-

R.S.V.A.P.-en Zientzi eraskina

ZUZENDARIA: Luis Bandrés

IDAZKARIA: Andoni Sagarna

HELBIDEA: Círculo San Ignacio. - San Marcial, 26, bajo. - San Sebastián

IOI LASTERREN WAKE-POTENTZIALA EGOERA SOLIDOAN

P. M. Etxenike eta R. H. Ritchie

Cavendish Laboratory - Cambridge, U. K., eta Health Physics Group - Oak Ridge National Laboratory, Oak Ridge, Tennessee, U. S. A.

Catalinari, bere rnaitasuna, uler- men eta alaitasuna lan hau buru- tzeko laguntzarik hoberenak ger- tatu zitzaizkidalako.

WAKE POTENTIAL OF SWlFT 10NS IN SOLIDS

Foreword

Recent research has been concerned with the distribution in space and time of perturbations of electron motion in solids caused by the pas?age of swift charged particles. The theory of wake-like phenomena in the electron- density fluctuations excited by charged particles has stimulated many expe- riments, in particular on the stopping power of matter for ion clusters and the space--time correlation between cluster particles after emergence from dense media.

Such experiments are capable of yielding fundamental information about the dynamic response of condensed media. The introduction of the wake concept and the associated theory represents the most exciting deve- lopment in Radiation Physics in the past decade. For example, the stopping power of matter may, under come conditions, differ by 30 % from that cal- culated by standard theory neglectjng wake effects. Recent experiments on coherent resonant excitation of electrons in tightly bound K-orbitals cente- red on nearly stripped, highly charged channeled ions are also sensitive to the presence of wake patterns of density fluctuations in the valence electron sea of the crystal in which channeling occurs. Hybridization of excited hydro- genic electron levels on the ion (Stark-wake energy splitting) is a measure of the mean retarding force on the ion and has its origin in the wake. It is also possible that wake effects may be important in establishing transient mag- netic fields at recoiling nuclei in magnetic solids. They may also be signifi- cant in giving rise to the formation of wake-bound ions during the breakage of ion clusters in thin foils and may explain observed anomalous ranges of molecular clusters.

IOI LASTERREN WAKE-POTENTZIALA EGOERA

SOL1 DOAN 1.1. SARRERA

Lan honen helburua gai kondentsatuen eta zatiki kargatu lasterren arte- ko elkarrekintzen Fisikan azken urteotan gertatu diren aurrerapen berriez aritzea da. Pantailatze kuasi-estatikoaren ("quasi-static screening") fenome- noa, solido batetan astiro higitzen den karga baten kasuan, sakonki aztertua izan da metalarentzako elektroi-gasaren ereduan, eta guztiz garrantzitsua da, adibidez, protoien deuseztatzearen arloan eta ezpurutasunek (impurities) rnetaletan eragiten duten erresistibitatean.

Niels Bohr-ek, 1948.ean jadanik ("On the Penetration of Fast Particles in Matter" artikulu hospatsuan), aztertzen du atomo-sare erregular batean zehar higitzen ari den zatiki kargatua. (1.1 ) irudian Bohr-ek estudiatu zuen ereduaren erakuspen grafiko bat azaltzen dugu, bere artikulutik hartua. Zatiki kargatuak eraginik, inguruko atomoak polarizatu egiten dira, bere elektroiak zatikirantz higitzen direlarik (zatikia positiboa dela suposatzen dugu). Zatikiak bere higiduran sorten dituen elektroi-dentsitatearen fluktuazioak, teoria elek- tromagnetikoaren arauera, zatikiarekin batera bere atzean higitzen den karga-lerro etengabe baten baliokideak dira, baldin zatikiaren abiadura v 2 v, = e2 / li = 2,18 1 O* cm/sg bada.

Zatiki atzeko elektroien desplazamendu koherentearen fenomenoari Bohr-ek "wake" deitzen dio (*), eta, era ez-zehatz batez, kono baten bidez

(*) Itsasuntzi batek higitzean bere atzean gauzatzen duen lorratzarekin duen antzagatik deitzen dio wake elektroi-desplazamendu horri.

5

markatzen ditu haren mugak. Wake hori ioiarekiko distantzra desberdinetan aurkitzen den domeinu-segida batetan datza, zeinetan elektroi-dentsitate induzitua periodikoki handitzen eta gutxitzen bait da, solidoaren elektroi- dentsitate batezbestearekiko. Inpaktu-parametroa ("impact parameter")

v limite adiabatikoa (b,,, - - ; w, inguruaren erresonantzi frekuentzia da)

Wo baino txikiago den eskualdean soilik agertuko da wake fenomenoa.

Oszilazio kolektiboa paira dezakeen gai kondentsatu dentsoetan elektroi-dentsitatearen fluktuazio periodikozko wake-ak eratuko dira, abiadu- ra handiz (v 1 v,) higitzen diren zatiki kargatuen atzean (Neufeld, J. eta Rit- chie, R. H., 1955; Neelavathi, V. N., Ritchie, R. H. eta Brandt, W., 1974 (NRB)).

v Fluktuazio horien uhin-luzera a - da. loiaren atzean existitzen jarrai-

W o tzen duten oszilazioen kopurua inguruaren barneko elektroi-erresonantzia koherenteen bizitze batezbestekoak determinatzen du. Metaletan, oszilazio koherente horiek plasmoiak dira, hots, kondukzio-elektroien oszilazioak.

Haatik, antzeko oszilazioak gerta daitezke beste gai kondentsatuetan eta are isolatzaileetan (Raether, H., 1965; Daniels, J. eta beste, 1970: Brown, F. C., 1974; Brandt, W. eta Ritchie, R. H., 1974; Ritchie, R. H. eta Brandt, W., 1975).

