UNIDAD 1: INTRODUCCION A LA SIMULACION.Una de las ms importantes heramientas para analizar el diseo y operacin de sistemas de procesos complejos es la simulacin. Aunque la solucin al problema nunca es exacta, las aproximaciones que se obtienen son bastante buenas. Aunque la construccin de modelos se inicio desde el renacimiento, el uso actual de la palabra Simulacin data del ao 1940, cuando los cientficos Von Neuman y Stanislau Ulam que trabajaban en el proyecto manhattan, hicieron referencia a la simulacin montecarlo, en el Laboratorio Nacional de los Alamos de California, durante la segunda guerra mundial, resolvieron problemas de reacciones nucleares cuya solucin experimental sera muy cosotosa y el anlisis matemtico demasiado compleja. Con la utilizacin de la computadora en los experimentos de simulacin, surgieron numerosas aplicaciones y con ello, una mayor cantidad de problemas tericos y prcticos.

DEFINICIN DE SIMULACIN. Simulacin es el proceso de disear un modelo de un sistema real, el cual sirve paradirigir los experimentos. con el propsito de entender el comportamiento del sistema y proponer varias estrategias para realizar la operacin de esta. Por sistema real, se refiere a la representacin de un conjunto de ideas de tal forma que sea diferente a la entidad misma, en este caso el trmino "real" se usa en el sentido de " en existencia o capaz de ser puesto en existencia", esto quiere decir que el sistema no necesariamente tiene que ser real.

EL PORQUE DE LA SIMULACIN.El principio racional para usar la simulacin en cualquier area del conocimiento es la bsqueda del hombre por adquirir conocimientos referentes a la prediccin del futuro, o la explicacin lgica de un fenmeno. Esta bsqueda es tan antigua como la historia de la humanidad. En el siglo XVII, La filosofa era la nica alternativa a la vista para reazlizar tales indagaciones, este mtodo fue utilizado por personajes tan importantes como: Platn, Aristteles, Euclides y otros. En 1620 Francis Bacon introdujo el Mtodo Cientfico el cual consta de cuatro pasos: Observacin del sitema fsico en estudio. Formulacin de hiptesis las cuales deberan explicar el comportamiento del sistema. Obtener una teora que explique el comportamiento del sistema, utilizando una deduccin lgica o ms rigurosamente un modelo matemtico. Expermientacin para probar la validez de la teora propuesta.

Pero en ocasiones es muy difcil utilizar este mtodo en algunos sistemas particulares, entonces la Simulacin aparece como una alternativa muy eficiente.

METODOLOGA DE LA SIMULACIN POR COMPUTADOR. CLASIFICACION DEL SISTEMA.El diseo de un modelo de simulacin depende de clasificar como uno de dos tipos:

SISTEMA DE EVENTOS DISCRETOS: Es un sistema cuyo estado cambia slo enciertos puntos del tiempo. Segn su tipoo se puden dividir en:

1. Sistema de terminacin: si en el sistema existen puntos de inicio y terminacin 2.precisos y conocidos. Sistema de no terminacin: Si es un sistema en curso que carece de puntos de inicio y terminacin.

SISTEMA CONTINUO: Es un sistema cuyo estado cambia continuamente y a cadainstante en el transcuros del tiempo.

COMPONENTES DE UNA SIMULACIN POR COMPUTADOR. Antes de disear una simulacin por computador es desicivo tener presentes lossiguientes componentes: Los objetivos o datos de salida del estudio de simulacin que tienen la forma de un valor numrico especfico. Los datos de entrada o valores numricos necesarios para determinar las salidas de la simulacin. Estos puden ser:

1. Condiciones iniciales: valores que expresan el estado del sistema al principio de una simulacin. 2. Datos determinsticos: valores conocidos necesarios para calcular las salidas de la simulacin. 3. Datos probabilsticos: magnitudes numricas cuyos valores son inciertos pero necesarios para obtener las salidas de la simulacin.

DISEO DE LA SIMULACIN POR COMPUTADOR. Generacin de nmeros aleatorios: se obtienen las entradas probabilsticas para el modelo generando nmeros aleatorios de acuerdo a las distribuciones conocidas asociadas. Contabilidad: se disea un mtodo sistemtico para almacenar y procesar todos los valores de entrada y para realizar los clculos necesarios para obtener los valores de salida. Implementacin del modelo en el computador. Hay que definir que lenguaje utilizar, para procesarlo en el computador y obtener los resultados deseados. Validacin. A travs de esta etapa es posible detallar deficiencias en la formulacin del modelo a en los datos que lo alimentan. Las formas ms comunes de validar un modelo son: La opinin de los expertos. La exactitud con que se presicen los datos histricos. La exactitud en la prediccin del futuro. Utilizar datos que hacen fallar al sistema real.

1. 2. 3. 4.

5. La acepcin y confianza en el modelo de la persona que har uso de los resultados obtenidos con el sistema. 6. Interpretacin. Interpretar los datos que arroja la simulacin y hacer uso de ellos para tomar desiciones. 7. Documentacin. Hacer el manual tcnico y el manual de usuario para el sistema de simulacin a utlizarse.

VENTAJAS Y DESVENTAJAS DE LA SIMULACIN. Desventajas: Entre estas tenemos que: un buen modelo requiere mucho tiempo y es bastante costoso. Puede reflejar con presicin una situacin del mundo real, cuando en verdad no lo hace. La simulacin es imprecisa, y no se pude medir el grado de error. Generalmente los resultados son numricos y puden ser imprecisos por algunas cifras decimales que con el tiempo se covierten en unas cifras muy significativas al obtenerse el error. Ventajas: Podemos aplicar la simulacin sino existe una formulacin matemtica del problema. Se aplica cuando los procedimientod matemticos son muy complejos. Se aplica cuando no existe un personal necesario para que resuelva el problema. Cuando se desea hacer experimentos por un cierto periodo de tiempo par para observar el comportamiento del sistema. Cuando se requiera que el proceso sea en menos tiempo. Se aplica a la educacin y el entrenamiento.

FUENTE: http://cybersitio.iespana.es/cybersitio/contenido/simulacion/simulacion.htm

La planeacin e implementacin de proyectos complejos en los negocios, industrias y gobierno requieren de grandes inversiones, razn por la que es indispensable realizar estudios preliminares para asegurar su conveniencia de acuerdo a su eficiencia y ejecucin econmica para proyectos de cualquier tamao. Una tcnica para ejecutar estudios piloto, con resultados rpidos y a un costo relativamente bajo, est basado en la modelacin y se conoce como simulacin. El proceso de elaboracin del modelo involucra un grado de abstraccin y no necesariamente es una rplica de la realidad; consiste en una descripcin que puede ser fsica, verbal o abstracta en forma, junto con las reglas de operacin. Ms an debido a que el modelo es dinmico, su respuesta a diferentes entradas puede ser usada para estudiar el comportamiento del sistema del cual fue desarrollado.

La simulacin de sistemas ofrece un mtodo para analizar el comportamiento de un sistema. Aunque los sistemas varan en sus caractersticas y complejidades, la sntesis de la formacin de modelos, la ciencia de la computacin, y las tcnicas estadsticas que representa este tipo de simulacin constituye un conjunto til de mtodos para aprender sobre estas caractersticas y complejidades e imponerles una estructura. Para comprender las caractersticas tcnicas de este enfoque y aplicarlas a un problema real, es necesario familiarizarse con los conceptos que describen un sistema y un modelo. COMO SE DEFINE UN SISTEMA EN SIMULACIN. Coleccin de entradas que pasan a travs de las fases de cierto proceso, produciendo respuestas. Por ejemplo:

SISTEMA DE MANUFACTURAEN TRAD A PROCE SO S ALIDA EV A LUAC I N

M AT ER IA P RIM A P R E SU P U E STO INF O RM AC I N

FAC ILIDADES S IS TE M A DE TRAN SFOR M AC IN (distribucin y asignacin)

PROD UCTO TE RM IN ADO

1. EFICIEN CIA 2. COSTOS DE TRANS FORM ACIN 3.INVEN TARIO E N PRO CE S O 4.TIEM P O DE PROCE S O 5.P RO DUC CIN/HORA 6.AREA OCUPAD A

SISTEMA DE SERVICIOENTRADA PROCESO SALIDA EVALUACIN

CLIENTES

SISTEMA DE SERVICIO: SERVIDORES DISCIPLINA DEL SERVICIO ESPACIO DISPONIBLE

CLIENTE SATISFECHO

1. COSTO DEL SISTEMA 2. TIEMPO EN LA COLA 3.TIEMPO EN EL SISTEMA 4.LONGITUD DE COLA 5. OCUPACIN DE LOS SERVIDORES

QUE

ES LA SIMULACIN? Existen innumerables definiciones de simulacin, aqu se presentan algunas de las mas aceptadas:

