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Dirección editorialGrupo Editorial Mx

Editora en jefeOlivia Vega Ponce de León

EditorDora Leticia González Parra

Revisión técnicaRosa Díaz Sandoval

Corrección de estiloGeorgina M. Arteaga FloresMaría Julia Magaña Hernández

Coordinación de diseñoKarem Anabelli Zavala Acevedo

Diseño editorialBrenda Anahi Cortés Fabián

Diseño de portadaBrenda Anahi Cortés Fabián

Dirección de producciónFrancisco J. Martínez García

Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Registro número 3790.

Josué David Sánchez Hernández

1ª edición noviembre 2018D.R. © Grupo Editorial Mx.

ISBN: 978 607 8613 526

Organización didáctica por parciales con proyectos formativos.

Durante el proceso de impresión estamos contactando a los sitios de internet refe-ridos en los códigos QR, para notificarles que estamos usando su información sin fines de lucro.

Derechos reservadosNo está permitida la reproducción total o parcial de este libro ni su tratamiento informático ni la transmisión de ninguna forma o por cualquier medio, ya sea elec-trónico, mecánico, incluyendo fotocopia-do, almacenamiento en cualquier sistema de recuperación de información o grabado sin el permiso previo y por escrito de los titulares del copyright.

La marca Grupo Editorial Mx es propiedad de TRACK, S. A. de C. V.Prohibida su reproducción total o parcial.Impreso en México/printed in Mexico

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Este libro tiene como propósito que desarrolles aprendizajes al relacionar el conocimiento que adquirirás en esta asignatura con tus experiencias de la vida cotidiana.

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electrónico siguiendo 5 sencillos pasos:

12

3

4

5

Actividades transversales para evidenciar las relaciones entre las áreas del conocimiento a través de los ejes transversales: social, ambiental, de la salud y de habilidades lectoras.

Actividades que desarrollarán competencias genéricas (CG) y competencias disciplinares básicas (CDB) a través de la movilización de saberes.

Actividades que desarrollarán competencias genéricas (CG) y competencias disciplinares básicas (CDB) a través de la transferencia de saberes.

Desarrollo de proyectos formativos que permiten evidenciar el logro de las competencias genéricas y disciplinares al utilizar en forma integrada conocimientos, habilidades y actitudes. Incluyen instrumentos de evaluación.

Esta sección te permitirá identificar los saberes con los que cuentas para tomarlos como punto de partida en tu proceso de aprendizaje.

Esta actividad despertará tu curiosidad por los nuevos conocimientos.

Esta sección ofrece actividades para la evaluación de los aprendizajes esperados e incluye un instrumento de evaluación.

Autoevaluación de las competencias genéricas y disciplinares desarrolladas durante el parcial.

Esta actividad te servirá para identificar los conocimientos adquiridos.

Prepárate para la prueba PLANEA al final de cada parcial.

Sección de orientación vocacional con casos que muestran las profesiones que utilizan los conocimientos abordados en los temas del parcial.Or te

Actividades enfocadas al Desarrollo de Habilidades Socioemocionales (DHS). Desarrollo de Habilidades Socioemocionales

Presentación

Evaluación diagnóstica

Actividad de motivación

Evaluación formativa Evaluación sumativa

Registro de competencias Prueba tipo PLANEA

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Contenido

Primer parcialFunciones 10Introducción al concepto de función 10El siguiente ejemplo permitirá acceder a uno de los aspectos más importantes de una función. 10Los modelos matemáticos 13La función: concepto fundamental para el estudio del Cálculo Diferencial 17El dominio y el rango de una función 21Diagrama sagital de una función y su registro en el plano cartesiano 22Tipos de funciones 24Obtención algebraica del dominio y rango de una función 26¿Cómo obtener el Dominio de una función? 27Otras maneras de clasificar una función 33Función continua o discontinua 33Gráfica de funciones compuestas 38Operaciones con funciones 41Composición de funciones 44Cuestiones operativas 45La función inversa 47

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Bibliografía 155Portafolio 156

Segundo parcial

Tercer parcial

Graficación de funciones 58Noción intuitiva del concepto de límite 60Funciones bien portadas 62Los límites laterales y las asíntotas verticales 64Límites laterales para funciones compuestas y trascendentes 66Funciones con indeterminación salvable 71Límites al infinito 73Introducción a las funciones continuas y a la derivada como una función 76La derivada 76Newton y la recta tangente 78La regla de los cuatro pasos (para funciones lineales) 80La regla de los 4 pasos (Para funciones cuadráticas) 82Criterios de la derivada para funciones crecientes y decrecientes 85¿Derivable o no derivable? 88Criterios de optimización 90La velocidad de lectura: la optimización 90Una función “rota en todas partes” 92¡Adiós a la regla de los 4 pasos! 94Derivación de expresiones que conducen a polinomios 97Derivación de expresiones irracionales 99Derivar productos y cocientes 101

Reglas para derivar todo tipo de potencias 114Derivando funciones trascendentes 117Derivadas sucesivas 119Aplicaciones a las ecuaciones del movimiento 121Valores extremos de una función 124El criterio de la segunda derivada 125Determinación de máximos y mínimos de polinomios 127Algunos ajustes a la definición de punto crítico 130Problemas de optimización (primera parte) 132Problemas de optimización (segunda parte) 135Problemas de optimización (Avanzados) 138Los búlgaros y el yogur 144El lactobacilus plantarum y la concavidad de una función 145

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Primer parcial

Competencias genéricas (CG) a desarrollar

Competencias disciplinares básicas del área de Matemáticas (CDBM) a desarrollar

8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos. 8.1 Propone maneras de solucionar un problema o desarrollar un

proyecto en equipo, definiendo un curso de acción con pasos específicos.

8.2 Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva.

8.3 Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo.

3. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.

Aprendizajes esperados

¿Por qué es importante?

Palabras clave

Caracteriza a las funciones algebraicas y las funciones trascendentes como herramientas de predicción, útiles en una diversidad de modelos para el estudio del cambio.Construye y analiza sucesiones numéricas y reconoce los patrones de crecimiento y de decrecimiento.Analiza las regiones de crecimiento y decrecimiento de una función.

Se adquieren los conceptos básicos para el manejo de sistemas de coordenadas que ayudarán en la representación de funciones según sus cambios numéricos y patrones de crecimiento mostrados en tablas y gráficas.

• Sistema de coordenadas• Funciones algebraicas• Funciones trascendentes

elementales

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Transversalidad de los aprendizajes

Colaboración y trabajo en equipo

Habilidades digitales

Habilidades socioemocionales y proyecto de vida

Lenguaje y comunicación

La Educación Integral prepara al estudiante en tres ámbitos: científico, tecnológico y humano, con una escala de valores bien definida.

Aprendizaje esperado

Caracteriza a las funciones algebraicas y las funciones trascendentes como herramientas de predicción, útiles en una diversidad de modelos para el estudio del cambio.


Construye y analiza sucesiones numéricas y reconoce los patrones de crecimiento y de decrecimiento.


Analiza las regiones de crecimiento y de crecimiento de una función.

Interdisciplinariedad

Determina el comportamiento de las variables que intervienen en un fenómeno físico a través de mé-todos gráficos y analíticos.

Identifica técnicas y elementos de matemáticas aplicables a los procesos de cuantificación de los recursos bióticos.

La lectura, la escritura y la oralidad como prácticas habilita-doras del aprendizaje y la genera-ción de una perspectiva original, por escrito, a partir del conoci-miento, comprensión y análisis.

Física I Ecología LEOyE

Comprender la importancia del ritmo de crecimiento de las especies con respecto al tiempo, incorporando modelos matemáticos para su predicción.

Biología

Las tendencias y los patrones que se presentan y su influencia en la sociedad.

Ciencia, Tecnología, Sociedad y Valores



Física I

Ecología

Ciencia, Tecnología,Sociedad y Valores

Lectura, expresión oral y escrita

Biología

Física I

Ecología


Biología

Física I

Ecología

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El polinomio más afortunadoLos polinomios son quizá el tipo de funciones más popularizadas hoy en día. Sus aplicaciones son enormes. Un ejemplo de ello son los llamados polinomios de Jones. Estos sirven, junto con el número de coloración, ni más ni menos que para clasificar nudos.

Si crees que estudiar los nudos no tiene ningún sentido, basta con echar un vistazo a la teoría psicoanalítica de Lacan para percatarte cómo este gran pensador usó precisamente el llamado nudo Borromeo para explicar la consti-tución analítica de sus pacientes, a quienes él, por cierto, prefería llamar ana-lizantes. Los nudos también están presentes en la Biología, pues hay un tipo de enzimas conocidas como topoisomerasas, las cuales tienen la facultad de cambiar la estructura topológica del ADN; y sí, adivinaste, dicha estructura es también un nudo.

Para explorar los polinomios, y de ahí saltar al estudio de funciones más complejas, recurriremos a uno muy antiguo: el polinomio de Euler. A esta fórmula se le atribuía la cualidad de generar solamente números primos. Estos últimos han sido de gran interés para los matemáticos de todas las épocas. Incluso hoy en día, existe una conjetura famosa por la que se ofrece un jugoso premio en efectivo para quien pueda resolverla: la hipótesis de Riemann. Desgraciadamente, el polinomio de Euler sólo es cierto para una cantidad limitada de valores, pero en su tiempo gozó de cierta fama.

1. Completa la siguiente tabla y descubre algún número que rompa con la fabulosa cualidad del polinomio citado.

Un generador de números primos

n P(n) = n2 + n + 41 El resultado, ¿es un número primo?

1 P(1) = 12 + 1 + 41 = 1 + 1 + 41 = 43 Sí371122? No

Actividad de motivación

Para aplicar tus conocimientos sobre funciones, tendrás que escoger alguno de los modelos mate-máticos que se incluyen en este primer capítulo, o bien, investigar algún otro modelo de tu interés.

En equipos de tres personas, expondrán el modelo matemático que haya sido de su prefe-rencia. Esta exposición podrá estar acompañada de imágenes, gráficos o maquetas, aunque lo más importante será transmitirle al público la importancia de las funciones. Para ello, habrá que dar una introducción acerca del tipo de fenómeno modelado, así como presentar las ecuaciones que lo describen y cómo éstas ayudan a predecir resultados muy útiles para diferentes campos.

El objetivo será demostrar qué tan interiorizados están tus conocimientos sobre las funciones, pero sobre todo, qué tan capaz eres de transmitirlos. Recuerda que Albert Einstein decía: “Si comprendes verdaderamente un concepto, serás capaz de platicárselo hasta a tu abuelita”.

Proyecto formativo

31

61

73 74 75 76 77

62 63 71 72

41 51 61

Figura 1.1 Clasificación de los nudos.

Figura 1.2 El matemático, filósofo y físico Leonhard Euler.

8

Cálculo diferencial

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1. ¿Qué entiendes por función?

2. Una de las funciones más populares es la llamada función lineal. Dibuja en el plano cartesiano la gráfica de una función lineal.

3. ¿Qué nombre recibe la función, cuya gráfica se presenta a continuación?

