Origen y desarrollo histórico del cálculo infinitesimal

ORIGEN Y DESARROLLO HIST�ORICO DEL C�ALCULO

INFINITESIMAL

M.C. Mu~noz-Lecanda 1 , N. Rom�an-Roy 2

Departamento de de Matem�atica Aplicada y Telem�atica

C/ Jordi Girona 1; Edi�cio C-3, Campus Norte UPCE-08034 BARCELONA

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�Indice General

1 Introducci�on 3

2 Origen hist�orico: los problemas 4

2.1 El problema de las tangentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.2 Problemas de m�aximos y m��nimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.3 Problemas de integraci�on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.4 Otros problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3 Newton y Leibnitz 9

3.1 El c�alculo seg�un Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3.2 El c�alculo seg�un Leibnitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.3 Comparaci�on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.4 Desarrollos inmediatos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

4 El siglo XVIII 13

4.1 Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

4.1.1 Sobre el concepto de funci�on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

4.1.2 Tratamiento de las funciones elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4.1.3 Derivadas y diferenciales de las funciones elementales . . . . . . . . . . . . . . 16

4.1.4 Sobre la f�ormula de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

4.1.5 Otros temas tratados por Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

4.2 Problemas con las series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4.3 Controversias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

5 El siglo XIX 19

1

M.C. Mu~noz-Lecanda, N. Rom�an-Roy: Origen y desarrollo... 2

5.1 Funciones y continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

5.2 Derivaci�on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

5.3 Integraci�on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

5.4 Convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

5.5 Los n�umeros reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

Cap��tulo 1

Introducci�on

Es tradicional decir que Newton y Leibnitz inventaron el c�alculo in�nitesimal. Normalmente se

atribuye a personas concretas las invenciones concretas, pero no los m�etodos generales, que suelen

ser resultado de la evoluci�on hist�orica de los problemas y de las soluciones particulares que se

han ido dando a cada uno. Sin embargo, el c�alculo in�nitesimal se atribuye en concreto a los

mencionados investigadores, habiendo sido el m�etodo que ha posibilitado la resoluci�on de un mayor

n�umero de problemas dispares desde su descubrimiento.

Desde este punto de vista, el trabajo de Newton y Leibnitz es extraordinario pero no es el �unico.

La situaci�on es semejante a la atribuci�on a Einstein de la teor��a de la Relatividad. Evidentemente

su trabajo es enorme; pero su labor, como la de los anteriores, tiene el m�erito de haber sido de una

s��ntesis y de una imaginaci�on inmensa para conseguir unir todos los problemas en uno y dar una

sola soluci�on a todos ellos.

Este es el punto de vista que se va a seguir en este corto repaso del desarrollo hist�orico del

c�alculo. Hay unos nombres concretos, pero, sobre todo, est�a el trabajo de muchas personas que

hacen evolucionar el conocimiento humano.

Inicialmente se van a analizar los problemas que dieron origen al c�alculo y otros problemas de la

�epoca que, aunque no eran exactamente de c�alculo, posibilitaron las soluciones, que se describir�an

brevemente. Seguidamente se expondr�a sucintamente parte de los trabajos de Newton y Leibnitz

y se har�a una comparaci�on de los mismos. A continuaci�on se efectuar�a una corta relaci�on de los

desarrollos que se hicieron a lo largo de los siglos XVIII y XIX y de los nuevos problemas que se

abordaron en ellos.

Debe se~nalarse que no se pretende aqu�� hacer un estudio del desarrollo hist�orico del an�alisis ma-

tem�atico, que tiene muchas ramas hoy claramente diferenciadas, sino solamente de lo concerniente

al llamado c�alculo in�nitesimal. De ah�� que, aunque se haga alguna referencia a otras cuestiones

(por la in uencia que tuvieron en el c�alculo), realmente la exposici�on se va a centrar, en princi-

pio, en los problemas de derivaci�on e integraci�on de funciones, y despu�es en los de continuidad de

funciones y convergencia de series.

3

Cap��tulo 2

Origen hist�orico: los problemas

La situaci�on de los problemas matem�aticos a mediados del siglo XVII era aproximadamente la

siguiente: adem�as de tener readquiridos los resultados y m�etodos de la matem�atica griega, el

desarrollo de la geometr��a anal��tica (el m�etodo de las coordenadas) hab��a permitido plantear y

resolver algunos problemas relacionados con curvas, de las cuales se conoc��an muchos tipos. Por

otra parte, la f��sica proporcionaba un punto de vista cinem�atico: una curva pod��a interpretarse

como la trayectoria de un punto material m�ovil.

Varios tipos de problemas se planteaban sobre las curvas. Aunque la clasi�caci�on existente en

aquel momento era m�as amplia (pues se utilizaba un m�etodo apropiado para cada problema), se

va a simpli�car utilizando el punto de vista, e incluso el lenguaje, actuales.

2.1 El problema de las tangentes

Es el problema de hallar la ecuaci�on de la tangente a una curva dada, en un punto. Su origen es

geom�etrico y t�ecnico. Geom�etricamente, proviene del tiempo de los antiguos griegos, que obtuvieron

las tangentes de algunas curvas. Por otra parte, era necesario resolver este problema para el dise~no

de lentes �opticas (una cuesti�on importante en la �epoca de la que hablamos, el siglo XVII). Tambi�en

desde un punto de vista f��sico ten��a su relevancia, por cuanto era importante conocer la direcci�on

instant�anea de un movimiento curvo.

Apolonio (190 a.C.) construy�o las tangentes a las c�onicas. Arqu��medes (287-212 a.C.) hizo lo

propio para las espirales. Sin embargo, el punto de vista griego era \est�atico": la tangente era la

recta que cortaba a la curva en un s�olo punto, \dej�andola a un lado". No hab��a, pues, proceso de

paso al l��mite.

Fermat (1601-1665) obtuvo un m�etodo para hallar la tangente a una curva de�nida por un

polinomio: y = f(x) = a0 + a1x+ :::+ anxn, m�etodo que, en realidad, no hac��a ninguna referencia

al paso al l��mite, sino que se apoyaba en el siguiente razonamiento: si f(x) es un polinomio, entonces

f(x+h)� f(x) es un polinomio en h divisible por h, de modo que se hace la divisi�on y se eliminan

los t�erminos en h, y se obtiene as�� la ecuaci�on de la recta tangente. (Obs�ervese que este sistema es

el utilizado, hoy en d��a, para calcular derivadas por los estudiantes de bachillerato, que no manejan

con soltura el concepto de l��mite.) El punto de vista de Fermat no es, por tanto in�nitesimal,

aunque est�a realmente cercano, ya que al �nal acaba haci�endose h = 0 al eliminarse los t�erminos

4


en h.

Descartes (1596-1650) a�rma que el problema geom�etrico que m�as desea solucionar es el de las

tangentes. Su procedimiento es todav��a menos in�nitesimal que el de Fermat y consiste en trazar

la circunferencia con centro en el corte de la normal a la curva (en el punto que se considere)

con el eje de abscisas y que pase por el punto en cuesti�on. Se impone la condici�on de que la

circunferencia no corte a la curva en ning�un otro punto y de esta manera se tiene como tangente

la de la circunferencia en este punto. Este m�etodo es �util para curvas y = f(x) tales que (f(x))2

sea un polinomio sencillo. Con �el se retorna a la situaci�on griega, completamente \est�atica". Tanto

este m�etodo como el anterior fueron mejorados con posterioridad.

Barrow (1630-1677) parece que utiliza la idea de que la tangente es el l��mite de las secantes

para aplicar el m�etodo de Fermat a curvas dadas en forma impl��cita: f(x; y) = 0. Ya se ver�a m�as

adelante que, no obstante, Barrow segu��a con la idea griega de que la tangente era la recta que

cortaba a la curva en un solo punto.

Por otro lado, en esos mismos a~nos (hacia 1650), se consigui�o determinar la tangente a algunas

curvas por m�etodos \cinem�aticos". Para ello se daba la curva en forma param�etrica (con par�ametro

el tiempo) y se interpretaba la velocidad como la suma (vectorial) de las velocidades seg�un los ejes.

Era, pues, necesario que los dos movimientos tuvieran \buenas" velocidades. De este modo se

determin�o la tangente a la cicloide, a la par�abola y a la elipse.

2.2 Problemas de m�aximos y m��nimos

Como el t��tulo indica, se trata de hallar el m�aximo y el m��nimo de una funci�on dada. Como

ejemplos pr�acticos podr��amos tener los siguientes: el alcance de un proyectil depende del �angulo de

inclinaci�on del tubo del ca~n�on. >Cu�al es el �angulo que maximiza dicho alcance? En el movimiento

planetario, >cu�ales son las distancias m�axima y m��nima de un planeta al Sol?

El primer trabajo sobre este problema es de Kepler (1571-1630), quien tuvo que dise~nar cubas

de vino de manera que tuvieran la m�axima capacidad, lo cual motiv�o su estudio sobre la cuesti�on.

Encontr�o que el paralelep��pedo de base cuadrada y volumen m�aximo inscrito en una esfera es el

cubo (lo obtuvo midiendo muchas formas distintas). Lo esencialmente importante es su comentario

de que, al acercarse al valor m�aximo, para un cambio �jo en las dimensiones, el volumen crece cada

vez m�as lentamente. La lectura actual de este hecho es que la derivada se anula en un m�aximo

relativo.

