Introducción Investigación Operativa
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Investigación de Operaciones Ing. Juan Miguel DIAZ Mendo
1
“UNIVERSIDAD PRIVADA SAN PEDRO”
FACULTAD DE INGENIERIA
CURSO : INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES
“INTRODUCIÓN, MODELAMIENTO MATEMÁTICO, FASES Y CONSTRUCCIÓN DE MODELOS”
DOCENTE:
ING. JUAN MIGUEL DIAZ MENDO
2016-03-23
Introducción a la IO
La I.O. se entiende que es la aplicación de un método científico
para resolver problemas que permita: tomar las decisiones
correctas o acertadas para tener las soluciones que más
convengan o favorezcan a la organización.
Las primeras actividades formales en la historia de la
investigación de operaciones se dieron en Inglaterra en la
Segunda Guerra Mundial, cuando se encarga a un grupo de
científicos ingleses el diseño de herramientas cuantitativas para
el apoyo a la toma de decisiones acerca de la mejor utilización
de materiales bélicos.
Definición de la IO
La Investigación de Operaciones o Investigación Operativa, es
una rama de las Matemáticas consistente en el uso de modelos
matemáticos, estadística y algoritmos con objeto de realizar un
proceso de toma de decisiones.
Frecuentemente, trata del estudio de complejos sistemas reales,
con la finalidad de mejorar (u optimizar) su funcionamiento.
La investigación de operaciones permite el análisis de la toma de
decisiones teniendo en cuenta la escasez de recursos, para
determinar cómo se puede optimizar un objetivo definido, como
la maximización de los beneficios o la minimización de costes.
Objetivos
• El objetivo y finalidad es encontrar la solución óptima para
un determinado problema (militar, económico, de
infraestructura, logístico, etc.)
• En el caso particular de problemas de carácter económico, la
función objetivo puede ser obtener el máximo rendimiento
o el menor costo.
Decidir mediante métodos científicos el diseño que optimiza
el funcionamiento del proceso analizado, generalmente bajo
condiciones que implican la utilización de recursos escasos.
Orígenes de la IO
La IO tuvo gran éxito en las actividades bélicas, utilizada por primera vez el año 1939 durante la 2da Guerra
Mundial, cuando surge la necesidad de investigar las operaciones tácticas y estratégicas de la defensa aérea y se hicieron investigaciones sobre operaciones militares
para mejorar la asignación de recursos.
Sin embargo, el origen de la IO puede considerarse como anterior a la Revolución Industrial, aunque durante este período comienzan a originarse problemas tipo que la IO
trata de resolver.
Orígenes de la IO
La Investigación Operativa tarda en desarrollarse en el campo de la administración industrial. El uso de la metodología científica en la industria se incorpora al iniciar los años 50, propiciada por los avances de las Comunicaciones, y la Computación, que sientan las bases para la automatización, y por sobre todo por el florecimiento y bienestar económico de ese período. Los primeros desarrollos de esta disciplina (IO) se refirieron a problemas de ordenamiento de tareas, reparto de cargas de trabajo, planificación y asignación de recursos en el ámbito militar en sus inicios, diversificándose luego, y extendiéndose finalmente a organizaciones industriales, académicas y gubernamentales.
Evolución de la IO
fechas nombres Temas
1759 Quesnay (ecónomo) Programación Matemática
1874 Walras
1873 Jordan Precursor de modelos lineales
1896 Minkowsky Precursor de modelos lineales
1903 Farkas Precursor de modelos lineales
189~ Markov Precursor modelos dinámicos probabilísticos
192~ - Primer desarrollo de modelos de inventarios
191~ Erlang Primeros estudios de líneas de espera
1920-30 Koning y Egervary Métodos de asignación (analíticos)
1937 von Neuman Teoría de juegos y de preferencias
1939 Kantorovich Problemas de distribución
2da guerra Logística estratégica para vencer al enemigo
1945 Finales 2da guerra Logística de distribución de recursos de los aliados (Rand Corporation- Fuerza aérea norteamericana).
1947 Dantzig, George Método simplex en base al trabajo de precursores, inicio a la Programación Lineal.
Evolución de la IO
fechas nombres Temas
1950-60 Bellman Programación dinámica.
Kuhn y Tucker Programación No Lineal.
Gomory Programación Entera.
Ford y Fulkerson Redes de optimización.
