Io Guia Tema 1

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UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL “FRANCISCO DE MIRANDA” ÁREA DE TECNOLOGÍA DEPARTAMENTO DE GERENCIA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES PROFESOR: Dr. JUAN LUGO MARÍN

Tema No. 1

Introducción a la Investigación de operaciones y Modelación

Introducción

La programación matemática es una potente técnica de modelado

usada en el proceso de toma de decisiones. Cuando se trata de resolver un

problema de esta naturaleza, la primera etapa consiste en identificar las

posibles decisiones que pueden tomarse; esto lleva a identificar las

variables del problema concreto. Normalmente, las variables son de

carácter cuantitativo y se buscan los valores que optimizan el objetivo. La

segunda etapa supone determinar que decisiones resultan admisibles; esto

conduce a un conjunto de restricciones que se determinan teniendo

presente la naturaleza del problema en cuestión. En la tercera etapa, se

calcula el costo/beneficio asociado a cada decisión admisible; esto supone

determinar una función objetivo que asigna, a cada conjunto posible de

valores para las variables que determinan una decisión, un valor de

costo/beneficio. El conjunto de todos estos elementos define el problema de

optimización.

La programación lineal (PL), que trata exclusivamente con funciones

objetivos y restricciones lineales, es una parte de la programación

matemática, y una de las áreas más importantes de la matemática aplicada.

Se utiliza en campos como la ingeniería, la economía, la gestión, y muchas

otras áreas de la ciencia, la técnica y la industria. En el presente tema se

introduce la programación lineal por medio de los aspectos teóricos que la

definen y determinan para luego ilustrarla con varios ejemplos

seleccionados. Para empezar nuestra exposición se hace notar que cualquier

problema de programación lineal requiere identificar cuatro componentes

básicos:

1. El conjunto de datos.

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2. El conjunto de variables involucradas en el problema, junto con sus

dominios respectivos de definición.

3. El conjunto de restricciones lineales del problema que definen el conjunto

de soluciones admisibles.

4. La función lineal que debe ser optimizada (minimizada o maximizada).

En el presente material didáctico se provee una lista de ejemplos,

prestando especial atención en cada caso a estos cuatro elementos.

La lista seleccionada no es sino una pequeña muestra de la gran

cantidad de problemas de programación lineal (PL) disponibles en las

referencias. El objetivo en dicha selección es poder ilustrar de manera clara

el alcance de la programación lineal y ayudar a los estudiantes de este

curso a familiarizarse con los cuatro elementos descritos anteriormente.

Antes de iniciar con los aspectos teórico prácticos de lo que implica la

formulación de Modelos de Programación Lineal, se pretende acercar al

alumno a los aspectos teóricos de la Investigación de Operaciones, haciendo

especial enfásis en: los orígenes de la Investigación de Operaciones,

algunas definiciones conceptuales de la misma, y principales áreas de

aplicación. Se considera fundamental también el revisar algunos conceptos

relacionados con los Modelos dado su importancia y protagonismo que

reviste en el ámbito de la Investigación de Operaciones.

Orígenes de la Investigación de Operaciones

Desde al advenimiento de la Revolución Industrial, el mundo ha sido

testigo de un crecimiento sin precedentes en el tamaño y la complejidad de

las organizaciones. En ese periodo de la historia, los pequeños talleres

artesanales se convirtieron en las corporaciones actuales que manejan

enormes cantidades de recursos humanos, técnicos, monetarios y materiales.

Conforme las organizaciones se hicieron más complejas, también se hizo más

complejo el proceso de toma de decisiones. Puesto que en muchas decisiones

estaba en juego la inversión de enormes cantidades de dinero, así como

esfuerzos de otras naturaleza, no necesariamente monetarias, se hacía

imperiosa la necesidad de contar con un enfoque sistemática y científicamente

bien soportado, para llevar a cabo el proceso de toma de decisiones en el

seno de las organizaciones. Tenemos entonces que el incremento de la

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complejidad organizacional, los múltiples problemas generados por esta así

como la necesidad de encontrar la mejor forma de resolverlos, proporcionaron

el ambiente adecuado para el surgimiento de la Investigación de Operaciones

(IO).

Las raíces de la Investigación de Operaciones se remontan a muchas

décadas, cuando se hicieron los primeros intentos para emplear el método

científico en la administración de una empresa. Sin embargo, el surgimiento

formal de la actividad llamada Investigación de Operaciones, está relacionada

con los servicios militares prestados a principios de la segunda guerra

mundial. Debido a los esfuerzos bélicos, existía una necesidad urgente de

asignar recursos escasos a las distintas operaciones militares y a las

actividades dentro de cada operación, en la forma más efectiva. Por esto, las

administraciones militares americana e inglesa hicieron un llamado a un gran

número de científicos para que aplicaran el método científico a éste y a otros

problemas estratégicos y tácticos. De hecho, se les pidió que hicieran

investigación sobre operaciones (militares). Estos equipos de científicos

fueron los primeros equipos de IO. Con el desarrollo de métodos efectivos

para el uso del nuevo radar, estos equipos contribuyeron al triunfo del

combate aéreo inglés. A través de sus investigaciones para mejorar el manejo

de las operaciones antisubmarinas y de protección, jugaron también un papel

importante en la victoria de la batalla del Atlántico Norte.

Al terminar la guerra, el éxito de la Investigación de Operaciones en las

actividades bélicas generó un gran interés en sus aplicaciones fuera del

campo militar. Como la explosión industrial seguía su curso, los problemas

causados por el aumento en la complejidad y especialización dentro de las

organizaciones pasaron de nuevo a primer plano. Comenzó a ser evidente

para un gran número de personas, incluyendo a los consultores industriales

que habían trabajado con o para los equipos de IO durante la guerra, que

estos problemas eran básicamente los mismos que los enfrentados por la

milicia, pero en un contexto diferente. Así que los estudiosos de este nuevo

enfoque encontraron el ambiente propicio para extrapolar los principios

teórico – prácticos de la Investigación de Operaciones del ámbito de la milicia

al ámbito de las organizaciones, y cuando se habla de organizaciones nos

referimos a estas en su definición más amplia: empresas manufactureras,

refinerías, hospitales, universidades, hoteles, etc.

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Es así como, cuando comienza la década de 1950, estos individuos

habían introducido el uso de la investigación de operaciones en la industria,

los negocios y el gobierno. Desde entonces, esta disciplina se ha desarrollado

con rapidez. Aunque se ha acreditado a Gran Bretaña el inicio de la

Investigación de Operaciones como una nueva disciplina, los Estados Unidos

tomaron pronto el liderazgo en este campo rápidamente creciente. La

primera técnica matemática ampliamente aceptada en el medio de

Investigación de Operaciones fue el Método Símplex de Programación

Lineal, desarrollado en 1947 por el matemático norteamericano George B.

Dantzig. Desde entonces las nuevas técnicas se han desarrollado gracias al

esfuerzo y cooperación de las personas interesadas tanto en el área

académica como en el área industrial.

Otro factor que dio gran empuje al desarrollo de este campo fue el

advenimiento de la computadoras. Para manejar de una manera efectiva los

complejos problemas inherentes a esta disciplina, por lo general se requiere

un gran número de cálculos. Llevarlos a cabo manualmente puede resultar

casi imposible. Por lo tanto, el desarrollo de la computadora, con su enorme

capacidad para realizar cálculos aritméticos, miles o tal vez millones de veces

más rápido que los seres humanos, fue una gran ayuda para la investigación

de operaciones. Un avance más tuvo lugar en la década de 1980 con el

desarrollo de las computadoras personales cada vez más rápidas,

acompañado de buenos paquetes de software para resolver problemas de IO,

esto puso las técnicas al alcance de un gran número de personas. Hoy en día,

literalmente millones de individuos tienen acceso a estos paquetes, lo que ha

generalizado el empleo de esta disciplina a las distintas empresas en todo el

mundo.

Características de la Investigación de Operaciones

Es muy notable el rápido crecimiento del tamaño y la complejidad de

las organizaciones (empresas) que se ha dado en estos últimos tiempos. Tal

tamaño y complejidad nos hace pensar que una sola decisión equivocada

puede repercutir grandemente en los intereses y objetivos de la

organización y en ocasiones pueden pasar años para rectificar tal error.

También el ritmo de la empresa de hoy implica que las DECISIONES se

tomen más rápidamente que nunca, pues el hecho de posponer la acción

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puede dar una decisiva ventaja al contrario en este mundo de alta

competencia.

La palpable dificultad de tomar decisiones ha hecho que el hombre

se aboque en la búsqueda de una herramienta o método que le permita

tomar las mejores decisiones de acuerdo a los recursos disponibles y a los

objetivos que persigue. Tal herramienta recibió el nombre de Investigación

de Operaciones.

Cuando nos referimos a la Investigación de Operaciones, es

importante resaltar los siguientes términos: organización, sistema, grupos

interdisciplinarios, objetivo y metodología científica.

Una organización puede entenderse como un sistema, en el cual

existen componentes; canales que comunican tales componentes e

información que fluye por dichos canales. En todo sistema los componentes

interactúan unos con otros y tales interacciones pueden ser controlables e

incontrolables. En un sistema grande, los componentes se relacionan de

muchas maneras, pero no todas son importantes, o mejor dicho, no todas

las interacciones tienen efectos importantes en las componentes del sistema

visto como un todo.

Por lo tanto es necesario que exista un procedimiento sistemático que

identifique a quienes toman decisiones y a las interacciones que tengan

importancia para los objetivos de la organización o sistema. Uno de esos

procedimientos es precisamente la Investigación de Operaciones.

La Investigación de Operaciones desde sus inicios siempre ha estado

ligada a aceptar el fenómeno de la complejidad en los distintos niveles

organizacionales, partiendo del paradigma sistémico para estudiar los

problemas organizacionales, por esta razón es fácil inferir que los problemas

que se presentan en las organizaciones no fácilmente se pueden resolver

por un sólo especialista. Por el contrario son problemas multidisciplinarios,

cuyo análisis y solución requieren de la participación de varios

“especialistas”. Estos grupos interdisciplinarios, multidisciplinarios y más

recientemente transdisciplinarios, necesariamente requieren de un lenguaje

común para poder entenderse y comunicarse, donde la Investigación de

Operaciones viene a ser ese puente de comunicación.

Ya se había mencionado que el enfoque de la Investigación de

Operaciones, es sistemático y científico, se dice que es científico puesto que

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su concepción misma está inspirada en método científico. En particular, el

proceso de la Investigación de Operaciones comienza por la observación

cuidadosa y la formulación del problema y sigue con la construcción de un

modelo científico (por lo general matemático) que intenta abstraer la

esencia del problema real. En este punto se propone la hipótesis de que el

modelo es una representación lo suficientemente precisa de las

características esenciales de la situación real estudiada como para que las

conclusiones (soluciones) obtenidas a través del modelo sean válidas

también para el problema real. Esta hipótesis se verifica y modifica

mediante las pruebas adecuadas. Entonces, en cierto modo, la Investigación

de Operaciones incluye la investigación científica creativa de las

propiedades fundamentales de las operaciones. Sin embargo, existe más

que esto. En particular, la Investigación de Operaciones se ocupa también

de la administración práctica de la organización. Así, para tener éxito,

deberá también proporcionar conclusiones positivas y claras que pueda usar

el tomador de decisiones cuando las necesite.

La contribución del enfoque de Investigación de Operaciones proviene

principalmente de:

1. La estructuración de una situación de la vida real como un modelo

matemático, logrando una abstracción de los elementos esenciales para que

pueda buscarse una solución que concuerde con los objetivos del tomador

de decisiones. Esto implica tomar en cuenta el problema dentro del contexto

del sistema completo.

2. El análisis de la estructura de tales soluciones y el desarrollo de

procedimientos sistemáticos para obtenerlas.

3. El desarrollo de una solución, incluyendo la teoría matemática si es

necesario, que lleva al valor óptimo de la medida de lo que se espera del

sistema (o quizá que compare los cursos de acción opcionales evaluando

esta medida para cada uno).

Investigación de operaciones y Toma de Decisiones

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La toma de decisiones es un proceso que se inicia cuando una persona

observa un problema y determina que es necesario resolverlo procediendo a

definirlo, a formular un objetivo, reconocer las limitaciones o restricciones, a

generar alternativas de solución y evaluarlas hasta seleccionar la que le

parece mejor entre el conjunto de alternativas factibles disponibles, este

proceso puede se cualitativo o cuantitativo.

