UNIVERSIDAD AUTÓNOMA METROPOLITANA

UNIDAD IZTAPALAPA

DIVISIÓN DE CIENCIAS SOCIALES Y HUMANIDADES

DEPARTAMENTO DE FILOSOFÍA

INTUICIONISMO

PROYECTOCHRISTIAN ALEXIS FLORES AVILA.

LICENCIATURA EN FILOSOFÍA.

ASESOR: JOSÉ JORGE MAX FERNÁNDEZ DE CASTRO TAPIA

AGOSTO DE 2011

ÍNDICE

INTRODUCCIÓN................................... 1

BROUWER..............................................3

HEYTING.................................................11

DUMMETT...............................................18

EL SISTEMA............................................36

BIBLIOGRAFÍA........................................46

1

Introducción

El propósito de este trabajo es contribuir, si así fuera posible, a indagar y explicar de una manera, al

menos introductoria, en qué consiste el intuicionismo en líneas generales.

El trabajo está dividido en cuatro partes, una para cada uno de los autores que al juicio de muchos

marcan la historia de la corriente. Brouwer, por ejemplo, es el fundador, y sus argumentos constituyen

el primer tipo de defensa del intuicionismo que analizaremos. Lo que nació como una opción ante la

crisis de los fundamentos de las matemáticas se convirtió, más tarde, en un controvertido programa en

filosofía del lenguaje encabezado por Dummett.

Considero relevante el tema por lo siguiente. El tipo de críticas que se le hacen a la matemática y

lógica clásica ha desencadenado en una serie de debates acerca de si la lógica clásica es la correcta, ha

habido muchas divergencias en este punto y se han propuesto también muchos sistemas de lógica que

difieren, a veces no esencialmente, de lo que ha sido llamado lógica clásica.

En el caso de Brouwer su desavenencia nace de una concepción particular de las matemáticas. La

concepción que él tiene de éstas, no encaja con el planteamiento de la lógica. Entonces se dedicará a

mostrar en qué sentido son inoperantes las premisas de las cuales parte el tratamiento lógico de la

matemática.

El debate en manos de Dummett nos llevará a cuestionarnos sobre temas añejos en la filosofía, como la

elección de tesis ontológicas que justifican una visión del mundo, en este caso la verdad. Pero también

encontraremos temas netamente actuales como el problema de cómo es que adquirimos el lenguaje, la

intercomunicabilidad, el realismo, el solipsismo, etc.

Habrá divergencias algunas veces, el programa intuicionista visto desde sus comienzos hasta sus más

novas discusiones ha evolucionado en gran parte y en puntos que son esenciales. Sin embargo, todo

defensor del intuicionismo comparte una tesis básica, a saber, la tesis de que el realismo genera

concepciones equivocadas o al menos injustificadas de la realidad ,ya sea de una parte de ella o en su

totalidad .

2

Así visto, este trabajo podría ser un capítulo en un libro sobre el realismo. No obstante mi primer

objetivo es mostrar como funciona el intuicionismo al menos a nivel intuitivo, en esta línea es que

también decidí ingresar un capítulo donde muestro un sistema de lógica intuicionista, lo importante es

que el lector se fije en qué cosas se mantienen y cuales no, a partir de la eliminación del axioma o los

axiomas que causan problemas a los intuicionistas. Creo que esta actividad es una de la más

interesante. El manejar sistemas formales, nos muestra consecuencias de las cuales nosotros apenas

podíamos darnos una idea, muchas veces sorprendiéndonos completamente.

Por último, no quisiera dejar pasar esta oportunidad para tratar de hacer una comparación, muy breve,

de las distintas posturas dentro del propio intuicionismo, esto por las razones que ya mencioné, la gran

divergencia entre las tesis intuicionistas.

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Brouwer“...never has anyone been able

to communicate his soul by means of languaje”

Brouwer

Luitzen Egbertus Jan Brouwer nació en Holanda en el año de 1881, muriendo en ese mismo país ya

bien entrada la década de los 60´s, en el año de 1966. Hablando estrictamente, es el fundador de todo el

esfuerzo intuicionista entendido, al menos, como una escuela filosófica encargada de dar cuenta del

fundamento de las matemáticas, y por tanto no es de ningún modo prescindible tocar su pensamiento.

Si queremos hablar de antecedentes en Brouwer nos remitiremos inmediatamente a los que él llamaba

pre-intuicionistas o protointuicionistas. Brouwer consideraba importante el pensamiento de estos

matemáticos por prevalecer en ellos una actitud crítica ante la existencia de objetos o entes que no son

el resultado de una intuición, un objeto o ente no es el producto de una intuición y por tanto no

evidente cuando no se sabe cómo: especificar una afirmación en general, dar una regla o algoritmo

para constituir dicho ente; entre estos pensadores encontramos a: Poincare, Baire, Borel, Lebesgue y

Lusin1, por el lado estrictamente filosófico debemos mencionar a Kant y a Schopenhauer. La influencia

de estos dos últimos pensadores, sin embargo, no se limita únicamente a la fundamentación de la

matemática o a el análisis del espacio y del tiempo, Brouwer es cercano a estos pensadores también, en

aspectos mucho más mundanos de sus filosofías, así en el escrito de 1905 “Leven, Kunst en Mystick”

Brouwer adopta una actitud abiertamente pesimista, habla del ser humano como una criatura

esencialmente desgraciada, guiada principalmente por el egoísmo, el orgullo y la ignorancia. Incluso

encontramos el término “Karma” repetido en varias ocasiones, aunque no en forma necesaria, podemos

conjeturar que estos términos los tiene presentes a partir de la lectura de Schopenhauer, el cual, por

cierto, también tenía orígen Holandes. Me parece importante mencionar estas dos fuentes, ya que el

recuerdo de Brouwer no es precisamente por el lado estrictamente filosófico, aunque por supuesto

tiene posturas que son abiertamente filosóficas. Empero, pasó a la historia más como un habilísimo

topólogo que como el fundador de algún sistema filosófico. Es desde la trinchera de las

matemáticas que Brouwer dio su mejor batalla, siempre tendrá asegurado un lugar en los anales de la

matemática al grado que algunos lo han considerado el padre de la topología moderna:

1Espinoza, Miguel, “Intuicionismo y objetividad”, en Thémata. Revista de filosofía. Num. 30, 2003, pp. 101-118.

4

“Sus numerosostrabajos sobresalieron en varios campos de la matemática, pero se ocuparon

especialmente de topología –es decir, del estudio de las propiedadesmás básicas de las estructuras espaciales en sentido amplio–, de

teoría de la medida y de análisis matemático, especialmente análisisde variable compleja. Demostró el famoso teorema del punto fijo en

1908, estableció la importancia de los espacios cartesianos en topología,demostró el teorema de traslación plana, que caracteriza las transformaciones

topológicas del plano cartesiano sobre sí mismo (1911), demostróque el número de dimensiones de un espacio cartesiano es

topológicamente invariante, generalizó el teorema de Jordan para ndimensiones (1912), etc. A él se debe la primera definición estricta dela noción de dimensión. Luego, entre 1928-1930, discutirá con KarlMenger sobre la prioridad en dicha definición. Por la importancia y

cantidad de sus resultados muchos lo consideran el padre de la topologíamoderna, lo que no es poco decir. Sus trabajos más importantes en

esta disciplina los produjo en su juventud, entre los 28 y los 32 años.”2

Sin embargo, el poco o mucho interés que genera Brouwer entre los filósofos también tiene su

justificación. Subordinada, de nuevo, a su interés matemático encontramos que su concepción

matemática se funda en una epistemología particular, una ontología especial, y una etiología de la

conciencia matemática3.

Contexto histórico, la disputa por la fundamentación de las matemáticas

Brouwer participó activamente en uno de los principales debates filosóficos de su tiempo, la

fundamentación de las matemáticas. Eran tres posturas las que se enfrentaban, el logicismo cuyos

principales defensores fueron Frege y Russell, el formalismo defendido por Hilbert y el intuicionismo

cuya escuela filosófica fue fundada por el propio Brouwer; se sabe muy bien cuál fue el destino de las

dos primeras posturas, el descalabro de la primera vino dado por el descubrimiento, por Russell, de la

paradoja que lleva su nombre y el programa de Hilbert también sufrió un revés en vista de los

resultados del lógico Kurt Gödel. Cada escuela trató de componer sus puntos débiles pero sin duda

los planes tal como se concibieron en un principio se vieron seriamente mermados. El intuicionismo es

cosa aparte, su derrota o triunfo, de ningún modo decidido aún, siempre y cuando no se dejen entrar

situaciones prácticas, es decir, la manera en la que efectivamente trabajan los matemáticos, no están

decididos aún.

2 CENTENARIO DE LA TESIS DOCTORAL DE L. E. J. BROUWER 100 años de intuicionismo matemático, Roetti, Jorge Alfredo, ¿Por qué recordamos a Brouwer?, (2007) AnANCBA, Argentina, p.954

3 Posy, Carl, Intuitionism and Philosophy in The Oxford Handbook of Philosophy of Mathematics and Logic, March 2005, p.319

5

El ejercicio matemático,muy exitoso por cierto, no ha requerido de manera fáctica de la solución del

problema de los fundamentos de la matemática a tal punto que la continuidad de la actividad dependa

de la solución de dicho problema. Por supuesto, hay matemáticos, muy pocos en comparación, que

trabajan usando las ideas constructivistas y menos aún intuicionistas. Sin embargo, la vivacidad de los

planteamientos llevados a cabo por Brouwer han sido de una fecundidad mayor que el propio intento

brouweriano de fundamentar la matemática. En manos de algunos matemáticos y filósofos, el más

destacado Dummett, el intuicionismo ha conocido una nueva etapa, no le ha costado mucho trabajo

entrar a esta discusión en el ámbito de la filosofía analítica, por ejemplo. Dummett lo ha convertido en

un problema netamente de la filosofía del lenguaje y en todo caso de la filosofía de la lógica.

Caracterización de la matemática por parte de BrouwerBrouwer caracteriza a la matemática como una actividad esencialmente libre, es decir, no restringida a

ningún impedimento generado ni por la lógica ni por el lenguaje. El papel del matemático no es

descubrir el camino que lleva a la verdad matemática sino más bien el de construirlo. Todo el proceso

matemático tiene un procedimiento, increiblemente subjetivo, el cual es descrito por Brouwer de

manera concisa, aunque a mi parecer de forma demasiado filosófica, claro, no puede existir ninguna

descripción netamente matemática de un fenómeno como este.