Markowitz Simulación.
Arrow, Karloin, Scarf, Whitin Inventarios.
Rafia Análisis de Decisiones.
Howard Procesos Markovianos de Decisión.
Churchman, Ackoff, Arnoff Orientación a sistemas, generalización de la Investigación Operativa.
1970 y parte década 80
Receso en el uso de la Investigación de Operaciones.
1985 en delante
Reflorecimiento de la disciplina con el devenir del control automático industrial, las microcomputadoras y las nuevas interfaces gráficas que impulsan el desarrollo de los Sistemas Automatizados de Apoyo a la Toma de Decisiones, donde la Investigación Operativa juega un papel Preponderante.
Actualmente IO se aplica al sector privado y público, industria, sistemas de comercialización, financieros, de transportes, de salud etc., en países desarrollados, “en vías de” y del tercer mundo.
Factores que impulsaron el desarrollo de la IO
• Las Organizaciones de otros tipos diferentes a la
bélica requerían de la Asignación óptima de recursos.
• Desarrollos notables en programación dinámica,
líneas de espera y teoría de inventarios.
• Revolución de las computadoras.
Aplicaciones de la IO
Organización Naturaleza de la aplicación Año de la aplicación
Ahorros anuales
The Netherlands
Rijkswaterstatt
Desarrollo de política nacional de administración del agua, incluyendo mezcla de nuevas instalaciones, procedimientos de operación y costeo.
1985 $ 15 millones
Monsanto Corp. Optimización de operaciones de
producción para cumplir metas con un
costo mínimo. 1985 $ 2 millones
Weyerhauser Co. Optimización del corte de árboles en productos de madera para maximizar su producción.
1986 $ 15 millones
Electrobras/CEPA
L, Brasil Asignación óptima de recursos hidráulicos y térmicos en el sistema nacional de generación de energía.
1986 $ 43 millones
United Airlines
Programación de turnos de trabajo en las oficinas de reservaciones y en los aeropuertos para cumplir con las necesidades del cliente a un costo mínimo.
1986 $ 6 millones
http://www.investigaciondeoperaciones.net/aplicaciones_de_la_investigacion_de_operaciones.html
Aplicaciones de la IO
Organización Naturaleza de la aplicación Año de la aplicación
Ahorros anuales
Citgo Petroleum Corp.
Optimización de las operaciones de refinación y de la oferta, distribución y comercialización de productos.
1987 $ 70 millones
SANTOS, Ltd., Australia
Optimización de inversiones de capital
para producir gas natural durante 25 años. 1987 $ 3 millones
San Francisco police Department
Optimización de la programación y asignación de oficiales de patrulla con un sistema computarizado.
1989 $ 11 millones
Electric Poder Research Institute
Administración de inventarios de petróleo y carbón para el servicio eléctrico con el fin de equilibrar los costos de inventario y los riesgos de faltantes.
1989 $ 59 millones
Texaco, Inc.
Optimización de la mezcla de ingredientes disponibles para que los productos de gasolina cumplieran con los requerimientos de ventas y calidad.
1989 $ 30 millones
Aplicaciones de la IO
Organización Naturaleza de la aplicación Año de la aplicación
Ahorros anuales
IBM Integración de una red nacional de inventario de refacciones para mejorar el apoyo al servicio.
1990
$ 20 millones + $ 250 millones ahorrados en inventario
Yellow Freight System, Inc.
Optimización del diseño de una red
nacional de transporte y la programación
de rutas de envío. 1992 $ 17.3 millones
U.S. Military Airlift Command
Rapidez en la coordinación de aviones, tripulaciones, carga y pasajeros para manejar la evacuación por aire en el proyecto Tormenta del Desierto en el Medio Oriente.
1992 Victoria
American Airlines Diseño de un sistema de estructura de precios, sobreventa y coordinación de vuelos para mejorar las utilidades.
1992 $ 500 millones más de ingresos
New Haven Health Dept
Diseño de un programa efectivo de intercambio de agujas para combatir el contagio del SIDA.
1993 33% menos contagios
Área de aplicación de la IO
• Asignación de recursos.
• Formulación de Dietas.
• Sistemas energéticos.
• Telecomunicaciones.
• Salud.
• Planeación.
• Servicios.
• Finanzas.
• Otros.