El enfoque cualitativo se basa en la experiencia y el juicio personal, las

habilidades necesarias en este enfoque son inherentes en la persona y

aumentan con la práctica. En muchas ocasiones este proceso basta para

tomar buenas decisiones. El enfoque cuantitativo requiere habilidades que se

obtienen del estudio de herramientas matemáticas que le permitan a la

persona mejorar su efectividad en la toma de decisiones. Este enfoque es útil

cuando no se tiene experiencia con problemas similares o cuando el problema

es tan complejo o importante que requiere de un análisis exhaustivo para

tener mayor posibilidad de elegir la mejor solución.

La investigación de operaciones proporciona a los tomadores de

decisiones bases cuantitativas para seleccionar las mejores decisiones y

permite elevar su habilidad para hacer planes a futuro.

En el ambiente socioeconómico, complementado con el enorme auge

de las tecnologías de información y comunicación, hacen que el escenario de

los negocios hoy por hoy sean altamente competitivo y complejo, en ese

contexto los métodos tradicionales de toma de decisiones se han vuelto

inoperantes e inadmisibles ya que los responsables de dirigir las actividades

de las empresas e instituciones se enfrentan a situaciones complicadas,

inestables y cambiantes con rapidez, que requieren de soluciones creativas y

prácticas apoyadas en una base cuantitativa sólida.

En organizaciones grandes se hace necesario que el tomador de

decisiones tenga un conocimiento básico de las herramientas cuantitativas

que utilizan los especialistas para poder trabajar en forma estrecha con ellos y

ser receptivos a las soluciones y recomendaciones que se le presenten.

En organizaciones pequeñas puede darse que el tomador de decisiones

domine las herramientas cuantitativas y él mismo las aplique para apoyarse

en ellas y así tomar sus decisiones.

Investigación de Operaciones– Algunas Definiciones-

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Como toda disciplina en desarrollo, la investigación de operaciones ha

ido evolucionando no sólo en sus técnicas y aplicaciones sino en la forma

como la conceptualizan los diferentes autores, en la actualidad no existe

solamente una definición sino muchas, algunas demasiado generales, otras

demasiado engañosas, aquí se han seleccionado algunas de las más

aceptadas y representativas.

Ladefinición de Churchman, Ackoff y Arnoff, plantean que la

Investigación de operaciones es la aplicación, por grupos interdisciplinarios,

del método científico a problemas relacionados con el control de las

organizaciones o sistemas (hombre-máquina), a fin de que se produzcan

soluciones que mejor sirvan a los objetivos de la organización.

De ésta definición se pueden destacar los siguientes aspectos:

1. Una organización es un sistema formado por componentes que

se interaccionan, unas de estas interacciones pueden ser controladas y

otras no.

2. En un sistema la información es una parte fundamental, ya que

entre las componentes fluye información que ocasiona la interacción entre

ellas. También dentro de la estructura de los sistemas se encuentran

recursos que generan interacciones. Los objetivos de la organización se

refieren a la eficacia y eficiencia con que las componentes pueden

controlarse, el control es un mecanismo de autocorrección del sistema que

permite evaluar los resultados en términos de los objetivos establecidos.

3. La complejidad de los problemas que se presentan en las

organizaciones ya no encajan en una sola disciplina del conocimiento, se

han convertido en multidisciplinario por lo cual para su análisis y solución

se requieren grupos compuestos por especialistas de diferentes áreas del

conocimiento que logran comunicarse con un lenguaje común.

4. La investigación de operaciones es la aplicación de la

metodología científica a través modelos matemáticos, primero para

representar al problema y luego para resolverlo.

La definición de la sociedad de investigación de operaciones de la

Gran Bretaña es la siguiente: La investigación de operaciones es el

abordaje de la ciencia moderna a los complejos problemas que surgen en la

dirección y en la administración de grandes sistemas de hombres,

máquinas, materiales y dinero, en la industria, en los negocios, en el

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gobierno y en la defensa. Su actitud diferencial consiste en desarrollar un

modelo científico del sistema tal, que incorpore valoraciones de factores

como el azar y el riesgo y mediante el cual se predigan y comparen los

resultados de decisiones, estrategias o controles alternativos. Su propósito

es el de ayudar a la gerencia a determinar científicamente sus políticas y

acciones.

En relación a ésta definición deben destacarse los siguientes aspectos:

1. Generalmente se asocian los conceptos de dirección y

administración a las empresas de tipo lucrativo, sin embargo, una empresa

es un concepto más amplio, es algo que utiliza hombres, máquinas,

materiales y dinero con un propósito específico; desde éste punto de vista,

se considera como empresa desde una universidad hasta una

ensambladora de automóviles.

2. Para tratar de explicar el comportamiento de un sistema

complejo, el científico debe representarlo en términos de los conceptos que

maneja, lo hace expresando todos los rasgos principales del sistema por

medio de relaciones matemáticas. A esta representación formal se le llama

modelo.

3. La esencia de un modelo es que debe ser predictivo, lo cual no

significa predecir el futuro, pero si ser capaz de indicar muchas cosas

acerca de la forma en que se puede esperar que un sistema opere en una

variedad de circunstancias, lo que permite valorar su vulnerabilidad. Si se

conocen las debilidades del sistema se pueden tomar cursos de acción

agrupados en tres categorías: A) Efectuar cambios que lleven a la empresa

o parte de ella a una nueva ruta; B) Realizar un plan de toma de

decisiones; C) Instalar estrategias que generen decisiones. Cuando se

aplica alguno de estos remedios, la investigación de operaciones nos ayuda

a determinar la acción menos vulnerable ante un futuro incierto.

4. El objetivo global de la investigación de operaciones es el de

apoyar al tomador de decisiones, en cuanto ayudarlo a cumplir con su

función basado en estudios científicamente fundamentados.

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La Investigación de Operaciones también se puede definir como la

aplicación por grupos interdisciplinarios del método científico a problemas

relacionados con el control de las organizaciones o sistemas a fin de que se

produzcan soluciones que mejor sirvan a los objetivos de toda la

organización, esto se logra a través del modelado de sistemas

probabilísticos o determinísticos a situaciones reales que se suceden en las

organizaciones.

Características de la Investigación de Operaciones.

La Investigación de Operaciones usa el método científico para

investigar el problema en cuestión. En particular, el proceso comienza por la

observación cuidadosa y la formulación del problema incluyendo la

recolección de datos pertinentes.

La Investigación de Operaciones adopta un punto de vista

organizacional sistémico global. De esta manera intenta resolver los

conflictos de interés entre los componentes de la organización de forma que

el resultado sea el mejor para la organización como un todo.

La Investigación de Operaciones intenta encontrar una mejor solución

(llamada solución optima), para el problema bajo consideración. En lugar de

contentarse con mejorar el estado de las cosas, la meta es identificar el

mejor curso de acción posible. Cuando en el ámbito de la Investigación de

Operaciones se hace referencia a la solución óptima, la misma hace

referencia a la “mejor” solución entre el conjunto de soluciones o

alternativas factibles disponibles.

En la Investigación de Operaciones es necesario emplear el enfoque

de equipo. Los equipos de IO deben incluir personal con antecedentes

firmes en matemáticas, estadísticas y teoría de probabilidades, economía,

administración de empresas ciencias de la computación, ingeniería, etc. El

equipo también necesita tener la experiencia y las habilidades para permitir

la consideración adecuada de todas las ramificaciones del problema.

La Investigación de Operaciones ha desarrollado una serie de técnicas

y modelos muy útiles en el campo de la Ingeniería. Entre ellos tenemos: la

Programación No Lineal, Teoría de Colas, Programación Entera,

Programación Dinámica, entre otras.

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La Investigación de Operaciones tiende a representar el problema

cuantitativamente para poder analizarlo y evaluar un criterio común.

Metodología de la Investigación de Operaciones

El proceso de la Investigación de Operaciones comprende las

siguientes fases:

� Definición del problema.

� Formulación del modelo matemático.

� Solución del modelo.

� Validación del modelo.

� Implementación de resultados.

Explicando en más detalles cada una de estas fases

tenemos:

Definición del Problema y Recolección de Datos: La mayor parte

de los problemas prácticos con los que se enfrenta el equipo IO están

descritos inicialmente de una manera vaga. Por consiguiente, la primera

actividad que se debe realizar es el estudio del sistema relevante y el

desarrollo de un resumen bien definido del problema que se va a analizar.

Esto incluye determinar los objetivos apropiados, las restricciones sobre lo

que se puede hacer, las interrelaciones del área bajo estudio con otras áreas

de la organización, los diferentes cursos de acción posibles, los límites de

tiempo para tomar una decisión, etc. Este proceso de definir el problema es

crucial ya que afectará en forma significativa la relevancia de las conclusiones

del estudio. ¡Es difícil extraer una respuesta "correcta" a partir de un

problema "equivocado"!

Para formular un problema se requiere; a) identificar las componentes

y variables controlables y no controlables del sistema; b) identificar los

posibles cursos de acción, determinados por las componentes controlables; c)

definir el marco de referencia dado por las componentes no controlables; d)

definir los objetivos que se busca alcanzar y clasificarlos por orden de

importancia; e) identificar las interpelaciones importantes entre las diferentes

partes del sistema y encontrar las restricciones que existen.

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Formulación de un modelo matemático: Una vez definido el

problema, la siguiente etapa consiste en formularlo de manera conveniente

para su análisis. La forma convencional en que la investigación de operaciones

realiza esto es construyendo un modelo matemático que represente la esencia

del problema. Antes de analizar como formular los modelos de este tipo, se

explorará la naturaleza general de los modelos y, en particular, la de los

modelos matemáticos.

El modelo matemático está constituido por relaciones matemáticas

(ecuaciones y desigualdades) establecidas en términos de variables, que

representa la esencia el problema que se pretende solucionar.

Para construir un modelo es necesario primero definir las variables en

función de las cuales será establecido. Luego, se procede a determinar

matemáticamente cada una de las dos partes que constituyen un modelo: a)

la medida de efectividad que permite conocer el nivel de logro de los objetivos

y generalmente es una función (ecuación) llamada función objetivo; b) las

limitantes del problema llamadas restricciones que son un conjunto de

igualdades o desigualdades que constituyen las barreras y obstáculos para la

consecución del objetivo.

Un modelo siempre debe ser menos complejo que el problema real, es

una aproximación abstracta de la realidad con consideraciones y

simplificaciones que hacen más manejable el problema y permiten evaluar

eficientemente las alternativas de solución.

Los modelos matemáticos tienen muchas ventajas sobre una

descripción verbal del problema. Una ventaja obvia es que el modelo

matemático describe un problema en forma mucho más concisa. Esto tiende a

hacer que toda la estructura del problema sea más comprensible y ayude a

revelar las relaciones importantes entre causa y efecto. Es decir, existen

obstáculos que deben evitarse al usar modelos matemáticos. Un modelo es,

necesariamente, una idealización abstracta del problema, por lo que casi

siempre se requieren aproximaciones y suposiciones de simplificación si se

quiere que el modelo sea manejable (susceptible de ser resuelto).

Solución del modelo: Resolver un modelo consiste en encontrar los

valores de las variables, asociadas a las componentes controlables del sistema

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con el propósito de optimizar, si es posible, o cuando menos mejorar la

eficiencia o la efectividad del sistema dentro del marco de referencia que fijan

los objetivos y las restricciones del problema.

La selección del método de solución depende de las características del

modelo. Muchos de los procedimientos de solución tienen la característica de

ser iterativos, es decir buscan la solución en base a la repetición de la misma

regla analítica hasta llegar a ella, si la hay, o cuando menos a una

aproximación.

Validación y Prueba del modelo: El desarrollo de un modelo

matemático grande es análogo en algunos aspectos al desarrollo de un

programa de computadora grande. Cuando se completa la primera versión, es

inevitable que contenga muchas fallas. El programa debe probarse de manera

exhaustiva para tratar de encontrar y corregir tantos problemas como sea

posible. Eventualmente, después de una larga serie de programas mejorados,

el programador (o equipo de programación) concluye que el actual da, en

general, resultados razonablemente válidos. Aunque sin duda quedarán

algunas fallas ocultas en el programa (y quizá nunca se detecten, se habrán

eliminado suficientes problemas importantes como para que sea confiable

utilizarlo).

