Itam Notas de Probabilidad

7/22/2019 Itam Notas de Probabilidad

1/316

Probabilidad

Miguel Angel Mendez Antonio

ITAM

13 de agosto de 2013
http://find/http://goback/


2/316

Indice

1 FundamentosEspacios de probabilidad

2 Tecnicas de conteo

3 Probabilidad condicional eindependencia de eventos

Probabilidad condicional

Independencia entreeventos

4 Probabilidad total y regla de

BayesEjercicios1

5 Variables Aleatorias6 Funcion de distribucion

7 Distribuciones continuas


3/316

Concepto de probabilidad

Definicion.

Decimos que un fenomeno es aleatorio cuando esimpredecible, i.e., es producido por el azar


4/316


Definicion.


Un espacio de probabilidad, asociado a un fenomeno aleatorio,es una terna (,

F, P) donde es el espacio muestral,

Fes

una sigma algebra( -algebra) de subconjuntos de y P esuna medida de probabilidad (m.p.).
http://find/


5/316


Definicion.




Fes


Observacion A cada fenomeno aleatorio asociamos unespacio de probabilidad (,

F, P).

Es posible asociar mas de un espacio de probabilidad a unfenomeno aleatorio


6/316


Definicion.




Fes


Observacion A cada fenomeno aleatorio asociamos unespacio de probabilidad (,

F, P).

Es posible asociar mas de un espacio de probabilidad a unfenomeno aleatorio

A continuacion definimos los componentes de la terna y suspropiedades que deben satisfacer
http://find/


7/316

Espacio muestral

Definicion.

Espacio muestral : Es un conjunto que contiene los resultadosposibles de interes de un fenomeno aleatorio.
http://find/


8/316

Espacio muestral

Definicion.


Ejemplo.

Sea lanzar un dado honesto

= {1, 2, 3, 4, 5, 6}


9/316

Espacio muestral

Definicion.


Ejemplo.

Sea lanzar un dado honesto

= {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Ejemplo.Sea lanzar dos veces un dado

= {(i,j); i,j N, i,j 6}


10/316

E i l


11/316

Espacio muestral

Ejemplo.

: Examinar una caja con 50 fusibles de la produccion de unafabrica y contar el numero de defectuosos

= {0, 1, . . . , 50}

Ejemplo.

: lanzamos una moneda

= { aguila , sol}

E i l


12/316

Espacio muestral

Ejemplo.

: Examinar una caja con 50 fusibles de la produccion de unafabrica y contar el numero de defectuosos

= {0, 1, . . . , 50}

Ejemplo.

: lanzamos una moneda

= { aguila , sol}

Observacion: Los elementos de un espacio muestral puedenser numeros, vectores, palabras, etc. y los llamaremos enforma generica resultados elementales.

E i t l
http://find/


13/316

Espacio muestral

Diremos que un espacio muestral es discreto cuando tiene un

numero finito o numerable de resultados elementales. Unespacio muestral es no discreto cuando tiene un numeroinfinito no numerable de resultados elementales.

E i t l
http://find/


14/316

Espacio muestral

Diremos que un espacio muestral es discreto cuando tiene un

numero finito o numerable de resultados elementales. Unespacio muestral es no discreto cuando tiene un numeroinfinito no numerable de resultados elementales.

-algebra F: En principio, uno deseara poderle asignar unaprobabilidad positiva a cada resultado de . Sin embargo,

como veremos mas adelante, esto no es posible en general. Lalimitacion se produce con los espacios muestrales no discretosy es por ellos que se introdujo la -algebra. El razonamientofue: Si no podemos asignarle una probabilidad positiva a cadaresultado elemental, sera posible definir una coleccion desubconjuntos de a los que si podamos asignarleprobabilidades positivas y resulte util en la practica?. pero porotra parte, la coleccion de subconjuntos buscada no deberaimponer restricciones a los espacios muestrales discretos. la

respuesta es s y esta fue la -algebra siguiente.

l b
http://goforward/http://find/http://goback/


15/316

-algebra

Definicion.Sea un espacio de probabilidad. Sea Funa coleccion desubconjuntos de . Decimos queFes una -algebra si satisfacelas siguientes propiedades:

1 F2 Si A Fentonces Ac F

3 Si Ai Fpara i N entonces,

i=1 Ai F.

algebra
http://find/


16/316

-algebra




i=1 Ai F.

Los elementos de

Fson llamados eventos y solo a ellos les

podremos calcular una probabilidad.

algebra
http://find/


17/316

-algebra




i=1 Ai F.

Los elementos de

Fson llamados eventos y solo a ellos les

podremos calcular una probabilidad.Diremos que un evento C ocurre cuando el resultado delexperimento bajo estudio es el resulado elemental y pertenece a C.

Ejemplos de algebra
http://find/


18/316

Ejemplos de -algebra

Ejemplo.F= {, }.

Ejemplos de algebra
http://find/


19/316


Ejemplo.F= {, }.

Ejemplo.

F= {, A, Ac

, }

http://find/


20/316


Ejemplo.

F= {, }.

Ejemplo.

F= {, A, Ac

, }Ejemplo.

F= 2

http://find/


21/316

Ejemplos de algebra

Ejemplo.

F= {, }.

Ejemplo.

F= {, A, Ac

, }Ejemplo.

F= 2

Ejemplo.

Sean A y B subconjuntos de tal que A B.F= {, A, Ac, B, Bc, B A, (B A)c, }.


22/316

Ejemplo.

La interseccion finita, infinita numerable o bien arbitraria de-algebras es nuevamente una -algebra.Si {Fi, i I} es una familia de -algebras de , entonces lainterseccion Fi tambien es una -algebra.
http://find/


23/316

Ejemplo.


Ejemplo.

Sea A una familia arbitraria de subconjuntos de , y sea {A} lainterseccion de todas las -algebras de que contienen A.Entonces, por el ejemplo anterior, {A} es una -algebra y dehecho, es la mnima de -algebra que contiene a A; es decir, siFes cualquier -algebra de que contiene a A, entonces{A}F. A {A} se le llama la -algebra generada por A.
http://find/


24/316

Ejemplo.


Ejemplo.

Sea A una familia arbitraria de subconjuntos de , y sea {A} lainterseccion de todas las -algebras de que contienen A.Entonces, por el ejemplo anterior, {A} es una -algebra y dehecho, es la mnima de -algebra que contiene a A; es decir, siFes cualquier -algebra de que contiene a A, entonces{A}F. A {A} se le llama la -algebra generada por A.Porejemplo, supongase queA consiste de un unico conjunto B ,es decir,

A=

{B

}. Entonces

{A}=

{B, Bc, ,

}.

Conjuntos de Borel
http://find/


25/316

Co ju tos de o e

Definicion.

Considere la coleccion de todos los intervalos abiertos (a, b) deR,en donde a b. A la mnima -algebra generada por esta coleccionse le llama -algebra de Borel deR, y se le nota por

B(R)

B(R) = {(a, b) R : a b}.

A los elementos deB(R) se le llama conjuntos de Borel, Borelianoso conjuntos de Borel medibles.

Conjuntos de Borel


26/316

j

Definicion.

Considere la coleccion de todos los intervalos abiertos (a, b) deR,en donde a b. A la mnima -algebra generada por esta coleccionse le llama -algebra de Borel deR, y se le nota por

B(R)

B(R) = {(a, b) R : a b}.

A los elementos deB(R) se le llama conjuntos de Borel, Borelianoso conjuntos de Borel medibles.

Al par (, F) se le llama espacio medible y si = R yF= B(R)tenemos el espacio Borel medible (R, B(R)).

Medidas de Probabilidad [Kolmogorov 1933]
http://find/


27/316

[ g ]

Definicion.Sea (, F) un espacio medible. Una medida de probabilidad es unafuncion P : F [0, 1] que satisface

1 P() = 1

2 P(A) 0, para cualquier A F3 Si A1, A2, . . . Fson ajenos, esto es, Ai Aj = , i = j ,

entonces

P(

n=1

An) =

n=1

P(An)

aditividad

La terna (, F, P) se llama espacio de probabilidad

Probabilidad Clasica
http://find/


28/316

Sea un experimento aleatorio con espacio muestral finito . SeaF= 2 y para todo A de defina

P(A) =#A

#

donde # significa cardinalidad, numero de elementos. Entonces Pes una probabilidad, y es llamada probabilidad clasica. Se haacostumbrado a decir P(A) es casos favorables entre casos totales.

Probabilidad Geometrica
http://find/


29/316

Sea R2 una region tal que su area es positiva y finita. Sea Funa -algebra de subconjuntos de para los cuales el concepto dearea este bien definido. Para cada A en Fdefina

P(A) = Area (A)/Area ().

La funcion de probabilidad P es una medida de probabilidad y esllamada probabilidad geometrica. Este caso se puede extender aR

n

.