• Medicina
• Producción
• Estrategias
• Inventario
• Transporte
• Planificación
Área de aplicación de la IO
Representar el sistema o el fenómeno del mundo real o el problema a resolver en un lenguaje matemático.
Investigación de Operaciones: (Ciencias de la Administración)
Es la aplicación del Método Científico para la Toma de Decisiones con el fin de hallar la solución óptima.
Modelamiento Matemático
1. Definición del problema y Recolección de la información.
2. Formulación de un modelo matemático.
3. Obtención de la solución a partir de un modelo.
4. Prueba del modelo.
5. Validación del modelo.
6. Establecimiento de controles sobre la solución.
7. Implantación del modelo.
Metodología de la IO
1.- Definición del problema y recolección de la información
Esto incluye:
• determinar los objetivos apropiados,
• las restricciones sobre lo que se puede hacer,
• las interrelaciones del área bajo estudio con otras áreas de la
organización,
• los diferentes cursos de acción posibles,
• los límites de tiempo para tomar una decisión, etc.
Este proceso de definir el problema es crucial ya que
afectará en forma significativa la relevancia de las
conclusiones del estudio.
¿Cual es el problema a enfrentar?
• Describir el problema
• Delimitar el problema
• Identificar los entes afectados
• Análisis costo-beneficio
1.- Definición del problema y recolección de la información
LOS BENEFICIARIOS
• Los dueños • Los empleados • Los clientes y proveedores • Los vendedores • El estado
El objetivo siempre debería ir en función de maximizar los beneficios o minimizar los costos, y como tal se espera que en el largo plazo genere una rentabilidad social.
1.- Definición del problema y recolección de la información
Recolección de la información
1.- Definición del problema y recolección de la información
La forma convencional en que la investigación de
operaciones realiza esto es construyendo un modelo
matemático que represente la esencia del problema.
Un modelo siempre debe ser menos complejo que el
problema real, es una aproximación abstracta de la realidad
con consideraciones y simplificaciones que hacen más
manejable el problema y permiten evaluar eficientemente
las alternativas de solución.
2.- Formulación de un modelo matemático
2.- Formulación de un modelo matemático
Un modelo es una representación idealizada de un
sistema.
Un modelo matemático también es una representación
idealizada, pero expresada en términos de símbolos y
expresiones matemáticas
3.- Obtención de una solución a partir del modelo
Resolver un modelo consiste en encontrar los valores
de las variables dependientes, asociadas a las
componentes controlables del sistema con el propósito de
optimizar, si es posible, o cuando menos mejorar la
eficiencia o la efectividad del sistema dentro del marco de
referencia que fijan los objetivos y las restricciones del
problema.
La selección del método de solución depende de las
características del modelo.
3.- Obtención de una solución a partir del modelo
Los procedimientos de solución pueden ser clasificados en tres
tipos:
a) Analíticos, que utilizan procesos de deducción matemática.
b) Numéricos, que son de carácter inductivo y funcionan en
base a operaciones de prueba y error.
c) Simulación, que utiliza métodos que imitan o, emulan al
sistema real, en base a un modelo.
El uso del computador es absolutamente necesario
4.- Prueba del Modelo
Antes de usar el modelo debe probarse exhaustivamente para
intentar identificar y corregir todas las fallas que se puedan
presentar.
Es muy útil realizar una prueba retrospectiva • Mirar el pasado. • Actualizar la información. • Análisis de sensibilidad. • Verificar: Qué resultados se hubieran obtenido con las
presentes decisiones • Consistencia en las dimensiones.
¿ Son satisfactorias estas decisiones? Nunca dejar por fuera a quienes toman las decisiones relacionadas
con el problema
5.- Validación del Modelo
Es importante que todas las expresiones matemáticas sean
consistentes en las dimensiones de las unidades que emplean.
Además, puede obtenerse un mejor conocimiento de la validez
del modelo variando los valores de los parámetros de entrada
y/o de las variables de decisión, y comprobando que los
resultados de modelo se comporten de una manera factible.
El modelo se tiene que probar.
6.- Establecimiento de controles sobre la solución
Esta fase consiste en determinar los rangos de variación de los
parámetros dentro de los cuales no cambia la solución del
problema.
