El intuicionismo Brouwer, Weyl - José Montesinos Sirera

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  • EL INTUICIONISMO: J. BROUWER, H. WEYL

    Jos Montesinos Sirera1. B. Villalba Hervs de La Orotava

    "Para nosotros los primeros, los nacidostempranamente del siglo futuro ... el viejo Diosha muerto"

    (Nietzsche, 1886)

    INTRODUCCIN

    En Enero de 1889 Friedrich Nietzsche, la ms incisiva voz filosfica definales del siglo XIX, se derrumba psquicamente al ver el duro castigo a que essometido un caballo en una plaza de lUrn. Nietzsche es internado en una clni-ca de Basilea y con la razn perdida, su torturada mente descansa al fin. Anvivira diez aos al cuidado de su madre y de su hermana. Nietzsche, anuncin-donos "la muerte de Dios" estara, segn la interpretacin de su gran exgetaHeidegger, certificando el fin de dos milenios de Cultura Occidental y el adve-nimiento del Nihilismo. La muerte de Dios, del Dios Cristiano, sera el fin de laconcepcin platnica en la que el mundo de las Ideas y de los Ideales sustituaal verdadero mundo de los sentidos. Es el fin de la Metafsica. El Nihilismo es,segn Nietzsche, un movimiento que se sucede a lo largo de la historia occiden-

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    tal que produce la devaluacin y prdida de los ms altos valores: Dios y elmundo suprasensible como mundo que realmente es y que detennina todo, lasideas y los ideales, lo verdadero, lo bueno, lo bello.

    El Nihilismo no es simplemente un signo de decadencia, es ms bien lo queconstituye la lgica interna de la historia del mundo occidental. Efectos, que nocausas del mismo, seran la prdida de la autntica fe cristiana y el auge del"cristianismo" como cmplice de una poltica de dominacin, el dominio de latcnica y la rebelin de las masas. Los valores que llenaran el vaco dejado porla prdida de aquellos altos valores seran el Progreso y el Socialismo. La metade la eterna felicidad individual en el otro mundo se habra cambiado por laterrena felicidad de los ms. El culto religioso se habra relajado en beneficio delconsumo de cultura y la creatividad, prerrogativa del Dios bblico, sera ahora lacaracterstica distintiva de la actividad humana.

    A la Metafsica le sucede la Tcnica con sus servidoras las CienciasPositivas, encumbradas por sus xitos en el dominio de la Naturaleza. Y sinembargo, la palabra que ms suena en los crculos intelectuales europeos acomienzos del siglo XX es la de CRISIS. (1) Edmund Husserl (1859-1938) en1936 escribe un importante libro sobre "La crisis de las ciencias como expre-sin de la crisis vital radical de la humanidad europea":

    "Cabe hablar seriamente de una crisis de nuestras ciencias sin ms?No ser ms bien una exageracin este discurso, tan comn en nues-tros das? Que una ciencia est en crisis quiere decir, en efecto, nadamenos que esto: que su cientificidad genuina, que el modo como seautopropone objetivos y tareas y elabora, en consecuencia, una meto-dologa, se han vuelto problemticos. Esto podra, ciertamente, resultaraplicable a la filosofa, que en el presente tiende amenazadoramente asucumbir al escepticismo, al irracionalismo, al misticismo ... PeroCmo podramos hablar sin ms y seriamente de una crisis de las cien-cias en general y, por lo tanto, tambin de las ciencias positivas, inclu-yendo la matemtica pura, las ciencias exactas de la naturaleza, quenunca podremos, sin embargo, dejar de admirar como ejemplos mod-licos de una cientificidad rigurosa y fecunda en grado sumo?"

    La reduccin positivista de la idea de ciencia a mera ciencia de hechos es,segn Husserl, la provocadora de la "crisis" de la misma como prdida de suimportancia y significacin para la vida. Meras ciencias de hechos hacen meroshombres de hechos.

    El positivismo decapita, por as decirlo, la filosofa. El escepticismo frentea la posibilidad de una metafsica, el desmoronamiento de la creencia de una

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    filosofa universal omo conductora del hombre nuevo significa precisa y cohe-rentemente el hundimjento de la fe en la "razn", entendida en sentido similar alde la oposicin hecha por los antiguos entre episteme y doxa.

    En los dominios de las Matemticas, sin embargo, los ltimos veinte aosdel siglo XIX asisten a un espectacular avance en los intentos del hombre porcontrolar los procesos infinitos y en su bsqueda de la esencia y estructura delcontinuo matemtico. Este salto hacia delante tiene una base inequvocamentemetafsica y tpicamente gennnica. La teora de conjuntos, los nmeros trans-finitos, la pretensin de haber encuadrado el infinito en una totalidad actual yesttica, el continuo de Cantor-Dedekind, son el fruto, segn el propio Cantor,del uso de la libertad de creacin en matemticas -y como casi siempre a lo largodel desarrollo de la matemtica occidental- con el concurso y beneplcito delDios cristiano.

    Tendamos a comienzos del siglo XX, segn Jan Sebestik, "Una matemti-ca en s instalada en el corazn del infinito que contempla con los ojos de Dios".

    Una spera disputa, que durar cincuenta aos, se entabla entre los cons-tructivistas: Kronecker, Poincar, Borel, Brouwer, H. Weyl, de una parte ylos formalistas-Iogicistas: Dedekind, Cantor, Peano, Hilbert, Russell ... de laotra. Las famosas controversias Poincar-Russell y Poincar-Hilbert son segui-das con atencin por el mundo cientfico en los albores del siglo XX. La pre-tensin de reducir las matemticas a la lgica y la manera de "certificar" la exis-tencia de los entes matemticos son temas centrales en la disputa, que arreciacuando los "excesos" fonnalistas conducen a las antinomias de la teora de con-juntos y hacen tambalear todo el edificio matemtico.

    El ms radical de los constructivistas y reconocido representante de esaFilosofa de la Matemtica que es el Intuicionismo, Jan Brouwer, en una con-ferencia no publicada, impartida en 1949 ("Disengagement ofMathematics fromLogic"), hace un reconido histrico sobre el desarrollo de los mecanismos delpensamiento matemtico en lo que concierne al origen de la certeza matemticay a los lmites de su contenido, que exponemos a continuacin antes de entrar delleno en el tema que nos ocupa.

    Que en estos mecanjsmos del pensamiento matemtico haya habido tanpocos cambios a lo largo de los siglos se debe, segn Brouwer, a la creencia enlas propiedades del espacio y del tiempo, inmutables e independientes del len-guaje y de la experiencia. Al conocimiento exacto de esas propiedades es a loque se llama matemticas y a ese conocimiento se llega en general a travs delsiguiente proceso: se advierten ciertas regularidades experimentales que pare-cen invariables (con un cierto grado de aproximacin) y a partir de ah se pos-tula una absoluta y segura invariabilidad. A estas regularidades se las llamaaxiomas y a travs del lenguaje y con ayuda de la razn guiada por la experien-

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    cia, usando los principios de la lgica clsica se concluyen nuevos sistemas depropiedades.