De manera similar, es inevitable que la primera versión de un modelo

matemático grande tenga muchas fallas. Sin duda, algunos factores

relevantes no se incorporaron al modelo y algunos parámetros no se

estimaron correctamente. Esto no se puede eludir dada la dificultad de la

comunicación y la compresión de todos los aspectos y sutilezas de un

problema operacional complejo, así como la dificultad de recolectar datos

confiables. Por lo tanto, antes de usar el modelo debe probarse

exhaustivamente para intentar identificar y corregir todas las fallas que se

pueda. Con el tiempo, después de una larga serie de modelos mejorados, el

equipo de IO concluye que el modelo considerado produce resultados

razonablemente válidos. Aunque sin duda quedarán algunos problemas

menores ocultos en el modelo (y quizá nunca se detecten), las fallas

importantes se habrán eliminado de manera que ahora es confiable usar el

modelo. Este proceso de prueba y mejoramiento de un modelo para

incrementar su validez se conoce como validación del modelo.

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Un enfoque bastante sistemático y usual para la prueba del modelo es

emplear una prueba retrospectiva. Cuando es aplicable, esta prueba utiliza

datos históricos y reconstruye el pasado para determinar si el modelo y la

solución resultante hubieran tenido un buen desempeño, de haberse usado.

La comparación de la efectividad de este desempeño hipotético con lo que en

realidad ocurrió, indica si el uso del modelo tiende a dar mejoras significativas

sobre la práctica actual. Puede también indicar áreas en las que el modelo

tiene fallas y requiere modificaciones. Lo que es más, el emplear las

alternativas de solución y estimar sus desempeños históricos hipotéticos, se

pueden reunir evidencias en cuanto a lo bien que el modelo predice los

efectos relativos de los diferentes cursos de acción.

Cuando se determina que el modelo y la solución no son válidos, es

necesario iniciar nuevamente el proceso revisando cada una de las fases de la

metodología de la investigación de operaciones.

Implantación de la solución: El paso final se inicia con el proceso de

"vender" los hallazgos que se hicieron a lo largo del proceso a los ejecutivos o

tomadores de decisiones. Una vez superado éste obstáculo, se debe traducir

la solución encontrada a instrucciones y operaciones comprensibles para los

individuos que intervienen en la operación y administración del sistema. La

etapa de implantación de una solución se simplifica en gran medida cuando se

ha propiciado la participación de todos los involucrados en el problema en

cada fase de la metodología. Preparación para la aplicación del modelo

Esta etapa es crítica, ya que es aquí, y sólo aquí, donde se cosecharán

los beneficios del estudio. Por lo tanto, es importante que el equipo de IO

participe, tanto para asegurar que las soluciones del modelo se traduzcan con

exactitud a un procedimiento operativo, como para corregir cualquier defecto

en la solución que salga a la luz en este momento.

El éxito de la puesta en práctica depende en gran parte del apoyo que

proporcionen tanto la alta administración como la gerencia operativa. Es más

probable que el equipo de IO obtenga este apoyo si ha mantenido a la

administración bien informada y ha fomentado la guía de la gerencia durante

el estudio. La buena comunicación ayuda a asegurar que el estudio logre lo

que la administración quiere y por lo tanto merezca llevarse a la práctica.

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También proporciona a la administración el sentimiento de que el estudio es

suyo y esto facilita el apoyo para la implantación.

La etapa de implantación incluye varios pasos. Primero, el equipo de

investigación de operaciones de una cuidadosa explicación a la gerencia

operativa sobre el nuevo sistema que se va a adoptar y su relación con la

realidad operativa. En seguida, estos dos grupos comparten la responsabilidad

de desarrollar los procedimientos requeridos para poner este sistema en

operación. La gerencia operativa se encarga después de dar una capacitación

detallada al personal que participa, y se inicia entonces el nuevo curso de

acción. Si tiene éxito, el nuevo sistema se podrá emplear durante algunos

años. Con esto en mente, el equipo de IO supervisa la experiencia inicial con

la acción tomada para identificar cualquier modificación que tenga que

hacerse en el futuro.

A la culminación del estudio, es apropiado que el equipo de

investigación de operaciones documente su metodología con suficiente

claridad y detalle para que el trabajo sea reproducible. Poder obtener una

réplica debe ser parte del código de ética profesional del investigador de

operaciones.

Áreas de aplicación de la Investigación de Operaciones

Como su nombre lo dice, la investigación de operaciones significa

"hacer investigación sobre las operaciones". Entonces, la investigación de

operaciones se aplica a problemas que se refieren a la conducción y

coordinación de operaciones (o actividades) dentro de una organización. La

naturaleza de la organización es esencialmente inmaterial y, de hecho, la

investigación de operaciones se ha aplicado de manera extensa en áreas tan

diversas como la manufactura, el transporte, el gobierno, las

telecomunicaciones, la planeación financiera, el cuidado de la salud, la milicia

y los servicios públicos, por nombrar sólo unas cuantas. Así, la gama de

aplicaciones es extraordinariamente amplia.

La parte de investigación en el nombre significa que la investigación de

operaciones usa un enfoque similar a la manera en que se lleva a cabo la

investigación en los campos científicos establecidos. En gran medida, se usa el

método científico para investigar el problema en cuestión. (De hecho, en

ocasiones se usa el término ciencias de la administración como sinónimo de

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investigación de operaciones.) En particular, el proceso comienza por la

observación cuidadosa y la formulación del problema incluyendo la recolección

de los datos pertinentes. El siguiente paso es la construcción de un modelo

científico (por lo general matemático) que intenta abstraer la esencia del

problema real. En este punto se propone la hipótesis de que el modelo es una

representación lo suficientemente precisa de las características esenciales de

la situación como para que las conclusiones (soluciones) obtenidas sean

válidas también para el problema real. Después, se llevan a cabo los

experimentos adecuados para probar esta hipótesis, modificarla si es

necesario y eventualmente verificarla. (Con frecuencia este paso se conoce

como validación del modelo.) Entonces, en cierto modo, la investigación e

operaciones incluye la investigación científica creativa de las propiedades

fundamentales de las operaciones. Sin embargo, existe más que esto. En

particular, la IO se ocupa también de la administración práctica de la

organización. Así, para tener éxito, deberá también proporcionar conclusiones

claras que pueda usar el tomador de decisiones cuando las necesite.

Una característica más de la investigación de operaciones es su amplio

punto de vista. Como se ha planteado ya anteriormente, la IO adopta un

punto de vista organizacional, de esta manera, intenta resolver los conflictos

de intereses entre las componentes de la organización de forma que el

resultado sea el mejor para la organización completa. Esto no significa que el

estudio de cada problema deba considerar en forma explícita todos los

aspectos de la organización sino que los objetivos que se buscan deben ser

consistentes con los de toda ella.

Una característica adicional es que la investigación de operaciones

intenta encontrar una mejor solución, (llamada solución óptima) para el

problema bajo consideración. (Decimos una mejor solución y no la mejor

solución porque pueden existir muchas soluciones que empaten como la

mejor.) En lugar de contentarse con mejorar el estado de las cosas, la meta

es identificar el mejor curso de acción posible. Aun cuando debe interpretarse

con todo cuidado en términos de las necesidades reales de la administración,

esta "búsqueda de la optimidad" es un aspecto importante dentro de la

investigación de operaciones.

Todas estas características llevan de una manera casi natural a otra. Es

evidente que no puede esperarse que un solo individuo sea un experto en

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todos lo múltiples aspectos del trabajo de investigación de operaciones o de

los problemas que se estudian; se requiere un grupo de individuos con

diversos antecedentes y habilidades. Entonces, cuando se va a emprender un

estudio de investigación de operaciones completo de un nuevo problema, por

lo general es necesario emplear el empleo de equipo. Este debe incluir

individuos con antecedentes firmes en matemáticas, estadística y teoría de

probabilidades, al igual que en economía, administración de empresas,

ciencias de la computación, ingeniería, ciencias físicas, ciencias del

comportamiento y, por supuesto, en las técnicas especiales de investigación

de operaciones. El equipo también necesita tener la experiencia y las

habilidades necesarias para permitir la consideración adecuada de todas las

ramificaciones del problema a través de la organización.

La investigación de operaciones ha tenido un impacto impresionante en

el mejoramiento de la eficiencia de numerosas organizaciones en todo el

mundo. En el proceso, la investigación de operaciones ha hecho

contribuciones significativas al incremento de la productividad dentro de la

economía de varios países. Hay ahora más de 30 países que son miembros de

la International Federation of Operational Research Societies (IFORS), en la

que cada país cuenta con una sociedad de investigación de operaciones.

Sin duda, el impacto de la investigación de operaciones continuará

aumentando. Por ejemplo, al inicio de la década de los 90, el U.S. Bureau of

Labor Statistics predijo que la IO sería el área profesional clasificada como la

tercera de más rápido crecimiento para los estudiantes universitarios en

Estados Unidos, graduados entre 1990 y 2005. Pronosticó también que, para

el año 2005, habría 100 000 personas trabajando como analistas de

investigación de operaciones.

Principales herramientas de Invetsigación de Operaciones

Cuando hablamos de herramientas en IO, nos estamos refiriendo a

los diferentes modelos teóricos (como por ejemplo, modelos de transporte y

teoría de colas), y a otras disciplinas (como matemática, administración,

economía, etc), que se utilizan como instrumentos de trabajo habitual para

el profesional de la Investigación de Operaciones. Debe quedar claro, sin

embargo, que cada día se agregan más tipos de modelos y otras disciplinas

imposibles de enumerar en este momento.

18

De la misma manera la Investigación de Operaciones es considerada,

ella misma como una herramienta al servicio de otras disciplinas. Es bien

conocido que la Administración de Negocios se ha estado beneficiando

enormemente de la Investigación de Operaciones ahora que se ha iniciado

toda una revolución con el uso de Planificación Estratégica, Reingeniería y

los programas de Calidad Total, para mencionar algunos.

A continuación presentamos una lista, no exhaustiva, de diferentes

tipos de modelos que se podrían considerar como herramientas de la

Investigación de Operaciones, sugerimos al lector revisarla y compararla

con los contenidos de libros clásicos de I.O:

1. Modelos gráficos de programación lineal.

2. Modelos algebraicos de programación lineal.

3. Redes y programación lineal para transporte.

4. Modelos de toma de decisión en condiciones de incertidumbre.

5. Modelos de toma de decisión en condiciones de certeza.

6. Modelos Bayesianos.

7. Procesos estocásticos con cadenas de Markov.

8. Líneas de espera (Teoría de colas).

9. Modelos de optimización con redes para la planeación, ejecución

y control de proyectos.

10. Cadenas de Markov para el reemplazo de activos fijos.

11. Modelos de inventarios determinísticos.

12. Modelos de inventarios probabilísticos.

13. Modelos de programación dinámica y teoría de juegos.

14. Modelos de simulación para la obtención de información experta.

15. Modelos heurísticos de autoaprendizaje y autocorrección.

Modelos

Un modelo de decisión debe considerarse como un vehículo para

resumir un problema de decisión en forma tal que haga posible la

identificación y evaluación sistemática de todas las alternativas de decisión

del problema. Después se llega a una decisión seleccionando la alternativa

que se juzgue sea la mejor entre todas las opciones disponibles.

19

Una definición simple pero que toma la esencia de lo que es un

Modelo, es que éste es una abstracción selectiva de la realidad. Es decir que

un modelo es una representación que idealiza simplifica y abstrae la

realidad. En otras palabras podemos decir que un modelo es producto de

una abstracción de un sistema real, en el cual se eliminan las complejidades

y se hacen suposiciones pertinentes, llevando al mismo tiempo aplicaciones

de técnicas matemáticas, lo que conlleva a la obtención de una

representación simbólica del mismo, tal como se muestra en la siguiente

figura.

El término Modelo reviste especial importancia en el campo de la

Investigación de Operaciones, puesto que la misma se encarga de la toma

de decisiones óptimas sobre problemas que ocurren en las organizaciones a

través del empleo de Modelos de naturaleza cuantitativa. Así tenemos

entonces que los Modelos en Investigación de Operaciones son:

Modelos de Decisión

El modelo de decisión debe contener tres elementos:

� Alternativas de decisión, de las cuales se hace una

selección.

� Restricciones, para excluir alternativas infactibles.

� Criterios para evaluar y clasificar alternativas factibles.

