CUADERNOS DE ALGEBRA´ No. 2...

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CUADERNOS DE ´ ALGEBRA No. 2 Anillos Oswaldo Lezama Departamento de Matem´ aticas Facultad de Ciencias Universidad Nacional de Colombia Sede de Bogot´ a 30 de junio de 2014

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CUADERNOS DE ALGEBRA

No. 2

Anillos

Oswaldo Lezama

Departamento de MatematicasFacultad de Ciencias

Universidad Nacional de ColombiaSede de Bogota

30 de junio de 2014

ii

Cuaderno dedicado a Lukas, mi hijo.

Contenido

Prologo v

1. Anillos y subanillos 1

1.1. Definicion y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2. Subanillos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2. Ideales 12

2.1. Definicion y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.2. Operaciones con ideales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3. Anillo cociente y homomorfismos 25

3.1. Definiciones y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.2. Teoremas de homomorfismo e isomorfismo . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4. Producto de anillos 36

4.1. Definicion y propiedades elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.2. Teorema chino de residuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

5. Ideales primos y maximales 41

5.1. Definiciones y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

5.2. Comportamiento a traves de homomorfismos . . . . . . . . . . . . . . 44

5.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

6. Dominios de integridad 49

6.1. Definiciones y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

6.2. Dominios gaussianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

6.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

iii

iv CONTENIDO

7. Anillos de fracciones: caso conmutativo 587.1. Construccion y propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 587.2. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 627.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

8. Polinomios y series 678.1. El anillo de series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 678.2. El anillo de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 698.3. Propiedades elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 718.4. Teorema de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 758.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

Bibliografıa 82

Prologo

La coleccion Cuadernos de algebra consta de 10 publicaciones sobre los principalestemas de esta rama de las matematicas, y pretende servir de material para prepararlos examenes de admision y de candidatura de los programas colombianos de doc-torado en matematicas. Los primeros cinco cuadernos cubren el material basico delos cursos de estructuras algebraicas y algebra lineal de los programas de maestrıa;los cinco cuadernos siguientes contienen algunos de los principales temas de losexamenes de candidatura, a saber: anillos y modulos; categorıas; algebra homologica;algebra no conmutativa; algebra conmutativa y geometrıa algebraica. Cada cuadernoes fruto de las clases dictadas por el autor en la Universidad Nacional de Colombiaen los ultimos 25 anos, y estan basados en las fuentes bibliograficas consignadas encada uno de ellos, como tambien en el libro Anillos, Modulos y Categorıas, publi-cado por la Facultad de Ciencias de la Universidad Nacional de Colombia, y cuyaedicion esta totalmente agotada (vease [12]). Un material similar, pero mucho mascompleto que el presentado en estas diez publicaciones, es el excelente libro de SergeLang, Algebra, cuya tercera edicion revisada ha sido publicada por Springer en el2004 (vease [10]). Posiblemente el valor de los Cuadernos de algebra sea su pre-sentacion ordenada y didactica, ası como la inclusion de muchas pruebas omitidasen la literatura y suficientes ejemplos que ilustran la teorıa. Los cuadernos son:

1. Grupos 6. Anillos y modulos2. Anillos 7. Categorıas

3. Modulos 8. Algebra homologica

4. Algebra lineal 9. Algebra no conmutativa

5. Cuerpos 10. Algebra conmutativa y geometrıa algebraica

Los cuadernos estan dividido en capıtulos, los cuales a su vez se dividen ensecciones. Para cada capıtulo se anade al final una lista de ejercicios que deberıa sercomplementada por los lectores con las amplias listas de problemas que inluyen lasprincipales monografıas relacionadas con el respectivo tema.

Cuaderno de anillos . El presente cuaderno da una introduccion a la teorıageneral de anillos. Los anillos, junto con los grupos, son posiblemente los objetosalgebraicos mas importantes. En efecto, la teorıa general de anillos es el lenguajefundamental para la mayorıa de las corrientes contemporaneas del algebra, entre

v

vi PROLOGO

las cuales podemos mencionar la teorıa algebraica de numeros, la teorıa de repre-sentacion de grupos y algebras, el algebra homologica y el algebra conmutativa consus aplicaciones. Estudiaremos en este cuaderno los conceptos y propiedades basicasde los anillos; este estudio comprende tres partes fundamentales: en primer lugar, seintroducen las nociones de anillo, subanillo, ideal, anillo cociente y homomorfismo,las cuales se relacionan estructuralmente por medio de los teoremas de homomorfis-mo, isomorfismo y correspondencia. En segundo lugar, se realizan las construccionesclasicas de un anillo a partir de otro dado, como por ejemplo, los anillos de matrices,los anillos de polinomios y los anillos de fracciones (incluido el proceso de localizacionpor ideales primos). La tercera parte consiste en un estudio introductorio de los trestipos de dominios de integridad mas importantes, a saber: los dominios euclidianos,los dominios de ideales principales y los dominios de factorizacion unica. Estas trespartes se conjugan en el teorema de Gauss el cual establece que el anillo de poli-nomios R [x] es un dominio de factorizacion unica, si y solo si, R es un domio defactorizacion unica.

Los anillos aquı considerados son asociativos, con unidad, pero no necesariamenteconmutativos. Salvo que se advierta lo contrario, un anillo arbitrario sera denotadocon la letra A, un anillo conmutativo por R y un dominio de integridad mediante laletra D.

Para una mejor comprension de los temas tratados en el presente cuaderno asu-mimos que el lector esta familiarizado con las nociones basicas de la teorıa de gruposy el algebra lineal elemental (veanse por ejemplo [10] y [13]).

El autor desea expresar su agradecimiento a Sandra Patricia Barragan Moreno,colega y amiga, por la digitalizacion del material del presente cuaderno, y a Clau-dia Milena Gallego Joya, discıpula y amiga, por la revision cuidadosa de todo elcontenido.

Oswaldo LezamaDepartamento de Matematicas

Universidad Nacional de ColombiaBogota, Colombia

[email protected]

Capıtulo 1

Anillos y subanillos

Posiblemente junto con los grupos y los espacios vectoriales, los anillos son los obje-tos algebraicos mas importantes. En este capıtulo presentamos su definicion, comotambien algunos de los ejemplos mas conocidos de tal estructura.

1.1. Definicion y ejemplos

Definicion 1.1.1. Sea A un conjunto no vacıo. Se dice que A tiene estructura deanillo, o simplemente que A es un anillo, si en A han sido definidas dos operacionesbinarias internas notadas + y · tales que:

(i) (A,+) es un grupo abeliano.

(ii) (A, ·) es un semigrupo con elemento identidad 1.

(iii) La multiplicacion es distributiva con respecto a la adicion, es decir,

a · (b+ c) = a · b+ a · c(b+ c) · d = b · d+ c · d

}∀a, b, c, d ∈ A.

Si ademas la multiplicacion es conmutativa, es decir,

a · b = b · a , ∀a, b ∈ A,

se dice entonces que (A,+, ·) es un anillo conmutativo.

Observacion 1.1.2. En adelante A denotara un anillo no necesariamente conmuta-tivo, R un anillo conmutativo, 0 el elemento nulo de la adicion, tambien denominadoel cero de A, −a el opuesto aditivo de a ∈ A. Salvo en casos necesarios, omitire-mos el punto de la multiplicacion. El elemento identidad 1 tambien se denomina eluno de A.

1

2 CAPITULO 1. ANILLOS Y SUBANILLOS

Los siguientes ejemplos ponen de manifiesto la gran variedad de anillos (conmu-tativos y no conmutativos) que podemos encontrar.

Ejemplo 1.1.3. Anillos numericos: los numeros enteros Z, los racionales Q,los reales R y los complejos C, con sus operaciones habituales de adicion y multi-plicacion, constituyen ejemplos de anillos. Los denotaremos por (Z,+, ·), (Q,+, ·),(R,+, ·) y (C,+, ·).

Ejemplo 1.1.4. Anillo de endomorfismos de un grupo abeliano: dado ungrupo abeliano (G,+), denotamos por End (G) a su conjunto de endomorfismos:

End (G) := {f : G −→ G|f (a+ b) = f (a) + f (b)}.

Consideremos en End (G) las siguientes operaciones:Adicion: f, g ∈ End (G)

f + g : G −→ G

a 7−→ (f + g) (a) := f (a) + g (a) .

Multiplicacion: f, g ∈ End (G)

f ◦ g : G −→ G

a 7−→ (f ◦ g) (a) := f (g (a))

Es facil comprobar que End (G) bajo estas operaciones constituye un anillo en elcual su elemento nulo es el endomorfismo nulo,

0 : G −→ Ga 7−→ 0

,

y su elemento identidad es la funcion identica de G,

iG : G −→ Ga 7−→ a

El siguiente ejemplo muestra que en general End (G) no es conmutativo. Bastaconsiderar el grupo V definido por

V := {e, a, b, ab} , a2 = b2 = e, ab = ba

y las funciones

Gf−→ G

e 7−→ ea 7−→ ab 7−→ abab 7−→ b

Gg−→ G

e 7−→ ea 7−→ bb 7−→ aab 7−→ ab

1.1. DEFINICION Y EJEMPLOS 3

que resultan ser endomorfismos para los cuales se tiene f ◦ g 6= g ◦ f .

Ejemplo 1.1.5. Anillo de matrices de orden n ≥ 1 sobre un anillo A:denotaremos por Mn (A) al conjunto de todas las matrices cuadradas de tamanon× n, n ≥ 1, con elementos en un anillo A,

Mn (A) := {A = [aij]|aij ∈ A, 1 ≤ i, j ≤ n}.

Definimos en Mn (A) la adicion y multiplicacion de la manera habitual: dadas H =[hij] y B = [bij] en Mn (A), se define

H +B = C = [cij], donde cij := hij + bij,

HB = D = [dij], donde dij :=∑n

k=1 hikbkj.

Notemos que tanto la suma hij + bij como el producto hikbkj son operaciones en A.Veamos que (Mn (A) ,+, ·) es un anillo. La asociatividad de la adicion de matricesse deduce de la propiedad asociativa de la adicion en A. El elemento neutro parala adicion en Mn (A) es la matriz nula notada por 0 y definida por 0 = [oij] dondeoij := 0 para cada 1 ≤ i, j ≤ n , es decir, los elementos de la matriz nula son todosiguales al cero en el anillo A. Cada matrizH = [hij] tiene su opuesta aditiva denotadapor −H y definida por −H := [−hij], donde −hij es el opuesto del elemento hij enA. La conmutatividad de la adicion de matrices se deduce de la conmutatividad dela adicion en A. Demostraremos que la multiplicacion de matrices es una operacionasociativa, es decir, dadas H = [hij], B = [bij], C = [cij] ∈ Mn (A) se cumple que(HB)C = H (BC). En efecto, sea D = [dij] = HB y F = [fij] = DC, entonces

fij =n∑

k=1

dikckj =n∑

k=1

(n∑

m=1

himbmk)ckj =n∑

k=1

n∑m=1

(himbmk)ckj

=n∑

m=1

n∑k=1

him(bmkckj) =n∑

m=1

him(n∑

k=1

bmkckj).

La suma del ultimo parentesis representa el termino (m, j) de la matriz BC, y lasuma

n∑m=1

him(n∑

k=1

bmkckj)

representa el termino (i, j) de la matriz H (BC), lo cual demuestra la igualdad delas matrices (HB)C = H (BC). La matriz denotada por E := [eij], donde eij := 1si i = j, y eij := 0 si i 6= j, es el elemento identidad para la multiplicacion enMn (A) y se conoce como la matriz identica. Las propiedades distributivas dela multiplicacion respecto a la adicion en Mn (A) se deducen de las respectivaspropiedades distributivas en el anillo A. El anillo Mn (A) es no conmutativo salvocuando A es un anillo conmutativo y n = 1.

4 CAPITULO 1. ANILLOS Y SUBANILLOS

Ejemplo 1.1.6. Aplicaciones de un conjunto no vacıo en un anillo: sea(A,+, ·, 1) un anillo y sea X un conjunto no vacıo cualquiera. Denotemos por AX

el conjunto de todas las funciones con dominio X y codominio A. Las operacionessiguientes dan a AX estructura de anillo: sean f : X −→ A, g : X −→ A funcionesde X en A; entonces se definen:

Adicion:

f + g : X −→ A

x 7−→ (f + g) (x) := f(x) + g(x).

Multiplicacion:

f · g : X −→ A

x 7−→ (f · g) (x) := f(x) · g(x).

El cero de AX es la funcion denotada por 0 y que asigna a cada elemento de X elcero del anillo A; el elemento identidad denotado por 1 es la funcion que asigna acada elemento de X el 1 del anillo A. Notemos que AX es conmutativo si, y solo si, Aes un anillo conmutativo. Cuando X = N y A = R, RN es el anillo de sucesionesreales.

Ejemplo 1.1.7. Anillo de los enteros modulo n ≥ 2: consideremos el grupoabeliano (Zn,+) de enteros modulo n, donde Zn = Z/ 〈n〉 :=

{0, 1, 2, . . . n− 1

}.

En Zn se define la multiplicacion de clases por

rs := rs, r, s ∈ Z,

es decir, en terminos del producto del anillo Z; esta operacion esta bien definida, puessi r = r′ y s = s′, entonces rs = r′s′. Es inmediato que (Zn, ·, 1) es un semigrupo conelemento identidad 1. La distributividad de la multiplicacion respecto de la adicionen Zn es consecuencia directa de la distributividad de la multiplicacion respectode la adicion en el anillo Z; lo mismo podemos decir para la conmutatividad de lamultiplicacion. Ası, (Zn,+, ·) es un anillo conmutativo. Si n = 0, entonces

Z0 = Z/ 〈0〉 = {r = {r} |r ∈ Z}

y podemos considerar que Z0 es el mismo anillo Z; cuando n = 1, entonces Z1 =Z/ 〈1〉 = Z/Z =

{0}. En este ultimo caso el anillo Z1 consta de un solo elemento:

la clase cero. Observese que en este anillo el elemento neutro de la adicion coincidecon el elemento identidad de la multiplicacion.

Observacion 1.1.8. Un anillo A se dice que es trivial, o tambien que es nulo, siposee un solo elemento. Una condicion necesaria y suficiente para que un anillo seatrivial es que su elemento nulo coincida con su elemento identidad. En adelante, sino se advierte lo contrario, la palabra anillo indicara anillo no nulo.

1.1. DEFINICION Y EJEMPLOS 5

Definicion 1.1.9. Sea A un anillo, y sea a ∈ A. Se dice que a es un elementoinvertible del anillo A, si existe en A un elemento (unico) denotado por a−1 talque aa−1 = 1 = a−1a. El conjunto de todos los elementos invertibles de un anillo Ase denota A∗, es decir, A∗ := {a ∈ A|a es invertible}.

Proposicion 1.1.10. Si (A,+, ·) es un anillo, (A∗, ·) es un grupo, denominado elgrupo multiplicativo del anillo A, o tambien, el grupo de los elementosinvertibles de A.

Demostracion. Se deja como ejercicio al lector.

Definicion 1.1.11. Sea A un anillo no nulo. Se dice que A es un anillo de di-vision, si todos los elementos no nulos de A son invertibles, es decir, si A∗ =A− {0}. Un cuerpo es un anillo de division conmutativo.

Ejemplo 1.1.12. Para los anillos considerados en los ejemplos anteriores se tienelo siguiente:

(i) Grupos multiplicativos:

Z∗ = {1,−1}; Q∗ = Q−{0}; R∗ = R−{0};C∗ = C−{0}; Z∗n = {x|m.c.d.(x, n) = 1} ;

End (G)∗ = Aut (G) := grupo de automorfismos de G;Mn (A)∗ = GLn (A) := grupo lineal de orden n sobre A;(

AX)∗

= {f : X −→ A|f (X) ⊆ A∗}.

(ii) Anillos de la parte (i) que son cuerpos.

(a) Z no es un cuerpo.

(b) Q es cuerpo.

(c) R es cuerpo.

(d) C es cuerpo.

(e) Zn es cuerpo si, y solo si, n es un numero primo.

(f) End (G) no es cuerpo por no ser conmutativo, en general, tampoco es unanillo de division, pues por ejemplo para el grupo abeliano Z la funcionh : Z −→ Z definida por h (k) = 2k es un elemento de End (Z), h 6= 0,pero h /∈ Aut (G).

(g) Mn (A) no es un cuerpo por no ser conmutativo; tampoco es anillo dedivision a menos que A lo sea y n = 1.

(h) Si |X| ≥ 2, AX no es un anillo de division.

6 CAPITULO 1. ANILLOS Y SUBANILLOS

Si (A,+, ·) es un anillo podemos utilizar todas las propiedades del grupo aditivo(A,+) y las del semigrupo (A, ·). En particular utilizaremos la potenciacion de esteultimo. Sea a un elemento de A, definimos inductivamente las potencias enteras dea como sigue:

a1 := a, an := an−1a, n ≥ 2.Para a 6= 0, a0 := 1 .

Para a ∈ A∗, a−n := (a−1)nn ≥ 1.

Recordemos ademas como se definen los multiplos enteros en el grupo (A,+):

1 · a := a,k · a := (k − 1) a+ a, k ≥ 2,0 · a := 0

(−k) · a := − (ka)

}∀a ∈ A,∀k ∈ Z+.

Proposicion 1.1.13. Dado (A,+, ·, 1) un anillo y a, b, c elementos cualesquiera deA, entonces

(i) a · 0 = 0.

(ii) a (−b) = (−a) b = − (ab).

(iii) (−a) (−b) = ab.

(iv) a (b− c) = ab− ac.

(v) (b− c) a = ba− ca.

(vi) Si m y n son enteros ≥ 1, entonces

(an)m = amn.

(vii) Si A = R es conmutativo, entonces para cada n ≥ 1.

(ab)n = anbn.

Demostracion. Ejercicio para el lector.

Existen anillos en los cuales el producto de elementos no nulos es nulo. Ası porejemplo, en Z6, 2 · 3 = 0 con 2 6= 0 y 3 6= 0.

Definicion 1.1.14. Se dice que un anillo A es un anillo sin divisores de cero,si para cualesquiera elementos a, b ∈ A se cumple

ab = 0 ⇔ a = 0, o, b = 0.

1.2. SUBANILLOS 7

El elemento a ∈ A es un divisor de cero a la derecha si existe b 6= 0, b ∈ A,tal que ba = 0. De manera analoga se definen los divisores de cero a izquierda. Unanillo sin divisores de cero se denomina dominio, si ademas es conmutativo seconoce como dominio de integridad (DI).

Definicion 1.1.15. Sea A un anillo no nulo. Se dice que A cumple la ley cance-lativa a derecha, si para cualesquiera b, c ∈ A y cualquier a 6= 0 en A se cumple

ba = ca⇔ b = c

De manera analoga se define la ley cancelativa a izquierda.

Proposicion 1.1.16. Sea A un anillo.

(i) A es un dominio si, y solo si, A cumple las dos propiedades cancelativas.

(ii) Todo anillo de division es un dominio.

(iii) Todo dominio finito es un anillo de division.

(iv) Zn es dominio de integridad si, y solo si, n es primo.

Demostracion. Las dos primeras propiedades son evidentes.(iii) Sea D un dominio finito. Veamos que D∗ = D−{0}. Puesto que D es finito,

D esta constituido por n elementos distintos, a1, a2,. . . , an. Dado a no nulo en D sepuede afirmar que los siguientes elementos de D son distintos: a1 ·a, a2 ·a,. . . , an ·a,pues, si ai · a = aj · a para i 6= j, entonces (ai − aj) · a = 0 y como D es un dominio,se tendra que ai = aj. Entonces, todo elemento de D debe ser de la forma ai ·a paraalgun ai; en particular 1 = ai · a para algun ai y ası a tiene inverso a izquierda. Demanera similar se prueba que a tiene inverso a derecha, luego a ∈ D∗.

(iv) Consecuencia de (i) y (ii).

1.2. Subanillos

Definicion 1.2.1. Dado (A,+, ·, 1) un anillo y S ⊆ A, S 6= ∅, se dice que S essubanillo de A, si (S,+, ·, 1) tiene estructura de anillo. Un subanillo S de A talque S 6= A se denomina subanillo propio de A.

Es facil comprobar que S es subanillo de A si 1 ∈ S, y para cualesquiera a, b ∈ S,se cumple que a− b, ab ∈ S. El anillo A tiene como subanillo trivial al mismo anilloA.

Ejemplo 1.2.2. (a) Z no tiene subanillos propios.

(b) Z es subanillo propio de Q, R y C.

8 CAPITULO 1. ANILLOS Y SUBANILLOS

(c) Q es un subanillo propio de R y C.

(d) R es subanillo propio de C.

Ejemplo 1.2.3. Sean End (G) el anillo de endomorfismos de un grupo abeliano G yH un subgrupo de G. El conjunto S de endomorfismos f de G tales que f(H) ⊆ H,es un subanillo de End (G).

Ejemplo 1.2.4. Sea Mn (A) el anillo de matrices de orden n sobre un anillo A; sidenotamos por D (A) al conjunto de las matrices diagonales en Mn (A), es decir,

D (A) := {D = [dij] ∈Mn (A) |dij = 0, para i 6= j},

entonces D (A) es un subanillo de Mn (A). El grupo de elementos invertibles delanillo D(A) se denota por Dn(A).

Ejemplo 1.2.5. Dado un anillo cualquiera, el conjunto C (A) de elementos de Aque conmutan (respecto al producto) con todos los elementos de A, es decir,

C (A) := {a ∈ A|ab = ba, para todo b ∈ A}

es un subanillo de A y se denomina el centro de A. Notese que A es conmutativosi, y solo si, C (A) = A.

Ejemplo 1.2.6. Sea AX el anillo de funciones del conjunto X en el anillo A, y seaS un subanillo de A. Entonces S ′ := {f ∈ A|f (X) ⊆ S} es un subanillo de AX .

Ejemplo 1.2.7. Los cuaterniones de Hamilton : consideremos en el anillo delas matrices de orden 2 sobre el cuerpo de los numeros complejos el subconjunto

H :=

{[z w−w z

]|z, w ∈ C

}⊆M2 (C),

donde z = a − bi denota el conjugado del complejo z = a + bi, a, b ∈ R. H es unsubanillo de M2 (C):[

z1 w1

−w1 z1

]−[

z2 w2

−w2 z2

]=

[z1 − z2 w1 − w2

−w1 − w2 z1 − z2

]∈ H,

[z1 w1

−w1 z1

] [z2 w2

−w2 z2

]=

[z1z2 − w1w2 z1w2 + w1z2

−z1w2 + w1z2 z1z2 − w1w2

],

[1 00 1

]∈ H.

Notese que H no es conmutativo:

1.2. SUBANILLOS 9

[i 00 −i

] [0 ii 0

]6=[

0 ii 0

] [i 00 −i

].

Cada elemento no nulo de H es invertible y su inverso esta en H, con lo cual Hresulta ser anillo de division. En efecto, sea

A =

[z w−w z

], z = a1 + b1i, w = a2 + b2i

una matriz no nula en H. Entonces, al menos uno de los numeros reales a1, b1, a2,b2 es no nulo. Esto hace que el determinante de la matriz A sea no nulo:

d = detA = a21 + b21 + a2

2 + b22 6= 0.

A−1 =

[zd

−wd

wd

zd

]∈ H.

Ejemplo 1.2.8. Dominio de enteros gaussianos : el anillo de los enteros esun ejemplo de dominio de integridad que no es un cuerpo. Presentamos aquı otroejemplo. El conjunto Z [i] de los numeros complejos definido por

Z [i] := {a+ bi|a, b ∈ Z}

es un subanillo de C; por tal razon Z [i] es conmutativo y no posee divisores de cero.Sin embargo, Z [i] no es cuerpo ya que 2 ∈ Z [i], pero 2−1 = 1

2/∈ Z [i].