4. Menciona algunos ejemplos de variables que sean utilizadas en la Física.

5. Realiza las siguientes operaciones: • 52 - 3(5) + 11 =

• 2(-2)2 - 3( -2) + 1 =

• + − =3 4 82 2

•− +− +

=4( 2) 17

2 5

6. Localiza en el plano cartesiano los siguientes puntos:

A (-4,8)B (5,-2)C (0,4) D (-5,0)E (0,0)F (-2,-5) G (3,3)

11-1

-1

2

2-2

-2

3

3-3

-3

4

4-4

-4

5

5-5

-5

6

6-6

-6

7

7-7

-7

8

8-8

-8

y

x

4

2

2-2

0

0

c

x

y

11-1

-1

2

2-2

-2

3

3-3

-3

4

4-4

-4

5

5-5

-5

6

6-6

-6

7

7-7

-7

8

8-8

-8

y

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Evaluación diagnóstica

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Primer parcial

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Introducción al concepto de funciónEn la vida diaria la palabra función comúnmente se utiliza para esta-blecer una dependencia entre dos situaciones o magnitudes. De modo que no es difícil haber escuchado algún día expresiones como éstas:

• La recompensa estará en función de tu buena conducta. • Saldré con vestido o con pantalón en función de si llueve o no. • El sueldo en esta empresa será en función de tu nivel de producción.

Implícitamente, la dependencia a la que alude la palabra función nos remite a una especie de regla o criterio bajo el cual el nexo entre dos magnitudes se cumple o no.

è Funciones

A

B

C

t

s

Figura 1.3 Cuadratura de la parábola por Arquímedes.

Muchas veces, estos criterios vienen a nuestra mente relacionados a una fórmula, una gráfica o una tabla de valores. Así, un obrero imagina una relación de dependencia entre su sueldo, el número de piezas producidas y la tabla de tarifas impuesta por el gerente. Un estudiante sabe que sus notas de buena conducta dependen de ciertos porcentajes ganados en clase, o que el estado del tiempo depende de ciertas estimaciones meteorológicas, las cuales le permiten tomar una decisión a la hora de escoger la ropa que usará para salir a la calle.

Cabe decir que todas estas ideas describen a la perfección el sentido en que deben ser com-prendidas las funciones. Sin embargo, para las matemáticas toda esta información necesita concretarse en una buena definición. Por eso, el primer aspecto para avanzar en esta dirección consiste en aceptar que las funciones siempre conllevan una noción de fórmula.

El siguiente ejemplo permitirá acceder a uno de los aspectos más importantes de una función.En teoría del deporte existe un concepto muy interesante y sumamente útil para comprender cómo opera la regla de correspondencia o fórmula de una función.

La fuerza máxima de una repetición (1RM) se define como la fuerza desarrollada por el cuerpo ante un ejercicio determinado, cuando ya no podemos repetirlo ni una vez más. Es decir, el 1RM se lleva a cabo en la sentadilla número 50, siempre y cuando llegar a la sentadilla número 51 resulte imposible.

La fórmula de Epley nos orienta en la tarea de calcular el 1RM de algún ejercicio en particular.

+1RM = P (1 n30

)

Donde P representa la carga soportada en el ejercicio; mientras que n es el número de repe-ticiones alcanzadas.Por ejemplo, cuando una persona levanta 75 kg a un máximo de 14 repeticiones, su fuerza máxima de repetición es:

+ = + =1RM = 75 (1 1430

) 75 (1 0.466) 110 kilogramos

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Saber cuánto vale el 1RM permite adaptar nuestros ejercicios en el gimnasio en función del objetivo a conseguir. Habrá quien únicamente desee marcar su cuerpo; otros querrán ganar peso o una gran masa muscular. Conseguirlo dependerá del peso elegido para realizar un ejercicio, que siempre es cierto porcentaje de su 1RM. La siguiente tabla nos aconseja al respecto:

Objetivo Orientación del ejercicioEntrenamiento básico: 0 – 50 % del 1RM y muchas repeticiones.Fuerza-resistencia: 50 – 60 % del 1RM de 20 a 40 repeticiones.Hipertrofia: 60 – 90 % del 1RM de 3 a 20 repeticiones.Mejora neuromuscular: 90 – 100 % del 1RM de 1 a 3 repeticiones.

Para un ejercicio conocido, digamos la prensa, supóngase un trabajo de pierna con un peso

P = 50 kg. El 1RM de cada persona dependerá del número de repeticiones máximas conseguidas. Toda la gama de resultados posibles, que incluye una enorme cantidad de personas, está

contenida en la gráfica presentada, correspondiente a la siguiente función:

1RM(n) = 50(1+ n30

)

Como habrás notado, esta información se representa bajo la forma de una línea recta. Razón por la cual puede concluirse que el modelo del 1RM es una función lineal.

1RM kilogramos100

80

60

40

20

0-5 5 10 20 30 40 50 60 70repeticiones

Actividad 1 CDBM 3

Utiliza la información presentada en la sección anterior para contestar las siguientes preguntas.

1. Una persona logra realizar como máximo 26 repeticiones con la mancuerna de 12 kg. a. Determina los rangos de pesos ideales para su entrenamiento.

=1RM = P(1+ n30

) kilogramos

Figura 1.4 "Modelo del 1RM para ejercicio de prensa"

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Primer parcial

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Entrenamiento básico: 0 kg a 8.4 kg

Fuerza-resistencia:

Hipertrofia:Mejora

neuromuscular:

b. Una persona ha cumplido el periodo de tres meses de entrenamiento básico en el gimnasio. La siguiente tabla muestra la rutina indicada por su entrenador para tres ejercicios:

Tipo de ejercicio Rutina entrenamiento básicoPrensa 25 repeticiones a 20 kg Espalda 30 repeticiones a 25 kg

Mancuerna 25 repeticiones a 5 kg

2. ¿Cuáles son los valores del 1RM en los que se basó el entrenador para la rutina de cada ejercicio?

Prensa Espalda Mancuerna

a. Determina los nuevos rangos de entrenamiento para que dicha persona pase al objetivo de trabajo Fuerza-Resistencia.

Tipo de ejercicio

Rutina entrenamiento básico Rutina fuerza resistencia

Prensa 25 repeticiones a 20 kg 20 repeticiones de a kg

Espalda 30 repeticiones a 25 kg 20 repeticiones de a kg

Mancuerna 25 repeticiones a 5 kg 20 repeticiones de a kg

Como puedes percatarte, el concepto de función nos permite potencializar la com-prensión de una actividad tan común como es practicar algún deporte. El objetivo de la siguiente actividad de aprendizaje es que puedas familiarizarte con el uso de las funciones, en especial, con cómo manipular su fórmula y poder así obtener información relevante acerca del fenómeno que ésta modela o describe.

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Los modelos matemáticosEl sentido en que hay que entender el concepto de modelo matemático tiene que ver con una ecuación o conjunto de ecuaciones diseñadas para describir un fenómeno físico, químico, biológico e incluso social.

Por ejemplo, el modelo matemático que gobernó nuestra comprensión del universo, desde el siglo XVII hasta principios del siglo XX, fue la ley de gravitación universal de Newton: una ecuación sobria y elegante con la que aún se practican ejercicios en los cursos de Física. Sin embargo, en 1915, Albert Einstein publicó un trabajo célebre conocido como teoría de la re-latividad general, donde con un conjunto complicadísimo de diez ecuaciones, derrocaba ni más ni menos que el universo newtoniano. Pese a sus diferencias, tanto la teoría de Newton como la de Einstein constituyen conceptualizaciones matemáticas de una parte de la realidad, es decir, modelos matemáticos.

A continuación te presentamos algunos modelos clásicos. Como imaginarás, los modelos están hechos de funciones, o bien, fórmulas de gran relevancia para las actividades humanas. Recuerda, para contestar a las preguntas está permitido usar la información proporcionada por las gráficas.

Actividad 2 CG 8, 8.1 y 8.2 CDBM 3Analiza los problemas y contesta en binas las preguntas que se presentan en cada uno.

Modelo 1: Lanzamiento de balaUn competidor realiza un lanzamiento de bala. La posición de dicha bala P(x, y) durante el vuelo está dada por la ecuación:

=−

+ +y x x3200

310

1.52

donde y representa la altura, y x la distancia horizontal, ambas medidas en metros.

a. ¿Cuál es la estatura del competidor? (Sugerencia: usa x = 0).

b. Se sabe que la altura máxima del lanzamiento se alcanza a los 10 metros del punto de lanza-miento. Determina esta altitud.

c. ¿Qué altura tendrá la bala, a una distancia de 20 metros del lugar de lanzamiento?

Modelo 2: Dieta para ratasUn equipo de biólogos estudia los efectos nutricionales sobre una población de ratas que son alimentadas con un preparado que contiene 10% de proteínas. Se sabe que la proteína está compuesta por levadura y harina de maíz. Al cambiar el porcentaje p (expresado en forma decimal) de levadura en la mezcla proteínica, el equipo estimó que el promedio de aumento de peso g (en gramos) de una rata durante cierto periodo, estaba dado por la expresión g = -60p 2 + 50p + 10

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Primer parcial

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a. ¿Cuál es el aumento en el peso de una rata, si el porcentaje de levadura se modifica a un 25%? (Sugerencia: p = 0.25).

b. ¿Y si la mezcla contiene la mitad de levadura?c. Una rata, antes de alimentarse con la proteína,

pesaba 120 g, ¿cuál será su nuevo peso al ingerir el preparado proteínico al 60%?

d. ¿Qué sucede cuando evaluamos la fórmula en valores cercanos al 100%?

e. ¿Qué preparado surte mejores efectos sobre el peso de una rata: a un 0% o a un 95 % de levadura?

Modelo 3: Un cultivo de bacteriasLa dinámica de crecimiento de una población de bacterias en una muestra de laboratorio res-ponde a la fórmula:

=+ −

p te

( ) 501 80 t

donde t representa las horas transcurridas y p el número de bacterias medido en millones.

a. ¿Cuántas bacterias había al principio? (Sugerencia: t = 0 horas).

b. ¿Cuántas bacterias habrá a las 2 y a las 5 horas, respectivamente, de iniciado el experimento?

c. Si el experimento se inició a las 10:00 horas, ¿cuánto aumentó la población de las 15:00 a las 16:00 horas?

d. ¿La población creció lo mismo de las 20:00 a las 21:00 horas, con respecto al intervalo de 15:00 a 16:00 horas?

e. Según el registro de las 21:00 horas, ¿aumentó mucho la población para las 10:00 horas del día siguiente?

Modelo 4: Propagación de un incendioUn incendio comienza en un campo abierto y seco, cubriendo un área cuya forma es aproxima-damente circular. El radio de propagación aumenta según la fórmula: R(t) = 3 ln (t + 1)2

donde t representa el tiempo medido en horas y R el radio medido en kilómetros.a. A las 3 horas de iniciado el incendio, ¿cuál será el área afectada? (Sugerencia: recuerda

que el área del círculo es A = πR 2).b. Aproximadamente, ¿cuántas horas deben transcurrir para que el incendio alcance un

radio de 30 km?

18

16

14

12

10

8

6

4

2

-20.5-0.5 1.5

Porcentaje de proteína

en la mezcla, p (decimal)

Promediode aumento

de peso, g (gramos)

Número de bacterias,p (millones)

Tiempo transcurrido,t (horas)

10

2 6 8 10 12 144

20

30

40

50

60

Figura 1.5 Promedio de aumento de peso en ratas, en función de alimento.

Figura 1.6 Dinámica de crecimientode una población de bacterias.

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Modelo 5: Un medicamentoLa dosis (medida en miligramos) de un medicamento que se administra a niños menores de 14 años está dada por la función:

=+d E E( ) 1

0.25

Donde E representa la edad y d la dosis. a. ¿Qué dosis debe administrarse a un niño de 4 y a un niño de 13 años, respectivamente?b. ¿A qué edad un niño toma una dosis de 40 mg?

Modelo 6: El VIH La gráfica muestra el proceso de una infección típica de VIH a través del tiempo. El prin-cipal indicador de esta afección es una baja en la cantidad de células CD4+ en la sangre. Un sistema inmunológico sano cuenta con una concentración que va de las 600 a las 1 200 células por mm3 de sangre. Se requiere que dicha concentración llegue a un valor de 200 para que la afección se considere SIDA.