Simulacin es una tcnica numrica para conducir experimentos en una computadora digital. estos experimentos comprenden ciertos tipos de relaciones matemticas y lgicas, las cuales son necesarias para describir el comportamiento y la estructura de sistemas complejos del mundo real a travs de largos periodos de tiempo. THOMAS H. NAYLOR

Simulacin es el desarrollo de un modelo lgico matemtico de un sistema, de tal forma que se tiene una imitacin de la operacin de un proceso de la vida real o de un sistema a travs del tiempo. La simulacin involucra la generacin de una historia artificial de un sistema, la observacin de esta historia mediante la manipulacin experimental, nos ayuda a inferir las caractersticas operacionales de tal sistema. JERRY BANKS simulacin es una tcnica numrica para realizar experimentos en una computadora digital. estos experimentos involucran ciertos tipos de modelos matemticos y lgicos que describen el comportamiento de sistemas de negocios, econmicos, sociales, biolgicos, fsicos o qumicos a travs de largos periodos de tiempo. H. MAISEL Y G. GNUGNOLI PARA FINES DE NUESTRO CURSO DEFINIREMOS A LA SIMULACIN COMO: Simulacin es el proceso de disear y desarrollar un modelo de un sistema o proceso real y conducir experimentos con el propsito de entender el comportamiento del sistema o evaluar varias estrategias (dentro de lmites impuestos por un criterio o conjunto de criterios) para la operacin del sistema.

ROBERT. SHANNONSe describe comnmente como un arte, o una ciencia sofisticada, debido a que la utilidad de los resultados depender de la destreza del grupo que realiza y analiza el modelo. actualmente no existe una teora cientfica para garantizar la validez de un proceso de simulacin antes de que el experimento sea realizado, en su lugar, la confiabilidad de un modelo es evaluada por la correspondencia de los resultados del modelo con los obtenidos por otros sistemas comparables con el que se est examinando. VENTAJAS Y DESVENTAJAS DE SIMULACIN VENTAJAS

No es necesario interrumpir las operaciones de la compaa. Proporciona muchos tipos de alternativas posibles de explorar. La simulacin proporciona un mtodo ms simple de solucin cuando losprocedimientos matemticos son complejos y difciles.

La simulacin proporciona un control total sobre el tiempo, debido a queun fenmeno se puede acelerar.

Auxilia el proceso de innovacin ya que permite al experimentadorobservar y jugar con el sistema.

Una vez construido el modelo se puede modificar de una manera rpidacon el fin de analizar diferentes polticas o escenario. Permite anlisis de sensibilidad

Generalmente es ms barato mejorar el sistema va simulacin quehacerlo en el sistema real.

Es mucho ms sencillo visualizar y comprender los mtodos de simulacinque los mtodos puramente analticos. Da un entendimiento profundo del sistema

Los mtodos analticos se desarrollan casi siempre relativamente sencillosdonde suele hacerse un gran nmero de suposiciones simplificaciones, mientras que en los mtodos de simulacin es posible analizar sistemas de mayor complejidad o con menor detalle.

En algunos casos,solucin.

la simulacin es el nico medio para lograr una

Da soluciones a problemas "sin" solucin analticaAunque la simulacin es un planteamiento muy valioso y til para resolver problemas, no es una panacea para todos los problemas administrativos y presenta alguna desventajas como:

La simulacin es imprecisa, y no se puede medir el grado de suimprecisin.

Los resultados de simulacin son numricos; por tanto, surge el peligro deatribuir a los nmeros un grado mayor de validez y precisin.

Los modelos de simulacin en una computadora son costosos y requierenmucho tiempo para desarrollarse y validarse.

Se requiere gran cantidad de corridas computacionales para encontrarasoluciones, lo cual representa altos costos.

Es difcil aceptar los modelos de simulacin y difcil de vender Los modelos de simulacin no dan soluciones ptimas. La solucin de un modelo de simulacin puede dar al anlisis un falsosentido de seguridad.

Requiere "largos" periodos de desarrollo

METODOLOGA DE SIMULACIN

DEFINICIN DEL SISTEMA. Cada estudio debe de comenzar con unas descripcin del problema o del sistema. Debe determinarse los lmites o fronteras, restricciones, y medidas de efectividad que se usarn. FORMULACIN DEL MODELO. Reduccin o abstraccin del sistema real a un diagrama de flujo lgico.

PREPARACIN DE DATOS. Identificacin de los datos que el modelo requiere y reduccin de estos a una forma adecuada. SELECCIN DEL LENGUAJE: De la seleccin del lenguaje depender el tiempo de desarrollo del modelo de simulacin, es importante utilizar el lenguaje que mejor se adecu a las necesidades de simulacin que se requieran. La seleccin puede ser desde usar un lenguaje general como lo es BASIC, PASCAL o FORTRAN hasta hacer uso de un paquete especficamente para simular sistemas de manufactura como el SIMFACTORY o el PROMODEL, o lenguajes de Simulacin como: GPSS, SLAM, SIMAN, SIMSCRIPT, etc. TRANSLACIN DEL MODELO. Consiste en generar las instrucciones o cdigo computacional o necesario para lograr que el modelo pueda ser ejecutado en la computadora. VALIDACIN DEL MODELO. Es el proceso que tiene como objetivo determinar la habilidad que tiene un modelo para representar la realidad. La validacin se lleva a cabo mediante la comparacin estadstica de los resultados del modelo y los resultados reales. PLANEACION ESTRATGICA. Diseo del un experimento que producir la informacin deseada. PLANEACIN TCTICA. Determinacin de cmo se realizar cada una de las corridas de prueba EXPERIMENTACIN. Corrida de la simulacin para generar los datos deseados y efectuar anlisis de sensibilidad. INTERPRETACIN. Obtencin de inferencias con base en datos generados por la simulacin IMPLANTACIN. Una vez seleccionada la mejor alternativa es importante llevarla a la prctica, en muchas ocasiones este ltimo caso es el ms difcil ya que se tiene que convencer a la alta direccin y al personal de las ventajas de esta puesta en marcha. Al implantar hay que tener cuidado con las diferencias que pueda haber con respecto a los resultados simulados, ya que estos ltimos se obtienen, si bien de un modelo representativo, a partir de una suposiciones. MONITOREO Y CONTROL: No hay que olvidar que los sistemas son dinmicos y con el transcurso del tiempo es necesario modificar el modelo de simulacin, ante los nuevos cambios del sistema real, con el fin de llevar a cabo actualizaciones peridicas que permitan que el modelo siga siendo una representacin del sistema.

PELIGROS Y PROBLEMAS EN SIMULACIN

Definir los lmites y nivel de detalles del sistema. Subestimar el tiempo y costos involucrados en el proceso de modelacin. Fallar en la seleccin del ms simple y econmico de los modelos para el fin establecido. Ausencia o prdida de metodologa estadstica. Considerar como aproximados algunos atributos de un sistema que no existe. Entendimiento superficial del sistema a ser modelado. Poca destreza para comunicarse con administradores y staff que financiarn el proyecto.

REAS DE APLICACIN DE SIMULACIN La simulacin es una tcnica que puede ser aplicada a una gran cantidad de reas, debido a que los avances tecnolgicos y la disponibilidad de software que existen actualmente, hacen de ella una herramienta muy til. Los siguientes son algunos ejemplos de las aplicaciones de la simulacin en algunas reas de estudio: Sistema de colas. Sistema de inventarios Proyecto de inversin. Sistemas econmicos Estados financieros. Problemas industriales. Problemas econmicos Problemas conductuales sociales Sistemas biomdicos Sistemas Justo a tiempo Sistemas de Logstica

y

CONCLUSIONES SOBRE LOS CONCEPTOS BSICOS DE SIMULACIN LA SIMULACIN ES UN PROCESO ITERATIVO Un experimento de simulacin da el valor de los parmetros durante y al final de la simulacin. el anlisis de los resultados sugiere modificaciones a la estrategia, cambios tales como prioridades o reglas de secuencia. as, paso a paso, ganamos conocimiento sobre el sistema y su comportamiento hasta que se tiene suficiente informacin para hacer recomendaciones finales sobre el sistema a ser implementado. LA SIMULACIN NO SE USA NORMALMENTE PARA ENCONTRAR SOLUCIN PTIMA DEL PROBLEMA. En contraste con simulacin, una tcnica de programacin matemtica, tal como programacin lineal, proporciona una solucin ptima, s existe. (la desventaja de tal tcnica, sin embargo, es que permanece esttica para cada conjunto de datos). puede parecer que la simulacin es menos poderosa que la programacin matemtica u otro mtodo matemtico. sin embargo, la simulacin es una excelente tcnica cuando otros mtodos fallan. POR OTRA PARTE NO SIMULE CUANDO SE TENGA LAS SIGUIENTES CONDICIONES: 1. El problema puede resolverse usando anlisis de sentido comn. 2. El problema puede resolverse analticamente (usando una forma cerrada). 3. Es ms fcil cambiar o ejecutar experimentos directamente en el sistema real. 4. El costo de la simulacin excede el posible ahorro. 5. No hay recursos disponibles para el proyecto. 6. No hay tiempo suficiente para los resultados del modelo para usarse. 7. No hay informacin o ni siquiera datos estimados. 8. El modelo no puede ser verificado o validado 9. Las expectativas del modelo no pueden ser alcanzadas. 10.El comportamiento del sistema es demasiado complejo o no puede ser definido.