    A esto lo llama Brouwer el "observational standpoint". Pero en el siglo XIXy a comienzos del XX y como consecuencia de los descubrimientos deLobachevski, Riemann, K1ein, Einstein, Levi-Civita y otros, este punto de vistaes inmantenible en lo que concierne al espacio y las matemticas van transfor-mndose gradualmente en una mera ciencia de nmeros. Animados por el impor-tante papel jugado por el mtodo lgico-lingustico en la creacin de nuevasgeometras concebibles, mtodo que opera con palabras por medio de reglaslgicas y sin el concurso de la experiencia, la Vieja Escuela Formalista(Dedekind, Cantor, Peano, Hilbert ...) rechaza cualquier elemento extralingusti-co en la construccin de los entes matemticos.

    Ms adelante, ante las crticas recibidas por parte de los pre-intuicionis-tas (Poincar, Borel, Lebesgue), Hilbert funda la Nueva Escuela Formalista,que aceptar la existencia de entes matemticos independientemente del lengua-je, pero nicamente para la meta-matemtica, esto es, para el conjunto de reglasmediante las que se manipulan los smbolos del lenguaje matemtico. Antes deseguir con la figura de Brouwer daremos algunas referencias sobre los construc-tivistas-intuicionistas franceses.

    LA ESCUELA INTUICIONISTA FRANCESA

    La primaca de la intuicin en el pensamiento cientfico francs se remon-ta a Ren Descartes, que en la tercera de las "Reglas para la direccin del esp-ritu", quedaba definida as:

    "Entiendo por intuicin, no la creencia en el variable testimonio de lossentidos o en los juicios engaosos de la imaginacin -mala regulado-ra- sino la concepcin de un espritu sano y atento, tan distinta y tanfcil que ninguna duda quede sobre lo conocido; o lo que es lo mismo,la concepcin firme que nace en un espritu sano y atento, por las lucesnaturales de la razn".

    No admitir Descartes ms que dos vas para llegar al conocimiento de lascosas, la intuicin y la deduccin; y sta en cierta forma supeditada a la prime-ra, pues

    "He colocado la deduccin junto a la intuicin porque hay muchascosas que pueden ser conocidas con toda seguridad -an no siendo

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    evidentes por s mismas- deducindolas de principios ciertos por unmovimiento continuo y no interrumpido del pensamiento y con unaclara intuicin de cada cosa".

    Ya en el perodo que nos ocupa, a finales del siglo XIX, HENRY BERG-SON continuando la tradicin cartesiana, mantendr tambin que hay dos for-mas de llegar al conocimiento. Una, la analtica que alcanza su mayor desarro-llo en la ciencia positiva, espacializando y conceptualizando, con tendencia aver las cosas como slidas y discontinuas. La otra es intuitiva, que es una per-cepcin global inmediata, que va directamente al corazn de las cosas y captaas la realidad verdadera, la interioridad, la duracin, la continuidad, lo que semueve y se hace. La primera es til para actuar en el mundo pero falla en alcan-zar la realidad esencial de las cosas, porque no considera el factor tiempo y suflujo perpetuo que es inexpresable y nicamente aprehensible a travs de laintuicin.

    El mtodo intuitivo descubre en lo psquico los caracteres de duracin,cualidad y libertad. Estos caracteres son opuestos a la yuxtaposicin, cantidady determinismo, que el naturalismo considera como los elementos constitutivosde lo real y que no son ms que esquemas de la inteligencia.

    Pero el concepto sobre el que gira toda la filosofa bergsoniana es el detiempo, concebido como duracin, algo que no es susceptible de reducirse alinstante, pues es un flujo continuo cuyos momentos sucesivos no pueden sepa-rarse.

    "Comment pourtant ne pas voir que l'essence de la dure est de couler,et que du stable accol adu stable ne fera jamais nen que dure".

    Es errneo pues, para Bergson, espacializar el tiempo y ordenarlo rectilne-amente distinguiendo un pasado, un presente y un futuro. Para la realidad de laconciencia el tiempo es duracin y slo puede ser captado mediante la intuicin.La influencia de la filosofa de Bergson en Francia y en toda Europa es enormeen el perodo que va de 1900 a 1920, pero en el terreno estrictamente cientficoes HENRY POINCARE el que portar el estandarte de la intuicin, esta vezpara enfrentarla al logicismo galopante que domina a la matemtica a comien-zos del siglo Xx.

    Henry Poincar (1854-1912), brillante matemtico y hombre de ciencia, esuno de los ltimos "sabios" que han existido. Desde la Filosofa y la Literatura,a la Mecnica y Astronoma, domin todos los saberes de su poca. Calificadocomo pre-intuicionista por Brouwer, es sin duda, el ms destacado miembro delIntuicionismo, como filosofa de la matemtica, en sus inicios.

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    Declarado enemigo dellogicismo (2), para Poincar la matemtica no deri-va de la lgica y ello es especialmente claro en los dos temas fundamentales delas matemticas, en el dominio de los nmeros y en el dominio del espacio.

    La lgica sirve slamente para "lo finito" y su objetivo es el de clasi-ficar. Cualquier tentativa de introducir en la Lgica un axioma del infi-nito es traicionar su esencia. Slamente en las matemticas se puedehacer referencia al infinito (potencialmente) porque el razonamientomatemtico puede ser recursivo y la base de este proceso est en laintuicin.

    Sin embargo, la lgica y la intuicin se necesitan la una de la otra; la lgi-ca sirve para analizar, combinar y dar rigor y certeza (tautolgica); la intuicinda los datos iniciales, inventa y unifica.

    Poincar distingue dos tipos de intuicin en las matemticas: la intuicindel "nmero" y la de los "sentidos". La primera est ms all de los sentidos yes la base de la aritmtica, la segunda es menos fiable y es la base de la geo-metra.

    "Ellas no tienen el mismo fin y parecen poner en juego dos facultadesdiferentes de nuestro espritu; se diran dos focos que alumbrasen mun-dos extraos el uno al otro"

    La intuicin del "puro nmero" es indudable y "a priori"

    "... y ello no es sino la afirmacin de una potencia del espritu, el cualconcibe la repeticin de un mismo acto desde el momento que este esposible una vez (.oo) La induccin matemtica se impone de maneranecesaria porque es simplemente la afirmacin de una propiedad delespritu mismo"

    ("La science et l'hypothese").

    Para Poincar la segunda de las intuiciones es ms dudosa. A travs de laintuicin de los sentidos, llegamos a la nocin de un espacio de representacinemprica. Nuestras sensaciones visuales, tctiles, de esfuerzo muscular y sucombinacin forman una nocin de stas. En este espacio de representacinconstruimos una geometra indagando en el modo en que las sensaciones sesuceden unas a otras.

    De este espacio de representacin se pasa a un espacio matemtico (continuo). Los cuerpos externos se convierten en figuras rgidas y el movi-

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    miento de estos cuerpos, esto es, la sucesin de sensaciones, es representadoconceptualmente en la idea matemtica de grupo de movimientos. Pero sonmuchas las posibles leyes que explican esa sucesin de movimientos. En con-secuencia no existe una sola geometra. As pues en geometra Poincar es con-vencional.