Otro tipo de probabilidad: discreto


30/316

Considere un experimento aleatorio con espacio muestral = N yF= 2N. Para cualquier subconjunto A de N defina

P(A) =nA

12n

Es decir, el numero natural n tiene asociada la probabilidad 1/2n.P es efectivamente una medida de probabilidad concentrada en N.

Otro tipo de probabilidad: continuo
http://find/


31/316

Considere (R, B(R)). Sea f : R [0, ) una funcion no negativay continua, tal que

R

f(x)dx = 1. La funcion definida para todoA

B(R) por la integral

P(A) =

A

f(x)dx

es una medida de probabilidad.

Propiedades elementales
http://find/


32/316

Proposicion.

Sea (, F, P) un espacio de probabilidad. Entonces:1 P() = 02 Si A1, . . . , An Fson ajenos por parejas, entonces

P(

nk=1

Ak) =

nk=1

P(Ak)

3 P(Ac) = 1 P(A)4 Si A B, entonces P(B A) = P(B) P(A)5 Si A B, entonces P(A) P(B)6 0 P(A) 17 P(A B) = P(A) + P(B) P(A B)8 P(A

B)

P(A) + P(B).

Tecnicas de conteo
http://find/


33/316

Cuando un espacio muestral es muy grande y enumerarmanualmente cada punto se torna tedioso o imposible, contar elnumero de puntos en y en un evento de interes puede ser elunico camino eficaz para calcular la probabilidad de un evento. Dehecho, si contiene N puntos con la misma probabilidad y un

evento A contiene exactamente n puntos, la probabilidad clasicanos dice que P(A) = n/N.

Tecnicas de conteo
http://find/


34/316

Cuando un espacio muestral es muy grande y enumerarmanualmente cada punto se torna tedioso o imposible, contar elnumero de puntos en y en un evento de interes puede ser elunico camino eficaz para calcular la probabilidad de un evento. Dehecho, si contiene N puntos con la misma probabilidad y un

evento A contiene exactamente n puntos, la probabilidad clasicanos dice que P(A) = n/N.

Definicion. (Regla de la multiplicacion)

Si una operacion se puede llevar a cabo de m formas, y si para

cada una de estas se puede realizar una segunda operacion en nformas, entonces las dos operaciones se pueden ejecutar juntas enmn formas.
http://find/


35/316

Ejemplo.

Un experimento consiste en lanzar un par de dados y observar losnumeros de la cara superior. Encuentre el numero de puntos

muestrales en , el espacio muestral del experimento.
http://find/


36/316

Ejemplo.

Un experimento consiste en lanzar un par de dados y observar losnumeros de la cara superior. Encuentre el numero de puntos

muestrales en , el espacio muestral del experimento.

Solucion El primer dado puede caer de m = 6 maneras diferentes,El segundo dado puede caer de n = 6 maneras diferentes.As el total de puntos muestrales de es mn = (6)(6) = 36

Regla de multiplicacion generalizada
http://find/


37/316

Definicion.

Si una operacion se puede ejecutar de n1 formas, y si para cada

una de estas se puede llevar a cabo una segunda operacion en n2formas, y para cada una de las primeras dos se puede realizar unatercera en n3 formas, y as sucesivamente, entonces la serie de koperaciones se puede realizar en n1n2 nk formas.

http://find/


38/316

Definicion.



Ejemplo.

Cuantos comidas que consisten en una sopa, emparedado, postrey una bebida son posibles si podemos seleccionar de 4 sopas, 3tipos de emparedados, 5 postres y 4 bebidas?

http://find/


39/316

Definicion.



Ejemplo.

Cuantos comidas que consisten en una sopa, emparedado, postrey una bebida son posibles si podemos seleccionar de 4 sopas, 3tipos de emparedados, 5 postres y 4 bebidas?

Solucion

Como n1 = 4, n2 = 3, n3 = 5 y n4 = 4, hay

n1 n2 n3 n4 = (4)(3)(5)(4) = 240diferentes maneras de elegir una comida.
http://find/


40/316

Ejemplo.

Cuantas placas diferentes se pueden formar si los tres primeros

lugares seran ocupados por las letras (26) y los restantes cuatropor numeros?.
http://find/


41/316

Ejemplo.


lugares seran ocupados por las letras (26) y los restantes cuatropor numeros?.Solucion Por la regla de la multiplicacion generalizada

26

26

26

10

10

10

10 = 175, 760, 000
http://find/


42/316

Ejemplo.



26

26

26

10

10

10

10 = 175, 760, 000

Ejemplo.

Del anterior ejemplo, cuantas placas son posibles si la repeticion

entre numeros o letras esta prohibida.?
http://find/


43/316

Ejemplo.



26

26

26

10

10

10

10 = 175, 760, 000

Ejemplo.

Del anterior ejemplo, cuantas placas son posibles si la repeticion

entre numeros o letras esta prohibida.?SolucionEn este caso

26 25 24 10 9 8 7 = 78, 624, 000
http://find/


44/316

Ejemplo.

Cuantas funciones definidas sobre n puntos son posibles si cada

valor de la funcion es 0 o 1?
http://find/


45/316

Ejemplo.

Cuantas funciones definidas sobre n puntos son posibles si cada

valor de la funcion es 0 o 1?SolucionSean los puntos 1, 2, . . . , n. Dado que f(i) debera ser 0 o 1 paracada i = 1, 2, . . . , n, se sigue que existen 2n posibles funciones.

PERMUTACIONES
http://find/


46/316

Cuantos arreglos ordenados diferentes son posibles de las letras

a, b y c?

PERMUTACIONES
http://find/


47/316


a, b y c?Por enumeracion directa podemos ver que son 6, a saber

abc, acb, bac, bca, cab y cba

cada arreglo es conocido como una permutacion. As existen 6posibles permutaciones de 3 objetos.

PERMUTACIONES
http://find/


48/316


a, b y c?Por enumeracion directa podemos ver que son 6, a saber


cada arreglo es conocido como una permutacion. As existen 6posibles permutaciones de 3 objetos.Este resultado puede ser obtenido de la regla de multiplicacion:El primer objeto de la permutacion puede ser cualquiera de los 3,el segundo objeto en la permutacion puede seleccionarse de los

cualquiera dos restantes, y el tercero objeto en la permutacion esentonces el restante 1.As son

3 2 1 = 6 posibles permutaciones

Permutaciones


49/316

Definicion.Un arreglo ordenado de r objetos diferentes recibe el nombre depermutacion. La cantidad de maneras de ordenar n objetosdiferentes tomando r a la vez se representa mediante el smboloPn

r

.

Permutaciones


50/316

Definicion.Un arreglo ordenado de r objetos diferentes recibe el nombre depermutacion. La cantidad de maneras de ordenar n objetosdiferentes tomando r a la vez se representa mediante el smboloPn

r

.

Teorema.

Pnr = n(n

1)(n

2)

(n

r + 1) =

n!

(n r)!donde n! = n(n 1)(n 2) 3 2 1 y 0! := 1! := 1

Permutaciones
http://find/


51/316

Ejemplo.

De una urna que contiene los nombres de 30 empleados de unapequena empresa se van a elegir aleatoriamente, sin reemplazo, losnombres de 3. El individuo cuyo nombre sale primero recibe 100dolares, el siguiente en salir recibe 50 y el tercero recibe 25.

Cuantos puntos muestrales se asocian con este experimento?.

Permutaciones
http://find/


52/316

Ejemplo.

De una urna que contiene los nombres de 30 empleados de unapequena empresa se van a elegir aleatoriamente, sin reemplazo, losnombres de 3. El individuo cuyo nombre sale primero recibe 100dolares, el siguiente en salir recibe 50 y el tercero recibe 25.

Cuantos puntos muestrales se asocian con este experimento?.

Solucion

Como los montos de las recompensas son diferentes, el numero depuntos muestrales es el numero de arreglos de r = 3 de los n = 30

nombres posibles. As

P303 =30!

3!= (30)(29)(28) = 24, 360

Permutaciones
http://find/


53/316

El siguiente resultado calcula el numero de subconjuntos detamanos diversos que pueden formarse partiendo de un conjunto den objetos en k grupos que no se superponen.

Teorema.

La cantidad de formas de dividir n objetos distintos en k gruposque contengan n

1, n

2, . . . , n

kobjetos, en forma respectiva, donde

cada objeto figura en un grupo exactamente yk

i=1 ni = n, es

N =

n

n1n2 . . . nk

=

n!

n1!n2! nk!

Permutaciones
http://find/


54/316

El siguiente resultado calcula el numero de subconjuntos detamanos diversos que pueden formarse partiendo de un conjunto den objetos en k grupos que no se superponen.

Teorema.