MODELACIN DE SISTEMASEl primer paso a dar para estudiar un sistema es elaborar un modelo, el cual puede ser una representacin formal de la teora o una explicacin formal de la

observacin emprica. Sin embargo, a menudo es una combinacin de ambas. Los propsitos de usar un modelo son los siguientes: 1. Hace posible que un investigador organice sus conocimientos tericos y sus observaciones empricas sobre un sistema y deduzca las consecuencias lgicas de esta organizacin. 2. Favorece una mejor comprensin del sistema. 3. Acelera anlisis. 4. Constituye un sistema de referencia para probar la aceptacin de las modificaciones del sistema. 5. Es ms fcil de manipular que el sistema mismo. 6. Hace posible controlar ms fuentes de variacin que lo que permitira el estudio directo de un sistema. 7. Suele ser menos costoso. Al analizar un sistema podemos observar, que al cambiar un aspecto del mismo, se producen cambios o alteraciones en otros. Es en estos casos en los que la simulacin, representa una buena alternativa para analizar el diseo y operacin de complejos procesos o sistemas. La modelacin de sistemas es una metodologa aplicada y experimental que pretende: 1. Describir el comportamiento de sistemas. 2. Hiptesis que expliquen el comportamiento de situaciones problemtica. 3. Predecir un comportamiento futuro, es decir, los efectos que se producirn mediante cambios en el sistema o en su mtodo de operacin. DEFINICIN DE MODELO UN MODELO ES UNA REPRESENTACIN DE UN OBJETO, SISTEMA O IDEA, DE FORMA DIFERENTE AL DE LA ENTIDAD MISMA. EL PROPSITO DE LOS MODELOS ES AYUDARNOS A EXPLICAR, ENTENDER O MEJORAR UN SISTEMA. UN MODELO DE UN OBJETO PUEDE SER UNA RPLICA EXACTA DE STE O UNA ABSTRACCIN DE LAS PROPIEDADES DOMINANTES DEL OBJETO.

El uso de modelos no es algo nuevo. El hombre siempre ha tratado de representar y expresar ideas y objetos para tratar de entender y manipular su medio. Un requerimiento bsico para cualquier modelo, es que debe describir al sistema con suficiente detalle para hacer predicciones vlidas sobre el

comportamiento del sistema. Ms generalmente, las caractersticas del modelo deben corresponder a algunas caractersticas del sistema modelado. La figura siguiente muestra el concepto de un modelo de simulacin:ENTRADA X ENTRADA

CORRESPONDENCIA

PARMETROS caracterstica o atributos del sistema

SISTEMA

CORRESPONDENCIA

MODELO

PARMETROS caracterstica o atributos de modelo

INFERENCIA

SALIDA Y

SALIDA

SE DEBE TOMAR EN CUENTA QUE NUESTRO MODELO NUNCA VA A SER UNA REPRESENTACIN EXACTA DE LA REALIDAD. (TRABAJAR EN UN RANGO). Un modelo se utiliza como ayuda para el pensamiento al organizar y clasificar conceptos confusos e inconsistentes. Al realizar un anlisis de sistemas, se crea un modelo del sistema que muestre las entidades, las interrelaciones, etc. La adecuada construccin de un modelo ayuda a organizar, evaluar y examinar la validez de pensamientos. Al explicar ideas o conceptos complejos, los lenguajes verbales a menudo presentan ambigedades e imprecisiones. Un modelo es la representacin concisa de una situacin; por eso representa un medio de comunicacin mas eficiente y efectivo. ESTRUCTURA DE LOS MODELOS DE SIMULACIN. Los componentes son las partes constituyentes del sistema. Tambin se les denomina elementos o subsistemas. Las variables son aquellos valores que cambian dentro de la simulacin y forman parte de funciones del modelo o de una funcin objetivo. Los parmetros son cantidades a las cuales se les asignar valores, una vez establecidos los parmetros, son constantes y no varan dentro de la simulacin. "Las relaciones funcionales muestran el comportamiento de las variables y parmetros dentro de un componente o entre componentes de un sistema.

Estas caractersticas operativas pueden ser de naturaleza determinstica o estocstica. Las relaciones determinsticas son identidades o definiciones que relacionan ciertas variables o parmetros, donde una salida de proceso es singularmente determinada por una entrada dada. Las relaciones estocsticas son aquellas en las que el proceso tiene de manera caracterstica una salida indefinida para una entrada determinada. Las restricciones son limitaciones impuestas a los valores de las variables o la manera en la cual los recursos pueden asignarse o consumirse. En las funciones de objetivos se definen explcitamente los objetivos del sistema y cmo se evaluarn, es una medida de la eficiencia del sistema. EL PORQUE DE CONDICIONES: LOS MODELOS SE DEBE A LAS SIGUIENTES

Complejidad de la interrelacin entre factores que definen un sistema. Preparacin del tomador de decisiones. Incapacidad de clasificar los hechos relevantes e irrelevantes y cmo pueden afectarse al implementar decisiones. Diseo o modificacin de sistemas evaluando diferentes alternativas. Menor costo que en sistemas reales la toma de decisiones. La inexistencia del sistema real. Implementar sistemas para tomar decisiones genera grandes atrasos y se incurre en la posibilidad que el sistema implementado sea insatisfactorio.

CARACTERSTICAS DESEABLES DE UN MODELO DE SIMULACIN 1. 2. 3. 4. 5. Que sea completo Adaptabilidad Credibilidad Simplicidad (menor nmero de parmetros) Factible tanto en Informacin como en recursos 6. Econmico (EL COSTO MXIMO DEL MODELO DEBE SER EL MNIMO BENEFICIO QUE SE OBTIENE)

$C S OD LM D L OT E OEO

C S OD LE R R OT E R O C M L J D LM D L YE R R S O PEO E O EO ROE (C M L T , E A T , E C O PEO X CO T )

CLASIFICACIN DE LOS MODELOS Los modelos pueden clasificarse de diversas maneras. Existen muchos modelos fsicos tales como el modelo de un avin o, ms generalmente, una rplica a escala de un sistema. Existen modelos esquemticos que abarcan dibujos, mapas y diagramas. existen modelos simblicos, de los cuales los que estn basados en las matemticas o en un cdigo de computadora son simblicos desempean funciones importantes en el diseo de los estudios de simulacin de sistemas por medio de computadora. Algunos modelos son estticos; otros, dinmicos. Un modelo esttico omite ya sea un reconocimiento del tiempo o describe un instante del estado de un sistema en determinado momento. En contraste, un modelo dinmico reconoce explcitamente el transcurso del tiempo. Adems de proporcionar una secuencia de instantes del sistema en el transcurso del tiempo, algunos modelos dinmicos especifican relaciones entre los estados de un sistema en diferentes momentos. Otra distincin es la referente a los modelos deterministas contra modelos estocsticos. En los primeros, todas las entidades establecen relaciones matemticas o lgicas constantes. Como consecuencia, estas relaciones determinan soluciones. En un modelo estocstico, por lo menos una parte de la variacin tienen una naturaleza casual. Por tanto, un investigador puede, a lo sumo, obtener soluciones promedio mediante modelos estocsticos para resolver los problemas. El presente libro se concentra exclusivamente en modelos estocsticos. NECESIDAD Y COSTO DEL DETALLE Cuando se construye un modelo, un investigador se enfrenta constantemente al problema de equilibrar la necesidad del detalle estructural con la de hacer manejable el problema para las tcnicas de solucin aplicables al problema. Siendo un formalismo, un modelo es necesariamente una abstraccin. Sin embargo, cuanto ms detallado sea un modelo en forma explcita, mejor ser la semejanza del modelo con la realidad. Otra razn para incluir el detalle es que se ofrecen mayores oportunidades para estudiar la respuesta del sistema cuando una relacin estructural dentro del modelo altera con el propsito de investigacin. Primero, puede considerarse un mayor nmero de combinaciones de los cambios estructurales y, segundo, puede estudiarse un mayor nmero de aspectos de la respuesta.