Las dos posturas o actos como los llama el propio Brouwer fundamentales de dicha genealogía de

la conciencia matemática son; primero, el primer acto consiste en separar completamente de forma total

el lenguaje matemático de la propia matemática y específicamente de los fenómenos lingüísticos

descritos por la lógica teórica, la matemática es una actividad esencialmente alingüística, el origen de

dicha actividad es la percepción del movimiento, más bien del cambio4, a través del tiempo, de la

separación de un cierto momento o episodio en dos cosas esencialmente diferenciadas, una de las

cuales hace surgir a la otra y queda retenida en la memoria, haciendo abstracción de dicho momento, es

decir, si se le quita a estas dos unidades toda otra cualidad, queda la forma vacía lo que es común a toda

dos-idad, este sustrato común, esta forma vacía, constituye la intuición básica de las matemáticas.5El

segundo acto consiste en prolongar en lo que el primer acto se ha postulado, el desarrollo de intuición

primaria del paso del tiempo es la base de la construcción de los número reales y el continuo

4 Parece que nuestra intuición del tiempo esta ligada de manera irremediable a la percepción del cambio. Sin cambio no tendriamos forma de intuir el tiempo. Incluso en los ejemplo más vanales aparece esta condición, el reloj, quiero decir la institución del reloj, es precisamente eso, un generador de cambio permanente el cual esta asociado muy bien a determinadas unidades temporales.

5Van Dalen, Dirk, 2001, "Intuitionistic Logic", en Goble, The Blackwell Guide to Philosophical Logic.

6

intuicionista, tal y como apuntara Brouwer:

“I should like to terminate here. I hope i have made clear that intuitionism on the one hand subtilizes

logic, on the other hand denounces logic as a source of truth. Further that intuitionistic mathematics is

inner architecture, and that research in foundations of mathematics is inner inquiry with revealing and

liberating consequences, also in non-mathematical domains of thought”6

Se ha repetido en varias ocasiones que estos planteamientos brouwerianos tienen importantes

similitudes con la filosofía kantiana, indudablemente esto es el caso. Sin embargo la identificación no

llega a un nivel tan profundo que pudiera hablarse de una ampliación de las ideas kantianas en la

matemática, por parte de Brouwer, por supuesto ya existe en Kant, una filosofía de las matemáticas. Lo

que quiero decir es que Brouwer no puede ser clasificado como un neokantiano, el cual se hubiera

dedicado al desarrollo exclusivo de la parte matemática de la filosofía de Kant. Para Kant, era la

intuición del tiempo la que le daba legitimidad a la aritmética y la del espacio a la geometría, sin

embargo Kant vivió en una época en donde los fundamentos de la lógica ni de las matemáticas, ni los

de la geometría sufrían de ninguna especie de crisis, al menos ninguna importante. El descubrimiento

de la independencia del quinto postulado de Euclides posibilitó una serie de geometrías alternativas tan

válidas como la del propio Euclides. Brouwer tenía experiencia de este hecho, nunca pensó en la

infalibilidad de la intuición espacial para fundamentar la geometría, piénsese que ya que tenía al

lenguaje como algo secundario, el aceptar la postura del espacio y su intuición como fundante de la

geometría y lo falible del sistema euclideano como “el sistema”, habría llevado a Brouwer a tener que

tejer en el aire una justificación de tal postura. Cosa distinta es el caso del tiempo, éste se revela como

el verdadero fundamento de la matemática a partir de su intuición, de aquí el nombre de intuicionismo.

Hay quien ha sugerido que otro motivo del poco interés en el espacio como fundamento de la

geometría son los resultados cartesianos sobre la traducción entre la algebra, como generalización de la

aritmética, y la geometría. Sin embargo esto no se sostiene toda vez que el propio Kant era conciente de

estos resultados. Habría que preguntarse, por ejemplo, si las mismas críticas que se le han formulado a

la concepción de la matemática kantiana podrían ser, por tanto, extensibles al propio Brouwer. Sin

embargo, sí que comparten la concepción de la arquitectura interna de la matemática y también la

6 L. E. J. Brouwer, Collected Works, Vol I, p.494 “Quisiera terminar aquí. Espero haber esclarecido que el intuicionismo por una parte refina la lógica y por la otra la pone en duda como fuente de verdad. Además, que las matemáticas son una arquitectura interna, y que la investigación acerca de los fundamentos de las matemáticas es una investigación interna con consequiencias reveladoras y al mismo tiempo liberadoras, incluso en dominios no matemáticos del pensamiento.”

7

crítica en última instancia al realismo, que en el caso de la matemática clásica, es representada por la

admisión sin más del principio del tercero excluido. En efecto, el propio Brouwer señaló que la

aceptación de dicho principio equivalía a admitir de manera categórica que no existen en matemáticas

proposiciones cuyo valor de verdad no pueda ser determinado, que no existen propisiciones

indecidibles. Pasemos pues a analizar de manera esquemática el estudio que hace Brouwer sobre dicho

principio.

El principio del tercero excluidoFue Aristóteles quien vio en el principio del tercero excluido una ley básica y evidente del

pensamiento, desde entonces ha jugado un papel importantísimo y preponderante en la historia del

pensamiento. Sin embargo, según los intuicionistas, su aceptación nos compromete con una postura

ontológica, la cual Brouwer nunca estuvo ni cerca de aceptar. Podemos afirmar la existencia de un ente

matemático cuando contamos con un medio o algoritmo para construirlo desde la intuición primordial,

en ningún otro caso. Esto deja como insuficiente el que la concepción de un ente matemático esté

exenta de contradicción. Brouwer creyó que no era suficiente la reducción al absurdo, en todos los

casos, para demostrar la existencia de algún objeto o proposición matemática. De igual forma, que de la

falsedad de que algo no es verdadero se pudiera concluir que es verdadero o que existe sin más. En

términos leibnizianos diríamos que no era suficiente para un objeto matemático no ser contradictorio

como pensaba el mismo Leibniz sino que requería al igual que las proposiciones sobre la física una

razón suficiente. La explicación histórica del persistente error del uso del tercero excluido puede

explicarse en tres etapas; primero, la lógica clásica sacó el principio de las matemáticas de un conjunto

definido, un conjunto donde sus elementos son exhibidos, segundo; se le dio a esta lógica una

existencia de forma independiente de las matemáticas y tercero, se utilizó esta lógica para dominios de

conjuntos infinitos.Brouwer exigiría que a cada oración matemática, que se postula que existe o que es

verdadera, corresponda una idea que la conciencia pueda observar, construir. Como se había

comentado, el aceptar de manera acrítica el principio del tercero excluido implica aceptar una especie

de platonismo o realismo ingenuo en las matemáticas, o sea la idea que existen dos sacos uno en el que

correponden las verdades, que por tanto serán eternas y otro más donde irán las falsedades. La crítica

de Brouwer es precismente a esta postura epistemológica y metafísica. En las matemáticas no se puede

hablar de verdades no experimentadas, la condición de verdad de una proposición matemática es la

posiblidad de su construcción, naturalmente el sentido común y nuestro realismo nos hacen tender a

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pensar que vivimos en un mundo donde, no sólo en el campo de la matemática sino en la vida general

existen dos tipos de proposiciones, las verdaderas y las falsas. En este sentido creyó Brouwer que una

forma de demostrar lo fallos de la validez absoluta del principio del tercero excluido sería encontrar un

problema de la matemática el cual pudiera demostrarse que fuera absolutamente indecidible. Brouwer

invirtió mucho de su tiempo en esta tarea pero sin ningún éxito contundente, jamás logró encontrar un

problema con esas caracterísitcas. Brouwer por otra parte jamás tomó muy en cuenta los resultados de

los teoremas de Gödel ya que para él algo que estuviera bien construido, por fuerza sería consistente,

no ofreció pruebas contundentes acerca de esta proposición y las que ofreció estaban basadas en

presupuestos que no todo lógico o matemático aceptaría.

La postura hacia el principio del tercero excluido tuvo al menos dos etapas en Brouwer. Al principio no

lo creía falso, simplemente lo consideraba trivial, al ser lógicamente equivalente a una implicación de

la negación de una proposición que se implica a si misma.7. Sin embargo, luego se dio cuenta que no se

podía pensar que era inocuo, a partir únicamente de la certeza que nunca conduciría a contradicción.A

partir de este rechazo del principio del tercero excluido parece ser que Brouwer sugiere un principio del

quinto excluso, con las siguientes opciones:

1)Puede ser el caso que A

2)Puede ser el caso que no A

3)Puede ser el caso que no es cierto que no A

4)Puede ser el caso que *A, donde *A significa que si bien *A es una formula bien formada permanece

en el estado de ser indecidida o incluso indecidible.

Incluso se puede hablar con mayor precisión de 6 casos:

1. ‘ A’ equivale a ‘A está demostrada’,2. ‘A f’ equivale a ‘ ¬A’ o ‘¬A está demostrada’ (donde ‘f ’ es ‘una fbf.necesariamente falsa en la teoría’),3. ‘(A f) f’ equivale a ‘ ¬¬A’ o a ‘¬¬A’ está demostrada’,4. ‘*A’ equivale a ‘ni está demostrada A, ni está demostrada ¬A, niestá demostrada ¬¬A’ pero:4.1. o bien existe al menos un algoritmo que podría decidir la cuestión,aunque aún no hemos completado su utilización,4.2. o no se conoce aún ningún algoritmo que permita decidir lacuestión, pero puede existir,4.3. o no puede existir ningún algoritmo que permita decidir lacuestión.8

7 Van Atten, Mark, "Luitzen Egbertus Jan Brouwer", The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Summer 2011 Edition), Edward N. Zalta (ed.), forthcoming URL = <http://plato.stanford.edu/archives/sum2011/entries/brouwer/>.

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La tarea de Brouwer fue, a partir de estas consideraciones, y al ya no ser ni axiomas ni deducibles ni

el principio del tercero excluido ni el de la eliminabilidad de la doble negación, construir con estas

herramientas, evidentemente menos poderosas, la teoría de conjuntos. Cantor sin haber reparado en

estas objeciones había elaborado su teoría usando estas herramientas y el sospechoso axioma de

elección, Brouwer intentará una reconstrucción prescindiendo de uno como de lo otro. El resultado no

será del todo alentador.

