (-1 5 F.-. U c- --(-b)=b, resu l ta que -G e5 r& .-.-c%ima. ae b. Luego, ios n h - o s

neqa¿ivos también tienen r a l z n-ésima, SL :- CJ impar. m s , es senci l io probar-

lo, é s t a es única. P m se hizo notar entes, lo anterior no se ample si n es F. c;lrc~buy,o*ckB)dltodo n h r o posit ivo t iene dos rakes n-ésimas:

dremos enrepresentar por

par, se trata de la r a í z no-negativaf 1.a cual sólo existe (en este caso) para

a y -a. €tmened,=wn- 4

I

x ñ o ",'? la r a l z n-ésima de x. Entendiendo que, si n es

Consideranos la función f (x)=xn, restiringida a l intervaio [Op). En tal caso,

el lema y el teorema anteriores

.lalor no-negativo. Por lo tanto f psee una funcidn inversaf~que se deteminará

empcjuida:

función inversa de f (x)=Xn, O. S i n e s impar, la restr icción x30 es innecesaria

>-a w e f (x)=xn es una biyección sobre 111.

indican que ahí f es uno-a-uno y que taM todo

x=f (f-'(x) )= ( f4(x) 1" 6 í : " ( x ) = ~ . ~ s t o nuestra que g(x)="Qes ia

Para f ina l izar esta secci6ri , observarms que para x>Ay & un n h z r o racional 9

positivo, se define xr=x3= (mP: S i r 4 O y x>O, entonces x ~ = ~ - - . i~ importante de estas definiciones es que sicpien cumpliéndose ias conocidas leyes de los

exponentes: r s = p iii) (xy)r= XF ii) (Y , ) r+s i) xrxs = x

Y

XL iv) 5 = x r s , si +O

Ejercicios 34

1. - Dibuja las gráf icas de la familia de funciones f (XI= xnin=l, 2 , 3 , . . (SUgerenCia: V e r la sección 24.)

CApIl'UIx) v 190

DERNACIofl Y SUS APLICACIO?ES

~ntroduccidn

Históricaniente, e l cdlculo diferencial aparece mucho tignpo después del cdlcu-

lo integral, cuyos orígenes se r m n t a n a la época en que Frquímede . sdetenninóel

&rea de un sector paraMlic0. Sin anbargo, no es sino hasta mediados del siglo

XVII cuando, a m Pierre Fermat (1601-1665), ,urgen las primeras ideas relaciona-

das con e l cdlculo diferencial.

~l estudiar los

en algunos puntos

valores máxinios o míninios de ciertas funciones, !?emat not6 que

donde la gráfica tiene un nbxinio o un mínini0, l a recta tangente

/ debe ser horizontal. Generalizando este problana, WatU de encontrar l a dirección

de la recta tangente a una curva en un punto arbitrario de el la ; lo cual, ccmo se

verá enseguida, lleva directamente hacia e l concepto de derivada, que es l a nocidn

básica y fundamental del cálculo diferencial.

Aún cuando Fermat lgr6 establecer algunas ideas acerca de la derivada, no son

sino Newton (1642-1727) y Uibniz (1646-1716) quienes, independientemente y mti-

17aC;os por prohlerias distintos, ceiíalan y desarrollan las ideas más importantes de

este nuevu método, culminando sudescubrimientos con la unidn del cálculo diferen

cia1 y e l cálculo integral. Esto sucede

convierte entonces en e l dtodo por excelencia, a l resolver los problanas m6s im-

prtantes de esa época, nroblemas relacionados con la navegaci6n, l a industria y

la tecnologla, que gnpezaban acelerahcnte su desarnilo en ese tienp. Hasta se

lleqa a pensar que e l cálculo es capaz de solucionar cualquier problema, una vez

que este se haya planteado convenientemente.

a f i n e s del siglo Xi?II. E1 cálculo se

Dejanos ahora las consecuencias que tuvo e l descubrimiento del cálculo, para

191

considerar los problanas que condujeron a hJewton y Ijeibniz a establecer la noción

de derivada.

Supongams que un c u e r ~ se t ira hacia arriba, miese en iínetn recta baja

la acción de la gravedad y en ausencia de fricción. Galileo (1564-1642) había en-

contrado que, en estas circunstancias, su posición está descrita par la función

s (t) = T T o t - pt ; donde V, es la velocidad inicial del cuerpo y la aceleración debi

la a la gravedad es g (gz 9.8m/seg2). En esta situación nos planteams la siguien -

1 2

te pregunta: ¿Cámo determinar la velocidad de este. cuerpo en cualquier instante

de su movimiento?

Paralela a la pregunta anterior, cam elmwindento descrito no es uniforme (no

se recorre distancias iguales en t iempsi iguales), es^ la de precisar e l signi-

ficado de"vel0cidad" en este tipo de movimiento (no uniforme). i ~ s siguientes pa-

sos indican, esqudticamente, la respuesta Señalada por Newton:

Fijenios un instante to , en el que se desea calcular laWelocidad", y considere -

m c e l intervalo 'de tiempo [to ,t,+hJ , s~.endo h>O. rxm~

1 2 1 2 s(t,+h)=V,t,+V,h- Zgt,-gt,h- $h2 y s(t.,)=V,t,- Po, la velocidad promedio durante este lapso de tiempo es

s (to+h)-s ( t o ) = i'~h-$~h- $h2, TJo'Qto- 1 h v=

S i ahora tanamos e l intervalo de tiempo [to,to+hJ cada vez más pequeñc ; es decir

h a c m c que h tienda a cero, poderos veir Cóaiio l a velocidad pramedio se va acercan - do a l valor límite v=~,-gt,.

resulta natural llamar a este valor límite, l a velocidad instantSnea del

en e l tiempo to. Es decir, v( t , )= lim L s ( t ~ + h A - s ( t ~ ) , y es este límite io que

llamararios la derivada de.la función s t-n e l punto to.

~espués de esta breve,pero ilustrativa, discusión

h-

Pasaos ahora con LRibniz. Para princ.ipiar, sus intereses eran g d t r i c o s . Su

propbsito consistía en desarrollar un mStodo general'mdiante el cual se pudiera

trazar la recta tangente a una curva en cualquiera de sus puntos.

Consideremos l a grdfica de una función f y t r a m s de determinar la recta tan-

gente en un punto abitraxio de ella, (x,> ,f (x,) . Es importante observar que, c m

192

en el caso de la"velocidad", realmente no s-s lo que s ignif ica "recta tangente".

sin gnbarc~o, tenems cicrbts ideas intuit ivas sobre este concepto y en baae a ellas , lo precisararios. lo precisararios.

f(x,+h)-f(x,) . si abra siendo #O. Calculanüo su pendiente, resulta ser %- h g.imos el punto (x,+h,f (x,+h) ) cada vez más cercano a (x, ,f (x,) ) , tomardohcada vez

mds pequeño, se obtiene una familia de rectas secantes que se aproximan a la "rec-

ta tangente". intuitivamente, la pndiente de ésta será e l límite de las pendien-

tes rq, de las rectas secantes. Por lo tanto, denotando por m l a pendiente de la

recta tangente, se t iene m= l im f ( x ~ + h ) - f ( x ~ ) h , y es a este ismite io que llama- h+o

rems la derivada de f en x,.

Para f ina l izar esta introducción conviene enfatizar que, mdiante los límites

obtenidOs,se ha establecido una forma precisa de indicar e l significado de "velo

cidad" y "recta tangente".

35. Derivada de una Función. Algebra de Derivadas

f(xb+h)-f(xo) es un h r En la introduccidn anterior, vimos que lim

h+O concepto importante. En esta sección y en la siguiente desarrollare-

mos las técnicas básicas para cal cular este tipo de límites. En par-

para algunas funciones en es titular, lo calcularemos

pecial.

-

Definición

Sea f una función definida en un intervalo (a,b) y xoc(a,b).

a ) f es derivable en xo si existe lim f(xo+h)-f(xo) I el cual repre- h h-+O sentaremos por f ' (xo ).

b) Decimos que f es derivable si 110 es en cada punto de su dominio.

En este caso, obtenemos una nueva función f', cuyo valor en cada

punto x es f ' ( x ) . A ésta le llamaremos la derivada de f.

En lugar de f ' (x 1 I notación htroducida por Lagrange (1736-1813) ,

también emplearemos la notación de Leibniz para representar la deri-

vada. En ésta, se hace Ax=h , Ay=f (x+h)-f (x) , y = lim - Se Ax+O

acostumbra llamar a Ax el incremento en x y a Ay el incremento en y.

Ejemplos

1) La derivada de una funcián constante es cero.

Supongamos c es el valor constante de la función.Sea X E ~ ; si

O . Luego, f ' ( x ) = O . f(x+h),-f ( x ) = = h h h#O I

Teorema 35.1

sen x = cos x íi) dj- d cos x = - sen x d i:ii) al

194

Demostraci6n

Sea x0ciR. Para h f Q , consideramos el cociente de incrementos corres - f (xo+h)-f (xo) = sen(xo+h)- sen x o

h h pondiente a la función f(x)=sen x :

Por medio del teorema 23.12, este cociente se puede escribir conm sen xo cos h + sen h cos xo - sen x o

h cos h-l sen + sen xo h = cos XO

COS h - 1 - sen h = 1 y lim - O (ejemplo 9, secci6n 28) , de Ya que lim h h+O h - 4

= cos xo. Escribiendo sen (xo+h) -sen xo h esta expresión resulta que lim

h+O x en lugar de X O , resulta lo afirmado. La demostracian de (ii) es aná -

logs y s e deja como ejercicio.

Q.E.D.

Enseguida probaremos un resultado necesario para establecer algunas

reglas de derivación. Este señala una relación entre los conceptos de

continuidad y de derivación.

Teorema 35.2

Si f es una función derivable en el-punto x o , entonces f también

es continua en ese punto.

Demostración

Se ha hecho notar que f es continua en x si y solo si

= O. Lo cual se sigue del ejemplo 1, sección 29, f (xo+h)-f ( X O ) 1 im \-,-+o

:'u5sto que lim f(xo+h)-f(xo) I-r existe y el divisor tiende a cero. 11 h+O

Q.E.D.

Antes de proseguir, cabe establecer que la proposición recfproca

de la anterior no es cierta. Esto es, cuando una funci6n F es conti-

nua en XO, no es posible concluir que F también sea derivable en dicho

punto, como podremos apreciar en el siguiente ejemplo.

195

Ejemplo

2 ) Consideremos la función f ( x ) = l : K l . Geometricamente, es claro que

ésta es continua en x0=0. Aun?% , con tal interpretación geométrica, también es claro que 9 no es derivable en x0=0,

no puede tener recta tangente ah€, analizaremos

te f (xa+h) -f (xo 1 h

puesto que su gráfica

con detalle el cocien

Para probar que no existe lim f'o+h)-f ( O ) , basta con mostrar que h h+O f(h)-f(O) # lim f (h) -f ( 0 ) h h+O- h lim

h+O+ Como iim f ( h ) - f ( 0 ) = lim Ih'-O = iim 5 = 1, mientras que

h+O+ h h+O+ h h-+O+h

( - h ) h lirn f ( h ) - < p ( 0 ) = lim lh'ho = lim .- =- 1, tenemos lo deseado.

h+O' h+O' h+O' h

El concepto de derivada se puede generalizar un poco más, en ana-

logfa con eldelímite, y considerar as€ las derivadas laterales ( x o + h ) - f (xo) . lim

h+O' de f es un intervalo cerrado [a,b:]., ésta es la forma en que debemos

En especial, cuando el dominio f(xo+h)-f(xo) y lim h h h+O+

interpretar la derivada en los puntos extremos a y b.

Reglas de Derivación

Una vez que sabemos calcular las derivadas de algunas funciones,

resulta natural preguntarse si podemos calcular las derivadas de fun -

cienes formadas a partir de aquellas, utilizando las operaciones usua-

les de suma,resta, multiplicacidn y división. La respuesta es afirma -

tiva y nos la proporciona el siguiente resultado.

Teorema 35.3

Sean f y g funciones derivable:; en un punto x o . Entonces,

196

de una suma es la suma de los límites, resulta lo afirmado.

3 . E . 5 .

El caso de la diferencia de funciones se prueba en forma análoga.

(fq) (xo+h)-fq(Xo) = f(Xo+h)g(xo+h)-f (Xo)g(Xo) . Suman- ii) Para h#O, h h . . do y restando en el numerador el término f(xo)g(xo+h) - - - r l

(fg) (xo+h)-fg(xo) = Lf ( X o + h ) - f (Xo)-Jg(xo+h)+f (xo) [g(xo+h)-g(xb)i h h resulta

Haciendo h+O, el primer sumando se aproxima a f (xo)g(xo) ;

(g(xo+h)-cg(xo) pues g es continua en XO, ya que es derivable en xo)

mientras que el segundo sumando se acerca a f ( x o ) g ' ( x o ) . Esto e s ,

iii) Como g(xo)#O, por la continuidad de g existe una vecindad V de

g, donde g(x)#O, si XEV. Sea h, tal que xo+hcV. Los siguientes

pasos son análogos a los utilizados en (ii):

I

19 7

f - S-(xo+h)- - (xo 1

g l a expre s ión a n t e r i o r , r e s u l t a que l i m h h.-+O - - f (xo 1 f ' (xo 1 - f (xo 1 g ' (xo 1

g ( x 0 ) Q.E.D.

