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José R. Narro

TemaTema 3 3

1. Conceptos básicos: dominio, recorrido.2. Funciones reales de dos variables reales.3. Gráficas.4. Curvas de nivel.5. Trazas.6. Concepto de límite.7. Límites reiterados, según trayectorias y, direccionales.8. Utilización de coordenadas polares: Criterio de la función mayorante.9. Continuidad.

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José R. Narro

Conceptos básicos

El volumen de una caja rectangular de dimensiones: x, y, z vale xyz; este es un ejemplo de una función real de tres variables reales, que simbolizamos así:

f(x, y, x) = xyz.

En general, una función real de n variables reales es una correspondencia: que asigna a cada (x1, x2, …xn) , perteneciente a un cierto conjunto, un único valor: u=f (x1, x2, …, xn) , y lo indicamos así

f : nR R . Las variables x1, x2, …, xn se llaman independientes (que también pueden re-presentarse sin subíndices como en el caso del ejemplo) siendo u la variable dependiente. Normalmente se definen a partir de una fórmula. Ejemplos: f(x, y) = x + y2, que es una función de dos variables. Algunos valores son: f(0,-2) = 4, f(-2, 3) = 7. g(x, y, z, v) = x + y – v2, que es una función de cuatro variables. Algunos valores son: g(1, 1, -5, 0) = 2, g(-2, 0, 3, -3) = -11.

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José R. Narro

Los conceptos conocidos para funciones de una variable tienen su equivalente para funciones de n variables. Se llama dominio de una función al conjunto de puntos para los que la función tie-ne sentido. Llamamos recorrido o imagen de una función al conjunto de valores que toma la función. Nuestro estudio se centrará fundamentalmente en las funciones de dos variables, escribiéndose entonces:

Dominio de f = D = 2{(x, y) R / f(x, y)} .

Imagen o recorrido de f = Im(f)= f(x,y)/ (x,y) D .

Ejemplo Obtener el dominio de z=f(x,y)=3x-2y+7 .

El dominio es 2R , pues la fórmula que define existe para cualquier par (x, y) : D = R2.

Conceptos básicos

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Im(f)

Dom(f)

x

y

z

Dominio e imagen

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Ejemplo

Obtener el dominio de 2 22

3x-5yz=f(x, y)= (x, y) R /y-x 0

y-xD , luego el do-

minio es todo el plano R2 excepto los puntos de la parábola y = x2. Ejemplo

Obtener el dominio de 2 2 2 2 2z=f(x, y)= 9-x -y (x, y) R /9-x -y 0D .

Como x2+y2=9, es la ecuación de una circunferencia de centro el origen y radio 3, D representa el interior y la frontera de dicha circunferencia. Ejemplo

Obtener dominio de 2( , ) log( ) (x, y) R /x-y>0z f x y x y D

Luego el dominio es el semiplano inferior definido por y = x.

Conceptos básicos

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Ejercicio

Obtener el dominio de 2 2

3

log(x -2x-15)(4-y )f(x, y)=

x.

Conceptos básicos

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Las funciones de varias variables pueden operarse de igual forma que las de una variable, así para dos variables se tiene:

Suma o diferencia: (f±g)(x, y)=f((x, y)±g(x, y) Producto: (fg)(x, y)=f(x, y)g(x, y)

Cociente: f f(x, y)

(x, y)= , para g(x, y) 0g g(x, y)

Composición: (f g)(x, y)=f(g(x, y)) , siendo g una función de dos variables y f de una sola variable.

Operaciones entre funciones

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Se utilizan frecuentemente las siguientes funciones de dos variables:

a) Funciones polinómicas, que son aquellas que se escriben como suma de fun-ciones de la forma kxmyn , siendo k un número real y m y n enteros no nega-tivos .

b) Funciones racionales, que son aquellas que se expresan como cociente de dos funciones polinómicas.

Ejemplos:

f(x, y) = -x2y5 + y - 1

7xy3, es una función polinómica.

g(x, y) = 3 4

5 2

x y

x -y, es una función racional.