Por otra parte, el detalle por lo general dificulta la solucin de los problemas. A menudo los detalles agregados cambian el mtodo para resolver un problema de un mtodo analtico a otro numrico, de manera que se pierde la generalidad de una solucin analtica. El detalle tambin puede aumentar el costo de la solucin. Sin embargo, el factor que sirve de lmite en la utilizacin del detalle, es que a menudo no se tiene suficiente informacin sobre el sistema que se estudia, como para poder especificar otras caractersticas que no sean las obvias. Todo modelo debe limitar el detalle en algn aspecto. Al hacer la descripcin de un sistema en lugar del detalle, se hacen suposiciones sobre el comportamiento del sistema. Como se desea que estas suposiciones no contradigan el comportamiento observable del sistema, siempre que se pueda, se deben probar comparndolas con la observacin. CRITERIOS PARA REALIZAR UN BUEN MODELO. Se ha definido a la simulacin como el proceso del diseo de un modelo de un sistema real y la realizacin de experimentos con el mismo, con el propsito de entender ya sea el comportamiento del sistema o la evaluacin de varias estrategias que se consideran para la operacin del sistema. Esto implica el establecer ciertos criterios que debe cumplir todo buen modelo de simulacin: Fcil de entender por parte del usuario. Dirigido a metas u objetivos. No d respuestas absurdas. Fcil de controlar y manipular por parte del usuario. Completo, en lo referente a asuntos importantes. Evolutivo, es decir, que debe ser sencillo al principio y volverse ms complejo, de acuerdo con el usuario.

RIESGOS DE LA ELABORACIN DE MODELOS. Primero, no existe garanta alguna de que el tiempo y el trabajo dedicados a establecer el modelo tendr como resultado algo til as como beneficios satisfactorios. El fracaso suele ocurrir porque el nivel de recursos es demasiado bajo. Sin embargo, a menudo el investigador se ha basado ms en el mtodo y no suficientemente en el ingenio cuando el balance apropiado entre conducir a la mayor probabilidad de xito. La segunda advertencia se refiere a la tendencia del investigador de defender su representacin particular de un problema como la mejor que existe de la realidad. Esta situacin ocurre a menudo despus de que ha invertido mucho tiempo y trabajo esperando resultados tiles. La tercera advertencia es la referente a la utilizacin del modelo para predecir ms all del intervalo de aplicacin sin la debida especificacin. Por ejemplo, puede disearse un modelo para pronosticar el comportamiento del sistema

para un periodo futuro. Si se toma el mismo modelo para predecir en dos periodos futuros, debe especificarse de manera explcita a quienes lo utilizan en el sentido de que en estas predicciones el periodo futuro de prediccin no es tan exacto como en el caso de la prediccin para determinado periodo. Omitir una especificacin apropiada con respecto a un modelo de extrapolacin da como resultado quizs la nica y mayor causa de la mala aplicacin practica.

FUENTE: http://www.itson.mx/dii/atorres/Introd.doc

UNIDAD 2: NUMEROS PSEUDOALEATORIOSGENERACION DE NUMEROS PSEUDOALEATORIOS

Existen varios mtodos para la generacin de nmeros pseudoaleatorios entre cero (0) y uno (1); la importancia del mtodo a emplear estriba en el hecho que los nmeros generados deben cumplir ciertas condiciones para poder validarlos:

Uniformemente distribuidos: Los nmeros aleatorios son los valores de las variables estadsticas que pertenecen a la distribucin uniforme; tienen las siguientes caractersticas: Si (i =1, 2 , 3 ...) son nmeros aleatorios, entonces su funcin f satisface la relacin para todos los valores:

Es decir, la funcin f( ) en un punto expresa la posibilidad de que algunos nmeros aleatorios se encuentren en el intervalo [0, ]. Los nmeros pseudoaleatorios, son tericamente variables continuas con densidad f y una distribucin acumulada F.

Estadsticamente independientes: Las variables son independientes si su funcin G se puede representar como :

y si todos los nmeros aleatorios tienen la misma distribucin, entonces la relacin toma la forma:

Su media debe ser estadsticamente igual a 1/2

Su varianza debe ser estadsticamente igual a 1/12

Su perodo o ciclo de vida debe ser largo: Existen varios procedimientos de generacin de nmeros pseudoaleatorios; para la simulacin por computador son importantes los nmeros pseudoaleatorios cuyos generadores se basan en los procedimientos algebraicos. Este es el procedimiento iterativo donde los nmeros pseudoaleatorios se obtienen del nmero anterior o de varios anteriores (proceso de recursin).

METODOS PARA LA GENERACION DE NUMEROS PSEUDOALEATORIOS

Uno de los mtodos ms utilizados para generar nmeros pseudoaleatorios empieza con un valor inicial no , llamado semilla y a continuacin por recursin los valores sucesivos ni, i 1, haciendo :

Los mtodos ms empleados para la generacin de los nmeros pseudoaleatorios son los siguientes:1. CONTRASTES EMPIRICOS

La aproximacin a los generadores de nmeros aleatorios exige contrastar ciertas propiedades estadsticas de sus salidas. Algunos de los contrastes son genricos y pueden utilizarse en la evaluacin de generadores de variables aleatorias. Mencionemos que muchos de estos contrastes se encuentran implementados en los paquetes estadsticos comerciales ms importantes. Adems. algunos generadores disponen de una teora analtica que conduce a contrastes tericos especficos. Contraste El contraste es de bondad de ajuste. Es poco potente, por lo que permite justificar el rechazo de una hiptesis, pero proporciona escaso soporte a su aceptacin. El estadstico del contraste es:

cuya distribucin asinttica es una donde r son los parmetros estimados y la aproximacin se acepta si min ei > 5 Contraste de Kolmogorov Smirnov Consideramos el caso en que Fo es continua. La funcin de distribucin emprica de una muestra X1, X2, ..., Xn se define como

Bajo la hiptesis nula Ho : Fx(X) = Fo(X) esperamos que Fn se aproxime a Fo. Definimos el estadstico bilateral de Kolmogorov-Smirnov

La distribucin exacta de Dn est tabulada para valores seleccionados de n 40 y del nivel de significacin . Para muestras grandes, se utiliza la distribucin asinttica de Dn.

GENERADORES CONGRUENCIALES LINEALESLos principales son: Mtodos de los medios de cuadrados: Cada nuevo nmero de la secuencia es producido tomando los dgitos medios m de un nmero obtenido mediante la elevacin al cuadrado de un dgito. Ejemplo:

Mtodo aditivo de congruencias: Inicializa con k valores dados, con k un entero positivo y la sucesin se da mediante:

Mtodo mixto de congruencias: Son nmeros que se obtienen mediante la siguiente relacin de congruencia ( con a y c mayores que 0 ):

GENERADORES DE REGISTRO DE DESPLAZAMIENTOLos generadores congruenciales pueden generalizarse a recursiones lineales de orden mayor. Para k 1, m primo, se define

y el generador se denomina recursivo mltiple. El estudio de este generador se asocia al del polinomio caracterstico

sobre el lgebra finita Fm con m elementos.

GENERADORES DE FIBONACCI RETADARDOS

Cuando n0= 0 y n1 = 1 en el mtodo aditivo congruencial se obtiene por medio de generalizacin el caso especial denominado secuencia de Fibonacci. Parte de la semilla inicial ( X1, X2, ... , Xr ) y usa la recursin

donde r y s son retardos enteros que satisfacen r > s y o es una operacin binaria que suele ser r +, -, x XOR. Tpicamente. los elementos iniciales son enteros y la operacin binaria es la suma mdulo 2n. La caracterizacin del periodo mximo de los generadores de Fibonacci retardados est bien estudiada y se basan, de nuevo en el anlisis de sucesiones lineales recursivas de enteros de la forma

GENERADORES NO LINEALESDada la estructura reticular de los generadores lineales, algunos autores sugieren utilizar generadores no lineales. Se distinguen dos formas de introducir no linealidad en un generador: a.Usar un generador con funcin de transicin lineal, produciendo la salida mediante una transformacin no lineal del estado. b.Usar un generador con funcin de transicin no lineal. Una propiedad comn en estos generadores es que no producen una estructura reticular como la de los lineales.Su estructura es altamente no lineal: tpicamente, un hiperplano t-dimensional tendr a lo sumo t t-uplas solapantes de nmeros. Sea rn un primo arbitrario y Fm = {0. 1, ...,m - 1} el lgebra finita de orden m. Para un entero z, se define que es la inversa de z para la multiplicacin en Fm, si z 0 (mod m). Dados a, b Fm, a 0, la sucesin congruencial inversa explcita se define mediante

El generador congruencial de inversin explcita se obtiene mediante normalizacin

Obviamente, las sucesiones { un } e { yn } son peridicas con periodo mximo m.