Modelos Matemáticos

20

Se emplea cuando la función objetivo y las restricciones del modelo

se pueden expresar en forma cuantitativa o matemática como funciones de

las variables de decisión.

Modelos de Simulación

Los modelos de simulación difieren de los matemáticos en que las

relación entre la entrada y la salida no se indican en forma explícita. En

cambio, un modelo de simulación divide el sistema representado en

módulos básicos estructurados que después se enlazan entre si vía

relaciones lógicas bien definidas. Por lo tanto, las operaciones de cálculos

pasarán de un módulo a otro hasta que se obtenga un resultado de salida.

Los modelos de simulación cuando se comparan con modelos

matemáticos; ofrecen mayor flexibilidad al representar sistemas complejos,

pero esta flexibilidad no está libre de inconvenientes. La elaboración de

este modelo suele ser costoso en tiempo y recursos.

Modelos de Optimización Restringida

Este tipo de Modelos entran en la clasificación de Modelos

Matemáticos, en estos se busca maximizar o minimizar una función

específica llamada objetivo, la cual depende de un número finito de

variables, en un modelo de optimización restringida, éstas se encuentran

relacionadas a través de una o más restricciones. Este tipo de Modelos

tienen la siguiente estructura:

Optimizar z = f(x1,x2,..,xn) (1)

Con las condiciones:

g1(x1,x2,..,xn) b1

g2(x1,x2,..,xn) b2

...................... =

.....................

gm(x1,x2,..,xn) ...bm

Cada una de las m relaciones emplea uno de los signos , , =

respecto de las constantes bi , i = 1,..,m. Los programas matemáticos sin

restricciones se producen cuando todas las gi y las bi son 0 i = 1,..,m.

21

Un modelo matemático comprende principalmente tres conjuntos

básicos de elementos. Estos son: 1) variables y parámetros de decisión, 2)

restricciones y 3) función objetivo.

1. Variables y parámetros de decisión. Las variables de

decisión son las incógnitas (o decisiones) que deben determinarse

resolviendo el modelo. Los parámetros son los valores conocidos que

relacionan las variables de decisión con las restricciones y función

objetivo. Los parámetros del modelo pueden ser determinísticos o

probabilísticos.

2. Restricciones. Para tener en cuenta las limitaciones

tecnológicas, económicas y otras del sistema, el modelo debe incluir

restricciones (implícitas o explícitas) que restrinjan los valores de las

variables de decisión a un rango de valores factibles.

3. Función objetivo. La función objetivo define la medida de

efectividad del sistema como una función matemática de las variables

de decisión.

La solución óptima será aquella que produzca el mejor valor de la

función objetivo, sujeta a las restricciones.

Introducción a la Programación Lineal

Muchas personas clasifican el desarrollo de la programación lineal entre

los avances científicos más importantes de mediados del siglo XX, su impacto

desde 1950 ha sido extraordinario. En la actualidad es una herramienta de

uso normal que ha ahorrado miles o millones de dólares a muchas compañías

o negocios, incluyendo empresas medianas en los distintos países

industrializados del mundo; su aplicación a otros sectores de la sociedad se

está ampliando con rapidez. Una proporción muy grande de los cálculos

científicos en computadoras está dedicada al uso de la programación lineal.

¿Cuál es la naturaleza de esta notable herramienta y qué tipos de

problemas puede manejar?. Expresado brevemente, el tipo más común de

aplicación abarca el problema general de asignar recursos limitados entre

actividades competitivas de la mejor manera posible (es decir, en forma

óptima). Con más precisión, este problema incluye elegir el nivel de ciertas

actividades que compiten por recursos escasos necesarios para realizarlas.

22

Después, los niveles de actividad elegidos dictan la cantidad de cada recurso

que consumirá cada una de ellas. La variedad de situaciones a las que se

puede aplicar esta descripción es sin duda muy grande, y va desde la

asignación de instalaciones de producción a los productos, hasta la asignación

de los recursos nacionales a las necesidades de un país; desde la selección de

una cartera de inversiones, hasta la selección de los patrones de envío; desde

la planeación agrícola, hasta el diseño de una terapia de radiación, etc. No

obstante, el ingrediente común de todas estas situaciones es la necesidad de

asignar recursos a las actividades eligiendo los niveles de las mismas.

La programación lineal utiliza un modelo matemático para describir el

problema. El adjetivo lineal significa que todas las funciones matemáticas del

modelo deber ser funciones lineales. En este caso, las palabra programación

no se refiere a programación en computadoras; en esencia es un sinónimo de

planeación. Así, la programación lineal trata la planeación de las actividades

para obtener un resultado óptimo, esto es, el resultado que mejor alcance la

meta especificada (según el modelo matemático) entre todas las alternativas

de solución.

Aunque la asignación de recursos a las actividades es la aplicación más

frecuente, la programación lineal tiene muchas otras posibilidades, de hecho,

cualquier problema cuyo modelo matemático se ajuste al formato general del

modelo de programación lineal es un problema de programación lineal. Aún

más, se dispone de un procedimiento de solución extraordinariamente

eficiente llamado método simplex, para resolver estos problemas, incluso los

de gran tamaño. Estas son algunas causas del tremendo auge de la

programación lineal en las últimas décadas.

Los términos clave en los Modelos de Programación Lineal son recursos

y actividades. Algunos ejemplos de recursos son dinero y tipos especiales de

maquinaria, equipo, vehículos y personal. Los ejemplos de actividades

incluyen inversión en proyectos específicos, publicidad en un medio

determinado y el envío de bienes de cierta fuente a cierto destino. En

cualquier aplicación de programación lineal, puede ser que todas las

actividades sean de un tipo general (como cualquiera de los ejemplos), y

entonces cada una correspondería en forma individual a las alternativas

específicas dentro de esta categoría general.

23

El tipo más usual de aplicación de programación lineal involucra la

asignación de recursos a ciertas actividades. La cantidad disponible de cada

recurso está limitada, de forma que deben asignarse con todo cuidado. La

determinación de esta asignación incluye elegir los niveles de las actividades

que lograrán el mejor valor posible de la medida global de efectividad.

Se llama programación lineal al conjunto de técnicas

matemáticas que pretenden resolver la situación siguiente:

Optimizar (maximizar o minimizar) una función objetivo, función

lineal de varias variables, sujeta a:

una serie de restricciones, expresadas por inecuaciones lineales.

Un problema de programación lineal en dos variables, tiene la

siguiente formulación estándar:

pudiendo cambiarse maximizar por minimizar, y el sentido de las

desigualdades.

En un problema de programación lineal intervienen:

• La función f(x,y) = ax + by + c llamada función

objetivo y que es necesario optimizar. En esa expresión x e y son

las variables de decisión, mientras que a, b y c son constantes.

• Las restricciones que deben ser inecuaciones lineales.

Su número depende del problema en cuestión. El carácter de

desigualdad viene impuesto por las limitaciones, disponibilidades o

necesidades, que son: inferiores a ... ( menores: < o ); como

mínimo de ... (mayores: > o ) . Tanto si se trata de maximizar

como de minimizar, las desigualdades pueden darse en cualquiera de

los dos sentidos.

• Al conjunto de valores de x e y que verifican todas y

cada una de las restricciones se le denomina conjunto (o región )

factible. Todo punto de ese conjunto puede ser solución del

problema; todo punto no perteneciente a ese conjunto no puede ser

24

solución. En el apartado siguiente veremos como se determina la

región factible.

• La solución óptima del problema será un par de valores

(x0, y0) del conjunto factible que haga que f(x,y) tome el valor

máximo o mínimo.

Ciertos símbolos se usan de manera convencional para denotar las

distintas componentes de un modelo de programación lineal. Estos símbolos

se enumeran a continuación, junto con su interpretación para el problema

general de asignación de recursos a actividades.

Z = Valor de la función objetivo o de la medida global de

efectividad

xj = Variable de decisión o nivel de la actividad j (para j =

1,2,...,n)

cj = Coeficiente objetivo

bi = Vector disponibilidad o cantidad de recurso i disponible

para asignar a las actividades (para i = 1,2,...,m)

aij = Coeficiente tecnológico o cantidad del recurso i

consumido por cada unidad de la actividad j

El modelo establece el problema en términos de tomar decisiones sobre

los niveles de las actividades, por lo que x1,x2,....,xn se llaman variables de

decisión. Los valores de cj, bi y aij (para i = 1,2,....,m y j = 1,2,....,n) son las

constantes de entrada al modelo. Las cj, bi y aij también se conocen como

parámetros del modelo.

Formulación de Modelos de Programación Lineal

Para formular un problema de PL, es recomendable seguir los

siguientes lineamientos generales después de leer con atención el

enunciado del problema varias veces.

Todo programa lineal consta de cuatro partes: un conjunto de

variables de decisión, los parámetros, la función objetivo y un conjunto de

restricciones. Al formular un determinado problema de decisión en forma

matemática, debe practicar la comprensión del problema (es decir, formular

25

un Modelo Mental) leyendo detenidamente una y otra vez el enunciado del

problema. Mientras trata de comprender el problema, formúlese las

siguientes preguntas generales:

1. ¿Cuáles son las variables de decisión? Es decir, ¿cuáles

son las entradas controlables? Defina las variables de decisión con

precisión utilizando nombres descriptivos. Recuerde que las entradas

controlables también se conocen como actividades controlables,

variables de decisión y actividades de decisión.

2. Cuáles son los parámetros? Vale decir ¿cuáles son las

entradas no controlables? Por lo general, son los valores numéricos

constantes dados. Defina los parámetros con precisión utilizando

nombres descriptivos.

3. ¿Cuál es el objetivo? ¿Cuál es la función objetivo? Es

decir, ¿qué quiere el dueño del problema? ¿De qué manera se

relaciona el objetivo con las variables de decisión del dueño del

problema? ¿Es un problema de maximización o minimización? El

objetivo debe representar la meta del decisor.

4. ¿Cuáles son las restricciones? Es decir, ¿qué

requerimientos se deben cumplir? ¿Debería utilizar un tipo de

restricción de desigualdad o igualdad? ¿Cuáles son las conexiones

entre las variables? Escríbalas con palabras antes de volcarlas en

forma matemática.

Recuerde que la región factible tiene poco o nada que ver con la

función objetivo (minim. o maxim.). Estas dos partes en cualquier

formulación de PL generalmente provienen de dos fuentes distintas. La

función objetivo se establece para cumplir con el deseo (objetivo) del

decisor mientras que las restricciones que forman la región factible

generalmente provienen del entorno del decisor que fija algunas

limitaciones / condiciones para lograr su objetivo.

A continuación, se incluye un problema ilustrativo muy sencillo. Sin

embargo, el abordaje del problema es igual para una gran variedad de

problemas de toma de decisión, mientras que el tamaño o la complejidad

26

pueden variar. El primer ejemplo es un problema de mix de productos y el

segundo es un problema de mezcla.

Ejemplo No. 1: El Problema del Carpintero

Durante un par de sesiones de tormenta de ideas con un carpintero

(nuestro cliente), éste nos comunica que sólo fabrica mesas y sillas y que

vende todas las mesas y las sillas que fabrica en un mercado. Sin embargo,

no tiene un ingreso estable y desea optimizar esta situación.

El objetivo es determinar cuántas mesas y sillas debería fabricar para

maximizar sus ingresos netos. Comenzamos concentrándonos en un

horizonte de tiempo, es decir, un plazo de planificación, , para revisar

nuestra solución semanalmente, si fuera necesario. Para saber más acerca

de este problema, debemos ir al negocio del carpintero y observar lo que

sucede y medir lo que necesitamos para para formular (para crear un

modelo de) su problema. Debemos confirmar que su objetivo es maximizar

sus ingresos netos. Debemos comunicarnos con el cliente.

El problema del carpintero se trata de determinar cuántas mesas y

sillas debe fabricar por semana; pero primero se debe establecer una

función objetivo La función objetivo es: 5X1 + 3X2, donde X1 y X2

representan la cantidad de mesas y sillas; y 5 y 3 representan los ingresos

netos (por ejemplo, en dólares o décimas de dólares) de la venta de una

mesa y una silla, respectivamente. Los factores limitantes, que

normalmente provienen del exterior, son las limitaciones de la mano de

obra (esta limitación proviene de la familia del carpintero) y los recursos de

materia prima (esta limitación proviene de la entrega programada). Se

miden los tiempos de producción requeridos para una mesa y una silla en

distintos momentos del día y se calculan en 2 horas y 1 hora,

respectivamente. Las horas laborales totales por semana son sólo 40. La

materia prima requerida para una mesa y una silla es de 1 y 2 unidades,

respectivamente. El abastecimiento total de materia prima es de 50

unidades por semana. En consecuencia, la formulación de PL es la

siguiente:

Maximizar 5 X1 + 3 X2

27

Sujeta a:

2 X1 + X2 <= 40 restricción de mano de obra

X1 + 2 X2 <= 50 restricción de materiales

Tanto X1 como X2 son no negativas.