S i en l a r e g l a para d e r i v a r un producto tomamos como func ión 9

una c o n s t a n t e , r e s u l t a ( c f ) I ( x o ) = c f" ( x o ) + c ' f ( x o ) = c f ' ( x o ) , ya que

l a der i vada de una c o n s t a n t e es c e r o . Es d e c i r , l a d e r i v a d a de una

c o n s t a n t e por una func i6n , e s l a c o ~ ~ s t a n t e por l a d e r i v a d a de l a fun

c i ó n . A e s t a c a r a c t e r í s t i c a de l a d .er ivada, j u n t o con l a r e g l a para

-

d e r i v a r una suma, se l e conoce como l a propiedad de l i n e a l i d a d . '


1.- Determina una r e g l a para d e r i v a r e l producto d e 3 f unc iones d e r i - v a b l e s .

2.- Indica una func ión f t a l que f y' f' no tengan i g u a l dominio ( j u s t i f i c a t u r e s p u e s t a ) . V e r i f i c a l a s s i g u i e n t e s der i vada , s :

/ 3 . - d;dx tan x = sec'x

6 4 . - d/dx cc'tan x = - c s c 2 x I

/ 5 . - d/dx sec x = t a n x sec x

. 6 . - d/dx csc x = - c t a n x csc x 2-sen x 7 . - Calcu la l a der i vada de F ( x ) = -- 2 -cos 2 x

8 . - V e r i f i c a que l a func ión f ( x ) = sen s i # o e s d e r i v a b l e e n x=O

s i x = O

9 . - Calcu la l a s d e r i v a d a s l a t e r a l e s de l a s i g u i e n t e f u n c i ó n , en x=3.

f ( x ) = s i xa3

36. Derivadas de Poliriomios y de Funciones Racionales

Regresando a l ejemplo 5 de l a sección 29, podems notar que el llmite ahí cai - culada es precisanente la derivada de la funci6n f (x)=xn, siendo n natural. Ense-

guida calcularms l a derivada cuando n es entexo negativo, y veranos que la "f6r - mia"es ia mima que en el otro caso.

Teorgna 36.1

d a x x n = m n - i , para cualquier entero n.

m s t r a c i 6 n

si nN, según lo que ya se mencionó, l a a f i m c i d n ya ha sido probada. Conside-

x -- . Fnpleando l a f6mula para derivar un m i e n - n 1 r m s entonces ndO. Luego, x-0

te, se obtiene :

Q.E.D.

c m resultado particular del teorema anterior, nótese que si I(x)=x, entonces

I' (x)=l.

usando la linealidad de l a derivada,junto con el t e o r a anterior, es claro que 2 n-3.

si

E s t o nos indica que para derivar un plinanio, derivams cada t6rmino y smanms

después las derivadas obtenidas. Noterms que si P tiene grado n>O, P', que también

es un plinunio, tiene entonces grado n-l.

P (x)=co+c1x+cp2+. . .+cnxn, entonces P' (x)=c 1 +2c2x+3c3x +. . .+ncnx .

Ejemplos

1) S i P (x) =2x3+3x2-7x+8, entonces P' (x) =6x2+Gx-7.

Al derivar una función f se obtiene una nueva funcibn, que se ha convenido en

representar p r f ' . Esta, a su vez, puede ser derivable de nuevo. Cuando así suce -

de, a l a derivada de f ' se le llama l a segunda derivada de f , y se representa por

199

f". Continuando este proceso, 5e define la n-&ha derivada de f , cpe denotarms

por f tn) , cano la derivada de f

se representa por - 1 A estas derivadas:

vadas sucesivas de f.

vada en un punto x,, pero la siguiente derivada ya no existe ah5.

Wl) . (En l a notación de Iieibriiz la n-ésima derivada

f' ,f",..., se les llama las deri

Conviene informar que hay funciones que tienendsima deri-

- dx"

Ejemplo

1 3 1 2 2) Calcula l a tercera derivada de ( ) !XI= 3x i- x'-2x.

Por las reglas de derivaci6n .la mmcior.adas. rocillta

1 1 ~ ' ~ X ) = ~ ( 3 x ~ ) t ~ ( 2 ~ ) - 2 ( 1 ) = x2+x-2. ~e aqui, Q" (x )=2x+i . Por i o tan -

t o Q ' ( x ) = 2 .

S i R(x)== , siendo P y Q polinomios, se puede c a l c u l a r R' (x) 2- Q ( X I

t i l izando l a regla para derivar un cociente. Esta nos indica que R'(x)

e x i s t e en todo punto x donde Q(x)#O y q u e , además, R'(x) también es

un cociente de polinomios.

Ejemplo

3 ) Calcula l a derivada de f (x)=-- X 3 ~ - 1

Por l a fórmula para derivar coc ientes , se t iene: (x) ( 3 ~ - 1 ) - ~ ( 3 ~ - 1 ) ' - _ - 3 ~ - 1 - ~ ( 3 ) - - -1

( 3 ~ - 1 ) ~ (3x4)" (3~-1)'' e f'(x)=


Calcula l a derivada de l a s s i g u i e n t e s funciones: 2x

1 -x2 1 . - f ( x ) = - 2x+3 3x+2 c.2.- g(x)=---

2 9.0

3 . - f ( x ) = - 1 3 - - x x2 sen x

4 . - g (x)=x4sen x

x sen x 1+x" I X#O 6 . - Y ( x ) = J 5 . - f ( x ) = X

7 . - Encuentra un polinomio P de grado 3 , que cumpla P(O)=P(1)=2, P'(O)=-l y P" (0)=10.

8 . - Ca l cu la l a der i vada d e h(x)=1x2+2x-41.

9.- Dado que l+x+x' +xq +x4:x5= x-l x6-1 I s i x # i I encuentra una fórmula para i+2x+3xa+4x +SX .

k Determina una fórmula para l a k-Qsima der i vada s i g u i e n t e s :

dt en los c a s o s

-t 11.- f ( t ) = ( t + i ) 1 10.- f ( t )= - t i Determina una func ión f t a l que f ' = g , s iendo

J' 12. - g ( x ) =7 13. - ~ ( x ) = x

201

37. Interpretación fmétr i ca de la Derivada - Se señaló en la introducción de este ciipltulo, OáK, l a necesidad de calcular la

recta tangente a una curva sirvió de motivación para e l proceso de derivación. Ade-

mds, vurios que, en forma natural, resultah3 la siguiente definición.

ikf inición

sea f una función derivable en x,. La recta tangente a la gráfica de f en el punto

(%,,f(x,) ) , es aquella que pasa por dicho punto y cuya pendiente es f' (x,)

9eccr~i~mc30 que la ecuación de la recta que pasa por un punto (x,,y,) con pendrertte

T., *?s y-y,=n(x-x,), concluimos que la ecuación de la recta tangente en e l punto

(x , , f &,) ) , es y-f (x,)=f ' (x,) (x-x,) .

cj c-3-lploc

1' mcuentra l a ecuacidn de la recta tangente a la gráfica de r>(x)=x-x3 en el punto

!-l,O!. 2 Cslculando la derivada de P , resulta P1(x)=l-3x . Evaluando ésta en xz-1, obtene-

m s la pendiente de la recta tangente en (-1,O): P'(-1)=1-3=-2. Luego, la ecuación

buscacia es y-0=-2 (x+i) @ y-2x-2.

3) !?ticuentra todos los puntos donde la recta tcmqente a la qrdfica de la función

f ( x ) = s+sen x es horizontal y bosqueja dicha gráfica.

romo una recta es horizontal simpre v cuando SU pendiente sea cero, los puntos Ix,

que buscams ocurren sierrtpre y cuando f' (x)=O +3 l+cos x = O e cos x=-1 . Esta ecuación tiene una infinidad de soluciones, precisamente los ntheros de l a for-

ma ?c=(2L+lm ,siendo k cualquier entero. Ja ordenada correspndiente se obtiene

viendo cuál es el valor de la funci6n f en estos puntos. As€, f ( ( 2 k + l ~ = 1 2 k + l ) c l ~ ,

siendo k cualquier entero. Para dibujar la gráfica de f se tama en cuenta la infor-

mación anterior. A d d s , convime señalar las gráficas de las funciones auxiliares

262

/

g(x)=x-1, Cí(x)% y H(x)=x+l, ya que, c0cl;r)

tre ellas.

-1Ssen x s l , la gráfica de f variara en-

3) sea g la función definida por C J ( X ) = ~ + ~ ~ ~ ~ ~ ~ . Encuentra valorec de a y de 5

para que g sea derivable en x=2.

Para que g sea derivable en x=2, se necesita cmplir que las derivadas laterales,

calcular el valor de b, utilizamos que g debe ser continua en dicho punto. mego,

g(Z)=lim ~(x)=lim (L4x+b)=4(2)+b. f ? g(2)=4, se obtiene b=-4. -2 X-92

Otra m e r a de resolvex este ejercicio es obsexvando que la función anterior será

derivable en x=2, siempre y cuando la recta y=ax+b coincida con la recta tangente

a la gráfica de f (x)=x* en el punto (2,4) .Encontraos entonces la ecuación de esta

recta. cam f'(x)=2x, evaluando en x=2, resulta que la pendiente es w 4 . Ya que pa-

sa por (2 ,4 ) , la -cien que se obtiene es y=4x-4. De aquí, se concluye que a=4 y

b=-4.

Ejercicios 37

4.- Encuentra la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f (x)=(i-3x+x2) (1+x2) en el punta (0,I).

2 0 3

2. - si p (x) =$c3+ xkx-1, encuentra todos los puntos de su gráfica donde la recta z tangente es paralela a la recta x+y3.

1’3.- a) Encuentra e l punto donde la recta y - x es tangente a la curva de ecuación

b) Indica si la recta p x mrta en otros puntos a l a curva señalada. F’ -6x2+8x.

2 4.- calcula el punto de intersección de las rectas tangentes a la parábola en los puntos (2,4) y (4,16), respectivamente.

2 5.- Determina las pendientes de tocias las rectas tangentes a la pardbola y=x que pasan por e l punto ( 4,-9). Dibuja la pardbola junto con estas tangentes.

)%.- sea Q(x)= x2+bx +c. Encuentra b y c, para que la recta y= 2x la gráfica de Q en el punto (2,4).

sea tangente a

7.- mestra que en la gráfica de cualquier polincmio cuadrático la cuerda que une los puntos con x = a 6 p b , es paralela a la recta tangente en el punto con x= (a+h)/2 .

8.- Sea(x,,y,) cualquier punto de la parábola y=a2 . Muestra que s i la recta y-yo=m(x-xo) m=2ax0 . E s decir , la única recta no-vertical que intercecta la pardbola y=ax2 solamente en e l punto (xo,y,) es la recta tantente que pasa por dicho pinto-

intersecta la parábola dada solamente en (xo,yo), entonces

38. Derivada de la E'unci6n Inversa. ikrivada de Raíces k i é s ~ s

Uno de los nrop6citos de esta seccidn es calcular la derivada de la función

f(x)=xr, cuando el ewnente es un ntrmero racional. Para el lo primro necesitaiis

conocer l a derivada cuando r= , siendo n natural. Esto se @fa hacer direc-

larente. S i n embargo, nosotros obtencirernos e l resultado utilizando un n5todo qene -

1

ral, rcferente a la derivada de una función inversa, que es e l punto principal de

esta sección.

Teorema 38.1

Considerams dos intervalos, I y J, y s u p n q m s que f es una hiyección de I en

faies deriva - J. Sea yocJ. S i f-':J-*I es continua en yo y f' (f-'(yo))#9, entonces

Derriostración

Consideremos e l cociente de incrementos para 5-1

resulta h+f-L(yo)=h+xo=f-i(y,+k). Aplicando ens-yuida f en l a última igualdad,

se obtiene y,+k.Lf (x,+h) (+ k=f (x,+h)-y,=f(x,+h)-f (x,) . De acuerdo a estarel

cociente de incremntos se escribe corm:

I 1

Entonces, mr (l), l a continuidad de €"'en yo implica h 4 . Lueqo, el cociente

1 como x,=f 4 ( y , ) , resulta lo afirmado. fT0- tiende a 1

f (xo+h) -f (x,) h 9.E.D.

sea f como en el teorema anterior. s i y=f (XI , entonces x=f"(y). Lueqo, con la

notación de Le ibniz , l a propxición anterior se expresa c m 4 - , donde debe dx

entenderse que estas derivadas han de evaluarse, respectivaEr&e, en Yo Y xo.

Es de notarse lo "natural" que aparece este resultado con l a notación indicada.

205

Teorema 38.2

La derivada de f ( x ) d es f' (XI =rxc-',, siendo r 1 rich,

m s t r a c i r f n

I I Supongms abra que L- - , siendo 11 natural. ih este caso, f (x)= xñ n es

raíz n-ésima de x, funcidn que sabams es la inversa de cJ(x)$.(Véase seccidn 34)

ccxrg-robams enseguida que se pude apl:ica_r e l teorema anterior para caldar SU

derivada cuando &O. I?tilizare,?w>s que f=g"es una funci6n continua; io e,

T e c m é t r i c a m e n t e , c l a . sea y,#O. mtonces q-'(y,)=f (Y , )~ , ' #o . ruego, cci1~1o I

g* (x)=I1Xn-', 9' (y, ) = nyZ-'#o. por lo tanto, el teorana 3%. . - implica

cano yo es cualquier punto distinto de cero, se sique lo afirmado.

Ya que u t i l i z a r a s frecuenteriente la f 6 m l a para derivar la funci6n raíz cua- 1 L ürada, conviene notar que, t m d o L- j~ en e l teorana anterior, resulta

E j q l o

1) Calcula la derivada de g(x )= - F- x>o. 1+2x ' 1Jtilizando la r g l a para derivar un cociente resulta:

4>;-(1+2>;) - 2x-1 2rn(1+2X)2 - t3 expresión se obtiene g' (x)-

(l+:!x: =

Ejercicios 33

Calcula la derivada de las siguientes €unciones.

