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Tema 2

1.Orden de contacto2.Polinomios de Taylor3.Teorema de Taylor4.Desarrollo de McLaurin5.Aplicación al cálculo de límites6.Aplicación al cálculo aproximado

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A veces, para estudiar el comportamiento de una función en las proxi-

midades de un punto a, se sustituye la función dada por otra mas senci-

lla, más fácilmente manejable.

Si la función objeto de estudio tiene las propiedades adecuadas, se la

podrá aproximar, para x cercano a a, mediante polinomios expresados

como potencias de x-a, que se llaman polinomios de Taylor, de forma

que al aumentar el grado del polinomio mejora la aproximación.

Aproximación de funciones por polinomios

Introducción

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Orden de contacto

Si f y g son funciones derivables hasta el orden n en un entorno del punto a, entonces:

1) Si f(a) = g(a) se dice que f y g tienen un contacto de orden 0 en el punto a.

1) Si f(a) = g(a), f´(a) = g´(a) se dice que f y g tienen un contacto de orden 1 en el punto a.

1) Si f(a) = g(a), f´(a) = g´(a), f´´(a) = g´´(a) se dice que f y g tienen un contacto de orden 2 en el punto a.

4) En general, se dice que f y g tienen un contacto de orden n si f(a) = g(a), f´(a) = g´(a), …fn)(a) = gn)(a).

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Orden de contacto

f(x) = ex y T0 (x) = 1,tienenun contacto de orden ceroel punto P(0, 1).

f(0) = T0 (0) =1

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Orden de contacto

f(x) = ex y T1(x) = 1+x,tienenun contacto de orden unoel punto P(0, 1).

f(0) = T1(0) =1f´(0) = T1´(0) = 1

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Orden de contacto

f(x) = ex y T2(x) = 1+x+x2/2,tienen un contacto de orden dos en el punto P(0, 1)

f(0) = T2(0) = 1f´(0) = T2´(0) = 1f´´(0) = T2´´(0) =1

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Orden de contacto

f(x) = ex y T3(x) = 1+x+x2/2+x3/6, tienenun contacto de orden tres en el puntoP(0, 1)

f(0) = T3(0) = 1f´(0) = T3´(0) = 1f´´(0) = T3´´(0) = 1f´´´(0) = T3´´´(0) =1

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y = ex

y = 1+x+x2/2

y = 1

Representamos conjuntamente las funciones anteriores:

y = 1+x

y = 1+x+x2/2+x3/6

Orden de contacto

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Concretemos los conceptos:

Si f es una función n veces derivable en a R , entonces llamamos polinomio de

Taylor de f, de orden n (o grado n) y en el punto a, que denotamos por nT (f,a)(x)

(o bien nT (x) ), al polinomio

nT (f,a)(x)n)

2 3 nf´´(a) f´´´(a) f (a)=f(a)+f´(a)(x-a)+ (x-a) + (x-a) +...+ (x-a)

2 3! n!

Teorema

Si f admite polinomio de Taylor de grado n en el punto a entonces:

n) n)n n n nT (a)=f(a), T ´(a)=f´(a), T ´´(a)=f´´(a),...,T (a)=f (a).

Por tanto f y Tn(x) tienen un contacto de orden n en el punto a.

Al sustituir la función f por su polinomio de Taylor se comete un error, que en va-

lor absoluto, viene dado por n|f(x)-T (x)| .

Llamamos resto o termino complementario a la diferencia nf(x)-T (x) , que simboli-

zamos por nR (f, a)(x) , o bien nR (x) , luego

nR (f, a)(x) = nf(x)-T (x)

Polinomios de Taylor

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Teorema El resto nR (x) es un infinitésimo de orden superior a n(x-a) , en x = a, es decir

nnx a

f(x)-T (x)lim =0

(x-a)

El resultado anterior se indica simbólicamente así: nnR (x)=o((x-a) ) .

