jorgeeduardosalazartrujillo20072_Parte3

7/22/2019 jorgeeduardosalazartrujillo20072_Parte3

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Mtodo de la seccin transformada. Transformemos la seccin en madera:

2010

200

GPa

GPa

E

Enmadera

acero

Analicemos la viga como si fuera toda de madera:

Calculemos Iecc ,, 21

221

2211 67.4200400

12200400 cIAAyAyAy

33.1767.4221 c


2/68

140

422 67.2292267.260027200 cmAdII D

433

272003

2010

3

2200cmID

Finalmente, calculamos los esfuerzos en la madera y en el acero:

KPa.m

cm

cm

N.

cm.

cm.cmN

I

cMmaxreal,madera)max( 62721

1016272

6722922

331710036002

24

24

1

KPa.m

cm

cm

N.

cm.

cm.cmN

I

cMmaxficticio,madera)max( 4733

103473

6722922

67410036002

24

24

2

Como en la realidad en la parte inferior de la viga no hay madera sino una platina de acero,debemos devolvernos por as decirlo y multiplicar este esfuerzo ficticio porn para obtener el

esfuerzo real en el acero:

KPaKPan ficticiomaderarealacero 149547.74720,)max(,)max(

En conclusin hemos encontrado los siguientes esfuerzos mximos en la viga:


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141

Variacin de esfuerzos a travs de la seccin:

La viga entonces, absorber los esfuerzos de la siguiente forma:

Como se ve, la platina de acero soporta la mayor parte de los esfuerzos de tensin.

La viga tambin puede analizarse transformando toda la seccin en acero. Vemoslo acontinuacin.

Resolucin del problema transformando la viga en acero

Vamos a transformar toda la viga en acero. Por lo tanto:

05.020010 GPaGPa

EEnacero

madera


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Seccin transformada en acero

Analicemos la seccin transformada:

221

2211

67.41020

1210120

cAA

yAyA

y

33.1767.4221 c

Clculo del momento de inercia:

13.114667.2301360 22 AdII D

1360

3

205.0

3

210 33

DI


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143

Clculo de los esfuerzos:

Esfuerzo mximo en la madera:

KPan ficticioaceroCrealmaderaC 6.27745549205.0,)max(,)max(

En resumen:

Obviamente, los valores soniguales a los que obtuvimostransformando la seccin enmadera

KPaPaficticioaceroC 554921020.554913.1146

33.171003670 4,)max(

KPaParealaceroT 7.149531037.149313.1146

67.41003670 4,)max(

KParealmaderaC 6.2774,)max(

KParealaceroT 7.14953,)max(


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144

PRO BLEM S PRO PUESTOS

Calcular los esfuerzos normales y cortantes mximos en las siguientes vigas


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14 5

C A PTU LOD EFO RM A C IO N ES EN VIG A S

NTENSE LAS DEFORMACIONES Y FISURAS EN LOS EXTREMOS DE LA VIGA

Tal como se ha dicho, un elemento estructural no slo debe ser resistente a la rotura sino quedebe tener unas condiciones de rigidez adecuadas de tal manera que se cumplan algunas condicionesmnimas, a saber:

Que se garantice la funcionalidad de la estructura evitando grandes deformaciones que podranafectar su desempeo. (Por ejemplo el alineamiento y nivelacin de equipos).

Que no se afecte la esttica de la estructura con la aparicin de grietas, producto de grandesdeformaciones.


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14 6

NTESE AGRIETAMIENTO DE LA VIGA EN LA SECCIN DE MOMENTO NEGATIVO,POR FALTA DE REFUERZO

Adicionalmente como se ha visto, en el caso de vigas estticamente indeterminadas es necesario

obtener ecuaciones adicionales basadas en las deformaciones que nos ayuden a levantar laindeterminacin y as poder resolverlas.

De otra parte, en los prximos cursos de ingeniera estructural se requerirn los conocimientosrelativos a los mtodos de clculo de deformaciones en vigas para poder afrontar el estudio de estructurasestaticamente indeterminadas (por ejemplo en el mtodo conocido como pendiente- deflexin o slopedeflection).

