Intuicionismo (filmat)

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  • 5/21/2018 Intuicionismo (filmat)

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    EL INTUICIONISMO

    Seminario de Filosofa de las Matemticas

    Miguel lvarez L.

    2013Torre de Babel. M. C. Escher

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    Algunos antecedentes filosficos...

    Immanuel Kant:

    Lo esencial y caracterstico del conocimiento

    matemtico puro con respecto a todos los otros

    conocimientos a priori, es que, en absoluto, no

    debe proceder de los conceptos, sino siempre

    mediante la construccin de stos.

    Arthur Schopenhauer:

    Conforme a todo esto, espero que no quede ninguna duda

    de que la evidencia de las matemticas, convertida en

    modelo y smbolo de toda evidencia, no se basa

    esencialmente en demostraciones sino en la intuicin

    inmediata que aqu, como en todo, constituye el

    fundamento ltimo y la fuente de toda verdad.

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    Luitzen Egbertus Jan Bertus Brouwer

    1881 1996

    Matemtico y filsofo holands.

    Fundador del intuicionismo y principal

    exponente del mismo.

    Escribi varios artculos y dionumerosas charlas exponiendo sus ideasacerca de la matemtica y de la labordel matemtico.

    Como filsofo se vio profundamenteinfluido por el pensamiento deSchopenhauer, lo que tuvorepercusiones en todos los aspectos desu vida.

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    Dos postulados del pensamiento intuicionista:

    La matemtica es una actividad de la mente esencialmenteno lingstica, que se origina en la percepcin del

    movimiento del tiempo.

    This perception of a move of time may be

    described as the falling apart of a life

    moment into two distinct things, one of

    which gives way to the other, but is retained

    by memory. If the twoity thus born is

    divested of all quality, it passes into the

    empty form of the common substratum ofall twoities. And it is this common

    substratum, this empty form, which is the

    basic intuition of mathematics

    Brouwer.

    Natalia Goncharova, El Ciclista 1913.

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    Dos postulados del pensamiento intuicionista:

    Slo hay dos maneras de construir una entidad matemtica:o definindola como igual a otras ya construidas, uobtenindola de ellas mediante la aplicacin de

    procedimientos (potencialmente) infinitos ms o menoslibres.

    Admitting two ways of creating new mathematical

    entities: firstly in the shape of more or less freely

    proceeding infinite sequences of mathematical entities

    previously acquired ; secondly in the shape of

    mathematical species, i.e. properties supposable for

    mathematical entities previously acquired, satisfyingthe condition that if they hold for a certain

    mathematical entity, they also hold for all

    mathematical entities which have been defined to be

    equal to it

    Brouwer.Paul lee, Bauhaus 19!3.

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    El Intuicionismo como antimetafsica

    Los intuicionistas rechazan la pregunta por laesencia de los nmeros.

    La pregunta correcta no es:Existe el nmero k?

    Sino esta otra:

    Puedo construir en mi mente el n

    mero k?

    La matemtica entendida en este sentido no nos proporciona verdadalguna acerca del mundo exterior, sino que slo se ocupa de construccionesmentales (Heyting).

    Giaco"o Balla, Nu"eri #nna"orati19!$.

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    Diferencias ms importantes (con laMatemtica formalista):

    1. Rechazo de los axiomas de existencia

    2. Rechazo del tertium non datury todas lasinferencias basadas en l.

    3. Rechazo de la regla de eliminacin de ladoble negacin y la demostracin por absurdo enuno de sus sentidos.

    4. Rechazo de la nocin de infinito actual.

    5. Reduccin de la lgica a la matemtica (y noal contrario).

    6. Rechazo del mtodo axiomtico y la teora dela demostracin. MC Escher. %rriba & %ba'o.

    19().

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    Rechazo de los Axiomas de Existencia

    AXIOMA DE EXISTENCIA:

    Existe algn nmero que es tal-y-tal

    FORMALISMO: Cmo se verifica?* Los existenciales se verifican slodecticamente.* Pero no se puede hacer eso con unnmero, puesto que no estn enninguna parte...* Luego, quedan dos opciones:

    1) O lo acepto como Axioma, o2) Lo demuestro indirectamente (porreduccin al absurdo)

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    Rechazo de los Axiomas de Existencia

    Un ejemplo:

    Considrese el Axioma del Supremo:

    Todo subconjunto no vaco y acotado superiormente de R tiene unsupremo

    Axiomas de los Racionales Axioma del Supremo

    Axiomas de los Racionales + Axioma del Supremo = Axiomas de los Reales

    FORMALISMO / LOGICISMO:

    Por lo tanto, lo aceptamos comoAxioma y seguimos adelante.