Fermat parece que da un m�etodo de hallar extremos por medio de lo que el denomina \pseu-

doigualdades". A�rma que en un punto se alcanza un m�aximo si para un incremento in�nitesimal

de la variable la funci�on no var��a. La esencia es semejante a la ya comentada sobre el problema de

la tangente.

2.3 Problemas de integraci�on

Son los problemas de determinar longitudes de curvas, �areas encerradas por curvas, centroides,

etc. Y tambi�en problemas din�amicos, como hallar el espacio recorrido por un m�ovil conocida la

expresi�on de su velocidad, o el espacio recorrido por un cuerpo sometido a la atracci�on gravitatoria


de otro cuerpo puntual.

Los griegos, sobre todo Arqu��medes, hab��an resuelto algunos casos particulares del c�alculo de

�areas y vol�umenes por el m�etodo llamado \exahustivo" o \m�etodo de llenado": se supone que el

�area encerrada por una curva existe y se halla una sucesi�on de pol��gonos regulares inscritos en la

curva, cuya suma de �areas se aproxime a la deseada. Este �area est�a bien calculada por Eudoxio

(>408-355? a.C.) sin usar expresamente el paso al l��mite, pero s�� teniendo clara la idea de que k=2n

tiende a 0 cuando n crece. Otro m�etodo usado es el de la \compresi�on": para probar que el �area,

el volumen o la longitud buscada, M , es igual al valor C, se toman dos sucesiones de cuerpos fSng

y fIng de �areas, volumenes o longitudes conocidas y tales que veri�quen:

1. Sn > M > In , Sn > C > In;

2. dado " > 0, Sn � In < " �o Sn

In< 1 + ", para n su�cientemente grande (recu�erdese que el

signi�cado de Sn � In < " estaba aclarado por Eudoxio para el caso " = 1=2n).

Estos m�etodos y los resultados de Arqu��medes se conocieron en Europa en el siglo XVI. Se

mejoraron y aplicaron a gran variedad de problemas sin temor al paso al l��mite, ni al in�nito ni a

los n�umeros irracionales. Ello produjo una amalgama de procedimientos, con una base muy pobre,

pero muy poderosos. Algunos de ellos son los que, a continuaci�on, se describen de forma r�apida:

� Kepler estudio la manera de hallar el volumen de cuerpos de revoluci�on, descomponi�endolos

en partes indivisibles de la forma adecuada a cada problema. As�� determin�o el volumen de

m�as de noventa cuerpos diferentes.

� Galileo (1564-1642) justi�c�o que el espacio recorrido por un m�ovil era igual al �area compren-

dida entre la curva de la velocidad y el eje del tiempo. Esta idea es muy importante, dado

que uni�caba dos problemas de or��genes bien diferentes: la longitud de una curva y el �area

bajo otra.

� Fue Cavalieri (1598-1647), un alumno de Galileo, quien utiliz�o de manera sistem�atica t�ecnicas

in�nitesimales para resolver este tipo de problemas. Compar�o las �areas (o vol�umenes) de los

\indivisibles" que forman una �gura con los que forman otra, deduciendo que si aqu�ellas se

hallaban en una determinada relaci�on, tambi�en lo estaban en esa misma las de las �guras

correspondientes. Adem�as, Cavalieri descompuso las �guras en indivisibles de magnitud in-

ferior. As��, para calcular vol�umenes, cortaba los cuerpos y med��a las �areas de las secciones.

Esto supon��a una ruptura con los procedimientos previos de los griegos y de Kepler. Su pos-

tura puede resumirse en una frase que se le atribuye: \el rigor es cosa de los �l�osofos, no de

los matem�aticos". Estaba m�as interesado en los resultados pr�acticos de los c�alculos que en la

justi�caci�on �ultima de lo que eran los \indivisibles".

El llamado teorema de Cavalieri fue enunciado de la siguiente forma: \si dos cuerpos s�olidos

tienen la misma altura y al hacer secciones paralelas a la base las �areas de las secciones est�an

siempre en una proporci�on �ja, entonces en esa misma proporci�on est�an los vol�umenes".

Su justi�caci�on la hizo transformando un s�olido en otro mediante la transformaci�on de las

secciones a lo largo de la altura. Este resultado fue expuesto en 1635 en su libro Geometr��a

de los indivisibles.

� Otro de sus resultado fue la f�ormula que hoy se escribe en la forma

Za

0

xndx =

an+1

n+ 1, y que

obtuvo estudiando el cuerpo engendrado al girar la curva de ecuaci�on y = xn en torno al eje


de abscisas. Evidentemente, el resultado general lo conjetur�o, tras haberlo demostrado para

valores peque~nos de n.

� Los problemas de hallar el �area entre un arco de curva y el eje de abscisas se denomina-

ron problemas de cuadratura y fueron arduamente trabajados, como se est�a viendo. Para

llegar a probar la expresi�on de la integral anterior, fue necesario obtener previamente que

1

nk+1

nXh=1

hk n!1�!

1

k + 1(donde k es un n�umero natural), lo que dio lugar a trabajos de Fer-

mat, Pascal y del mismo Cavalieri. Tambi�en se consigui�o calcular esa integral en el caso en

que el exponente es un n�umero racional. El trabajo principal es de Wallis (1616-1703), que lo

prob�o para n = 1=q. El resultado general es de Fermat y tambi�en de Torricelli (1608-1647),

que era otro disc��pulo de Galileo.

M�as di�cultades llev�o el problema del c�alculo de la longitud de una curva (la recti�caci�on). En

primer lugar porque no se cre��a que una curva pudiera tener la misma longitud que un segmento

de recta construible. Incluso Descartes pensaba que era un problema del que pudiera no haber

soluci�on.

Sin embargo se consiguieron recti�car curvas. As��, en el a~no 1657 (1659, seg�un algunos es-

tudiosos), Neil (1637-1670) recti�ca la par�abola semic�ubica y2 = x

3, Wreu (1632-1723) recti�ca

la cicloide, Fermat hace lo propio con otras varias y Gregory (1638-1675) da en 1668 un m�etodo

general para recti�car curvas. Los primeros resultados se obtuvieron inscribiendo pol��gonos, au-

mentando el n�umero de lados y disminuyendo as�� la longitud de �estos; aunque se ayudaban con

curvas auxiliares y m�etodos esf�ericos para calcular las sumas que se obten��an.

Como comentario �nal, cabe decir que uno de los problemas de esta �epoca fue el no saber

relacionar el problema de las tangentes con el de la integraci�on. As��, se ten��an los resultados de

que el �area bajo la curva y = xn es

xn+1

n+ 1, y que la tangente a la curva y =

xn+1

n+ 1tiene pendiente

xn, pero esto no indujo a pensar que, en general, los dos problemas estuvieran relacionados. Hay

un momento en que Barrow llega a intuirlo, pero no se da cuenta completa de ello y deja para su

disc��pulo Newton (1642-1727) la soluci�on de la cuesti�on. En realidad, al parecer, Barrow no supo

salir de la idea \est�etica" de la tangente a una curva.

2.4 Otros problemas

Las necesidades de la navegaci�on hicieron que Napier (1550-1617) estudiase y construyese las tablas

de logaritmos en 1614, que, corregidas por Briggs (1561-1631), dieron origen a los logaritmos tal

como hoy son conocidos. Ello dio lugar a una nueva funci�on que entonces no se entend��a como

tal y que pronto se relacion�o con el �area bajo la hip�erbola de ecuaci�on y = 1=x. El primero

que lo hizo fue Gregory, observando que dicha �area no s�olo veri�caba la propiedad del producto,

sino otras propiedades. Newton obtuvo una serie para calcular logaritmos, lo cual origin�o otro

de los problemas precursores de los trabajos posteriores del propio Newton y de Leibnitz (1646-

1716): el manejo del in�nito. Se hac��a, pues, uso (sin ninguna justi�caci�on rigurosa) de las series

de potencias, que eran obtenidas, en general, dividiendo polinomios por potencias crecientes. En

ning�un momento se aclaraba qu�e signi�caba la suma o la convergencia de estas series. La diferencia

con los griegos, tal como ya se ha comentado, estribaba en haber perdido el miedo al paso al l��mite

y al manejo del in�nito.


Pero no acababa aqu�� la cosa. Newton estaba convencido de que todo lo que era posible hacer

con sumandos �nitos tambi�en se pod��a hacer con las series, y as�� lo hac��a, obteniendo, en general,

resultados correctos, veri�cados merced a las comprobaciones num�ericas que �el mismo efectuaba

frecuentemente.

Cap��tulo 3

Newton y Leibnitz

En el apartado anterior se han repasado algunos de los problemas que estaban planteados hacia

mitades del siglo XVII y que ten��an que ver con el c�alculo. Muchos de ellos ten��an sus soluciones

particulares. El trabajo de Newton y Leibnitz consisti�o fundamentalmente en efectuar una s��ntesis,

en elaborar un m�etodo general para atacarlos todos. Pero tambi�en fue un detenerse para recapitular

y darse cuenta de que aquel era un buen punto de partida para progresar. En otras palabras, se

aprovech�o un momento en que hab��a muchas experiencias y era necesario elaborar la teor��a (dicho

en t�erminos de ciencia experimental).

A continuaci�on, se van a analizar y comparar los trabajos de ambos.