La cantidad de formas de dividir n objetos distintos en k gruposque contengan n

1, n

2, . . . , n

kobjetos, en forma respectiva, donde

cada objeto figura en un grupo exactamente yk

i=1 ni = n, es

N =

n

n1n2 . . . nk

=

n!

n1!n2! nk!

El teorema anterior tambien lo podemos usar para encontrar lasdiferentes permutaciones de n objetos, de los cuales los n1 soniguales,los n2 son iguales,..., los nk son iguales.

Permutaciones
http://find/


55/316

Ejemplo.

Un torneo de ajedrez tiene 10 competidores, de los cuales 4 son deRusia, 3 de los Estados Unidos, 2 de Alemania, y 1 de Brasil. Si elresultado del torneo lista justo las nacionalidades de los jugadores

en el orden en los cuales ellos aparecen, cuantos resultados sonposibles?.

Permutaciones
http://find/


56/316

Ejemplo.

Un torneo de ajedrez tiene 10 competidores, de los cuales 4 son deRusia, 3 de los Estados Unidos, 2 de Alemania, y 1 de Brasil. Si elresultado del torneo lista justo las nacionalidades de los jugadores

en el orden en los cuales ellos aparecen, cuantos resultados sonposibles?.

Solucion

Existen10!

4!3!2!1! = 12, 600 posibles resultados

Permutaciones
http://find/


57/316

Ejemplo.

De cuantas maneras se pueden asignar siete cientficos a unahabitacion de hotel triple y a dos dobles?

Permutaciones
http://find/


58/316

Ejemplo.

De cuantas maneras se pueden asignar siete cientficos a unahabitacion de hotel triple y a dos dobles?

Solucion 7

3, 2, 2

=

7!

3!2!2!= 210

Combinaciones
http://find/


59/316

En muchos casos los puntos muestrales se identifican mediante unaseleccion de smbolos en las que el orden es irrelevante.Por ejemplo, las permutaciones de las letras a, b y c son 6:


pero si el orden es irrelevante solo nos interesa una de ellas, quesera la combinacion.

Combinaciones
http://find/


60/316

En muchos casos los puntos muestrales se identifican mediante una

seleccion de smbolos en las que el orden es irrelevante.Por ejemplo, las permutaciones de las letras a, b y c son 6:


pero si el orden es irrelevante solo nos interesa una de ellas, quesera la combinacion.

Definicion.

El numero de combinaciones de n objetos tomados r a la vez es el

numero de subconjuntos de tamano r, que se pueden formar conlos n objetos. El numero se denota por Cnr o

nr

.

Combinaciones

Teorema
http://find/


61/316

Teorema.

El numero de subconjuntos no ordenados, de tamano r elegidos

(sin reemplazo) de entre los n objetos disponibles esn

r

= Cnr =

n!

r!(n r)! r n

Por convencion, 0! = 1! = 1. As

n0

=

nn

= 1. Tambien

nr

= 0

si r < 0 o r > n.

Combinaciones

Teorema
http://find/


62/316

Teorema.



r

= Cnr =

n!

r!(n r)! r n


n0

=

nn

= 1. Tambien

nr

= 0

si r < 0 o r > n.

Ejemplo.

Un comite de 3 sera formado de un grupo de 20 personas.

Cuantas comites diferentes son posibles?.

Combinaciones

Teorema
http://find/


63/316

Teorema.



r

= Cnr =

n!

r!(n r)! r n


n0

=

nn

= 1. Tambien

nr

= 0

si r < 0 o r > n.

Ejemplo.

Un comite de 3 sera formado de un grupo de 20 personas.

Cuantas comites diferentes son posibles?.

Solucion

20

3 =

20!

3! 20 3 ! =20

19

18

3 2 1 = 1, 140 posibles comites
http://find/


64/316

Ejemplo.

Cuantas comites consistentes de dos mujeres y tres hombres sepueden formar si en total existen 5 mujeres y 7 hombres?.
http://find/


65/316

Ejemplo.

Cuantas comites consistentes de dos mujeres y tres hombres sepueden formar si en total existen 5 mujeres y 7 hombres?.

Solucion

Existen5

2

posibles grupos de 2 mujeres y

73

posibles grupos de 3

hombres, por la regla de la multiplicacion existen5

2

73

= 350

posibles comites formados por 2 mujeres y 3 hombres.

El binomio de Newton

Los valores

nr

en ocasiones son referidos como coeficientes
http://find/


66/316

r

binomiales debido a su presencia en el teorema binomial.

Teorema. (Teorema binomial)

(x + y)n =n

k=0

n

k

xkynk


Los valores

nr

http://find/


67/316

r



(x + y)n =n

k=0

n

k

xkynk

Ejemplo.

Desarrollar (x + y)3


Los valores

nr

http://find/


68/316

r



(x + y)n =n

k=0

n

k

xkynk

Ejemplo.

Desarrollar (x + y)3

(x + y)3 =

3k=0

3k

xky3k

=

3

0

x0y3 +

3

1

x1y2 +

3

2

x2y +

3

3

x3y0

= y3

+ 3xy2

+ 3x2

y + x3

Teorema binomial
http://find/


69/316

Ejemplo.

Cuantos subconjuntos existen de un conjunto consistente de nelementos?

Teorema binomial
http://find/


70/316

Ejemplo.

Cuantos subconjuntos existen de un conjunto consistente de nelementos?

Solucion

nk

= numero de subconjuntos de tamano k

Entonces

nk=0

nk

=

nk=0

nk

1k1nk = (1 + 1)n = 2n

.

Probabildad condicional
http://find/


71/316

La probabilidad de un evento dependera en ocasiones de nuestroconocimiento de que han ocurrido otros eventos.

Probabildad condicional
http://find/


72/316

La probabilidad de un evento dependera en ocasiones de nuestroconocimiento de que han ocurrido otros eventos.

Definicion.

La probabilidad condicional del evento A dado que el evento B ya

ocurrio, denotada P(A|B), esta definida por

P(A|B) = P(A B)P(B)

siempre y cuando P(B) > 0.

http://find/


73/316

Observacion.

En el momento que B ya ocurrio la -algebra original Fesmodificada a B F= {B E|E F}. El espacio muestral esahora B = B y la medida de probabilidad es P(|B), esto es, elnuevo espacio de probabilidad es (B, B F, P(|B)). Formalmente,debemos mostrar que B

Fes una -algebra y que P(

|B) es una

medida de probabilidad. Dejamos de tarea demostrar que B Fesuna -algebra y

http://find/


74/316

Observacion.

En el momento que B ya ocurrio la -algebra original Fesmodificada a B F= {B E|E F}. El espacio muestral esahora B = B y la medida de probabilidad es P(|B), esto es, elnuevo espacio de probabilidad es (B, B F, P(|B)). Formalmente,debemos mostrar que B Fes una -algebra y que P(|B) es unamedida de probabilidad. Dejamos de tarea demostrar que B Fesuna -algebra y

Teorema.

P(|

B) es una medida de probabilidad definida en B F

.


Ob i
http://find/


75/316

Observacion.

En el momento que B ya ocurrio la -algebra original Fesmodificada a B F= {B E|E F}. El espacio muestral esahora B = B y la medida de probabilidad es P(|B), esto es, elnuevo espacio de probabilidad es (B, B F, P(|B)). Formalmente,debemos mostrar que B Fes una -algebra y que P(|B) es unamedida de probabilidad. Dejamos de tarea demostrar que B Fesuna -algebra y

Teorema.

P(|

B) es una medida de probabilidad definida en B F

.

Demostracion:

Debemos verificar que se satisfacen los tres axiomas de medida deprobabilidad.


Observacion.
http://find/


76/316

Como P(|B) es una medida de probabilidad podemos utilizar losresultados obtenidos

1 P(Ac|B) = 1 P(A|B)2 P(E F|B) = P(E|B) + P(F|B) P(E F|B)3 P(C|B) P(D|B) si C B D B.


Observacion.
http://find/


77/316



Ejemplo.

Suponga que un dado equilibrado se lanza una vez. Encuentre laprobabilidad de que salga un 1, si ya se obtuvo un numero impar.


Observacion.
http://find/


78/316



Ejemplo.

Suponga que un dado equilibrado se lanza una vez. Encuentre laprobabilidad de que salga un 1, si ya se obtuvo un numero impar.

Solucion: sean los siguientes eventos: A: se observa un 1 y B: seobserva un numero impar.

P(A|B) = P(A B)P(B)

=P({1})

P({1, 3, 5}) =1/6

3/6= 1/3

Independencia entre eventos

Definicion
http://find/


79/316

Definicion.

Sea (,F

, P) un espacio de probabilidad. Sean A1, A2, . . . , An conn 2, eventos. Decimos que A1, A2, . . . , An son mutuamenteindependientes si y solo si para todo subconjunto de tamano k,2 k n, {i1, i2, . . . , ik} de {1, 2, . . . , n} se cumple la igualdad

P(

kj=1

Aij) = kj=1P(Aij).


