Itinerario MeridianoDía 22 de Mayo de 2012

IntroducciónLas matemáticas razonan sobre elementos abstractos, que no se tocan ni se ven pero nos permiten interpretar el mundo real, que si vemos, oímos, tocamos, olemos y a veces gustamos. El camino que vamos a seguir es el que sigue el meridiano de París, el meridiano está ahí, aunque no lo veamos, y a lo largo de él nos toparemos con obras de arte que nos harán pensar en la imaginación y la creatividad de las personas que las idearon, recordaremos a muchos personajes históricos, se nos hará presente la Francia revolucionaria que llevó a cabo la construcción de un sistema de medida universal y muchas más cosas. Algunas obras de arte contemporáneas las interpretaremos desde un punto de vista matemático, pero recordad que debajo de todo ello estará una de las infinitas líneas imaginarias que dividen la tierra y que nos ha permitido construir un sistema de medida universal, llegar a acuerdos en la distribución horaria, orientarse en el mar…. Esa línea la iremos pisando sin darnos cuenta, mientras otras cosas nos llamarán la atención. Así es la Ciencia sosteniendo el avance del mundo aunque no seamos conscientes de ello.

Palais RoyalEmpezamos nuestro paseo en un lugar que nos parece magnífico, una obra de Arte diríamos todos y no nos equivocaríamos pero, al cruzar el arco, nadie reparó en un círculo de metal de 12cm de diámetro, con un nombre: Aragó y dos letras N, S. También son una obra de Arte que además nos recuerda que por ese lugar pasa el meridiano de París. Lo que antes decíamos, la humildad de la ciencia que se esconde y hay que hacer un esfuerzo para interpretarla. Esos círculos nos acompañarán todo el camino y tendremos que aguzar la vista para no perderlos. Los círculos fueron ideados por el artista neerlandés Jan Dibbets en 1994, para honrar la memoria del astrónomo Arago y los ha concebido como “un monumento imaginario sobre una línea imaginaria”

Cilindros de Buren

Estamos sentados en los cilindros de Buren. Buren pretendía hacer un antimonumento. París ya tenía muchas columnas que representaban el poder, la place Vendôme, el obelisco, los pedestales de las estatuas. Las columnas de Buren no sostienen nada, sólo el cielo, y aparentemente son 20x13 cilindros. No todos tienen la misma altura, algunos son muy altos otros están al ras del suelo.

Desafío 1Cuando nos acercamos ¿son verdaderamente cilindros? Para simplificar vamos a pensar que si lo son. Vamos a imaginar pensar que el plano en donde están es un plano cartesiano. Cada cilindro viene determinado por un par de números que serían sus coordenadas. Consideramos el (0,0) en el vértice más cercano al arco por el que pasamos. Calcular el volumen del cilindro del punto (3,7)

Desafío 2Vamos a hacerlo más difícil. Cada grupo representará una función diferente en este plano cartesiano

a. Grupo A y=2x+5b. Grupo B y=-2x +9c. Grupo C y=4d. Grupo D x=4e. Grupo E x=0

1. Dos rectas son los ejes cartesianos. ¿Cuáles? 2. ¿Qué figura se ha formado? 3. ¿Cuál es su área? Ayudaos si queréis de un esquema en papel

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Desafío 3

Todos los cilindros tienen el mismo radio, por lo tanto su volumen sólo depende de la altura. Tomad datos de la altura de varios cilindros y luego representar gráficamente el volumen en función de la altura

Altura en cmVolumen en l

Petit canonA nosotros nos resulta muy difícil pensar en un mundo sin relojes y sin conocer en cada momento la hora en la que estamos, pero en el año 1786, tres años antes de la revolución francesa, las cosas no eran igual. En este mismo jardín del Palais Royal hay un cañón pequeñito que, aunque con algunos años de interrupción, marca el mediodía desde el año 1786. Cuando es mediodía el sol pasa por el meridiano del lugar e incide en una lupa que enciende la mecha que dispara el cañón. Podríamos recordar aquí que la trayectoria que sigue un proyectil disparado por un cañón es una parábola que depende del ángulo de tiro. Una nueva función matemática que se estudiará en 4º de más detenidamente .