Lenguaje y lógicaLa reflexión sobre el lenguaje, su caracterización, aparece en Brouwer repetidamente, sin embargo, la

concepción brouweriana es esencialmente negativa, es tema de reflexión pero sólo para señalar su

sobrevaloración. El origen del lenguaje para Brouwer es muy similar al anális llevado a cabo por

Nietzsche, su nacimiento se encuentra en la voluntad del hombre, en su deseo de poder y de dominio

sobre la realidad, alguna vez, por ejemplo, Nietzsche caracterizó al lenguaje como la metafísica de la

plebe, la incisiva observación tiene su origen en la creencia común de contemplar el mundo a través del

lenguaje y creer que se nos presenta en su auténtica originalidad en su más profunda esencia, en un

sentido muy similar proclamaba Wittgenstein: “El límite de mi lenguaje es el límite de mi mundo”. Por

supuesto, no le podemos atribuir una originalidad excepcional al planteamiento brouweriano, máxime

cuando estas consideraciones han estado al menos desde Kant, la originalidad de Brouwer consiste en

centrar la atención en el caso especial de la matemática y la lógica. La lógica es caracterizada como el

compendio de las regularidades en los procesos matemáticos, la lógica es el cúmulo de regularidades

lingüísticas descubiertas en el procedimiento matemático. De aquí se sigue inmediatamente que no

puede ser la lógica el terreno fundante de la matemática, como pretendían otras corrientes, sino por el

contrario la lógica sería un capítulo de la matemática. No obstante, Brouwer era conciente de la

efectividad de la lógica en términos finistas. El problema surgía en dominios infinitos, podríamos hacer

una analogía con la física en la concepción newtoniana y la posterior, formulada por Einstein. Las leyes

y predicciones de la teoría de la gravitación universal funcionan de manera formidable en la tierra, sin

embargo en dominios del universo cósmico resultan insuficientes o incluso manifiestamente falsas.

¿Podría Newton haber considerado, legítimamente ,que el descubrimiento de las regularidades

matemáticas, expresadas en forma de leyes, le aseguraban la explicación completa de todo el

universo?, claramente no. Lo mismo ha pasado con la lógica clásica, ésta funcionó de forma correcta y

8 Tomado todo este análisis textualmente de : CENTENARIO DE LA TESIS DOCTORAL DE L. E. J. BROUWER 100 años de intuicionismo matemático, Roetti, Jorge Alfredo, ¿Por qué recordamos a Brouwer?, (2007) AnANCBA, Argentina, pp. 961-962

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tal vez de manera insuperable en dominios finitos, sin embargo la formulación de la lógica hubiera sido

ilegítima si todo el universo, en este caso representando a los dominios infinitos, hubiera sido pensado

en estos mismos términos, no era posible dar ese salto. Dicha ley no merecía el título de “universal”.

Pero volvamos al lenguaje, Brouwer, como se ha dicho más arriba, caracteriza a la conciencia como

dada por dos actos, en el primero la conciencia entra en contacto con la intuición del tiempo y en la

segunda es conciente de las relaciones causales, habíamos comentado que la conciencia del tiempo nos

ayuda a forma la dos-idad, pues bien, afirma Brouwer que esta misma dos-idad es el origen del

lenguaje, esto es desde el punto de vista epistémico-lógico, con lo ya dicho arriba podríamos concluir

que las dos fuentes del lenguaje, son la voluntad y la generacion de la dos-idad.

Parece ser que a lo que se refiere Brouwer, especificamente, es que sin la noción de causalidad, como

una cadena que me lleva de un punto A a un punto B donde A significa el medio o los medios y B el

objeto de mi apetencia, sin este caso especial de la voluntad, el lenguaje no tiene necesidad de aparecer.

Es sólo cuando el sujeto se da cuenta de la capacidad de dominio que dan las relaciones causales que

entra en una necesidad real del lenguaje. Brouwer usó el término de “cunning act”9 para nombrar a ese

acto, que contempla la cadena de causalidad pero cuyo interés cae únicamente en el eslabón final.“Tres cosas merecen ser destacadas. En primer lugar tanto el lenguaje

como la ciencia empírica surgen de un acto de la voluntad. Se

originan a partir de la tendencia (conato) de ajustar el mundo a nuestros

deseos. La matemática, por el contrario, surge de una contemplación

desinteresada de los elementos de la conciencia. En segundo

lugar, Brouwer no nos da argumentos que sostengan esta ‘‘Fenomenología

de la conciencia’’. Por argumentos, nos referimos a aquellos

que puedan ser parte de una teoría filosófica sobre el lenguaje o so-

bre el conocimiento. Brouwer va a buscar el apoyo para esta Fenomenología

de la conciencia en sus concepciones sobre la Matemática que,

por otro lado, son consecuencia de sus objeciones al principio del tercero

excluido y a la visión formalista de esa ciencia. Así, no hay en

Brouwer, como sí hay en Dummett, una teoría sobre el lenguaje que

fundamente su Filosofía de la Matemática. En Brouwer tenemos la

situación inversa: es su concepción sobre la Matemática la que tornaría

plausibles sus concepciones sobre el lenguaje. En tercer lugar

en esta Fenomenología encontramos los temas tradicionales de la

Filosofía de la conciencia, precisamente en un momento en que la

Filosofía comienza a dejar de ser un discurso sobre las ideas para

transformarse en un discurso sobre el lenguaje.”10

9 L. E. J. Brouwer, Collected Works, Vol I, pp. 480-494.10 CENTENARIO DE LA TESIS DOCTORAL DE L. E. J. BROUWER 100 años de intuicionismo matemático. Molina,

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HeytingOtro referente indiscutible de la postura intuicionisat es Heyting, nacido el 9 de mayo de 1898 en la

capital holandesa, hijo de profesores de enseñanza secundaria, en 1916 entra a la universidad de

Amsterdam donde conoce a Brouwer y se convierte en su alumno. Finalmente fallece el 9 de julio de

1980 en Lugano, Suiza.

Mientras Brouwer había dejado de lado el estudio y la sistematización de la lógica Heyting tuvo un

especial interés en proveer de un sistema lógico que fuera capaz de dar cuenta de la postura

intuicionista, el resultado fue un sistema que formaliza exitosamente el pensamiento intuicionista. Haré

una breve reseña de algunas de las posturas de Heyting, sin embargo, el análisis se moverá siempre

unicamente en el aspecto filósofico. El trabajo de Heyting que utilizo es su: “Intuitionism an

Introduction”, sin embargo desde el punto filosófico sólo el capítulo uno es completamente

aprovechable. Al ser tan corto el capítulo elijo la dinámica de ir analizando parte por parte y tratando de

darme algo de luz, sobre cada uno de los tópicos allí tratados. Con respecto a cómo funciona el libro

citaremos a Gilmore que en su análisis del libro anota: “This is an introduction to intuitionistic mathematics for mature mathematicians. The reader is taken rapidly to the heart of

several different branches of intuitionistic mathematics. The speed of development is achieved by condensing the proofs and

by presuming familiarity with the classical counterparts to the theories discussed.

The book is written as a dialogue between Class (a classical mathematician), Form (a formalist), Int (an intuitionistic mathematician), Letter (a finitistic nominalist), Prag (a pragmatist), and Sign (a significist). In the first chapter Int defends intuitionistic mathematics against the criticism of the others, asking them finally

to judge for themselves. In the remaining chapters Int presents mathematics for them to judge. In these chapters Class, except for Int, is the most loquacious; he frequently compares classical results with

corresponding intuitionistic results and his questions lead Int to a more detailed discussion of some points. The device of dialogue allows abbreviation of statements without loss of clarity”11

El primer punto que se toca en la discusión es el por qué debe la matemática tener su propia lógica,

Jorge, Matemática, ciencia y lenguaje, (2007) AnANCBA, Argentina, p.93411Citado en :J J O'Connor and E F Robertson , Arend Heyting, forthcoming URL = http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Heyting.html

“El libro esta escrito como un diálogo entre Class(un matemático clásico), Form (un formalista), Int (un matemático intuicionista, Letter (un nominalista finitista), Prag (un pragmático) y Sign (un semántico). En el primer capítulo Int defiende las matemáticas intuicionistas de la crítica de los otros, invitandolos al final que ellos mismos lo examinen. En los capítulos restantes Int expone las matemáticas intuicionistas, para que el resto de su opinión. En esos capítulos Class, después de Int, es el más lúcido; frecuentemente compara los resultados de la matemática clásica con los correspondientes de la intuicionista y estos cuestionmientos conducen a Int a una discusión más detallada de algunos puntos. La composición en diálogo permite la abreviación sin perder claridad.”

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cómo es que la lógica sirve o funciona para los otros campos del saber humano, pero en el terreno de la

matemática falla. La respuesta es que la matemática trabaja con colecciones infinitas y la lógica clásica

no está diseñada para esta exigencia, que la lógica clásica no puede ser aplicada a campos infinitos

como finitos se sigue de lo siguiente: definamos de dos maneras números primos, la manera A y la

manera B y tendremos los dos siguientes casos...

1. A es el mayor número primo que tenga la propiedad, que A-1 también sea primo, o A=1 en el

caso de que dicho número no exista.

2. B es el mayor número primo tal que B-2 también sea primo, o B=1 en caso de que dicho

número no exista.

Mientras que, según los intuicionistas, los lógicos clásicos no hacen diferencia entre estos dos casos

para el pensamiento constructivo estos dos proposiciones tienen una diferencia fundamental, a saber,

que mientras en el primer caso conocemos el valor de verdad de uno de los disyuntos, en el segundo

no. En efecto, conocemos que la condición que elmayor número primo cuyo inmediato antecesor

también lo es, sólo es cumplido por el número 3, en efecto dado que en la línea de los naturales se

suceden un número par y uno impar sería imposible que existiera otro número distinto de 3 que

cumpliera con dicha condición, otro número par tendría que tener la cualidad de ser primo, pero es

imposible ya que por definición todo número par es divisible entre dos y, otra vez, por definición un

primo sólo puede ser divisible entre el mismo y la unidad. El caso del número 2 tiene que ver con un

problema muy importante, por el nivel de dificultad y la resistencia a ser resuelto, en matemáticas, la

solución de la conjetura de los números primos gemelos. En este caso no se posee un algoritmo eficaz

que decida la cuestión. Esta distinción lleva al intuicionista a rechazar la ley del tercero excluido.

Una posible objeción por parte de un lógico clásico sería que del hecho de que no podamos calcular,

por ejemplo, si es infinito o no el conjunto de los primos gemelos, no se sigue que de hecho no tenga

un valor bien definido dicha conjetura. Puedo no conocer el resultado de una ecuación muy compleja,

o alguna fórmula que ponga en jaque todos los esfuerzos humanos, pero de allí no se sigue que en

realidad no tenga una segura respuesta. O más específicamente, que no tenga derecho a suponerlo. El

intuicionista contestaría que si no entendemos desde el punto de vista matemático la existencia como

una construcción, entonces lo que afirmemos estará lleno de una carga metafísica.