39. Diferencial y Ap roximación Lineal de ma Función

Considerenios una función f , derivable en un punto x,. Definiendo

Ay=f (x,+Ax)-f (x,) , A y resu l ta ser el incrmento de la función correspondiente al

AY -*f' (x,), si Ax-0.. . (1). Ax Para incremento Ax, alrededor de x,. Wmms

medir la aproximacidn en t re f ' (x,) y AX ,:introducirerriOs la funcídn E, detenninada

AY Ax por E (Ax)= - -f' (x,). . . (2). Nótese que l i m Eblxi=O, en virtuci de (1). ?íuitipli-

AX+O cando ( 2 ) por Ax, resul ta Ay=Etx+f' (x,)Ax, 9epresentqndo E(Ax)Ax por kt funci6n e,

la igualdad anterior se expresa cam dy=iE' (x, )Ax* ax) b . . (3) . Observerrios que, oonr>

C m en la mayoría de l o s cacos el valor f ' (x,)Ax es mucho mbs s e n c i l l o de caIc~-

lar que Ay, resul ta natural considerar a :E' (x,)Ax cam una estimación de &y. A

d y f ' (x, ]Ax le llamareros el valor de la diferencial en el punto x,, correspondien-

te a l incrmento Ax. Ndtese que dy depende de dos variables: e l punto x, y el ircrc. -

mento Ax.

La diferencial en un punto x, t iene una senci l la interpretación g d t r i c a . Para

descr ib i r ia ,cons iderms la fiqura anter ior . Ah€ v m s que se ctñnple

S tan 8=f' (xo)= -& s=kf I (x,)=dy. :Esta igualdad señala que la aproximación

dy, dada por l a diferencial , corresponde a l incremento en los valores detenninado

por la recta tangente (mientras que Ay es el incrmento de lo s valores de f ) .

dX

Eiemlo

1) Supongarroc que se necesita estimar e l Tilumen de las paredes de una caja d i c a

208

cerracla, cuyas ~c~imtmsicmes interior'cs s o n 10~i0ri0 mi'. , y su espesor es ile .?5cm.

C m se rtyuiere 6 1 0 una aproximación, podems proceder de l a form sicxiezte:

E1 volumen de las paredes representa el incremento AV de l a funciór, T'(x)=x3 , pz-

ra x=lOan. v Ax=O.lcm. Luqo, 677=a7= f' (x)Ax= 3x A+ 'lO2)l6'm3= 30m3. %f. el 2

volumen de las paredes es, aproximadamente, 3Ocmj.

e Henos vis to que Ay= f ' (x,)Ax+e(Ax), donde la función e cumple lim -= O. &.-.e&

C m Ay= f (x,+dx) -f (x,) , de la pr-imera igualdad resulta .

f (x,+ix) = f (x,) +f ' (x,)Ax+e (Ax) . Tamescios g (h) =f (x, 1 +f ' (x, 1 h.

Yótese que q es una función l i n e a l . , A d d s , g es una"buena aproximación' de f e n

(xo+dx)-g(Ax) = 5 4, -do AX&. Por es tas razones, a l a b x Ax el sentido de cpe

función

de x,.

y====(x-x,)=f (x,)+f' (x,) (x-x,) es precisamente la ecuación de la recta tangente er.

g(h)= f (x,)+f' (x,)h se le llama la aproximación l i n e a l de f , alrededor

C m h representa el incremento en x, p c d m s tomar h=x-x,, Cntonces,

ia s iquia i tc proposición es tan sólo para refer i rnos , más adelante, a una pro-

picdad de l a aproximación l i n e a l que ya establecimos.

Teorana 39.1

S i f es derivable en x, y CJ es su aproximación l i nea l en ese punto, entonces

E1 teorma mte r io r indica que toda función derivable se puede aproxima i m L -

mnte ; es to es, para incrmentos pequefios alrededor de c i e r to Fmto-, mediante una

función l ineal . rste hecho, junto con el de que sus valores pueden calcularse la-

ciilmente, establecen la unportancia de las funciones lineales.

C j m p l n

2) Jus t i f ica ci que para valores pequeños d e x

siendo il natm-<i!..

, se u t i l i c e l+nx en lugar de(l+s)" ,

ca i cu larmc la aproximaci6n lineal de Ia función f(x)=(l+x)n alrecidor de SO,

pues nos interesan valores pequeños de x. Cxxrio f1 (x) =n (l+x)"'*, se obtiene f ' ( O ) =n.

Ya que f ( O ) = l , la aproximación lineal está dada p r g(h)=f (0)+fl (O)h=l+nh.

e l t e o r a anterior:f (O+h)=f (h)Zg(h) I lo cual"justifica*la sustitución.

Por

E .ercicioc 39

/-- 1.- a) Calcula la aproximación lineal de Q(s)-- S , alrededor df O. b) Calcula aproximadamente, utiiir:ancio (a) s-lios valores q(,> y Q(=) .

2.- mcuentra un valor aproximado iie 'm

4 0 . X e g l a - de - la Cadena

Con las fórmulas de derivación que hemos desarrollado, podemos en-

contrar la'derivada de cualquier función obtenida mediante las opera-

cioiies de suma, producto y cociente de funciones derivables. Si ahora

considerariios la -omposiciÓn go fakfunciones derivables , ésta también re -

sultia sei: derivable. La manera de calcular (g'f)' en base a f'lg' -- nos lo indica el importante resultado conocido con el nombre de re-

gla de la cadena.

Regla de la Cadena

Supongamos f:I+J y g:J-+iR , donde I y J son intervalos. Si f es

derivable en xo y g lo es en f(xo), entonces g-f es derivable en xo LJ

Adeinds ( g o f) ' (xo 1 =g ' ( f (xo 1 1 f ' ( X O )

Demostración

Definamos d(h)=g-f(xo+h)-gef (xo)-g' (f (xo))f' (xo)h. Debemos probar

que lim = O. De acuerdo a la seccidn anterior, tomando h h+O yo=f(xo) y yo+k=f (xo+h) , resulta grf (xo+h)-g=f (xo)=g(yo+k)-g(yo)

= g ' (yo)k+E(k)k.. ( 1 ) I donde lim E =O. Ya que k(h)=f(xo+h)-f (xo)J2),resulta k+O - e

h h+O k=f' (xo)h+e, siendo e tal que lim - =O.. . ( 3 ) . Sustituyendo esto en (1) ,

tendremos: g(f(xo+h)-g(f(xo))=g' ( y o ) f ' (xo)h+g' (yo)e +E f P (xo)h+E e -

De esta igualdad se sigue que d(h)=(g' (yo)+E)@ +E f'(xo)h- Luego,

d(h) =(g'(yo)+EIe +E f'(xo). para h#O, -

k-O, lo cual implica que E-tO. Por lo tanto

Cuando h+O, de ( 2 ) se sigue que h h

lim d ( h ) __- ==(g ' (yo)+O)O+0=O. h h+O Q.E.D.

Utilizando la regla de la cadena, ampliamos nuestras fórmulas de

derivación para incluir las dadaen el siguiente resultado.

Teorema 40.2

Sea u una función derivable en x!. Entonces

211

L)Observemos que la función f (x)=ur (x), se puede ver como f (x)=p*-u(x), n siendo p(u)=u - Como p' (a)=n un-', podemos aplicar la regla de cadena

y obtener: (u n (XI) '=(r;ou(x)) '=PI (u(x) )u' (x)=n u n-1 (x)ii' (x) . ii) Observemos que sen(u(x) )=s-u(x) , donde s(u)=sen u. Como s t (u)=

cos u, por la regla de la cadena obtenemos (sen u(x))'=(s=u(x))l

= s ' (u(x))u' (x)=cos u(x)u' (x).

iii) Se prueba en forma análoga al caso anterior. Q.Z.B.

Ejemplos

En este tipo de ejercicios, la principal dificultad radica en recono

ter qué fórmula de derivación se puede emplear. Una vez aplicada ésta,

los siguientes pasos son unicamente para simplificar algebraicamente

la expresión obtenida.

-

i) Encuentra la derivada de f (x)=sen x2

Utilizando la regla de la cadena,

=2x cos x2. Luego, f1 (X)=~XCOS x2.

&x (sen x2)=cos x2 & (x2)

2) Si g(x)=fi2, verifica que g(x)g'(x)=x, para toda x~lR.

Como g (x) =( l+xLf aplicando la primera f'6rmula del teorema anterior

Luego, ga (x)g(x)=x, resulta gl (XI= + !(1+x2)-1'2~x=x/(1+x2)1/2=x/g(x). como querfamos mostrar.

3) Encuentra la derivada de h(x)=:x/G2, Ixl<2.

Sea (x1<2. Utilizando la primera fórmula del teorema anterior,

resulta

fórmula para derivar cocientes, tendremos

-& ( fi2 1 = -5 ! (4-x2 ) -'I2 (-2x1 = - x / G 2 . Aplicando ahora la

- h'(x)=(J41x2) giC- X-x & . /4 ix2 -=J47,2+X2/hi=i¿2,

c j-')¿ 4-x2

212

Por la fdrmula para derivar cocientes tenemos

Aplicando (1) del teorema anterior, resulta:

Pongamos ahora esta exprésión en la forma requerida:

r-1

Enseguida demostraremos

Anteriormente hemos probado la fórmula de derivación -$ (xr) =rx L

se cumple cuando r es un entero o r=l/n, nciN.

que se sigue cumpliendo para cualquier r racional.

Teorema 4 0 . 3 L r r-1 Para r racional, dr<. (x )=rx

DemostraciSn r Hagamos f (x) =x ,3 supongamos r=p/q>O. Como xr= (x"~)', para calcu-

r lar la derivada de la función f ( x ) = x pQdemos utilizar la regla de la

cadena. Así: L

P-l /qx- ;yB' _ _ + x*% f ' (XI =p (xl/q)J+ & (xl% =p (x P-l/q) :* pt.+ x - r-1

Si r=p/q es negativo, entonces xr=i/xr=(x

=rx -r -1 . Luego, por l a re-

-r -2 -r -1: -2 2rx-r-1 gla de la cadena, f'(x)=-(x ) & (x )=-(x ) (-r)x-r-l=r x

213

r - I :-r x

O.E.D.

2 / 3 1) C a l c u l a l a d e r - . de 1<1 f u i i r i ó n f ( x ) = x . 2 2/3-1 Por l a f ó r n u l a que? acabamos d e probar, s e cumple f' ( x ) = 3- x

E i e i c i c i : ) i 3 0

E-tc..ie:.tra la C c - i .-ads de l a c : s i g u i e n t e s f u n c i o n e s .

1 .- f ' x ) =>:Jl+X?

J 2 . - cJ(x)= l / ,& + l/X/ x > o

3 / 4 3 .- f ( 2 ) = ( z 3 + 2 z - 1 )

4 . - g (x) = {z=;----' , x > o i + x .

J 5 . - f ( X ) ~ C O C ~ (2x4-3)

6 . - g ( x ) = c c n ( s e n x )

10.- c ~ ( x ) = s e n x 3 + x

111.- f ( x ) = c o s x 3 - cos3>:

214

4 1 . Velocidad y Aceleración: La Derivada como Raz6n de Cambio -

Consideremos una magnitud y cuya dependencia de la variable x está

definida por la función f. Fijemos un punto X O . Si variamos x o por

un incremento h, la variación correspondiente de y es i;hy=f(xo+h)-f(xo).

Luego, el cociei-.ie Ay/Ax = f ( x o + h ) -f (xo)/h es una medida de la rapi-

dez con que y varla, con respecto a x, alrededor de x,. Se puede de-

cir q u e es la velocidad promedio con que está cambiando y como función

de h.

E j emp1.o~

1 ) Si y es la velocidad y x el tiempo; Ay/Ax e s , efectivamente, l a ve-

locidad promedio.

2) Si y es la velocidad, mientras que x es el tiempo, Ay/Ax es la

aceleración promedio.

3 ) Si y es el peso, mientras que x es el volumen, Ay/Ax es el cambio

de peso por unidad de volumen.

f(xo+h)-fkd- como medida del cam- La interpretación del cociente h bio de f con respecto a x, es fundamental para comprender la idea de

que, al tomar h+O, la derivada señala una razón instantánea de cambio.

En particular, muchos conceptos flsicos se definen con esta interpreta -

ción.

4 ) Si s representa la posición de un cuerpo en el instante t, SU ve-

locidad en ese instante es v=ds/dt.

5) Si v es la velocidad de un cuerpo en el instante t, su aceleración

en ese momento es a=dv/dt = d2c/dt2.

6) La potencia P de un motor, por ejemplo, es la variación instantánea dw del trabajo con respecto al ti,!mpo. Esto es, P=- dt *

7 ) Supongamos la trayectoria de uri cuerpo está dada por la función

x(t)=4t3-3t+2, referente al eje x *U O

a ) ¿Durante tiempo se mueve hacia la "derecha".?

b ) ¿.Cub1 es su aceleración cuando t=- ? 1 2

q 121 cuerpo se mueve a la derecha siempre y cuando su velocidad sea 1 positiva. Esto es,x' (t)=12t2-3>0 <:=> 3(4t2-1)>0 <=> t2>- 4

1 6 -<t. 2 1 <=> <=> t<-- 2

1 b) Su aceleración es v' (t)=x"(t)=24t. Luego, cuando t=T la aceleración

es a=12.

Al resolver problemas físicos "concretos", en donde intervienen

unidades de distinto tipo: metros,, kilogramos, cm., seg., horas; con -

viene desde un principio elegir para cada magnitud una unidad fija.

