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Jornadas CRC (Ciudad Real-Cartagena)

Universidad Politecnica de Cartagena

Simulacion Numerica conFreeFem++

Cartagena, 30-31 de Enero de 2013

Eliseo Chacon VeraDepartamento de Matematicas,

Facultad de Matematicas, Universidad de Murcia,[email protected]

31 de enero de 2013

Plan de la presentacion:

Introduccion a FreeFem++

Generacion de triangulaciones 2D/3D

Problemas variacionales

Ecuaciones de Navier-Stokes

FreeFem++ 3D

FreeFem++ 1D (ver wiki)

1 FreeFem++ Cartagena CRC 2013

http://www.freefem.org/ff++/index.htm


http://www.um.es/freefem/ff++/pmwiki.php


Escrito en C/C++

EDPs en forma variacional

Elementos finitos 2d/3d

triangulaciones 2d/3d

Resolutores lineales matrices llenas y huecas

Enlaza resolutores lineales paralelos para matri-

ces huecas sparse, MUMPS, pARMS, HIPS, etc...

Enlaza con ordenes basicas MPI

Software libre

Puede tratar problemas complejos

Bueno para investigacion y docencia


Un poco de historia:

1985: MacFEM-PCFEM

1995: freefem+ ( Hecht y otros)

2000: freefem++ ( Hecht )

2000: freefem3D ( Del Pino and others)

2009: freefem++3D ( F. Hecht)

http://www.freefem.org/ff++/index.htm

Ideas principales:

Sigue matematica −→ formulacion variacional

uso de Elementos Finitos

Algoritmos responsabilidad del usuario

Bloques: Problemas elıpticos

Generadores de triangulaciones con adaptacion

de malla

¡Si es MEF se puede hacer con Freefem++!


Archivo curvas.edp:

real b=1,a=1;

func real phix(real t)

return (a+b)*cos(t)-b*cos(t*(a+b)/b);

func real phiy(real t)

return (a+b)*sin(t)-b*sin(t*(a+b)/b);

border C(t=0,2*pi) x=phix(t); y=phiy(t);

border OX(t=-0.5,5)x=t;y=0;

border OY(t=-0.5,5)x=0;y=t;

border G(t=-2,2)x=t;y=t^2;

string text="Some parametric curves";

plot(cmm=text,OX(1),OY(1),C(30),G(10),

wait=1,ps="curves.eps");Some parametric curves


1 TRIANGULACIONES 2D

1. Triangulaciones 2D

Archivo rectangle.edp:

border a(t=0,2)x=t;y=0;label=1;;

border b(t=0,1)x=2;y=t;label=1;;

border c(t=0,2)x=2-t;y=1;label=2;;

border d(t=0,1)x=0;y=1-t;label=1;;

int n=5;

mesh th=buildmesh(a(2*n)+b(n)+c(2*n)+d(n));

plot(th,wait=1,ps="rectangulo.eps");

Orientacion es la clave: Interior a la izquierda de la curva

Palabras clave para geometrıa 2D :

border define trozo de contorno

label asigna una a cada trozo de contorno

mesh tipo de variable

buildmesh genera la triangulacion



Archivo hole.edp

real pi=4*atan(1.0);

border a(t=0,2*pi)x=2*cos(t);y=sin(t);

border b(t=0,2*pi)x=.3+.3*cos(t);y=.3*sin(t);

border c(t=0,2*pi)x=-.5+.3*cos(t);y=0.3+.3*sin(t);

mesh nohole=buildmesh(a(50)+b(30)+c(20));

mesh hole=buildmesh(a(50)+b(-30)+c(-20));

plot(nohole,wait=1,ps="nohole.eps");

plot(hole,wait=1,ps="hole.eps");

La orientacion de la curva es la clave



Archivo triangle2d.edp

border a(t=0,1)x=t;y=0;label=1;

border b(t=0,1)x=1-t;y=t;label=2;

border c(t=0,1)x=0;y=1-t;label=3;

int nn=2;

mesh th=buildmesh(a(nn)+b(nn)+c(nn));

savemesh(th,"triangle2d.msh");

th=readmesh("triangle2d.msh");

plot(th,wait=1,ps="triangle2d.eps");