Durante las primeras semanas, el modelo del número de células CD4+ presentes en la sangre después del contagio, obedece a la fórmula: N(t) = 1000e-0.098t

Donde t representa el número de se-manas y N el número de células por mm3.

a. Según el modelo, ¿cuál es la concentración de CD4+ en un paciente al ser contagiado?

b. ¿Cuál es la concentración en la sangre a las dos semanas?

c. Aproximadamente, ¿en qué semana se puede diagnosticar el SIDA? Comprueba el cálculo.

Modelo 7: La tos La tos es un mecanismo efectivo para expulsar cualquier objeto que bloquee el tubo traqueal. En estado normal, el diámetro de la tráquea oscila entre los 18 y los 22 mm. Cuando una persona tose, el diámetro de su tráquea disminuye.

Esto, con la finalidad de aumentar la velocidad con la que sale expulsado el aire y así limpiar con mayor efectividad los agentes extraños al tubo traqueal. Al hacer una prueba de rayos X, se observa que la máxima velocidad con que el aire sale expulsado se consigue cuando la trá-quea se contrae a las dos terceras partes de su tamaño en relajación.

Para calcular la velocidad de expul-sión del aire, medida en m/s, se utiliza la fórmula:

V(r) = 215.54 r2 (2.2-r)

1600 Concentración, N (número de células)

Tiempo, t (semanas)

1400

1200

1000

800

600

400

0 2-2 4-4 6 8 10 12 14 16 18

CD4+

350

300

250

200

150

50

-50

0 2 4-2

100

x

y

Figura 1.7 Concentración de células CD4+ en la sangre, en función del tiempo.

Figura 1.8 Modelo matemático de la tos.

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Primer parcial

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donde r es el radio al que se contrae la tráquea medido en cm y 2.2 representa el radio de la tráquea en relajación.

a. ¿Con qué velocidad pasará el aire por la tráquea de una persona, cuyo radio es 1.6 cm?

b. Calcula la velocidad máxima del aire, también conocida como velocidad de ex-pectoración. (Sugerencia: usa r como dos tercios de 2.2).

c. Si el radio de la tráquea reduce su tamaño hasta la mitad del radio en relajación, ¿es cierto que la velocidad obtenida es menor que la del inciso b)?

Modelo 8: Nadando a contracorrienteLa energía E (medida en Joules) que emplea un pez para desplazarse a contracorriente desde un punto A a un punto B, está dada por la fórmula:

=−

E v vv v

( ) 65( )

k

c

donde v representa la velocidad relativa del pez respecto del agua, vc la velocidad de la corriente (ambas medidas en m/s) y k una constante que depende de las características del pez.

Supóngase que en un río determinado, la velocidad de la corriente es vc = 1 y que en sus aguas viven tres tipos de peces con valores para k iguales a 1.5, 2.0 y 2.5.

a. Determina cuál pez emplea mayor energía para desplazarse del punto A al B, con una velocidad de 3 m/s.

b. Elabora una tabla con los gastos energéticos correspondientes a cada uno de los peces del inciso anterior, usando las velocidades en un rango de 3 a 7 m/s.

Modelo 9: Un contaminanteUn pequeño estanque de 5 000 litros de agua dulce se encuentra en las cercanías de una fábrica. Por efectos de la filtración, cada semana se vierten 20 litros de agua contaminada al estanque. Cada litro de agua filtrada contiene 15 mg de un contaminante letal para cierto pez endémico.

La fórmula para calcular la concentración del con-taminante en el estanque está dada por:

=+

C t tt

( ) 15250

donde t se mide en semanas y C en mg/l.a. ¿Cuál será la concentración del contaminante

a las 100 semanas?b. Los niveles de contaminación del estanque

se deben mantener por debajo de los 6 mg/l para que la especie endémica no muera. A las 150 semanas, ¿la especie comenzará a morir?

c. Aproximadamente, ¿a las cuántas semanas la especie comenzará a desaparecer?

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La función: concepto fundamental para el estudio del Cálculo DiferencialLa actividad anterior ha servido para entender que una función, denotada por el símbolo f(x), es un tipo de objeto matemático siempre poseedor de una fórmula o regla de correspon-dencia, acompañada de una determinada forma o silueta en el plano cartesiano. Además, se vio que esta silueta parece contener una gran cantidad de información relacionada con dos o más magnitudes, y que en algunos casos, ésta nos permite obtener tablas con los datos más relevantes de un fenómeno o situación de la vida real. En resumen, los ejemplos de aplicación ya trabajados enseñan que lo más importante a la hora de ver el símbolo f(x), es recordar que la letra f nos remite siempre a una fórmula y a una forma gráfica en el plano cartesiano.

En este sentido, cabría preguntarse si cualquier fórmula o cualquier gráfica merecen ser llamadas funciones. A este respecto, los matemáticos aseguran que no todas las fórmulas y gráficas corresponden a una función.

Para precisar, valdría decir que de las gráficas mostradas abajo, solamente la primera de ellas no corresponde a una función. ¿Cuál es entonces la diferencia?

La respuesta a esta pregunta depende de una perspectiva geométrica: “La gráfica de una función no debe ser cruzada en más de un punto por cualquier recta vertical ”. Claramente, la gráfica de la izquierda es tocada en más de un punto por casi cualquier recta vertical que se trace.

¿Y cómo distinguimos a una función cuando disponemos únicamente de su fórmula o regla de correspondencia?La clave se encuentra en las últimas tres palabras de la propia pregunta: en la regla mediante la cual una fórmula hace sus asignaciones, sus correspondencias. Pero, ¿cómo deben realizarse estas asignaciones para obtener una función? La respuesta es que una función privilegia la ex-clusividad hacia la derecha. En la dependencia establecida entre dos cantidades representadas por las variables x y y, la función no permite que a x le correspondan dos valores distintos de y. Esto puede describirse de la siguiente manera.

Sea y = f(x) una fórmula o regla de correspondencia entre dos variables, se dice que f(x) es una función cuando a cada elemento x le corresponde uno y sólo un valor de y.

Hay muchas relaciones de correspondencia que satisfacen la definición de una función. Pensemos por ejemplo en la asignación de la Clave Única de Registro Poblacional (CURP). En efecto, la regla mediante la cual se asigna la CURP a una persona, garantiza que nadie pueda tener dos claves iguales. Esto quiere decir que se cumple la exclusividad hacia la derecha. En cambio, la asignación de la fecha de cumpleaños no siempre es una función. Por ejemplo, una persona que nació en año bisiesto, el día 29 de febrero, tiene dos fechas de cumpleaños: 1 de marzo y 29 de febrero. Esto no es una función porque no hay exclusividad hacia la derecha.

Figura 1.9 La primera gráfica no corresponde a una función. ¿Qué la hace diferente de las demás?

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Uno podría preguntarse, ¿qué sucede con la exclusividad hacia la izquierda? ¿Es admisible para una función que a dos o más valores de x les corresponda un mismo valor de y? La res-puesta es afirmativa, ya que este hecho no viola el principio geométrico de la recta vertical. Un ejemplo de ello se muestra en la manera en que se anexa el domicilio de una persona a la credencial para votar del INE. A todos los integrantes de una familia {x1, x2, x3,…} les corres-ponde un mismo domicilio {y}. Sin embargo, al menos dentro de los requisitos del INE, en la credencial de una persona no pueden aparecer dos domicilios, por lo que en esta situación se cumple la definición de las funciones.

Actividad 3 CDBM 3En el siguiente listado, se enuncian algunas relaciones conocidas. Determina en cada caso si se trata o no de una función.

¿Es una función?

El sueldo que cada persona percibe en el trabajo.

El idioma que cada persona habla en una clase de Inglés impartida en México.El número de divisores que tiene cada número comprendido entre 1 y 10.

La contraseña usada por una persona para ingresar a Facebook.

Las cuentas de Facebook pertenecientes a una persona.

Los programas transmitidos en televisión a las 7:00 y a las 8:00 pm.

La mascota que tiene cada integrante de una familia.

Determina si el modelo que seleccionaste es una función o no.Para ello puedes tomar cualquier valor de x y preguntarte si bajo la fórmula, éste va

a dar a uno o más valores en y. Es decir, analiza si tu modelo matemático cumple con la exclusividad hacia la derecha. También puedes realizar preguntas concretas acerca del fenómeno. Por ejemplo, para un mismo radio traqueal, ¿el aire podría ser expulsado a dos velocidades distintas al toser, o sólo a una? ¿Puede la fórmula asignar dosis distintas de un medicamento a un niño en determinada edad?

También puedes valerte de la prueba de la recta vertical, al trazar cualquier recta vertical sobre la gráfica del modelo, ¿la cruza en un punto, o en más de uno?

Discute con tu profesor tus resultados y verifícalos.

Proyecto formativo

Salgado Briseño Concepción

S A B C D F L R NM5 6 6 620 0 9

Inicial y primera vocal interna del primer apellido; inicial del

segundo apellido e inicialdel nombre

Fecha de nacimiento Sexo

Entidad federativade nacimiento

Primeras consonantesinternas de apellidos

y del nombre

Asignadopor la RENAPO

Diferenciación dehomonimia y siglo

Dígito verificador

Figura 1.10 Ejemplo de la regla para la generación de una CURP, que cumple con el criterio de exclusividad hacia la derecha.

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t

Fomento a la lectura

Prelectura1. ¿Conoces el mito de Narciso?2. ¿Cómo se comporta una persona narcisista?3. ¿Sabías que también existen los números narcisistas?

LecturaI. Lee el texto siguiente.

Nar

ciso

y l

os nú

meros

narc

isist

as

Uno de los mitos más populares, y que desgraciadamente ha cobrado una fuerza inusitada en nuestros días, es el de Narciso. El célebre ensayista francés Gilles Lipovetsky afir-maba en su célebre obra, La era del vacío, que cada época en la historia se caracterizaba por la adopción de la figura de un héroe. Según las palabras de este escritor, era preci-samente la figura de Narciso la que mejor caracterizaba a la época postmoderna, basada esta última en un culto excesivo hacia la propia persona.

A continuación te presentamos algunas de las versiones más populares.

Narciso era un hermoso joven que despreciaba el amor. Su leyenda es referida de distintas maneras según los autores. La versión más conocida es la de Ovidio en las ‘Metamorfosis’. En ella, Narciso es hijo del dios del Cefiso y de la ninfa Liríope. Al nacer, sus padres consultaron al adivino Tiresias, el cual les respondió que el niño «viviría hasta viejo si no se contemplaba a sí mismo». Llegado a la edad viril, Narciso fue objeto de la pasión de numerosísimas doncellas y ninfas, pero siempre permanecía insensible. Finalmente, la ninfa Eco se enamoró de él, pero no consiguió más que las otras. Desesperada, se retiró a un lugar solitario, donde adelgazó tanto, que de toda su persona sólo quedó una voz lastimera. Las doncellas despreciadas por Narciso piden venganza al cielo. Némesis las escucha y hace que, en un día muy calu-roso, después de una cacería, Narciso se incline sobre una fuente para calmar la sed. Ve allí la imagen de su rostro, tan bello, que se enamora de él en el acto, e insensible ya al resto del mundo, se deja morir, inclinado sobre su imagen.

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Aún en el Éstige trata de contemplar los amados rasgos. En el lugar de su muerte, brotó una flor, a la que se dio su nombre: el narciso.

