Introduccion a Los Modelos de PL y Metodo Grafico

8/19/2019 Introduccion a Los Modelos de PL y Metodo Grafico

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Tema 3: Programación Lineal Prof. José Rangel

Programación Lineal (8206) Procesos Industriales

Facultad de Ingeniería

Escuela de Ingeniería de Procesos Industriales

Departamento de Estadística Aplicada

Programación Lineal (8206)

Breve Introducción a los modelos de

Programación Lineal

Tema 3El principal objetivo por el cual fue implementada la Programación lineal, fue para

darle solución a determinados problemas de la vida real, es decir, matematizar una

situación específica, en una estructura abstracta manejable, con el propósito de determinar

una solución y analizar como esta se puede implementar mediante la toma de decisiones

para satisfacer las necesidades de dicho problema. El siguiente grafico representa la idea

planteada:

Los modelos de programación lineal, constan de una estructura muy específica, la

cual se puede representar de las siguientes maneras:

a. La forma canónica de un modelo de programación lineal es:

= + + ⋯ +

Sujeto a

+ + ⋯ + ≤,=,≥ + + ⋯ + ≤,=,≥

⋮ ⋮ ⋮

+ + ⋯ +

≤,=,≥

≥ 0 , ≥ 0 , … , ≥ 0

Universidad Central de Venezuela


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El modelo anterior está conformado por los siguientes elementos:

= La función objetivo, la cual puede maximizarse o minimizarse.

= Las variables de decisión que deben determinarse.

= Los coeficientes en la función objetivo de la variable de decisión

= Los coeficientes de las restricciones que se refieren al consumo de recursos de lasvariables .

= constante del lado derecho, referido al recurso disponible por cada restricción i.

b. En forma de sumatoria puede expresarse como:

=

Sujeto a

≤,=,≥

= 1 , 2 , … , , , … , ≥ 0

c. Y en forma de notación matricial compacta es:

= ≤,=≥

≥ 0 Donde:

C

= Es el vector fila (1 x n) de los coeficientes de la función objetivo.

X= Es el vector columna (m x 1) de las variables de decisión.

= Es la matriz (m x n) de coeficientes de las restricciones.

= Es el vector columna (m x 1) de recursos.

Cada variable de decisión, consume o requiere de determinados recursos, según

sea el caso, por lo tanto, esto es:


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Actividad

______________________

1 2 … n

=

+ + ⋯ +

Sujeto a

+ + ⋯ + ≤,=,≥ + + ⋯ + ≤,=,≥

⋮ ⋮ ⋮ + + ⋯ + ≤,=,≥

≥ 0 , ≥ 0 , … , ≥ 0

Además de las estructuras clásicas en un modelo de programación lineal,representadas anteriormente, están implícitos los siguientes supuestos:

1.-Aditividad: Cada función de un modelo de PL (ya sea la función objetivo o las

restricciones) es la suma de las contribuciones individuales de las variables de decisión

respectivas.

2.-Divisibilidad: En un modelo de PL, las variables de decisión pueden tomar cualquier

valor, incluso valores no enteros, que satisfagan las restricciones y de no negatividad. En

consecuencia estas variables no están restringidas a solo valores enteros. Como cada

variable de decisión representa el nivel de alguna actividad, se supondrá que las actividades

se pueden realizar a niveles fraccionales.

3.-Certidumbre: Se supone que los valores asignados a cada parámetro de un modelo de

PL son constantes conocidas, es decir, los coeficientes en la función objetivo, loscoeficientes en las restricciones y los en el lado derecho de las restricciones.

4.-Proporcionalidad: La contribución de cada actividad al valor de la función objetivo Z es

proporcional al nivel de la actividad , como lo presenta el término en la funciónobjetivo. De manera similar, la contribución de cada actividad al lado izquierdo de cada

restricción es proporcional al nivel de la actividad , como lo representa en la restricción eltérmino . En consecuencia, este supuesto elimina cualquier exponente diferente a 1para las variables en cualquier termino de las funciones (ya sea la función objetivo o las

restricciones) en un modelo de PL.


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La manera en que se trata un modelo de programación líneal es utilizando

determinados métodos o algoritmos iterativos con el propósito de hallar, de ser posible una

solución óptima (la mejor) que satisfaga el conjunto de restricciones a la cual está sujeta la

función objetivo.

Programación Lineal Grafica.