Dirudienez, Neufeld eta Ritchie (Neufeld, J. eta Ritchie, R. H., 1955; Rit- chie, R. H., 1959) izan ziren kuantu-plasmetan ioi lasterrek lagun dituzten fluktuazioen banaketa espaziala kontuan hartu zuten lehenak. Bohr-en azter- ketak ez du aipatzen explizitoki fluktuazio horien tasun periodikoa, ez eta beren banaketa espazialaren itxura zehatza.

Duela denbora gutxi fluktuazio horien existentzia eta izatasuna Gemmell-ek eta bere laguntzaileek experimentalki frogatu dute (Gemmell, D. S. et al., 19751, eta Brandt-ek, Ratkowski-k eta Ritchie-k (1 975) experi- rnentalki eta teorikoki.

Gemmell-ek eta bere laguntzaileek kanaltze launezko baldintzetan (HeH)' izpiz bonbardatutako kristalen protoi jalgileen banaketa angeluarra aztertu dute; ikertzaile hauek ioi zuzendariak sortzen duen wake-potentziala sartu behar dute beren kalkulaketetan emaitza experimentalak taxuz uler- tzeko.

lnguruko elektroiak wake-ari loturiko egoeretan tokiraturik gera daitez- ke, energia potentzial minimoko eskualdetan, zeintzutan elektroi-dentsitatea gutxituta aurkitzen bait da batezbesteko dentsitatearekiko (NRB, 1974) Wake-potentzialari lotutako egoeretan geratzen diren irabazte eta galtze prozesuek wake-egoera tokiratuetan eta -etatik eragin dezakete izpi-

sortaren frakzio neutroaren abiadura-menpekotasuna ("velocity dependence of the neutral-beam fraction") solidoen gainazaletik jalgitzen diren zatiki kargatuak aztertzekoan egiten diren experinientuetan.

NRB-ek, wake fenomenoaren punturik funtsezkoenak azpimarkatzeko, ez dituzte kontuan hartzen inguruaren erantzunaren efektu indibidualak, ez eta plasmoi-eremuaren dispertsioa. Elektroi-hutsune bikoteak erabakikorrak dira trajektoriatik hurbil dauden puntuetan zer gertatzen den ongi ulertzeko. Bestalde, Day-ek (Day, M. H., 1975) zera baieztatzen du, plasmoi- eremuaren dispertsioa kontuan hartzeak NRB-ren tokiratzeei buruzko ondo- rioak erabat desitxura ditzakeela.

Leheri kapitulu honetan elektroi-gasean higitzen ari den ioi laster batek sortzen dituen elektroi-fluktuazioaren eta potentzial eskalarren azterketa zehatz bat egiten dugu, ioiaren abiadurarekiko eta posizioarekiko menpeko- tasuna estudiatuko dugu eta, halaber, inguruaren elektroi-dentsitateare- kikoa.

Elektroi-gasean egoki bereiz daitezke efektu kolektiboak, zatiki atzeko puntuetan garrantzitsuak direnak, efektu indibidualetatil

kondentsatuetako energi galeretan (Pen, D. R., 1976). Frogatuko dugu, hala- ber (l. Eranskinean), eredu honen bitartez ondoria daitezkeen ernaitzak bat datozela elektroi-gasaren eredu dielektrikoa erabiliaz ondoria daitezkeene- kin. Funtzio dielektrikoarentzat plasrnoi-poloaren hurbilketa ("the plasrnon pole" approximation) hartuko dugu (Hedin, L., eta Lundqvist, S., 1968).

Gure ereduak inguruaren erantzun indibidualak ("single particle") nahiz kolektiboak ("plasrnon") deskriba ditzake, wake-aren funtzio potentzialean zein zati dagokion batari eta zein besteari argi erakutsiaz. Unitate atornikoe- tan lan egingo dugu, e2 =A = m = 1, non m eta e elektroiaren masa eta kar- ga bait dira banan bana, eta h = h/2 n, h Planck-en konstantea izanik. Unita- te atornikoetan distantzi unitatea Bohr-en arradioa, a, = 0,529 a da, eta energiarena, Hartree-a da (1 Hartree = 2 Rydberg = 27,2 eV).

Dernagun ioi positibo bat v abiadura konstantez inguruan zehar higitzen dela. loiaren karga-dentsitateari ondoko formularen bidez hurbilduko gat- zaizkio:

p (L. t ) = Z1 S3 (1 - yt) - Ze ne (r - yt) (1.1)

non Zl nukleoaren karga bait da, Z, nukleoari bortizki loturik dauden elektroien kopurua, S Dirac-en S-a eta n, (1) elektroi hoien dentsitatea ioiaren ~osizioarekiko neurtua eta unitatera norrnalizatua.

Suposatzen dugu ioiaren abiadura halakoa dela non inguruari ernaten dion rnornentua ioiaren rnornentua baino askoz txikiago den; hau da, ioiaren ibilbidea ez duela inguruak aldatzen. loiaren rnasak zilegiztatzen duen hurbil- keta honetan, plasmo¡-eremuaren Harniltondarra ondoko formulak ematen digu:

non H,-k ioiaren pasatze aurreko plasrnoi-egoera adierazten bait digu, eta H,-k ioiaren eta plasrnoi-erernuaren arteko elkarrekintza; o),-k k rnomen- tua duen plasmoiaren energía, bk eta b i plasrnoi-deuseztatfe eta -sortze

operatzaileak dira errespektiboki, e ta f, ( t ) ondoko berdintzak ernaten digu:

f, (t)-rentzako expresioa ondoko formulatik ondoriatzen da:

non

potentzial eskalarrarentzako operatzailea bait da (Overhauser, A. W., 1971 ; Gersten, J. l., eta Tzoar, N., 1973). Elektroi-gasaren exzitazioak, hau da, plasmoiak eta elektroi-hutsune bikoteak, plasmoi-eremuaren bezalako exzitazio-espektroa duen era bakar batez hurbilduko ditugu.

k4 Dispertsio-erlazioa, w i = wp + p2 k2 +-

4 ' haiako moldez hautatzen

da, non funtzio dielektrikoaren alderantzizkoaren zati imaginarioak batura- araua (Sum rule) betetzen bait du; w, elektroi-plasmaren frekuentzia da, Langmuir-en (Tonk, L., eta Langmuir, 1929) erresonantzi freikuentzia, hain

'3 3

zuzen; 12' =- 4, hau da, elektroi-gasaren Fermi-ren abiaduraren karratua- 5

ren hiru bostenak; g, elkarrekintza-konstantea ('Coupling constant'), ondoko berdintzak emana -

non II normalizatze-bolumen bat bait da.