Es necesario generar información adicional sobre el
comportamiento de la solución debido a cambios en los
parámetros del modelo. Usualmente esto se conoce como:
ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD
(como afecta los resultados)
7.- Implantación de la solución
El paso final se inicia con el proceso de "vender" los hallazgos
que se hicieron a lo largo del proceso a los ejecutivos o
tomadores de decisiones.
• El equipo de IO explica a la gerencia.
• Se comparte la responsabilidad.
• Capacitación detallada al personal.
• Pruebas piloto.
• Desarrollo del programa de implantación.
1. El éxito del empleo de la IO es el de un enfoque de solución de
problemas y no una colección asociada de métodos
cuantitativos.
2. La IO es relativamente costosa, lo que significa que no debe
emplearse en todos los problemas, sino tan sólo en aquellos en
que las ganancias sea mayores que los costos.
Para llegar a hacer un uso apropiado de la IO, es necesario primero
comprender la metodología para resolver los problemas, así como
los fundamentos de las técnicas de solución para de esta forma
saber cuándo utilizarlas o no en las diferentes circunstancias.
Normas para lograr éxito en la IO.
Limitaciones de la IO.
1. Frecuentemente es necesario hacer simplificaciones del problema original para poder manipularlo y tener una solución.
2. La mayoría de los modelos sólo considera un solo objetivo y frecuentemente en las organizaciones se tienen objetivos múltiples.
3. Existe la tendencia a no considerar la totalidad de las restricciones en un problema práctico, debido a que los métodos de enseñanza y entrenamiento dan la aplicación de esta ciencia centralmente se basan en problemas pequeños para razones de índole práctico, por lo que se desarrolla en los alumnos una opinión muy simplista e ingenua sobre la aplicación de estas técnicas a problemas reales.
4. Rara vez se realizan análisis costo-beneficio de la implantación de soluciones definidas por medio de la I de O, en ocasiones los beneficios potenciales se ven superados por los costos ocasionados por el desarrollo e implantación de un modelo.
• Métodos determinísticos: (son aquellos en que la información necesaria se
conoce para obtener una solución con certeza): Programación lineal,
programación entera, probabilidad de transporte, teoría de la localización
o redes, programación multicriterio, teoría de inventarios, etc.
• Métodos probabilísticos: Cadenas de Markov, teoría de juegos, líneas de
espera, teoría de inventarios, etc.
• Métodos híbridos: Conjugan métodos determinísticos y probabilísticos.
• Métodos estocásticos: Son aquellos en los que parte de la información
necesaria no se conoce con certeza, como es el caso de los determinísticos,
sino que más bien se comporta de una manera probabilística.
• Métodos heurísticos: soluciones basadas en la experiencia.
Métodos de la IO.
Modelos de IO
Programación
Lineal
Métodos
Clásicos
Determinísticos Híbridos Estocásticos
Transporte y
Asignación
Redes
Optimización
Lineal
Optimización
no Lineal
Métodos
de búsqueda
Programación
no lineal
Programación
Dinámica
Teoría de
Inventarios
Simulación
Pert / CPM
Heurísticas
Cadenas
de Markov
Teoría de
Colas
Procesos
Estocásticos
Teoría de
Decisiones
y Juegos
Programación
Entera y 0,1
Optimización
Lineal
Modelo de Investigación de Operaciones
Un problema de Programación Lineal está formado por tres
componentes principales:
Un conjunto de variables: Referidas a la actividad que se
desarrolla en el sistema que se quiere optimizar.
Notación: x1, x2, x3, ….
Un conjunto de restricciones: Expresan la relación entre el
consumo de recursos y las limitaciones de los mismos, así como
toda clase de características que hay que imponer en el problema y
que están asociadas a la actividad que se realiza en el sistema.
Ejemplo: x1+ x2 3
Una función objetivo: Criterio que se desea optimizar
Ejemplo: Maximizar x1 + 3x2
Construcción de un Modelo
Los problemas de optimización dependen fundamentalmente
para su resolución del tipo de variables que forman parte del
mismo y del carácter lineal o no lineal de las restricciones.
Problemas
• Lineales
(Función Objetivo y
Restricciones lineales)
• No Lineales
(Función Objetivo y/o restricciones no lineales)
• Continuos (Variables continuas)
• Enteros (variables enteras)
[Entera mixta (variables enteras y continuas)]
PROGRAMACIÓN LINEAL
[CONTINUA]
PROGRAMACIÓN ENTERA
Construcción de un Modelo
Resolución
Programación Lineal
Continua
(Métodos exactos)
• SIMPLEX
• Primal-Dual
• Método de Puntos Interiores
Programación Entera Método Exactos
Método aproximados
Construcción de un Modelo
Construcción de un Modelo
Ejemplos Resueltos de traducción de lenguaje verbal al lenguaje matemático ó lenguaje algebraico.