Funciones polinómicas y racionales

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De igual forma que para funciones de una variable, también se pueden considerar las gráficas de funciones de dos variables. La gráfica de la función de dos variables f se entiende como el conjunto de puntos de la forma (x, y, z), donde z = f(x, y) y (x, y) pertenece al dominio de f. Dicha gráfica se interpreta geométricamente como una superficie en el espacio, y se dice que z = f(x, y) es la ecuación en forma explicita de dicha superficie.

Gráficas

P(a, b)

Q(c, d)

R(m, n)

z = f(m, n)

z = f(c, d)

z = f(a, b)

z = f(x, y)

z

x

y

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Ejemplo

Estudiemos la gráfica de 2 2f(x, y)= 49-x -y

Haciendo 2 2 2 2 2 2 2 2z=f(x, y) z= 49-x -y z =49-x -y x +y +z =49 2 2 2(x-0) +(y-0) +(z-0) =7 , que representa el conjunto de los puntos del espacio cu-

ya distancia al origen vale 7, es decir se trata de la esfera de centro el origen y ra-dio7. Como la función considerada es positiva : z 0 , su gráfica es la semiesfera, con z positiva, centro el origen y radio 7.

Gráficas

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Ejemplo Estudiemos la gráfica de f(x, y) = -x+8y. Haciendo z = f(x, y) z = -x+8y, que es la ecuación de un plano siendo este la gráfica de la función.

Gráficas

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El obtener la gráfica de una función es, en general, complicado. Un método para conseguir una idea aproximada de la gráfica consiste en obtener los cortes o inter-secciones de la superficie que representa la gráfica con planos paralelos a los pla-nos coordenados, es decir, de la forma x = a, y = b, z = c siendo a, b, c números re-ales arbitrarios. Las intersecciones anteriores se llaman trazas de la superficie en el plano conside-rado. Ejemplo Estudiar la gráfica de f(x, y) = x2 + y2. La ecuación de la superficie será z = x2 + y2 Cortando por planos de la forma x = a z = a2 + y2, que son parábolas en el plano OZY. Cortando por planos de la forma y = b z = x2 + b2, que son parábolas en el plano OZX. Cortando por planos de la forma z = c c = x2 + y2, que son, para c>0, circunfe-rencias de centro el origen. Luego las trazas obtenidas sobre planos paralelos a los coordenados son parábolas o circunferencias.

Trazas

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Trazas

Gráfica de z = x2 + y2

El estudio anterior da una idea de la forma de la superficie que se llama paraboloi-de elíptico.

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Otra forma de obtener una idea aproximada de la superficie que re-presenta una función de dos variables z = f(x, y), es a traves de sus curvas de nivel (o líneas de contorno), que son aquellas curvas de la superficie donde el valor de f(x, y) permanece constante, luego su ecuación será de la forma f(x, y) = c, siendo c una constante arbitraria; gráficamente se obtienen cortando la superficie que representa a la función por planos paralelos a OXY de ecuación z = c. Si represen-tamos en un mismo plano varias curvas de nivel, correspondientes a distintos valores de c, se obtiene un mapa de curvas de nivel (o mapa de contorno), los cuales se suelen utilizar para representar regiones de la superficie terrestre, donde las curvas de nivel representan la altura sobre el nivel del mar.

Curvas de nivel

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Ejemplo

Obtener las curvas de nivel de 2 2z= 100-x -y .

Haciendo z = c c2 = 100-x2-y2 x2+y2 = 100-c2, que son circunferencias de centro el origen para c<10. Para c = 10 representa el punto (0, 0), y para c>10 no tienen significado geométrico.

Curvas de nivel

Mapa de contorno Curvas de nivel

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José R. Narro

Antes de entrar en le estudio de los límites para funciones de dos variables veremos unos conceptos previos. Recordando que la distancia entre dos puntos P(x, y) y Q(a, b) es

d(P, Q) = 2 2(x-a) +(y-b)

Definimos el δ -entorno, bola o disco bidimensional de centro Q y radio δ como el conjunto de puntos contenidos en el circulo de centro Q y radio δ

Disco cerrado 2 2 2(x, y) R / (x-a) +(y-b) δ

Disco abierto 2 2 2(x, y) R / (x-a) +(y-b) <δ

Luego el disco cerrado incluye la circunferencia o frontera y el abierto no. Estos conceptos son análogos a los de entorno cerrado o abierto para una va-riable.