Ejemplo 1.2.9. Si A es un anillo, es claro que la interseccion de cualquier coleccionno vacıa de subanillos de A es un subanillo de A. Sea a ∈ A. La interseccion detodos los subanillos de A que contienen a se denomina subanillo generado pora, el cual denotamos por Z[a], y es el subanillo mas pequeno de A que contiene aa. Queremos presentar los elementos de Z[a] de una manera explıcita. Supongamosinicialmente que a 6= 0. Puesto que 0, 1 ∈ Z[a], entonces en el grupo (Z[a],+, 0) setiene

k · 1 = 1 + 1 + · · ·+ 1︸ ︷︷ ︸k-veces

:= k ∈ Z[a]

0 · 1 = 0 := 0 ∈ Z[a]; 0 ∈ Z(−k) · 1 = − (k · 1) := −k ∈ Z[a]

k ∈ Z+, 1, 0 ∈ A. (1.2.1)

Ademas, como las potencias enteras no negativas de a estan en Z[a], entonces estaranlas combinaciones enteras de estas potencias, es decir, el conjunto

S := {∑n

i=0 kiai|ki ∈ Z, n ≥ 1} ⊆ Z[a].

De otra parte, S es un subanillo de A que contiene a. En efecto, la suma de doselementos de S esta en S, 1 = 1 · 1 ∈ S, y la propiedad distributiva en A junto conla relacion

10 CAPITULO 1. ANILLOS Y SUBANILLOS

(kiai) (kja

j) = kikjai+j

da que el producto de dos elementos de S esta en S. Obviamente a ∈ S. De loanterior se desprende que

Z[a] = {n∑

i=0

kiai|ki ∈ Z, n ≥ 1}, a 6= 0, (1.2.2)

Z[0] = Z[1] = {k · 1 = k|k ∈ Z} . (1.2.3)

y se denomina subanillo primo de A.

Ejemplo 1.2.10. El ejemplo anterior puede ser ampliado a dos o mas elementosa1, . . . , an de tal forma que Z[a1, . . . , an] es el menor subanillo de A que contienea los elementos a1, . . . , an, y consta de todas las sumas finitas con sumandos de laforma

kai111 ai12

2 · · · ai1nn ai21

1 ai222 · · · ai2n

n · · · air11 air2

2 · · · airnn ,

con k ∈ Z, r ≥ 1 e iuv ≥ 0. Notemos que los elementos a1, . . . , an no necesariamenteconmutan ya que A no es conmutativo.

De otra parte, si B es un subanillo de A y a1, . . . , an ∈ A, entonces pode-mos repetir las ideas expuestas anteriormente y construir el menor subanillo deA que contenga al subanillo B y a los elementos a1, . . . , an; este anillo se denota porB[a1, . . . , an] y consta de todas las sumas finitas con sumandos de la forma

k1ai111 ai12

2 · · · ai1nn k2a

i211 ai22

2 · · · ai2nn · · · kra

ir11 air2

2 · · · airnn ,

con kj ∈ B, 1 ≤ j ≤ r. Este subanillo se denomina el subanillo de A generadopor B y a1, . . . , an. Notemos que si kai = aik y aiaj = ajai, para 1 ≤ i, j ≤ n ytodo k ∈ B, entonces cada elemento de B[a1, . . . , an] es una suma finita de sumandosde la forma kai1

1 ai22 · · · ain

n , con k ∈ B e iu ≥ 0, es decir, expresiones polinomicas ena1, . . . , an con coeficientes en B.

1.3. Ejercicios

1. Demuestre la proposicion 1.1.10.

2. Demuestre que Zn es cuerpo, si y solo si, n es un numero primo.

3. Sea A un anillo. Demustre que si |X| ≥ 2, entonces AX no es un anillo dedivision.

4. Demuestre la proposicion 1.1.13.

1.3. EJERCICIOS 11

5. Sean X un conjunto finito no vacıo y 2X su conjunto de partes. Sea ∆ ladiferencia simetrica de conjuntos y ∩ la interseccion. Demuestre que (2X ,∆,∩)es un anillo conmutativo.

6. Sea

Q[√−3] :=

{a+ b

√−3 | a, b ∈ Q

},

donde Q es el anillo de los numeros racionales. Considerense en Q[√−3] las

operaciones habituales de suma y multiplicacion de complejos. Demuestre quebajo estas operaciones Q[

√−3] es un cuerpo.

7. Si R es un anillo conmutativo, demuestre que para cada n ≥ 1

(a+ b)n =n∑

k=0

(nk

)akbn−k,

(nk

)=

n!

(n− k)!k!, a, b ∈ R.

8. Sea p ∈ Z no nulo. Demuestre que

Qp := { apk |a ∈ Z, k ≥ 0}

es un subanillo de Q y coincide con Z[1p].

9. Sean (A,+, ·, 1) un anillo y Q el anillo de endomorfismos del grupo abeliano(A,+). Para cada x ∈ A se define la funcion

fx : A −→ Aa 7−→ xa

Compruebe que para cada x ∈ A, fx ∈ Q. Si F := {fx | x ∈ A}, pruebe ademasque F es un subanillo de Q isomorfo a A (vease el capıtulo 3).

10. Calcule el centro del anillo de cuaterniones.

11. Sea A un anillo y n ≥ 2. Calcule el centro del anillo de matrices Mn(A).

12. Sean X un conjunto no vacıo, A un anillo y f : X → A una funcion biyectiva.Demuestre que las siguientes operaciones convierten a X en un anillo:

x+ y := f−1(f(x) + f(y)), xy := f−1(f(x)f(y)).

13. Sea A un anillo que satisface la siguiente condicion: dado a ∈ A no nulo existeun unico b ∈ A tal que aba = a. Demuestre que:

(i) bab = b.

(ii) A es un anillo de division.

Capıtulo 2

Ideales

En teorıa de anillos se tiene un concepto correspondiente al de subgrupo normal dela teorıa de grupos, y es el de ideal bilatero. Con ideales bilateros se construyen losanillos cociente de manera similar a como se hace en grupos con subgrupos normales.La definicion y las operaciones entre ideales son presentadas en este capıtulo.

2.1. Definicion y ejemplos

Definicion 2.1.1. Dados A un anillo e I un subconjunto no vacıo de A, se diceque:

(i) I es un ideal izquierdo de A, si x − y ∈ I para todo x, y ∈ I, y ademasax ∈ I para todo a ∈ A y todo x ∈ I.

(ii) I es un ideal derecho de A, si x−y ∈ I para todo x, y ∈ I, y ademas xa ∈ Ipara todo x ∈ I y todo a ∈ A.

(iii) I es un ideal bilatero de A, si I es un ideal izquierdo y derecho de A.

Observacion 2.1.2. (i) En un anillo conmutativo R los conceptos anteriores coin-ciden y diremos simplemente que I es un ideal de R.

(ii) En un anillo A, tanto A como el conjunto 0 := {0} son ideales bilateros deA, denominados los ideales bilateros triviales del anillo A.

Proposicion 2.1.3. Sea A un anillo e I un ideal derecho (izquierdo, bilatero) quecontiene un elemento invertible de A, entonces I = A.

Demostracion. Sea x ∈ A∗ ∩ I, entonces xx−1 = 1 ∈ I; de aquı se obtiene que paratodo y ∈ A, 1y = y ∈ I, es decir, A ⊆ I y por lo tanto I = A.

12

2.1. DEFINICION Y EJEMPLOS 13

Corolario 2.1.4. Si A es un anillo de division, entonces los unicos ideales derechos(izquierdos, bilateros) de A son los triviales. Recıprocamente, si un anillo A poseesolo dos ideales derechos (o tambien, solo dos ideales izquierdos), entonces A es unanillo de division.

Demostracion. Sea I un ideal derecho no nulo del anillo de division A, entoncesexiste x ∈ I ⊆ A, x 6= 0; esto indica que x ∈ I es invertible y, por la proposicion2.1.3, I = A. La demostracion para ideales izquierdos es identica. La afirmacionpara ideales bilateros es consecuencia de lo anterior.

Sea ahora A un anillo cuyos unicos ideales derechos son los triviales. Para x 6= 0en A, el conjunto xA : = {xa | a ∈ A} es un ideal derecho de A; ademas este ideal esno nulo y, por lo tanto, xA = A; se obtiene que 1 ∈ A ⊆ xA; esto significa que existex′ ∈ A tal que xx′ = 1. Observese que x′ es no nulo y ademas x′A = A. Existe puesx′′ ∈ A tal que x′x′′ = 1 y xx′x′′ = x, lo cual implica que x′′ = x, es decir, x ∈ A∗.Se ha probado que cada elemento no nulo de A es invertible, es decir, A es un anillode division. La demostracion para ideales izquierdos es analoga.

Observacion 2.1.5. Si un anillo A tiene solo dos ideales bilateros no se puedeafirmar que A sea un anillo de division, como se vera a continuacion.

Ejemplo 2.1.6. Ideales del anillo de matrices Mn(A): sean A un anillo y Mn(A) suanillo de matrices de orden n. Para I un ideal bilatero de A, el conjunto denotadopor

Mn(I) := {F = [aij] | aij ∈ I}

es un ideal bilatero de Mn(A). En efecto, Mn(I) 6= ∅ pues 0 ∈ Mn(I); dadas H =[hij], B = [bij] ∈Mn(I), entonces H −B = C = [cij] ∈Mn(I), ya que cij = hij − bijesta en I, para todo i, j, 1 ≤ i, j ≤ n. Ademas, paraH ∈Mn(I) yD = [dij] ∈Mn(A)se cumple que HD = F = [fij] ∈Mn(I). En efecto,

fij =n∑

k=1

hikdkj ∈ I,

pues I es un ideal derecho y entonces hikdkj ∈ I para cada k, 1 ≤ k ≤ n; por tanto,la suma fij ∈ I. Analogamente, DH ∈Mn(I).

Se ha probado que cada ideal bilatero I del anillo A determina en Mn(A) el idealbilatero Mn(I). Probemos ahora el recıproco, es decir, que cada ideal bilatero J deMn(A) determina en A un ideal bilatero I tal que J es precisamente Mn(I). Enefecto, consideremos el conjunto

Iij := {a ∈ A|Eija ∈ J },

14 CAPITULO 2. IDEALES

donde Eija denota la matriz de orden n cuya unica entrada no nula es la correspon-diente a la interseccion de la fila i y la columna j, en la cual esta el elemento a. Sia = 1, dicha matriz se denota simplemente por Eij. Para este tipo de matrices esfacil demostrar que

EijaElkb =

{0, si j 6= l

Eikab, si j = l.

Veamos que Iij es un ideal bilatero de A. Iij 6= ∅ ya que 0 ∈ J ; dados x, y ∈ Iijentonces Eijx,Eijy ∈ J , y como J es ideal bilatero, entonces Eijx−Eijy = Eij(x−y) ∈ J , de donde x − y ∈ Iij. De otra parte, para a ∈ A y x ∈ Iij, se tiene queEijx ∈ J , Ejja, Eiia ∈ Mn(A), y por lo tanto, EijxEjja = Eijxa ∈ J ; tambien,EiiaEijx = Eijax ∈ J , de donde xa, ax ∈ Iij.

Probemos ahora que

J = {H = [hij] | aij ∈ Iij}.

Sea H = [hij] tal que hij ∈ Iij para cada par de ındices 1 ≤ i, j ≤ n, H puedeescribirse de la forma

H =n∑

i,j=1

Eijhij,

donde se tiene que Eijhij ∈ J , luego H ∈ J . De otro lado, dada H = [hij] ∈ J ,mostraremos que una entrada cualquiera hlk de H esta en Ilk. En efecto,

EllHEkk = Elkhlk ∈ J ,

de donde hlk ∈ Ilk.Se desea mostrar finalmente que todos los ideales Iij, 1 ≤ i, j ≤ n, coinciden.

Fijemos dos ındices i, j y probemos que Iij = Iir para todo r. Dado x ∈ Iij se cumpleque Eijx ∈ J , y por lo tanto, EijxEjr = Eirx ∈ J , luego x ∈ Iir, es decir, Iij ⊆ Iir.Simetricamente, Iir ⊆ Iij. En forma analoga, Isj = Iij para 1 ≤ s ≤ n. Resulta puesque Iij = I y

J = {H = [hij] |hij ∈ Iij} = Mn(I).

Se ha demostrado ası que los ideales bilateros de Mn(A) son de la forma Mn(I),donde I es un ideal bilatero de A.

Ejemplo 2.1.7. Ideales bilateros del anillo de matrices sobre un anillo de divisionA: para n ≥ 2, sea Mn(A) el anillo de matrices sobre un anillo de division A. Segunel ejemplo 2.1.6 , Mn(A) tiene solo dos ideales bilateros: los trivilaes Mn (0) = 0 yMn(A). Sin embargo, Mn(A) no es un anillo de division ya que la matriz E11 es nonula y no es invertible.

2.2. OPERACIONES CON IDEALES 15

Definicion 2.1.8. Un anillo A se dice simple si los unicos ideales bilateros de Ason los trivilaes, 0 y A.

Corolario 2.1.9. Sea R un anillo conmutativo. R es un cuerpo si, y solo si, R essimple.

Demostracion. Consecuencia directa del corolario 2.1.4.

Ejemplo 2.1.10. Ideales del anillo Z: si I es un ideal de Z, entonces I es un subgrupode (Z,+, 0) y, por lo tanto, esta conformado por los multiplos de algun entero nonegativo n, es decir, I es de la forma nZ. Es claro que cada uno de estos conjuntoses un ideal de Z.

Ejemplo 2.1.11. Ideales de los anillos Q, R y C: puesto que Q, R y C son cuerpos,sus unicos ideales son los triviales.

Ejemplo 2.1.12. Sean A un anillo, Mn(A) su anillo de matrices y

J := {H = [hij] |hij = 0, para j 6= 1}.

Entonces I es un ideal izquierdo no derecho de Mn(A). Con i 6= 1 se construye enforma similar un ideal derecho no izquierdo.

Ejemplo 2.1.13. Sean AX el anillo de funciones de X en un anillo A e I un idealbilatero (izquierdo, derecho) de A. Entonces

IX :={f ∈ AX | f (X) ⊆ I

}es un ideal bilatero (izquierdo, derecho) de AX .

2.2. Operaciones con ideales

Analogamente a como se hace con los subgrupos de un grupo, es posible definiroperaciones entre los ideales de un anillo.

Definicion 2.2.1. Si A es un anillo e {Ii}i∈I es una familia de ideales izquierdosde A, la interseccion

⋂i∈I Ii es un ideal izquierdo de A, el cual se denomina ideal

interseccion. De manera analoga se define la interseccion de ideales derechos ybilateros.

Proposicion 2.2.2. Sean A un anillo, S ⊆ A, S 6= ∅. El ideal izquierdo mas pequenode A que contiene al subconjunto S es la interseccion de todos los ideales izquierdosde A que contienen a S, y se denota por 〈S}, es decir,

〈S} :=⋂S⊆I

I

I es ideal izquierdo de A

16 CAPITULO 2. IDEALES

Demostracion. Evidente a partir de la nocion de interseccion.

Definicion 2.2.3. Dados A un anillo, S ⊆ A, S 6= ∅, al ideal 〈S} se le denominael ideal izquierdo generado por S. El ideal izquierdo I de A se dice que esfinitamente generado, si existe un subconjunto finito S en A tal que 〈S} = I.Ademas, 〈∅} := 0.

De manera analoga se define el ideal derecho generado por S, el ideal bilaterogenerado por S, denotados por {S〉 y 〈S〉, respectivamente.

Proposicion 2.2.4. Sean A un anillo, S ⊆ A, S 6= ∅. El ideal izquierdo generadopor S coincide con el conjunto de sumas finitas de productos de elementos de A conelementos de S.

Demostracion. Denotemos por B al conjunto de las sumas finitas de productos deelementos de A con elementos de S,

B =

{n∑

k=1

aksk | ak ∈ A, sk ∈ S, n ≥ 1

};

probemos pues que 〈S} = B. En efecto, es inmediato que si x, y ∈ B entoncesx− y ∈ B, y que si a ∈ A entonces ax ∈ B; es decir, B es un ideal izquierdo de A.Ademas, notese que S ⊆ B, de donde se deduce que 〈S} ⊆ B.

Sea ahora I un ideal izquierdo de A que contiene a S; entonces I debe contenercada suma de la forma

∑nk=1 aksk, ak ∈ A, sk ∈ S, n ≥ 1, es decir, B ⊆ I. Como

esto es valido para todo ideal izquierdo que contenga a S, entonces

B ⊆⋂S⊆I

I

I es ideal izquierdo de A

= 〈S} .

Proposicion 2.2.5. (i) Sea A un anillo y S ⊆ A, S 6= ∅, entonces

{S〉 =

{n∑

k=1

skak | ak ∈ A, sk ∈ S, n ≥ 1

},

〈S〉 =

{n∑

k=1

akska′k | a′k, ak ∈ A, sk ∈ S, n ≥ 1

}.

(ii) Si R un anillo conmutativo, entonces

〈S} = {S〉 = 〈S〉 .

2.2. OPERACIONES CON IDEALES 17

Demostracion. La demostracion de estas afirmaciones es completamente analoga ala de la proposicion 2.2.4.

Corolario 2.2.6. Dados A un anillo y S = {s1, . . . , sn} ⊆ A entonces

〈s1, . . . , sn} =

{n∑

k=1

aksk | ak ∈ A

},

{s1, . . . , sn〉 =

{n∑

k=1

skak | ak ∈ A

},

〈s1, . . . , sn〉 =

{m∑

k=1

aksika′k | a′k, ak ∈ A, sik ∈ S, m ≥ 1

}.

En particular,

〈x} = Ax = {ax | a ∈ A},

{x〉 = xA = {xa | a ∈ A},

〈x〉 =

{n∑

k=1

akxa′k | a′k, ak ∈ A, n ≥ 1

}.

los cuales se denominan ideal principal izquierdo, derecho y bilatero, respec-tivamente. Cuando A es un anillo conmutativo estos ideales coinciden.

Definicion 2.2.7. Se dice que A es un anillo de ideales principales derechossi todos los ideales derechos de A son principales. De manera similar se definen losanillos de ideales principales izquierdos y de ideales principales bilateros. Sea D undominio de integridad. Se dice que D es un dominio de ideales principales, sicada ideal de D es principal.

Ejemplo 2.2.8. Z es un dominio de ideales principales.

Ejemplo 2.2.9. Todo cuerpo es dominio de ideales principales.

Podemos ahora definir una segunda operacion entre ideales izquierdos, derechosy bilateros.

Definicion 2.2.10. Sea A un anillo e {Ii}i∈C una familia de ideales izquierdos de A,se define la suma de la familia {Ii}i∈C, y se simboliza por

∑i∈C Ii, al ideal generado

por el conjunto⋃

i∈C Ii.

18 CAPITULO 2. IDEALES

Segun la proposicion 2.2.4,

∑i∈C

Ii =

{n∑

k=1

ak | ak ∈⋃i∈C

Ii, n ≥ 1

}.

En particular,

I1 + · · ·+ In =

{n∑

k=1

ak | ak ∈ Ik

}.

Observacion 2.2.11. (i) Notese que si s1, . . . , sn ∈ A, entonces,

〈s1, · · · , sn} = As1 + · · ·+ Asn.

(ii) La suma de una familia de ideales derechos se define en forma analoga, ası comotambien la suma de ideales bilateros.

(iii)∑

i∈C Ii es el ideal izquierdo (derecho, bilatero) mas pequeno de A que con-tiene a cada uno de los ideales izquierdos (derechos, bilateros) de la familia {Ii}i∈C .

Definicion 2.2.12. Si {I1, . . . , In} es una familia finita de ideales izquierdos deun anillo A, se define su producto, y se denota por I1I2 · · · In, al ideal izquierdogenerado por el conjunto

{a1 . . . an | ai ∈ Ii, 1 ≤ i ≤ n}.

De acuerdo con la proposicion 2.2.4,

I1I2 · · · In =

{m∑

k=1

x1k · · ·xnk | xik ∈ Ii, 1 ≤ i ≤ n, m ≥ 1

}.

Observacion 2.2.13. (i) El producto de una familia de ideales derechos o bilaterosse define de manera analoga.

(ii) Notese que cuando I1, . . . , In son ideales izquierdos entonces el productoI1 · · · In esta contenido en In; cuando I1, . . . , In son ideales derechos el productoI1 · · · In esta contenido en I1, cuando I1, . . . , In son ideales bilateros el productoI1 · · · In esta contenido en cada ideal Ii, i = 1, 2, . . . , n.

Definicion 2.2.14. Sea A un anillo e I un ideal izquierdo no nulo de A, se define

I0 := AI1 := I

...In := In−1I, n ≥ 2.

2.2. OPERACIONES CON IDEALES 19

Observacion 2.2.15. La definicion anterior es aplicable tambien a ideales derechosy bilateros no nulos de A. Si I = 0, entonces 0n = 0, para cada n ≥ 1.

Proposicion 2.2.16. Sea A un anillo.

(i) Dados I y J ideales izquierdos de A, el conjunto definido por

(I : J) := {a ∈ A | aJ ⊆ I}

es un ideal bilatero de A y se denomina el cociente de I por J .

(ii) Dados I y J ideales derechos del anillo A, el conjunto definido por

(I : J) := {a ∈ A | Ja ⊆ I}

es un ideal bilatero de A, y se denomina el cociente de I por J .

(iii) En particular, si I es un ideal izquierdo (derecho, bilatero) de A,

Ann(I) := (0 : I)

es un ideal bilatero de I y se denomina el anulador de I.

Demostracion. Realizamos solo la prueba de (i). La prueba de las otras dos afirma-ciones quedan como ejercicio para el lector. (I : J) 6= ∅ ya que 0J = 0 ⊆ I. Si a,a′ ∈ (I : J) y x ∈ A, entonces

(a+ a′) J = aJ + a′J ⊆ IxaJ ⊆ xI ⊆ IaxJ ⊆ aJ ⊆ I.

Proposicion 2.2.17. Sea R un anillo conmutativo y sea I un ideal de R. Se defineel radical de I por

√I := {r ∈ R|rn ∈ I para algun n ≥ 1}.

Entonces,√I es un ideal de R.

Demostracion. La prueba la dejamos a los lectores.

Presentamos a continuacion algunas propiedades de las operaciones definidasanteriormente.

Proposicion 2.2.18. Sean J, I1, . . . , In ideales derechos (izquierdos, bilateros) deA. Entonces,

20 CAPITULO 2. IDEALES

J (I1 + · · ·+ In) = JI1 + · · ·+ JIn(I1 + · · ·+ In) J = I1J + · · ·+ InJ .

Demostracion. Probamos solo la primera identidad. Sea x ∈ J (I1 + · · ·+ In), en-tonces x es de la forma

x =m∑

k=1

bk(a1k + · · ·+ ank)

=m∑

k=1

bka1k + · · ·+ bkank,

lo cual significa que x pertenece a JI1 + · · ·+ JIn, es decir,

J (I1 + · · ·+ In) ⊆ JI1 + · · ·+ JIn.

De otra parte, puesto que para cada 1 ≤ j ≤ n,

Ij ⊆ I1 + · · ·+ In

entonces

JIj ⊆ J (I1 + · · ·+ In)

de donde,n∑

j=1

JIj ⊆ J (I1 + · · ·+ In) .

Proposicion 2.2.19. Sea R un anillo conmutativo y sean I, J ideales de R. En-tonces,

(i) I ⊆√I.

(ii)√√

I =√I.

(iii) Si I ⊆ J , entonces√I ⊆

√J .

(iv)√IJ =

√I ∩ J =

√I ∩

√J .

(v)√I = R ⇔ I = R.

(vi)√I + J =

√√I +

√J .

(vii)√In =

√I, para cada entero n ≥ 1.

(viii)√I +

√J = R ⇔ I + J = R.

2.2. OPERACIONES CON IDEALES 21

Demostracion. La prueba se plantea como ejercicio al lector.

El siguiente ejemplo ilustra en el anillo Z las operaciones definidas en la presenteseccion.

Ejemplo 2.2.20. Sean m y n enteros, entonces:(i) 〈m〉∩〈n〉 = 〈m.c.m. (m,n)〉, en donde m.c.m. denota el mınimo comun multi-

plo. En efecto, si x ∈ 〈m〉 ∩ 〈n〉, entonces x es multiplo de m y n simultanea-mente; por lo tanto, x es multiplo del mınimo comun multiplo de ellos, es decir,x ∈ 〈m.c.m. (m,n)〉. Recıprocamente, si x ∈ 〈m.c.m. (m,n)〉, x ∈ 〈m〉 y x ∈ 〈n〉, dedonde x ∈ 〈m〉 ∩ 〈n〉.