Archivo triangle2d.mesh

10 9 9

0 0 3

0.323801507627 0 1

0.647603015254 0 1

1 0 2

0 0.323801507627 3

0.30928980099 0.324146353802 0

0.675445396471 0.324554603529 2

0 0.647603015254 3

0.324554603529 0.675445396471 2

0 1 3

10 8 9 0

8 5 6 0

6 9 8 0

1 6 5 0

7 9 6 0

1 2 6 0

6 2 3 0

4 7 3 0

6 3 7 0

10 8 3

8 5 3

5 1 3

4 7 2

7 9 2

9 10 2

1 2 1

2 3 1

3 4 1

nv nt neb nv= # vertices, nt= # triangles, nt= # edges on boundaryx y label...

......

n1 n2 n3 r n1, n2,n3 = numbering of vertices each triangle, r= # region...

......

ne1 ne2 label ne1, ne2 = # numbering of vertices each bundary edge...

......



LANZAR tworectangletests.edp

int n = 10,m=1,lower = 1,upper = 2, inner = 3;

real cOX=-0.5,cOY=-1.25;

border OX(t=-.1,1)x = cOX+t; y =cOY;

border OY(t=-.1,1)x = cOX; y =cOY+t;

border C01(t=0,1)x = 0; y = -t;label = lower;

border C02(t=0,1)x = 1.5*t; y=-1;label = lower;

...

border C13(t=0,1)x = 1;y = -0.5+0.5*t; label = inner;

plot(C01(n),OX(m),OY(m),wait=true);

plot(C01(n),C02(n),OX(m),OY(m),wait=true);

...

mesh Th = buildmesh(C01(n)+C02(n)+C03(n)+

C04(n)+C05(n)+C06(n)+ C11(-n)+C12(-n)+C13(-n));

plot(Th, OX(m),OY(m),cmm="Triangulation + Axis ");

Triangulation + Axis



2. Triangulaciones 3d

Uso de capas. Visualizacion con medit y plotArchivo triangle3d.edp:

load "msh3"

load "medit"

border a(t=0,1)x=t;y=0;

border b(t=0,1)x=1-t;y=t;

border c(t=0,1)x=0;y=1-t;

int nn=1;

mesh Th2=buildmesh(a(nn)+b(nn)+c(nn));

int nlayers=1;

real zmin=0,zmax=1;

mesh3 Th=buildlayers(Th2,nlayers,zbound=[zmin,zmax]);

savemesh(Th,"Th3d.mesh");

medit(" TriangleOneLayer", Th);

plot(Th);



Th3d.mesh tiene toda la informacion

MeshVersionFormatted 1

Dimension 3

Vertices

6

0 1 0 3

0 1 1 3

0 0 0 3

0 0 1 3

1 0 0 2

1 0 1 2

Tetrahedra

3

1 6 3 5 0

1 4 3 6 0

1 6 2 4 0

Triangles

8

2 4 6 0

5 3 1 1

1 3 4 2

4 2 1 2

5 1 6 3

2 6 1 3

3 5 6 4

6 4 3 4

End



Los tres tetrahedros triangle3D.edp

Numeros en las caras triangle3D.edp



Dos capas con triangle3D.edp



Archivo cube.edp:

load "msh3"

load "medit"

int nn=1,nlayers=1;

mesh Th2=square(nn,nn);

real zmin=0,zmax=2;

mesh3 Th=buildlayers(Th2,nlayers,zbound=[zmin,zmax]);

medit("Cube", Th);

plot(Th);

cout<<"------------------------------------ "<<endl;

cout<<"Number tetrahedra "<< Th.nt <<endl;

cout<<"------------------------------------ "<<endl;