COMBINACION DE GENERADORESPara incrementar el perodo e intentar evitar las regularidades que muestran los generadores lineales congruenciales se ha sugerido combinar diferentes generadores para obtener uno hbrido que tal vez sea de mayor calidad que los generadores originales. Tales combinaciones pueden considerarse heursticas, algunas de las cuales han resultado bastante pobres. Aunque el fundamento de estos procedimientos es esencialmente emprico, tambin se han desarrollado algunos aspectos tericos. En primer lugar, se haobservado que el periodo de un generador hbrido es, en general, bastante ms largo que el de sus componentes siendo, adems, posible su determinacin. En segundo lugar, hay resultados tericos que sugieren que algunas formas de combinacin de generadores que mejoran su comportamiento estadstico.

FUENTE: http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/sedes/manizales/4060015/Lecciones/Capitulo %20VI/metodos.htm

GENERACIN DE VARIABLES ALEATORIASUna vez obtenida toda la informacin, es decir, los datos de entrada del sistema real, es necesario convertirlos en informacin o datos de entrada del modelo de simulacin. Es posible distinguir dos tipos de informacin: 1. Informacin determinstica. Esta informacin entra directamente al modelo con su valor correspondiente en el sistema real. 2. Informacin probabilstica. Es necesario crear modelos de simulacin que imiten el comportamiento de esas variables. De esta forma, al crear un modelo de simulacin debemos ser capaces de crear ese comportamiento y modelarlo. Los nmeros aleatorios uniformes (0-1) son la base en los modelos de simulacin donde hay variables estocsticas, ya que dichos nmeros son la herramienta para generar eventos de tipo probabilstico.

MTODOS DE GENERACIN DE NMEROS PSEUDOALEATORIOS U( 0,1 )

Existen un gran nmero de mtodos para generar los nmeros aleatorios uniformes entre 0 y 1. Algunas formas de obtener estos nmeros son: - Utilizando tablas de nmeros aleatorios. - Utilizando calculadoras ( algunas incluyen una funcin para generarlos ). - Los lenguajes de programacin y las hojas electrnicas incluyen una funcin para generarlos. - Utilizando Generadores Congruenciales. El mtodo a utilizar, en s mismo, no tiene importancia: la importancia radica en los nmeros que genera, ya que estos nmeros deben cumplir ciertas caractersticas para que sean validos. Dichas caractersticas son: 1. Uniformemente distribuidos. 2. Estadsticamente independientes. 3. Su media debe ser estadsticamente igual a 1/2. 4. Su varianza debe ser estadsticamente igual a 1/12. 5. Su periodo o ciclo de vida debe ser largo. 6. Deben ser generados a travs de un mtodo rpido. 7. Generados a travs de un mtodo que no requiera mucha capacidad de almacenamiento de la computadora.

METODOS PARA GENERAR NUMEROS ALEATORIOS NO UNIFORMES En los modelos estocsticos existirn una o ms variable aleatorias interactuando. Estas variables siguen distribuciones de probabilidad tericas o empricas, diferentes a la distribucin uniforme (0-1). Para generar nmeros que sigan el comportamiento de stas variables, se pueden utilizar algunos mtodos como los siguientes: 1. Mtodo de la transformada inversa 2. Mtodo de rechazo 3. Mtodo de composicin, y 4. Procedimientos especiales MTODO DE LA TRANSFORMADA INVERSA. El mtodo de la transformada inversa utiliza la distribucin acumulada F(x) de la distribucin que se va a simular. Puesto que F(x) esta definida en el intervalo (0-1), se puede generar un nmero aleatorio uniforme R y tratar de determinar el valor de la variable aleatoria para cual su distribucin acumulada es igual a R, es decir, el valor simulado de la variable aleatoria que sigue un distribucin de probabilidad f(x), se determina al resolver la siguiente ecuacin. F(x) = R x = F^-1 (R)

La dificultad principal de este mtodo descansa en el hecho de que en algunas ocasiones es difcil encontrar la transformada inversa. Sin embargo si esta funcin inversa ya ha sido establecida, generando nmeros aleatorios uniformes se podrn obtener valores de la variable aleatorio que sigan la distribucin de probabilidad deseada. FUENTE: http://www.itson.mx/dii/atorres/NumAlea.htm

El mtodo de Montecarlo (Monte Carlo, MC) se aplica a sistemas moleculares para: predecir los valores promedio de las propiedades de estructuras en medios trmicos; estimar la distribucin de cargas en molculas; calcular constantes cinticas de reaccin, energas libres, constantes dielctricas, coeficientes de compresibilidad, capacidades calorficas y puntos de cambio de estado; etc. El mtodo de Montecarlo recibe este nombre porque consiste en introducir nmeros aleatorios en el clculo, lo cual permite simular efectos "trmicos". En este sentido se distingue de la Dinmica Molecular (tcnica determinstica). Variantes del MC se usan para resolver problemas muy diversos. De todas ellas, en el caso de los clculos computacionales relacionados con sistemas moleculares, las ms importantes son las siguientes: (1) Mtodo Clsico (Classical Monte Carlo, CMC): aplicacin de distribuciones de probabilidades (generalmente la distribucin clsica de Maxwell y Boltzmann) para obtener propiedades termodinmicas, estructuras de energa mnima y constantes cinticas; (2) Mtodo Cuntico (Quantum Monte Carlo, QMC): uso de trayectorias aleatorias para calcular funciones de onda y energas de sistemas cunticos y para calcular estructuras electrnicas usando como punto de partida la ecuacin de Schroedinger; (3) Mtodo de la Integral a lo largo de la Trayectoria (Path-Integral Quantum Monte Carlo, PIMC): clculo de las integrales de la Mecnica Estadstica Cuntica para obtener propiedades termodinmicas y constantes cinticas usando como punto de partida la integral a lo largo de la trayectoria de Feynman; (4) Mtodo Volumtrico (Volumetric Monte Carlo, VMC): uso de nmeros aleatorios y cuasi-aleatorios para generar volmenes moleculares y muestras del espacio de fase molecular); (5) Mtodo de Simulacin (Simulation Monte Carlo, SMC): uso de algoritmos aleatorios para generar las condiciones iniciales de la simulacin de trayectorias cuasi-clsicas o para introducir efectos estocsticos ("termalizacin de las trayectorias") en Dinmica Molecular. (El as llamado "Mtodo Cintico" Kinetic Monte Carlo, KMC es uno de los SMC.) El MC es es uno de los mtodos con que cuentan la Fsica Cuntica y la Qumica Cuntica para resolver los problemas que involucran mltiples cuerpos (many-body problems). En el caso de los sistemas en estado condensado, se emplean unas cuantas variantes, tales como el Mtodo de la Integral a lo largo de la Trayectoria (Path Integral Monte Carlo, PIMC), el Mtodo de Difusin (Diffusion Monte Carlo, DMC), el Mtodo de las Funciones

de Green (Green's Function Monte Carlo, GFMC) y el Mtodo Variacional (Variational Monte Carlo, VMC). Haciendo clic sobre la imagen siguiente se puede ver una pelcula de un lquido de partculas elipsoidales en una caja cbica (cristal lquido en el estado nemtico).

Simulacin por el Mtodo de Montecarlo de un cristal lquido en el estado nemtico. Cada imagen representa el cambio en unos 100 ciclos. (A. Emerson)

FUENTE: http://www.luventicus.org/laboratorio/MonteCarlo/ El metodo de Monte Carlo Indice 1. Introduccin 2. Implementacion practica de una simulacin de Monte Carlo 3. Descripcin matemtica del problema transporte de Foton 4. Solucin de monte Carlo de la ecuacion de boltzmann 5. El Monte Carlo estima de expectativa 6. Dispersin Compton - Monte Carlo 1. Introduccin El metodo de monte carlo es muy usado es los lenguajes de programacin ya que se usa para hallar la probabilidad de un suceso, el trabajo que les presento explica el Metodo Monte Carlo , usado en la simulacin de la mecanica estadistica.. Esperando su sugerencia . Pedidos del libro de TRUCOS PARA PC(consta de 150 pg con trucos para Windows e internet que ni te imaginas) Monte Carlo simulacin puede inspeccionarse como un mtodo de resolver

ecuaciones integrales. Considere el problema de calcular el valor medio real-valor funcin T(x) definido sobre un espacio :

de un

(1) Cada valor x es una posiblemente multidimensional cantidad caracterizando el estado del sistema. La funcin f es una funcin de densidad de probabilidad (PDF) determinado la probabilidad ese que el estado del sistema yace entre x y x+dx. Una estimacin de Monte Carlo de es obtenida por dibujar al azar N

muestras desde la distribucin f. Muestra desde f medios esta probabilidad de elegir un muestreo x* desde el intervalo (x,x+ x) es f(x) x. El Monte Carlo de estimacin es dada por

(2) Este, la intratable integral, Ecuacin 1, es reemplazado por una suma finita. La estadstica bondad o fiabilidad de la estimacin depende de ambos tamao de muestreo N y la variabilidad del la estimacin T(x) que es descrita por la variancia

(3) Debajo condiciones suficientemente generales, el teorema del limite central

muestra que para grandes N, es aproximadamente una distribucin normal con significados de cero y una varianza de uno. Simblicamente:

(4)

Donde P(x) denota la probabilidad de suceso x. Por ejemplo, la probabilidad esa yace dentro de el intervalo es 0.95.