(ii) 〈m〉+〈n〉 = 〈m.c.d. (m,n)〉, en dondem.c.d. denota el maximo comun divisor.Dado x ∈ 〈m〉 + 〈n〉 entonces x = a + b, a ∈ 〈m〉 y b ∈ 〈n〉, es decir, x = km + pn,con k, p ∈ Z. Sea d := m.c.d. (m,n), entonces

d | m y d | n, de donde, d | x,

y ası, x = ds, con s ∈ Z, es decir, x ∈ 〈d〉. Recıprocamente, sea x = ds, como d escombinacion lineal de m y n, digamos d = wm+ zn, con w, z ∈ Z, entonces

x = wms+ zns ∈ 〈m〉+ 〈n〉.

(iii) 〈m〉 〈n〉 = 〈mn〉: sea x ∈ 〈m〉 〈n〉; entonces x = a1b1 + · · · + atbt, dondeai ∈ 〈m〉 y bi ∈ 〈n〉 con i = 1, 2, . . . , t. Entonces, x = k1ms1n + · · · + ktmstn, conki, si ∈ Z y por lo tanto, x ∈ 〈mn〉. Recıprocamente, si x ∈ 〈mn〉, entonces x = kmn,con k ∈ Z, de donde x = kmn ∈ 〈m〉 〈n〉.

(iv) 〈m〉k=⟨mk⟩, m 6= 0, k ≥ 0. Esto es consecuencia directa de (iii).

(v) (〈m〉 : 〈n〉): si n = 0, entonces evidentemente (〈m〉 : 0) = Z. Sea entonces n 6=0. Si m = 0, entonces claramente (0 : 〈n〉) = 0. Considerese entonces que tambien

m 6= 0. En este caso probaremos que (〈m〉 : 〈n〉) =⟨md

⟩, donde d = m.c.d. (m,n).

Sabemos que d es combinacion entera de m y n, es decir, existen k1, k2 ∈ Z talesque d = k1m + k2n. Sea x ∈ (〈m〉 : 〈n〉); entonces xn ∈ 〈m〉 y existe t ∈ Z, tal quexn = tm. Resulta pues que

dx = k1mx+ k2nx = m (k1x+ k2t),

y de aquı, x =m

d(k1x+ k2t) ∈

⟨md

⟩. De otra parte,⟨m

d

⟩〈n〉 =

⟨mnd

⟩= 〈m〉

⟨nd

⟩⊆ 〈m〉

Hemos entonces probado la igualdad (〈m〉 : 〈n〉) =⟨md

⟩.

(vi)√〈n〉: si n = 0, entonces

√0 = 0; si n = 1, entonces

√Z = Z. Sea n ≥ 2,

entonces sea n = pr11 · · · prt

t la descomposicion de n en factores primos; se tiene que√〈n〉 =

√〈p1〉 ∩ · · · ∩

√〈pt〉 = 〈p1〉 ∩ · · · ∩ 〈pt〉 = 〈p1 · · · pt〉.

22 CAPITULO 2. IDEALES

Ejemplo 2.2.21. Sea A = Mn (Z) el anillo de matrices de orden n ≥ 2 sobre Z. Aes un anillo no conmutativo con divisores de cero cuyos ideales bilateros son todosprincipales: para la notacion que utilizaremos en la prueba de estas afirmacionesremitimos al lector al ejemplo 2.1.6. E11 6= 0, E12 6= 0, E11E12 = E12 6= E12E11 = 0.Sea J un ideal bilatero de A. Sabemos que J = Mn (I), donde I es un ideal de Z;segun el ejemplo 2.1.10, I = 〈m〉, para algun entero m ≥ 0. Notese que J es el idealgenerado por la matriz

E11m =

m 0 · · · 00 0 · · · 0...

......

0 0 · · · 0

En efecto, puesto que E11m ∈ J , entonces 〈E11m〉 ⊆ J . Sea B = [bij] una matriz deJ ; B se puede escribir en la forma B =

∑ni,j=1Eijbij, con bij ∈ 〈m〉, 1 ≤ i, j ≤ n.

Para B se tiene entonces que

B =n∑

i,j=1

Eijkijm,

con kij ∈ Z, luego B =∑n

i,j=1 (Ei1kij) (E11m)E1j, y segun el corolario 2.2.6, B ∈〈E11m〉. En resumen, J = 〈E11m〉 y J es principal.

2.3. Ejercicios

1. Demuestre la afirmacion del ejemplo 2.1.12.

2. Demuestre la proposicion 2.2.5.

3. Complete la demostracion de la proposicion 2.2.16.

4. Demuestre la proposicion 2.2.19.

5. En el anillo Z de los numeros enteros calcule (〈m〉+ 〈n〉)(〈m〉 : 〈n〉).

6. Sean X un conjunto finito no vacıo y 2X su anillo de partes (vease la seccionde ejercicios del capıtulo anterior). Determine un ideal propio y un subanillopropio de 2X . ¿Cual es su grupo de invertibles? ¿Es 2X un anillo de idealesprincipales?

7. Sea A un anillo y S = {x1, . . . , xn} un subconjunto finito no vacıo de A.Demuestre que

2.3. EJERCICIOS 23

〈x1, . . . , xn} = 〈x1}+ . . .+ 〈xn},{x1, . . . , xn〉 = {x1〉+ . . .+ {xn〉,〈x1, . . . , xn〉 = 〈x1〉+ . . .+ 〈xn〉.

Generalice estos resultados para un conjunto no vacıo cualquiera S de A.

8. Sean A un anillo e I1, I2, I3 ideales izquierdos (derechos, bilateros) de A. De-muestre que

(i) I1 ∩ I1 = I1.

(ii) I1 ∩ I2 = I2 ∩ I1.(iii) (I1 ∩ I2) ∩ I3 = I1 ∩ (I2 ∩ I3).(iv) I1 + I1 = I1.

(v) I1 + I2 = I2 + I1.

(vi) (I1 + I2) + I3 = I1 + (I2 + I3).

(vii) I1 + (I1 ∩ I2) = I1.

(viii) I1 ∩ (I1 + I2) = I1.

9. Sean I, J ideales izquierdos de un anillo A y sea e un elemento idempotentede A, es decir, e2 = e. Demuestre que eA ∩ (I + J) = (eA ∩ I) + (eA ∩ J).

10. De un ejemplo de anillo A y elemento x ∈ A tales que Ax ( xA.

11. En el anillo de matrices M3 (Z) calcule:

(i) M3 (〈4〉) ∩M3 (〈6〉).(ii) M3 (〈5〉) +M3 (〈7〉).(iii) M3 (〈2〉)M3 (〈9〉).(iv) M3 (〈11〉)2.

(v) (M3 (〈4〉) : M3 (〈6〉)) .

Generalice los resultados anteriores al anillo Mn (Z), n ≥ 2?

12. Sea R = RN el anillo de sucesiones reales. ¿Son las sucesiones convergentes unsubanillo de R? ¿Son las sucesiones convergentes un ideal de R?

13. Demuestre que el conjunto

A :=

{[a b0 c

]| a, b, c ∈ Z

}

24 CAPITULO 2. IDEALES

de las matrices triangulares superiores es un subanillo de M2 (Z). Describa losideales bilateros de A y generalice los resultados obtenidos a Mn (R), donde Res un anillo conmutativo cualquiera, n ≥ 2.

14. Sea R un anillo conmutativo y sean I, J ideales de R tales que I + J = R.Demuestre que IJ = I ∩ J .

15. Sea A el conjunto de todas las funciones reales infinitamente diferenciablesdefinidas sobre el intervalo −1 < t < 1. Demuestre que A es un anillo y quepara cada n ≥ 1 el conjunto Jn := {f ∈ A|Dk(f)(0) = 0, 0 ≤ k ≤ n} es unideal de A, donde Dk denota la derivada k-esima.

Capıtulo 3

Anillo cociente y homomorfismos

3.1. Definiciones y ejemplos

Sean A un anillo e I un ideal bilatero propio de A. Las estructuras aditivas de estosdos conjuntos permiten definir el grupo cociente A/I, cuyos elementos son las clases

a := a+ I := {a+ x |x ∈ I}, a ∈ A

las cuales operan con la siguiente regla:

a1 + a2 := a1 + a2, a1, a2 ∈ A.

Se define a continuacion sobre A/I una segunda operacion de tal forma que sea unanillo.

Proposicion 3.1.1. Dados A un anillo e I un ideal bilatero propio de A, las opera-ciones + y · definidas a continuacion dotan al conjunto cociente A/I de estructurade anillo:

a1 + a2 := a1 + a2

a1 · a2 := a1 · a2

}∀a1, a2 ∈ A.

Ademas, si A = R es un anillo conmutativo, entonces R/I es un anillo conmutativo.El anillo (A/I,+, ·) se denomina anillo cociente de A por I.

Demostracion. Sabemos que la adicion definida en el enunciado de la proposicionestablece en el conjunto cociente una estructura de grupo abeliano con elemento nonulo 0 = 0 + I, 0 ∈ A. Verifiquemos que el producto esta correctamente definido: sia1 = a2 y b1 = b2, entonces a1 − a2 ∈ I y b1 − b2 ∈ I, de donde (b1 − b2) a2 ∈ I yb1 (a2 − a1) ∈ I. Resulta

b2a2 − b1a2 + b1a2 − b1a1 = b2a2 − b1a1 ∈ I,

25

26 CAPITULO 3. ANILLO COCIENTE Y HOMOMORFISMOS

es decir, b2a2 = b1a1, y por lo tanto b2a2 = b1a1.No es difıcil verificar que 1 = 1 + I es el elemento identidad de A/I (como

I 6= A entonces 1 6= 0). La propiedad asociativa y la distributiva se siguen de lascorrepondientes propiedades del producto en A.

Ejemplo 3.1.2. El anillo Zn de los enteros modulo n corresponde al cociente de Zpor el ideal principal 〈n〉 (vease el ejemplo 1.1.7).

Definicion 3.1.3. Sean A1 y A2 dos anillos. Una funcion f : A1 −→ A2 se dice quees un homomorfismo del anillo A1 en el anillo A2, si se cumplen las siguientescondiciones:

(i) f (a1 + a2) = f (a1) + f (a2),

(ii) f (a1a2) = f (a1) f (a2),

(iii) f (1) = 1,

para cualesquiera a1, a2 ∈ A1.

Proposicion 3.1.4. Para todo homomorfismo de anillos f : A1 −→ A2 se cumplenlas siguientes propiedades:

(i) f (0) = 0.

(ii) f (−a) = −f (a), ∀a ∈ A1.

(iii) f (a1 − a2) = f (a1)− f (a2), ∀a1, a2 ∈ A1.

(iv) Si a ∈ A∗1 entonces f (a) ∈ A∗

2, y ademas f (a−1) = f (a)−1.

Demostracion. Ejercicio para el lector.

Ejemplo 3.1.5. El homomorfismo identico: sea A un anillo, la funcion

iA : A −→ A

a 7−→ a

es un homomorfismo de anillos.

Ejemplo 3.1.6. El homomorfismo canonico: dados A un anillo, I un idealbilatero propio y A/I el anillo cociente de A por I, la funcion definida por

j : A −→ A/I, j (a) := a = a+ I, a ∈ A,

es un homomorfismo de anillos.

3.1. DEFINICIONES Y EJEMPLOS 27

Ejemplo 3.1.7. Dados A un anillo y Mn (A) su anillo de matrices, se tiene elhomomorfismo

f : A −→Mn (A), f(a) = H = [hij],

donde hii = a, para i = 1, 2, . . . , n, y hij = 0 si i 6= j.

Ejemplo 3.1.8. La inclusion canonica : dado A′ un subanillo de A, la funciondefinida por ι : A′ −→ A , ι (a) = a, para cada a ∈ A′, es un homomorfismo deanillos.

Ejemplo 3.1.9. Homomorfismos de Zm en Zn: consideremos los diferentes casosposibles.

(i) Homomorfismos de Z en Z, (m = 0, n = 0): si f : Z −→ Z es un homomor-fismo de anillos, entonces f (1) = 1, con lo cual f (k) = k, para k ∈ Z+; f (0) = 0,f (−k) = −k, para k ∈ Z+. Por lo tanto, el unico homomorfismo de anillos de Z enZ es el identico.

(ii) Homomorfismos de Z en Zn, (m = 0, n ≥ 2): si f : Z −→ Zn es un homo-morfismo de anillos, entonces f (1) = 1; dado k ∈ Z+ existen enteros q, r, tales quek = q · n+ r, 0 ≤ r < n; por lo tanto

f (k) = f (q · n+ r) = f (q) · f (n) + f (r) = f (q) · 0 + f (r) = f (r) = r = k;

ademas, f(0) = 0; y, dado k ∈ Z+, f (−k) = −f (k) = −k = −k. Por lo tanto, elunico homomorfismo de Z en Zn es el canonico: j : Z −→ Zn, j (k) = k.

(iii) Homomorfismos de Zm en Z, (m ≥ 2, n = 0): si f : Zm −→ Z es un ho-momorfismo de anillos, entonces f

(1)

= 1, f (m) = f(0)

= 0 = f(1 + · · ·+ 1

)=

1 + · · · + 1 = m; esta contradiccion conduce a que no existe ningun homomorfismode anillos de Zm en Z.

(iv) Homomorfismos de Zm en Zn, (m ≥ 2, n ≥ 2): si f : Zm −→ Zn es unhomomorfismo de anillos, entonces f

(1)

= 1, f (m) = 0 = f(1 + · · ·+ 1

)= 1 +

· · ·+1 = m; esto implica que n debe dividir a m. Es decir, si existe un homomorfismode Zm en Zn, entonces n | m. El homomorfismo f es unico, y esta definido por f

(k)

= k.

Definicion 3.1.10. Sea f : A1 −→ A2 un homomorfismo de anillos.

(i) El subconjunto de A1 definido por

ker (f) := {a ∈ A1 | f (a) = 0}

se denomina el nucleo del homomorfismo f .

(ii) El subconjunto de A2 definido por

28 CAPITULO 3. ANILLO COCIENTE Y HOMOMORFISMOS

Im (f) := {f (a) | a ∈ A1}

se denomina la imagen del homomorfismo f .

(iii) Si X ⊆ A1, entonces

f (X) := {f (x) | x ∈ X}

se denomina la imagen de X mediante f .

(iv) Si Y ⊆ A2, entonces

f−1 (Y ) := {a ∈ A1 | f (a) ∈ Y }

se denomina la imagen inversa de Y mediante f .

(v) Se dice que un homomorfismo es inyectivo si se cumple

f (a1) = f (a2) ⇔ a1 = a2,

para cualesquiera a1, a2 ∈ A1.

(vi) Se dice que un homomorfismo es sobreyectivo si Im (f) = A2.

(vii) Se dice que f es un isomorfismo de anillos si f es un homomorfismo inyec-tivo y sobreyectivo. En tal caso se dice que A1 es isomorfo a A2, lo cual seescribe A1

∼= A2.

Las siguientes afirmaciones son consecuencia directa de la definicion anterior ylas pruebas de ellas las dejamos al lector.

Proposicion 3.1.11. Sea f : A1 −→ A2 un homomorfismo de anillos.

(i) ker (f) = f−1 (0) es un ideal bilatero de A1.

(ii) Im (f) = f (A1) es un subanillo de A2.

(iii) f es inyectivo ⇔ ker (f) = 0.

(iv) Si g : A2 −→ A3 es un homomorfismo de anillos, entonces la funcion com-puesta gf : A1 −→ A3 es tambien un homomorfismo de anillos.

(v) f es un isomorfismo si, y solo si, existe g : A2 −→ A1 tal que gf = iA1 yfg = iA2. Ademas, g es unico para f y es tambien un isomorfismo; g es elisomorfismo inverso de f y se denota por f−1.

3.2. TEOREMAS DE HOMOMORFISMO E ISOMORFISMO 29

Ejemplo 3.1.12. No existe ningun homomorfismo de R en Z. Probemos algo masgeneral: todo homomorfismo de anillos f : K −→ A, dondeK es un anillo de divisiony A es un anillo, debe ser inyectivo. En efecto, segun la proposicion 3.1.11, ker (f) esun ideal de K y como f (1) = 1 6= 0, entonces ker (f) = 0, con lo cual f es inyectivo.

En particular si f : R −→ Z es un homomorfismo, entonces Im (f) es un sub-anillo de Z, pero como Z no tiene subanillos propios, luego f es un isomorfismo, encontradiccion con el hecho de que Z no es un cuerpo.

Observacion 3.1.13. El concepto de isomorfismo en algebra, y en particular enteorıa de anillos, es fundamental. Su importancia radica en que si A1 y A2 son dosanillos isomorfos, entonces todas las propiedades del anillo A1 que dependen de susoperaciones son validas en A2. Dos anillos isomorfos seran entonces consideradoscomo iguales; la funcion que establece el isomorfismo se podra considerar como unduplicador de propiedades. Observese ademas que la relacion ser isomorfo es unarelacion de equivalencia.

3.2. Teoremas de homomorfismo e isomorfismo

Definicion 3.2.1. Se dice que el anillo A2 es una imagen homomorfa del anilloA1, si existe un homomorfismo sobreyectivo de A1 en A2.

El siguiente teorema permite caraterizar las imagenes homomorfas de un anillodado.

Teorema 3.2.2 (Teorema fundamental de homomorfismo). Sean A un anilloy A0 una imagen homomorfa de A. Entonces, existe un ideal bilatero propio I de Atal que

A0∼= A/I.

Recıprocamente, para cada ideal bilatero propio I de A el cociente A/I es una imagenhomomorfa de A.

Demostracion. Sea f : A −→ A0 un homomorfismo sobreyectivo, y sea I = ker (f)su nucleo. Entonces, la correspondencia

f : A/I −→ A0

a 7−→ f (a) a = a+ I

es un isomorfismo de anillos. En efecto, f es una funcion ya que si a y b son elementosde A tales que a = b entonces (a− b) ∈ I = ker (f), con lo cual f (a) = f (b). f esun homomorfismo de anillos ya que f

(a+ b

)= f (a) + f

(b), f(ab)

= f (a) f(b)

y

f(1)

= 1, para cualesquiera a, b ∈ A. f resulta sobreyectivo ya que f lo es. Notese

30 CAPITULO 3. ANILLO COCIENTE Y HOMOMORFISMOS

finalmente que a ∈ ker(f)

sii f (a) = 0 sii f (a) = 0 si, y solo si, a ∈ ker (f) si,

y solo si, a = 0. Tenemos pues que ker(f)

={0}

= 0. La segunda afirmacion esconsecuencia del hecho que el homomorfismo canonico j definido en el ejemplo 3.1.6es sobreyectivo.

Ejemplo 3.2.3. Imagenes homomorfas de Z: como los ideales de Z son de la forma〈n〉 con n ≥ 0, entonces las imagenes homomorfas de Z, salvo isomorfismos, son Zy Zn, con n ≥ 2.

Ejemplo 3.2.4. Imagenes homomorfas del anillo de matrices Mn (A), n ≥ 2: segunel teorema fundamental de homomorfismo, las imagenes homomorfas de Mn (A) sonde la forma Mn (A) /J , donde J es un ideal bilatero propio de Mn (A); pero talesideales son de la forma Mn (I), con I ideal bilatero propio de A. Probaremos ahoraque

Mn (A) /Mn (I) ∼= Mn (A/I).

La funcion

f : Mn (A) −→ Mn (A/I)

F = [aij] 7−→ F =[fij

] ,

donde fij := fij + I, 1 ≤ i, j ≤ n, es claramente un homomorfismo sobreyectivode anillos. Ademas, la matriz F = [fij] esta en el nucleo de f si, y solo si, fij =0 para cualesquiera ındices i, j; es decir, solamente cuando fij ∈ I, 1 ≤ i, j ≤n. Esto muestra que ker (f) = Mn (I). Resta aplicar el teorema fundamental dehomomorfismo.

En la prueba del teorema de correspondencia haremos uso del punto (ii) de lasiguiente proposicion.

Proposicion 3.2.5. Sea f : A1 −→ A2 un homomorfismo de anillos.

(i) Si A′1 es un subanillo de A1, entonces f (A′

1) es un subanillo de A2. Tambien,si A′

2 es un subanillo de A2, entonces f−1 (A′2) es un subanillo de A1.

(ii) Si I es un ideal bilatero de A1, f (I) es un ideal bilatero de Im (f). Tambien,si J es un ideal bilatero de A2, entonces f−1 (J) es un ideal bilatero de A1 quecontiene el nucleo ker (f) .

(iii) Si I es un ideal bilatero de A1 que contiene al nucleo ker (f), entonces I =f−1 (f (I)) .

(iv) Las afirmaciones de los puntos (ii) y (iii) son validas para los ideales izquierdosy derechos.

3.2. TEOREMAS DE HOMOMORFISMO E ISOMORFISMO 31

Demostracion. Realizamos solo la prueba de la primera parte de (ii) y (iii); las otrasaseveraciones estan a cargo del lector.

(ii) Como f (0) = 0, entonces f (I) no es vacıo. Sean x, y ∈ f (I) y z ∈ Im (f).Entonces, x = f (a), y = f (b), z = f (k) con a, b ∈ I, k ∈ A1; de aquı resultax+ y = f (a+ b), zx = f (ka), xz = f (ak), con lo cual x+ y, zx, xz ∈ f (I).

(iii) Veamos solamente que f−1 (f (I)) ⊆ I, ya que la otra contenencia siemprese tiene. Sea a ∈ f−1 (f (I)), entonces f (a) ∈ f (I), es decir, existe b ∈ I tal quef (a) = f (b), de donde f (a− b) = 0, lo cual significa que a − b ∈ ker (f) ⊆ I, esdecir, a− b ∈ I con b ∈ I , de donde a ∈ I.

Ejemplo 3.2.6. Consideremos la inclusion canonica de Z en Q:

ι : Z −→ Qm 7−→ m

Z es ideal en Z pero ι (Z) = Z no es ideal en Q. Segun (ii) de la afirmacion anterior,la cuestion radica en que Q 6= Im (f).

Teorema 3.2.7 (Teorema de correspondencia). Sean A un anillo y f : A −→A0 una imagen homomorfa de A; entonces, existe una correspondencia biyectivaentre los ideales bilateros del anillo A que contienen al nucleo de f y los idealesbilateros del anillo A0.

Demostracion. Sean f : A −→ A0 un homomorfismo sobreyectivo I la coleccion detodos los ideales bilateros de A que contienen al nucleo e I0 la coleccion de todoslos ideales bilateros de A0, es decir,

I := {I | I es un ideal bilatero de A, ker(f) ⊆ I}I0 := {J | J es un ideal bilatero de A0},

entonces la correspondencia

f : I −→ I0

I 7−→ f (I) := f (I)

es una biyeccion. En efecto, sean I1 e I2 ideales bilateros de A tales que ker (f) ⊆ I1,

ker (f) ⊆ I2 y f (I1) = f (I2), entonces

I1 = f−1 (f (I1)) = f−1 (f (I2)) = I2.

f es sobreyectiva, pues dado J ideal bilatero de A0, f−1 (J) es un ideal de A

que contiene a ker (f); ademas como f es sobreyectivo f (f−1 (J)) = J , es decir,

, f (f−1 (J)) = J . Una ultima observacion: si I1, I2 ∈ I, entonces

I1 ⊆ I2 ⇔ f (I1) ⊆ f (I2).

Esto completa la prueba del teorema.

32 CAPITULO 3. ANILLO COCIENTE Y HOMOMORFISMOS

Corolario 3.2.8. Sean A un anillo e I un ideal bilatero propio de A. Entonces existeuna correspondencia biyectiva entre los ideales bilateros del anillo A que contienenal ideal I y los ideales bilateros del anillo cociente A/I.

Demostracion. Sea j : A −→ A/I el homomorfismo canonico. Por el teorema decorrespondencia, existe una biyeccion entre la coleccion I de bilateros ideales de Aque contienen al ideal I, y la coleccion I0 de ideales bilateros del cociente A/I, dadapor

j : I −→ I0

I1 7−→ j (I1) := j (I1) = {a | a ∈ I1} := I1/I.

