INTRODUCCION´ ALAS MATEMATICAS´ - ediasa.es · ellas desarrolla un cap´ıtulo del programa e...

I N T R O D U C C I O NA L A S

M A T E M A T I C A SA C C E S O A L A U N I V E R S I D A D

C u a r t a e d i c i o n

Vıctor Hernandez MoralesProfesor Titular de Universidad

Eduardo Ramos MendezCatedratico de Universidad

Ricardo Velez IbarrolaCatedratico de Universidad

Ildefonso Yanez de DiegoCatedratico de Universidad

E D I C I O N E S A C A D E M I C A S S. A.

INDICE

INTRODUCCION VII

1 Fundamentos 1

1.1 Logica de proposiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2 Conjuntos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.3 Aplicaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401.4 Cardinal de un conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . 48TEMAS COMPLEMENTARIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

Relaciones logicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54Proposiciones y conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . 57Aplicaciones de los calculos con cardinales . . . . . . . . . . 59

CUESTIONES DE AUTOEVALUACION . . . . . . . . . . . . . . 65SOLUCIONES DE LAS CUESTIONES DE AUTOEVALUACION . . . . . . 75

2 Aritmetica y Algebra 83

2.1 Numeros naturales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 882.2 Numeros enteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1082.3 Numeros racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1162.4 Numeros reales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1352.5 Ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147TEMAS COMPLEMENTARIOS . . . . . . . . . . . . . . . . 163

Exponenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164Logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166Calculos financieros . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170Ecuaciones de segundo grado . . . . . . . . . . . . . . 179

CUESTIONES DE AUTOEVALUACION . . . . . . . . . . . . . 185SOLUCIONES DE LAS CUESTIONES DE AUTOEVALUACION . . . . . 195

3 Geometrıa 203

3.1 Geometrıa analıtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2073.2 Rectas en el plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2123.3 Figuras geometricas planas . . . . . . . . . . . . . . . 222TEMAS COMPLEMENTARIOS . . . . . . . . . . . . . . . . 229

Angulos y razones trigonometricas. . . . . . . . . . . . . 230Geometrıa intrınseca . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235


4 Analisis 253

4.1 Funciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2574.2 Lımites y continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . 2664.3 Calculo diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271TEMAS COMPLEMENTARIOS . . . . . . . . . . . . . . . . 283

Funciones elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . 284Idea del calculo integral . . . . . . . . . . . . . . . . 292


5 Probabilidad y Estadıstica 313

5.1 Azar y probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3205.2 Modelo matematico de los fenomenos aleatorios. . . . . . . . 3255.3 Probabilidades condicionadas . . . . . . . . . . . . . . 3365.4 Variables de la Estadıstica descriptiva. . . . . . . . . . . . 3505.5 Descripcion grafica de una distribucion de frecuencias . . . . . 3645.6 Descripcion numerica una distribucion de frecuencias . . . . . . 373TEMAS COMPLEMENTARIOS . . . . . . . . . . . . . . . . 387

Combinatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388Ampliacion de Estadıstica descriptiva. . . . . . . . . . . . 400


VI

INTRODUCCION

Audiencia

Este libro tiene como objetivo principal servir de texto base para la asigna-tura Matematicas basicas del Curso de acceso directo para mayores de 25 anosque se imparte en la Universidad Nacional de Educacion a Distancia (UNED)de Espana. Esta dirigido tambien al lector interesado en una introduccion a loscapıtulos iniciales de las Matematicas. Los unicos requisitos que se necesitanpara avanzar con seguridad a lo largo del texto son una formacion propia de laensenanza elemental, y una buena disposicion para aceptar el desafıo que su-pone enfrentarse con temas de un cierto nivel intelectual como son, sin duda,los que abordan las Matematicas.

Contenidos

El texto presenta algunos problemas de ındole matematica que a lo largode la historia han preocupado al hombre convirtiendose en el objeto de la dis-ciplina; al mismo tiempo, se hace un bosquejo de sus soluciones, fruto de lacontribucion de muchos autores en el transcurso de los anos. Evidentemente,no se pretende cubrir todos los temas, sino que la seleccion es fruto de la expe-riencia adquirida por los autores, como profesores de la UNED durante variosanos, acerca de las necesidades de los alumnos que, en el argot academico, seles denomina comunmente como “de letras”. Los capıtulos elegidos reunen, enopinion de los autores, ciertas caracterısticas que los hacen apropiados para elcurso al que van dirigidos. En primer lugar, tienen un gran valor formativo, sinduda uno de los principales objetivos a perseguir en un curso de introduccion ala universidad. En segundo lugar, permiten un planteamiento riguroso sin pre-cisar de un aparato matematico de alto nivel. Y, en tercer lugar, pasan revistaa lo que podrıamos llamar el equipaje matematico mınimo con que un futurouniversitario debe emprender sus estudios de grado superior, especialmente enel area de las Humanidades y las Ciencias sociales.

El texto esta estructurado en forma de unidades didacticas. Cada una deellas desarrolla un capıtulo del programa e incluye un bloque principal conlos contenidos basicos, mınimos para superar el curso y, por tanto, de lecturaobligada. Ademas, bajo el rotulo de temas complementarios, se anaden algunosapartados, de lectura voluntaria, que pretenden dar al libro un caracter mascompleto al objeto de que pueda servir como manual de referencia para losfuturos universitarios. Cada unidad didactica se dedica a una de los grandesramas de las Matematicas: Fundamentos, Aritmetica y Algebra, Geometrıa,Analisis y Probabilidad y Estadıstica.

VII

El nivel matematico se mantiene dentro de unos lımites que podemos cali-ficar de elementales. Quiere ello decir que el contenido del texto pretende seraccesible para el lector al cual esta dirigido, sin exigir ni una formacion ni unashabilidades matematicas particulares. Ası, se evitan deliberadamente unas no-taciones sobrecargadas, haciendo mas hincapie en las descripciones verbalesde los conceptos que en el abuso de un tipo de escritura que, con frecuencia,se convierte en una barrera infranqueable para muchos. No obstante, hay queser consciente que la notacion matematica no es un capricho de iniciados quequieren mantener los arcanos de su ciencia a salvo de novicios; antes bien, a lolargo de la historia las ciencias, y en particular las Matematicas, han ido elabo-rando una terminologıa y grafıa propias que sirven de vehıculo adecuado parala expresion de conceptos con un alto grado de abstraccion. Por ello, ha de con-templarse el uso de la mınima notacion matematica como un ingrediente masdel estudio de la disciplina. Por otra parte, el termino elemental no se oponea riguroso; estamos convencidos de que solo cuando un concepto matematicopuede explicarse con el debido rigor en un lenguaje elemental merece un lugarde honor en los anaqueles de las Matematicas. En sıntesis, el desarrollo deltexto es elemental, si bien no carente del necesario rigor que hay que exigir enesta materia.

Metodo de estudio

Estudiar matematicas y, en particular, estudiar matematicas a distancia, esuna tarea que exige un metodo peculiar. Es conocido que la aprehension delos conceptos matematicos precisa una lectura activa, con lapiz, papel, cal-culadora . . . , y un cierto perıodo de reflexion o decantacion, hasta alcanzaruna etapa en que aquellos se manifiestan de manera evidente, incorporandose,sin mayores problemas, al bagaje de conocimientos propios, en donde vivirande manera indeleble durante mucho tiempo. Personas poco familiarizadas conesta secuencia de acontecimientos suelen sentirse incapaces de comprenderla mas sencilla de las ideas matematicas y, por consiguiente, calificarse au-tomaticamente de nulos para las matematicas. Pero no es ası. Todas las ideasdesarrolladas en el texto estan al alcance de cualquier persona con un desa-rrollo intelectual normal, pero precisan un metodo de estudio adecuado. Enconcreto, es preciso leer, con cierto detenimiento, las explicaciones que pau-latinamente conducen a la necesidad de definir un concepto o expresar un re-sultado. En el texto se reconoceran por estar incluidos en recuadros de color.Ademas, cada idea viene acompanada de un ejemplo que permite comprobarsi se ha alcanzado el grado de comprension adecuado. En caso afirmativo, sepuede proseguir confiadamente la lectura del texto; en otro caso, es convenien-te releer las explicaciones, intentando descubrir en que lugar se ha perdido eldetalle pertinente. Finalmente, llega el momento de enfrentarse con las cues-tiones de autoevaluacion. Cada capıtulo incluye un numero suficiente de ellaspara comprobar, reiteradamente, la solidez de los conocimientos adquiridos.

VIII

Es mejor idea dedicar unos instantes de reflexion para intentar resolver unacuestion determinada que caer en la tentacion de ir a buscar inmediatamente lasolucion; el tiempo empleado en ello nunca sera tiempo perdido. Estamos con-vencidos de que, siguiendo estas recomendaciones, el objetivo final de superarel Curso de acceso se alcanzara sobradamente.

Agradecimientos

El libro es fruto de una sıntesis de ideas, opiniones y discusiones, manteni-das no solo entre los propios autores, sino tambien entre ellos y otros muchoscompaneros de la Universidad, de los ambitos cientıfico y humanıstico. Preten-der citarlos a todos es una tarea imposible. Pero hay dos colectivos a los que,como tales, queremos mostrar un reconocimiento especial. Por una parte, a losProfesores tutores de la asignatura en los Centros asociados. Sus comentariosy sugerencias han pulido muchos de los defectos de anteriores ediciones deltexto. Por otra parte, a los ex-alumnos que han superado en anos pasados elcurso. Ellos han sido quienes con sus consultas, crıticas y constante contactocon el equipo docente han influido muy especialmente en la orientacion quese ha querido dar al texto. Los futuros companeros sabran si hemos sabidointerpretar sus deseos.

Madrid, agosto de 2008.

IX

UNIDAD DIDACTICA I

Fundamentos

ESQUEMA – RESUMEN

1.1 Logica de proposiciones1.1.1 Proposiciones1.1.2 Conectores logicos

La negacion

La conjuncion

La disyuncion

El condicional

1.1.3 Calculo de valores de verdadConstruccion de tablas de verdad

1.1.4 RazonamientosReglas de inferencia

Regla 1: Modus ponendo po-nensRegla 2: Modus tollendo tollensRegla 3: Modus tollendo ponensRegla 4: Ley del silogismo hi-potetico

Demostraciones

1.2 Conjuntos1.2.1 Conceptos basicos

Inclusion de conjuntos

Igualdad de conjuntos

Conjuntos universal y vacıo

El conjunto de las partes de un

conjunto

Diagramas de Venn

1.2.2 Operaciones con conjuntos

Interseccion de conjuntos

Union de conjuntos

Complementario de un conjunto

Diferencia de dos conjuntos

1.2.3 Propiedades de las operacionescon conjuntos

Propiedades de la interseccion

Propiedades de la union

Propiedades de la complementa-

cion

Propiedades que relacionan varias

operaciones

1.3 Aplicaciones1.3.1 El concepto de aplicacion

1.3.2 Imagen e imagen inversa de unsubconjunto

1.3.3 Tipos de aplicaciones

1.3.4 Composicion de aplicaciones

1.4 Cardinal de un conjunto1.4.1 Calculo de cardinales con dos

conjuntos

Introduccion 3

INTRODUCCION

La Matematica es una ciencia que tiene dos vocaciones biendistintas. Una es proporcionar metodos a otras ciencias;esta es una aspiracion que la lleva hacia fuera, hacia larealidad del hombre en cada tiempo y su manera de organi-zarse y vivir. Es la Matematica de los numeros, el calculo,las figuras geometricas, el azar, . . . La otra vocacion es re-sumir la mayor cantidad de conceptos que sea posible enunas pocas ideas muy generales; es el deseo de reducir los

metodos particulares a la ordenada servidumbre de una teorıa comun. Esta esuna exigencia interna, que busca los ultimos porques, la simplificacion y laarmonıa, en suma: la belleza. Ası, bien porque buena parte de los problemasque se plantean no pueden ser resueltos en terminos estrictamente numericoso geometricos, bien porque la exigencia de unidad teorica impulsa a buscarconceptos mas generales, en el discurrir de la historia se han incorporado alpensamiento matematico muchas ideas que conforman los fundamentos pro-pios de la disciplina. En esta unidad didactica se examinan algunos de ellos:la logica de proposiciones, los conjuntos y sus transformaciones, y la nocionde cardinal de un conjunto que nos va a conducir mas adelante a la idea denumero.

George Boole (1815-1864)

Nuestro punto de partida es un hecho incuestionable: el hombre es un serracional. Esta es, sin duda, la cualidad esencial que distingue a la especie hu-mana de los demas seres que pueblan la tierra. Las pautas de comportamientodel ser humano estan gobernadas por la razon. No es este el lugar para exten-dernos sobre el significado del termino razon; a lo largo de la historia, ha sidoocupacion de la Filosofıa analizar las estructuras que rigen la mente humanapara generar el conocimiento. De un modo general, podemos admitir que elhombre esta dotado de una serie de mecanismos logicos, universalmente ad-mitidos, que permiten identificar el comportamiento racional. Cuando alguienactua en contra de los dictados de la logica solemos decir que se conduce demanera “irracional”. Esta conducta puede obedecer a diferentes motivos, desdeel simple error inconsciente, hasta la mas profunda disfuncion mental, pasandopor el engano calculado. La Medicina y la Psicologıa han estudiado detenida-mente todas estas situaciones. Evidentemente, no es tarea de las Matematicasocuparse de estos problemas. Nuestro objetivo se limitara a estudiar los as-pectos mas simples de los citados mecanismos logicos que dirigen la razonhumana. Porque en ellos estan los fundamentos mas profundos de las Ma-tematicas: la verdad o falsedad de los enunciados, los modos de razonamiento,las conclusiones logicamente validas, etc.

4 UNIDAD DIDACTICA 1 Fundamentos

Este campo se denomina logica de proposiciones. Su estudio no es nuevo;sus raıces pueden remontarse a la filosofıa griega y preocupo, sin duda, a lamayor parte de las escuelas de pensamiento filosofico. Fue el ingles GeorgeBoole (1815-1864) quien, en su trabajo Una Investigacion de las Leyes delPensamiento, en las cuales estan basadas las Teorıas Matematicas de la Logicay de la Probabilidad, publicado en 1854, expreso en su actual forma simbolicalas leyes del razonamiento.

La logica de proposiciones exige precisar, en primer lugar, el significadodel termino proposicion y su valor de verdad. Luego se clasifican las propo-siciones en simples y compuestas. Dicha clasificacion permite introducir losconectores logicos: negacion, conjuncion, disyuncion y condicional. Median-te estos conectores pueden construirse proposiciones complejas, cuyos valoresde verdad se encuentran facilmente con ayuda de las tablas de verdad. Un pasomas avanzado es la consideracion de los razonamientos, distinguiendo entre ra-zonamientos logicamente validos y falacias; para simplificar la forma de com-probar la validez de un razonamiento son utiles los esquemas de razonamiento,o reglas de inferencia. Finalmente, se explica en que consiste un proceso de de-mostracion, crucial para la obtencion de conclusiones logicamente validas encualquier disciplina y, en particular, en Matematicas.

George Cantor (1845-1918)

La seccion segunda se dedica a la teorıa de conjuntos, fruto de la pri-vilegiada mente del matematico George Cantor (1845-1918), natural de SanPetersburgo (Rusia) y profesor de la universidad alemana de Halle. Los fun-damentos basicos de la teorıa de conjuntos vieron la luz en una serie de seisartıculos publicados en la revista Mathematische Annalen entre los anos 1879y 1884 y significaron una profunda revolucion en el pensamiento matematico.El estudio comienza reflexionando sobre la nocion de conjunto y elemento,junto con la relacion de pertenencia, sobre los que se asienta el edificio teori-co que se construye a continuacion. A partir de ahı se van considerando losdiferentes conceptos: inclusion e igualdad de conjuntos, conjuntos universaly vacıo, conjunto de las partes, hasta llegar a las operaciones con conjuntos,interseccion, union y complementacion, que se estudian junto con sus pro-piedades. Se considera tambien la representacion de conjuntos en forma dediagramas de Venn que, que por su fuerza grafica, resultan utiles para resolvermuchas cuestiones que se plantean en la teorıa.

A continuacion se estudian las transformaciones entre conjuntos. Este esuno de los problemas principales de cualquier disciplina cientıfica. Por ejem-plo, los fısicos estudian las leyes que rigen el movimiento de los cuerpos, en-tendido como una transformacion de la posicion, es decir, un cambio del lugarque ocupa el cuerpo. Los biologos estudian el desarrollo de los embriones enseres completos; tambien estudian la evolucion de los ecosistemas. Los his-toriadores y sociologos estudian las transformaciones de las sociedades. Lospsicologos la modificacion de la conducta de las personas. Los economistasestudian la influencia de los tipos de interes en la actividad economica. Comose ve, los ejemplos son innumerables.

Introduccion 5

En Matematicas, hay un concepto que significa transformacion o cambio.Es el concepto de aplicacion, que se estudia en esta unidad didactica. Lasaplicaciones pretenden ser un modelo, un patron, que sintetice lo que tienen encomun muchas transformaciones de otras ciencias. El estudio consiste esen-cialmente en exponer la nocion de aplicacion, junto con los principales con-ceptos basicos: imagen, imagen inversa, tipos de aplicaciones y composicionde aplicaciones.

Se introduce finalmente la nocion de cardinal de un conjunto, estrechamen-te ligada a la idea de numero natural que estudiaremos en la siguiente unidaddidactica. Tambien se proporcionan algunas expresiones que permiten calcularel cardinal de la union de conjuntos a partir de los cardinales de los conjuntosque intervienen en la union.

La unidad didactica se complementa con los siguientes temas: relacioneslogicas entre proposiciones, las relaciones entre la logica de proposiciones y lateorıa de conjuntos, algunas aplicaciones del calculo de cardinales con dos ytres conjuntos y algunos resultados relativos a la acotacion de cardinales.


1.1 Logica de proposiciones

1.1.1 Proposiciones

Los hombres expresamos nuestros pensamientos, sentimientos, emociones,etc., mediante palabras. La palabra es uno de los indicadores mas evidentesde la racionalidad del hombre. Las ideas simples se expresan con una solapalabra: “arbol”, “luna”; los pensamientos mas elaborados se manifiestan me-diante una serie de palabras que forman oraciones. Por ejemplo, los postuladosbasicos de una determinada corriente ideologica, las tesis de un cientıfico, lasconclusiones de un investigador, los artıculos de una normativa, se expresanmediante frases construidas con oraciones.

El lenguaje humano es extraordinariamente rico y variado por lo que la es-tructura de las oraciones puede ser muy compleja. Su estudio en profundidadcorresponde a la Linguıstica. La logica de proposiciones tiene unos objetivosmas modestos. Su interes se centra en el analisis de un tipo de oraciones quepresentan una estructura muy concreta: enuncian algo sobre lo cual siemprese puede decidir acerca de si es verdadero o es falso. Por ejemplo, todo elmundo en su sano juicio admite que oraciones como “todos los hombres sonmortales” o “la suma de uno mas uno es igual a dos” se tienen siempre por ver-daderas; asimismo, oraciones como ‘Quevedo escribio El Quijote” o “Martees un satelite de la Tierra” se tienen siempre por falsas; por otra parte, oracio-nes como “hoy esta lloviendo en Madrid” o “en la sesion de hoy la Bolsa hasubido” se tienen por verdaderas o falsas, segun el dıa del que estemos hablan-do, o la sesion de Bolsa que se trate. Es decir, de frases como las anterioressiempre puede juzgarse si son verdaderas o falsas; ademas estas, verdadero ofalso, son las dos unicas situaciones que pueden darse, sin que pueda admitirseninguna otra.

Las consideraciones anteriores pueden parecer inutiles. Quizas, a prime-ra vista, podemos pensar que siempre es posible opinar acerca de la verdado falsedad de cualquier oracion. Esta impresion es incorrecta; no parece facildecidir si oraciones como “besame mucho”, “¡cuidado con el perro!”, “no meolvides nunca”, “¿estas seguro?”, . . . son verdaderas o falsas. Incluso oracio-nes que parecen afirmar un hecho opinable como verdadero o falso pueden po-nernos en un compromiso. Por ejemplo, si queremos decidir si la oracion “estaoracion es falsa” es verdadera o falsa nos verıamos en un callejon sin salida,porque si pensamos que es verdadera entonces resultarıa ser falsa, mientrasque si decidimos que es falsa entonces serıa verdadera.

Tenemos entonces que exigir que la oracion tenga cierta estructura linguısti-ca para que enuncie algo que pueda ser juzgado como verdadero o falso.Ademas, para poder decidir si una oracion es verdadera o falsa, es preciso quetenga tambien cierta estructura logica. Designamos a este tipo de oracionescon un termino particular.

Logica de proposiciones 7

PROPOSICION 1.1 Las oraciones de las que siempre se puede asegurar que son verda-deras o falsas se llaman proposiciones o enunciados.

Una proposicion solo puede tomar dos posibilidades logicas:

Ser verdadera, que denotamos con V.

Ser falsa, que denotamos con F.

A la verdad o falsedad de una proposicion se le denomina su valor deverdad.

EJEMPLO 1.1 Las oraciones “la ciudad de Burgos tiene mas de cien mil habitan-tes”, “la Alcarria es una tierra hermosa” enuncian algo que puede ser juzgado comoverdadero o falso; por lo tanto, son proposiciones.

Las oraciones “¡ojala que llueva!”, “ponte el vestido rojo” no enuncian ningunhecho; expresan un deseo o una orden; no son proposiciones.

Conviene insistir en que el valor de verdad de un enunciado no tiene, nece-sariamente, que coincidir con lo que habitualmente se entiende por “verdad”.Desde este punto de vista, el valor de verdad es una valoracion, un juicio, quepuede atribuirse a determinadas oraciones. El interes de la logica de proposi-ciones se centra en que, una vez atribuido ese valor a ciertas proposiciones,el valor de verdad de otras se deduce, de manera obligatoria, merced a ciertasreglas.

EJEMPLO 1.2 Las proposiciones que siguen estan perfectamente construidas. Ellector juzgara a su antojo sobre su valor de verdad: “la cabeza es la pecera de lasideas”, “el oso blanco esta envuelto en su albornoz de bano”, “el agua se suelta el peloen las cascadas”, “los celos son el picor del amor”.

Las proposiciones mas sencillas que podemos encontrarnos se limitan aenunciar una cualidad de un ser, o una cosa, o poner de manifiesto un hecho.Por ejemplo, la proposicion “hoy llueve”. Este tipo de proposiciones puedendenominarse proposiciones simples y es habitual representarlas con una letracomo p, q, r, . . .

Por otra parte, hay proposiciones que enuncian varias cualidades de un ser,o una cosa, de forma que su verdad o falsedad se desprende del valor de verdadde otros enunciados mas sencillos. Por ejemplo, la proposicion “hoy hace frıoy llueve” afirma dos circunstancias del tiempo que hace el dıa de hoy: que “hoyhace frıo” y que “hoy llueve”. El enunciado combina dos proposiciones sim-ples, —“hoy hace frıo”— y —“hoy llueve”—, mediante la conjuncion y, queanade el sentido de afirmar que, simultaneamente, se dan ambas circunstancias.Este tipo de proposiciones pueden denominarse proposiciones compuestas.

Los enunciados simples pueden relacionarse entre sı de distintas maneras,modificando el sentido del enunciado. Por lo tanto, el valor de verdad de unenunciado compuesto no solo depende de los valores de verdad de sus compo-nentes, sino tambien de la relacion que les liga. Por ejemplo, con las mismas


proposiciones simples, —“hoy hace frıo”— y —“hoy llueve”—, sin mas quevariar la relacion que las liga, se pueden formar otros enunciados distintos, co-mo las proposiciones: “hoy hace frıo o llueve”, “hoy hace frıo y no llueve”,“hoy no hace frıo pero llueve”, “hoy no hace frıo ni llueve”. En cada idiomahay una gran variedad de terminos, o unidades, que expresan esas relacionesentre los enunciados simples. Afortunadamente, para la logica de proposicio-nes, esas unidades pueden reducirse a unas pocas que se denominan conecto-res logicos y se estudiaran en los apartados siguientes.

PROPOSICIONES

SIMPLES Y

COMPUESTAS

1.2 Una proposicion que se limita a enunciar una cualidad de un ser ouna cosa se denomina simple.

Una proposicion que se obtiene combinando una o varias proposicionessimples mediante conectores logicos se denomina compuesta.

EJEMPLO 1.3 La proposicion “la logica es facil y divertida” es una proposicioncompuesta que se obtiene al combinar las proposiciones simples “la logica es facil”,“la logica es divertida” mediante el conector logico “y”.

EJEMPLO 1.4 La proposicion “el acusado es inocente del primer cargo y culpabledel segundo” es una proposicion compuesta que se puede obtener combinando las pro-posiciones simples “el acusado es inocente del primer cargo”, “el acusado es inocentedel segundo cargo” mediante los dos conectores logicos “y”, “no”.

