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Interferencia Intersimbólica (ISI)
Ing. Verónica M. MiróComunicaciones Eléctricas2007
ISI - Interferencia Intersimbólica
Nueva fuente de errores en sistemas de Tx Banda Base
Canal dispersivo. Modulación discreta de pulsos, PAM. Datos binarios
{bk} : símbolos 0 y 1, con duración Tb
{ak}: nueva secuencia de pulsos cortos representados en forma polar
ak = 1 si el símbolo bk es 1 ak = (-1) si el símbolo bk es 0
Interferencia Intersimbólica (ISI)
ISI - Interferencia Intersimbólica
La secuencia de pulsos cortos pasa a través del filtro de Tx [rta. al impulso g(t)], produce la señal transmitida
s(t) es modificada por el paso a través del canal con respuesta al impulso h(t)
ISI - Interferencia Intersimbólica
El canal introduce ruido aleatorio (blanco) a la entrada del receptor.
La señal ruidosa x(t) pasa a través del filtro de recepción (MF) que tiene respuesta al impulso c(t)
La salida del filtro es muestreada en forma sincrónica con el transmisor, en los instantes de muestreo determinados por un clock (ti = i Tb) que se extraea la salida del MF
Interferencia Intersimbólica (ISI)
ISI - Interferencia Intersimbólica
La secuencia de muestras obtenidas es usada para reconstruir la secuencia de datos original a través del dispositivo de decisión
Cada muestra se compara con un nivel de umbral λ.
ISI - Interferencia Intersimbólica
Si el nivel medido es superior al umbral λ se toma la decisión por un símbolo 1
Si el nivel medido es inferior al umbral λ se toma la decisión por un símbolo 0
Si el nivel medido es exactamente igual al umbral λ el receptor toma la decisión aleatoria por cualquiera de los dos símbolos (experimento de la moneda).
ISI - Interferencia Intersimbólica
La salida del filtro receptor
µ: factor de escala. p(t): pulso que será definido luego.
Se debería considerar un tiempo aleatorio t0 en el argumento de p(t) que representa el retardo de transmisión del sistema
ISI - Interferencia Intersimbólica
El pulso µp(t) es obtenido por una doble convolución que incluye la respuesta al impulso del filtro de transmisión g(t), la respuesta al impulso del canal h(t) y la respuesta al impulso del filtro receptor c(t)
µp(t) = g(t) * h(t) * c(t)Debemos asumir que el pulso p(t) está
normalizado p(0) = 1 (µ: factor de escala)
ISI - Interferencia Intersimbólica
En el dominio frecuencial
µP(f) = G(f) . H(f) . C(f)
donde P(f), G(f), H(f), C(f) son las transformadas de Fourier de p(t), g(t), h(t), c(t) respectivamente.
n(t): Ruido producido a la salida del filtro receptor debido al ruido del canal w(t) w(t) Ruido blanco gaussiano , de valor medio cero
ISI - Interferencia Intersimbólica
La salida del filtro receptor es muestreada en los instantes ti = i Tb (i: número entero)
ISI - Interferencia Intersimbólica
1er.Término: µai : Contribución del i-ésimo bit transmitido.
2do.Término: Efecto residual de todos los otros bits transmitidos en la decodificación del i-ésimo bit ISI
3er.Término:Muestra del ruido en el instante ti
ISI - Interferencia Intersimbólica
La ausencia del 2do. y 3er. Términos (ISI y ruido) y(ti) = µ ai (caso ideal)
Dispositivo de decisión: Decisión correcta
La presencia del 2do. y 3er. Términos (ISI y ruido) agrega niveles de señal (de amplitud y signos aleatorios)
Dispositivo de decisión: Probabilidad de Decisión errónea
ISI - Interferencia Intersimbólica
Objetivo de minimizar ISI y ruido: Diseño adecuado de los filtros de Tx y Rx, para poder entregar los datos en el destino con la menor tasa de error posible.