Desafío 4

Representa la función que corresponde al lanzamiento de un cañón con un

ángulo de tiro de 45º y una velocidad inicial de 10m/s, sabiendo que g es la gravedad y que vale 9,8m/s2. (Puedes aproximar y tomar 10 m/s2) y t el tiempo transcurrido.

f. Que altura máxima alcanzará?g. ¿A qué distancia llegará?

h. En general el lanzamiento sigue la fórmula

dónde v0es la velocidad inicial y es el ángulo de tiro. ¿Cuál será la altura máxima para un ángulo de 30º y velocidad inicial 25m/s?

Bóveda de entrada de la Galerie de Nemours

Volvemos a pasar el arco y fijaos atentamente en las letras de la chapa que marca el meridiano de París, Arago, N, S. Hagamos un poco de historia. Ya habéis visto en El Tesoro de Rackham el Rojo, como Tintin no encontraba la isla. El meridiano de Paris servía a los marinos franceses, para determinar las longitudes y orientarse en el mar, otros países lo hacían usando otros meridianos, España usaba el que pasa por San Fernando e Inglaterra el que pasa por Greenwich. Este meridiano de París nos interesa porque está en la historia de nuestro sistema decimal. Sabéis que cada pueblo tenía un sistema de medidas diferentes, lo que hacía difícil el comercio de mercancías, ya que había que estar cambiando constantemente de una unidad a otra para calcular los impuestos que se pagaban al pasar del territorio de un señor a otro. En los años iniciales de la Revolución francesa buscaron una medida universal que como diría Condorcet sirviese Pour tous les temps, pour tous les hommes …La mesure est universelle, elle ne peut dépendre des événements. Para que no dependiese ni del pulgar, ni del pie de un rey o de un Señor buscaron un elemento que no se modificase con el paso de los años y lo encontraron en la Tierra, medirían el meridiano que pasa por París. La Revolución quería empezar todo desde el principio y por eso encargaron a Delambre y Méchain una nueva medida del meridiano de París, desde Dunquerke a Barcelona. Empezaron en el año 1792 y acabaron en 1798 . En 1806 le encargaron a Aragó ampliar la medida hasta Baleares, este Arago es el que aparece en las chapas.Las letras N y la S, como supongo que ya os habréis dado cuenta, indican la dirección Norte- Sur. Esa es la dirección que seguiremos y en el camino encontraremos otras chapas iguales. Algunas ya no existen pero queda su huella. Marcadlas en vuestro mapa.

Cour NapoleónEstamos ahora en la Cour Napoleón un lugar en dónde hay mucha matemática. Lo primero que debéis hacer es un pequeño esquema de la Cour y los elementos más significativos que hay en ella. Por cierto que en lo alto del pabellón Denon hay una estatua de un filósofo y matemático, se trata de Descartes (1596-1650), su estatua es la octava a la izquierda de la puerta. Situadla en vuestro esquema y pensad qué recordáis vosotros de este filósofo. Aquí realizaremos varias Desafíos y tendremos que movernos con un poco de independencia. Está prohibido salirse del recinto y marcaremos una hora para seguir nuestro paseo.

Desafío 5Lo primero que haremos será buscar las chapas que indican el meridiano. Guiándoos con la brújula y recordando de dónde venimos encontraréis la primera fácilmente. Si algún grupo no la encuentra preguntad y se os dará una pista. Representadlas en el esquema que habréis hecho aquí