1.1.2 Conectores logicos

Como acabamos de ver, las proposiciones simples pueden combinarse me-diante diferentes conectores logicos para dar lugar a proposiciones compues-tas. Es natural, entonces, plantearse las siguientes preguntas:

1. ¿Cuales son los distintos modos de componer proposiciones?

2. ¿Como se determina el valor de verdad de una proposicion compues-ta a partir de la verdad o falsedad de las proposiciones simples que laforman?

Comenzaremos estudiando los casos mas sencillos en que se contemplanenunciados compuestos formados solamente por dos proposiciones simples yun solo conector. Mas adelante aprenderemos a calcular el valor de verdadde enunciados mas complicados a partir de dichos casos elementales. En esteanalisis es util ayudarse de las llamadas tablas de verdad.

TABLA DE VERDAD 1.3 La tabla de verdad de una proposicion compuesta es una represen-tacion de las distintas posibilidades logicas que pueden tomar las proposi-ciones simples que la integran incluyendo, para cada una de ellas, el valorde verdad de dicha proposicion compuesta.


EJEMPLO 1.5 Si en una proposicion compuesta interviene una unica proposicionsimple p la tabla de verdad tendra dos filas, una por cada una de las posibilidadeslogicas que puede tomar p, tabla 1.1 (a); si intervienen dos proposiciones p y q latabla de verdad tendra cuatro filas, correspondientes a cada una de las posibilidadeslogicas que pueden tomar p y q, tabla 1.1 (b); de forma similar, si intervienen tres pro-posiciones p, q y r la tabla tendra ocho filas, tabla 1.1 (c). La tabla puede construirsepara un numero cualquiera de proposiciones; como se advierte facilmente, cada pro-posicion adicional duplica el numero de filas de la tabla: cuatro proposiciones originandieciseis filas, cinco, treinta y dos, etc.

p

VF

p q

V VV FF VF F

p q r

V V VV V FV F VV F FF V VF V FF F VF F F

(a) (b) (c)

Tabla 1.1: Posibilidades logicas deuna, dos y tres proposiciones.

La negacion

Cada observador puede juzgar lo que crea conveniente acerca de la ver-dad o falsedad de los enunciados “la logica es divertida” y ‘‘la logica no esdivertida”. Pero si se juzga que “la logica es divertida” es verdadera, parecerazonable considerar que “la logica no es divertida” es falsa y, al reves, si sejuzga falsa ‘‘la logica es divertida” debe aceptarse como verdadera “la logicano es divertida”.

Las dos proposiciones anteriores estan relacionadas de forma que si la pri-mera es verdadera, la segunda es falsa y, si la primera es falsa, la segunda esverdadera. Se dice entonces que “la logica no es divertida” es la negacion de“la logica es divertida”. Esta relacion es simetrica, tambien puede decirse que“la logica es divertida” es la negacion de “la logica no es divertida”.

NEGACION 1.4

La negacion de una proposicion p se representa por ¬p y se lee “nop”. Tambien se suele decir que ¬p es la proposicion contraria de p.

Valor de verdad: La negacion ¬p de una proposicion p es verdade-ra cuando p es falsa, y es falsa cuando p es verdadera.

Tabla de verdad:p ¬p

V FF V

EJEMPLO 1.6 En todos los idiomas hay otras formulas para expresar la negacion deun enunciado que conviene conocer. Por ejemplo, los enunciados “es falso que la logi-ca sea divertida” y “no es cierto que la logica sea divertida” son tambien negacionesde “la logica es divertida”.

EJEMPLO 1.7 Tambien es frecuente utilizar palabras antonimas para expresar lanegacion de una proposicion. Por ejemplo, la negacion del enunciado “la logica esfacil” puede expresarse mediante el enunciado “la logica es difıcil”.


La conjuncion

Si se consideran dos proposiciones simples como “el mar esta en calma”y “sopla una ligera brisa” podemos utilizar la conjuncion copulativa “y” paracombinar ambos enunciados y formar la proposicion compuesta “el mar esta encalma y sopla una ligera brisa”. Este enunciado afirma que ambos fenomenos,“el mar esta en calma” y “sopla una ligera brisa”, se dan a un tiempo. Portanto, el enunciado compuesto es verdadero cuando lo son, simultaneamente,cada uno de los enunciados que lo componen y es falso en otro caso, es decir,cuando alguno de los enunciados que lo componen es falso. Si se representapor p el enunciado “el mar esta en calma” y por q el enunciado “sopla unaligera brisa”, el enunciado compuesto “el mar esta en calma y sopla una ligerabrisa” se denomina conjuncion de p y q.

CONJUNCION 1.5

La conjuncion de las proposiciones p y q se simboliza por p∧q yse lee “p y q”.

Valor de verdad: La conjuncion p∧q de las proposiciones p y q esverdadera cuando lo son, simultaneamente, p y q, y es falsa en otrocaso.

Tabla de verdad:p q p∧q

V V VV F FF V FF F F

EJEMPLO 1.8 El conector “y” es el identificador de la conjuncion de proposiciones.Hay que saber reconocer su presencia aun cuando, a veces, no aparezca de maneraexplıcita. Por ejemplo, si se hace la conjuncion de mas de dos enunciados solo seexpresa, generalmente, antes del ultimo: “El mucho dormir quita el vigor al cuerpo,embota los sentidos y debilita las facultades intelectuales”. Tambien se omite a vecespor asındeton: “Ella es alegre, altiva, enamorada”. Otras, en cambio, se reitera porpolisındeton: “El es muy ladino, y sabe de todo, y tiene mucha labia”.

La disyuncion

A menudo se emplean expresiones como “tiene un lapiz o una pluma”,“viene de Cuenca o de Albacete”, “este verano ire a Malaga o a Gandıa”. Enellas aparece la conjuncion disyuntiva “o” combinando enunciados simples.Resulta facil aceptar que esta clase de enunciados son falsos si lo son cadauno de los enunciados simples que lo componen: si “tiene un lapiz” es falso y


“tiene una pluma” es tambien falso, entonces se comprende que es falso “tieneun lapiz o una pluma”. Por otra parte, si uno de los enunciados simples es ver-dadero y el otro falso, el enunciado compuesto se acepta tambien facilmentecomo verdadero: si “tiene un lapiz” es verdadero entonces “tiene un lapiz o unapluma” es verdadero, y tambien si “tiene una pluma” es verdadero entonces“tiene un lapiz o una pluma” es verdadero. Pero queda una duda, ¿que ocurrecuando los dos enunciados son verdaderos? Aquı, el uso coloquial confundepuesto que, habitualmente, la conjuncion disyuntiva “o” conecta dos enuncia-dos contrapuestos que no pueden ser ciertos simultaneamente. Ası ocurre conla oracion: “iremos de vacaciones a la playa o a la montana” que parece des-cartar la posibilidad de veranear en ambos lugares. Sin embargo, no siempre esası; la oracion: “es trabajador o tiene suerte” debe considerarse cierta cuandolas proposiciones “es trabajador” y “tiene suerte” lo son. Si se representa porp la proposicion “es trabajador” y por q la proposicion “tiene suerte” entoncesla proposicion “es trabajador o tiene suerte” se denomina disyuncion de p yq.

DISYUNCION 1.6

La disyuncion de las proposiciones p y q se simboliza por p∨q yse lee “p o q”.

Valor de verdad: La disyuncion p∨ q es verdadera cuando algunade las proposiciones p o q es verdadera, y es falsa cuando ambasproposiciones son falsas.

Tabla de verdad:p q p∨q

V V VV F VF V VF F F

EJEMPLO 1.9 Hay que insistir en el hecho de que las dos proposiciones que formanuna disyuncion pueden ser simultaneamente verdaderas; en el lenguaje corriente da-mos muchas veces cuenta explıcita de ello: por ejemplo, ”El es muy distraıdo o muyconfiado, (o ambas cosas)”.

El condicional

Otra clase de enunciados compuestos que se emplean con frecuencia enlenguaje ordinario tienen naturaleza condicional; por ejemplo, “si el domingohace bueno, entonces iremos al campo”, o tambien “si el bebe me sonrıe, en-tonces soy feliz”. Estos enunciados compuestos expresan una condicion; suformulacion tiene la siguiente forma: si . . . , entonces . . . , donde los puntossuspensivos corresponden a proposiciones simples.


Bertrand Russell (1872-1970)

Se cuenta del gran matematico BertrandRussell que un dıa le preguntaron:—¿Entonces usted cree que si p es falsap→ q es verdadera?—Sı, —respondio Russell—.—Entonces, —insistio su interlocutor—¿podrıa demostrarme que “Si 1 + 2 = 2 en-tonces yo soy el Papa?”.—Si 1+ 2 = 2, —argumento Russell—, en-tonces 2 = 1, el Papa y usted son dos y como2 = 1, el Papa y usted son uno, luego ustedes el Papa.

Si p y q son dos proposiciones, el enunciado condicional “si p, entoncesq” se representa por p→ q. El sentido habitual del condicional indica que si py q son verdaderas, entonces p→ q es verdadero y que si p es verdadera y q esfalsa, entonces p→ q es falso. Por ejemplo, si “el domingo hace bueno” es ver-dadero y tambien “vamos al campo”, la promesa realizada por el condicionalha resultado cierta; por otra parte, si “el domingo hace bueno” es verdadero pe-ro “no vamos al campo”, o sea “vamos al campo” es falsa, entonces la promesaha resultado ser una falsedad. Pero, ¿que hacer cuando p es falsa? Se aceptaque el condicional p→ q es verdadero cuando p es falsa, con independenciadel valor de verdad de q. La decision anterior puede justificarse diciendo quesi p es falsa no puede calificarse de falsedad al condicional y se le consideraverdadero. Ası, si “el domingo hace bueno” no es verdadero entonces “vamosal campo” o “no vamos al campo” sin que la promesa realizada por el condi-cional resulte falsa en ninguno de los dos casos, es decir, el condicional puedeconsiderarse verdadero.

Debe considerarse tambien que en el lenguaje cotidiano solo se condicionanlos enunciados simples si estan relacionados de alguna manera. En el estudiode la logica, no se exige que las proposiciones guarden entre sı algun tipo derelacion. Esta libertad produce algunos resultados chocantes; por ejemplo, laproposicion “si 2× 2 = 5, entonces los elefantes vuelan” resulta verdadera,mientras que “si 1+ 1 = 2, entonces las sardinas son tiburones” resulta falsa.

CONDICIONAL 1.7

Si p y q son proposiciones, los enunciados de la forma

“si p, entonces q”,

se llaman proposiciones condicionales y se simbolizan por p→ q.A la proposicion p se le suele llamar antecedente y a la proposicionq consecuente.

Valor de verdad: El condicional p→ q es falso cuando p es verda-dero y q falso; en los demas casos p→ q es verdadero.

Tabla de verdad:p q p→ q

V V VV F FF V VF F V

EJEMPLO 1.10 Por cuestiones de estilo, en todos los idiomas se utilizan diversasformulas para expresar un condicional. En la tabla 1.2 se senalan algunos enunciadosfrecuentes en el lenguaje coloquial y su traduccion a la expresion condicional.


Expresion coloquial Forma condicional

• Si llueve llevare el paraguas. • Si llueve, entonces llevare el para-guas.

• Mi perro mueve la cola cuandoesta contento.

• Si mi perro esta contento, entoncesmueve la cola.

• Para tener exito es necesario serdisciplinado.

• Si tiene exito, entonces es discipli-nado.

• Siempre que sopla el viento del sur,me invade la desesperanza.

• Si sopla el viento del sur, entoncesme invade la desesperanza.

• Cuando sonrıes soy feliz. • Si sonrıes, entonces soy feliz.

Tabla 1.2: Formas comunes de expresar proposiciones condicionales.

1.1.3 Calculo de valores de verdad

A partir de proposiciones simples, y mediante el empleo repetido de losconectores estudiados, pueden formarse proposiciones mucho mas complejas.Sin embargo, su sentido podrıa resultar confuso sin unas normas de prioridaden el calculo o el empleo de parentesis. Por ejemplo, cabe la duda de pensar sila expresion ¬p∧q niega la conjuncion p∧q o bien es la conjuncion de la ne-gacion ¬p y de q. Aunque podrıan darse unas normas de preferencia de unossignos frente a otros, para no recargar la memoria innecesariamente es mascomodo recurrir a la utilizacion de parentesis, que permiten definir con preci-sion la proposicion compuesta de que se trate. Ası, se escribira ¬(p∧q) paraindicar la negacion de la conjuncion p∧ q, mientras que (¬p)∧q indicara laconjuncion de la negacion de p y q.

Sentado este principio, nos planteamos ahora como calcular los valores deverdad de proposiciones compuestas en las que intervienen varias proposicio-nes simples, combinadas con diversos conectores logicos. La solucion es sen-cilla: consiste en aplicar repetidamente los criterios conocidos para combinardos proposiciones simples, siguiendo el orden marcado por los parentesis queaparezcan en la expresion compuesta.

Por ejemplo, supongamos que la proposicion simple p es falsa y la propo-sicion simple q es verdadera. Si queremos calcular el valor de verdad de laproposicion ((¬p)∧q)∨ p podemos razonar del modo siguiente: dado que pes falsa, su negacion ¬p es verdadera y, por tanto, la conjuncion ((¬p)∧q) esverdadera, por ser verdaderas las dos proposiciones que la forman; finalmente,la disyuncion ((¬p)∧q)∨ p es verdadera, por ser verdadera una de las dosproposiciones que forman la disyuncion. Algunos ejemplos adicionales nosharan mas familiar el metodo.

EJEMPLO 1.11 Supongamos que p es falsa y q es verdadera; si queremos hallarel valor de verdad de la proposicion (p∨ ((¬p)∧q))∧q podemos razonar del mo-do siguiente: puesto que p es falsa resulta que ¬p es verdadera; como q tambien esverdadera, la proposicion (¬p)∧ q es verdadera y, por tanto, su disyuncion con p,


p∨ ((¬p)∧q) es verdadera; ademas, como q es verdadera, resulta que la proposicion(p∨ ((¬p)∧q))∧q es verdadera, por ser conjuncion de dos proposiciones verdade-ras.

EJEMPLO 1.12 Supongamos que p es falsa, q verdadera y que queremos calcular elvalor de verdad de la proposicion (p∨ (¬q))∧ ((¬p)∨q).

Conviene escribir los calculos parciales de manera ordenada. Si p es falsa y qverdadera, se tiene

¬p es verdadera¬q es falsa

(¬p)∨q es verdaderap∨ (¬q) es falsa

luego (p∨ (¬q))∧ ((¬p)∨q) es falsa.

EJEMPLO 1.13 Supongamos que p y q son verdaderas, r es falsa y que queremoshallar el valor de verdad de la proposicion ((p∨ (¬r))∧q)∧ p.

El razonamiento puede ser: si p y q son verdaderas y r es falsa, se tiene

¬r es verdaderap∨ (¬r) es verdadera

(p∨ (¬r))∧q es verdadera

luego ((p∨ (¬r))∧q)∧ p es verdadera.

Construccion de tablas de verdad

En ocasiones interesa calcular el valor de verdad de una proposicion enfuncion de todos los valores posibles de las proposiciones que la componen,es decir, para cada una de las posibilidades logicas de las proposiciones queintervienen en la expresion compuesta. Para ello, lo mas sencillo es construirla tabla de verdad de la proposicion en cuestion. Este metodo ahorra muchoesfuerzo y hace automatico el calculo. Veamos como se hace en la practica.

Vamos a calcular la tabla de verdad de la proposicion

p∨ ((¬p)∧q)

Para ello, se parte de las dos columnas que representan lasposibilidades logicas de las dos proposiciones p y q que lacomponen:

p q

V VV FF VF F

A continuacion, se anaden tantas columnas como sea ne-cesario para calcular los parentesis interiores. Ası, paracalcular el valor de (¬p)∧ q se precisa conocer los va-lores de ¬p. Por ello se anade la columna de valores de¬p. El calculo es bien simple; basta cambiar el valor co-rrespondiente de la columna de los valores de p por sucontrario:

p q ¬p

V V FV F FF V VF F V


Despues se anade una columna para los va-lores de (¬p)∧ q. Para ello, basta mirar lascolumnas de ¬p y q:

p q ¬p (¬p)∧q

V V F FV F F FF V V VF F V F

Por ultimo, se calculan losvalores de la proposicionp∨ ((¬p)∧ q). Para ello,basta mirar las columnasde las proposiciones p y(¬p)∧q:

p q ¬p (¬p)∧q p∨ ((¬p)∧q)

V V F F VV F F F VF V V V VF F V F F

La ultima tabla de verdad proporciona los valores de verdad de p∨ ((¬p)∧q),para cada posible pareja de posibles valores de verdad de p y q. Por ejemplo,si p es verdadera y q es falsa, en la segunda lınea de la tabla se lee que laproposicion p∨ ((¬p)∧q) es verdadera.

EJEMPLO 1.14 La tabla de verdad de la proposicion (p∨ (¬q))∧ ((¬p)∨q) vienedada en la tabla 1.3.

p q ¬p ¬q p∨ (¬q) (¬p)∨q (p∨ (¬q))∧ ((¬p)∨q)

V V F F V V VV F F V V F FF V V F F V FF F V V V V V

Tabla 1.3: Tabla de verdad de la proposicion (p∨ (¬q))∧ ((¬p)∨q).

p q r q∧ r p→ (q∧ r)

V V V V VV V F F FV F V F FV F F F FF V V V VF V F F VF F V F VF F F F V

Tabla 1.4: Tabla de verdad de laproposicion p→ (q∧ r).

EJEMPLO 1.15 La tabla de verdad de la proposicion p→ (q∧ r) viene dada en latabla 1.4.

1.1.4 Razonamientos

En las paginas anteriores hemos utilizado varias veces expresiones como“es razonable”, “podemos razonar del modo siguiente”, es decir, hemos rea-lizado diversos razonamientos. En la logica del proposiciones este terminotiene un significado preciso.

RAZONAMIENTO 1.8 Se denomina razonamiento a la afirmacion de que cierta propo-sicion, que se dice conclusion, se sigue (se deduce o se infiere) de otrasproposiciones previas denominadas premisas.


La logica de proposiciones distingue entre razonamientos logicamente vali-dos y razonamientos logicamente invalidos. Los primeros son los autenticosrazonamientos formales, pues obedecen a las leyes de la logica y conducen aconclusiones logicamente correctas; en cambio no se admite que los razona-mientos logicamente invalidos configuren formas correctas de razonar.

RAZONAMIENTO

LOGICAMENTE

VALIDO

1.9 Un razonamiento es logicamente valido si siempre que las premi-sas son verdaderas lo es tambien la conclusion.

FALACIA 1.10 Un razonamiento que no es logicamente valido se llama falacia.

La logica de proposiciones nos ensena a analizar la verdad o falsedad de unrazonamiento. Para ello, es util hacer una representacion esquematica del ra-zonamiento.

EJEMPLO 1.16 Consideremos el siguiente razonamiento:

“Si llueve entonces hay nubes en el cielo. Llueve, luego hay nubes en elcielo”

Llamamos p a la proposicion “llueve” y q a la proposicion “hay nubes el cielo”. Elsiguiente esquema nos presenta el razonamiento:

Premisa 1 “Si llueve, entonces hay nubes en el cielo” p→ qPremisa 2 “Llueve” pConclusion “Luego hay nubes en el cielo” ∴ q

El sımbolo ∴ se lee “luego” y sirve para enlazar las premisas con la conclusion.

Como hemos visto en el ejemplo anterior, los razonamientos suelen orde-narse del siguiente modo:

pqr...

⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭ premisas

∴ s conclusion

donde, como se ha indicado anteriormente, el sımbolo ∴ acompana a la con-clusion y se lee “luego”.

Con la ayuda de las tablas de verdad no es muy complicado probar que unrazonamiento es logicamente valido.

FORMA DE

PROBAR LA

VALIDEZ DE UN

RAZONAMIENTO

Resultado 1.1 Para probar la validez de un razonamiento se forma la ta-bla de verdad de las premisas y la conclusion, y se comprueba que siempreque las premisas toman el valor de verdad V tambien la conclusion tomael valor V.


Premisas Conclusion

q p p→ q q

V V V VV F V VF V F FF F V F

Tabla 1.5: Tabla de verdad delrazonamiento del ejemplo 1.17.

EJEMPLO 1.17 Para analizar la validez del razonamiento:

p→ qp

∴ q

se forma su tabla de verdad (tabla 1.5). En primer lugar, se escriben las columnas co-rrespondientes a las proposiciones simples, p y q, que intervienen en el razonamiento.Luego se anade una columna para cada premisa. Esto exige calcular la columna co-rrespondiente a la proposicion p→ q, que es la primera premisa. La columna de lasegunda premisa ya figura en la tabla, pues es la proposicion p. Finalmente, hay queescribir la columna correspondiente a la conclusion; en este caso, se trata simplemen-te de copiar la columna de la proposicion simple q que ya figuraba en la tabla. Comose indica en la fila resaltada de la tabla 1.5, podemos observar que siempre que laspremisas p y p→ q son verdaderas, tambien lo es la conclusion q. Por lo tanto, elrazonamiento es logicamente valido.

Es importante entender que la validez de un razonamiento no guarda rela-cion directa con la verdad de la conclusion, sino que depende exclusivamentede su coherencia interna. Los ejemplos que siguen aclararan esta idea.

EJEMPLO 1.18 Consideremos el razonamiento:

Si la tortuga pone huevos entonces es un aveLa tortuga pone huevos

∴ La tortuga es un ave

Si designamos por p la proposicion “la tortuga pone huevos” y por q la proposicion“la tortuga es un ave” entonces el razonamiento puede representarse por:

p→ q “Si la tortuga pone huevos entonces es un ave”p “La tortuga pone huevos”

∴ q “La tortuga es un ave”

Como vemos el razonamiento es el mismo que el realizado en el ejemplo anterior.Sabemos que es logicamente valido, aun cuando se tiene evidencia empırica de que elhecho que expone la conclusion, “la tortuga es un ave”, es falso. La explicacion hayque buscarla en que la premisa “si la tortuga pone huevos entonces es un ave” se tienetambien empıricamente por falsa. Pero estas circunstancias de los valores de verdadde las premisas no tienen nada que ver con la coherencia del razonamiento, es decir,con que el razonamiento sea logicamente valido.

Premisas Conclusion

p q p→ q p

V V V VV F F VF V V FF F V F

Tabla 1.6: Tabla de verdad delrazonamiento del ejemplo 1.19.

EJEMPLO 1.19 Consideremos el razonamiento:

“Si la tierra gira alrededor del sol entonces es un planeta”“La tierra es un planeta”

∴ “La tierra gira alrededor del sol”

Si llamamos p a la proposicion “la tierra gira alrededor del sol” y q es la proposicion“la tierra es un planeta”, el razonamiento se simboliza por:

p→ q “Si la tierra gira alrededor del sol entonces es un planeta”q “La tierra es un planeta”

∴ p “La tierra gira alrededor del sol”


Si construimos su tabla de verdad, tabla 1.6, observamos que hay un caso en el que laspremisas son ciertas y la conclusion falsa; el razonamiento es una falacia. Entoncesaunque la conclusion sea verdadera, el razonamiento puede no ser logicamente valido.

Una consecuencia interesante que podemos extraer del ejemplo anterior esel procedimiento para probar que un razonamiento no es logicamente valido.

FORMA DE

PROBAR QUE UN

RAZONAMIENTO

NO ES VALIDO

Resultado 1.2 Para mostrar que un razonamiento no es logicamente vali-do basta encontrar un caso en el que las premisas sean verdaderas y laconclusion falsa.

Reglas de inferencia

Cualquier razonamiento puede analizarse siempre mediante la tabla de ver-dad correspondiente, pero si intervienen muchas proposiciones simples estemetodo puede resultar muy trabajoso. Por ello, es recomendable utilizar lasreglas de inferencia que aseguran la validez de ciertos esquemas de razona-miento.

A continuacion se analizan algunas de las reglas mas usadas. No esta de masinsistir en su caracter de esquemas de razonamiento: lo que afirma cada regla esque una estructura logica produce siempre razonamientos validos, cualesquieraque sean las proposiciones particulares que se sustituyan.

Regla 1: Modus ponendo ponens Se llama ası a la regla de inferencia, —modus—, que asegura que al afirmar, —ponendo—, el antecedente del condi-cional, se afirma, —ponens—, el consecuente.

MODUS PONENDO

PONENS1.11 La formulacion simbolica de la regla de inferencia modus ponendo

ponens es:p→ qp

∴ q

Premisas Conclusion

q p p→ q q

V V V VV F V VF V F FF F V F

Tabla 1.7: Tabla de verdad de laregla modus ponendo ponens.