De esta manera, rolikak las conversiones de unidades, podemos olvidar-

nos de ellas y trabajar el problerna. Una vez obtenido el resultado,

sus unidades serán las correspondientemente elegidas. Por ejemplo,

en el ejercicio anterior, si el tiempo se mide en horas y la posición

en m, la aceleración es a=12 m/hora2.

8) Consideremos un cuerpo que se rnueve de acuerdo a la funci6n

x=f(t) cuya gráfica se señala abajo.

216

Observando la gráfica de la función, vemos que, a partir del

instante to, el cuerpo se desplaza hacia la derecha hasta llegar a la

posición x=x1- Enseguida durante el intervalo (tl,t2) se mueve a la

izquierda, llegando al punto x=x2. De aquí sigue al punto x=x3; lue-

go al punto x=x4 y, finalmente, se va hacia la derecha indefinidamente.

Nótese que en los puntos donde el cuerpo "cambia" de direccibn, la ve-

locidad es cero.

Antes de efectuar algunas aplicaciones de la regla de la cadena, -- conviene realizar un comentario sobre la notacien utilizada en éste -- contexto. Consideremos, por ejemplo, el área A de un cuadrado., cuyo

lado mide x(t) en el tiempo t. Es claro que el área puede verse como

dependiente de la longitud x 6, ya que x está dada en terminade t, - dependiente del tiempo t. No obstante,las funciones que describen di - cha dependencia son distintas. Esto no es respetado en la notación - acostumbrada, donde se utiliza la misma letra, en este caso A, para - representar dos funciones diferentes. Sin embargo, el contexto es tan

informativo que este abuso de notación no produce mayores problemas.

Si f es derivable en xo y g lo es en f(xo), la regla de la cadena

nos indica que (gof) ' ( x o ) = g ' (f (x0))f' (XO) . Escribamos esta expre-

sión con la notación de Leibniz. Para ello, haciendo z=g(y), y=f(x),

resulta z=g(f ( x ) ) y obtenemos la fórmula = dz - - dz d 9 dx ? donde debe en-

tenderse que las derivadas han de evaluarse en puntos distintos:

dz en f (XO) , mientras que dy dx dx que resulta la expresión de la regla de la cadena mediante la notación

de Leibniz, aún cuando con z estarnos representando dos funciones dife-

rentes.

lo hacen en xo (. Nótese lo "natural"

De la fórmula dz - - - dz - 9 vemos q u c es posible hallar la razón de

cambio de una magnitud z con rcspeleto a otra cantidad x , si conocemos dx dy dx '

cómo varfa dicha magnitud z con respecto a otra cantidad y, asi como

la razón de cambio de ésta con respecto a la-cantidad x. Esta obser-

vacidn es útil. Principalmente en problemas ffsicos en los cuales -- conviene introducir una variable adicional, mediante la cual-podamos

aplicar la regla de la cadena y facilitar así los cálculos; tal como

lo hacemos en los siguientes ejemplos.

Ejemplos

9 ) Supongamos que un gas se introduce en un globo esférico a una razón

constante de 50 cm3/seg, Y de

manera que el globo siempre conserva su forma esférica. ¿Qué t a n rb-

pido está creciendo el radio del globo cuando el radio mide 5 cm?

Representemos con r el radio del globo, y con v su volumen. De la dv - dv dr dt dr dt regla de la cadena, resulta - - -- - ; y de aquf obtenemos

dt (1) , qué es lo que nos interesa calcular. Para deter - /

dv , debemos recordar que el volumen de una esfera de radio r es dr minar

dv es la rápidez con que v=(4/3)Ilr3. De donde resulta - = 4nr2. Como dt dv dr

dv dr dv - 50 cm3/seg, mientras que *J= 10011cm2. cambia de volumen, - - dt Luego

dr - 50 cm3/seg - cm/ceg(= 0.16 cm/seg) . - dt - 100 ii cmL 23

Es importante notar que no fue necesario expresar r como funci6n A, U L de t, para determinar el valor dt en cierto instante.

10) Un avi6n lleva un vuelo horizontal, a una altura de 8 km con veloci

dad constante. Este vuelo pasa directamente sobre un punto P en la -- tierra. La distancia del avión al punto P está decreciendo a razón de

4 Km/min cuando esta distancia es de 10 Km. Suponiendo que la tierra

es plana, calcula la velocidad del avión.

-

218

Dib.ujemos una figura para visualizar el problema planteado.

Calculemos primero el valor de x correspondiente al momento señalado.

De la figura,es claro que ~ ~ + 8 ~ = 1 0 0 <=> x2=36 <=> x=t6. Como en x=6,

la distancia s del avión al punto P esta aumentando, concluimos que

x=-6. Por regla de la cadena, ds - ds dx Ya que nos interesa cal-

cular (E), dx lo despejamos de esta igualdad y obtenemos - dx - - ds/ds(l)* d t - d x d t '

dt dt dx ds - ds dt dx

ds- dx

En el momento que consideramos:- -- 4 Km/min mientras que - lo podemos calcular de la relación s2=x2+64. As€ 2s-2x. Luego,

3 - , cuando x=-6. d s - - - - x - x . ds -6 - Jxt764' y = = - - - 10 5

Sustituyendo en (1) la información encontrada y simplificando, resulta

que la velocidad en el punto considerado es v=- Km/min. Puesto que - la velocidad es constante, este es el valor buscado.

20 3

íi) Un recipiente tiene la forma de un cono recto de base circular, con

una altura de 10m y 4m de radio en su base. El recipiente se va llenan -

do de agua a una razón constante de 5m3/min. ¿Qué tan rápido está va-

riando el nivel del agua cuando la profundidad es de 5m , si el verti-

ce del cono está arriba?

Para principiar, recordemos que un cono recto de altura a y base rI circular con radio R tiene un volumen v = ~ R2a.

Representemos por h ( t ) la altura del agua en el momento t. Queremos dh dt' determinar

219

Para e l l o primero encontremos cómo varIa V en términos de h . As€,

r a-h , entonces Como - = - n n 3 3 R a

de l a f igura resul ta v = - ( a R ' ~ - - ( a - ~ l ) r . ~ . ( l ) .

(a-hi r[ (a-h) 3 R 2 r= R y , sustituyendo e n ( 1 1 , obtenemos v=-(aR2- ) = a 3 a L

1.. Por lo 16II (10-h) ' 100

. S i h=5m, dh- dv - 411 m 2 . Aplican -

1 . Como a=10 y R = 4 , se cumple tr=-(10- Ii t ( a - h ) 3 -R (a- 3 a' dv - tanto dh --

3 1 6 E ( l r ) - h ) * 4II ( 1 0 - h )

100 (-I)= -___ 2: 5

do l a regla de l a cadena como en los casos anter iores , resul ta

dh dv dv (-)=(-- )/(a). d t d t

Empleando e n esta. iguaidad los datos obtenidos tene- dh 5m3/min - 5 m,min. d t 4T[mL - 4 3 moc - =


1 . - Un cuerpo se mueve de acuerdo a l a función r ( t ) = t 2 - 2 t , dónde l a p k ; & se miden e n metros y e l tiempo e n segundos. ¿Cuál es su velo-

cidad y aceleración e n t = . 2 5 seg? ¿En t=.5 seg?

2 . - Si cada lado de un cubo se expande a razón de 1 c m /seg, ¿qué - tan rápido cambia s u volumen cuando l a longitud de cada lado es ( a ) 5cm ( b ) 10 c m .

3 . - Consideremos un recipiente c i l í n d r i c o de a l t u r a h , y radio 7,/2m. ¿Cuál es l a razón de variación de su volumen, con respecto a 1 1 a l t u r a , cuando é s t a es l m ?

4 . - Una esca lera de 10m de largo e s t á apoyada contra l a pared. Si una persona separa l a base de l a esca lera a lm/seg, ¿con qué - rdpidez e s t á bajando e l o t ro extremo a l o largo de l a pared -- cuando l a base de l a esca lera e s t á a 8 m de l a pared?

5 . - U n hombre de 1 . 7 0 m de a l t u r a s e a l e j a de una lámpara d 5.3Kni/hora. S i l a a l t u r a de l a l u z es de 5m sobre e l p iso , ¿cuál es la rápidez con que s e mueve e l punto más le jano de s u sombra.

220

6.- Un tanque de agua tiene la forma de un cono de base circular, con su vértice hacia abajo;su altura es de 10m y el radio de la base es de 15m. El agua sale por el vértice a razón de lm3/seg mientras que, por la parte superior, se introduce agua a una velocidad de c m3/seg. Calcula c de manera que el nivel del agua esté amen - tan'do 4m/seg en el instante en que el agua tiene una profundidad de 2m.

7 . - Un cuerpo se .meve de acuerdo a la funcién x=f (t) , cuya gráfica se señala ensequida. Describe cualitativamente la variación de su

221

4 2 . Puntos Críticos, Iláximos y kl€nimos .- En,la sección 33 establecimos que toda función continua en un

intervalo [a,b] toma un valor máximo y un valor mínimo (Tmg. de

Weierstrass). F2n embargo, no s e señaló ningunaforma de encon-

trarlos. En esta sección estableceremos un método que nos indica - r6 1a.posible localización de l o s puntos donde se toman dichos va - lores.

Definición

Sea f una función con dominio D.

alftiene un valor máximo (mínimo:i local en un punto CED, si existe

una vecindad V alrededor de c tal que f (x) - <f (c) (f (x) &f (c)) para -- toda xsVAD.

b) f toma un valor extremo en CED, si ah€ tiene localmente,un valor

máximo, o localmente un valor YYILíXt W O /I a b s c l h mlnimo.

Ejemplos

t'd

Teorema 42.1

Sea f una función definida en el intervalo [Ia,d. Si f toma un valor extremo en un punto c~(a,b), y f es derivable en c,=> 'f' (c)=O.

Demostración

Para cada

Q(c)=f' (c).

definanos Q(x)

PQesto que f es derivable en c, Q(x)-+Q(c), cuando x*c. Es decir,

c! es continua en c. Queremos srobar que Q(c)=O. Para ello basta

con verificar que las posibilidades Q(c)>Oy Q(c)<O llevan a con-

tradicciones.

Si Q(c)>O, por ser Q continua en c, existe una vecindad V de c

f(x)-f(c) > O, el n m e donde Q sigue siendo positivo. Como Q(x) = x-c - rador f(x)-f(c) debe tener el mismo signo que el denominador x-c.

Luego, para xcv, xbc =, f (x) >f (c) I mientras que x<c => .f (x)<f (c) ,

contradiciendo que f tiene un valor extremo en c.

El caso Q(c)<O se trata de forma similar.

Q.E.D.

Debemos notar, sin embargo, que la condici6n f'(c)=O no es sufi-

ciente para concluir que f tiene un valor extremo en c. El siguien - I .

te ejemplo nos lo muestra.

Ejemplo

1) Sea P(x)=x3. Entonces, P*(x)=3x2v P'(O)=O. S i n embargo, obser -

vando la gráfica de la función podemos notar que P no tiene un valor

extremo en x=O. De hecho, esta función crece en cualquier vecindad

alrededor de dicho punto. , .

Definición

A los puntos donde la derivada de una función es cero, les llama-

remos puntos cr€ticos.

Una consecuencia inmediata, y muy importante, del teorema ante-

rior es que si f es una función derivable en el intervalo (a,b), -- continua en [a,b] y xo un punto donde f toma un valor extremo, en-

tonces xo es un extremo del intervalo o un punto crftico.

2 2 3

La continuidad de f en [a,a asegura que existe un valor máximo y

un valar mínima absoluto. Por lo tanto, para determinarlos habrá

solamerite que comparar los valores que toma f en los extremos y - en los puntos crfticos. Este método para la localizacidn de valo

&

res extremos perrrite determinarlos facilmente en algunos casos, - como en los siguientes.

Ejemplos

1) Supongamos se necesita conocer cierta magnitud x (longitud, vo-

lumen, densidad, etc). A l efectuar su medición, no podemos afirmar

que el resultado obtenido sea el valor exacto, pues éste depende - de la precisi6n que tenga el instrumento de medicidn utilizado, la

cual nunca será total. En general, conviene -realizar varias medi - cienes: x~,xP,...,x~. No obstante, persiste el problema de asig-

nar, en base a los datos medidos, un valor a la magnitud x . Es de - cir, se necesitan criterios para determinar, teniendo en cuenta la

información recogida, un valor adecuado de x. Un criterio bastante

natural es el de pedir que tal valor sea el que minimice la suma - de los cuadrados de los "errores":

P ( x ) = ~ x - x ~ ) ~ + ( x - x ~ ) ~ + ... (X-Xn)' . Por esta raz6n se le conoce co -

mo criterio de mfnimos cuadrados y fue introducido por Gauss (1777-

1855).

Veamos cuál es el valor de x que minimiza la función

P ( X I = (x-XI 1 '+. . .+ (x-xn) 2. Como P es un polinomio cuadrdtico, y el

coeficiente de x 2 es n es claro que tal número existe. Luego, es-

te debe ser un punto crftico:

P'(x)=~(x-x~) +... ~ ( x - x ~ I . P'(x)=o <=> (x-xl)+ ...+ (x-xn) = O

2) Verifica que de todos los rectSnjuios de diagonal dada, el cua-

drado.tiene mayor área.

. .

Consideremos la figura anterior. El área de este rectángulo es

A=xy (1). N6tese que depende de dos variables. No obstanté, esto

no es ninguna dificultad si observamos que, de los datos del pro--

blema, se sigue la relacián. x2+y2=dz (2). Luego, despejando y de

(2) y sustituyendo en (1) obtenemos una funcidn de una sola'v,aria-

ble, a la cual podemos aplicar nuestros métodos. Así:

y=-, pues y50; A = x m . O,<x<d.