    Otros matemticos franceses de esta poca que cabra encuadrar en laEscuela Intuicionista son Borel (1871-1956) y Baire y en menor medidaLebesgue (1875-1941), que protagonizaron una sonada polmica epistolar conel tambin matemtico francs Hadamard (1865-1963) a propsito del grantema de controversia: la nocin de existencia de un ente matemtico; la ocasinla dio el axioma de eleccin del matemtico alemn Ernst Zermelo (1871-1953).

    Dado un conjunto infinito A podemos elegir un elemento Xl pertenecien-te a A, y repetir el proceso en el conjunto A- {x 1} Yas sucesivamente, con loque conseguiramos una sucesin xl' x2' x3' oo. que obviamente tendra lapotencia de los nmeros naturales y as quedara probado que todo conjuntoinfinito tiene al menos un subconjunto numerable. Lo problemtico de esteargumento est en que, en general, no existe un mtodo explcito para elegirsucesivamente esos elementos y entonces salta la pregunta Existe ese con-junto as seleccionado? Bien, pues esto es lo que afirma el axioma de elec-cin, que tiene otras muchas formulaciones equivalentes y que es vital enmuchas ramas del Algebra y del Anlisis para demostrar teoremas de "exis-tencia".

    Borel public una nota en los Mathematische Annalen criticando el usodel axioma de Zermelo; Hadamard le replic haciendo la distincin entre exis-tencia de una funcin y su efectiva descripcin. Baire y Lebesgue se suma-ron a la polmica indicando que la existencia de un ente matemtico puede serasegurada nicamente cuando se da una propiedad que la caracteriza y que enel mejor de los casos, la existencia garantizada por el axioma de Zermelo con-sista solamente en que esos entes carecan de contradiccin. Hadamard escri-be de nuevo y ante la especfica pregunta queda garantizada la existencia deun ente matemtico sin una definicin que lo describa completamente? su res-puesta es un categrico s, previniendo lo catastrfico que sera la negativapara todo el edificio de la matemtica cantoriana.

    Borel, finalmente, cerrando la polmica, se reafirma en su negativa aaceptar tales argumentos y nicamente concede que esos "teoremas cantoria-nos" pueden servir de ayuda para construir demostraciones "serias", pero queen s mismo son asertos carentes de significado y que a lo mximo tendran elstatus de ciertas teoras en fsica matemtica.

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    EL INTUICIONISMO BROUWERIANO

    El autntico creador de esa nueva filosofa de la matemtica conocida hoycomo I~tuicionismo es Luitzen Egbertus Jan BROUWER.

    Para tratar de explicar con detalle los rasgos fundamentales que la constitu-yen seguiremos el excelente y documentado libro de Walter P. van Stigt (3), enel que se rastrea la genealoga del intuicionismo brouweriano a travs de la com-plicada personalidad de Brouwer y de su filosofa de la vida.

    LOS PRIMEROS AOS Y LA FORMACION DE SU FILOSOFIA DELA VIDA

    Nace Brouwer el 27 de Febrero de 1881; es el mayor de los tres hijos deun maestro de escuela que le convierte en un nio prodigio que ir siempre ade-lantado varios aos en los estudios. Es siempre el alumno ms brillante y ter-mina los Bachilleratos de Letras y de Ciencias con las mximas calificaciones.

    A los 16 aos se matricula en la Universidad de Amsterdam para estudiarmatemticas, lo que no le impide seguir cultivando la lectura de los clsicos yde sus filsofos preferidos: Kant y Schopenhauer. Para entonces, el jovenBrouwer ha desarrollado un extremado individualismo; cuando tiene 17 aosen ocasin de su confirmacin en la fe de la Iglesia Reformada Protestante a laque perteneca, escribe, despus de declarar su sincera y apasionada creenciaen Dios:

    u Debo aceptar, sin embargo, que esta creencia en Dios es algo fuerade lo normal, principalmente porque est fundada en una filosofa queno reconoce ms que a Dios y a m mismo como nicos seres existen-tes. Yo, al que conozco, y mi Dios, mi Seor, al que siento"

    Ms adelante prosigue diciendo,

    UDios me ha dado la ambicin de hacer mi vida tan bella como seaposible, pero sucede que el mundo que me rodea me hiere por su sor-didez y es mi deseo el cambiarlo. Aunque difcilmente puedo llamaresto amor a mi prjimo, porque la gente me importa un pimiento. (4)

    En 1900 la burguesa holandesa est instalada en un cmodo conformismoy en las universidades corren vientos de rebelda. En la joven "intelligentsia"prenden tendencias neo-romnticas de una vuelta a la naturaleza y de rechazo

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    -muy de nuestros das- a una Industria contaminante y las filosofas orientalesofrecen un marco en el que encuentran alivio estas inquietudes. El movimientoTeosfico, una mezcla de doctrinas esotricas de tradicin hinduista, que favo-rece la experiencia mstica y la meditacin se pone de moda en los crculos estu-diantiles de Amsterdam.

    Brouwer, aun conservando un rabioso individualismo, no es ajeno a estasinfluencias. Se interesa por los msticos medievales Boehme y Eckehart, cultivaun pesimismo shopenhaueriano y lee con mucho inters las obras de Bergsonque en estos momentos aparece con fuerza en la Europa culta como la persona-lidad que trata de reconciliar Metafsica y Ciencia. Hay que resaltar, que el jovenBrouwer, tmido, introvertido y extremadamente asocial, recibe todas estasinfluencias como fermento para sus propias ideas que llevan, sin duda, un sellode originalidad (no aceptar nunca en sus escritos alguna influencia detenninan-te en su fonnacin), y todo ello lo encaminar a un fin: la obsesiva bsqueda enlo ms ntimo de su ser, de los Fundamentos y de la Naturaleza de lasMatemticas.

    Estas ideas, su concepcin de la vida y del mundo, las plasmar en su escri-to juvenil "Vida, Arte y Misticismo" (1905), del que no renegar nunca, a pesarde ser la fuente en la que se alimentarn sus detractores. La obra es un manifiestoincendiario contra la sociedad en la que vive. Especial ataque recibe la naturale-za humana que con su habilidad para razonar se convierte en "un pjaro arro-gante que se come su propio nido, interfiriendo con la madre Natura, mutiln-dola y haciendo estril su poder creativo hasta que toda la vida haya sido devo-rada".

    El manifiesto es ferozmente anti-cientfico y anti-intelectual. La Causalidades condenada como esencialmente inmoral

    "El intelecto ha rendido a la humanidad un maligno servicio al ligaresas dos fantasas que son la causa y efecto ... ""Una verdad cientfica no es ms que una cierta infatuacin del deseo,que vive exclusivamente en la mente".

    Dedica un captulo entero al lenguaje humano y a la imposibilidad de unareal comunicacin entre los hombres. Para Brouwer, de acuerdo con la tradicinmstica, el hombre es un ser espiritual, un alma aprisionada por un cuerpo y sumanifestacin ms natural es la de la vida contemplativa, ms all del tiempo; esla intuicin en su fonna ms pura. No hay certeza de la existencia de otras men-tes y as una comunicacin directa con ellas es imposible. El nico tema positi-vo del libro es el de la intuicin o "visin interior". El hombre, volcndose en smismo es como encuentra la verdadera sabidura y el alivio a las frustraciones

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  • SEMINARIO OROTAVA DE HISTORIA DE LA CIENCIA - Ao IV

    de la existencia en el Mundo. La vuelta a la naturaleza y a la vida sencilla es elblsamo para la infelicidad que nos rodea.