3.1 El c�alculo seg�un Newton

Los trabajos de Newton ocupan, en ediciones modernas, m�as de cinco mil p�aginas. Es imposible

dar aqu�� un resumen coherente de todos ellos, ni a�un s�olo de los referidos al c�alculo in�nitesimal,

ya que la visi�on de Newton es general e impone su punto de vista f��sico o mec�anico en todas las

cosas que lleva a cabo. A este respecto, es admirable la capacidad de observaci�on, de imaginaci�on

y de cr��tica constante de todo lo que hace y que queda de mani�esto a lo largo de toda su obra.

En general Newton no public�o los trabajos que iba escribiendo, sino que los divulgaba entre sus

alumnos y conocidos, por miedo a las cr��ticas.

En 1666 introdujo las \ uxiones", que es lo que hoy se conoce con el nombre de derivadas.

Newton imaginaba una curva como una ecuaci�on f(x; y) = 0, donde x e y eran funciones del

tiempo; es decir, part��a de la imagen cinem�atica de curva como trayectoria de un m�ovil. La

velocidad en cada punto ten��a como componentes las velocidades seg�un las direcciones de los ejes,

�x e �y; funciones que el denominaba uxiones. Para hallar la pendiente de la recta tangente a la

curva en un punto calculaba el cociente �y=�x. (Hay que se~nalar que esta notaci�on es posterior.

Newton la us�o hacia 1690.) De esta manera, calculaba las tangentes f�acilmente. Seguidamente

se propuso el problema inverso: conocido el cociente f(x) = �y=�x, >c�omo hallar y en funci�on de

x? Newton estudi�o casos particulares de la funci�on f y de las variables que en ella intervienen.

Es lo que hoy se conoce como resoluci�on de ecuaciones diferenciales o antidiferenciaci�on. Newton

a�rmaba que de esta manera se pod��an resolver todos los problemas, lo cual da idea de su visi�on

de futuro, aun cuando �el s�olo pudiera resolver casos particulares.

9


Para estudiar el c�alculo del �area bajo una curva por m�etodos de antidiferenciaci�on, primero

investig�o la variaci�on del �area al variar la abscisa. As�� obtuvo el teorema fundamental del c�alculo

(exactamente igual a como hoy se les hace a los alumnos de bachillerato, con funciones continuas y

usando la propiedad de aditividad del �area.) Debe se~nalarse que para Newton todas las funciones

eran continuas, ya que se trataba de las trayectorias de movimientos continuos (que era el concepto

que en su tiempo se ten��a de continuidad.)

Aqu�� se unen dos problemas previos: el de las tangentes y la integraci�on. De este modo, los

\indivisibles" se relacionan con los m�etodos de hallar tangentes y Newton se percata de que este

procedimiento uni�cador es el que va a permitir adelantar en el progreso, no s�olo referido a esos

problemas, sino en el de la comprensi�on de la naturaleza.

Newton desarroll�o m�etodos de derivaci�on e integraci�on; en particular, la regla de la cadena

y el m�etodo de sustituci�on, as�� como la propiedad de linealidad, y construy�o, adem�as, tablas de

derivadas e integrales.

Para el c�alculo de �areas necesitaba conocer los puntos de corte de la curva con el eje. Con ese

motivo invent�o el llamado posteriormente m�etodo de Newton para calcular ra��ces aproximadas (y

que se sigue usando tal como �el lo desarroll�o.) Hay que se~nalar, no obstante, que �el no hace la

interpretaci�on geom�etrica habitual del m�etodo, sino que su versi�on se basa en realizar peque~nas

variaciones de la variable e ir aproximando la funci�on como si fuera una serie. Adem�as, como utiliza

funciones impl��citas f(x; y) = 0, necesita despejar y en funci�on de x; de ah�� que su idea para el

c�alculo de ra��ces no sea geom�etrica, sino que trata de obtener la variable y como una serie en la

variable x, para despu�es integrar t�ermino a t�ermino.

Este uso no justi�cado de las series (y otros posteriores) no le pas�o desapercibido. Ten��a una

idea intuitiva de la convergencia, aunque no lleg�o a explicarla. Incluso lleg�o a a�rmar que, m�as que

una demostraci�on, lo que hac��a era una explicaci�on corta del m�etodo.

Al abordar los problemas de m�aximos y m��nimos, lleg�o de inmediato a la conclusi�on de que

la derivada es nula en un extremo. Aqu�� se dio cuenta de que no siempre la variable va a ser el

tiempo, cosa que comenta: \el tiempo se puede sustituir por otra variable ( uente) que uya con

continuidad".

Sobre el problema de recti�caci�on de curvas, Newton dio las f�ormulas integrales que se explican

en los cursos de c�alculo, y las aplic�o a muchos casos concretos.

Como ya se ha comentado, el trabajo de Newton no acaba aqu��. En realidad se puede decir

que parti�o de una visi�on de la naturaleza y construy�o el c�alculo in�nitesimal como una necesidad

para explicar y desarrollar esa visi�on. A este respecto hay que a~nadir que, desde luego, no era

indiferente a los problemas matem�aticos de su tiempo, pero tampoco a todos los dem�as, y a todos

dedic�o parte de sus energ��as.

3.2 El c�alculo seg�un Leibnitz

El punto de partida de Leibnitz es distinto al de Newton. �Este parte de ideas f��sicas, mientras

que aqu�el lo hace de ideas �los�o�cas, tratando de buscar un lenguaje universal y, quiz�as, su mayor

contribuci�on al c�alculo sea precisamente dicho lenguaje, que a�un es usado. Leibnitz cre�o un lenguaje

mediante el cual, por sencillas manipulaciones, se obtienen f�ormulas que resultan ser las verdaderas


y que, naturalmente, hay que comprobar.

Ya ha sido comentado que Newton no public�o sus trabajos sobre el c�alculo hasta muy posterior-

mente. En el caso de Leibnitz la situaci�on es peor todav��a, puesto que, pr�acticamente, ni siquiera

lo escribi�o en forma ordenada, salvo peque~nas contribuciones. Su Historia y origen del c�alculo

Diferencial fue escrito mucho m�as tarde de su creaci�on. As�� s�olo se tienen muchos papeles en los

que iba anotando sus ideas y resultados.

Sus primeros estudios matem�aticos datan de 1666 y versan sobre progresiones aritm�eticas de

orden superior, en concreto, sobre c�omo la suma de las diferencias est�a relacionada con los t�erminos

de la sucesi�on. De hecho, este es el origen de su desarrollo del c�alculo: obtener y calcular sumas.

Hacia 1673 est�a convencido de la importancia del problema de las tangentes y del problema

inverso, sobre el cual tiene la certeza de que consiste en hallar �areas y vol�umenes. Su primer trabajo

sobre el c�alculo de �areas lo efect�ua integrando las funciones polin�omicas, de las cuales da las reglas

de integraci�on; queda claro que entiende la integral como el �area bajo la curva y �esta como l��mite

de in�nit�esimos. Adem�as va cambiando la notaci�on continuamente, en busca de la mejor, que es la

que hoy en d��a se usa.

Interpreta la derivada como el cociente de los in�nit�esimosdy

dx, aunque es incapaz de aclarar

qu�e son dichos in�nit�esimos. Incluso, en alg�un momento, llega a escribir que no cree en ellos, a

pesar de haber escrito abundantes p�aginas tratando de justi�carlos y explicarlos.

Al igual que Newton, resuelve en uno solo todos los problemas que estaban abiertos: tangentes,

integraci�on y m�aximos y m��nimos. Adem�as es consciente de que el c�alculo in�nitesimal es una

ruptura con todo lo precedente, en el sentido de que es un paso adelante sin retorno.

3.3 Comparaci�on

Es conocida la historia sobre las acusaciones de plagio que sufri�o Leibnitz, problemas que no fueron

entre Newton y Leibnitz, sino entre sus seguidores y que, m�as que de ��ndole matem�atica, fueron

problemas de tipo nacionalista entre Inglaterra y el continente. Dejando aparte esas disputas, se

va a tratar de dilucidar las diferencias entre las dos aproximaciones.

Hay que dejar claro, de antemano, que los resultados de uno y otro son, pr�acticamente, los

mismos, aunque originados de distinta manera.

En primer lugar, el trabajo de Newton se basa en las derivadas respecto al tiempo, pues el

origen de sus ideas es f��sico, como ya se ha comentado. Leibnitz, por el contrario, parte de pro-

blemas �los�o�cos (de su busca de los in�nitesimales); de ah�� que su trabajo se base en sumas de

in�nitesimales. Por esa raz�on la integral de Newton es originalmente inde�nida, mientras que la de

Leibnitz es de�nida. Por supuesto que, al �nal, ambos calculan �areas buscando primitivas.

Queda tambi�en claro que para Newton las nociones originales son las uxiones �x e �y: las

velocidades seg�un los ejes. Su cociente es la pendiente de la tangente. Contrariamente, para

Leibnitz, las nociones originales son los diferenciales, y su cociente es algo que tiene un signi�cado

geom�etrico claro.

Por otra parte, Newton hace uso continuado de los desarrollos en serie, mientras que Leibnitz

pre�ere trabajar s�olo con las funciones conocidas: racionales, logar��tmicas y trigonom�etricas. Esto


proviene, otra vez, de los or��genes de las ideas de ambos. El primero es experimental: va buscando

buenos resultados, de acuerdo con la experiencia; no busca teor��as globales sino resultados concretos.