Definicion.
http://find/


80/316

Definicion.

Sea (,F

, P) un espacio de probabilidad. Sean A1, A2, . . . , An conn 2, eventos. Decimos que A1, A2, . . . , An son mutuamenteindependientes si y solo si para todo subconjunto de tamano k,2 k n, {i1, i2, . . . , ik} de {1, 2, . . . , n} se cumple la igualdad

P(

kj=1

Aij) = kj=1P(Aij).

Para el caso n = 2, la definicion establece que los eventos A1 y A2

son independientes ssi

P(A1 A2) = P(A1)P(A2).


Cuando n = 3, la definicion de independencia nos dice queA1, A2, A3 son mutuamente independientes ssi
http://find/


81/316

A1, A2, A3 son mutuamente independientes ssi

P(A1 A2) = P(A1)P(A2)P(A1 A3) = P(A1)P(A3)P(A2 A3) = P(A2)P(A3)

P(A1 A2 A3) = P(A1)P(A2)P(A3)No es suficiente que sean independientes a pares.


Cuando n = 3, la definicion de independencia nos dice queA1, A2, A3 son mutuamente independientes ssi
http://find/


82/316

A1, A2, A3 son mutuamente independientes ssi

P(A1 A2) = P(A1)P(A2)P(A1 A3) = P(A1)P(A3)P(A2 A3) = P(A2)P(A3)

P(A1 A2 A3) = P(A1)P(A2)P(A3)No es suficiente que sean independientes a pares.

Ejemplo.

Sea el experimento que consiste en lanzar dos veces una monedahonesta, entonces

= {AA, AS, SA, SS} = {1, 2, 3, 4}

Definamos los eventos: A = {1, 2}, B = {1, 3}, C = {1, 3}Son los eventos A, B y C independientes?.

http://find/


83/316

Solucion: Con la moneda honesta podemos proponer

P({i}) = 1/4, i = 1, . . . , 4. EntoncesP(A) = P(B) = P(C) = 1/2

P(A B) = P({1}) = 1/4 = P(A)P(B)

P(A C) = P({1}) = 1/4 = P(A)P(C)P(B C) = P({1}) = 1/4 = P(B)P(C)

pero

P(A B C) = P({1}) = 1/4 = P(A)P(B)P(C) = 1/8Concluimos que los eventos no son mutuamente independientes.


Observacion.
http://find/


84/316

Para verificar la independencia mutua de n eventos tenemos que

comprobar la independencia a pares, tercias, etc.; en total,2n n 1, porque?


Observacion.


85/316


comprobar la independencia a pares, tercias, etc.; en total,2n n 1, porque?Solucion: 2n n0 n1 = 2n 1 n


Observacion.


86/316


comprobar la independencia a pares, tercias, etc.; en total,2n n 1, porque?Solucion: 2n n0 n1 = 2n 1 nObservacion.De manera informal se acostumbra decir que n eventos sonindependientes cuando la ocurrencia de uno de ellos no altera laocurrencia o no ocurrencia de los demas.


Observacion.
http://find/


87/316


comprobar la independencia a pares, tercias, etc.; en total,2n n 1, porque?Solucion: 2n n0 n1 = 2n 1 nObservacion.De manera informal se acostumbra decir que n eventos sonindependientes cuando la ocurrencia de uno de ellos no altera laocurrencia o no ocurrencia de los demas.

Observacion.A B = no significa que A y B son independientes. De hecho siP(A) > 0 y P(B) > 0 y A B = , entoncesP(A B) = P() = 0 = P(A)P(B) > 0.

Independencia entre eventosConsecuencias de la independencia entre eventos

Proposicion


88/316

Proposicion.

Sean A y B dos eventos independientes, entonces1 A y Bc son independientes (y por simetra AC y B son

tambien independientes )

2 Ac y Bc son independientes.

Independencia entre eventosConsecuencias de la independencia entre eventos

Proposicion.
http://find/


89/316

Proposicion.

Sean A y B dos eventos independientes, entonces1 A y Bc son independientes (y por simetra AC y B son

tambien independientes )

2 Ac y Bc son independientes.

Demostracion: (1) A B = A BcA = (A Bc) (A B) union disjunta

P(A) = P(A Bc) + P(A)P(B) por independenciaEntonces

P(A Bc) = P(A) P(A)P(B)= P(A)[1 P(B)] = P(A)P(Bc)

(2) Tarea.


Ob i
http://find/


90/316

Observacion.

La proposicion anterior es generalizable a mas de dos eventos. Porejemplo, para 3 eventos A, B y C mutuamente independientestendremos que los siguientes eventos son mutuamenteindependientes

Ac, B, C; A, Bc, C; A, B, Cc; Ac, Bc, C; Ac, B, Cc; A, Bc, Cc y AcBcCc

Tarea.


Ob i
http://find/


91/316

Observacion.

La proposicion anterior es generalizable a mas de dos eventos. Porejemplo, para 3 eventos A, B y C mutuamente independientestendremos que los siguientes eventos son mutuamenteindependientes

Ac, B, C; A, Bc, C; A, B, Cc; Ac, Bc, C; Ac, B, Cc; A, Bc, Cc y AcBcCc

Tarea.

Lema.

Sean A y B dos eventos en un espacio (, F, P). Si P(B) > 0entonces A y B son independientes si y solo si P(A|B) = P(A)
http://find/


92/316

Demostracion:

) Suponga que A y B son independientes(P(A B) = P(A)P(B)) y

P(A|B) = P(A B)P(B)

=P(A)P(B)

P(B)= P(A)
http://find/


93/316

Demostracion:


P(A|B) = P(A B)P(B)

=P(A)P(B)

P(B)= P(A)

) Suponga que P(A|B) = P(A)P(A B) = P(A|B)P(B) = P(A)P(B)
http://find/


94/316

Demostracion:


P(A|B) = P(A B)P(B)

=P(A)P(B)

P(B)= P(A)

) Suponga que P(A|B) = P(A)P(A B) = P(A|B)P(B) = P(A)P(B)

El lema pudo ser establecido con P(B

|A) = P(B) y el supuesto

P(A) > 0.

La formula de probabilidad total y la regla de Bayes

Sea (, F, P) un espacio de probabilidadDefinicion
http://find/


95/316

Definicion.

Sea k Z+ y los eventos B1, B2, . . . , Bk que satisfacen1 = B1 B2 . . . Bk2 Bi Bj = si i = j .

Entonces

{B1, B2, . . . , Bk

}es una particion de .

La formula de probabilidad total y la regla de Bayes

Sea (, F, P) un espacio de probabilidadDefinicion
http://find/


96/316

Definicion.

Sea k Z+ y los eventos B1, B2, . . . , Bk que satisfacen1 = B1 B2 . . . Bk2 Bi Bj = si i = j .

Entonces

{B1, B2, . . . , Bk

}es una particion de .

Teorema. (Ley de probabilidad total)

Si {B1, B2, . . . , Bk} es una particion de tal que P(Bi) > 0, parai = 1, 2, . . . , k, entonces para todo A F

P(A) =k

i=1

P(A|Bi)P(Bi)

Demostracion:
http://find/


97/316

Demostracion:

A = A = A (B1 B2 . . . Bk)= (A B1) (A B2) . . . (A Bk)

Ademas (A

Bi)

(A

Bj) = A

(Bi

Bj) = A

=

y as

Demostracion:
http://find/


98/316

Demostracion:

A = A = A (B1 B2 . . . Bk)= (A B1) (A B2) . . . (A Bk)

Ademas (A Bi) (A Bj) = A (Bi Bj) = A = y as

P(A) = P(A B1) + P(A B2) + . . . + P(A BK)= P(A|B1)P(B1) + P(A|B2)P(B2) + . . . + P(A|Bk)P(Bk)

=k

i=1

P(A

|Bi)P(Bi)

Regla de Bayes

T ( R l d B )
http://find/


99/316

Teorema. ( Regla de Bayes)

Sea {B1, . . . , Bk} una particion de tal que P(Bi) > 0, parai = 1, 2, . . . , k. Entonces

P(Bj

|A) =

P(A|Bj)P(Bj)ki=1 P(A|Bi)P(Bi)

Regla de Bayes

Teorema ( Regla de Ba es)
http://find/


100/316

Teorema. ( Regla de Bayes)

Sea {B1, . . . , Bk} una particion de tal que P(Bi) > 0, parai = 1, 2, . . . , k. Entonces

P(Bj

|A) =

P(A|Bj)P(Bj)ki=1 P(A|Bi)P(Bi)

Demostracion:

P(Bj|A) =P(Bj

A)

P(A) =

P(A

|Bj)P(Bj)

ki=1 P(A|Bi)P(Bi)

Ejemplo.