Queremos encontrar x que maximice la funcidn A=xJa"xf. Puesto

que sus valores son positivos, es claro que tal x también maximíza - rá la funci6nW=x2(d2-x2) que es más comoda de trabajar. Luego,

B'=2x(d2-x2)+x2 (-2x)=2x(d2-x2-x2)=2x(d2-2~') (3). B' (x)=O <=> X=O

Ya que B ( 0 ) = B(d)=O , e s claro que B toma d J2

6 d2=2x2 <=> 6 x= - . su valor máximo en x = - . Como y = Ja's--x2, la longitud d e l otro

J 2

3 ) De'una lamina cuadrada de lado a>O, hecha de estaño, SR desea

hacer una caja rectangular abierta de volumen máximo. ¿Cuál debe

ser el-valor de x? (ver figura)

225

a 2 Para 04x6 - , el volumen V está dado por V ( x ) = ( a - 2 x ) 2x. Nuestro

problema se reduce ahora a e n c o n t r a r el valor máximo de V(x) para -

xc [O,;] I Siguiendo el método señalado, derivamos e igualamos a ce-

a x2=6 a son los puntos c=> x=8a+464aL-4P4- = 8a+4a . Luego X"2 I -

24 2 4

críticos. Agregando el extremo izquierco del intervalo [O,:], cal- 2

a a3, a a a culamos V ( O ) , V(z) y V ( 6 ) . Como s z tiene V(0)=V(2)=0, V(-)=- 6 27

concluimos que el volumen máximo es V=---a3, y éste se toma cuando 2 27

a x=6

4 ) Examinemos ahora el ejemplo de la lámpara en el círculo para es-

quiar, dado en la introducción del tercer capítulo. Deseamos saber

cuál es la altura h donde debemos colocar la lámpara de manera que la

I . -. -- . . - #

iluminación en la orilla del círculo sea máxima.

Sabemos que la iluminación T está dada por la fórmula A sen a rI hL+rL 2 , Odaá- . Expresando h en términos de a , resulta h=r tan u,. T=

Luego, la función cuyo valor máximo queremos encontrar es A

T(a)=r (l+tanza) r'sec'a r = sen a cos' a. Derivando, obtenemos - A sen a - A sen a

Y A T ( a ) = ~ 2 (c0s~a-2 sen'acosa) . 2 1 cosa(cos a-2sen2a)=0 <=> cos a = ~ ó cos2=2sen2~ <=> cosa=^ 6 tan2a=- 2'

como O,<cl,<7/2, se tiene a=- Ó tana=- . ( A l ángulo u,O,<a<rI/2 tal que

Igualando a cero, resulta :

rI 1 2 I F

I 1 iL tam=- le llamaremos a=arc tan -.) J2' 2

rI 2

Observando que T ( O ) =T (-) =O, y T (a) >O, concluimos que para 1 r

J2 Jz a=arc tan 7 , la iluminaci6n es máxima. En este caso, h=r tam=- . Es decir, para una mejor iluminaci6n de la orilla del círculo, la

226

1 lámpara debe ponerse a una altura de - veces (aprox. 0 .7 ) el radio J2

r.

Supongamos ahora que las facilidades a nuestra disposicidn no nos

permitan elevar la lámpara a una altura mayor que una cierta:medida r H. Si H>,-,resolT-dmos nuestro problema de igual forma que el anterior;

pero si

culta q-ie la iluminacian máxima se obtiene con la altura H.

H r HL- , observando que T ' ( a b 0 para Oáac arc tan-- , re- J Z r

Jz

5 ) Se desea mover un bloque de peso W, a lo largo de una mesa plana

mediante una fuerza aplicada en un ángulo 8 , según se muestra en la figura, con 0<8<Ii/2. Supongamos que el movimiento se desarrolla bajo

la acci6n de una fuerza de friccidn que es proporcional a la fuerza

normal y en dirección contraria al movimiento. Bajo estas condiciones,

encuentra el ángulo 8 donde la fuerza necesaria para vencer la friccidn

sea mínima. C

t IN

Denotemos con F(8) la fuerza orksPcmAl&al ángulo 8, 0<8<1I/2. La

fuerza normal e s , en este caso, N=W-F sen 8 . Representando por l~

el coeficiente de friccián entre la mesa y el bloque, se .'rabie que

la fuerza de fricción es f = p(N)=p(W-F sen B)=uW-uF sen 8 . .'Como

el bloque está en equilibrio f = F cos 8 . Luego pW-pF(e)

sen 8 = F(e) cos 8. PW Por lo tanto, F@= cose+Psene . Como el denominadorespositivo, 3aw 04841 I /2 , para minimizar F bas -

ta mar imizar g (e) =cosO+psene, en el intervalo O f 8 d 1 / 2 . Calcul.amos

entonces g(O)=g(z) y los puntos críticos de g. n A s í :

227

n g ( O ) = l , g (2)=p (1); c j ( 0 ) =- s e n O + 1 1 cos 0 = O (<=> t a n 0 = u ) .

Es decir, g t i e n e un va lo r c r f t i c o e n e l punto 6 , 0 < 6 < I I / 2 , t a l

que s e n 6 = u cos 6 ( 2 ) . Calculando e l va lo r de g e n este punto, re

suits g~6)=cos6+~1sen6=cosij+u~cos8, por ( 2 ) . Luego, g ( 6 ) = c o c i i ( i + p 2 ) .

-

Para comparar c s t a expresión c m l o s v a l o r e s dados e n ( I ) , hace-

mos l o que s igue :

Por ( 2 1 , sen28=p2cos28=1-cos28. :=> c o s 2 @ ( l + v 2 ) = 1 ; es d e c i r -

. As€, g ( 6 ) = m2, por l o que se t r a t a d e l va lo r mdxi 1 cosa= - r mo. Luego, l a mínima fuerza requerida es F ( 6 ) = pW .

rn 6 ) Se desea conducir un camión una d i s t a n c i a de 300km, por c a r r e t e r a ,

a una velocidad cons tan te de x km,/h. Las l eyes de t r á n s i t o e s p e c i f i -

can que 30dx460 (1). Supóngase que l a gaso l ina c u e s t a $3 .00 por li-

S i e l sueldo d e l con- t r o y se consume a razón de 2+ i / ho ra . X 2 600

ductor es D pesos por hora y cump.le l a condición (l), encuentra l a - velocidad "más económica", y e l cos to d e l v i a j e cuando

a ) D=O I b) D = 2 0 .

Representemos por c ( x ) e l cos to d e l v i a j e para una velocidaá x.

Entonces, C = g a s t o d e l camión + sueldo d e l conductor. Como e l to-

t a l de horas que dura e l r eco r r ido es - 3 0 0 X I

r e s u l t a :

300 x 2 3 0 0 D = - 3 X 6 0 0 ) ~ + - X X

300 ( 6 . t D ) + - x - 2 c ( x ) =--(2+-

t (6+D!300 . Igualando a ce ro , para obtener l o s Derivando: c ( X I = -

puntos c r l t i c o s : + z X

-600 (6+1)+3x2= O <=> 3 ( ~ ~ - 2 0 0 (6+D)):=O => x=10-. Analicemos ahora 2x l o s d i s t i n t o s va lo res de D .

a ) D = O ' = > x = 2 0 f i . E s t e punto crift'co s a t i s f a c e l a condición (1).

Calculando ~ ( 3 0 ) y ~ ( 6 0 ) vemos que e s t o s son mayores que C ( 2 0 J 3 ) ;idea0

e i cos to toma s u va lo r mínimooh:.

228

b) Para D=20, el punto crítico es mayor que 60. En este caso, pode -

mos verificar que el valor mjiiirno se toma cuando x=60.

. .

Ejercicios 42

1 .- Determina qué tipo de valor extremo tiene l a función f (x)=x2-2x+3

2.- Encuentra los máximos y minimos de f (x)=x -12x+10 para -3<x63.

y c-uál 2s este. 3

1

, -l<x<l tiene valores extre 1 3.- Determina si la función g(x)= - mos. Ji=x7-

4 . - Dado R > O , prueba que entre todos los números positivos x , y que

5.- Prueba que entre todos los rectángulos de área dada, el cuadrado

satisfacen x 2 + y 2 = R , la suma es máxima cuando x=y.

tiene el menor círculo circunscrito.

6 . - Un agricultor necesita limitar un terreno recaf iqulat de superfi- cie A y adyacente a una pared recta de piedra. ¿Cuáles deben ser las dimensiones para que el cercado sea mlnimo?

7.- El- alcance de un proyectil, lanzado según se aprecia en la figura, es L=2v0 senecos8 . Si vo y g son constantes, encuentra el I 2

ángulo 8 que proporciona un alcance máximo.

8.- Determina el valor de 8 señalado sea máximo.

del prisma triangular

9.- Un fabricante puede vender n artlculos semanalmente, a p pesos por artículo, siendo n=125-p. Si el costo por producir n artlculos e s 110+100n -n2 - pesos, sefiala el precio que maximice la - ganancia. 2

10.- Encuentra el área mlnima de un triángulo que contiene un cuadra - do de lado a.

11.- Determina el perfmetro mínimo de un triángulo que contiene un - cuadrado a.

Encuentra el rectángulo de área máxima que puede inscribirse en Un semicfrculo, estando una base sobre el diametro.

2 2 9

12.- a) SePnscribe un triángulo iF6sceles en un círculo de radio r, como se muestra en la figura. Si el ángulo 2a en el vértice se restrin- ge a valores entre O y T ( / 2 , encuentra los valores máximos y mínimos - para el perimetro del triángulo.

b) ¿Cuál es e: radio del círculo más pequefio,lo suficientemente - grande pdra ir kJa triángulo isbsceles de perímetro L dado?

0- * -

13.- Considera la curva en el plano cuya ecuación es x2+4y2=4. Señala coál es el área máxima que puede tener un rectángulo inscrito uen tro de esta curva.

-

1 4 . - Un hombre que pasea por el bosque, está a una distancia de 5 Km - de un sendero recto, y a 13 Km de una casa ubicada sobre dicho -- sendero. Supongamos que el hombre puede caminar a razón de 3 Km/h en el bosque, y a razón de 5 Km/h en el sendero. Si camina en -- línea recta hasta el sendero y después por éste hasta la casa, -- ¿cuál. es el menor tiempo que tardará en llegar a la casa?

15 .- S i una viga rectangular de maldera está soportada horizontalmente en sus extremos, entonces la carga máxima W que soporta en su pun to medio es (aprox.) proporcional a su ancho y al cuadrado de su- espesor. Supóngase que la viga debe cortarse de un tronco cilín- drico de radio a, de manera que W se maximice. ¿Cuál debe ser el espesor y el ancho? (sol. x=Lia -- , y = 2 0 a)

J-3 J3t 16.- Un granjero tiene 100 vacas que pesan 250 kg c/u. El costo diario

de mantenimiento de una vaca asciende a $ 5 . 0 0 . Las vacas ganan -- peso a razón de 3 kg diarios. El precio en el mercado es ahora de $25 por Kg y está bajando a razón de un centavo diario, ¿Cuánto -- tiempo debería esperar el granjero para obtener una ganancia máxi- ma al vender sus vacas?

17.- Encuentra la altura y el radi.0 de un recipiente cónico (sin tapa) de área A , que tenga capacidad máxima.

18.- Si en la figura, el clrculo de radio r está inscrito en el trián-- guío rectánqulo BAC, ¿cuál es la mínima área posible del triángulo BAC?

19.- Encuentra la longitud máxima de una escalera que puede llevarse (en una posición horizontal) alrededor de una esquina,como se mues tra en la figura. (El segmento de P a Q señala unahposible posi- ción de la escalera.)

-

20.- Un campo deportivo consiste en una región rectangular con una re-

230

región semicircular adosada a cada uno de los lados opuestos.si e l perímetro es de 1000m, encuentra l a maxima área posible para l a región rectangular.

231

4 3 . Teorema del Valor Medio. D i b u ] o - 7 ( i c b Gráficas -

En e s t a secci6n veremos que l a derivada de una función proporciona

informacián sobre or) comportamiento. Además, emplearemos e s t a infor-

mación para bosquejar s u g r á f i c a .

E l primer resultado que estab1,eceremos es bastante natural . Nos - indica qae, en una s i tuación como l a de l a f igura s i g u i e n t e , e x i s t e - un punto c donde l a r e c t a tangent.e e s horizontal .

Teorema de Rolle (1652-1719)

Sea f una función continua e n [a,b] y derivable en cada punto de

( a , b ) . Si f ( a ) = f ( b ) , entonces e x i s t e un punto c c ( a , b ) t a l que -- f'(c)=U.

Demostración

Consideremos dos casos.

i ) f es constante. Luego, f r ( x ) = O para toda x ~ ( a , b ) .

i i ) f n o es constante. Hagamos M = max) f , y m = mint.

Alguno de es tos números es d i s t i n t o de f ( a ) p u e s , de l o c c n t r a r i o ,

f serfa constante. Supongamos que se t r a t a de M , y s e toma en c c ( a , b ) .

Por e l teorema 4 2 . 1 , f * (c)=O.

Q.E.1).