La validez de la regla se demuestra mediante la tabla de verdad (tabla 1.7).

EJEMPLO 1.20 El siguiente razonamiento es logicamente valido por ser una casoparticular del modus ponendo ponens.

p→ q “Si pienso, entonces existo”p “Pienso”

∴ q “Existo”


Regla 2: Modus tollendo tollens Se llama ası a la regla de inferencia queasegura que si se niega, —tollendo—, el consecuente del condicional, se niega,—tollens—, el antecedente.

MODUS

TOLLENDO

TOLLENS

1.12 La formulacion simbolica de la regla de inferencia modus tollendotollens es:

p→ q¬q

∴ ¬pPremisas Conclusion

p q p→ q ¬q ¬p

V V V F FV F F V FF V V F VF F V V V

Tabla 1.8: Tabla de verdad de laregla modus tollendo tollens.


EJEMPLO 1.21 El siguiente razonamiento logicamente es valido por ser un casoparticular del modus tollendo tollens.

“Si el pueblo esta lejos, entonces tardamos mas de una hora en llegar”“No tardamos mas de una hora en llegar”

∴ “El pueblo no esta lejos”

Regla 3: Modus tollendo ponens Se llama ası a la regla de inferencia queasegura que si se afirma la disyuncion de dos proposiciones y se niega, —tollendo—, una de ellas, se afirma, —ponens— la otra.

MODUS

TOLLENDO

PONENS

1.13 La formulacion simbolica de la regla de inferencia modus tollendoponens es:

p∨q¬p

∴ qPremisas Conclusion

p q p∨q ¬p q

V V V F VV F V F FF V V V VF F F V F

Tabla 1.9: Tabla de verdad de laregla modus tollendo ponens.


EJEMPLO 1.22 El siguiente razonamiento es logicamente valido por ser un casoparticular del modus tollendo ponens.

“Es muy trabajador o tiene mucha suerte”“No es muy trabajador”

∴ “Tiene mucha suerte”

Regla 4: Ley del silogismo hipotetico Se llama ası a la regla de inferenciaque asegura que si se afirman dos proposiciones condicionales tales que elconsecuente de la primera sea el antecedente de la segunda, entonces puedeafirmarse la proposicion condicional que se obtiene a partir del antecedente dela primera y el consecuente de la segunda.


LEY DEL

SILOGISMO

HIPOTETICO

1.14 La formulacion simbolica de la regla de inferencia ley del silogis-mo hipotetico es:

p→ qq→ r

∴ p→ r


Premisas Conclusion

p q r p→ q q→ r p→ r

V V V V V VV V F V F FV F V F V VV F F F V FF V V V V VF V F V F VF F V V V VF F F V V V

Tabla 1.10: Tabla de verdad de la regla ley del silogismo hipotetico

EJEMPLO 1.23 El siguiente razonamiento es logicamente valido por ser un casoparticular de la ley del silogismo hipotetico.

“Si el proximo domingo hace buen tiempo entonces ire al campo”“Si el proximo domingo voy al campo entonces podare los rosales”

∴ “Si el proximo domingo hace buen tiempo entonces podare los rosales”

Demostraciones

Las cuatro reglas de inferencia estudiadas en el apartado anterior tienendos premisas. Sin embargo, puede presentarse el problema de analizar la vali-dez logica de una conclusion obtenida de mas de dos premisas. El criterio devalidez es siempre el mismo: la conclusion es logicamente valida si es ciertasiempre que lo sean todas las premisas. Si las proposiciones simples que inter-vienen son mas de tres, formar la tabla de verdad puede exigir mucho esfuerzo.Entonces, resulta conveniente aplicar sucesivamente las reglas de inferencia yaestudiadas. Este proceso se suele llamar demostrar la conclusion a partir delas premisas.


DEMOSTRACION 1.15 Al proceso que, partiendo de las premisas, lleva a la conclusion atraves de una serie de proposiciones intermedias obtenidas sucesivamentemediante la aplicacion de las reglas de inferencia se le llama deduccion odemostracion de la conclusion en varios pasos.

El proceso de demostracion puede facilitarse aplicando, si es necesario, algunade las normas que se indican a continuacion.

REGLAS QUE

PUEDEN USARSE

EN UNA

DEMOSTRACION

Resultado 1.3

1. Una premisa se puede introducir en cualquier paso de una deduc-cion.

2. Cada vez que se obtiene una conclusion logicamente valida de variaspremisas, puede ser usada a continuacion junto con otras premisas oconclusiones validas para obtener una nueva conclusion.

3. Una premisa o conclusion valida obtenida puede ser sustituida porotra proposicion logicamente equivalente, es decir, por otra proposi-cion con la cual coincida en sus valores de verdad.

EJEMPLO 1.24 Se trata de analizar el siguiente razonamiento:

“Si Jose gano la carrera entonces Pedro fue el segundo o Ramon fue elsegundo. Si Pedro fue el segundo, entonces Jose no gano la carrera. SiCarlos fue el segundo entonces Ramon no fue el segundo. Jose gano lacarrera. Luego Carlos no fue el segundo.”

Comenzamos considerando las proposiciones siguientes:

p: “Jose gano la carrera” q: “Pedro fue el segundo”r: “Ramon fue el segundo” s: “Carlos fue el segundo”

El razonamiento dado puede escribirse, en forma esquematica, de la manera siguiente:

p→ (q∨ r) “Si Jose gano la carrera entonces Pedro fue el segundoo Ramon fue el segundo”

q→¬p “Si Pedro fue el segundo, entonces Jose no gano la carrera”s→¬r “Si Carlos fue el segundo entonces Ramon no fue el segundo”p “Jose gano la carrera”

∴ ¬s “Carlos no fue el segundo”

Se pretende saber si la conclusion se deduce logicamente de las premisas. Para ello,mediante la aplicacion de las reglas de inferencia junto con las normas que expresa-mos anteriormente, trataremos de encontrar una serie de premisas (o conclusiones)intermedias que constituyan un camino logico que nos conduzca a la conclusion. Es-te camino sera la demostracion de que el razonamiento es logicamente valido. Comonorma practica, es conveniente numerar las proposiciones y anotar, cuando son con-clusiones, de que proposiciones proceden y en virtud de que reglas.


(1) p→ (q∨ r) Premisa 1.(2) q→¬p Premisa 2.(3) s→¬r Premisa 3.(4) p Premisa 4.(5) ¬¬p Aplicacion de la regla 3, ya que es logicamente equi-

valente a la proposicion (4).(6) ¬q Se sigue de las proposiciones (2) y (5) por aplicacion

de Modus tollendo tollens y de la regla 2.(7) q∨ r Se sigue de las proposiciones (1) y (4) por aplicacion

del Modus ponendo ponens.(8) r Se sigue de las proposiciones (6) y (7) por aplicacion

del Modus tollendo ponens y de la regla 2.(9) ¬s Se sigue de las proposiciones (3) y (8) por aplicacion

del Modus tollendo tollens y de la regla 2.

Por lo tanto, el razonamiento es valido. Como puede apreciarse, una deduccion con-siste en una cadena de proposiciones que se siguen de las premisas por el hecho deser equivalentes o por la aplicacion de alguna regla de inferencia. Cada proposicionintermedia es un “paso” de la demostracion. En ocasiones, no es sencillo averiguarcual es el mejor camino desde las premisas a la conclusion. Una demostracion con po-cos pasos puede ser calificada de ocurrente o brillante, mientras que una demostracioncon muchos pasos puede ser tachada de farragosa. Pero, si son correctas desde el pun-to de vista logico, ambas son demostraciones y prueban la validez del razonamiento.

EJEMPLO 1.25 Para analizar la validez o no del razonamiento:

“Si Juan es mas alto que Pedro, entonces Marıa es mas baja que Alicia;Marıa no es mas baja que Alicia; si Juan y Luis tienen la misma estatura,entonces Juan es mas alto que Pedro; luego Juan y Luis no tienen lamisma estatura”.

se consideran las proposiciones p, q y r dadas por:

p “Juan es mas alto que Pedro”q “Marıa es mas baja que Alicia”r “Juan y Luis tienen la misma estatura”

Ahora, con sımbolos, el razonamiento se escribe:

p→ q “Si Juan es mas alto que Pedro”entonces Marıa es mas baja que Alicia”

¬q “Marıa no es mas baja que Alicia”r→ p “Si Juan y Luis tienen la misma estatura

entonces Juan es mas alto que Pedro”∴ ¬r “Juan y Luis no tienen la misma estatura”

Una deduccion que muestra su validez es la siguiente:

(1) p→ q(2) ¬q(3) r→ p(4) ¬p se sigue de (1) y (2), Modus tollendo tollens(5) ¬r se sigue de (3) y (4), Modus tollendo tollens

Conjuntos 23

1.2 Conjuntos

1.2.1 Conceptos basicos

Una de las exigencias de una teorıa bien fundamentada es la necesidad dedefinir los conceptos que utiliza. Pronto se cae en la cuenta de que no es po-sible definir absolutamente todos los conceptos empleados, debido a la propianaturaleza de las definiciones; estas han de basarse en conceptos previamentedefinidos, por lo que es preciso contar con un mınimo de nociones primitivas,es decir, no definidas, a partir de las cuales desarrollar todas las definicionesposteriores.

En la teorıa de conjuntos dichas nociones primitivas son conjunto y ele-mento, junto con la relacion que las liga: la relacion de pertenencia. Cual-quier intento de definir estos conceptos pasa por emplear forzosamente alguntermino que puede considerarse equiparable a los efectos de la teorıa. Porejemplo, puede intentarse definir un conjunto como una coleccion de objetos,pero inmediatamente se plantea la pregunta de que se entiende por colecciony que se entiende por objeto, volviendo a caer inevitablemente en la obliga-cion de buscar otro termino, equiparable a conjunto o coleccion y a elementou objeto, para intentar una nueva definicion. La teorıa de conjuntos renunciaa seguir ese camino sin fin y supone que conjunto y elemento son conceptosacerca de los que todo el mundo tiene una idea intuitiva y no necesitan serdefinidos. Al igual ocurre con la relacion que los liga: dado un conjunto y unelemento siempre es posible decidir si el elemento pertenece o no pertenece alconjunto, no siendo posible una tercera eventualidad. Para expresar esta ideasuele decirse que los conjuntos tienen que estar bien definidos, entendiendoaquı el termino “definido” como sinonimo de “especificado” o “determinado”.

Los conjuntos suelen representarse por letras mayusculas A, B, C, X , Y ,Z . . . y los elementos por letras minusculas a, b, c, x, y, z . . . La relacion depertenencia se simboliza por ∈ y su negacion, la relacion de no pertenencia, sesimboliza por �∈.

CONJUNTO Y

ELEMENTO1.16 Conjunto y elemento son conceptos primitivos de la teorıa de con-

juntos, es decir, son terminos que no se definen.

RELACION DE

PERTENENCIA

1.17 La relacion de pertenencia es la relacion que se establece entreun conjunto y un elemento. Esta relacion esta bien definida, es decir, dadoun conjunto A y un elemento a siempre es posible decidir si el elemento apertenece al conjunto A, que se simboliza por a ∈ A, o bien si el elementoa no pertenece al conjunto A, que se simboliza por a �∈ A.

EJEMPLO 1.26

a) El conjunto de las letras del alfabeto espanol esta bien definido. Si denotamos


con A a dicho conjunto entonces a∈ A, b∈ A, n∈ A, mientras que α �∈ A, γ �∈ A,c �∈ A, ß �∈ A.

b) Si denotamos con B al conjunto formado por los meses del ano entonces B esun conjunto bien definido. Por ejemplo, marzo ∈ B pero viernes �∈ B.

c) El conjunto de los resultados numericos que pueden obtenerse al lanzar un dadoes un conjunto bien definido que podemos denotar con la letra D. Tenemos3 ∈ D, 6 ∈ D, 7 �∈ D.

Para definir un conjunto tenemos dos alternativas: enumerar todos sus ele-mentos o enunciar una propiedad que cumplan todos los elementos del con-junto y que no cumplan los elementos que no pertenezcan al conjunto.

FORMAS DE

DEFINIR UN

CONJUNTO

1.18 Un conjunto puede definirse de dos maneras:

Por enumeracion de todos y cada uno de sus elementos.

Por descripcion de alguna propiedad o caracterıstica que identifiqueinequıvocamente a sus elementos.

En el primer caso, para representar al conjunto se incluyen todos sus elemen-tos, separados con una coma, dentro de sendos signos de apertura { y cierre} de llave. En el segundo caso, lo que se encierra dentro de la llave es algunaexpresion simbolica que refleje la propiedad que verifican los elementos delconjunto.

EJEMPLO 1.27

a) Los siguientes conjuntos estan definidos por enumeracion:

S = {lunes, martes, miercoles, jueves, viernes, sabado, domingo}V = {a, e, i, o, u}

b) Los siguientes conjuntos estan definidos por descripcion:

S = {dıas de la semana}V = {vocales del espanol}

Cuando se definen los conjuntos por descripcion, es frecuente emplear unasimbologıa que no solo sirve para abreviar la escritura, sino tambien permiteprecisar con nitidez el lenguaje. Por ejemplo, si denotamos con A al conjuntode las letras del alfabeto espanol, podemos definir al conjunto V anterior como:

V = {x ∈ A | x es vocal}y se lee: “V es el conjunto de los elementos x que pertenecen al conjunto delas letras del alfabeto espanol A, tales que x es una vocal”. En esta escritura laraya vertical | se lee “tales que”.

Conjuntos 25

Inclusion de conjuntos

A partir de la relacion de pertenencia entre elementos y conjuntos, entredos conjuntos A y B se puede establecer la relacion de inclusion.

INCLUSION DE

CONJUNTOS

1.19 Dados dos conjuntos A y B, se dice que A esta contenido o esta in-cluido en B, y se escribe A⊂ B, cuando todos los elementos de A pertene-cen a B.

La relacion de inclusion nos conduce a la definicion de subconjunto.

SUBCONJUNTO 1.20 Si A esta contenido en B se dice que A es un subconjunto de B oque A es una parte de B.

EJEMPLO 1.28

a) Todos los elementos del conjunto A = {2,4,6} pertenecen tambien al conjuntoB = {1,2,3,4,5,6}; luego, A esta contenido en B. Tambien se dice que A es unsubconjunto de B. Con sımbolos se escribe, A ⊂ B y se lee “A esta contenidoen B” o “A es subconjunto de B”.

b) Si V = {vocales del alfabeto espanol} y A = {letras del alfabeto espanol}, setiene V ⊂ A.

c) Llamemos P al conjunto de las palabras incluidas en el diccionario de la lenguaespanola de la Real Academia Espanola. Sea E = {p ∈ P | p es esdrujula} yT = {p ∈ P | p es trisılaba}. Entonces E no es subconjunto de T ; por ejemplo,matematico ∈ E pero matematico �∈ T . Tampoco T es subconjunto de E; porejemplo, figura ∈ T pero figura �∈ E . Podemos observar que hay elementos quepertenecen a ambos conjuntos: numero ∈ E y numero ∈ T .

De la definicion de inclusion de conjuntos se deducen inmediatamente las si-guientes propiedades:

PROPIEDADES DE

LA INCLUSION DE

CONJUNTOS

Resultado 1.4

Reflexiva: Todo conjunto A esta contenido en sı mismo:

A⊂ A

Transitiva: Si un conjunto A esta contenido en otro B, y B esta con-tenido en otro conjunto C, entonces A esta contenido en C:

Si A⊂ B y B⊂C, entonces A⊂C


Igualdad de conjuntos

Parece natural decir que dos conjuntos A y B son iguales cuando tienenlos mismos elementos. Esto exige que todos los elementos de A sean tambienelementos de B y que todos los elementos de B lo sean a su vez de A, es decir,A tiene que ser un subconjunto de B y B tiene que ser un subconjunto de A.Ası, la nocion de subconjunto nos lleva de forma coherente a la definicion deigualdad de conjuntos.

IGUALDAD DE DOS

CONJUNTOS1.21 Si A y B son dos conjuntos tales que A⊂ B y B⊂ A se dice que son

iguales y se denota A = B.

EJEMPLO 1.29 Si S es el conjunto de los dıas de la semana y

A = {s ∈ S | s empieza por la letra “m”} B = {martes, miercoles}

entonces claramente A⊂ B y B⊂ A, por lo que A y B son iguales.

Conjuntos universal y vacıo

Los razonamientos sobre conjuntos suelen estar referidos a un conjuntomayor que contiene a todos los sometidos a consideracion. Por ejemplo, si losconjuntos son colecciones de letras, estaran contenidos en las letras de algunalfabeto, si son colecciones de palabras, en algun diccionario. Este conjunto dereferencia, propio de cada contexto particular, recibe un nombre especial.

CONJUNTO

UNIVERSAL1.22 El conjunto que contiene a todos los conjuntos que se analizan en

un determinado contexto se le denomina conjunto universal y se repre-senta por la letra U .

Aceptamos la existencia de un conjunto que no tiene elementos. Para concebir-lo basta considerar cualquier condicion imposible y definir un conjunto comoel formado por los elementos que cumplen tal condicion; por ejemplo, el con-junto formado por “las palabras esdrujulas de una sılaba” no tiene, obviamente,ningun elemento, es decir, es un conjunto vacıo.

CONJUNTO VACIO 1.23 Se llama conjunto vacıo a un conjunto que no tiene elementos. Elconjunto vacıo se representa por el sımbolo /0.

Puesto que el conjunto vacıo no tiene elementos esta contenido en cualquierconjunto.

Resultado 1.5 Cualquiera que sea el conjunto A se cumple /0⊂ A.

Conjuntos 27

El conjunto de las partes de un conjunto

La coleccion de los subconjuntos de un conjunto dado A esta bien definidaya que siempre es posible saber si un conjunto B es o no subconjunto de A.Dicha coleccion forma el conjunto de las partes de A.

PARTES DE UN

CONJUNTO1.24 El conjunto de las partes de un conjunto A es el conjunto cuyos

elementos son todos los subconjuntos de A. Se denota por P(A).

EJEMPLO 1.30 A1 = {a} y A2 = {b} son subconjuntos de A = {a,b}, pero no sonlos unicos: A tiene tambien como subconjuntos al mismo A (A⊂A) y al conjunto vacıo( /0⊂ A). Por lo tanto, el conjunto de las partes de A sera:

P(A) ={{a},{b}, /0,A

}Observese que los elementos del conjunto de las partes son, a su vez, conjuntos. Noserıa correcto escribir a∈P(A), lo correcto es {a}∈P(A), puesto que los elementosde P(A) son conjuntos.

EJEMPLO 1.31 El conjunto A = {a,b,c} tiene ocho subconjuntos que son:

un subconjunto de 0 elementos /0tres subconjuntos de 1 elemento {a}, {b}, {c}tres subconjuntos de 2 elementos {a,b}, {a,c}, {b,c}un subconjunto de 3 elementos {a,b,c}

Su conjunto de las partes, P(A), es:

P(A) ={

/0,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},A}

Si el conjunto A tiene n elementos, podemos preguntarnos cuantos elemen-tos tendra P(A). Para contarlos, imaginemos que, para formar un subconjun-to, ponemos en fila los elementos de A y, elemento a elemento, decidimos si seelige como elemento del subconjunto o no. El primer elemento puede pertene-cer a el o no, el segundo puede pertenecer a el o no, etc. Hay,

2×2×·· ·×2︸︷︷︸n veces

elecciones posibles

y cada una de las elecciones define un unico subconjunto, luego hay 2n sub-conjuntos. Cuando no se elige ningun elemento, se forma el subconjunto vacıo/0, mientras que, cuando se toman todos, se forma el subconjunto A.

Resultado 1.6 Si el conjunto A tiene n elementos, el conjunto de laspartes de A, P(A), tiene 2n elementos.

EJEMPLO 1.32 Consideremos el conjunto A = {1,2,3,4,5,6}. Entonces el conjuntoP(A) tiene 26 = 2×2×2×2×2×2= 64 elementos.


Diagramas de Venn

John Venn (1834-1923)

Los conjuntos suelen representarse por medio de unos dibujos denomina-dos diagramas de Venn, en honor al logico ingles John Venn. Se conviene enrepresentar el conjunto universal mediante un rectangulo o un cuadrado; ca-da conjunto se simboliza por una region de ese cuadrado, limitada por unacurva cerrada; la forma y tamano de la curva es intrascendente. Por ejem-plo, si el conjunto universal U tiene como elementos a, b, c, d y e, esto esU = {a,b,c,d,e} y A es el conjunto A = {a,b,c}, un diagrama de Venn pararepresentarlo puede ser el que aparece en la figura 1.1(a).

U

•a

•b

•c

•d

•e

(a)

U

A

(b)

Figura 1.1: La convencion de los diagramas de Venn.

Si se observa bien la figura, se entendera rapidamente el simbolismo de larepresentacion. La lınea marca los lımites del conjunto. Cada elemento se re-presenta por un punto. Si el punto es interior debe entenderse que perteneceal conjunto; si es exterior, se entendera que no pertenece. La lınea que deli-mita al conjunto divide al cuadrado —conjunto universal— en dos regiones:la interior, que representa al conjunto A y la exterior que incluye los demaselementos que no pertenecen al conjunto A. En la figura 1.1(b) se muestra esaconvencion general.

U

•x•y

A

•z

•w•v

Figura 1.2: Diagrama deVenn del conjunto A = {x,y}.

EJEMPLO 1.33 Un diagrama de Venn como el de la figura 1.2 informa de que elconjunto A esta formado por los elementos x e y, A = {x,y}, y que no pertenecen a Alos elementos v, w y z.

1.2.2 Operaciones con conjuntos

De modo similar a como se combinan las proposiciones simples para obte-ner proposiciones compuestas, los conjuntos pueden ser combinados medianteoperaciones que dan lugar a nuevos conjuntos. Estudiamos a continuacion lasprincipales operaciones que pueden realizarse con conjuntos.

Conjuntos 29

Interseccion de conjuntos

A B

A∩B

U

Figura 1.3: Interseccion deconjuntos A∩B.

INTERSECCION DE

CONJUNTOS

1.25 La interseccion de dos conjuntos A y B es el conjunto que tienecomo elementos los comunes a ambos conjuntos. La interseccion de A y Bse indica con el sımbolo A∩B.

A∩B = {x | x ∈ A y x ∈ B}

EJEMPLO 1.34 Si A = {a,b,e} y B = {a,c,e}, el elemento a es comun a A y B,pertenece a los dos conjuntos, luego a es un elemento de la interseccion. El elementob no es comun puesto que pertenece a A, pero no a B. Del mismo modo se observa quee es comun y que c no lo es. Ası, solo hay dos elementos comunes a A y B que son ay e y el conjunto interseccion es A∩B = {a,e}

EJEMPLO 1.35 Si E es el conjunto de las palabras esdrujulas y T es el conjunto delas palabras trisılabas entonces E∩T es el conjunto de las palabras que son esdrujulasy trisılabas a la vez; por ejemplo, numero, maximo, algebra ∈ E ∩T .

Cuando dos conjuntos no tienen elementos comunes, su interseccion es elconjunto vacıo y se denominan disjuntos.

AB

U

Figura 1.4: Conjuntos disjun-tos A∩B = /0.

CONJUNTOS

DISJUNTOS1.26 Dos conjuntos A y B son disjuntos si no tienen elementos comunes,

lo que equivale a:A∩B = /0 .

EJEMPLO 1.36 Los conjuntos A = {a,b,e} y B = {c,d, f ,g} son disjuntos. No hayningun elemento que pertenezca a A y a B a la vez; entonces A∩B = /0.

EJEMPLO 1.37 Si A es el conjunto de las letras del alfabeto espanol, los conjuntosV = {x ∈ A | x es vocal} y C = {x ∈ A | x es consonante} son disjuntos, es decir,V ∩C = /0, puesto que no hay ninguna letra que sea vocal y consonante al mismotiempo.

Union de conjuntos

UNION DE

CONJUNTOS

1.27 La union de dos conjuntos A y B es el conjunto que tiene comoelementos los que pertenecen a alguno de los conjuntos. La union de A yB se indica con el sımbolo A∪B.

A∪B = {x | x ∈ A o x ∈ B}

EJEMPLO 1.38 Si A = {a,b,e} y B = {a,c,e}, el elemento a pertenece a A y a B,luego a es un elemento de la union. El elemento b pertenece a A, pero no a B, luego


tambien pertenece a la union. Del mismo modo, se observa que c y e pertenecen a launion, por lo tanto A∪B = {a,b,c,e}.EJEMPLO 1.39 Si A = {1,2,5} y B = {1,5,6}, se tiene A∪B = {1,2,5,6}.

A B

A∪B

U

Figura 1.5: Union de conjun-tos A∪B.

Complementario de un conjunto

Como ya se ha senalado, los conjuntos se suelen considerar incluidos enuno mayor U que se denomina universal. Con referencia a este conjunto uni-versal, para cada conjunto A se define el formado por los elementos que nopertenecen a A.

