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Capıtulo 1

Conceptos fundamentales de Algebra

1.1. Conjuntos numericos

Se supone que el lector tiene conocimientos basicos sobre la tematica de conjuntos. La no-tacion que se usara sera la usual, ası, por ejemplo, A ⊆ B indicara que A es subconjunto deB, A ∩ B indicara la interseccion de los conjuntos A y B, ∅ representara al conjunto vacıo,etc.Son de particular interes los conjuntos numericos:

Conjunto de los numeros naturales o conjunto de los numeros enteros positivos.

N = {1, 2, 3, . . .} = Z+

Conjunto de los numeros enteros.

Z = {. . . ,−2,−1, 0, 1, 2, . . .}

1

Capıtulo 1: Conceptos fundamentales de Algebra Resumen de contenidos

Conjunto de los numeros racionales.

Q ={a

b/ a, b ∈ Z, b 6= 0

}Observaciones:

1. El conjunto de los numeros racionales esta constituıdo por todas las fracciones deenteros, con denominador distinto de 0.

2. Dos racionales ab

y cd

son iguales siempre y cuando a · d = b · c. Es decir,

a

b=

c

d⇐⇒ a · d = b · c

3. Todo numero racional ab

se puede representar como un numero decimal finito oinfinito periodico. Ello se logra simplemente efectuando la division entre a y b.Recıprocamente, todo decimal finito o infinito periodico equivale a una fraccionde enteros.

4. De la observacion precedente, se tiene que los numeros decimales infinitos noperiodicos, no son numeros racionales.

Aunque en la practica siempre se trabaja con numeros racionales o con su equivalentedecimal (redondeado convenientemente), hay problemas que no tienen solucion en elconjunto de los numeros racionales, por ejemplo la ecuacion x2 = 2. Es posible verificarque la solucion de esta ecuacion no es un numero racional. Tal numero forma parte delconjunto de los numeros irracionales.

Conjunto de los numeros irracionales.

El conjunto de los numeros irracionales, Qc, esta constituıdo por todos los numerosdecimales infinitos y no periodicos.

Los siguientes son numeros irracionales:

0,12345678910111213... 12,101001000100001.... 126,122333444455555...

Todos los numeros contenidos en los conjuntos comentados, constituyen el universoestandar, para la mayor parte del trabajo en matematica. Por esta razon ellos se reunenen un nuevo conjunto numerico:

Instituto de Matematica y Fısica 2 Universidad de Talca


Conjunto de los numeros reales.

El conjunto de los numeros reales, R, es la union del conjunto de los numeros racionales,(por lo tanto contiene a los numeros naturales y enteros), y de los numeros irracionales.Es decir:

R = Q ∪Qc

La tabla siguiente describe los conjuntos numericos y algunos ejemplos de numeros enellos.

Notacion Sistema numerico Descripcion Ejemplos

Numeros para contarN Numeros naturales (tambien llamados 1,2,3,...

enteros positivos)Conjunto de numeros ...,−2,−1, 0,

Z Numeros enteros naturales, sus negativos 1,2,3,...y el 0Cualquier numeroque puede represen- −4; 1

5;

Q Numeros racionales tarse como a/b, 1,5donde a y b son 0; 3,67;enteros y b 6= 0 −0,121212...Cualquier numero

que no puede represen-√

2; π;Qc Numeros irracionales tarse como a/b, 1,123456...;

donde a y b son√

5;enteros y b 6= 0 −0,1223334444...Conjunto de todos los

R Numeros reales numeros racionales e√

2; 0.33...;irracionales −3; π; 5,79

1.2. Algunas propiedades de los numeros reales

1. Se suponen conocidas las propiedades: conmutatividad, asociatividad, distributividad,existencia de neutros y existencia de inversos de las operaciones adicion y multiplicacionen los numeros reales.

2. Para x, a, b, c, y d numeros reales se cumple:

a) Leyes de cancelacion (simplificacion):



1) Si a + b = a + c, entonces b = c

2) Si ab = ac, a 6= 0, entonces b = c

b) Posibilidad de sustraccion: Si a + x = b, entonces x = b− a

c) Posibilidad de division: Si ax = b, a 6= 0, entonces x = ba

d) Si ab = 0, entonces a = 0 o b = 0

e) ab· cd

= a · cb · d, b 6= 0, d 6= 0

f ) ab÷ c

d= a · d

b · c , b 6= 0, c 6= 0, d 6= 0

g) ab± c

d= ad± bc

bd, b 6= 0, d 6= 0

1.3. Orden en los numeros reales

Existe un subconjunto de R llamado conjunto de los numeros reales positivos, denotado porR+, con las siguientes propiedades:

Si x es un numero real cualquiera, exactamente una de las afirmaciones siguientes esverdadera:

x ∈ R o x = 0 o − x ∈ R+

El conjunto de los reales positivos es cerrado para la adicion, es decir:

x, y ∈ R =⇒ x + y ∈ R+

El conjunto de los reales positivos es cerrado para la multiplicacion:

x, y ∈ R =⇒ x · y ∈ R+

A partir de estas propiedades se puede definir una relacion de orden en los numeros reales:

Si a, b ∈ R, se dice que “a es menor que b” (o que b esmayor que a), denotado a < b (o b > a) si y solo si

b− a ∈ R+.