Desafío 6Veis aquí la gran pirámide del Louvre (Ming Pei, 1989) que se construyó siendo presidente Mitterrand y que en el momento de su construcción fue muy polémica, pero hoy en día es uno de los monumentos de Paris más significativo. Cómo veis sus caras están formadas por triángulos. Recordaréis que el año pasado al estudiar geometría hicimos mucho hincapié en que toda figura poligonal plana se podía descomponer en triángulos y que nos llegaba conocer la fórmula del área del triángulo para calcular cualquier otra que no tuviese trozos curvos. También recalcamos la necesidad de hacer el desarrollo de las figuras de las que calculábamos su área. Con paciencia contad los triángulos (si os resulta difícil hacéis una fotografía y los contáis en ella). Tomad datos de las longitudes de sus elementos y luego estimad el área lateral de la pirámide. Recordad que los triángulos son equiláteros por lo que basta medir un lado y hacer uso de algún teorema matemático que ya conocéis. Por cierto, ¿Qué son los estanques que rodean a la pirámide? Ya podéis empezar a echar humo

Desafío 7La pirámide llama mucho la atención pero detrás tenemos una estatua de Luis XIV, el rey Sol, y a mí me gustaría saber cual es su altura. Recordáis el teorema de Tales y los triángulos semejantes, con la ayuda de las matemáticas y un pequeño instrumento podremos calcularla. Haz un esquema y luego apuntad en la tabla las mediciones que habéis obtenido cada uno del grupo.

NombreMedición

¿Por qué creéis que mando hacer varias mediciones?En una medición hay errores que se deben al instrumento de medida y otros al observador. Pretendemos evitar el del observador, pero no podemos evitar el del aparato de medida porque no tenemos otro. Calcula la media de los valores que habéis obtenido y consideremos esa como la altura de la estatua.

Pont des ArtsHay un problema clásico de las Matemáticas el llamado de Los puentes de Könisberg . En la ciudad de Könisberg, que hoy se llama Kaliningrado, el río divide a la ciudad en 4 regiones que están unidas por 7 puentes y los habitantes de la ciudad se preguntaban si sería posible darse un paseo, empezando en una región y recorriendo todos los puentes,

pasando por ellos una sola vez, volviendo al punto de partida. El Matemático Euler resolvió el problema transformando cada región en un punto y cada puente en una línea que une dos puntos. Pensó que en los puntos intermedios tiene que haber un número par de caminos ya que si llego por uno tengo que salir por otro distinto. En los puntos inicial y final podría haber un número impar de caminos, pero cómo tengo que volver al mismo sitio, también ahí habrá un número par.Esto se considera que es el origen de la teoría de

grafos que hoy en día se usa en muchas ramas de la ciencia: Informática, resolución de problemas de transporte etc.

Desafío 8

Tienes ahí la imagen de la Isla de St Louis y la Isla de la Cité con los puentes que atraviesan el Sena. Haz un grafo de esa parte del mapa y razona si será posible pasar por todos los puentes volviendo al lugar de partida

Estatua de Condorcet (1743-1794)

L’habitude peut familiariser les hommes avec la violation de leurs droits naturels, au point que, parmi ceux qui les ont perdus, personne ne songe à les réclamer, ne croie avoir éprouvé une injustice…Par exemple, tous n’ont-ils pas violé le principe de l’égalité des droits, en privant tranquillement la moitié du genre humain de celui de concourir à la formation des lois, en excluant les femmes du droit de cité ? Est-il une plus forte preuve du pouvoir de l’habitude, même sur les hommes éclairés, que de voir invoquer le principe de l’égalité des droits en faveur de trois ou quatre cents hommes qu’un préjugé absur-de en avait privés, et l’oublier à l’égard de douze millions de fem-mes

Condorcet "Essai sur l’admission des femmes au droit de cité", 1790

Desafío 9Condorcet era matemático y trabajó en problemas de análisis, pero también es conocido por la paradoja de Condorcet, que tiene que ver con las votaciones.Supongamos que hay 3 candidatos a la elección de delegados del curso, Pepe, Manuel y María. Sabemos que el curso tiene 25 alumnos, de los cuales 15 prefieren a Pepe antes que a Juan y 10 prefieren a Manuel mejor que a María. ¿Crees que tiene posibilidad de salir María?Haz algunos números y piensa en todas las posibilidades que pueden darse.