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    Rechazo de los Axiomas de Existencia

    AXIOMA DE EXISTENCIA:

    Existe algn nmero que es tal-y-tal

    INTUICIONISMO: No tiene sentido! Ms bien:

    Puedo construir un nmero que es tal-y-tal

    Esta afirmacin no puede ser aceptada sinms, porque...

    ...Si la acepto, es porque puedo construir talnmero. Bien, dnde estla construccin?

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    Rechazo de los Axiomas de Existencia

    El formalista/logicista acepta el Axioma del Supremo y sigue su trabajo...

    Pero eso es TRAMPApara el Intuicionista.

    El primer gran logro de un intuicionista es la

    CONSTRUCCIN DE LOS NMEROS REALES

    MC Escher, relativit&

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    Rechazo del tertium non datury todas sus consecuenciasdeductivas

    FORMALISMO/LOGICISMO:

    Un nmero existe o no existe

    Un nmero tiene una propiedad o no la tiene

    Un cierto conjunto contiene a un elemento, o no lo contiene

    Una cierta propiedad general se cumple, o no se cumple (en arreglo a lasconvenciones clsicas de la lgica aristotlica)

    Por lo tanto, aplica el tertium non

    datury todas sus consecuenciasdeductivas.

  • 5/21/2018 Intuicionismo (filmat)

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    Rechazo del tertium non datury todas sus consecuenciasdeductivas

    INTUICIONISMO:

    Puedo construir este nmero, o no puedo construirlo

    PERO

    Tal vez todava no he podido hacerlo, o

    puede que sea imposible construirlo

    Por lo tanto, no es cierto que unnmero slo pueda ser o no serconstruido; luego, en particular,

    razonamientos como elModus

    Tollendo Ponens no son vlidospara el intuicionista.

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    Rechazo del tertium non datury todas sus consecuenciasdeductivas

    Considrese el desarrollo decimal de Pi.Si en algn momento aparece la secuencia 0123456789, entonces k=1.Si no aparece la secuencia 0123456789, entonces k=0.

    Sea P:

    2k/1 < 1 o bien 1/2k < 1

    Formalista: la afirmacin P es verdadera, porque si k=1, entonces1/2k < 1; y si k=0, entonces 2k/1 < 1.

    Intuicionista: la afirmacin P no es verdadera ni falsa; porque no sabemoscul de los dos trminos de la disyuncin es verdadero; porque no tenemosuna construccin del nmero k.

    N*T%+ %l "enos en los ri"eros doscientos "illones de deci"ales de Pi, la cadena $1!3(-)/9 noocurre ni una sola ve0.

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    Rechazo de la eliminacin de la Doble Negacin y

    revisin de la reductio ad absurdum

    Eliminacin de la Doble negacin: Negar la negacin de A es igual a afirmarA. Formalmente:

    ~ ~ A A

    Pero la validez de este postulado se sigue directamente del tertium nondatur. Si l no aplica para el intuicionista, este tampoco.

    Negacin (en sentido intuicionista): Si una construccin lleva a un

    resultado contradictorio (por ejemplo, que 1=0) entonces dicha

    construccin es imposible.Pero mostrar que sea contradictorio suponer la contradictoriedad de

    una construccin, no es lo mismo que llevarla a cabo; luego no es

    cierto que:

    ~ ~ A A

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    Sin embargo, aunque el intuicionismo no acepte la eliminacin de la DobleNegacin, sadmite su introduccin:

    A ~ ~ A

    Porque si puedo construir un objeto matemtico, sera contradictoriosuponer que es contradictorio construirlo.

    Por lo tanto, el intuicionista acepta slo las reducciones al absurdo quetienen esta forma:

    Construyo ALlego a contradiccin

    Niego A (la declaro contradictoria)

    [ (A F) ~ A ]

    Rechazo de la eliminacin de la Doble Negacin y

    revisin de la reductio ad absurdum

  • 5/21/2018 Intuicionismo (filmat)

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    Rechazo del infinito actual

    Infinitudes una palabra relativa aprocesos de trmino indefinido:

    Puedo contar hasta el infinito (infinitamente) Puedo extender una lnea hasta el infinito (infinitamente)

    En teora de conjuntos y algunas ramas de geometr

    a, infinito actual esuna nocin de cantidad:

    Los nmeros naturalesson infinitos Los puntos en una recta son infinitos.