Teorema 3.2.9 (Primer teorema de isomorfismo). Sean A un anillo y f :A −→ A0 una imagen homomorfa de A. Si J es un ideal bilatero propio de A0 eI = f−1 (J), entonces

A/I ∼= A0/J .

Demostracion. Sean f : A −→ A0 un homomorfismo sobreyectivo y j : A0 −→ A0/Jel homomorfismo canonico. Considerese el homomorfismo compuesto f = j ◦ f ;notese que ker

(f)

= ker (j ◦ f) = I; ademas como f es sobreyectivo, entonces porel teorema fundamental de homomorfismo se tiene que

A/I ∼= A0/J .

Corolario 3.2.10. Sea A un anillo y sean I y J ideales bilateros de A tales queI ⊆ J 6= A, entonces

A/J ∼= (A/I) / (J/I).

Demostracion. Sea j : A −→ A/I el homomorfismo canonico, entonces j (J) = J/Ies un ideal propio de A/I, y ademas J = j−1 (J/I). Segun el teorema anterior

A/J ∼= (A/I) / (J/I).

Ejemplo 3.2.11. Imagenes homomorfas de Zm (m ≥ 2): de acuerdo con el teoremafundamental de homomorfismo, las imagenes homomorfas de Zm son de la formaZm/I, donde I es un ideal propio de Zm = Z/ 〈m〉. Segun el teorema de correspon-dencia, I = 〈n〉 / 〈m〉, donde 〈n〉 ⊇ 〈m〉, n 6= 1, es decir, I = 〈n〉, donde n 6= 1 dividea m. El primer teorema de isomorfismo da entonces la forma final de las imageneshomomorfas

3.2. TEOREMAS DE HOMOMORFISMO E ISOMORFISMO 33

Zm/I = (Z/ 〈m〉) / (〈n〉 / 〈m〉) ∼= Z/ 〈n〉 = Zn,

donde n es un divisor de m, n 6= 1.Ilustremos el resultado para m = 6: divisores de 6: 1, 2, 3, 6; ideales de Z6:

〈1〉 / 〈6〉 = Z/ 〈6〉 = Z6 =⟨1⟩〈2〉 / 〈6〉 =

{0, 2, 4

}=

⟨2⟩

〈3〉 / 〈6〉 ={0, 3}

=⟨3⟩

〈6〉 / 〈6〉 ={0}

=⟨0⟩

Imagenes homomorfas de Z6: (Z/ 〈6〉) / (〈2〉 / 〈6〉) ∼= Z2

(Z/ 〈6〉) / (〈3〉 / 〈6〉) ∼= Z3,(Z/ 〈6〉) / (〈6〉 / 〈6〉) ∼= Z6.

Por lo expuesto al principio se observa que Zm es un anillo conmutativo, even-tualmente con divisores de cero, y cuyos ideales son todos principales.

Teorema 3.2.12 (Segundo teorema de isomorfismo). Sean A un anillo, S unsubanillo de A e I un ideal bilatero propio de A. Entonces,

(i) S ∩ I es un ideal bilatero propio de S.

(ii) S + I := {s+ a | s ∈ S, a ∈ I} es un subanillo de A que contiene a I comoideal bilatero propio.

(iii) S/ (S ∩ I) ∼= (S + I) /I

Demostracion. (i) y (ii) son verificables de manera inmediata.(iii) Consideremos el homomorfismo

f : S −→ (S + I) /Is 7−→ f (s) := s = s+ I

Se puede comprobar que f es sobreyectivo y que ker (f) = S ∩ I, de donde, por elteorema fundamental de homomorfismos, se concluye que

S/ (S ∩ I) ∼= (S + I) /I.

Cerramos este capıtulo con el concepto de caracterıstica de un anillo.

Ejemplo 3.2.13. Caracterıstica de un anillo: sea A un anillo cualquiera y

Z[1] = {k · 1 | k ∈ Z, 1 ∈ A}

el subanillo primo de A. La funcion

34 CAPITULO 3. ANILLO COCIENTE Y HOMOMORFISMOS

f : Z −→ Ak 7−→ k · 1

es homomorfismo de anillos con imagen Z[1]. Se dice que A es de caracterısticacero si ker (f) = 0, es decir, k · 1 = 0 si, y solo si, k = 0. En otras palabras, A es decaracterıstica 0 si, y solo si, el subanillo primo de A es isomorfo a Z. Si ker (f) = 〈n〉,n ≥ 2, entonces se dice que A es de caracterıstica n, es decir, k ·1 = 0 si, y solo si,n | k. Ası, A es de caracterıstica n si, y solo si, el subanillo primo de A es isomorfoa Zn. Notese que Z, Q, R, C son de caracterıstica cero, y Zm es de caracterıstica m,m ≥ 2. La caracterıstica de un anillo A se denota por char(A).

3.3. Ejercicios

1. Demuestre la proposicion 3.1.4.

2. Demuestre la proposicion 3.1.11.

3. Sea f : A1 −→ A2 un homomorfismo de anillos y sean {Ii}i∈C, {Jj}j∈Dfamilias de ideales izquierdos (derechos, bilateros) de A1 y A2, respectivamente.Demuestre que:

(i)∑

j∈D f−1 (Jj) ⊆ f−1

(∑j∈D Jj

). Si Jj ⊆ Im (f) para cada j ∈ D, la

igualdad se cumple.

(ii) Si f es sobreyectivo, entonces∑

i∈C f (Ii) = f(∑

i∈C Ii).

(iii) f−1(⋂

j∈D Jj

)=⋂

j∈D f−1 (Jj).

(iv) f(⋂

i∈C Ii)⊆⋂

i∈C f (Ii). Si ker(f) ⊆ Ii para cada i ∈ C, se tiene laigualdad.

4. Sean R y S anillos conmutativos y sea f : R −→ S un homomorfismo deanillos: Sean I1, I2 ideales de R y sean J1, J2 ideales de S. La imagen de I1a traves de f no es siempre un ideal de S, sea Ie

1 = 〈f (I1)〉 = Sf (I1) elideal en S generado por f (I1), se dice que Ie

1 es la extension del ideal I1en S. De otra parte, sabemos que f−1 (J1) es un ideal de R, y se denominala contraccion de J1 en R. La contraccion del ideal J1 se denota por J c

1 .Demuestre las siguientes propiedades:

(a) Iec1 ⊇ I1, J

ce1 ⊆ J1.

(b) Iece1 = Ie

1 , Jcec1 = J c

1 .

(c) (I1 + I2)e = Ie

1 + Ie2 , (J1 + J2)

c ⊇ J c1 + J c

2 .

(d) (I1 ∩ I2)e ⊆ Ie1 ∩ Ie

2 , (J1 ∩ J2)c = J c

1 ∩ J c2 .

3.3. EJERCICIOS 35

(e) (I1I2)e = Ie

1Ie2 , (J1J2)

c ⊇ J c1J

c2 .

(f) (I1 : I2)e ⊆ (Ie

1 : Ie2), (J1 : J2)

c ⊆ (J c1 : J c

2).

(g)(√

I1)e ⊆√Ie

1 ,(√

J1

)c=√J c

1 .

5. Determine (si existen!) todos los homomorfismos de anillo de

(i) Z en Q, R, C, H.

(ii) Q en Z, Q, R, C, H, Zn, n ≥ 2.

(iii) R en Z, Q, Zn, n ≥ 2.

(iv) C en Z, Q, R, Zn, n ≥ 2.

(v) H en Z, Q, R, C, Zn, n ≥ 2.

(vi) Zn, n ≥ 2, en Q, R, C, H.

6. Demuestre que si A es un anillo sin divisores de cero, entonces char(A) es ceroo un primo p.

7. Si B un subanillo de A demuestre que ambos tienen la misma caracterıstica.

8. Demuestre que char(AX) = char (A) = char(Mn

(AX)), para cada anillo A,

X 6= ∅ y n ≥ 1.

9. Calcule todas las imagenes homomorfas deMn(Zm), n ≥ 2, conm = 0 om ≥ 2.

Capıtulo 4

Producto de anillos

4.1. Definicion y propiedades elementales

Dada una familia finita de anillos {A1, . . . , An}, podemos definir sobre el conjuntoproducto cartesiano A1×· · ·×An una estructura de anillo a partir de las estructurasaditiva y multiplicativa de A1, . . . , An. En efecto, el conjunto A1 × · · · × An constade n-plas (a1, . . . , an) de elementos con ai ∈ Ai, 1 ≤ i ≤ n; dos de tales n-plas(a1, . . . , an) y (b1, . . . , bn) son iguales si, y solo si, ai = bi para cada 1 ≤ i ≤ n. Laadicion y multiplicacion se definen por componentes:

(a1, . . . , an) + (b1, . . . , bn) := (a1 + b1, . . . , an + bn)(a1, . . . , an) (b1, . . . , bn) := (a1b1, . . . , anbn),

en donde las sumas y productos de la derecha son en general diferentes y se realizanen los respectivos anillos A1, . . . , An.

Dejamos al lector la comprobacion de que las operaciones definidas anteriormentedan al producto una estructura de anillo. Este anillo sera denotado por A1×· · ·×An,o por

∏ni=1Ai, y se denomina anillo producto de la familia {A1, . . . , An}, n ≥ 1.

Notemos que el elemento cero del anillo producto es la n-pla

0 := (0, . . . , 0).

Analogamente, el uno es la n-pla

1 := (1, . . . , 1).

Algunas propiedades inmediatas del anillo producto son las siguientes.

Proposicion 4.1.1. Sea {A1, . . . , An} una familia finita de anillos arbitrarios, n ≥1. Entonces,

(i)∏n

i=1Ai es conmutativo si, y solo si, Ai es conmutativo, para cada 1 ≤ i ≤ n.

36

4.1. DEFINICION Y PROPIEDADES ELEMENTALES 37

(ii) (a1, . . . , an) ∈ (∏n

i=1Ai)∗

si, y solo si, ai ∈ A∗i , para cada 1 ≤ i ≤ n.

(iii) Se tiene el isomofismo de grupos

(∏n

i=1Ai)∗ ∼= A∗

1 × · · · × A∗n.

(iv) Para n ≥ 2, el anillo producto∏n

i=1Ai siempre tiene divisores de cero.

Demostracion. Ejercicio para el lector.

Proposicion 4.1.2. Sea {A1, . . . , An}, n ≥ 1, una familia de anillos. Entonces,

(i) Los ideales izquierdos (derechos, bilateros) del anillo producto∏n

i=1Ai, son dela forma

I1 × · · · × In := {(a1, . . . , an) | ai ∈ Ii},

donde cada Ii es un ideal izquierdo (derecho, bilatero) del anillo Ai.

(ii) Si I1, . . . , In son ideales bilateros propios de A1, . . . , An respectivamente, en-tonces

A1 × · · · × An /I1 × · · · × In ∼= (A1/I1)× · · · × (An/In) .

(iii) Si para cada 1 ≤ i ≤ n, Ai es un anillo de ideales izquierdos (derechos,bilateros) principales, entonces

∏ni=1Ai es un anillo de ideales izquierdos (dere-

chos, bilateros) principales.

Demostracion. Probaremos solo la parte (iii) para el caso bilatero, las demas pruebasquedan como ejercicio para el lector. Si cada Ai es un anillo de ideales bilaterosprincipales, entonces sea I un bilatero de

∏ni=1Ai, segun (i) I es de la forma I =

I1 × · · · × In = 〈a1〉 × · · · × 〈an〉, luego

I = 〈(a1, . . . , an)〉.

En efecto, cada x ∈ 〈a1〉 × · · · × 〈an〉 es de la forma

x =

(m1∑k=1

b(1)k a1c

(1)k , . . . ,

mn∑k=1

b(n)k anc

(n)k

), b

(i)k , c

(i)k ∈ Ai.

Sin perdida de generalidad podemos suponer que m1 = m2 = · · · = mn = m, dedonde

x =m∑

i=1

(b(1)i , . . . , b

(n)i

)(a1, . . . , an)

(c(1)i , . . . , c

(n)i

)∈ 〈(a1, . . . , an)〉 .

38 CAPITULO 4. PRODUCTO DE ANILLOS

Observacion 4.1.3. El producto de anillos se puede extender a una familia arbi-traria no vacıa de anillos definiendo las operaciones por componentes; en particular,notese que el anillo producto de una familia de anillos iguales {Ai}i∈C, Ai := A,coincide con el anillo de funciones de C en A, es decir,∏

i∈C Ai = AC = {f : C −→ A|f es una funcion}.

4.2. Teorema chino de residuos

Para n ≥ 2 y

n = pr11 · · · p

rkk ; pi primo, ri ≥ 1, 1 ≤ i ≤ k,

la descomposicion de n en producto de primos, se tiene el isomorfismo de grupos

Zn∼= Zp

r11× · · · × Zp

rkk.

Puesto que nosotros estamos considerando a Zn como un anillo, preguntamos siel isomorfismo anterior es valido tambien considerando los objetos como anillos.Por medio del torema chino de residuos daremos una respuesta afirmativa a estapregunta.

Teorema 4.2.1 (Teorema chino de residuos). Sea A un anillo y sean I1, . . . , In,n ≥ 2, ideales bilateros de A tales que Ii + Ij = A, para cualesquiera ındices i 6= jEntonces, dada una familia finita de elementos a1, . . . , an ∈ A, existe un elementoa ∈ A, tal que a− ai ∈ Ii para cada 1 ≤ i ≤ n.

Demostracion. Sean I1, I2 ideales de A tales que I1 +I2 = A, y sean a1, a2 elementoscualesquiera de A. Existen elementos b1 ∈ I1, b2 ∈ I2 tales que 1 = b1 + b2. Elelemento a := a2b1 + a1b2 satisface la condicion pedida. En efecto,

a− a1 = a2b1 + a1 (b2 − 1) = a2b1 + a1 (−b1) = (a2 − a1) b1 ∈ I1.

Analogamente, a − a2 ∈ I2. Sean I1, . . . , In y a1, . . . , an ideales y elementos de Aque satisfacen las hipotesis del teorema. Para i ≥ 2 existen xi ∈ I1, bi ∈ Ii tales quexi + bi = 1. Resulta entonces que

∏ni=2 (xi + bi) = 1, y este producto esta en el ideal

I1 +∏n

i=2 Ii. Por lo demostrado para dos ideales, existe z1 ∈ A tal que z1− 1 ∈ I1 yz1 − 0 ∈

∏ni=2 Ii. Pero como

∏ni=2 Ii ⊆ Ii para cada 2 ≤ i ≤ n, entonces resulta

z1 − 1 ∈ I1 y z1 ∈ Ii, para i ≥ 2.

Podemos repetir la prueba para las parejas de ideales (I2,∏

i6=2 Ii), . . . , (In,∏

i6=n Ii),y encontramos elementos z2, . . . , zn ∈ A tales que

zj − 1 ∈ Ij y zj ∈ Ii, para i 6= j.

4.3. EJERCICIOS 39

Comprobemos que el elemento a := a1z1 + · · ·+ anzn satisface la condicion exigida:

a− ai = a1z1 + · · ·+ ai−1zi−1 + ai (zi − 1) + ai+1zi+1 + · · ·+ anzn

Como zj ∈ Ii para i 6= j y zi − 1 ∈ Ii, entonces a− ai ∈ Ii, para 1 ≤ i ≤ n.

Corolario 4.2.2. Sean A e I1, . . . , In como en el enunciado del teorema anterior.Entonces,

(i) La funcion definida por

f : A −→∏n

i=1A/Iia 7−→ f (a) := (a, . . . , a) , con a := a+ Ii

es un homomorfismo sobreyectivo de anillos.

(ii) ker (f) =⋂n

i=1 Ii.

(iii) A/⋂n

i=1 Ii∼=∏n

i=1A/Ii.

Demostracion. Ejercicio para el lector.

Ejemplo 4.2.3. Sea n = pr11 · · · p

rkk , pi primo, ri ≥ 1, 1 ≤ i ≤ k, se tiene entonces el

isomorfismo de anillos

Zn∼= Zp

r11× · · · × Zp

rkk.

En efecto, basta considerar en el corolario anterior,

Ii := 〈prii 〉, 1 ≤ i ≤ k,

y entonces ⋂ni=1 Ii =

⟨m.c.m. {pri

i }ki=1

⟩= 〈n〉.

4.3. Ejercicios

1. Demuestre la proposicion 4.1.1.

2. Demuestre el corolario 4.2.2.

3. Si A1 y A2 son anillos de caracterıstica n1 6= 0 y n2 6= 0, respectivamente,entonces char (A1 × A2) es el mınimo comun multiplo de n1 y n2. De otraparte, si n1 = 0 o n2 = 0, entonces la caracterıstica del anillo producto es cero.

4. Sean A,A1, . . . , Ak anillos tales que

40 CAPITULO 4. PRODUCTO DE ANILLOS

A ∼= A1 × · · · × Ak.

Pruebe el isomorfismo

Mn (A) ∼= Mn (A1)× · · · ×Mn (Ak), n ≥ 1.

5. Determine todos los ideales de Q× Zn, n ≥ 2.

Capıtulo 5

Ideales primos y maximales

5.1. Definiciones y ejemplos

Aunque los conceptos que se introducen a continuacion se estudian por lo generalpara anillos conmutativos, aquı se analizaran en el caso general no conmutativo.

Definicion 5.1.1. Sean A un anillo e I un ideal bilatero propio de A.

(i) Se dice que I es un ideal maximal de A si para cada ideal bilatero J de Ase tiene que

I ⊆ J ⇔ J = I, o, J = A.

(ii) Se dice que I es un ideal completamente primo de A si para cualesquieraa, b ∈ A se cumple que

ab ∈ I ⇔ a ∈ I, o, b ∈ I.

(iii) Se dice que I es un ideal primo de A si para cualesquiera I1 e I2 idealesbilateros de A se tiene que

I1I2 ⊆ I ⇔ I1 ⊆ I, o, I2 ⊆ I.

Proposicion 5.1.2. Sean A un anillo e I un ideal bilatero propio de A.

(i) Si I es completamente primo, entonces I es primo. Ademas, si A = R esconmutativo, la afirmacion recıproca es valida.

(ii) I es completamente primo si, y solo si, A/I no posee divisores de cero. SiA = R es conmutativo, se cumple que

41

42 CAPITULO 5. IDEALES PRIMOS Y MAXIMALES

I es primo si, y solo si, A/I es un dominio de integridad.

(iii) I es maximal si, y solo si, A/I es un anillo simple. Si A = R es conmutativo,se cumple que

I es maximal si, y solo si, R/I es un cuerpo.

(iv) El ideal nulo 0 es completamente primo si, y solo si, A es anillo sin divisoresde cero. En el caso conmutativo, 0 es primo si, y solo si, R es un dominio deintegridad.

(v) El ideal nulo es maximal si, y solo si, A es un anillo simple. En el caso con-mutativo se tiene que

0 es maximal si, y solo si, R es un cuerpo.

(vi) Si I es un ideal maximal de A, entonces I es primo.

(vii) En un dominio de ideales principales todo ideal primo no nulo es maximal.

Demostracion. (i) Sean I completamente primo en A y I1, I2 ideales de A tales queI1I2 ⊆ I, supongase que I1 no esta contenido en I, es decir, existe a ∈ I1, a /∈ I.Sea b un elemento cualquiera de I2, puesto que ab ∈ I1I2 ⊆ I, entonces b ∈ I. Deaquı obtenemos que I2 ⊆ I. Sea ahora R un anillo conmutativo y sean a, b ∈ R talesque ab ∈ I. Entonces, 〈ab〉 = 〈a〉 〈b〉 ⊆ I, con lo cual 〈a〉 ⊆ I, o, 〈b〉 ⊆ I, es decir,a ∈ I, o, b ∈ I.

(ii) Sean a = a + I, b = b + I en A/I. Entonces, ab = 0 implica que ab ∈ I,con lo cual, a ∈ I, o, b ∈ I, es decir, a = 0, o, b = 0. Recıprocamente, si a, b ∈ Ason tales que ab ∈ I, entonces ab = 0, o equivalentemente, ab = 0. Resulta entoncesque a ∈ I, o, b ∈ I. El caso conmutativo es consecuencia directa de que R/I esconmutativo.

(iii) Se obtiene del teorema de correspondencia (vease el teorema 3.2.7). En elcaso conmutativo, anillo simple y cuerpo son conceptos equivalentes.

(iv) Es consecuencia directa de (ii).(v) Es consecuencia directa de (iii).(vi) Sea L un ideal maximal de A y sean I, J ideales bilateros de A tales que

IJ ⊆ L. Supongamos que I * L, entonces existe x ∈ I tal que x /∈ L. El idealbilatero L + 〈x〉 contiene propiamente a L, luego A = L + 〈x〉. Existen y ∈ L yz ∈ 〈x〉 tales que 1 = y + z. Sea w ∈ J , entonces w = yw + zw, con yw ∈ L yzw ∈ IJ ⊆ L, por tanto w ∈ L. Esto prueba que J ⊆ L, con lo cual L es primo.

(vii) Sea I un ideal primo no nulo de R. Existe a 6= 0 en R tal que I = 〈a〉 . Sea Jun ideal de R tal que I ⊆ J ; J es tambien de la forma J = 〈b〉, b ∈ R, b 6= 0. Resulta

5.1. DEFINICIONES Y EJEMPLOS 43

entonces que a = bc, con c ∈ R, es decir, bc ∈ 〈a〉. De aquı obtenemos que b ∈ 〈a〉, o,c ∈ 〈a〉, con lo cual 〈b〉 = 〈a〉, o, c = aa′, a′ ∈ R. En la segunda posibilidad, c = bca′,es decir, c (1− ba′) = 0. Como c 6= 0, entonces b ∈ R∗ y 〈b〉 = R. Ası pues, J = I,o, J = R, e I resulta maximal.

Ejemplo 5.1.3. En Z los ideales primos no nulos y los maximales coinciden. Ellosson de la forma 〈p〉, con p primo. 0 es ideal primo en Z, pero no es maximal.

Ejemplo 5.1.4. Sea m ≥ 2 no primo. Segun el ejemplo 3.2.11, los ideales de Zm

son de la forma 〈n〉 con n | m. Del punto (iii) de la proposicion anterior resulta quelos ideales maximales de Zm son de la forma 〈p〉, p | m, p primo, y segun (ii) dela misma proposicion, estos son tambien los ideales primos. Si m es primo, 0 es elunico ideal maximal y el unico ideal primo de Zm.

Ejemplo 5.1.5. Los ideales maximales del anillo de matrices Mn (A), n ≥ 2, sonde la forma Mn (I) , donde I es un ideal maximal de A. Esto es consecuencia delejemplo 2.1.6.

Ejemplo 5.1.6. Ideales maximales y primos de Mn (Z) , n ≥ 2: de los ejemplos 5.1.3y 5.1.5 obtenemos que los ideales maximales de Mn (Z) son de la forma Mn (〈p〉),con p primo. Observese que el ideal nulo de Mn (Z) es primo y, sin embargo, no esmaximal. En efecto, sean Mn (〈r〉) ,Mn (〈s〉) ideales bilateros de Mn (Z) tales queMn (〈r〉)Mn (〈s〉) ⊆ 0. Teniendo en cuenta que

Mn (〈r〉)Mn (〈s〉) = Mn (〈rs〉),

resulta 〈rs〉 = 0, con lo cual 〈r〉 = 0, o, 〈s〉 = 0. Mostremos ahora que los idealesprimos no nulos coinciden con los maximales: sabemos ya que todo maximal es primo;de otra parte, si p no es primo, existen r, s ∈ Z+, con 1 < r, s < p, tales que p = rs.Se tiene entonces que Mn (〈r〉)Mn (〈s〉) = Mn (〈p〉); pero ni Mn (〈r〉), ni Mn (〈s〉)estan contenidos en Mn (〈p〉) . En efecto, rE11 ∈ Mn (〈r〉), pero rE11 /∈ Mn (〈p〉);sE11 ∈Mn (〈s〉) y sE11 /∈Mn (〈p〉). Resulta entonces que Mn (〈p〉) no es primo.