Por estos motivos se hace necesario calcular las deformaciones que se producen en las vigascuando estn son sometidas a cargas.

Existen varios mtodos para calcular las deformaciones en vigas:

Mtodos matemticos: Mtodo de la doble integracin o de la Ecuacin de la elstica.

Mtodos geomtricos: Basados en la forma de la viga deformada. El mas conocido es elmtodo del rea de momentos o Teoremas de Mohr.

Mtodos derivados de los anteriores: Mtodo de la viga conjugada conocido en algunostextos como Mtodo de los Pesos Elsticos.

Mtodos energticos: Basados en la conservacin de la energa desarrollada por las fuerzasal deformar las vigas. (Teoremas de Maxwell, de Castigliano y otros).


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14 7

Tipos de deformaciones


10/68

14 8


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14 9

Funcionalidad afectada por deformaciones excesivas (se desnivelan los elementos soportados

por la viga).

Deformaciones excesivas pueden causar agrietamientos que afectan la esttica de las estructuras.


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15 0

Deformaciones con concavidades contrarias.

4.1 MTODO DE LA DOBLE INTEGRACIN

En la teora de flexin se vi que:EI

M

1

En matemticas se tiene que:

23

2

2

21

1

dx

dy

dx

yd


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15 1

Por lo tanto:

EI

M

dx

dy

dx

yd

23

2

2

21

pero 0

dx

dy las pendientes en las vigas son muy pequeas

Con mayor razn: 02

dx

dy

En conclusin: "2

2

yEI

M

dx

yd o lo que es lo mismo: MEIy "

EI: Rigidez a la flexin

y: segunda derivada de la ecuacin de la viga deformada o elstica

M: Ecuacin del momento flector en el tramo de viga considerado

Si integramos esta ecuacin obtenemos la ecuacin de la pendiente y:

1CMdxyEI

Si integramos otra vez (doble integracin) obtenemos la ECUACIN DE LA ELSTICA:

21 CxCMdxEIy ECUACIN DE LA ELSTICA

Con estas ecuacin podemos calcular la pendiente y o la deformacion y en cualquier punto de la viga.

Las constantes C1 y C2 se calculan estableciendo las condiciones iniciales o de borde que dependende los apoyos y las caractersticas de la viga y de las cargas como se ver en los ejemplos.

MEIy "


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15 2

CONDICIONES INICIALES EN DIFERENTES TIPOS DE VIGAS


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15 4

Para calcular C1 y C2 debemos establecer las condiciones iniciales. Para esto, observamos el

problema fsico, la viga empotrada en A. En el empotramiento (x=0) se estn impidiendo tantola deformacin (y=0) como el giro (y=0). Recordemos que un empotramiento por definicin esun apoyo que impide el giro.

Entonces:

Condiciones iniciales:

00

00

yx

yx

00 yx 2123

26 CxC

PLxPxEIy por tanto: 02 C

00 yx 12

2 CPLx

PxyEI por tanto: 01C

Al ser las dos constantes iguales a cero, las ecuaciones quedan:

Ecuacin de la elstica:

26

1

26

2323 PLxPx

EIy

PLxPxEIy

Ecuacin de la pendiente:

PLx

Px

EIyPLx

PxyEI

2

1

2

22

Clculo de la deformacin en el extremo B:

LB y

0 0 0

0 0 0 0


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15 5

EI

PLPLPL

EIB 326

1 333

EI

PLB 3

3

Anlisis de deformacin

Vemos que mientras mayores sean P y L mayor ser la deformacin y que mientras mayor sea EI,ser menor.

EI: Rigidez a la flexin. Para un material dado (E), la deformacin depende del momento de lainercia.