Caso particular: Canal Telefónico (S/N alta), podemos ignorar n(ti)
Criterio de Nyquist Transmisión binaria sin distorsión Hipótesis:
Respuesta en frecuencia del canal conocidaForma del pulso de Transmisión conocido
Determinar:Respuesta en frecuencia de los filtros
transmisor y receptor para poder reconstruir la tira de datos binaria {bk}
Criterio de Nyquist Transmisión binaria sin distorsión En el receptor:
Extraer los coeficientes {ak} de la salida y(t) muestreada en los tiempos t = i Tb
Decodificar la secuencia de coeficientes.
Esto requiere que [ak p(iTb – kTb)] para i = k esté libre de ISI, debido a la superposición de las colas de los otros pulsos en k ≠ i
Criterio de Nyquist Transmisión binaria sin distorsión El pulso deberá cumplir las siguientes
condiciones
donde p(0) = 1 Normalización Entonces si p(t) satisface ambas
condiciones, ignorando el ruido
ISI NULA
Criterio de Nyquist Transmisión binaria sin distorsión Las dos condiciones aseguran perfecta
recepción en ausencia de ruido. Desde el punto de vista del diseño del
filtro es importante transformar las condiciones anteriores al dominio frecuencial {p(nTb)} ; n = 0,+/-1, +/-2, …
Criterio de Nyquist Transmisión binaria sin distorsión El muestreo en el dominio del tiempo
produce periodicidad en el dominio de la frecuencia.
Donde tasa de bits (bits/seg)
:Transformada de Fourier de una secuencia periódica infinita de funciones δ de período Tb
Criterio de Nyquist Transmisión binaria sin distorsión Antitransformando
Sea el entero m = i – k, i = k, m = 0 i ≠ k, m ≠ 0
Criterio de Nyquist Transmisión binaria sin distorsión
Con esas consideraciones resulta:
Por lo tanto Condición sin ISI
; Rb = 1/Tb
Criterio de Nyquist Transmisión binaria sin distorsión Criterio de Nyquist para transmisión en
banda base sin distorsión:La función de la frecuencia P(f) que elimina
la ISI para las muestras tomadas en los intervalos Tb, satisface
P(f) refiere a todo el sistema Filtro Tx Canal Filtro Rx
Canal ideal de Nyquist
La forma más simple de la función P(f)
Rect(f/2W): Función rectangular de amplitud unitaria centrada en f = 0 y ancho de banda:W
Tb = 1/Rb = 1/2W
Canal ideal de Nyquist
No son necesarias frecuencias mayores que la mitad de la tasa de bits
W = Rb/2 = 1 / 2Tb
El par transformado que satisface las dos condiciones anteriores
Canal ideal de Nyquist
DefinicionesRb = 2W : tasa de Nyquist W: Ancho de banda de NyquistEl sistema de Transmisión ideal, banda
base queda descripto por P(f) en el dominio f ó p(t) en el dominio t: Canal de NYQUIST
Canal ideal de Nyquist
Canal ideal de Nyquist
La función p(t) puede ser representada por la respuesta al impulso de un filtro pasabajos ideal con amplitud 1/2W y ancho de banda W
La función p(t) tiene su valor pico en el origen y tiene cruces periódicos por cero en múltiplos enteros de la duración del bit Tb
Canal ideal de Nyquist
En el receptor, si: La función y(t) es muestreada en los
instantes de tiempo t = 0, ± Tb, ± 2Tb, … Los pulsos definidos por µp(t - iTb), con µ
de valor arbitrario e i = 0, ± 1, ± 2, …
Los pulsos no se interfieren entre sí
Canal ideal de Nyquist
Resuelve el problema de la ISI de forma satisfactoria
Utiliza el menor ancho de banda posible
Canal ideal de Nyquist
Canal ideal de Nyquist
Dificultades prácticas de diseño: Se requiere que P(f) sea plano entre –W y
W y cero fuera de este intervalo, Físicamente irrealizable
La función p(t) decrece a una tasa 1/ItI, para grandes valores de ItI. Baja tasa de decaimiento (discontinuidades de P(f) en ±W, no puede haber error en los instantes de muestreo)