Ejemplo 5.1.7. Ideales maximales y primos de Mn (Zm) , n,m ≥ 2: supongamosinicialmente que m no es primo. De los ejemplos 5.1.4 y 5.1.5 obtenemos que losideales maximales de Mn (Zm) son de la forma Mn (〈p〉), p | m, p primo. Estos ide-ales coinciden con los primos. En efecto, como todo maximal es primo, veamos queestos son los unicos ideales primos de Mn (Zm): sea Mn

(⟨k⟩)

un ideal de Mn (Zm),con k no primo. Existen entonces 1 < r, s < k tales que k = rs; notese queMn (〈r〉)Mn (〈s〉) = Mn

(⟨k⟩)

, y sin embargo ni Mn (〈r〉), ni Mn (〈s〉) estan con-

tenidos en Mn

(⟨k⟩)

. En efecto, notemos que rE11 /∈ Mn

(⟨k⟩)

y sE11 /∈ Mn

(⟨k⟩)

(en caso contrario r = t · k, 0 ≤ t ≤ m− 1, con lo cual m | (rst− r), y como k | m,existirıa w ∈ Z, tal que rst − r = wrs; de aquı resultarıa que s | 1, lo cual es con-tradictorio. De manera analoga se establece que sE11 /∈Mn

(⟨k⟩)

). Esto demuestra

44 CAPITULO 5. IDEALES PRIMOS Y MAXIMALES

que Mn

(⟨k⟩)

no es primo. Resta observar que el ideal nulo no es primo ya que mno es primo.

Si m es primo, 0 es el unico ideal primo y el unico ideal maximal en Mn (Zm).Comparense estos resultados con el ejemplo 5.1.4.

Ejemplo 5.1.8. Ideal primo no completamente primo: sean A un anillo y Mn (A)su anillo de matrices de orden n ≥ 2. Notese que Mn (A) no posee ideales com-pletamente primos. En efecto, si I 6= A es un ideal bilatero de A tal que Mn (I)es completamente primo, entonces Mn (A) /Mn (I) ∼= Mn (A/I) no posee divisoresde cero; pero cualquier anillo de matrices de orden n ≥ 2 posee divisores de cero.Considerando en particular A = Z, resulta que 0 es primo en Mn (Z), pero no escompletamente primo.

Ejemplo 5.1.9. Ideal maximal no complementamente primo: sean n ≥ 2 y p un pri-mo cualquiera. Segun el ejemplo 5.1.6, Mn (〈p〉) es maximal de Mn (Z), sin embargo,como acabamos de ver, no es completamente primo.

5.2. Comportamiento a traves de homomorfismos

Queremos estudiar ahora el comportamiento de los ideales completamente primos,primos y maximales a traves de homomorfismos.

Proposicion 5.2.1. Sea f : A1 −→ A2 un homomorfismo de anillos, y sean I y Jideales bilateros propios de A1 y A2, respectivamente.

(i) Si f es sobreyectivo, entonces

J es maximal ⇒ f−1 (J) es maximal.

(ii) Si f es sobreyectivo y ker (f) ⊆ I entonces

I es maximal ⇒ f (I) es maximal.

(iii) J es completamente primo ⇒ f−1 (J) es completamente primo.

(iv) Si f es sobreyectivo y ker (f) ⊆ I entonces

I es completamente primo ⇒ f (I) es completamente primo.

(v) Si f es sobreyectivo, entonces

J es primo ⇒ f−1 (J) es primo.

5.2. COMPORTAMIENTO A TRAVES DE HOMOMORFISMOS 45

(vi) Si f es sobreyectivo y ker (f) ⊆ I entonces

I es primo ⇒ f (I) es primo.

Demostracion. Notese inicialmente que f−1 (J) y f (I) son propios.(i) Considerese el homomorfismo compuesto jf :

A1f−→ A2

j−→ A2/J ,

donde j es el homomorfismo canonico, jf es sobreyectivo y con nucleo f−1 (J). Elisomorfismo

A2/J ∼= A1/f−1 (J)

garantiza que A1/f−1 (J) es simple y, en consecuencia, f−1 (J) es maximal.

(ii) El homomorfismo sobreyectivo jf tiene por nucleo I:

A1f−→ A2

j−→ A2/f (I) ,

De esto obtenemos que A1/I ∼= A2/f (I), y ası f (I) es maximal.(iii) Si ab ∈ f−1 (J) entonces f (a) f (b) ∈ J ; esto es, f (a) ∈ J , o, f (b) ∈ J , y

por tanto, a ∈ f−1 (J), o, b ∈ f−1 (J).(iv) Analogo al punto (ii).(v) Sean I1, I2 ideales bilateros de A1, tales que I1I2 ⊆ f−1 (J). Entonces por

la sobreyectividad de f se tiene que f (I1) f (I2) ⊆ J , y f (I1) , f (I2) son idealesbilateros de A2. Como J es primo, f (I1) ⊆ J , o, f (I2) ⊆ J . De aquı resulta

I1 ⊆ f−1 (f (I1)) ⊆ f−1 (J), o, I2 ⊆ f−1 (f (I2)) ⊆ f−1 (J) .

(vi) Sean J1, J2 ideales bilateros de A2 tales que J1J2 ⊆ f (I), entonces f−1 (J1J2)⊆ f−1 (f (I)). Pero f−1 (f (I)) = I. Ademas, f−1 (J1) f

−1 (J2) ⊆ f−1 (J1J2) ⊆ I,y como I es primo, entonces f−1 (J1) ⊆ I, o, f−1 (J2) ⊆ I. Nuevamente, por lasobreyectividad de f se tiene que J1 ⊆ f(I), o, J2 ⊆ f(I). Esto completa la pruebadel punto (vi) y de la proposicion.

Ejemplo 5.2.2. Las restricciones de la proposicion anterior sobre sobreyectividady contenencia del nucleo son sustanciales: consideremos la inclusion canonica de

ι : Z −→ Qk 7−→ k

0 es maximal en Q, pero ι−1 (0) = 0 no es maximal en Z. De otra parte, notese quepara el homomorfismo canonico

ι : Z −→ Z8

k 7−→ k = k + 〈8〉

46 CAPITULO 5. IDEALES PRIMOS Y MAXIMALES

〈7〉 es maximal en Z, pero ι (〈7〉) = Z8. Observese que ker (ι) = 〈8〉 no esta contenidoen 〈7〉.

El ejemplo 5.1.8 pone de manifiesto que no todo anillo posee ideales completa-mente primos; no ocurre ası con los maximales. La prueba de este importante hechose apoya en uno de los supuestos de la teorıa de conjuntos conocido como el lemade Zorn.

Lema 5.2.3 (Lema de Zorn). Sea (P,≤) un conjunto parcialmente ordenado. Sicada subconjunto no vacıo y totalmente ordenado de P tiene cota superior, entoncesen P existe al menos un elemento maximal.

Teorema 5.2.4. Cada anillo posee al menos un ideal maximal.

Demostracion. Sean A un anillo y P el conjunto de ideales bilateros propios de A;notese que P 6= ∅ ya que 0 ∈ P . Respecto a la relacion de inclusion ⊆, P es unconjunto parcialmente ordenado. Sean S un subconjunto totalmente ordenado de Pe

I0 :=⋃

J∈S J

la reunion de los ideales de S. I0 es un ideal bilatero propio de A. En efecto, sia, b ∈ I0 entonces existen ideales bilateros J1, J2 ∈ S tales que a ∈ J1, b ∈ J2, porel orden total podemos suponer por ejemplo que J1 ⊆ J2, con lo cual a + b ∈ J2 ⊆I0. Analogamente, si a ∈ I0 y x ∈ A, existe J ∈ S tal que a ∈ J , de aquı obtenemosque ax, xa ∈ J ⊆ I0. I0 es propio debido a la escogencia de los elementos de P .Evidentemente I0 es cota superior de S. De acuerdo con el lema de Zorn, existe unideal bilatero I en P que es elemento maximal respecto a la inclusion. Puesto que lamaximalidad se definio en terminos de la relacion de inclusion, entonces I es idealmaximal de A.

Corolario 5.2.5. Sea A un anillo. Entonces,

(i) Cada ideal bilatero propio de A esta contenido en un ideal maximal.

(ii) Cada elemento no invertible de R esta contenido en un ideal maximal (R esun anillo conmutativo).

Demostracion. (i) Sea I un ideal bilatero propio de A y A/I el anillo cocientedeterminado por I. Sea J un ideal maximal de A/I. De acuerdo con la proposicion3.2.5 y la proposicion 5.2.1, j−1 (J) es un ideal maximal de A que contiene a I,donde j : A −→ A/J es el homomorfismo canonico.

(ii) Sea x un elemento no invertible de R; entonces 〈x〉 6= R, y por el numeralanterior, 〈x〉 esta contenido en un ideal maximal de R.

5.2. COMPORTAMIENTO A TRAVES DE HOMOMORFISMOS 47

Ejemplo 5.2.6. El anillo de matrices Mn (K) de orden n ≥ 2 sobre un cuerpo Kmuestra que el punto (ii) del corolario anterior no es valido para anillos no conmu-tativos. En efecto, la matriz E11 no es invertible y el unico ideal maximal de Mn (K)es el nulo.

Ejemplo 5.2.7. Anillos conmutativos locales: un anillo conmutativo R se diceque es local si tiene exactamente un ideal maximal. Sea J dicho ideal. Entonces secumple que J = R − R∗, donde R∗ es el grupo de elementos invertibles del anilloR. La igualdad anterior caracteriza a los anillos locales. Mas exactamente, sea R unanillo conmutativo, R es local si, y solo si, R − R∗ es un ideal. En efecto, sea J elmaximal de R y sea x ∈ J , entonces x /∈ R∗ luego x ∈ R − R∗; recıprocamente, six ∈ R−R∗, entonces x /∈ R∗ y en consecuencia x pertenece a algun ideal maximal,pero el unico es J , luego x ∈ J . Hemos probado que J = R−R∗. Supongamos ahoraque R − R∗ es un ideal y veamos que R es local: sea I un maximal de R, entoncesI ⊆ R − R∗, pero como R − R∗ es un ideal propio, entonces I = R − R∗, es decir,R−R∗ es el unico maximal de R.

Ejemplo 5.2.8. De los ejemplos 5.1.4 y 5.2.7 obtenemos que Zm, m ≥ 2, es localsi, y solo si,, m es de la forma m = pk, k ≥ 1, con p primo. El ideal maximal esJ = 〈p〉. Ilustremos estos resultados con p = 2, k = 3:

Z∗8 ={1, 3, 5, 7

}, Z− Z∗8 =

{0, 2, 4, 6

}=⟨2⟩.

Ejemplo 5.2.9. Ideales maximales del anillo producto: sea {A1, . . . , An} una familiafinita de anillos y

∏ni=1Ai su anillo producto. Para cada 1 ≤ i ≤ n, la proyeccion

πi :∏n

i=1Ai −→ Ai

(a1, . . . , an) 7−→ ai

es un homomorfismo sobreyectivo de anillos. Fijemos el ındice i y sea Ii un idealmaximal de Ai. Entonces π−1

i (Ii) = A1× · · · × Ii × · · · ×An, y segun la proposicion5.2.1, este ultimo producto es un ideal maximal de

∏ni=1Ai. Recıprocamente, sea

J un ideal maximal de∏n

i=1Ai. Segun la proposicion 4.1.2, J es de la forma J =I1 × · · · × In, donde Ii es un ideal bilatero de Ai, 1 ≤ i ≤ n. Existe algun i,1 ≤ i ≤ n, tal que Ii 6= Ai, ya que en caso contrario J no serıa propio. Notese quenecesariamente Ij = Aj para cada j 6= i, es decir, J = A1 × · · · × Ii × · · · × An. Enefecto, si para algun j 6= i, Ij 6= Aj , entonces,

J A1 × · · · × Ai × · · · × Ij × · · · × An ∏n

i=1Ai

y J no serıa maximal. Por ultimo J ⊇ ker (πi) = A1 × · · · × 0 × · · · × An y, segunla proposicion 5.2.1, πi (J) = Ii es maximal en Ai. Esto completa la prueba de ladescripcion de los ideales maximales del anillo producto. Observese que

48 CAPITULO 5. IDEALES PRIMOS Y MAXIMALES

A1 × · · · × An/A1 × · · · × Ii × · · · × An∼= Ai/Ii,

para cada ideal propio Ii de Ai, 1 ≤ i ≤ n.Si tomamos en particular una coleccion finita de cuerpos T1, . . . , Tn, entonces∏n

i=1 Ti tiene n ideales maximales: 0×T2×· · ·×Tn, T1×0×· · ·×Tn, T1×T2×· · ·×0;la interseccion de los cuales es nula. Un anillo A es semilocal si su coleccion deideales maximales es finita.

5.3. Ejercicios

1. Sean A un anillo y P un ideal bilatero propio de A. Demuestre que P es primosi, y solo si, para cada par de elementos a, b ∈ A se cumple

aAb ⊆ P ⇔ a ∈ P o b ∈ P .

2. Sean A un anillo y P un ideal bilatero propio de A. Demuestre que P esprimo si, y solo si, para cada par de ideales derechos I, J de A se tiene queIJ ⊆ P ⇔ I ⊆ P o J ⊆ P . Demuestre esta misma propiedad para idealesizquierdos.

3. Sean A un anillo y P un ideal bilatero propio de A. P es primo si, y solo si,para cada par de ideales bilateros I, J de A que contengan propiamente a Pse tiene que IJ * P .

4. Un anillo A es primo si el ideal nulo es primo. Sea I un ideal propio de A.Demuestre que I es primo si, y solo si, A/I es un anillo primo.

5. Sea R un anillo conmutativo y sean P1, . . . , Pn ideales primos de R. (i) Supongaque I es un ideal de R contenido en ∪n

i=1Pi. Pruebe que existe i tal que I ⊆ Pi.(ii) Sean I1, . . . , It ideales de R y sea P un ideal primo de P que contienea ∩t

j=1Ij. Pruebe que existe j tal que P ⊇ Ij. (iii) Si P = ∩tj=1Ij, entonces

pruebe que existe j tal que P = Ij.

6. Sea R un anillo conmutativo en el que cada elemento x satisface la condicionxn = x, para algun n > 1 (dependiente de x). Demuestre que todo ideal primode R es maximal.

7. Sea R un anillo conmutativo. El radical primo de R es la interseccion detodos los ideales primos de R, y se denota por rad(R). Demuestre que rad(R)coincide con la coleccion de elementos nilpotentes de R (r ∈ R es nilpotentesi existe n ≥ 1 tal que rn = 0).

8. Sea R un anillo conmutativo y sea I un ideal de R. Demuestre que√I coincide

con la interseccion de todos los ideales primos de R que contienen I.

Capıtulo 6

Dominios de integridad

Entre los dominios de integridad comunmente encontrados en algebra se destacan losdominios euclidianos, los dominios de ideales principales y los dominios gaussianos(tambien conocidos como dominios de factorizacion unica). Su importancia radicaen la artimetica que se puede desarrollar sobre ellos, conformandose ası un areainteresante de estudio. Nosotros nos limitaremos a presentarlos y a estudiar algunasde sus propiedades mas importantes.

6.1. Definiciones y ejemplos

Definicion 6.1.1. Sea R un dominio de integridad y sean a, b ∈ R con a 6= 0. Sedice que a divide b, o que b es multiplo de a, lo cual denotaremos por a | b, siexiste c ∈ R tal que b = ac.

Ejemplo 6.1.2. En Z, 2 | 6, 2 - 5. En Z7, 2 | 6 y 2 | 5 ya que 6 = 2 · 3, 5 = 2 · 6.

Definicion 6.1.3. Sea R un dominio de integridad (DI) y sean a y b elementos deR. Se dice que a y b son asociados, lo cual escribimos como a ∼ b, si existe u ∈ R∗

tal que a = bu.

Ejemplo 6.1.4. Divisores triviales. Sea R un DI y a un elemento cualquierade R. Los elementos invertibles de R y los elementos asociados con a son divisoresde a, conocidos como los divisores triviales de a.

Definicion 6.1.5. Sea R un DI. Un elemento a no nulo y no invertible de R, sedice irreducible si sus unicos divisores son los triviales.

Ejemplo 6.1.6. En Z, 2 es irreducible, 6 no es irreducible. En un anillo de division,por definicion, no hay elementos irreducibles. Ası pues, en Q, R y C no hay elementosirreducibles.

49

50 CAPITULO 6. DOMINIOS DE INTEGRIDAD

Ejemplo 6.1.7. Consideremos el subconjunto de numeros complejos de la forma

Z[√−3]

:={a+ b

√−3 | a, b ∈ Z

},

Z[√−3]

es un dominio de integridad con las operaciones usuales de adicion y mul-

tiplicacion de complejos. Notese que 2 es un elemento irreducible de Z[√−3], pero

7 no lo es. En efecto, si definimos la norma de z = a+ b√−3 , a, b ∈ Z, por

N (z) := zz =(a+ b

√−3) (a− b

√−3)

= a2 + 3b2

podemos observar que

N (z1z2) = N (z1)N (z2),

para cualesquiera z1, z2 en Z[√−3]. Esto permite determinar los elementos inverti-

bles de Z[√−3]: sea z = a+ b

√−3 ∈ Z

[√−3]∗

, entonces N (zz−1) = N (1) = 1 =N (z)N (z−1); como N (z) es un entero no negativo se obtiene que a2 + 3b2 = 1,con lo cual z = ±1 y Z

[√−3]∗

= {1,−1}.Podemos probar las afirmaciones formuladas antes: sea z = a+ b

√−3 , a, b ∈ Z,

tal que z | 2. Existen entonces a0, b0 ∈ Z tales que 2 =(a+ b

√−3) (a0 + b0

√−3).

De aquı obtenemos 4 = (a2 + 3b2) (a20 + 3b20). Se presentan entonces tres casos:

(i) a2 + 3b2 = 4, a20 + 3b20 = 1,

(ii) a2 + 3b2 = 1, a20 + 3b20 = 4,

(iii) a2 + 3b2 = 2, a20 + 3b20 = 2.

Los dos primeros casos son analogos y veremos solo el primero. El tercero no tienesoluciones en Z. Considerando las posibles formas de descomponer 4 y 1 en suma deenteros no negativos, obtenemos que a = ±1, b = ±1, a0 = ±1, b0 = 0; o tambien,a = ±2, b = 0, a0 = 1, b0 = 0, a = −2, b = 0, a0 = −1, b0 = 0, es decir, los unicosdivisores de 2 son los triviales.

Notese por ultimo que 7 =(2 +

√−3) (

2−√−3), pero 2 +

√−3 y 2−

√−3

no son divisores triviales de 7.

Definicion 6.1.8. Diremos que el elemento no nulo a de R es primo si 〈a〉 es unideal primo.

Proposicion 6.1.9. Sea R un DI y sea a primo, entonces a es irreducible.

Demostracion. En efecto, si 〈a〉 es primo entonces 〈a〉 6= R y ası a /∈ R∗. Sea m ∈ Run divisor de a; entonces a = mn, n ∈ R, y en el cociente R/ 〈a〉 resulta 0 = m · n,con lo cual m = 0, o, n = 0, es decir, m ∈ 〈a〉, o, n ∈ 〈a〉. Se tiene entonces quem = ra, con r ∈ R, o, n = sa, con s ∈ R. En el primer caso a = ran, de donden ∈ R∗. En el segundo caso m ∈ R∗. Ası pues, a es irreducible.

6.2. DOMINIOS GAUSSIANOS 51

Ejemplo 6.1.10. Observese que el recıproco de lo afirmado en la proposicion an-terior no siempre es cierto, como lo muestra el ejemplo anterior: 2 es irreducible enZ[√−3]

pero 〈2〉 no es un ideal primo:(1 +

√−3) (

1−√−3)

= 4 ∈ 〈2〉, pero(1 +

√−3),(1−

√−3)/∈ 〈2〉.

6.2. Dominios gaussianos

Existen dominios como el de los enteros donde es posible efectuar divisiones conresiduo. Este tipo de dominio de integridad conforma una subclase de una clasemas amplia con propiedads aritmeticas importantes como es la clase de los dominiosgaussianos.

Definicion 6.2.1. Sea R un DI; se dice que R es un dominio euclidiano (DE) siexiste una funcion d definida sobre los elementos no nulos de R y tomando valoresenteros no negativos

d : R− {0} −→ N ∪ {0}

tal que:

(i) Para cualesquiera elementos no nulos a, b ∈ R, d (ab) ≥ d (a).

(ii) (Division con residuo) Para cada elemento a ∈ R y cada elemento no nulob ∈ R, existen elementos q, r ∈ R tales que:

a = bq + r, donde r = 0, o, d (r) < d (b) .

Ejemplo 6.2.2. Los numeros enteros Z con la funcion valor absoluto d = | | consti-tuyen un dominio eculidiano: sean a, b enteros no nulos. Entonces |b| ≥ 1, |a| |b| ≥ |a|y |a| ≤ |ab|, verificandose ası la primera condicion de la definicion anterior. Seanahora, a, b enteros con b 6= 0. Distinguiremos dos casos:

Caso 1. b > 0. Consideremos los conjuntos

M := {a− bx | x ∈ Z}, y M+ := {z ∈M | z ≥ 0}.

Notese que M+ 6= ∅. En efecto, si a ≥ 0 entonces a ∈M+. Si a < 0 entonces a ≤ −1,−a ≥ 1, a (−a) ≤ a. Ademas, como b > 0, entonces −b < 0, (−b) (−a2) ≥ −ba,de donde a − b (−a2) ≥ a − ba = a (1− b) ≥ 0 (La ultima desigualdad es cierta yaque b > 0 implica b ≥ 1, 1 − b ≤ 0, a (1− b) ≥ 0). Tomando x = −a2 resulta quetambien en este caso a− b (−a2) ∈M+.

Como el conjunto de los enteros no negativos es bien ordenado, concluimos queM+ tiene un primer elemento r0. Sea q0 ∈ Z tal que r0 = a− bq0. Tenemos entoncesque a = bq0 + r0 con r0 ≥ 0. Supongamos que r0 ≥ b. Entonces, a − bq0 ≥ b,es decir, a − b (q0 + 1) ≥ 0 y ası a − b (q0 + 1) ∈ M+. Por la condicion de r0,a− b (q0 + 1) ≥ r0 = a− bq0, con lo cual −b ≥ 0 y se obtiene una contradiccion.

52 CAPITULO 6. DOMINIOS DE INTEGRIDAD

a = bq0 + r0, donde r0 = 0, o, 0 < r0 < b.

Caso 2. b < 0. Consideremos los conjuntos

N := {bx− a | x ∈ Z} y N+ := {z ∈ N | z ≥ 0}.

Nuevamente N+ es un conjunto no vacıo: si a < 0 entonces −a > 0 y −a ∈ N+.Sea a ≥ 0; como b < 0, entonces b ≤ −1, b (−a2) ≥ (−1) · (−a2) = a2, b (−a2) ≥ 0.Tomando x = −a2 encontramos que b (−a2) − a ∈ N+. Sea t1 el primer elementode N+ y q1 ∈ Z tal que t1 = bq1 − a. Resulta de aquı que a = bq1 − t1 con −t1 ≤ 0.Supongase que −t1 ≤ b, entonces, t1 ≥ −b, bq1 − a ≥ −b, b (q1 + 1) − a ∈ N+ y,por la escogencia de t1, b (q1 + 1) − a ≥ t1 = bq1 − a, es decir, b ≥ 0 lo cual es unacontradiccion. Se tienen pues en este segundo caso enteros q1, t1 tales que

a = bq1 + (−t1), donde −t1 = 0, o, b < −t1 < 0.

De los dos casos considerados resulta que dados a, b ∈ Z con b 6= 0, existen q, r ∈ Ztales que:

a = bq + r, con r = 0, o, |r| < |b|,

cumpliendose ası la segunda condicion de la definicion 6.2.1.

Definicion 6.2.3. Sea R un DI y sean a, b elementos no nulos de R. El elementod ∈ R se dice que es un maximo comun divisor de los elementos a y b, si:

(i) d | a y d | b.

(ii) Cada elemento c ∈ R que divida simultaneamente a y b es tambien un divisorde d.