La ecuacin 4 implica esta precisin de la estimacin aumenta con la raz cuadrado del nmero de historias. Ese, para cada dgito adicional de importancia, el nmero de historias debe aumentarse un ciento. La tctica bruta de fuerza de N creciente para mejorar precisin rpidamente alcanza el punto de cifras decrecientes. Practica las tcnicas de reduccin de varianza, discutidas en la Seccin VI, apuntadas a reducir la varianza por la unidad de calcular esfuerzo, por alterar los marcando y muestra procedimientos. 2. Implementacion practica de una simulacin de Monte Carlo Hasta ahora, la meta de este captulo ha sido desarrollar las herramientas matemticas necesitadas atacar el problema de escoger el fotn al azar las trayectorias del ncleo de dispersin (Ecuacin 20). Nosotros discutiremos ahora mtodos prcticos de generar foton historias.A. Sistema Coordenadas

El sistema coordenada para describir colisin sitios y foton vuelo de las trayectorias. Para designar la situacin espacial de sitios de la colisin r, la usual coordenada cartesiana r=(x,y,z) son usadas. Los tres cosenos directores (u,v,w) con respecto a los ejes x, y, y z constituye la anotacin ms eficaz por describir la direccin . Los cosenos directores son relativas a las coordenadas esfricas angulares usuales (donde denota el ngulo polar) por;

Una ventaja de esta anotacin es que permanece sin cambiar debajo los desplazamientos lineales S:

(38) donde r ' designa la posicin final despus de un desplazamiento S a lo largo de originar a r. Usa ms acuerdo vector anotacin:

(39) Ms pretenciosamente, como demostracin en las secciones siguientes, esta anotacin elimina la necesidad explcitamente evaluar tiempo - consumiendo funciones seno y coseno. 3. Descripcin matemtica del problema transporte de Foton En esta seccin, el problema de transporte se caracterizar matemticamente como una ecuacin integral tener la forma de ecuacin 1. Para este fin, ambos las formas diferenciales e integrales de la ecuacin transporte de Boltzmann se derivan. Esta comprensin formal del problema provee una base conceptual sana para mtodos generales crecientes de la reduccin de varianza y marcando necesidad eficiente para Monte Carlo de simulacin. A. La densidad de flujo y cantidades relacionada La distribucin de fotones dentro de un sistema de absorber y las fuentes pueden ser completamente descritas por especificar la partcula fluidez a cada espacial coordenada r, direccin de trayectoria y la energa del foton E. es el radio dN/dA, dnde dN es el nmero de fotones que pase mediante el rea dA aline normal a . Este y ubic a r con y tiene las unidades de fotones por cm2 por la unidad de

ngulo slido y energa. Si es integrado sobre todas las energas y direcciones, nosotros hemos partcula fluidez como definido por el Comisin Internacional sobre Medidas y Unidades de Radiacin (ICRU), esto es., dN/dA, el nmero de fotones: dN que entra en una esfera de la seccin de cruz de area dA se centran a r. La integracin sobre las variables y E ser indicada por los omitidos desde el argumento de de es ignorada. . Para Simplificar el problema, la dependencia

Dada la partcula fluidez, todo el otro dosimetra las cantidades de inters pueden, en el principio, se calculan. Por ejemplo, debajo condiciones de equilibrio electrnico, la dosis al mediano puede ser calculado por (5) Dnde es la masa - energa coeficiente de absorcin y Encomendar partcula de equilibrio aproximadamente existe cuando la carga en el foton partcula fuente es pequeo sobre el electrn secundario de rango. En un extendido mediano, nosotros siempre desde contorno y primario foton las fuentes, esta condicin es aproximadamente satisfecha cuando el electrn

secundario de rango es pequea comparada a la foton medio - libre trayectoria. En el caso donde el medio es el aire. La ecuacin (5) es proporcional a la exposicin. El calculo de requiere tres tipos de datos elementales:

1. La probabilidad de cada interaccin elemental procesa como una funcin de incidenciafoton energa E y propiedades pertinentes del absorbentes mediano. Estos datos se tabulan desde el punto de vista de foton las secciones de cruz

, donde Z es el nmero atmico del mediano. La seccin de cruz tiene las unidades de barns/tomo (10-28 puede

m2/tomo). Equivalente, el coeficiente lineal de atenuacin usarse con unidades de m-1.

2. Para cada proceso de interaccin, la funcin de densidad de probabilidad (PDF) da la probabilidad de cada posible resultado de la interaccin especificada desde el punto de vista de esparcir ngulo y emergente foton energa E. Esta cantidad es conocido como la seccin diferencial de cruz, . Desde y E son deterministica relacionada para todo procesos discutidos en este captulo, la anotacin diferencial doble es innecesaria en prctica . 3. El conocimiento del PDF que gobierna el transporte de una dispersin o primario fotondesde un sitio de colisin a otro. Esta distribucin, discutida en forma detallada en la Seccin IV B.I. es estrechamente relativo a la ley de atenuacin exponencial.

B. Ecuacin de transporte de Boltzmann Monte Carlo La densidad de flujo para cualquier combinacin de foton fuente y contorno condiciones es completamente determinada por el tiempo - invarianza ecuacin de transporte de Boltzmann. La derivacin heurstica siguiente se adapta desde Fano. Considere un cilindro derecho con seccin cruz rea dA y la longitud dL con este eje paralelo igual a direccin (Figura 1.). El nmero neto de fotones con la direccin y la energa E cre en el cilindro por el tiempo de unidad es

Esta diferencia es la suma de tres contribuciones: 1. La atenuacin dada por.

2. Foton de fuentes y descender dentro de el volumen dadas portiene unidades de fotones por el volumen de unidad, ngulo slido, y energa.

donde S regido por el diferencial

3. Dispersin de fotones desde el estadocruz seccin/ longitud de trayectoria de unidad,

en el estado

. Dejar obtenemos

y poniendo estos trminos juntos, nosotros

(6) La ecuacin 6 es el punto de partida para un tratamiento riguroso del problema afianzado de absorber. Aunque analtico y seminumerico los mtodos que se hayan usado exitosamente para resolver la Ecuacin 6 en el caso de absorber ilimitado, simulacin de Monte Carlo ofrece un general mtodo para la solucin que involucra absorber con direccin. 1. La Forma Integral de la Ecuacin de Boltzmann La transformacin de Ecuacin 6 es la forma integral ms claramente da a conocer la naturaleza estocstica de transporte de radiacin. Nosotros iniciamos por expandir la ecuacin 6 en ordenes de dispersin:

(7) donde representa la densidad de flujo de dispersin de fotones. Para cada onden de esparcir n, la Ecuacin 6 llega a ser (8) dnde es la funcin delta Kronecker.

Considere ahora el problema de calcular la fuente proviniendo desde dispersin de fotones a lo largo de una lnea , donde r y se fijan y R es una variable positivo numero real. Dejar y anote que.

y

(9)

Aplicar ecuaciones 9 a 8, son obtenidas

Integrando ambos lado a lo largo de la lnea

desde R=0 a R

,

Finalmente dar

(10) Estas ecuaciones simplemente afirman que la fuente nica de n de veces dispersin de fotones con la energa E y la direccin a r son (n-1) las veces que dispersin de fotones esparciendo en el estado en alguna parte a lo largo de la lnea . El exponencial trmino rinde cuentas para esos fotones que son atenuadas por el mediano antes de alcanzar r. A este punto, probar til a reformular la ecuacin de transporte desde el punto de vista de la densidad de colisin x, ms bien que la partcula fuente, (11) donde representa el nmero de fotones con el estado entrando en colisin por el volumen de unidad, sterioradian, energa y tiempo. Similarmente, es la densidad de fotones entrando en colisin a . Ecuacin revisar 10 desde el punto de vista de , sumando sobre todas las ordenes de esparcir, y reemplazando que la lnea integral con la integracin sobre todos de espacio por el uso de la Funcin Delta de Dirac de , nosotros obtenemos

(12)

Donde

es la dispersin Kernel

(13) Y .

La inspeccin de Ecuacin 13 da a conocer que es una condicional PDF, exhibicin que foton el transporte es un proceso de Markov. Que es, la probabilidad que un foton experimenta su colisin al es dada por la transicin de probabilidad que depende solo en , el foton estado justo simplemente con anterioridad a esta(n-1) colisin. Ms fundamentalmente, la Ecuacin 12 implica que la solucin posible caminatas aleatorias a travs de es equivalente al conjunto de todas -espacio.

