DISTRIBUCIONES MUESTRALES

Juan Carlos Colonia

POBLACIÓN

Es el conjunto de individuos u objetos que poseen alguna característica común observable y de la cual se desea obtener información.

El número de elementos que forman la población se llama tamaño de la población, se denota con la letra N.

La población debe ser susceptible de ser definida con absoluta precisión.

Una población puede ser finita o infinita. Si el número de elementos de una población es grande se la considera para el tratamiento estadístico, en algunos casos como infinita.

MUESTRA

Es una parte o subconjunto de la población en estudio.

Esta constituido de elementos de la población

seleccionados de forma aleatoria con el objetivo de

investigar las características de la población. La muestra

solo da información de aquella población de la que ha sido

extraída.

El número de elementos que forman la muestra se llama

tamaño de muestra, se denota con la letra n.

El objetivo de los técnicas de muestreo estadístico es que

cada elemento de la población tenga una probabilidad e

independencia de ser incluido en la muestra. Estas

técnicas de muestreo conducen a una muestra aleatoria.

MUESTRA ALEATORIA

Sea X una característica de la población en estudio con

función de distribución de probabilidad . Una muestra

aleatoria de tamaño n es un conjunto de n variables

aleatorias seleccionadas de la población en

estudio si:

1. Son independientes.

2. Están idénticamente distribuidas y tienen la misma

función de distribución de probabilidad que X, .

1 2 nX , X , ..., X

XF x

XF x

MUESTRA ALEATORIA

Sea X una variable aleatoria que representa la calificación

obtenida en la prueba de conocimientos sobre preservación del

ambiente de los alumnos de la Facultad de Ingeniería de

Telecomunicaciones y Telemática de la UTP.

Si es una muestra aleatoria de 30 alumnos, se

tiene:

: calificación obtenida en la prueba por 1er alumno

seleccionado en la muestra.

: calificación obtenida en la prueba por 2do alumno

seleccionado en la muestra.

: calificación obtenida en la prueba por 30avo alumno

seleccionado en la muestra.

1 2 30X , X , ..., X

30X

2X

1X

PARÁMETRO

Un parámetro es una medida descriptiva numérica de una

población. Son valores constantes que caracterizan a la población

bajo estudio. Un parámetro se suele representar a mediante

letras griegas:

: Promedio poblacional

: Varianza poblacional

: Proporción poblacional

En términos prácticos, un parámetro es un valor que resulta al

emplear los valores de una población.

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ESTADÍSTICAS

Una estadística es una función real de la muestra aleatoria que

no contiene parámetros desconocidos. Como los elementos de

una muestra son variables aleatorias, una estadística también es

una variable aleatoria. Una estadística se representa mediante

letras latinas:

: Promedio muestral

: Varianza muestral

: Proporción muestral

En términos prácticos, una estadística es un valor que se obtiene

al emplear los elementos de una muestra.

x2s

p

DISTRIBUCIÓN MUESTRAL

Se denomina distribución muestral a la distribución

de probabilidad de una estadística; es decir, la

distribución de un estadístico calculado a partir de los

valores de una muestra.

Las distribuciones muestrales adoptan diferentes

formas según las estadísticas que se investiguen y las

características de la población estudiada.

Conociendo la distribución muestral se puede hacer

inferencia acerca de la población bajo estudio.

DISTRIBUCIÓN DE LA MEDIA MUESTRAL

Si es una muestra aleatoria de tamaño n

extraída desde una población , entonces la

distribución de la media muestral esta dado por:

Por tanto:

1 2 nX , X , ..., X

2N ,

2

x N ,n

x

Z N 0 ,1n

DISTRIBUCIÓN DE LA MEDIA MUESTRAL

Ejemplo

Un fabricante especifica que la duración de sus baterías

tiene distribución normal con media 36 meses y

desviación estándar 8 meses. ¿Cuál es la probabilidad

que una muestra aleatoria de 9 baterías, la duración

media no sea mayor a 30 meses.?

Solución

P x 30 P z 2.6 0.0122

x N 36 , 7.1

DISTRIBUCIÓN DE LA MEDIA MUESTRAL

Si es una muestra aleatoria de tamaño n extraída desde una población , entonces:

donde:

1 2 nX , X , ..., X

2N ,

n

22

i

i 1

1s x x

n 1

n 12

2

x

xnt t

s nn 1 s

n 1

DISTRIBUCIÓN DE LA MEDIA MUESTRAL

Ejemplo

Una población con distribución normal tiene una media

de 5.5, su varianza es desconocida. En una muestra

aleatoria de tamaño 6 se encontró una desviación

estándar de 0.5, ¿Cuál es la probabilidad de que la

media muestral sea mayor o igual a 6.5.?

Solución

5

x 6.5 5.5P x 6.5 P P t 4.89 0.0023

s n 0.5 6

2x N 5.5 , 6Como la varianza de la población es desconocida, la

varianza de la media muestral también es

desconocida

DISTRIBUCIÓN DE LA VARIANZA MUESTRAL

Si es una muestra aleatoria de tamaño n

extraída desde una población , entonces:

De forma equivalente:

1 2 nX , X , ..., X

2N ,

n2

i2i 1

n 12

x x

n2

2 i2i 1

n 12 2

x xn 1 s

DISTRIBUCIÓN DE LA VARIANZA MUESTRAL

Ejemplo

Una población con distribución aproximadamente

normal tiene varianza especificada de 0.8. Calcule la

probabilidad que una muestra aleatoria de tamaño 6

tenga una varianza mayor o igual a 1.2.

Solución

2

2 2

52

n 1 s 6 1 1.2P s 1.2 P P 7.5

0.8

2 2

5P s 1.2 P 7.5 0.189

DISTRIBUCIÓN DE LA PROPORCIÓN MUESTRAL

Si es una muestra aleatoria de tamaño n extraída desde una población con proporción de “éxitos”, la distribución de la proporción muestral esta dado por:

Por tanto:

1 2 nX , X , ..., X

1p N ,

n

pN 0 ,1

1

n

p

DISTRIBUCIÓN DE LA PROPORCIÓN MUESTRAL

Ejemplo

Según pruebas de inspección 4 de cada 10 baterías

tienen fallas.¿Cuál es la probabilidad de que la

proporción de baterías defectuosas sea mayor que 0.45

en una muestra de 250 baterías?

Solución

P p 0.45 P z 1.61 1 P z 1.61 0.0537

p N 0.4 , 0.00096

0.4