La versión beocia de la leyenda era sensiblemente distinta. En ella se decía que Narciso era un habitante de la ciudad de Tespias, no lejos del Helicón. Era joven y muy bello, pero despreciaba los placeres del amor. Estaba enamorado de él un joven llamado Aminias, pero Narciso no le correspondía; lo rechazaba constantemente y acabó enviándole una espada como presente. Aminias, obediente, se suicidó con el arma ante la puerta de Narciso; pero al morir pidió la maldición de los dioses contra su cruel amado. Un día en que el joven se vio en una fuente, enamoróse de sí mismo y, desesperado ante su pasión, se suicidó. Los tespios tributaron un culto al amor, cuyo poder quedaba patente en esta historia. En el lugar en que se había suicidado Narciso y donde la hierba había quedado impregnada con su sangre, nació una flor: el narciso.

(Diccionario de mitología griega y romana de Pierre Grimal, de la editorial Paidós, Buenos Aires, Argentina, 1981).

Poslectura1. ¿Y dónde quedaron los números narcisistas?

2. ¿Qué relación tiene esta lectura con el cálculo diferencial?

3. ¿Qué beneficios encuentras al conocer el mito de Narciso?

4. Menciona tres conductas que actualmente podrían ser consideradas narcisistas.

Descubre +

Se dice que un número es narcisista, si es igual a la suma de las potencias de sus cifras elevadas a la cantidad de cifras de sí mismo.Por ejemplo, 153, que tiene 3 cifras, es narcisista, ya que: 13 + 53 + 33 = 1 + 125 + 27 = 153A estos números también se les conoce como “los números enamorados de sí mismos”.

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El dominio y el rango de una funciónAl conjunto del cual se toman las x para hacer con ellas una asignación, se llama dominio de la función (Dom f). Al conjunto de llegada, representado por “y”, se le llama contra-dominio o rango de la función (Ran f).

En el ejemplo de La fuerza máxima de una repetición, el dominio corresponde al número máximo de repeticiones que una persona soporta ante determinado ejercicio; mientras que el rango estaría conformado por todos los valores obtenidos para el 1RM que arrojó la fórmula.

La siguiente tabla recupera los distintos modelos matemáticos con los que abrimos el resultado de aprendizaje, para reforzar tu habilidad, e identificar el dominio y el rango de una función.

Actividad 4 CG 8, 8.3 CDBM 3Completa la información faltante. Para ello, consulta los modelos revisados en la actividad 2.

Identificar el dominio y el rango de una función

Modelo Dominio RangoDieta para ratas

g(p) = -60p2 + 50p + 10 p: g:

Cultivo de bacterias

=+ −

P te

( ) 501 80 t

t: P:

Un medicamento

=+d E E( ) 1

0.25E: d:

El VIHN(t) = 1000e -0.098t t: N: células CD4+

La tosV(r) = 215.54 r 2 (2.2-r) r: V:

Nadando a contracorriente

=−

E v vv v

( ) 65( )

k

c

v: velocidad en m/s E:

Un contaminante

=+

C t tt

( ) 15250

t: tiempo en semanas

C: concentración en mg/l

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Diagrama sagital de una función y su registro en el plano cartesiano

Al abrir un libro que trate sobre funciones, es muy común observar cómo a éstas se les suele representar mediante diagramas de óvalos, también conocidos como diagramas sagitales. En éstos se puede apreciar de manera detallada cómo es que opera una función: esa regla de asignación que tiene en X su conjunto de salida, y en Y un conjunto de llegada.

Una función consta de flechas que unen elementos del dominio con ele-mentos del contra-dominio. Nota cómo a una función le importa mucho que una x no vaya a parar a más de un lugar; pero le importa poco que varias x vayan a parar a un mismo elemento. Eso es lo que debemos en-tender por la exclusividad hacia la derecha exhibida por una función.

Esto explica por qué a veces las funciones se escriben como un conjunto de parejas ordenadas, donde el primer número hace referencia al dominio, y el segundo al rango de la función.

Al pensar la proposición: El número de divisores que tiene cada número del 1 al 6, es claro que ésta hace referencia a una función. ¿Por qué?

Número Sus divisores1 {1}2 {1 y 2}3 {1 y 3}4 {1,2 y 4}5 {1 y 5}6 {1, 2, 3 y 6}

Porque debido a que hay exclusividad hacia la derecha: ningún valor de x va a parar a más de un valor en y.

Descubre +

Sagita es un término exportado de la Geometría, comúnmente usado para designar a una flecha.

x123456

y

1

2

3

4

Figura 1.11 En este diagrama, x es el número mientras que y es la cantidad de divisores para cada número. Es una manera gráfica de corroborar la exclusividad hacia la derecha.

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De tal suerte que a esta función también se le puede escribir como un conjunto de parejas ordenadas:

f(x) = {(1,1) , (2,2) , (3,2) , (4,3) , (5,2) y (6,4)}

O bien, en forma gráfica:

5

5 6

4

4

3

3

2

2

1

10

Cantidad de divisores

Número

Actividad 5 CDBM 3

Lee cuidadosamente cada una de las siguientes asignaciones y traza en tu cuaderno el diagrama sagital, el listado de parejas ordenadas y su representación gráfica. Una vez realizado, determina si cada oración describe o no una función.

¿Es una función?

1. Asignar a cada número del 1 al 5, su cuadrado.

2. Asignar a cada número del 1 al 5, su raíz cuadrada (cuántas raíces tiene un número).

3. Asignar a cada elemento del conjunto A = {-8, -1, 0, 1 y 8}, su raíz cúbica.

4. Asignar a cada número entre 1 y 8, su doble aumentado en 3.

5. Asignar a cada número del conjunto A = {-3, -2, 0, 2 y 3}, su cuadrado.

6. Asignar a cada número del 1 al 6, el valor de la suma de todos los números inferiores a cada uno de ellos.

7. Asignar a cada número del conjunto A = {30°, 150°, 210° y 330°}, el valor que arroja la calculadora al usar la función seno (sin).

Figura 1.12 Modelo gráfico de la función que representa la cantidad de divisores de los números del 1 al 6.

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Tipos de funcionesLa clave de las funciones, más que en su gráfica, se encuentra en su fórmula. Esta afirmación permite acotar enormemente nuestras consideraciones acerca de las funciones. De modo que en el intento de definir cuántos tipos de funciones existen, basta con centrar la atención en el tipo de operaciones a las cuales está sujeta la variable independiente x.

En los círculos matemáticos se acepta la siguiente clasificación:

Según se observará, las funciones algebraicas son aquellas que en su regla de correspondencia usan las operaciones básicas: multiplicación, división, suma, resta, potencia y radicalización. En cambio, las trascendentes son funciones cuyo valor no se obtiene al realizar algún conjunto de operaciones con la variable; en su defecto se recurre a una herramienta como la calculadora. Además estas últimas funciones tienen nombre: seno, coseno, tangente, exponencial y logarítmica.

La siguiente tabla provee algunos ejemplos de funciones algebraicas y trascendentes:

P(x) = 3x2 - 7x + 2 = −I x x( ) 9 18 y = sen (3x + π) =−

R x xx

( ) 46

3

=−

+R x x

x( ) 9 6

12 y = 4ex - 2e-x = −I x x x( ) 2 53 =y xIn( )

y = ln (3x) = +πy xtan(34) y = 6e -x P(x)=3x3-5x2

AlgebraicasPolinomiales

Exponenciales

Logarítmicas

Trigonométricas

Irracionales

Racionales

Trascendentes

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Actividad 6 CG 8, 8.2 CDBM 3

Clasificando funcionesI. Discute con tus compañeros las siguientes definiciones y decide a qué tipo de función

corresponde cada una.

Expresiones que utilizan funciones trigonométricas

aplicadas a cantidades variables.

Son aquellas definidas como el logaritmo natural de expresiones variables.

Son aquellas que incluyen expresiones radicales en su regla de correspondencia.

Es aquella que se escribe como el cociente de dos funciones polinomiales.

Son aquellas que constan de una base numérica y una expresión variable

como exponente.

Formadas por cadenas de sumas y restas de potencias

enteras de la variable x.

II. Utiliza los colores propuestos en la tabla de arriba, clasifica y colorea cada una de las siguientes funciones.

=+ −

y e e2

x x

=−

−g x In x

x( ) 3 5

11 2=

++

f x xx

( ) 2 47 2

= +g x x( ) 12

= − +y x x25

3 19 = +y x xcos(3 ) sen = +g x x( ) 6 12 = +y x xtan2

=+

y xx

sen2cos ( 1)2

= −y e e2 3x x2 = − −y e2(1 )x = •h x x x( ) In

=+ −+

f x x xx

( ) 3 4 42

2 = + +f x x x( ) 2 1=− +f x x x

x( ) 3 72

3= − −h x x x( ) 5 43

=−+

h x xx

( ) 22

= −f x x( ) In(12 3 ) = − −g x x x( ) 43 = −y 2 x2

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Obtención algebraica del dominio y rango de una funciónLas funciones, al involucrar una gran variedad de operaciones, corren el riesgo de caer en una imposibilidad de estimación. ¿A qué nos referimos con esto?

Por ejemplo, a los números negativos no se les puede sacar raíz cuadrada cuyo resultado sea un número real; es imposible calcular la forma decimal de una fracción si en su denominador hay un cero. Por eso es necesario tomar con mucho cuidado los valores atribuidos a la variable x, pues estos pueden conducir a la función a no estar definida para los números reales, como lo es tener ceros en el denominador, o números negativos dentro de las raíces cuadradas.

A esa precaución para los valores que puede tomar la variable x se le conoce como obtener el dominio de una función. A la atención puesta en los valores obtenidos al evaluar una función se le denomina obtener el rango o imagen de una función. ¿De dónde se obtienen esos valores de entrada y salida de una función? Del conjunto total de números hasta hoy conocidos: los números reales R = (-∞,∞).Resumiendo:El dominio es el conjunto de valores donde se vale calcular la función. Matemáticamente, se escribe así: {Dom f }.El rango es el conjunto de resultados que arroja una función cuando lo evaluamos en los posibles valores del dominio. Matemáticamente, se escribe así: {Ran f }.

Matemáticas aplicadas a la medicinaEs muy común que los médicos usen las matemáticas para desempeñar ciertas tareas propias de su profesión. Por ejemplo, existe una función muy sencilla que permite determinar el ta-maño de un feto durante las 40 semanas de gestación.

Dicha función se plantea en los siguientes términos: T(f) = 6.18 + 0.59f

donde f representa la longitud del fémur del feto medido en milímetros y T la longitud del feto en centímetros.

Así, un fémur de 40 mm arroja una longitud aproximada de 30 centímetros. Sin embargo, al consultar en internet la Calculadora del tamaño fetal (un programa para satisfacer la curiosidad de los futuros padres) el simulador tiene la siguiente especificación:

“Los valores del tamaño del fémur deben estar entre 30 y 90 mm”.Lo cual significa que la función del tamaño fetal tiene un dominio muy particular:Dom T = {f ∈ R | 30 mm. < f < 90 mm.}

Feto

de

4 se

man

as

Feto

de

12 se

man

as

16 se

man

as

20 se

man

as

24 se

man

as

28 se

man

as

32 se

man

as

36 se

man

as

40 se

man

as

Figura 1.13 Crecimiento del feto de las 8 a las 40 semanas.

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Esto quiere decir que la función pierde su sentido cuando la longitud del fémur queda fuera del intervalo de 30-90 mm.