Canal ideal de Nyquist
Errores en el instante de muestreo: Evaluar y(t) en t = ∆t, con ∆t: error en el instante de
muestreo
Canal ideal de Nyquist
Considerando 2WTb = 1, reescribimos la ecuación anterior
1. Símbolo deseado 2. Interferencia Intersimbólica causada por el error en el
instante de muestreo de y(t)
Es una serie divergente decisiones erróneas en el receptor
Espectro de Coseno Realzado
Resuelve las dificultades prácticas del canal ideal de Nyquist extendiendo el valor mínimo del ancho de banda (W = Rb/2), a un valor ajustable entre W y 2W
Tomaremos 3 términos de la ecuación del criterio de Nyquist para transmisión sin ISI (transparencia 24) y restringiremos el ancho de banda a [-W, W]
Espectro de Coseno Realzado
Es posible encontrar algunas funciones de banda limitada que cumplan la condición anterior
Espectro de coseno realzado
1. Porción Plana 2. Porción de caída senoidal (rolloff)
Espectro de Coseno Realzado
La frecuencia f1 y el ancho de banda W están relacionados
α : Factor de Rolloff, exceso de ancho de banda sobre la solución ideal de ancho de banda W
El ancho de banda de transmisión BT queda definido
Espectro de Coseno Realzado
P(f) está normalizada a 2W.
α = 0
Canal ideal de Nyquist, f1 = W.
α = 1/2
Caída gradual, f1 = W/2.
α = 1
Caída gradual, f1 = 0
Espectro de Coseno Realzado
La respuesta al impulso p(t) es la transformada inversa de Fourier de P(f)
1. Caracteriza el canal ideal de Nyquist. Asegura los cruces por cero en los instantes de muestreo t = iTb (i: Entero positivo ó negativo)
2. Factor que decrece con 1/ItI2 a medida que ItI crece. Reduce las colas de los pulsos anteriores y posteriores considerablemente por debajo de las obtenidas del canal ideal de Nyquist
La transmisión de ondas binarias usando pulsos de coseno realzado, son relativamente insensibles a los errores en los tiempos de muestreo
Espectro de Coseno Realzado
α = 1 Factor de Rolloff Full Coseno El factor de rolloff es el más gradual, f1 = 0.
La amplitud de las colas del pulso p(t) es pequeña La cantidad de ISI resultante de un error de timming decrece a
medida que el factor de rolloff aumenta de cero a uno.
Espectro de Coseno Realzadoα = 1 Factor de Rolloff Full Coseno
Propiedades En t = ±Tb/2 = ± 1/4W, p(t) = 0.5, el
ancho del pulso medido a la amplitud media es exactamente igual a la duración de bit Tb
Existen cruces por cero adicionales en t = ±3Tb/2, ±5Tb/2, … además de los usuales t = ±Tb, ±2Tb, …
Extracción de señal de reloj para sincronización.
Duplicación del ancho de banda del canal a comparación del requerido por el canal ideal de Nyquist
Modulación Multinivel
En un sistema PAM Banda Base M-ario: uno de M posibles niveles de amplitud.
Utiliza código Gray (1 posición de bit) Sistema M-ario = M símbolos Cada nivel de amplitud = 1 símbolo
Modulación Multinivel – Cuaternario
Modulación Multinivel
R = 1 / T : Tasa de señalización (símbolos/seg ó baudios)
Caso binario: M=2 Caso cuaternario: T = 2 Tb, M=4
1 baudio = 2 bits/seg Cada símbolo representa 2 bits de información
M-ario: 1 baudio = log2 M (bps) T = Tb log2 M
Modulación Multinivel - Conclusiones Dado un AB de canal, usando un sistema M-
ario: La tasa de transmisión es log2 M mayor que el
sistema PAM binario. Para mantener la misma probabilidad de error de
símbolo, se requiere mayor potencia transmitida (M2/ log2 M ) comparado con PAM binario
El diseño del modulador de amplitud M-ario y del dispositivo de decisión son mucho más complejos.
ISI, ruido e imperfecta sincronización causarán errores en la detección de los pulsos