2. El calculo de valores esperados En muchos casos prctico de transporte de problemas, la especificacin completa del campo de radiacin desde el punto de vista de o es innecesaria. Las cantidades tpicas de inters son la cantidad de energa depositada en un detector de una geometra y composicin especificada o el nmero de fotones transmitido mediante un superficie determinado, una barrera de proteccin de radiacin. Estas cantidades pueden describirse en nuestro formalismo por medio de una funcin que representa la contribucin relativa de un foton colisionando a cantidad de inters. El significar valor por emitido foton sobre todos posible estados. a la

es dado por promediar la funcin marcar

(14a)

(14aa) La correspondiente varianza es

(14b)

En trminos de la notacin usada en la Seccin II para introducir Monte Carlo, designa el estado del sistema donde PDF asociado del sistema es la solucin de la ecuacin integral Fredholm (14c) Como un ejemplo de un marcador funcin, considerando un detector esfrico de radio centr en unidad, es . El T, con dar la energa depositado al detector por la masa de

(15) 4. Solucin de monte Carlo de la ecuacion de boltzmann Un Monte Carlo (MC) simulacin de un sistema de fuentes y absorver involucra azar seleccin de un conjunto finito de trayectoria de fotones o "historias", desde el conjunto de toda posible trayectorias dadas por la solucin de la ecuacin de transporte de Boltzmann. Esto es entonces la posible a reemplazar la integral de Ecuacin 14 por una suma finita para obtener una estimacin estadstica de la cantidad de inters .

En su forma ms simple, MC es un juego de oportunidad, donde cada eleccin aleatoria es dictada por reglas isomorficas (formas iguales) a el elemental PDF que gobierna la absorcin y dispersin de radiacin en el sistema fsico real. Por ejemplo, considerar una isotropico (direcciones iguales, no dependen de la direccin en que se miden) la fuente de punto empotr en un absorber finito. Cada foton de la trayectoria, o historia, se genera segn el siguiente prescripcin. El primero, una trayectoria es escogido para el emitido foton por probando el isotropico emisin PDF. Prxima, distancia al prximo sitio de colisin se prueba accidentalmente desde la exponencial ley de atenuacin. Entonces, una trayectoria y la energa para la dispersin foton sacan forma la seccin normalizada de cruz diferencial . A cada paso, el marcando funcin T, "Haga el foton interaccionar con el detector", poder ser aplicado. Este proceso de seleccionar el sitio de interaccin , dispersin energa, y la trayectoria es repetida hasta que los fotones sea absorbi completamente o escapo desde la absorcin.A. La Descripcin Formal De La Simulacion De Monte Carlo

Cada recorrido al azar o foton "historia" k puede ser representada por el conjunto donde cada vector simplemente antes de la colisin: (16) Donde , ,y indica la posicin, direccin, y energa de del foton denota el estado del foton

inmediatamente antes de la colisin. El nmero , el foton de peso , es la probabilidad que el foton ha escapado absorcin durante las primeras j-1 colisiones. Cada secuencia desde cada estado claramente tiene la estructura de un Markov de Cadena, es escogido por muestreo la probabilidad condicional

distribucin, . As, en orden a demostrar ese cada es al azar dibujado desde el conjunto de todo posible trayectoria de Boltzmann, esto es suficientemente a mostrar ese Eligiendo determinado que tienen la forma de Ecuacin 13.

, involucra las opciones aleatorias siguientes:

1. Asigne energa y direccin saliendo (j-1) colisin.

a. j=1: Primera Colisin de foton Primario, al azar asigna una trayectoria inicial,sitio de origen . y, energa por muestreo la fuente distribucin de funcin

b. j 2: Anteriormente dispersin del foton.a. Al azar escoja el proceso de interaccin a (j-1) la colisin, basado

sobre las magnitudes relativas de las secciones totales de cruz de compitiendo procesos ( absorcin fotoelctrico, dispersin coherente y incoherente, etc.).

b. Pruebe el PDF, definido por la cruz diferencial seccin de el procesoescogido en el Paso i), para encontrar la direccin saliendo el (j-1) colisin, esto es probando desde

(17) c. Calcule la energa el Ej, saliendo la (j-1) colisin desde la energadispersin ngulo la relacin.

1. Asigne el peso saliendo el (j-1) colisin. 2. Encuentre el sitio de colisin rj (18) probando la distribucin (ver IV.B.1) (19) para S, la distancia entre (j-1) y la colisin.3. Encuentre la contribucin de esta colisin a la cantidad de inters. 4. Retorne al paso 1.

Desde estas elecciones aleatorias son independientes de uno otra, la probabilidad de elegir dadas es el producto de estos Individual PDFs.

(20) donde la probabilidad condicional probada en el paso 1b: denota la distribucin compuesta

(21) k=1,.....m denota el proceso de dispersin, y .

Anote esa Ecuacin 20 es idntico a la Ecuacin 13, estableciendo que desde luego al azar sacada el muestreo desde la poblacin deseada. 5. El Monte Carlo estima de expectativa

es

Valora; para simulaciones que involucran bajas nmero atmico medios, un suceso fotoelctrico para todos los intentos prcticos termina la historia desde la baja-energa caractersticas de los rayos-x se absorben localmente. As, estocasticamente simula colisiones fotoelctricas representa "derrochado" calculo esfuerzo. Un comn mtodo de reduccin calculo de tiempo relativo a la muestra de la varianza (" reduccin de varianza") es eliminar efecto fotoelctrico como un posible mecanismo de interaccin y reduce el foton peso , que saliendo la (j-1) colisin por la probabilidad de sobrevivir fotoelctrico absorcin. Especficamente, el PE de trmino se elimina Ecuacin de forma 21 y Entonces reemplaza por .

(22) sumando entonces encima de todas las historias simuladas rinde estimaciones estadsticas de la verdadera media y muestra la varianza :

(23) Comparacin de Ecuaciones 23 y 14 muestra que normalizaron colisin densidad es la contraparte analtica de foton peso. La convergencia de la estimacin con M creciente es garantizada por el teorema de lmite central.A. La Generacion De Muestreos Al Azar

a

La simulacin de Monte Carlo se ha mostrada para ser una secuencia de distancia aleatoria a prxima colisin, tipo de proceso de colisin, y trayectoria y foton la energa que dejar colisin. Cada de estos pasos involucra seleccin de un muestreo x* desde la distribucin apropiada f(x). Tal algoritmo es necesariamente altamente repetitivo, como las secuencias de azar las opciones deben repetirse para cada suceso de dispersin evento en el foton historia. Los nmeros grandes

de tales historias, sobre la orden de 5,000 a 500,000 deben ser simulados para obtener un intervalo de confianza suficientemente pequea sobre la respuesta final. La precisin lograble es limitada por la computadora del usuario de los recursos: disponible memoria y tiempo procesador central. Para extender estos recursos, es deseable para aumentar al mximo la eficiencia de la tcnica de muestreo empleada. La ms usualmente us digital - computadora de tcnica es la reduccin del problema, eligiendo X* desde f(x), al problema ms simple de al azar eligiendo uniformemente distribucin nmero desde el intervalo de unidad. As, la seleccin de unas secuencias de variables aleatorias equivalente a la generacin uniformemente distribuida secuencia es .

La reduccin de la muestra procesa a la generacin de uniformemente distribuida al azar variables es descrita por el fundamental teorema de la inversin: Teorema. Dejar X ser al azar variable con PDF f(X), la funcin de distribucin acumulativa (CPD) F(x), y dejar r* denotado un uniformemente distribuido nmero al azar sacado desde el intervalo de unidad. Entonces la probabilidad de elegir x* como definir por

(24) es f(x*). Permita F-1(r) denota la inversa de F(x):

Permita x*=F-1(r*),

Estas igualdades, afirman que es igual al valor de la probabilidad que la escogido la variante uniforme r* es menos de F(y). Desde P(r*)=1 para todo r*,

Esto muestra que el conjunto de variables al azar x* tiene el mismo acumulativo distribucin de probabilidad (CPD) como el X determinado al azar variable X. El problema de azar eligiendo una de N posibilidades discretas probabilidades tal que regido por

es el caso discreto de inversin analtica. Dado un nmero aleatorio r*, la variable aleatoria se encuentra por (25) si no,

donde 6. Dispersin Compton - Monte Carlo En dispersin Compton, un foton es dispersado por un electrn en reposo, impartiendo algo de su energa al electrn. La energa, , del foton incidente es as compartidos entre la dispersin del foton, , y el efecto Compton, , de la cinemtica de coliciones, que puede mostrarse que la energa del foton dispersado es relacionado con la energa del foton incidente y el angulo de dispersin del foton como sigue:

(1) Donde y MeV.