Contrariamente, el segundo es m�as dado a la generalizaci�on y a la especulaci�on. Newton, a veces,

no se preocupa de escribir el resultado de forma general, sino que le basta con varios ejemplos.

Leibnitz hace todo lo contrario.

Dejando aparte estas diferencias, los trabajos de ambos hicieron que la situaci�on matem�atica

fuera radicalmente diferente a �nales que a principios del siglo XVII. Ambos hicieron posible el

paso de una colecci�on an�arquica de problemas y m�etodos de resoluci�on, a un m�etodo general para

atacar y resolver todos ellos. Adem�as, Newton propici�o un desarrollo inmenso en la comprensi�on

de la naturaleza y el universo, utilizando el instrumento que hab��a creado a lo largo de sus trabajos.

Habr��a que a~nadir, �nalmente, que Leibnitz fue un gran polemista sobre las ideas de sus trabajos,

respondiendo continuamente a las acusaciones de oscuridad, falta de rigor y falta de acuerdo con los

grandes maestros de la antiguedad; en cambio Newton fue completamente silencioso en ese aspecto.

3.4 Desarrollos inmediatos

Parte de las mismas personas que con anterioridad a los trabajos de Newton y Leibnitz hab��an

planteado los problemas previos, contribuyeron r�apidamente al desarrollo del c�alculo in�nitesimal.

Entre otros, Wallis y Raphson (1648-1715) mejoraron los m�etodos de Newton para hallar ra��ces.

Rolle (1652-1719) dio, en 1691, el resultado que hoy se conoce con su nombre, aunque sin demos-

trarlo. Los hermanos Bernouilli contribuyeron fuertemente a la obra de Leibnitz, tal como �este

reconoce. Uno de ellos escribi�o el primer tratado de c�alculo in�nitesimal basado en los m�etodos de

Leibnitz y, en su traducci�on al franc�es, l'Hopital (1661-1704) incluy�o la regla que hoy es de todos

conocida.

Pero no s�olo se desarroll�o, sino que el c�alculo contribuy�o a aclarar las ideas acerca de los objetos

con los que se estaba trabajando. As��, aparecen ya en 1697 ideas sobre la continuidad. Gregory

a�rma que el c�alculo introduce una nueva operaci�on, el paso al l��mite, la cual da lugar a n�umeros

irracionales distintos a los obtenidos como ra��ces de n�umeros racionales. Wallis enuncia claramente

la actual de�nici�on de l��mite de una funci�on. Y as�� otras.

Cap��tulo 4

El siglo XVIII

El siglo XVII proporcion�o a las matem�aticas dos instrumentos extraordinarios: la geometr��a

anal��tica y el c�alculo in�nitesimal. Ambos fueron extensamente desarrollados en esa �epoca y apli-

cados a la resoluci�on de una enorme variedad de problemas.

Durante este siglo, eran la mec�anica y la astronom��a, adem�as de las propias matem�aticas, las

ramas que continuamente exig��an a las Matem�aticas la resoluci�on de sus problemas, la creaci�on

de nuevas t�ecnicas y el desarrollo de nuevas ideas. As�� nace la mec�anica anal��tica, el c�alculo de

variaciones, el c�alculo en varias variables y el an�alisis de las ecuaciones diferenciales (ordinarias y

en derivadas parciales), as�� como su uso en la descripci�on de los fen�omenos de la naturaleza.

No es preciso aclarar que, realmente, la divisi�on en siglos es arti�ciosa, puesto que no se toma

el a~no cero de cada siglo para hacer balance y comenzar de nuevo (ya que la evoluci�on hist�orica de

la resoluci�on de los problemas es continuada.) Sin embargo, dicha divisi�on s�� permite clari�car el

an�alisis de esta evoluci�on. (De esta manera, se pueden incluir en el siglo que nos ocupa los trabajos

de Newton y Leibnitz y de sus inmediatos continuadores.)

Ya se ha comentado que las matem�aticas se desarrollan enormemente en este siglo. Aqu��, no

obstante, s�olo se va a analizar la evoluci�on del c�alculo in�nitesimal y, en ese aspecto, la �gura que

eclipsa a todos los dem�as es la de Euler, por lo que se tomar�a como el personaje representativo del

siglo.

Se va a dividir el estudio en tres partes. En primer lugar se har�a un repaso de la obra de

Euler. Se continuar�a con el trabajo general sobre las series y su desarrollo, lo que permitir�a hacer

un breve resumen de los dem�as resultados de c�alculo en este siglo. Finalmente, se har�a un breve

comentario sobre las discusiones habidas al respecto de la validez o no del c�alculo in�nitesimal,

sobre sus posibles errores y dem�as problemas relacionados.

4.1 Euler

Euler (1707-1783) realiz�o contribuciones importantes a varias ramas de la matem�atica pura y apli-

cada y de la f��sica. De entre sus muchos escritos, s�olo se va a prestar atenci�on a sus tres libros

sobre c�alculo: Introductio in Analysis in�nitorum (1748), Institutiones Calculo Di�erentialis (1755)

y Institutiones Calculo Integralis (1768-1770).

13


La exposici�on que se va a realizar seguidamente es un repaso a las contribuciones que Euler

realiz�o al c�alculo (dejando claro, de entrada, que su trabajo es mucho m�as extenso, incluso so-

bre los temas aqu�� considerados.) Se aprovechar�a, de paso, para citar las aportaciones que otros

matem�aticos hicieron a los distintos temas.

4.1.1 Sobre el concepto de funci�on

En el siglo XVIII eran conocidas (junto con muchas de sus propiedades) las funciones que, hoy

en d��a, se llaman elementales (racionales, trigonom�etricas, exponencial y logar��tmica.) Entre las

propiedades conocidas �guraban, por ejemplo, la expresi�on de sin (x�y), las derivadas y la relaci�on

entre las funciones exponencial y logar��tmica como inversas una de otra. Sin embargo, no se ten��a

una de�nici�on expresa, ni tan siquiera una noci�on clara, del concepto de funci�on en general. Las

\funciones" eran magnitudes geom�etricas asociadas a curvas o al movimiento de un cuerpo material

(de ah�� las funciones del tiempo, que era tal como las entend��a Newton.) Siguiendo esta imagen de

magnitudes asociadas a curvas era como se entendieron las funciones elementales y otras muchas.

No obstante, Euler comenz�o dando una de�nici�on del objeto que iba a estudiar en sus obras,

pasando de las funciones particulares conocidas a una noci�on general de \funci�on". Para �el, una

funci�on era una \expresi�on anal��tica" en la que interviniesen las variables y, eventualmente, algunas

constantes. Con ello entend��a Euler una expresi�on en la que, no s�olo hab��a operaciones algebraicas,

sino tambi�en el paso al l��mite de sucesiones, sumas de series y las funciones elementales conocidas.

(Euler entend��a que las series y los productos in�nitos no eran sino la repetici�on in�nitas veces de

las operaciones racionales, acerca de cuya validez no ten��a ninguna duda.) De ah�� su de�nici�on de

las funciones exponencial y logar��tmica en la forma:

log x := limn!1

n(x1=n � 1)

ex := lim

n!1

�1 +

x

n

�n

o su descomposici�on de las funciones trigonom�etricas en productos in�nitos.

En realidad, a esas \expresiones anal��ticas" las llama Euler funciones continuas, y se pueden

identi�car con lo que actualmente se denominan funciones anal��ticas, salvo en puntos aislados de

discontinuidad (como 1=x en x = 0.) As�� no hay ninguna duda de que toda funci�on se desarrolla en

serie de potencias. El argumento utilizado es el experimental: \t�omese una funci�on y compru�ebese".

Esto tambi�en le permite utilizar funciones impl��citas por medio de su desarrollo en serie. A pesar

de eso, Euler reconoce la existencia de otras funciones a las que llama \mec�anicas" o bien dice de

ellas que se pueden dibujar libremente.

Respecto a las funciones polin�omicas, admite sin demostraci�on que se descomponen en producto

de factores lineales cuadr�aticos.

A lo largo del siglo hubo controversias sobre el concepto de funci�on, motivadas, en general,

por la necesidad de admitir soluciones de ecuaciones diferenciales que est�en de�nidas a trozos.

Esto oblig�o a Euler a generalizar, m�as adelante, su idea de funci�on, del siguiente modo: \si unas

magnitudes cambian al cambiar otras, se dice que las primeras son funci�on de las segundas".

Tambi�en a �nales del siglo, el otro gran matem�atico de la �epoca, Lagrange (1736-1813), de�ni�o

la noci�on de funci�on como \cualquier expresi�on �util para efectuar c�alculos, en la que las variables


intervienen de cualquier manera". La diferencia estriba en admitir diversas expresiones para trozos

distintos.

