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José Agüera Soriano 2011 1

ECUACIONES FUNDAMENTALES DE UN FLUJO


ECUACIONES FUNDAMENTALES DE UN FLUJO

• ECUACIÓN DE CONTINUIDAD • ECUACIÓN DE LA ENERGÍA • ECUACIÓN CANTIDAD DE MOVIMIENTO • APLICACIONES ECUACIÓN DE LA ENERGÍA• RESALTO HIDRÁULICO


INTRODUCCIÓN Son tres las ecuaciones fundamentales de un flujo:

• ecuación de continuidad (conservación de la masa)• ecuación de la energía (conservación de la energía) • ecuación de la cantidad de movimiento (conservación de la cantidad de movimiento).


ECUACIÓN DE CONTINUIDAD

En un flujo permanente,

volumen de control

V2

1

2

V1

mmm &&& == 21

QQQ ⋅=⋅=⋅ ρρρ 2211

222111 SVSVm ⋅⋅=⋅⋅= ρρ&

)( 21 ρρρ ==

2211 SVSVQ ⋅=⋅=

a) para gases,

b) para líquidos


22

11 zgpzgpE ⋅+=⋅+=

ρρ

22

11 zpzpH +=+=

γγ

Energía de un líquido en reposo

o en metros de columna de líquido,

S.I.en J/kg 2

2

zgpVE ⋅++=ρ

m 2

2zp

gVH ++=

γ

Energía de un líquido en movimiento

o en metros de columna de líquido,


SLL

plano de referencia

z1

γp /1

1V 2g/2

1H

22 /V 2g

γ/p2

z2

2H

12Hr

A1

A'

B'

B

2

V

plano de carga inicial (PC)

línea piezométrica (LP) línea de energía (LE)LP

Ecuación energía en conducciones de líquidos

H1 = H2 + Hr12 1222

22

11

21

22 rHzpg

Vzpg

V+++=++

γγ


γpgV 2 2

zzp +γ = altura piezométrica

= altura cinética (desnivel entre LE y LP)= altura de presión (desnivel entre LP y conducto)

= altura de posición respecto plano de referencia

SLL

plano de referencia

z1

γp /1

1V 2g/2

1H

22 /V 2g

γ/p2

z2

2H

12Hr

A1

A'

B'

B

2

V

plano de carga inicial (PC)

línea piezométrica (LP) línea de energía (LE)LP


Ecuación energía en máquinas flujo líquido

Ht trabajo técnico, el que atraviesa los límites de la máquina

rt HzzppgVVH −−+

−+

−= 21

212

22

12 γ

H1 = H2 + |Hr12| + Ht

1H

z

turbina

plano de referencia

z1

1

Ht

22H H1

12

Ht

Hr

Ht

plano de referencia

bomba

11

2

Ht

H2

H 12r


Ecuación energía en máquinas flujo líquidoH1 −H2 = |Hr12| + Ht

TURBINA

HH1 2

Hr

Ht

tH

He

mH

BOMBA

1H H2 Hr

He

Ht

tH Hm


Turbina de reacciónPotencia de un flujo

(W)J/s HQgP ⋅⋅⋅= ρ

(J/kg) sm sm :Gravedad

m :Altura

kg/s mkg :Densidadsm :Caudal

222

3

3

HggH

QQ

⋅

⋅ρ

ρ


EJERCICIOLa energía de un caudal de agua, de 60 m3/s,es, H = 50 m. Calcúlese su potencia.

Solución

CV) (40000kW 29430 W1029430

506081,910003 =⋅=

=⋅⋅⋅=⋅⋅= HQP γ


ECUACIÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO

Cuando a lo largo de un volumen de control, la velocidad del flujo varía, es porque actúan fuerzas sobre él que lo aceleran:

amF r& ⋅=Σ

1V C

VF

A

V1 Σ

D

C2 A

FΣD

α

V2

B


V1

A 'A

B 'B

m 1

α

D '(c)D

ΣF

V2

C '2m

C

)( dtF ⋅Σ)( Vmd ⋅

pdVmddtF r=⋅=⋅Σ )(

pdr

)()( CDB'A'A'ABB'C'CDD'CDB'A'

ABCDD'C'B'A'

pppppppd

rrrr

rrr

+−+==−=

El impulso sobre la masa del volumen de control provocará una variación de su cantidad de movimiento [ ]:

Esta variación del sistema es la corresponde al instante (t + dt), menos la que tenía en t:

V1

A'A

B'B

m1

α

D'(c)D

ΣF

V2

C'2m

C


V1

A'A

B'B

m1

α

D'(c)D

ΣF

V2

C'2m

C

11221122

A'ABB'C'CDD'

VdtmVdtmVmVm

pppddtF

⋅⋅−⋅⋅=⋅−⋅=

=−==⋅Σ

&&

rrr

1122 VmVmF ⋅−⋅=Σ &&

Por ser el régimen permanente

válida para líquidos y para gases

)( 12 VVmF −⋅=Σ &


APLICACIONES ECUACIÓN DE LA ENERGÍASalida por un orificio

pγ

V

2V =g2 H

SLLap

gVH2

2=

HgV ⋅⋅= 2


línea piezométrica (LP)

línea de energía (LE)