Si a, b ∈ R se dice que “a es menor o igual que b” (o “b es mayor o igual que a”) denotadoa 6 b ( o b > a) si y solo si a < b o a = b.



1.3.1. Propiedades de la relacion menor que

1. Si se suma o resta un mismo numero en ambos lados de una desigualdad, la desigualdadoriginal no cambia de sentido. Es decir:

Si a < b, entonces a + c < b + c y a− c < b− c

2. Si se multiplica o divide por un mismo numero positivo ambos lados de una desigualdad,la desigualdad original no cambia de sentido. Es decir:

Si a < b y c > 0 entonces a · c < b · c y ac

< bc

3. Si se multiplica o divide por un mismo numero negativo ambos lados de una desigual-dad, la desigualdad original cambia de sentido. Es decir:

Si a < b y c < 0 entonces a · c > b · c y ac

> bc

Observacion: Propiedades analogas cumplen las otras relaciones de desigualdad.

1.3.2. Intervalos

Sean a y b dos numeros reales, con a < b. Los siguientes subconjuntos de R, se llamanintervalos :

1. ]a, b] = {x ∈ R / a < x 6 b}Graficamente:

2. [a, b] = {x ∈ R / a 6 x 6 b}Graficamente:

3. ]−∞, b] = {x ∈ R /x 6 b}Graficamente:

Observacion: Del mismo modo, se definen los intervalos: [a, b[, ] −∞, b[, [a, +∞[, ]a, +∞[y ]−∞, +∞[= R.



1.4. Valor absoluto

El valor absoluto de un numero real x, denotado |x| se define:

|x| =

x si x > 00 si x = 0−x si x < 0

1.4.1. Propiedades del valor absoluto.

1. Para todo x ∈ R, |x| = | − x| > 0.

2. |x| = 0 si y solo si x = 0.

3.√

x2 = |x|.

4. Para todo x, y ∈ R, |x · y| = |x| · |y|.

5. Para todo a > 0 la desigualdad |x| 6 a es equivalente a −a 6 x 6 a. Consecuentemente|x| > a es equivalente a: x < −a o x > a.

6. Desigualdad triangular: Para todo x, y ∈ R |x + y| 6 |x|+ |y|.

1.5. Potencias y raıces

Sea a ∈ R, a 6= 0. Para n numero entero se define:

an =

a · a · · · a, (n factores) si n entero positivo.

1 si n = 0.1

a−n si n es entero negativo.

Si an = b, en donde n es un entero positivo, se dice que a es una raız n-esima de b. Ası, porejemplo, como 42 = 16, se tiene que 4 es una raız segunda (usualmente llamada raız cuadrada)de 16, pero como (−4)2 = 16, tambien −4 es una raız cuadrada de 16. Analogamente, yaque (−5)3 = −125, −5 es una raız cubica de −125.

Nota: Ciertos numeros reales no poseen raız n-esima en el conjunto de los numeros reales.Por ejemplo, −4 no tiene raız cuadrada, pues no existe un numero real a tal que a2 = −4.

La raız n-esima principal (o simplemente, raız n-esima cuando no haya confusion) de unnumero b es la raız n-esima de b del mismo signo de b, la que se denota por: n

√b

Cuando b > 0, p y q enteros con q > 0 se adopta la definicion:

bpq =

q√

bp

A continuacion se entrega un listado con las propiedades de potencias y raıces de uso masfrecuente:



1.5.1. Propiedades de las potencias

En lo que sigue m y n representan numeros enteros:

1. aman = am+n, a 6= 0

2. anbn = (ab)n, a 6= 0, b 6= 0

3. an

am = an−m, a 6= 0

4. an

bn =(

ab

)n

, a 6= 0, b 6= 0

5. (am)n = (an)m = anm, a 6= 0

6. a−n = 1an = (an)−1 = (a−1)n =

(1a

)n

, n numero entero positivo

7. 1n = 1

8. 0n = 0, siempre que n sea un numero entero positivo

1.5.2. Propiedades de las raıces

En caso que las expresiones involucradas esten bien definidas, se tiene que:

1. n√

ab = n√

a n√

b

2. n

√ab

=n√

an√

b, b 6= 0

3. ( n√

a)m

= n√

am, a 6= 0

4. n√

m√

a = nm√

a

Notas:

1. 00 no esta definido

2. n√

a = b ⇐⇒ bn = a

3. n√

a = a1n , siempre que tenga sentido

4. Racionalizar el denominador (numerador) de una fraccion es un procedimiento en elque, una fraccion que tiene un radical en su denominador (numerador) se expresa comouna fraccion equivalente sin el radical aludido. Para ello, se utiliza la propiedad de lasfracciones:

a

b=

ac

bc, b 6= 0, c 6= 0



1.6. Operaciones con expresiones algebraicas

Una expresion algebraica es una combinacion de numeros, representados por sımbolos, me-diante operaciones de adicion, sustraccion, multiplicacion, division o extraccion de raıces.Por su frecuente utilizacion se entrega un listado de productos especiales y reglas de facto-rizacion:

1.6.1. Productos especiales

1. Propiedad distributiva

x(y ± z) = xy ± xz

2. Producto de binomios

(x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab

3. Cuadrado de un binomio

(x± y)2 = x2 ± 2xy + y2

4. Cuadrado de un trinomio

(x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz

5. Producto de una suma por su diferencia

(x + a)(x− a) = x2 − a2

6. Cubo de un binomio

(x± a)3 = x3 ± 3ax2 + 3xa2 ± a3



1.6.2. Reglas de factorizacion

1. Los productos notables precedentes del 1 al 4, mirados de derecha a izquierda, entreganuna regla de factorizacion

2. Suma de dos cubos

x3 + a3 = (x + a)(x2 − ax + a2)

3. Diferencia de dos cubos

x3 − a3 = (x− a)(x2 + ax + a2)

1.7. Notacion cientıfica

0,000123401 = 1,23401 · 10−4

1.7.1. Conceptos

Sea x un numero real positivo. Se dice que x esta escrito en notacion cientıfica (o notacionexponencial) cuando se escribe en la forma:

x = a · 10n

donde 1 6 a < 10 y n es un numero entero.

Ejemplos:

Masa de la tierra = 5 980 000 000 000 000 000 000 000 = 5,98 · 1024 (kg)

Masa del electron = 0,000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 911 = 9,11 · 10−31 (kg)

Numero de avogadro = 602 000 000 000 000 000 000 000 = 6,02 · 1023 (partıculas/mol)

Velocidad de la luz = 299 790 000 = 2,9979 · 108 (m/s)

Longitud de onda de la luz amarilla = 0,000 000 589 = 5,89 · 10−7 (m)

1.7.2. Operaciones de numeros expresados en notacion cientıfica

1. Adicion y sustraccion:

Numeros expresados en notacion cientıfica se pueden sumar o restar directamente siambos tienen el mismo exponente en la potencia de 10.



Ejemplos:

3,2 · 1023 + 4,7 · 1023 = 7,9 · 1023

5,2 · 10−32 − 4,1 · 10−32 = 1,1 · 10−32

Cuando los exponentes de las potencias de 10 son diferentes, deben igualarse antes derealizar las operaciones.

Ejemplos:

4 · 106 + 3 · 108 = 0, 04 · 108 + 3 · 108 = 3, 04 · 108

3, 2 · 10−7 − 5,3 · 10−5 = 0, 032 · 10−5 − 5,3 · 10−5 = −5,268 · 10−5

2. Multiplicacion y division

Numeros expresados en notacion cientıfica se pueden multiplicar o dividir aunque notengan el mismo exponente en su potencia de 10. En primer lugar se multiplicar odividen los numeros que anteceden las potencias de 10 y a continuacion se operan laspotencias de 10.

Ejemplo:

1,2 · 104 × 3,53 · 10−2 = (1,2× 3, 53) · (104 × 10−2) = 4,236 · 102

1.8. Reglas de redondeo

Para aproximar numeros reales existen diferentes criterios. En este curso se usaran las si-guientes reglas:

Regla 1: La ultima cifra a retener se incrementa en 1 si el dıgito siguiente es mayor quecinco .Ejemplos: El numero 0,346013 redondeado a 2 decimales queda como 0,35;1,047 ≈ 1,05 (2 decimales); 1,08 ≈ 1,1 (1 decimal).

Regla 2: La ultima cifra a retener no se altera si el dıgito siguiente es menor que cinco.Ejemplos: Al redondear a 3 decimales el numero 0,438497, este queda como0,438; 1,044 ≈ 1,04 (2 decimales); 1,044 ≈ 1,0 (1 decimal).

Regla 3: Cuando el primer dıgito descartado es justamente 5 y no existen otros dıgitos asu derecha o si hay solamente ceros, la ultima cifra retenida se aumenta en 1 sies impar y si es par se deja igual.Ejemplos: Al redondear a dos decimales el numero 3,4500, el resultado es 3,4;7,01350 ≈ 7,014 (3 decimales).

Regla 4: Cuando el primer dıgito descartado es justamente 5 y hay a su derecha dıgitosdiferentes de cero, entonces el ultimo retenido se aumenta en 1.Ejemplos: Al redondear a dos decimales el numero 3,4501, el resultado es 3,5;7,01351 ≈ 7,014 (3 decimales).


