INTRODUCCION

Una población se puede definir como un conjunto de individuos de la misma especie interactuando en un área determinada y que tienen características cuantificables tales como la tasa de natalidad (nacimiento), tasa de mortalidad, velocidad en que se incrementa la población.

El crecimiento poblacional o crecimiento demográfico es el cambio en la población en un cierto plazo, y puede ser cuantificado como el cambio en el número de individuos en una población usando "tiempo por unidad" para su medición.

En la presente práctica se hizo una simulación del comportamiento que tiene una población siguiendo algunos patrones que identifican a distintas poblaciones.

OBJETIVOS

Conocer los principales modelos de crecimiento de una población por medio de simulación.

Cuantificar como actúa la tasa intrínseca de crecimiento (r) y la capacidad de carga ambiental (K) en el crecimiento de una población.

Simular diferentes condiciones para el crecimiento de una población.

MATERIALES

Un tablero de ajedrez, con una cuadricula de 8*8 cm Un vaso Una libra de frijoles

METODOLOGIA

Se realizo la simulación para las siguientes formas de crecimiento:

Crecimiento ExplosivoSe utilizo una población inicial de 50 individuos y cada sobreviviente se multiplico por 3Los frijoles que caen en cuadros de negro se mueren, y en cuadros blancos sobreviven.

Juego de la PermanenciaSe utilizo una población inicial de 50 individuos y una C=2.

Juego de la extinción (decremento exponencial)Se utilizo una población inicial de 100 individuos, y los que sobreviven no se reproducen.

RESULTADOS

CRECIMIENTO EXPLOSIVO

No: 10 semillas, es el numero inicial de semillas que se utilizaron para iniciar el experimento.

Cada individuo que caiga en un cuadro negro se tomara como muerto.Cada individuo que caiga en cuadro blanco se reproduce a una tasa siendo esta el valor de C=3.

T Nt inicial # muertos # sobrevivientes Nt+1 = S*C1 10 4 6 182 18 10 8 243 24 12 12 364 36 21 15 455 45 20 25 756 75 42 33 997 99 52 47 1418 141 67 74 2229 222 127 95 285

10 285 171 114 342∑=55 ∑ = 955 ∑ = 526 ∑ = 429 ∑ = 1287

Nt+1 = S*CS = # de sobrevivientesC = 3 (tasa de reproducción) o tasa de crecimiento per-capita.

ANÁLISIS

Obtener “r” teórica

“r” teórica esperada = LnRo

Ro teórica (tasa intrínseca de incremento) = 3

“r” esperada = LnRo = Ln(3) = 0.1098 T 10 REGRESION LINEAL

T (x) Nt inicial (y) Ln Y XLnY X21 10 2.303 2.303 12 18 2.890 5.781 43 24 3.178 9.534 94 36 3.584 14.334 165 45 3.807 19.033 256 75 4.317 25.905 367 99 4.595 32.166 498 141 4.949 39.590 649 222 5.403 48.624 81

10 285 5.652 56.525 100∑=55 ∑=955 ∑=40.68 ∑=253.79 ∑=385

Cuando se linealiza la ecuación exponencial, los siguientes valores serán:y(Nt) = Ln (y)xy = (X)Ln(y)

Modelo a utilizar:

Y = a * eb*x ------------- Nt = No*ert

Donde:Y = valor estimado, variable dependientea= punto en donde la recta corta el eje vertical.e = antilogaritmo base 10b = coeficiente de regresión lineal, o pendiente de la rectaX = variable independiente

Al aplicar el logaritmo natural al modelo exponencial:

ln(y) = ln (a) + bx

Para este experimento la pendiente o “b” es igual a rc o “r” calculada.

b = ∑xy - ∑x*∑y 253.79 - 55*40.68 n = 10 = 0.364 ∑x2 - (∑x) 2 385 - (55) 2 n 10

Al haber encontrado la “b” o “rc” obtenemos el valor de “t” calculada.

tc = rc – re

Sr

Donde:

t = “t” calculadarc = “r” calculada mediante dispersión.re = “r” teórica esperadaSr = desviación estándar de “r”

