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JUAN XXIII CARTUJA MATEMÁTICAS II: ANÁLISIS CURSO 2020-21

SEMINARIO DE MATEMÁTICAS José Escudero Martínez Página 1

BLOQUE TEMÁTICO I

ANÁLISIS

TEMA 0

Repaso de logaritmos, trigonometría y geometría

plana.

TEMA 1

Funciones reales de variable real. Límites y

Continuidad.

TEMA 2

Derivadas y técnicas de derivación.

TEMA 3

Aplicaciones de las derivadas

TEMA 4

Integral indefinida.

TEMA 5

Integral definida.



TEMA 0. REPASO LOGARITMOS, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA PLANA

1ª.- Definición de logaritmo.

2ª.- Propiedades de los logaritmos.

3ª.- Ecuaciones logarítmicas.

4ª.- Gráfica de la función logaritmo.

5ª.- Medidas de ángulos.

6ª.- Razones trigonométricas de un ángulo agudo.

7ª.- Inversas de las razones trigonométricas.

8ª.- Propiedades de las razones trigonométricas.

9ª.- Ecuación fundamental de la trigonometría.

10ª.- Razones trigonométricas de ángulos notables.

11ª.- Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera.

12ª.- Reducción al primer cuadrante.

13ª.- Ecuaciones trigonométricas.

14ª.- Fórmulas de la trigonometría.

15ª- Gráficas de las funciones trigonométricas.

16ª.- Ecuaciones de una recta en el plano.

17ª.- La función cuadrática y su gráfica: La parábola.

18ª.- Ecuaciones bicuadradas.



1ª.- Definición de logaritmo.

Se llama logaritmo en base a (a > 0 y a ≠ 1) de un número positivo x, a otro

número y, que es el exponente al que hay que elevar a para obtener el número x.

loga x = y ay = x

(a > 0; a ≠ 1; x > 0)

A los logaritmos en base 10 (a = 10) se les denomina logaritmos decimales. Su escritura

se abrevia omitiendo la base:

log10 x = log x

A los logaritmos en base e (a = e) se les denomina logaritmos neperianos y se

designan como ln, Ln ó simplemente L:

Loge x = ln x = Ln x = L x

Ejemplo resuelto 0 – 1º

a) log2 4 = 2 porque 22 = 4 b) log2 8 = 3 porque 2

3 = 8

c) log2 1/2 = -1 porque 2-1 = ½ d) log2 2 = 1 porque 2

1 = 2

e) log2 1 = 0 porque 20 = 1 f) log 1 = 0 porque 100 = 1

g) Ln e = 1 porque e1 = e h) log 100 = 2 porque 102 = 100

i) log 0,01 = -2 porque 10-2 = 1/102 = 1/100 = 0,01

j) ln e = 1/2 porque e1/2 = e

Ejercicio 0 – 1º

Sin utilizar la calculadora, halla el valor de los siguientes logaritmos, justificándolo:

a) log2 16 = b) log4 16 = c) log2 ¼ =

d) log 10 = e) log3 1 = f) ln 1 =

g) ln (1/e) = h) log 0,1 = i) Ln e3 =

j) ln 3 e =



2ª.- Propiedades de los logaritmos

Las propiedades de los logaritmos son las siguientes:

1ª.- En cualquier base a, el logaritmo de la unidad siempre vale 0:

loga 1 = 0

2ª.- En cualquier base a, el logaritmo de la base siempre vale 1:

loga a = 1

3ª- En cualquier base, el logaritmo del producto de dos números coincide con la

suma de los logaritmos de dichos números:

loga (A.B) = loga A + loga B

4ª.- En cualquier base, el logaritmo del cociente (división) de dos números

coincide con la resta de los logaritmos de dichos números:

loga (A/B) = loga A - loga B

5ª.- En cualquier base, el logaritmo de una potencia coincide con el producto del

exponente por el logaritmo de la base:

loga An = n.loga A



3ª.- Ecuaciones logarítmicas

Son aquellas ecuaciones en las que la incógnita está en una expresión afectada

por un logaritmo:

2 2a) 5log (x+3)=log 32 ) logx+log50 3 ) 2lnx-ln(10-3x)=0b c

Para resolver una ecuación logarítmica se modifican sus miembros con la ayuda

de las propiedades de los logaritmos hasta conseguir que en cada miembro haya solo un

logaritmo y luego se aplica:

log loga aM N M N

Y se resuelve la ecuación M N .

Es necesario comprobar que las soluciones obtenidas son válidas, ya que no

están definidos los logaritmos de cero ni de números negativos.


Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas:

A) 2 25log (x+3)=log 32

5 5 5 5

2 2 2 25log (x+3)=log 32 log (x+3) =log 32 ( 3) 32 ( 3) 2

( 3) 2 1

x x

x x

Puedes comprobar que x = -1 sí es solución de la ecuación inicial.

B) logx+log50 3

logx+log50 3 log(50 ) 3 log(50 ) log1000 50 1000 20x x x x

Puedes comprobar que x = 20 sí es solución de la ecuación inicial.

C) 2lnx-ln(10-3x)=0

2 22

22

1 2

2lnx-ln(10-3x)=0 lnx -ln(10-3x)=0 ln =0 ln =ln1(10-3x) (10-3x)

=1 3 10 0 2; 5(10-3x)

x x

xx x x x

La solución x = - 5 no es válida porque en la ecuación original aparecería log(-5) que no es válido.



D) |lnx|=1

Esta ecuación con valor absoluto se convierte en dos ecuaciones:

1

ln 1

|lnx|=1 1ln 1

x x e

x x e xe

Las dos soluciones son válidas.

Ejercicio 0 – 2º

Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas:

2) 5log 3log 2log6 ) log(3 5 30) - log(3 8) 1

log 1) log 2 ) |ln( ) | 2

2 2

A x x B x x x

xC D x

SOLUC: A) x = 6 B) 10 y -5/3 C) x = 20 D) x1 = e2 x2 = e

-2 = 1/e

2



4ª.- Gráfica de la función logaritmo



5ª.- Medidas de ángulos

El sistema de medidas angulares más utilizado es el sexagesimal, cuya unidad es

el grado sexagesimal (º). En la calculadora se identifica como “DEG”.

El grado sexagesimal es la noventava parte del ángulo recto, es decir, del ángulo

comprendido entre dos segmentos perpendiculares. Por esta razón al ángulo recto se le da

el valor de 90 grados sexagesimales (90º).

Cada grado sexagesimal se divide en 60 partes iguales llamadas minutos

sexagesimales y cada minuto se divide en 60 partes iguales llamadas segundos

sexagesimales.

El valor de un ángulo en el sistema sexagesimal se puede dar de dos formas:

En forma decimal: 34,5º

En forma compleja: 34º 30’ 0’’

La calculadora te permite pasar de una a otra forma indistintamente.

Sin embargo, en el SI (Sistema Internacional de Unidades), los ángulos se

miden en radianes (rad). En la calculadora se identifica como “RAD”.

Un radián es un ángulo que abarca un arco de circunferencia cuya longitud es

igual a la del radio:

La equivalencia entre grados sexagesimales y radianes es la siguiente:

360º = 2π radianes



Existe un tercer sistema para medir ángulos: el sistema centesimal. En este

sistema el ángulo recto mide 100 grados centesimales, es decir, un grado centesimal el la

centésima parte del ángulo recto. En la calculadora se suele identificar como “GRAD”

Ejercicio 0 – 3º

Completa la siguiente tabla correspondiente a la equivalencia entre grados

sexagesimales y radianes:

ÁNGULOS

GRADOS 0º 90º 180º 270º 45º 30º 60º

RADIANES

GRADOS 150º 120º 135º 2250º 210º 330º 300º

RADIANES



6ª.- Razones trigonométricas de un ángulo agudo

Considera el triángulo rectángulo de la figura, el cual consta de tres lados: dos

catetos (a y b) y la hipotenusa (c); y de tres ángulos: dos agudos (α y β) y uno recto (90º)