Capıtulo 1: Conceptos fundamentales de Algebra Ejemplos

1.9. Ejemplos

1. Determinar el valor de verdad de los siguientes enunciados. Cuando sea falso, entregarun contraejemplo:

a)√

a2 + b2 = a + b

b)1

a+

1

b=

2

a + b

c) |a + b| = |a|+ |b|

Solucion:

Para determinar el valor de verdad de los siguientes enunciados, asignaremos valores aa = −5 y b = 4

a) es Falso, ya que:√a2 + b2 =

√(−5)2 + (4)2 =

√41, pero a + b = −5 + 4 = −1

b) es Falso, ya que:1

a+

1

b=

1

−5+

1

4=

1

20, pero

2

a + b=

2

−5 + 4=

2

−1= −2

c) es Falso, ya que:|a+b| = |−5+4| = |−1| = 1, pero |a|+|b| = |−5|+|4| = 5+4 = 9

2. Eliminar los exponentes negativos y simplificar la expresion x−1 + y−1

Solucion: x−1 + y−1 = 1x + 1

y =y + xxy

Notar que x−1 + y−1 6= 1x + y

3. Simplificar la expresion

(x

15 y

65

z25

)5

Solucion:

(x

15 y

65

z25

)5

=(x

15 y

65 )5

(z25 )5

=xy6

z2

4. Si x es un numero real, simplificar√

x2

Solucion:

√x2 =

x si x > 0

−x si x es negativo0 si x = 0

Luego,√

x2 = |x|.Se tiene que

√22 = 2 y

√(−3)2 = 3. Notar que en general

√x2 6= x



5. Expresar (8x− y)45 de modo equivalente utilizando radicales.

Solucion: (8x− y)45 = ((8x− y)4)

15 = 5

√(8x− y)4

6. Dada la siguiente expresion algebraica:

A =y

x2÷(

x2 + 3x

2x2 + 5x− 3÷ x3y − x2y

2x2 − 3x + 1

)Se pide:

a) Establecer todos los valores de x para los cuales la expresion A esta definida.

b) Simplificarla completamente.

Solucion:

a) La expresion A esta definida para todos los valores de x excepto {−3, 0, 1/2, 1},esto se notara al factorizar los denominadores de la expresion A; ya que todaexpresion que se encuentre en el denominador debe ser 6= 0

b) . A =y

x2÷(

x2 + 3x

2x2 + 5x− 3÷ x3y − x2y

2x2 − 3x + 1

)=

y

x2÷(

x(x + 3)

(x + 3)(2x− 1)÷ x2y(x− 1)

(x− 1)(2x− 1)

)=

y

x2÷(

x(x + 3)

(x + 3)(2x− 1)· (x− 1)(2x− 1)

x2y(x− 1)

)=

y

x2÷ x

x2y

=y

x2÷ 1

xy

=y

x2· xy

=y2

x

7. Racionalizar el denominador y simplificar la expresion4√

23√

xy2

Solucion:4√

23√

xy2=

214 (xy2)

23

(xy2)13 (xy2)

23

=2

312 (xy2)

812

xy2 =12√

8x8y16

xy2



8. Factorizar completamente la expresion x2 − x− 6

Solucion: Si se factoriza este trinomio de la siguiente forma: x2−x−6 = (x+a)(x+b),que es el producto de dos binomios, entonces deben determinarse los valores reales dea y b. Se tiene que (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab. Igualando los coeficientescorrespondiente, se tiene a + b = −1 y ab = −6. Si a = −3 y b = 2, entonces sesatisfacen ambas condiciones, Luego x2 − x− 6 = (x− 3)(x + 2).

En general, para factorizar una expresion de la forma: x2 + Bx + C, se buscan dosnumeros reales m y n de modo que su suma sea igual a B, es decir, m+n = B y que suproducto sea igual a C, es decir, mn = C. En tal caso: x2 + Bx + C = (x + m)(x + n).

9. Factorizar completamente las siguientes expresiones:

a) A = 6t3 − 7t2 − 20t

b) B = 2(a− b)2(a + b)3 − 5(a + b)2(a− b)3

c) C = x4 − 16y4

Solucion:

(a) A = 6t3 − 7t2 − 20t= t[6t2 − 7t− 20]= t[(2t− 5)(3t + 4)]= t(2t− 5)(3t + 4)

(b) B = 2(a− b)2(a + b)3 − 5(a + b)2(a− b)3

= (a− b)2(a + b)2[2(a + b)− 5(a− b)]= (a− b)2(a + b)2(−3a + 7b)

(c) C = x4 − 16y4

= x4 − (2y)4

= [x2 − (2y)2][x2 + (2y)2]= [(x− 2y)(x + 2y)][x2 + (2y)2]= (x− 2y)(x + 2y)(x2 + 4y2)

10. En algunas ocasiones es conveniente racionalizar el numerador de una fraccion. Racio-nalizar el numerador de:

√x + h−

√x

h



Solucion:

√x + h−

√x

h=

√x + h−

√x

h·√

x + h +√

x√x + h +

√x

=(√

x + h)2 − (√

x)2

h(√

x + h +√

x)

=(x + h)− x

h(√

x + h +√

x

=h

h(√

x + h +√

x

=1√

x + h +√

x

11. Racionalizar el denominador de1

3√

x− 3√

y

Solucion: Observar que en este caso, no sirve amplificar por 3√

x + 3√

y

Usando la factorizacion a3 − b3 = (a− b)(a2 + ab + b2), con a = 3√

x y b = 3√

y se tiene

x− y = ( 3√

x− 3√

y)(3√

x2 + 3√

xy + 3√

y2)

de donde se deduce que el factor adecuado para racionalizar la fraccion propuesta es:3√

x2 + 3√

xy + 3√

y2. Haciendolo se obtiene:

13√

x− 3√

y=

13√

x− 3√

y·

3√

x2 + 3√

xy + 3√

y2

3√

x2 + 3√

xy + 3√

y2=

3√

x2 + 3√

xy + 3√

y2

x− y

12. De las siguientes relaciones despejar la variable indicada.

Relacion Variable a despejara) D = Coeficiente de difusion. r, T

k = constante de Boltzmann.