COMPLEMENTARIO

DE UN CONJUNTO

1.28 El conjunto complementario de A esta formado por los elementosdel conjunto universal que no pertenecen a A. El conjunto complementariode A se representa por Ac.

Ac = {x ∈U | x �∈ A}

A

Ac

U

Figura 1.6: Complementariode un conjunto: Ac.

EJEMPLO 1.40 Si se considera el conjunto A = {a,b,c} dentro del conjunto univer-sal U = {a,b,c,d,e}, el elemento d no pertenece a A, luego pertenece a su comple-mentario Ac. De manera analoga e tambien pertenece a Ac, mientras que los elementosa, b y c pertenecen a A luego no pertenecen a Ac. Se tiene ası: Ac = {d,e}EJEMPLO 1.41 Si el conjunto A = {a,b,c} se considerase dentro de otro conjuntouniversal, el complementario respecto del nuevo universal sera distinto. Por ejem-plo, si el nuevo conjunto universal es U = {a,b,c,d}, el conjunto complementariosera Ac = {d}.EJEMPLO 1.42 Si se considera como conjunto universal el conjunto A de las letrasdel alfabeto espanol, el complementario del conjunto V = {x ∈ A | x es vocal} es elconjunto C = {x ∈ A | x es consonante}, es decir, Vc = C.

Diferencia de dos conjuntos

DIFERENCIA DE

CONJUNTOS1.29 La diferencia de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por

los elementos de A que no pertenecen a B. La diferencia de A y B se repre-senta con el sımbolo A−B.

A−B = {x | x ∈ A y x �∈ B}

A B

A−B

U

Figura 1.7: Diferencia deconjuntos A−B.

EJEMPLO 1.43 Si A = {a,b,c,d,e} y B = {d,e, f ,g} la diferencia de A y B es iguala A−B= {a,b,c}. Los elementos a, b y c pertenecen a la diferencia porque pertenecena A y no pertenecen a B.

Notemos que, conforme a la definicion de la diferencia, no es lo mismo ladiferencia de A y B, que la diferencia de B y A; es decir, en general, se tiene

Conjuntos 31

que A−B �= B−A. En realidad, la diferencia no es una operacion nueva yaque puede expresarse en terminos de la interseccion y la complementacion.En efecto: los elementos que pertenecen a A y no pertenecen a B son los mis-mos que pertenecen a A y pertenecen a Bc, es decir, los que pertenecen a lainterseccion de A con el complementario de B.

Resultado 1.7 La diferencia de dos conjuntos A y B es igual a la inter-seccion de A con el complementario de B.

A−B = A∩Bc

EJEMPLO 1.44 Sea el conjunto universal U = {a,b,c,d,e, f ,g,h, i, j} y los con-juntos A = {a,b,c,d,e} y B = {d,e, f ,g}. Como hemos visto en el ejemplo anteriorA− B = {a,b,c}. Por otra parte Bc = {a,b,c,h, i, j} y por tanto A∩Bc = {a,b,c}.Comprobamos entonces que A−B = A∩Bc.

1.2.3 Propiedades de las operaciones con conjuntos

Las operaciones con conjuntos cumplen una serie de propiedades genera-les que son validas con independencia de los conjuntos que se consideren. Porejemplo, si A = {a,b} y B = {b,c} entonces A∩B = {b}= B∩A, es decir, dael mismo resultado hacer la interseccion de A con B que la interseccion de Bcon A. Pero esta propiedad se cumple no solo para los dos conjuntos anterioressino que es valida para dos conjuntos cualquiera, como podemos comprobarsin mas que utilizar la definicion de interseccion de conjuntos. Vamos a enu-merar a continuacion algunas de dichas propiedades; en los enunciados A, BC designan de manera generica a conjuntos referidos a un conjunto universalU , mientras que los parentesis indican el orden en que hay que efectuar lasoperaciones.

Propiedades de la interseccion

PROPIEDAD I1 Resultado 1.8 La interseccion de cualquier conjunto con el conjuntovacıo es igual al conjunto vacıo.

A∩ /0 = /0

Ningun conjunto puede tener elementos en comun con el vacıo ya que este notiene elementos.

PROPIEDAD I2 Resultado 1.9 La interseccion de cualquier conjunto con el universal esel mismo conjunto.

A∩U = A


Todos los elementos de A son elementos del universal, luego son comunes, ysolo los elementos de A pueden ser comunes.

PROPIEDAD I3

(IDEMPOTENCIA)

Resultado 1.10 La interseccion de cualquier conjunto consigo mismo esigual al mismo conjunto.

A∩A = A

Es bien simple razonar que ası debe ser: el conjunto A tiene en comun consigomismo todos sus elementos y no puede haber otros elementos comunes.

PROPIEDAD I4

(CONMUTATIVA)

Resultado 1.11 La interseccion de un conjunto A con otro B es igual a lainterseccion de B con A.

A∩B = B∩A

Para demostrar la propiedad conmutativa basta observar que los mismos ele-mentos tendran A y B en comun que B y A.

A B

C

B∩C

A∩B

A∩B∩C

Figura 1.8: Propiedadasociativa de la inter-seccion de conjuntos(A∩B)∩C = A∩ (B∩C).

PROPIEDAD I5

(ASOCIATIVA)

Resultado 1.12 Si se hace la interseccion de un conjunto A con un con-junto B y luego se hace la interseccion del conjunto resultante con un con-junto C, se obtiene el mismo resultado que si se hace la interseccion delconjunto A con el conjunto que resulta de hacer la interseccion de B y C.

(A∩B)∩C = A∩ (B∩C)

Esta propiedad se demuestra al observar que si se seleccionan primero los ele-mentos comunes de A y B y luego, entre estos, se seleccionan los elementoscomunes con el conjunto C, se obtiene el mismo conjunto que si en primerlugar se seleccionan los elementos comunes de B y C y luego, entre estos, seseleccionan los elementos comunes con A (figura 1.8).

Si hacemos uso de esta propiedad podemos calcular la interseccion de masde dos conjuntos. Ası, la interseccion A∩B∩C puede calcularse asociandolos conjuntos que se intersecan: primero se calcula A∩B y luego se calcula(A∩B)∩C; o bien, primero se calcula B∩C y luego se calcula A∩ (B∩C).En virtud de la propiedad asociativa, se pueden suprimir los parentesis:

A∩B∩C = (A∩B)∩C = A∩ (B∩C)

Ademas, en virtud de la propiedad commutativa, el orden en que se hacen lasoperaciones no es relevante y se tiene:

A∩B∩C = A∩C∩B = B∩A∩C = B∩C∩A = C∩A∩B = C∩B∩A

EJEMPLO 1.45 Sean A = {a,b,c,d}, B = {b,c,d,e} y C = {c,d,e, f}; los unicoselementos que pertenecen a los tres conjuntos son c y d; entonces la interseccion de

Conjuntos 33

los tres conjuntos es A∩B∩C = {c,d}.

PROPIEDAD I6 Resultado 1.13 La interseccion de dos conjuntos esta contenida en cual-quiera de los conjuntos que se intersecan.

A∩B⊂ A y A∩B⊂ B

La razon de esta propiedad es simple: todos los elementos de A∩B son elemen-tos de A, luego A∩B⊂ A. Por igual motivo se tiene A∩B⊂ B (ver figura 1.3).

A

B = A∩B

U

Figura 1.9: Si B ⊂ A entoncesA∩B = B.

PROPIEDAD I7 Resultado 1.14 Si B esta contenido en A, entonces la interseccion de A yB es igual a B.

Si B⊂ A, entonces A∩B = B

La demostracion es elemental: si B es un subconjunto de A todos los elementosde B y solo estos son los comunes a A y B (ver figura 1.9).

Propiedades de la union

PROPIEDAD U1 Resultado 1.15 La union de cualquier conjunto con el conjunto vacıo esigual al conjunto.

A∪ /0 = A

Puesto que el conjunto vacıo no tiene elementos, los unicos elementos quepertenecen a alguno de los conjuntos que unimos son todos los de A y soloestos.

PROPIEDAD U2 Resultado 1.16 La union de cualquier conjunto con el conjunto universales igual al conjunto universal.

A∪U = U

Todos los elementos pertenecen a alguno de los dos conjuntos ya que, al me-nos, pertenecen al universal.

PROPIEDAD U3

(IDEMPOTENCIA)

Resultado 1.17 La union de cualquier conjunto consigo mismo es igualal mismo conjunto.

A∪A = A

Es bien simple razonar que ası debe ser: los elementos comunes y los no comu-nes del conjunto A consigo mismo son todos sus elementos y no puede haberotros.


PROPIEDAD U4

(CONMUTATIVA)

Resultado 1.18 La union de un conjunto A con otro B es igual a la unionde B con A.

A∪B = B∪A

Para demostrar la propiedad conmutativa basta observar que los mismos ele-mentos que pertenecen a A o a B son los que pertenecen a B o a A.

A B

C

B∪C

A∪B

A∪B∪C

Figura 1.10: Propie-dad asociativa de launion de conjuntos(A∪B)∪C = A∪ (B∪C).

PROPIEDAD U5

(ASOCIATIVA)

Resultado 1.19 Si se hace la union de un conjunto A con un conjuntoB y luego se hace la union del conjunto resultante con un conjunto C, seobtiene el mismo resultado que si se hace la union del conjunto A con elconjunto que resulta de unir B y C.

(A∪B)∪C = A∪ (B∪C)

Esta propiedad se demuestra al observar que si se seleccionan primero los ele-mentos que estan en A o en B y luego se seleccionan los elementos que estanen C, se obtiene el mismo conjunto que si en primer lugar se seleccionan loselementos que estan en B o enC y luego se seleccionan los elementos que estanen A (ver figura 1.10).

Si hacemos uso de esta propiedad podemos calcular la union de mas de dosconjuntos. Ası, la union A∪B∪C puede calcularse asociando los conjuntos quese unen: primero se calcula A∪B y luego se calcula (A∪B)∪C; o bien, primerose calcula B∪C y luego A∪ (B∪C). En virtud de la propiedad asociativa, sepueden suprimir los parentesis:

A∪B∪C = (A∪B)∪C = A∪ (B∪C)

Ademas, en virtud de la propiedad conmutativa, el orden en que se hacen lasoperaciones no es relevante y se tiene:

A∪B∪C = A∪C∪B = B∪A∪C = B∪C∪A = C∪A∪B = C∪B∪A

EJEMPLO 1.46 Si A = {a,b,c}, B = {b,c,d} y C = {c,d,e}, la union de los tresconjuntos sera: A∪B∪C = {a,b,c,d,e}.

PROPIEDAD U6 Resultado 1.20 La union de dos conjuntos contiene a cualquiera de losconjuntos que se unen

A⊂ A∪B, y B⊂ A∪B

La razon de esta propiedad es que todos los elementos de A son elementos deA∪B, luego A⊂ A∪B. Por igual motivo se tiene B⊂ A∪B (ver figura 1.5).

Conjuntos 35

A = A∪B

B

U

Figura 1.11: Si B ⊂ A enton-ces A∪B = A.

PROPIEDAD U7 Resultado 1.21 Si B esta contenido en A, entonces la union de A y B esigual a A.

Si B⊂ A entonces A∪B = A

La demostracion es clara: si B es un subconjunto de A todos los elementos deB estan A, por lo que la union de los dos solo es A (ver figura 1.11).

Propiedades de la complementacion

PROPIEDAD C1 Resultado 1.22 El complementario del conjunto vacıo es el conjunto uni-versal.

/0c = U

Como el conjunto vacıo no tiene elementos, ningun elemento del conjuntouniversal puede pertenecer al conjunto vacıo.

PROPIEDAD C2 Resultado 1.23 El complementario del conjunto universal es el conjuntovacıo.

U c = /0

Como todos los elementos pertenecen al conjunto universal, ningun elementono pertenece al universal.

PROPIEDAD C3 Resultado 1.24 El complementario del complementario de un conjunto esel mismo conjunto.

(Ac)c = A

Puesto que el complementario de A esta formado por los elementos que nopertenecen a A, los elementos que no pertenecen a Ac seran los que pertenecena A, esto es (Ac)c = A (ver figura 1.6).

Propiedades que relacionan varias operaciones

PROPIEDAD R1 Resultado 1.25 La interseccion de un conjunto y su complementario esigual al conjunto vacıo.

A∩Ac = /0

No puede haber elementos que pertenezcan a A y a su complementario si-multaneamente, puesto que si pertenecen a Ac no pueden pertenecer a A (verfigura 1.6).

PROPIEDAD R2 Resultado 1.26 La union de un conjunto con su complementario es igualal conjunto universal.

A∪Ac = U


Puesto que cualquier elemento pertenece a A o pertenece a Ac, todos los ele-mentos pertenecen a alguno de los dos (ver figura 1.6).

PROPIEDAD R3

(PROPIEDADES

DISTRIBUTIVAS)

Resultado 1.27

Propiedad distributiva de la interseccion respecto de la union:

A∩ (B∪C) = (A∩B)∪ (A∩C)

Propiedad distributiva de la union respecto de la interseccion:

A∪ (B∩C) = (A∪B)∩ (A∪C)

La demostracion de estas propiedades puede razonarse del modo siguiente: loselementos de A∩ (B∪C) son los comunes de A con todos los que estan en Bo en C, que son los mismos que los comunes de A y B o bien los comunes deB y C; de modo similar, los elementos de A∪ (B∩C) son los elementos de Ao los elementos comunes de B y C, que son los mismos que los comunes a losque estan en A o B y estan en A o C (ver figura 1.12).

A B

C

(A∩B)∪ (A∩C)

=

A∩ (B∪C)

A B

C

A∪(B∩C

)

=

(A∪B

)∩(A∪C

)

Figura 1.12: Propiedades distributivas.

PROPIEDAD R4

(LEYES DE

MORGAN)

Resultado 1.28

Primera ley de Morgan: El complementario de una union de conjun-tos es igual a la interseccion de los complementarios de los conjun-tos.

(A∪B)c = Ac∩Bc

Segunda ley de Morgan: El complementario de una interseccion deconjuntos es igual a la union de los complementarios.

(A∩B)c = Ac∪Bc

Conjuntos 37

La demostracion de esta propiedad es tambien clara. En el caso de la prime-ra ley, puesto que en A∪B estan los elementos que pertenecen a alguno delos dos conjuntos, los elementos del conjunto (A∪B)c son los elementos queno pertenecen a ninguno de los dos conjuntos, es decir, ni pertenecen a A nipertenecen a B, por tanto pertenecen a Ac y pertenecen a Bc y, por tanto, per-tenecen a Ac∩Bc. En el caso de la segunda ley, puesto que en A∩B estan loselementos que pertenecen simultaneamente a los dos conjuntos, los elementosde (A∩B)c son los que no pertenecen simultaneamente a los dos, es decir, obien no pertenecen a A o bien no pertenecen a B y, por tanto, o bien pertenecena Ac o bien pertenecen a Bc, por lo que pertenecen a Ac∪Bc (ver figura 1.13).

A B

U

(A∪B)c = Ac∩Bc

A B

U

(A∩B)c = Ac∪Bc

Figura 1.13: Leyes de Morgan

Todas las propiedades anteriores, especialmente las propiedades distributi-vas y las leyes de Morgan, son muy utiles para efectuar calculos con conjuntosy simplificar expresiones en las que intervienen diversas operaciones de con-juntos. A continuacion se muestran algunos ejemplos.

EJEMPLO 1.47 La expresion (A∩B)∪ (A∩Bc) puede simplificarse. Por la primerapropiedad distributiva, se tiene

(A∩B)∪ (A∩Bc) = A∩ (B∪Bc)

pero B∪Bc = U , por lo tanto

(A∩B)∪ (A∩Bc) = A∩ (B∪Bc) = A∩U = A

EJEMPLO 1.48 La expresion

((A∩B)∪ (Ac ∩Bc)

)c

puede simplificarse. Por la

primera ley de Morgan, se tiene((A∩B)∪ (Ac∩Bc)

)c

= (A∩B)c∩ (Ac∩Bc)c

y, por la segunda ley de Morgan, se tienen

(A∩B)c = Ac∪Bc

(Ac∩Bc)c = (Ac)c∪ (Bc)c = A∪B


luego ((A∩B)∪ (Ac∩Bc)

)c

= (Ac∪Bc)∩ (A∪B)

Ahora bien, por la propiedad distributiva

(Ac∪Bc)∩ (A∪B) =(

Ac∩ (A∪B))∪(

Bc∩ (A∪B))

= (Ac∩A)∪ (Ac∩B)∪ (Bc∩A)∪ (Bc∩B)

Puesto que Ac∩A = /0 y Bc∩B = /0 resulta

(Ac∪Bc)∩ (A∪B) = /0∪ (Ac∩B)∪ (Bc∩A)∪ /0

= (Ac∩B)∪ (Bc∩A)= (B−A)∪ (A−B)

Vemos a continuacion una expresion particularmente interesante, que per-mite descomponer la union de dos conjuntos A y B como union de subconjun-tos disjuntos.

A B

(II)

(I)

(III)

(IV)

U

REGION CONJUNTO

(I) A∩B(II) A∩Bc

(III) Ac∩B(IV) (A∪B)c

Figura 1.14: Descomposicionde la union de dos conjuntos.

DESCOMPOSICION

DE LA UNION DE

DOS CONJUNTOS

Resultado 1.29 Dados dos conjuntos cualesquiera A y B se cumple

A∪B = (A∩B)∪ (A∩Bc)∪ (Ac∩B)= (A∩B)∪ (A−B)∪ (B−A)

La figura 1.14 ilustra el resultado. La segunda igualdad es inmediata porque(A∩Bc) = A−B y (Ac ∩B) = B− A. La primera igualdad se demuestra apartir de las propiedades de las operaciones con conjuntos.

(A∩B)∪ (A∩Bc)∪ (Ac∩B) = [(A∩B)∪ (A∩Bc)]∪ (Ac∩B)= [A∩ (B∪Bc)]∪ (Ac∩B) (Prop. R3)= (A∩U )∪ (Ac∩B) (Prop. R2)= A∪ (Ac∩B) (Prop. I3)= (A∪Ac)∩ (A∪B) (Prop. R3)= U ∩ (A∪B) (Prop. R2)= (A∪B) (Prop. I3)

Tambien es sencillo comprobar que los conjuntos que forman la expresion son

Conjuntos 39

disjuntos. En efecto:

(A∩B)∩ (A∩Bc) = A∩ (B∩A)∩Bc (Prop. I5)= A∩ (A∩B)∩Bc (Prop. I4)= (A∩A)∩ (B∩Bc) (Prop. I5)= A∩ /0 (Prop. I3, R1)= /0 (Prop. I1)

(A∩B)∩ (Ac∩B) = A∩ (B∩Ac)∩B (Prop. I5)= A∩ (Ac∩B)∩B (Prop. I4)= (A∩Ac)∩ (B∩B) (Prop. I5)= /0∩B (Prop. R1, I3)= /0 (Prop. I1)

(A∩Bc)∩ (Ac∩B) = A∩ (Bc∩Ac)∩B (Prop. I5)= A∩ (Ac∩Bc)∩B (Prop. I4)= (A∩Ac)∩ (Bc∩B) (Prop. I5)= /0∩ /0 (Prop. I1)= /0

A B

C

(I)

(II)

(III) (IV)

(V) (VI)

(VII)

(VIII)

U

REGION CONJUNTO

(I) A∩B∩C(II) A∩B∩Cc

(III) A∩Bc∩C(IV) Ac∩B∩C(V) A∩Bc∩Cc

(VI) Ac∩B∩Cc

(VII) Ac∩Bc∩C(VIII) (A∪B∪C)c

Figura 1.15: Descomposicionde la union de tres conjuntos.

Se puede obtener una expresion similar para descomponer la union de tresconjuntos en subconjuntos disjuntos. La configuracion mas general que pue-den presentar tres conjuntos A, B y C tiene ocho regiones, ya que un elementocualquiera del espacio universal puede pertenecer o no a A, pertenecer o no a By pertenecer o no a C. En total 2×2×2 = 8 posibilidades que aparecen repre-sentadas en la figura 1.15. Puede observarse que la union de todas las regionesmenos la (VIII) es igual a la union A∪B∪C, lo que permite descomponer dichaunion en conjuntos disjuntos.

DESCOMPOSICION

DE LA UNION DE

TRES CONJUNTOS

Resultado 1.30 Dados tres conjuntos cualesquiera A, B y C se cumple

A∪B∪C=(A∩B∩C)∪ (A∩B∩Cc)∪ (A∩Bc∩C)∪ (Ac∩B∩C)∪(A∩Bc∩Cc)∪ (Ac∩B∩Cc)∪ (Ac∩Bc∩C)∪ (Ac∩Bc∩Cc)


1.3 Aplicaciones

1.3.1 El concepto de aplicacion

Las aplicaciones son el patron que utilizan las Matematicas para sintetizaraquello que tienen en comun muchas transformaciones que se pueden obser-var en diferentes disciplinas cientıficas. Una transformacion es un proceso queconvierte objetos de una clase en objetos de otra clase. Por ejemplo, supon-gamos que se exponen al sol una tez blanca y un muneco de nieve. Al cabode un cierto tiempo observamos que la tez se ha bronceado y en el lugar delmuneco se encuentra una masa informe de nieve. Este simple experimentomuestra la esencia del concepto de transformacion: la exposicion al sol cambiala tez blanca en tez bronceada y el muneco de nieve en un monton de nieveamorfo. Si se pretende explicar como actua la transformacion “exposicion alsol” sobre estos objetos, se tiene la tentacion de decir que convierte el con-junto A = {blanco,muneco} en el conjunto B = {bronceado,monton} Peroinmediatamente se comprende que no basta esa descripcion para determinarcompletamente la transformacion. No basta con saber cual es el conjunto deobjetos sobre el que actua la transformacion y el conjunto que resulta. Si seprocede ası, solo se sabra que objetos habıa antes y que objetos hay despues,pero resultara imposible averiguar en que se transforma cada uno de los ob-jetos originales. La esencia de una transformacion, lo que permite describirlasin ambiguedad, es una conjuncion de dos informaciones: la composicion delos estados inicial y final, dos conjuntos, y una descripcion que permita saberen que objetos se convierte cada uno de los objetos del estado inicial. Todoeso puede hacerse, de manera muy expresiva, mediante una grafica. Por ejem-plo, para describir la transformacion “exposicion al sol”, puede dibujarse elesquema:

EXPOSICION AL SOL

Blanco −→ BronceadoMuneco −→ Monton

Figura 1.16: La esencia de latransformacion “exposicion alsol”.

que describe el cambio de cada uno de los objetos que se tenıan. Ası pues, unatransformacion es un cambio de estados u objetos en otros, de suerte que cadaestado u objeto inicial se convierte en otro estado u objeto por la accion de latransformacion. Para definir una transformacion es preciso indicar los estadosu objetos iniciales, que hay antes de la transformacion, los estados u objetosfinales, que hay despues de la transformacion, e indicar a donde conduce latransformacion, cuando se aplica a cada uno de los estados u objetos iniciales.

En Matematicas, se reserva el nombre de aplicaciones a una clase especialde transformaciones.

Aplicaciones 41

APLICACION 1.30 Una aplicacion entre dos conjuntos A y B es una trasformacion queconvierte cada elemento del conjunto A en un unico elemento del conjuntoB.

El conjunto A se llama conjunto inicial o dominio de la aplicacion.

El conjunto B se llama conjunto final o rango de la aplicacion.

Las aplicaciones se suelen designar por las letras f , g, h, o susmayusculas y se acostumbran a representar por:

f : A → B o bien por Af−→ B

Si el elemento x ∈ A se transforma en el elemento y ∈ B se escribe

y = f (x)

y se dice que y es la imagen de x mediante la aplicacion f o tambienque a x le corresponde y; tambien se dice que x es una preimagende y.

A 1 2 3 4f ↓ ↓ ↓ ↓

B 2 4 6 8

Figura 1.17: Representacionde una aplicacion f : A → B.

Para que la aplicacion este plenamente definida es preciso indicar en que ele-mento del conjunto final se convierte cada elemento del conjunto inicial. Es-to se puede conseguir mediante diagramas o graficos. Por ejemplo, si A y Bson los conjuntos A = {1,2,3,4} B = {2,4,6,8} y la transformacion consisteen multiplicar por 2 cada numero del conjunto inicial, se tendra la aplicacionf : A → B, definida por el diagrama de la figura 1.17. En este diagrama, la filasuperior indica los elementos del conjunto inicial, la fila inferior los elementosdel conjunto final y las flechas senalan el transformado de cada elemento delconjunto inicial. Por ejemplo, en la aplicacion anterior, el elemento 1 se aplicao se transforma en 2, el elemento 3 se transforma en 6, etc.; decimos que 2 esla imagen de 1 por la aplicacion, que 1 es una preimagen de 2, o que a 4 lecorresponde 8.4

321

d

cb

a

A B

f

Figura 1.18: Representacionde una aplicacion f : A → Bcomo diagrama de flechas.