Elektroi-gasaren uhin-funtzioak, elkarrekintzaren errepresentazioan (in- teraction representation) Schiff, L. l., 1968), ondoko ekuazioa betetzen du:

non

1 o

Zenbait eragiketa algebraiko egin ondoren, zera ateratzen dugu:

non

(1.7) ekuazioaren soluzioa honela idatz daiteke:

1 Y ( t ) > = exp (-i/:H ( t ) dt,) 1 Y' (-m) >

Non P denbora-ordenatu operatzailea den

(1.1 3 ) expresioa (1.1 0) delakoan ordezkatuz,

gure helburuetarako inportantziarik gabeko, fase batez izan ezik eta non

11 konstante positibo infinitesimal b a ~ da, t' + -m -rako integralaren konber- gentzia segurtatzeko sartzen dena. .Elektroi-sistema T = 0' K-tan t = -a -rako oinarri-egoeran (Ground state) dagoela suposatuz, eta Baker-Haus- dorf-en (Feynrnan, R. P., 1951; ter Haar. D., 1964) operatzaileen formula erabiliz,

Ondoko expresioa idatz dezakegu 1 Y' >-rentzat:

Hau da, ekuazioak finkatzen duen hurbilbidean scattering efektua plasrnoi-erernua egoera koherentetara exzitatzean datza, zeren (1.1 5) ekua- zioaren operatzaile exponentzialak desplazamendu-operatzaile (displace- rnent operator) baten forma orokorra bait du.

Wake-potentziala, hots, potentzial eskalarraren batezbesteko balorea ondoko forrnulak ernaten du:

non 1 Y'' ( t ) > (1.17) ekuazioak ematen bait du.

Serie exponentzialak desarroilatu ondoren

3 ( e Q + b i q e 1 . ) ) J 7 q

n ' !

Kalkulu ez zail, baina bai aspergarri baten ondorioz, eta bosoien sor- tze- eta deuseztatze-operatzaileentzako trukatze-arau standardak erabiliz, zera atera dezakegu:

[Z, - Z, n, (k)] (1.20)

(1.20) berdintzako parentesiko bigarren batugaian k -+ -k aldaketa eginez,

eta l1 infinitura joan eraziz, eta L2-' 01- (2 nip3 . j d 3 -,.era ateratzen dugu: k

non ondoko kalkulua erraztearren n, (k) k-ren direkzioaren menpean ez da- goela suposatzen bait dugu, hots, n, (k) = n, ( lb \ ) .

(1.20) ekuazioa orokorra da eta komeni da hori gogoan edukitzea. Dena dela, experimentu gehienetan Z, edo zero da, protoien kasuan bezala, edo (Z, - Z, n, ( k ) ) expresioa soilik v-ren menpean dagoen Z, efektibo batez alda daiteke (Betz, H. D., 1972). Beraz, oraingoz, Z, = O erabiliko dugu, eta (1) = k y hartuz, ondoko formula ondoriatzen dugu, azkenik, wake-poten- tzialarentzat:

-2: JO K d~ J~ ( K ~ I J - ~ d w e " 4 l:, t) = (K2 + -$-) (_: - w2 - 2 i rl m )

2 2 2. non r = (x, y, 2); b = x + y , eta z ardatza v-ren direkzioan aukeratu bait da.

(1.22) ekuazioa, l. eranskinean ikusiko dugunez, era konbentzionalago eta agian errazago batez atera daiteke, Poisson-en ekuazioaren bidez, fun- tzio dielektriko egoki bat erabiliz.

Egin berri dugun kalkuluaren inportantzia eta erabilgarritasuna (1.1 7) ekuazioa (1.2)-ren eredu Hamiltondarraren soluzio zehatz bat izatean datza. Horregatik, (1.1 7) ekuazioa kalkulu konplexuagoen abiapuntu bezala enple- ga daiteke, inguruaren erantzunean termino ez-linealak sartuz, adibidez. Ter- mino hauek garrantzitsuak dirateke hainbat problematan, hala nola gelditze- energiaren ('stopping power') z3 efektuan (Barkas, W . H., et al., 1963 ; Asley, J . C., Ritchie, R. H., Brandt, W., 1972, 1973, 1974), eta ioiaren posizioan induzitutako batezbesteko elektroi-dentsitatearen azterketan, zeina guztiz garrantzitsua bait da nukleoaren egoera exzitatuaren batezbesteko bizitzaren neurketan (Lindhard, J., eta+Winther, A., 197 1 ). Termino ez-linealok guztiz erabakikorrak dirateke halaber nukleoaren prezesioaren neurketan agertu berri diren hainbat emaitza itxuraz paradoxiko.ulertzeko (Yakov Daar. Haifa lnternational School, 1976; Eberhardt, J . L., 1974) .

Wake-potentzialaren kalkulua errazteko, aldaketa hauek egingo ditugu (1.22) ekuazioko integralean:

Zehaztasun matematikoak alde batetara utzirik (1.24) ekuazioaren izen- datzaileko bigarren parentesiko zeroen bilakaera q-planuan eta Q-ren araue- ra (1.2) irudiaren bidez adierazten dugu. Gezien norantzak zera adierazten digu, poloen bilakaera, Q-ren balioa handituz doan eran.