D =kT

6π · r · ηT = temperatura absoluta.

r = radio molecular.η = viscosidad del medio.

b) λ = constante de longitud. Rm, Ri

λ =

√Rm

RiRm = resistencia de la membrana.

Ri = resistencia interna.



Solucion:

a) Multiplicando por 6π · r · η la relacion (a), se obtiene:

D · 6π · r · η = kT

para despejar r, se divide ahora por D · 6π · η, obteniendose que:

r =kT

D · 6π · η

De manera analoga, al despejar T , se obtiene:

T =D · 6π · r · η

k

b) Elevando al cuadrado la relacion (b), se obtiene:

λ2 =Rm

Ri

de donde, multiplicando por Ri, se tiene:

Rm = λ2 ·Ri

De la relacion precedente: Ri =Rm

λ2

13. Expresar en notacion cientıfica los siguientes numeros reales:

a) 640, 7560, 12340000

b) 0.3, 0.00023, 0.0000000837

Solucion:

a) 6,4 · 102, 7,56 · 103, 1,234 · 107

b) 3 · 10−1, 2,3 · 10−4, 8,37 · 10−8

14. Efectuar las siguientes operaciones como si fueran calculos de resultados experimentalesy expresar cada respuesta en notacion cientıfica, en las unidades correctas:

a) 7, 310km + 5, 70km

b) 3, 26 · 10−3mg − 7, 88 · 10−5mg

c) 4, 02 · 106dm + 7,74 · 107dm



Solucion:

a) 7, 310km + 5, 70km = 13,01km. Luego, el resultado es 13,01km.

b) 3, 26 · 10−3mg− 7, 88 · 10−5mg = 326 · 10−5mg− 7, 88 · 10−5mg = 318,12 · 10−5mg.Luego el resultado es 3,18 · 10−3mg.

c) 4, 02 · 106dm + 7,74 · 107dm = 4,02 · 106dm + 77,4 · 106dm = 81,42 · 106. Luego elresultado es 8,14 · 107dm.

15. Un cuadrado tiene area 60cm2. Determinar la longitud de su lado.

Solucion: Como el area A de un cuadrado de lado l es igual a A = l2, se tiene quel =

√A. Luego, l =

√60 = 7,745966692. Luego, el lado del cuadrado es igual a 7,7cm

(aproximadamente).

16. En las siguientes expresiones, calcular el valor numerico de la variable indicada, usandolos datos asignados.

a) Expresion:

d = vi · t +at2

2,

donde: d = distancia, vi = velocidad inicial, t = tiempo y a = aceleracion.

Variable a calcular: d

Datos asignados: vi = 4,04, t = 10,2 y a = 0,0003

b) Expresion:

F = Kq1 · q2

r2,

donde F = fuerza de atraccion, K = constante de atraccion electrica, q1, q2 =cargas electricas y r = distancia.

Variable a calcular: r

Datos asignados: K = 9, 0 · 108; q1 = 4,2; q2 = 8,3 y F = 2,2 · 108

Solucion:

a) Reemplazando los datos asignados en la relacion propuesta se obtiene:

d = 4,04 · 10,2 +0,0003 · 10,22

2= 41,223606

Luego, d ≈ 0,41 · 102.



b) De la relacion propuesta se obtiene:

r =

√K · q1 · q2

F,

luego,

r =

√9, 0 · 108 × 4, 2× 8, 3

2,2 · 108= 11,94190482.

Por lo tanto, r ≈ 1,2 · 10.

17. Superficie corporal. La superficie corporal S de una persona en (m2) se puede cal-cular (aproximadamente) con la formula:

S = 0,1091 · w0,425h0,725

en donde la altura h esta en metros y el peso w en kilogramos.

a) Calcular la superficie corporal de una persona que mide 1,83m de estatura y pesa79,37kg.

b) Si una persona mide 1.68 metros de alto, ¿que efecto tiene sobre S un aumentode un 10 % en su peso?.

Solucion:

a) Usando la formula propuesta, se tiene:

S = 0,1091 · w0,425h0,725 = 0,1091 · 79,370,4251,830,725 = 1,085064993

Luego, la superficie corporal de la persona es 1,09m2.

b) Si una persona mide 1,68 metros de alto, su superficie corporal viene dada, entermino de su peso w por:

S1 = 0,1091 · w0,425 · 1,680,725

Si aumenta su peso en un 10 %, su peso sera igual a 1,1w, y en este caso, susuperficie corporal es:

S2 = 0,1091 · (1,1w)0,425 · 1,680,725 = 1,10,425S1 ≈ 1,041338418S1 ≈ 1,04S1

Luego, su superficie corporal aumenta, aproximadamente, en un 4 %.