    Esta fuga del mundo, la pone en prctica el propio Brouwer, hacindoseconstruir una cabaa,"de Hut", en el bosque, cerca del pequeo pueblo de Laren,lugar de residencia de artistas y bohemios. All se refugiar en muchos momen-tos de su vida y all producir sus mejores trabajos en Topologa y Fundamentos.Tampoco sale bien parada la condicin femenina en su "corpus terico", pero sumisoginia no le impedir, con un sentido prctico impropio de naturaleza tanpura, el casarse en 1904 con Elizabeth de Holl, divorciada de su primer marido,acomodada farmacutica y doce aos mayor que l. Este otro refugio csmico lepermitir entre otras cosas poder retirarse a su cabaa para meditar y estudiarlejos del mundanal ruido y de los inconvenientes de tener que ganarse la vida,en un primer perodo, antes de convertirse en profesor de la Universidad deAmsterdam.

    Aunque Brouwer, en general, desprecia la filosofa acadmica, va formn-dose en l lo que llama su "filosofa de la vida" que impregnar despus su con-cepcin de la matemtica. Especialmente importante para sta sern sus ideassobre el Lenguaje y sobre el Tiempo.

    En todos sus escritos filosficos muestra que el propsito esencial del len-guaje es el de la transmisin de la voluntad del hombre en dominar el mundo quele rodea.

    "En los ms remotos estadios de la civilizacin yen las ms primitivasrelaciones entre los hombres, la transmisin de la voluntad de un hom-bre para que otro trabaje o le sirva se hace mediante gestos simples detodo tipo y fundamentalmente a travs de los sonidos naturales y emo-tivos de la voz humana" (Will, Knowledge and Speech, 1933)

    Para Brouwer, pensar es un acto exclusivo del hombre individualmente con-siderado y hablar es una actividad del hombre social, un instrumento para pro-vocar la accin de otros. La pura vida interior del hombre no puede ser comuni-cada. En relacin al otro de sus grandes temas, dice:

    "El fenmeno primordial no es otro que la intuicin del tiempo, en elque la repeticin de "algo-en-el-tiempo y otra vez ese algo" es posi-ble"

    A diferencia de Kant, para quien la intuicin "a priori" del tiempo es un ele-mento permanente y pasivo del pensamiento humano, en Brouwer, el tiempo, laIntuicin Primordial es un suceso en la gnesis de las cosas; es la presencia

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    simultnea en la conciencia de dos sensaciones, la del pasado y la del presente.La Intuicin Primordial es una intuicin mediante la cual el hombre capta en eltiempo la relacin antes-despus.

    SU FILOSOFIA DE LA MATEMTICA

    a) El Primer Acto del IntuicionismoEn 1907 Brouwer presenta su tesis doctoral en la Universidad de

    Amsterdam sobre "Los Fundamentos de las Matemticas". La bsqueda de lagnesis de la matemtica comienza con un examen crtico de las filosofas de lasmatemticas existentes en ese momento. El logicismo de Russell, el formalismode Hilbert, el pre-intuicionismo de Poincar son expurgados, siempre sobre labase de su particular filosofa, de los elementos que se originan en las tenden-cias "viles" de la naturaleza humana: los elementos causales que conforman laciencia y los Iingusticos como parte de la accin social.

    Su interpretacin de las matemticas como pensamiento constructivo a par-tir de la Intuicin Primordial surge en un proceso de eliminacin de aquellos ele-mentos nocivos y por pura reflexin filosfica sobre la naturaleza del razona-miento y la constitucin del tiempo. Aunque comparte la reaccin anti-logicistade la escuela pre-intuicionista francesa y su conviccin de que las matemticasnecesitan estar ligadas ntimamente a la mente humana, Brouwer es ms radicalen la bsqueda de la naturaleza de esa contribucin y en la aceptacin de las con-secuencias, devastadoras para el conjunto de la matemtica oficial, de esos prin-cipios fundacionales.

    Brouwer no teme perder el paraso prometido por Hilbert. Despoja a lasmatemticas de todas las connotaciones teolgicas que la haban acompaado enlos ltimos trescientos aos y que haban alcanzado su mximo en las manipu-laciones del infinito llevadas a cabo por Cantor. Para Brouwer las matemti-cas son humanas, demasiado humanas. La Ciencia oficial consiste en la clasi-ficacin sistemtica de secuencias causales de fenmenos y en particular lasmatemticas seran la rama del pensamiento cientfico que se ocupara de estu-diar la estructura de los fenmenos. La visin matemtica de estos fenmenosestara motivada por la voluntad del hombre de autoconservarse y la eleccin delas estructuras a considerar estara determinada por las exigencias del individuoen relacin a la sociedad.

    En la concepcin "dinmica" que Brouwer tiene de las matemticas, stasevolucionan a lo largo de la Historia, y son el producto de la mente humana contodos los defectos que ello conlleva en cuanto a su falibilidad. En esta evolucinlas leyes de la Lgica aparecen como el resultado histrico de la lucha del hom-

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    bre por organizar agregados de un nmero finito de objetos. Sucede que estasmismas leyes pueden ser aplicadas a conjuntos infinitos, con una excepcin, laley del tercio excluso (tertium non datur).

    PRIMER ACTO DEL INTUICIONISMO

    ... que separa completamente la matemtica del lenguaje matemtico ypor tanto de los fenmenos lingusticos descritos por la lgica tericay reconoce que la matemtica intuicionista es una actividad esencial-mente alingustica de la mente que tiene su origen en la percepcin deun movimiento del tiempo. Tal percepcin puede ser descrita como laseparacin de un momento de la vida en dos cosas distintas, una de lascuales antecede a la otra, y es conservada en la memoria. La dualidadas engendrada, despojada de toda cualidad pasa a ser la forma vacadel substrato comn a todas las dualidades. Es este substrato comn loque constituye la intuicin bsica de la matemtica.

    b) El Intuicionismo y la Ley del Tercio ExclusoLos intuicionistas consideran la creencia en la validez universal del princi-

    pio del tercio excluso en matemticas como un fenmeno de la historia de lacivilizacin del mismo tipo que la creencia en la racionalidad de 1t o la de la rota-cin del firmamento en torno a la Tierra. Segn Brouwer la aplicacin incorrec-ta del P. T E. es causada histricamente por los siguientes hechos:

    1.- La Lgica Clsica es una abstraccin conseguida a partir de las mate-mticas de subconjuntos de un conjunto finito.

    2.- Se adscribe a esta lgica clsica una existencia Ha priori" independientede las matemticas.

    3.- Merced a este apriorismo el P.TE. es aplicado injustificadamente a lasmatemticas de conjuntos infinitos.

    Expondremos a continuacin un ejemplo con el que Brouwer pretendedemostrar las incongruencias del PTE. aplicado a conjuntos infinitos:

    Llamaremos Propiedad Huidiza, relativa a nmeros naturales, a aquellapropiedad que satisface las siguientes condiciones:

    1) Para cada n, nmero natural, se puede decidir si n la verifica o no.2) No se conoce ningn mtodo de calcular un nmero natural n que tenga

    dicha propiedad.3) No se sabe si es absurdo el aserto de que al menos un nmero natural

    verifique dicha propiedad.