Límites

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d

(a, b)

(c, d)

d

Disco abierto:no incluye la frontera Disco cerrado:

incluye la frontera

z

x

y

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Se dice que un punto Q(a, b), es un punto interior de una región R, si existe un dis-co abierto con centro en Q(a, b) y radio no nulo, completamente contenido en R . Una región se dice abierta si todos sus puntos son interiores. Un punto frontera es aquel que verifica que todo disco centrado en el contiene puntos interiores y no interiores (exteriores). Si una región contiene todos sus puntos frontera se llama cerrada.

Límites

Región abierta

Región cerrada

Punto interior

Punto frontera

z

x

y

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Para una variable, la expresión x alimf(x)=L

, donde a y L son números reales, signi-

fica que cuando x es próximo a a, entonces f(x) es próximo a L. En este caso x se puede aproximar a a de dos formas distintas: por la izquierda o por la derecha de a. En el caso de dos variables el significado de la expresión

(x, y) (a, b)lim f(x, y)=L

, siendo

a, b y L números reales, es análogo, es decir, cuando (x, y) se aproxima a (a, b) en-tonces f(x, y) se aproxima a L, pero en este caso dicha aproximación se puede hacer de infinitas formas.

Límites

a

x a- x a+

P(a, b)

y

x

z

x

y

Una variable

Dos variables

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La definición rigurosa de límite bidimensional es análoga al unidimen-sional: Si f es una función de dos variables definida en un disco abierto de centro (a, b), excepto posiblemente en (a, b), y L es un número real, entonces se dice que L es el límite de f(x, y) cuando (x, y) tiende a (a, b) y se escribe

(x, y) (a, b)lim f(x, y)=L

Si cualquiera que sea el número ε>0 , debe existir otro número δ>0 tal que

si 2 20< (x-a) +(y-b) <δ , entonces |f(x, y)-L|<ε

Notemos que al igual que en el caso de una variable el número δ depende del número ε .

Límites

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L+¶

L-¶

L

(a, b)(x, y)

Disco de radio d

z

x

y

Límite para una función de dos variables

z = f(x, y)

Límites

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José R. Narro

Aun siendo esta definición análoga al caso de una variable, existe una diferencia fundamental. Para comprobar si una función de una variable tiene límite solo necesitamos comprobar que ocurre al aproximarnos por la izquierda o por la derecha. Si los límites por la izquierda y por la de-recha coinciden entonces el límite existe. Para una función de dos varia-bles (x, y) se puede aproximar a (a, b) siguiendo infinitos caminos o tra-yectorias. Si el valor de

(x, y) (a, b)lim f(x, y)

, no es el mismo para todas las trayectorias,

entonces no existe el límite.

Límites

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José R. Narro

Si las trayectorias que utilizamos son las rectas que pasan por (a, b), al límite correspondiente le llamamos direccional. Si el límite existe su valor debe ser el mismo para cualquier trayectoria: y = (x) , o bien x = (y) , que pase por el punto (a, b), es decir: b = (a) , a = (b) . Luego debe ser

(x,y) (a,b) x a y b( , ) ( , )y= (x) ( )

lim f(x, y)= limf(x, (x))= limf(x, y) limf(γ(y), y)=Lx y a b

x y

.

Límites

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José R. NarroP(a, b)

y = j (x)

z

y

x

Límites

(x,y) (a,b) x a y b( , ) ( , )y= (x) ( )

lim f(x, y)= limf(x, (x))= limf(x, y) limf(γ(y), y)=Lx y a b

x y

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José R. Narro

Ejemplo

Estudiar el límite en el origen de la función 2

5 2

x yf(x, y)=

x +y.

Se pide estudiar la existencia de 2

5 2( , ) (0,0)

x ylim

x +yx y .

Calculemos primero los límites direccionales según las rectas que pasan por el origen, que tienen por ecuación y = mx

2

5 2 2 3 2x 0 x 0

x mx mxlim = lim =0

x +m x x +m , para cualquier m.