En este caso, el dominio de la función está determinado por parámetros biológicos que los médicos han identificado a lo largo de su experiencia. En el siguiente apartado, aprende-remos cómo no la biología, sino el álgebra y una App, nos ayudarán a determinar el dominio de una función. Razón por la cual valdría la pena descargar en tu celular o tablet la aplicación gratuita GeoGebra. Con ayuda de tu profesor, explora esta sencilla pero poderosa herramienta.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 3

3 34

35

36

37

38

39

40

41

42

11

15

1821

2427

31

3436404245475052

5658

6062

6466

69

70

7173

75

54

2522

2933

3640

434650535659626567

7072

7577

8082

8486

88

90929395

9698

1

2

4

7

14

25

45

70

100140

190

240

300360430501600

700

800

900

11751350

1501

18251675

2001

2160

2340

2501

2775

3001

32503501

10004

6.5

9

12.5

16

20.5

25

27.530

32.5

35

37.5

40

42.5

45

47.5

50

DRP - Diámetro bipariental (mm

)

Longitud del fémur (m

m)

Peso (gr)Talla (cm)

PART

O

Figura 1.14 Calculadora del tamaño fetal en formato gráfico.

Figura 1.15 Ícono de GeoGebra.

Figura 1.16 Modelo gráfico de la función R(x) = 12/(2x-6).

-6

-8

4

6

2

-2

0 10-10 20-20 30-30 40-40 50 60

-4

R(x)

x

¿Cómo obtener el dominio de una función?A continuación se muestran algunos ejemplos de cómo encontrar el dominio y rango de las funciones más problemáticas. En este apartado no aparecen las funciones polinomiales porque ni su dominio ni su rango pueden quedar inde-terminados, ya que éstas se pueden calcular en cualquier valor que se asigne a la x.

Ejemplo 1: Hallar el dominio y rango de =−

R xx

( ) 122 6

Por tratarse de una función racional, el cuidado está puesto sobre el denominador. Igualemos a cero el denominador y despejemos x.

2x - 6 = 0

2x = 6

x = 62

= 3

Por lo que en x = 3 la función no está determinada.El dominio corresponde a todos los números reales excepto 3. En

notación de intervalos esto se escribe así:Dom R = { }∈ ≠ = −∞ ∪ ∞x R xDomR= : 3 ( ,3) (3, )

Esto parece muy sofisticado, pero significa que el dominio son los dos pedazos que quedan cuando a la recta numérica le quitamos el 3.

El rango de la función, según la gráfica es: Ran R = {R ∈ R: R ≠ 0} = (−∞, 0)(0, ∞)

ya que cero es el único valor real no alcanzado por la función.

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Una característica notable de las funciones racionales es que tienen comportamiento asin-tótico. Observa cómo en x = 3 hay una recta vertical señalada que sirve de acotación a la función. A esta recta se le conoce como asíntota vertical. También es claro que el eje x juega un papel semejante: acota la gráfica en un arriba y un abajo, por lo que está jugando el papel de asíntota horizontal.

Ejemplo 2: Determinar el dominio y rango de =+ −

R xx x

( ) 122 82

Se iguala a cero el denominador:

x2 + 2x - 8 = 0; que factorizando queda:(x + 4) (x - 2) = 0

Si despejamos x de cada factor resulta:x = -4 y x = 2 De modo que habrá dos asíntotas verticales y el eje x como asíntota horizontal.

Dom R = {x ∈ R: x ≠ −4, 2} = (−∞, −4)(−4, 2)(2, ∞)

−∞ − ∪ ∞Ran R = , 1.3) (0, )(

Obsérvese que hay toda una franja horizontal donde no existe gráfica.

Ejemplo 3: Determinar el dominio y rango de = −I x x( ) 3 12

Al tratarse de una función irracional, el cuidado del dominio debe estar puesto en que no se obtengan cantidades negativas dentro del radical.

Por lo que la condición a poner es que

3x - 12 ≥ 0 (no ser negativo)

3x ≥ 12

x ≥ 123

, es decir, x ≥ 4

Mientras x esté en 4, o a la derecha de 4, la raíz no se aplicará sobre una cantidad nega-tiva, y por lo tanto, se podrá calcular en los números reales. Así, observando la gráfica:

Dom I = (4,∞) y Ran I=(0,∞)

Porque la gráfica existe por encima del eje x.

0

2

-2

-4

-6

-8

4

10-10-20-30 20 30 40

R(x)

x

10-10

2

-2

4

6

8

20 30 40 50

A = (4,0)

I(x)

x

Figura 1.17 Modelo gráfico de la función R(x) = 12/(x 2 + 2x - 8).

Figura 1.18 En una función irracional, el domino no debe generar cantidades negativas dentro del radical.

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Ejemplo 4: Determinar el dominio y el rango de =

Establecemos la condición: x2 - 3x - 18 ≥ 0

Factorizamos: (x - 6) (x + 3) ≥ 0

Para que un producto sea positivo, sus factores deben ser del mismo signo.Caso I: x - 6 ≥ 0 y x + 3 ≥ 0Resolviendo: x ≥ 6 y x ≥ -3 → [6,∞)Caso II: x - 6 ≤ 0 y x + 3 ≤ 0Resolviendo: x ≤ 6 y x ≤ -3 → (-∞,-3]Por lo que: Dom I = (-∞, -3] [6,∞)Ran I = [0,∞)

5

-5

-10

5-5

10

10-10

15

15-15

20

20-20

25

25-25

30

I(x)

x

Ejemplo 5: Determinar el dominio y rango de f(x) = ln (2x2 - 50)

La función logarítmica sólo está definida para valores positivos en el dominio.

2x2 - 50 > 0

2x2 > 50

x2 > 25 esto implica que |x| > 5

Ya que todo número elevado al cuadrado tiene signo positivo.

Entonces x <-5 y x > 5, es decir

Dom f = (-∞,-5) (5,∞)

Ran f = (-∞,∞)

5

-5

-10

-10

-15

-15

-20

-20

-25

10

10

15

15

20 250 5-5

f(x)

x

Figura 1.19 En esta función irracional, el domino sí contiene números negativos.

Figura 1.20 La función logarítmica sólo está definida para valores positivos en x.

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Actividad 7 CDBM 3Determinando el dominio y rango

Determina el dominio de las siguientes funciones por métodos algebraicos. Mediante el uso de GeoGebra, determina el rango y dibuja la gráfica en tu libreta.

1. f(x) = 9 - 4x2

Dominio:

Rango:

2. f(x) = ln (3x2 - 48)

Dominio:

Rango:

3. =−+

f xx

( ) 57 28

Dominio:

Rango:

4. = −f x x( ) In(74

112)2

Dominio:

Rango:

5. =−

f xx

( ) 63 15

Dominio:

Rango:

6. e −x7

2 5=

Dominio:

Rango:

30


Prohibida s

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x

Actividad 8 CG 8, 8.2 y 8.3 CDBM 3Funciones especiales

I. Formen equipos de cuatro personas. Por sorteo, se designa a cada integrante una de las siguientes funciones:

• La función constante • La función identidad • La función valor absoluto • La función escalonada

II. Cada quien tendrá que investigar las características de su función, preparando una breve exposición, la cual presentará frente al resto de los integrantes de su equipo. La evaluación correspondiente usará el siguiente instrumento.

Guía de observación Sí NoEl expositor presenta el nombre y la fórmula de la función (20%)El expositor muestra cómo se obtienen los valores de la función (20%)El expositor muestra y describe la gráfica de la función (20%)El expositor determina cuál es el dominio de la función (20%)El expositor determina cuál es el rango de la función (20%)

7. = −f x x( ) 5 12

Dominio:

Rango:

8. = − +f x x x( ) 8 122

Dominio:

Rango:

9. f(x) = ln(11x - 88)

Dominio:

Rango:

1

1-1-2-3

-1

0

-2

2

2

3

3

y

x0

-22

2

-2-4-6-8 4

4

6

6

8

8

-4

-6

y

x

31

Primer parcial

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x

¿Cómo te sentiste durante la actividad?

Para reflexionar¿Qué es más conveniente: una conducta solidaria o una egoísta?

Paso a paso

El dilema del prisioneroDos hombres son acusados injustamente de cometer un delito, por ejemplo, un asalto a mano armada. Cuando son detenidos, la policía no puede probar que el asalto fue cometido por los dos prisioneros. Para lograrlo, necesita la confesión de alguno de los prisioneros que acuse al otro. En cambio, si los dos se niegan a acusar a su compa-ñero, la policía sólo podrá levantar el cargo menor de portación de armas prohibidas. Separando a los dos prisioneros, la policía le plantea a cada uno de ellos el dilema expresado en la siguiente tabla:

Acusar No acusarAcusar (10 años, 10 años) (libre, 20 años)

No acusar (20 años, libre) (2 años, 2 años)

Tabla 1. Castigos en el dilema del prisionero. La primera coordenada representa el castigo en años de cárcel para el prisionero 1, mientras que

la segunda lo correspondiente al prisionero 2.

I. Reúnanse en equipos de tres personas. Uno de los compañeros planteará a los otros dos el dilema del prisionero. Estos últimos anotarán en un papel cuál sería su manera de proceder. Luego se intercambiarán los papeles.

Para terminarI. Al final, el grupo cotejará la estrategia seguida por los inte-

grantes de cada equipo y discutirán cuál sería la mejor decisión. Mencionarán otros dos ejemplos de la vida real que se asemejen al dilema del prisionero.

Prisonero 2

Pris

oner

o 1

Actividad 1

No me gustaMe da igual

Me emociona Me gusta

Nuestro objetivo

• Reconocer las situaciones en las que nuestra opinión puede impactar a otra persona.

• Valorar las consecuencias de nuestras decisiones.

Materiales

• Hojas blancas • Bolígrafo

Desarrollo de Habilidades Socioemocionales

Colaboración

32

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x

è Otras maneras de clasificar una funciónFunción continua o discontinuaSe espera que la sección anterior te haya servido para familiarizarte tanto con la fórmula como con la gráfica de una función. En esta sección, deseamos resaltar una característica visual de las gráficas. Aunque en el siguiente ECA se abordará de manera más formal dicha caracterís-tica, se puede adelantar mucho en lo que a información visual se refiere.

Entonces, ¿cuál es esta nueva manera de comprender la gráfica de una función? La res-puesta está relacionada con la manera de trazar su gráfica: sin despegar o despegando el lápiz; en un solo trazo o en varios. A las funciones cuya gráfica se puede trazar sin despegar el lápiz se les conoce como continuas; a las que se trazan despegando el lápiz, como discontinuas.

Es claro que las funciones racionales son un ejemplo típico de funciones discontinuas, pues su gráfica casi siempre se encuentra segmentada “por una o más cruces punteadas”; a saber, aquellas conformadas por una asíntota horizontal y una o más asíntotas verticales. Su efecto, según vimos, es dividir la gráfica en un “arriba, abajo, izquierda, centro o derecha”.

En cambio, funciones como la identidad, valor absoluto, o en general cualquier función polinomial, son continuas, ya que su gráfica se puede trazar sin despegar el lápiz.

0

2

-2

-4

-6

-8

4

10-10-20-30 20 30 40

y

x

f(x) = x - 1

x = 2

f(x) = 2x - 1

Salto

x

y

y

x

y

x

Figura 1.21 A las funciones cuya gráfica se puede trazar sin despegar el lápiz se les conoce como continuas; a las que se trazan despegando el lápiz, como discontinuas.

Figura 1.22 Ejemplos de funciones continuas.

33

Primer parcial

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x

Función creciente o decrecienteOtra característica notable de la gráfica de una función es que puede subir o bajar en su recorrido por el plano cartesiano.