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  • EL INTUICIONISMO

    Es obvio que la naturaleza "huidiza" de una propiedad no es necesariamen-te permanente, dado que se podra descubrir en un momento dado un nmeronatural que tuviese la propiedad o bien demostrarse el absurdo de la existenciade un tal nmero natural.

    Ejemplo de Propiedad Huidiza: Diremos que n tiene la propiedad f, si enel desarrollo decimal del nmero 1t , la n-sima, la (n+ l)-sima, la (n+2)-sima... y la (n+9)-sima cifra forman una sucesin 0123456789.

    Dada una propiedad huidiza f, llamaremos Kf' nmero crtico de esa pro-piedad, al menor de los nmeros naturales (hipotticos) que tienen la propiedadf. Diremos que un nmero natural n es un nmero superior de f si no es menorque Kf y nmero inferior si es menor que Kf (Naturalmente, si encontrsemosun nmero superior de f, f dejara de ser huidiza).

    Pues bien, Brouwer da ahora un ejemplo de. nmero real que viola elP.T.E.: Sea f una propiedad huidiza y sea Sf el nmero real que es lmite de lasucesin infinita al, a2 ... , donde av = (-2r V ,si ves un nmero inferior de fy a =(_2rKf, si v es un nmero superior.

    Sf es un nmero real que no es igual a cero ni tampoco diferente de O.Sf no es irracional y tampoco podemos decir que es racional pues esto equival-dra a poder calcular enteros p y q tal que Spp/q, pero esto requerira poder indi-car una secuencia O123456789 en el desarrollo decimal de 1t o demostrar que talsecuencia no aparece en dicho desarrollo.

    c) Brouwer y la Matemtica AplicadaEn la Filosofa Intuicionista, la aplicacin de las matemticas es un tema

    importante y conflictivo pues se produce un grado de rechazo distinto en lasdiversas corrientes intuicionistas. En Brouwer es un tema central e inicialmente,su radical rechazo puede ponerse en relacin a una postura romntica y "ecolo-gista", una reaccin contra el nfasis puesto en la utilidad de aqullas, en unDepartamento de Matemticas, dirigido por el Profesor Korteweg que haca dela aplicabilidad el fin ltimo de las mismas. Para Korteweg, al igual que paraDescartes, la matemtica sera un baldo ejercicio esttico si no se propusiesecomo fin ltimo el dominio de la Naturaleza.

    En "Vida, Arte y Misticismo" Brouwer reacciona violentamente contra estaidea. Para l el dominio de la naturaleza no es un beneficio sino "el inicio de todo10 vil", "la construccin de las matemticas es un arte en s misma. Su apli-cacin al mundo un vil parsito". Es una autntica condena moral la que haceBrouwer. Desde otra perspectiva critica el idealismo de "la imagen cientfica delmundo". Las "leyes" de la Naturaleza no seran otra cosa que construccionescreadas por nuestro intelecto, producto de la capacidad matemtica del hombre.

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    Las regularidades en los procesos naturales y su estructura existiran slamenteen nuestra mente; el hombre habra antropomorfizado la Naturaleza, dotando asta de caractersticas humanizadas y reprimiendo o adaptando la vida a la teo-ra. Brouwer distingue tres diversos mundos:

    1.- La Naturaleza, la realidad fsica que tiene una existencia independientedel hombre y que es percibida directamente por los sentidos.

    2.- El "Mundo Interior del Sujeto" que es el dominio de la matemtica pura.3.- El "Mundo exterior del Sujeto" que es el mundo de conceptos que el

    hombre ha derivado a travs de la percepcin de los sentidos por mediode su intuicin matemtica.

    La tesis fundamental de la filosofa de la ciencia brouweriana es la totalidentificacin de la Ciencia con el "Mundo Exterior del Sujeto" y que sus estruc-turas caractersticas estn completamente concebidas por la mente del hombre.Este tercer mundo es parasitario de los dos primeros.

    LA TEORIA DE CONJUNTOS Y EL SEGUNDO ACTODEL INTUICIONISMO

    En 1912 Brouwer es nombrado profesor en la Universidad de Amsterdam,gracias a los denodados esfuerzos que para ello realiza su mentor, el profesorKorteweg, a pesar de las notables diferencias en su apreciacin de las matem-ticas. Para este ltimo, las matemticas cobran un sentido si son aplicables a lasciencias de la naturaleza y no entiende cmo el genio que advierte en su pupilopuede malgastarse en problemas de fundamentos, as como tampoco la mezclaque hace en ellos de matemticas y filosofa. Para entonces, Brouwer ha reali-zado importantes trabajos en Topologa y publicado artculos de renombre inter-nacional en la prestigiosa revista alemana dirigida por Hilbert MathematischenAnnalen. Pero una vez demostrada su pericia en el manejo de la matemtica"oficial" y ya conseguido su objetivo de ser profesor en la Universidad, Brouwervuelve al tema de los fundamentos y en su leccin inaugural titulada"Intuicionismo y Formalismo", se reafirma en sus convicciones de 1907. Noes an el Brouwer radical que identificar Intuicionismo con sus propias ideas.El principio del tercio excluso es slo nombrado indirectamente y no har dis-tincin entre logicistas y formalistas que para l sern:

    "Formalistas, que mantienen que la razn humana no tiene a su dis-posicin imgenes exactas de la lnea recta o de nmeros mayores dela y para los que las matemticas consisten simplemente en mtodosde desarrollo de series de relaciones sin sentido, cuya existencia mate-mtica estara justificada a travs del lenguaje escrito o hablado".

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  • EL INTulCIONISMO

    Lo ms significativo de este trabajo es su preocupacin por la Teora deConjuntos y en ella se criticar particularmente la axiomtica de Zermelo. Viajaa Gotinga donde conoce a Klein, y a Hilbert, con el que mantendr, en un primerperodo, una correspondencia en la que Brouwer mezcla el respeto hacia el gran-matemtico-consagrado con la osada del joven-matemtico con voluntad depoder. En una de esas cartas, Brouwer se autocalifica como la ms competentepersona para escribir un buen libro sobre teora de conjuntos. En 1914 Klein leinvita a entrar en el consejo editorial de los Mathematische Annalen, lo que acep-ta con entusiasmo: "Ese gran honor para m y la matemtica holandesa ".

    Durante estos aos se concentra en el problema del continuo y la necesidadde acomodar los nmeros reales en el continuo geomtrico, de una manera cons-tructiva. Por el momento y al igual que la Escuela intuicionista francesa sloacepta aquellos nmeros reales generados por una ley en un nmero finito deoperaciones.