β = 90º-α

a c

90º α

b

Se define el seno del ángulo α como el cociente entre las longitudes del cateto

opuesto a dicho ángulo y la hipotenusa:

cateto opuesto

senα=hipotenusa

ac

Se define el coseno del ángulo α como el cociente entre las longitudes del cateto

contiguo a dicho ángulo y la hipotenusa:

cateto contiguo

cosα=hipotenusa

bc

Se define la tangente del ángulo α como el cociente entre su seno y su coseno, es

decir, entre las longitudes del cateto opuesto y el cateto contiguo a dicho ángulo:

cateto opuestotgα=

cos cateto contiguo

asen ac

b bc



7ª.- Inversas de las razones trigonométricas

Se define la cosecante del ángulo α como la inversa del senα, es decir, el cociente

entre las longitudes de la hipotenusa y el cateto opuesto a dicho ángulo:

1 hipotenusacosec =

cateto opuesto

csen a

Se define la secante del ángulo α como la inversa del cosα, es decir, el cociente

entre las longitudes de la hipotenusa y el cateto contiguo a dicho ángulo:

1 hipotenusasecα=

cos cateto contiguo

cb

Se define la cotangente del ángulo α como la inversa de la tgα, es decir, el

cociente entre el cosα y el senα, o sea, el cociente entre las longitudes del cateto contiguo

y el cateto opuesto a dicho ángulo:

1 cos cateto contiguocotgα=

cateto opuesto

bbc

atg sen ac



8ª.- Propiedades de las razones trigonométricas

De la definición de las razones trigonométricas para un ángulo agudo se pueden

deducir múltiples propiedades. Destacamos las siguientes:

1ª.- La definición de seno, coseno y tangente no depende del tamaño del triángulo

elegido, sólo depende de los ángulos

C´´

β=90º-α C´

β=90º-α

C

α

B´´ B´ B A

En efecto los triángulos ABC, AB´C´ y AB´´C´´ son semejantes, es decir, aunque sus lados

no tienen las mismas longitudes, sus ángulos sí son iguales y por tanto la relación entre

sus lados siempre es la misma.

2ª.- Los valores de las tres razones trigonométricas de un ángulo agudo siempre

serán un nº mayor o igual a 0.

3ª.- El seno y el coseno de un ángulo agudo nunca será superior a 1, puesto que

los catetos son menores o iguales que la hipotenusa. La tangente sí.

4ª.- El seno de un ángulo α siempre coincidirá con el coseno de su

complementario β = 90º-α, ya que el cateto opuesto a α es el cateto contiguo a β = 90º-α.

β = 90º-α

a c

90º α

b

cateto opuesto cateto contiguo

senα= cos(90º )hipotenusa hipotenusa

a ac c

5ª.- El coseno de un ángulo α siempre coincidirá con el seno de su

complementario β = 90º-α, ya que el cateto contiguo a α es el cateto opuesto a β = 90º-α.



cateto contiguo cateto opuesto

cosα= (90º )hipotenusa hipotenusa

b bsen

c c

6ª.- La tangente de un ángulo α siempre coincidirá con la cotangente de su

complementario β = 90º-α, ya que el cateto contiguo a α es el cateto opuesto a β = 90º-α y

viceversa.

cos(90º )tgα= cot (90º )

cos (90º )

sen ag

b sen

9ª.- Ecuación fundamental de la trigonometría

Si elevamos al cuadrado el seno y el coseno de un ángulo y sumamos los

resultados siempre obtenemos el mismo valor, la unidad. Veámoslo:

22 2

2 2 2 2 222 2

2 2 2 2 22 2

2

( )cos 1

(cos ) cos

PITÁGORAS

asen sen a b a b Cc sen

b c c c Cc

A este resultado se le conoce como ecuación fundamental de la trigonometría:

2 2cos 1sen

Esta ecuación puede transformarse en otras dos ecuaciones equivalentes. Para ello,

primero dividamos ambos miembros de la ecuación por 2sen :

2 2 2 22 2

2 2 2 2 2

cos 1 cos 11 cos

sen senctg c

sen sen sen sen sen

2 21 cosctg c

Si ahora dividimos la ecuación fundamental de la trigonometría por 2cos :

2 2 2 22 2

2 2 2 2 2

cos 1 cos 11 sec

cos cos cos cos cos

sen sentg c

2 21 sectg c




Sabiendo que α es un ángulo agudo, calcula el resto de sus razones

trigonométricas y sus inversas, a partir del dato que te dan:

A) sen α = 2/3

Aplicamos la ecuación fundamental de la trigonometría y obtenemos el valor del cos α:

2 2 2 2 2 22 4 5 5

cos 1 ( ) cos 1 cos 1 cos cos3 9 9 3

sen

Pero desechamos el valor negativo porque las razones trigonométricas de los ángulos agudos son siempre

positivas.

5

cos3

Ya podemos calcular la tangente y las inversas:

2 / 3 2 2 5

cos 55 / 3 5

sentg

1 3 1 3 3 5 1 cos 5cos c cot

2 cos 5 25ec se g

sen tg sen

B) tg α = 2

Si aplicamos la ecuación equivalente a la ecuación fundamental de la trigonometría

2 21 sectg c obtenemos el valor de la sec α y a continuación cos α:

2 2 2 2 21 sec 2 1 sec 5 sec sec 5tg c c c c

1 5

sec 5 cos55

c

De nuevo hemos desechado el signo negativo al tratarse de un ángulo agudo.

Ahora podemos calcular el sen α y podemos hacerlo con la ecuación fundamental de la

trigonometría o con la definición de tangente:

5 2 5cos . .2

cos 5 5

sentg sen tg sen sen

Calculemos las inversas que nos faltan:



1 5 5 1 1

csc2 22 5

ctgsen tg

Ejercicio 0 – 4º

A) Sabemos que sen α = 1/2 y que α es un ángulo agudo. Calcula el resto de

razones trigonométricas y sus inversas.

B) Sabemos que β es un ángulo agudo y que tg β = 3. Calcula el resto de razones

trigonométricas y sus inversas.

C) Sabemos que 3

3cotg y que α es un ángulo agudo. Calcula las razones

trigonométricas de dicho ángulo y sus inversas.

SOLUC: A) 3 3cos2 3

tg B) 10 3 10

cos10 10

sen

C) 1 3

cos2 2

sen



10ª.- Razones trigonométricas de ángulos notables

Las razones trigonométricas de 0º, 30º, 45º, 60º y 90º se pueden calcular

fácilmente mediante geometría y son tan utilizadas que conviene conocerlas.

10.1 Razones trigonométricas de 45º

Consideremos un cuadrado de 1 m de lado. Si trazamos una cualquiera de sus

dos diagonales obtenemos dos triángulos rectángulos isósceles con los ángulos agudos

iguales y de 45º:

2m 1m

45º

1 m

1 2 1 2

45º ; cos45º ; 45º 12 22 2

cateto opuesto cateto contiguosen tg

hipotenusa hipotenusa

Como vemos el seno y el coseno de 45º valen lo mismo y, por tanto, la tangente vale 1.

10.2 Razones trigonométricas de 30º y 60º

Consideremos un triángulo equilátero de de 2 m de lado. Los tres ángulos son

iguales y valen 60º. Si trazamos la altura de uno cualquiera de sus lados, obtenemos dos

triángulos rectángulos escalenos de los que conocemos sus ángulos agudos que son de

30º y 60º:

60º

2m 60º 2m 2m 30º 30º 2m

60º 60º 60º 3 m 60º

2m 1m 1m

1 3 1 3

30º ; cos30º ; 30º2 2 33

cateto opuesto cateto contiguosen tg

hipotenusa hipotenusa

Como puede comprobarse 60º = 90º - 30º es el ángulo complementario de 30º y, por tanto

cumple las propiedades 4ª, 5ª y 6ª vistas en la pregunta 7ª.