13

El intuicionista defiende la demarcación de su campo y dicho problema, el de determinar el estatus

ontológico de la matemática y sus componentes, no entra en el ámbito de competencia del matemático,

al menos en cuanto matemático. La razón es simple, la matemática es inmediatamente accesible, puedo

tener intuición de los objetos de la matemática, tal como Kant demostró, pero no me es posible tener

intuición de los objetos metafísicos u ontológicos, como también Kant probó12.

Si entendemos ,como de hecho se hace, en el análisis clásico, la verdad o la existencia con la

correspondencia entre afirmaciones y el mundo, es claro que surge la cuestión, de que algo pude venir a

ser verdad a través del tiempo. Al encontrar, por ejemplo, la solución a la conjetura de Goldbach, el

lógico clásico podría argüir que es ridículo que el intuicionista no aceptara que dicha proposición tenia

ese valor , digamos verdadero, por el mero hecho contigente de que nadie había logrado probarla. Sin

embargo el intuicionista nunca cae en esta trampa, para él, como se ha mencionado, existir es ser

construido y si se comprueba en el año del 2020, por ejemplo, que la conjetura de Goldbach es

verdadera, no entraría en ningún conflicto su posición, cada vez que sólo significaría que ahora sí existe

la prueba, en forma de una construcción.

Según el intuicionismo, esta es la única forma de entender la existencia en matemáticas que nos libra de

laberintos y dificultades extras de corte metafísico. Uno de los aspectos que más resistencia causa del

proyecto intuicionista es que muchos creen que es poco riguroso. Según esta crítica no procede acorde

a reglas de derivación bien definidas ni a conceptos bien delimitados. En este estado de cosas las

pregunta obvia es ¿cómo se puede saber cuando algo es auténtico y cuando algo es falso o

improcedente?, parece ser que las consideraciones intuicionistas simplemente diluyen los criterios de

corrección. La prueba de que un lenguaje libre de ambigüedades es necesario para la matemática es el

hecho que el lenguaje natural es inadecuado, lleno de ambigüedades, polisemia, etc.

El objetivo de los formalistas, por ejemplo, era contruir un lenguaje desprovisto incluso de

interpretaciones, un cálculo de perfecta armonia de los signos que pudiera obtener fórmulas a partir de

otras y que nunca se estuviera en peligro de caer en error. La elección entre intuicionismo y la

matemática clásica sería así, una cuestión de gusto, dependiendo en que aspecto de la matemática sea

puesto el énfasis; el defensor del intuicionismo en el diálogo dice: “I see the difference between

formalists and intuitionists mainly as one of taste.”13.

12 Por supuesto, no quiero aquí dar a entender que el anális kantiano agota en su totalidad el problema. Más bien subrayo el punto de inflexión en la historia del pensamiento de los argumentos kantianos con respecto a dichas cuestiones.

13 Heyting, A., Intuitionism: An introduction, Amsterdadm, NorthHolland, 1956. “Veo la diferencia entre formalistas e

14

La principal preocupación del intuicionista sería identificar qué tipo de razonamientos influyen en la

matemática y llevarlos a sus consecuencias más desarrolladas. En principio, desde el punto de vista

clásico, podría el razonamiento intuicionista ser perfetamente estudiado. Al ser una parte de las

matématicas, según este punto de vista, debería verse como la aceptación de un grupo de tesis y las

consecuencias que pueden extraerse de ellas. Pero el intuicionista no aceptaría este tipo de

acercamiento, él no concede que acepta más o menos claramente un grupo de presunciones y a partir

de allí pueda darse a la tarea de deducir un grupo de enunciados. El intuicionista hace énfasis en la

actividad matemática misma, no puede ser visto como algo dentro de la matemática, como se pretende

desde el punto de vista clásico, sino como un fluyente paralelo en todo caso, por eso resulta dificil

entablar un diálogo verdaderamente fructífero, donde se llegue a acuerdos.

El intuicionista ve con sentido la formalización pero una vez acabado el proceso matemático, de

ninguna forma en sentido opuesto. “We may consider the formal system as the linguistic expression, in

a particularly suitable language, of mathematical thought”14. Heyting era conciente que al adoptar esta

postura, por supuesto, uno no puede asegurar de manera infalibe que los sujetos se entienden entre sí,

nunca podremos estar seguros que , desde el punto de vista matemático, los sistemas formales expresan

correctamente nuestros pensamientos matemáticos. Dado este precedente considérese lo siguiente:

consideremos un sistema formal que sea en si mismo una estructura matemática, de lo más simple

posible, los signos del sistema pueden ser observados como entidades asociadas con otras entidades, en

distintos grados de complejidad. De esta forma, parece ser, que se libera a los sistemas formales con

respecto a la matemática, tenemos un sistema exterior, con la condición de que, dado que no

conocemos con certeza que dicho sistema exprese de forma completa una parte del pensamiento

matemático, puesa ser modifacable.

Bajo la concepción intuicionista se puede proceder independientemente del proceso de formalización,

dicha tarea puede llevarse acabo de forma a posteriori, pero no es vital para el proceso matemático.

Para el clásico, el abandono de la lógica, en este caso representado por el sistema, implica el construir

castillos en el viento, en efecto, abandonada la lógica se pierde el criterio para juzgar las cosas de valor

de las que no lo tienen. Heyting ha proporcionado una lógica, la intuicionista, pero esto no implica que

le tenga demasiada confianza y tampoco que vea en ella el vehículo que agote la relación del

intuicionismo y las matemáticas. No es la lógica el fundamento de la actividad intuicionista, no lo es

intuicionistas principalmente como una cuestión de gusto”14 “Podemos considerar los sistemas formales como la expresión lingüística, en un lenguaje particular apropiado , del

pensamiento matemático”

15

por la simple razón que para un intuicionista es mucho menos evidente el terreno de la lógica que el de

la propia matemática.

Recordémoslo, el acto de la matemática comienza con la intuición de la dualidad y por lo tanto del

cambio, de allí se originan los números. Esto es una explicación perfectamente delineada e incluso

sólida, sin embargo, ¿tiene la lógica una forma tan evidente y ecónomica de justificarse?, la respuesta

es no. La opción que propondrá el intuicionista es, sin embargo, también bastante obscura, sí tenemos

la capacidad de distinguir lo que tiene sentido de lo que carece de él, si sólo basta tener una “clear

scientific conscience”. ¿Entonces cuál puede ser el motivo del desarrollo de la lógica intuicionista, que

significará?, la respuesta que dará el intuicionista es que la lógica hace una generalización de las

relaciones en la matemática, el intuicionista de Heyting pone un ejemplo de la siguiente manera15:

El intuicionista trabaja con el infinito, no se condena a una postura finitista en favor de obtener

seguridad infalible, acepta la infinitude de los números naturales, ¿por qué los naturales sí y los reales

no?, es muy clara la respuesta; de los números naturales tenemos una intuición inmediata, el enumerar

no es otra cosa más que una suceción indefinida en el tiempo de unidades de individualidades,

representadas de manera idonea por los números, es claro que incluso los niños lo perciben

claramente. Kant mismo en su fundamentación de la aritmética, entiende perfectamente que es en el

15 Ibid., p. 6.

20

La meta, pues, será crear una teoría del significado que supere los puntos flacos del planteamiento

realista. Desde el punto de vista de Dummett, la concepción que sustenta la lógica clásica tiene dos

problemas, de los cuales no puede dar cuenta, el que se ha dado en llamar problema de la manifestación

y el de la adquisición del lenguaje.

Una de las premisas básicas de la concepción clásica es que, como ya se dijo, conocer el significado de

una oración es conocer sus condiciones de verdad, entender un enunciado vendría a significar el

conocer sus condiciones de verdad. Si nos tomamos en serío estas premisas surge la pregunta de ¿cómo

es posible tener comprensión de algún fragmento del lenguaje, cómo podemos reconocer las

condiciones que harían verdadero a un enunciado, aun cuando estas trasciendan nuestras evidencia,

siendo en principio, incluso, no cognoscibles?.

El proceso de aprendizaje de un lenguaje implica una capacidad de discriminación, saber bajo que

circunstancias considerar como verdaderos unos enunciados y en cuales otros como falsos. Lo que se

nos pide es que tengamos la capacidad es distinguir entre estas posibilidades, pero como ya es evidente

en el caso de los enunciados indecidibles, absolutamente indecidibles, esta petición se convierte en la

exigencia de decidirnos por cuestiones que por definición son indecidibles, claramente es una

incongruencia e incluso inconsistente.

“An undecidable sentence is simply one whose sense is such that,

though in certain effectively recognizable situations we acknowledge itas true, in others we acknowledge it as false, and in yet others no

decision is possible, we possess no effective means for bringing abouta situation of one or other of the first two kinds ...

The truth of such a sentence can consist only in the ocurrence of thesort of situation in which we have learned to recognize it as true, andits falsity in the ocurrence of the sort of situation in which we have

learned to recognize it as false: since we have no guarantee either thata situation of one or the other kind will occur, or that we can bringabout such a situation at will, only a misleading picture of what we

learned when we learned to use sentences of that form can give us theimpression that we possess a notion of truth for that sentence relative

to which it is determinately either true or false”20

20 Dummett, Frege, Philosophy of Language, London, Duckworth.

21

Es relativamente sencillo detectar que el problema es el abismo que se crea entre las condiciones que

le confieren un valor de verdad a un enunciado y nuestra limitada capacidad para reconocerlas.

Bueno, ahora pasemos a analizar el problema de la manifestabilidad.

Existen al menos tres argumentos que da Dummett para defender la idea que el significado está

determinado exhaustivamente por el uso, el primero tiene que ver con señalar el aspecto social del

lenguaje, el significado tiene que ser comunicable, la manera en que se puede dar esta comunicabilidad

es observando que se da la comprensión del lenguaje. Si por ejemplo admitiéramos aspectos del

lenguaje que no resultaran comunicables, si acaso existieran, entonces serían del todo irrelevantes, toda

vez que, como ya señalamos, el significado de un enunciado consiste exclusivamente en su papel como

instrumento de comunicación.

El segundo argumento está relacionado con la forma en la cual aprendemos efectivamente un lenguaje.

Aprender un lenguaje es aprender a utilizarlo, fuera de esto no podemos reconocer ninguna otra

habilidad como prueba de que se le ha comprendido. Para favorecer la exposición Dummett emplea el

ejemplo del lenguaje matemático, cuando aprendemos matemáticas, lo que aprendemos es a usar

ciertas proposiciones, en que lugar, por ejemplo, cuentan como prueba de otras. Se juzga, de igual

forma, nuestra habilidad de dominar el lenguaje matemático como óptimo, cuando tenemos un buen

dominio de estas habilidades. Con el operador de la suma, por ejemplo, sabemos que alguien lo ha

entendido cuando ya sabe sumar, cuando reconoce cómo modifica ese operador un resultado, por

ejemplo.