Por ejemplo, si dejamos caer una pelota desde un edificio de 500 metros de altura, ésta tardará en llegar al suelo poco más de 10 segundos. A medida que la pelota cae, su velocidad aumenta a razón de 9.8 m/s. Por lo que su velocidad al golpear el suelo será 9.8 m/s × 10 = 98 m/s.

La gráfica en la que se ve cómo cambia la velocidad a medida que pasa el tiempo se muestra en la figura 1.22. Claramente, la gráfica sube de izquierda a derecha y, por esta razón, la función se denomina creciente.

En cambio, considérese la siguiente afirmación: 3 albañiles construyen una casa en 32 días. ¿Cuánto tiempo les llevará construirla si aumentamos a 6, a 12 y a 24 albañiles la plantilla de trabajadores?

velocidad

tiempo

Días de construcción

Albañiles

A simple vista, entre más trabajadores, menor será el tiempo de construcción; por lo que en la gráfica que modela esta situación se observará un comportamiento descendente (Figura 1.24), una caída de la gráfica en su recorrido de izquierda a derecha. Como habrá de suponerse, a las funciones con una gráfica así se las conoce como decrecientes.

Los matemáticos, que son muy estrictos en sus definiciones, suelen decir lo siguiente respecto a las dos funciones ya mencionadas:

Las funciones crecientes son aquellas que preservan en el rango, el orden del dominio, las decrecientes lo invierten.

En términos formales la idea anterior se escribe así:

Una función f(x) es creciente, si cada vez que x1< x2, entonces f(x1) < f(x2).Una función f(x) es decreciente, si cada vez que x1< x2, entonces f(x1) > f(x2).

Para establecer las regiones del dominio donde una función es continua o no, o es creciente o decreciente, también se usa la notación de intervalos que anteriormente trabajamos para definir el domino y el rango.

Los siguientes ejercicios te serán de ayuda para familiarizarte con las descripciones propias de una función.

Figura 1.23 Ejemplo de una función creciente. Figura 1.24 Ejemplo de una función decreciente.

34


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Actividad 9 CDBM 3

Intervalos de crecimiento y decrecimiento, de continuidad y discontinuidadObserva la gráfica de las siguientes funciones y determina en qué intervalos es creciente, decreciente, continua o discontinua.

1

0 1-1

2

3 4 5 6 72-2-3

3

4

5

6

8

7

x

y

0 1 2 30.5-0.5-1.5 -1 1.5 2.5

2

3

4

5

1.5

2.5

3.5

4.5

5.5

x

y

Creciente:

Decreciente:

Continua:

Discontinua:

Creciente:

Decreciente:

Continua:

Discontinua:

Creciente:

Decreciente:

Continua:

Discontinua:

Creciente:

Decreciente:

Continua:

Discontinua:

1

1

0-1-2 2

2

4

4

5

5

63

3

x

y

0 1-1-2

1

2

2

3

3

4

4

5

5

x

y

1.

3.

2.

4.

35

Primer parcial

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x

2

2

0-2

-2

-4

-4

-6

-8

-10

4

4

6

6

8 10 12 14 16 x

y

1

1

0-1

-1

-2

-2

2

2

3

3

4 5 6 7 x

y

Creciente:

Decreciente:

Continua:

Discontinua:

Creciente:

Decreciente:

Continua:

Discontinua:

1

10

-1

-1

2

-2

-2-3-4-5 x

y

-2

-2

2

2

0-4

-4

-6 4

4

6

6

x

y

Creciente:

Decreciente:

Continua:

Discontinua:

Creciente:

Decreciente:

Continua:

Discontinua:

5.

7.

6.

8.

36


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x

Funciones compuestasCualquier motociclista de ruta ha comprobado que este vehículo se “desboca” cuando rueda a nivel del mar. Esto se debe a que en las zonas costeras la concentración de oxigeno es mayor que en la zonas de mayor altitud como la Ciudad de México, por lo que el motor “revoluciona” a un ritmo sensiblemente diferente. Y lo mismo sucede con el rendimiento de los atletas: aquellos que suelen entrenar a grandes altitudes tienen una ventaja considerable respecto de aquellos que viven y entrenan a poca altitud.

Lo anterior significa que los modelos matemáticos propuestos para describir el rendimiento tanto de las máquinas como el de los grandes atletas no pueden sintetizarse en una sola fórmula; a cambio necesitan reglas de correspondencia que se adapten a diferentes condiciones. Por ejemplo, las ecuaciones usadas para describir el movimiento de un meteorito en el espacio exterior pierden su efectividad cuando éste ingresa a la atmósfera terrestre. Las funciones de dirección y velo-cidad de un haz de luz cambian cuando éste atraviesa sustancias de diferente densidad. Nuestro ritmo cardiaco y frecuencia respiratoria no son idénticos durante el día y la noche, por mucho que sigan suce-siones numéricas muy precisas.

Podríamos continuar enunciando situaciones cotidianas donde un modelo matemático requiere de más de una fórmula para describir satisfactoriamente un fenómeno. Sin embargo, en esta sección nos avocaremos a la construcción de gráficas de funciones en las cuales interviene más de una regla de correspondencia; es decir, nuestro objetivo es describir en el plano cartesiano a las funciones compuestas.

0 m

1500 m

2250 m

8700 m

Efecto de la latitud

Mt.

Evar

est

21%

O2 , 5

3 m

mH

g

Niv

el d

el m

ar21

%O

2, 15

5 m

mg/

=2 Ciud

ad d

e M

éxic

o 21

% O

2, 12

2mm

Hg

Denv

er21

% O

2, 13

7 m

mH

g

Fig. 1.25 A menor altitud con respecto al mar, mayor es la concentración de Oxígeno.

0-1

-1

1

1

-2

-2

-3-4 2

2

3 4 x

y

h

g

i

1 2 3 4 5-1 0

1

2

3

4

-1

-2

-2

-3x

y

Creciente:

Decreciente:

Continua:

Discontinua:

Creciente:

Decreciente:

Continua:

Discontinua:

9. 10.

37

Primer parcial

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Gráfica de funciones compuestas

Ejemplo 1:

Daniel emplea una hora en correr 10 km sobre una pista plana. Inmediatamente después, toma una ruta con cierta inclinación, por la que avanza otros 5 kilómetros en dos horas, hasta alcanzar la cima. Enseguida, emprende el regreso. Las facilidades del descenso le permiten completar los mismos 5 kilómetros en tan sólo una hora. Posteriormente, descansa durante una hora.

Construye el modelo matemático que describa la ruta de Daniel. Como lo muestra la gráfica, el trayecto de Daniel está descrito por

fragmentos con características diferentes. En su primera avanzada, el ritmo de caminata fue de 10 km/h, mientras que en un segundo momento (debido a que subía) su ritmo bajó a 2.5 km/h. Luego descendió a 5 km/h y finalmente, su ritmo de caminata llegó a cero cuando decidió descansar.

Claramente, no es posible ajustar todo el trayecto a una sola recta; en su lugar habrá de recurrirse a cuatro de éstas. Del curso de Geometría Analítica se recuerda que bastan dos elementos para determinar la ecuación de una recta: un punto P(x1, y1) y una pendiente (m).

y - y1 = m (x - x1)

donde: =m avance en lo verticalavance en lo horizontal

Distanciakm

Tiempo(h)A

B

f

1 2 3 4 5

5

10

15

20

6 7

gh

i

C

D E

Si aplicamos esto resultaría:

De A→B tenemos: A (0,0) y m = ↑→

101

. Por lo que la ecuación queda: y - 0 = 10 (x - 0) → y = 10x

De B→C tenemos B(1,10) y m = ↑→

52

. Por lo que queda:

De C→D tenemos C (3,15) y m = − ↓→5

1. Por lo que queda − =

−− → = − + +y x y x15 5

1( 3) 5 15 15

y = -5x + 30

Por último, de D→E tenemos y = 10

y = 52x

+ 152− = − → = − +y x y x10 5

2( 1) 5

252

10

≤ ≤

+ ≤ ≤

− + ≤ ≤

≤ ≤

f x

x

x

xx

( )

10 , si 0 x 152

152

, si 1 x 3

5 30, si 3 x 410, si 4 5

Figura 1.26 Trayecto de Daniel

38


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Actividad 10 CG 8 CDBM 3

¡Explotando GeoGebra al máximo!Al observar el ejemplo anterior, el lector podrá replicar con toda justicia que no todas las situaciones se pueden modelar mediante funciones lineales, es decir, a partir de funciones cuya gráfica siempre involucre una recta. Lo cual abre la pregunta acerca de qué tipo de gráficas se obtendrán al mezclar una gran variedad de fórmulas. Para contestar a esta inquietud, usaremos otra herramienta de GeoGebra. Nos referimos a aquella que nos per-mite restringir el dominio de una función para lograr acotar su gráfica.

Desglosemos la siguiente función compuesta:

=

= + ≤ <

= + ≤ ≤

= < <

F xf x xg x xh x

( )( ) 3, si -3 x 0( ) 3, si 0 x 2( ) 7, si 2 x 5

2

Nótese cómo esta regla de correspondencia implica tres funciones: una recta de pen-diente 1, una parábola desplazada tres unidades hacia arriba y la constante de altura 7. Cada una de estas funciones tiene restricciones sobre su dominio, por lo que sólo se apreciarán determinados segmentos de su gráfica completa.

En la siguiente imagen se aprecia cómo GeoGebra obedece a un comando que restringe el dominio con tan sólo especificarlo dentro de un paréntesis antecedido por una coma.

Como puedes observar, un sencillo comando nos permite trabajar de manera selectiva con varias funciones.

39

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Actividad 11 CDBM 3

Funciones compuestasLas siguientes funciones compuestas corresponden a algunas de las gráficas con las que se trabajó en la evidencia anterior. Utiliza GeoGebra para identificar a qué gráfica corres-ponden y dibújalas en tu cuaderno.

=

= ≤ ≤

= − ≤ ≤

= − + ≤ ≤

F xf x xg x xh x x

( )( ) , si 0 x 4( ) , si -3 x 0( ) ( 4) 2, si 4 x 52

=

= + ≤ ≤

= + < ≤

= < ≤

−G xf x xg x eh x

( )( ) 5, si -3 x -1( ) 3, si -1 x 2( ) 2, si 2 x 4

x

== ≤ ≤

=

H xf x x

g x x sen (2x), si 0 ≤ x ≤ 7 ( )

( ) 12

, si -2 x 0

( ) 12

2

=

= − + + ≤ ≤

= ⎪ ⎪, ≤ ≤

= − − + ≤ ≤

I xf x xg x xh x x

( )( ) ( 2) 2, si -4 x -2( ) si -2 x 2( ) ( 2) 2, si 2 X 4

2

2

=

=

= ≤ ≤

= − < ≤

J xf xg xh x x x

( )( ) In (x + 3), si -3 ≤ x ≤ 0( ) 2, si 0 x 2( ) 3, si 2 5

=

= − + ≤

= − + < ≤

= − − + < ≤

K x

f x x

g x x

h x x

( )

( ) 4 ( 4) , si -6 x -2

( ) 4 2, si -2 x 2

( ) 4 ( 4) 4, si 2 x 6

2

2

2

1.

3.

5.

2.

4.

6.

40


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x

Operaciones con funcionesEn las secciones anteriores, se han desarrollado dos perspectivas claras para el estudio de una función. La primera de ellas compete a una descripción geomé-trica, mientras que la otra se ocupa de la descripción de la regla de correspon-dencia por la vía del dominio y el rango.

En este último apartado, nos ocuparemos exclusivamente de los procesos algebraicos a los que puede estar sujeta la regla de correspondencia o fórmula de una función.