Este es un modelo matemático para el problema del carpintero. Las

variables de decisión, es decir, las entradas controlables son X1, y X2. La

salida o el resultado de este modelo son los ingresos netos totales 5 X1 + 3

X2. Todas las funciones empleadas en este modelo son lineales (las

variables de decisión están elevadas a la primera potencia). El coeficiente

de estas restricciones se denomina denomina Factores Tecnológicos

(matriz). El período de revisión es de una semana, un período conveniente

dentro del cual es menos probable que cambien (fluctúen) las entradas

controlables (todos los parámetros tales como 5, 50, 2,..). Incluso en un

plazo de planificación tan corto, debemos realizar el análisis what-if o de

hipótesis para responder a cualquier cambio en estas entradas a los efectos

de controlar el problema, es decir, actualizar la solución prescripta.

Nótese que dado que el Carpintero no va a ir a la quiebra al final del

plazo de planificación, agregamos las condiciones que tanto X1 como X2

deben ser no negativas en lugar de los requerimientos que X1 y X2 deben

ser números enteros positivos. Recuerde que las condiciones de no

negatividad también se denominan "restricciones implícitas". Nuevamente,

un Programa Lineal funcionaría bien para este problema si el Carpintero

continúa fabricando estos productos. Los artículos parciales simplemente se

contarían como trabajos en proceso y finalmente se transformarían en

productos terminados, en la siguiente semana.

Ejemplo No. 2: Un Problema de Mezcla

El taller LUBEOIL se especializa en cambios de aceite del motor y

regulación del sistema eléctrico. El beneficio por cambio del aceite es $7 y

de $15 por regulación. Joe tiene un cliente fijo con cuya flota, le garantiza

30 cambios de aceite por semana. Cada cambio de aceite requiere de 20

28

minutos de trabajo y $8 de insumos. Una regulación toma una hora de

trabajo y gasta $15 en insumos. LUBEOIL paga a los mecánicos $10 por

hora de trabajo y emplea actualmente a dos de ellos, cada uno de los

cuales labora 40 horas por semana. Las compras de insumos no pueden

alcanzar un valor mayor de $1.750 semanales. LUBEOIL desea maximizar

el beneficio total. Formule el problema.

Esto es una pregunta de programación linear. Una porción de un

cambio del aceite o del ajuste no es factible.

X1 = Cambios del aceite

X2 = Regulación de Sistema Eléctrico

Maximizar 7X1 + 15X2

Sujeta a:

X1 >= 30 Cuenta De la Flota

20X1 + 60X2 <= 4800 Tiempo de Trabajo

8X1 + 15X2 <= 1750 Costo de Materias Primas

X1 >=0, X2 >= 0.

Supuestos de la programación lineal.

Existe un número de suposiciones realizadas en cada modelo. La

utilidad de un modelo está directamente relacionada con la realidad de los

supuestos.

El primer supuesto tiene que ver con la forma lineal de las

funciones. Ya que el objetivo es lineal, la contribución al objetivo de

cualquier decisión es proporcional al valor de la variable de decisión.

Producir dos veces más de producto producirá dos veces más de ganacia,

contratando el doble de páginas en las revistas doblará el costo relacionado

con las revistas. Es una Suposición de Proporción.

Además, la contribución de una variable a la función objetivo

es independiente de los valores de las otras variables. La ganancia con una

computadora Notebook es de determinadas unidades monetarias,

29

independientemente de cuantas computadoras Desktop se producen. Este

es un Supuesto de Adición.

Análogamente, ya que cada restricción es lineal, la

contribución de cada variable al lado izquierdo de cada restricción es

proporcional al valor de la variable e independiente de los valores de

cualquier ora variable.

Estas suposiciones son bastante restrictivas. Veremos, sin

embargo, que ser claros y precisos en la formulación del modelo puede

ayudar a manejar situaciones que parecen en un comienzo como lejanos a

estos supuestos.

El siguiente supuesto es la Suposición de ser Divisible. Es

posible tomar una fracción de cualquier variable. Por ejemplo, en un

problema de marketing, qué significa comprar 2.67 avisos en la televisión?.

Es posible que la suposición de ser divisible sea insatisfecha en este

ejemplo. O puede ser que tales unidades de 2.67 avisos correspondan a

2,666.7 minutos de avisos, en cuyo caso redondeando la solución serían

2,667 minutos con una mínima duda que esté cercana a la solución óptima.

Si la suposición de divisible no es válida, entonces se usará la técnica de

Programación Lineal Entera.

La última suposición es el Supuesto de Certeza. La

Programación Lineal no permite incertidumbre en los valores.

Será difícil que un problema cumpla con todas las

suposiciones de manera exacta. Pero esto no negará la factibilidad de uso

del modelo. Un modelo puede ser aún útil aunque difiera de la realidad, si

se es consistente con los requerimientos más estrictos dentro del modelo y

se tiene claras sus limitaciones al interpretar los resultados.

Existen limitaciones prácticas para el uso de la PL. Una se

relaciona con los cálculos. En general se necesita una computadora.

Desafortunadamente, las calculadoras, aun las programables, son poco

útiles, puesto que la PL tiene necesidad de gran cantidad de memoria o

almacenamiento. Si no se tiene acceso a una computadora, se estará

limitado a problemas muy sencillos. La otra limitación se refiere al costo de

formular un problema de PL. En teoría, podría usarse PL, por ejemplo, para

hacer las compras semanales de abarrotes. Sin embargo, sería necesario

30

conocer todas las compras posibles que pueden realizarse (éstas serían las

variables), además de cada restricción como sabor, número de comidas,

vitaminas y proteínas. Es obvio que el costo de obtener todos estos datos

excede lo que se podría ahorrar si se hicieran las compras óptimas. Antes

de emprender una aplicación de PL, debe considerarse la disponibilidad y el

costo de los datos necesarios.

Ejemplos de Formulación de Modelos de Programación Lineal

Ejemplo 1: Decisiones de Fabricación o Compra

Ejemplo: EL PROBLEMA DE MEZCLA DE PRODUCTOS DE BLUBBERMAID,

INC.

BlubberMaid, Inc, fabrica tres productos de caucho: Airtex (material

esponjoso), Extendex (material elástico) y Resistex (material rígido). Los

tres productos requieren los mismos tres polímeros químicos y una base. La

cantidad de cada ingrediente usada por libra del producto final se muestra

en la tabla…

BlubberMaid, Inc, tiene el compromiso de producir al menos 1000 libras de

Airtex, 500 libras de Extendex y 400 libras de Resistex para la próxima

semana, pero la gerencia de la compañía sabe que puede vender más de

cada uno de los tres productos. Los inventarios actuales de los ingredientes

son 500 libras del polímero A, 425 libras del polímero B, 650 libras del

polímero C y 1100 libras de base. Cada libra de Airtex produce a la

compañía una ganancia de $7, cada libra de Extendex una ganancia de $7 y

cada libra de Resistex una ganancia de $6. Como gerente del departamento

de producción, usted necesita determinar un plan de producción óptimo

para esta semana.

PRODUCTO POLÍMERO A POLÍMERO B POLÍMERO C BASE

Airtex 4 2 4 6

Extendex 3 2 2 9

Resistex 6 3 5 2

TABLA. INGREDIENTES USADOS EN LA PRODUCCION DE AIRTEX, EXTENDEX Y RESISTEX

INGREDIENTE (oz/lb de producto)

31

Solución:

� Identificación de las variables de decisión.

Siguiendo los pasos de la formulación de problemas, primero identifique las

variables de decisión. Pregúntese lo que puede controlar y la información

que constituye un plan de producción, esto lo debe llevar a identificar las

siguientes variables:

A: el número de libras de Airtex por producir esta semana

E: el número de libras de Extendex por producir esta semana

R: el número de libras de Resistex por producir esta semana

� Identificación de la función objetivo.

Para BlubberMaid, el objetivo lógico es determinar cuánto fabricar de cada

producto para maximizar la ganancia total. Al aplicar la técnica de

descomposición se llega a:

Ganancia Total=ganancia de Airtex+ ganancia de Extendex+ ganancia de

Resistex

Como cada libra de Airtex produce una ganancia de $7, A libras de Airtex

produce $7 A. De manera similar, Extendex y Resistex contribuyen con $7E

y $6R, respectivamente, a la ganancia total. En términos de las variables de

decisión y de los datos de ganancia, la función objetivo es:

Maximizar 7 A + 7 E + 6 R

� Identificación de las restricciones

Aplicar la técnica de agrupamiento lo debe conducir a identificar los

siguientes tres grupos de restricciones:

1. Restricciones de recursos para asegurar que no se usen más de los

tres polímeros y la base que están disponibles.

2. Restricciones de demanda para asegurar que se cumplan los

compromisos de la compañía.

32

3. Restricciones lógicas para especificar que todas las cantidades de

producción son no negativas.

RESTRICCIONES DE RECURSOS

Este grupo consiste en cuatro restricciones: una para cada uno de los

tres polímeros y una para la base. Para la disponibilidad limitada de 500

libras del polímero A:

Cantidad empleada del polímero A ≤ 500 libras

El uso de la descomposición lleva a:

Cantidad empleada del polímero A= (cantidad empleada para producir A

libras de Airtex) + (cantidad empleada para producir E libras de Extendex)

+ (cantidad empleada para producir R libras de Resistex)

Para determinar la cantidad del polímero A usada en la fabricación de cada

producto, trabaje con un ejemplo específico. Por ejemplo, fije A=100,

E=300 y R=200. De acuerdo con los datos de la tabla 1:

Cantidad del polímero A empleada en Airtex = 4(100) = 400

Cantidad del polímero A empleada en Extendex = 3(300) = 900

Cantidad del polímero A empleada en Resistex = 6(200) = 1200

Entonces, en términos de las variables de decisión, podría pensar que la

restricción apropiada para el polímero A es:

4 A + 3 E + 6 R ≤ 500

Sin embargo, esta restricción no es correcta. La razón es que las unidades

en la expresión de la izquierda están en onzas, pero las unidades de la

derecha están en libras. Esta discrepancia puede corregirse convirtiendo las

33

unidades de cualquier lada a las del otro lado. Por ejemplo, al convertir las

500 libras disponibles del polímero A a 800 onzas (1 libra es igual a 16

onzas) se obtiene la siguiente restricción:

4 A + 3 E + 6 R ≤ 8000 (polímero A)

Siguiendo una lógica similar para los tres resultados de recursos restantes

en estas restricciones:

2 A + 2 E + 3 R ≤ 6800 (polímero B)

4 A + 2 E + 5 R ≤ 10400 (polímero C)

6 A + 9 E + 2 R ≤ 17600 (base)

RESTRICCIONES DE DEMANDA

Este grupo consiste en tres restricciones: una para el requerimiento mínimo

sobre la cantidad de cada uno de los tres productos. Estas restricciones son

A ≥ 1000 (Airtex)

E ≥ 500 (Extendex)

R ≥ 400 (Resistex)

RESTRICCIONES LÓGICAS

Como todas las cantidades de producción deben ser no negativas, se

necesitan las siguientes restricciones lógicas:

A, E, R ≥ 0

� Formulación completa y solución del problema de mezcla de

productos de BlubberMaid, Inc.

Como gerente del departamento de producción, usted junta todas las

piezas, lo que resulta en el siguiente modelo matemático del problema de

programación lineal de BlubberMaid, Inc.


Dependiendo de

34


A ≥ 1000 (Airtex)




A E R ≥ 0

� Formulación completa y solución del problema de mezcla de

productos de BlubberMaid, Inc.

Como gerente del departamento de producción, usted junta todas las

piezas, lo que resulta en el siguiente modelo matemático del problema de

programación lineal de BlubberMaid, Inc.