18. Calcular la energıa cinetica (E.C.) de un cuerpo con una masa de 3,0gr viajando a lavelocidad de 2,15cm/seg.

Nota: La energıa cinetica de un cuerpo es obtenida de la formula E.C. = 12mv2, donde

m = masa del cuerpo y v = velocidad del objeto.

Solucion:

E.C. =1

2mv2 =

1

2(3,0gr)

(2,15

cm

s

)2

= 6,93375gr · cm2

s2≈ 6,9

gr · cm2

s2

19. La tasa de difusion neta en terminos de permeabilidad se puede expresar por la siguienterelacion:

J = P · A · (CA − CB),

donde

J = tasa de difusion neta (mg/seg).

P = permeabilidad (cm/seg).

A = area de la superficie para difusion (cm2).

CA = concentracion de la solucion A (mM/ml).

CB = concentracion de la solucion B (mM/ml).

Suponer que las soluciones A y B estan separadas por una membrana cuya permea-bilidad a la urea es de 2 · 10−5cm/seg y cuya area de superficie es de 3, 02cm2. Si laconcentracion de urea en A es de 15, 3mg/ml y la concentracion de urea en B es de3,7mg/ml. ¿Cual es la tasa de difusion neta de la urea?.

Solucion: Reemplazando los datos entregados en la relacion propuesta:

J = 2 · 10−5 · 3,02 · (15,3− 3,7) = 0,00070064.

Por lo tanto, la tasa de difusion neta de la urea es de J ≈ 7 · 10−4mg/seg.


Capıtulo 1: Conceptos fundamentales de Algebra Ejercicios

1.10. Ejercicios

1. Determinar el valor de verdad de los siguientes enunciados. Cuando sea falso, entregarun contraejemplo.

a)√

a− b =√

a−√

b

b) (2a)5 = 2a5

c)3√

a2 =6√

a4

d)1

a− 1

b=

1

a− b

e)√

a2 = a

2. Simplificar y escribir las respuestas usando solo exponentes positivos.

(a) 5√

x2y3z−10 (b)9u8

v63u4v8 (c) (x−1 − y−1)−2

(d) (x−3y2)−2 (e) x2 4√

xy−2z3 (f) (9a4b−2)12

(g)

(8u−1

22u2v0

)−2(u−5

u−3

)3

(h)

(27x2y−3

8x−4y3

) 13

(i) (x2y3)15 [(x3y−3)

15 − (x−2y2)

15 ]

3. Expresar las formas exponenciales de modo equivalente utilizando radicales.

(a) x−45 (b) (ab2c3)

34 (c) 2x

−25 − (2x)

−25 (d) [(x−4)

15 ]

16

4. Racionalizar los denominadores.

(a)y√2x

(b)4

3 3√

3(c)

√2

3√

3(d)

5√

33√

x2y3(e)

√a

1−√

a

5. Simplificar y expresar en forma radical.

(a) 3x 3√

x5y4 (b)√

2x2y5√

18x3y2 (c)6ab√3a

(d)√

7 + 2√

3− 4√

3 (e)

√5

3−√

5(f)

5

√3y2

8x2

(g) 8√

y6 (h)1√

2− 1+

2√3 + 1

(i)y2√

y2 + 4− 2



6. En las expresiones siguientes, efectuar las operaciones indicadas y simplificar los resul-tados.

(a) (√

x− 1)(2√

x + 5) (b)2

x2 + 2x + 1− 1

x2 + 4x + 3+

3

x2 − x− 2

(c)y − 2

y2 − 4y + 4÷ y2 + 2y

y2 + 4y + 4(d)

u− 1u

u− 1u2

(e)m− 1

m2 − 4m + 4+

m + 3

m2 − 4+

2

2−m(f)

1− 3a−1

1− 2a−1 − 3a−2

7. Factorizar completamente las expresiones siguientes.

(a) (4x− y)2 − 9x2 (b) 2x2 + 4xy − 5y2

(c) 6x3y + 9x2y2 − 15xy3 (d) (y − b)2 − y + b

(e) (p + q)2 + 3(p + q)− 4 (f) y3 + 2y2 − 4y − 8

8. Ejecutar las operaciones y simplificar cuando sea posible.

(a)

1x + h

− 1x

h(b) x2 + 7x + 10

x2 − 2x− 8÷ x2 + 6x + 5

x2 − 3x− 4

(c) 2mn3 ÷ 4m

n2 (d) (x− y−1)−2

(e)x√

x√1 + x

+ 1√x

(f) 4x2 − 20x + 246 + 10x− 4x2 (2x + 1)

9. De las siguientes relaciones despejar la variable indicada.

Relacion Variable a despejara) P = Presion H, T , r

P =2HT

rH = Presion.

T = Tension.r = radio.

b) VD = espacio fisiologico. PaCO2

VD = VT

(PaCO2 − PECO2

PaCO2

)VT = volumen del aire. PECO2

PaCO2 = PCO2 de la sangre. VT

PECO2 = PCO2 del aire.