T Ln Y XLnY X2 Y2

1 2.303 2.303 1 5.3022 2.890 5.781 4 8.3543 3.178 9.534 9 10.1004 3.584 14.334 16 12.8425 3.807 19.033 25 14.4916 4.317 25.905 36 18.6417 4.595 32.166 49 21.1158 4.949 39.590 64 24.4909 5.403 48.624 81 29.189

10 5.652 56.525 100 31.95155 40.68 253.79 385 176.474

SCy = ∑Y2 - (∑Y) 2 = 176.47 - (40.68) 2 = 10.98 n 10

SCx = ∑X2 - (∑X) 2 = 385 - (55) 2 = 82.5 n 10

SC`y = [∑XY - (∑X*∑Y)/n]2 / SCx = [253.79 - (55*40.68)/10]2 / 82.5 = 10.94

Sr = √SCy-SC`y = 10.98 - 10.94 = 0.00778 (SCx)(n-2) (82.5)*(8)

tcalculada = 0.364 – 0.1098 = 32.673 0.00778

** “t” teórica con 5% de error y 8 grados de libertad (n-2):

“t” teórica = 2.306

t teórica < tc por lo cual decimos que el tamaño de la población no es constante, sino que tiende a aumentar conforme el tiempo debido a una tasa de reproducción mayor que la resistencia ambiental.

JUEGO DE LA PERMANENCIA

Individuo que caiga en cuadro negro, muere.Individuo que caiga en cuadro blanco se reproduce con un valor de C = 2.

Se inicia con 50 individuos (No).

T Nt inicial # muertos # sobrevivientes Nt+1 = S*C1 50 22 28 562 56 26 30 603 60 34 26 524 52 24 28 565 56 23 33 666 66 38 28 567 56 32 24 488 48 30 18 369 36 21 15 30

10 30 15 15 3055 510 265 245 490

Obtener “r” teórica

“r” teórica esperada = LnRo

Ro teórica (tasa intrínseca de incremento) = 3

“r” esperada = LnRo = Ln(3) = 0.069 T 10

Se determino un valor de K = 66

Modelo a utilizar:

Logístico: Nt=No K/(1 + e-rt)

Y = a* k/(1+e-bx)

T Nt inicial Ln Y XLnY X2 Y2

1 50 3.912 3.912 1 15.3042 56 4.025 8.051 4 16.2033 60 4.094 12.283 9 16.7644 52 3.951 15.805 16 15.6125 56 4.025 20.127 25 16.2036 66 4.190 25.138 36 17.5537 56 4.025 28.177 49 16.2038 48 3.871 30.970 64 14.9869 36 3.584 32.252 81 12.842

10 30 3.401 34.012 100 11.56855 510 39.08 210.73 385 153.239

b = ∑xy - ∑x*∑y 210.73 - 55*39.08 n = 10 = -0.051 ∑x2 - (∑x) 2 385 - (55) 2 n 10

Ahora obtenemos el valor de “t” calculada.

tc = rc – re

Sr

Donde:t = “t” calculadarc = “r” calculada mediante dispersión.re = “r” teórica esperadaSr = desviación estándar de “r”

SCy = ∑Y2 - (∑Y) 2 = 153.23 - (39.08) 2 = 0.50 n 10

SCx = ∑X2 - (∑X) 2 = 385 - (55) 2 = 82.5 n 10

SC`y = [∑XY - (∑X*∑Y)/n]2 / SCx = [210.73 - (55*39.08)/10]2 / 82.5 = 0.214

Sr = √SCy-SC`y = 0.50 – 0.214 = 0.0208 (SCx)(n-2) (82.5)*(8)

tcalculada = - 0.0510 – 0.0693 = -5.78 0.0208

** “t” teórica con 5% de error y 8 grados de libertad (n-2):

“t” teórica = 2.306

EXTINCION

Se inicia con 100 individuos, cada individuo que sobrevive se reproduce con una C = 1.