1. Un número cualquiera: 2. La suma de dos números diferentes: 3. La diferencia de dos números: 4. El producto de dos números: 5. El cociente de dos números: 6. El cubo de un numero: 7. El triple del cuadrado de un numero: 8. La suma de los cuadrados de dos números: 9. La quinta parte del cubo de un numero:
10. El cubo de la quinta parte de un numero: 11. La suma de dos números dividida entre su diferencia: 12. ¿Cuál es el numero que agregado a 3 suma 8?: 13. ¿Cuál es el numero que disminuido de 20 da por diferencia 7?: 14. Las tres quintas partes de un numero aumentado en un cuarto: 15. La diferencia entre un numero y su anterior: 16. La suma entre un numero par y el triple del siguiente par: 17. El producto entre el doble de un numero y la tercera parte de su consecutivo:
18. El cociente entre un numero y su mitad: 19. La mitad de la suma de dos números multiplicado por el cuadrado de ambos números: 20. La raíz cubica del cuadrado de la suma de dos números: 21. La tercera parte de un numero aumentado en 10: 22. Las dos terceras partes de la suma de dos números:
Construcción de un Modelo
Ejemplos Resueltos de traducción de lenguaje verbal al lenguaje matemático ó lenguaje algebraico.
1. Un numero cualquiera: x 2. La suma de dos números diferentes: x + y 3. La diferencia de dos números: x - y 4. El producto de dos números: x y 5. El cociente de dos números: x/y 6. El cubo de un numero: x3 7. El triple del cuadrado de un numero: 3x2 8. La suma de los cuadrados de dos números: x2 + y2 9. La quinta parte del cubo de un numero: x3/5 10. El cubo de la quinta parte de un numero: (x/5)3 11. La suma de dos números dividida entre su diferencia: (x + y)/(x - y) 12. ¿Cuál es el numero que agregado a 3 suma 8?: x + 3 = 8 13. ¿Cuál es el numero que disminuido de 20 da por diferencia 7?: x - 20 = 7 14. Las tres quintas partes de un numero aumentado en un cuarto: 3/5 x + 1/4 15. La diferencia entre un numero y su anterior: x - (x-1) 16. La suma entre un numero par y el triple del siguiente par: 2x + 3(2x+2) 17. El producto entre el doble de un numero y la tercera parte de su consecutivo: 2x·(x+1)/3 18. El cociente entre un numero y su mitad: x/(x/2) 19. La mitad de la suma de dos números multiplicado por el cuadrado de ambos números: 1/2·(x+y)(x·y)2 20. La raíz cubica del cuadrado de la suma de dos números: 3√(x+y)2 21. La tercera parte de un numero aumentado en 10: x/3 + 10 22. Las dos terceras partes de la suma de dos números: 2/3·(x+y)
Un fabricante de mantequilla desea optimizar la producción diaria de su
factoría. Fabrica dos tipos de mantequilla (Estándar y Especial). Un Kilo de
mantequilla Estándar proporciona un beneficio de 10 S/. y uno de Especial de
15 S/. Para la producción de mantequillas se usan tres procesos:
pasterización, centrifugado, y batido. La capacidad de pasterización es de 6
horas/día, de centrifugado es de 3 horas/día y de batido es de 3.5 horas/día.
Los tiempos (en minutos) de proceso por cada kilo de mantequilla se recogen
en la siguiente tabla:
Tipo
Proceso
Estándar Especial
Pasterización 3 8
Centrifugado 3 2
Batido 3 4
Construcción de un Modelo
Variables asociadas a la actividad:
- Cantidad de mantequilla Estándar a producir por día: x1
- Cantidad de mantequilla Especial a producir por día: x2
Objetivo: Maximizar el beneficio
Restricciones:
- Limitación de las horas de pasterización
- Limitación de las horas de centrifugado
- Limitación de las horas de batido
Recursos:
- Tiempo de pasterización
- Tiempo de centrifugado
- Tiempo de batido
Construcción de un Modelo
Identificación de componentes
Semántica de la restricción: Consumo Capacidad
1 Kg Estándar consume 3 minutos de pasterización
2 Kg Estándar consumen 6 minutos(3 x 2) de pasterización
.....