    En 1917 presenta en la Real Academia Holandesa la primera parte de su"Fundamentos de una teora de conjuntos, independiente del principio deltercio excluso". A pesar del ttulo, el trabajo no es un ataque a la Lgica o unintento de re-escribir la teora kantoriana de conjuntos sin el uso del principio deltercio excluso. Es un innovador y radical intento de reemplazar la nocin tradi-cional de nmero real y la teora de conjuntos de Cantor por nuevos conceptos,derivados de forma natural a partir del continuo intuitivo y del poder de abs-traccin del Sujeto. El continuo intuitivo, cuya caracterstica ms importante esque la intuicin del "entre" nunca se termina por divisiones sucesivas.

    Brouwer es consciente de los lmites que impone a la actividad matemticasu Primer Acto del Intuicionismo y su rechazo al principio del tercio excluso enconjuntos infinitos; en particular, la sucesiones infinitas admisibles son las pre-determinadas, en las que para cada n, el trmino n-simo est fijado desde elprincipio. Esto hace que el conjunto de nmeros reales, el "continuo" sea nume-rable y de medida O. Para superar esta dificultad, Brouwer, de manera genial daun salto hacia delante y legitima nuevas formas de crear entes matemticos y ellolo expresa en el:

    SEGUNDO ACTO DEL INTUICIONISMO

    "oo. Que admite la posibilidad de generar nuevas entidades matemti-cas. En primer lugar, sucesiones infinitas que proceden ms o menoslibremente y que se generan a partir de entes matemticos previamen-te adquiridos. En segundo lugar, "especies matemticas", esto es, pro-piedades atribuibles a entidades matemticas previamente adquiridas,

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    que satisfacen la condicin de que si valen para ciertas entidadesmatemticas, valen tambin para todas las relacionadas con ellasmediante una relacin de equivalencia ".

    En el nuevo anlisis el elemento primitivo de construccin no es el punto;es el intervalo, de la misma naturaleza y dimensin que el propio continuo y apartir de ellos se construyen "elementos reales del continuo" mediante sucesio-nes convergentes de intervalos encajados.

    EL CONTINUO BROUWERMNO

    El gran problema de las Matemticas y seguramente de la Filosofa y de lasCiencias es el del continuo. La personalidad de Brouwer, sus intereses filosfi-cos, su misticismo y sus ansias de encontrar unos fundamentos ms slidos parala matemtica y para el mundo que le rodeaba, hacen del problema del continuosu tema predilecto. Durante el perodo 1907-1917 sus trabajos en Topologa yFundamentos giran en tomo al tema del continuo, que no pretender haberresuelto, pero del que s reivindicar una "nueva visin", inserta en su FilosofaIntuicionista de las Matemticas, de la que formar una parte sustancial.Introducir en las matemticas elementos de indeterminacin y libertad que yaBergson haba considerado como de exclusiva prerrogativa del "tiempo puro".

    Los puntos fundamentales de esta concepcin que permanecern fijos a lolargo de estos aos pueden resumirse en los siguientes:

    1.- El nico "elemento a priori" del continuo es el Tiempo.2.- El continuo matemtico es un concepto creado mediante la abstraccin

    matemtica y existente nicamente en la mente del hombre.3.- El continuo es un concepto primitivo, perteneciente por tanto a la cate-

    gora de Intuicin Primordial, directamente extrado de la conciencia deltiempo.

    4.- El continuo no puede ser identificado como una totalidad construidade puntos. Estos tienen un papel en el anlisis del continuo como extre-mos de los intervalos en los que el continuo puede descomponerse, perono son partes constituyentes del mismo.

    En el continuo brouweriano, el nmero real est definido por una sucesinde nmeros naturales, pero no todas estas sucesiones estn determinadas por unaley, sino que son producto de una libre eleccin y son construidas paso a pasopor libres actos de eleccin y por consiguiente, se mantienen siempre "in statunascendi". Mientras que las sucesiones determinadas ad infinitum por una leyrepresentan los nmeros reales individuales que tienen un lugar en el continuo,

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    las sucesiones de libre eleccin representan lo variable del continuo. De una deestas sucesiones de libre eleccin, slamente se inferirn propiedades que ten-gan sentido, cuando baste que se comprueben para segmentos iniciales, finitos,y el desarrollo posterior no afecte a la decisin tomada.

    Este libre acto de eleccin no debe confundirse con la "eleccin" del axio-ma de Zermelo en el que la sucesin seleccionada se la concibe como una tota-lidad completa y acabada. Brouwer no considera sus sucesiones de libre eleccincomo un todo dado, y con ellas pretende adems reflejar el crecimiento y elaspecto dinmico del continuo matemtico, inspirado en la intuicin del Tiempoque fluye. El continuo no es pues un agregado de elementos fijos, sino un domi-nio de libre "devenir". Una de las claves para comprender el continuo brouwe-riano reside en la naturaleza complementaria de lo discreto y lo continuo quesigue de la Intuicin Primordial.

    "La intuicin primordial ... como unidad de lo continuo y lo discreto,la posibilidad de pensar a la vez en sigularidades unidas por un"entre" que nunca se agota por insercin de nuevas singularidades ...por tanto es imposible tomar alguno de ellos como autosuficiente yconstruir el otro a partir de ah"

    El continuo matemtico existe slo como un concepto del pensamiento abs-tracto y su descripcin, necesariamente metafrica, usa trminos caractersticosde los modelos fsicos. El ms apropiado de estos modelos es el del tiempo-con-tinuo; sin embargo, el modelo espacial es el que se impone convencionalmentepor su visualidad y mayor facilidad para ser aprehendido por el lenguaje y lasimgenes. La singularidades discretas son los puntos y el intervalo abierto es elespacio-lnea entre ellos, pero su carcter esttico lo hace menos deseable si loque se quiere es ilustrar los aspectos dinmicos del continuo matemtico.

    EL PROGRAMA INTUICIONISTA y LA CONFRONTACIONCON HILBERT (1920-1930)

    En 1918 Brouwer presenta la segunda parte de "Fundamentos de la Teorade Conjuntos" y uno de los primeros en estudiar y calibrar la importancia deeste texto es Hermano Weyl, brillante matemtico alemn y alumno predilectode Hilbert. Weyl es amigo de Brouwer desde 1911 y comparte con ste el inte-rs por los Fundamentos. Despus de la lectura de este artculo de Brouwer ytras un corto perodo vacacional que pasan juntos, cae bajo los influjos de la per-sonalidad de Brouwer y se convierte, segn propias palabras, en un apstol del

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    Intuicionismo. En 1920 Weyl imparte un curso en Zurich que luego dar lugar aun libro de significativo ttulo "Sobre la nueva crisis de los Fundamentos delas Matemticas", en el que expone las ideas de Brouwer sobre el continuo y lateora de conjuntos y en el que se dice:

    "... Y Brouwer, que es la revolucin! Brouwer es a quien tenemos queagradecer la solucin moderna (la nueva solucin) de los problemasdel continuo, cuya solucin provisional, a travs de Galileo y de losprecursores del clculo diferencial e integral, ha destruido una vez msdesde dentro el proceso histrico"

    Brouwer est ms que nunca seguro de lo correcto de sus ideas y emprendeun ambicioso Programa de Reforma del Anlisis, al que dedicar muchas de susenergas en los prximos diez aos. Paralelemente emprende la batalla "polti-ca" contra los defensores del anlisis clsico y la matemtica formalista y espe-cialmente contra su jefe de filas: Hilbert, quien no oculta su irritacin y alarmaal ver calificar las ideas de Brouwer como "la mayor revolucin desde Galileo"por parte de uno de sus mejores alumnos.