Otro metodo grafico para definir aplicaciones consiste en emplear diagra-mas como el que aparece en la figura 1.18. La representacion es facilmentecomprensible. Los conjuntos inicial y final se han representado mediante re-cuadros, cuya forma es intrascendente, y las flechas senalan el transformadode cada uno de los elementos del conjunto original. Por ejemplo, la aplicacionde la figura 1.18 transforma 1 en b, 2 en a, 3 en c y 4 en c. El elemento d delconjunto final no tiene ninguna preimagen —no es el transformado de ningunelemento de A—, a pesar de lo cual la transformacion es aplicacion puesto quetodos los elementos de A tienen imagen y solamente una imagen.

No cuesta mucho comprender que este tipo de diagramas solo son utilescuando el numero de elementos de los conjuntos que intervienen es pequeno,


en otro caso, la figura puede convertirse en una marana de flechas. Por ello, espreciso disponer de una definicion exclusivamente simbolica. La convencionque se adopta es dar una lista con las imagenes de cada elemento del conjuntoinicial. Como hemos visto, se acostumbra a representar la imagen de un ele-mento, por ejemplo 1, con el sımbolo f (1). Ası, para la aplicacion f de lafigura 1.18, se tienen:

f (1) = b, f (2) = a, f (3) = c, f (4) = c

Esta serie de igualdades constituye otro modo de definir la aplicacion sin recu-rrir a diagramas.

EJEMPLO 1.49 La transformacion que aparece en la figura 1.19 es aplicacion, pues-to que cada uno de los elementos del conjunto inicial A tiene una unica imagen. Consımbolos, la aplicacion f : A → B se define mediante la lista:

f (1) = b f (2) = a f (3) = b f (4) = c

es decir, b es la imagen de 1 y de 3, a es la imagen de 2 y c es la imagen de 4.4321

cb

a

A B

f

Figura 1.19: Una aplicacionf : A → B definida medianteun diagrama de flechas.

EJEMPLO 1.50

a) La transformacion descrita por el diagrama de la figura 1.20 (a) no es aplica-cion, puesto que el elemento c del conjunto inicial tiene dos imagenes.

b) La transformacion descrita por el diagrama de la figura 1.20 (b) no es aplica-cion, puesto que el elemento 3 del conjunto inicial no tiene imagen.

d

c

b

a

4

3

2

1

A B

f

(a)

4

3

2

1

d

c

b

a

A B

g

(b)

Figura 1.20: Transformaciones que no son aplicaciones.

Si el numero de elementos del conjunto inicial de una aplicacion es muygrande, ninguno de los procedimientos anteriores es util para definirla. En estasituacion es necesario encontrar una formula verbal, o regla, que permita de-terminar sin ambiguedad como se encuentra la imagen de cada elemento delconjunto inicial.

EJEMPLO 1.51 Si A es el conjunto de los municipios espanoles y B es el conjunto delas provincias espanolas, entonces la expresion “hacer corresponder a cada municipio

Aplicaciones 43

a ∈ A la provincia f (a) ∈ B a la cual pertenece´´ define una aplicacion f : A → B,puesto que todos los elementos de A tienen una, y una sola, imagen en B y dichaimagen puede encontrarse sin ambiguedad; por ejemplo f (‘Gijon’) = ‘Asturias’ yf (‘Ponferrada’) = ‘Leon’.

1.3.2 Imagen e imagen inversa de un subconjunto

La nocion de imagen de un elemento, establecida en el apartado anterior,se extiende a los subconjuntos del conjunto inicial.

IMAGEN DE UN

SUBCONJUNTO1.31 Sea f : A → B una aplicacion y C ⊂ A. Se denomina imagen del

subconjunto C al conjunto de las imagenes de los elementos de C. Laimagen de C se representa por f (C).

f (C) = { f (x) ∈ B | x ∈C} ⊂ B

Conviene tener presente que la imagen de un elemento a del conjunto iniciales un elemento, f (a), del conjunto final, mientras que la imagen de un sub-conjunto C del conjunto inicial es un subconjunto, f (C), del conjunto final.

EJEMPLO 1.52 En la aplicacion definida por el diagrama de la figura 1.19, la ima-gen del subconjunto C = {1,2,3} ⊂ A es igual a f (C) = {a,b} ⊂ B puesto que laimagen de 1 y de 3 es b y la imagen de 2 es a. De manera semejante, la imagen delsubconjunto D = {3,4} es igual al subconjunto {b,c} del conjunto final.

Como se ha senalado, si f (x) = y, se dice que x es una preimagen de y.Observese que se dice una preimagen, ya que no se puede descartar que hayaotros elementos de A que se transformen en y. Este concepto se extiende asubconjuntos.

IMAGEN INVERSA 1.32 Sea f : A → B una aplicacion y D ⊂ B. Se denomina imagen

inversa o imagen recıproca del subconjunto D, al subconjunto de A for-mado por las preimagenes de los elementos de D, es decir, el conjuntode los elementos de A que se transforman en elementos de D. La imageninversa de D se representa por f−1(D).

f−1(D) = {x ∈ A | f (x) ∈ D} ⊂ A

d

cb

a

4321

A B

f

Figura 1.21: Una aplicacionf : A → B.

EJEMPLO 1.53 Si f : A → B es la aplicacion definida por el diagrama de la figu-ra 1.21, se tendra que la imagen inversa del subconjunto C = {1,3} ⊂ B es igual af−1(C) = {b,c,d}⊂ A puesto que b se transforma en 1∈C, c se transforma en 3∈C,d se transforma en 3 ∈ C, y el elemento restante de A se transforma en un elemen-to que no pertenece a C. De manera analoga, si D = {3} y E = {2,4}, se cumplen:f−1(D) = {c,d}, f−1(E) = {a}.

Puede ocurrir que algun elemento del conjunto final no tenga preimagenesen A. Por consiguiente, la imagen inversa de algun subconjunto de B puede ser


el conjunto vacıo.

EJEMPLO 1.54 En la aplicacion definida por el diagrama de la figura 1.21, la ima-gen inversa del subconjunto S = {4} es el conjunto vacıo. Como 4 no tiene ningunapreimagen en A, se tiene f−1(S) = /0.

Naturalmente, la imagen inversa del conjunto final siempre es el conjuntoinicial, puesto que en una aplicacion todos los elementos del conjunto inicialtienen una imagen.

Resultado 1.31 Sea f : A → B una aplicacion; la imagen inversa del con-junto final B es el conjunto inicial A:

f−1(B) = A

1.3.3 Tipos de aplicaciones

Algunas aplicaciones presentan caracterısticas particulares que permitendarles un nombre especial.

APLICACION

INYECTIVA

1.33 Una aplicacion f : A → B es inyectiva si cada par de elementosx, y, x �= y, del conjunto inicial A tienen imagenes f (x) y f (y) distintas,f (x) �= f (y).

b

a

321

A B

f

Figura 1.22: Una aplicacioninyectiva.

Dicho de otra manera, una aplicacion es inyectiva si ningun elemento de B esimagen de dos elementos diferentes de A. Cuando la aplicacion es inyectiva,un elemento de B puede ser o no ser imagen de uno de A, pero en caso deserlo, lo es a lo sumo de un unico elemento de A. En los diagramas de flechases sencillo reconocer si una aplicacion es inyectiva: basta comprobar que aningun elemento de B le llegan dos flechas.

EJEMPLO 1.55 La aplicacion definida por el diagrama de la figura 1.22 es inyec-tiva, puesto que todos los elementos del dominio de la aplicacion tienen imagenesdiferentes. Hay que resaltar que para que una aplicacion sea inyectiva no es necesarioque todos los elementos del rango de la aplicacion sean imagenes de algun elementodel conjunto origen.

EJEMPLO 1.56 La aplicacion definida en el diagrama de la figura 1.21 no es inyec-tiva porque hay dos elementos diferentes de A, c y d, que tienen la misma imagen enB: el elemento 3.

APLICACION

SOBREYECTIVA

1.34 Una aplicacion f : A → B es sobreyectiva si para cada elementoy del conjunto final B hay algun elemento x del conjunto inicial, tal quef (x) = y.

Para saber si una aplicacion es sobreyectiva basta comprobar que todos los ele-mentos del conjunto final son imagen de algun elemento del conjunto inicial.En un diagrama de flechas se reconoce facilmente, pues no hay mas que mirar

Aplicaciones 45

si a todos los elemento del conjunto final llega por lo menos una flecha, si bienno importa que llegue mas de una.

EJEMPLO 1.57 La aplicacion f : {1,2,3} → {a,b}, definida por: f (1) = a, f (2) =a, f (3) = b es sobreyectiva ya que a tiene dos preimagenes, 1 y 2 y b tiene unapreimagen, 3.

cb

a

21

A B

f

Figura 1.23: Una aplicacionsobreyectiva.

EJEMPLO 1.58 La aplicacion definida en el diagrama de la figura 1.23 es sobreyec-tiva ya que todos los elementos de B = {1,2} son imagen de alguno de A. Sin embargo,no es inyectiva, ya que el elemento 1 ∈ B es imagen de dos elementos diferentes a,bpertenecientes a A.

EJEMPLO 1.59 La aplicacion definida por el diagrama de la figura 1.22 no es so-breyectiva porque el elemento 2 ∈ B no es imagen de ningun elemento de A.

Como hemos visto en los ejemplos anteriores una aplicacion puede ser in-yectiva y no ser sobreyectiva y recıprocamente, puede ser sobreyectiva perono ser inyectiva. Cuando una aplicacion es simultaneamente inyectiva y sobre-yectiva recibe un nombre especial.

APLICACION

BIYECTIVA

1.35 Una aplicacion f : A →B es biyectiva si es inyectiva y sobreyectivaal mismo tiempo.

d

cb

a

d

cb

a

A B

f

Figura 1.24: Una aplicacionbiyectiva.

EJEMPLO 1.60 La aplicacion f : A → B definida por el diagrama de la figura 1.24,es inyectiva puesto que no hay dos elementos del conjunto inicial que tengan la mismaimagen. Tambien es sobreyectiva, porque todos los elementos del conjunto final sonimagen de algun elemento del inicial. Por tanto la aplicacion es biyectiva.

EJEMPLO 1.61 La aplicacion f : {0,1} → {0,1}, definida por:

f (0) = 1, f (1) = 0

es inyectiva puesto que f (0) �= f (1); tambien es sobreyectiva, puesto que cada ele-mento del conjunto final tiene alguna preimagen. Por lo tanto, es biyectiva.

Como se ha dicho anteriormente, no debe pensarse que las aplicacionesque no son inyectivas seran sobreyectivas y, al reves, que las aplicaciones queno son sobreyectivas seran inyectivas. Todavıa mas, hay aplicaciones que noson ni inyectivas ni sobreyectivas. En la figura 1.25 se muestran varias de las

d

cb

a

321

A B

f

cb

a

d′c′b′a′

C D

g

4321

δγβα

E F

h

cb

a

d

cb

a

G H

i

Figura 1.25: Diferentes tipos de aplicaciones.


posibilidades que pueden presentarse. Ası, la aplicacion f es sobreyectiva perono inyectiva, la aplicacion g es inyectiva pero no sobreyectiva, la aplicacion hes inyectiva y sobreyectiva, y por tanto biyectiva, y la aplicacion i no es niinyectiva ni sobreyectiva.

1.3.4 Composicion de aplicaciones

En ciertas condiciones, las transformaciones pueden aplicarse de manerasucesiva. El proceso que transforma el grano de trigo en pan puede ser des-compuesto en diversas transformaciones: molienda, tamizado, moldeado, coc-cion, etc. Resulta ası, que ciertas transformaciones pueden entenderse como elresultado de la aplicacion sucesiva de otras, de modo que el resultado de unatransformacion pasa a ser el objeto inicial sobre el que actua otra. Esta ideade encadenamiento de transformaciones da lugar a la operacion matematicacaracterıstica de las aplicaciones: la composicion.

dcba

4321

A B

f

4321

zxvu

B C

g

Figura 1.26: Dos aplicacio-nes que pueden componerse.

Si se consideran dos aplicaciones, f : A → B y g : B →C, tales que el con-junto final de f es igual al conjunto inicial de g, tiene sentido preguntarse quepasara si f y g operan de manera sucesiva: primero opera f que convierte loselementos de A en elementos de B y, luego, opera g sobre los elementos de Bque produjo f convirtiendolos en elementos de C.

Para fijar ideas, consideremos las aplicaciones f y g definidas en el diagra-ma de la figura 1.26; la aplicacion f opera sobre el elemento a del conjunto Ay lo transforma en 2; a continuacion, opera g sobre 2 y lo convierte en z. Esteproceso en dos pasos:

af−→ 2

g−→ z

bf−→ 4

g−→ x

cf−→ 1

g−→ v

df−→ 3

g−→ u

puede entenderse como una unica aplicacion que convierte el elemento a deA en el elemento z de C. Esa nueva transformacion, que podemos llamar h,tendra como conjunto inicial A y como conjunto finalC, h : A →C, y estara de-finida por las igualdades

h(a) = z, h(b) = xh(c) = v, h(d) = u

El diagrama (a) de la figura 1.27 representa las transformaciones f y g conca-tenadas, mientras que el diagrama (b) representa la transformacion h : A →Cque equivale a la concatenacion o composicion de ambas.

COMPOSICION DE

APLICACIONES

1.36 Sean f : A → B y g : B → C dos aplicaciones. La aplicacionh : A →C que resume el efecto de aplicar f al conjunto A y, despues, apli-car g al conjunto B se llama la composicion de las aplicaciones f y g. Seescribe: h = g◦ f y se lee “h es igual a f compuesta con g”.

Aplicaciones 47

d

cb

a

4321

zxvu

A B C

f g

(a)

d

cb

a

zxvu

A C

h

(b)

Figura 1.27: Composicion de dos aplicaciones.

Notemos que la composicion de aplicaciones se escribe g◦ f , colocando a laderecha la aplicacion que opera primero. Esta convencion es muy util, puestoque si se quiere hallar el transformado de un elemento por la aplicacion h secalculara:

h(a) = (g◦ f )(a) = g(f (a)

)= g(2) = z

Si se siguen, paso a paso, las igualdades anteriores, se tendra una buena des-cripcion de las transformaciones sucesivas. Por ejemplo, para calcular el trans-formado de a por la composicion, h(a) = (g ◦ f )(a), primero opera f sobrea, transformandolo en 2, h(a) = g

(f (a)

)= g(2) y, luego, opera g sobre el

resultado de la aplicacion f , h(a) = g(2) = z lo que produce el transformadopor h del elemento a. De manera analoga, el transformado de b se calcula:

h(b) = (g◦ f )(b) = g(f (b)

)= g(4) = x

Debe notarse que el orden en que se componen las aplicaciones es crucial. Engeneral, no es lo mismo componer f con g, es decir, operar primero con f yluego con g, lo que origina la composicion g ◦ f , que componer g con f , esdecir, operar primero con g y despues con f , lo que origina la composicionf ◦ g. En terminos matematicos, se dice que la composicion de aplicacionesno es conmutativa. Tambien debe notarse que, para que sea posible calcular lacomposicion g◦ f , es preciso que el conjunto final de f coincida con el inicialde g; en otro caso no es posible componerlas.

EJEMPLO 1.62 Si A, B y C son los conjuntos A = {0,1}, B = {3,4}, C = {5,6} yf y g son las aplicaciones: f : A → B, g : B →C, definidas por

f (0) = 4, f (1) = 3g(3) = 5, g(4) = 6

la aplicacion compuesta h = g ◦ f esta definida, puesto que el conjunto final de fcoincide con el inicial de g; ademas se tienen:

h(0) = (g ◦ f )(0) = g(f (0)

)= g(4) = 6

h(1) = (g ◦ f )(1) = g(f (1)

)= g(3) = 5

Luego h queda definida por h : A → C y h(0) = 6, h(1) = 5. Notemos que, en estecaso, la aplicacion g ◦ f esta definida, pero f ◦ g no lo esta.


1.4 Cardinal de un conjunto

. . . . . .. . . . . .. . . . . .

. . . . . .. . . . . .. . . . . .

. . . . . .. . . . . .. . . . . .

1

2

3

a

b

a

c

b

a

Figura 1.28: Cardinal de un conjunto.

Dados dos conjuntos cualesquiera no siempre es posible es-tablecer entre ellos una aplicacion biyectiva. Por ejemplo, en-tre los conjuntos A = {1,2} y B = {a}, la unica aplicacionf : A → B que se puede establecer es la aplicacion definidapor f (1) = a, f (2) = a. Evidentemente, esta aplicacion no esinyectiva y por tanto no es biyectiva. Sin embargo, entre losconjuntos A = {1,2} y C = {a,b}, es sencillo definir una apli-cacion que sea biyectiva; por ejemplo, g(a) = 1 y g(b) = 2.

Como se puede observar en la figura 1.28, para que sea po-sible establecer una aplicacion biyectiva entre dos conjuntos, esnecesario que por cada elemento del conjunto original haya unodiferente en el conjunto final que sea su imagen y, recıproca-mente, por cada elemento del conjunto final haya uno diferenteen el conjunto original que sea su preimagen. Es decir, para queentre dos conjuntos se pueda establecer una aplicacion biyecti-

va, ambos tienen que tener algo en comun: el numero de sus elementos. Estacaracterıstica comun es compartida por todos aquellos conjuntos entre los cua-les se puede establecer una aplicacion biyectiva y se denomina cardinal delconjunto.

CARDINAL DE UN

CONJUNTO1.37

El cardinal de un conjunto A es su numero de elementos y se repre-senta por #(A).

El cardinal de A, #A, representa una caracterıstica propia de todoslos conjuntos A tales que puede establecerse una aplicacion biyectivaentre ellos y el conjunto {1,2, . . . , #(A)}.

EJEMPLO 1.63 El conjunto A = {a,b,c,d} tiene cuatro elementos, por lo tanto,#(A) = 4.

EJEMPLO 1.64 El conjunto vacıo no tiene elementos, por lo tanto, tiene cero ele-mentos y #( /0) = 0.

Ası pues, el cardinal de un conjunto se halla contando cuantos elementostiene. Si el conjunto tiene pocos elementos y estan ordenados por algun crite-rio, contarlos es facil. Cuando tiene muchos o no presentan ninguna ordenacionaparente, el problema puede ser muy difıcil. En este capıtulo se analizara elcomportamiento del cardinal frente a las operaciones de los conjuntos; masadelante se podran encontrar metodos para contar de manera inteligente loselementos de un conjunto.

Cardinal de un conjunto 49

1.4.1 Calculo de cardinales con dos conjuntos

Sean A y B los conjuntos A = {a,b,c}, B = {y,z} representados en la figu-ra 1.29. Notemos que son disjuntos y que #A = 3, #B = 2. Consideremos launion, A∪B = {a,b,c,y,z}; se tiene #(A∪B) = 5, de forma que #(A∪B) =#(A) + #(B) = 3+ 2; podemos concluir que si los conjuntos A y B no tienenelementos en comun, entre A y B juntos tendran tantos elementos como indi-que la suma del numero de elementos de A y de B. Observamos entonces larelacion que existe entre la operacion con conjuntos que denominamos uniony la operacion con cardinales que denominamos suma.

CARDINAL DE LA

UNION DE

CONJUNTOS

DISJUNTOS

Resultado 1.32 Si dos conjuntos A y B son disjuntos, el cardinal de launion es igual a la suma de los cardinales.

Si A∩B = /0, entonces #(A∪B) = #(A)+ #(B)

UA

�

�

�

a

bc

B�

�

y

z

Figura 1.29: Si A y B son dis-juntos #(A ∪ B) = #A + #B =3+2=5.

En general, cuando A y B son dos conjuntos cualesquiera no se cumple larelacion anterior, sino que el cardinal de la union es inferior a la suma de loscardinales. El motivo es facil de entender: si los conjuntos tienen elementosen comun, cuando sumamos los cardinales de A y de B estamos contando dosveces los elementos comunes —una vez como elementos de A y otra comoelementos de B—, sin embargo en la union aparecen una sola vez, por lo queal calcular el cardinal de la union, estos elementos debemos contarlos solouna vez. Por ejemplo, si A = {a,b,c,d,e} y B = {d,e, f}, entonces A∪B ={a,b,c,d,e, f}. El balance de contar el numero de elementos de cada conjuntoes:

elementos de A a b c d e #(A) = 5elementos de B d e f #(B) = 3elementos de A∪B a b c d e f #(A∪B) = 6

Al contar los elementos de A se cuentan una vez los elementos comunes d y ey al contar los elementos de B se cuentan de nuevo. Ahora bien, los elementoscomunes forman el conjunto interseccion, A∩B = {d,e}, y su numero es elcardinal de la interseccion #(A∩B) = 2. Entonces para calcular el cardinal dela union hay que descontar de la suma de los cardinales de A y B los elementosque se han contado dos veces, es decir, hay que descontar el cardinal de lainterseccion. Tenemos ası la expresion

#(A∪B) = #(A)+ #(B)−#(A∩B)

formula que tiene validez general y permite calcular el cardinal de la union.


CARDINAL DE LA

UNION DE

CONJUNTOS

Resultado 1.33 Si A y B son dos conjuntos, siempre se cumple que elcardinal de su union A∪B es igual al cardinal de A mas el cardinal de Bmenos el cardinal de la interseccion A∩B.

#(A∪B) = #(A)+ #(B)−#(A∩B)

EJEMPLO 1.65 Si #(A∪B) = 15, #(A) = 10 y #(B) = 9, se tiene:

#(A∩B) = #(A)+ #(B)−#(A∪B)= 10+ 9−15 = 4

La formula del cardenal de la union puede razonarse de otra manera. En lapagina 38 vimos que la union de dos conjuntos puede expresarse como unionde tres conjuntos disjuntos:

A∪B = (A−B)∪ (B−A)∪ (A∩B)

Esta descomposicion significa que los elementos de la union de A y B o sonelementos que pertenecen a A y no a B —elementos de (A−B)—, o son ele-mentos que pertenecen a B y no a A —elementos de (B−A)—, o son elementoscomunes a A y B —elementos de A∩B—. Ademas, estas categorıas son ex-cluyentes porque no puede haber un elemento que pertenezca a dos de ellas almismo tiempo. Por consiguiente

#(A∪B) = #(A−B)+ #(B−A)+ #(A∩B)

Ahora bien A = (A−B)∪(A∩B), siendo los conjuntos A−B y A∩B disjuntos.Por tanto #A = #(A−B)+#(A∩B). Analogamente B = (B−A)∪ (A∩B) conB−A y A∩B disjuntos. Por tanto #B = #(B−A)+ #(A∩B). Entonces:

#(A∪B) = #(A−B)+ #(B−A)+ #(A∩B)= #A−#(A∩B)+ #B−#(A∩B)+#(A∩B)= #(A)+ #(B)−#(A∩B)

EJEMPLO 1.66 Si #(A) = 5 y #(A∩B) = 3 entonces

#(A−B) = #(A)−#(A∩B) = 5−3 = 2

EJEMPLO 1.67 Si B⊂ A, #(A) = 7 y #(B) = 3, entonces se cumple que

#(A∩B) = #(B) = 3

y tambien#(A−B) = 7−3 = 4

Cardinal de un conjunto 51

EJEMPLO 1.68 Sean A y B son dos conjuntos tales que #(A−B) = 7, #(B−A) = 2y #(A∪B) = 14. Entonces es posible calcular #(A) y #(B). En efecto: como

#(A∪B) = #(A−B)+ #(B−A)+ #(A∩B)

resulta

#(A∩B) = #(A∪B)−#(A−B)−#(B−A)= 14−7−2 = 5

Por tanto

#(A) = #(A−B)+ #(A∩B)= 7+ 5 = 12

#(B) = #(B−A)+ #(A∩B)= 2+ 5 = 7

Temas complementarios

Relaciones logicas

Proposiciones y conjuntos

Aplicaciones de los calculos con cardinales


Relaciones logicas

Dos proposiciones p y q pueden presentar, como maximo, cuatro posibili-dades logicas, tal como se muestra en la tabla 1.11.

p q

Caso 1 V VCaso 2 V FCaso 3 F VCaso 4 F F

Tabla 1.11: Posibilidades logi-cas de dos proposiciones.

Esta es la situacion mas general que puede presentarse. Por ejemplo, las pro-posiciones p: “llueve” y q: “hace frıo” pueden, en principio, ser verdaderas ofalsas independientemente una de la otra. Cuando esto ocurre se dice que lasproposiciones son independientes.

PROPOSICIONES

INDEPENDIENTES1.38 Se dice que dos proposiciones p y q son independientes si se dan

los cuatro casos posibles en su tabla de verdad.