Dependiendo de


A ≥ 1000 (Airtex)




A E R ≥ 0

Ejemplo 2: Decisiones de Fabricación o Compra

Ejemplo: EL PROBLEMA DE HACER O COMPRAR DE MTV STEEL COMPANY

35

MTV Steel Company produce tres tamaños de tubos: A, B y C, que son

vendidos, respectivamente en $10, $12 y $9 por pie. Para fabricar cada pie

del tubo A se requieren 0.5 minutos de tiempo de procesamiento sobre un

tipo particular de máquina de modelado. Cada pie del tubo B requiere 0.45

minutos y cada pie del tubo C requiere 0.6 minutos. Después de la

producción, cada pie de tubo, sin importar el tipo, requiere 1 onza de

material de soldar. El costo total se estima en $3, $4 y $4 por pie de los

tubos A, B y C, respectivamente.

Para la siguiente semana, MTV Steel ha recibido pedidos excepcionalmente

grandes que totalizan 2000 pies del tubo A, 4000 pies del tubo B y 5000

pies del tubo C. Como sólo se disponen de 40 horas de tiempo de máquina

esta semana y sólo se tienen en inventario 5500 onzas de material de

soldar, el departamento de producción no podrá satisfacer esta demanda,

que requiere un total de 97 horas de tiempo de máquina y 11000 onzas de

material de soldar.

No se espera que continúe este alto nivel de demanda. En vez de expandir

la capacidad de las instalaciones de producción, la gerencia de MTV Steel

está considerando la compra de algunos de estos tubos a pro-veedores de

Japón a un costo de entrega de $6 por pie del tubo A, $6 por pie del tubo B

y $7 por pie del tubo C. Estos diversos datos se resumen en la tabla 2.

Como gerente del departamento de producción, se le ha pedido hacer

recomendaciones respecto a la cantidad de producción de cada tipo de tubo

y la cantidad de compra a Japón para satisfacer la demanda y maximizar las

ganancias de la compañía.

Solución:

� Identificación de las variables de decisión

PRECIO DE DEMANDA TIEMPO DE MATERIAL COSTO DE COSTO DE

TIPO VENTA MÁQUINA PARA SOLDARPRODUCCIÓN COMPRA

($/ft) (ft) (min/ft) (oz/ft) ($/ft) ($/ft)

A 10 2000 0.50 1 3 6

B 12 4000 0.45 1 4 6

C 9 5000 0.60 1 4 7

40 hr 5500 oz

TABLA 2. DATOS PARA EL PROBLEMA DE HACER O COMPRAR DE MTV STEEL

Cantidad disponible

36

En este problema, tiene libertad para elegir cuántos pies de cada tipo de

tubo producir y cuántos pies comprar a Japón. Esto da como resultado las

siguientes seis variables de decisión:

AP= el número de pies de tubo de tipo A por producir

BP= el número de pies de tubo de tipo B por producir

CP= el número de pies de tubo de tipo C por producir

AJ= el número de pies de tubo de tipo A que comprar a Japón

BJ= el número de pies de tubo de tipo B que comprar a Japón

CJ= el número de pies de tubo de tipo C que comprar a Japón


Como se estableció en la descripción del problema, el objetivo global es

maximizar las ganancias totales. Si aplicamos la descomposición se obtiene:

Ganancias Totales= (ganancias de la producción)+ (ganancias de los

productos comprados a Japón)

Si aplicamos la descomposición a las ganancias de la producción tenemos:

Ganancias de la producción= (ganancias de producir el tubo de tipo A)+

(ganancias de producir el tubo de tipo B)+

(ganancias de producir el tubo de tipo C)

Cada una de estas ganancias, a su vez, se calcula como el ingreso menos el

costo por pie. Por ejemplo, como los tubos del tipo A se venden a $10 por

pie pero su producción cuesta $3, la ganancia neta es $7 por pie. Por tanto,

la ganancia por producir AP pies de tubo del tipo A es 7 AP. Un cálculo

similar para los tubos de los tipos B y C tiene como resultado:

Ganancias de la producción= 7 AP+ 8 BP + 5 CP

Aplicando una descomposición y lógica similares a los productos comprados

a Japón se tiene:

37

Ganancias de los productos comprados a Japón= 4 AJ+ 6 BJ+ 2

CJ

Como esperaría, cada pie de tubo producido tiene como resultado una

ganancia más alta que cada pie de tubo comprado del proveedor externo.

La combinación de estos dos componentes de ganancia resulta en la

siguiente función objetivo global:

Maximizar 7 AP+ 8 BP+ 5 CP+ 4 AJ+ 6 BJ+ 2

CJ

La aplicación de la descomposición lleva a:

Tiempo de máquina= (tiempo de máquina usado para producir tubo de tipo

A)+

total usado (tiempo de máquina usado para producir tubo de

tipo B)+

(tiempo de máquina usado para producir tubo de

tipo C)

Recuerde de la tabla 2 que cada pie del tubo A requiere 0.5 minutos de

tiempo de máquina. Por tanto, para producir AP pies se requiere 0.5AP

minutos. De manera análoga, cada pie de tubo B requiere 0.45 minutos y

cada pie de tubo C requiere 0.6 minutos. La restricción es:

0.5AP+ 0.45BP+ 0.6CP ≤ 40

Sin embargo, observe que la cantidad del lado izquierdo se expresa en

minutos, mientras que la de la derecha se expresa en horas. Una forma de

corregir esta inconsistencia es convertir 40 horas en 40 * 60= 2400

minutos:

0.5AP+ 0.45BP+ 0.6CP ≤ 2400 (tiempo de máquina)

Regresando a la disponibilidad de material para soldar, la restricción

asociada es:

38

El material para soldar total no debe exceder las 5500 onzas

Aplicando la descomposición y recordando que cada pie de tubo, sin

importar el tipo, requiere 1 onza de material para soldar, esta restricción de

recursos es:

AP+ BP+ CP ≤ 5500 (material para

soldar)


Este grupo está constituido por tres restricciones, una para la demanda

asociada con cada tipo de tubo. Para el tubo A:

Número total de pies del tubo de tipo A= 2000 pies

Aplicando la descomposición:

Número total de pies =(número de pies de tipo A producidos)+

del tubo de tipo A (número de pies de tipo A comprados a

Japón)

= AP+ AJ

En consecuencia, la restricción de demanda del tubo de tipo A es:

AP+ AJ = 2000 (demanda del tipo A)

Una lógica similar da como resultado las siguientes restricciones de

demanda para los tubos de tipo B y C:

BP+ BJ = 4000 (demanda del tipo B)

CP+ CJ = 5500 (demanda del tipo C)


La única restricción lógica en este problema es que todas las variables

deben ser no negativas.

39

� Formulación completa y solución del problema de fabricación o

compra de MTV Steel Company

Una vez que se unen todas las piezas, da por resultado el modelo de

programación lineal siguiente para el problema de MTV Steel Company:

Maximizar 7AP+ 8BP+ 5CP+ 4AJ+ 6BJ+ 2CJ

Dependiendo de


AP + AJ = 2000 (demanda del

tipo A)

BP + BJ = 4000 (demanda del

tipo B)

CP +CJ = 5500 (demanda del

tipo C)


0.5AP+ 0.45BP+ 0.6CP ≤ 2400 (tiempo de máquina)

AP+ BP+ CP ≤ 5500 (tiempo para soldar)


AP , BP , CP , AJ , BJ , CJ ≥ 0

La solución óptima a este problema, obtenida con un paquete de software

de programación lineal, es:

AP = 2000.000

BP = 0.000

CP = 2333.333

AJ = 0.000

BJ = 4000.000

CJ = 2666.667

40

Con una ganancia neta de $55000. En otras palabras, MTV Steel debería

producir 2000 pies de tubo de tipo A y 2333.333 pies de tubo C e importar

4000 pies de tubo de tipo B y 2666.667 pies de tubo de tipo C de Japón.

Ejemplo 3: Problemas de Dietas

Ejemplo: EL PROBLEMA DE DIETAS DEL HOSPITAL GENERAL MOUNTAIN

VIEW

El Departamento de Nutrición del Hospital General Mountain View prepara

30 menús de cena, uno para cada día del mes. Una comida consiste en

espagueti, pavo, papas en escalope, espinacas y pastel de manzana. Como

director del Departamento de Nutrición, usted ha determinado que esta

comida debe proporcionar 63000 miligramos (mg) de proteínas, 10 mg de

hierro, 15 mg de niacina, 1 mg de tiamina y 50 mg de vitamina C. Cada 100

gramos de esta comida proporciona la cantidad de cada nutriente y grasas

indicadas en la tabla 3.

Para evitar la demasiada cantidad de un tipo de comida, no debe incluirse

en ella más de 300 gramos de espagueti, 300 gramos de pavo, 200 gramos

de papas, 100 gramos de espinacas y 100 gramos de pastel de manzana.

Como director del departamento de nutrición, usted desea determinar la

composición de una comida que satisface los requerimientos nutricionales y

proporciona la mínima cantidad de grasas.

Solución:


PROTEÍNAS HIERRO TIACINA TIAMINA VITAMINA C GRASA

Espagueti 5000 1.1 1.4 0.18 0.0 5000

Pavo 29300 1.8 5.4 0.06 0.0 5000

Papas 5300 0.5 0.9 0.06 10.0 7900

Espinacas 3000 2.2 0.5 0.07 28.0 300

Pastel de manzana 4000 1.2 0.6 0.15 3.0 14300

TABLA 3. NUTRIENTES PROPORCIONADOS POR LAS DISTINTAS COMIDAS

NUTRIENTE (mg/100g)

41

En este problema, usted puede controlar la cantidad de cada uno de los

cinco alimentos que incluir en la comida, lo que lo lleva a definir las

siguientes cinco variables:

SPAG= el número de 100 gramos de espagueti que incluir

PAVO= el número de 100 gramos de pavo que incluir

PAPA= el número de 100 gramos de papas que incluir

SPIN= el número de 100 gramos de espinacas que incluir

MANZ= el número de 100 gramos de espinacas que incluir

Por conveniencia, se ha escogido que las unidades de las variables se den

en cientos de gramos porque ésas son las unidades usadas en la tabla 3.



minimizar el contenido de grasas totales de la dieta. Aplicando los

resultados de descomposición en lo siguiente:

Contenido de grasas totales= (grasa aportada por el espagueti)+

(grasa aportada por el pavo)+

(grasa aportada por las papas)+

(grasa aportada por las espinacas)+

(grasa aportada por el pastel de manzana)

Si usa los datos de la última columna de la tabla 3 y trabaja con un ejemplo

específico debe llegar a identificar el siguiente objetivo global:

Minimizar 5000SPAG+ 5000PAVO+ 7900PAPA+ 300SPIN+

14300MANZ


La aplicación de la técnica de agrupamiento lo conduce a los siguientes tres

grupos de restricciones:

42

1. Restricciones de nutrientes para asegurar que la comida proporciona

la cantidad mínima de cada nutriente.

2. Restricciones de límite para asegurar que no se incluya demasiada

cantidad de un tipo de comida (por ejemplo, solicitar a un paciente

que coma 1000 gramos de espinacas).

3. Restricciones lógicas para asegurar que todas las variables sean no

negativas.

REQUERIMIENTOS DE NUTRIENTES

Este grupo consiste en cinco restricciones, una para asegurar la cantidad

mínima de cada uno de los cinco nutrientes. Considere el requerimiento de

proteínas:

Cantidad total de proteínas en la comida ≥ 63000 mg

Aplicando la descomposición:

Cantidad total de = (cantidad de proteínas del espagueti)+

Proteínas en la comida (cantidad de proteínas del pavo)+

(cantidad de proteínas de las papas)+

(cantidad de proteínas de las espinacas)+

(cantidad de proteínas del pastel de

manzana)

Refiérase a la primera columna de la tabla 3. Cada 100 gramos de

espagueti contienen 5000 mg de proteínas. Por tanto, SPAG cien gramos de

esta comida proporciona 5000SPAG mg de proteínas a la comida. De

manera similar, usando los datos restantes de la primera columna de la

tabla 3 da como resultado la siguiente restricción para proteínas:

5000SPAG+ 29300PAVO+ 5300PAPA+ 3000SPIN+ 4000MANZ ≥ 63000

(proteínas)

Aunque las unidades de las variables se expresan en cientos de gramos, las

unidades de ambos lados de la restricción anterior están en miligramos.