Para comprender estos procesos, comencemos imaginando que alguien fue capaz de meter en un gran costal a todas las funciones que existen. De tal suerte que es completamente posible meter la mano en ese costal y sacar una función racional o irracional, una función con asíntotas o una función que ocupe el seno de x. Respecto a este experimento imaginario, cabría hacerse algunas preguntas. Por ejemplo, al sacar dos funciones del costal y combinarlas bajo alguna de las operaciones conocidas, ¿la nueva fórmula obtenida será también una función? En caso de una respuesta afirmativa, ¿esa nueva función ya es-taba o no en el costal?

Preguntas como las anteriores rondan a menudo la cabeza de los matemáticos, y son tan frecuentes que a este tipo de cuestiones ya se les ha asignado un nombre, una línea de investiga-ción muy específica. Cada vez que un matemático inventa una operación entre nuevos objetos, se pregunta acerca de si hay o no propiedad de cerradura para el conjunto de todas las opera-ciones posibles. En pocas palabras la propiedad de cerradura quiere decir que existe una garantía inviolable entre los objetos con los que se quiere trabajar. Esta garantía se puede enunciar de manera informal así: “aquello que suceda entre elementos del costal, se queda en el costal”.

Parece muy obvio, pero es necesario que, por ejemplo, cuando yo sume, reste o multiplique con conejos, la respuesta no me quede expresada en mandarinas, sino en conejos. De igual modo, es necesario que cuando tomemos dos o más funciones de nuestro enorme costal ma-temático, la suma, división o resta sean también una función, de esas a las que se les pueda hallar un domino y una gráfica que cumpla con la regla de la línea vertical.

Los siguientes ejemplos muestran cómo producir nuevas funciones a partir de cinco ope-raciones básicas.

Ejemplo 1:

Dadas f(x) = 2x3 - 3x2 + 5x - 7 y g(x) = -4x3 + 6x2 - 2x + 11, hallar:

a. La nueva función: (f + g)(x)Solución: (f+g) (x) = f (x) + g(x) = (2x3 - 3x2 + 5x - 7) + (-4x3 + 6x2 - 2x + 11) = 2x3 - 4x3

-3x2 + 6x2 + 5x - 2x - 7 + 11(f+g) (x) = -2x3 + 3x2 + 3x + 4

b. La nueva función: (f - g)(x)Solución:(f - g)(x) = f(x) - g(x) = (2x3 - 3x2 + 5x - 7) - (-4x3 + 6x2 - 2x + 11) = 2x3 + 4x3 - 3x2 - 6x2 + 5x + 2x - 7 - 11(f - g)(x) = 6x3 - 9x2 + 7x - 18.

)

41

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x

c. La nueva función: (3f)(x)

Solución: (3f)(x) = 3f(x) = 3(2x3 - 3x2 + 5x - 7)(3f) (x) = 6x3 - 9x2 + 15x - 21

Observa cómo en la resta de funciones se modifica el signo de todos los términos de g(x), mientras que en la suma no.

Ejemplo 2:

=−

=−

+f x

xg x x

x( ) 4

3 10y ( ) 8 7

12

a. La nueva función: (fg)(x)

Solución: (fg) (x) = f(x) g(x) = =−

−

+=. −

− +f x

xx

xx

x x( ) g x( ) 4

3 108 7

132 28

(3 10) 12 2

b. La nueva función: fg

x( )

Solución: = = −−

+

=+

− −=

+

− + −

fg

x f xg x

xx

x

xx x

xx x

( ) ( )( )

43 108 7

1

4 1(3 10)(8 7 )

4 121 94 80

2

2 2

2

Actividad 12 CDBM 3Operaciones con funciones

Ejercicio 1. Dadas f(x) = 4x - 3, =−g x x( ) 12 43

y h(x) = x2 + 5x, determinar:

f(2) + g(3) =

f(0) + g(0) =

2h(-1) + f(2) =

42


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x

+ =g hf

(6) (2)(1)

[f (-3)]2 – h(10) =

h(-1) h(3) =

=f

g

1414

− + =f g h9 13

(1) 13

Ejercicio 2: Dadas f(x) = -3x3 + 4x2- 7x + 6 y g(x) = 7x3 + 11x2 - 8x + 5, calcular:

(f + g)(x) =

(f - g)(x) =

(2f - 4g)(x) =

Ejercicio 3: Si f(x) = 5x + 2 y g(x) = -2x + 8, encuentra:

(f ∙ g)(x) =

+ =f g

x1 1 ( )

++

−=

f g f gx1 1 ( )

43

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x

Composición de funcionesLa quinta operación que se puede efectuar con funciones se conoce como composición de funciones (f ◦g), o bien, función de funciones. Sin miedo a equivocarse, ésta es sin duda la operación más compleja del álgebra de funciones, puesto que en ella se ve implicada más de una relación de dependencia a la cual la variable x se verá sujeta.

Para ilustrar esta operación, analicemos el siguiente ejemplo:

Emisiones de monóxido de carbono y la composición de funciones

Se ha determinado que el nivel de monóxido de carbono (CO) liberado en la atmósfera por los habitantes de cierta comunidad está dado por:

donde C representa la concentración de CO (medida en partes por millón) y p el número de habitantes de la población (medido en miles).También se sabe que el número de individuos de la población obedece a la expresión:

= +p t t( ) 310

2

donde t representa el tiempo medido en años.a. Calcular el nivel de CO para t = 3 años.b. Escribir una expresión que calcule la concentración de CO en función del tiempo.

SoluciónEs claro que estamos frente a un ejemplo donde opera el concepto de composición de fun-ciones o función de una función, ya que para calcular la concentración de CO en lat atmósfera, primero es necesario conocer cuál será el tamaño de la población después de tres años.

p(t) C (p(t))

= +p t t( ) 310

2

= +C p p( ) 920

182

Para t = 3 años

= +p(3) 3 310

2

= +p(3) 3 910

= +p(3) 3 0.9

p(3) = 3.9 mil habitantes (o sea 3 900 habitantes)

Para p = 3.9

= = +C (3.9) 9(3.9)20

182

= +C(3.9) 9(15.2)20

18

= + =C(3.9) 6.84 18 24.84

C(3.9) = 4.98 partes por millón

= +C p p( ) 920

182

44


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x

Para encontrar una expresión directa, haría falta plantear la composición de funciones, cuyo recorrido es el que describe correctamente el problema.

C ! p( ) t( ) =C p t( )⎡⎣ ⎤⎦ =9 3 + t

2

10⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

20+ 18

Aunque en principio esta expresión bastaría a los fines para los que fue creada, se pueden realizar ciertas simplificaciones (es opcional):

C ! p( ) t( ) = 9 900 + 60t 2 + t 4( )2000

+ 18

Cuestiones operativasAhora, una vez ya esquematizado el proceso de la composición de funciones, queda pendiente detallar el mecanismo algebraico a partir del cual se puede hallar la regla de correspondencia de “f compuesta con g” (f ◦g). Esto es vital ya que aprender a componer un par de funciones nos proveerá de las bases suficientes para llevar a cabo composiciones en donde se vean in-volucrados más elementos funcionales.Para componer dos funciones, digamos f y g, será útil recordar la siguiente regla:

“Seguir la fórmula de f(x), pero sustituyendo en cada una de las apariciones de x la fórmula que describe a g(x)”.

Los siguientes ejemplos matemáticos, menos complicados que los que modelan situaciones de la vida real, serán de gran ayuda.

Ejemplos de composición de funciones

Ejemplo 1:

Dado f(x) = 3x2 - 4x + 1 y g(x) = 6 - 2x, hallar:

a. La nueva función (f ◦g) (x)

(f ◦g) (x) = f (g(x)) = 3 (6 - 2x)2 - 4 (6 - 2x) + 1(f ◦g) (x) = 3 (36 - 24x + 4x 2 ) - 24 + 8x + 1(f ◦g) (x) = 108 - 72x + 12x 2 - 24 + 8x + 1(f ◦g) (x) = 12x2 - 64x + 85

b. Calcular (f ◦g)(-2) (aquí preguntan cuánto vale la nueva función en x = -2)

(f ◦g)(-2) = f (g(-2)) = 12 (-2)2 - 64 (-2) + 85 = 12 (4) + 128 + 85 = 48 + 213 = 261

Portafolio de evidencias

Completa la Actividad de tu portafolio de evidencias en la página 156 y entrégala a tu docente para su evaluación.

45

Primer parcial

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ducción

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x

Ejemplo 2:

Dadas =+−

f x xx

( ) 11

y =+

g xx

( ) 23

, hallar:

a. (f ◦g)(x)

(f ◦ g)(x) = f [g(x)] = ° = =+

+

−+

=

+ ++

+ −+

=

++++

=+ ++ +

=++

f g x f g x x

x

xx

xx

xxxx

x xx x

xx

( )( ) ( ( ))1 2

3

1 23

3 23

3 23

5313

( 3)( 5)( 1)( 3)

51

b. (g ◦ f)(x)

◦

c. (f ◦ f )(x) (también conocida como la iteración de f )

( )◦ =f f =+

+−

−+−

=

− + +−

− − −−

= −−−

=−

− −= −x f f x

xxxx

x xx

x xx

xxx

xx x x

( ) ( ( ( ))1 11

1 11

1 11

1 11

2121

2(1 )2 (1 )

1

Actividad 13 CG 8, 8.1, 8.2 CDBM 3

Composición de funcionesDeterminen en binas las siguientes funciones.Ejercicio 1: Si f(x) = 3x -7 y g(x) = 2x 2 + 10, determinar:

(f ◦g)(x) = (g ◦ f )(x) = (f ◦ f )(x) =

Ejercicio 2:

Si =++

f x xx

( ) 13

y g(x) = x 2 + 4, determinar:

(f ◦g)(x) = (g ◦ f )(x) = (g ◦ g)(x) =

46


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ducción

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rial M

x

Ejercicio 3: Se llama iteración al proceso de composición de una función consigo misma. Una forma compacta de señalar la iteración es seguir esta notación: (f ◦ f ◦ f)(x)= f 3(x).

Sea =+

f x xx

( )1

, determinar: (f 2)(x) =; (f 3)(x) =; (f 100)(x) =

Ejercicio 4:

Sea =−f x x( ) 2 124

y g(x) = 3x + 4, calcular:

g(f(-2 )) =; f(g(-3/4)) = y g2(-3) =

Ejercicio 5: Se dice que una función f es periódica, si después de cierto número de composiciones con-sigo misma, se vuelve a la fórmula original. Esto es, f n(x) = f(x), para algún valor de n. Comprueba que la función =

+−

f x xx

( ) 11

tiene periodo 5.

=+−

f x xx

( ) 11

f 2(x) = f 3(x) =

f 4(x) = f 5(x) =

La función inversaEl escritor argentino Jorge Luis Borges nos cuenta que Funes el memo-rioso tenía una memoria tan prodigiosa que era capaz de describir las formas de las nubes australes de un amanecer del 30 de abril de 1882 y podía compararlas en el recuerdo con las vetas de un libro en pasta española que sólo había mirado una vez. Incluso era capaz de saber la hora con precisión con sólo mirar el cielo; narrar los recuerdos de ayer le llevaba exactamente un día. Pero, ¿qué sentido tiene conocer este cuento del célebre escritor argentino cuando hablamos de fun-ciones inversas? Imagina que después de dar un paseo por la ciudad, un motociclista, al revisar su pantalón, se percata del extravío de su bi-lletera. ¿Dónde buscar? La respuesta más razonable sería ésta: voy a recorrer todos los puntos de mi trayecto, pero en sentido contrario. Si pensamos en el trayecto como una función formada por los puntos visitados, la función de recuperación haría exactamente lo contrario. La llamada función inversa es un tipo de memoria entre las variables “x” y “y” cuando el tiempo camina al revés. Entonces, ¿cómo saber si dos

Directa

Inversa

2

2-2-4-6

-2

-4

-6

4

4

6

6 8

Figura 1.27 Ejemplo de una función directa (línea roja) y su función inversa (línea azul)

47

Primer parcial

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x

Actividad 14 CG 8.2 CDBM 3

I. Para cada función de la columna izquierda, encuentra su función inversa f- 1(x) en la columna de la derecha. En la mitad de los ejercicios propuestos, utiliza GeoGebra para identificar la reflexión de gráficas respecto de la identidad, y elegir así a las pa-rejas inversas.