Si al menos uno de estos casos no puede darse se dice que son dependienteso que guardan entre sı una relacion logica. En este apartado vamos a estudiarlas diferentes relaciones logicas que pueden existir entre dos proposiciones.

Ausencia de uno de los casos posibles

Proposiciones inconsistentes

Si el caso 1 de la tabla 1.11 esta excluido, las dos proposiciones no puedenser simultaneamente verdaderas, entonces se dice que son inconsistentes.

PROPOSICIONES

INCONSISTENTES1.39 Dos proposiciones p y q se dicen inconsistentes si no pueden ser

simultaneamente verdaderas.

EJEMPLO 1.69 Dadas dos proposiciones independientes p y q, se halla la tabla deverdad de las proposiciones p∧ q y ((¬p)∧q)∨ (p∧ (¬q)), tabla 1.12. Se observa

p q ¬p ¬q p∧q ((¬p)∧q)∨ (p∧ (¬q))

V V F F V FV F F V F VF V V F F VF F V V F F

Tabla 1.12: Proposiciones inconsistentes.

que las proposiciones p∧q y ((¬p)∧q)∨ (p∧ (¬q)) no pueden ser simultaneamenteverdaderas: son inconsistentes.

Implicacion directa

Si el caso 2 de la tabla 1.11 esta excluido no puede darse que p sea verdade-ra y q falsa. Esto es, siempre que p sea verdadera tambien lo sera q. Entonces

Relaciones logicas 55

se dice que p implica q.

IMPLICACION

DIRECTA

1.40 Si dos proposiciones p y q son tales que no puede ser p verdaderay q falsa se dice que p implica q.

p q p∧q p∨q

V V V VV F F VF V F VF F F F

Tabla 1.13: Implicacion directay recıproca.

EJEMPLO 1.70 Si p y q son dos proposiciones independientes, la tabla de verdad dep∨q y p∧q viene dada en la tabla 1.13. Se observa que no pueden ser p∧q verdaderay p∨q falsa simultaneamente, luego p∧q implica p∨q.

Implicacion recıproca

Si el caso 3 de la tabla 1.11 esta excluido, siempre que q sea verdaderatambien lo sera p. Al igual que antes, se dice que q implica p.

IMPLICACION

RECIPROCA

1.41 Si dos proposiciones p y q son tales que no puede ser q verdaderay p falsa se dice que q implica p.

EJEMPLO 1.71 El ejemplo anterior nos sirve de nuevo para ilustrar este caso.

Proposiciones subcontrarias

Si el caso 4 de la tabla 1.11 esta excluido, las dos proposiciones no puedenser simultaneamente falsas. Entonces se dice que son subcontrarias.

q p p→ q

V V VV F VF V FF F V

Tabla 1.14: Proposiciones sub-contrarias.

PROPOSICIONES

SUBCONTRARIAS1.42 Si dos proposiciones p y q no pueden ser simultaneamente falsas,

se dice que son subcontrarias.

EJEMPLO 1.72 Si p y q son dos proposiciones independientes, las proposicionesp y p→ q son subcontrarias. En efecto, su tabla de verdad, tabla 1.14, muestra quese dan todas las posibilidades logicas menos el caso 4: no pueden ser p y p → qsimultaneamente falsas.

Ausencia de dos casos

Proposiciones equivalentes

Si estan excluidos los casos 2 y 3 de la tabla 1.11 las dos proposiciones sonsimultaneamente verdaderas o falsas, entonces se dice que son equivalentes.Observese que dos proposiciones equivalentes toman siempre el mismo valorde verdad.

PROPOSICIONES

EQUIVALENTES1.43 Dos proposiciones son equivalentes si toman siempre el mismo

valor de verdad.

EJEMPLO 1.73 Las proposiciones (¬p)∨q y p→ q son equivalentes. En efecto, enla tabla de verdad, tabla 1.15, Se observa que las columnas de los valores de verdadde (¬p)∨q y p→ q son iguales.


p q (¬p) (¬p)∨q p→ q

V V F V VV F F F FF V V V VF F V V V

Tabla 1.15: Proposiciones equivalentes.p ¬p

V FF V

Tabla 1.16: Proposiciones con-tradictorias.

Proposiciones contradictorias

Si estan excluidos los casos 1 y 4 de la tabla 1.11 las dos proposicionesno pueden ser simultaneamente verdaderas, ni simultaneamente falsas, enton-ces se dice que son contradictorias. Observese que si dos proposiciones soncontradictorias, cuando una es verdadera la otra es falsa y al reves.

PROPOSICIONES

CONTRADICTO-

RIAS

1.44 Dos proposiciones se dicen contradictorias si no pueden ser si-multaneamente verdaderas ni simultaneamente falsas.

EJEMPLO 1.74 El ejemplo mas simple de dos proposiciones contradictorias lo pro-porcionan p y ¬p. En efecto, en la tabla de verdad, tabla 1.16, se observa que p y ¬pno pueden ser simultaneamente verdaderas ni simultaneamente falsas, por lo tanto,son contradictorias.

Las restantes posibles ausencias de dos casos suponen que una de las dosproposiciones es siempre verdadera o falsa y se consideran a continuacion.

p ¬p p∨ (¬p)

V F VF V V

Tabla 1.17: Tautologıa.

Ausencia de tres casos

Para que falten tres posibilidades logicas es preciso que una de las proposi-ciones sea siempre verdadera o siempre falsa. Esta observacion introduce dosnuevos conceptos de interes:

TAUTOLOGIA 1.45 Una proposicion que siempre es verdadera se denomina logicamen-te verdadera o tautologıa; su valor de verdad siempre es V.

EJEMPLO 1.75 La proposicion p∨ (¬p) es una tautologıa. En efecto, en su tabla deverdad, tabla 1.17, muestra que siempre es verdadera.

p ¬p p∧ (¬p)V F FF V F

Tabla 1.18: Contradiccion.

CONTRADICCION 1.46 Una proposicion que siempre es falsa se denomina logicamentefalsa o contradiccion. Su valor de verdad siempre es F.

EJEMPLO 1.76 La proposicion p∧ (¬p) es logicamente falsa. Su tabla de verdad,tabla 1.18, muestra que siempre es falsa.

Proposiciones y conjuntos 57

Proposiciones y conjuntos

Las proposiciones de la logica tienen una estructura matematica semejantea la de los conjuntos. Esta similitud no debe extranar; se puede considerar queun conjunto A esta definido por la proposicion p que afirma: “el elemento xpertenece a A”. En efecto, el conjunto A esta formado por aquellos elementospara los que la proposicion p es verdadera. Por ejemplo, el conjunto V de lasvocales del alfabeto espanol puede entenderse como el conjunto de las letras vpara los que es verdadera la proposicion p : “v es una vocal” o cualquier otraproposicion equivalente.

Teniendo presente esta idea es muy sencillo traducir el lenguaje de propo-siciones al lenguaje de conjuntos y, recıprocamente, el lenguaje de conjuntosal lenguaje de proposiciones. Ası, los conectores logicos entre proposiciones ylas operaciones de conjuntos representan dos caras de una misma moneda. Latabla 1.19 sintetiza esta equivalencia.

Conector de proposiciones Operacion de conjuntos

Negacion ¬p Complementacion Ac

Conjuncion p∧q Interseccion A∩BDisyuncion p∨q Union A∪B

Tabla 1.19: Equivalencia entre conectores logicos y operaciones de conjuntos.

Esta equivalencia nos permite establecer que los conectores logicos pre-sentan propiedades identicas a las de las operaciones con conjuntos. En estecontexto, el papel del conjunto vacıo lo hace una proposicion c que sea unacontradiccion, mientras que el papel del conjunto universal lo hace una propo-sicion t que sea una tautologıa. La relacion de igualdad entre conjuntos tienesu parangon en la relacion de equivalencia entre proposiciones. La tabla 1.20incluye un resumen de las propiedades de los conectores y su relacion con laspropiedades de las operaciones con conjuntos. En dicha tablas, p, q y r repre-sentan proposiciones cualesquiera, c es una proposicion contradictoria y t unatautologıa; el sımbolo ≡ indica que las proposiciones son equivalentes. Por suparte, A, B y C representan conjuntos cualesquiera. de un conjunto universalU , y /0 significa, como es habitual, el conjunto vacıo.


Conjuncion Interseccion

p∧ c ≡ c A∩ /0 = /0p∧ t ≡ p A∩U = A

Idempotencia p∧ p ≡ p A∩A = AConmutativa p∧q ≡ q∧ p A∩B = B∩AAsociativa (p∧q)∧ r ≡ p∧ (q∧ r) (A∩B)∩C = A∩ (B∩C)

Disyuncion Union

p∨ c ≡ p A∪ /0 = Ap∨ t ≡ t A∪U = U

Idempotencia p∨ p ≡ p A∪A = AConmutativa p∨q ≡ q∨ p A∪B = B∪AAsociativa (p∨q)∨ r ≡ p∨ (q∨ r) (A∪B)∪C = A∪ (B∪C)

Negacion Complementacion

¬c ≡ t /0c = U¬t ≡ c U c = /0¬(¬p) ≡ p (Ac)c = A

Conectores Conjuntos

p∧¬(p) ≡ c A∩Ac = /0p∨¬(p) ≡ t A∪Ac = U

Distributivas p∧ (q∨ r) ≡ (p∧q)∨ (p∧ r) A∩ (B∪C) = (A∩B)∪ (A∩C)p∨ (q∧ r) ≡ (p∨q)∧ (p∨ r) A∪ (B∩C) = (A∪B)∩ (A∪C)

Leyes de Morgan ¬(p∨q) ≡ ¬(p)∧¬(q) (A∪B)c = Ac∩Bc

¬(p∧q) ≡ ¬(p)∨¬(q) (A∩B)c = Ac∪Bc

Tabla 1.20: Propiedades de los conectores logicos y su relacion con las opera-ciones de conjuntos.

Aplicaciones de los calculos con cardinales 59

Aplicaciones de los calculos con cardinales

Calculo de cardinales con dos conjuntos

Los calculos con cardinales de conjuntos permiten resolver muchos proble-mas practicos. Veamos algunos ejemplos.

EJEMPLO 1.77 Supongamos que una entidad bancaria ha realizado una encuestaacerca de la situacion economica de las familias espanolas. Segun los resultados de laencuesta, el 30% de las familias pagaban un credito hipotecario, el 40% pagaban uncredito para comprar un coche y el 10% pagaban creditos de ambos tipos. La entidaddesea saber que porcentaje de las familias no pagan ni creditos hipotecarios ni creditospara la compra de un coche. Por proporcionalidad, basta razonar sobre un universo de100 familias. Llamemos A al conjunto de familias, entre las 100, que estan pagandoun credito hipotecario y B al conjunto de familias que pagan un credito para la comprade un coche. Segun los datos, de cada 100 familias 30 pertenecen a A y 40 pertenecena B, por lo tanto, #(A) = 30 y #(B) = 40. Ahora bien, las familias que pagan amboscreditos a un tiempo constituyen el conjunto interseccion A∩B, luego #(A∩B) = 10.Entonces, las que pagan alguno de los creditos seran

#(A∪B) = #(A)+ #(B)−#(A∩B)= 30+ 40−10

= 60

y las que no pagan ninguno de los creditos seran

#((A∪B)c) = #(U )−#(A∪B) = 100−60 = 40

Por lo tanto, el 40% de las familias no pagan ni creditos hipotecarios ni creditos parala compra de un coche.

Los diagramas de Venn son muy utiles para resolver problemas de este tipo,ya que, en definitiva, se trata de hallar cuantos elementos hay en cada una delas cuatro regiones en que queda dividido el conjunto universal por medio dosconjuntos.

EJEMPLO 1.78 Vamos a examinar de nuevo el ejemplo anterior con ayuda de losdiagramas de Venn. Consideremos un conjunto universal de 100 familias. De ellashabra 10 que pagan ambos creditos. En la figura 1.30 (a) aparecen las cuatro regiones.Puesto que de las 100 familias hay 10 que pagan ambos creditos se anota 10 en laregion correspondiente A∩B, ver figura 1.30 (b). Ahora, el conjunto A tiene 30 ele-mentos que estaran repartidos entre los subconjuntos A∩B y A−B; como en A∩Bhay 10 elementos en A−B habra 20. Esto se marca en el diagrama como muestra lafigura 1.30 (c). De manera semejante, si el conjunto B tiene 40 elementos y de ellos10 estan en A∩B, en B−A habra 30 elementos. La solucion es ahora evidente. En launion —las familias que pagan algun credito de estos tipos— hay 20+ 10+ 30 = 60elementos y, puesto que en el total hay 100, el complementario de la union —las fa-milias que no pagan ningun credito de estos tipos— tiene 100− 60 = 40 elementos.Obtenemos de nuevo la respuesta: 40 de cada 100, es decir, el 40% de las familias, nopagan ningun credito de estos tipos, ver figura 1.30 (c).


U

(A∪B)c

AA−B

BB−A

A∩B

(a)

U

(A∪B)c

AA−B

BB−A

10

(b)

U

40

A20

B30

10

(c)

Figura 1.30: Calculo de cardinales de dos conjuntos mediante diagramas deVenn.

Calculo de cardinales con tres conjuntos

Cuando se manejan tres conjuntos, los diagramas de Venn son tambien uti-les para calcular cardinales. El procedimiento es semejante al ya visto, conla unica complicacion adicional de tener que emplear la ocho regiones de lafigura 1.31, en lugar de las cuatro de la figura 1.30 (a). Ilustraremos dichoprocedimiento con el ejemplo siguiente.

U

(VIII)

A

(V)

B(II)

(VI)

C

(III) (IV)

(VII)

(I)

REGION CONJUNTO

(I) A∩B∩C(II) A∩B∩Cc

(III) A∩Bc∩C(IV) Ac∩B∩C(V) A∩Bc∩Cc

(VI) Ac∩B∩Cc

(VII) Ac∩Bc∩C(VIII) Ac∩Bc∩Cc

Figura 1.31: Regiones en quedividen U tres conjuntos.

EJEMPLO 1.79 Supongamos que en una reunion hay 40 personas que hablan algunode los idiomas aleman, espanol o ingles. Se sabe que 22 hablan aleman, 26 no hablaningles, 30 hablan solo un idioma, 30 hablan ingles o aleman, 7 hablan ingles perono hablan espanol y 17 hablan aleman pero no hablan espanol. Se desea responder apreguntas como: ¿cuantas personas hablan los tres idiomas? ¿cuantas personas hablansolo espanol? ¿cuantas personas hablan espanol pero no hablan ingles?

Llamemos A, B y C, respectivamente, a los conjuntos de personas que hablanaleman, espanol e ingles. Las regiones en que se descompone la union de los tresconjuntos aparecen en la figura 1.31. Se trata de escribir los datos en terminos delas ocho regiones. El primer dato del problema es que la union de los tres conjuntostiene 40 elementos, esto se traduce en una igualdad que expresa que la suma de loscardinales de las regiones (I) a (VII) es 40, ver figura 1.32 (a).

#(I) + #(II) + #(III) + #(IV) + #(V)+ #(VI) + #(VII) = 40

Luego, dice el enunciado, 22 personas hablan aleman, esto se traduce en una igualdadque indica que la suma de los cardinales de las regiones (I), (II), (III) y (V) es igual a22.

#(I) + #(II) + #(III) + #(V) = 22

De manera analoga se traducen todos los datos del enunciado. El resultado se refleja enla Tabla 1.21, donde cada igualdad esta numerada para facilitar la explicacion posteriory viene representada en la figura 1.32.

Al operar ası, se convierte un problema de conjuntos en otro algebraico. Para empezarse resta a la igualdad (a) la igualdad (e) y resulta #(VI) = 10. Luego, se sustituye estevalor en cada igualdad:


Igualdad Condicion Regiones Cantidad

(a) Personas en total #(I)+ #(II) + #(III) + #(IV)+ #(V) + #(VI) + #(VII) = 40(b) Hablan aleman #(I)+ #(II) + #(III) + #(V) = 22(c) No hablan ingles #(II) + #(V)+ #(VI) = 26(d) Hablan solo un idioma #(V)+ #(VI) + #(VII) = 30(e) Hablan ingles o aleman #(I)+ #(II) + #(III) + #(IV)+ #(V) + #(VII) = 30(f) Hablan ingles pero no espanol #(III) + #(VII) = 7(g) Hablan aleman pero no espanol #(III) + #(V) = 17

Tabla 1.21: Calculo del cardinal de tres conjuntos.

U

A

B

C(a)

#(A∪B∪C) = 40TODOS

U

A

B

C(b)

#A = 22HABLAN ALEMAN

U

A

B

C(c)

#(A∪B)−C = 26

NO HABLAN INGLES

U C

A

B

(d)# [(A− (B∪C))∪ (B− (A∪C))

∪ (C− (A∪B))] = 30HABLAN UN SOLO IDIOMA

U

B

A

C(e)

#(A∪C)−B = 30

HABLAN INGLES O ALEMAN

U

A

C

B

(f)#(C−B) = 7

HABLAN INGLESPERO NO ESPANOL

U C

A

B

(g)#(A−B) = 17

HABLAN ALEMANPERO NO ESPANOL

U

A

15

B1 10

C

2 3

5

4

(h)SOLUCION

Figura 1.32: Calculo del cardinal tres conjuntos mediante diagramas de Venn.

Igualdad Regiones Cantidad(a’) #(I)+ #(II) + #(III) + #(IV)+ #(V) + #(VII) = 30(b’) #(I)+ #(II) + #(III) + #(V) = 22(c’) #(II) + #(V) = 16(d’) #(V)+ #(VII) = 20(f’) #(III) + #(VII) = 7(g’) #(III) + #(V) = 17

Si se suman las igualdades (f’) y (g’) se tiene

2×#(III)+ #(V) + #(VII) = 24

pero, de la igualdad (d’) se tiene #(V) + #(VII) = 20, luego 2× #(III) = 4 por locual #(III) = 2. El resto es simple: si se reemplaza el valor de #(III) en (f’) se tiene#(VII) = 5, y si se reemplaza en (g’), resulta #(V) = 15. De (c’) se tiene ahora #(II) =1. Si se sustituye en (b’), se obtiene #(I) = 4 y, por ultimo, al sustituir en (a’) se obtiene#(IV) = 3. Ası pues, se han calculado los cardinales de cada una de las regiones, tal


Region Conjunto Cardinal(I) A∩B∩C 4(II) A∩B∩Cc 1(III) A∩Bc∩C 2(IV) Ac∩B∩C 3(V) A∩Bc∩Cc 15(VI) Ac∩B∩Cc 10(VII) Ac∩Bc∩C 5(VIII) Ac∩Bc∩Cc 0

Tabla 1.22: Solucion del problema de los idiomas

como aparece en la figura 1.32 (g) y en la tabla 1.22. Ahora puede responderse acualquier pregunta referida a un conjunto que se exprese como union de las regiones,por ejemplo:

Condicion Region CardinalPersonas que hablan los tres idiomas (I) = 4Personas que hablan solo espanol (VI) = 10Personas que hablan espanol pero no ingles (II)+(VI) = 11

Acotacion de cardinales

En ocasiones los datos disponibles no son suficientes para calcular conexactitud el cardinal de cada una de las regiones. A pesar de ello, puede ob-tenerse alguna informacion. Por ejemplo, si solo se conoce el cardinal de A yel cardinal de B, no es posible calcular con exactitud el cardinal de A∪B y elde A∩B, pero pueden acotarse, esto es, puede saberse entre que valores estancomprendidos. En efecto, se sabe que

#(A∪B) = #(A)+ #(B)−#(A∩B)

como #(A∩B)≥ 0 se tiene

#(A∪B)≤ #(A)+ #(B)

Si la suma de #(A) y #(B) es mayor que el numero de elementos del conjun-to universal U , la desigualdad anterior proporciona una informacion banal,puesto que es de antemano sabido que el cardinal de A∪B no puede ser mayorque el numero total de elementos. Pero si la suma de #A y #B es menor que elnumero de elementos del conjunto universal, entonces la desigualdad anteriorproporciona una informacion significativa acerca del numero de elementos quehay en A∪B.


EJEMPLO 1.80 De una encuesta se desprende que uno de cada cuatro espanoleses aficionado al futbol y que uno de cada diez es aficionado al baloncesto. No sedispone de datos acerca de cuantos espanoles comparten ambas aficiones. En estascircunstancias no se puede averiguar con exactitud cuantos espanoles tienen algunade las dos aficiones, pero algo sı puede asegurarse: el numero de espanoles que tienenalguna de las dos aficiones no sera superior a la suma de los aficionados al futbol y losaficionados al baloncesto. Como, de cada 100 espanoles, hay 25 aficionados al futboly 10 aficionados al baloncesto, puede asegurarse que el porcentaje de espanoles quetienen alguna de esas aficiones no supera el 35%.

Un razonamiento semejante al anterior permite acotar el cardinal de la in-terseccion. Puesto que

#(A∩B) = #(A)+ #(B)−#(A∪B)

y como #(A∪B)≤ #(U ), se tiene

#(A∩B)≥ #(A)+ #(B)−#(U )

Si la suma #(A) + #(B) es menor que #(U ), la desigualdad anterior produceuna informacion banal puesto que de antemano sabemos que #(A∩B) ≥ 0.Pero si la suma #(A)+#(B) es mayor que el numero de elementos del conjuntouniversal, la desigualdad anterior proporciona informacion significativa sobreA∩B.

EJEMPLO 1.81 Si el 80% de los alumnos de un curso aprueban la asignatura X yel70% aprueba la asignatura Y , de cada 100 alumnos, el conjunto A de aprobados enX tiene cardinal 80 y el conjunto B de aprobados en Y tiene cardinal 70,por lo tanto

#(A∩B)≥ #(A)+ #(B)−#(U ) = 80+ 70−100 = 50

Por tanto, al menos el 50% de los alumnos habran aprobado las dos asignaturas.

Cuestiones de autoevaluacion 65

Cuestiones de autoevaluacion

1.1 ¿Cual de las siguientes oraciones es una proposicionlogica?

a) “Soy minero.”

b) “Para que seguir.”

c) “Que nadie sepa mi sufrir.”

1.2 ¿Cual de las siguientes oraciones no es una proposicionlogica?

a) “La Luna en el mar riela.”

b) “¿Que es la vida?”

c) “Que es mi dios la libertad.”

1.3 La oracion “El pueblo, unido, jamas sera vencido.”

a) No es una proposicion logica.

b) Es una proposicion logica simple.

c) Es una proposicion logica compuesta.

1.4 La oracion “No debıa de quererte y, sin embargo, tequiero.”




1.5 La oracion “El tiempo lo cura todo”




1.6 La oracion “Que descansada vida la del que huye delmundanal ruido.”




1.7 La oracion “Lo que el viento se llevo.”




1.8 Sea p la proposicion “te tengo” y q la proposicion “teolvido”; la proposicion “ni te tengo, ni te olvido” se repre-senta por

a) (¬p)∧ (¬q).

b) ¬(p∧q).

c) ¬p→¬q.

1.9 Sea p es la proposicion “firmo (el documento)” y q laproposicion “leo (el documento)”; la proposicion “No fir-mo sin haberlo leıdo” se representa por

a) (¬p)∧ (¬q).

b) ¬(p∧¬q).

c) (¬p)∨ (¬q).

1.10 Si p es la proposicion “te he visto” y q la proposicion“me acuerdo”, la proposicion “si te he visto, no me acuer-do” se simboliza por

a) p∧¬q.

b) p→¬q.

c) q→ p.

1.11 Si p es la proposicion “(tu) prometes”, q la proposi-cion “(tu) das” y r la proposicion “mal vas”, la proposicion“si prometes y no das, mal vas” se simboliza por

a) ¬r→ (p∧q).

b) (p→ r)∨ (q→ r).

c) (p∧¬q)→ r.


1.12 Siendo p: “marzo mayea” y q: “mayo marcea”, la ora-cion “Cuando marzo mayea, mayo marcea” se expresa.

a) p→ q.

b) p∧q.

c) p∨¬q.

1.13 p simboliza “sale cara”, q “sale cruz”, r “gano yo” y s“pierdes tu”. La proposicion “Si sale cara, gano yo; si salecruz, pierdes tu” se simboliza por

a) (p→ r)∧ (q→ s).

b) (p∧q)→ r.

c) (p∨q)→ (r∨ s).

1.14 Si p es la proposicion “llueve” y q la proposicion “es-campa”, la proposicion “siempre que llueve, escampa” seexpresa

a) p∧q.

b) p→ q.

c) ¬(p∨q).

1.15 Sea p la proposicion “sembrar vientos” y q la proposi-cion “recoger tempestades”; la proposicion “quien siembravientos, recoge tempestades” se expresa

a) p∧q.

b) ¬q∧ p.

c) p→ q.