T Nt inicial # muertos# sobrevivientes

Nt+1 = S*C

1 100 43 57 572 57 32 25 253 25 13 12 124 12 5 7 75 7 4 3 36 3 1 2 27 2 1 1 1

Obtener “r” teórica

“r” teórica esperada = LnRo

Ro teórica (tasa intrínseca de incremento) = 3

“r” esperada = LnRo = Ln(1) = 0 T 10

Modelo a utilizar:

Y = a * eb*x ------------- Nt = No*ert

Donde:Y = valor estimado, variable dependientea= punto en donde la recta corta el eje vertical.e = antilogaritmo base 10b = coeficiente de regresión lineal, o pendiente de la rectaX = variable independiente

Al aplicar el logaritmo natural al modelo exponencial:

ln(y) = ln (a) + bx

T Nt inicial Ln Y XLnY X2 Y21 100 4.605 4.605 1 21.2082 57 4.043 8.086 4 16.3463 25 3.219 9.657 9 10.3614 12 2.485 9.940 16 6.1755 7 1.946 9.730 25 3.7876 3 1.099 6.592 36 1.2077 2 0.693 4.852 49 0.48028 206 18.09 53.46 140 59.564

Para este experimento la pendiente o “b” es igual a rc o “r” calculada.

b = ∑xy - ∑x*∑y 53.46 - 28*18.09 n = 7 = -0.675 ∑x2 - (∑x) 2 140 - (28) 2 n 7

Al haber encontrado la “b” o “rc” obtenemos el valor de “t” calculada.

tc = rc – re

Sr

Donde:t = “t” calculadarc = “r” calculada mediante dispersión.re = “r” teórica esperadaSr = desviación estándar de “r”

SCy = ∑Y2 - (∑Y) 2 = 59.46 - (18.09) 2 = 12.81 n 7

SCx = ∑X2 - (∑X) 2 = 140 - (28) 2 = 28 n 7

SC`y = [∑XY - (∑X*∑Y)/n]2 / SCx = [53.46 - (28*18.09)/7]2 /28 = 12.75

Sr = √SCy-SC`y = 12.81 - 12.75 = 0.0207 (SCx)(n-2) (28)*(5)

tcalculada = - 0.675 - 0 = -32.60 0.0207

** “t” teórica con 5% de error y 8 grados de libertad (n-2):

“t” teórica = 2.571

Capacidad de Carga (K)

Si caen 2 frijoles en el mismo cuadro blanco, los organismos sobreviven, pero no se reproducen.

Si caen 3 frijoles en el mismo cuadro blanco, los organismos mueren.

M = muertos (#

de frijoles que quedaron en grupos de tres o mas frijoles por cuadro blanco).S = Sobrevivientes (Nt – M)A = Nuevos individuos agregados (# de frijoles que quedaron en cuadros blancos, solos)

Nt = S + A

T Nt M S A Nt+1 = S+A

1 2 0 2 2 42 4 0 4 4 83 8 0 8 6 144 14 0 14 12 265 26 3 23 15 386 38 16 22 14 367 36 9 27 21 488 48 15 33 21 549 54 18 36 19 55

10 55 18 37 16 53

DISCUSION DE RESULTADOS

Según los resultados obtenidos, en el crecimiento exponencial la tasa de reproducción es alta (3) y sobrepasa los limites de la resistencia ambiental, tal y como se observa en la población de plagas.

En el crecimiento del juego de la permanencia se logra observar que la tasa de reproducción no es tan alta, pero lo suficiente para mantener la población casi estable, tal y como nos muestra la comparación de “t” Student, que el valor de “tc” no se aleja por mucho de “t” de tabla.

En el tercer experimento nos mostro como sucede en organismos en peligro de extinción, estos individuos poseen una tasa de reproducción baja, y asimismo la resistencia ambiental y la falta de alimento pueden provocar que una población reduzca su numero en un ritmo acelerado.

En el cuarto experimento, se logra aprecia la carga ambiental y la capacidad de soportar un determinado numero de individuos, se tomo un valor de 3, ya que si 3 individuos ocupan un misma área, estos mueren. Esto sucede porque la cantidad de recursos no abastece los consumos para mantener a los 3 individuos.

El crecimiento de una población, depende de la tasa de natalidad

La tasa intrínseca de crecimiento nos indica cuanto crece una población en un determinado tiempo.

La natalidad y la mortalidad se dan en forma simultánea y su diferencia mostrará que la población crezca o disminuya.

BIBLIOGRAFIA

MODELOS DE CRECIMIENTOhttp://www.unicamp.br/fea/ortega/eco/esp/esp-06.htm consultada el 19 de agosto de 2014