Calculemos ahora el límite a lo largo de la trayectoria y = x3, que pasa por (0, 0)

0 0

5

5 6

x 1lim lim =1

1+xx +xx x .

Como los límites obtenidos son distintos podemos afirmar que no existe el límite en el origen de la función dada.

Límites

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Límites

Gráfica de la función 2

5 2

x yz=

x +y

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José R. Narro

Ejemplo

Estudiar el0 0

2

2 2( , ) ( , )

ylim

x +yx y , calculándolo en su caso.

Calculemos los límites direccionales según las rectas y = mx

0 0 0

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

m x m x m |x|lim lim lim =0

x +m x |x| 1+m 1+mx x x

Como los límites obtenidos no dependen de m, es posible que el límite valga 0. Intentemos demostrar que es 0 aplicando la definición de límite

En este caso L = 0, luego se debe probar que 2

2 2

y| -0|

x +y , siempre que

2 2(x-0) +(y-0) <δ ,es decir, dado ,debe determinarse en función de . 2

2 2 2

2 22

y |y|| |= |y|= y x +y <δ

xx +y ( ) +1y

, luego tomando , queda

demostrado que el límite es 0.

Límites

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Límites

Gráfica de la función 2

2 2

yz=

x +y

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José R. Narro

Ejercicio

Estudiar el 1 2

2

2 2( , ) ( , )

5(x-1) (y-2)lim

(x-1) +(y-2)x y , calculándolo en su caso.

Límites

2

2 2

5(x-1) (y-2)z=

(x-1) +(y-2)

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José R. Narro

Consideremos la función z = f(x, y), si fijamos la variable x, f se convierte en una función solo de y, entonces tiene sentido el limf(x, y)

y b, que llamamos:

f1(x) = limf(x, y)y b

.

Análogamente, fijando y , f se convierte en una función de x, y tiene sentido llamar:

f2(y) = limf(x, y)x a

.

Si a su vez calculamos los límites de f1(x) y de f2(y), se obtienen los llamados límites reiterados o sucesivos en el punto (a, b), que son

1 2lim ( ) lim(lim ( , )), lim ( ) lim(lim ( , ))x a x a y b y b y b x a

f x f x y f x f x y

Dichos límites, en general, no tienen por que coincidir entre si, ni con el

(x, y) (a, b)lim f(x, y)

Límites reiterados

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José R. Narro

Ejemplo

Hallemos los límites reiterados de 3 33

x+y-2f(x, y)=

x +y -2 en el punto (1, 1).

1 1 1 1 1

00

0

3 23

2 233 3 3

3 23

(x -1)x+y-2 x-1 1lim(lim ) lim lim lim

1 3x xx +y -2 x -13 (x -1)

x y x x x

1 1 1 1 1

00

0

3 23

2 23 3 33

3 23

(y -1)x+y-2 y-1 1lim(lim ) lim lim lim

1 3yx +y -2 -13 (y -1)

y x y y y yy

Luego en este caso ambos límites reiterados coinciden y valen 0.

Límites reiterados

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ncio

nes r

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s d

e

vari

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ari

ab

les r

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s.

José R. Narro

Una aplicación útil de los límites reiterados la da el siguiente: Teorema Sea f : DR2 R, (a, b) R2, si los límites 1 2f (x) limf(x, y), f (y) limf(x, y),

y b x a existen y existe

(x, y) (a, b)lim f(x, y)

= L,

entonces existen los límites reiterados y coinciden con L. Los límites reiterados pueden existir y ser distintos, lo que significaría que no que no existe

(x, y) (a, b)lim f(x, y)

.

Límites reiterados

33

José R. Narro

Intr

odu

cció

n a

l Cál

culo

In

fin

ites

imal

Tem

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s.

José R. Narro

Ejemplo

Estudiemos el 0 0

2 2

2 2( , ) ( , )

x -ylim

x +yx y , utilizando los límites reiterados.

0 0 0 0 0 01 1

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

x -y x x -y -ylim(lim ) lim( ) , lim(lim ) lim( )

x +y x x +y yx y x y x y .