4.1.2 Tratamiento de las funciones elementales

Uno de los m�eritos con que cuenta Euler es la facilidad con que maneja los n�umeros in�nitamente

peque~nos y los in�nitamente grandes, como puede verse en el siguiente ejemplo. Por primera vez

de�ne loga x como el exponente al que hay que elevar la base a para obtener el n�umero x. A partir

de ah�� da su de�nici�on de la funci�on exponencial como

ax := lim

n!1

�1 +

kx

n

�n

(donde k depende de a), expresi�on que �el escribe en la forma:

ax :=

�1 +

kx

N

�Ndonde N es un n�umero in�nitamente grande. Desarrollando por la f�ormula del binomio y teniendo

en cuenta que

1 =N � 1

N=

N � 2

N= : : :

(pues N es in�nitamente grande) queda:

ax = 1 +

kx

1!+

k2x2

2!+

k3x3

3!+ : : :

Poniendo x = 1 se tiene la relaci�on entre k y a:

a = 1 +k

1!+

k2

2!+

k3

3!+ : : :

y el caso en que k = 1, da el n�umero e (introducido por Euler):

e = 1 +1

1!+

1

2!+

1

3!+ : : :

que queda inmediatamente identi�cado como la base de los logaritmos naturales. Adem�as, puesto

que

ex :=

�1 +

x

N

�N= lim

n!1

�1 +

x

n

�nse obtiene, as��, la de�nici�on habitualmente utilizada.

Con respecto a las funciones trigonom�etricas, Euler introduce el radi�an como unidad de medida

de �angulos, y el seno y el coseno como razones entre segmentos, ya que utiliza circunferencias de

radio unidad en las de�niciones. De estas buenas de�niciones obtiene f�acilmente las propiedades

correspondientes. Adem�as, como tampoco tiene ning�un tipo de problemas en el manejo conjunto

de n�umeros complejos junto con funciones reales o complejas, obtiene, asimismo, los desarrollos en

serie de estas dos funciones, as�� como la famosa expresi�on:

e�ix = cos x� i sin x

por identi�caci�on de los correspondientes desarrollos en serie formales.

Finalmente, cabe se~nalar que los desarrollos en serie los obtiene Euler sin hacer uso del c�alculo

diferencial, sino repitiendo in�nitas veces operaciones racionales (como ya se ha dicho).


4.1.3 Derivadas y diferenciales de las funciones elementales

A partir de los desarrollos en serie obtenidos para las funciones elementales, Euler deduce los

correspondientes diferenciales (al estilo Leibnitz), y as�� escribe:

dxn = nxn�1dx

d(pq) = dpq + pdq

d(log x) = log (x+ dx)� log x = log (1 +dx

x)

=dx

x�

dx2

2x2+

dx3

3x3� : : : =

dx

x

(ya que dx2, dx3,... son in�nitamente peque~nos frente a dx.) De igual forma, y por la misma raz�on:

d(ex) = ex+dx

� ex = e

x(edx � 1) = ex

dx�

dx2

2!+

dx3

3!� : : :

!= e

xdx

y lo mismo con todas las dem�as.

Ya se ha comentado que Euler no ten��a ning�un problema en mezclar n�umeros complejos y

reales en las expresiones de las funciones, o en tomar como variables n�umeros complejos, aun

cuando inicialmente las funciones estuvieran de�nidas s�olo para n�umeros reales. De hecho, mantuvo

grandes discusiones sobre la funci�on logaritmo, llegando a tener claro el hecho de que �esta toma

in�nitos valores para cada n�umero, si se valora en los n�umeros complejos.

4.1.4 Sobre la f�ormula de Taylor

Taylor (1685-1731) fue un disc��pulo de Newton, que obtuvo esa expresi�on al estudiar los m�etodos

de interpolaci�on. La aportaci�on de Euler consisti�o en identi�car los coe�cientes de los diferenciales

de orden superior como las derivadas sucesivas de la funci�on. La f�ormula la obtuvo a partir de

la de interpolaci�on de Newton, para un n�umero in�nitamente grande de pasos, y trabajando con

n�umeros in�nitamente grandes e in�nitamente peque~nos.

4.1.5 Otros temas tratados por Euler

Con respecto a la integraci�on, Euler siempre la entendi�o como la operaci�on inversa a la diferenciaci�on

(al estilo de Newton, cabr��a decir.) �Unicamente la visualiz�o como suma al hacer aproximaciones de

integrales.

En particular estudi�o las funciones de�nidas mediante integrales, y obtuvo las conocidas fun-

ciones � y B. El origen de estas funciones es tratar de interpolar, al estilo polin�omico de Newton,

funciones de�nidas sobre los n�umeros naturales (en este caso n!), pero con productos in�nitos.

Con respecto a las funciones de varias variables, aunque Newton us�o f(x; y) = 0, y alguno de

sus seguidores introdujo las derivadas parciales (en concreto fueron usadas por Nicholas Bernouilli

(1687-1759)), el desarrollo de su estudio lo efectuaron Euler, Clairaut (1713-1765) y D'Alembert

(1717-1783) en el siglo XVIII. El mayor trabajo se realiz�o al estudiar las ecuaciones en derivadas

parciales que rigen algunos problemas f��sicos. Euler lleg�o a dar, incluso, lo que hoy se conoce con

el nombre de teorema de Schwarz sobre la igualdad de las derivadas cruzadas.


En relaci�on a la integraci�on m�ultiple, parece claro que, aunque anteriormente se hab��an utilizado

algunas integrales m�ultiples de tipo geom�etrico y f��sico, fue Euler el que tuvo una idea clara sobre

el signi�cado de las integrales dobles extendidas a un recinto plano limitado por arcos, y dio

el m�etodo para calcularlas. Al �nal del siglo, Lagrange y Laplace (1749-1827) introdujeron las

integrales m�ultiples en general y estudiaron el cambio de variable en ellas.

4.2 Problemas con las series

Grandes controversias origin�o el manejo indiscriminado de las series que se hac��a, como ya se ha

visto, en los siglos XVII y XVIII. Hay que tener en cuenta que dicho manejo se hac��a pensando

en las series como polinomios in�nitos y, por tanto, era de una manera formal. No eran, pues,

completamente conscientes de que, al pasar de un n�umero �nito de operaciones a un n�umero in�nito,

se introducen nuevos problemas. De ah�� que, aunque sin ignorar los problemas de convergencia, no

les dieran demasiada importancia.

As��, se observa que Newton y Gregory eran conscientes de la necesidad de que convergiesen

las series que usaban. En concreto, el primero a�rma que las series de potencias convergen para

valores peque~nos de x y recomienda no utilizar series que en alg�un punto no converjan.

Leibnitz enuncia el criterio de convergencia de las series alternadas que lleva su nombre. Mac

Laurin (1698-1746) da el criterio integral de convergencia de series. En general imponen como

condici�on que se utilicen s�olo en series en las que el t�ermino general se vaya haciendo cada vez

menor, acerc�andose a cero.

Euler a�rma que las series no convergentes tienen un valor de�nido: puesto que las series

provienen de expresiones �nitas, han de valer lo que valgan dichas expresiones en el punto en

cuesti�on. Esto le lleva a a�rmar que, por ejemplo, la serie 1;�1; 1;�1; ::: suma 1=2, ya que es la

serie de potencias de la funci�on 1=(1 + x) en el punto x = 1. Esto provoc�o grandes discusiones con

uno de los hermanos Bernouilli. De hecho, se pod��a interpretar que todas las expresiones de los

n�umeros �, e y otros, como sumas o productos in�nitos, no eran sino comprobaciones de que sus

series funcionaban y converg��an, mediante el c�alculo expreso de muchas cifras decimales.

Tambi�en Lagrange tercia en este problema, sobre todo despu�es de verse obligado a trabajar con

la f�ormula de Taylor; recomendando que no se use dicha serie sin haber hecho, previamente, un

estudio minucioso del resto.

D'Alembert expresa en la gran Enciclop�edie sus dudas sobre el uso de series divergentes (aun

a pesar de que se obtengan resultados correctos.) Este es un punto crucial en el pensamiento del

siglo XVIII: el rigor viene medido por la obtenci�on de resultados correctos, aunque los manejos

intermedios no sean absolutamente claros, mientras que D'Alembert introduce una idea de rigor

m�as relacionada con la claridad en los manejos de los objetos que se utilizan.

Resumiendo, durante el siglo XVIII las series se utilizan formalmente, pero asociadas a las

funciones de las cuales se obtienen. Los problemas de convergencia no se desprecian, pero quedan

relegados a segundo t�ermino por razones pragm�aticas: se obtienen, pese a no estar del todo claro

el proceso, resultados correctos.


4.3 Controversias

Culturalmente, el siglo XVIII es el siglo de la raz�on. Sin embargo, a la vista de lo expuesto, da la

impresi�on de que el desarrollo del c�alculo se haga sin un exceso de rigor. A continuaci�on se va a

discutir un poco sobre esta cuesti�on.

A lo largo de todo el siglo, los matem�aticos son conscientes de la falta de base de la ciencia del

c�alculo que est�an construyendo e intentan con toda su fuerza rigorizar al m�aximo los desarrollos y

clari�car los problemas.

As��, la escuela inglesa, seguidora de Newton y de sus m�etodos geom�etricos, pretende justi�car

el c�alculo por medio de la geometr��a eucl��dea, y cree que es posible justi�car todas las ideas y

desarrollos mediante los m�etodos de Eudoxio y Arqu��medes. De este modo, Taylor llega a justi�carlo

todo utilizando s�olo incrementos �nitos, aunque, naturalmente, s�olo para funciones algebraicas.

En otro frente, los matem�aticos seguidores de Leibnitz centran sus esfuerzos en la clari�caci�on

de los diferenciales.

Avanzado el siglo Rolle llega a a�rmar: \el c�alculo es una colecci�on de ingeniosas falacias".