Teorema de Taylor (Fórmula de Taylor)

Si las funciones n+1f, f´, f´´, ..., f están definidas en [a, x], entonces existe t (a, x)

tal que

n) n+1)2 n n+1)f´´(a) f (a) f (t)

f(x)=f(a)+f´(a)(x-a)+ (x-a) +...+ (x-a) + (x-a)2 n! (n+1)!

.

A esta expresión se la conoce como fórmula o desarrollo limitado de Taylor en el

punto a.

Luego en este caso n+1)

n+1n

f (t)R (x)= (x-a)

(n+1)! , que se conoce como resto en forma de

Lagrange. Como el número t no está determinado, nR (x) tampoco lo está, aún así,

esta

expresión del resto es útil en muchas ocasiones para acotar el error cometido al

considerar en lugar de la función su polinomio de Taylor.

Teorema de Taylor

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Si es posible tomar a = 0, la fórmula de Taylor toma la forma siguiente que se co-

noce como fórmula de McLaurin:

n) n+1)2 n n+1f´´(0) f (0) f (t)

f(x)=f(0)+f´(0)x+ x +...+ x + x2 n! (n+1)!

Como t es un valor indeterminado, llamando n+1)f (t)

α=(n+1)!

, que también estará inde-

terminado, la fórmula de McLaurin se escribe

n)2 n n+1f´´(0) f (0)

f(x)=f(0)+f´(0)x+ x +...+ x +αx2 n!

más fácil de escribir y suficiente en muchas aplicaciones, como por ejemplo el cál-

culo de límites.

Fórmula de McLaurin

Desarrollo de McLaurin

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Calculemos algunos desarrollos de McLaurin de frecuente utilización. Desarrollo de McLaurin de orden n de f(x) xe :

Calculamos las derivadas sucesivas de xe , x x n) xf´(x)=e , f´´(x)=e , ..., f (x)=e n) 0f(0)=f´(0)=f´´(0)=...=f (0)=e =1 , luego sustituyendo en la fórmula queda

2 3 nx n+1x x x

e =1+x+ + +...+ +αx2 3! n!

siendo α un valor indeterminado. Desarrollo de McLaurin de orden n de f(x) = cos x: Calculamos las derivadas sucesivas de cos x:

n) πf´(x)=-sen x, f´´(x)=-cos x, f´´´(x)=sen x,...,f (x)=cos (x+n )

2

Luego: 0 1 0 0 0 1 0 0( ) , ´( ) , ´´( ) , ´´´( ) , ...f f f f , por tanto sustituyendo en la fórmula

2 4 2nn 2n+1x x x

cos x=1- + -...+(-1) +αx2 4! (2n)!

siendo α un valor indeterminado.

Algunos desarrollos de McLaurin

Desarrollo de McLaurin

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Desarrollo de McLaurin de orden n de f(x) = sen x Procediendo de forma análoga al caso anterior se obtiene:

3 5 2 11 21

3 5 2 1... ( )

! ! ( )!

nn nx x x

sen x x xn

siendo α un valor indeterminado. Observemos que el polinomio de Taylor de cos x solo tiene potencias de x con ex-ponente par, siendo cos x una función par. Análogamente el polinomio de Taylor de sen x solo tiene potencias de x con expo-nente impar, siendo sen x una función impar Desarrollo de McLaurin de orden n de f(x) = log (1+x) Calculamos las derivadas sucesivas de log (1+x)

-1 -2 -3 4) -41f´(x)= =(1+x) , f´´(x)=-(1+x) , f´´´(x)=2(1+x) , f (x)=-3.2(1+x)

1+x

Luego debe ser n) n+1 -nf (x)=(-1) (n-1)!(1+x) , y haciendo x = 0 queda 10 1 0 0 0 1 0 1 0 2 0 1 1)( ) log ( ) , ´( ) , ´´( ) , ´´´( ) , ... ( ) ( ) ( )!n nf f f f f n

Sustituyendo en la fórmula y simplificando queda: 2 3 n

n+1 n+1x x xlog (1+x)=x- + -...+(-1) +αx

2 3 n

siendo α un valor indeterminado.