Si dos eventos, A y B, tienen las siguientes probabilidades:P(A) 0 5 P(B) 0 3 P(A B) 0 1 t l


101/316

P(A) = 0,5, P(B) = 0,3 y P(A

B) = 0,1, encuentre las

siguientes probabilidades:

1 P(A|B) y P(B|A)2 P(A|A B)3 P(A

|A

B)

4 P(A B|A B)

Ejemplo.

Dos eventos A y B son tales que P(A) = 0,2, P(B) = 0,3 y

P(A B) = 0,4. Encuentre las siguientes probabilidades1 P(Ac B)2 P(Ac B)3 P(Ac Bc)
http://find/


102/316

Variables aleatorias

Con frecuencia cuando se lleva a cabo un experimento, estamosinteresados principalmente en alguna funcion de los resultados


103/316

interesados principalmente en alguna funcion de los resultados

que en los resultados mismos. Por ejemplo, cuando lanzamos unpar de dados, podemos estar interesados por la suma de los dadosy no estar preocupados por los valores reales independientes decada vector. Es decir, podemos estar interesados en saber que lasuma es 7 y no puede interesarnos acerca si el resultado real fue(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2) o (6, 1).

Definicion.

Una variable aleatoria (v.a.) es una funcion X : R tal que

para cualquier conjunto Boreliano B, se cumple que el conjuntoX1(B) F.Donde X1(B) = { : X() B}

Variable aleatoriaEjemplo.

Sea : Lanzamos una moneda tres veces y observamos
http://find/


104/316

= {AAA, AAS, ASA, SAA, ASS, SAS, SSA, SSS}Sea X la v.a.: El numero de aguilas obtenidas.

X(AAA)

3

X(AAS) 2X(ASA) 2X(SAA) 2X(ASS)

1

......

X(SSS) 0X : {0, 1, 2, 3} R.

Variable aleatoriaObservacion.

No toda funcion X : R es una v.a. sino solo aquellas quesatisfacen X1(B) para todo B (R) y se dice entonces
http://find/


105/316

satisfacen X (B)

Fpara todo B

B(R) y se dice entonces

que X es medible. Si X es continua entonces X es v.a. y tambiensi es discreto yF= 2 entonces tambien X es v.a.. El conceptoes un poco tecnico y a continuacion damos algunos resultados sindemostracion.


http://find/


106/316

satisfacen X (B)

Fpara todo B



Proposicion.

La funcion constante X() = c para todo es una v.a.


http://find/


107/316

satisfacen X (B)

Fpara todo B



Proposicion.

La funcion constante X() = c para todo es una v.a.

Proposicion.

Si X y Y son variables aleatorias y c es una constante entonces

cX, X + Y, XY, X/Y con Y = 0 y |X|

son tambien variables aleatorias.

Variable aleatoria
http://find/


108/316

Observacion.Recordemos que P es una medida de probabilidad definida sobre elespacio medible (, F). Si X es una v.a. entonces podemostrasladar la medida de probabilidad P al espacio medible (R, B(R))del siguiente modo: Si B

B(R) definimos PX(B) = P(X

1(B)),

lo cual es posible pues X1(B) F. La funcion PX : B(R) [0, 1]resulta ser una medida de probabilidad, y se le llama medida deprobabilidad inducida por la v.a. X . Se le conoce tambien con elnombre de distribucion o ley de probabilidad de X. De este modo

se construye el espacio de probabilidad (R

, B(R

), Px).

Variable aleatoria

Ejemplo.
http://find/


109/316


= {AAA, AAS, ASA, SAA, ASS, SAS, SSA, SSS}

Sea X la v.a.: El numero de aguilas obtenidas.

p(0) = PX(X = 0) = P(X1(0)) = P({SSS}) = 1/8

p(1) = PX(X = 1) = P(X1(1)) = P({ASS, SAS, SSA}) = 3/8

p(2) = PX(X = 2) = P(X1(2)) = P(

{AAS, ASA, SAA

}) = 3/8

p(3) = PX(X = 3) = P(X1(3)) = P({AAA}) = 1/8

v.a.s discretas y sus distribuciones de probabilidad

Definicion.

Una v.a. X es discreta si puede tomar solo una cantidad de valores
http://find/


110/316

finito o infinito numerable.


Definicion.

http://find/


111/316


Ejemplo.

La probabilidad que X tome el valor x, P(X = x), se define comola suma de las probabilidades de los puntos muestrales de que

tienen asignado el valor x. Se representa a P(X = x) como p(x).p(x) es una funcion, llamada funcion de probabilidad de X ofuncion de masa de probabilidad.


Definicion.

http://find/


112/316


Ejemplo.

La probabilidad que X tome el valor x, P(X = x), se define comola suma de las probabilidades de los puntos muestrales de que

tienen asignado el valor x. Se representa a P(X = x) como p(x).p(x) es una funcion, llamada funcion de probabilidad de X ofuncion de masa de probabilidad.

Observacion.La distribucion de probabilidad para una v.a. X puederepresentarse mediante una formula, una tabla o una grafica, queproporciona p(x) = P(X = x) para toda x.

Distribucion de probabilidad

Ejemplo.

http://find/


113/316

= {AAA, AAS, ASA, SAA, ASS, SAS, SSA, SSS}

X : El numero de aguilas observadas

Tabla: Distribucion de probabilidad

x p(x)

0 1/8 1 3/8

2 3/8 3 1/8

1

Ejemplo.

El supervisor de una planta de manufactura tiene a tres hombres ytres mujeres a su cargo. Debe elegir dos trabajadores para una
http://find/


114/316

tarea especial. Como no desea actuar con prejuicio en la selecciondel personal, decide elegir dos trabajadores al azar. Si Y es elnumero de mujeres en el grupo elegido, encuentre la distribucionde probabilidad para Y .

Solucion Y puede tomar los valores 0, 1 y 2.

p(0) = P(Y = 0) =

30

32

62

= 1/5

p(1) = P(Y = 1) =3

13

1

62

= 3/5p(2) = P(Y = 2) =

32

30

62

= 1/5
http://find/


115/316

Tabla: Distribucion de Probabilidad

y p(y)

0 1/51 3/5

2 1/5

Por medio de una formula:

p(y) = 3y

32y6

2 , y = 0, 1, 2

Distribucion de probabilidad

Teorema.

Cualquier distribucion de probabilidades debe satisfacer lo
http://find/


116/316

q psiguiente:

1 0 p(y) 1 y2

y p(y) = 1. y

Definicion.

Si X es una v.a., entonces la funcion F(x) definida por

F(x) = P[X

x] = (

yx

p(x)) para el caso discreto

es llamada la funcion de distribucion (acumulada) de X.

Definicion.

Si X es una v.a. discreta con funcion de probabilidad p(x).Entonces, el valor esperado de X, E(X), se define como


117/316

E(X) =

x

xp(x)

siempre quex |x|p(x) <

Definicion.

Si X es una v.a. discreta con funcion de probabilidad p(x).Entonces, el valor esperado de X, E(X), se define como


118/316

E(X) =

x

xp(x)

siempre quex |x|p(x) < Definicion.

La varianza de una v.a. X se define como el valor esperado de(X E[X])2. Es decir:

V(X) = E[(X E[X])2

].

La varianza es una medida de la diferencia de los valores de Xrespecto a su esperanza. La cantidad

V(X) es llamada la

desviacion estandar de X .

Funcion de distribucionDefinicion.

Sea X una v.a.. La funcion de distribucion de X (fd) es lafuncion FX : R [0, 1] dada por


119/316

FX(x) := P{X x} x R


http://find/


120/316

FX(x) := P{X x} x R

Proposicion.

La FX de una v.a. satisface

(a) Si x < y entonces F(x) F(y)


http://find/


121/316

FX(x) := P{X x} x R

Proposicion.


(a) Si x < y entonces F(x) F(y)(b) FX(+) := lmx(x) = 1 y FX() := lmx(x) = 0


http://find/


122/316

FX(x) := P{X x} x R

Proposicion.


(a) Si x < y entonces F(x) F(y)(b) FX(+) := lmx(x) = 1 y FX() := lmx(x) = 0

(c) FX es continua por la derecha, i.e. siFX(x+) := lmyx+ FX(y), entonces,

FX(x+) = FX(x)
http://find/


123/316

Definicion.

Cualquier funcion F : R [0, 1] que satisface (a) (c) de arribase dice que es una funcion de distribucion de probabilidad (fdp)

Tipos de v.a.s

Definicion.

Se dice que una v.a. X es discreta si el numero de valores de X esfinito o infinito numerable.

S X d ( ) f d
http://find/


124/316

Si X es discreta su F(x) es una funcion constante por pedazos(escalonada) y viceversa.

Tipos de v.a.s

Definicion.