Por otra parte, junto a estas tomas de conciencia de hechos reales e intentos clari�cadores, se

mani�estan tambi�en aquellos a los que la nueva ciencia estropea parte de sus supuestos, y toman

una postura enconada en su contra, pretendiendo que se olvide. El m�as famoso de estos polemistas

fue el obispo Berkeley (1685-1753). Evidentemente el mecanicismo y determinismo que implicaba

la descripci�on de los fen�omenos f��sicos que permit��a el c�alculo chocaba frontalmente con la postura

religiosa o�cial de la �epoca: el poder y la con�anza en la religi�on disminuir��an si se demostraba

que la naturaleza se reg��a por leyes. Por tanto era preciso atacar y desprestigiar el c�alculo y, dado

que hab��a por donde hacerlo, a ello se dedic�o el mencionado Berkeley. En concreto, se bas�o en la

debilidad de los fundamentos y los matem�aticos cayeron en la trampa de argumentar en su contra

sin aclarar realmente casi nada. As�� lo hicieron, por ejemplo, Jurin (1684-1751) y otros disc��pulos

de Newton.

En realidad, los �unicos que pod��an defenderse con garant��as eran los seguidores de Leibnitz,

que abogaron siempre por un manejo formal, sin entrometer otras consideraciones; obtuvieron as��

resultados y aplicaciones a la f��sica que eran contrastables experimentalmente.

De cualquier modo, ha de quedar claro que el rigor fue una preocupaci�on constante, y m�as que

el rigor, el intento de fundamentar claramente las bases del c�alculo. El problema (como se va a

ver en el pr�oximo apartado) estribaba en que era imposible hacerlo sin tener ideas claras sobre

el concepto de l��mite y en carecer de un modelo para los n�umeros reales, cuestiones estas que se

resolver��an en el siguiente siglo.

Cap��tulo 5

El siglo XIX

El siglo XVIII produjo un enorme desarrollo de los m�etodos iniciados en el XVII. Sin introducir

ning�un nuevo concepto, aumentaron considerablemente los conocimientos en todas las ramas. Tal

como ya se ha mencionado, los matem�aticos de �nales del siglo XVIII eran conscientes de la

falta de rigor en las demostraciones y de la vaguedad con que se explicaban los conceptos. Las

demostraciones eran una mezcla de pruebas formales con consideraciones geom�etricas y f��sicas

sobre los problemas. As��, las demostraciones de muchos resultados no se hallaban hechas en sitio

alguno y los enunciados eran meras generalizaciones de experiencias concretas. El rigor se basaba

en la comprobaci�on experimental a posteriori de los resultados obtenidos. La b�usqueda formal del

rigor en dicho siglo se realiza intentando basar los conceptos iniciales del c�alculo en la geometr��a,

que era el modelo m�as riguroso disponible.

Al concluir el siglose ten��a claro que hab��a que imponer un cierto orden. A la vez se ten��a la

convicci�on de que los m�etodos usados hab��an dado de s�� todo lo que pod��an ofrecer, por lo que no

se iba a poder avanzar a menos que se introdujeran nuevas ideas fundamentales.

El siglo XIX se caracteriza porque se consiguen estos �nes. Pero, adem�as, hay otras muchas

cosas. En primer lugar, se critica a la geometr��a como modelo de rigor; su lugar lo pasa a ocupar

la aritm�etica (y es en �esta en la que hay que basar el an�alisis.) De esta manera, se produce una

\aritmetizaci�on" de las matem�aticas. En segundo lugar, hay una aut�entica explosi�on en todas las

ramas de las matem�aticas. En concreto, el desarrollo del c�alculo da lugar a lo que, hoy en d��a, se

conoce con el nombre de an�alisis matem�atico.

Por otra parte, esta necesidad de rigorizaci�on hace que las matem�aticas dejen de ser, en parte,

una idealizaci�on de la naturaleza; y pasan a ser consideradas como una creaci�on del ser humano. Su

objetivo primordial no es ya la descripci�on de la naturaleza, sino el estudio de los entes matem�aticos,

que pasan a tener existencia independiente y en pie de igualdad con los dem�as objetos que conforman

la realidad. Dejan, pues, de ser meras creaciones arbitrarias de la mente, para pasar a ser objetos

reales que hay que descubrir y estudiar.

Todas estas discusiones se producen a �nales del siglo XIX, pero, mientras tanto, se ha puesto

orden y se han desarrollado todas las ramas de las matem�aticas. En particular, en el c�alculo, que es

el que interesa aqu��, los nombres importantes en esta �epoca son Cauchy (1789-1857), Weierstrass

(1815-1897), Bolzano (1781-1848), Abel (1802-1828), Riemann (1826-1866) y Dirichlet (1805-1859).

Los m�as c�elebres, en relaci�on al c�alculo in�nitesimal, son los dos primeros, pero la labor de los

dem�as (y de otros muchos no citados) es tambi�en grande en este campo.

19


Se va a analizar este siglo dividiendo su estudio seg�un los temas trabajados, como ya se ha

hecho anteriormente.

5.1 Funciones y continuidad

A lo largo del siglo XVIII se entend��a por funci�on continua toda expresi�on anal��tica en la que

interviniesen la variable, constantes y las funciones elementales; es decir, continuidad signi�caba

\tener la misma expresi�on formal en todo el dominio". Las discusiones sobre esta de�nici�on fueron

largas y estaban en parte motivadas por las funciones arbitrarias que intervienen en las soluciones

de las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales. Otro motivo eran los problemas de contorno

o de condiciones iniciales para esas ecuaciones. As��, para el problema de la cuerda vibrante, una

condici�on inicial natural es estirar de un punto de la cuerda, lo que da lugar a una soluci�on que

se expresa por medio de una funci�on no derivable en un punto y con expresiones diferentes a cada

lado de ese punto. Dado que se trata de una condici�on inicial, eso deb��a interpretarse como una

funci�on, aunque se sal��a del marco de la anterior de�nici�on.

Al �nal del siglo, objetos como el anterior eran, pues, admitidos dentro de la categor��a de

\funciones", y eran denominados funciones discontinuas o mec�anicas. Se puede observar que la

noci�on intuitiva que se ten��a de continuidad era ya la moderna idea de conexi�on del grafo de la

funci�on (\que se pueda dibujar sin levantar el l�apiz del papel".)

El problema se complica cuando Fourier (1768-1830) publica su memoria sobre la transmisi�on

del calor, donde se obtienen series trigonom�etricas (que se suponen convergentes) para funciones

mucho m�as arbitrarias que las entonces admitidas. \Para que existan los coe�cientes de Fourier

basta que f(x), f(x) sin nx y f(x) cos nx tengan �area bajo su gr�a�ca" (en palabras del propio

Fourier).

Cabe recordar que uno de los problemas pendientes todav��a (aunque a�un no se era consciente

del mismo) era de�nir lo que se entiende por variable. La cuesti�on radica en no disponer de un

concepto claro sobre el cuerpo de los n�umeros reales. As��, por ejemplo, en 1821 Cauchy enunciaba

que \una variable es una magnitud que va tomando sucesivamente muchos valores diferentes". En

esta de�nici�on se observa la presencia de las ideas \temporales" de Newton. Igualmente, Cauchy

dice: \dadas varias variables tales que, conocido el valor de una de ellas, se puede obtener el valor

de las dem�as, entonces esas otras se expresan por medio de la primera que se denomina variable

independiente; mientras que de las dem�as se dice que son funci�on de esa variable". El adelanto en

relaci�on al siglo precedente es que ya no se exige ning�un tipo de expresi�on para poder hablar de

funciones.

Es Dirichlet, en 1837, el que da una de�nici�on como la que se usa hoy d��a: \la variable y es

funci�on de la variable x cuando a cada valor de x en un intervalo le corresponde un valor de y".

Todo ello independientemente de que haya expresiones (una o varias) que liguen y con x.

Una vez visto c�omo se ha per�lado la idea de funci�on, veamos c�omo se llega a la de continuidad.

Es Bolzano el que, sorprendentemente, en 1817 escribe: \la funci�on f(x) es continua en un

intervalo si, para cada valor de x en ese intervalo, la diferencia f(x+ !)� f(x) se puede hacer tan

peque~na como se quiera, tomando ! su�cientemente peque~no". Pero no es s�olo esto; salvo una

teor��a sobre los n�umeros reales, Bolzano expuso ya correctamente todas las ideas necesarias para

el desarrollo del c�alculo. As��, lleg�o a admitir la existencia de los n�umeros in�nitamente grandes y


de los in�nitamente peque~nos, el axioma del extremo superior y el hoy llamado criterio de Cauchy

para la convergencia de una sucesi�on de n�umeros reales.

Sin embargo, el trabajo de Bolzano no circula con la amplitud necesaria entre sus contempora-

neos y su in uencia no es notoria. El que s�� tuvo una in uencia decisiva fue el Curso de An�alisis

que Cauchy public�o en 1821. Cauchy ataca y de�ne con precisi�on el concepto de l��mite de una

funci�on y el de continuidad. Igualmente aclara los in�nitamente peque~nos como las variables con

l��mite cero, y los in�nitamente grandes como las variables cuyo valor crece inde�nidamente (\m�as

all�a de toda cota") y converge a 1. Su de�nici�on de continuidad es la siguiente: \f(x) es continua

en un punto x si un incremento in�nitesimal de la variable produce un incremento in�nitesimal de

la funci�on"; esto es,

f es continua en a , limx!a

f(x) = f(a)

A pesar de su habitual precisi�on, Cauchy tambi�en dice, de manera imprecisa, que \si una funci�on

de varias variables es continua en cada una de ellas, entonces dicha funci�on es continua", cosa que

sabemos que no es cierta.