43

Usando las siguientes cuatro columnas de datos de la tabla 3 obtenemos las

siguientes restricciones similares para cada uno de los siguientes cuatro

nutrientes:

1.1SPAG + 1.8PAVO + 0.5PAPA + 2.2SPIN + 1.2MANZ ≥ 10 (hierro)

1.4SPAG + 5.4PAVO + 0.9PAPA + 0.5SPIN + 0.6MANZ ≥ 15 (niacina)

0.18SPAG+ 0.06PAVO+ 0.06PAPA+ 0.07SPIN+ 0.15MANZ ≥ 1 (tiamina)

10PAPA+ 28SPIN+ 3MANZ ≥ 50

(vitamina C)

RESTRICCIONES DE LÍMITE

Estas restricciones limitan la cantidad máxima de cada tipo de alimento en

la comida. Teniendo en mente que las unidades de las variables están en

cientos de gramos, surgen las siguientes restricciones de límite:

SPAG ≤ 3

PAVO ≤ 3

PAPA ≤ 2

SPIN ≤ 1

MANZ ≤ 1


La única restricción lógica en este problema es que todas las variables son

no negativas.

� Formulación completa y solución del problema de dietas del Hospital

General Mountain View

Toda esta información da como resultado el siguiente modelo de

programación lineal para el problema del Hospital General Mountian View:

Minimizar

5000SPAG+ 5000PAVO+ 7900PAPA+ 300SPIN+

14300MANZ

44

Dependiendo de

REQUERIMIENTOS DE NUTRIENTES

5000SPAG+ 29300PAVO+ 5300PAPA+ 3000SPIN+ 4000MANZ ≥ 63000

(proteínas)

1.1SPAG+ 1.8PAVO+ 0.5PAPA+ 2.2SPIN+ 1.2MANZ ≥ 10

(hierro)


(niacina)


(tiamina)

10PAPA+ 28SPIN+ 3MANZ ≥

50 (vitamina C)

RESTRICCIONES DEL LÍMITE

SPAG ≤

3

PAVO ≤

3

PAPA ≤

2

SPIN ≤

1

MANZ ≤

1


SPAG, PAVO, PAPA, SPIN, MANZ ≥ 0

45

Con un contenido de grasa de 54800 miligramos. En otras palabras, la

comida debería consistir en 300 gramos de espagueti, 283.3 gramos de

pavo, 200 gramos de papas, 100 gramos de espinacas y 66.7 gramos de

pastel de manzana.

Ejemplo 4: Administración de Cartera de Valores

Ejemplo: EL PROBLEMA DE INVERSIÓN DE PENSION PLANNERS, INC.

Al gerente de cartera de PensionvPlanners, Inc. se le ha pedido invertir $1

000 000 de un gran fondo de pensiones. El departamento de investigación

de Inversiones ha identificado seis fondos mutuos con estrategias de

inversión variables, resultando en diferencia rendimientos potenciales y

riesgos asociados, como se resume en la tabla 4.

Una forma de controlar el riesgo es limitar la cantidad de dinero invertido en

los diversos fondos. Para ese fin, la administración de Pension Planners, Inc.

ha especificado las siguientes pautas:

1. La cantidad total invertida en fondos de alto riesgo debe estar entre

50 y 75% de la cartera.

2. La cantidad total invertida en fondos de mediano riesgo debe estar

entre 20 y 30% de la cartera.

3. La cantidad total invertida en fondos de bajo riesgo debe ser al

menos de 5% de la cartera.

Una segunda forma de controlar el riesgo es diversificar, esto es, esparcir el

riesgo invirtiendo en muchas alternativas diferentes. La gerencia de Pension

Planners, Inc, ha especificado que la cantidad invertida en los fondos de alto

riesgo 1, 2 y 3 deben estar en la tasa 1:2:3, respectivamente. La cantidad

invertida en los fondos de mediano riesgo 4 y 5 debe ser 1:2.

1 2 3 4 5 6

Precio ($/acción) 45 76 110 17 23 22

Devolución esperada (%) 30 20 15 12 10 7

Categoría de riesgo Alto Alto Alto Mediano Mediano Bajo

TABLA 4. RIESGO Y TASA ESPERADA DE RENDIMIENTOS DE SEIS FONDOS DE INVERSIÓN

FONDO

46

Con estas pautas, ¿qué cartera debería usted, gerente de cartera,

recomendar para maximizar la tasa esperada de retorno?

Solución:


En este problema, usted puede controlar cuánto invertir en cada uno de los

seis fondos mutuos, dando así origen a seis variables de decisión. Como

siempre, debe especificar las unidades asociadas con cada variable. Por

ejemplo, para el fondo 1, podría definir cualquiera de las siguientes

variables:

F1 = el número de acciones del fondo 1 por comprar

F1 = el número de dólares por invertir en el fondo 1

F1 = la fracción de la agenda por invertir en el fondo 1

Cada opción conduce a un modelo matemático diferente pero equivalente.

Aquí se utiliza la última opción. Así que, para cada uno de los fondos

restantes, defina:

F2 = la fracción de la cartera por invertir en el fondo 2



RESTRICCIONES DE LIMITACIÓN DE INVERSIÓN

Este grupo consiste en tres subgrupos de restricciones, uno para cada

categoría de riesgo, a saber:

1. La cantidad total invertida en fondos de alto riesgo debe estar entre

50 y 75% de la cartera. Como F1, F2 y F3 representan la fracción de

la cartera por invertir en fondos de alto riesgo, la fracción de la

cartera total invertida en fondos de alto riesgo es F1 + F2 + F3. Estas

restricciones son

47

F1 + F2 + F3 ≥ 0.50 (mínimo en alto

riesgo)

F1 + F2 + F3 ≥ 0.75 (máximo en alto

riesgo)

2. La cantidad total invertida en fondos de mediano riesgo debe estar

entre 20 y 30% de la cartera. Como F4 y F5 representan la fracción

de cartera por invertir en fondos de mediano riesgo, la fracción de la

cartera total invertida en fondos de mediano riesgo es F4 + F5. Estas

restricciones son:

F4 + F5 ≥ 0.20 (mínimo en mediano

riesgo)

F4 + F5 ≤ 0.30 (máximo en alto

riesgo)

� Formulación completa y solución del problema de inversión de

Pension Planners, Inc.

A continuación se muestra el modelo de programación lineal completo para

los socios generales de Pension Planners, Inc:

Maximizar 0.30F1+ 0.20F2+ 0.15F3+ 0.12F4+ 0.10F5+ 0.07F6

Dependiendo de

RESTRICCIONES DE LIMITACIÓN DE INVERSIÓN

F1+ F2+ F3 ≥ 0.50 (mínimo en alto riesgo)

F1+ F2+ F3 ≥ 0.75 (máximo en alto riesgo)

F4+ F5 ≥ 0.20 (mínimo en mediano

riesgo)

48

F4+ F5 ≥ 0.30 (máximo en mediano

riesgo)

F6 ≥ 0.05 (mínimo en bajo riesgo)

RESTRICCIONES DE DIVERSIFICACIÓN

-2F1 + F2 = 0 (proporción de F1 a F2)

-3F 1 + F3 = 0 (proporción de F1 a F3)

-2F4 + F5 = 0 (proporción de F4 a F5)


F1 + F2 + F3 + F4 + F5 + F6 = 1.0 (cartera

total)

F1 + F2 + F3 + F4 + F5 + F6 ≥ 0

La solución óptima para este problema que cualquier paquete de software

de programación lineal produce es:

F1 = 0.1250

F2 = 0.2500

F3 = 0.3750

F4 = 0.0667

F5 = 0.1333

F6 = 0.0500

Cada una tasa de rendimiento de 0.168583. En otras palabras, la cantidad

de dinero invertido en cada uno de los seis fondos es:

Cantidad en el fondo 1 = 0.1250 * 1 000 000 = $ 125 000






Inversión Total = $ 1 000 000

49

con una tasa de rendimiento esperado de 16. 86% (o $ 168 600).

Recuerde que las variables de decisión se definen como la fracción de la

cartera a invertir, en vez de la cantidad de dólares. Este enfoque tiene una

ventaja clara. Si la cantidad de dólares de la cartera cambia, un evento

probable, el modelo actual permanece inalterado. Simplemente necesita

multiplicar las fracciones obtenidas en la solución anterior por el nuevo

tamaño de la cartera para determinar las nuevas cantidades a invertir en

cada uno de los seis fondos.

Ejemplo 5: Problemas de Mezclas

Ejemplo: EL PROBLEMA DE MEZCLADO DE GASOLINA DE HEXXON OIL

COMPANY

Hexxon Oil Company obtiene tres tipos de petróleo crudo de sus pozos de

Mississippi, Nuevo México y Texas. La gasolina obtenida de estos petróleos

crudos se mezcla junto con dos aditivos para obtener el producto final.

Estos petróleos crudos y aditivos contienen azufre, plomo y fósforo, como

se muestra en la tabla 5. El costo de cada componente también se

presenta. Debido a los residuos e impurezas, cada galón de petróleo crudo

de Mississipi resulta sólo en 0.35 de galón del producto final, que contiene

0.07% de azufre. De manera similar, cada galón de crudo de Nuevo México

produce 0.40 de galón del producto final que contiene 0.08% de sulfuro y

cada galón de crudo de Texas resulta en 0.30 de galón del producto final

que contiene 0.10% de azufre. La gerencia ha establecido las siguientes

especificaciones para controlar las cantidades de azufre, plomo y fósforo:

1. Cada galón debe tener a lo más 0.07% de azufre

2. Cada galón debe tener entre 1.25 y 2.5 gramos de plomo

3. Cada galón debe tener entre 0.0025 y 0.0045 gramos de fósforo

4. La cantidad total de los aditivos no puede exceder de 19% de la

mezcla

Mississippi Nuevo México Texas 1 2

Azufre (%) 0.07 0.08 0.10 - -

Plomo (g/gal) - - - 7 6

Fósforo (g/gal) - - - 0.025 0.02

Costo ($/gal) 0.55 0.47 0.33 0.08 0.12

TABLA 5. COMPOSICIÓN Y COSTO DE LOS COMPONENTES DE MEZCLA

PETROLEOS CRUDOS ADITIVOS

50

Como gerente de producción, determine un plan de mezclado que produzca

una gasolina aceptable al mínimo costo.

Si aplicamos la descomposición llegamos a

Cantidad de gasolina = (cantidad producida del petróleo crudo de

Mississippi)+

(cantidad producida del petróleo crudo de

NuevoMéxico)+

(cantidad producida del petróleo crudo de

Texas)+

(cantidad del aditivo 1)+ (cantidad del aditivo

2)

Recuerde que cada galón de crudo de Mississippi produce sólo 0.35 de galón

de gasolina. Por tanto, XM galones de este crudo producen 0.35XM galones

de gasolina. De manera similar, como cada galón de petróleo crudo de

Nuevo México produce 0.40 de galón de gasolina y cada galón de petróleo

crudo de Texas resulta en 0.30 de galón de gasolina, esta restricción es

0.35XM + 0.40XN + 0.30XT + A1 + A2 = 1.0

(producción)

RESTRICCIONES DE COMPOSICION DE MEZCLADO

Este grupo consiste en tres conjuntos de restricciones, uno por cada una de

las limitaciones de azufre, plomo y fósforo en la mezcla final. Por ejemplo,

para el azufre:

Proporción de azufre en la mezcla ≤ 0.0007 (esto es, ≤ 0.07%)

Aplicando la descomposición,

51

Sin embargo, de la restricción de producción anterior, la cantidad total de la

mezcla es precisamente 1 galón, así que lo único que se necesita calcular es

la cantidad de azufre en la mezcla. Aplicando la descomposición,

Cantidad de azufre = (cantidad de azufre del petróleo crudo de

Mississippi)+

en la mezcla (cantidad de azufre del petróleo crudo de Nuevo

México)+

(cantidad de azufre del petróleo crudo de Texas)+

(cantidad de azufre del aditivo 1)+

(cantidad de azufre del aditivo 2)

De acuerdo con la tabla 5, cada galón de petróleo crudo de Mississippi

produce 0.35 de galón de gasolina que contiene 0.07% de azufre. Por tanto,

XM galones de este petróleo crudo produce 0.35 XM galones que contienen

0.07% de azufre. Así

Cantidad de azufre del petróleo crudo de Mississippi = 0.0007 * 0.35Xm

=

0.000245XM

Observando que los aditivos no aportan azufre, y aplicando una lógica

similar a los otros dos resultados de petróleos crudos en la siguiente

restricción de azufre:

0.35 * 0.0007XM + 0.40 * 0.0008XN + 0.30 * 0.001XT ≤ 0.0007

o

0.000245XM + 0.00032XN + 0.0003XT ≤ 0.0007 (azufre)

Existen límites inferiores y superiores sobre las cantidades de plomo y

azufre en la mezcla final. Aplicando el mismo razonamiento usado en el

desarrollo de la restricción de azufre, se obtienen las siguientes cuatro

restricciones para plomo y fósforo:

7 A1 + 6 A2 ≤ 2.50 (límite superior en plomo)

7 A1 + 6 A2 ≥ 1.25 (límite inferior en plomo)

0.025 A1 + 0.02 A2 ≤ 0.0045 (límite superior en fósforo)

52

0.025 A1 + 0.02 A2 ≥ 0.0025 (límite inferior en fósforo)

Finalmente, existe la limitación de que la mezcla contenga a lo más 19% de

aditivos. Por tanto, el total de A1 y A2 debe ser de a lo más 0.19 de galón,

resultando las siguientes restricciones:

A1 + A2 ≤ 0.19 (límite superior en

aditivos)


La única restricción lógica es que todas las variables sean no negativas.