También se sigue que no hay nada del lenguaje matemático que pueda ser enseñable si no es

manifestable, es un requisito indispensable. El conocimiento de un lenguaje consiste en nuestra

capacidad para usarlo correctamente. Con estas consideraciones se puede inferir que el lenguaje es un

conocimiento práctico, aunque hay que entender la palabra “práctico” en un sentido amplio.

La tercera consideración tiene que ver con un paso que da Dummett en la construcción de su teoría del

significado. Ya que entender un enunciado es conocer el significado, por lo tanto una teoría del

significado tendrá que dar cuenta de una teoría de la comprensión. Lo que se hace es exigir que la

teoría del significado explicite qué es lo que se conoce cuando se conoce un lenguaje. La teoría del

significado tiene que dar cuenta, desde el punto de vista de la teoría, de la manera en que opera

22

efectivamente el lenguaje, en la realidad concreta.

Las consideraciones anteriores muestran que el significado como condiciones de verdad no puede

cubrir los requisitos básicos para una teoría del significado, en el caso particular de las matemáticas,

hablar de la verdad de un enunciado equivale a contar con una prueba que demuestre ese enunciado,

postular que algo existe y probarlo van de la mano. En particular el principio del tercero excluido no se

sostiene bajo esta manera de ver las cosas, el argumento que rechaza la lógica clásica en favor de una

intuicionista es de una generalidad total y ,como menciona Dummett, si se pudiera demostrar que no

vale para alguna región del discurso, en la que lo primoridal sean los enunciados afirmativos, se vería

en principio totalmente refutada. Uno de los aspectos más obscuros de la primera parte del texto es

entender la ecuación que iguala a la imposibilidad del revisionismo con la conjunción de la teoria del

significado como uso conjuntada con el holismo semántico. En una entrevista llevada a cabo por

Fabrice Pataut, Dummet comentó al respecto:

“FP: Permítame volver a Wittgenstein. Mi próxima pregunta se refiere a cómo deberíamos leer el

famoso lema 'El significado es el uso' y determinar cuáles son las implicaciones filosóficas que puede

haber. Este es un gran problema y tiene que ver, una vez más, con la idea de ser un wittgeinsteniano vs.

no ser un wittgeinsteniano, en el sentido siguiente. Mucha gente siente que ninguna interpretación del

famoso lema de Wittgenstein pueda alguna vez conducirnos, como usted asevera que lo hace, a una

revisión de las leyes de la lógica clásica. No estoy hablando aquí únicamente de la gente interesada en

lo que Wittgenstein realmente quiso decir. Me parece que mucha gente quiere resistirse a la idea de que

algo tan 'obvio', como "El significado es el uso" pueda conducir a algo drástico. ¿Por qué piensa usted

que conduce a ello.

MD: Trataré de responder. Fundamentalmente, porque no acepto el holismo al modo en el que creo que

Wittgenstein lo hizo, o al menos en el q ue se le atribuye. Usted conoce la famosa concepción de que la

filosofía no puede alterar nada por completo, que únicamente puede describir, etc. En particular, él

tenía la idea de que no se puede alterar la práctica lingüística, y cayó en el absurdo de que la filosofía

no podría alterarla, aún cuando esta práctica se hubiese mostrado inconsistente o condujera a una

contradicción. Uno tiene que aceptar las contradicciones como un hecho.

FP: Pero nuestra práctica lingüística ciertamente podría ser inconsisten-te.

23

MD : Tarski creyó que esencialmente, lo era.

FP: La práctica lingüística real es usualmente inconsistente.

MD: Bueno 'práctica lingüística real' ... ¿Qué es lo que uno quiere decir exactamente con esto.

Ciertamente, no puede ser parte de una práctica que la gente, justamente, afirme contradicciones. Si

usted quiere decir que una práctica es contradictoria, tendrá que decir que hay principios generales que

la gente sigue y que puede reconocer como tales. Quiero decir con esto, que ellos podrían reconocer

que siguen estos principios. Si los presionamos, reconocerían también cuáles los conducen a

contradicciones. El punto es que los podríamos presionar a hacer esto.

FP: Entonces la gente se contradice a sí misma. ¿No es ésta una práctica. ¿Por qué no decir

simplemente que ellos están involucrados en la práctica de la contradicción.

MD: Se podría decir eso. Pero luego tendría que cualificar su afirmación y admitir que ellos pueden

también reconocer que lo que han dicho requiere de alguna revisión. Hay una distinción entre un

individuo que se contradice a sí mismo y que admitiría el error y sus causas, y lo inconsistente del

lenguaje mismo, que es lo que preocupaba a Tarski sobre los lenguajes naturales. ¿Qué significa que

hay principios generales que gobiernan el uso de los lenguajes que todos reconocerían y que son de tal

tipo que las personas, si fuesen presionadas, admitirían que los conducen a una contradicción. Esas son

las paradojas. Cuando son enfrentadas a paradojas, las personas no saben qué hacer, porque han sido

conducidas a una contradicción por pasos que parecen absolutamente obligatorios. Por eso

simplemente se apartan de ellas. Por supuesto, luego los filósofos comienzan a preocuparse sobre esto.

El punto importante en nuestra discusión sobre el holismo es el siguiente: Wittgenstein pensó y yo

estuve completamente en desacuerdo con esta visión que nada en la práctica lingüística y en particular

en el uso de formas de inferencia requiere de una justificación o puede ser criticado. Si es la práctica lo

que es absurdo, entonces esa justificación es suficiente. No se requiere de ninguna justificación además

de eso. Ahora, me parece que esto está equivocado porque las inferencias no son cosas que estén

separadas del resto del lenguaje. Una inferencia no es justamente un juego tal como un crucigrama, que

no afecta ninguna cosa más. Conduce a aserciones y conclusiones, y aquellas conclusiones pueden

contener constantes lógicas. Por eso uno debe preguntarse: "¿Cómo son usadas. ¿Cómo reaccionamos a

estas aserciones. ¿Qué consecuencias deberían extraerse de ellas. etc. Me parece que existe la

posibilidad de un desacuerdo entre el modo en que razonamos y el modo en el que usamos las

conclusiones a las que arribamos por el razonamiento. Un proceso de razonamiento tiene que ser

justificado sobre la base de que conduce a cosas que justificadamente podemos sostener de acuerdo a

los significados que les asignamos.

24

FP: Y en particular, al significado que asignamos a las constantes lógicas.

MD: Correcto. Por eso, existe algo así como un requerimiento de consonancia, entre partes diferentes

de una práctica lingüística, lo cual es algo extremadamente complicado y que no nos da derecho a

decir: 'Bueno, nosotros simplemente razonamos de ese modo, eso es lo que llamamos "razonamiento" y

esto es así'.

FP: Por eso, es el requerimiento de armonía el que impone el rechazo del holismo y lo que nos fuerza a

leer 'El significado es el uso' como indicándonos una revisión de ciertos esquemas de razonamiento, tal

como aquellos basados en las leyes de la lógica clásica. Eso es muy antiwittgensteiniano.

MD: Ese es el aspecto en el cual yo discrepo completamente con Wittgenstein. Yo pienso que no ha

habido ninguna justificación de su expresión respecto de que la filosofía no puede interferir para nada.

Nuestra práctica lingüística puede estar equivocada, tal como nuestro comportamiento puede estar

errado o ser irracional. La filosofía tiene el derecho de señalar esto.

FP: ¿Piensa que los esquemas clásicos de razonamiento y leyes de la lógica clásica son realmente

inconsistentes y nos conducen a contradicciones.

MD: No pienso que sean completamente inconsistentes. No pienso que nos conduzcan a algo tan malo

como la contradicción. Pienso que ellos conducen, o pueden conducir, a la desarmonía de la que estaba

usted hablando. Al usar ciertos esquemas de inferencia, somos conducidos a afirmar cosas que

actualmente no tenemos derecho a afirmar, dado el significado que asignamos a nuestras palabras.21

Me interesa rescatar de este fragmento de la entrevista dos cosas:

La primera tiene que ver con la crítica generalizada a Dummett acerca de que ninguna lectura del

dictum Wittgensteniano nos conduciría necesariamente a una revisión de algunas de las leyes lógicas

clásicas y menos aún a una reformulación.

La segunda tiene que ver con la forma en que Dummett formula la clave que nos lleva de la teoria del

significado como uso a la adopción de la lógica intuicionista. El rechazo del holismo semántico tiene

que ver con el rechazo de una práctica lingüística sin abandonar el sistema del lenguaje en su totalidad,

en efecto una teoría que estuviera dispuesta a renunciar a toda una práctica lingüistica resulta a primera

vista inoperante, en el mismo sentido que si encontráramos, por ejemplo, que la aritmética es

incosistente esto no nos llevaría a rechazar toda la matemática, sino que más bien se procedería a hacer

21 Fabrice Pataut, Una perspectiva anti-realista sobre: Lenguaje, pensamiento, lógica e historia de la filosofía analítica(entrevistacon Michael Dummett), Tópicos, número 008-009, Asocicación Revista de filosofía de Santa Fé, Santa Fé, Argentina,

25

unas modificaciones que salvaran la consistencia del sistema. Digamos que también es esencial a la

línea de argumentación en favor del intuicionismo por parte de Dummett el rechazo del holismo

semántico, si se descubriera, bajo esta visión, que de hecho el holismo semántico opera, entonces no

existiría ningún camino que nos llevara de la tesis que el significado está enteramente determinado por

el uso a la adopción de una lógica intuicionista para toda las regiones del discurso. Quiero decir que si

se estuviera en esta situación, todavía quedaría la posibilidad brouweriana, es decir argumentos del tipo

donde se da una característica específica de los enunciados matemáticos y a partir de allí construir una

defensa para la adopción de las ideas intuicionistas en la matemática. Sin embargo, el propio Dummett

se encargará de mostrar por que no es deseable una fundamentación de este tipo.

Las diferencias entre la postura del Wittgenstein de “Las investigaciones filosóficas” y las del plan de

Dummett se pueden resumir en dos, como apunta Concepción Martínez Vidal22:

1) Mientras que Wittgenstein piensa que la matemática pertenece a la gramática del lenguaje, que la

gramática es autónoma, es decir de libre elección, y que las reglas gramaticales son independientes,

para Dummett el significado de una sentencia es determinable de forma no arbitraria, por lo cual el

significado atribuible a las constantes lógicas no es de libre elección, la matemática es estable y el uso

es revisable.