3 1

60º cos30º; cos60º 30º; 60º 3 cot 30º2 2

sen sen tg g



10.3 Razones trigonométricas de 0º y 90º

En este caso lo haremos por aproximación. Consideremos un triángulo rectángulo

y hagamos que el ángulo α vaya disminuyendo hasta hacerse 0º:

c

a α

b

Si disminuimos el ángulo α, el cateto a va disminuyendo y, cuando mas nos aproximemos

a 0º mas se aproximará el valor del cateto a a 0. Cuando α sea 0,º, el cateto a valdrá 0 y

por tanto el sen0º = 0

Del mismo modo, si disminuimos el ángulo α, manteniendo la longitud del cateto b, la

hipotenusa c va disminuyendo y, cuando mas nos aproximemos a 0º mas se aproximará el

valor de la hipotenusa al cateto b. Cuando α sea 0º c y b serán iguales y por tanto el cos0º

= 1

0 0

0º 0; cos0º 1; 0º 01

b ccateto opuesto cateto contiguosen tg

hipotenusa c hipotenusa

Teniendo en cuenta que 90º es el ángulo complementario a 0º, obtenemos:

90º 1

90º cos0º 1; cos90º 0º 0; 90ºcos90º 0

sensen sen tg

En la siguiente tabla se recogen todos los resultados obtenidos:

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS NOTABLES

senα cosα tgα

0º = 0 rad 0 1 0

30º =

6 rad

1

2 3

2

3

3

45º =

4 rad 2

2

2

2 1

60º =

3 rad 3

2

1

2 3

90º =

2 rad 1 0 ∞



11ª.- Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera

Hasta ahora hemos hablado solo de ángulos agudos (de 0º a 90º). Pero también

hay ángulos mayores de 90º y ángulos negativos.

Para representar cualquier ángulo (ángulos comprendidos entre 0º y 360º, ángulos

mayores de 360º y ángulos negativos) se utiliza la denominada circunferencia

goniométrica, es decir, una circunferencia de radio la unidad y centrada en el origen de

coordenadas cartesiano.

Los ángulos se representan siempre partiendo del semieje positivo de las x y se

consideran positivos si se miden en sentido contrario a las agujas del reloj y negativos

cuando se miden en el sentido de las agujas del reloj.

1 m ángulo positivo

α

O

ángulo negativo

Utilizando esta representación, a cualquier punto de la circunferencia goniométrica

se le puede asociar con un ángulo positivo entre 0º y 360º, llamado ángulo reducido o a un

ángulo negativo.

Cada punto de la circunferencia goniométrica también representa a cualquier

ángulo que sea igual al ángulo reducido más un múltiplo entero de 360º (ó 2π radianes)

1 m α, α + 360º, α + 2.360º, … (α + n.360º ó α + n.2π rad)

α

O

Según el valor del ángulo reducido α el plano se divide en cuatro zonas o

cuadrantes:



90º π/2 rad

2º cuad. 1er

cuad

180º = π rad O 0º = 0 rad

3er

cuad. 4º cuad

270º 3π/2 rad

Primer cuadrante Segundo cuadrante Tercer cuadrante Cuarto cuadrante

0º < α < 90º

0 < α < π/2 rad

90º < α < 180º

π/2 < α < π rad

180º < α < 270º

π < α < 3π/2 rad

270º < α < 360º

3π/2 < α < 2π rad

Si representamos un ángulo del primer cuadrante en la circunferencia

goniométrica y aplicamos la definición de seno y coseno, podemos observar que la

ordenada del punto A coincide con el valor del seno del ángulo α y la abscisa coincide con

el valor del coseno.

La tangente del ángulo α, aplicando el Teorema de Tales a triángulos semejantes,

correspondería con la longitud del segmento verde.

A tgα A = (x, y)

cosxy sen

1 α y = senα

O x = cosα

Esta nueva definición de las razones trigonométricas a través de las coordenadas

de los puntos de la circunferencia goniométrica se puede extender a cualquier ángulo sea

o no agudo.

De esta nueva definición mediante coordenadas se pueden deducir múltiples

consecuencias:

1ª.- Por ejemplo, podemos deducir fácilmente las razones trigonométricas de los

ángulos que separan a los diferentes cuadrantes:



B = (0,1)

cos90º 0

90º 1

90º

xy sen

tg

cos180º 1

180º 0

180º 0

xy sen

tg C = (-1,0)

A = (1,0)

cos360º 1

360º 0

360º 0

xy sen

tg

D = (0,-1)

cos270º 0

270º 1

270º

xy sen

tg

2ª.- También podemos deducir cuales serán los signos de las razones

trigonométricas en los diferentes cuadrantes:

cos 0

0

0

xy sen

tgB = (x,y) A = (x,y)

cos 0

0

0

xy sen

tg

cos 0

0

0

xy sen

tgC = (x,y) D = (x,y)

cos 0

0

0

xy sen

tg

cuadrante ángulo α abscisa ordenada senα Cosα Tgα

1º 0º < α < 90º + + + + +

2º 90º < α < 180º - + + - -

3º 180º < α < 270º - - - - +

4º 270º < α < 360º + - - + -

0º

90º

180º

270º



3ª.- Los valores del seno y del coseno de cualquier ángulo siempre estarán

comprendidos entre los valores -1 y 1, es decir, no pueden valer ni más de 1, ni menos de -

1. La tangente puede tomar cualquier valor real.

4ª.- También podemos descubrir que un ángulo α y cualquier otro ángulo que

difiera de él en un nº entero de vueltas (α + n.360º ó α + n.2π rad) tienen las mismas

razones trigonométricas:

A tgα A = (x, y)

( 0,1, 2, ...)

cos cos( .360º )

( .360º )

( .360º ) n

x ny sen sen n

tg tg n

1 α y = senα

O x = cosα

5ª.- También podemos observar que hay dos ángulos reducidos de diferentes

cuadrantes que comparten algunas razones trigonométricas:

cos(180º ) cos

(180º ) ( , )

(180º )

xsen y sen B x y

tg tg

cos 0

( , ) 0

0

xA x y y sen

tg

xsen y sen C x y

tg tg

cos(180º ) cos

(180º ) ( , )

(180º )

cos(360º ) cos

( , ) (360º )

(360º )

xD x y sen y sen

tg tg

Esta propiedad es importante tenerla en cuenta cuando se resuelven ecuaciones

trigonométricas.



Ejercicio 0 – 5º

A) Sabemos que sen α = -1/2 y que α es un ángulo del cuarto cuadrante. Calcula

el resto de razones trigonométricas y sus inversas.

B) Sabemos que β > 90º y que tg β = 3. Calcula el resto de razones

trigonométricas y sus inversas.

C) Sabemos que 3

3cotg y que su seno el positivo. Calcula las razones

trigonométricas de dicho ángulo y sus inversas.

IMPORTANTE: Ten en cuenta en qué cuadrante están los ángulos para poner los

signos adecuados a las razones trigonométricas.

SOLUC: A) 3 3cos2 3

tg B) 10 3 10

cos10 10

sen

C) 1 3

cos2 2

sen



12ª.- Reducción al primer cuadrante

La consecuencia última de la pregunta anterior permite calcular las razones

trigonométricas de cualquier ángulo no agudo a partir de las razones trigonométricas de

uno del primer cuadrante, es decir, de uno que sea agudo.

12.1 Ángulos suplementarios

Dos α y β ángulos son suplementarios si suman 180º, es decir, β = 180º - α.

En la figura pueden observarse un ángulo agudo α (1er cuadrante) y su suplementario β =

180º - α (2º cuadrante) y la relación que existe entre las razones

trigonométricas de ambos ángulos:

12.2 Ángulos que difieren en 180º

En la figura pueden observarse un ángulo agudo α (1er cuadrante) y un ángulo β que difiere

de él en 180º (β = 180º + α) y que es del 3er cuadrante. La relación que existe entre las

razones trigonométricas de ambos ángulos es:

sen (π+α)

sen (π- α)

cos α

cos (π-α)

sen α

tg (π- α)

tg α

cos α

sen α cos (π+α)

tg (π+α)

tg α

sen (180º - α) = sen α

cos (180º - α) = - cos α

tg (180º - α) = - tg α

sen (180º + α) = - sen α

cos (180º + α) = - cos α

tg (180º + α) = tg α



12.3 Ángulos que suman 360º

En la figura pueden observarse un ángulo agudo α (1er cuadrante) y un ángulo β que suma

con él 360º (β = 360º - α) y que es del 4º cuadrante.

La relación que existe entre las razones trigonométricas de ambos ángulos es:

12.4 Ángulos negativos (ángulos opuestos)

En la figura pueden observarse un ángulo agudo α (1er cuadrante) y su ángulo opuesto - α

que es del 4º cuadrante.