La geometría de dos dimensiones puede usarse como un sistema grafico para

ilustrar muchos elementos importantes de los modelos de PL. Aun cuando la geometría

representa un caso muy especial en dos dimensiones, es sencillo trabajar con ella y muchos

conceptos generales que se aplican a modelos de mayor número de dimensiones pueden

expresarse con imágenes bidimensioanles. En particular, la geometría de dos dimensiones

es útil como base para el método de resolución grafica con el objetivo de resolver modelos

de PL que tenga solo 2 variables de decisión.

=

Sujeto a

≤,=,≥

= 1 , 2 , … , , ≥ 0

Limitaciones de los modelos de Programación Lineal

1.- Es un modelo determinístico: El modelo de PL involucra únicamente 3 tipos de parámetros: , , ; de ahí su sencillez y gran aplicación. Sin embargo, el valor de dichos parámetros debeser conocido y constante. Cuando el valor de los parámetros tiene un cierto riesgo oincertidumbre, puede utilizarse la programación paramétrica, la programación estocástica obien, realizarse un análisis de sensibilidad .

2.-Es un modelo estático: en algunos modelos matemáticos se han empleado con éxito las

ecuaciones diferenciales, para inducir la variable tiempo en ellos. En este sentido, puede decirseque la PL, utiliza un modelo estático, ya que la variable tiempo no se involucra formalmente.

3.- Es un modelo que no suboptimiza: debido la forma en que se plantea el modelo de PL, oencuentra la solución óptima o declara que esta no existe. Cuando no es posible obtener unasolución optima y se debe obtener alguna, se recurre a otra técnica más avanzada que la PL, lacual se denomina programación lineal por metas.


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Procedimiento para la graficaciòn de desigualdades:

Paso 1. Gráfico de la igualdad: se convierten las desigualdades de cada restricción en una

igualdad, graficando en el plano cartesiano la recta que representa dicha ecuación.

Las desigualdades al convertirse en desigualdades, el modelo toma la siguiente

estructura:

=

Sujeto a

=

= 1 , 2 , … , , ≥ 0

Paso 2. Se selecciona un punto de prueba: se elige cualquier punto de prueba que no esté

sobre la línea.

Paso 3. Se resuelve la expresión del lado izquierdo: se sustituye el punto de prueba en la

expresión del lado izquierdo de la desigualdad.

Paso 4. Se determina si el punto de prueba satisface la igualdad.

Si el punto de prueba satisface la igualdad original, entonces la recta trazada en el

paso 1 y todos los puntos que están la mismo lado de la recta que el punto de prueba,

satisfacen la igualdad.

Si el punto de prueba no satisface la desigualdad original, entonces la recta y todos

los puntos que no están en el mismo lado que el punto de prueba satisfacen la

desigualdad.

Paso 5. Se determinan los vértices que conforman la región factible y se evalúan en la

función objetivo, si se maximiza se elige el punto que genere el mayor valor arrojado por la

F.O y si se minimiza, se realiza el procedimiento contrario.

TEOREMA: La cantidad de puntos de solución en el espacio factible conformado por n vérticesserá infinita, por lo tanto, la solución óptima siempre está asociada con un punto de esquina delespacio de soluciones (donde, en dos dimensiones, se intersecan dos líneas).


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El procedimiento para la graficaciòn de las desigualdades que conforman un modelo

de PL tiene como objetivo la determinación del espacio de soluciones factibles, este espacio

es el área en el primer cuadrante que satisface todas las restricciones al mismo tiempo, lo

que permitirá obtener la solución óptima.

En el siguiente ejemplo se describe el desarrollo del método gráfico.

= 3 + 5

Sujeto a

≤ 4 2 ≤ 12

3 + 2 ≤ 18 , ≥ 0

Una vez aplicados los pases descritos anteriormente, la región factible es:

La región factible se encuentra delimitada por los vértices del polígono A, B, C, D,E.

Resumen de pasos para el método gráfico:

Generalizando el procedimiento para desarrollar el método gráfico, pude resumirse ensolo 2 objetivos:

1.-Determinacion del espacio de soluciones factibles (graficaciòn de las desigualdades queconforman las restricciones del modelo).

2.-Determinacion de la solución óptima.


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EL punto óptimo se encuentra en el vértice D (2,6).

El valor de Z es 36.