Con estas de�niciones Cauchy estudi�o las propiedades de las funciones continuas y muchos

matem�aticos siguieron, despu�es, sus pasos. La noci�on de continuidad quedaba de�nitivamente

aclarada y separada de la de los valores intermedios (Darboux (1842-1917) dio un ejemplo de

funci�on que toma todos los valores entre dos de ellos pero sin ser continua.)

Weierstrass fue el que elimin�o del lenguaje del an�alisis toda relaci�on con el movimiento. Frases

como \una variable se acerca a un l��mite", que recuerdan las ideas temporales de Newton, fueron

transformadas en desigualdades, intentando aritmetizar todo lo posible. De �el es la de�nici�on de

continuidad que hoy se llama \del � � Æ". Tambi�en prob�o la existencia de m�aximo y m��nimo

para una funci�on continua de�nida en un intervalo cerrado, que hab��a sido usado por Cauchy sin

demostraci�on. Igualmente prob�o el llamado teorema de Bolzano-Weierstrass sobre el punto de

acumulaci�on, utilizando, para ello, el m�etodo de Bolzano de dividir el intervalo en dos partes y dar

una regla para elegir una de ellas.

Los seguidores de estas ideas, Heine (1821-1881), Borel (1871-1956) y otros, obtuvieron, asimis-

mo, la primera noci�on de compacidad por recubrimientos para un intervalo cerrado.

5.2 Derivaci�on

Otra vez Bolzano fue el primero en de�nir:

f0(x) := lim

h!0

f(x+ h)� f(x)

h

indicando que f0(x) no es un cociente de ceros ni la raz�on entre dos \cantidades evanescentes",

sino un n�umero hacia el que se va aproximando ese cociente. Esto no era sino precisar las ideas de

Newton, ya re�nadas en el siglo XVIII, entre otros por D'Alembert, que fue el que m�as se acerc�o

a esa de�nici�on. Sin embargo, tampoco este trabajo de Bolzano tuvo difusi�on.

M�as tarde, Cauchy vuelve a tomar como buena esta de�nici�on y la desarrolla con plenitud.

En primer lugar quita problemas a los diferenciales de Leibnitz: dx es una cantidad cualquiera

y dy = f0(x)dx. Esto es, la diferencial es la funci�on lineal que aproxima a la funci�on dada en el

punto considerado. Cauchy distingui�o claramente entre dy y �y, entendiendo este �ultimo como la


variaci�on de los valores de la funci�on. Para aclararlo obtuvo el teorema del valor medio y el que hoy

se denomina teorema de Cauchy, que generaliza el anterior (y que, realmente, lo precedi�o.) Como

consecuencias, obtuvo la regla de l'Hopital y las condiciones de extremo relativo.

Igualmente obtuvo la f�ormula de Taylor con la expresi�on del resto que lleva su nombre (la

manera de obtenerlo es la que hoy se usa normalmente.) Emple�o, adem�as, dicha expresi�on para

estudiar la convergencia de las series de Taylor de las funciones elementales.

Hay que se~nalar que, para demostrar el teorema del valor medio, \prob�o" previamente, de una

forma intuitiva pero muy natural (igual que hoy se hace en los cursos de bachillerato, utilizando

la compacidad de un intervalo cerrado y acotado, pero sin \saberlo"), que si una funci�on tiene

derivada positiva en un intervalo, entonces es creciente.

A pesar de todo esto, Cauchy cre��a que una funci�on continua era diferenciable salvo, quiz�as,

en puntos aislados, y con �el, los libros de la �epoca est�an llenos de \demostraciones" de este hecho.

Sin embargo, Bolzano ten��a clara la diferencia y dio, en 1834, una funci�on continua con derivada

no acotada en todos los puntos (tampoco este trabajo fue conocido.)

Hubo muchos intentos de probar que continuidad implica derivabilidad, y b�usqueda de con-

traejemplos. Entre otros, Riemann, en 1854, y Weierstrass, en 1874, dieron ejemplos concretos de

funciones continuas en todos los puntos y no derivables en ninguno.

5.3 Integraci�on

Durante los siglos XVII y XVIII no hab��a una teor��a de la integral, ni una de�nici�on de tal concepto,

ni una caracterizaci�on de las funciones integrables. Las ideas usadas eran las de Newton, como ope-

raci�on inversa de la derivaci�on, mientras que las de Leibnitz no se utilizaban. Todo eran conceptos

vagos, pero resultados que podr��an ser cali�cados de maravillosos. La necesidad de construir una

teor��a al respecto aparece nuevamente en el trabajo de Fourier.

Cauchy es el primero en elaborarla, en 1823, y lo hace para funciones continuas: \sea f : [a; b]!

R una funci�on continua y P = fa = x < x1 < ::: < xn = bg una partici�on del intervalo, entonces"

Zb

a

f(x)dx := limn!1

n�1Xi=1

f(xi�1)(xi � xi�1)

(aunque la notaci�on no era exactamente �esta.) El problema estaba en demostrar que ese l��mite

existe cuando n!1, que quiere decir cuando la distancia entre los puntos de la partici�on tiende

a cero. Para probarlo Cauchy utiliza el que f sea uniformemente continua en [a; b] (noci�on, para

�el, id�entica a la de continuidad).

Esto le lleva a estudiar la funci�on

x 7! F (x) :=

Zx

a

f(x)dx

de la que prueba que es continua y derivable y que F 0 = f , y de ah�� el teorema fundamental del

c�alculo (teorema de Barrow.)

Tambi�en estudia las integrales impropias de segunda especie. Igualmente extiende su noci�on de

integrabilidad a funciones continuas a trozos. Con esto se de�nen, adem�as, las ideas geom�etricas


para las que se requiere la integral: c�alculo de �areas planas, longitudes de curvas, vol�umenes, etc;

restringidas, desde luego, al caso en que el integrando sea una funci�on continua.

En 1854 es Riemann quien, en su trabajo sobre las series trigonom�etricas, se pregunta por las

condiciones para que una funci�on sea integrable. Su pregunta exactamente es la siguiente: \>qu�e

ha de entenderse porRx

af(x)dx?" Para responderla construye la suma de Riemann:

n�1Xi=1

f(�i�1)(xi � xi�1)

donde �i 2 [xi�1; xi], en las mismas condiciones de Cauchy, pero para una funci�on cualquiera. La

primera condici�on de integrabilidad que da entonces, es: \las sumas se acercan a un l��mite cuando

el di�ametro de la partici�on tiende a cero, si la suma de los intervalos en los que la oscilaci�on de f

es mayor que un n�umero pre�jado � se acerca a cero cuando lo hace el di�ametro". Esto le permite

cambiar las funciones continuas por funciones con discontinuidades aisladas e, incluso, por otras

m�as generales. Da, asimismo, un ejemplo de funci�on integrable que tiene in�nitas discontinuidades

en cualquier intervalo, por peque~no que sea.

Tambi�en enuncia otra condici�on de integrabilidad. Para ello de�ne las sumas superior e inferior

de f en una partici�on, aunque �el s�olo usa su diferencia. As��, a�rma que \una funci�on es integrable

si, y s�olo si, dicha diferencia tiende a cero cuando el di�ametro de la partici�on tiende a cero". La

demostraci�on la hace Darboux en 1875, quien prueba, adem�as, que el teorema fundamental del

c�alculo vale para todas esas nuevas funciones.

Es tambi�en Darboux el que prueba, en 1875, que una funci�on acotada es integrable si, y s�olo

si, los puntos de discontinuidad se pueden recubrir por un n�umero �nito de intervalos de longitud

tan peque~na como se quiera (es decir, si forman un conjunto de medida nula.)

Riemann no se atreve a asegurar que toda funci�on continua sea integrable. Para ello le falta

la completitud de los n�umeros reales, que permite demostrar que toda funci�on continua en un

intervalo cerrado es uniformemente continua en �el (resultado que no se tuvo hasta 1870.)

Enseguida se trabaj�o con las integrales impropias y se extendio la integral de Riemann a fun-

ciones no acotadas y a funciones de dos variables. Con ello conclu��a el problema de la integraci�on.

Sin embargo, el origen de la integraci�on fue hallar �areas. Ahora se dispon��a del concepto de

integral y hab��a que unirlo con el de �area. De nuevo el comienzo es el mismo: hay que preguntarse

qu�e es el �area. La primera formulaci�on de esta noci�on es de Peano (1858-1932) y la dio en 1887.

De�ni�o el �area interior y exterior de un conjunto del plano como lo que hoy se llama contenido de

Jordan, y prob�o la relaci�on entre las integrales superior e inferior de una funci�on con el �area del

recinto plano limitado por la gr�a�ca de una funci�on positiva y el eje de abscisas, en el intervalo de

de�nici�on de la funci�on.

En 1893, Jordan (1838-1922) extendi�o la integral de Riemann a funciones de varias variables,

de�niendo el contenido de Jordan de paralelep��pedos en Rn. El siguiente paso adelante lo da

Lebesgue (1875-1941), ya en el siglo XX, pero no se va a hablar aqu�� de ello.