Como consecuencia d e l teorema de Rolle obtendremos e l llamadcl teo-

rema del Valor Medio. Su interpretación geométrica e s una generaliza -

ci6n de l a de l Teorema de Rolle y es tab lece que en algún punto c del

2 3 2

intervalo (a ,b ) l a rec ta tangente en ( c , f ( c ) ) e s paralela a la secan -

t e que pasa por los puntos ( a , f ( a ) ) y ( b , f ( b ) ) , es to es;

f ' ( c )=f (b ) - f 7 (a) . b-a

Teorema del Valor Medio

Sea f una función continua en el intervalo cerrado b,B y deri-

vable en cada punto de ( a , b ) . Entonces, e x i s t e un punto c ,a<c<b,

donde se cumple

Demostración

f ( b ) -f (a)=f' (c) (b-a) .

f (b1-f (a) (x-a) -f (a) -- b-a Definamos l a función auxi l iar h (x ) =f (x) - para xc[a,b]: N6tese que h simplemente expresa l a diferencia entre

l a s alturas dadas por l a función f y l a secante que pasa por lo's pufl

t o s I a , f (a)) y ( b , f (b)). Veamos que h cumple l a s hipótesis del Teorema

de Rsl le . h es continua en ca,bJ porque es suma de funcionas que son

contir,uas ahí. Por una razón s imi lar , h también es derivable e n -- (a,b). Finalmente, de l a forma e n que se e l i g i ó h , es claro que -- h(a)=h(b)=O. Luego, podemos concluir que e x i s t e c c ( a , b ) donde h* (c )=O.

f (x) (b-a) =f (b) -f (a) . f ( b ) - f ( a ) = o <=> b-a Esto e s , f '(x)-

Q . E . D .

Z k - L -

Consideremos una f u n c i 6 n f, y puntos xl,x2 -en su cicrri?~~ tales

que x1<x2 . Entonces,

a ) f es creciente (decreciente) si f ( x l ) <f ( x 2 ) (f ( x l ) >f (x2) 1

2 3 3

b ) f ds no-decreciente (no-creciente) s i f ( x l ) < f (xp) ( f ( x i ) & f ( x z ) )

c) A cualquier función con alguna de l a s c a r a c t e r í s t i c a s anteriores

l a llamaremos monótona.

Hay muchas funciones que no son monótonas, pero podemos dividir

su dominio en irLervalos donde sf l o sean. A éstas les llamaremos

monótonas por pedazos, y l a siguiente figura nos señala una.

t’b Ejemplo

P , /‘ / I

/ XI i(a /

/

La función f , cuya gráfica e s l a señalada, es creciente e n :(--,xl],

decreciente e n [XI ,xp)

decreciente en [x,, ,.o) . constante e n Lx2,x3], creciente e n Lx3,x4] y

E l siguiente resultado proporciona un c r i t e r i o para d e c i d i r s i una

f u n c i d n es monbtona, en caso de que és ta se derivable.

Teorema 4 3 . 3

Sea f una función continua en e l intervalo [a,b], y derivable I e n

( a , b ) , Entonces: s i en ( a , b ) se cumple

i ) f’ (x) > O => f es (estrictamente) creciente en [a,b] . ii) f’ ( x ) < O => f e s (estrictamente) decreciente e n [a,b] .

iii) f’(x)=O => f es constante en [a,b].

Demostración

i) Debemos probar que si x1<x2 pertenecen al intervalo [a,b] =>

f ( x l ) 4 f ( x 2 ) . Para e l l o , notamos que podemos apl icar e l teorema del

valor medio: del cual resul ta : f ( x 2 ) - f ( x i ) = f ’ ( x o ) ( x z - x ~ ) , para algún

234

punto xo, xl<xo<x2 . Coma (x2-xI)>o y f'(xo)>O, s e sigue que

f (x21-f (Xi)>O.

Las afirmaciones restantes se prueban en forma similar.

Q.E.D.

Supongamos x representa el tiempo y f(x) la posición de una partí - cula. En este caso podemos motivar el resultado (iii) con bastante

naturalidad: f'(x)=O indica que la velocidad es constante, por lo - que estará parado. Es decir, su posición f(x) es constante.

En Física, muchas veces para indicar que alguna cantidad se conser - va lo hacen por medio del resultado (iii). Por ejemplo, si p es el - momento lineal, la igualdad 2 =O indica la conservacidn de éste.

Es importante notar que conociendo el signo de la derivada f',por

el teorema anterior podemos saber los intervalos donde f crece o de-

crece. Luego, los valores de ft proporcionaninformaci6n sobre el -- comportamiento de f. En particular, si fr(xo)=O y f'(x)<O cuan-

do x<xo (x>xo) así como f'(x )>O cuando x>xo (x<xo), entonces € toma

un valor mínimo (máximo) en xo.

En la sección anterior señalamos que en un punto crítico una fun-

ción no tiene, necesariamente, un valor extremo. El próximo resulta

do nos indica una condición b a j o la cual sf podemos afirmar que se - trata de un valor extremo.

Teorema 4 3 . 4

Sea f:(a,b)+IR. una función dos veces derivable. Suponqamos xo

es un punto crltico y f "es continua en xo . Entonces:

i) f"(XO)>O => f toma localmente un valor mínimo en X O .

ii) f"(xo)<O => f toma localmente un valor máximo en XO.

Demostración

i) Corno f"(xo )>O y f" es continua en xo , existe una vecindad

2 3 5

[xoh,xo+h] alrededor de xo donde fl'(x)>O. Luego, el teorema an-

terior nos indica que f' es creciente en [xo-h,xo+h]. Como

f'(x,,)=O; f'(x)<O si xo-h<x<xo y O<f'(x) si xo<x<x,,+h. Apli - cando de nuevo el teorema citado, concluimos que f es decreciente - en Lxah,xo]y creriente en [xo,xo+h] . Por lo tanto, f(xo,<f(x) si

x~[x~-h,x~+h) , y se trata de un valor mínimo local.

El caso (ii) se prueba en forma similar.

Q.E.D.

Diremos que una función es convexa si su gráfica siempre está -- por debajo de cualquier recta secante. Cuando la gráfica está arri -

ba 1s llamaremos cóncava.

Así como la derivada nos indica, geometricamente, la pendieace de

la recta tangente, la segunda derivada también proporcicm informa--

cibri geometrica. Esta es relativa a las características de convexi-

dad y concavidad que acabamos de introducir. La señalamos en la si-

guiente proposición, que no probaremos por falta de espacio.

Teorema 4 3 . 5

Supongamos f es continua en [a,bJ y dos veces derivabie en ( n , b ) .

i) .Si f " > O => f es convexa.

ii) Si f"<O => f es cóncava.

Definicidn

A un punto xo tal que f es cóncava a su izquierda y canvexa a su

236

a s u derecha, o viceversa, l e llamaremos punto de inflexión.

Observemos que, por e l teorema anter ior , s i f"(xO)=O y f"(x)<O

si x<xo mientras que f"(x)>O s i x > x o , 6 viceversa, e l punto x o

es un punto de inflexión.

Dibujo de Gráficas

La iqformaci6n que nos proporciona l a aplicaci6n de teoremas an-

ter iores es muy ú t i l para obtener las gráf icas de c i e r t a s £unciones,

como l o veremos enseguida. Para e l l o , indicaremos c i e r t o s pasos que

conviene tener presente a l dibujar l a gráf ica de una función dada. 1

Observar cuál e s s u dominio.

Tratar de ver cómo e s s u rango. Esto se puede i r haciendo para

lelamente a los siguientes pasos.

Localizar los puntos donde l a curva intersecta a los ejes.

Fara determinar l a s intersecciones con e l e j e x , resolvernos l a

ecuación f(x)=O. S u s soluciones serán l a s abcisas de t a l a s pun - tps. En e l caso del e j e y , habrá que ver s i f e s t á definida e n

U.. Cuando es to suceda, e l punto ( O , f(0)) será l a i n t e r a e c c i b n

buscada. En general, e l cálculo exacto de estos valores es d i -

f í c i l . Habrá entonces que tomar aproximaciones.

Obtener los puntos c r f t i c o s , y u t i l i z a r l o s para determinar l o s

intervalos donde f ' t iene signo constante. En cada uno de es tos ,

f será creciente o decreciente.

Examinando e l signo f " , determinar s i l a función es c6ncava o

convexa, a s í como los puntos donde f"(x)=O.

E jempl'os

Obtengase l a grá f i ca de l a s siguientes funciones.

1) f (x) =x3-4x

237

Claramente, el dominio de f ea IR. Como f es continua, l o s llmi-

tes iim(x3-4x)=-m y lim(x3-4x)=w indican que su rango es IR.

para obtener las intersecciones con el .eje x : )(+-o3 X+m

Hagamos f(x)=O

x3-4x=o <=> x(x2-4)=0 <=> xl=OV x2-4=0, <=> ~ 1 ~ 0 , x2=4 <=>.X1=Or

x2=-2 , x3=2 . Como f(O)=O, intersecta al eje y en el origen. 4

Derivando, obtenemos f' (x)=3x2-4=3 (x' Haciendo f' (x)=O resul -

2 2 2 2

J3 , - ) , (- ,a) y obtenemos que en (-a, -),f'>O; en ( - -

(- , -),f'<O y en ( - ,-),f'>O.

J3 J3 Js 2 -2 2

4 3 4 3 J3 -L

Esto significa que f tiene un valor máximo local en - y mfnlm0 cf +2

d 3 local en - .

Derivando f', tenemos f"(x)=6x. Luego, el punto donde x=O es un

punto de inflexián.

-

1 2) f (x)=x+- , si xf0. X

Claramente, su dominio es I R - - i O ) .

Como conocemos las gráficas de y=x , y=: , conviene sc ialarias,

y tratar de encontrar algunas características de la gráfica de f

en base a ellas.

2 3 8

4% i

Para x>O, puesto que f ( x ) > x y la hipérbola y=$ no corta

fica de f, ésta queda entre dicha hipérbola y la recta y=x.

para x muy grande f se comporta como g(x)=x, ya que - es muy Obsérvese que no hay intersecciones con los ejes.

1 X

x2;1 . Derivando, resulta f' (x) =1---2= Por lo tanto f l ( x ) X

la grá-

Además,

pequeño.

<O si

x 2 O si x2>i, y los puntos críticos son xl=-i x2=-1.

De esto concluimos que f toma localmente un valor máximo en x=-1 y

un valor mínimo en x=l. Estos valores son f (1)=2 y f (-1)=-2. Nótese

que el rango de f es R- (-2,2). 2 Derivando f', resulta f' ' ( x ) = --s. Por lo tanto ii" (x)¿ 3 si xc0 y

f' ' {x),O si x>O. Esto nos indica que en el semiplano izquierdo la

curva es cbncava, mientras que en el semiplano derecho e s convexa.

Eiercicios 4 3

n-1 n n n-1 1.- Prueba la desigualdad ny (x-Y)<x -y dnx (x-Y). n

/2.- Demuestra que la función f ( x ) = x es creciente si n es impar.

3.- Sean f y g funciones de IR en ii3 tales que f ' = g t . Prueba que f=g+c.

4 . - Sean f (x)=sen x y g(x)=cos x . Verifica que sé cumplen las siguientes igualdades: a) f'=g b) g'=-f c) f ( O ) = O ch) g(O)=l

Prueba que las condiciones anteriores determinan las funciones seno y cossno de manera única. Es decir, demuestra que si f y y scin -- dos fanciones que satisfacen las condiciones i) ii) iii) iv), entonces f(x)=Sen x y g(x)=cos x (Sugerencia: Considera la ft,nciGri F(x)=!f (x)-sen x ) '+(g(x)-cos x) 2 ) .

239

En los siguientes ejercicios,

a) Encuentra los puntos x donde f' (x)=O.

b) Examina el signo de f', y determina dónde es f monotona.

c) Examina el signo de f", y determina la concavidad de f.

ch) Bosqueja la gráfica de f.

l+xY 5.- f(x)=

X J 6 . - f(x)= XL-1

x2-9 x i - 4 7 . - f(x)=

4~-12 (x-2) 8 . - f(X)=

v' 9.- f (x)=3xL+x+1

1/ 4 0 . - La funcin f (XI=- e s derivable y creciente. Encuentra la derivada de su función inversa en 7.

11.- a) La función f(z)=z2-9z es creciente para z<-J3 . si g es ia -- funcidn inversa en este intervalo, encuentra g ' ( 0 ) .

b) f ( 2 ) es decreciente en -a < z < f i . Si h es la funcidn inversa en este intervalo, encuentra h ' ( 0 ) .

c) f(z) es creciente para n< z . te intervalo, encuentra h' ( O ) . Si h es la funci6n inversa en es -

240

44. - Derivación Implícita

En algunos casos una función derivable y está definida meüiante una relacit%

de la form R(x,y)=O, donde R es una funci6n de dos variables. Cuando así nice8e,

no es necesario despejar y para calcular su derivada, sino que podenios deriva3

"Fmplicitamente" utilizando la regla de la cadena. h a m s en los siguien-

e jgnplGs.

E j arplos

1) Supmgams una escalera resbala sobre el piso, tal cum se aprecia en la fi-

gura. Si la velocidad con que se desliza es constante e igual a lun/seg., ¿con

Y

x

qUé velocidad está descendiendo sobre la pared, en el nwmento en que x=@?

Si y es la posicidn vedical de la escalera,según se indica en la figura, es

claro que cada valor de x detemina un valor único de y ; máC precisamnte,yZO

satisface la ecuación x +y =loo. Derivando esta expresión con respecto a t,

remita: Zxx dx +Q$=O * 9 dt = -x-clt . el -to que i n t e r e s a t s á m ,

y,,- =8m y e = lOm/seg. Luego, la velocidad buscada es -& 4 1Wseg.

= - $iiseg. (El signo 'I-" indica que la dirección es hacia abajo, es &ir, en

centido contrario a la dirección en que crece la y . )

2 2

dx

Y d dt

2)

do

Calmla y', si y es una función derivable que satisface y5+x4=3 ... (1). !krimdo la sinia con respecto a x, resulta 5y4y'+4xL0. aquí, despejan -

.sr y', se tiene y'= -4x3 . Sustituyendo ahwa el valor y=(3-x4)dado rx>r (11,

-4x3 encontrams que y'= 5(3-x .