10. Expresar en notacion cientıfica los siguientes numeros reales:

a) 4567, 838000, 0.029

b) 0.0000000157, 753405, 0.00256

11. Escribir en su forma decimal los siguientes numeros expresados en notacion cientıfica.

(a) 1, 7 · 10−3 (b) −4, 5 · 10−6 (c) 5, 004343 · 104 (d) 4, 0000706 · 105

(e) 4,12 · 10−4 (f) 3,24 · 10−9 (g) −4,563783 · 108 (h) −3 · 106

(i) 1,0 · 104 (j) 1,0 · 10−4 (j) −7, 65 · 10−4 (j) 7, 5555 · 10−4

12. Escribir en notacion cientıfica las siguientes magnitudes.

a) En el espacio, la luz recorre 25 920 000 000 km en un dıa.

b) El diametro de un proton de un atomo de hidrogeno es: 0,00000000000016 cm.

c) El peso de un atomo de hidrogeno es 0,000.....166 gr(23 decimales).

d) Se estima que los dinosaurios desaparecieron de la Tierra hace aproximadamente500 millones de anos.

e) La carga electrica de un electron es:0,0000001602

1000000000coulomb.

f ) El numero de moleculas de un mol de gas ideal, contenido en un volumen de 22,4litros en condiciones normales, (numero de Avogadro) esta dado por

602 000 000 000 000 000 000 000

13. Efectuar las siguientes operaciones como si fueran calculos de resultados experimentalesy expresar cada respuesta en notacion cientıfica, en las unidades correctas:

a) 0, 0095 ml + (8, 5 · 10−3 ml)

b) 653 m : (5, 75 · 10−8 m)

c) 850 000 dm− (9, 0 · 105 dm)

d) (3, 6 · 10−4 km) · (3, 6 · 106 km)

14. Ordenar de menor a mayor los siguientes numeros escritos en notacion cientıfica:

A : 34,567 · 10−3 B : 456,7 · 10−5 C : 0,000567 · 104 D : 56,7 · 10−2

15. En las siguientes expresiones, calcular el valor numerico de la variable indicada, usandolos datos asignados.



a) Expresion:

Q = m · ce ·∆t,

donde Q = cantidad de calor, m = masa, ce = calor especıfico y ∆t variaciondel tiempo.

Variable a calcular: Q

Datos asignados: m = 5,89; ce = 0,412 y ∆t = 26

b) Expresion:

R =r1 · r2

r1 + r2

,

donde: R = resistencia electrica total en paralelo, r1, r2 = resistencias.

Variable a calcular: r2

Datos asignados: R = 2, 456 y r1 = 4, 26.

16. Las amebas, seres unicelulares, se reproducen por biparticion, es decir cada una separte en dos. Cada una de estas mitades, se desarrolla, y cuando llega el momento,vuelven a partirse en dos. Partiendo de 1 ameba y suponiendo que la biparticion seproduce cada hora.

a) ¿Cuantas amebas habra a las 24 horas?

b) ¿Cuantas amebas habra a la semana?

c) Si el tamano de una ameba es de 1mm. ¿Que longitud, en km, ocuparıan si secolocaran en fila las amebas de (a)?.

17. Expresar cada numero que interviene en la siguiente expresion en notacion cientıfi-ca, ingresarlo a su calculadora en notacion cientıfica, calcular su valor y entregar elresultado con 2 decimales.

0,371 · 0,000000006932

532 · 62600000000

18. Los globulos rojos tienen la forma de un cilindro de 7µm de diametro y de 3µm dealtura (1µm = 10−6m). 1mm3 de sangre contiene 5 millones de hematıes y un hombrenormal tiene 6 litros de sangre.

a) ¿Cuantos hematıes hay en la sangre humana?

b) Si se colocan los globulos rojos uno encima de otro se obtendrıa una columna, ¿deque altura?

c) Calcular el area de un globulo rojo, y despues el area total de globulos rojos.



19. El disco duro de un computador tiene una capacidad de 60MB (MB =Megabytes =millones de caracteres). Si una palabra ocupa 8 caracteres, ¿cuantas palabras se puedenalmacenar en este computador? Nota: En computacion kilo significa 1024 (= 210), yno 1000.

20. Una persona propone que la cantidad de segundos que hay en un ano es, aproxima-damente, π · 107. Considerando un ano de 360 dıas, ¿hasta que decimal es exacta estaaproximacion?.

21. A continuacion se dan, aproximadamente, las velocidades maximas de algunos anima-les: la ardilla, 19 km

hr; el caracol, 0,030 mi

hr; la arana, 1,8 pies

seg; el leopardo, 1,9 km

min; un ser

humano 1000 cmseg

; el zorro, 1100 mmin

y el leon, 1900 kmdia

. Ordenar estos animales en ordencreciente de su velocidad maxima.

22. La distancia entre el Sol y Neptuno es de 4,5 · 109km y entre el Sol y la Tierra es de1,5 · 108km.

a) Sabiendo que 1 U.A.1 = 1,497 · 1011m, calcular la distancia entre el Sol y Neptunoen U.A.

b) Determinar la distancia entre la Tierra y Neptuno.