La seccion transversal para la dispersin Compton, basado en el trabajo de KleinNishi

(2) Donde ro=2.81794*10-13cm es el radio clsico de los electrones. Esta seccin transversal ser tabulada y ploteado por NBS. La diferencial de la seccin transversal de Klein-Nishina para dispersiones de un foton de energa a un angulo de con d de es dado por

(3) Usando la transformacin obtenemos (4) Para una energa dado del foton incidente, esta expresin tiene una funcin de densidad de probabilidad de

(5) Donde, por y es l limite inferior de x. Definiendo

la funcin densidad de probabilidad puede ser escrita como

donde

(6)

y la acumulada funcin de probabilidad como

(7) La muestra de distribucin de Monte Carlo requiere soluciones de esta ecuacin para x, un numero randon igualmente distribuido en [0,1). Everett y Cashwell usan un mtodo de aproximacin la cual es mas sesillo a implementar y razonablemente exacto. Ellos aproximan la inversa de la funcin como (8)

Resumiendo, la decisin a simular es basado en la total seccin transversal de Compton, y la partcula en el final estado son simulada por la muestra x de la ecu. 7 y calculando la energa y direccin de dispersin de fotones de las expresiones:

(9) El electrn retorna teniendo energa cintica de (10) en unidades de , y el angulo de deflexin del electrn es dado por

(11) La dispersin del foton y del electrn Compton son entonces transportados como una nueva generacin de particulas. Programa en fortran 90 Similacion con Monte Carlo SIMULATION OF THE MICROCANONICAL ENSEMBLE ON THE COEXSISTENCE CURVE AND IN THE METASTABLE REGION FOR THE NEAREST NEIGHBOURSING MODEL !......................................................................................... !......SIMULATION OF THE MICROCANONICAL ENSEMBLE !......ON THE COEXSISTENCE CURVE AND IN THE METASTABLE !......REGION FOR THE NEAREST NEIGHBOUR ISING MODEL !.........FIELD VERSIN !........DIETER W. HERMAN !.......GRUPO FUSION !.......................................................... ................................ DIMENSION ISS(12,12,12),IM(12),IP(12)DIMENSIN IDIST(2000) REAL DEMON,H REAL ENERGY,ET REAL RCLUDE RAL MODM2,PB,RAM REAL DMAV,MAGAV !.............................................................................................. H=0.0 L=12 MCSMAX=100 M=L*L*L/2

ISEED=4711 PB=0.0155 IPLAG=2 RECLUDE=L*L*L !.......INITIZALIZE DO 1 I=1,L IM(I)=I-1 IP(I)=I+1 1 CONTINUE DO 2 I=1,1000 IDIST(I)=0 2 CONTINUE DO 5 I=1,L DO 5 J=1,L DO 5K=1,L ISS(I,J,K)-13 5 CONTINUE C=0 DO 10 I=1,L DO 10 J=1,L DO 10 K=1,L RAN=RANF(ISEED) IF (RAN.GT,PB) GOTO 10 M=M+1 ISS(I,J,K)=ISS(I,J,K)+14 ISS(IM(I),J,K)=ISS(IM(I),J,K)+2 ISS(IP(I),J,K)=ISS(IP(I),J,K)+2 ISS(I,IM(J),K)=ISS(I,IM(J),K)+2 ISS(I,IP(J),K)=ISS(I,IP(J),K)+2 ISS(I,J,IM(K))=ISS(I,J,IM(K))+2 ISS(I,J,IP(K))=ISS(I,J,IP(K))+2 10 CONTINUE ENERGY=0.0 DO 20 I=1,L DO 20 J=1,L DO 20 K=1,L ICT=ISS(I,J,K) IVORZ=ISIGN(1,ICI) ICIA=ICI*IVORZ ENERGY=ENERGY+ICIA-7 20 CONTINUE ENERGY=-ENERGY*2.0*3.0/8.0-H*2.0*M ENERGY=ENERGY/32768.0 H=H*4.0/3.0 WRITE(*,6000) PB,ENERGY,M IF (IFLAG.EQ.1) STOP 1 !..............................................................................................

! MONTE CARLO DEMAV=0.0 MAGAV=0.0 DEMON=0.0 FLDEM=0.0 DO 200 MCS=1,MCSMAX DO 100 IZ=1,L IMZ=IM(IZ) IPZ=IP(IZ) DO 100 IY=1,L IMY=IM(IY) IPY=IP(IY) DO 100 IX=1,L ICI=ISS(IX,IY,IZ) IVORZ=ISIGN(1,ICI) IEN=ICI*IVORZ-7 IF (DEMON-IEN-H*IVORZ.LT.0) GOTO 100 DEMON= DEMON-IEN-H*IVORZ !........FLIP SPIN. M=M-IVORZ ISS(IX,IY,IZ)=ICI-IVPRZ*14 ICH=-2*IVORZ ISS(IM(IX),IY,IZ)=ISS(IM(IX)IY,IZ)+ICH ISS(IP(IX),IY,IZ)=ISS(IP(IX),IY,IZ)+ICH ISS(IX,IMY,IZ)=ISS(IX,IMY,IZ)+ICH ISS(IX,IY,IZ)=ISS(IX,IPY,IZ)+ICH ISS(IX,IY,IPZ)=ISS(IX,IY,IPZ)+ICH 100 CONTINUE !......IPTR=10*DEMON+1 !......IDIST(IPTR)=IDIST(IPTR)+1 DEMAV=DEMAV/MCSMAX MAGAV=MAGAV/MCSMAX WRITE(*,6200) DEMAV, MAGAV FLUCT=(FLDEM-DEMAV*DEMAV/MCSMAX)/MCSMAX WRITE(*,6400) FLUCT ! DO 900 J=1,991,10 ! WRITE(*,6500) (IDIST(J-1+I),I=1,10) ! 900 CONTINUE !.........FORMATS 6000 FORMAT(1H,1E20.6,2X,1E20.6,2X,1I10) 6100 FORMAT (1H,1I10,3X,1E20.6,3X,1I10) 6200 FORMAT (IHO,DEMON AV=,1E20.6,3X,MAG AV=,1E20.6) 6300 FORMAT(1HO,1I10,1X,1E20.6,1X,1E2O.6,1X,1E20.6,1X,1I10) 6400 FORMAT(1HO,DEMON FLUCTUATION=,1E20.6) 6500 FORMAT(1HO,10(2X,1I10)) STOP END

FUENTE: http://www.monografias.com/trabajos12/carlo/carlo.shtml

UNIDAD 3: GENERACION DE VARIABLES ALEATORIAS

VARIABLES ALEATORIAS DISCRETASEn gran cantidad de experimentos aleatorios es necesario cuantificar los resultados, es decir, asignar a cada resultado del experimento un nmero, con el fin de poder realizar un estudio matemtico. Ejemplos

Consideremos el experimento aleatorio que consiste en lanzar tres monedas, supongamos que a cada elemento de su espacio muestral E={ccc, ccx, cxc, xcc, cxx, xcx, xxc, xxx} le asignamos un nmero real, el correspondiente al nmero de caras (discreta).

Esta correspondencia que acabamos de construir es una funcin del espacio muestral E en el conjunto de los nmeros reales R. A esta funcin la llamaremos variable aleatoria y la denotaremos por X.

Supongamos el experimento aleatorio que consiste en lanzar dos dados, podemos asignar a cada resultado la suma de los puntos aparecidos en cada dado (discreta). Consideremos el experimento que consiste en elegir al azar 500 personas y medir su estatura. La ley que asocia a cada persona con su talla es una variable aleatoria (continua). Consideremos el experimento que consiste en elegir al azar 100 sandias de una plantacin y pesarlas. La ley que asocia a cada sanda su peso es una variable aleatoria (continua).

Variable aleatoria (v.a.)Se dice que hemos definido una variable aleatoria para un experimento aleatorio cuando hemos asociado un valor numrico a cada resultado del experimento. Sea E el espacio muestral asociado a un experimento. Se llama variable aleatoria a toda aplicacin del espacio muestral E en el conjunto de los nmeros reales (es decir, asocia a cada elemento de E un nmero real). Se utilizan letras maysculas X, Y, ... para designar variables aleatorias, y las respectivas minsculas (x, y, ...) para designar valores concretos de las mismas. Si un experimento con espacio muestral E, tiene asociada la variable aleatoria X, es natural que se planteen preguntas como: Cul es la probabilidad de que X tome un determinado valor?, esto nos lleva a establecer, por convenio, la siguiente notacin: (X=x) representa el suceso "la variable aleatoria X toma el valor x", y p(X=x) representa la probabilidad de dicho suceso. (X