Principio general del método gráfico:

Al agregar más restricciones, el conjunto de decisiones permisibles siempre se

recorta o no resulta afectado. La adición de restricciones nunca expande el conjunto de

decisiones permitidas.

Todo modelo de programación lineal corresponde a alguna de las 3 categorías, en

las que no puede haber suposiciones:

1.- El modelo tiene una solución óptima.

2.- No existe solución óptima porque el modelo no está acotado.

3.- No existe solución óptima porque el modelo no es factible.

Por lo tanto, pueden ocurrir 4 casos o situaciones que son importantes a considerar:

Degeneración

Óptimos alternativos

Solución no acotada

Solución infactible

A continuación se definen e ilustran cada uno de ellos.

Degeneración: ocurre si en un solo punto (que se dice degenerado) coinciden tres

o más de las rectas que limitan la región factible, esto indica que una de las

restricciones es redundante.

¿Por qué ocurre?

Durante la construcción del modelo matemático, es posible que se tomen en cuenta

recursos que son superfluos o innecesarios, resultando en la redundancia.

Ejemplo:

= 3 + 9

Sujeto a

+ 4 ≤ 8 + 2 ≤ 4

, ≥ 0


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Gráficamente se observa lo siguiente.

Nótese que la restricción + 4 ≤ 8 es redundante, ya se coinciden en el eje con laotra restricción, justo en el punto óptimo.

Óptimos alternativos: es cuando un problema de PL tiene una cantidad infinita de

óptimos alternativos.

¿Por qué ocurre?

Sucede cuando la función objetivo es paralela a una restricción obligatoria noredundante (es decir, una restricción que se satisface como una ecuación en la solución

óptima). Desde el punto de vista de la solución puede ser beneficioso el tener variedad de

soluciones, que le permitan a la gerencia decidir entre distintas alternativas.

Ejemplo:

= 2 + 4

Sujeto a + 2

≤ 5

+ ≤ 4 , ≥ 0

La representación gráfica del modelo es:


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Solución no acotada: En algunos modelos de programación lineal, el espacio de

soluciones es no acotado en por lo menos una variable, es decir que las variables

pueden incrementarse de forma indefinida sin violar ninguna de las restricciones.

¿Por qué ocurre?

Un espacio de soluciones no acotado casi siempre indica que el modelo está mal

construido. La irregularidad más probable en tales modelos es que no se han tomado en

cuenta algunas restricciones clave. Otra posibilidad es que las estimaciones de los

coeficientes de las restricciones quizá no sean precisas.

Ejemplo:

=

2 +

Sujeto a

− ≤ 10 2 ≤ 40

, ≥ 0

La representación gráfica del modelo es:


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Solución no factible: Los modelos PL con restricciones inconsistentes no tienen

una solución factible.

¿Por qué ocurre?

Desde el punto de vista práctico, un espacio no factible apunta hacia la posibilidad

de que el modelo se formuló de manera incorrecta.

Ejemplo.

= 3 + 2

Sujeto a

2 + ≤ 2

3 + 4 ≥ 12 , ≥ 0

Graficando cada restricción en el plano cartesiano y determinando la solución óptima,

resulta gráficamente en:


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Ejercicios propuestos.

1.- Obtenga la solución óptima en los siguientes modelo y además indique si la solución

es degenerada, con óptimos alternativos, no acotada e infactible.

a.-

= 2 + 5

Sujeto a

2 − ≥ 0 + 3 ≥ 3 ≤ 4

≤ 3 , ≥ 0 b.-

= 2 + 3

Sujeto a −

≤ 5 = 3

, ≥ 0


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c.-

= 3 +21

Sujeto a

4 +24 ≤ 72

−3 +12 ≤ 76 ≤ 3

, ≥ 0 d.-

= 2 + 3

Sujeto a − 3 3 + 2

≤ 6 ≤ 6

, ≥ 0


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Referencias

Hillier, F. S., & Lieberman, G. (2010). Introduccion a la Investigacion de Operaciones. Mexico: McGraw-

Hill/Interamericana Editores, S,A de C.V.

Risa, J. S., & Arreola Risa, A. (2003). Programacion Lineal, Una introduccion a la toma de decisiones

cuantitativa. Mexico: Thomson Editores.

Taha, H. (2012). Investigacion de Operaciones. Mexico: Pearson Prentice Hall.

UNA. (1993). Investigacion de Operaciones I. Caracas: Universidad Nacional Abierta.

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