Rue Jacob Estamos paseando por el meridiano y de repente nos encontramos con los paralelos. No sabemos si era esa la intención del escultor pero a nosotros nos sirve.

Desafío 10Observad que ha dividido la esfera en 12 segmentos esféricos, por lo tanto hay marcados 24 paralelos. Dibuja una proyección cónica y una proyección cilíndrica de la esfera de la escultura, pintando con diferente color las partes huecas y las partes de acero. ¿Serán diferentes las proyecciones cónicas si las hacemos desde lugares diferentes?Suponiendo que el radio de la esfera es 45cm ¿Cuánto acero se ha necesitado para construir esta esfera?

Desafío 11Las coordenadas de las capitales de los centros que comparten el Comenius con nosotros son: París 48º51´44´´ N, 2º21´4´´ E Sofía 42º42´´N, 23º 20´´E

Maglie 40º 07´0´´N,18º18´E Madrid 40º 26´N, 3º 41´W1. ¿Están todas en el mismo paralelo?.¿Están todas en el mismo meridiano? ¿Están

todos en el mismo huso horario?2. ¿Cuál sería la hora en Maglie y en Sofía? 3. Jarandilla de la Vera en Cáceres tiene la misma latitud que Maglie, pero su

longitud es 5º39´W. ¿Cuál es la medida, en grados, del arco de paralelo que las separa?

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4.

St Germain des PrésNo nos hemos olvidado de los medallones que marcan nuestro camino. Al salir de la rue de Seine, volvemos a encontrarlos en el Bvd Saint Germain. No olvidéis de marcarlos en vuestro mapa.Paramos en esta iglesia para recordar a un filósofo y matemático, en su tiempo no había distinción entre una y otra materia, el ayudó a que las matemáticas se simplificasen, y que hoy pensemos los problemas algebraicos como geométricos y viceversa. Siempre que dibujamos unos ejes cartesianos o usamos la palabra cartesiano como sinónimo de rigor y exactitud nos estamos refiriendo a la persona a quien commemora esta lápida. Téneis un trozo de cómic que nos habla de su pensamiento.

Desafío 13“..Enfin nous avons égaré ses os du côté de St Germain des Prés et je ne sache pas qu´on les cherche par les cryptes du Panthéon” Cinéphilo. Olivier Pourriol

No sé si hemos perdido o no los huesos de Descartes pero vamos a buscar un tesoro. Nos han dicho que el tesoro está a 3m de profundidad, a 1000 pasos del cerezo florido que se ve desde la ventana... Nuestro informante ya no dijo más y salimos a buscarlo tomando cada uno una dirección.

1. ¿Encontraremos el tesoro?2. ¿Cuánta tierra excavaremos para estar seguros que lo encontraremos?3. ¿Qué datos faltan en el problema para saber exactamente el lugar? Da tú todos

los datos que faltan y marca en un esquema.

L´Embacle Estamos ante una escultura del artista quebecquois Charles Daudelin. Leed la placa en dónde se nos explica que es lo que ha querido representar.

Desafío 14¿Por qué creéis que esta escultura es interesante desde un punto de vista matemático?Con este cuadernillo os he entregado un trozo de cartulina, siguiendo lo que ha hecho Daudelin cread vosotros una escultura diferente descomponiendo el plano.

Saint SulpiceEncajada en el pavimento de granito gris una delgada franja de metal pulido brillaba en la piedra…Aquella forma alargada tenia grabadas unas marcas graduadas, como si fuera una regla. Era un gnomom, según le habían dicho, un instrumento astronómico pagano parecido a los indicadores de horas en los relojes de sol.

El Código da Vinci.