Si X di F ( ) f i d
http://find/


125/316


Definicion.

La v.a. X se llama continua si su F(x) es una funcion continua.

Tipos de v.a.s

Definicion.


Si X di F ( ) f i d
http://find/


126/316


Definicion.

La v.a. X se llama continua si su F(x) es una funcion continua.

Definicion.

Se dice que una v.a. X es absolutamente continua si existe unafuncion de Borel f : R R, no-negativa, y tal que

FX(x) =

x

f(y)dy x R

En este caso se dice que f es la densidad de probabilidad de X .

Proposicion.

S FX l f d d X FX ( ) l FX ( )
http://find/


127/316

Sea FX la f.d. de una v.a. X y sea FX(x) := lmyx FX(y)

Proposicion.

S FX l f d d X FX ( ) l FX ( )
http://find/


128/316

Sea FX la f.d. de una v.a. X y sea FX(x) := lmyx FX(y)(a) P{X > x} = 1 FX(x)

Proposicion.

Sea FX la f d de na a X sea FX ( ) l myx FX ( )
http://find/


129/316

Sea FX la f.d. de una v.a. X y sea FX(x) := lmyx FX(y)(a) P{X > x} = 1 FX(x)(b) P{X < x} = FX(x)

Proposicion.

Sea FX la f d de una v a X y sea FX (x ) : lmyx FX (y )
http://find/


130/316

Sea FX la f.d. de una v.a. X y sea FX(x) := lmyx FX(y)(a) P{X > x} = 1 FX(x)(b) P{X < x} = FX(x)(c) P

{y < X

x

}= FX(x)

FX(y)

Proposicion.

Sea FX la f d de una v a X y sea FX (x ) := lmyx FX (y )
http://find/


131/316

Sea FX la f.d. de una v.a. X y sea FX(x) := lmyx FX(y)(a) P{X > x} = 1 FX(x)(b) P{X < x} = FX(x)(c) P

{y < X

x

}= FX(x)

FX(y)

(d) P{y X x} = FX(x) FX(y)

Proposicion.

http://find/


132/316

Sea FX la f.d. de una v.a. X y sea FX(x) := lmyx FX(y)(a) P{X > x} = 1 FX(x)(b) P{X < x} = FX(x)(c) P{y < X x} = FX(x) FX(y)(d) P{y X x} = FX(x) FX(y)(e) P{y < X < x} = FX(x) FX(y)

Proposicion.

http://find/


133/316

Sea FX la f.d. de una v.a. X y sea FX(x) := lmyx FX(y)(a) P{X > x} = 1 FX(x)(b) P{X < x} = FX(x)(c) P{y < X x} = FX(x) FX(y)(d) P{y X x} = FX(x) FX(y)(e) P{y < X < x} = FX(x) FX(y)(f) P{y X < x} = FX(x) FX(y)

Proposicion.

Sea FX la f d de una v a X y sea FX(x) := lmyx FX(y )
http://find/


134/316

Sea F la f.d. de una v.a. X y sea F (x) := lmy F (y)(a) P{X > x} = 1 FX(x)(b) P{X < x} = FX(x)(c) P{y < X x} = FX(x) FX(y)(d) P{y X x} = FX(x) FX(y)(e) P{y < X < x} = FX(x) FX(y)(f) P{y X < x} = FX(x) FX(y)(g) P

{X = x

}= FX(x)

FX(x

); por lo tanto, FX es continua

en x ssi P{X = 0} = 0.

Nota:
http://find/


135/316

Si FX es continua en x, entonces FX(x) = FX(x+) = FX,As si FX es continua en x, (b) P{X < x} = FX(x)Si FX es continua en x e y, entonces (d)

(f) son iguales a

(c)

Ejercicios

Ejemplo.

Una caja tiene 12 pelotas numeradas de 1 a 12 Dos pelotas sonl i d l i d l j S X l
http://find/


136/316

Una caja tiene 12 pelotas numeradas de 1 a 12. Dos pelotas sonseleccionadas aleatoriamente de la caja. Sea X el numero masgrande de las dos pelotas. Encuentre la densidad de Xsi las bolasson seleccionadas:a)con reemplazo. Grafique esta densidad.

b)sin reemplazo. Grafique esta densidad.

Ejercicios

Ejemplo.

Una caja tiene 12 pelotas numeradas de 1 a 12. Dos pelotas sonl i d l i d l j S X l


137/316

Una caja tiene 12 pelotas numeradas de 1 a 12. Dos pelotas sonseleccionadas aleatoriamente de la caja. Sea X el numero masgrande de las dos pelotas. Encuentre la densidad de Xsi las bolasson seleccionadas:a)con reemplazo. Grafique esta densidad.

b)sin reemplazo. Grafique esta densidad.

Ejemplo.

Sea X una variable aleatoria tal que P(|X 1| = 2) = 0. ExpreseP(|X 1| 2) en terminos de la funcion de distribucionacumulada FX(x).

Ejercicios

Ejemplo.


138/316

Ejemplo.Sea X una variable aleatoria cuya funcion de distribucionacumulada esta dada por:

F(x) =

0, x

0

x/3, 0 x < 1x/2, 1 x < 21, x 2

Encuentre f(x) y grafique esta funcion.

Ejemplo.

S X i bl l t i ti f i d d id d


139/316

Sea X una variable aleatoria continua cuya funci on de densidadesta dada por

f(x) =1

2

e|x|

< x 0, a la esperanzaEh(X) = E(Xk) se le llama momento de orden k deX.
http://find/


163/316

Casos especiales

(a) Si h(x) = xk para algun k > 0, a la esperanzaEh(X) = E(Xk) se le llama momento de orden k deX.Ademas, en lugar de decir que Xk esta en L1 diremos que

X esta en Lk LK(, F, P).
http://find/


164/316

Casos especiales


X esta en Lk LK(, F, P). Para k = 1, el momento deorden 1 de X coincide con la esperanza de X.
http://find/


165/316

p

Casos especiales


http://find/


166/316

(b) Sea mX := EX y sea h(x) := (x mX)k. Entonces,suponiendo que (5) se cumple,

Eh(X) := E(X mX)k

se llama momento central de orden k de la v.a. X.

Casos especiales


http://find/


167/316

(b) Sea mX := EX y sea h(x) := (x mX)k. Entonces,suponiendo que (5) se cumple,

Eh(X) := E(X mX)k

se llama momento central de orden k de la v.a. X.Enparticular, para k = 2 se llama la varianza de X y se denota

por Var(X) o 2

X, es decirVar(X) 2X = E(X mX)2. (6)

La varianza

La varianza de una v.a. es una medida del grado de dispersi on delos diferentes valores tomados por la variable.
http://find/


168/316

La varianza


Definicion. (Varianza)

La varianza de una v.a. X, denotada por Var(X), se define como

Var (X ) : E [X EX ]2 E (X )2
http://find/


169/316

Var(X) := E[X EX]2 = E(X )2

donde = EX

La varianza




Var (X ) := E [X EX ]2 = E (X )2
http://find/


170/316

Var(X) := E[X EX] = E(X )

donde = EX

En el caso discreto

Var(X) =

x

(x )2f(x)

La varianza




Var (X ) := E [X EX ]2 = E (X )2
http://find/


171/316

Var(X) := E[X EX] = E(X )

donde = EX

En el caso discreto

Var(X) =

x

(x )2f(x)

En el caso continuo

Var(X) =

(x )2f(x)dx

Notacion

La varianza se denota regularmente por el smbolo

2

.A la raz cuadrada positiva de Var(X) se le llama desviacionestandar, y se le denota por
http://find/


172/316

, y p

Notacion

La varianza se denota regularmente por el smbolo

2

.A la raz cuadrada positiva de Var(X) se le llama desviacionestandar, y se le denota por
http://find/


173/316

y p

Teorema.

Si X es una v.a., entonces

Var(X) = 2 = E(X )2 = E(X2) 2

Distribucion Poisson

Para encontrar la distribucion de probabilidad del numero desucesos en un intervalo de tiempo o en alguna region, usando

Poisson, necesitamos que se cumplan las siguientes condiciones:
http://find/


174/316


Para encontrar la distribucion de probabilidad del numero desucesos en un intervalo de tiempo o en alguna region, usandoPoisson, necesitamos que se cumplan las siguientes condiciones:

1 El intervalo de tiempo (o la region) se pueden dividir ensubintervalos (subregiones) muy pequenos, de manera que la
http://find/


175/316

( g ) y p q , qprobabilidad de que ocurra mas de un resultado en talintervalo corto o region pequena es insignificante



http://find/


176/316

( g ) y p q , qprobabilidad de que ocurra mas de un resultado en talintervalo corto o region pequena es insignificante

2 El numero de resultados que ocurren en un intervalo o regiones independiente del numero que ocurre en cualquier otrointervalo o region.



http://find/


177/316

( g ) y p q qprobabilidad de que ocurra mas de un resultado en talintervalo corto o region pequena es insignificante

2 El numero de resultados que ocurren en un intervalo o regiones independiente del numero que ocurre en cualquier otrointervalo o region.