2) Para el segundo Wittgenstein el uso del lenguaje es una mera convención y por tanto no será

revisable a menos que cambiemos a una nueva teoría. El significado de las oraciones del lenguaje

dependerá de la teoría (del juego del lenguaje) en la que se encuentren inmersas y no podrán ser

determinadas en función de sus componentes, como estableciera Frege. Por otro lado, para Dummett el

uso de una sentencia ha de ser revisable y propone como criterio de revisión la exigencia de

sistematicidad en la articulación del lenguaje, el principio de armonía. Dicho principio establece lo

siguiente: las consecuencias de la aseveración de una sentencia no deben ir más allá de lo que

establecen las condiciones de asevereción de la misma. Así queda garantizado que la utilización de

métodos indirectos, en el caso de la matemática y la lógica la obtención de pruebas mediante la

aplicación exclusiva de reglas de eliminación, constituyen una extensión conservadora del lenguaje.

22 Martínez Vidal, Concepción, La concepción antirrealista de la lógica, Agora 11/2, pp. 79-93, Universidad de Santiago de Compostela, chile, 1992.

26

Otro aspecto de la argumentación dummettiana que es central es el concepto de prueba, estrechamente

ligado a la noción de verificación. En efecto, si bien Dummett no privilegia el campo de la matemática

para construir un argumento que nos permita rechazar la lógica clásica para adoptar una intuicionista, sí

que ocupa, con fines explicativos y pedagógicos, a la matemática para explicitar el cómo funcionaría su

teoría semántica. El concepto central para la justificación de una aserción en el campo de la matemática

es el concepto de prueba, para ampliarlo al lenguaje en general Dummett recurrirá a términos como

“justificación” o “asertabilidad justificada”. El término “justificación” nos hace pensar en viejos

fantasmas, de hecho se cree que en su forma positivista el concepto ha perdido toda su vigencia y

legitimidad. Dummett tratará de refinar el concepto de “verificación” y así darle una “segunda

oportunidad”.

Aún así, el proyecto dummettiano se enfrentará a muchas de las mismas objeciones a la antigua

concepción del verificacionismo, como una de las principales mencionaré el problema que surge para el

verificacionista al cuestionarle qué debe contar como una prueba, en efecto, parece ser que el

verificacionista tiene que dar cuenta de eso que busca recurriendo a el concepto de verdad, el centro de

esta objeción tiene que ver con el hecho de que el significado que se asigne a un enunciado es esencial

para determinar si un conjunto de inferencias pueden considerarse como prueba de él, ¿puede esta

objeción constituir un obstáculo insuperable para la adopción de una semántica como la que defiende

Dummett?, uno de los puntos fuertes del programa dummettiano será el no rechazar el concepto de

verdad, sino que lo adoptará y lo hará jugar un papel importante en su teoría de la prueba.

27

Una vez analizada esta primera parte quiero ocupar un par de páginas para explicar algunas de las

razones por las cuales el programa intuicionista según Dummett, tal como lo fundamentaba Brouwer,

no se sostiene.

Hemos visto que el primer argumento se basa en características muy generales acerca del significado y

como caso particular, pero no epecial ni único, toca a la matemática. Ahora bien, se pregunta Dummett,

¿puede existir una defensa alternativa del intuicionismo, una defensa del uso de el intuicionismo para

las matemáticas, que deje libre el camino para elegir si queremos o no adoptarlo para otras áreas del

discurso?, de existir tal defensa debe comenzar con una premisa que le confiera un caracter particular a

las matemáticas, la tesis de que las matemáticas son una construcción mental y no una objetiva y

atemporal realidad proporcionan este comienzo. Desde este punto de vista podríamos cuestionarnos de

manera general cuál es la visión ontológica correcta acerca de los entes matemáticos la platonista o la

que pretendía Brouwer, por ejemplo. Lo que habría que preguntarse a continuación es sobre que bases

podríamos saldar la disputa, ¿hay algún argumento que nos haga preferir alguna de las dos visiones?,

Dummett lo niega categoricamente.

Cuando uno habla del estatus ontológico de los entes matemáticos, no hace más que elegir entre dos

metáforas, de las cuales ninguna tiene el legítimo derecho de considerarse la correcta. Esta primera

consideración nos inclina a pensar que no debe ser el estatus ontólogico de la matemática sino su

verdad la que debería ocupar nuestras primeras consideraciones, todo esto conforme al dictum de

Kreisel: “El problema no es la existencia de los objetos matemáticos, sino la objetividad de la verdad

matemática”. Lo que se pretende defender, por parte de Dummett, muy entendible desde el punto de

vista de la filosofía analítica, es que una tesis basada en una teoría del significado general es muy

superior a cualquier tesis ontológica, “el problema es conocer sobre cuáles bases podríamos resolver

posiblemente esta cuestión metafísica”. Dummett hace suya la idea fregeana de que sólo en el contexto

de una oración un nombre refiere a algo, cualquier tesis que pretenda dar cuenta del estatus ontológico

debe ser una tesis sobre que hace verdadero a un enunciado.

El siguiente paso será el mostrar que alguien puede, de manera consistente, creer que la matemática es

una construcción mental y al mismo tiempo creer que existe una nocion de verdad bajo la cual todo

enunciado es verdadero o falso de manera categórica, lo que se quiere es explorar si existe una ruta

legítima entre la tesis de que las matematicas son una creación de la mente humana y la visión del

significado que nos llevaría a adoptar una lógica intuicionista.

28

En esta línea Dummet analizará lo que significa la verdad, en la postura intuicionista. En lógica es

normal recurrir al esquema “T” de Tarski para dar cuenta de lo que entendemos por verdad, la

cuestión es saber si pueden servirnos esta definición, que para muchos pasa como canónica, para

representar lo que expresa el concepto de “verdad” en el análisis intuicionista. Un problema a primera

vista es el siguiente, suponiendo que existen enunciados que no son ni verdaderos ni falsos, se dará el

caso que al hacer la sustitución el lado izquierdo se hará falso, esto por el hecho de que en la lógica

bivalente existe el supuesto de que un enunciado que no es verdadero es falso, pero el lado derecho del

esquema “T” se quedará sin valor de verdad, no será falso. Por supuesto este es sólo un punto de vista

desde otro ángulo se puede alegar que es incosistente que un enunciado no es ni verdadero ni falso y

por lo tanto no habría problema en aplicar el esquema “T” a los enunciados de la aritmética de

Heyting, por ejemplo. Esto no significa que se hayan resuelto todos los problemas. Está el carísimo

problema desde la perspetiva intuicionista de la temporalidad, los esquemas “T” no muestran la

relación de la verdad y el tiempo. En la afirmación “35x2=70” es verdadero si 35x2=70 no se nos

dice de que forma actúa el predicado de verdad, es decir, si la operación ya era verdadera antes de

realizar el cálculo o si sería igualmente verdadera aun cuando nadie se hubiera tomado la molestia de

realizarla. Desde luego, el platonista suele obviar esto, pero para el intuicionista es el punto central de

su planteamiento, al introducir los operadores de tiempo en matemáticas surgen estos problemas, los

cuales el intuicionista apenas sospechaba, el primer paso será mostrar que hay graves dificultades en

clarificar la teoría del sujeto creativo. El siguiente axioma (1)queda claro que hay que aceptarlo

lo que el axioma (1)dice es que si hemos probado o seremos capaz de probar A en algun estado

entonces podemos afirmar A

en este axioma (2) , una forma de ver lo que dice , intuicionisticamente, es que dada una prueba de A

29

podremos encontrar una prueba de que A fue probada en algún tiempo, aceptando estos dos axiomas

llegamos a la conclusión de que hay que aceptar la igualdad entre la verdad y una prueba ya sea en el

pasado o en el futuro

Este tercer axioma(3) es lo que expresa. Otras de las consecuencias de la aceptación del axioma (2) es

el hecho que el operador que introduce el tiempo se convierte en un operador redundante y se

distribuye sobre cualquier constante lógica si aceptamos (c) tendríamos que aceptar a (4) o sea:

lo que expresa, sin embargo, es del todo inaceptable. Lo que dice es que una vez que hemos probado un

enunciado cuantificado universalmente, estamos obligados a producir pruebas individuales de todas sus

instancias, pero es obvio que esto resulta ridículo al menos en dominios infinitos. Kreisel intentó

solucionar esta aparente paradoja interpretando el enunciado de la siguiente forma (5)

así lo que significaría sería algo más apegado al ideal intuicionista, una prueba en un estado k, de un

enunciado cuantificado universalmente, consituría una prueba en cualquie momento, de toda instancia.

Sin embargo esta manera de interpretar las cosas tiene sus propias dificultades veamos que pasa con el

conectivo de la implicación. De (6)

obtenemos (7)

y a partir de (2) se obtiene (8) a saber:

31

verdad intuicionista, matemática, con las constantes lógicas que le son ajenas. Estas dificultades

muestran que no es adecuada la formulación tarskiana, no cubre lo que el intuicionista quiere decir con

el predicado verdad. La formula de la verdad intuicionista, un enunciado es verdadero si existe una

prueba del enunciado, se adapata mejor a los fines intuicionistas ya que deja abierta la posibilidad de

que un enunciado que no sea verdadero ahora lo pueda ser en el futuro.

Entonces ahora el concepto central para explicar la verdad será el de prueba y como dice Dummett:

“Se ha sostenido, y creo que de modo correcto, que la noción de prueba necesita especializarse si ha de

proporcionar una explicación no circular del significado de las constantes lógicas intuicionistas”23

Dummet analizá primariamente la disyunción y el cuantificador existencial. El punto crucial es que por

ejemplo, en el caso de la disyunción, podemos considerar como verdadero a un enunciado sólo cuando

en realidad poseamos una prueba de ese enunciado. Así, la afirmación de un enunciado disyuntivo no

sería equivalente a decir que es verdadero, tómese a título de ejemplo el enunciado de que cierto

número n es primo, podríamos legítamente construir la afirmación de que es primo o es compuesto y

derivar de un argumento por casos alguna conclusión. Lo que hace esto posible es que tenemos en

principio un método para decidir el asunto, sin embargo, el punto es que en este paso no hemos llevado

a cabo de hecho dicha prueba. Pero como ya se ha dicho, en el caso de la disyunción podemos

considerar como verdadero a un enunciado sólo cuando en realidad poseamos una prueba de ese

enunciado. Habría que distinguir, por lo tanto, entre una prueba ,que sí está relacionada con la verdad,

y una demostración o argumento convicente, el cual sólo muestra un medio para llegar, si así se desea,

a una prueba.