241

i?jercicbs 44

1.- La ecuación x3+9=l define, irnplicitamente, a y a z m función de x. a S u p o n i d que la derivada y' existe, muestra que satisface la ecuacibn

h) Suponiendo que la segunda derivada y" existe, verifica que y"=-2xyr x i +y%'=O.

ciaupre que y#O. -

CAPITUIX) VI 2 4 2

FVJCIO'TES "QA,CfTJ!Il3PS

introducción

Observando las funciones con que hams trabajado, podems notar que los va10

res de casi todas ellas se obtienen mediante operaciones algehrbicas: swna, res

ta, mltiplicacibn, división, rotencias o raíces n-ésimas. Por esta caracterfs

tics se les da e l ncmbre de funciones algebráicas. Hay otro tipo de funciones,

cam las trigonanétricas, cuyos valores no se pueden obtener mediante las ope-

raciones citadas, y se les llama trascendentes. E l propbsito de esta seccibn

es señalar las funciones trascendentes básicas, as€ cam sus propiedades más

portantes.

- - -

45. Funciones Tr iqodtr i cas inversas

~n la introducción se hizo notar que las funciones trigondtricas sori fun-

ciones trascendentes. Considerams la función coseno, detenninada por C f x ) = = = s x.

ccrrr, ésta tiene perlodo 2T , es claro que no es invertible. Sin anSargo,

pcdanos restringirnos a un intervalo donde C sea urio

a uno, l o que nos permitirá definir su función inversa C4.

ib nuestro caco tales intervalos poairlan ser : [-2V,-TJ , EV,d, [O,Tl, etc. Es conveniente que el intervalo elegido quede entre O y m , pero, fue-

-

243

ra de esta conveniencia, rm hay otros criterios para elegirlo. En este -90, se

acostunbsa ta~i' el intenmlo [O,%] . .así, C: [O,,'MJ - F1,lJ

por io que su inversa c - ~ está definida. ES- se amstunbaa denotar por

C-'(X) = cos-' (x) , o bien, C-l(x) = am: cos X. mtese que y = = cos x

aosy-7( 9 O i y l T .

es una biylecc-,

o a ~ , ya sabanas, ia gráfica de c-l(x)=arc cos x se puede obtener de la de

C(X)=COS x , mediante una rFf+-Tp por la r s t a y-7~.

Y

" I-* /

' Claramnte C-l(x)=cos-l(x) es una f~mción continua.

el teorema 38.1 para calcular su derivada, Para esto, notams CUBndo

+l y xjdl 3 C-l(x)#o y C1(X)#Cii ,; luego c'(c-l(x))~gen(c-l(x))#o. As%,

la función C-l es derivable en (-1,l) ; lo cual es obvio si considerms SI gr8 - . 0 . 32) 1 - - -1 1

fica. ~n tal cam, resuita: (C ) ' (XI??, (c-r r -sen (c-i (x) )

m o<c~'(~)z M 2 - 1 - P 05 cen(c-'(x)) si, por i o que s e n ( c - ' ( x ) ) = G (C (XI)

d se puede escribir ccmo ax (arc cos x)= - La discusión que acabamos de realizar se exti& a las dem ás funciones tri -

g0nanétricas: seno, tangente, cotangente, secante y cosecante. Para definir la

función inversa de s(x)=sen x, llos restringirgnos al intervalo [- 9 , 31 , aOn_ de el seno es uno a uno. Enseguida señalaanos su gráfica.

AU

. , 244

utili& de nuevo la fbnraiia para la deriva& de un f w i b n inversa, re-

' - l d x * l . a 1 sulta 7& (arc sen x) = 'm

Para que la funci8n tangente sea invertible lyos retriqimos al intervalo a-

resulta que lim tan x =CO .Ahora

oosx---+ O por loque limtanx x+ 9' +

x-+-X*

+ E-, senx-., 1 y C p x - o , x- 2

Y - p s e n x - ciT+ -1 - si x - = -00 . Ya que t es oontinuar e l tse#airia

del valor inteimedio dsecjcuca que la tangente tama todo valor real. oanio am-

Nótese que

el teorema

I

I I .

a '1 I ' s l im arc tan x = Y lim arc tan x = - . Otra vez? aplicar& L -

%**co L - x-baj

38.1? resulta que la derivada de t-' está dada por la f6n1n1la d 1 -a rc tanx - dx -l+xz

Para objeto de referencia, enunc&rems las fhnula de Wivación estable-

cidas en la siguiente proposición.

'íkorma 45.1 d 1

i) ax arc cos x = - d 1 ii) =arc tan x = m.

d ii) s e n x = 3=-

Debe ser clara la manera de repetir el priocedimi ' 'en- anterior para definir

las funciones f(x)= arc ctan xI g(x)= arc sec x y h(x)= arc csec x

libro no se hará por falta de espacio.

. En este

245

Ejanplos

1) Calcula La ckivada de f (x)=arc tan (l+x ) 2

Utilizando la regla de la cadma, as1 caw iii) del teorema antrior, reslil - 2x = ta: &(l+x=) 2x

f' 1+ (l+x."-iz = l+l+at'L+Xd 2+2x=+x?

Ejercicios 45

1. Verifica que sen (x)+cos-l (x) = 3 2. Determina ax sen (2x+1).

-1 para xE ~-1,lI . d -1

2 4 6

4 6 . Función Logarítmica

En nuestros cursos de matemáticas de Secundaria se definen los loga-

ritmos decimales como la funci6n inversa de elevar a potencias de 10.

Esto e s , se establece que y=log x x=10 Y . Intuitivamente lo ante-

rior parece aceptable. Sin embargo, hay una dificultad lógica en tal

def inicidn. Esta consiste en que no se ha definido el signi-

ficado de 10 cuando y es un número irracional. Aun cuando la mane-

ra de hacer esta definición es bastante sencill+a, utilizarla para pro-

bar las propiedades de "los exponentes" requiere de la justificacidn

lógica de muchos detalles. Por esto, tomaremos un rodeo: Definiremos

Y

de una manera bastante s b p k la función logaritmo; después intro-

duciremos la función exponencial como su inversa. En cada caso, demos - traremos que se cumplen las propiedades familiares de los logaritmos

y exponentes.

ib.&logaritmos "naturales".

Conviene observar que la funcidn logaritmo de loguch0bb-S c s ~ o . ~ I

1 Como la función f(x)=- es continua si x>O, el teorema 1 I nos indi- X

ca que dx/x existe en tales puntos. 'i

Definición

Si x>9 , llamaremos logaritmo natural de x al námero k n x , de+8r.iv\:fiadc PE'

in(x)= iX a . x

jL

El primer teorema fundamental del Cálculo nos indica entonces que

Como l/x>O para x>O, el teorema del valor medio nos

asegura que In es una funci6n creciente. Tenemos as€ el siguiente - resultado.

& ln(x)=l/x. *

Teorema 46.1

i) & in x=i/x. ii) In es creciente.

247

D e l a d e f i n i c i ó n de In es c l a r o que l n ( l ) = O . A s i m i s m o , l a fdrmula

de d e r i v a c i ó n a n t e r i o r , j u n t o con l a r e g l a de l a cadena, nos i n d i c a - que & i n u = i n u i e : = .- +& , cuando u es una func ión

p o s i t i v a y d e r i v a b l e . Enseguida enunciaremos e s t a fórmula para refe-

r i r n o s a e l l a .

u

Teorema 4 6 . 2

S i u ( x ) > O , y u es d e r i v a b l e , en tonces & In u = ' 0

us

Ejemplos

1 ) Calcu la l a d e r i v a d a de l a funci.dn determinada por f ( x ) = l n ( l + x * ) - . .-

=2x, 4+ X'

Por l a formula a n t e r i o r : f' ( X I = : A ( l + x 2 ) i+ uz

Enseguida probamos una de l a s p r i n c i p a l e s propiedades d e l a func i6n

logar i tmo .

Teorema 4 6 . 3

S i a>O y b>O, en tonces l n ( a b ) = l n a + In b . (A)

Demostración

Sean a y b números p o s i t i v o s a r b i t r a r i o s . Definamos l a func ión

f ( x ) = l n ( a x ) , para x>O. Por l a r e g l a de l a cadena, f ' ( X I = a = u -

Como también -.-& In x = l / x , l a s func iones f y In d i f i e r e n en una cons -

t a n t e . Luego f ( x ) = l n x+c <=> l n ( , a x ) = l n x+c. Tomando en e s t a i gua ldad

x = l , r e s u l t a en tonces l n ( a ) = l n ( l ) + c = O + c => c = l n ( a ) . Por l o t a n t o , para

todo x>O se cumple l n ( a x ) = l n x + l n a . Haciendo aqu í x=b, se o b t i e n e

l n ( a b ) + l n a + In a .

Q.E.D.

Coro lar io 4 6 . 4

r S i r e s un número r a c i o n a l y a>O, l n ( a )=r In a . En p a r t i c u l a r ,

l n ( l / a ) = - i n a .

248

Demostración

Procederemos por pasos. Primero probaremos la afirmación para rsN

A s í , tomando b=a en la f6rmula ( A ) del teorema anterior, resulta:

ln(a2)=ln a + In a = 2 In a y, repitiendo este procedimiento, se -- sigue que ln(a )=; In a... ( 1 ) n

-s - 1 Considereinos ahora un entero negativo s . Entonces as=(a ) .

-S s - s S Tomando b = a en (A) se tiene: 0=ln 1 = ln(a a )=in a + ln(a-')

Luego,ln(a )=-in a =-(-s)ln a, pues -s es entero positivo. S -S

Como para s=O evidentemente se cumple ln(a")=O In a, hemos probado

(1) para cualquier entero n.

Finalmente, consideremos cualquier racional r=p/q. Entonces,(a r ) 9- -

(aP/q)S = ap

ciuye: p in a = in ap = in( (a p'q)q) = q in ar => in ar=p/q 1n a = r 1n a.

. Luego, como p y q son enteros, a partir de (1) se con-

Q.E.D

Tomemos a=2 y r=n en la fórmula que acabamos de probar. Resulta

entonces que In 2 = n In 2 4 1 ) De la definición de In, es evidente

que In 2>0; luego, ( 1 ) => In 2n+m, cuando n+a. Como In es una funcihn

n

creciente, esto implica que In x+m cuando x+a ... (2) Puesto que In x = - In , es claro que cuando x+O+ => In x+-*. . . ( 3 ) .

Como f es continua, (2) y ( 3 ) permiten concluir que el rango de In es

IR. -dZ n

Ya clue ax? In x = (i/x)=-l/x2 , el teorema 42.5 indica que

la gráfica de In es una curva cóncava. Teniencto en cuenta estos datos,

enseguida bosquejamos la gráfica de In.

2 4 9

Eiercicios 46

1 .- Calcula el dominio rnáximc, ite f (x)=ln(in x).

Calcula la derivac?!;i de las siguientes funciones:

2. - f (x) =in (x+Jl+x2

3.- g(x)=ln(1+sen2,)

4.- h(x)=x/ln x

47. Función Exponencial

En la secci6n anterior vimos que In es creciente y tlovri5 . todo va-

lor real. En particular, existe un único punto x donde se cumple --- In x=l. Tal número resulta ser muy importante, par lo que se le des8

na especialmente con la letra e, en honor de Euler (1707-1783).

Ya que in:m++ IR es una biyección, existe su función inversa, que

denotaremos por E. A s í , E:IR+IR+ está definida por E(x)=y <=> x=ln y.

Nótese entonces que E(O)=l,pues In 1=O,y E(l)=e pues In e=l.

Reflejando la gráfica de In, se obtiene la de E. A partir de esta

vemos que la función E tiene las siguientes características:

i) E también es creak- L .

ii) lim E ( x ) = m y lim E(+x)=O. X++m x+-m

Teorema 47.1

E(a)E(b)=E(a+b). ( A )

Demostración

Esta propiedad de la función E es consecuencia inmed.iata de la

propiedad señalada en el teorema 4 6 . 3 para la función lq, como veremos

a continuación.

Hagamos w=E(a) y z=E(b) . => ln(wz)=ln w+ In z, por el teorema 4 6 . 3 .

Como w=E(a), la definición de E implica que In w=a; similarmente

In z=b. Luego, ln(wz)=a+b. => wz=E(a+b) . Q.E.D.

251

A partir de ( A ) , tomando a=b, resulta E (2b)=E (b+b) =E (b) E (b) =E (b) '. En general, repitiendo este proceso, obtenemos para nom E(nb)=E(b),,.(l)

Ahora, si s es entero negativo, de nuevo por ( A ) , se c=>ncluye:

E (sb) E (-sb) =E (sb-sb) = E ( O ) =1.

(1) puesto que -s : i~l . De aquí, concluimos E(sb)=(E(b) ).5(2). Si s=O,

n

Luego, E (sb) =E (-sb) -' = ( E (b) -') - ', por

es claro que ( 2 ) es valida, luego ( 2 ) se cumple para todo entero s .

Constleremos ahora un racional r=p/c;. Entonces, como p y q son en-

teros/ aplicando ( 2 ) resulta:

(E(b) )P=E(pb)=E(q-r.b)=&(rb))q. Luego, E(rb)=(E(b)) 'Iq= (E (b) ) r. Hemos

probado as€ que la fdrmula E(rb)=(E(b)).er.(3) es válida para todo r ra-

cional. r r t.omemos b=l en (3). Tendremos así que E(r)=(E(l) ) =e , ya que

E(l)=e. Esto nos indica que los valores E(x) coinciden con la poten-

cia e / definida para x racional. Como para x irracional la expresión

e no está definida,la función E nos proporciona una manera de hacerlo:

a saber eX=E(x).

introduccidn de la sección anterior.