Esta relacion se denota por d := m.c.d. (a, b).Un mınimo comun multiplo de a y b es un elemento c ∈ R tal que:

(i) a | c y b | c.

(ii) Cada elemento f ∈ R tal que a | f y b | f cumple c | f .

Esta relacion se denota por c := m.c.m. (a, b).

Los conceptos de maximo comun divisor y elemento irreducible cobran especialimportancia en los dominios de ideales principales (DIP ).

Proposicion 6.2.4. Sea R un DIP. Entonces,

(i) Cada par de elementos no nulos a, b ∈ R tienen un maximo comun divisor d,el cual se puede expresar en la forma

6.2. DOMINIOS GAUSSIANOS 53

d = ra+ sb, r, s ∈ R.

(ii) El elemento a 6= 0 de R es irreducible si, y solo si, 〈a〉 es maximal. En conse-cuencia, cada irreducible es primo.

(iii) Para cada elemento irreducible p ∈ R y cualesquiera elementos a, b ∈ R secumple

p | ab implica p | a, o, p | b.

Demostracion. (i) Como R es un DIP , entonces el ideal generado por los elementosa y b es principal y generado por un elemento d ∈ R: 〈a, b〉 = 〈d〉. Veamos qued = m.c.d. (a, b). a, b ∈ 〈d〉 implica que d | a, d | b. Como d ∈ 〈a, b〉, existen r, s ∈ Rtales que d = ra+ sb. Si c ∈ R es tal que c | a, c | b, entonces claramente c | d.

(ii) ⇒) Por definicion de irreducible, a /∈ R∗, con lo cual 〈a〉 6= R. Sea I unideal de R que contiene a 〈a〉; existe entonces b ∈ R tal que I = 〈b〉 ⊇ 〈a〉. Resultaentonces que b | a y, por ser a irreducible, b ∈ R∗ o bien b ∼ a. En el primer caso〈b〉 = R y en el segundo caso 〈b〉 = 〈a〉. Esto prueba que a es maximal.

⇐) Sea a 6= 0 tal que 〈a〉 es maximal. Entonces, a /∈ R∗; si c ∈ R es tal que c | a,entonces 〈c〉 ⊇ 〈a〉. La maximalidad de 〈a〉 implica que 〈c〉 = R, o, 〈c〉 = 〈a〉. En elprimer caso c ∈ R∗, y en el segundo c ∼ a. Esto garantiza que a es irreducible.

(iii) Sean p un irreducible de R y a, b ∈ R tales que p | ab; segun (ii), 〈p〉 esprimo con 〈a〉 〈b〉 = 〈ab〉 ⊆ 〈p〉, es decir, p | a, o, p | b.

Definicion 6.2.5. Sea R un DI. Se dice que R es un dominio gaussiano (DG)si cada elemento no nulo y no invertible a ∈ R cumple las siguientes condiciones:

(i) a tiene una descomposicion en producto de elementos irreducibles de R:

a = p1 · · · pn, pi irreducible de R, 1 ≤ i ≤ n.

(ii) Si a posee otra descomposicion en irreducibles

a = q1 · · · qm, qi irreducible de R, 1 ≤ i ≤ m,

entonces m = n y, despues de una reordenacion de ındices, pi ∼ qi, 1 ≤ i ≤ n.

Observacion 6.2.6. De la definicion anterior se desprende que en un DG dosdescomposiciones del elemento a solo difieren en un factor invertible. En efecto,segun (i) y (ii) de la definicion,

qi = piui, ui ∈ R∗, 1 ≤ i ≤ n;

54 CAPITULO 6. DOMINIOS DE INTEGRIDAD

de aquı resulta entonces que a = q1 · · · qm = p1u1 · · · pnun = (p1 · · · pn)u, dondeu = u1 · · ·un ∈ R∗.

Proposicion 6.2.7. Sea R un DI en el cual se cumplen la condicion (i) de ladefinicion anterior y la condicion (iii) de la proposicion 6.2.4. Entonces, R es unDG. Recıprocamente, en todo DG se cumple la propiedad (iii) de la proposicionmencionada.

Demostracion. La prueba de la primera parte la realizamos por induccion sobreel numero n de factores irreducibles que intervienen en la descomposicion de unelemento a de R, a 6= 0, a /∈ R∗. n = 1: sea a = p = q1 · · · qm, donde p, q1 · · · qm sonirreducibles de R. Si m ≥ 2, entonces por la irreducibilidad de p se debe tener queq1 = pu con u ∈ R∗. Ya que R es un DI resulta entonces que 1 = uq2 . . . qm, conlo cual q2 ∈ R∗. Pero esto es contradictorio, ya que por hipotesis q2 es irreducible.Ası pues, m = 1 y p ∼ q1.

Supongase ahora que la condicion (ii) de la definicion deDG se cumple para todoslos elementos R en cuya descomposicion aparecen menos de n factores irreducibles,n ≥ 2. Sea a ∈ R descompuesto en dos formas en producto de irreducibles

a = p1 · · · pn = q1 · · · qm, pj,qj irreducibles 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m.

Como p1 | q1 (q2 . . . qm), entonces p1 | q1, o, p1 | q2 · · · qm. Resulta entonces quep1 ∼ qi para algun 1 ≤ i ≤ m. Podemos reordenar los irreducibles q1, . . . , qm yconsiderar que p1 ∼ q1. Entonces, p1 · · · pn = (p1u) q2 · · · qm, p2 · · · pn = (uq2) · · · qm,con u ∈ R∗. Puesto que uq2, · · · , qm son irreducibles, entonces, aplicando la hipotesisinductiva, encontramos que n − 1 = m − 1 y p2 ∼ uq2, . . . , pn ∼ qn. En totalp1 ∼ q1, . . . , pn ∼ qn, y la primera parte de la proposicion esta probada.

Sea ahora R un DG y sean p, a, b ∈ R tales que p es irreducible y p | ab. Sia = 0, o, b = 0, entonces p | a o p | b y no hay nada mas que probar. Sean a, bno nulos, podemos asumir tambien que a /∈ R∗, b /∈ R∗. Sean a = p1 . . . pn, b =q1 . . . qm, m, n ≥ 1, las descomposiciones irreducibles de a y b, respectivamente.Entonces, p1 · · · pnq1 · · · qm = pc, c ∈ R. Por la unicidad de las descomposicionesirreducibles existe pi, o, qj tal que p ∼ pi, o, p ∼ qj, es decir, p | a o p | b.

Establecemos ahora la relacion existente entre los tres tipos de dominios deintegridad anteriormente definidos.

Teorema 6.2.8. Todo DE es un DIP.

Demostracion. Sea R un DE con funcion d y sea I un ideal no nulo de R. Sea

d (I) := {d (a) | a ∈ I, a 6= 0}.

6.2. DOMINIOS GAUSSIANOS 55

Puesto que d (I) es un conjunto de enteros no negativos, entonces d (I) tiene unprimer elemento d (a0) , a0 ∈ I, a0 6= 0. Sea a un elemento cualquiera de I. Entonces,a = ma0 + r, con m, r ∈ R, r = 0, o, d (r) < d (a0). Por la escogencia de a0, r debeser nulo y ası, a = ma0. Esto prueba que I = 〈a0〉. Si I = 0, entonces I = 〈0〉 .Resulta pues que R es un DIP .

Teorema 6.2.9. Todo DIP es un DG.

Demostracion. Teniendo en cuenta las proposiciones 6.2.4 y 6.2.7 probaremos solola parte (i) de la definicion de DG. Notese en primer lugar que si R es un DIPentonces cada cadena ascendente de ideales de R

〈a1〉 ⊆ 〈a2〉 ⊆ · · · ⊆ 〈an〉 ⊆ · · ·

se detiene, es decir, existe un n natural tal que 〈ak〉 = 〈an〉, para cada k ≥ n. Enefecto, la reunion

⋃i∈N 〈ai〉 es un ideal de R y por tanto, generado por un cierto

elemento a ∈ R,⋃

i∈N 〈ai〉 = 〈a〉 . Existe entonces un n ∈ N tal que a ∈ 〈an〉; deaquı resulta que 〈a〉 ⊆ 〈an〉 ⊆ 〈a〉 y

⋃i∈N 〈ai〉 = 〈an〉. Para k ≥ n, 〈ak〉 ⊇ 〈an〉 ⊇ 〈ak〉,

es decir, 〈ak〉 = 〈an〉, k ≥ n.Supongamos ahora que existe en R un elemento no nulo y no invertible a que

no tiene descomposicion en producto de elementos irreducibles. Logicamente a noes irreducible (en caso contrario se tendrıa la descomposicion trivial a = a). Exis-ten entonces a1, b1 ∈ R no nulos y no invertibles tales que a = a1b1. Notese que〈a〉 esta contenido propiamente en 〈a1〉. Al menos uno de a1, b1 no es productode elementos irreducibles, sea por ejemplo a1. Aplicando al elemento a1 el mismorazonamiento que para a resulta una cadena infinita de ideales

〈a〉 〈a1〉 〈a2〉 . . .

la cual no se detiene, contradiciendo lo probado al principio de esta demostracion.

La finitud de las cadenas ascendentes de ideales principales introducida en laprueba del teorema 6.2.9 puede ser caracterizada en terminos de maximalidad, comoveremos a continuacion.

Proposicion 6.2.10. Sea R un anillo conmutativo. Entonces, en R cada cadenaascendente de ideales se detiene si, y solo si, en cada coleccion no vacıa de idealesde R hay un elemento maximal.

Demostracion. Sean C una coleccion no vacıa de ideales de R e I1 ∈ C. Si I1 esmaximal en C no hay nada que probar. Sea entonces I2 ∈ C tal que I1 ⊂ I2. Si I2es maximal en C el proceso de busqueda se detiene. En caso contrario continuamosy obtenemos una cadena ascendente de ideales de R. Segun la hipotesis, el procesodebe detenerse, y en C hay un elemento maximal.

De otra parte, si existe una cadena ascendente de ideales de R que no se detiene

56 CAPITULO 6. DOMINIOS DE INTEGRIDAD

I1 I2 · · · In In+1 · · ·

entonces en la coleccion C := {Ii}i∈N no hay un elemento maximal.

Los DG se pueden caracterizar en terminos de los elementos primos.

Proposicion 6.2.11. (i) En un DG cada irreducible p es primo, es decir, primos eirreducibles coinciden.

(ii) Si R es un DI, entonces R es un DG si, y solo si, cada elemento no nulo yno invertible de R es producto finito de elementos primos de R.

Demostracion. (i) Sean a, b ∈ R tales que ab ∈ 〈p〉. Entonces, ab = pm, m ∈ R;descomponiendo a, b,m en factores irreducibles y teniendo en cuenta la unicidad dela descomposicion encontramos que p | a, o, p | b, en otras palabras, p es primo.

(ii) ⇒) Esto es consecuencia directa de (i).⇐) Puesto que todo primo es irreducible, solo se debe probar la unicidad de

cada descomposicion irreducible. Pero de acuerdo con la proposicion 6.2.7, esto esequivalente a la condicion (iii) de la proposicion 6.2.4. Sean p irreducible y a, b ∈ Rtales que p | ab; si a = 0, o, b = 0 no hay nada que probar. Ademas, a /∈ R∗ yb /∈ R∗. Sea m ∈ R tal que ab = pm. Podemos descomponer a y b en factores primosa1 · · · anb1 · · · bl = pm. Entonces, pm ∈ 〈a1〉, con lo cual p ∈ 〈a1〉, o, m ∈ 〈a1〉. En elprimer caso, como p es irreducible, a1 ∼ p y p | a1. En el segundo existe n1 ∈ R talque m = a1n1, de donde a2 · · · anb1 · · · bl = pn1. Podemos repetir el razonamientoanterior hasta concluir que p | a, o, p | b. Esto completa la prueba.

Ejemplo 6.2.12. Segun los resultados de la presente seccion se tienen las siguientesrelaciones de contenencia:

DE DIP DG DI Anillos conmutativos.

Ademas,

(i) Si n ≥ 2 y n no es primo, entonces Zn es un anillo conmutativo que no es DI.

(ii) Z[√−3]

es un DI que no es DG:

4 = 2 · 2 =(1 +

√−3) (

1−√−3),

2, 1+√−3, 1−

√−3 son irreducibles no asociados de Z

[√−3]

(vease el ejemplo6.1.7)

(iii) Mas adelante se mostrara que el anillo de polinomios con coeficientes enteros,Z [x], es un DG que no es un DIP .

(iv) Los ejemplos de DIP que no son euclidianos no son de facil construccion. Unode tales ejemplos puede ser consultado en [2].

6.3. EJERCICIOS 57

6.3. Ejercicios

1. Demuestre que Z[√−5] no es un DIP .

2. Un dominio de integridad R se dice que es GCD, si cada par de elementosno nulos tiene maximo comun divisor. Sea R un dominio GCD y sean a, belementos no nulos de R tales que m.c.d.(a, b) = 1. Demuestre que m.c.m.(a, b)existe y coincide con ab.

3. Demuestre que en un DG cada par de elementos no nulos tiene maximo comundivisor y mınimo comun multiplo. En consecuencia, todo DG es GCD.

4. Sea R un dominio GCD y sean a, b, d, x, y ∈ R tales que d = m.c.d.(a, b),a = dx, b = dy. Demuestre que m.c.d.(x, y) = 1.

5. SeaR unDI. Demuestre queR esGCD si, y solo si, para cada par de elementosa, b ∈ R se tiene que 〈a〉 ∩ 〈b〉 es principal.

Capıtulo 7

Anillos de fracciones: casoconmutativo

La construccion del cuerpo Q de los numeros racionales por medio de una relacionde equivalencia definida sobre el producto cartesiano Z× (Z−{0}), puede ser ge-neralizada a un DI arbitrario R, obteniendose el llamado cuerpo de fracciones deldominio R. Esta situacion puede ser ampliada a anillos conmutativos cualesquiera,no siendo necesariamente el nuevo objeto contruıdo un cuerpo. En este capıtulo nosocuparemos de esta construccion.

7.1. Construccion y propiedades

Definicion 7.1.1. Sean R un anillo conmutativo y S un subconjunto no vacıo deR. Se dice que S es un subconjunto multiplicativo de R si:

(i) Para cualesquiera elementos s, t ∈ S su producto st esta en S.

(ii) 0 /∈ S.

(iii) 1 ∈ S.

Proposicion 7.1.2. Sea R un anillo conmutativo y S un subconjunto multiplicativode R. La relacion ≡ definida en el conjunto R× S por

(a, s) ≡ (b, t) ⇔ (∃u ∈ S) (atu = bsu) (7.1.1)

con a, b ∈ R, s, t ∈ S, es de equivalencia.

Demostracion. Las propiedades reflexiva y simetrica de ≡ son evidentes. Sean (a, s),(b, t) , (c, r) ∈ R × S, tales que (a, s) ≡ (b, t) y (b, t) ≡ (c, r). Existen entonceselementos u, v ∈ S tales que atu = bsu y brv = ctv. De estas igualdades resultan

58

7.1. CONSTRUCCION Y PROPIEDADES 59

aturv = bsurv y brvus = ctvus; en vista de la conmutatividad obtenemos ar (vtu) =cs (vtu), con lo cual (a, s) ≡ (c, r) ya que vtu ∈ S.

La relacion determina una particion del conjunto R×S en clases de equivalencia.Denotemos por a

sla clase que contiene a la pareja (a, s) y mediante RS−1 al conjunto

de todas las clases ası conformadas.

Teorema 7.1.3. En el conjunto RS−1 las operaciones

a

s+b

t:=

at+ bs

st,a

s

b

t:=

ab

st(7.1.2)

definen una estructura de anillo conmutativo, denominado anillo de fraccionesde R respecto de S.

Demostracion. Teniendo en cuenta que estamos trabajando con clases de equiva-lencia, debemos verificar inicialmente que las operaciones estan definidas correc-

tamente. Seana1

s1

,a2

s2

,b1t1,b2t2

fracciones tales quea1

s1

=a2

s2

yb1t1

=b2t2

. Entonces

existen elementos u, v ∈ S tales que a1s2u = a2s1u, b1t2v = b2t1v. De aquı re-sulta va1s2ut1t2 = va2s1ut1t2 y ub1t2vs1s2 = ub2t1vs1s2; sumando obtenemos

(a1t1s2t2 + b1t2s1s2) vu = (a2s1t1t2 + b2t1s1s2) vu, con lo cuala1

s1

+b1t1

=a2

s2

+b2t2

,

ya que vu ∈ S. De manera similar se establece quea1

s1

b1t1

=a2

s2

b2t2

. De otra parte,

las propiedades asociativa, conmutativa y distributiva de las operaciones definidasen (7.1.2), se desprenden de las respectivas propiedades de las operaciones del anilloR. La verificacion completa de dichas propiedades queda a cargo del lector. Noteseque el cero y el uno del anillo RS−1 son las fracciones 0

1y 1

1, respectivamente. Por

ultimo, observese que −as

= −as.

De la construccion anterior se obtienen las siguientes propiedades.

Corolario 7.1.4. La funcion

ψ : R −→ RS−1

a 7−→ a1

(7.1.3)

cumple las siguientes propiedades:

(i) ψ es un homomorfismo de anillos.

(ii) ψ (S) ⊆ (RS−1)∗.

(iii) ψ (a) = 0 ⇔ au = 0, para algun u ∈ S.

(iv) Cada elemento de RS−1 tiene la forma

60 CAPITULO 7. ANILLOS DE FRACCIONES: CASO CONMUTATIVO

ψ (a)ψ (s)−1, a ∈ R, s ∈ S.

(v) ψ es inyectiva ⇔ S no posee divisores de cero.

(vi) ψ es biyectiva ⇔ S ⊆ R∗.

Demostracion. (i) ψ (a+ b) =a+ b

1=a

1+b

1= ψ (a) + ψ (b); ψ (ab) =

ab

1=a

1

b

1=

ψ (a)ψ (b); ψ (1) =1

1.

(ii) Sea s ∈ S, ψ (s) =s

1ys

1· 1s

=1

1, es decir, ψ (s) ∈ (RS−1)

∗con ψ (s)−1 =

1

s.

(iii) ψ (a) = 0 ⇐⇒ a

1=

0

1⇐⇒ au = 01 = 0, para algun u ∈ S.

(iv) Seaa

s∈ RS−1; entonces

a

s=a

1

1

s= ψ (a)ψ (s)−1 .

(v) Es equivalente a (iii).(vi) Evidente.

Segun el corolario anterior, no se puede considerar en general que R se sumerga enel anillo de fracciones RS−1. De otra parte, vale la pena preguntarse sobre la unicidaddel anillo construıdo. Respondemos a esta pregunta con las siguientes propiedades.

Teorema 7.1.5 (Propiedad universal). Sea g : R −→ R0 un homomor-fismo de anillos tal que g (S) ⊆ R∗

0. Entonces, existe un unico homomorfismoh : RS−1 −→ R0 tal que h ◦ ψ = g. Ademas, si g es inyectivo, entonces h

tambien es inyectivo.

Demostracion. Existencia. Definimos

h(

as

):= g (a) g (s)−1, a ∈ R, s ∈ S.

Veamos primero que h esta bien definida. Sia1

s1

=a2

s2

, entonces existe u ∈ S tal

que a1s2u = a2s1u, de aquı resulta g (a1) g (s2) = g (a2) g (s1), ya que g (u) ∈ R∗0.

Podemos entonces escribir g (a1) g (s1)−1 = g (a2) g (s2)

−1, es decir, h(

a1

s1

)= h

(a2

s2

).

h es un homomorfismo de anillos:

h

(a

s+b

t

)= h

(at+ bs

st

)= g (at+ bs) g (st)−1

= (g (a) g (t) + g (b) g (s)) g (s)−1 g (t)−1

= g (a) g (s)−1 + g (b) g (t)−1

= h(as

)+ h

(b

t

);

7.1. CONSTRUCCION Y PROPIEDADES 61

h

(a

s

b

t

)= g (a) g (b) g (s)−1 g (t)−1

= h(as

)h

(b

t

);

h

(1

1

)= g (1) g (1)−1 = 1

Sea ahora a ∈ R; h ◦ ψ (a) = h(

a1

)= g (a),es decir, h ◦ ψ = g.

Unicidad. Sea f : RS−1 −→ R0 un homomorfismo tal que f ◦ψ = g. Sea x

un elemento de RS−1; entonces x = ψ (a)ψ (s)−1, con a ∈ R, s ∈ S. De aquı resultaf (x) = f (ψ (a)) f

(ψ (s)−1) = g (a) g (s)−1 = h(a

s) = h(x), ası, f = h.

Por ultimo notemos que si h(

as

)= 0, entonces g (a) g (s)−1 = 0, es decir, g (a) =

0; como g es inyectiva, a = 0 y as

= 0.

Corolario 7.1.6. Si el anillo R puede sumergirse en el anillo de fracciones RS−1

(es decir, R ⊆ RS−1), entonces RS−1 es el menor anillo que contiene R en el cualtodos los elementos de S son invertibles.

Demostracion. Consecuencia directa del teorema anterior.

Corolario 7.1.7. Sea R0 un anillo y g : R −→ R0 un homomorfismo tal queg (S) ⊆ R∗

0 y R0 tambien cumple la propiedad universal del teorema 7.1.5. Entonces,R0

∼= RS−1.

Demostracion. Como RS−1 tiene la propiedad universal, existe un homomorfismoh : RS−1 → R0 tal que hψ = g (teorema 7.1.5), de igual manera, como R0 tambientiene la propiedad universal, entonces existe un homomorfismo t : R0 → RS−1 talque tg = ψ. De esta manera se tiene que (ht)g = g y (th)ψ = ψ, luego por launicidad en la propiedad universal resulta ht = iR0 y th = iRS−1 , es decir, h es unisomorfismo.

Observacion 7.1.8. Los anillos de fracciones pueden presentarse en el orden inversoal dado aquı. Mas exactamente, sean R un anillo conmutativo y S un subconjuntomultiplicativo de R. Se dice que R tiene un anillo de fracciones respecto de S, siexiste un anillo conmutativo B y una funcion ψ : R −→ B tal que se cumplenlas condiciones (i)-(iv) del corolario 7.1.4. En tal caso se dice que B es un anillo defracciones de R con respecto a S. El teorema 7.1.3 y el siguiente resultado pruebanla existencia y unicidad de tales anillos de fracciones.

Teorema 7.1.9. Sean R0 un anillo y g : R −→ R0 una funcion que satisfacelas condiciones (i)-(iv) del Corolario 7.1.4. Entonces, existe un unico isomorfismoh : RS−1 −→ R0 tal que h ◦ ψ = g, donde ψ es el homomorfismo definido en

(7.1.3).

62 CAPITULO 7. ANILLOS DE FRACCIONES: CASO CONMUTATIVO

Demostracion. Por el teorema 7.1.5, existe un unico homomorfismo h : RS−1 −→ R0

tal que h ◦ ψ = g. Resta ver que h es un isomorfismo. Sean a ∈ R, s ∈ S tales queh(

as

)= 0. Entonces, g (a) g (s)−1 = 0 y ası g (a) = 0. Existe entonces u ∈ S tal que

au = 0 y as

= 01. Sea ahora x ∈ R0; x puede escribirse en la forma x = g (a) g (s)−1,

con a ∈ R, s ∈ S. De aquı resulta

x = h ◦ ψ (a) (h ◦ ψ (s))−1 = h(

a1

)h(

1s

)= h

(as

),

con lo cual h es inyectivo y sobreyectivo.

7.2. Ejemplos

Terminamos este capıtulo ilustrando con suficientes ejemplos la construccion reali-zada.

Ejemplo 7.2.1. Anillo total de fracciones: sean R un anillo conmutativo y

S0 := {a ∈ R| a no es divisor de cero} ; (7.2.1)

notese que S0 es un subconjunto multiplicativo de R y, segun el corolario 7.1.4, Rse puede sumergir en Q(R) := RS−1

0 . Si S0 es como en (7.2.1), Q(R) se denomina elanillo total de fracciones, o tambien, anillo clasico de fracciones del anillo Ry, segun el corolario 7.1.6, es el menor anillo que contiene a R en el cual todos loselementos de S0 son invertibles.