La relación que existe entre las razones trigonométricas de ambos ángulos es:

12.5 Ángulos mayores de 360º

Como ya se dijo las razones trigonométricas de un ángulo mayor de 360º son las mismas

que las de su ángulo reducido correspondiente.

cos α

cos (2π-α

sen (2π-α)

sen α tg α

tg (2π-α)

α

sen α

sen (-α)

cos α

cos (-α)

tg α

tg (-α)

sen (360º - α) = - sen α

cos (360º - α) = cosα

tg (360º - α) = - tg α

sen (- α) = - sen α

cos (- α) = cos α

tg (- α) = - tg α



13ª.- Ecuaciones trigonométricas

Son ecuaciones en las que la incógnita se ve afectada por las razones

trigonométricas.


Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas dando todas las soluciones

positivas que sean posibles. Exprésalas en grados sexagesimales y en radianes:

A) 1

2senx

1

( 0,1, 2, ...)

1

30º .360º .21 1 6

( )2 2 5

150º .360º .26

n

x n ó n radsenx x arcsen

x n ó n rad

B) 1tgx

1

( 0,1, 2, ...)

1

45º .360º .24

1 (1)5

225º .360º .24

n

x n ó n radtgx x arctg

x n ó n rad

C) cos 1x

( 0,1, 2, ...)1cos 1 arccos( 1) 180º .360º .2 nx x x n n rad

D) 3

2senx

1

( 0,1, 2, ...)

1

60º .360º .23 3 3

s arc ( )2 2 2

120º .360º .23

n

x n n radenx x sen

x n n rad



E) 2 5cos

4sen x x

2 2 2 25 5

cos 1 cos cos 4 4cos 4cos 5 4cos 4cos 1 04 4

sen x x x x x x x x

Como vemos hemos obtenido una ecuación de 2º grado en cosx que podemos resolver

222 4 4 4.( 4).( 1)4 4 0 14cos 4cos 1 0 cos

2 2.( 4) 8 2

b b acx x x

a

1

( 0,1, 2, ...)

2

260º .360º .2

1 1 3cos cos( )

2 2 5300º .360º .2

3

n

x n n radSi x x arco

x n n rad

F) x x2cos 3cos 2 0

222 3 ( 3) 4..1.24 3 1 cos 2( )cos 3cos 2 0 cos

cos 12 2.1 2

b b ac x imposiblex x x

xa

El primer valor es imposible pues el cosen de un ángulo está comprendido entre -1 y 1.

( 0,1, 2, ...)cos 1 cos(1) 0º .360º .2 nSi x x arco x n n rad

G) 2cos 1 0x

2 2 2cos 1 0 cos 1 cos 1 cos 1x x x x

( 0,1, 2, ...)

cos 1 arccos(1) 0º .360º .2

cos 1 arccos( 1) 180º .360º .2n

Si x x x n n rad

Si x x x n n rad



Ejercicio 0 – 6º

Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas dando todas las soluciones

positivas que sean posibles. Exprésalas en grados sexagesimales y en radianes:

2 2 2) 2 1 ) 1 ) 0 ) 1A sen x B tgx C tg x tgx D sen x

2 2 2) 2cos cos 1 ) ) cos 1E x x F senx tgx G sen x x

2) 2cos 1H x senx

SOLUC: A)

1 2

( 0,1, 2, ...)

3 4

345º .360º .2 135º .360º .2

4 4

5 7225º .360º .2 315º .360º .2

4 4

n

x n n rad x n n rad

x n n rad x n n rad

B)

1

( 0,1, 2, ...)

2

3135º .360º .2

4

7315º .360º .2

4

n

x n n rad

x n n rad

C)

1 2

( 0,1, 2, ...)

3 4

0º .360º .2 180º .360º .2

545º .360º .2 225º .360º .2

4 4

n

x n n rad x n n rad

x n n rad x n n rad D)

1

( 0,1, 2, ...)

2

90º .360º .22

3270º .360º .2

2

n

x n n rad

x n n rad

E)

1

( 0,1, 2, ...)2

3

60º .360º .23

5300º .360º .2

3

180º .360º .2

n

x n n rad

x n n rad

x n n rad

F)

1( 0,1, 2, ...)

2

0º .360º .2

180º .360º .2n

x n n rad

x n n rad

G)

1

( 0,1, 2, ...)

2

90º .360º .22

3270º .360º .2

2

n

x n n rad

x n n rad

H)

n

x n n rad

x n n rad

x n n rad

1

( 0,1, 2, ...)2

3

7210º .360º .2

6

11330º .360º .2

6

90º .360º .22



14ª.- Fórmulas de la trigonometría

14.1 Razones trigonométricas de la suma de dos ángulos

( ) cos cossen sen sen

cos( ) cos cos sen sen

( )

1

tg tgtg

tg tg

14.2 Razones trigonométricas de la resta de dos ángulos

( ) cos cossen sen sen

cos( ) cos cos sen sen

( )

1

tg tgtg

tg tg

14.3 Razones trigonométricas del ángulo doble

(2 ) 2 cossen sen

2 2 2 2cos(2 ) cos 1 2 2cos 1sen sen

22

(2 )1

tgtg

tg



14.4 Transformación en productos de la suma y resta de senos y cosenos

2 cos

2 2

A B A BsenA senB sen

2cos

2 2

A B A BsenA senB sen

cos cos 2cos cos

2 2

A B A BA B

cos cos 2

2 2

A B A BA B sen sen

15ª.- Gráficas de las funciones trigonométricas

Las gráficas de las funciones trigonométricas:

f(x) = sen x g(x) = cos x h(x) = tg x

podemos construirlas mediante una tabla de valores adecuados y teniendo en cuenta que

sus valores se repiten cada vuelta, cada 360º, es decir, cada 2π radianes. También

podemos ayudarnos de la interpretación gráfica de estos valores en la circunferencia

goniométrica:

X f(x) = sen x g(x) = cos x (x) = tg x

0º = 0 rad 0 1 0

90º = π/2 rad 1 0

180º = π rad 0 -1 0

270º = 3π/2 rad -1 0

360º = 2π rad 0 1 0



f(x) = sen x



g(x) = cos x

h(x) = tg x



16ª.- Ecuaciones de una recta en el plano.

Para escribir las diferentes expresiones de la ecuación de una recta r en el plano,

necesitamos un punto cualquiera P = (x0, y0) de la recta y un vector cualquiera

u = (ux, uy) paralelo a dicha recta llamado VECTOR DIRECTOR O VECTOR DIRECCIÓN.

u = (ux, uy)

. P = (x0, y0)

r

IMPORTANTE:

1º.- Como punto P, sirve cualquier punto de la recta.

2º.- No hay un único vector director de la recta, hay infinitos, y todos ellos son

proporcionales entre sí (LD). Por esta razón siempre podremos elegir, de entre todos ellos, a aquel vector que tenga las coordenadas más sencillas.

3º.- A veces, sólo nos dan dos puntos A = (x0, y0) y B = (x1, y1) de la recta. En

este caso nosotros siempre podemos hallar como vector director de la recta al vector

AB = (x1 - x0, y1 - y0) ó cualquiera proporcional a él, y como punto P a uno de los dos puntos: A ó B.

B .

A .

AB =B - A

r

Una recta en el plano puede describirse mediante diferentes ecuaciones. Nosotros vamos a recordar tres de ellas:

Ecuación explícita

Ecuación punto pendiente

Ecuación general



Ecuación explícita

y mx n

“m” es la PENDIENTE DE LA RECTA, es la tangente del ángulo que forma la recta con el eje de abscisas y nos indica la inclinación de la recta.

Si m > 0, la recta es creciente.

Si m < 0, la recta es decreciente.

Si m = 0, la recta es horizontal (paralela al eje de abscisas).

“n” es la ORDENADA EN EL ORIGEN, es decir, la altura a la que corta la recta al eje de ordenadas.

Si n > 0, la recta corta al eje y por encima del origen de coordenadas.

Si n < 0, la recta corta al eje y por debajo del origen de coordenadas.