    El intuicionismo slo acepta la nocin de infinito en su primera acepcin,conocida como infinito potencial, ya que la segunda supone considerarobjetos que no pueden construirse.

  • 5/21/2018 Intuicionismo (filmat)

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    Rechazo del infinito actual

    Definicin conjuntista de infinito actual:

    Un conjunto es infinito si puede ponerse en correspondencia uno-a-unocon alguno de sus subconjuntos propios

    En Castellano:

    En un conjunto infinito no es cierto que el todo es mayor que cualquierade sus partes

    ESTA NOCIN ATENTA CONTRA NUESTA PRIMERA Y MS ESENCIAL

    INTUICIN DEL ESPACIO: QUE EL TODO ES MAYOR QUE CUALQUIERADE SUS PARTES.

    Para Brouwer y otros intuicionistas (comoKronecker) la teora de conjuntos no es una

    rama de la matemtica.

  • 5/21/2018 Intuicionismo (filmat)

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    Rechazo del infinito actual

    Punto a favor de los intuicionistas:

    El infinito actual ha permitido demostrar algunos teoremas extraos,por decir lo menos:

    Que existen infinitos ms grandes que otros infinitos (Cantor) Que los trminos de una sucesin convergente simple pueden

    reordenarse para que el lmite de ella sea cualquier nmero quequeramos, finito o infinito (Riemann).

    Que una esfera puede desensamblarse en ocho partes, y estas luegopueden ser reensambladas para formar dos esferas, cada una de igual

    volumen que la original (Banach-Tarski).

    Brouwer slo acepta el infinito actual de los nmeros reales si se llega auna construccin estricta de l.

  • 5/21/2018 Intuicionismo (filmat)

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    El Intuicionismo y la Lgica

    LOGICISMO:

    La Matemtica forma parte de la Lgica

    Axioma lgico:(P = Q) [ (Q = R) (P = R) ]

    Afirmacin matemtica:8/2 = 44 = 2 2

    Especificacin:

    (8/2 = 4) [ (4 = 2 2) (8/2 = 2 2) ] Modus Ponens (dos veces):

    8/2 = 2 2

  • 5/21/2018 Intuicionismo (filmat)

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    El Intuicionismo y la Lgica

    INTUICIONISMO:

    La Lgica forma parte de la Matemtica

    Construccin matemtica:

    8/2 = 44 = 2 2

    Constatacin directa (por naturaleza de la igualdad):

    8/2 = 2 2

    Generalizacin del procedimiento (teorema lgico de la matemtica):

    Si P = Q y Q = R, entonces P = R

  • 5/21/2018 Intuicionismo (filmat)

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    El Intuicionismo y la Lgica

    Arend Heyting (1898 1980), discpulo deBrouwer. Trabajen el desarrollo de una lgicaformal intuicionista (pese a que su maestro ledeca que era una tarea inservible).

    Fue adems uno de los ms eminentesintuicionistas y un asiduo defensor de las ideasoriginales de Brouwer.

    EN CONCRETO, en la semntica de Heyting:

    Las conectivas no son interdefinibles (Pv ~P) no es una tautologa (~~A A) tampoco. (P Q) no es equivalente a (~P v Q) ~(Ex)A(x) (x)~A(x) tampoco es tautologa.

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    Rechazo de la Teora de la deduccin y la axiomatizacin

    Brouwer:

    Los nmeros naturales son objetos primitivos de la intuicin.Un nio puede aprender a usarlos sin mucho esfuerzo.

    Las construcciones son autoevidentes.

    Rechazo del formalismo:

    Las matemticas no son un mero juego de ajedrez.Las matemticas deben fundarse en la intuicin pura para poderdefender su validez universal.

    No hay forma de hallar ni formular los axiomas.

    Rechazo del logicismo:

    Si las matemticas se fundan en la lgica, sobre quse funda la lgica?

  • 5/21/2018 Intuicionismo (filmat)

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    Legado del Intuicionismo

    En matemticas:

    Contraejemplos brouwerianos

    En lgica:

    La semntica intuicionista de Heyting El sistema de deduccin natural y el clculo de

    secuentesde Gerhard Gentzen. Las Lgicas positiva y minimal de Ingebrigt

    JohanssonMC Escher, C&cle

    MC Escher, tars

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    Ultraintuicionismo

    El matemtico y poeta ruso Alexander Esenin-Volpin es el principal exponente de unacorriente llamada Ultraintuicionismo(ultrafinitismo, actualismo o finitismo estricto)que cuenta en la actualidad a numerosos

    matemticos y fil

    sofos entre sus filas.