Dan Brown, ha escrito un best seller pero no es muy científico. El de San Sulpicio no es el meridiano de París, que es el que venimos siguiendo y del cual nos hemos desviado un poco, y el gnomon no es un instrumento científico pagano. Lo que estamos viendo es un gran meridiano que se encargó en 1727 para dar la hora exacta a todo París. En 1748 se le da otra finalidad, la de determinar el equinoccio pascual, y medir la inclinación del eje de la tierra. Veis en el dibujo como funciona el gnomom : el sol entra por un agujero y será mediodía cuando su imagen, un círculo luminoso, atraviese la línea de cobre encastrada en el mármol, línea meridiana. A lo largo del año el sol va recorriendo esta línea desde el solsticio de verano hasta el solsticio de invierno. Los equinoccios de primavera y otoño coinciden con un disco de cobre que se encuentra en la regleta. La iglesia es muy grande pero el sol en el solsticio de invierno atravesaría la línea 20m más allá de la pared de la iglesia, por eso está construida esa pirámide de mármol en el transepto Norte que continúa la línea del suelo. En lo alto del obelisco está el signo de Capricornio que marca el lugar en el que el sol se refleja en el solsticio de invierno, alrededor del 21 de diciembre.

Observad como en el obelisco hay un texto borrado en la Revolución, en el se hacía referencia al rey

Desafío 15Con un reloj de sol marcamos la que se llama hora verdadera, la hora del lugar en el que nos encontramos, que variará si nos vamos a otro lugar aunque sea cercano.A lo largo del año los días solares varían un poco, por eso se define el día solar medio cuya duración es siempre 24h. Para conocer la hora tendremos que tener en cuenta estas variaciones que vienen dadas por la ecuación del tiempo que habrá que añadir a la hora verdadera (teniendo en cuenta el signo).

En 1884 se decidió que el meridiano de referencia sería el de Greenwich, meridiano cero y se establecieron los usos horarios, por lo tanto hay una diferencia entre la hora verdadera y la hora de Greenwich, que podemos calcular conociendo las longitudes de ambos lugares.Aún teniendo en cuenta todo esto hay que considerar que la hora legal se ha modificado y hay añadida 1hora en invierno y dos horas en verano.Sabiendo todo esto, supongamos que el círculo del sol atraviesa la línea de cobre en Saint Sulpice en este momento, sería entonces mediodía. ¿Qué hora legal nos corresponde?

Rue Servandoni.Estamos delante de una placa que recuerda a una mujer Olympe de Gouges. Tenéis delante las páginas de un comic que os cuenta que fue la redactora de La Declaration des droits de la femme et de la citoyenne. En ese mismo cómic la vemos charlando con

Condorcet, un viejo conocido nuestro, del que leímos un párrafo sobre los derechos de la mujer. En esta calle también vivió Condorcet nueve meses del año 1794 cuando era perseguido por sus simpatías con los Girondinos, en ella escribió Esquisse d´un tableau historique des progrès de l´esprit humain, aún estando amenazado de muerte, no pierde su entusiasmo por el desarrollo de la humanidad gracias a las ciencias.

Desafío 16Evidentemente el problema planteado aquí tiene por protagonistas a las mujeres. En España acabamos de pasar unas elecciones generales y los franceses pasarán sus legislativas el día 10 de junio. Busca en Internet los datos relativos a las mujeres parlamentarias en los países del Comenius y haz un diagrama de sectores. Comenta brevemente los resultados obtenidos

VaugirardEntre febrero de 1796 y diciembre de 1797 se instalan en Paris 16 modelos del metro para habituar a los ciudadanos al empleo del sistema métrico decimal. Quedan actualmente dos, éste y otro en la plaza Vendôme, pero solo el que estáis viendo está en el mismo lugar en el que se instaló. Siete años más tarde en 1804, en Francia se convierte en oficial el sistema métrico decimal, en España esto se producirá 44 años más tarde

Desafío 17Midieron el meridiano y decidieron que la medida universal se llamaría metro y que un metro es, ni más ni menos, que “La diezmillonésima parte del cuadrante del meridiano terrestre que pasa por París”.

1. ¿Cuánto mide el radio de la tierra? Representa la esfera con el meridiano antes de calcular.