    En 1920 Europa est an bajo los efectos de la dramtica sacudida socialque represent la Primera GuelTa Mundial. Una sensacin de "comenzar denuevo" y de radical criticismo de lo establecido tiene lugar en todo el continen-te europeo, escenario de la ms salvaje carnicera que la Historia haba contem-plado hasta entonces. Especialmente en Alemania, cuyo poder intelectual per-maneca intacto, la impresin de desconcierto y humillacin era general; en lasCiencias de la Naturaleza la causalidad clsica es puesta en entredicho y el Arte,la Filosofa y la Poltica se van impreganado de irracionalidad. Esta situacin esespecialmente propicia para los afanes renovadores de Brouwer, que crea unmovimiento, el "Signific Movement" en el que se invita a personalidades delmundo cultural europeo a participar en un proyecto de cambio, uno de cuyospilares sera el de una renovacin del lenguaje, segn Brouwer, profundamentenecesitado de espiritualidad.

    A Brouwer se le ofrecen en este momento ctedras en Gotinga y Berln quel rechazar, aunque sus relaciones con la Universidad de Berln sern siempremuy buenas y all pasar como profesor visitante largas temporadas. En Berlnexista una corriente constructivista y anti-cantoriana descendiente de la escuelade Kronecker y se haba desarrollado una creciente hostilidad contra laUniversidad de Gotinga que en estos momentos era considerada el primer cen-tro de matemticas en el mundo, liderado por Hilbert. En 1927 Brouwer da unaserie de conferencias sobre el Intuicionismo en la Universidad de Berln que sonrecibidas con entusiasmo; en estrecha relacin con Bieberbach (5), gemetra y

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    nacionalista (ms adelante jugar un papel destacado en las filas del nacional-socialismo), preconiza un boicot al Congreso Internacional de Matemticas queiba a celebrarse en Bolonia en 1928, organizado por la Union MathematiqueIntemationale, que an mantena un veto a los matemticos alemanes para sermiembros de pleno derecho de la Organizacin, dentro de una serie de torpesmedidas de represalia contra la matemtica y ciencia alemana que los francesesy belgas haban instituido despus de la Gran Guerra.

    Hilbert, desoyendo la propuesta de Berln, acude al Congreso en el que harasu ltima intervencin pblica atacando duramente al Intuicionismo y a la figu-ra de Brouwer. A su vuelta destituye fulminantemente a Brouwer del ConsejoEditorial de la Mathematische Annalen, sin contar siquiera con la opinin delos otros directores de la revista, Einstein y Caratheodory. Brouwer compruebaque la medida es aceptada mayoritariamente por la comunidad internacional dematemticos y se hunde en la depresin, refugindose de nuevo en el solipsismoy, renovando sus sentimientos de aversin hacia el gnero humano, cesa en suproduccin matemtica. Arendt Heyting, uno de los pocos alumnos suyos conlos que no termina enemistndose, continuar desarrollando el Programa de laMatemtica Intuicionista. Pero sta ha perdido ya la batalla.

    HERMANN WEYL (1885-1955)

    Uno de los ms brillantes y completos matemticos de la primera mitad desiglo; hombre de inmensa cultura, escribi libros que son un modelo de preci-sin y elegancia. Sus grandes contribuciones a las matemticas sirvieron de enla-ce a la matemtica pura con la fsica terica en los campos de la MecnicaCuntica y de la Teora de la Relatividad, pero su gran preocupacin es, comoen el caso de Brouwer la fundamentacin de las matemticas. Matemtico encierta forma atpico para esta poca, huye de una excesiva especializacin y esun gran conocedor de la Filosofa y de la Historia de la Matemtica. Confiesaque gracias a sus lecturas de Husserl se liber del positivismo, abriendo su esp-ritu a una concepcin ms abierta del mundo.

    Me interesa aqu destacar su inters por los fundamentos de las matemti-cas que le llevaron, como ya hemos visto, a posiciones muy cercanas a las deBrouwer. Weyl es un constructivista que ve la grandeza de las matemticas jus-tamente en su capacidad de llegar a decidir, en la mayor parte de los teoremas,aquello que por su esencia es infinito con criterios finitos; pero este "carcterinfinito" de los problemas matemticos reposa en el hecho de que la matemti-ca se funda sobre la sucesin infinita de los nmeros naturales y sobre losconceptos de existencia que a ella se refieren.

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    Estudia en Gotinga donde se gradua en 1908, teniendo como maestro aHilbert. En 1913 es nombrado profesor en la Technische Hochschule enZrich, donde es colega de Einstein. En 1917 publica su libro "DasKontinuum" (Una edicin crtica de los fundamentos del anlisis) en el quesegn sus propias palabras

    "Con este ensayo no me propongo construir en el espritu del forma-lismo y en torno a la "slida roca" sobre la cual est fundado el edifi-cio del Anlisis, un bello andamiaje de madera que persuada a los lec-tores -ya m mismo- de haber conseguido los verdaderos fundamentos;pero sostenemos aqu sin embargo, la opinin de que una parte esen-cial de ese edificio est construida sobre arena. Creo poder sustituireste terreno movedizo con apoyos fiables que, sin embargo, no servirnpara todo lo que hoy se piensa como seguro en el Anlisis y sacrifica-remos el resto, al no ver otra solucin"

    Ms adelante contina diciendo:

    "La crtica tan loada que el siglo XIX ejerci sobre los fundamentos delAnlisis Clsico estaba justificada. Esto nadie lo puede negar y ha pro-vocado un enorme progreso en el rigor del pensamiento. Pero lo queha sido puesto en lugar del antiguo es, en lo que concierne a los prin-cipios ltimos, menos claro y ms criticable que el antiguo mismo,aunque es indudable que la mayor parte de los resultados de la crticamoderna podrn servir como material de construccin de unos funda-mentos definitivos del Anlisis.

    Pero tal y como estn hoy las cosas es preciso constatar que el granproblema planteado desde el descubrimiento del irracional por losPitagricos, esto es, el comprender matemticamente segn un conte-nido formulable en conocimiento "exacto ", la continuidad que se nospresenta en una intuicin inmediata (en particular, en el tiempo quefluye o en el movimiento), como una totalidad de estados discretos,repito, es necesario constatar que este problema no est hoy msresuelto que en el pasado, a pesar de Dedekind, Cantor y Weierstrass"

    Weyl emprende entonces la honesta y heroica tarea de construir los nme-ros reales sin el uso del axioma de reducibilidad de B. Russell que legitimiza-ba el uso de nociones como "todos los nmeros reales" o "todas las funcionescontinuas".

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    Para Weylla comprensin correcta de lo que se llama continuidad no tienenada que ver con una determinacin cuantitativa exacta de la mayor riqueza enelementos que caracteriza un conjunto continuo, como por ejemplo el conjuntode nmeros reales comprendido entre O y 1, en relacin a uno de sus subcon-juntos numerables. Numerable o no, un conjunto de nmeros o de puntos estconstituido por esencia de elementos discretos y la recta continua no tiene nadaque ver con un conjunto de puntos, ni la continuidad con un problema de cardi-nalidad. (6)

    En 1932, en una reedicin hecha en Gotinga, Weyl insiste en que el proble-ma del continuo no ha sido aun satisfactoriamente resuelto, si bien su "continuo"podra ser un paso intermedio entre las dos grandes corrientes que en los aosveinte han trabajado el tema: la intuicionista de Brouwer y la formalista deHilbert.