Luego no existe el 0 0

2 2

2 2( , ) ( , )

x -ylim

x +yx y .

Límites reiterados

2 2

2 2

x -yz=

x +y

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José R. Narro

Los límites reiterados pueden existir, ser iguales, y no existir (x, y) (a, b)

lim f(x, y)

:

Ejemplo: Estudiemos

0(x, y) (0, )lim f(x, y)

, utilizando los límites reiterados y siendo

2 2

xysi (x, y) (0, 0)

x +yf(x, y)

0 si (x, y)=(0, 0)

0 0 02 2

xylim(lim ) lim 0=0

x +yx y x ,

0 0 02 2

xylim(lim ) lim 0=0

x +yy x y .

Luego los límites reiterados existen y valen 0. Estudiemos el límite direccional según las rectas y = mx

0 0 0

2

2 2 2 2( , ) ( , )

mx mlim f(x, y) lim =

x +m x 1+mx y xy mx

, como el límite depende de m, no existe

0(x, y) (0, )lim f(x, y)

.

Límites reiterados

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José R. Narro

Intr

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Tem

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José R. Narro

Puede existir el límite 0(x, y) (0, )

lim f(x, y)

sin que exista alguno o ninguno de los

límites reiterados. Ejemplo. Estudiar el

0(x, y) (0, )lim f(x, y)

y, los límites reiterados, siendo

0

0

y si xf(x, y)

-y si x

Probemos que el límite es 0 utilizando la definición. Dado 0 , |f(x, y)-0| | y| , esto se debe cumplir tomando un

conveniente que verifique 2 2 2 2 2x +y , como |y|= y x +y , se pue-

de tomar , luego se ha probado que el límite es 0. Calculemos los límites reiterados

0 0lim f(x, y)=y, lim f(x, y)=-yx x

luego para y 0, no existe

x 0limf(x, y)

por tanto tampoco existe el límite reiterado

0 0lim(limf(x, y))y x

.

Límites reiterados

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José R. Narro

Intr

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Tem

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José R. Narro

En ciertos casos se puede simplificar el estudio del límite de una función mediante la utilización de coordenadas polares, ya empleadas en la representación de núme-ros complejos. Recordemos que si (x, y) son las coordenadas cartesianas de un punto P del plano, entonces sus coordenadas polares ( , ) verifican

x=ρcosθ

y=ρsenθ

donde , representa la distancia de P al origen de coordenadas O, y es el ángulo entre OP y la dirección positiva de eje OX.

P(x, y)

q

r

x

y

O

Y

X

x=ρcosθ

y=ρsenθ

Uso de coordenadas polares

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José R. Narro

Uso de coordenadas polares

Si sustituimos x, y por sus expresiones en polares, la función z = f(x,y) toma la forma:

z=f(ρcosθ, ρsenθ) . Se verifica el siguiente Teorema (Criterio de la función mayorante) Una condición necesaria y suficiente para que exista

0 0( , ) ( , )lim f(x, y)=L

x y , es que la

expresión |f(ρcosθ, ρsenθ)-L| esté acotada por una función F( ρ ), para cualquier

valor de , cumpliéndose además que 0

lim F(ρ)=0

.

Ejemplo

Demostrar, utilizando el criterio anterior que 0 0

3 2

2 2( , ) ( , )

x +2xylim =0

x +yx y .

La expresión a acotar es 3 3 3 2

3 22 2 2 2

ρ cos θ+2ρ cosθsen θ| -0|=|ρcos θ+2ρcosθsen θ|

ρ cos θ+ρ sen θ

3 2|ρcos θ|+|2ρcosθsen θ| ρ+2ρ=3ρ=F(ρ) , luego 0

lim F(ρ)=0

, como se quería

demostrar.

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José R. Narro

Uso de coordenadas polares

Ejercicio Demostrar el resultado anterior utilizando la definición de límite.

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José R. Narro

Ejemplo

Haciendo uso del criterio anterior comprobar que el 0 0 2 2( , ) ( , )

xlim arccos( )

x +yx y , no

existe.