x1 Kg Mantequilla estándar consumen 3x1minutos de pasterización
Idéntico análisis para Kg de Mantequilla especial: 8x2
Consumo Total = 3x1 + 8x2 minutos
Capacidad = 6 horas = 6 * 60 minutos = 360 minutos
Restricción completa: 3x1 + 8x2 360
Restricciones: Expresión matemática
- Limitación de las horas de pasterización
- Análisis equivalente para el resto de restricciones
Construcción de un Modelo
Objetivo: Maximizar los beneficios:
1 Kg mantequilla estándar Beneficio = 10
2 Kg mantequilla estándar Beneficio = 10x2 = 20
.
.
...........
x1 Kg mantequilla estándar Beneficio = 10x1
Idéntico análisis para la mantequilla especial: 15x2
Beneficio Total = 10x1 + 15x2
Expresión:
Maximizar Z = 10x1 + 15x2
Construcción de un Modelo
Función Objetivo: Expresión matemática
Modelo:
x1 : Kilos de mantequilla Estándar
x2 : Kilos de mantequilla Especial
Función Objetivo:
Rest. Recurso pasterización:
Rest. Recurso centrifugado :
Rest. Recurso batido :
Signo de las variables :
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
10 15
3 8 360 (R1)
3 2 180 (R2)
3 4 210 (R3)
, 0
Max x x
sujeto a
x x
x x
x x
x x
Variables:
Expresiones Lineales
Variables continuas
- Modelo lineal
- Programación lineal continua
Construcción de un Modelo
Una mueblería produce mesas y sillas de madera. Cada mesa es vendida en s/. 270 y requiere s/. 100 en materiales, además, el costo unitario por mano de obra se estima en s/. 140. En el caso de las sillas, su precio de venta es de s/. 210 y los costos son de s/. 90 y s/. 100, en materiales y mano de obra respectivamente. La fabricación de cada producto requiere de dos tipos de labores: carpintería y acabados. Una mesa requiere de 1 hora de carpintería y 2 horas de acabados. Una silla requiere de 1 hora de carpintería y 1 hora de acabados. Cada semana, la mueblería puede obtener todos los materiales que desee, sin embargo, se pueden dedicar hasta 100 horas a las acabados y hasta 80 horas a la carpintería. La demanda por mesas no está limitada, mientras que la demanda semanal máxima por sillas es de 40. La mueblería desea maximizar sus utilidades (ingresos - costos). Formule un modelo matemático que permita maximizar las utilidades.
Variables asociadas a la actividad:
- Cantidad de mesas a producir por semana: x1
- Cantidad de sillas a producir por semana : x2
Objetivo: Maximizar utilidades
Restricciones:
- Limitación de las horas por semana de
carpintería
- Limitación de las horas por semana de
acabado
- Producción máxima de sillas.
Recursos:
- Tiempo de fabricación de mesa
- Tiempo de fabricación de silla
Construcción de un Modelo
Identificación de componentes
Construcción de un Modelo
Precio venta
Requerimiento Labores
(tiempo: horas/unid) Demanda Máxima
Materiales M.O.