1.16 Sea p la proposicion “arriesgar” y q la proposicion“cruzar la mar”; la proposicion “el que no arriesga, no cru-za la mar” se simboliza

a) ¬(p→ q).

b) ¬p→¬q.

c) ¬p→ q.

1.17 Si ¬q es falsa, entonces (¬p)∨q es

a) verdadera.

b) falsa.

c) verdadera o falsa, segun el valor de verdad de p.

1.18 Si p es falsa, entonces (¬p)∧q es

a) verdadera .

b) falsa.

c) verdadera o falsa, segun el valor de verdad de q.

1.19 Si ¬q es verdadera, entonces ¬(p∨¬q) es

a) verdadera.

b) falsa.


1.20 Si p es verdadera, entonces (q∨¬p)∧ (p∨¬q) es

a) verdadera.

b) falsa.


1.21 La proposicion ¬(p∨¬p) es

a) verdadera.

b) falsa.


1.22 p∨¬q es falsa cuando

a) p es falsa y q es falsa.

b) p es verdadera y q falsa.

c) p es falsa y q verdadera.

1.23 Si p es verdadera, la proposicion (¬p)→ q es

a) verdadera.

b) falsa.


1.24 Si p es verdadera, la proposicion p→ (p∨q) es

a) verdadera.

b) falsa.


1.25 Si p es falsa, la proposicion (p∨q)→ (p∧q) es

a) verdadera.

b) falsa.



1.26 Si p es verdadera, la proposicion (p∨q)→¬p es

a) verdadera.

b) falsa.


1.27 La proposicion p→¬p

a) Es verdadera si p es falsa.

b) Es verdadera si p es verdadera.

c) Es siempre falsa.

1.28 La proposicion (p∧q)→ (p∨q) es verdadera

a) solo cuando p y q son verdaderas.

b) solo cuando p y q son falsas.

c) Siempre.

1.29 Si p→ (q∨¬p) es una proposicion falsa, es que

a) p y q son verdaderas.


c) p es falsa y q verdadera.

1.30 Si p∧(q→ p) es una proposicion verdadera, entonces

a) p y q son verdaderas.


c) p es verdadera.

1.31 La proposicion p→ (q→ p) es una proposicion ver-dadera

a) solo si p y q son falsas.

b) solo si p es falsa y q verdadera.

c) cualquiera que sean p y q.

1.32 De la premisa “Si bebes, no conduzcas” se deduce laconclusion

a) “Si no conduces, bebe”.

b) “Si conduces, no bebas”.

c) “Si no bebes, conduce”.

1.33 El razonamiento:

Si los triangulos S y T tienen sus angulos iguales,son iguales

Los triangulos S y T son iguales∴ S y T tienen los angulos iguales

a) Es logicamente valido, aunque la primera premisaes falsa.

b) Es una falacia porque la primera premisa es falsa.

c) Serıa una falacia aunque la primera premisa fuesecierta.


Si Paris esta en Francia, no esta en AmericaParis esta en America

∴ Paris no esta en Francia

a) Es logicamente valido.

b) Es una falacia porque la segunda premisa es falsa.

c) Serıa una falacia aunque la segunda premisa fuesecierta.


Los domingos voy al campo o voy de comprasEl domingo voy de compras

∴ El domingo no voy al campo

a) Es logicamente valido, por aplicacion del modus to-llendo ponens.

b) Es una falacia.

c) Es logicamente valido, por aplicacion del modus po-nendo ponens.

1.36 Un amigo marciano afirma: “Si llueve, llevo paraguas”y, tambien, “Cuando llevo paraguas, no llueve”; de estaspremisas se deduce:

a) Siempre lleva paraguas.

b) En Marte no llueve nunca.

c) Algunos marcianos no siempre dicen la verdad.



Si voy al cine, como palomitasSi como palomitas, tengo sed

∴ Si tengo sed, he ido al cine

a) Es un caso particular del silogismo hipotetico.

b) Es un caso particular del modus tollendo tollens.

c) Es una falacia.

1.38 De las premisas: “Marx, Engels o Lenin eran algunofrances” y “ni Engels ni Lenin eran franceses”, deducir que“Marx era frances”

a) es una falacia.

b) es un razonamiento valido, caso particular del mo-dus tollendo tollens.

c) es un razonamiento valido, caso particular del mo-dus tollendo ponens.


p¬p

∴ q

a) Es una falacia.

b) Es logicamente valido.

c) Es logicamente valido o falaz segun el valor de ver-dad de q.

1.40 Si A es el conjunto de las vocales, se cumple

a) u ∈ A.

b) m ∈ A.

c) e �∈ A.

1.41 Si A es el conjunto de los siete colores del arco iris, noes cierto

a) azul ∈ A.

b) marron �∈ A.

c) naranja �∈ A.

1.42 Si A es el conjunto de animales mamıferos, es cierto

a) oso �∈ A.

b) cangrejo �∈ A.

c) loro ∈ A.

1.43 El conjunto A = {domingos de 2010} esta definido

a) por enumeracion.

b) por descripcion.

c) por inclusion.

1.44 Si A y B son conjuntos tales que A⊂ B, es cierto que

a) si x ∈ A, entonces x ∈ B.

b) si x ∈ B, entonces x ∈ A.

c) si x �∈ A, entonces x �∈ B.

1.45 Si M y N son conjuntos tales que N ⊂M, es cierto que

a) si a ∈M, entonces a ∈ N.

b) si a �∈M, entonces a �∈ N.

c) si a �∈ N, entonces a �∈M.

1.46 Si F y D son los conjuntos

F = {dıas festivos de 2009}

D = {domingos de 2009}se cumple

a) F ⊂ D.

b) D⊂ F .

c) F ⊂ D y D⊂ F .

1.47 Para cualquier conjunto A se verifica

a) /0 ∈ A.

b) /0⊂ A.

c) A ∈ A.

1.48 Si A = {1,2,3} y B = {3,2,1}, no es correcto afirmar

a) A = B.

b) A⊂ B.

c) A �= B.

1.49 Si A = {1,2,3} y P(A) es conjunto de las partes deA, no es correcto afirmar

a) /0 ∈P(A).

b) /0⊂P(A).

c) {1,2} ⊂P(A).


1.50 Si A es el conjunto de las vocales y P(A) es conjuntode las partes de A, no es correcto afirmar que

a) {{a,e},{a, i}}∈P(A).

b) {a,e} ∈P(A ).

c) {{a,e},{a, i}}⊂P(A).

1.51 Si un conjunto A tiene 6 elementos, el numero de sub-conjuntos de A es

a) 6.

b) 16.

c) 64.

1.52 Si A es el conjunto de los numeros pares y B el con-junto de los numeros multiplos de 5, A∩B es

a) /0.

b) el conjunto de los numeros multiplos de 10.

c) el conjunto de los numeros mayores que 10.

1.53 Si A es el conjunto de comunidades autonomas es-panolas y B el conjunto de provincias espanolas, no es co-rrecto afirmar que

a) {Cantabria, La Rioja} ⊂ A∩B.

b) {Galicia, Cantabria} ⊂ A∩B.

c) Islas Baleares ∈ A∩B.

1.54 Si A y B son conjuntos disjuntos, no es correcto afir-mar que

a) si a ∈ A, entonces a �∈ B.

b) si a ∈ B, entonces a ∈ Ac.

c) si a �∈ A, entonces a ∈ B.

1.55 Dados dos conjuntos A y B, no es correcto afirmar que

a) si x ∈ A∪B, entonces x ∈ A∩Bc o x ∈ Ac∩B.

b) si x �∈ A∪B, entonces x �∈ A y x �∈ B.

c) si x ∈ A∪B y x �∈ A, entonces x ∈ B.

1.56 Si dos conjuntos A y B verifican Ac∩Bc = /0, es que

a) A⊂ B.

b) A∪B = U .

c) (Ac∩B)∪ (A∩Bc) = U .

1.57 Si dos conjuntos A y B cumplen A⊂ B, entonces

a) A∪Bc = U .

b) B−A = /0.

c) Bc ⊂ Ac.

1.58 Si dos conjuntos A y B cumplen A⊂ Bc, no es correctoafirmar que

a) A∩B = /0.

b) A∪B = U .

c) B⊂ Ac.

1.59 Si A y B son dos conjuntos tales que A∪B = B, secumple

a) A⊂ B.

b) B∪A = A.

c) Ac∩Bc = /0.

1.60 Si A y B son dos conjuntos, (A−B)c es igual a

a) Ac−Bc.

b) Ac∪B.

c) B−A.

1.61 Si A y B son dos conjuntos tales que A∪Bc = B, secumple

a) A = B = U .

b) A⊂ Bc.

c) B⊂ Ac.

1.62 Si A y B son dos conjuntos tales que (A−B)c = B, secumple

a) A∩B = /0.

b) Bc ⊂ A.

c) A = Bc.

1.63 Si A y B son dos conjuntos tales que (A∪B)c = A, secumple

a) B⊂ A.

b) A = U .

c) A = /0 y B = U .


1.64 Si A y B son dos conjuntos tales que (A∩B)c ⊂ B, secumple

a) A = B = U .

b) B = U .

c) A∩B = /0.

1.65 Si A y B son dos conjuntos, el conjunto (Ac−Bc)c esigual a

a) A∪Bc.

b) Ac∪B.

c) A−B.

1.66 Si A y B son dos conjuntos, el conjunto A∩ (B∪Ac)es igual a

a) B−A.

b) A∩B.

c) B.

1.67 Si A y B son dos conjuntos, el conjunto (Ac∪Bc)∩Aes igual a

a) Ac∩B.

b) A.

c) A−B.

1.68 Si A y B son dos conjuntos, el conjunto A∪ (Bc ∩A)es igual a

a) A.

b) A∪Bc.

c) A−B.

1.69 Si A y B son dos conjuntos que cumplen B−A = B,entonces

a) A = /0.

b) A−B = A.

c) A∪B = B.

1.70 La propiedad de idempotencia de la interseccion deconjuntos significa que, para cualquier conjunto A, es

a) A∩ /0 = /0.

b) A∩U = A.

c) A∩A = A.

1.71 La propiedad asociativa de la interseccion de conjun-tos afirma que

a) A∩B = B∩A.

b) A∩ (B∩C) = (A∩B)∩C.

c) A∩B⊂ B.

1.72 La propiedad conmutativa de la union de conjuntosgarantiza que

a) A∪B = B∪A.

b) A∪ (B∪C) = (A∪B)∪C.

c) A∪A = A.

1.73 La propiedad distributiva de la union respecto de lainterseccion expresa que

a) A∩ (B∪C) = (A∪B)∩ (A∪C).

b) A∩ (B∪C) = (A∩B)∪ (A∩C).

c) A∪ (B∩C) = (A∪B)∩ (A∪C).

1.74 Entre tres conjuntos A, B y C, si se cumple

A∩ (B∪C) = (A∪B)∩ (A∪C)

es que

a) A y B∩C son disjuntos.

b) B∩C⊂ A⊂ B∪C.

c) A⊂ B∪C y A∩ (B∩C) = /0.

1.75 Las leyes de Morgan no garantizan que

a) (A∪B)c = Ac∩Bc.

b) (A∩B)c = Ac∩Bc.

c) (A∩B)c = Ac∪Bc.

1.76 Si dos conjuntos A y B verifican (A∩B)c = Ac ∩Bc,se cumple

a) A = B.

b) A∪B = U .

c) A = B = U .

1.77 Si A y B son dos conjuntos, se verifica

a) A− (A∩B)c = A∪B.

b) A−B = (B−A)c.

c) (A∪B)− (A∩B) = (A−B)∪ (B−A).


1.78 Si dos conjuntos A y B verifican A− (A∩B)c = A∪B,se cumple

a) Ac∪B = /0.

b) B−A = /0.

c) A∩B = /0.

1.79 Si dos conjuntos A y B verifican A−B = (B−A)c, secumple

a) B = Ac.

b) B⊂ A.

c) A⊂ B.

1.80 En el conjunto de palabras

A = {uno, dos, tres, cuatro, cinco}

se define la aplicacion f que asigna a cada una su numerode letras. Entonces

a) f (uno) = 1.

b) f (cinco) = 5.

c) f (tres) = 3.

1.81 Para ordenar por orden alfabetico las palabras del con-junto

A = {uno, dos, tres, cuatro, cinco},se asigna a cada una el lugar que ocupa en dicho orden.Entonces

a) la imagen de tres es 4 y la preimagen de 2 es dos.

b) la imagen de uno es 4 y la preimagen de 1 es cinco.

c) la imagen de cuatro es 2 y la preimagen de 1 es cin-co.

1.82 Se considera la abreviatura de cada palabra del diccio-nario, compuesta por sus dos primeras letras seguidas de unpunto. Entonces,

a) que. es la imagen de queso.

b) fr es la imagen de fruta.

c) ar. tiene como preimagen arma.

1.83 La abreviatura de las palabras del diccionario, defini-da por sus dos primeras letras seguidas de un punto, ¿esuna aplicacion bien definida en el conjunto de palabras deldiccionario?

a) sı.

b) no, porque hay palabras distintas con la misma abre-viatura.

c) no, porque la palabras de una sola letra no tienenabreviatura.

1.84 La abreviatura de las palabras del diccionario de masde dos letras, definida por sus dos primeras letras seguidasde un punto, ¿es una aplicacion inyectiva?

a) sı.

b) no, porque hay palabras distintas con la misma abre-viatura.

c) no, porque las abreviaturas nr. o qt. no correspondena ninguna palabra.

1.85 Asignar a cada numero del conjunto N ={0,1,2,3, . . .}, la suma de sus cifras, ¿define una aplica-cion con dominio N y rango N?

a) sı.

b) no, porque 10 y 100 tienen la misma imagen.

c) no, porque puede haber numeros en N que no seanla suma de las cifras de ningun numero.

1.86 La aplicacion s : N → N que asigna a cada elementode N = {0,1,2,3, . . .} la suma de sus cifras, cumple

a) la imagen de 128 es 11 y una preimagen de 11 es 2 .

b) la imagen de 11 es 2 y una preimagen de 7 es 52.

c) la imagen de 52 es 7 y una preimagen de 128 es 11.

1.87 La aplicacion s : N → N que asigna a cada elementode N = {0,1,2,3, . . .} la suma de sus cifras

a) es inyectiva.

b) no es inyectiva, porque s(12) = s(21) = 3.

c) no es inyectiva, porque 0 solo es imagen de 0.


a) s({2,10,11,100,101})= {1,2}.b) s({2,3,30,301}) = {2,3}.c) s({26}) = 8.



a) s−1({2}) = {2 ·10k | k = 0,1,2,3, . . .}.b) s−1({1}) = {10k | k = 0,1,2,3, . . .}.c) s−1({0}) no esta definido.


a) es sobreyectiva.

b) no es sobreyectiva.

c) no se puede saber.


a) es biyectiva.

b) no es biyectiva, porque no es inyectiva.

c) no es biyectiva, porque no es sobreyectiva.

1.92 Asignar a cada numero del conjunto N ={0,1,2,3, . . .}, el numero que se obtiene al multiplicarlopor 3 y sumar 1 al producto, ¿define una aplicacion condominio N y rango N?

a) sı.

b) no, porque 6 no es la imagen de ningun elemento deN.

c) no, porque para multiplicarlos por 3 hay que hacerinfinitas operaciones.

1.93 La aplicacion f : N → N que asigna a cada n ∈ N elnumero 3 ·n+ 1, cumple

a) la imagen de 7 es 22 y una preimagen de 24 es 7+ 23 .

b) la preimagen de 1 es 4 y la imagen de 6 es 19.

c) la preimagen de 7 es 2 y la imagen de 5 es 16.

1.94 La aplicacion f : N → N que asigna a cada n ∈ N elnumero 3 ·n+ 1

a) no es inyectiva.

b) es inyectiva, porque hay numeros en N que no sonimagen de ninguno de N.

c) es inyectiva, porque no coinciden las imagenes denumeros distintos.

1.95 La aplicacion f : N → N que asigna a cada n ∈ N elnumero 3 ·n+ 1

a) es sobreyectiva.

b) no es sobreyectiva, porque hay numeros en N que noson imagen de ninguno de N.

c) no es sobreyectiva, hay numeros distintos de N quetienen la misma imagen.


a) f ({1,3,4,5}) = {4,7,10,13,21}.b) f ({2,4,10}) = {7,13,31}.c) f ({6}) = 19.


a) f−1({10,15,22}) = {3,7}.b) f−1({22}) = 7.

c) f−1({37,40,46}) = {12,15}.1.98 La aplicacion f : N → N que asigna a cada n ∈ N elnumero 3 ·n+ 1

a) es biyectiva.

b) no es biyectiva, porque no es inyectiva.

c) no es biyectiva, porque no es sobreyectiva.

1.99 Si f es la aplicacion f : N → N que asigna a cadan ∈ N el numero 3 ·n+ 1 y g = f ◦ f es la composicion def consigo misma, se cumple

a) g(3) = 31.

b) g(3) = 28.

c) g(3) = 10.

1.100 Si f es la aplicacion f : N → N que asigna a cadan ∈ N el numero 3 ·n+1 y s es la aplicacion s : N → N queasigna a cada elemento de N = {0,1,2,3, . . .} la suma desus cifras, se cumple

a) s◦ f (15) = 10.

b) s◦ f (15) = 19.

c) s◦ f (15) = 15.


1.101 Si f es la aplicacion f : N → N que asigna a cadan ∈ N el numero 3 ·n+1 y s es la aplicacion s : N → N queasigna a cada elemento de N = {0,1,2,3, . . .} la suma desus cifras, se cumple

a) f ◦ s(10) = 5.

b) f ◦ s(12) = 9.

c) f ◦ s(13) = 13.

1.102 Si s es la aplicacion s : N → N que asigna a cadaelemento de N = {0,1,2,3, . . .} la suma de sus cifras

a) s◦ s(548) = 17.

b) s◦ s(548) = 8.

c) s◦ s(548) = 6 .

1.103 Dado el conjunto B = {1,2,3,4,5}, si f : A → B esuna aplicacion sobreyectiva, el cardinal de A debe cumplir

a) #(A)≥ 5.

b) #(A) = 5.

c) #(A)≤ 5.

1.104 Dado el conjunto A = {1,2,3,4}, si f : A → B es unaaplicacion inyectiva, el cardinal de B debe cumplir

a) #(B)≤ 4.

b) #(B) = 4.

c) #(B)≥ 4.

1.105 Si f : A → B es una aplicacion biyectiva, puede ase-gurarse

a) #(A)≤ #(B).

b) #(A) = #(B).

c) #(A)≥ #(B).

1.106 Si A y B son dos conjuntos tales que sus cardinalesverifican la relacion #(A)+ #(B) = #(A∪B), entonces

a) A⊂ Bc.

b) Ac ⊂ B.

c) Ac∩Bc = /0.

1.107 Si A y B son dos conjuntos tales que B−A = B, secumple

a) #(B)−#(A) = #(B).

b) #(B)−#(A) = #(A∩B).

c) #(A)+ #(B) = #(A∪B).

1.108 Si #(U ) = n y A es un subconjunto de U , entonces

a) #(Ac) = −#(A).

b) #(Ac) = n−#(A).

c) #(Ac)−#(A) = 0.

1.109 Si A y B son dos conjuntos tales que #(A) = 6 y#(A−B) = 2, entonces #(A∩B) es igual a

a) 2.

b) 4.

c) 6.

1.110 Si A y B son dos conjuntos tales que #(B) = 14 y#(A∩B) = 8, entonces

a) #(A∪B) = 22.

b) #(A−B) = 6.

c) #(B−A) = 6.

1.111 Si A y B son dos conjuntos tales que #(A∪B) = 16,#(A) = 10 y #(B) = 9, entonces #(A∩B) es igual a

a) 1.

b) 3.

c) 9.

1.112 Si A y B son dos conjuntos tales que #(A)+ #(B) =2 ·#(A∩B), se verifica

a) A = B.

b) #(A−B) = #(A).

c) #(A∪B) = 0.

1.113 Si A y B son dos conjuntos, #(A∪B) siempre es me-nor o igual que

a) #(A) ·#(B).

b) #(A)+ #(B).

c) #(A−B)+ #(B−A).


1.114 Si A y B son dos conjuntos, #(A∪B) siempre es ma-yor o igual que

a) #(A)+ #(B).

b) #(A)+ #(A−B).

c) #(A−B)+ #(B−A).

1.115 Si A y B son dos conjuntos, #(A−B) no puede afir-marse que sea igual a

a) #(A)−#(B).

b) #(A)−#(A∩B).

c) #(A∪B)−#(B).

1.116 Si A y B son dos conjuntos, #(A∪B)− #(A∩B) esigual a

a) #(A)+ #(B).

b) #(A−B) + #(B−A).

c) #(A)−#B.

1.117 Si A y B son dos conjuntos, la igualdad #(A) +#(B) = 2 ·#(A∪B)

a) es imposible.

b) solo se cumple cuando A = B.

c) solo se cumple si A y B son disjuntos.

1.118 Si A y B son dos conjuntos que verifican #(B) =#(A)+ #(A∩B) y #(A∪B) = 12, se cumple

a) #(A) = 6.

b) #(B) = 9.

c) #(A∩B) = 3.

1.119 Si A y B son dos conjuntos tales que #(A∪ B) =#(A)+ #(A∩B) y #(B) = 16, se verifica

a) #(A) = 12.

b) #(A∪B) = 20.

c) #(A∩B) = 8.

1.120 Si A y B son dos conjuntos tales que #(A−B) = 9,#(B−A) = 6 y #(A∪B) = 27, se verifica

a) #(A∩B) = 9.

b) #(A) = 21.

c) #(B) = 15.

Soluciones de las cuestiones de autoevaluacion 75

Soluciones de las cuestiones de autoevaluacion

1.1 Respuesta correcta: a

La oracion “Soy minero” puede ser verdadera o falsa, segunquien la pronuncie. “Para que seguir” es una pregunta a laque no puede atribuirse valor de verdad. Lo mismo ocurrecon el deseo “Que nadie sepa mi sufrir”.

1.2 Respuesta correcta: b

“¿Que es la vida?” es una pregunta sin valor de verdad. Encambio, “La Luna en el mar riela” es un hecho verdaderoo falso, segun las circunstancias. Tambien se puede opinar,sobre quien afirma “Que es mi dios la libertad”, si dice laverdad o miente.

1.3 Respuesta correcta: c

Con precision logica, la oracion expresa, de forma poeti-ca, la afirmacion “Si el pueblo permanece unido, jamassera vencido”, que tiene la estructura “Si p, entonces ¬q”,siendo p la proposicion “el pueblo permanece unido” y qel enunciado “jamas sera vencido”. La expresion logica re-quiere mas precision que la literaria; por ejemplo, la ora-cion comparable: “El pueblo hitita jamas existio” es unaproposicion logica simple.


(p) “Debıa quererte” y (q) “te quiero” son proposicioneslogicas simples; ciertas en ocasiones y falsas en otras. “Nodebıa de quererte y, sin embargo, te quiero” es la proposi-cion logica compuesta ¬p∧q.


La oracion es un enunciado unico relativo a las propieda-des curativas del tiempo. Y es posible juzgar el sentido enel que la afirmacion es cierta o falsa.


La oracion constata, acerca de la “vida del que huye delmundanal ruido”, “cuan descansada es”.


La oracion no contiene ningun enunciado al que pueda atri-buirse valor de verdad.


La proposicion afirma, a la vez, que no es cierto p y que noes cierto q.


Con p: “lo firmo” y q: “lo leo”, p∧¬q significa “lo fir-mo y no lo leo”; la proposicion niega p∧¬q. En cambio,¬p∧¬q significa “no lo firmo y tampoco lo leo”. En cuantoa (¬p)∨ (¬q) quiere decir que “o bien no lo firmo, o bienno lo leo”. El enunciado es equivalente a la afirmacion “Silo firmo, lo he leıdo”, es decir p→ q.


La afirmacion “si te he visto, no me acuerdo” es el condi-cional: Si p, entonces ¬q.


La oracion “si prometes y no das, mal vas” tiene la estruc-tura: Si p∧¬q, entonces r.


La afirmacion “cuando marzo mayea, mayo marcea” es elcondicional: Si p, entonces q.


p→ r simboliza “si sale cara, gano yo” y q→ s significa“si sale cruz, pierdes tu”. El enunciado hace ambas afirma-ciones a la vez. Implıcitamente se entiende que p coincidecon ¬q (es decir que o sale cara o sale cruz) y, tambien, ques es lo mismo que r (si tu pierdes, yo gano y, si tu ganas,yo pierdo). Con esta interpretacion implıcita, la regla enun-cia simplemente que (p∨¬p)→ r; o sea que “yo gano” encualquier caso.


La afirmacion es que si ocurre p (llueve), entonces ocu-rrira q (escampara).