    Segn 1. Bouveresse (7), una teora matemtica del continuo puede ser juz-gada, al menos desde tres puntos de vista:

    El de la coherencia interna, como construccin lgico-conceptual, el de lasimplicidad y fecundidad en sus aplicaciones a la ciencia emprica y el de suveracidad propiamente dicha.

    La concepcin atomista del continuo de Weyl satisface la primera condiciny parece, que satisface tambin a la segunda; pero Weyl tiene claro que su expli-cacin no da la verdadera naturaleza del continuo. Su "conversin" a las ideasde Brouwer le hace conferir esperanzas en orden a que la impotencia de las teo-ras matemticas para explicar la continuidad y el devenir no sea tan radicalcomo inicialmente haba estimado. La novedad revolucionaria, "Brouwer ist derrevolution ..." consiste en el hecho de que Brouwer ha encontrado el medio dehacer intervenir, de alguna forma, el devenir, el elemento crucial que la concep-cin atomista est condenada por esencia a ignorar. Con la nocin de "sucesinde libre eleccin" se obtiene "un continuo en el cual se encuentran si duda losnmeros reales individualmente considerados, pero que no se traduce de ningu-na manera en un conjunto de nmeros reales dados todos de una vez".

    En 1933 Weyl abandona la Alemania nazi y se instala en los EE.UU., dondeser profesor del Institute for Advanced Study en Princeton hasta su retiro en1955. Poco a poco va disminuyendo su entusiasmo por la bsqueda de los "ver-daderos" fundamentos; o en todo caso, si alguna vez pens haberlos alcanzado,comprob entonces la naturaleza fra y yerma de la verdad. En 1949 en su libro"Philosophy of mathematics and natural science" dej escrito lo siguiente:

    "Con Brouwer las matemticas consiguen la ms alta claridad intuiti-va. Con l se pueden desarrollar los orgenes del Anlisis de una mane-ra natural, siempre en contacto con la intuicin y de manera mucho

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    ms estrecha que lo conseguido anteriormente. Pero no podemos negarque cuando se progresa hacia teoras ms elevadas y generales, la noaplicabilidad de los principios simples de la lgica clsica, tienencomo consecuencia una inoperatividad apenas soportable. Y es condolor que el matemtico ve la mayor parte de su torre, que l creaconstruida de piedras slidas, disolverse en humo"

  • EL INTUICIONlSMO

    NOTAS

    (1) En los primeros decenios del siglo XX hay toda una "literatura de la crisis""La decadencia de Occidente" de Spengler (1918-1922); "Cartas delLago de Como. Reflexiones sobre la Tcnica" de Romano Guardini(1927); "El lugar del hombre en el Cosmos" de Max Scheler (1928); "Elespritu europeo" de Leopold Ziegler" (1929); "El malestar de laCultura" de Sigmund Freud (1929); "La situacin espiritual de nuestrotiempo" de Karl Jaspers (1931); "La crisis de la civilizacin" de JohanHuizinga (1935); "La crisis de las ciencias europeas" de Husserl (1936);"Dialctica del Iluminismo" de Max Horkheimer (1944); "Eclipse de larazn" de Adorno (1947).

    (2) En 1902 Poincar publica el primero de sus libros sobre filosofa de la cien-cia: "La Science et I'Hipothese", de gran impacto en el mundo cientfico deentonces. Bertrand Russell escribi un artculo en 1905 en la revista"Mind", criticando la visin de Poincar y ste le escribe una rplica en lamisma revista en 1906, inaugurndose as una larga batalla entre logicistas eintuicionistas.

    (3) El libro de van Stigt, "Brouwer's intuitionism" es un impresionante yexhaustivo estudio del intuicionismo brouweriano de 500 pginas, impres-cindible para quien quiera profundizar en el tema.

    (4) La frase de Brouwer en ingls es: "1 don't care two pences for most people".

    (5) Ludwig Bieberbach (1886-1982) elabor una clasificacin o tipologa delas formas de hacer matemticas. En el grupo J (con tres subclases J l' J2' J3'a las cuales perteneceran respectivamente, Klein, Gauss y Weierstnlss)esta-ran los intuicionistas y a l perteneceran en general los matemticos de lasrazas nrdicas. En el grupo S estaran los formalistas y sera sta la forma dehacer matemticas de las razas del Este y Orientales. Como su pretensin erala de que ningn "gran matemtico" alemn estuviese fuera del grupo J,dedica un captulo especial para justificar el aparente "fallo" de la teora enel caso del prusiano Hilbert.Pero Bieberbach no ha hecho ms que desarrollar una idea expuesta en 1893por Flix Klein (1849-1925), a quien admiraba en gran manera. Deca Kleinentonces:

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    "Parece que una poderosa e ingenua intuicin espacial sea un atribu-to. de las razas teutnicas, mientras que el sentido crtico, puramentelgico, parece ms desarrollado en las razas latinas y hebreas"

    Poco poda imaginarse Flix Klein, que las policas de pureza racial nacio-nal-socialistas hurgaran en su pasado, a pesar de que ya haba muerto en1925, a la bsqueda de antepasados judos. Es de notar que tambinPoincar en su libro "La valeur de la science" analiza las dos tipologas deanalistas o formalistas y gemetras o intuicionistas, decantando sus simpa-tas por estos ltimos.Jacques Hadamard en 1949 en su libro "Psicologa de la invencin en elcampo matemtico" y a "toro pasado", afortunadamente bien para l, criti-ca amargamente estas bastardas interpretaciones, fruto de la irracionalpasin nacionalista.

    (6) Para el laborioso desarrollo tcnico de esta construccin, ver Weyl (1977).

    (7) J. Bouveresse, autor de la comunicacin "Weyl, Wittgenstein, et le proble-me du Continu", presentada en 1990 en el Centro Cultural Internacional deCerisy, en Francia, con motivo de un congreso internacional dedicado al pro-blema del continuo y que forma parte del libro "Le Labyrinthe duContinu" (Colloque de Cerisy).

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    EL INTUICIONISMO: J. BROUWER, H. WEYLINTRODUCCINLA ESCUELA INTUICIONISTA FRANCESAEL INTUICIONISMO BROUWERIANOLOS PRIMEROS AOS Y LA FORMACION DE SU FILOSOFIA DELA VIDASU FILOSOFIA DE LA MATEMTICAa) El Primer Acto del Intuicionismob) El Intuicionismo y la Ley del Tercio Exclusoc) Brouwer y la Matemtica Aplicada

    LA TEORIA DE CONJUNTOS Y EL SEGUNDO ACTODEL INTUICIONISMO

    EL CONTINUO BROUWERMNOEL PROGRAMA INTUICIONISTA y LA CONFRONTACIONCON HILBERT (1920-1930)HERMANN WEYL (1885-1955)