(unitario) Carpintería Acabado
unidades s/. / und s/. / und s/. / und h / und h / und und /sem
Mesa 270 100 140 1 2 ---
Silla 210 90 100 1 1 40
Tiempo dedicación hasta (en horas/semana) 80 100
Construcción de un Modelo
UTILIDADES = INGRESOS - COSTOS
INGRESOS =
1 mesa es vendida en : s/. 270 2 mesas es vendida en : s/. 270 * 2
….. x1 mesas es vendida en : s/. 270 * x1 = 270x1
Idéntico análisis para sillas s/. 210 * x2 = 210x2
Ingreso máximo 270 x1 + 210 x2
Construcción de un Modelo
UTILIDADES = INGRESOS - COSTOS
COSTOS =
Idéntico análisis que mesas
Costos Totales = Costo de mesa + costo de sillas
(100 x1 + 140 x1) + (90 x2 + 100 x2)
240 x1 + 190 x2
Construcción de un Modelo
UTILIDADES = INGRESOS - COSTOS
UTILIDAD =
Maximizar utilidad INGRESOS - COSTOS
Z = (270 x1 + 210 x2) - (240 x1 + 190 x2)
Z = 30 x1 + 20 x2
Construcción de un Modelo
RESTRICCIONES =
Carpintería x1 + x2 =< 80
Acabado 2x1 + x2 =< 100
Cantidad máxima de sillas x2 =< 40
RESTRICCIONES DE SIGNO =
x1 >= 0 x2 >= 0
Construcción de un Modelo
Determinamos las Función Objetivo
Max Z = 30 x1 + 20 x2 (Función objetivo)
sujeto a x1 + x2 =< 80 (Restricción de carpintería)
2x1 + x2 =< 100 (Restricción de acabado)
x2 =< 40 (Restricción de demanda máxima)
x1 >= 0 (Restricción de signo)
x2 >= 0 (Restricción de signo)
Determinamos las Restricciones
Cantidad de mesas a producir por semana x1
Cantidad de sillas a producir por semana x2
Determinamos las Variables de Decisión
EJEMPLO 1.2.1: Sean X1 y X2 la cantidad a producirse de dos productos 1 y 2, los parámetros son los costos de producción de ambos productos, $3 para el producto 1 y $5 para el producto 2. Si el tiempo total de producción esta restringido a 500 horas y el tiempo de producción es de 8 horas por unidad para el producto 1 y de 7 horas por unidad para el producto 2, entonces podemos representar el modelo como: EJEMPLO 1.2.2: En una empresa se fabrican dos productos, cada producto debe pasar por una máquina de ensamblaje A y otra de terminado B, antes antes de salir a la venta. El producto 1 se vende a $60 y el otro a $50 por unidad. La siguiente tabla muestra el tiempo requerido por cada producto:
Producto Maquina A Maquina B 1 2 H 3 H 2 4 H 2 H
Total disponible 48 H 36 H
EJEMPLO 1.2.1: Sean X1 y X2 la cantidad a producirse de dos productos 1 y 2, los parámetros son los costos de producción de ambos productos, $3 para el producto 1 y $5 para el producto 2. Si el tiempo total de producción esta restringido a 500 horas y el tiempo de producción es de 8 horas por unidad para el producto 1 y de 7 horas por unidad para el producto 2, entonces podemos representar el modelo como:
Variables asociadas a la actividad: Restricciones:
- Limitación tiempo total
de producción producto
1 y producto 2.
Recursos:
MinZ = 3X1 + 5X2 (Costo total de Producción) Sujeto a (S.a): 8X1 + 7X2 <= 500 (Tiempo total de producción) X1, X2>= 0 (Restricciones de no negatividad)
- Cantidad a producir producto 1: x1
- Cantidad a producir producto 2 : x2
- Costos de Producción
- Tiempo de producción
por unidad
Cantidad a Producirse
Costos de Producción
Tiempo de Producción
Producto 1 X1 $ 3 8 h/unid
Producto 2 X2 $ 5 7 h/unid
Total tiempo de Producción.
500 horas
EJEMPLO 1.2.2: En una empresa se fabrican dos productos, cada producto debe pasar por una máquina de ensamblaje A y otra de terminado B, antes antes de salir a la venta. El producto 1 se vende a $60 y el otro a $50 por unidad. La siguiente tabla muestra el tiempo requerido por cada producto:
Para representar el modelo de este problema primero se debe determinar las variables de decisión: Sea Xi: La cantidad a fabricar del producto 1 y 2 (i=1,2), entonces X1: cantidad a fabricar del producto 1, X2: cantidad a fabricar del producto2, luego el modelo quedaría de la siguiente manera: MaxZ = 60X1+ 50X2 (máximo ingreso por ventas) S.A: 2X1+ 4X2 <= 48 (disponibilidad horas _maquina A) 3X1+ 2X2 <= 36 (disponibilidad horas _maquina B) X1, X2 >= 0 (Restricciones de no negatividad)
Producto Maquina A Maquina B 1 2 H 3 H 2 4 H 2 H
Total disponible 48 H 36 H
Producto Maquina A Maquina B Precio Venta ensamblaje terminado (por unidad)
1 X1 2 H 3 H $ 60 2 X2 4 H 2 H $ 50
Total disponible 48 H 36 H
MUCHAS GRACIAS POR SU ATENCION