La Inversa de una Matriz Cuadrada

Definición: Una matriz cuadrada se llama matriz identidad si todos los componentes de su diagonal principal son iguales a uno y todoslos demás componentes que no están en la diagonal principal son iguales a cero. La matriz identidad se representa con la letra I (la letra imayúscula).

Definición: Sea A una matriz cuadrada n x n. Entonces una matriz B es la inversa de A si satisface A ∙ B = I y B ∙ A = I, donde I es lamatriz identidad de orden n x n. Ejemplo para discusión:

Notas:

1. La inversa de A se representa por A-1. Así que A ∙ A-1 = A-1 ∙ A = I.2. No toda matriz cuadrada tiene una inversa.3. Si A tiene inversa, entonces decimos que A es invertible.

Teoremas:

1. Sea A una matriz cuadrada n x n, entonces AI = IA = A.2. Si A es una matriz invertible, entonces A-1 es invertible y (A-1)-1 = A.3. Si una matriz cuadrada A es invertible, entonces la inversa es única.4. Sean A y B matrices de orden n x n invertibles. entonces AB es invertible y (AB)-1 = B-1A-1.

Para hallar la inversa de una matriz cuadrada comenzamos con la matriz A/I, donde I representa la matriz identidad del mismo orden que lamatriz A. Efectuamos operaciones elementales con las filas de A/I hasta que la matriz A se transforme en la matriz identidad I. Luego lamatriz que contiene los componentes a la derecha de la línea vertical es la inversa de A, esto es, A-1. Ejemplo (para discusión): Halla A-1 si existe para cada una de las siguientes matrices:

Ejercicio: Sea . Halla B-1. Teorema: Sea A una matriz de orden 2 x 2, definida de la forma:

. Entonces:

A es invertible si y sólo si detA ≠ 0.

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Si detA ≠ 0, entonces

Ejemplo (para discusión): Halla A-1 si existe para cada una de las matrices:

Ejercicio: Sea . Halla B-1 usando el teorema para matrices de orden 2 x 2. La inversa de una matriz nos ayuda a resolver un sistema de ecuaciones lineales, ya que se puede expresar de la forma Ax = b. Si la matrizcoeficiente A es invertible entonces A-1 existe. Así que: Ax = bA-1(Ax) = A-1b(A-1A)x = A-1bIx = A-1bx = A-1b, con esta ecuación podemos resolver el sistema de ecuaciones lineales. Ejemplo: Resuelve el sistema a continuación con la ecuación x = A-1b:

Ejercicio: Resuelve el sistema a continuación con la ecuación x = A-1b:

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