L

V

1

SLL

g2

V 2 2/ H= 2

H Hr

Flujo en tuberías con salida libre

SLLpérdida de carga


Con el mismo diámetro y el mismo desnivel entre elextremo 2 y la SLL, se cumple para cualquier longitud,

gVHH r 2

2−=


Mayor longitud L de la tubería origina:- más pérdida de carga Hr- menos velocidad V del flujo en la tubería- menos caudal Q- menos pérdida de carga unitaria J (Hr/L)

M1

(a)L 2

LP

LE

γp

V

SLL

r

H

V 2

2g = 2H

H

SLL

1(b)

L 2

LP

V

LE

gV2

2H= 2

HrH


línea piezométrica sin tobera ( )

Vpγ

Qmáx

B

SV

H

S

== HB SVg22

1

línea piezométrica con tobera

plano de carga inicialSLL

A

A'

L

rHB'

LEV 2LP

V

2g

BS

γBp

LP

γi

VS

2g

=2gp

SV 2H

iV 2

LE

línea piezométrica sin tobera ( )

Vpγ

Qmáx

B

SV

H

S

== HB SVg22

1

línea piezométrica con tobera

plano de carga inicialSLL

A

A'

L

rHB'

B


pérdida de carga

Salida por toberaCuanto menor sea la sección S de salida, menorserá el caudal Q que circula y menor Hr


LEV2LP

V

2g

BS

γBp

LP

γi

VS

2g

=2gp

SV 2H

iV 2

LE

una tobera es un transformadorde energía potencial en energíacinética.

En B, la energía H estáprácticamente en formade presión: pB/γ. A lolargo de la misma, lavelocidad aumenta y lapresión disminuye. A lasalida, pS = pa


EJERCICIO

gV

DLH r 2

02,02

⋅⋅=

SoluciónVelocidad en la conducción

rr

r

HHg

V

gV

DLH

⋅=⋅⋅

=

⋅⋅=

005,01000002,0

12

2

02,0

2

2

sm 981,1 ; m 2,0 2 2 == VgV

Calcúlese la sección de salida de la tobera al final de una conducción, de 10 km y 1 m de diámetro, origine la pérdidade 40 m en un salto de 400 m.

Tómese,


Caudal sm 556,1981,15,0 322 =⋅⋅=⋅⋅= ππ VrQ

Velocidad de salida

sm 04,84 m; 3602 S2

S === VgVH

Diámetro de salida

m154,0 ;04,84556,1 SSS === DVQS


Conducción hidroeléctrica de Villarino

m 30 m; 0,8m 60 m; ,07m 40 m; 5,7

m 402m15000

======

==

r

r

r

HDHDHD

HL


Tubo de Pitot

γp

gvh +=2

2

h

M


FVp

1A

2D

FC

B

Fr

1·1p S

1

G

2

· Sp

22

F

rp FFF +=

=⋅ 11 Sp

=⋅ 22 Sp

=− F

=G

GFSpSpF +−+⋅+⋅=Σ )(2211

Fuerza sobre un conducto corto

Valoración indirecta de la fuerza F

fuerza sobre la sección 1

fuerza sobre la sección 2

fuerza que ejerce la pared

fuerza de gravedad

(Fr insignificante)

Las fuerzas sobre el volumen de control entre 1 y 2 son:

1·1p S

1

G

2

· Sp2

2

F

FVp

1A

2D

FC

B

Fr


GFSpSpF +−+⋅+⋅=Σ )(2211

)( 12 VVmF −⋅=Σ &

F

)( 122211 VVmGSpSpF −⋅−+⋅+⋅= &

)( 122211 VVmSpSpF −⋅−⋅+⋅= &

2211 SpSpF ⋅+⋅=

Por otra parte,

Igualando y despejando

En conductos cortos, G ≈ 0), en cuyo caso,

Cuando no hay flujo,


Generalmente la fuerza será mayor cuando no hay flujo.

Las presiones a sustituir en las fórmulas anteriores son la diferencia entre la interior y la que actúa exteriormente sobre el conducto. Si ésta fuera mayor, los términos de presión cambiarían de signo y con ello la fuerza F.

Cuando la presión exterior es la atmosférica, las presionesa sustituir son las relativas.


EJERCICIO

Calcúlese la fuerza sobre el codo de una conducción hidráulica, de 90o y de 2,8 m de diámetro, a) cuando fluyen 38,75 m3/s y la presión manométrica es de 8 bar, b) cuando el flujo se anula bruscamente, momento en el que se prevé que la presión en el codo se eleve a 13 bar.

Solución a) Velocidad media

m/s 29,64,1

75,38 2 =⋅==πS

QV


)( 122211 VVmSpSpF −⋅−⋅+⋅= &

kN 5169,8 N 5169766243737492602929,675,3810004,1108

025

111

==+==⋅⋅+⋅⋅⋅=

=⋅⋅++⋅=

π

ρ VQSpFx

kN 5169,8 N 516976624373749260292967538100041108

025

222

===+==⋅⋅+⋅⋅⋅=

=⋅⋅+⋅+=

,,,

VQSpFy

π

ρ

Fuerza sobre el codo

y

V1S·p1 1

px

22·S

2V2

Fx

1FFy


y

V1S·p1 1

px

22·S

2V2

Fx

1FFy

Solución b)

2211 SpSpF ⋅+⋅=

kN 8004,8 N 8004797 4,110130 25

11

===⋅⋅⋅=+⋅= πSpFx

kN 8004,8 N 8004797

4,110130 2522

==

=⋅⋅⋅=⋅+= πSpFy

El anclaje del codo hay que calcularlo para esta última situación más desfavorable.

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