II. En el resto de los casos, utiliza la composición para verificar en qué parejas se cumple (f ◦g) = (g ◦ f ) = x.

III. Tras finalizar la actividad, discute con tu profesor cómo determinar la función inversa mediante métodos algebraicos.

Funciones directas Funciones inversasf(x) = 2x - 7f(x) = 7x 2 - 2

+−

f x xx

( ) = 72

= +f x x( ) 7 2

f(x) = 7x 2

f(x) = 2e (x+7)

Una vez adquirida la competencia para trazar la gráfica de una función, anexa a tu modelo matemático su respectiva representación en el plano cartesiano. Puedes usar papel rotafolio para dibujar a una escala considerable. No olvides colocar marcas en los ejes coordenados para obtener una mayor precisión.Analiza, además, el comportamiento de tu gráfica, determinando el rango y dominio, así como las características relacionadas con la continuidad y la discontinuidad, sus intervalos de crecimiento o decrecimiento, y si tienen puntos de máximo o mínimo comportamiento. Para ello, usa la notación de intervalos.Interpreta el significado de la gráfica en sus diferentes momentos, no olvides que un modelo es un problema contextualizado.Finalmente, encuentra su función inversa.

Proyecto formativo

funciones son inversas entre sí? Hay dos maneras de comprobarlo. La primera es una prueba visual: sus gráficas deben ser gemelas desde la perspectiva de un espejo inclinado a 45°. La segunda es una condición algebraica: cualquiera de las composiciones: (f ◦ g) o (g ◦f ) deben dar como resultado x.

48


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x

Or teIngeniería ambiental

Germán Buitrón M. Combatiente de aguas negrasSus estudios se han centrado en el tratamiento de aguas contaminadas por com-puestos químicos orgánicos. Es ingeniero químico por la Facultad de Química de la UNAM. Cursó la maestría y el doctorado en Ingeniería del tratamiento de aguas en el Instituto Nacional de Ciencias Aplicadas de Toulouse, Francia. Desde 1994, es investigador titular de tiempo completo en la Coordinación de Bioprocesos Ambientales del Instituto de Ingeniería de la UNAM. Es coordinador de la misma institución y dirige un grupo de investigación sobre el tratamiento de efluentes industriales contaminados por compuestos tóxicos orgánicos.

¿Qué es?La Ingeniería Ambiental es una rama de la ingeniería que se encarga de prevenir, afrontar y reducir los daños causados al medio ambiente. Su enfoque es integral, ya que aborda diversas problemáticas, tomando en cuenta los agentes físicos, químicos, biológicos, ecológicos, sociales y económicos.

Entre sus labores se encuentran: • Evaluar los daños a los suelos, el aire y la atmósfera. • Realizar estudios de impacto ambiental. • Determinar si una empresa está afectando un ecosistema. • Realizar consultorías externas, como si comandara su propia empresa.

¿Qué necesito?Al combinar las siguientes habilidades y formación profesional, puedes desempe-ñarte como ingeniero ambiental.

I. Marca las habilidades que posees y trabaja en las que sería necesario adquirir.Desarrolla habilidades

Interés en el medio ambiente, el manejo adecuado de los recursos naturales y la resolución técnica de los problemas relacionados con la prevención y el control

de la contaminación, y el fomento del desarrollo sustentable.Motivación hacia la investigación y el desarrollo tecnológico.

Destreza en la aplicación de conceptos básicos de matemáticas (aritmética, álgebra y trigonometría).

Perseverancia y constancia en el desarrollo de sus actividades.Facilidad para utilizar herramientas de cómputo.

Habilidad de análisis sistemático de hechos y resolución lógica de problemas.Buena comprensión lectora.

Ser personas prácticas, organizadas, activas y creativas.II. Investiga cuáles de las siguientes carreras se imparten en universidades cercanas

a tu comunidad: Geología, Física, Química, Biología.

Conocimientos del parcial

• Composición de funciones 49

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x

Evaluación sumativa

I. Determina el dominio de las siguientes funciones por métodos algebraicos. Mediante el uso de GeoGebra, encuentra el rango y dibuja la gráfica en tu libreta.

Función Dominio Rango

1. =−

f x xx

( )9 2

2. +f x x( ) 4 20

3. =+ −

f xx x

( ) 104 212

4. = + −f x x x( ) 2 152

5. = −f x x( ) 162

6. = +f x x( ) In(4 15)

7. f x( ) = In 53x − 15

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

8. = +−

−+

f xx x

( ) 2 73

42

9. f x( ) = sen 2x − 18( )II. Para cada gráfica, determina los intervalos donde la función es: creciente, decreciente, continua

y discontinua.

h

g

p

f20

2

-2-2

-4

-4

-6

-6

4

4

6

6

8

8

10

10

12x

y

0 2

2

-2

-2

-4-6 4

4

6

x

y

50

5

-5

-5

-10

-10

10

10

15

15

x

y

a) b) c)

50


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ducción

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rial M

x

2

5

-5

-10

-15

10

15

-2 0-4-6-8-10 4 6 8 10 12x

y

0 2-2

-2

-4

-4

-6

-6

-8-10

2

4

4

6

6

8

8

10

10

12

x

y

g

0 2

2

-2

-2

-4 4

4

6

6

8

f

h

x

yd) e) f)

Creciente Decreciente Continua Discontinuaa)b)c)d)e)f)

III. Usa GeoGebra para trazar la gráfica de las siguientes funciones compuestas.

== ǀ + ǀ , − ≤ ≤= ǀ ǀ + 2, < ≤ 2= ǀ − ǀ +4, < ≤

L xf x xg x x xh x x

( )( ) 4 si 6 x -2( ) si -2( ) 4 si 2 6x

; == − − ≤ ≤= − ≤ ≤

= − + ≤ ≤

−M xf x x xg x

h x x

( )( ) 9, si 4 0( ) 3(2 5 ), si

( ) 54

16, si 8 6

x

2

La siguiente ecuación es conocida como la fórmula del amor. Ésta no se trata de una función, ya que siempre implica la infidelidad del dominio.

== − + − ≤ ≤

= − − + − ≤ ≤A x f x x x x

g x x x x( ) ( ) 1 , si 1 1

( ) 1 , si 1 1

2 23

2 23

Esta fórmula permite dibujar un trébol de cuatro hojas. Desafortunadamente, la variable dependiente no está despejada. Escribe lo siguiente en GeoGebra: (x2 + y2)3 = 16x2y2

IV. Sean f (x) = x2 – x y g(x) = x + 2, calcular:(f ◦g) (x) = ; f (g(-1)) = ¿Cuántas veces hay que componer g consigo misma para obtener g n(x) = x + 18?

V. Calcular las inversas de las siguientes funciones:

f(x)= 9x2 + 12x + 4 = −f x x( ) 9 6

=f x x-( ) 2 16 2 = +

−f x x

x( ) 1

1= +f x x( ) 2

2

= +f x x( ) 22

51

Primer parcial

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x

Registro de desarrollo de competencias

Autoevalúa tu desempeño y coloca una 3 en las competencias que desarrollaste en esta unidad.

Contenidoscentrales

Aprendizajes esperados

Competencias genéricas

Atributos Competencias disciplinares

• Conceptos básicos de sistemas de coordenadas, orientación y posición.

• Introducción a las funciones algebraicas y elementos de las funciones trascendentes elementales.

• Usos de la derivada en diversas situaciones contextuales.

• Tratamiento intuitivo: numérico, visual y algebraico de los límites.

• Tratamiento del cambio y la variación: estrategias variacionales.

Caracteriza a las funciones algebraicas y las funciones trascendentes

como herramientas de predicción, útiles en una diversidad de modelos para

el estudio del cambio.

3. Elige y practica

estilos de vida saludables.

Reconoce la actividad física como un medio

para su desarrollo físico, mental y social.

1. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación

de procedimientos aritméticos, algebraicos,

geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o

formales.2. Formula y resuelve

problemas matemáticos, aplicando diferentes

enfoques.

Construye y analiza

sucesiones numéricas

y reconoce los patrones de

crecimiento y de decrecimiento.

4. Escucha, interpreta y emite

mensajes pertinentes en distintos contextos

mediante la utilización de medios,

códigos y herramientas

apropiados.

Expresa ideas y conceptos mediante

representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas.

Explica e interpreta los resultados obtenidos

mediante procedimientos matemáticos y los

contrasta con modelos establecidos

o situaciones reales.

4. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos,

gráficos, analíticos o variacionales, mediante el

lenguaje verbal, matemático y el uso de las Tecnologías

de la Información y la Comunicación.

Analiza las regiones de

crecimiento y decrecimiento en

una función.

5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones

a problemas a partir de métodos

establecidos.

Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva,

comprendiendo como cada uno de sus pasos contribuye al alcance

de un objetivo.

Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural

para determinar o estimar su comportamiento.

Encuentra en forma

aproximada los máximos y

mínimos de una función.

8. Participa y colabora de manera efectiva

en equipos diversos.

Propone maneras de solucionar un

problema o desarrollar un proyecto en

equipo, definiendo un curso de acción con pasos específicos.

8. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas

y textos con símbolos matemáticos y científicos.

52


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x

1. Cada semana el precio de un videojuego disminuye el 20% res-pecto de lo que costaba la semana anterior. Hoy cuesta $400 y Pedro sólo tiene ahorrados $200, y no puede ahorrar más. ¿Cuántas semanas tendrá que esperar para poder comprar el videojuego?a. 1b. 2

c. 3d. 4

2. Sin usar calculadora, ordena de menor a mayor los números 2222.2222, 2222 y 222.a. 222, 2222, 222.2222

b. 2222, 222.2222, 222c. 2222, 222, 222.2222

d. 222.2222, 2222, 222

3. Considerando siempre la raíz positiva, calcula el valor de:

+ + + +6 6 6 6 ...

a. 1b. √6

c. 3d. 2

4. Un alumno preguntó al maestro en qué año había nacido, a lo que éste contestó: “la suma de los cuatro dígitos de mi año de nacimiento es 20, pero si los multiplicas obtendrás 144”. ¿Cuántos años cumple el maestro el 3 de diciembre de 2018?a. 26 añosb. 32 años

c. 36 añosd. 46 años

5. ¿Es posible dividir un pentágono en 24 triángulos iguales? ¿Y un hexágono?a. Sí, es posible para ambos.b. No, ninguno es posiblec. El pentágono sí, pero el hexágono, no.d. El pentágono no, pero el hexágono, sí.

6. Manuel es el primero en llegar a la fiesta, y se come 25

partes del pastel. El resto del pastel se reparte entre 9 personas. ¿Qué fracción del pastel le tocó a cada persona que llegó después de Manuel?

a. 25

b. 115

c. 15

d. 35

Calendario Matemático 2010; Olimpiada Mexicana de Matemáticas

Prueba tipo PLANEA

Respuestas

53

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x

Josué David Sánchez Hernández Mx su Editorial Grupo

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