Polen bilakaera jakinez gero, q-ri buruzko integralaren kalkulaketa hon- darren kalkuluaren ('Calculation of Residues') bidez egiten da. Wake- potentzial eskalarra, y5 (I, t) , ondoko expresioak ematen digu:

non

W (b, 2) = z, -Jg (I) (1.26) v

eta

1.2 lrudia

(1.24) ekuazioko izendatzaiteko zeroen bilakaera q planuan eta O-ren arauera.

non integragaietan ioiaren aurrean, 2 > O, ala atzean, 2 < O, dauden pun- tuei bai t dagozkie, banan bana, eta

1.29 (bis)

bai t dira, eta Re-k zati erreala adierazten bai t du.

qlcc-k potentzial pantailatua ('Screened potential ') adierazten du. Pantai- latze hau ez da esferikoki simetrikoa, ioiari bere higiduran laguntzen dioten elektroi-dentsitatearen fluktuazioen eragatik.

Kualitatiboki, ql-k oszilazio kolektiboek (plasmoiek) potentzial eskalarra- r i aportatzen diotena adierazten du, eta 0,-k exzitazio indibidiialek (elektroi- hutsune bikoteek) aportatzen diotena.

(1 .28 ) eta (1 .29) ekliazioetan ikus daitekeenez, wake-potentziala zero- ren desberdina da, ez bakarrik ioiaren atzeko puntuetan, baizik baita aurre- koetan ere. Gertakari hau, elektroi-gasaren erantzunari burcizko gure analisi zehatzaren ondorio garrantzitsuenetarik bat da. Efektu hau, jakin uste dugu- nez, ez da adierazi izan gai honi buruz agertu diren ezein lanetan.

Wake-potentzialaren o, batugaia 2-ren simetrikoa da, espero zitekeenez, exzitazio indibidualei zor bait zaie. o, lasterki gutxitzen da 121 handituz doan eran, eta bere aportazioa wake-potentzialari baztergarria da o-rekiko. Dena dela, O > O, terminoaren aportazioa erabakikorra da beste tiainbat problema garrantz i tsutan, hala nola io iaren posiz ioan induz i tu tako elektro i - dentsitatearen kalkulaketan, eta gai kondentsatuen eta ioi-molekularen arte- ko elkarrekintzen gelditze-energian (Etxenike, P. M., Ritchie, R. H., eta Brandt, W . 1979 ; Ritchie, R. H., et al., 1 9 7 6 ; Etxenike, P. M., eta Ritchie, R. H., 1979 ) .

1.3 IOlTlK HURBIL DAUDEN PUNTUETAN INDUZITUTAKO PONTENTZIALA

loiaren posizioan induzitzen den potentziala interesgarria dateke.

non

eta

q2 (r)r+O delakoaren balorea elektroi-gasaren hainbat dentsitaterentzat eta ioiaren hainbat abaidurarentzat numerikoki kalkulatu dugu. Kasu guz-

tietan aurkitu dugun ernaitza oso txikia izan da, ( :lVWp ) delakoarekin konparatuz. Espero zitekeen gauza da hori, zeren integragaiean /22 + O eta ( A ) : -* O hartzen ditugunean integrala identikoki zero dela froga bait daiteke.

(1.3) irudian aluminioan zehar higitzen ari den protoi batek sortzen duen wake-potentziala azaltzen dugu ioiaren zenbait abiaduratarako, nahiz NRB-ren hurbilketaren, nahiz (1.28) ekuazioan eman dugun hurbilketaren arauera.

Gure hurbilketan, (1.3) irudian azaltzen denez, wake-potentzialaren uhin-luzera ez da zehazki 2 r v / o p , NRB-ren hurbilketan bezala, txikiagoa baizik. (1.3) irudiak azaltzen digu inguruaren erantzunari buruzko gure analisi zehatzak nola aldatzen duen wake-potentziala NRB-k lortu dutenarekiko. Aldaketok, dena dela, ez dira aski wake-potentziala deuseztatzeko, eta, horrela, wake-potentzialaren energia minimoko eskualdeetan elektroi- tokiratzea saihesteko.

(1.4a) eta 1.4b) irudiek wake-potent.ziala ematen dute ioiaren ibilbidea- ren atzeko puntuetan (2 < O) nahiz aurrekoetan (2 > O), banan bana, hiru abiadura desberdinetarako.

1.4 lrudia

Aluminioan zehar higitzen ari den protoi batentzat, ioiaren ibilbidearen wake-potentziala, a) ioiaren atzeko puntuetan, b) ioiaren aurreko puntue- tan.

Era honetako ikerketan, lehen aldiz wake-potentzialaren aldaketa ioiaren aurreko puntuetan azaltzen da. Wake-potentzialari buruzko aportazio hau ez zen NRB-ren hurbilketan aurkitzen zeren NRB-k ez zituzten inguruaren adierazpenean elektroi-exzitazio indibidualak kontuan hartu. Wake- potentziala ioiaren aurreko puntuetan txikiagoa da atzekoetan baino, eta gai- nera lasterrago gutxitzen da ioiaren abiadura handituz doan heinean.

(1.5) irudian wake-potentzialaren menpekotasuna inguruaren elektroi- dentsitatearekiko adierazten dugu, aluminioan, Fermi-ren abiadura baino abiadura b i aldiz handiago batez higitzen ari den protoi batentzat. (1.6) iru- dian wake-potentziala ematen dugu b-koordenatuaren hainbat baliorentzat.