2. Todos los países del Comenius están muy cercanos al paralelo 45º pero éste solo atraviesa Francia e Italia. Mira en un mapa por que lugares atraviesa y luego pasa de la geografía a la Geometría, piensa que significan estas dos palabras, y calcula el radio del paralelo y la longitud de este.

3. El paralelo 45º atraviesa la autopista A7 francesa en el área de servicio de Val d´Isere y en Italia pasa por Turín. ¿Qué distancia hay entre ambos puntos medidos en el paralelo 45º?

Jardín de LuxembourgUn último medallón y acabamos el paseo. Si no habéis perdido vuestra referencia N-S lo encontraréis. Desde aquí veremos el Observatorio y el meridiano pasa por el medio de él. Otra referencia que os servirá.

Desafío 18Ahora le toca a la EF. Tenéis un plano del Jardín de Luxemburgo y se os darán instrucciones para orientaros en él. Aprovecharemos los bonitos lugares y bellas esculturas que esconde este jardín, para realizar una carrera de orientación.

Aquí se presenta el mapa del jardín y una hoja de carrera. En esta hoja debéis rellenar los siguientes datos:

1. Grupo de los participantes. 2. Recorrido a realizar: a, b, c, d, e.3. Tiempo de salida, de llegada y el tiempo total os lo indicará el profesor.4. Rumbo tomado para ir a cada punto del recorrido. 5. Pasos realizados para llegar a cada punto del recorrido.6. Objeto, escultura o zona natural que veis al llegar a cada punto del recorrido.

El grupo que rellene correctamente cada espacio y realice el recorrido en menos tiempo, será el grupo vencedor.

Ánimo, que disfrutéis del jardín y con la orientación.

Plano del Jardín de Luxembourg:

Hoja de carrera:

GRUPO TIEMPO DE SALIDA TIEMPO DE LLEGADA TIEMPO TOTAL

Circuito: Rumbo Pasos ¿Qué ves en la llegada?

De Salida a 1

De 1 a 2

De 3 a 4

De 4 a 5

De 5 a 6

De 6 a 7

De 7 a Llegada

Este cuadernillo forma parte del proyecto Comenius Textos que borran fronteras que se realiza en el Liceo español Luis Buñuel (Neuilly sur Seine).

Parte de la idea de considerar las coordenadas geográficas como un texto escrito sobre la superficie terrestre y que ha permitido a los países del mundo llegar a acuerdos sobre un tiempo universal y una medida universal.

El trabajo fue concebido por Clara Ogando, departamento de Matemáticas, y en él han participado Mercedes Solís, departamento de Francés, Victor Pérez, departamento de Educación Física e Isabel Guillén, departamento de Matemáticas.

No se puede dejar de citar la ayuda prestada por otras personas y departamentos:

Fernando Navarro, Filosofía, que ha buscado los cómic de Olympia de Gouges y Decartes así como otro material del que se ha extraído la cita referida a Descartes.

Mónica Nicolau, que nos ha dado el material para la construcción de los instrumentos de medida.

Gustavo que nos ha realizado el dibujo para comprender el funcionamiento del gnomon de Saint Sulpice.

Paco de la Rosa (UNED), que nos ha ayudado a construir los instrumentos y siempre tenía una idea para hacerlo mejor. Coralie García Pina, Sandra Sebie, Sofía García, Inés Ybáñez, Mafalda Pérez y Eva Fraguas alumnas de 3º de ESO que han perdido algún recreo para que los instrumentos funcionasen.

Isabel Alonso, departamento de Geografía e Historia que dirigiendo el Comenius nos hace trabajar a todos.

Sara Sánchez-Porro, departamento de Inglés, voluntaria y entusiasta para todo y que con Isabel Guillén ha sufrido un primer ensayo.

El personal de Consejería que ha tenido el trabajo extra de realización del cuadernillo y otras cosas.

Y por supuesto los alumnos de 3º de ESO, en general, de los que esperamos que nos permitan evaluar el trabajo y poder mejorarlo y ampliarlo para otros cursos.

Neuilly sur Seine 15 de mayo de 2012.