5.4 Convergencia

El uso indiscriminado de las series durante el siglo XVIII produjo contradicciones y discusiones.

Al comenzar el siglo XIX, en 1810, Fourier, Gauss (1777-1855) y Bolzano empezaron a aclarar el

problema de la convergencia y a criticar la vaguedad de las razones previas sobre el uso de las series

no convergentes.

La primera de�nici�on de convergencia la dio Fourier en su memoria sobre el calor: \una serie

converge si, cuando n aumenta, la suma de n t�erminos se acerca a un n�umero y llega a diferir de

�el una cantidad que es menor que cualquier magnitud". Reconoci�o, adem�as, la necesidad de que

el t�ermino general de la serie tienda a cero para que la serie converja. A pesar de ello, no tuvo

demasiados problemas para manejar series no convergentes y mantuvo queP

n�0(�1)n = 1=2.

Gauss aclar�o el problema, y en su memoria de 1812 sobre las series, estudi�o la serie hiper-

geom�etrica. Este es el primer estudio serio y completo sobre las condiciones en que converge una

serie concreta de funciones que depende, adem�as, de tres par�ametros.

Bolzano, en 1817, dio la condici�on que hoy recibe el nombre de condici�on de Cauchy. Adem�as

da la impresi�on de que ten��a unas ideas absolutamente claras sobre la convergencia.

De nuevo es el trabajo de Cauchy el primer estudio organizado sobre series. Acerca de las series

num�ericas, dio la buena de�nici�on de convergencia y prob�o la necesidad del criterio que hoy lleva su

nombre. La su�ciencia era inaccesible debido al desconocimiento de las propiedades de los n�umeros

reales. Tambi�en dio criterios para estudiar la convergencia de series de t�erminos no negativos: el

que lleva su nombre (criterio de la ra��z), el de D'Alembert o del cociente y los de comparaci�on.

Igualmente de�ni�o convergencia absoluta y vio que implicaba la convergencia. Tambi�en dedujo el

criterio de Leibnitz para series alternadas.

Estudi�o, adem�as, las series de funciones y aplic�o los criterios para hallar intervalos de conver-

gencia. Obtuvo la f�ormula de Taylor con una expresi�on para el resto, y estudi�o la convergencia de

dicha serie analizando el resto. Dio ejemplos de funciones no anal��ticas, contradiciendo as�� las ideas

de Lagrange. Sin embargo, no supo distinguir entre convergencia puntual y uniforme, y supuso

�esta para asegurar que se conserva la continuidad al pasar al l��mite en una serie de funciones y que

se puede integrar t�ermino a t�ermino y sumar.

Abel se dio cuenta, en 1826, de la necesidad de un concepto de convergencia m�as fuerte que la

convergencia puntual, a �n de que se conserve la continuidad, y Stokes (1819-1903) dio la de�nici�on

correcta de convergencia uniforme en 1848. En escritos posteriores, Cauchy reconoci�o la necesidad

de la convergencia uniforme para esos resultados.

El estudio completo m�as preciso lo realiz�o Weierstrass, quien ten��a clara la idea de convergencia

uniforme y su necesidad para explicar las mencionadas propiedades, as�� como los problemas sobre

diferenciaci�on de series de funciones. Tambi�en prob�o que toda funci�on continua en un intervalo

cerrado se puede aproximar por una serie uniformemente convergente de polinomios.

Finalmente, Dirichlet y Riemann estudiaron los problemas de reordenaci�on de series.


5.5 Los n�umeros reales

Desde nuestro actual punto de vista, un tanto acostumbrado al m�etodo formal, parece inexplicable

que los n�umeros reales, la base del c�alculo, fueran el �ultimo punto que se aclarara en los problemas

del c�alculo in�nitesimal. Aparte de su di�cultad, est�a el hecho de que la idea de magnitud parece

la m�as natural y es dif��cil darse cuenta de la necesidad de aclararla por completo. In uy�o, adem�as,

otro problema de la �epoca: el inter�es por aritmetizar las matem�aticas se basaba en que el n�umero

era un dato, una idea a priori, y de ah�� que no se tuviera conciencia de la necesidad de aclararlo.

As��, las propiedades de las funciones continuas en un intervalo cerrado de la recta quedaban

demostradas s�olo en parte al no disponer de una teor��a sobre los n�umeros reales. Igualmente la

condici�on de Cauchy para la convergencia de sucesiones y series de n�umeros quedaba incompleta,

y lo mismo ocurr��a con las construcciones de la integral. La gota que colm�o el vaso fueron las

funciones continuas no diferenciables. Todo ello exigi�o una aclaraci�on del sistema de los n�umeros

reales.

Hubo varias construcciones distintas. Las m�as utilizadas son las de Cantor (1845-1918) y Dede-

kind (1831-1916.) Ambas ten��an como punto de partida el conjunto Q de los n�umeros racionales, y

en ellas el conjunto de los n�umeros reales deja de ser una idea a priori para ser construido a partir

de otros conceptos.

El problema era el de los n�umeros irracionales. Durante el siglo XVIII se hab��an utilizado sin

problemas y se supon��a que para ellos eran v�alidas las mismas propiedades y operaciones que para

los racionales. Se dec��a de ellos que se aproximaban por racionales y eso bastaba. Despu�es se

precis�o que eran \l��mite de n�umeros racionales". Cantor aclar�o que primero hab��a que construirlos

y despu�es ver si eran l��mite de algo. Weierstrass, en 1859, habl�o claramente de la necesidad de

hacer una teor��a sobre estos n�umeros.

El origen de la construcci�on de Dedekind es la idea de continuidad de la recta, ligada a la teor��a

de las magnitudes de Eudoxo. Observ�o que la continuidad consist��a en que partir la recta en dos,

de forma que una parte quede a un lado de la otra, s�olo es posible hacerlo tomando un punto de

la recta (esto era un axioma geom�etrico en su tiempo.) Por otra parte observ�o que eso no ocurr��a

con los n�umeros racionales. De la teor��a de Eudoxo dedujo que la relaci�on entre dos magnitudes

inconmensurables divide a los racionales en dos clases con esa propiedad. De aqu�� obtuvo la idea de

cortadura y denomin�o n�umero real a una cortadura del conjunto Q . De�ni�o la suma, el producto y

el orden sin demasiadas di�cultades y prob�o que, haciendo cortaduras en los reales, no se obten��an

nuevos n�umeros. Seguidamente demostr�o que toda sucesi�on mon�otona creciente y acotada tiene

l��mite. Eso era su�ciente para dejar bien aclarados los problemas de su tiempo.

Dedekind tuvo algunos problemas y controversias sobre su m�etodo y a �el mismo le costaba

aclarar si un n�umero real era lo mismo que una cortadura o era algo m�as. Su problema era que no

intentaba dar una teor��a de los n�umeros reales, sino construir los irracionales.

Cantor critic�o la construcci�on de Dedekind por considerar que las cortaduras no aparecen de

manera natural en el an�alisis y construy�o, simult�aneamente, los n�umeros reales utilizando la idea

de que un n�umero irracional es el l��mite de una sucesi�on de racionales. As��, tom�o las sucesiones de

Cauchy de n�umeros racionales y llam�o n�umero real a su l��mite; identi�cando dos sucesiones si su

diferencia tiende a cero. F�acilmente comprob�o que estos n�umeros formaban un cuerpo ordenado

que contiene a los racionales y demostr�o que es completo (esto es, que las sucesiones de n�umeros

reales no dan nuevos n�umeros.)


Puede observarse que en ambas construcciones es necesario un n�umero in�nito de n�umeros

racionales para determinar un irracional. Esto provocaba aut�enticos problemas en su tiempo, por

lo que no fueron aceptadas de una manera general ninguna de ambas.

Mucho antes, en 1696, Wallis hab��a identi�cado los n�umeros racionales con los decimales pe-

ri�odicos. Stolz prob�o, en 1886, que todo irracional se puede representar como un n�umero decimal

no peri�odico. Esto provoc�o otra forma de ver el problema: los n�umeros reales son los n�umeros

decimales.

Una vez construidos los n�umeros reales, quedaba por ver c�omo se pod��a pasar de las ideas a

priori, esto es, los n�umeros naturales, a los racionales. Peano (1858-1932) dio, en 1889, los axiomas

de los n�umeros naturales y de�ni�o sus propiedades. Weierstrass hab��a pasado, en 1854, de los

naturales a los racionales, tal como se hace hoy. Los reales se construyeron en 1872.

Un comentario �nal: una vez construido el cuerpo R, fue Hilbert (1862-1943) el que a�rm�o que

para trabajar era m�as c�omodo dar sus propiedades de forma axiom�atica (puesto que ya se sab��a

construir) que seguir el camino que lleva de N a R. As��, dio un sistema de axiomas, en 1899,

divididos en cuatro grupos:

1. Axiomas de conexi�on,

2. Axiomas de c�alculo,

3. Axiomas de orden,

4. Axiomas de continuidad.

Aclar�o que no eran un sistema independiente y que era preciso probar su consistencia (con lo

cual, desde el punto de vista matem�atico, el objeto existe.) De cualquier modo, el punto de

vista axiom�atico tampoco fue generalmente aceptado, ya que muchos pre�rieron el punto de vista

constructivo.

Bibliograf��a

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Origen y desarrollo histórico del cálculo infinitesimal

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