(1.7) irudian wake-potentzialaren superfiziearen errepresentazio hirudi- mentsionala ematen da, plasma-frekuentzia w, = 0,919 u.a.-z karakterizatu- riko inguru baten zehar higitzen ari den protoi batentzat, abiadura v = 4 u.a. = 8,76 1 O8 cm/sg izanik.

Gogoratu behar dugu eman dugun irudietan ez ditugula Coulomb-en potentziale pantailatua (ik. (1.26), (1.27)), ez eta (P, (b, Z) terminoa (ik. (1 .29) ) sartzen. d,, numerikoki balioztatu dugu hainbat ioi-abiadura eta inguru-dentsitatetarako, eta bere aportazioa, $,-enarekin konparatuz, arbuia- garria dela egiaztatu dugu.

vY(Pt3A LO; v = z y 6.jU.oal)

(U .a. )

- 1

v y4 (U. a.)

1.0

6 o N v z

(U. a .)

-1.0

I

1.5 lrudia

Wake-potentzialaren menpekotasuna inguruaren elektroi-dentsitateare- kiko, protoi bat v = 1.92 u. a.-tan higitzen den kasurako.

1.6 lrudia

Aluminioan zehar higitzen ari den protoi baten wake-potentziala, b koor- denatuaren hainbat baliotarako.

1.7 lrudia

4 (p. 2) wake-potenzialaren supe-iziea, v = 4 u.a. = 8,76 . 10' cm/sg abiadurarekin abiatzen den protoi batentzat, direkzio positiboan eta r ~ ) , = 0,919 u.a.-tako plasma-frekuentziaz karakterizaturiko inguru baten zehar (ZTILDA eta B unitate atomikotan daude).

2.1 SARRERA

Henderson izan zen alfa zatikiek elektroiak hatzematen dituztela nabari- tu zuen lehena (Henderson, G. H., 1923). Harrez gero, solidoetan zehar iga- rotzen diren ioien karga-egoerak asko eta hedatuki aztertu dira. Fenomeno horren lehen trataketa kuantikoa Oppenheimer-i (Oppenheimer, R., 1928) zor zaio eta gaiari buruzko literatura guztiz zabala da (ik. Betz-en laburpen bikaina (Betz, H. D., 1972)). Ohizko ikuspegiek lotura lokal bat suposatzen dute soilik. Neelaváthi-k, Ritchie-k eta Brandt-ek elektroiak ioi laster baten wake-an tokira daitezkeela proposatu zuten (NRB, 1974). Elektroiak wake- aren energia potentzial minimoko eskualdean tokira daitezke. Tokiratze moe- ta hau ez-lokala da, hots, elektroi-dentsitatearen fluktuazioek dute tokiratze horren erantzunkizuna.

Erraztearren, eta lehen kapituluan adierazi dugunez, NRB-k oso sinplifi- ka tu r i ~o wake-potentzial bat aurkeztu zuten, inguruko ekeltroien erantzuna funtzio dielektriko lokal ('local d i e l e ~ t r i ~ function') batez deskribatuz.

NRB-k erabili zuten funtzio dielektriko honek zentzu fisikorik gabeko sin- gulartasun logaritmiko bat ezartzen du ioiaren ibilbidearen wake- potentzialean. Singulartasun honek, Day-ek dioenez, lotur energiaren kalku- laketa bariazionalean errore handiak sor ditzake.

Day-ek, Lindhard-en funtzio dielektriko klasikoa erabiliz eta ingurutzat elektroi-gasa hartuz, lotura-energietan plasmoi-eremuaren dispertsioa sart- zeak duen efektua aztertu du. Funtzio dielektriko horrek Pauli-ren printzipioa errespetatzen du, baina, horretan izan ezik, elektroiak zatiki klasikotzat hart- zen ditu. Day-ek kalkulatutako lotura-energiak NRB-k aurkituak baino askoz txikiagoak dira. Bereziki haren trataketak, 0,5 MeV-tako protoien kasuan, lotura-energia 1 0 eV-tatik (NRB-k kalkulatuak) 0 , l eV-taraino edo gutxiago- raino gutxitzen du. ~ o n e k : egia balitz, lotutako egoeren behaketa experimen- tala eragotziko luke.

2.2 LOTURA-ENERGIAK WAKE-AN

Lehen kapituluaren wake-potentzialaren azterketa numerikoa burutu 3 7 l v

dugu. Elektroientzako lehen energi rninirnoaren ingurunean, Z - -- 2 ( A ) ~

distantzian, ioiaren atzean 4, eta $,, arbuiagarriak dira, $,-rekin konparatuz. Lehen minirnoan, energia potentziala

expresioaz hurbildu dugu, eta elektroien lotura-energiak, osziladore harmo- niko honetan, ohizko eraz kalkulatuz:

Gure kalkulaketek adierazten dutenez, hurbilketa honek 3 %-ko zihur- gabetasuna ezartzen du, gutxi gorabehera, lotura-energietan.

Ondoko taulak (Taula (2.1 1) horrela konputatutako lotura-energiak ema- ten dizkigu, aluminioaren dentsitate bera duen elektroi-gas batetan higitzen den protoi batentzat. Energia horik p-ren hiru baliotarako balioztatu ditugu.

a) /i2 = 0; plasmoien ez-dispertsio kasua

NRB [Z2 = O 2 v: p =- 3

vlv, / j 2 =- 3 5 V:

2.1 Tauia

Aluminioaren dentsitate berdina duen elektroi-gas batetan higitzen ari den protoi batek sortutako energia potentzialaren lehen minimoaren lehen lotura-egoeraren lotura-energiak, elektroi-voltatan.

v: b) R2 =- ; balio hau erabiliz, gure funtzio dielektrikoa, limite estati- 3

koan eta uhin-luzera handitarako, Thomas-Fermi-ren funtzio dielek- trikoa bera da,

K:F t ( k ) = I +- k2

, non K,, = \/3w,,/vF bait da

3 c) P2 =- v;, kasu honek fase ez-erlazionatuen hurbilketan lortzen du-

5 gun plasmoi-erernuaren dispertsioa birproduzitzen du. lkus E-1 eranskineak (E.8). Hemendik aurrera balio hau erabiliko dugu beti p-rentzat.