Algunos desarrollos de McLaurin

Desarrollo de McLaurin

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Desarrollo de McLaurin de orden n de kf(x)=(1+x) , siendo k R

Calculamos las derivadas sucesivas de k(1+x) k-1 k-2 n) k-nf´(x)=k(1+x) , f´´(x)=k(k-1)(1+x) , ..., f (x)=k(k-1)...(k-n+1)(1+x) .

Haciendo x = 0 f(0)=1, f´(0)=k,f´´(0)=k(k-1), f´´´(0)=k(k-1)(k-2),..., n)f (0)=k(k-1)...(k-n+1) Susti-

tuyendo en la fórmula se obtiene:

k(1+x) = 2 n n+1k(k-1) k(k-1)(k-2) k(k-1)...(k-n+1)1+kx + x + x +...+ x + αx

2 3! n!

siendo α un valor indeterminado. Esta fórmula se conoce como “fórmula del binomio”y representa una generaliza-ción de la fórmula del binomio de Newton para exponente natural, ya que se puede generalizar el concepto de número combinatorio con numerador un número real cualquiera k:

k k(k-1)(k-2)...(k-n+1)

=n n!

Por ejemplo

-1 -1 -11 ( -1)( -2)- -52 2 2= =23! 16

3

.

Luego la fórmula del binomio puede escribirse así: k(1+x) = n

m n+1

m=0

kx +αx

m

Algunos desarrollos de McLaurin

Desarrollo de McLaurin

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Para obtener desarrollos de Taylor (o McLaurin) de ciertas funciones, además del procedimiento utilizado en los casos anteriores, se pueden usar desarrollos ya co-nocidos. Veamos algunos ejemplos

1) Obtener el desarrollo de McLaurin de orden dos de la función sen xf(x)=e .

Se tiene: 2 3

x 3 4x xe =1+x+ +αx , sen x=x- +βx

2 6, sustituyendo en sen xf(x)=e

sen xf(x)=e =2 3 3 3

3 4 4 2 4 3sen x x 1 x x1+sen x+ +αsen x=1+(x- +βx )+ (x- +βx ) +α(x- +βx )

2 6 2 6 6=

= 2 311+x+ x +γx

2

2) Obtener el desarrollo de McLaurin de orden cuatro de la función 2f(x)= 1-x

Como 1

2 2 21 1( )x x , podemos utilizar la fórmula del binomio tomando 1

k=2

,

y sustituyendo x por –x2 .Recordemos la fórmula del binomio de orden dos:

1k 2 3 2 2 4 6 2 4 62

1 1( -1)k(k-1) 1 1 12 2(1+x) =1+kx+ x +αx (1-x ) =1- x + x -αx 1- x - x -αx

2 2 2 2 8 .

Algunos desarrollos de McLaurin

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Los desarrollos de Taylor (McLaurin) son una herramienta eficaz en el cálculo de lími-tes: el procedimiento consiste en sustituir la función por su desarrollo correspondiente. Lo más fácil es sustituir las funciones que no son polinomios por sus desarrollos de McLaurin. Como estos desarrollos son limitados, a priori, podemos detenernos donde queramos. Si el resultado del cálculo vuelve a dar otra indeterminación tendríamos que tomar más términos en los desarrollos utilizados. Ejemplo

Calcular x 0

log (1+x)-xlim

1-cos x

Es una indeterminación del tipo 0

0. Los desarrollos que necesitamos ya han sido obte-

nidos: 2log (1+x)=x+αx , cos x=1+βx sustituyendo:

0 0

2x+αx -x -αxlim lim

1-1-βx βx x

que es una indeterminación pues α y β están indeterminados. Tomemos más términos en los desarrollos:

2 2

2 23 3x x

log (1+x)=x- +αx , cos x=1- +βx

Sustituyendo: 0 0

2 23 3

2 23 3

x xx- +αx -x - +αx

2 2lim lim =-1x x

1-1+ -βx -βx2 2

x x .