Si n = 0, la recta pasa por el origen de coordenadas.

n > 0

n = 0 n > 0

n < 0 n = 0

n < 0

Rectas con pendiente positiva (m > 0) Rectas con pendiente negativa (m < 0)

Ecuación en forma punto pendiente

y y m x x0 0

( )

Ecuación en forma general

Si en cualquiera de las dos ecuaciones anteriores agrupamos todos los términos en el primer miembro y ordenamos quedaría de la forma:

ax by c 0



17ª.- La función cuadrática y su gráfica: La parábola

Se denomina FUNCIÓN CUADRÁTICA a aquella función cuya expresión analítica es un polinomio de segundo grado, es decir, a la expresión:

f(x) = ax2 + bx + c o bien y = ax2 + bx + c con a ≠ 0 La representación gráfica de la función cuadrática es una PARÁBOLA.

La parábola tiene los siguientes elementos: ramas, vértice, eje de simetría, puntos de corte con el eje de abscisas y punto de corte con el eje de ordenadas (véase figura)

El signo del coeficiente del monomio de segundo grado, es decir, el signo de a, nos

indica si la parábola tiene sus ramas hacia arriba (el vértice es un mínimo) o hacia abajo (el

vértice es un máximo)



La forma de la parábola de funciones cuadráticas sencillas es fácil de representar. Por

ejemplo:

Cuando la forma de la parábola no sea tan inmediata, para dibujar la parábola, podemos

calcular los puntos siguientes:

Coordenadas del vértice

La abscisa del vértice de la parábola es b

xa0 2

; para calcular la ordenada

sustituimos este valor en la función, ( )2

bf

a .

Puntos de corte con los ejes

Con el eje OX: y ax bx c20 0

Con el eje OY: x y c Punto c0 0,

La parábola puede tener dos puntos de

corte con el eje de abscisas, uno sólo o ninguno. Esto depende del signo del signo del discriminante (∆ = b2 – 4ac) de

la ecuación de segundo grado que hay que resolver para hallar las abscisas de dichos puntos.

Independientemente de si el vértice es un mínimo o un máximo, la parábola, con el

eje de ordenadas, siempre tendrá un punto de corte y este será el punto de coordenadas (0, c)

Observa que una vez localizada la abscisa del vértice, podemos construir la forma de la

parábola creando una tabla con valores de la abscisa a ambos lados del vértice.



18ª.- Ecuaciones bicuadradas

Una ecuación bicuadrada es una ecuación de cuarto grado que no tiene los monomios de grado impar, es decir, una ecuación del tipo:

4 2 0 ( 0)ax bx c a

Para resolver este tipo de ecuaciones se hace un cambio de variable para convertirlas en

ecuaciones de 2º grado en la nueva variable.

2 4 2Si x t x t

Resolvemos la ecuación de 2º grado en la nueva variable y, a continuación, los valores permitidos de la variable x.

Supongamos que hemos resuelto la ecuación de 2º grado en t y que sus soluciones son t1 y t2. Pero como:

1 1

2 12

3 2

4 2

x t

x tSi x t x t

x t

x t

Es decir, obtenemos las cuatro soluciones de la ecuación inicial, la ecuación bicuadrada:

CONSIDERACIONES SOBRE LAS SOLUCIONES

- Si t1 = 0, en vez de dos soluciones (una raíz negativa y una positiva) tendremos

sólo una: x = 0.

Ocurre lo mismo si t2 = 0.

- Si t1 < 0, entonces no proporciona ninguna solución ya que no existen las raíces

negativas.

Ocurre lo mismo para t2 < 0.



NÚMERO DE SOLUCIONES DE UNA ECUACIÓN BICUADRADA

El número de soluciones reales de una ecuación bicuadrada depende de los valores de t1 y t2 y pueden ser:

- Ninguna solución: si t1 < 0 y t2 < 0

Por ejemplo, la ecuación x4 + 4x2 + 4 = 0

- Cuatro soluciones distintas: si t1 > 0 t2 > 0 y t1 ≠ t2

Por ejemplo, la ecuación x4 - 3x2 + 2 = 0

- Tres soluciones distintas: si t1 = 0 y t2 > 0 (o al contrario)

Por ejemplo, la ecuación x4 - 3x2 = 0

- Dos soluciones distintas si t1 < 0 y t2 > 0 (o al contrario)

Por ejemplo, la ecuación x4 - x2 - 2 = 0

- Una única solución si t1 = 0 y t2 < 0 (o al contrario)

Por ejemplo, la ecuación x4 + 3x2 = 0

Ejercicio 0 – 7º

Resuelve las siguientes ecuaciones bicuadradas:

a) x4 - 25x2 + 144 = 0 (SOLUC: ± 4, ± 3) b) 4x4 + 19x2 - 5 = 0 (SOLUC: ± 1/2) c) 9x4 - 40x2 + 16 = 0 (SOLUC: ± 2, ± 2/3) d) x4 + 5x2 + 4 = 0 (SOLUC: No tiene) e) x4 + 3x2 - 10 = 0 (SOLUC: 2 )

f) x4 - 9x2 = 0 (SOLUC: 0, ± 3) g) x4 + 9x2 = 0 (SOLUC: 0)



TEMA 1. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL. LIMITES Y CONTINUIDAD

1ª.- Funciones reales de variable real.

2ª.- Dominio de definición de una función: Cálculo.

3ª.- Límite de una función en un punto: Definición y cálculo.

4ª.- Límites laterales.

5ª.- Propiedades algebraicas de los límites.

6ª.- Límite de una función en el infinito: Definición y cálculo.

7ª.- Indeterminaciones.

8ª.- Regla de L’Hôpital.

9ª.- Asíntotas.

10ª.- Continuidad de una función.

11ª.-Teorema de Bolzano (o Teorema de los ceros de una función).

12ª.- Teorema de Weierstrass.



1ª.- Funciones reales

Una función es una relación de dependencia

entre dos conjuntos en la que a cada elemento x del

conjunto inicial le corresponde un único elemento y

del conjunto final. Se simboliza mediante la notación:

:

( )

f A Bx y f x

Si A y B son conjuntos de números reales, se habla de función real de variable

real.

La expresión gráfica de una función permite interpretar

algunas de sus características, como monotonías, extremos

relativos, continuidad, etc. Sin embargo, esta forma de

expresión presenta generalmente mucha dificultad para

encontrar la ley matemática que la define.

No todas las gráficas corresponden a una función; para que así sea, a cada valor de

x debe corresponderle un único valor de y. Así estas gráficas no corresponden a una

función:

Las funciones las podemos clasificar en:

Algebraicas:

Constantes: f x ( ) 2

Polinómicas: f x x x 2( ) 3 5 7

Racionales: x

f xx

( )2

Irracionales: f x x 2( ) 4

Transcendentes:

Exponenciales: xf x 2( ) 3

Logarítmicas: f x x ( ) log( 7)

Trigonométricas: f x senx g x x h x tg x( ) ( ) cos ( ) (3 6)

Empíricas (definidas a trozos o ramas)



2 2 05 2( ) ( ) 1

1 2 0

x si xx si x

f x g xsi x si x

x

IMPORTANTE: Las funciones valor absoluto pueden ser expresadas analíticamente

mediante funciones a trozos (o por ramas).


Expresa las siguientes funciones mediante una función a trozos (o por ramas)

A) ( )f x x x

0

x x x

x x 2( )x x x

2.x x x

2

2

0( )

0

x si xf x x x

x si x

B) ( ) 2 5f x x x

-5 2

2x 2x 2x

2x

5 x 5 x

5 x

5 x

2 5x x

( 2) ( 5 ) 7x x

2 3x

7

7 5

( ) 2 5 2 3 5 2

7 2

xf x x x x x

x



2) ( ) 9C f x x

-3 3

2 9x

2 9x

2 9x

2 9x

2

2 2

2

9 3

( ) 9 9 3 3

9 3

x xf x x x x

x x

Ejercicio 1 – 1º

Expresa a las siguientes funciones mediante una función por partes:

a f x x b g x x x c h x x x

d f x x e g x x x f g x x x2 2 2) ( ) ) ( ) 2 1 ) ( ) 5

) ( ) 1 ) ( ) 5 2 ) ( )

2ª.- Dominio de definición de una función. Cálculo.

Se llama dominio de definición de una función al conjunto de números reales que

puede tomar la variable independiente, x, para los cuales está definida la función.

( ) | ( )Dom f x x R f x R

Se llama recorrido o imagen de una función al

conjunto de números reales que toma la variable

dependiente. Mientras que el dominio lo buscamos en el

conjunto inicial, el recorrido lo buscaremos en el conjunto

final.