(2.2) taulan osziladore harmonikoaren parametroak eman dira, protoien kasurako; (2.1 ) irudian, wake-potentzialaren parametroak lehen energi mini- moan oinarrizko egoera lotuari dagokion uhin-funtzioaren hedadura espazia- la azaltzen dugu, protoientzat, eta oxigeno eta sufre ioientzat. (2.2) eta (2.3) irudiek lotura-energiok gure hurbilketez kalkulatuak (lerro jarraia) eta halaber NRB-ren hurbilketaz kalkulatuak (lerro etenak) azaltzen dituzte. 0" eta .Sf1'- rentzako kurbak inguruan zeharko pasaketan ioiek biluzik dirautela suposa- tuz kalkulatzen dira. Egoera guztiz kargatu hauk, ioi kanalatuekiko experi- rnentuetan ('experiments with channeled ions') aurki daitezke (Datz, et al., 1972), zeintzutan kristalaren kolisio-probabilitatea ('collision probability')

2.2 Taula

Aluminioaren dentsitate berdina (r, = 2) duen elektroi-gas batetan higitzen ari den protoi baten kasurako energia potentzialaren lehen minimoaren eskualdean osziladore harmonikoaren parametroak, unitate atomikotan.

2.1 lrudia

Aluminoaren (r, = 2) antzeko den inguru batetako wake-potentzialaren lehen energia potentzialaren minimoan lekututako elektroi baten uhin- furitzioaren hedadura espaziala, bai ibilbidearen direkzioan (Ai), bai ibilbi- dearen direkzioaren perpendikularrean (A,?). loien karga efektiboak (2.3) ekuazioak emandalcoak dira.

2 3 v y 10 20 50' u 1 u

h S -\. Sr0 - \

H+ \ .S \ P \ al E \ \

L a C

Q

-

1 1 I 1 I 1 O. 1 I 70 Ioiaren energia zineti Koa ( ~ e v / m . . u.aj

2.2 lrudia

Alurninoan zehar higitzen ari den protoi batek sortzen duen wake-ari lotutako elektroi baten lotura-energia, bai NRB-ren arauera (lerro etena), bai gure hurbilketaren arauera (lerro jarraia).

íocaren energia z ine t i koa ( f l ev /m.u a )

2.3 lrudia

Aluminioan zehar higitzen ari den oxigeno (O") eta sufre (S+16) ioiek sortzen duten wake-ari lotutako elektroi baten lotura-energia, bai NRB-ren arauera (lerro etena), bai gure hurbilketaren arauera (lerro jarraia).

txikia bait da. Baldintza ez hain hertsien pean ioi biluziak elektroiak irabazten eta galtzen ditu. loi-nukleoaren karga (ioi biluzia gehi elektroi lotuak orain) abiaduraren funtzio den karga efektibo batez errepresenta daiteke (Betz, H. D., 1972).

Z,, (v) = Z, 1 - exp -- ( ( z;/3 )) Beraz, (2.2) formula oraindik erabil dezakegu &-en ordez Z,, (v) hartuz.

(2.4) irudian Z,, (v) erabiliaz kalkulaturiko lotura-energiak irudikatzen dira. lrudi guztietan ikus daiteke nola NRB-ren eta gure emaitzak elkarrenga- na hurbiltzen diren ioiaren abiadura handituz doanean. Espero zitekeen gau- za da hau, zeren abiadura handitarako elektroi-gasaren hurbilketa klasikoaz deskriba bait daiteke. Guk kalkulatutako lotura-energiak NRB-k kalkulatuta- koak baino txikiagoak dira, baina magnitude-ordena berekoa ('same order of magnitude') aztertu diren zatiki eta abiadura guztietarako: beraz, gure anali- siaren emaitzek gai kondentsatu batetan higitzen ari diren ioi lasterren wake-ari lotzen zaizkion elektroien egoerei buruzko NRB-ren ondorio oroko- rrak egiaztatzen dituzte.

2.3 KOERLAZIO EFEKTUAK

Elektroi-dentsitatea gutxitu egingo da elektroi lotuaren ingurunean, eta, ondorioz, lotura-energia gehitu egingo da (2.2), (2.3) eta (2.4) irudietan agertzen den balioekiko. Gertakari hau solidoetan jasotzen diren polaroien ('pelaron') irudi dinamikoa besterik ez da.

Gorputz Askoren Teoriaren ("Many Body Theory") hizkeran, autonergia- ren ("self-energy") zati errealak koerlazio efektuei zor zaien lotura-energi emendioa adierazten du. Zati imaginarioak egoera lotuko elektroiaren batez- besteko bizitza deskribatzen du. Arazo honen azterketan Green funtzioak gorputz askoren problemarentzat eskaintzen digun formulazioa erabiliko dugu, eta horretarako sortze- eta deuseztatze-operatzaileak a: ,, a,, ioi gehi elektroi lotu-sistemarentzat, eta Cq, C, elektroi gasarentzat hartuco ditugu. - -

Sistemaren Hamiltondarra ondoko formulak ematen digu:

H = Ho + He + H,, (2.4) non Ho-k elektroien eta ioi-elektroi bikoteen sistema elkarrekintzarik

gabe deskribatzen bait du,

2.4 lrudia

2 3 6 10 í W 1000 1 I I

Aluminoan zehar higitzen ari diren oxigeno (Ot8) eta sufre (St16) ioiek (karga efektiboa (2 .3) ekuazioak emanik) sortzen duten wake-ari lotutako elektroi baten lotura-energia, bai NRB-ren arauera (lerro etena), bai gure hurbilketaren arauera (lerro jarraia).