Ejemplo 7.2.2. Cuerpo de fracciones de un DI: si R es un dominio de inte-gridad, entonces el conjunto S0 definido en (7.2.1) es S0 = R−{0}. El anillo clasicode fracciones Q(R) en este caso es un cuerpo. Notese ademas que Q(R) es el menorcuerpo que contiene a R. Notemos en particular que Q(Z) = Q. Resulta entonces delo dicho que, salvo isomorfismo, Q es el menor cuerpo que contiene a Z. Por ultimo,observese que si R es un DI y S0 = R−{0}, entonces en la relacion (7.1.1) podemossuprimir u, y escribir sencillamente at = bs.

Ejemplo 7.2.3. Lozalizacion por ideales primos : sea R un anillo conmutativoy sea P un ideal primo de R. El conjunto S := R−P es un subconjunto multiplicativode R y podemos contruir el anillo de fracciones, el cual denotaremos por RP :

RP ={

as| a ∈ R, s /∈ P

}.

El anillo de fracciones RP es local (vease el ejemplo 5.2.7). En efecto, el conjunto

PRP :={

as| a ∈ P, s /∈ P

}es un ideal de RP que cumple PRP = RP −R∗

P .Como PRP es maximal, RP/PRP es un cuerpo, el cual es isomorfo al cuerpo de

fracciones del dominio R/P . En efecto, la funcion definida por

7.2. EJEMPLOS 63

g : R/P −→ RP/PRP

r 7−→ r1

donde r = r + P , r1

= r1

+ PRP , r ∈ R, cumple las condiciones del teorema 7.1.9.

Ejemplo 7.2.4. Ideales de RS−1: sean R un anillo conmutativo, S un subconjuntomultiplicativo de R y RS−1 el anillo de fracciones de R respecto de S. Entonces, losideales de RS−1 son de la forma

IS−1 :={as∈ RS−1 | a ∈ I, s ∈ S

}(7.2.2)

donde I es un ideal de R: es evidente que si I es un ideal de R, entonces el conjuntoIS−1 es un ideal de RS−1. De ota parte, si J es un ideal de RS−1, entonces

I :={a ∈ RS−1 | a

1∈ J}

(7.2.3)

es un ideal de R tal que J = IS−1. En efecto, I es claramente un ideal; sea ab∈ J ,

entonces as

s1

= a1∈ J , con lo cual a ∈ I y a

s∈ IS−1. Recıprocamente, si a

s∈ IS−1

con a ∈ I, entonces a1∈ J , a

11s∈ J , es decir, a

s∈ J , y la igualdad esta probada.

Notemos adicionalmente que IS−1 es propio si, y solo si, I⋂S = ∅; ademas, si

I1 ⊆ I2, entonces I1S−1 ⊆ I2S

−1. Tambien, si R es un DI, entonces RS−1 es un DI,y si R es un DIP , entonces RS−1 es un DIP :

IS−1 = 〈a〉S−1 =⟨

a1

⟩.

Ejemplo 7.2.5. Sean R un anillo conmutativo, S un subconjunto multiplicativo deR e I un ideal de R tal que I∩S = ∅. Entonces, IS−1 definido como en (7.2.2) esun ideal propio de RS−1. Notese que entonces se tiene el isomorfismo

RS−1/IS−1 ∼= R S−1, (7.2.4)

donde

R := R/I, S := {x = x+ I|x ∈ S}.

En efecto, observese que S es un subconjunto multiplicativo de R; ademas, la co-rrespondencia

g : R −→ RS−1/IS−1

a 7−→ a1,

donde a = a + I, a1

= a1

+ IS−1, a ∈ R, satisface las hipotesis del teorema 7.1.9,resultando ası el isomorfismo (7.2.4).

64 CAPITULO 7. ANILLOS DE FRACCIONES: CASO CONMUTATIVO

Ejemplo 7.2.6. Ideales primos de RS−1: existe una correspondencia biyectivaentre los ideales primos de RS−1 y los ideales primos de R que tienen interseccionvacıa con S: sea P un ideal primo de R tal que P ∩ S = ∅. Entonces sabemos quePS−1 es propio; ademas sean a

r, b

s∈ RS−1 tales que a

rbs∈ PS−1, entonces ab

rs= c

t

con c ∈ P y existe u ∈ S tal que abtu = crsu ∈ P ; de aquı resulta ab ∈ P , o, tu ∈ P ;pero como tu ∈ S entonces ab ∈ P , con lo cual a ∈ P , o, b ∈ P , es decir, a

r∈ PS−1,

o, bs∈ PS−1. Resulta ası que PS−1 es primo. De otra parte, si P1, P2 son ideales

primos de R tales que P1 ∩ S = ∅ = P2 ∩ S con P1S−1 = P2S

−1, entonces P1 = P2.En efecto, si a ∈ P1, entonces a

1∈ P1S

−1 = P2S−1; existe pues b ∈ P2, s ∈ S tales

que a1

= bs, de donde asu = bu, para un cierto u ∈ S. Resulta entonces asu ∈ P2

y, por ser este ultimo primo y tener interseccion vacıa con S, entonces a ∈ P2 yası P1 ⊆ P2. La otra inclusion se prueba de manera analoga.

Resta demostrar que cada ideal primo de RS−1 es de la forma PS−1, con P primode R y P ∩S = ∅. Sea J un ideal primo de RS−1; segun lo establecido en el ejemplo7.2.4, J es de la forma PS−1, donde P es como en (7.2.3). Notemos que P ∩ S = ∅,ya que en caso contrario J no serıa propio. Sean a, b ∈ R tales que ab ∈ P , entoncesab1∈ J , es decir, a

1∈ J , o, b

1∈ J , con lo cual a ∈ P , o, b ∈ P , con lo cual P primo.

Esto completa la prueba sobre la correspondencia biyectiva.

Ejemplo 7.2.7. Sean R1, . . . , Rn anillos conmutativos con sistemas multiplicativosS1, . . . , Sn respectivamente. Entonces, S := S1×. . .×Sn es un sistema multiplicativode R := R1 × · · · ×Rn, y ademas

RS−1 ∼= R1S−11 × · · · ×RnS

−1n .

Consideremos en particular que para cada 1 ≤ i ≤ n, Ri es un DI. Entonces, paraSi := Ri − 0, 1 ≤ i ≤ n, se tiene que S1 × · · · × Sn coincide con el conjunto deelementos de R que no son divisores de cero, y por lo tanto,

Q (R1 × · · · ×Rn) ∼= Q(R1)× · · · ×Q(Rn),

donde Q(Ri) es el cuerpo de fracciones de Ri, 1 ≤ i ≤ n. Ası por ejemplo,

Q (Z× · · · × Z) ∼= Q× · · · ×Q.

Ejemplo 7.2.8. Sean R un anillo conmutativo, X un conjunto no vacıo y RX

el anillo de funciones definido en el ejemplo 1.1.6. Sea ademas S un subconjuntomultiplicativo de R. Entonces, el conjunto

SX :={f ∈ RX | f (X) ⊆ S

}es un subconjunto multiplicativo de RX tal que

RX(SX)−1 ∼= (RS−1)

X.

7.2. EJEMPLOS 65

La verificacion de estas afirmaciones es rutinaria y se deja a cargo del lector. Con-sideremos en particular el anillo clasico de fracciones RX cuando R es un dominiode integridad. Si S0 = R − 0, entonces SX

0 es el conjunto de los elementos de RX

que no son divisores de cero, y por lo tanto,

Q(RX) ∼= Q(R)X ,

donde Q(R) es el cuerpo de fracciones de R. En particular,

Q(ZN) ∼= QN, Q

(QN) ∼= QN, Q

(RN) ∼= RN, Q

(CN) ∼= CN.

Ejemplo 7.2.9. Cuerpo de fracciones de Z[√−3]: el anillo Z

[√−3]

fue definidoen el ejemplo 6.1.7, y se probo que es un DI. Su cuerpo de fracciones es el conjunto

Q[√−3]

={x+ y

√−3 |x, y ∈ Q

}.

En efecto, consideremos la funcion

g : Z[√−3]

−→ Q[√−3]

a+ b√−3 7−→ a

1+ b

1

√−3

;

g es claramente un homomorfismo inyectivo de anillos; ademas, para cualesquieraenteros no nulos a, b, el complejo a

1+ b

1

√−3 es no nulo y su inverso satisface

aa2+3b2

+ ba2+3b2

√−3 ∈ Q

[√−3].

Por ultimo observese que cada elemento ar+ b

s

√−3 ∈ Q

[√−3]

se escribe en la forma

ar

+ bs

√−3 =

(as−3·rb

1+ as+br

1

√−3) (

rs1

+ rs1

√−3)−1

ar

+ bs

√−3 = g

((as− br

√−3)

+(as+ br

√−3))g(rs+ rs

√−3)−1

.

Segun el teorema 7.1.9 Q[√−3]

es isomorfo al cuerpo de fracciones de Z[√−3].

Ejemplo 7.2.10. Anillo clasico de fracciones de Zn, n ≥ 2: notese que en Zn elsistema S0 definido en (7.2.1) coincide con Z∗n. En efecto, es claro que si x ∈ Z∗nentonces x ∈ S0. Recıprocamente, si x /∈ Z∗n, entonces segun el ejemplo 1.1.12 existe2 ≤ d ≤ n tal que d divide a x y d divide a n. Sean entonces 1 ≤ r, s ≤ n − 1,x = dr, n = ds. Resulta de aquı que xs = 0 y x /∈ S0.

La funcion identica

iZn : Zn −→ Zn

satisface las hipotesis del teorema 7.1.9, y por lo tanto, Q (Zn) ' Zn.

66 CAPITULO 7. ANILLOS DE FRACCIONES: CASO CONMUTATIVO

7.3. Ejercicios

1. Sea R un DI y sea K su cuerpo de fracciones. Sea P un ideal primo de R.Demuestre que el cuerpo de fracciones de RP es isomorfo a K.

2. Sean R un anillo conmutativo, S un sistema multiplicativo de R y P ∈ Spec(R)tal que P ∩ S = ∅. Entonces, (RS−1)PS−1

∼= RP .

3. Sean S, T dos sistemas multiplicativos de un DI R. Demuestre que ST :={st|s ∈ S, t ∈ T} es un sistema multiplicativo de R y que ademas R(ST )−1 ∼=(RS−1)T−1, considerando la imagen natural de T en RS−1. En particular, siS ⊆ T , entonces (RS−1)T−1 ∼= RT−1. Ademas, si Q ⊆ P son dos idealesprimos de R, entonces RQ

∼= (RP )QRP, donde QRP := { a

u|a ∈ Q, u /∈ P} es un

ideal primo de RP .

4. Sean I, J ideales de un anillo conmutativo R y sea S un sistema multiplicativode R. Demuestre que

(i) (I + J)S−1 = IS−1 + JS−1.

(ii) (I ∩ J)S−1 = IS−1 ∩ JS−1.

(iii) (IJ)S−1 = IS−1JS−1.

(iv) Si J es finitamente generado. Demuestre que (I : J)S−1 = (IS−1 : JS−1).

5. Sea R un dominio de integridad y sea Q(R) su cuerpo de fracciones. Demuestreque si f : R→ R un automorfismo del anillo R, es decir, un isomorfismo de Ren R, entonces f se extiende de manera unica a un automorfismo de Q(R).

6. Calcule Q(Zn) para cada n ≥ 2.

7. Sea R un dominio de integridad y sea Q(R) su cuerpo de fracciones. Demuestreque:

(i) Si P es un ideal maximal de R, entonces el anillo local RP se puedesumergir en Q(R).

(ii)⋂

P maximal de RRP = R.

Capıtulo 8

Polinomios y series

En los cursos elementales de algebra los polinomios son considerados como “expre-siones algebraicas”en la forma

a (x) = a0 + a1x+ · · ·+ anxn,

donde a0, . . . , an son por ejemplo numeros reales o complejos. Aprendimos a sumary multiplicar polinomios con reglas sencillas: la suma de dos polinomios p (x) yq (x) da como resultado un tercer polinomio, los coeficientes del cual se determinansumandos los coeficientes de p (x) y q (x) correspondientes a terminos en x con igualexponente. Ası por ejemplo,

p (x) = 5 + 4x+ x3, q (x) = −4 + 3x+ x2 + 5x3

p (x) + q(x) = (5− 4) + (4 + 3)x+ (0 + 1)x2 + (1 + 5)xn

= 1 + 7x+ x2 + 6x3.

Para la multiplicacion es utilizada una propiedad distributiva y una regla sim-ple de exponentes xkxt = xk+t. Ademas, para efectos de calculo se supone que la“indeterminada”x conmuta con los coeficientes: ax = xa. Esta manera de efectuaroperaciones con polinomios y de hablar de distributividad, conmutatividad, poten-ciacion, etc., hace pensar sobre la posibilidad de estudiar los polinomios desde unpunto de vista estructural.

8.1. El anillo de series

Proposicion 8.1.1. Sean A un anillo y S el conjunto de sucesiones en A,

S := {(a0, a1, a2, . . .) := (ai) | ai ∈ A, i = 0, 1, 2, . . .}

Entonces, las operaciones de adicion y multiplicacion definidas en S por:

67

68 CAPITULO 8. POLINOMIOS Y SERIES

a = (ai), b = (bi),a+ b := c = (ci) , ci := ai + bi, i = 0, 1, 2, . . .

ab := d = (di), di :=∑

j+k=i ajbk, i = 0, 1, 2, . . .

dan a S una estructura de anillo (dos sucesiones son iguales si, y solo si, ai = bi,para cada i = 0, 1, 2, . . .).

Demostracion. La asociatividad de la adicion de sucesiones formales es consecuenciade la asociatividad de la adicion en A. El cero de S es la sucesion nula

0 := (0, 0, . . .)

la opuesta de a = (ai) es −a := (−ai). Sean ahora a = (ai), b = (bi), c = (ci)elementos cualesquiera de S. Entonces

(ab) c = dc = f , donde f = (fi), fi =∑

i=j+k djck,d = (dj), dj =

∑j=r+s arbs, es decir,

fi =∑

i=r+s+k (arbs) ck =∑

i=r+s+k ar (bsck) =∑

i=r+s+k arbsck.

De otra parte,

a (bc) = ag = h, donde h = (hi), hi =∑

i=t+l atgl,gl =

∑l=m+n bmcn, es decir,

hi =∑

i=t+m+n at (bmcn) =∑

i=t+m+n atbmcn .

Esto muestra que(ab) c = a (bc).Es facil comprobar que el uno de S es la sucesion

1 := (1, 0, 0, . . .)

y que el producto se distribuye sobre la adicion.

Definicion 8.1.2. El anillo S de la proposicion anterior se denomina anillo desucesiones formales en A.

Notese que los elementos del anillo S coinciden con los del anillo AN0 , N0 :={0, 1, 2, 3, . . .}, definido en el primer capıtulo. Sin embargo, los productos considera-dos en cada caso son diferentes y dichos anillos son por lo tanto distintos.

Corolario 8.1.3. El anillo S de sucesiones formales es conmutativo si, y solo si, Aes un anillo conmutativo.

Demostracion. ⇒) Sean z, y elementos de A. Entonces,

(z, 0, 0, . . .) (y, 0, 0, . . .) = (y, 0, 0, . . .) (z, 0, 0, . . .), es decir,(zy, 0, 0, . . .) = (yz, 0, 0, . . .),

luego zy = yz.⇐) Sean a = (ai), b = (bi) sucesiones de S. Entonces

8.2. EL ANILLO DE POLINOMIOS 69

ab = c = (ci), ci =∑

j+k=i ajbk =∑

j+k=i bkaj = di,

donde d = (di) = ba ,es decir, ab = ba.

La prueba anterior pone de manifiesto que el anillo A puede sumergirse en suanillo de sucesiones formales.

Corolario 8.1.4. La funcion

ι : A −→ Sa 7−→ (a, 0, 0, . . .)

es un homomorfismo inyectivo.

Demostracion. Evidente.

8.2. El anillo de polinomios

En el anillo S se destacan de manera especial las sucesiones que tienen un numerofinito de terminos no nulos.

Definicion 8.2.1. Se dice que la sucesion a = (a0, a1, a2, . . .) es un polinomio siexiste un entero n tal que ai = 0 para i > n. Se denomina grado del polinomio a almayor entero n tal que an 6= 0, y se denota por gr (a). Los polinomios de grado 0 sedenominan constantes.

Observacion 8.2.2. La sucesion nula es un polinomio sin grado. Si a es un poli-nomio de grado n, entonces an+k = 0 para k ≥ 1:

a = (a0, a1, . . . , an, 0, . . .).

Los elementos a0, a1, . . . , an se denominan coeficientes del polinomio a; a0 se deno-mina coeficiente independiente de a. El elemento an se denomina el coeficienteprincipal de a y se denota por lc(a).

Proposicion 8.2.3. Sea S el anillo de sucesiones formales en el anillo A. El con-junto P de polinomios de S es un subanillo de S.

Demostracion. 1 = (1, 0, 0, . . .) ∈ P ; si a = (ai), b = (bi) son polinomios, entoncesexisten enteros m, k tales que ai = 0 para i > m y bi = 0 para i > k. Sean c := a+ by d := ab. Entonces, para i > max {m, k} ci = 0 y di = 0 para i > m+ n, es decir,c, d ∈ P .

Queremos ahora presentar los polinomios en su forma habitual de sumas finitas.Si x denota la sucesion:

70 CAPITULO 8. POLINOMIOS Y SERIES

x := (0, 1, 0, . . .)

entonces

x2 = (0, 0, 1, 0, . . .)x3 = (0, 0, 0, 1, 0, . . .)

...xn = (0, . . . , 0, 1, 0 . . .)

Ademas, podemos identificar los polinomios constantes en la forma

(a0, 0, . . .) := a0, a0 ∈ A,

y un polinomio de grado n se escribira

a (x) := (a0, a1, . . . , an, 0, . . .) = a0 + a1x+ . . .+ anxn

El conjunto P de los polinomios en x con coeficientes en A sera denotado por A [x].Al anillo S de sucesiones lo denotaremos por A [[x]].

Observacion 8.2.4. (i) Las reglas del algebra elemental a traves de las cualesaprendimos a sumar y a multiplicar polinomios pueden ser ahora plenamente justi-ficadas. Por ejemplo, para cada a ∈ A:

ax = (a, 0, . . .) (0, 1, 0, . . .) = (0, a, 0, . . .) = xa.

De otra parte, notese que el sımbolo x para el polinomio (0, 1, 0, . . .) puede sercambiado por otra letra o signo. La funcion del corolario 8.1.4 puede redefinirse deA en A [x], es decir,

A ↪→ A[x] ↪→ A[[x]].

Notemos que cada elemento a = (ai) ∈ A[[x]] puede escribirse como una seriea = a((x)) =

∑∞i=0 aix

i, y las operaciones que hemos definido en A[[x]] correspondena la suma y producto de series que se estudian en los cursos de calculo. Por estarazon, el anillo A[[x]] se conoce tambien como el anillo de series formales enA.

(ii) Los anillos de series y polinomios en varias variables se pueden definir enforma recurrente de la siguiente manera:

A[[x, y]] := A[[x]][[y]], A[[x1, . . . , xn]] := A[[x1, . . . , xn−1]][[xn]],

A[x, y] := A[x][y], A[x1, . . . , xn] := A[x1, . . . , xn−1][xn].

8.3. PROPIEDADES ELEMENTALES 71

8.3. Propiedades elementales

Proposicion 8.3.1. Sea A un anillo cualquiera. Entonces

(i) Para cualesquiera polinomios no nulos a (x), b(x) ∈ A [x] tales que a (x) +b(x) 6= 0, se cumple que:

gr (a (x) + b(x)) ≤ max {gr (a (x)) , gr (b(x))}.

Para a (x) b(x) 6= 0 se tiene tambien que

gr (a (x) b(x)) ≤ gr (a (x)) + gr (b(x)).

Si A no tiene divisores de cero, entonces en la ultima relacion se cumple laigualdad.

(ii) A es un dominio si, y solo si, A [[x]] es un dominio si, y solo si, A [x] es undominio.

(iii) Si A es un dominio, A [x]∗ = A∗.

(iv) A [[x]]∗ = {a = (a0, a1, . . .) | a0 ∈ A∗}.

Demostracion. (i) Basta repetir las ideas expuestas en la prueba de la proposicion8.2.3. Sea n = gr (a (x)), m = gr (b (x)). Entonces, para i > max {m,n}, ai + bi = 0,con lo cual se establece la primera desigualdad. Analogamente, para i > m + n,di = 0, con d = (di) = ab, di =

∑j+k=i ajbk. Con esto se prueba la segunda

desigualdad. Notese que si A no posee divisores de cero, entonces dn+m = anbm 6= 0,con lo cual queda probado el punto (i).

(ii) Sean a = (a0, a1, . . .) , b = (b0, b1, . . .) sucesiones no nulas de A [[x]]. Sea r elmenor entero tal que ar 6= 0 y sea s el menor entero tal que bs 6= 0. Sea c = (ci) = ab,entonces

cr+s =∑

j+k=r+s ajbk = arbs 6= 0,

es decir, ab 6= 0. Es claro que si A [[x]] no tiene divisores de cero, entonces A [x]tampoco tiene divisores de cero. De igual manera, si A [x] no tiene divisores de cero,entonces A no posee divisores de cero ya que A esta sumergido en A [x].

(iii) Sea a (x) = a0 + a1x+ . . .+ anxn ∈ A [x]∗. Entonces, existe un polinomio

b (x) = b0 + b1x+ · · ·+ bnxn ∈ A [x]

72 CAPITULO 8. POLINOMIOS Y SERIES

tal que a (x) b (x) = 1. Del punto (i) resulta que gr (a (x)) = 0 = gr (b (x)), conlo cual a (x) = a0, b (x) = b0, a0b0 = 1 = b0a0, teniendo en cuenta la observacion8.2.4, podemos decir que a (x) ∈ A∗. Ahora si a ∈ A∗, entonces a, considerado comopolinomio constante, esta en A [x]∗.

(iv) Sea a = (a0, a1, . . .) ∈ A [[x]]∗; existe b = (b0, b1, . . .) ∈ A [[x]] tal que ab =1 = (1, 0, 0, . . .) = ba; resulta entonces a0b0 = 1 = b0a0 y a0 ∈ A∗.

Recıprocamente, sea a = (a0, a1, . . .), con a0 ∈ A∗. Buscamos un elemento b =(b0, b1, . . .) ∈ A [[x]] tal que ab = 1 = (1, 0, 0, . . .) = ba. La condicion ab = 1 puedeexpresarse tambien en la forma

a0bi + a1bi−1 + · · ·+ aib0 =

{1, i = 00, i ≥ 1

(8.3.1)

Puesto que a0 ∈ A∗, definimosb0 := a−1

0 . (8.3.2)

El elemento b1 debe ser entonces tal que a0b1 + a1b0 = 0, de donde

b0a0b1 + b0a1b0 = 0, es decir, b1 = −b0a1b0.

Un paso mas antes de obtener la formula para calcular bi. Para i = 2 tenemos

a0b2 + a1b1 + a2b0 = 0,

con lo cual

b2 = −b0 (a1b1 + a2b0) .

Teniendo ya definidos todos los bl, l < i, hacemos

bi := −b0i∑

j=1

ajbi−j, i ≥ 1. (8.3.3)

Entonces, a0bi +∑i

j=1 ajbi−j = 0, es decir,∑i

j=1 ajbi−j = 0 para i ≥ 1. Por tanto lasucesion definida por (8.3.2) y (8.3.3) cumple (8.3.1), y a tiene inverso a la derecha.En forma similar se puede construir una sucesion c tal que ca = 1, y por tanto,a ∈ A [[x]]∗.

Ejemplo 8.3.2. Segun el punto (iii) de la afirmacion anterior, el polinomio 2x+1 ∈Z [x] no es invertible. Sin embargo, considerado como elemento de Z [[x]],

2x+ 1 = (1, 2, 0, . . .)

es invertible y su inverso es

b = (1,−2, 4,−8, . . .), es decir, bi = (−2)i, i ≥ 0.

8.3. PROPIEDADES ELEMENTALES 73

Ejemplo 8.3.3. El polinomio 2x+ 1 ∈ Z4 [x] es invertible:

(2x+ 1) (2x+ 1) = 4x2 + 4x+ 1 = 1.