� Formulación completa y solución del problema de mezclas de la

Hexxon Oil Company

Como gerente de producción de Hexxon Oil Company, reúne toda esta

información en el siguiente modelo de programación lineal:

Minimizar 0.55XM + 0.47XN + 0.33XT + 0.08 A1 + 0.12 A2

Dependiendo de

RESTRICCIONES DE PRODUCIÓN

0.35XM + 0.40XN + 0.30XT + A1 + A2 = 1.0 (producción)

RESTRICCIONES DE COMPOSICION DE MEZCLADO

0.000245XM + 0.00032XN + 0.0003XT ≤ 0.0007 (azufre)

7 A1 + 6 A2 ≤ 2.50 (límite superior en

plomo)

7 A1 + 6 A2 ≥ 1.25 (límite inferior en

plomo)

0.025 A1 + 0.02 A2 ≤ 0.0045 (límite superior en

fósforo)

0.025 A1 + 0.02 A2 ≥ 0.0025 (límite inferior en

fósforo)

53

A1 + A2 ≤ 0.19 (límite superior en

aditivos)

RESTRICCIÓN LÓGICA

XM , XN , XT , A1 , A2 ≥ 0

La solución óptima a este problema, que resulta de usar cualquier paquete

de software de programación lineal, es

XM = 0.0000

XN = 1.3750

XT = 0.8667

A1 = 0.1400

A2 = 0.0500

con una valor de función objetivo de 0.94945. En otras palabras, cada galón

de producto final se fabrica mezclando y procesando 1.3750 galones de

petróleo crudo de Nuevo México y 0.8667 de galón de petróleo crudo de

Texas con 0.14 de galón de aditivo 1 y 0.05 de galón de aditivo 2, a un

costo total de 94.945 centavos.

Ejemplo 6: Planeación de Producción Agregada

Ejemplo: EL PROBLEMA DE PLANEACIÓN DE PRODUCCIÓN DE NATIONAL

STEEL CORPORATION

National Steel Corporation (NSC) produce un acero especial usado en las

industrias de aviación y aeroespaciales. El departamento de ventas de NSC

ha recibido pedidos de 2400, 2200, 2700 y 2500 toneladas de acero para

cada uno de los siguientes 4 meses. NSC puede satisfacer estas demandas

produciendo el acero, extrayéndolo de su inventario, o usando cualquier

combinación de las dos alternativas.

Se proyecta que los costos de producción por tonelada de acero durante

cada uno de los siguientes cuatro meses sean de $7400, $7500, $7600 y

$7650. Como los costos suben cada mes, debido a las presiones

inflacionarias, tal vez sea mejor que NSC produzca más acero del que

54

necesita en un mes determinado y que almacene el exceso. La capacidad de

producción, sin embargo, no puede exceder las 4000 toneladas en ningún

mes. La producción mensual se termina al final del mes, cuando la demanda

se satisface. Cualquier acero remanente se almacena en inventario a un

costo de $120 por tonelada por cada mes que permanece allí. Estos datos

se resumen en la tabla 6

Si el nivel de producción se incrementa de un mes al siguiente, entonces la

compañía incurre en un costo de $50 por tonelada de producción

incrementada para cubrir la mano de obra adicional y/o el tiempo extra.

Cada tonelada de producción disminuida incurre en un costo de $30 para

cubrir los beneficios de empleados no utilizados.

El nivel de producción durante el mes anterior fue de 1800 toneladas, y el

inventario que comienza es de 1000 toneladas. El inventario al final del

cuarto mes debe ser de al menos 1500 toneladas para cubrir la demanda

anticipada. Formule un plan de producción para NSC que minimice los

costos totales en los siguientes 4 meses.

Solución:

� Identificación de las variables de decisión

En este problema, usted tiene la libertad para elegir cuántas toneladas de

acero producir cada mes para satisfacer la demanda. Surgen cuatro

variables:

X1 = el número de toneladas de acero por producir durante el mes 1



1 2 3 4

Demanda (tons) 2400 2200 2700 2500

Costo de producción ($/ton) 7400 7500 7600 7650

Costo de inventario

($/ton/mes) 120 120 120 120

TABLA 6. DATOS PARA EL PROBLEMA DE PRODUCCIÓN-PLANEACIÓN DE NSC

MES

55

Inventario de Terminación

(I )

Inventario de inicio (I1=1000)

Demanda (D1=2400)


A primera vista, usted podría pensar que éstas son todas las variables que

se requieren. Con estas variables, siempre puede determinar la cantidad en

inventario. Por ejemplo, del diagrama esquemático de la figura 1, el

inventario al final del primer mes es

Inventario al final del mes 1 = inventario inicial + cantidad de producción –

demanda

= 1000 + X1 – 2400

Cantidad de producción

(X1)

Figura 1. Relación entre niveles de inventario, producción y

demanda

Sin embargo, escribir el inventario al final del segundo, tercero y

subsecuentes meses es más complicado. Por ejemplo, para el mes 2:

Inventario al = inventario inicial+ cantidad de producción-

demanda

final del mes 2 = (1000 + X1 – 2400) + X2 – 2200

Para simplificar, es conveniente crear otras cinco variables para representar

los niveles de inventario al principio de cada mes:

I1 = inventario en toneladas al principio del mes 1




56


� Identificación de la función objetivo


minimizar los costos totales sobre el horizonte de planeación de 4 meses. Si

aplicamos la descomposición para identificar tres componentes de costo

diferentes llegamos a

Costos totales = costos de producción+ costos de inventario+ costos del

cambio en la producción

COSTOS DE PRODUCCIÓN

Aplicando nuevamente la descomposición se identifican los costos de

producción como la suma de los costos de producción en cada uno de los 4

meses. Usando las variables de producción X1, X2, X3, X4, junto con los

costos de producción por toneladas de la tabla 6, llegamos a

Costos de producción = 7400X1 + 7500X2 + 7600X3 + 7650X4

COSTOS DE INVENTARIO

Una descomposición similar produce un costo de inventario total como la

suma de los costos de inventario durante cada uno de los cuatro meses.

Como los niveles de inventario cambian solamente al final del mes, todos

los inventarios al principio del mes incurren en un costo de $120 por

tonelada para ese mes. Usando las variables I1, I2, I3, I4 llegamos a

Costos de inventario = 120I1 + 120I2 + 120I3 + 120I4

Observe que I5 no se incluye en esta porción porque el objetivo es

minimizar los costos totales solamente en los siguientes 4 meses, e I5

incurre en costos durante el quinto mes.

COSTOS DEL CAMBIO EN LA PRODUCCION

57

Para determinar los costos del cambio en la producción de un mes al

siguiente, trabaje con un ejemplo específico en el que, digamos X1 = 100 y

X2 = 300. En este caso, existe un incremento de 300 – 100 = 200

toneladas de acero del mes 1 al mes 2. Por tanto, a un costo de $50 por

tonelada de incremento,

Costo del cambio en la producción = (300 – 100) * 50 = $10 000

Usando este ejemplo, podría escribir la siguiente expresión general:

Costo del cambio en la producción = (X2 – X1) * 50

Sin embargo, ¿qué sucede si X1=300 y X2=100? Esto es, ¿qué pasa si el

nivel de producción disminuye? En este caso, la expresión anterior resulta

en un costo de (100 – 300) * 50= -$10 000, es decir, una ganancia de $10

000, que no tiene sentido. En vez de esto, a un costo de $30 por tonelada

de decremento, la expresión correcta es

Costo del cambio en la producción = (300 – 100) * 30

= $6000

En general, cuando el nivel de producción disminuye del mes 1 al mes 2, la

expresión correcta es

Costo del cambio en la producción = (X1 – X2) * 30

combinando con las expresiones para resultados de incremento y

decremento se obtienen los siguientes costos del cambio en la producción

del mes 1 al mes 2:

Costo del cambio en la producción = 50(X2 – X1), si X2 ≥ X1

(incremento)

30(X1 – X2), si X1 >X2

(decremento)

Como los valores de X1 y X2 son por ahora desconocidos, la cuestión es

cómo combinar estos dos casos en una sola expresión.

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Una forma de abordar esto es creando variables de decisión adicionales

cuyos valores son precisamente las cantidades de producción incrementada

y decrementada de un mes al siguiente. Esto es,

S1 = el número de toneladas de producción incrementada en el mes 1

D1 = el número de toneladas de producción decrementada en el mes 1







Los valores de estas variables dependen de los niveles de producción. Por

ejemplo, cuando X2=300 y X1=100, usted desea que S2 sea 200 y D2, 0.

Si X2=100 y X1=300, desea que S2 sea 0 y D2, 200. Las restricciones que

aseguran las relaciones adecuadas entre estas variables se identifican en la

siguiente sección.

Con estas nuevas variables, cuando S1 es positiva, D1 debe ser 0. De

manera similar, cuando D1 es positiva, S1 debe ser 0. Por tanto, los costos

del cambio en la producción para el primer mes son 50S1+ 30D1. Por

consiguiente, los costos totales del cambio en la producción son:

Costos del cambio = (costo del cambio en la producción en el mes 1)+

en la producción (costo del cambio en la producción en el mes 2)+

(costo del cambio en la producción en el mes 3)+

(costo del cambio en la producción en el mes 4)+

= (50S1+ 30D1) + (50S2+ 30D2)+

(50S3+ 30D3) + (50S4+ 30D4)

FUNCIÓN OBJETIVO COMPLETA

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La combinación de los tres componentes de costo da como resultado la

siguiente función objetivo global:

Minimizar costos totales = 7400X1 + 7500X2 + 7600X3 + 7650X4 +

120I1 + 120I2 + 120I3 + 120I4 +

50S1 + 30D1 + 50S2 + 30D2 + 50S3 + 30D3

+ 50S4 + 30D4


Aplicando la técnica de agrupamiento debe llegar a identificar los siguientes

seis grupos de restricciones:

1. Restricciones de inventario inicial y final para asegurar los adecuados

niveles de inventario de inicio y fin

2. Restricciones de limitación de producción para asegurar que la

producción de cualquier mes dado no exceda de 4000 toneladas

3. Restricciones de equilibrio de inventario para asegurar la adecuada

relación entre las variables de producción y las de inventario

4. Las restricciones de cambio en la producción para asegurar la

adecuada relación entre las variables de producción y las de cambio

en la producción

5. Restricciones de demanda para asegurar que se satisfagan las

demandas cada mes

6. Restricciones lógicas para asegurar que todas las variables son no

negativas

RESTRICCIONES DE INVENTARIO INICIAL Y FINAL

En palabras, las dos restricciones en este grupo son:

1. El nivel de inventario inicial es de 1000 toneladas

2. El nivel de inventario final debe ser al menos de 1500 toneladas

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Como I1 e I5 representan los inventarios inicial y final al principio y final del

período de planeación de 4 meses, respectivamente, estas restricciones

son:

I1 = 1000 (inventario de inicio)

I5 ≥ 1500 (inventario final)

RESTRICCIONES DE LIMITACIÓN DE PRODUCCIÓN

La producción en cualquier mes no puede exceder las 4000 toneladas, así

que las cuatro restricciones en este grupo son

X1 ≤ 4000 (límite en el

mes 1)


mes 2)


mes 3)


mes 4)

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Bibliografía

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