'1 S

\. .I P ID C 0,

4 3 C

0 V

- ~ Z e f f - / - - --

/ - Z I I \

\

10 1 I I 1 I I o 1 1 10

l o i a ren energid z inet i Koa (Mev/m.u.a.)

pZ non ep =-eta w k n wake-ari lotzen zaizkion elektroiek eta ioiek osa- - 2 tzen duten sistemaren energia bait da. Elektroi-gasaren egoerak uhin launen bidez, 1 p > = 0-'" ei PL, deskribatzen ditugu, non p uhin-bektorea eta l 2 normalizatze-bolumen bat bait dira. loi-elektroi bikotearen uhin-funtzioa on- doko eran irudikatzen, da,

1 k n > = u, (e) exp (iKR) / 0112 (2.6) non í) ioi-elektroi bikotearen higidura erlatiboaren koordenatua bait da, eta R bikotearen masa-zentruaren koordenatua. loi-elektroi bikotearen energia

berdintzak ematen digu, non M ioiaren masa bait da, eta E, elektroiaren ioiarekiko higidura erlatiboaren energia.

Elektroi-gaseko elektroien arteko Coulomb-en elkarrekintza He-k adie- razten du:

loi-elektroi bikoteko eta elektroi-gaseko elektroien arteko elkarrekintza H,,-k adierazten du:

H,, = 1 1 1 1 W (S' n'. k n. p ' p) ai . nt a, c& CP (2.9) k ' n - n y p -

non W ondoko berdintzak ematen bair du:

non Ip n >-k bikotearen uhin-funtzioa errepresentatzen bait du, -

lntegraketa r aldagaiarekiko egin ondoren, W honela idatz daiteke:

4 76 W (k' n', k n, p' - p) = n le -P ,12 < k P n ' l e x ~ { i l e ( p - p ' ) I -

- z, exp li I-, (p - p')lI k n > (2.1 2)

Ekuazio hau idazteko, ondoko berdintzaz baliatu gara:

loi-elektroi bikotearen eta ioiaren koordenatuak, r-, eta L, errespektiboki, honela definitzen dira:

eta halaber,

loi-elektroi bikotearen eta inguruko elektroien arteko kolisioek momen- tua nahiz energia kontserbatzen dute. Gertakari honek Gorputz Askoren pro- blemaren kalkulaketa erratten du. loi-elektroi bikotearen Green funtzioa barneratzen dugu (Galitskii, V. M., eta Midgal, A. B., 1958)

non T denbora-ordenatu operatzaile ('Time-ordered operator') bait da, eta 1 !Iro > sistema interakzionatzailearen oinarrizko egoeraren uhin-bektore zehatza ('Where 1 U', > is the exact state vector of the ground state of the full interacting system'). a: , (t), [= exp (iHt) a,, exp (-iHt)], operatzaile guztiak Heisenberg-en errepresentazioan datoz.

Zero ordenako Green funtzioa elkarrekintzai-ik gabeko sistemarentzat ondoko expresioak ernaten du,

non 1 O > ioi-elektroi bikoteak eta inguruko elektroiek osatzen duten elkarre- kintzarik gabeko sistemaren egoera-bektorea bait da. Green funtzio hau energi espazioan berehala baliozta daiteke

non 8 -+ 0'

Green funtzio zehatzarentzat Dyson-en ekuazioa son, 1949) honela idatz daiteke:

zeinaren soluzio formala

bait d a , x ( w , kj n) ioi-elektroi bikotearen autoenergia, Gorputz Askoren tekni- kak erabiliz baliozta daitekeena bait da (Schultz, T. D., 1963). Autoenergia hau Feynman-en diagrametan ioi-elektroi bikotearen propagazioa errepre- sentatzen duen lerro bat ebakiz bereizi ezin daitezkeen Feynman-en diagra- mak definiturik dator.

(2.5a) irudiak G-rentzat Dyson-en ekuazioa adierazten du,*lerro bikoitz soilak ioi-elektroi bikotearen zero ordenako propagatzailea adieratzen du,* lerro bikoitz marratuak propagatzaile zehatza, eta @ burbuila gurutzatuak, autoenergia. Kontsidera daitezkeen diagrama askotako batzu (2.5b) irudian erakusten dira. Une honetan Gell-Mann eta Brueckner-en bikote-hurbilketa ('The pair approximation') (Gell-Mann, M., eta Brueckner, K. A., 1957) bar- neratzen dugu. Hurbilketa hau, funtsean, fase ez-erlazionatuen hurbilketarer baliokidea da (Bohm eta Pines, 1953; Pines, D., 19531, eta autoenergiaren diagrama orokorrak burbuilen diagrama segida infinitu bat besterik ez duen batez aldatzean datza (ik. ( 2 . 5 ~ ) irudia).

Feynman-en diagramen kalkulaketarako ohizko erregelak erabil ditzake- gu (Schultz, T. D., 1964; Abrikosov, A. A., et al., 1963; Fetter, A., eta Walec- ka, J. D., 1971). Gainera, (2.5d) irudian erakusten den erako erpin bat, ioi- elektroi bikotearen eta inguruaren elektroi baten arteko elkarrekintza adie- razten duena, -i W (k, n,, k, n,, k) biderkagai batekin elkartzen da. Honela, ondoko expresioa ondoria dezakegu autoenergiarentzat:

loi-elektroi bikotearen Green funtzio exaktua, Gk, ,, zero ordenakoaz, Gk, ,, aldatzen dugu; oszilaciore harmoniko erako uhinfuntzio bat erabiltzen dugu ioi-elektroi bikotearen egoera oinarrizkoa adierazteko. m-ri ioi-elektroi bikotearen energiaren balioa (ik. (2.7)) ernanaz autokontsistentzia mugatu bat lortuko dugu energiarekiko. e , , ,,-rentzat plasrnoi-poloaren hurbilketa (ik. (E.7)) erabiltzen dugu.