Aplicación al cálculo de límites

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Ejemplo

Calcular 0

3

2

x( 1-x-1)lim

1- 1-xx

También es una indeterminación del tipo 0

0. Las dos raíces que aparecen son casos

particulares de la formula del binomio. Para orden dos se tiene:

k 2 3k(k-1)(1+x) =1+kx+ x +αx

2.

Tomando 1 2

2 3 33 3

1 1( -1)

1 1 x x3 3k= 1-x=(1-x) =1- x+ x -αx 1- - -αx3 3 2 3 9

.

Tomando 1 2 4

2 2 2 4 6 62

1 1( -1)1 1 x x2 2k= 1-x =(1-x ) =1- x + x -βx 1- - -βx

2 2 2 2 8 .

Sustituyendo:

0 0 0

2 23 3 2

2 4 3 26 5 4

x x x x -1 xx(1- - -αx -1) - - -αx - -αx

23 9 3 9 3 9lim lim lim3x x x x 1 x

1-1+ + +βx + +βx + +βx2 8 2 8 2 8

x x x .

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Ejemplo

Calcular 0 4

cos(sen x)-cos xlim

xx

Es una indeterminación de la forma 0

0. Utilizamos los desarrollos conocidos:

2 4 3 2 45 4 5x x x sen x sen x

cos x=1- + +αx , sen x=x- +βx cos(sen x)=1- + +αsen x2 4! 3! 2 4!

.

Sustituyendo queda:

0

3 34 2 4 4

3 2 44 5 5

4

x x(x- +βx ) (x- +βx ) x x x6 61- + +α(x- +βx ) -(1- + +αx )

2 4! 6 2 4!limxx

.

Por tanto la potencia de x mas pequeña que aparece es x4, es decir, se tiene:

0 0

4

4

1 1 1 1 1[( + ) + - ]x +...

1 1 1 16 6 2 4! 4!lim lim( + ) =6 6 2 6xx x

Aplicación al cálculo de límites

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Ejercicio

Comprobar los siguientes resultados, utilizando desarrollos de Taylor-

McLaurin.

1) 0

2x cos x 2

6

e -1-x 1lim =-

247xx

2) 0

ax2

2

e - cos (ax) - sen (ax)lim a

xx , siendo a un número real no nulo.

Aplicación al cálculo de límites

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Apliquemos ahora los desarrollos de Taylor al cálculo del valor aproximado de una función en un punto, es decir, sustituimos el valor de la función por el de su polinomio de Taylor en el punto en cuestión, por lo que una cota del error cometido se obtendrá acotando el valor absoluto del resto. Ejemplo

Utilizando el desarrollo de McLaurin de xe , obtener 3 e con error menor que una diezmi-lésima. En este caso usamos el desarrollo de McLaurin en forma de Lagrange:

2 n t n+1x x x e x

e =1+x+ +...+ + , t (0, x)2 n! (n+1)!

Como 3 e = 1

3e , 1 1

x= 0<t<3 3

;se debe acotar

t n+1t

n n+1

1e ( )

e3|R |=| |=(n+1)! 3 (n+1)!

, y siendo

1 1t t 3 3

n n+1

2|e |=e <e <3 <2 |R |<

3 (n+1)!

luego se puede tomar n tal que

4 n+1n+1 4

2 1< 2.10 <3 (n+1)!

3 (n+1)! 10

desigualdad que será cierta desde un cierto valor de n en adelante. Dando valores a n, comprobamos que se cumple a partir de n = 4: 4 52.10 <3 .5!=29160

Por lo tanto el valor pedido se obtiene tomando el polinomio de orden 4, para 1

x=3

, es de-

cir:

2 3 41

3 3

1 1 1 1( ) ( ) ( )

3 3 3 3e=e =1+ + + + =1.39557...1 2 6 24

Aplicación al cálculo aproximado