Introducción al cálculo de órbitas

Tema 10

Leyes de Newton

“Dos puntos materiales A y B de masas m y m’ situados a una distancia d ejercen uno sobre otro una fuerza de gravitación dirigida según AB directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de su distancia”

“Si un cuerpo de masa m2 está orbitando alrededor de otro de masa m1 con un periodo P2 y un semieje mayor a2 se verifica”

Leyes de Keppler

1. Los planetas describen órbitas elípticas en uno de cuyos focos está el Sol.

2. Las áreas barridas por el radio vector en tiempos iguales son iguales. Es decir el Área es proporcional al tiempo que tarda en recorrerla.

3. Los cubos de los semiejes mayores son proporcionales a los cuadrados de los periodos.

• PERIHELIO: Instante en que el astro se encuentra más cerca del Sol. Por la primera de ley de Keppler esto ocurrirá cuando se encuentre en un extremo del semieje mayor. Y por la segunda ley sabemos que en ese momento debe moverse más rápido en su órbita. (En el caso de hablar de la Tierra y sus satélites se habla de PERIGEO)

• AFELIO: Instante en que el astro se encuentra más lejos. Es decir al otro extremo del semieje mayor, en ese momento debe moverse más despacio en su órbita.(APOGEO en caso de tratarse de la Tierra y sus satélites)

• Por la Tercera Ley de Keppler sabemos que cuánto más alejados están los planetas más lentamente se mueven en su órbita, es decir, su periodo orbital es mayor.

El sistema solar consta de 9 planetas 90 satélites 29074 asteroides situados entre Marte y Júpiter de los que sólo 8830 tienen nombre y 878 cometas aproximadamente.

ELEMENTOS ORBITALES o KEPPLERIANOS

i = inclinación del plano de la órbita

= Longitud eclíptica del Nodo Ascendente.

a = semieje mayor de la elipse.

e = excentricidad

= Argumento del perihelio.

t0 = Instante de paso por el perihelio

Posición del plano orbital

Dimensión de la elipse

Orientación de la elipse

En el sistema Eclíptico las coordenadas son λ y β

r

Plano orbital. Coordenadas en el sistema orbital

•ANOMALÍA VERDADERA (v): Ángulo formado en el foco de la elipse entre la dirección del perihelio y la dirección del planeta. Varia de 0-360 en el transcurso de un periodo orbital y es cero en el perihelio.

•ANOMALÍA EXCÉNTRICA (E): Considerando la circunferencia de radio el semieje mayor de la órbita y proyectando, perpendicularmente al eje x, sobre ella la posición del planeta, se define E como el ángulo en el centro de la elipse entre la dirección del perihelio y la dirección de la proyección del planeta. Como la verdadera ésta también es cero en el perihelio y varía de 0-360.

•MOVIMIENTO MEDIO (n): Velocidad angular constante con que se movería el planeta en una órbita circular. n=2/P. Donde P es el periodo orbital. Fácil de determinar por la tercera ley de Keppler.

•ANOMALÍA MEDIA (M): Arco que recorrería el planeta que se moviera sobre una circunferencia con movimiento circular uniforme y velocidad el movimiento medio. M=n(t-t0), siendo t0 el instante de paso por el perihelio. Como las otras dos anomalías también es un ángulo que es cero en el perihelio y varia de 0-360 pero ésta variación a diferencia de las otras anomalías es uniforme en el tiempo.

En el sistema Orbital las coordenadas son

Relación entre elementos orbitales y coordenadas eclípticas.

v

λ, β se pueden obtener en función de los elementos orbitales ω,v, i, Ω

r se obtiene en función de a, e, E

E se obtiene por la ecuación de Keppler E=M+e sin E

Y las coordenadas espaciales se pueden expresar como

Dividiendolas

Cálculo de la posición espacial en un instante t en función de los elementos orbitales.

• Calcular movimiento medio n• Calcular la anomalía media M• Calcular la anomalía Excéntrica E (por aproximaciones

sucesivas de la ecuación de Keppler E0=M, E1=M+e sin(E0) ,… En=M+e sin(En-1)).

• Calcular r en función de a,e,E• Calcular anomalía verdadera • Calcular coordenadas eclípticas en función de ω,v, i, Ω

• Calcular la posición espacial en un instante t

2tan

)1(

)1(

2tan

E

e

ev)cos1( Eear

Tipos de órbitas en satélites artificiales

• Polares (i=90), Ecuatoriales (i=0)• LEO :bajas, semieje 600 -1.600 km. se usan para

estudiar el campo de gravedad de la Tierra, Atmósfera, telefonía etc…

• MEO :medias 10.000 -20.000 km. se usan para posicionamiento.

• GEO: Órbita Terrestre Geosíncrona (24 horas periodo), altas, de semieje 36.0000 km. Geoestacionarias= Geosíncrona ecuatorial.

SATÉLITES ARTIFICIALES. CONSTELACIÓN GPS

•6 planos orbitales con 4 satélites por plano.

•Inclinación semieje mayor y periodo aproximado de 550,

26.000 Km y 12 horas sidéreas respectivamente.

•El sistema de referencia empleado para definir los elementos orbitales es GEOCÉNTRICO ECUATORIAL ABSOLUTO.

•Se utilizan los mismos elementos orbitales donde la longitud del nodo ascendente se sustituye por ascensión recta del nodo ascendente.

EJERCICIO. Calcular la posición de uno de los satélites GPS 3 horas después de su paso por el perihelio si sus elementos orbitales son:

a=26.000 Km e=0.0094 i=550 ω=173010’ Ω=57036’