Triangulacion de un cubo cube.edp

8 vertices, 12 triangles, 6 tetrahedra



Dos capas cube.edp

Siete capas cube.edp



zmin y zmax pueden ser funcionesLANZAR container.edp

load "msh3"

load "medit"

real L=6;

border aa(t=0,1)x=t; y=0 ;;

border bb(t=0,14)x=1+t; y= - 0.1*t ;;

border cc(t=-1.4,L)x=15; y=t ;;

border dd(t=15,0)x= t ; y = L;;

border ee(t=L,0.5) x=0; y=t ;;

border ff(t=0.5,0) x=0; y=t ;;

border C1(t=0,2*pi) x=3+0.5*cos(t); y=3+0.5*sin(t);;

int n=6, MaxLayer=10;

mesh Th2d=buildmesh(aa(n)+bb(9*n)+cc(4*n)+dd(10*n)

+ee(6*n) + ff(n)+C1(-6*n));

func zmin=-1.5*(x<3)+(+1.5-x)*(x>3)*(x<7)-5.5*(x>7);

func zmax=1;

mesh3 Th3=buildlayers(Th, MaxLayer,zbound=[zmin,zmax]);

medit("container",Th3);



Profundidad variable y orilla:LANZAR shore.edp

load "msh3"

load "medit"

real eps=0.01;// shore thickness

int nn=10;

border cc(t=0,2*pi)x=cos(t);y=sin(t);;

mesh Th2= buildmesh(cc(100));

func zmin= 2-sqrt(4-(x*x+y*y));// bottom

func zmax= eps+ 2-sqrt(3.);//surface

mesh3 Th=buildlayers(Th2,nn,

coef= max((zmax-zmin)/zmax,1./(nn*2)),

zbound=[zmin,zmax]);

medit("myshore",Th);



Vistas diferentes con grosores distintos shore.edp



Triangulacion por capas 3D desde una triangulacion 2D:

Ω3D = Ω2D × [zmin, zmax]

funciones zmin < zmax : Ω2D 7→ R.

Por defecto la superficie del fondo se etiqueta con 0y las laterales se heredan de las etiquetas 2d.

Se pueden cambiar las etiquetas de las superficies

labelup=[0,2] asigna 2 superficie superior.

labeldown=[0,1] asigna 1 superficie inferior.

labelmid=[1,1,2,1,3,1,4,1,5,1] asigna 1 a todaslas caras sobre lados 1, 2, 3,4,5.


3 FORMULACION VARIACIONAL

3. Formulacion variacional

problem P(u,v) = a(u,v) - l(f,v)

+ (boundary condition);

Tres formas problem, solve y varf

problem test()...; define problema variacional. Plan-tea y resuelve con la orden test;

solve test()...; define y resuelve.

varf construye matriz y termino independiente.

Integracion numerica: th triangulacion de Ω, Γ1 ⊂ ∂Ω

int1d(th)(v) =∫∂Ω v(x) dx, int1d(th, 1)(v) =

∫Γ1v(x) dx

int2d(th)(v) =∫Ω v(x) dx

Similar con int2d(th)(v) e int3d(th)(v)

intalledges(th)(v) =∑

τ∈th∫∂τ v

Resolutores lineales: Basicamente tres.definidos via solver=...

CG Conjugate Gradient

UMFPACK

GMRES

Conectado con sparsesolvers en paralelo o directos viampi: hips, mumps, SuperLU, etc...



LANZAR Poisson-ellipse.edp

border a(t=0,2*pi)x=2*cos(t);y=sin(t);;

mesh Th= buildmesh (a(150));

plot(Th);

fespace Vh(Th,P2);

Vh u, v;

func f=sin(x*y);

problem laplace(u,v) =

int2d(Th)(dx(u)*dx(v)+dy(u)*dy(v)) //bilinear part

-int2d(Th)(f*v) // right hand side

+on(a,u=0); // Dirichlet BC

laplace; //solve the pde

plot(u); //visualizacion



int2d(th)(...) y similares, se usan

con producto de incognitas y funciones tests

solo con funciones test y datos

NO CON AMBAS A LA VEZ

No correcto

int2d(th)(dx(u)*dx(v)+dy(u)*dy(v)-f*v)