Sin embargo, generan dificultades estas consideraciones, por ejemplo; el evidente divorcio entre el

concepto de verdad y el de afirmabilidad, esto a su vez nos lleva directamente a la conclusión de que se

puede afirmar un enunciado, aun cuando sepamos que no es verdadero. Estas mismas observaciones

valen, evidentemente, para el cuantificador existencial. Podría abandonarse esta distinción y adoptar

unicamente la de prueba e igualar a esta con la verdad, sin embargo la distinción es necesaria si hemos

de explicar sin circularidad otros conectivos y el cuantificador universal. Esto nos lleva a concluir:

23 Dummett, Michael, La verdad y otros enigmas, FCE, México, 2007. p.322

32

“La noción de de prueba canónica descansa así en alguna oscuridad; y este estado de cosas no es

tolerable indefinidamente, pues a menos que sea posible encontrar una explicación coherente y

relativamente precisa de la noción, la viabilidad de las explicaciones intuicionistas de las constantes

lógicas permanecerá dudosa.”24

El problema es que ambas soluciones nos llevan a resultados no deseados. Si afirmamos que podemos

decir que un enunciado es verdadero cuando tengamos una prueba, entonces como vimos, tenemos que

aceptar el divorcio entre las nociones de verdad y afirmabilidad. Si en cambio elegimos igualar la

verdad de un enunciado con la posesión de una demostración, entonces el problema será que la verdad

no será distibutiva sobre la disyunción o sea podriamos tener una demostracion de la disyunciónde de

p y q sin tener ni la demostración de p ni la demostración de q.

Una forma de solucionar esto, es debilitar la necesitad de que una prueba o una demostración se hayan

dado de manera efectiva. Si elegimos debilitar, por ejemplo la prueba, entonces estaremos en el mismo

caso y la mismas exigencias que le hacemos a una demostración, dada esta dificil situación es tentador

dar un paso más allá de lo que intuitivamente podría pensarse como aceptable intuicionisticamente y

decir que un enunciado es verdadero cuando estemos en posesión de los medios para obtener una

prueba incluso si no somos concientes de este hecho, el punto es saber si esta afirmación constituiría

una desviación grave de los principios intuicionistas.

Un caso en el que podemos darnos una idea de cómo esto podría operar es en el caso de la disyunción o

del cuantificador existencial. Imagínese que se tiene una demostración de una disyunción de algun

predicado decidible, es decir que somos capaces de reconocer si tiene o no tiene tal o cual propiedad.

Esta demostración nos proporcionará un medio para encontrar o llegar a una prueba, la prueba cuando

se encuentre, será la prueba de uno u otro disyunto. Pero no sabemos de cúal, de manera general; hasta

que apliquemos el procedimiento no sabemos cuál de los disyuntos es el caso. En este caso, en donde

los predicados son decidibles es grande la tentación de pensar que ya hay, aunque posiblemente

desconocida para nosotros, una solución a cuál de los dos disyuntos se aplica. Y si sostenemos esto no

hay diferencia entre pensar que las matemáticas son construcciones mentales o ideas que viven en un

cielo platónico por toda la eternidad. Será claro ,entonces, que no sería útil el tipo de argumento que

24 Ibid., p.326

33

favorecio Brouwer, el que está basado en la premisa de que las matemáticas son una construcción

mental, y el único camino que restará para defender una postura intuicionista será el primero que ya se

había mostrado, el que depende de una teoría del significado.

Por último quisiera ocupar algunas líneas para comparar las posturas de los autores ya expuestos. Es un

lugar común señalar que el principal punto de discrepancia entre Brouwer y Heyting(abreviado BH)

por un lado, y Dummett por el otro, es su postura con respecto al lenguaje. Considero acertada esta

apreciación.

La concepción del lenguaje de BH se caracteriza por una contínua crítica a su efectividad para

transmitir el pensamiento matemático. La empresa matemática es esencialmente una actividad

alingüística, y si se vale del lenguaje es sólo de manera accidental. El lenguaje sólo sirve como

instrumento mnemotécnico y como el medio donde se comunican los resultados a otros matemáticos,

que dicho sea de paso, nunca se está seguro de lograrlo.

Así planteado el asunto, la actividad del matemático es una actividad individual, un acto de creación,

semejante al del artista. BH jamás consideró como una objeción seria aquella que señalaba que su

planteamiento conducía a una postura solipsista. No obstante es uno de los principales puntos que

atacó todo detractor del intuicionismo así formulado. Dummet por su parte consideró esta objeción

muy seria. Si el intuicionismo pudiera tener una oportunidad tendría que superar esta objeción.

Afortunadamente para Dummett, sus consideraciones acerca del intuicionismo, la linea de sus

argumentos, no desembocan en este problema25.

La razón es que, como vimos en el capítulo anterior, los argumentos dumettianos no parten del mismo

lugar. Mientras que para BH es crucial la crítica a la actividad matemática, a la manera clásica, para

explicar su rechazo de ciertos principios y supuestos; para Dummett no. Hay quien ha sugerido,

incluso, que es problemático saber si debería considerarse a Dummett como un militante del

25 Cfr. Placek, Tomasz .ON BROUWER’S CRITICISM OF CLASICAL LOGIC AND MATHEMATICS, Logic and Logical Philosophy, Volume 5 (1997), pp.19–33

34

intuicionismo.26

“In more recent years support came, somehow surprisingly, from the philosophers’

camp, thanks to Michael Dummett’s semantical arguments. It is not,

however, quite clear to me whether Dummett’s position should be considered

militant.”

Para BH la revisión de la lógica estaba motivada por el caso especial de las matemáticas, el hecho de

que la lógica parecía no cumplir los requerimentos de las matemáticas. Por el hecho que la lógica

clásica parece sugerir que todo problema matemático era soluble.

La revisión de Dummett, por otra parte, está motivada por su concepción del lenguaje o más

especificamente, de la manera en que entendemos el significado. Quiero hacer notar que en este punto

es cuando se muestra la absoluta discrepancia entre unos y otros, principalmente entre Dummett y

Brouwer27. Brouwer no sólo no ve en el lenguaje el camino de justificación para el rechazo a la

aplicación de los principios de la lógica clásica sino que considera al lenguaje como un accesorio de la

actividad matemática.

Nunca he entendido bien por qué Dummett no se distancia más energicamente de las posturas de BH,

cuando creo que hay más divergencias que coincidencias.

En el mismo sentido podemos imaginar que Brouwer no estaría muy contento con la caracterización

que Dummett hace del intuicionismo y los caminos que adopta para su justificación.

Así, la diferencia consiste en que mientras BH rechaza la lógica clásica porque, en el caso de la

matemática, compremete con posturas con fuerte carga metafísica. Dummett la rechaza por que viola el

principio de publicidad en el lenguaje, el dictum wittgensteiniano que relaciona el significado con el

uso.

Pero también hay diferencial en el alcance, el argumento de BH, de ser correcto, apoyaria o bien el

abandono de la lógica en las matemáticas o la adopción de una como la que propuso Heyting.

26 Ibid., p. 2127 En el caso de Heyting, Dummett creía que en sus escritos ya están las bases para formular una teoría semántica para las

matemáticas.DUMMETT, M., «Realism», Synthese, V. 52, (1982), pp. 60, 91

35

El argumento de Dummett, por otra parte, tiene mucho mayor alcance. De resultar correcto

reformularía nociones centrales para el conocimiento humano, como la de verdad o la de prueba.

Crearía una revolución en la milenaria disputa acerca del realismo y la matemática sería un capítulo

únicamente, sin importar qué símil creyéramos que describe mejor esa actividad, el trabajo de un

artista o el de un descubridor.

36

El sistema Finalmente quisiera mostrar un sistema de lógica intuicionista. Sólo quisiera presentarlo, el sistema en

forma axiomática. Tal como hiciera Russell, por ejemplo, para la lógica clásica. De hecho, como se

verá, la lógica intuicionista es un sub-sistema de la lógica clásica, tanto en su variante proposicional

como en la de primer orden. La relación es tan evidente que es practicamente el mismo conjunto de

axiomas, sólo hay diferencia en uno.

El lenguaje, es decir la gramática y las reglas de formación son las mismas que las de la lógica de

predicados clásica.

Axiomas.

1. A→(Β→Α)

2. (Α→Β)→((Α→(Β→C))→(A→C))

3. A→(B→(A&B))

4. a) (A&B)→A

b) (A&B)→B

5. a) A→(AvB)

b) B→(AvB)

6. (A→C)→((B→C)→((AvB)→C))

7. (A→B)→((A→¬B)→¬Α)

8. Α(t)→(∃x)A(x)

9. (∀x) A(x)→A(t)(donde t is libre para x en A y x no es libre en A)

10. A→(¬A→B)

Reglas de inferencia.

1. A A →Β

Β

2. A → B(x)

(∀x) B(x)

3. A(x) → B

37

(∃x) A(x)→B

Si cambiamos el axioma 10 por: ¬¬A→A obtenemos un sistema axiomático para la lógica de predicados

o lógica de primer orden clásica. Es decir tenemos el resultado que ILϕ ⇒ CLϕ.

Si se añaden los axiomas para la identidad y para la teoría de números se obtiene un sistema formal para la

teoría de números intuicionista, llamada HA (por “Heyting Arithmetic). Y HA es, por supuesto, un

subsistema de la teoría de los números clásica PA(por Peano Arithmetic).

Propiedades sintácticas.La lógica intuicionista tiene la propiedad de la disyunción explícita (si IL(ϕ∨ψ), entonces

IL ϕ ο ILψ.) Y también la propiedad de definición explícita (si IL ∃x ϕ(x), entonces para algún

término “t”

ILϕ(t)).28

SemánticaLa semántica para la lógica intuicionista se formula en términos de mundos posibles, al igual que la

semántica para la lógica modal. De hecho la semántica de la lógica intuicionista no es más que un tipo

de semántica modal. Como es natural en estos casos, primero daré la semántica para la lógica

proposicional intuicionista y luego con algunas modificaciones y adiciones expondré la semántica para

la lógica intuicionista de predicados.

Doy por sentado que se conocen las reglas recursivas que discriminan las fbf(fórmulas bien formadas)

de las que no lo son.

El lenguaje de una lógica proposicional intuicionista es un lenguaje cuyos únicos conectivos son

∧, ∨, ∼ y →. Cabe mencionar que se debe poner especial atención en los dos últimos ya que se definirán de

una manera distinta a como suelen hacerse en el resto de los demás tipos de lógicas modales.