Es claro que como elemento de Z4 [[x]] su inverso sigue siendo 2x+ 1.

Ejemplo 8.3.4. El polinomio x + 2 no es invertible en ninguno de los siguientesanillos

Z [x] , Z [[x]] , Z4 [x] , Z4 [[x]] .

Ejemplo 8.3.5. Sea R un anillo conmutativo. En este ejemplo describiremos todoslos ideales maximales del anillo R[[x]] y probaremos que R[[x]] es local si, y solo si,R es local.

Existe una correspondencia biyectiva entre los ideales maximales de R[[x]] ylos maximales de R de tal manera que los ideales maximales de R[[x]] son de laforma P

′= {(ai) | a0 ∈ P, P maximal deR} = 〈P, x〉 = P + xR[[x]]. En efecto,

veamos en primer lugar que si P es maximal de R entonces P′es un ideal maximal

de R [[x]]. Claramente P′

es ideal propio de R [[x]] . Sea L un ideal de R [[x]] talque P

′ L, existe (bi) ∈ L tal que (bi) /∈ P′; b0 /∈ P, ya que de lo contrario

(bi) ∈ P′. Entonces P + 〈b0〉 = R luego 1 = p + b0r, con r ∈ R, p ∈ P , y entonces

1 − (bi)r = (1 − b0r,−b1r,−b2r, . . . ) = (p,−b1r,−b2r, . . . ) ∈ P′ ⊆ L, pero como

(bi) r ∈ L, entonces 1 ∈ L, de donde L = R [[x]].

Sea ahora P′

un ideal maximal de R[[x]]. Definimos P := {a0 ∈ R | a0 es eltermino constante de algun (ai) ∈ P

′}. P es claramente un ideal de R. P es propio,ya que de lo contrario P

′contendrıa invertibles, en contradiccion con el hecho de

que P′

es propio. P es maximal: sea Q ideal de R tal que P Q, existe q ∈ Qtal que q /∈ P ; entonces (q, 0, . . . ) /∈ P

′, de donde P

′+ 〈(q, 0, . . . )〉 = R [[x]], luego

1 = p′ + (q, 0, . . . )(bi) = (p′0, p′1, . . . ) + (qb0, qb1, qb2, . . . ) = (p′0 + qb0, p

′1 + qb1, . . . );

luego 1 = p′0 + qb0, pero p′0 ∈ P ( Q, de donde 1 ∈ Q es decir, Q = R.

Veamos ahora que P′= 〈P, x〉. En efecto, si (bi) ∈ P

′entonces b0 ∈ P y (bi) =

(b0, 0, . . . )+ (0, b1, b2, . . . ) = b0 +x(b1, b2, b3, . . . ) ∈ 〈P, x〉, es decir, P′ ⊆ 〈P, x〉, pero

como P′es maximal y 〈P, x〉 es propio, entonces P

′= 〈P, x〉.

Hemos ya probado que la correspondencia P 7−→ P′es sobreyectiva. Para ter-

minar veamos que esta correspondencia es 1− 1: si 〈P1, x〉 = 〈P2, x〉, entonces dadoa ∈ P1 se tiene que a = b+ (ci)x, con b ∈ P2 luego a = b y a ∈ P2 es decir, P1 ⊆ P2.Simetricamente, P2 ⊆ P1.

La correspondencia anterior garantiza que R es local si, y solo si, R[[x]] es local.Ademas, notemos que si R es local con ideal maximal J , entonces

R/J ∼= R[[x]]/ 〈J, x〉.

74 CAPITULO 8. POLINOMIOS Y SERIES

Ejemplo 8.3.6. Z es un DIP pero Z [x] no lo es: supongamos que existe un poli-nomio p (x) ∈ Z [x] tal que 〈3, x〉 = 〈p (x)〉. Entonces 3 = q (x) p (x), para algunpolinomio q (x) con coeficientes enteros. Teniendo en cuenta el grado resulta quep (x) = ±1,±3. Se obtendrıa que 〈3, x〉 = Z [x], o, 〈3, x〉 = 〈3〉. En el primer casoexistirıan k (x), m (x) ∈ Z [x] tales que:

1 = 3k (x) + xm (x),

de donde 1 = 3k0, k0 ∈ Z, resultando una contradiccion. En el segundo caso x =3a (x), a (x) ∈ Z [x], lo cual tambien es imposible. En total, el ideal 〈3, x〉 no esprincipal.

De lo probado se desprende que aunque Z es un DIP el anillos de polinomiosZ [x] no es un DIP .

Proposicion 8.3.7. Si K es un cuerpo entonces K [x] es un DE.

Demostracion. Segun la parte (ii) de la proposicion 8.3.1,K [x] es unDI. Escogemosla funcion d como la funcion de grado:

gr : K [x]− {0} −→ N ∪ {0}p(x) 7−→ gr (p (x))

Sean a(x), b(x) polinomios no nulos de K [x]. Como gr (b (x)) ≥ 0 entonces

gr (a (x)) + gr (b (x)) ≥ gr (a (x)), es decir, gr (a (x) b (x)) ≥ gr (a (x))

y la primera condicion para la funcion gr se satisface. Sean ahora a(x), b(x) poli-nomios cualesquiera con b(x) 6= 0, gr (b (x)) = m. Consideramos dos casos:

m = 0. Entonces b(x) es constante no nulo, b(x) = b0. Si

a(x) = a0 + a1x+ · · ·+ anxn

entonces hacemos q(x) = a0b−10 + a1b

−10 x + · · · + anb

−10 xn y r(x) = 0, obteniendose

ası la relaciona(x) = b(x)q(x) + r(x). (8.3.4)

m > 0. Sea M := {a(x)− b(x)m(x) |m(x) ∈ K [x]}. Si existe m(x) ∈ K [x] talque a(x) − b(x)m(x) = 0 entonces (8.3.4) se cumple con q(x) = m(x), r(x) = 0.Supongase entonces que para cada m(x) ∈ K [x], a(x)−b(x)m(x) 6= 0. Sea r(x) ∈Mun polinomio que tenga grado mınimo t enM , t ≥ 0, y sea q(x) un polinomio a travesdel cual se obtuvo r(x), es decir, r(x) = a(x)− b(x)q(x). Si t = 0, entonces no haynada que probar. Sea t > 0 y supongamos que t ≥ m. Sea r(x) = r0+r1x+ · · ·+rtx

t,y sea b(x) = b0 + b1x+ · · ·+ bmx

m. Entonces

s(x) = a(x)− b(x) (q(x) + rtb−1m xt−m) ∈M ,

donde gr (s (x)) ≤ gr (r (x)) = t. Pero lo anterior contradice la escogencia de r (x),ası pues t ≤ m y la proposicion esta probada.

8.4. TEOREMA DE GAUSS 75

8.4. Teorema de Gauss

Podemos preguntarnos si el anillo de polinomios sobre un DG tiene tambien estapropiedad. La respuesta es afirmativa y nos proponemos demostrarlo siguiendo laselegantes ideas expuestas en [1].

Sea R un anillo conmutativo cualquiera y S un subconjunto multiplicativo de R.Notese que S puede considerarse tambien como un subconjunto multiplicativo deR [x]. Se obtiene entonces el siguiente resultado:

Proposicion 8.4.1. Sean R un anillo conmutativo y S un subconjunto multiplicativode R. Entonces

R [x]S−1 ∼= (RS−1) [x].

Demostracion. Sea a(x) = a0 + a1x+ · · ·+ anxn un polinomio cualquiera de R [x] y

sea g la funcion definida por

g : R [x] −→ (RS−1) [x]a(x) 7−→ a0

1+ a1

1x+ · · ·+ an

1xn

Es facil verificar que g es un homomorfismo de anillos que satisface las condicionesdel teorema 7.1.9, de donde resulta el isomorfismo postulado.

Sea ahora R un DI, P el conjunto de todos los elementos primos de R y Sdefinido por

S := {1} ∪ {a1 · · · an| ai ∈ P , 1 ≤ i ≤ n, n ≥ 1} (8.4.1)

es decir, S es el subconjunto conformado por 1 y todos los productos finitos deelementos primos de R. Notese que S es un sistema multiplicativo de R.

Proposicion 8.4.2. Sean R un DI y S definido como en (8.4.1). Entonces,

R es un DG si, y solo si, RS−1 es un cuerpo.

Demostracion. ⇒) Sea as

un elemento no nulo de RS−1. Entonces a 6= 0. Si a ∈ R∗

entonces

as

a−1s1

= 11

y as∈ (RS−1)

∗.

Supongase que a /∈ R∗. Entonces a es producto finito de irreducibles de R:

a = a1 · · · an, ai irreducible, 1 ≤ i ≤ n.

De la proposicion 6.2.7 se desprende facilmente que en un DG cada irreducible esprimo. Por lo tanto, a ∈ S y a

ssa

= 11, con lo cual a

s∈ (RS−1)

∗.

⇐) Vamos a suponer que R no es un DG, entonces existe un elemento nulo yno invertible a de R, tal que a no es expresable como producto finito de primos, esdecir, a /∈ S. De aquı 〈a〉 ∩ S = ∅. En efecto, sea ba ∈ 〈a〉; si suponemos que ba =

76 CAPITULO 8. POLINOMIOS Y SERIES

p1 · · · pn es producto finito de primos, entonces a serıa tambien producto finito deprimos, contradiciendo el hecho que a /∈ S. La prueba de esta afirmacion se realizapor induccion sobre n: Si p1 es primo y ba = p1; entonces por ser p1 irreducible ya /∈ R∗ se tiene que a ∼ p1, es decir, a es primo. Suponemos el enunciado validopara una descomposicion en n− 1 primos, y sea ba = p1 · · · pn, donde p1, . . . , pn sonprimos. Resulta de aquı que ba = 〈p1〉, con lo cual b ∈ 〈p1〉, o, a ∈ 〈p1〉. En el primercaso

b = b1p1, b1 ∈ R y b1a = p2 . . . pn,

de donde por induccion a es producto finito de primos. En el segundo caso

a = a1p1, a1 ∈ R y ba1 = p2 · · · pn,

y otra vez por induccion a1 es producto finito de primos, con lo cual a es tambienproducto finito de primos.

Podemos ya terminar la prueba de la proposicion. Teniendo en cuenta que 〈a〉 ∩S = ∅ y que a 6= 0, entonces

⟨a1

⟩es un ideal propio no nulo de RS−1, es decir, RS−1

no es un cuerpo.

Sea R un DI, P el conjunto de todos los elementos primos de R, P ′ cualquiersubconjunto no vacıo de P , y

M := {1} ∪ {a1 . . . an| ai ∈ P ′, 1 ≤ i ≤ n, n ≥ 1} (8.4.2)

es decir, M es el subconjunto formado por 1 y todos los productos finitos de ele-mentos primos de P ′.

Proposicion 8.4.3. Sea R un DI tal que cada cadena ascendente de ideales princi-pales se detiene (vease la prueba del teorema 6.2.9). Sea M definido como en (8.4.2).Si RM−1 es un DG, R tambien lo es.

Demostracion. Sea S definido como en (8.4.1) y sea T generado por 11

y todos losprimos de RM−1. Segun la proposicion 8.4.2 (RM−1)T−1 = K es un cuerpo. Siprobamos que RS−1 ∼= K, entonces de la proposicion 8.4.2 concluımos que R es unDG, y la proposicion estarıa probada.

Consideremos pues la funcion

g : R −→ K

a 7−→a111

.

Evidentemente g es un homomorfismo de anillos. Veamos que g cumple las condi-ciones del teorema 7.1.9.

(i) g (S) ⊆ K∗. Sea s ∈ S; si s = 1 no hay que probar; si s incluye solo primosde P ′, entonces s ∈ M con lo cual s

1∈ (RM−1)

∗y g (s) ∈ K∗. Supongase que

s es de la forma s = ms′ con m ∈ M y s′ no incluye primos de P ′. puesto que

8.4. TEOREMA DE GAUSS 77

g (s) = g (m) g (s′) entonces se debe probar que g (s′) ∈ K∗. Es suficiente probar queg (p) ∈ K∗ para cada primo p /∈ P ′ (ya que s′ es producto finito de tales primos).Si 〈p〉 ∩M 6= ∅ entonces existe a ∈ R tal que ap ∈ M y ap

1∈ (RM−1)

∗. De aquı se

sigue que p1∈ (RM−1)

∗y g (p) ∈ K∗. Si por el contrario 〈p〉 ∩M = ∅, entonces de

acuerdo con el ejemplo 7.2.5⟨

p1

⟩es un ideal primo de RM−1, es decir, p

1∈ T , con

lo cual g (p) ∈ K∗.(ii) Sea por otra parte a ∈ R tal que g (a) = 0. Existe m

n∈ T tal que a

1mn

= 01,

de donde amu = 0 para cierto u ∈M . mn

es producto de primos de RM−1:

mn

= r1

s1· · · ri

si, con

rj

sjprimo de RM−1, 1 ≤ j ≤ i.

Por la ultima igualdad existe t ∈M tal que

ms1 · · · sit = nr1 . . . rit.

Notese que u, t, n ∈M ⊆ S. Obtenemos pues que

amus1 · · · sit = a (nr1 · · · rit) = 0.

Queremos probar que r1, . . . , ri ∈ S. Comorj

sjes primo y

sj

1∈ (RM−1)

∗, entonces

rj

1es primo; reducimos la prueba a la verificacion de la siguiente afirmacion:Sea r ∈ R tal que r

1es primo en RM−1, entonces r ∈ S. Supongase contraria-

mente que existe un r ∈ R, r /∈ S tal que⟨

r1

⟩es primo en RM−1; sea

C :={〈r〉 ⊆ R| r /∈ S,

⟨r1

⟩es primo en RM−1

}Segun lo supuesto, C es una coleccion no vacıa de ideales principales. Por la hipotesisde la proposicion, C contiene un elemento maximal 〈r0〉. Por la construccion de C,⟨

r0

1

⟩es un ideal primo en RM−1. Segun el ejemplo 7.2.5,

⟨r0

1

⟩= IM−1, con I ideal

primo de R e I∩M = ∅. Veamos que I = 〈r0〉. Por el ejemplo 7.2.4

I ={a ∈ R| a

1∈⟨

r0

1

⟩}.

Evidentemente 〈r0〉 ⊆ I. Sea a ∈ I; a1

= bm

r0

1, donde b ∈ R y m ∈M . Existe m′ ∈M

tal que amm′ = bm′r0. Como R es un DI entonces am = br0, y ası m| br0. m es unproducto finito de primos de P ′, o, m = 1. En el ultimo caso, a ∈ 〈r0〉. Consideremosentonces el primer caso:

m = p1 · · · pn, pj primo de P ′, 1 ≤ j ≤ n. br0 = p1 · · · pnl, l ∈ R.

Supongamos que algun pj| r0. Entonces, r0 = pjw, w ∈ R. Observese que w /∈ S, ya

que de lo contrario r0 ∈ S. Tambien,⟨

w1

⟩=⟨

r0

pj

⟩=⟨

r0

1

⟩por estar pj ∈M . Ası pues,⟨

w1

⟩es primo. Se sigue entonces que 〈w〉 ∈ C y 〈r0〉 ⊆ 〈w〉; por la escogencia de 〈r0〉

se tiene que 〈r0〉 = 〈w〉, es decir, w = r0v, v ∈ R. Resulta r0 = r0pjv, 1 = pjv, encontradiccion con el hecho que pj es primo (r0 6= 0 ya que r0

1es primo no nulo de

RM−1).

78 CAPITULO 8. POLINOMIOS Y SERIES

Ası pues, pj no divide a r0, para cada 1 ≤ j ≤ n, con lo cual pj| b para cada1 ≤ j ≤ n. Esto junto con am = br0, da que a ∈ 〈r0〉, completando la prueba de〈r0〉 = I. Se tiene entonces que r0 es primo de R, contradiciendo el hecho que r0 /∈ S.Hemos completado la prueba de la condicion (ii).

(iii) Sea xz

un elemento cualquiera de K. Entonces, x ∈ RM−1 y z ∈ T ; x, z sonpues de la forma

x = am

, z = r1

s1· · · rj

sj, a ∈ R, m ∈M ⊆ S,

rj

sjprimo de RM−1, 1 ≤ j ≤ i.

xz

=am

r1...rjs1...sj

=am11

11

r1...rjs1...sj

=a1

1m11

11

r1...rj1

1s1...sj

=a111

1m11

11

r1...rj1

111

s1...sj

.

Razonando como en (ii) vemos que r1 · · · rj ∈ S. De aquı resulta

xz

= g (a) g (m)−1 g (r1 · · · rj)−1 g (s1 · · · sj),

Es decir,

xz

= g (as1 · · · sj) g (mr1 · · · rj)−1,

con as1 . . . sj ∈ R,mr1 . . . rj ∈ S. En consecuencia, la proposicion 8.4.3 esta probada.

Proposicion 8.4.4. Si R es un DI tal que cada cadena ascendente de ideales prin-cipales se detiene, entonces R [x] tiene tambien de dicha propiedad.

Demostracion. Consideremos en R [x] la cadena ascendente de ideales principales

〈a1(x)〉 ⊆ 〈a2(x)〉 ⊆ · · · ⊆ 〈an(x)〉 ⊆ · · ·

Puesto que para cada ideal i ≥ 1, ai+1(x)| ai(x), entonces resulta la cadena descen-dente de enteros no negativos

gr (a1(x)) ≥ gr (a2(x)) ≥ · · · ≥ gr (an(x)) ≥ · · ·

la cual necesariamente se detiene. Sea pues n tal que

gr (ai(x)) = gr (an(x)), para todo i ≥ n.

Denotando por ai el coeficiente principal del polinomio ai(x), entonces resulta en Rla cadena ascendente de ideales principales,

〈an〉 ⊆ 〈an+1〉 ⊆ · · · ⊆ 〈an+m〉 ⊆ · · ·

Por la hipotesis de la afirmacion existe un entero positivo m tal que

〈an+i〉 = 〈an+m〉, para todo i ≥ m.

8.4. TEOREMA DE GAUSS 79

Sea i ≥ m cualquiera; como

〈an+m(x)〉 ⊆ 〈an+i(x)〉,

entonces

an+m(x) = an+i(x)bi, con bi ∈ R.

Resulta pues

an+m = an+ibi,

lo cual combinado con

〈an+i〉 = 〈an+m〉

da que bi ∈ R∗, de donde

〈an+m(x)〉 = 〈an+i(x)〉,

completando la prueba de la proposicion.

Tenemos ya todas las herramientas para probar el siguiente teorema.

Teorema 8.4.5 (Teorema de Gauss). R es un DG, si, y solo si, R [x] es un DG.

Demostracion. ⇒) Mostremos inicialmente que cada primo de R es primo en R [x].Sea a un elemento primo de R, y sea 〈a〉 el ideal principal de R generado por a.Entonces, R/ 〈a〉 es un DI, con lo cual el anillo de polinomios (R/ 〈a〉) [x] tambienlo es. De otra parte, la correspondencia

R [x]f−→ (R/ 〈a〉) [x]

a0 + a1x+ · · ·+ anxn 7−→ a0 + a1x+ · · ·+ anx

n

con

ai = ai + 〈a〉, 1 ≤ i ≤ n,

es un homomorfismo sobreyectivo de anillos con nucleo

{ah(x) | h(x) ∈ R [x]},

es decir, el nucleo de f es el ideal principal de R [x] generado por el elemento a, delo cual se desprende que este ultimo ideal es primo y a es elemento primo de R [x].

Sea ahora S en R definido como en (8.4.1). Entonces, S es un sistema multi-plicativo de R [x]. De otra parte, segun la proposicion 8.4.2, RS−1 es un cuerpo,con lo cual RS−1 [x] es un DG. Por la proposicion 8.4.1, R [x]S−1 es un DG. Paraaplicar la proposicion 8.4.3 y concluir la prueba necesitamos mostrar que en R [x]cada cadena ascendente de ideales principales se detiene. Segun la proposicion 8.4.4es suficiente probar esto para R. Sea

〈a1〉 ⊆ 〈a2〉 ⊆ · · · ⊆ 〈an〉 ⊆ · · ·

80 CAPITULO 8. POLINOMIOS Y SERIES

una cadena de ideales principales de R. Podemos suponer sin perdida de generalidadque ai 6= 0, ai /∈ R∗ para cada i ≥ 1. Sea n(ai), i ≥ 1, ln numero de factoresirreducibles en la descomposicion de ai. Puesto que ai+1 | ai para cada i ≥ 1, entonces

n (a1) ≥ n (a2) ≥ · · · ≥ n (an) ≥ · · ·

es una sucesion de enteros positivos que debe por lo tanto detenerse. Existe puesj entero positivo tal que n (aj+1) = n (aj), para cada i ≥ 1. Nuevamente, comoaj+1 | aj entonces las descomposiciones irreducibles de aj+1 y aj coinciden salvo uninvertible, es decir, 〈aj+1〉 = 〈aj〉, i ≥ 1.

⇐) Esta implicacion es evidente si se tiene en cuenta el grado de los polinomiosy que R esta sumergido en R [x].

Ejemplo 8.4.6. Z [x], Q [x], R [x], C [x] son dominios gaussianos. Notese que segunel ejemplo 8.3.6, Z [x], es un DG, pero no es un DIP . El teorema 8.4.5 y el presenteejemplo permiten plantear la siguiente pregunta: si R es un DI, bajo que condicion(necesaria y suficiente) el anillo de polinomios R [x] es un DIP . La proposicion 8.3.7da una condicion suficiente: si K es un cuerpo K [x] es un DE, y por tanto, un DIP .Veamos que esta a su vez es una condicion necesaria. Sea a un elemento no nulo deR. Entonces existe p(x) ∈ R [x] tal que 〈a, x〉 = 〈p (x)〉. Por condiciones de grado, presulta una constante invertible. Existen entonces polinomios b (x) y c (x) tales que1 = ab (x) + xc (x). Esto implica que a ∈ R∗. Hemos probado entonces que si R esun DI se tiene que R [x] es un DE si, y solo si, R [x] es un DIP si, y solo si, R esun cuerpo.

8.5. Ejercicios

1. Sea A un anillo arbitrario. Calcule el centro del anillo de polinomios A[x].

2. SeaR unDI con cuerpo de fraccionesK. Demuestre que el cuerpo de fraccionesde R[x] es isomorfo al cuerpo de fracciones de K[x].

3. Sea K un cuerpo y f(x) ∈ K[x] un polinomio de grado n ≥ 0. Demuestre quef(x) tiene a lo sumo n raıces en K, es decir, existen a lo sumo n elementosdistintos a1, . . . , an ∈ K tales que f(ai) = 0, para 1 ≤ i ≤ n. Ademas,demuestre que para cada raız a ∈ K se tiene que x− a divide f(x).

4. Sea R un anillo conmutativo. En el anillo de polinomios R[x, y], demuestre que〈x+ y, x〉 = 〈x, y〉 = 〈x+ xy, x2, y2, y + xy〉.

5. Sea K un cuerpo y sean a, b ∈ K. Demuestre que 〈x− a, y − b〉 es un idealmaximal de K[x, y].

8.5. EJERCICIOS 81

6. Sea R un anillo conmutativo y sean I, J dos ideales de R[x1, . . . , xn]. Sea yuna nueva variable. Demuestre que I ∩ J = 〈yI, (1− y)J〉 ∩R[x1, . . . , xn].

7. Sea A un anillo. Demuestre que A[x1, . . . , xn] es un DIP si, y solo si, n = 1 yA es un cuerpo.

8. Sea A un anillo. Demuestre que A[[x1, . . . , xn]] es un DIP si, y solo si, n = 1y A es un cuerpo.

9. Sean K un cuerpo y f : K[x] → K[x] un automorfismo del anillo de polinomiosK[x] tal que la restriccion de f a K es la identica. Demuestre que existenelementos a, b ∈ K, a 6= 0 tales que f(x) = ax+ b.

10. Sea A un anillo. Demuestre que Mn(A[x]) ∼= Mn(A)[x] para cada n ≥ 1.

11. Sea A un anillo. Demuestre que Mn(A[[x]]) ∼= Mn(A)[[x]] para cada n ≥ 1.

Bibliografıa

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