    Ultraintuicionismo:

    Rechazo de los infinitos tanto actuales comopotenciales.

    Sostienen que las matemticas deben

    construirse, pero que cada una de talesconstrucciones debe ser pragmticamenteposible.

  • 5/21/2018 Intuicionismo (filmat)

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    Bibliografa:

    Stanford Encyclopedia of philosophy:

    Brouwer Intuitionism in the Philosophy of mathematics Intuitionistic logic

    Libros:

    Introduccin al Intuicionismo Arend Heyting The Blackwell guide to Philosophical logic ed Lou Goble Filosofa de las Matemticas Barker Riddles in mathematics E. P. Northrop

    Wikipedia:

    Intuitionism Intuitionistic logic Ultrafinitism Alexander Esenin-Volpin Gerhard Gentzen Arend Heyting

    http://plato.stanford.edu/entries/brouwer/http://plato.stanford.edu/entries/intuitionism/http://plato.stanford.edu/entries/logic-intuitionistic/http://catalogo.uchile.cl/uhtbin/cgisirsi/?ps=8E8KPxI397/SISIB/304300025/123http://catalogo.uchile.cl/uhtbin/cgisirsi/?ps=8E8KPxI397/SISIB/304300025/123http://catalogo.uchile.cl/uhtbin/cgisirsi/?ps=8E8KPxI397/SISIB/304300025/123http://catalogo.uchile.cl/uhtbin/cgisirsi/?ps=0pa4t8Jqup/SISIB/304300025/123http://catalogo.uchile.cl/uhtbin/cgisirsi/?ps=d24Y081m2O/SISIB/304300025/5/0http://catalogo.uchile.cl/uhtbin/cgisirsi/?ps=d24Y081m2O/SISIB/304300025/5/0http://catalogo.uchile.cl/uhtbin/cgisirsi/?ps=d24Y081m2O/SISIB/304300025/5/0http://catalogo.uchile.cl/uhtbin/cgisirsi/?ps=d24Y081m2O/SISIB/304300025/5/0http://catalogo.uchile.cl/uhtbin/cgisirsi/?ps=d24Y081m2O/SISIB/304300025/5/0http://catalogo.uchile.cl/uhtbin/cgisirsi/?ps=LUl2ib88mD/SISIB/304300025/123https://www.google.cl/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=1&cad=rja&ved=0CC4QFjAA&url=http://en.wikipedia.org/wiki/Intuitionism&ei=pP-UUq2NE47QkQfhq4DYBA&usg=AFQjCNFR5lIdqfaKmTB4Q-DMD-8LuTA5ng&sig2=nv7hXGyjuSf-zSZQZhvMaw&bvm=bv.57155469,d.eW0https://www.google.cl/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=1&cad=rja&ved=0CCwQFjAA&url=http://en.wikipedia.org/wiki/Intuitionistic_logic&ei=xv-UUpbJMtSrkQe-s4DoAQ&usg=AFQjCNH6Aq5yWKdexZta2QmVZITsM2W6kQ&sig2=fWfnS5WMgdb-6QCtiqcI5Q&bvm=bv.57155469,d.eW0https://www.google.cl/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=1&cad=rja&ved=0CCwQFjAA&url=http://en.wikipedia.org/wiki/Ultrafinitism&ei=NwCVUvOBO9CtkAf1s4CAAw&usg=AFQjCNGnNFFlhs9oUx3f6Zf7GFP9dcJNUg&sig2=v9V5V6zvyoVzYF2mtRSKVw&bvm=bv.57155469,d.eW0https://www.google.cl/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=1&cad=rja&ved=0CCwQFjAA&url=http://en.wikipedia.org/wiki/Alexander_Esenin-Volpin&ei=UgCVUr69OYrIkAec6YDwDA&usg=AFQjCNFbpxYNnyTTSH3ubFUqj6ACVEeA2A&sig2=7hoyon0UpnYnR6OReplDbg&bvm=bv.57155469,d.eW0https://www.google.cl/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=1&cad=rja&ved=0CCwQFjAA&url=http://es.wikipedia.org/wiki/Gerhard_Gentzen&ei=hQCVUqWZB8nnkAex0oCAAQ&v6u=https://s-v6exp1-ds.metric.gstatic.com/gen_204?ip=190.45.192.169&ts=1385496709500747&auth=fmo5m6qrk57ejmtophstyocfjtraolu5&rndm=0.7303055976517498&v6s=2&v6t=2735&usg=AFQjCNGT8mxqBFBS5fZRmcfbNwR2QKMFSg&sig2=j98sWMWOxCn5hCQ09O70fA&bvm=bv.57155469,d.eW0https://www.google.cl/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=9&cad=rja&ved=0CEUQFjAI&url=http://en.wikipedia.org/wiki/Arend_Heyting&ei=ogCVUp_uNYKnkQeflYDwCw&usg=AFQjCNG-cJWulrDLmKeW18Ri-r2smLN1Mg&sig2=bpnR4L7CCroYjVpB6zDCYQ&bvm=bv.57155469,d.eW0https://www.google.cl/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=9&cad=rja&ved=0CEUQFjAI&url=http://en.wikipedia.org/wiki/Arend_Heyting&ei=ogCVUp_uNYKnkQeflYDwCw&usg=AFQjCNG-cJWulrDLmKeW18Ri-r2smLN1Mg&sig2=bpnR4L7CCroYjVpB6zDCYQ&bvm=bv.57155469,d.eW0https://www.google.cl/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=1&cad=rja&ved=0CCwQFjAA&url=http://es.wikipedia.org/wiki/Gerhard_Gentzen&ei=hQCVUqWZB8nnkAex0oCAAQ&v6u=https://s-v6exp1-ds.metric.gstatic.com/gen_204?ip=190.45.192.169&ts=1385496709500747&auth=fmo5m6qrk57ejmtophstyocfjtraolu5&rndm=0.7303055976517498&v6s=2&v6t=2735&usg=AFQjCNGT8mxqBFBS5fZRmcfbNwR2QKMFSg&sig2=j98sWMWOxCn5hCQ09O70fA&bvm=bv.57155469,d.eW0https://www.google.cl/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=1&cad=rja&ved=0CCwQFjAA&url=http://en.wikipedia.org/wiki/Alexander_Esenin-Volpin&ei=UgCVUr69OYrIkAec6YDwDA&usg=AFQjCNFbpxYNnyTTSH3ubFUqj6ACVEeA2A&sig2=7hoyon0UpnYnR6OReplDbg&bvm=bv.57155469,d.eW0https://www.google.cl/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=1&cad=rja&ved=0CCwQFjAA&url=http://en.wikipedia.org/wiki/Ultrafinitism&ei=NwCVUvOBO9CtkAf1s4CAAw&usg=AFQjCNGnNFFlhs9oUx3f6Zf7GFP9dcJNUg&sig2=v9V5V6zvyoVzYF2mtRSKVw&bvm=bv.57155469,d.eW0https://www.google.cl/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=1&cad=rja&ved=0CCwQFjAA&url=http://en.wikipedia.org/wiki/Intuitionistic_logic&ei=xv-UUpbJMtSrkQe-s4DoAQ&usg=AFQjCNH6Aq5yWKdexZta2QmVZITsM2W6kQ&sig2=fWfnS5WMgdb-6QCtiqcI5Q&bvm=bv.57155469,d.eW0https://www.google.cl/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=1&cad=rja&ved=0CC4QFjAA&url=http://en.wikipedia.org/wiki/Intuitionism&ei=pP-UUq2NE47QkQfhq4DYBA&usg=AFQjCNFR5lIdqfaKmTB4Q-DMD-8LuTA5ng&sig2=nv7hXGyjuSf-zSZQZhvMaw&bvm=bv.57155469,d.eW0http://catalogo.uchile.cl/uhtbin/cgisirsi/?ps=LUl2ib88mD/SISIB/304300025/123http://catalogo.uchile.cl/uhtbin/cgisirsi/?ps=d24Y081m2O/SISIB/304300025/5/0http://catalogo.uchile.cl/uhtbin/cgisirsi/?ps=0pa4t8Jqup/SISIB/304300025/123http://catalogo.uchile.cl/uhtbin/cgisirsi/?ps=8E8KPxI397/SISIB/304300025/123http://plato.stanford.edu/entries/logic-intuitionistic/http://plato.stanford.edu/entries/intuitionism/http://plato.stanford.edu/entries/brouwer/