28 Tomado de: Posy, Carl, Intuitionism and Philosophy in The Oxford Handbook of Philosophy of Mathematics and Logic, March 2005

38

Una interpretación para este lenguaje es uan estructura <W, R, v>, en la cual W designa un conjunto de

mundos o situaciones epistémicas, R es una relación de tipo transitiva (τ) y reflexiva(ρ) y v es una función

que asigna valores; 1, 0.

También cuenta con una regla, la llamada regla de heredabilidad:

para todo w∈W, si vw(p)=1 y wRw′, entonces vw′(p) =1

Es decir si en un mundo (1) hemos probado P entonces en el mundo(2) y en los subsiguientes P deberá ser

verdadera.

Lo que pretende rescatar esta regla es la idea intuicionista de que una vez que hemos probado algo lo hemos

probado por toda la eternidad. Es decir tenemos cada vez más verdades o más bien pruebas.

La manera en que se le asignan valores a las fórmulas moleculares es la siguiente:

1) vw(A∧B)=1 syss29 vw(A)=1 y vw(B)=1

2) vw(A∨B)=1 syss vw(A)=1 o vw(B)=1

3) vw(∼A)=1 syss para todo w′ tal que wRw′, vw′(A)=0

4) vw(A→B)=1 syss para todo w′ tal que wRw′, sea el caso una de las siguientes dos opciones vw′(A)=0 o

vw′(B)=1

Nótese que la negación intuicionista es equivalente a la negación clásica antecedida por el operador de

necesidad y que A→B es equivalente a ð (A→B).

Nosotros utilizaremos el método de los árboles semánticos para probar la validez o la no validez de las

fórmulas.

Para obtener un árbol para la lógica intuicionista proposicional. Los nodos de nuestro árbol serán de la

forma A, +i o A, -i. Intuitivamente el primero quiere decir que A es verdadero en el mundo i y el segundo

que es falso. Aquí se puede apreciar una fundamental diferencia, con respecto a las otras semánticas de la

lógica modal. Cuando una fórmula A era falsa se indicaba poniendo ∼A pero ahora, dado que no vale el

29 Léase “si y sólo si”

39

principio del tercero excluido, no tenemos derecho a afirmarlo. A puede ser falsa en un mundo sin que ∼A

sea verdadera.

La lista inicial de un árbol semántico para una inferencia dada conlleva a que B, +0 para toda premisa. Es

decir, suponemos como verdadera toda fórmula que trabaje como premisa en el mundo 0. Y suponemos

como falsa la conclusión y lo denotamos A, -0.

Una rama se cierra syss se encuentra en la misma rama A, +i y A, -i.

Las reglas para los conectivos en el árbol son:

A∧B, +i A ∧ B, -i

↓ ↓ ↓

A, +i A, -i B, -i

B, +i

A ∨ B, +i A ∨ B, -i

↓ ↓ ↓

A, +i B, +i A, -i

B, -i

A→B, +i A→B, -i

irj ↓

↓ ↓ irj

A, -j B, +j A, +j

B, -j

∼Α, +i ∼A, -i p, +i

irj ↓ irj

↓ irj ↓

A, -j A, +j p, +j

40

Αhora pasaremos a demostrar unos de los teoremas más importantes de la lógica intuicionista y

también que algunos teoremas clásicos no son teoremas intuicionistas.

I P→∼∼P

I P→∼∼P (1)

0r0 (2)

0r1 (3)

p, +1 (4)

∼∼p, -1 (5)

1r1 (6)

1r2 (7)

∼p, +2 (8)

2r2, 0r2 (9)

p, -2 (10)

p, +2 (11)

Ahora paso a explicar cada paso:

(1) es el resultado de negar la fórmula, lo que se quiere probar en última instancia es que no es posible

tener p verdadera y ∼∼p falsa.

(2) Es la propiedad reflexiva aplicada al mundo inicial 0

(3) Es el resultado de aplicar la regla de A→B, -1 a (1)

(4) Es el resultado de aplicar la regla de A→B, -1 a (1)

(5) Es el resultado de aplicar la regla de A→B, -1 a (1)

(6) Por propiedad reflexiva

(7) Es el resultado de aplicar a (5) la regla de ∼A, -1

(8) Es el resultado de aplicar a (5) la regla de ~A, -1

(9) Por aplicar reflexiva a mundo 2 y transitiva a mundo 0, mundo 1 y mundo 2.

(10) Aplicar a (8) la regla de ∼

(11) Aplicar a (4) la regla de herabilidad o hereditaria.

41

Y como encontramos que p, -2 y p, +2, llegamos a una contradicción y se cierra la única rama del

árbol, significando esto que no hay interpretación posible que haga verdadera a P pero falsa a ∼∼P.

Otro árbol que demuestra que P→Q ∼P∨Q no es teorema.

P→Q, +0

∼PvQ, -0

0r0

∼P, -0

q, -0

0r1

p, +1

1r1

↓ ↓

P, -0 Q, +0

↓ ↓ X

P, -1 Q, +1

X

Una vez aplicadas todas las reglas pertinentes, queda una rama abierta. Esto demuestra que hay al menos un

modelo de mundos donde la premisa puede ser verdaderas y la conclusión falsa, por lo tanto no es teorema

o una fórmula válida.

42

Árbol que demuestra que ∼∼p→p no es teorema.

∼∼P→P, -0

0r0

0r1

∼∼P, +1

P, -1

1r1

∼P, -1

1r2

P, +2

2r2, 0r2

∼P, -2

2r3

.

.

.

43

Semántica para la lógica de predicados

intuicionista.

La semántica para la LPI se da bajo los lineamientos de las siguientes ideas30:

1) Una demostración de ∃x ϕ(x) consta de un nombre d de un objeto construido en el dominio de

discurso más una demostración de ϕ(t) y la conclusión ∃x ϕ(x).

2) Una demostración de ∀x ϕ(x) consta de un método tal que para cualquier objeto d construido en el

dominio produzca una demostración de ϕ(d).

El lenguaje para LPI tiene los mismos conectivos que la lógica proposicional intuicionista, pero también

tiene cuantificadores, ∀ y ∃.

Una interpretación para este lenguaje es de la forma {D, W, R, v} y tal como pasaba con la lógica

proposicional R también conserva las propiedades de ser reflexiva y transitiva.

Nuestro lenguaje también contiene dos requerimientos extras:

1) vw(p)⊆vw′(p)

2) Dw⊆Dw′

El primer requerimiento es la versión para LPI de la regla de herabilidad que ya teníamos en la lógica

proposicional intuicionista, si tenemos la prueba de algo, esto queda probado para siempre.

La segunda tiene que ver directamente con la primera, lo que señala es que siempre se irá

incrementando el dominio. En el sentido de que es natural pensar que cada vez contaremos con mayor

número de verdades o pruebas.

La validez de una inferencia sigue siendo dada, intuitivamente, por el hecho de que si para todo mundo

que haga verdadera al conjunto de premisas, entonces tiene que hacer verdadera a la conclusión.

30 La semántica la he tomado de: Priest, Graham, Non-Classical logic, Routledge, New York, 1996.

44

Para obtener las reglas para formar árboles semánticas para LPI conservamos las reglas para la lógica

proposicional y agregamos las siguientes que expresan el significado de los cuantificadores.

∃xA, +i ∃xA, -i

↓ ↓ ↓

∃(c), +i ∃(a), −i Ax(a), -i

Ax(c), +i

∀xA, +i ∀xA, -i

irj ↓

↓ ↓ irj

∃(a), -j Ax(a), +j ∃(a), +j

Ax(a), -j

Vemos que los árboles rescatan la idea de los intuicionistas. En términos intuitivos, el cuantificador

existencial es verdadero cuando construimos un objeto y demostramos que tiene tal propiedad. Y es falso

cuando o no hay dicho objeto, un dominio sin elementos, o sí existe, pero no tiene tal propiedad.

El esquema de el cuantificador universal lo que intenta rescatar es que para que sea verdadero, si tiene

elementos el dominio, entonces tienen que cumplir la propiedad, es falso de cualquier otra forma.

45

Prueba de que: ∀x Px →Pa

∃a, +0

∀x Px →Pa, -0

0r0

0r1, 1r1

∀x Px , +1

Pa, -1

↓ ↓

∃(a), -1 Pa, +1

∃(a), +1 X

X

Prueba de que: ∃x (Px v ∼Px) no es teorema.

∃(c), +0

∃x (Px v ∼Px), -0

0r0

↓ ↓

∃(c), -0 P(c) v ∼P(c)

X P(c), -0

∼P(c), -0

0r1, 1r1

P(c), +1

∃(c), +1

46

BibliografíaCENTENARIO DE LA TESIS DOCTORAL DE L. E. J. BROUWER 100 años de intuicionismo matemático, Roetti, Jorge Alfredo, ¿Por qué recordamos a Brouwer?, (2007) AnANCBA, Argentina

CENTENARIO DE LA TESIS DOCTORAL DE L. E. J. BROUWER 100 años de intuicionismo matemático. Molina, Jorge, Matemática, ciencia y lenguaje, (2007) AnANCBA, Argentina

Dick, De Jongh, Intuicionismo, Institue for Logic, Language and computation, Universiteit van Amsterdam.

DUMMETT, M., «Realism», Synthese, V. 52, (1982).

DUMMETT, M., Frege, Philosophy of Language, London, Duckworth

Dummett, Michael, La verdad y otros enigmas, FCE, México, 2007.

Espinoza, Miguel, “Intuicionismo y objetividad”, en Thémata. Revista de filosofía. Num. 30, 2003

Fabrice Pataut, Una perspectiva anti-realista sobre: Lenguaje, pensamiento, lógica e historia de la filosofía analítica(entrevistacon Michael Dummett), Tópicos, número 008-009, Asocicación Revista de filosofía de Santa Fé, Santa Fé, Argentina.

Heyting, A., Intuitionism: An introduction, Amsterdadm, NorthHolland, 1956

J J O'Connor and E F Robertson , Arend Heyting, forthcoming URL = http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Heyting.html

L. E. J. Brouwer, Collected Works, Vol I

Martínez Vidal, Concepción, La concepción antirrealista de la lógica, Agora 11/2, Universidad de Santiago de Compostela, chile, 1992.

ON BROUWER’S CRITICISM OF CLASICAL LOGIC AND MATHEMATICS, Logic and Logical Philosophy, Volume 5 (1997)

Posy, Carl, Intuitionism and Philosophy in The Oxford Handbook of Philosophy of Mathematics and Logic, March 2005

Priest, Graham, Non-Classical logic, Routledge, New York, 1996.

Van Dalen, Dirk, 2001, "Intuitionistic Logic", en Goble, The Blackwell Guide to Philosophical Logic.