Analiza y describe, en las siguientes funciones reales dadas mediante sus gráficas, el dominio y el recorrido.



a) b)

( ) , 3 3,

Im ( ) 7,5

Dom f x

f x

Dom g x R

Im g x

( ) 4

( ) 5,

Ejercicio 1 – 2º

Asocia cada gráfica con su dominio

Como acabamos de ver, si conocemos la gráfica de una función f(x), podemos

descubrir fácilmente su dominio y su recorrido.

Veamos ahora como hallar el dominio de una función si conocemos su expresión

analítica:

a) Polinómicas

Son aquellas cuya expresión analítica es un polinomio. Su dominio coincide con el

conjunto de los números reales, ( )Dom f x R .

b) Racionales

Son aquellas cuya expresión analítica es una fracción algebraica, es decir, el

cociente entre dos polinomios: ( )

( )( )

P xf x

Q x

El dominio es el conjunto de los números reales, excluidos los números para los que

se anule el denominador (ceros o raíces):



Dom f x R x R Q x ( ) | ( ) 0

valores que anulan el denominadorDom f ( x ) R


Dada la función x

f xx

( )2

, su dominio es Dom f x R( ) 2 , ya que el número 2 es el cero del denominador.

Ejercicio 1 – 3º

Calcula el dominio de las siguientes funciones:

2

2 3

2

3 1 4 3 4 2) ( ) ) ( ) ) ( )

2 4 2 4

) ( ) 3 7 ) ( ) 5 2

x x x xa f x b f x c f x

x x x x x x

d f x x e f x x x

c) Irracionales

Son aquellas cuya expresión matemática presenta un radical: ( ) ( )nf x g x

Si n es impar, el dominio de f(x) coincide con el dominio de g(x):

( ) ( )Dom f x Dom g x

Si n es par, el dominio de f(x) es el conjunto de los números reales tales que

( ) 0g x :

0( ) | ( )Dom f x x R g x




Dadas las siguientes funciones reales, hallar su dominio

A) Dada la función f x x 53( ) 2 , su dominio coincide con el de la función x 5 2que son todos los números reales ( ( )Dom f x R )

B) Dada la función f x

x

7

1( )

3, su dominio coincide con el de la función

x1

3que, al

ser una función racional, son todos los números reales salvo los que anulan a su

denominador (es

Dom f x R( ) 3 .

C) f x x 2( ) 4

El dominio de f(x) serán el conjunto de números reales que hacen al radicando mayor o

igual que cero y, por tanto, coinciden con las soluciones de la inecuación x 2 4 0 Resolvemos la inecuación de segundo grado anterior y descubrimos que sus soluciones

son: , 2 2, ( 2,2)R Por tanto:

Dom f x R( ) , 2 2, ( 2,2) .

D)

xg x

x5

( )7

El dominio de g(x) serán el conjunto de números reales que hacen al radicando mayor o

igual que cero y, por tanto, coinciden con las soluciones de la inecuación

xx

50

7

Resolvemos la inecuación racional anterior y descubrimos que sus soluciones son:

,5 7, (5,7]R Por tanto

( ) ,5 7, (5,7]Dom g x R

Ejercicio 1 – 4º

Halla el dominio de las siguientes funciones:

2

2

2) ( ) 13 ) ( ) 2 18 ) ( )

2 16 24

3 6 1) ( ) 4 3 ) ( ) ) ( )

1 3

xa f x x b f x x c f x

x x

x xd g x x x e h x f g x

x x



d) Exponenciales

Son aquellas en las que la incógnita se encuentra en el exponente: ( )( ) g xf x a ,

con a > 0 y a ≠ 1.

El dominio de estas funciones coincide con el dominio de g(x):

( ) ( )Dom f x Dom g x


A) Dada la función xf x 2( ) 3 , su dominio es ( )Dom f x R .

B) Dada la función xf x 3

5( ) 7 , su dominio es Dom f x R( ) 5 .

e) Logarítmicas

Son aquellas en las que la incógnita se encuentra dentro de una expresión

logarítmica: ( ) log ( )af x g x , con a > 0 y a ≠ 1.

El dominio de estas funciones, es el subconjunto de los números reales tales que

hacen g(x) positivo (g(x) > 0):

0( ) | ( )Dom f x x R g x

Recuerda que no se pueden calcular logaritmos de números negativos ni tampoco

está definido el logaritmo de 0.


Dada la función ( ) log( 7)f x x , su dominio coincide con las soluciones de la

inecuación 7 0x cuyas soluciones son: 7x Por tanto:

Dom f x ( ) 7,

Ejercicio 1 – 5º

Calcula el dominio de las siguientes funciones:

x

xa f x x b f x x x c f x

xx x

d f x e f x f f xx xx x

g f x

2

2 22

7

2) ( ) 2 ) ( ) 2 ) ( )

11 2 6 5

) ( ) ) ( ) ) ( ) log25 1 62

) ( ) 7



f) Definidas a trozos

En este tipo de funciones la expresión analítica depende de los tramos del dominio

en los que se encuentre la variable independiente.


Halla el dominio de definición de las siguientes funciones:

xx

x si x x si xA f x B g xx

si x si xx

2

7

2 8

5 2 1 0) ( ) ) ( )7

2 5 02 6

A) El dominio de definición de la función x2- 5 es todo R y por tanto también lo será el intervalo (-∞,2] que es donde está definida la rama x2- 5

El dominio de definición de la función

xx

7

2 6 es R 3 y cómo esta rama está definida

para x > 2 habrá que eliminar el nº x = 3

Por tanto

Dom f x R( ) 3

B) El dominio de definición de la función x1 es el intervalo (-∞,1] y por tanto también lo

será el intervalo (-∞,0] que es donde está definida la rama x1

El dominio de definición de la función

7

2 85x

x es R 4 y como esta rama está definida para x > 0 habrá que eliminar el nº x = 4.

Por tanto

Dom g x R( ) 4



3ª.- Límite de una función en un punto: Definición y

cálculo

Límite de una función f(x) en un punto de abscisa x = a es el valor hacia el que

tiende o se aproxima la función f(x) cuando a la variable independiente x le vamos dando

valores cada vez más próximos a a.

Escribiremos:

lim ( )x a

f x L

lim ( )x a

f x

lim ( )x a

f x

lim ( )x a

f x No existe

Este límite puede existir o no existir y, si existe, puede valer un número real L, puede valer

+ ó - tal y como se puede observar en las gráficas de las funciones siguientes:

f(x) f(x) f(x)

5

0 a 0 a 0 a

lim ( ) 5

x af x

lim ( )

x af x

lim ( )

x af x

1

lim ( ) 2x

f x

2

lim ( ) 2lim ( )

lim ( ) 3x a

x ax a

f xf x No existe

f x -3

Los límites laterales no coinciden

2

0 a a



lim ( )lim ( )

lim ( )x a

x ax a

f xf x No existe

f x

lim ( )lim ( )

lim ( ) 2x a

x ax a

f xf x No existe

f x

Los límites laterales no coinciden Los límites laterales no coinciden

Como hemos tenido la oportunidad de comprobar en los ejemplos anteriores, el

límite de una función f(x) en un punto de abscisa x = a es “relativamente” fácil de calcular si

conocemos la gráfica de la función. Pero, ¿qué ocurre si lo que conocemos es la expresión

analítica de la función f(x)? En estos casos para calcular el límite de una función f(x) en un

punto de abscisa x = a, sustituimos a en la función f(x). Según que el resultado tenga

sentido o no, existen dos posibilidades:

1ª.- Si x = a SI pertenece al dominio de f(x) y f(x) NO es una función por partes

entonces obtenemos f(a) que es un número real, que será el valor del límite.


Calcula el límite de las siguientes funciones en los valores que se indican:

2) ( ) 2A f x x cuando x

2 22 2

. : lim ( ) lim 2 4x x

Sol f x x

) ( ) 13

xB f x cuando x

x

1 1

1 1. : lim ( ) lim

3 1 3 2x xx

Sol f xx

) ( ) 0xC f x e cuando x

00 0

. : lim ( ) lim 1xx x

Sol f x e e

) ( ) ( )D f x Ln x cuando x e

. : lim ( ) lim ( ) ( ) 1x e x e

Sol f x Ln x Ln e

1) ( ) ( ) 1xE f x e Ln x cuando x

1 1 1 21 1

. : lim ( ) lim ( ) (1) .0 0xx x

Sol f x e Ln x e Ln e

2ª.- Si x = a SI/NO pertenece al dominio de f(x) y f(x) SI es una función por

partes entonces procederemos del siguiente modo.