3 La probabilidad de que ocurra un solo resultado durante un

intervalo muy corto o una region muy pequena es proporcionala la longitud del intervalo o region.


Observacion.

Si es el valor promedio de Y , entonces dividimos un intervalo

(o region) en n subintervalos de modo que en cada uno de ellossolo pueda suceder a lo mas un resultado, entonces cadasubintervalo tendra una probabilidad de p = /n y asi la
http://find/


178/316

subintervalo tendra una probabilidad de p = /n y asi ladistribucion de probabilidad del numero de sucesos en el intervalode tiempo sigue una distribucion binomial, pero en donde n (elnumero de subintervalos o subregiones) es muy grande, de donde

p(y) = lmn

n

y

py(1 p)ny =

ye

y!

donde p es la probabilidad de que el evento suceda y = np


Definicion.

La variable aleatoria Y se dice que tiene una distribuci on deprobabilidad Poisson si y solo si

p(y) =ye

y!y = 0, 1, 2, . . . , > 0
http://find/


179/316


Definicion.


p(y) =ye

y!y = 0, 1, 2, . . . , > 0
http://find/


180/316

Ejemplo.Sea Y Poisson(2). Encuentre

1 P(Y = 4)

2 P(Y 4)3 P(Y < 4)4 P(Y 4|Y 2)


Definicion.


p(y) =ye

y!y = 0, 1, 2, . . . , > 0
http://find/


181/316

Ejemplo.Sea Y Poisson(2). Encuentre

1 P(Y = 4)

2 P(Y 4)3 P(Y < 4)4 P(Y 4|Y 2)

Sol. 1)0,090, 2)0,143, 3)0,857, 4)0,241
http://find/


182/316


Ejemplo.

Los clientes llegan al mostrador de una tienda departamental de

acuerdo con la distribucion de Poisson con una frecuenciapromedio de siete por hora. En una hora determinada, calcule lasprobabilidades de que:


183/316

1 no lleguen mas de tres clientes

2 por lo menos lleguen dos compradores

3 lleguen exactamente cinco clientes.Sol. 1)0,082, 2)0,930, 3)0,128


Ejemplo.


http://find/


184/316




Ejemplo.

Suponga que Y posee una distribucion binomial con n = 20 yp = 0,1. Determine P(Y 3). Aproxime esta probabilidadmediante una Poisson.


Ejemplo.


http://find/


185/316




Ejemplo.

Suponga que Y posee una distribucion binomial con n = 20 yp = 0,1. Determine P(Y 3). Aproxime esta probabilidadmediante una Poisson. Sol. Bin. 0,867; Poisson 0,857 Dif. 0,01


Teorema.

Si Y es una v.a. Poisson con parametro , entonces
http://find/


186/316

Si Y es una v.a. Poisson con parametro , entonces

= E(Y) = y 2 = Var(Y) =

Tarea:Distribucion Poisson

1 Si X se distribuye Poisson, obtenga las siguientes probabilidades:a)P(X 4); b)P(X 6); c)P(2 < X 6); d)P(X 6|X 3).Con 1) = 0,6 y con 2) = 15.

2 La cantidad de veces que se equivoca una mecanografa tiene una distribucion de Poisson con un promediode cuatro errores por cuartilla; si excede este numero, debe volver a mecanografiar la pagina completa.

Que probabilidad hay de que no necesite repetirla?.3 El numero de defectos Y por pie en la produccion de cierto tipo de cuerda tiene una distribucion de

Poisson con media = 2. La utilidad por pie que se obtienen al venderla esta representada por X, dondeX = 50 2Y Y2. Calcule la utilidad esperada por pie.

4 S ponga q e el nmero de pasajeros q e doc menta s eq ipaje en cierta l nea aerea se p ede modelar
http://find/


187/316

4 Suponga que el numero de pasajeros que documenta su equipaje en cierta lnea aerea se puede modelarcomo una variable aleatoria Poisson y que en promedio 12 pasajeros por hora documenta su equipaje enesta lnea.1) Obtenga la probabilidad de que entre las 8 a.m. y las 9 a.m. mas de 6 pasajeros documenten su equipaje

en esta lnea, si ya han documentado su equipaje al menos 4.2) Si el costo por hora de documentar equipaje por la lnea aerea esta dado por C = 800 X2 Obtenga elcosto esperado y la varianza del costo.3) PREGUNTA DE OPCION MULTIPLECual es la probabilidad de que entre las 10 a.m. y las 10 : 30 a.m. mas de 3 pasajeros documente suequipaje en esta lnea?

a)0,849 b)0,735 c)0,151 d)Ninguna de las anteriores

5 Suponga que el numero de accidentes fatales de automovil, en cierta zona de la ciudad, obedece unadistribucion de Poisson con un promedio de un accidente por da. Cual es la probabilidad de que haya masde 10 accidentes en una semana?.Sol. 2)0,6288, 3)40, 5)0,0985

Tarea Poisson adicional

1 Use la aproximacion Poisson para calcular:a) La probabilidad de que a lo mas 2 de 50 tengan licencia vencida, si usualmente 5 % de las personastienen vencida su licencia.b) La probabilidad de que una caja de 100 fusibles tengan a lo mas 2 fusibles defectuosos si se sabe que el3 % de los fusibles fabricados sean defectuosos.

2 Si X es una v.a. con distribucion Poisson para la cual P(X = 0) = P(X = 1), cual es el valor de ?.

3 Un vendedor ha encontrado que el numero de artculos de la marca ABC que puede vender en un da esuna v.a. Poisson(4).a) Construya una grafica de la fdp correspondiente,b) Cuantos artculos de la marca ABC debe tener el vendedor para estar 95 % seguro de que tiene lossuficientes artculos para que le duren 5 das?.
http://find/


188/316

p q

4 Una compana de seguros encontro que el 0,005 % de las personas en un pas, mueren por cierto tipo deaccidente cada ano. Cual es la probabilidad de que la compana tenga que pagar a mas de tres de un totalde 10000 asegurados debido a este accidente en un ano?. Calcule la probabilidad exacta y tambien en

forma aproximada.

5 La deficiencia de celulas rojas en la sangre se puede determinar examinando una muestra de sangre en elmicroscopio. Suponga que en las personas normales una muestra de volumen especfico de sangre contieneen promedio 20 celulas rojas. Cual es la probabilidad de que para una persona normal, una muestra desangre pueda contener menos de 15 celulas rojas?

Sol. 1)a) : X Poisson(2,5); P(X 2) = 0,543813; b) : X Poisson(3); P(X 2) = 0,42312) : = 1

3) : X Poisson(20), P(X x) = 0,95.

4) : X Bin(10000, 0,00005); P(X > 3) = 0,00175083; aprox.X Poisson(1/2); P(X > 3) = 0,00175162

5) : X Poisson(20); P(X < 15) = 0,104864

Tarea: de todo un poco

1 Se formo un jurado de seis personas de un grupo de 20 posibles miembros, de los cuales 8 eran mujeres y12 eran hombres. El jurado se selecciono aleatoriamente, pero solo contena a una mujer. Tiene ustedalgun motivo para dudar de la aleatoriedad en la selecci on?.

2 El Centro de Computo de una Universidad muy reconocida tiene 300 pcs para el uso diario de losestudiantes. La probabilidad de que alguna pc requiera servicio un determinado da es 0,015. Cual es la
http://find/


189/316

probabilidad de que en un daa) a lo mas dos terminales requieran servicio? b) por lo menos cinco terminales requieran servicio? c) tresrequieran servicio?Para cada uno de los incisos anteriores obtenga la probalidad en forma exacta y tambien en formaaproximada

Sol.1) : P(Unamujer) =

81

125

206

= 0,1634

Distribucion Geometrica

Definicion.

Un experimento es geometrico si tiene

1 Ensayos identicos e independientes
http://find/


190/316


Definicion.



2 Cada ensayo tiene uno de dos posibles resultados:exito (E) ofrcaso (F).
http://find/


191/316


Definicion.




3 P(E) = p; P(F) = 1 p = q


192/316


Definicion.




3 P(E) = p; P(F) = 1 p = q
http://find/


193/316

4 La v.a. geometrica es el numero del ensayo en que ocurre elprimer exito. Y : 1, 2, 3, . . .


Definicion.




3 P(E) = p; P(F) = 1 p = q
http://find/


194/316


p(y) = P(Y = y) = P(FF . . . FE) = q q. . . qp = qy1p


Definicion.




3 P(E) = p; P(F) = 1 p = q


195/316


p(y) = P(Y = y) = P(FF . . . FE) = q q. . . qp = qy1pDefinicion.