2.5 lrudia

Feynman-en diagramak, ioi lasterren eta inguruko elektroien arteko elkarrekintza irudikatuz. lkus azalpena textuan.

Lehen urratsa ondoko elementuaren kalkulaketan datza:

4 n W (K' n'r 5 n, q) = - < E' n r J exp (-iqr,) - Z, exp (-iqr ) 1 K n > (2.22) p2 - - --P -

non re eta rp (2.1 4) ekuazioan definitu bait dira, eta

non ioi-elektroi bikotearen hasiera- eta bukaera-egoeren energiak ondoko berdintzek ematen bait dituzte:

non ioi-elektroi bikotearen masa-zentruaren momentua bait da, K', p elek- troiaren eta ioiaren bukaera-egoeraren momentuak; E, ioi-elektroi bikoteko elektroiaren lotura-energia, eta M ioiaren masa, (2.22) ekuazioan soilik

q - - e r terminoa hartuz (e-'% terminoaren aportazioa arbuiagarria da,

M >> 1 delarik).

non

K' p=-

M - (p + 9) ,,, " Y - P - 9 (2.26) - l + M

v ioiaren abiadura da eta

u. ( p ) = I d 3 1 e' u* Ir) (2.27)

elektroi lotuaren oinarrizko egoeraren uhin-funtzioaren Fourier transfor- matua.

Limite jarraira pasatuz, hau da, bukaerako egoerari buruzko batuketa integral batetan bihurtuz,

zera lortzen dugu

non (A),, ioi-elektroi bikotearen hasiera- eta bukaera-egoeren arteko energi diferen?lzia bait da:

) (2.29) Integrala w, aldagaiarekiko egiieko, ondoko erlazioaz baliatzen gara:

non P Cauchy-ren zati nagusia ("Principal part") bait da, 11 + O', eta h Dirac- -en delta. Autoenergiaren zati imaginarioarentzat, ondoko expresioa dugu;

1 u, (P) 1 funtzioa, praktikan, 6-funtzio bat, P = O-n zentratua, da. Horregatik, 1 ci, (P)1 = (2 ;713 0 (P ) aldaketa obratzen dugu gure kalkulaketan, eta, on- dorioz, (2.31) ekuazioa honela idatz daiteke:

q2 non q, eta q,, v q = E, + - + (0, ekuazioaren erroak bait dira. 2

(2.33) ekuazioko integragaian o, N w, aldaketa eginez, eta q2 terminoa arbuiatuz, zera lortzen da,

WP non kc E - . " F Autoenergiaren zati erreala ondoko berdintzak ernaten digu,

non

eta (2.38)

P-k zati nagusia adierazten du, e t i wkp (2.29) ekuazioak ematen du. Azkenik ..-

non

(2.42)-ean eman den E,, hitzaurrean adierazi dugunez, negatiboa da. Koerlazio-efektuek elektroi lotuarekiko puntu hurbiletan elektroi-dentsita- tearen gutxitzea dakarte, eta, beraz, lotura-energiaren handitzea. Handitze hori (2.33) ekuazioak ematen du.

Expresio errealistago bat lor dezakegu (2.24)-ean 2-aren zati errealari zor zaion lotura-gehitze hori ezarriz, E, + E, + 1 X r l aldaketa eginez. Azkenik, 2',-rentzat ondoko expresioa geratzen zaigu:

(2.3) taulan 2, eta 1, agertzen ditugu (2.42) eta (2.44) ekuzioen arauera, aluminioan higitzen ari den protoi batentzat kalkulatuak. Bide aske medioa, Angstrom-etan neurtua, ematen dugu ere,

-0,529 v A (A) =

2 2,

v (u.a.) Lr (u.a.1 ,Yi (u.a.) ,\ (A)

2 - 0.27 - 0.07 7.56 3 - 0.17 - 0.08 9.9 1 4 - 0.13 - 0.08 13.22 5 - 0.10 - 0.08 16.52 6 - 0.08 - 0.08 19.83 7 - 0.07 - 0.07 26.41 8 - 0.06 - 0 . 0 7 3 0 . 2 4 9 - 0.05 - 0.07 34.02

1 O - 0.05 - 0.06 44.1

2.3 Taula

E,-eta 1,-ren baloreak, (2.42) eta (2.44) ekuazioen arauera, aluminiotan higitzen ari den protoi batentzat, abiaduraren zenbait balorerentzat. Bide aske medioa ere ematen da (2.45) ekuazioaren arauera.

Egoera lotuen zabalera erlatiboa ondoko berdintzak ematen dic;u:

Zabalera h,ori ez da inoiz, protoi baten wake-ari lotutako elektroi baten- tzat, - 0,2 baino handiagoa, hau da, wake-ari lotutako egoeraren batez- besteko bizitza luzea duen "kuasiegoera" (quasistate) bat da.

(2.42) ekaiazioak ematen duen E,-a, nahiz (2.44)-ak ernaten duen Ci-a ez daude ia Z,-en menpean (hots, ioiaren kargaren menpean). Ondorioz, batezbesteko bide askea ia bera da gai kondentsatuetan abiadura berdinez higitzen ari diren ioi guztientzat eta, hurbilki, (v - 2 - 6) honela adieraz- ten da:

A (a) Ñ rZt2 v (2.47) Gai kondentsatu errealetan, wake-ari lotutako elektroiak inguruaren ioi-

nukleoekin interakziona dezake, kanaltze laun ("planar channeling") baldin- tzetan izan ezik. Elkarregintza horrek bide aske medioa laburtu egingo du, baina ahulki, (2.47) expresioa bide aske medioa hurbilketa egokia gertatzen delarik.