Pasando a polares intentamos acotar ρcosθ

|arccos( )-l|=|arccos(cosθ)-l|=|θ-l|ρ

, como

θ puede aumentar tanto como se quiera, es imposible acotar la expresión anterior, luego el límite considerado no existe.

Uso de coordenadas polares

2 2

xz=arccos( )

x +y

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José R. Narro

Ejemplo

Utilizando polares (es decir, el teorema anterior) probar que0 0

2 2

-1

x +y

2 2( , ) ( , )

elim =0

sen( x +y )x y .

Pasando a polares acotamos 2 2

-1 -1

ρ ρe e| -0|=senρ senρ

= F( ρ) . Hay que probar que 0

lim F(ρ)=0

.

Haciendo el cambio 1

t=ρ

0

0

0

2 2 2-t -t 3 -t

2

e -2te 2t elim F(ρ)= lim lim lim

1 -1 1 1sen cos cos

t t tt

t t t .

Se tiene que 1

cos 1t ,

2

2

33 -t

t

tt e = 0

e , pues el infinito exponencial es de orden supe-

rior al infinito potencial (también se puede aplicar L´Hôpital), luego

0

lim F(ρ)=0

.

Uso de coordenadas polares

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José R. Narro

Si f es una función de dos variables, definida en una región abierta D, se dice que es continua en un punto (a, b) D, si se verifican las condiciones siguientes:

1) Existe el (x, y) (a, b)

lim f(x, y)

.

2) (x, y) (a, b)

lim f(x, y)

= f(a, b).

La función f se dice continua en la región abierta D, si es continua en cada punto de D.

Continuidad

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José R. Narro

Ejemplo Estudiar la continuidad de la siguiente función en el punto (0, 0)

02 2

2 2

2 2

xyx +y

x +y( , )

1 si x +y =0

sif x y

Calculemos los límites direccionales según las rectas y = mx

0 0 0 0 0

2 2

2 2 2 2 2 2 2( , ) ( , )y=mx

xy mx mx mlim lim lim lim|x|=0

x +y x +m x |x| 1+m 1+mx y x x x

Luego el límite si existe debe ser 0. Intentemos probarlo usando coordenadas pola-res

2ρ cosθsenθ| -0|=|ρcosθsenθ|=ρ|cosθ||senθ| ρ11=ρ

ρ , por tanto F(ρ ) = ρ , siendo

0lim F(ρ)=0

.

Se ha probado que 0 0( ) ( , )

lim f(x, y)=0xy

, consecuentemente , f no es continua en (0,0),

pero si modificamos su valor en (0, 0), poniendo f(0,0) = 0, será continua en dicho punto. Este tipo de discontinuidad, por la razón vista, se llama evitable. Si el límite no hubiese existido la discontinuidad se llamaría inevitable.

Continuidad

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José R. Narro

Continuidad

2 2

xyz=

x +y

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José R. Narro

Ejercicio

Comprobar que la función 2 2

32 2

x -yf(x, y)=( )

x +y, tiene una discontinuidad inevitable

en el punto (0, 0).

Continuidad

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José R. Narro

Propiedades de las funciones continuas: Si c es un número real y f, g son funciones continuas en (a, b), entonces las funcio-nes siguientes son continuas en (a, b).

1) Producto por un número cf 1) Producto fg 2) Suma o diferencia f g 3) Cociente f/g, siendo g(a, b) 0

Como consecuencia de estas propiedades se deduce que las funciones polinómicas y racionales son continuas en todo su dominio. Para la composición de funciones continuas se tiene el siguiente Teorema Si h es una función de dos variables, continua en (a, b) y, g es una función de una variable continua en h(a, b), entonces la función compuesta (g o h)(a, b) = g(h(a, b)) es continua en (a, b).

Continuidad

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José R. Narro

Ejemplos:

1) La función 2 2x +yf(x, y)=e es continua en todo R2 por ser composición de las

funciones: g(x) = ex y h(x, y) = 2 2x y

2) La función f(x, y) = cos(log(x+y)), es continua en el semiplano x+y>0, por

ser composición de las funciones: g(x) = cos x , h(x, y) = log(x + y).

Continuidad