Sea f x si x c

f xf x si x c

1

2

( )( )

( ), consideraremos dos casos:

Cálculo de lim f(x) en el punto de ruptura



Para calcular x c

f x

lim ( ) calcularemos x c x c

f x f c y f x f c

1 2lim ( ) ( ) lim ( ) ( ) . Si

coinciden, éste es el valor del límite. Si no coinciden, éste límite no existe.

Cálculo de lim f(x) en otro punto cualquiera del dominio

Para hallar x a

f x

lim ( ) , a ≠ c, procederemos así:

Si a < c entonces x a

f x f a

1lim ( ) ( )

Si a > c entonces

x a

f x f a2lim ( ) ( )


Hallar los límites de la función f(x) en los puntos 3, 1 y 7:

2 5 3( )

7 3x si x

f xx si x

A) x = 3 es la abscisa del punto de ruptura de la función f(x), por tanto estudiamos los límites laterales

3 3

33 33 3

lim ( ) lim (2 5) 2.3 5 1lim ( ) 1 lim ( ) 4 lim ( )

lim ( ) lim ( 7) 3 7 4x x

xx xx x

f x xf x f x f x No existe

f x x

B) x = 1 pertenece a la primera rama. Por tanto:

1 1

lim ( ) lim(2 5) 2.1 5 3x x

f x x

C) x = 7 pertenece a la segunda rama. Por tanto:

7 7

lim ( ) lim( 7) 7 7 0x x

f x x


Hallar el límite de la función g(x) en x = 0

5 0( ) 1

0

x si xg x

si xx

x = 0 es la abscisa del punto de ruptura de la función f(x), por tanto estudiamos los límites laterales

0 0

00 0

0 0

lim ( ) lim ( 5) 0 5 5

lim ( ) 5 lim ( ) lim ( )1 1lim ( ) lim

0

x x

xx x

x x

g x x

g x g x g x No existeg x

x


Halla el 1lim ( )

xh x , siendo:

1( ) 11

xsi xh x x

x si x



x = -1 es la abscisa del punto de ruptura de la función f(x). Por tanto estudiamos los límites laterales. Pero en este caso las

ramas a la izquierda y a la derecha son la misma. Por tanto

1 1

11 1

1 1

1lim ( ) lim

1 0 lim ( ) lim ( ) lim ( )1

lim ( ) lim1 0

x x

xx x

x x

xh x

x h x h x h x No existex

h xx


Halla el valor de m para que exista 2lim ( )

xf x , siendo:

12( )2

xsi xf x x

mx si x

x = -2 es la abscisa del punto de ruptura de la función f(x). Por tanto, para que exista el límite de la función f(x) cuando x tiende a

–2, los límites laterales tienen que coincidir. De esta condición sale el valor de m.

2 2

2 2

2 2

1 2 1 1 1lim ( ) lim 1 1

2 2 2 lim ( ) lim ( ) 22 4lim ( ) lim .( 2) 2

x x

x x

x x

xf x

x f x f x m mf x mx m m

Ejercicios 1 – 6º y 7º

6.- Halla el límite cuando x 2 en cada una de estas funciones:

2 3

2

2

3 1 2 2 2) ( ) ) ( )

9 2 5 2

12 3 4 1 23) ( ) ) ( )

1 1 221

x si x x x si xa f x b f x

x si x si x

xsi x x x si xxc f x d f x

x si xsi xx

7.- Halla el valor de k para que exista 1

lim ( )x

f x

, siendo:

2 2 1( )

1x si x

f xx k si x

Si x = a NO pertenece al dominio de f(x) pueden ocurrir dos posibilidades:



1ª.- Obtener una expresión que contenga a un nº real k, distinto de cero,

dividido entre 0

; 00

kk . En este caso estudiamos los límites laterales para

ver si existe o no el límite y, en caso de que exista valdrá +∞ ó -∞.


Calcula el límite de las siguientes funciones en los valores que se indican:

2

1) ( ) 0A f x cuando x

x

20 0

1 1. : lim ( ) lim

0x xSol f x

x Estudiamos los límites laterales

20 0

20

20 0

1 1lim ( ) lim 10 lim

1 1lim ( ) lim

0

x x

x

x x

f xx

xf xx

1) ( ) 1

1B f x cuando x

x

1 1

1 1 1. : lim ( ) lim

1 1 01x xSol f x


1 1

1

1 1

1 1lim ( ) lim 11 0 lim

1 1 1lim ( ) lim1 0

x x

x

x x

f xx No existe

xf xx

1

2) ( ) 2xC f x e cuando x

1 11

2 02 2

2 2. : lim ( ) lim x

x xSol f x e e e Estudiamos los límites laterales

1 1

2 01

2 2 21 1

22 0

2 2

1 1lim ( ) lim 0

lim

lim ( ) lim

x

x x x

xx

x x

f x e e ee e No existe

f x e e e



) ( )

2D f x tgx cuando x

2 2 2

12. : lim ( ) lim limcos 0

cos2

x x x

sensenxSol f x tgx


2 2 2

2

2 2 2

1lim ( ) lim lim

cos 0lim

1lim ( ) lim lim

cos 0

x x x

x

x x x

senxf x tgx

xtgx No existe

senxf x tgx

x

) ( ) ( ) 0E f x Ln x cuando x

Sol: Este es un caso diferente porque:

1º.- Aunque x = 0 no es del dominio de f(x), si sustituimos x por 0 no sale una expresión: ; 00

kk

2º.- No existe un límite lateral 0lim ( )x Ln x ya que el dominio de f(x) es el intervalo (o,∞).

Pero podemos resolverlo dándole a x valores cada vez más próximos a cero por su derecha y vemos que Ln(x) tiende a -∞ (como

fácilmente podríamos recordar del curso pasado por la forma que tiene la gráfica de la función ( ) ( )f x Ln x .

Por tanto sí existe 0

lim ( )x

Ln x y vale -∞:

0lim ( )x

Ln x

2ª.- Obtener una expresión indeterminada, en cuyo caso el límite se calcula

transformando la expresión de la función dada en otra equivalente en la que sí

tengan sentido las operaciones y así poder llegar al valor del límite, en caso de

que exista.

Esto lo estudiaremos más adelante en una pregunta específica.



Lo estudiado anteriormente se esquematiza en la siguiente tabla:

LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO DE ABSCISA x = a

x af xlim ( )

f(x) NO es

una función por partes

a Domf

Hallamos el valor de la función en x = a y ese número real será el valor del límite de la función en x = a.

x af x f alim ( ) ( )

f(x) SI es

una función por partes

a Domf o

a Domf y

es el punto de

ruptura

Hallamos los límites laterales de la función en x = a. Si existen y coinciden, ese será el valor del límite de la función en x = a. En caso contrario, la función no tendrá límite en esa abscisa.

x a x aSI f x f xlim ( ) lim ( )

x a x a x af x f x f xlim ( ) lim ( ) lim ( )


x a

f xlim ( )

a Domf

y sale ; 00

kk

Estudiamos, si es posible, los límites laterales. Si coinciden, ese será el valor del límite (+∞ ó -∞) de la función en x = a. Si alguno no existe o no coinciden, la función no tendrá límite en x = a.


x af xlim ( )


x af xlim ( )


x a

f xlim ( )

a Domf y sale una expresión

indeterminada del

tipo:

0; ; ; 0. ; 1

0

El límite, si existe, se calcula transformando la expresión de la función dada en otra equivalente en la que sí tengan sentido las operaciones y así poder

llegar al valor del límite.



4ª.- Límites laterales

Son los valores hacia los que tiende una función cuando la variable independiente,

x, se acerca por la izquierda (x a-) y por la derecha (x a+) a ese punto. Escribiremos:

x a x af x o f x

lim ( ) lim ( )

a - es un número próximo a a, pero menor que a. Igualmente, a + está próximo a a,

pero mayor que a.