Influencia del momento de inercia en la deformacin

Influencia de la longitud de la viga L en la deformacin

LB y

261

23

PLxPxEI

y

EI

PLB 3

3


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15 6

Si duplicamos la longi tud de la viga tendremos:

| Al duplicar la longitud, ladeformacin se hace 8 vecesms grande

Clculo de la pendiente de la viga en B:

Ecuacin pendiente:

PLx

Px

EI

y

6

1 2

LB y

|

EI

PLPL

PL

EIB 22

1 222

EI

PL

B 3

3

EI

PL

EI

LPB 3

8

3

2 33


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PRO BLEM

Calcular la deformacin mxima en la viga, la pendiente en los apoyos A y B y la deformacinen el centro de la luz

3000500350 BBA RRM

2003005000 Ay RF

En este caso la ecuacin de momentos no es nica para toda la viga: tiene una expresin distintaen cada uno de los 2 tramos. Veamos:

30 x xM 200

53 x

Encontremos la ecuacin de la elstica para cada tramo:

3500200 xxM

21

33

21

3

1

22

1

2

6

3500

6

200

6

200

2

3500

2

200

2

200

3500200"200"

5330

DxDxx

EIyCxCx

EIy

Dxx

yEICx

yEI

xxEIyxEIy

xx

Tenemos 4 constantes.Necesitamos por tanto4 condiciones iniciales


20/68

15 8


02C

056

2500

6

52000 21

33

CD

211 55 DDC

11 DC

De estas cuatro ecuaciones obtenemos:

70000 1122 DCDC

CBAC

CBAC

yyx

yyx

3

3C es un punto comn de lostramos AC y CB. Por tanto endicho punto las ordenadas y laspendientes de los 2 tramos soniguales

1

22

1

3

21

33

1

3

2133

1

3

2

3500

2

200

2

200

6

3500

6

200

6

200

63500

6200

6

20000

2

Dxx

yEICx

EIyyy3x

DxDxx

EIyCxCx

EIyyy3x

DxDxxEIy0y5x

CxCx

EIyyx

CBAC

CBAC

2


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15 9

Deformacin mxima: Por observacin vemos que ocurre en el tramo AC de la viga. Adem esen dicho punto la tangente a la elstica horizontal, es decir y=0.

La ecuacin de la pendiente para el tramo AC es:

1

2

2

200C

xyEI

Por tanto:

7002

200

2

2000

2

1

2

xC

x

65.2x En este punto ocurre la deformacin mxima

EIEI

y2.6568.1234

65.27006

65.22001 3max

Pendientes en los apoyos A y B:

EIEI

Cx

EIy0A

700700

2

02001

2

2001 21

2

EIEID

xx

EIy5B

800700

2

35500

2

52001

2

3500

2

2001 221

22

Deformacin en el centro de la viga:

EIEIy2.5centro 17.12295.27006

5.22001 3

0yeny max


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16 0

En resumen:

PRO BLEM

Calcular la deformacin mxima en la viga que tiene rigidez a la flexin EI:

1220338046000

338008400036000

Ay

BBA

RF

R10RM


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16 1

Ecuaciones del momento flector:

30 x xM 1220

6x3 3-x-xM 6001220

106 x

2

66100036001220

xxxxM

2

6100036001220

2

xxxM


24/68

16 2

Pero: MyEI

30 x x 63

xEIy 1220" 36001220 -x-xEIy"

Cx

yEI 12

21220

12

23600

21220

Dxx

EIy2

21

3

6

1220CxC

xEIy

21

33

6

3600

6

1220DxD

xxEIy

Cx

yEI 12

2

1220

D

xxyEI 1

22

2

3600

2

1220

21

3

61220

CxCx

EIy 2133

63600

61220

DxDxx

EIy

106 x

2

610006001220

2

x3-x-xEIy"

1

322

6

61000

2

3600

2

1220E

x-xxyEI

21

433

24

61000

6

3600

6

1220ExE

x-xxEIy

1

322

6

61000

2

3600

2

1220E

xxxyEI

21

433

24

61000

6

3600

6

1220ExE

xxxEIy


25/68

16 3


CxCx

EIy0y0x 213

6

1220

0

2C

DxD

xxEIyCxC

xEIyyy3x CDAC 21

33

21

3

6

3600

6

1220

6

1220

211 33 DDC

D

xxyEIC

xyEIyyx CDAC 1

22

1

2

2

3600

2

1220

2

12203

1DC1

21

433

21

33

24

61000

6

3600

6

1220

6

3600

6

12206 ExE

xxxEIyDxD

xxEIyyyx DBCD

2121 66 EEDD

1

32222

6

61000

2

3600

2

1220

2

3600

2

12206 E

xx-

xyEID

xxyEIyyx 1DBCD

1ED1

21

43321

43310

246101000

6310600

6101220

2461000

63600

6122010 EE0ExExxxEIy0yx

2110671583660 EE.


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16 4

En ltimas, tenemos: Resolviendo el sistema, las constantestienen los siguientes valores:

02C 02C

211 33 DDC 02D

11 DC 67.158361C

2121 66 EEDD 022 DE

11 ED 67.158361D

211067.1583660 EE 67.158361 E

Clculo de la deformacin mxima

Por observacin, vemos que estar ubicada en el tramo central de la viga. La condicin es queall la pendiente debe valer cero (tangente horizontal). Por tanto:

0yeny max

La ecuacin de la pendiente para el tramo CD es:

1

22

2

3600

2

1220D

xxyEI

Por tanto:

67.158362

3600

2

12200

22

xx

Resolviendo la ecuacin de segundo grado:

73.11

92.5

2

1

x

x

La raz 73.112 x solo tiene significado matemtico. Para nosotros el valor que tiene significadofsico para la viga que estamos analizando es el de 92.51x . Chequeamos adems que est

comprendido en el tramo 63 x .


27/68

16 5

Por lo tanto:

ymaxima 92.5 en la ecuacin de y vlida en dicho punto:

21

33

6

3600

6

1220DxD

xxEIy

EIEI

1ymaxima

28.5405692.567.15836

6

392.5600

6

92.51220 3392.5

92528.54056

.xenEImaxima

4.1.1 FUNCIONES DE SINGULARIDAD

Observemos las ecuaciones del momento flector para la viga del problema anterior:

2

6100036001220106

30

2

xxxMx

3-x600-1220xM6x3

1220xMx


28/68

16 6

Como se ve, cada ecuacin es igual a la anterior mas un trmino, de tal manera que la ltima lascontiene a todas por as decirlo, lo cual la convierte en la ecuacin representativa de la viga.

1062

6100036001220

2

xx

xxM

632

66100036001220

2

xx

xxxM

302

66100036001220

2

xx

xxxM

Este hecho hace que podamos utilizar la ltima ecuacin como representativa de la viga con unacondicin: que para cada tramo solo se incluyan los trminos necesarios.

Esto se logra utilizando FUNCIONES DE SINGULARIDAD, que tienen una expresin distintapara cada tramo incluyendo los trminos afectados por parntesis solo cuando se necesiten.Matemticamente esto se expresa escribiendo la ecuacin con parntesis angulares los cuales slo seincluirn en la ecuacin cuando su valor sea positivo segn la siguiente convencin:

ECUACIN REPRESENTATIVA DE LA VIGA:2

6100036001220

2

xxxM

Condicin para los parntesis:

axsiax

axsiaxax

0

Resolvamos el problema anterior utilizando funciones de singularidad:

Si le quitamos untrmino, se convierte enla segunda:

Si le quitamos otrotrmino, se convierte enla primera:


29/68

16 7

2

6100036001220106

36001220

122030

2

xxxMx

x-x-M6x3

xMx

ECUACIN REPRESENTATIVA DE LA VIGA:2

6100036001220

2

xxxM

Por lo tanto:

21

433

1

322

2

24

61000

6

3600

6

1220

6

61000

2

3600

2

1220

2

6100036001220

CxCxxx

EIy

Cxxx

yEI

xxxyEI

Como vemos, el problema se simplifica pues slo tenemos 3 ecuaciones y 2 constantes: C1 y C2En consecuencia slo necesitamos 2 condiciones iniciales.


024

61000

6

3600

6

12200 21

433

2CCxCxxx

EIy0yx

=0pues

x6

.-CCEIy 6715863010

24

6101000

6

310600

6

10122021

433

=(x-3)p

ues x

>3

=0pues

x3

=0pues

x

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