Una v.a. Y tiene una distribucion de probabilidad geometrica ssi

p(y) = qy1p, y = 1, 2, 3, . . . , 0 p 1

En al unos textos utilizan = y = 0 1 2 . . .
http://find/


196/316


Teorema.

Si Y es una v.a. con distribucion geometrica,

E(Y) =1

py V(Y) =

1 pp2


197/316


Teorema.


E(Y) =1

py V(Y) =

1 pp2
http://find/


198/316

Ejemplo.Si la probabilidad de que un motor falle en el intervalo de una horaes de p= 0,02, y si Y denota el numero de intervalos quetranscurren hasta la primera falla, encuentre la media, la varianza ydesviacion estandar de Y .


Teorema.


E(Y) =1

py V(Y) =

1 pp2


199/316

Ejemplo.Si la probabilidad de que un motor falle en el intervalo de una horaes de p= 0,02, y si Y denota el numero de intervalos quetranscurren hasta la primera falla, encuentre la media, la varianza ydesviacion estandar de Y .

E(Y) = 50,V(Y) = 2450, = 49,497

Tarea: Distribucion geometrica

1 Suponga que x Geo(p). Encuentre la probabilidad de cada uno de los siguientes eventos.a) {X > 3}; b){4 < X 7} {X > 9}; c){3 X 5} {4 X 10};d) {X > 7} si se sabeque {X > 4}.1. si p = 0,8 y 2. si P = 0,3Sol. 1a)0,0016, 1b)0,0003971, 1c)0,00953, 1d)0,008; 2a)0,2401, 2b)0,13866, 2c)0,44567, 2d)0,343
http://find/


200/316

2 Sea Y una v.a. geometrica con una probabilidad de exito p. a) Demuestre que para un entero positivo a,P(Y > a) = qa. b) Demuestre que para los enteros positivos a y b,

P(Y > a + b|Y > a) = qb

= P(Y > b). A este resultado se le conoce como perdida de memoria de ladistribucion geometrica

La Binomial Negativa

La distribucion binomial negativa surge de un contexto semejante

al que conduce a la distribucion geometrica.1 Se tienen ensayos identicos e independientes,

2 Cada ensayo tiene uno de dos posibles resultados: Exito o
http://find/


201/316

Fracaso,

3 P(E) = p y P(F) = 1 p := q en cada ensayo,4 La variable aleatoria de interes Y, es el numero del ensayo en

que ocurre el r-esimo exito.

Sean

A = {los primeros (y 1) ensayos contienen (r 1) exitos} y

B = {el ensayo y da como resultado un exito}
http://find/


202/316

Sean


http://find/


203/316

P(Y = y) = P(A

B) = P(A)

P(B)

=

y 1r 1

pr1qyr p

=

y 1r 1

prqyr, y = r, r + 1, r + 2, . . . .

Sean


http://find/


204/316

P(Y = y) = P(A

B) = P(A)

P(B)

=

y 1r 1

pr1qyr p

=

y 1r 1

prqyr, y = r, r + 1, r + 2, . . . .

Nota: P(A) = 0 si (y 1) < (r 1) o si y < r.

Definicion.

Se dice que una v.a. Y tiene una distribucion de probabilidadbinomial negativa si y solo si

p(y) =

y 1r 1

prqyr, y = r, r + 1, r + 2, . . . , 0 p 1.
http://find/


205/316

Definicion.


p(y) =

y 1r 1

prqyr, y = r, r + 1, r + 2, . . . , 0 p 1.
http://find/


206/316

Ejemplo.Un estudio geologico indica que una perforacion de prueba paralocalizar petroleo en una determinada region encuentra este conuna probabilidad de 0,2. Encuentre la probabilidad que lo

encuentre por tercera vez al perforar el quinto pozo.

Definicion.


p(y) =

y 1r 1

prqyr, y = r, r + 1, r + 2, . . . , 0 p 1.
http://find/


207/316

Ejemplo.Un estudio geologico indica que una perforacion de prueba paralocalizar petroleo en una determinada region encuentra este conuna probabilidad de 0,2. Encuentre la probabilidad que lo

encuentre por tercera vez al perforar el quinto pozo.Sol. P(Y = 5) =

42

(0,2)3(0,8)2 = 0,0307

Teorema.

Si Y es una v.a. con distribucion binomial negativa.

E(Y) =r

p

y V(Y) =r(1 p)

p2

Ejemplo.

U l d b b d d % d i
http://find/


208/316

Un gran almacen de bombas usadas resguarda 20 % de maquinas

descompuestas. Se enva al deposito a una tecnica enmantenimiento con tres juegos de refacciones. Ella eligealeatoriamente las bombas, las prueba de una en una, y vaseparando las que funcionan. Cuando encuentra alguna que nofunciona, las repara con uno de sus juegos de refacciones. Suponga

que tarda 10 minutos en probar que funciona y 30 minutos enprobar y reparar una bomba averiada. Encuentre la media y lavarianza del tiempo que le toma a la tecnica utilizar sus tres juegosde refacciones.

Solucion: Si Y es el numero de ensayo en que se detecta la

tercera bomba descompuesta, entonces Y BN(0,2). Por lo tantoE(Y) = 3/0,2 = 15 y V(Y) = 3(0,8)/(0,2)2 = 60.
http://find/


209/316

Solucion: Si Y es el numero de ensayo en que se detecta la

tercera bomba descompuesta, entonces Y BN(0,2). Por lo tantoE(Y) = 3/0,2 = 15 y V(Y) = 3(0,8)/(0,2)2 = 60. Como parareparar cada bomba se requieren otros 20 min. , el tiempo totalnecesario para emplear los tres juegos de refacciones es
http://find/


210/316

p p j g

T = 10Y + 3(20)

y E(T) = 210 y V(Y) = 6000.

Tarea: Binomial Negativa

1 Suponga que el 10 % de los motores armados en una l nea de montaje estan defectuosos. Si se seleccionaen forma aleatoria uno por uno y se prueba, que probabilidad hay de localizar el primer motor que nocontiene defecto en el segundo ensayo?.

2 Remtase al ejercicio 1. Encuentre la probabilidad de localizar el tercer motor sin defecto: a) en el quintoensayo; c) en el quinto ensayo o antes.

3 Remtase al ejecicio 1. Encuentre la media y la varianza del numero del ensayo en el que se localiza: a) el


211/316

3 e tase a ejec c o cue t e a ed a y a a a a de u e o de e sayo e e que se oca a a) eprimer motor sin defecto; b) el tercer motor que no tiene defecto.

Sol. 1. p(2) =

10

(0,9)(0,1) = 0,09; 2a)P(5) =

42

(0,9)3(0,1)2 = 0,04374; 2b)p(3) + p(4) + p(5) = 0,99144

3a)E(Y) = 1,11,V(Y) = 0,1234; 3b)E(Y) = 3,33,V(Y) = 0,37

Momentos y funciones generadoras de momentos

Definicion.

El k -esimo momento de una v.a. Y respecto al origen se define

como E(Yk) y se denota mediante k.
http://find/


212/316


Definicion.



Observacion.

En particular E (Y ) = = y E (Y 2) =
http://find/


213/316

En particular E(Y) = 1 = y E(Y ) = 2.


Definicion.



Observacion.

En particular E (Y ) = 1 = y E (Y2) = 2
http://find/


214/316

En particular E(Y) = 1 = y E(Y ) = 2.

Definicion.

El k -esimo momento de una v.a. Y respecto a la media, o elk-esimo momento central de Y , se define como E[(Y )k] y sedenota k.

fgm

Definicion.

La funcion generadora de momentos m(t) para una v.a. Y sedefine como m(t) = E(etY). Decimos que existe una funciongeneradora de momentos para Y si hay una constante positiva btal que m(t) es finita para |t| b.
http://find/


215/316
http://find/


216/316

fgm

Teorema.

Si existe m(t), entonces, para cualquier entero positivo k,

d

k

m(t)dt

t=0= m(k)(0) = k.


217/316

fgm

Teorema.


d

k

m(t)dt

t=0= m(k)(0) = k.

Ejemplo.
http://find/


218/316

j

Encuentre la funcion generadora de momentos para una v.a. condistribucion Poisson y media

fgm

Teorema.


dkm(t)

dt

t=0 = m(k)(0) = k.

Ejemplo.
http://find/


219/316

Encuentre la funcion generadora de momentos para una v.a. condistribucion Poisson y media m(t) = e(e

t1)

fgm

Teorema.


dkm(t)

dt

t=0 = m(k)(0) = k.

Ejemplo.
http://find/


220/316

Encuentre la funcion generadora de momentos para una v.a. condistribucion Poi

Itam Notas de Probabilidad

Documents

Transcript of Itam Notas de Probabilidad