Para que exista el límite de una función en un punto, deben existir los límites

laterales en ese punto y ser iguales:

lim ( ) lim ( ) lim ( )x a x a x a

f x f x f x

Ejercicio 1 – 9º

Dadas las siguientes gráficas de funciones, calcula, si existen, los siguientes límites:

A)

3 4 4

4

) lim ( ) ) lim ( ) ) lim ( )

) lim ( ) ) lim ( ) ) lim ( )x x x

x x x

a f x b f x c f x

d f x e f x f f x



B)

2 1 2

1

) lim ( ) ) lim ( ) ) lim ( )

) lim ( ) ) lim ( ) ) lim ( )x x x

x xx

a f x b f x c f x

d f x e f x f f x

5ª.- Propiedades algebraicas de los límites

1. El límite de una función en un punto, si existe, es único.

Si x a

f x

lim ( ) y x a

g x

lim ( ) existen, entonces se cumple:

2. x a x a x a

f x g x f x g x

lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )

3. x a x a

k f x k f x

lim ( ) lim ( )

4. x a x a x a

f x g x f x g x

lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )

5. x a

x a x ax a

f xf xsi g x

g x g x

lim ( )( )lim , lim ( ) 0

( ) lim ( )

6. x a

g xg x

x a x a x af x f x si f x

lim ( )( )lim ( ) lim ( ) , lim ( ) 0



6ª.- Límite de una función en el infinito: Definición y

cálculo.

Límite de una función f(x) cundo x tiende a +∞ ó a -∞ es el valor hacia el que tiende

o se aproxima una función cuando a la variable independiente x le vamos dando,

respectivamente, valores positivos cada vez más grandes o valores negativos cada

vez más pequeños.

Escribiremos:

xf x Llim ( )

xf xlim ( )

xf xlim ( )

Este límite puede valer un número real L, puede valer + ó - tal y como se puede

observar en las gráficas de las funciones siguientes:

f(x) f(x) f(x)

2

0 0 0

x

x

f x

f x

lim ( )

lim ( ) 0

x

x

f x

f x

lim ( )

lim ( ) 2

x

x

f x

f x

lim ( )

lim ( )

5 2

0 0 3

x

x

f x

f x

lim ( ) 5

lim ( )

x

x

f x

f x

lim ( ) 2

lim ( ) 2

x

x

f x

f x

lim ( )

lim ( )



Igual que ocurría con el límite de una función en un punto, el límite de una función

f(x) cuando x ó cuando x

es “relativamente” fácil de calcular si conocemos la

gráfica de la función. Pero, ¿qué ocurre si lo que conocemos es la expresión analítica de la

función f(x)? En este caso procederemos del siguiente modo:

1º.- Para calcular el límite de una función polinómica cuando x + , nos

fijaremos en su término de mayor grado, pues para valores grandes de x, el valor de las

potencias de grado inferior es insignificante comparado con el suyo (se dice que el

monomio de mayor grado es un infinito de grado superior al resto de monomios).

Para cualquier función polinómica 1 0

( ) , 0 0nn n

f x a x a x a a n , se

cumple que:

0lim ( )

0n

x n

si af x

si a

2º.- En el caso de funciones exponenciales:

1 lim xx

si a a

0 1 lim 0x

xsi a a

3º.- En el caso de funciones logarítmicas:

1 lim log

axsi a x

0 1 lim logax

si a x

IMPORTANTE: El cálculo de límites en menos infinito se reduce al caso anterior, ya

que:

lim ( ) lim ( )x x

f x f x


Calcular los siguientes límites:

2) lim ( 3 5 1)

xa x x

2 2 2 2. : min 3 ; lim( 3 5 1 lim( 3 ) 3.

x xSol ya que do a el monomio x Se puede escribir x x x

2) lim ( 2 8)x

b x x

2 2 2 2 2 2. : min ; lim ( 2 8) lim (( ) 2( ) 8) lim ( 2 8) lim ( )

x x x xSol ya que do a el monomio x x x x x x x x



) lim 2x

xc

: lim 2 2x

xSol

1) lim

2

x

xd

1 1: lim 0

2 2

x

xSol

) lim x

xe e

1 1 1: lim lim lim 0x x

xx x xSol e e

e e

1) lim

2

x

xf

1 1 1: lim lim lim lim 2 2

2 2 1

2

x x

xxx x x x

Sol

Ejercicio 1 – 10º


3 2 5 4 7) lim (2 7 4) ) lim ( 3 7 ) ) lim ( 2 3 5)

x x xa x x b x x c x x

3) lim (5 1) ) lim 5 ) lim ) lim ) limx x x

x x x x xd x e f e g e h Lnx

2 3) lim ) lim 5 ) lim 2 ) lim ) lim 2x x x x

x x x x xi e j k e l e m Lnx

Operaciones con el infinito serían (L representa a un nº real positivo distinto de cero):

L L ( )

L ( )L L ( )L ( ) ( )

L

L

L

L

0

L

L 0L 0

L L; 1 L L 0 ; 1

Observa que en el producto y en el cociente con el infinito se aplica la regla de los

signos de la forma habitual.



7ª.- Indeterminaciones

Al operar con límites tanto finitos como infinitos nos podemos encontrar con

expresiones en las que el resultado tenga sentido o no, es decir, nos podemos encontrar

casos en los cuales no es posible hallar directamente el límite. Se dice entonces que el

límite está indeterminado.

Límite indeterminado no significa que no exista, sino que no se puede calcular

directamente. En estos casos, el límite se calcula transformando la expresión de la función

dada en otra equivalente en la que si tengan sentido las expresiones.

Las expresiones que indican indeterminación son:

0 00 ; ; ; 0 ; 1 ; 0 ;0

IMPORTANTE: Las tres últimas indeterminaciones NO se exigen para el examen de

selectividad en Andalucía

Resolución de indeterminaciones:

Indeterminaciones del tipo 0

0

Esta indeterminación aparece, entre otras situaciones, al calcular los límites de

funciones racionales (cocientes de funciones polinómicas) o de funciones irracionales

en un punto de abscisa x = a.

Las indeterminaciones de funciones racionales (cocientes de funciones polinómicas)

se resuelven factorizando numerador y denominador mediante la regla de Ruffini y

simplificando.

Las indeterminaciones de cocientes de funciones irracionales se resuelven

multiplicando numerador y denominador por la expresión conjugada de la función que lleve

raíz.



2

22

2 8) lim

2xx

ax x

2 2

2 2 2 2 20 2( 2 2) 8 8( ) lim lim

0 ( 2 1) 3 32 1 1x x

x x xIND

x x x

1

1) lim

2 2xx

bx

1 1

0 1 1 1( ) lim lim

0 2 22 1x xx

INDx



x

xc

x

0) lim

4 2

20 0 0 0 0 02

0 ( 4 2) ( 4 2) ( 4 2) ( 4 2)lim ( ) lim lim lim lim lim ( 4 2) 4

0 ( 4) 44 2 ( 4 2)( 4 2) 4 2x x x x x x

x x x x x x x x xIND x

x xx x x x



2 3 2

21 2 0

1 3 6 3 6) lim ) lim ) lim

1 9 18 9 18x x xx x x x

A B Cx x x x

x x x

x x xD E F

x x x xx x

2 2

3 20 1 1

3 1 2 1 7 6) lim ) lim ) lim

( 1) 1( 1)


x x x

x x x xA B C

xx x x x x

3 3 2

2 2 21 1 2

( 1) 4 5 2 3 4) lim ) lim ) lim

21 2 5 6

x x x

x x x xD E F

x xx 22 0 01 3 9 3 1 1

) lim ) lim ) lim2 3

Indeterminaciones del tipo

Las indeterminaciones de funciones racionales (cocientes de funciones

polinómicas) se resuelven dividiendo numerador y denominador por la máxima potencia del

denominador, o bien, aplicando la regla de los grados:



, ( ) ( ) ( )

( ) ( ) (( )lim ,

min ( ) ( ))( )

0 , ( ) ( )

x

asi grado de P x grado de Q x el signo es el de

b

si grado de P x grado de Q x siendo a y b losP x acoeficientes de los tér os principales de P x y Q xQ x b

si grado de P x grado de Q x

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