+on(1,u=0)

correcto

int2d(th)(dx(u)*dx(v)+dy(u)*dy(v)) // bilinear part

+int2d(th)(-f*v) // right hand side

+on(1,u=0)


4 NAVIER-STOKES

4. Navier-Stokes

Stokes test cavidad en [0, 1]× [0, 1] con el par P2-P1.u ∈ H1(Ω)2 y p ∈ L2(Ω) tal que

−∆u+∇p = f en Ωdiv(u) = 0 en Ω+C.C.

o bien,

(∇u,∇v)Ω − (p, div(u))Ω = (f, v) en Ω−(q, div(u))Ω = 0 en Ω

+C.C.

LANZAR Stokes2dCavity.edp:

mesh Th=square(10,10);

fespace Xh(Th,P2);

fespace Mh(Th,P1);

Xh u1,v1,u2,v2;

Mh p,q;

solve Stokes (u1,u2,p,v1,v2,q) =

int2d(Th)( dx(u1)*dx(v1)+dy(u1)*dy(v1)

+dx(u2)*dx(v2)+dy(u2)*dy(v2)

-p*dx(v1)-p*dy(v2)

-q*dx(u1)-q*dy(u2)

)

+on(1,2,4,u1=0,u2=0)

+on(3,u1=1,u2=0); // C.C. en borde superior

plot(cmm=" Velocidad [u1,u2] ",[u1,u2]);

plot(cmm=" Presion ",p);

plot(cmm=" Velocidad y Presion ",[u1,u2],p);


4 NAVIER-STOKES

Vec Value00.05263430.1052690.1579030.2105370.2631720.3158060.368440.4210750.4737090.5263430.5789780.6316120.6842470.7368810.7895150.842150.8947840.9474181.00005

Velocidad [u1,u2]

Velocidad Stokes2dCavity.edp


4 NAVIER-STOKES

IsoValue-49.7096-44.6966-39.6837-34.6708-29.6578-24.6449-19.632-14.619-9.6061-4.593170.4197625.4326910.445615.458620.471525.484430.497435.510340.523245.5362

Presion

Presion Stokes2dCavity.edp


4 NAVIER-STOKES

IsoValue-49.71-44.697-39.6841-34.6711-29.6581-24.6452-19.6322-14.6192-9.60627-4.59330.419675.4326410.445615.458620.471525.484530.497535.510440.523445.5364

Vec Value00.05263430.1052690.1579030.2105370.2631720.3158060.368440.4210750.4737090.5263430.5789780.6316120.6842470.7368810.7895150.842150.8947840.9474181.00005

Velocidad y presion Stokes2dCavity.edp


4 NAVIER-STOKES

Navier-Stokes evolutivo:

u(t) ∈ H1(Ω)2 y p(t) ∈ L2(Ω) tal que

∂tu+ (u · ∇)u−∆u+∇p = f en Ωdiv(u) = 0 en Ω+C.C.

o bien,

( DDtu, v) + (∇u,∇v)Ω − (p, div(u))Ω = (f, v) en Ω

−(q, div(u))Ω = 0 en Ω+C.C.

Nonlinealidad tratada con convect que resuelve:

∂tϕ+ u∇ϕ = 0,

ϕ(0, x) = ϕ0(x).

Lanzar NS2d.edp

Lanzar obstaculo.edp

Acoplamiento Navier-Stokes - Temperatura:Lanzar NS2dT.edp


5 FREEFEM++ 3D

5. FreeFem++ 3D

LANZAR Laplaciano3d.edp:

load "msh3"

load "medit"

int nn=8;

mesh Th2=square(nn,nn);// 2D mesh

real zmin=0,zmax=2;

int[int] rup=[0,200],rdown=[0,100];

int[int] rmid=[1,1,2,1,3,1,4,1];

mesh3 Th=buildlayers(Th2,nn, zbound=[zmin,zmax],

labelup=rup, labeldown=rdown, labelmid=rmid);

func f=1. ;

fespace Vh(Th,P13d);

Vh u,v;

macro Grad3(u) [dx(u),dy(u),dz(u)] // EOM

problem Lap3d(u,v,solver=CG) =

int3d(Th)(Grad3(v)’ *Grad3(u))

- int3d(Th)(f*v)+ on(1,u=0);

Lap3d;

medit(" Laplacian3D ", Th, u );


5 FREEFEM++ 3D

−∆u = 1 con u = 0 en laterales.