Se trata de la afirmacion: Si “se siembran vientos”, enton-ces “se recogen tempestades”.


La afirmacion significa: Si “no se arriesga”, entonces “nose cruza la mar”.


Si ¬q es falsa, es que q es verdadera y (¬p)∨q es tambienverdadera, independientemente del valor de p.



Si p es falsa ¬p es verdadera; pero (¬p)∧q solo es verda-dera si lo es tambien q.


Siendo ¬q verdadera, tambien lo es p∨¬q; luego su nega-cion ¬(p∨¬q) es falsa.


Si p es verdadera, p∨¬q es verdadera; pero q∨¬p es ver-dadera o falsa, segun sea q. Lo mismo ocurre con la con-juncion de ambas, que solo es verdadera cuando lo seanambas.


p∨¬p es verdadera independientemente de que p sea ver-dadera o falsa. Por tanto, su negacion sera siempre falsa.


Para que p∨¬q sea falsa tienen que ser p falsa y ¬q falsa;es decir, p falsa y q verdadera.


Si p es verdadera, ¬p es falsa y el condicional (¬p)→ qes una proposicion verdadera.


Como p es verdadera, p∨ q es verdadera; ası que el con-dicional p→ (p∨q) tiene el antecedente y el consecuenteverdaderos y, por tanto, es verdadera.


Como p es falsa, el consecuente p∧ q es falso; ası pues,el condicional (p∨q)→ (p∧q) sera verdadero cuando elantecedente p∨ q sea falso, es decir si q es falsa. En casocontrario, p∨q sera verdadera y el condicional falso.


Como p es verdadera, ¬p es falsa y p∨ q verdadera. Portanto, el condicional (p∨q)→¬p es una proposicion fal-sa.


Si p es falsa, el condicional p→ ¬p es verdadero. Mien-tras que, si p es verdadera, ¬p es falsa y el condicional esfalso.


El condicional (p∧ q)→ (p∨ q) es verdadero en el casoen que el antecedente p∧q sea falso; es decir, cuando p es

falsa, cuando lo es q o cuando son ambas falsas. La posibi-lidad que queda es que p y q sean verdaderas, en cuyo casoel antecedente p∧ q es verdadero y el consecuente p∨ qtambien; por tanto, tambien en eses caso el condicional esverdadero.


Para que el condicional p→ (q∨¬p) sea falso, el antece-dente p tiene que ser verdadero y el consecuente, q∨¬p,falso. Esto ultimo obliga a que q sea falsa.


Para que p∧ (q→ p) sea verdadera tiene que ser p verda-dera (si no la conjuncion serıa falsa). Siendo p verdadera,el condicional q→ p es verdadero tanto si q es falsa comosi q es verdadera.


Cuando el antecedente p es falso, el condicional p→ (q→p) es verdadero. Cuando p es verdadera, el condicionalq→ p es verdadero, tanto si q es falsa como si q es verda-dera. Luego, en cualquier caso, p→ (q→ p) es verdadera.


Sea p la proposicion “bebes” y q la proposicion “conduz-cas”, la premisa se expresa p → ¬q. Y las tres posiblesconclusiones se formulan (¬q)→ p, q→¬p y (¬p)→ q.La tabla de verdad, de la premisa y las tres conclusiones, es

p q ¬p ¬q p→¬q (¬q)→ p q→¬p (¬p)→ qV V F F F V F VV F F V V V V VF V V F V V V VF F V V V F V F

Se cumple la premisa en los tres ultimos casos, en los cua-les la conclusion q → ¬p es tambien verdadera. No esası para (¬q)→ p, ni para (¬p)→ q.


Sea p la proposicion “los triangulos S y T tienen sus angu-los iguales”, q la proposicion “los triangulos S y T soniguales”. Las premisas del razonamiento son p→ q y q yla conclusion es p. Ahora bien, si p es falsa y q verdadera,tambien p→ q es verdadera; de modo que las dos premisasserıan verdaderas y la conclusion falsa. Ası que el razona-miento no es logicamente valido. No tiene nada que ver quela primera premisa sea verdadera o falsa para la validez deun razonamiento. Tampoco influye que la geometrıa afirmeque no puede ser p falsa y q verdadera; porque tener esto encuenta supone anadir la premisa q→ p que no forma partedel razonamiento. La coherencia o incoherencia logica delrazonamiento no depende de su interpretacion geometrica.



Sea p la proposicion “Paris esta en Francia” y q la proposi-cion “Paris no esta en America”. Las premisas son p→ q y¬q y la conclusion es ¬p; de modo que se trata de una apli-cacion de la regla de inferencia modus tollendo tollens yes un razonamiento logicamente valido. Los conocimientosgeograficos son irrelevantes; las premisas y la conclusionserıan ciertas si Paris es una pequena poblacion proxima aNueva Orleans.


Sea p la proposicion “el domingo voy al campo” y q la pro-posicion “el domingo voy de compras”. Las premisas sonp∨q y q y la conclusion¬p. Supuesto que el domingo vayaal campo por la manana y de compras por la tarde, ambaspremisas serıan verdaderas y la conclusion falsa. Recuerde-se que la disyuncion p∨q no es exclusiva: no excluye quepueda ser verdadera p∧q.


Sea p la proposicion “llueve” y q la proposicion “llevo pa-raguas”. Las premisas son p→ q y q→¬p. Por la ley delsilogismo hipotetico, se deduce p→¬p; es decir, “si llue-ve, no llueve”. Esta conclusion significa que no puede llo-ver porque, si alguna vez lloviese, p serıa verdadera y ¬pfalsa, con lo cual p→¬p resultarıa falsa.


Sea p la proposicion “voy al cine”, q la proposicion “co-mo palomitas” y r la proposicion “tengo sed”. Suponga-mos que una tarde no voy al cine (p es falsa), pero comopalomitas (q es cierta) y tengo sed (r es cierta). Entonces,p→ q es verdadera (por ser falso el antecedente), q→ r esverdadera (por serlo q y r); sin embargo, r→ p es falsa (porser r verdadera y p falsa). Lo mismo ocurrirıa si no voy alcine, ni como palomitas, pero tengo sed.


Sea p : “Marx era frances” y q : “Engels o Lenin eran al-guno frances”. Las premisas son entonces p∨ q y ¬q y laconclusion p; lo cual es un caso particular del modus to-llendo ponens.


Un razonamiento es logicamente valido si, en todos los ca-sos en que las premisas son verdaderas, es verdadera tam-bien la conclusion. Las premisas p y ¬p no son nunca si-multaneamente verdaderas, luego la conclusion es verdade-ra en todos los casos en que lo son ambas premisas. Visto

de otra forma, la proposicion (p∧¬p)→ q es verdadera,cualquiera que sea q, porque el antecedente p∧¬p es siem-pre falso.


Entre las vocales, A = {a,e, i,o,u} esta la u y la e, pero noesta la m. Ası que, u ∈ A es cierta, mientras que m ∈ A ye �∈ A son falsas.


Los siete colores del arco iris son: rojo, naranja, amarillo,verde, azul, anil y violeta. Entre ellos, esta el azul, no esta elmarron y sı esta el naranja.


Efectivamente el cangrejo no es un mamıfero; el oso sı loes y el loro no lo es.


Definirlo por enumeracion consistirıa en precisar las fe-chas de 2010 que caen en domingo. La caracterıstica “serdomingo” identifica, con ayuda del calendario, que fechascaen en A.


Por ser A⊂ B, todos los elementos de A pertenecen a B.


Como N ⊂M, si a no pertenece a M, no puede pertenecer aN (porque pertenecerıa tambien a M). Sin embargo, puedehaber elementos de M que no esten en N o, dicho de otraforma, elementos que no esten en N y sı en M.


Los domingos son festivos. Pero no todos los dıas festivosson domingos.


Todo elemento de /0 (o sea, ninguno) pertenece a A, cual-quiera que sea A. En cambio, los elementos de A = {1,2,3}son 1, 2 y 3, entre los que no esta /0, ni tampoco A.


Todos los elementos de A estan en B y todos los de B estanen A. Luego A⊂ B, B⊂ A y, por tanto, A = B. El orden enel que se enumeran los elementos no afecta al conjunto.


Entre los subconjuntos de A, que son los elementos deP(A), esta el subconjunto /0. Tambien P(A), como cual-quier otro conjunto, contiene a /0. En cuanto a {1,2}, escierto que {1,2} ∈P(A) o bien que {{1,2}}⊂P(A) (esdecir que el conjunto cuyo unico elemento es el conjunto


{1,2} esta contenido en A); pero no es cierto que {1,2}sea un subconjunto de P(A), porque ello significarıa que1 ∈P(A) y 2 ∈P(A).


Es cierto que {a,e} y {a, i} pertenecen a P(A) y, por tan-to, {{a,e},{a, i}} ⊂ P(A). Lo que no es cierto es que{{a,e},{a, i}} sea uno de los elementos de P(A).


El conjunto P(A) de todos los subconjuntos de A tiene26 = 64 elementos.


En el conjunto de los numeros multiplos de 5: B ={5,10,15,20,25, . . .}, son pares 10,20,30, . . .; es decir queA∩B es el conjunto de los multiplos de 10.


Galicia es una comunidad autonoma compuesta por cuatroprovincias. Comunidades autonomas uniprovinciales haysiete: Asturias, Cantabria, Islas Baleares, La Rioja, Madrid,Murcia y Navarra; aunque solo Cantabria, Islas Baleares yLa Rioja son, a la vez, la denominacion de la provincia y dela comunidad autonoma. A∩B tiene 7 o 3 elementos, segunque se entienda que A y B son conjuntos de territorios oconjuntos de denominaciones. En un caso U contiene, unaunica vez, al territorio murciano; en el otro caso contienelas dos denominaciones Murcia y Region de Murcia. A ve-ces es importante distinguir entre las cosas y el nombre delas cosas.


Si a ∈ A, como a �∈ A∩B (por ser A∩B = /0), tiene queser a �∈ B. Analogamente, si a ∈ B tiene que ser a ∈ Ac. Encambio, saber que a �∈ A, no indica si a ∈ B o a ∈ Bc.


Si x ∈ A∪B, puede ser x ∈ A∩Bc o x ∈ Ac∩B o, tambien,x ∈ A∩B.


Por la primera ley de Morgan, la condicion se expresa(A∪B)c = /0 o bien A∪ B = U . En el caso en que fue-sen A = {a,b}, B = {b,c} y U = {a,b,c}, serıa Ac = {c},Bc = {a}; de modo que no es A ⊂ B. Ademas (Ac ∩B)∪(A∩Bc) = {c,a} no coincide con U .


Puesto que cualquier x ∈ A cumple tambien x ∈ B, en elcaso en que x �∈ B no puede ser x ∈ A; es decir, x �∈ A.

Supongamos que fuese U = {1,2,3,4,5}, A = {1,2} yB = {1,2,3}; entonces A∪Bc = {1,2,4,5} y B−A = {3}.1.58 Respuesta correcta: b

Cuando x ∈ A es x �∈ B, luego no puede ser x ∈ A∩B paraningun elemento x de U ; es decir A∩B = /0. Tambien, en elcaso de que x ∈ B puede asegurarse que x �∈ A. Ahora bien,si U = {1,2,3,4,5},B = {1,2} y A = {4}, es A⊂ Bc, perono es cierto que A∪B = {1,2,4} coincida con U .


Siempre es A ⊂ A∪B y, como en este caso A∪B = B, re-sulta A⊂ B. Por otro lado, siempre es B∪A = A∪B; luegono es cierto que sea B∪A = A. Con U = {1,2,3}, A = {1}y B = {1,2}, es cierto que A∪B = B, pero Ac∩Bc = {3}no es /0.


A−B = A∩Bc y la segunda ley de Morgan da (A−B)c =(A ∩ Bc)c = Ac ∪ B. En el caso U = {1,2,3,4}, A ={1,2,3} y B = {3}, serıa Ac = {4} y Bc = {1,2,4}; luegoAc−Bc = /0 y, tambien, B−A = /0; pero (A−B)c = {3,4}.1.61 Respuesta correcta: a

Como es Bc ⊂ A∪ Bc = B, tiene que ser Bc = /0 o bienB = U . Entonces A∪ /0 = U , o sea A = U .


Como (A−B)c = B, sera Bc = A−B = A∩Bc y, por con-siguiente, Bc ⊂ A.


Por la primera ley de Morgan, la condicion significa A =Ac ∩Bc; entonces A⊂ Ac y tiene que ser A = /0. La condi-cion se reduce entonces a Bc = /0 o bien B = U .


La condicion es equivalente a Bc⊂A∩B y, como A∩B⊂B,resulta Bc ⊂ B; luego Bc = /0 o bien B = U . La condicionse cumple entonces cualquiera que sea A.


Por definicion es Ac−Bc = Ac ∩B; luego, en virtud de lasegunda ley de Morgan, su complementario es (Ac∩B)c =A∪Bc.


Por la propiedad distributiva, A∩(B∪Ac) = (A∩B)∪(A∩Ac) = A∩B puesto que el segundo parentesis es /0.



Por la propiedad distributiva,

(Ac∪Bc)∩A = (Ac∩A)∪ (Bc∩A) = Bc∩A

puesto que el primer parentesis es /0. Por la propiedad con-mutativa, Bc∩A = A∩Bc = A−B.


Como Bc∩A⊂ A, es A∪ (Bc∩A) = A.


Siempre es B = (B∩A)∪(B∩Ac), siendo ambos conjuntosdisjuntos; en el caso en que B−A = B∩Ac coincide con B,es que B∩A = /0. Por tanto los conjuntos son disjuntos yA−B = A.


Las tres afirmaciones son correctas, pero es A∩A = A laque se denomina propiedad de idempotencia.


Es la propiedad segun la cual, en el calculo de los ele-mentos comunes a A, B y C: A∩ B∩C, los conjuntos sepueden asociar de la forma (A∩B)∩C o alternativamenteA∩ (B∩C).


Es la propiedad que permite conmutar el orden en que serealiza la union de dos conjuntos. La segunda expresa lapropiedad asociativa de la union y la tercera la propiedadde idempotencia de la union.


La primera relacion es, en general, incorrecta. La segundaes la propiedad distributiva de la interseccion respecto dela union. Y la tercera, la propiedad distributiva de la unionrespecto de la interseccion.


La relacion indica que A∩ (B∪C) = A∪ (B∩C). ComoA∩ (B∪C) ⊂ A, resulta A∪ (B∩C) ⊂ A, luego B∩C ⊂ A.Tambien, A∩ (B∪C)⊂ B∪C, ası que A∪ (B∩C)⊂ B∪Cy, por tanto, A⊂ B∪C.


La primera y la tercera relaciones son las leyes de Morgan.La segunda relacion es falsa salvo en casos excepcionales.


La relacion indica que (A∩B)c = (A∪B)c y, por consi-guiente, A∩B = A∪B. Entonces, como A∩B⊂ A⊂ A∪Bes A = A∩B y, analogamente, B = A∩B.


Utilizando la segunda ley de Morgan y la propiedad distri-butiva de la interseccion respecto de la union, se obtiene

(A∪B)− (A∩B) = (A∪B)∩ (A∩B)c

= (A∪B)∩ (Ac ∪Bc)

=(A∩ (Ac∪Bc)

)∪(B∩ (Ac∪Bc))

= (A∩Ac)∪ (A∩Bc)∪ (B∩Ac)∪ (B∩Bc)= (A−B)∪ (B−A)

puesto que A∩Ac = /0 = B∩Bc, A∩Bc = A−B y B∩Ac =B−A.


Es A− (A∩B)c = A∩ (A∩B) = A∩B. Por tanto, la rela-cion indica que A∩B = A∪B y, por consiguiente, A = B.Entonces, B−A = /0, mientras que Ac∪B = U y A∩B = A.


Como A−B = A∩Bc y (B− A)c = (B∩Ac)c = Bc ∪A,la igualdad de ambos indica que A ∩ Bc = A ∪ Bc. En-tonces, ambos conjuntos A y Bc tienen que coincidir conA∩Bc = A∪BC. Luego A = Bc o bien B = Ac.


Efectivamente cinco tiene 5 letras. En cambio f (uno) = 3y f (tres) = 4.


El orden alfabetico es cinco→ 1, cuatro→ 2, dos→ 3, tres→ 4 y uno→ 5.


que. son 3 letras antes del punto y a fr le falta el punto.


Para que lo fuese, habrıa que anadir a la definicion que laspalabras de una sola letra (como la conjuncion y o la pre-posicion a) son su propia abreviatura. Tampoco serıa utilabreviar las palabras de dos letras (como la preposicion eno el artıculo la).


Para ser inyectiva, la abreviatura de dos palabras distintas(como libro y litro) tendrıa que ser diferente. El que ha-ya parejas de letras que no son abreviaturas, indica que laabreviatura no es sobreyectiva si como rango se considerael conjunto de todas las parejas de letras.



No hay ningun numero en N cuya suma de cifras no este de-finida y no de un unico resultado. Luego, se trata de unaaplicacion s : N → N.


Efectivamente, s(128) = 11, s(11) = 2 y s(52) = 7; peros(2) = 2 �= 11 y s(11) �= 128.


Para ser inyectiva la suma de las cifras de dos numerosdiferentes tendrıa que ser diferente. El ejemplo s(21) =s(12) = 3 muestra que ello es falso.


Las imagenes de los numeros del conjunto {2,10,100,101}son 1 y 2. Los elementos del conjunto {2,3,30,301} tie-nen como imagenes 2, 3 y 4. Como s(26) = 8, es correctos({26}) = {8}, pero s({26}) es el conjunto {8} y no elelemento 8.


La imagen inversa de 2 contiene tambien a 11, 101, 110,1001, 1010, etc., que no estan en el conjunto indicado. Losnumeros cuyas cifras suman 1, solo tienen un 1 seguido deceros (porque no se considera valida la escritura 010 para eldiez); forman el conjunto {1,10,100,1000, . . .} compuestopor todas las potencias de 10. Por ultimo, s−1({0})= {0}.1.90 Respuesta correcta: a

Cualquier numero n∈ N, al dividirlo por 9 da un cociente ky un resto r menor que 9; es decir, n = 9k + r. El numero xcompuesto por k nueves seguidos de r tiene entonces suma9k + r = n; es decir s(x) = n. Por ejemplo, como 115 =9 · 12 + 7, es s(9999999999997) = 115. Por supuesto haymuchos otros numeros que tambien dan n al sumar sus ci-fras; por ejemplo, todos aquellos en los que r esta intercala-do entre k nueves o bien se sustituya un 9 por un 5 y un 4, encualesquiera posiciones. Ası s(99979995999499)= 115.


El ejemplo s(17) = s(26) = 8 indica que s no es inyecti-va. Sı es sobreyectiva como se ha mostrado en la cuestionanterior.


Cada numero de n ∈ N tiene una imagen, 3 · n + 1, biendefinida y unica.


Efectivamente, f (7) = 22, f (6) = 19 y f (5) = 16. Lapreimagen de 24 no es 7+ 2

3 porque 7+ 23 �∈ N. La preima-

gen de 1 es 0 (pues f (0) = 1) y la de 7 es 2 (pues f (2) =7).


Efectivamente, si n �= m son numeros diferentes de N, nopuede ser 3 ·n+1 = 3 ·m+1 (pues serıa 3 ·n = 3 ·m y, portanto, n = m).


No hay ningun numero x ∈ N cuya imagen sea, por ejem-plo, 8. Porque tendıa que ser 3 ·x+1 = 8 o bien 3 ·x = 7 y7 no es divisible por 3.


7 �∈ f ({1,3,4,5}) puesto que 7 es, exclusivamente, la ima-gen de 2. Es correcto f (6) = 19 y f ({6}) = {19}; pero nof ({6}) = 19.


10 es la imagen de 3 y 22 de 7, mientras que 15 no es ima-gen de ningun numero. Por otro lado, f−1(22) = {7} yf−1({37,40,46}) = {12,13,15}.1.98 Respuesta correcta: c

Sı es inyectiva, pero no es sobreyectiva.


Es f (3) = 10 y f (10) = 31.


Es f (15) = 3 ·15+ 1 = 46 y s(46) = 10.


Es s(13) = 4 y f (4) = 13. En cambio, s(12) = 3 y f (3) =10; s(10) = 1 y f (1) = 4.


Es s(548) = 17 y s(17) = 8.


Como todos los elementos de B han de ser imagen de al-guno de A y los elementos de A tienen una unica imagen,debe ser #(A)≥ 5.


Como todos los elementos de A tienen una unica imagen y,por ser f inyectiva, no hay dos que tengan la misma ima-gen, deber ser #(B)≥ 4.



Por definicion, los cardinales de dos conjuntos son igualescuando existe una aplicacion biyectiva entre uno y otro.


Como, en general, #(A)+ #(B) = #(A∪B)+ #(A∩B), larelacion indica que #(A∩B) = 0 o bien A∩B = /0. De elloresulta A⊂ Bc y B⊂ Ac.


Si B−A = B, los conjuntos A y B son disjuntos y se cumple#(A∪B) = #(A) + #(B).


Como A y Ac son conjuntos disjuntos, cuya union es U , severifica #(A)+ #(Ac) = #(U = n.


Como A = (A∩ B)∪ (A−B), siendo A∩ B y A− B dis-juntos, resulta #(A) = #(A∩B) + #(A−B); es decir 6 =#(A∩B)+ 2 o bien #(A∩B) = 4.


Como B = (B∩ A)∪ (B−A), siendo B∩ A y B− A dis-juntos, resulta #(B) = #(B∩A)+ #(B−A); es decir 14 =8+ #(B−A) o bien #(B−A) = 6.


Es #(A∪B) = #(A) + #(B)− #(A∩B), luego 16 = 10 +9−#(A∩B) y #(A∩B) = 3.


Como #(A∪B) = #(A)+#(B)−#(A∩B)= 2 ·#(A∩B)−#(A∩B) = #(A∩B), resulta que #(A∪B)−#(A∩B) = 0y A∪B = A∩B. Por tanto A∩Bc = /0 y B∩Ac = /0; con locual A = A∩B y B = A∩B.


#(A∪B) = #(A)+ #(B)−#(A∩B) y #(A∩B)≥ 0, luego#(A∪B) ≤ #(A) + #(B). En caso de que sea #(A) = 1, es#(A) ·#(B) = #(B) y #(A∪B) = #(B)+ 1 si A �⊂ B.


La descomposicion de A∪B en conjuntos disjuntos: A∪B = (A−B)∪ (B−A)∪ (A∩B), prueba que #(A∪B) =#(A−B)+#(B−A)+#(A∩B)≥ #(A−B)+#(B−A) porser #(A∩B) ≥ 0. En cambio, si fuese B ⊂ A pero B �= A,serıa A∪B = A y #(A∪B) = #(A) < #(A)+ #(A−B).


La descomposicion de A en conjuntos disjuntos: A = (A∩B)∪ (A−B), asegura que #(A) = #(A∩B) + #(A−B); osea #(A−B) = #(A)−#(A∩B). Por otro lado, #(A∪B)−#(B) = #(A)−#(A∩B). Salvo que sea B⊂ A, #(A)−#(B)no coincide con #(A−B).


La descomposicion de A∪B en conjuntos disjuntos: A∪B = (A−B)∪ (B−A)∪ (A∩B), prueba que #(A∪B) =#(A−B)+#(B−A)+#(A∩B) y, por consiguiente, #(A∪B)−#(A∩B) = #(A−B)+ #(B−A).


La igualdad indica que #(A ∪ B)− #(A ∩ B) = 0 o seaA∪B = A∩B. De ello se deduce A∩B = A = B = A∪B,puesto que siempre es A∩B ⊂ A ⊂ A∪B y A∩B ⊂ B ⊂A∪B y, en este caso, los extremos coinciden.


Se sabe que 12 = #(A)+#(B)−#(A∩B)= #(A)+#(A)+#(A∩B)− #(A∩B) = 2 · #(A); por tanto #(A) = 6. Perono se puede saber el valor que tiene #(A∩B) (entre 0 y 6)ni el valor de #(B) (entre 6 y 12).


Tiene que ser #(A)+#(A∩B)= #(A)+#(B)−#(A∩B)y,por consiguiente, #(B) = 2 ·#(A∩B). Como #(B) = 16 re-sulta #(A∩B) = 8. Sin embargo #(A) puede ser cualquiernumero entero n≥ 8 y, por ende, #(A∪B) = n+ 8.


Como #(A∪B) = #(A−B)+#(B−A)+#(A∩B), se tiene27 = 9 + 6 + #(A∩B). Luego #(A∩B) = 12 y, por tan-to, #(A) = #(A−B) + #(A∩B) = 9 + 12 = 21 y #(B) =#(B−A)+ #(A∩B) = 6+ 12 = 18.

INTRODUCCION´ ALAS MATEMATICAS´ - ediasa.es · ellas desarrolla un cap´ıtulo del programa e...

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