23. La sonda VOYAGER 2 nos ha enviado fotos de muchos planetas. Lanzada el 20 deagosto de 1977, salio del Sistema Solar en 1989. Algunos datos del viaje:

11 U.A. = distancia media entre el sol y la tierra



Duracion del viaje entre dos planetas (en dıas) 690 x 1610 1100Distancia entre planetas (en km) 6 · 108 8 · 108 1,5 · 109 yVelocidad media (en km/h) z 4,3 · 104 w 4,2 · 104

a) Completar la tabla precedente, en notacion cientıfica, calculando el valor de lasvariables indicadas.

b) Neptuno esta situado a 4,109km de la Tierra. ¿Cuanto tiempo se necesita pararecibir las senales emitidas por el Voyager cuando sobrevuela Neptuno? (Una senalrecorre 300.000 km por segundo).

24. Los 3 parametros siguientes describen la funcion de los ventrıculos:

a) Volumen latido: volumen de sangre que el ventrıculo puede expulsar en un sololatido.

Volumen latido = volumen al final de la diastole− volumen final de la sistole

b) Fraccion de expulsion: eficiencia de la expulsion.

Fraccion de expulsion =volumen latido

volumen al final de la diastole

c) Gasto cardıaco: volumen total que el ventrıculo expulsa por unidad de tiempo.

Gasto cardıaco = (volumen latido) × (frecuencia cardıaca)

donde:

Gasto cardıaco = volumen expulsado del ventrıculo por minuto (ml/min).

Volumen latido = volumen expulsado del ventrıculo en un latido (ml).

Frecuencia cardıaca = latidos por minuto (latidos/min).

De acuerdo a lo anterior, determinar el volumen latido, gasto cardıaco y fraccion deexpulsion para un paciente que tiene un diastolico final de 140ml, un volumen sistolicofinal de 70ml y una frecuencia cardıaca de 75 latidos/min.



1.11. Respuestas a los ejercicios

1. a) Falso.

Contraejemplo: para a = 25, b = 16 se tiene:√

a− b =√

25− 16 =√

9 = 3,

en cambio √a−

√b =

√25−

√16 = 5− 4 = 1

c) Verdadero.

En efecto:3√

a2 = (a2)1/3 = a2/3 = a2·2/3·2 = a4/6 = (a4)1/6 =6√

a4

e) Falso.

Contraejemplo: para a = −4 se tiene que√

a2 =√

(−4)2 =√

16 = 4 6= −4 = a

2. a)x2/5y3/5

z2c)

x2y2

(y − x)2e)

x9/4z3/4

y1/2g)

1

4i) x− y

3. a)5√

x−4 =1

5√

x4c)

25√

x2− 1

5√

(2x)2

4. a)y√

2x

2xc)

√2 3√

9

3e)

a +√

a

1− a

5. a) 3 3√

x8y4 c)6b√

a√3

e)3√

5 + 5

4g) 4√

y3 i) 2 +√

y2 + 4

6. a) 2x + 3√

x− 5 c)y + 2

y(y − 2)e)

2m

(m + 2)(m− 2)2

7. a) (7x− y)(x− y) c) 3xy(2x + 5y)(x− y) e) (p + q + 4)(p + q − 1)

8. a) − 1

x(x + h)c)

1

2ne)

x2 +√

x + 1√

x√

x + 1

9. a) H =Pr

2T, T =

Pr

2H, r =

2HT

P

10. a) 4, 567 · 103, 8, 38 · 105, 2, 9 · 10−2

b) 1, 57 · 10−8, 7, 53405 · 105, 2, 56 · 10−3



11. . (a) 0, 0017 (b) −0, 0000045 (c) 50043, 43 (d) 400007, 06

(e) 0, 000412 (f) 0, 00000000324 (g) −456378300 (h) −3000000

(i) 10000 (j) 0, 0001 (j) −0, 000765 (j) 0, 00075555

12. a) 2, 592 · 1010

b) 1, 6 · 10−13

c) 1, 66 · 10−21

d) 5 · 108

e) 1, 602 · 10−16

f ) 6, 02 · 1023

13. a)1, 8 · 10−2 ml b)1, 14 · 1010 m c)−5 · 10−4 dm d)1, 3 · 103 km

14. B, A, D, C

15. (a) 63 (b) 5,8

16. a) 224 = 16777216 amebas

b) 224·7 ≈ 3,74 · 1050 amebas

c) ≈ 16,8km

17. 7, 72 · 10−23

18. a) 3 · 1013 hematıes

b) 9 · 1013 µm

c) 9,8 µm2, 3 · 1014 µm2

19. 7864320 palabras.

20. Hasta el primer decimal.

21. Caracol, arana, ardilla, ser humano, zorro, leon, leopardo.

22. a) ≈ 30 U.A.



b) ≈ 4,4 · 109 km

23. . a) . Duracion del viaje (en dıas) 690 7,8 · 102 1610 1100Distancia entre planetas (en km) 6 · 108 8 · 108 1,5 · 109 1,1 · 109

Velocidad media (en km/h) 3,6 · 104 4,3 · 104 3,9 · 104 4,2 · 104

b) 0,0137seg

24. Volumen latido = 70 ml

Gasto cardıaco = 5250 ml/min

Fraccion de expulsion = 0,5


Cap´ıtulo 1 Conceptos fundamentales de...

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