5 FREEFEM++ 3D

LANZAR shoreLaplace3d.edp:

load "msh3"

load "medit"

real eps=.015;// shore thickness

int nn=20;

border cc(t=0,2*pi)x=cos(t);y=sin(t);label=1;;

mesh Th2= buildmesh(cc(100));

func zmin= 2-sqrt(4-(x*x+y*y));// bottom

func zmax= eps+ 2-sqrt(3.);//surface


int[int] rmid=[1,1];

mesh3 Th=buildlayers(Th2,nn,

coef= max((zmax-zmin)/zmax,1./(nn*2)),

zbound=[zmin,zmax],

labelup=rup,

labeldown=rdown,

labelmid=rmid);

func f=1. ;

fespace Vh(Th,P13d);

Vh u,v;

//

macro Grad3(u) [dx(u),dy(u),dz(u)] // EOM

//

problem Lap3d(u,v,solver=CG) =

int3d(Th)(Grad3(u)’ *Grad3(v))

- int3d(Th)(f*v)

+ on(1,100, u=0);

Lap3d;

medit("myshore",Th,u);


5 FREEFEM++ 3D

Cavidad 3D:Archivo Stokes3dcavity.edp:

load "msh3";

load "medit";

int nn=15;

mesh Th2=square(nn,nn);// 2D mesh

fespace Vh2(Th2,P2);// cross-section space

Vh2 ux,uz,p2;

real zmin=0,zmax=1,yy;


int[int] rmid=[1,1,2,1,3,1,4,1];

mesh3 Th=buildlayers(Th2,nn, zbound=[zmin,zmax],

labelup=rup, labeldown=rdown, labelmid=rmid);// 3D mesh

fespace VVh(Th,[P23d,P23d,P23d,P13d]);

VVh [u1,u2,u3,p];

VVh [v1,v2,v3,q];

macro Grad(u) [dx(u),dy(u),dz(u)]// EOM

macro div(u1,u2,u3) (dx(u1)+dy(u2)+dz(u3)) //EOM

varf vStokes([u1,u2,u3,p],[v1,v2,v3,q]) =

int3d(Th)(Grad(u1)’*Grad(v1) +Grad(u2)’*Grad(v2)

+Grad(u3)’*Grad(v3)

- div(u1,u2,u3)*q - div(v1,v2,v3)*p

)

+on(1,100,u1=0,u2=0,u3=0)+ on(200,u1=1.,u2=0,u3=0) ;

matrix A=vStokes(VVh,VVh);

set(A,solver=GMRES);

real[int] b= vStokes(0,VVh);

p[]= A^-1 * b;

for(int i=1;i<10;i++)


5 FREEFEM++ 3D

yy=i/10.;

ux= u1(x,yy,y);

uz= u3(x,yy,y);

p2= p(x,yy,y);

plot([ux,uz],p2,cmm=" cut y = "+yy,wait= 1);

if (i==5)

plot([ux,uz],p2,cmm=" cut y = "+yy,wait= 1);;

;

medit("cavity3d",Th,p);

medit("cavity3d",Th,u3);




5 FREEFEM++ 3D

cut y = 0.5


5 FREEFEM++ 3D

Cavity Stokes.


5 FREEFEM++ 3D

Puerto Cartagena:

≈ 0.9 Km. entrada, ≈ 1.7 Km. de largo,≈ 0.6 Km. Dique la Curra≈ 11 metros de fondo, ≈ 240 metros boca mas estrecha.


5 FREEFEM++ 3D

Ecuaciones de Boussinesq bahia de Cartagena:


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