X

X

Nótese que esto resuleve el problema planteado en la

Enseguida, utilizando la nueva notación, enunciamos la f6rmula (A),

as€ como la propiedad de que E es la funcidn inversa de In. In a- (ii) e -a (ii.i) In eb=b a b a+b (i) e e =e

Como E es la función inversa de In, podemos calcular su derivada X por medio del teorema 38.1. Sea x c R , y=e . Entonces

- A X - , 'd ex= + . - 7- = y=€ . Obtenemos así la proposición si- 2p?3 8

guiente.

Teorema 47.2

1 . & ex=ex.-

Nótese que la derivada de la función exponencial coincide con ella

misma. Esta característica es la base de sus múltiples aplicaciones.

252

Aplicando la regla de la cadena, iesd~t+a A el próximo resultado.

Corolario 47.3

Si u es una función derivable s& eU = eU& . (6) d A

Ejemplos

1) Calcula la derivada de f (x)=e sen x

sen x- sen x por la fórmula anterior: I - , & e - e cos x .

2) Calcula la segunda derivada de g(x)=x2e2".

Empleando la fórmula para derivar un producto, as€ como (6) resulta

g' (x) =2xe2x+2x2e2x => g" (x)=2e +4xe + 4xe2X+4x2e2X=(4x2+8x+2)e . Z X 2X 2x

Consideremos ahora un número a>O cualquiera.

Definición

In a Nótese que, como a=e , la definición anterior establece simple- l n a x x i n a mente ax=(e ) =e . En particular, esto indica que

X In a =x In a para todo real x, fórmula que establecimos en el teorema

46.4 pero sólo para valores racionales de x.

Enseguida probamos la otra propiedad importante de los exponentes.

Teorema 47.4 a b ab (e 1 =e .

Demostración a Observemos que e 'O. Entonces, por definición:

a a b-eb ln(e ),eba,eab

( e 1 -

Q.E.D.

253

Supongamos x>O y a-l. Entonces In a>O, X => x In a>O => e In a,1 . = > a >1. Utilizaremos este resultado

en la demostración del teorema 47.7.

Teorema 47.5

i)

ii) si f(x;=x , X > O y s cualquier real, f'(x)=sx . X

, & ax=a In a, a > ~ .

S S-1

Demo s t r ac ión

In a x x l n a x l n a (in a), por la fórmula :) ! A: ax= -,&-(e = 1 -R, e

(6). Luego ax=a In a.

=e

X

+/XI XS In x s- s l n x s i n x -.A-(. in x)Sc/x)e s in x ) - & e = e S ;il& x = :(e

s-1 = sx

Q.E.D.

X La fórmula (i) establece que la funci6n g(x)=a tiene derivada

positiva si In a>O <=> a>l. En este caso g es una función creciente

y por lo tadto invertible. A su inversa se le llama la función lo-

yaritmo base a. De esta manera, podemor calcular el ioqaritrnv hzce

10 ( l o g ) de cualquier ndmero positivo.

Nóteceyla proposición (ii) ya habla sido probada cuando s es ra-

cional. Este resultado nos indica que dicha f6rmula sigue cumplién -

dose también para s irracional.

Cuando se trata de derivar un producto, la propiedad In ab=ln a +

In b, junto con la regla de la cadena, proporciona una manera de ha-

cerlo. A este método se le llama derivación logarítmica y lo emplea -

mos enseguida.

254

Ejemplo

1) Calcula la derivada de f(x)=(l+x2)e 2 -ax

2 2 1 -ax Hagamos y= ( 1+x2 e -ax . Entonces,,ln y = ln(1+x2)+ In (e

= ln(1+x2}-ax2. Derivando, resulta: y'/y = -* -.dX c1 => y '=-+x2 e -ax

= 2xe -2ax(1+x2)e =e (2x-2ax-2ax3) . -ax 2

-2ax ( i+x2 ) e -ax2 -ax2 -ax2

Enseguida estableceremos otra ntanera de definlv el número e.

Teorema 4 7 . 6

1 /h e=lim(l+h) h+O

Demostracidn

Ya que - & In x=l/x, tomando x=l, resulta lim ln(l+h)-ln 1 =

Como la función h-+O h

<=> lirn ln(l+h) = 1, (3 h

E(x)=eX es continua, de (1) se sigue que iim e

1 im ( i+h) 'lh=e. h-tO

lim ln(l+h)l'h=l...(l). h+O h-+O

In (l+h) 'lh=e <=>

h+O

Q.E.D.

Nótese que tomando h=l/n, si n+m => h+O. A s í obtenemos n e=lim(l+l/n) , que es una de las formas acostumbradas para definir e.

n-tm

Con ocho cifras decimales exactas, se ha calculado e=2.7182818. .. n El polinomio f(x)=x tiende a cuando x+-, lo mismo que la función

X exponencial E(x)=e . Una manera de comparar la "velocidad" de estos

crecimientos es por medio del valor lim xn/eX. Enseguida probaremos X'W

que lim xn/eX=O; de lo cual podemos decir que la función exponencial X+Q)

crece más rapidamente que cualquier potencia entera de x. Asímismo

el hecho de que lim In x,/.=O, nos indica que In x crece más lentamen

te que cualquier potencia entera de x, pues x >x si x>l.

- x+Oo x n

255

Teorema 4 7 . 7 n

X i) lim 7 = O , e X-fCD

Demostración XI1 ( i ) Como -+!I e x

_ _ < = > -& -+O, probaremos é s t o ú l t i m o . Supongamos X > I J -

X consideremos l a f u n c i ó n f ( h ) = ( l + h ) , h>O. Por e l teorema de l valor

medio f (h)-f ( 0 ) = f * ( h i ) (h-O) , c o n O<h,<h . Luego:

(l+h) x - l = x ( l + h 1 ) h>,hx, pues ( ; i + h l ) >1. Por l o t a n t o ;

( l + h ) > , l+hx. . . (1).

x- 1 x- 1

X

>1, e 1/2n=l+h, con h:>O. Luego, e x'2n= ( l + h ) X31+hx>hx. 1/2n Como e

E n s e g u i e a , e l e v a n d o a l cuadrado se cumple e x / n & h 2 x 2 . A s í , p a r a x > l X 1

-2= 7 . D e a q u f , es c:Laro que l i m :-=O. X

n-+m x n ' < h x h x

L a segunda a f i r m a c i ó n es c o n ~ e c u e n c i a d e l a p r i m e r a . P a r a ve r i£ i ca r

e s t o , hagamos y = l n x . Entonces x:=eY ys: x-+m => y--. Por e s t a r a z ó n ,

l i m LE = l i m = 0 . X-f" X y-+m e Y

Q.E.D.

E l e r c i c i o s 4 7

1. - Resuelve l a e c u a c i ó n e2x+ex-6=0.

C a l c u l a l a d e r i v a d a d e l a s s i g u i e n t e s f u n c i o n e s : X 2 . - f ( x ) = l n ( l + e )

3.- g ( x ) = e

4 . - Cons ide ra l a f u n c i ó n h ( x ) = e -2x , 0 4 ~ ~ 2 . d o s q u e j a s u g r á f i c a .

e x

X

5 . - Sean a>O y b'O. S i log, b r e p r e s e n t a e l l o g a r i t m o d e b e n l a b a s e a , p rueba que l o g b a = l / l o g , b.

D e t e r m i n a l o s s i g u i e n t e s l í m i t e s :

7 . - l i m ( x In x ) x-+ o+

256

8.- l i m (l+tan't) cotan't t - + O

Se definen las f u n c i o n e s seno hiperbólico y coseno hiperbólico y coch x=ex+e-x, , respectivamente. w 2.

como c e r h ( x ) =

Prueba l a s siguientes igualdades:

9.- senk, ( - x ) = - s ~ . ~ n ( x ) cash (-x)=cosh (x)

10. - coski ( x ) -seni? ( x ) = i

11.- sen\;- (x+y)=senh ( x ) cosh t ( y ) + cosh-I(x) senh (y).

12.- cosb (x) = senh (x) ai% b;: senk ( x ) = cosh (x)

257

Capítulo I

ceccidn 1

2 . - 7 2 . 6 . - x+l. 8.- b) a=O,b=O o a=-b. 3 16 15.- X=T~

7 9.- X1=-1, X2'4. 12.- 4 . sección 3

1.- a) Gustavo, b) David. 4.- C ) 4cA, IO@.

5.- Falsa, falsa, verdadera. 9.- [-1,2).

seccibn 4

1.- a) Falsa: (-2) 3 - 2 ; b) verdadera; c) verdadera; ch) Falsa: -l+(-l)<-l.

2 8.- (1-z 1 1 '7 12.- ( 0 , l I . 1 4 .- (-aO, 0)U (7 1) .

seccidn 5

3.- xc4. 6 . - p-1.

sección 6

1 . - + R ~ 1 < 1 x + 2 1 ~ 4 } . 3.- 9 5.- [2,7].

7 . - A= {-2- 67; - 2 + r , -2 , 0) . 8.- B=(-6,-2N(-1,2).

12.- X G [ - J Z d l

sección 7

1.- a) 170; b) 36; c) 288 . . 2.- b) 1 0 ( . 9 0 2 ) " . 1 1 1 1

3.- Ganó 3 y empató 5. 10.- (1- 7) (1- 7) . (1- z ) ~ a

sección 8

1.- 120. 2.-10. 3.- 21.

s e c c i 6 n 9

1.- sup A=2, i n f A=l. 3.- inf C=-1, sup el. 4.- inf *O, SUP D=2.

25u

sección 11

34 1 - 2 4 9 187 5.- alli ,c) - 90 3 . - V,f,V,f,V. 1.- 99’ -3334, =jt (.3) I (.3) 1696

. -3 6.- 3.m- = -

495 9.- 10 . 10.- inf:O.12,~~p:O.13.

Capítulo I1

secc:iCin 12

2.- (4,Oi

-

sección i.3

L.- -1.

secci6n 14

1. .- x2+ys-8x+12=0.

\ G. 4.- --

8.-

seccibn 15

3.- L= n 6.-

1.- Centro en (1,-3) y radiom.

2 2 11.- - 1 2 9.- x +2x+y -2y-a=0.

3.- S i , no, w, si, no.

15.- (0,O).

l + d 1 - , E 4 I x2= - 10.- XI’ - 4 -

Capftulo I11 -- secc ión 17

l.-O,lrl,O. 3.- a) 1,-1,3,-3,0. 1 1 5.- 3' 3 , g, 1, 2.

s m ' i ó n 18

4.- x(t)=t2-2t:. 3 7 3.- T(x!= - 7 x+2 . 10.- 7 (x)=Ex.

7.- v ( ~ ) = 1 8 0 ~ + 2 1 2 .

seccibn 19 C b 3

1.- 3.- a) (0,O) (1,l) ; b) B = ( - q - l N J ( O , l ) .

4.- b) A=[- 4'- i} ; c) 0,5. - --+x 5

9 1

11.- r2,4

i secc ión 20

5.- a) [- p) : b) O; c) ( ~ $ 5 ) . 9.- a) [-it=); b) E1,2] ;c) E-1

10.- R

secc ión 21

2.- rJo: vq. 4.- tR-[0,1,-2:}.

8.- (3,-2) 9.- 2,3.

s ecc i6n 22

1.- f (CI (x) )=x3-6x +12~-7 , g(f (x) )=x -1. 2 3

secci8q 23

cn 1.- - 6 '

14.- (hr.

\

2.- 5904' . 3.- x=L COSd cosp.

secc ión 24

2. - .im paa- 3.- lbpar.

266

secc ión 25

Capítulo N

secc ión 26

1.- 7550 . 5.- N=106.

secc ión 27

4 1.- - 9 -

secc ión 28

1.- -1.

6.- 2.

9.- ala, b) - aP

15.- O.

s e c c i ó n 30

6 ‘ 1.- 6 =

s e c c i 6 n 31

2.- -6.

secc ión 32

1.- 3.

c e c c i 6 n 33

1.- Doc.

3.- 1. 1 2.7 .

2.- o. 3.- -3.

7.- 1. 8.- No.

10.- a) -1; b) -1. 14.- 2.

2.- 6= 8 1

4.- 1.

!; t l. I

I

6.- ~ 7 .

1 -1 2.- m y una raíz en [O,z],Lpl], [ -2 .5, -1-d - 4.- Es una funci6n constante.

Capítulo v

sección 35 1-2ícos x+sm x) '-- (2-cos x )Z

sección 36

-5 2.- 4:- 4x 3 sen x +x4cos x. 2 (l+xL)

I-- n=?F '

(i-x2) sen x+x ( i+x2) cos x ( 3 x + F

&+2 si x < - i - ~ o x>-~& ( 1 + X 2 l 2 8.- A' ( ~ ) x , - ~ ~ - ~ L si -1- "%X +l+E 6.-

sección 37 1 11

24 2.- (- 2'- -1, (O,-l).

2'

sección 38

2. - 1 c2Jsl-r

sección 39

2.- -1.995

sección 40

1+Lx2 rn 9 . - ( 3x2+1) cos (x3+x)

4.- (3,8). 6 . - b - 2 , C F ~ .

14.- 2 t i ~ l x SE 2 x - 2 ~ 0 t x CSC 2 X 15.- (l,-l), (ill)

sección 41

2.- a) 300 m3/sq

sección 42

18. - ( 3 + 2 u q r2

tJ sección 43

I capftulo VI

sección 45

2.- 2 $-4*-4x '

sección 46

sección 47

1.- x=ln 3 7.- o

BIBLIOGRAFTA

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