Introducción a los compiladores

LA TCNICA LGR EN LOS SISTEMAS DE CONTROL

Danilso Daz Ospino

[email protected] Universidad de la costa Estudiante de pregrado Ingeniera de sistemas

Milton Bolvar Hernndez


Anthony Gonzalez Rodrguez


Josue Pastrana Escamilla


Daniel Olivera Maestre


RESUMEN

Palabras Claves: sistemas de control, Lugar geomtrico de las races, funcin de transferencia, respuesta transitoria, polos y ceros.

1. INTRODUCCIN Cuando se trata con un sistema de control en lazo cerrado, y por consiguiente, de su estabilidad relativa y su respuesta transitoria, se trata, a su vez, de su relacin directa con la localizacin de los polos de la funcin de transferencia (o bien, de las races de la ecuacin caracterstica) en el plano complejo (plano s). Por lo tanto, resulta imprescindible el anlisis del comportamiento de los polos del sistema cuando vara el valor de la ganancia. El nombre de esta tcnica fue acuado, justamente, debido al lugar geomtrico de las races de la ecuacin caracterstica del sistema, en lazo cerrado, en tanto la ganancia vara de cero a infinito. La grfica que la tcnica del lugar geomtrico de la races (LGR) nos proporciona, tras su implementacin, muestra cmo incide cada polo o cero en lazo abierto en las ubicaciones de los polos en lazo cerrado. Esta tcnica fue introducida por Walter Evans en 1948, y desde entonces ha sido aplicada en la ingeniera de control en varios de sus niveles. En este artculo se da lugar a la exposicin de la definicin, implementacin y el alcance de la tcnica LGR; as como tambin a su aplicacin computacional utilizando el software para desarrollos matemticos, matlab. Por ltimo, son presentadas las apuntaciones finales acerca del tema en cuestin. 2. METODOLOGA 2.1 Aproximacin al lugar geomtrico de las races La metodologa empleada en este artculo est regida por la siguiente estructura: la introduccin, donde se muestra un prembulo del tema de estudio; la fundamentacin terica, donde se presenta todo el material terico base para el desarrollo del tema; igualmente los resultados, donde se muestra un ejercicio prctico del tema que se estudia en este artculo, este ejemplo fue tomado de uno de los referentes bibliogrficos, por lo tanto est justamente citado con la informacin del referente para dejar constancia del hecho. Luego son presentadas las respectivas conclusiones del artculo. Este artculo est dividido, si se pude decir as, en captulos, esto con la intencin de hacer

una explicacin ms depurada de los temas que aqu se presentan y exponen. Cabe resaltar que para la elaboracin de este artculo se tomaron como soporte terico, libros concurridos y contemporneos (Bolton (2001); Dorsey (2005); Ogata (2010), entre algunos.) 3. FUNDAMENTACN TERICA 3.1 Hacia una interpretacin del lugar geomtrico de las races El diagrama del lugar geomtrico de las races muestra el efecto que la variacin de la ganancia tiene sobre las races de la ecuacin caracterstica en lazo cerrado y, por lo tanto el comportamiento dinmico del sistema. Esto permite observar el efecto de modificar o adicionar polos y ceros al sistema que se va a estudiar. Los polos en lazo abierto de esos diagramas se pueden considerar que actan como las fuentes de los lugares geomtricos y los ceros como pozos con la ganancia incrementndose desde un polo en lazo abierto hasta infinito en un cero (p.e: Bolton, 2001, p.215). La tcnica del lugar geomtrico de las races (LGR) permite dibujar de manera rpida el lugar geomtrico de cada una de las soluciones del polinomio caracterstico de la funcin de transferencia en lazo cerrado (1+GH(s)=0).Aunque el grafico de esta tcnica es meramente cualitativa, tambin ofrece un buen bosquejo en el momento en que se muestran cmo cambian las ubicaciones de los polos, en lazo cerrado, conforme cambia la ganancia. (p.e: Dorsey, 2005). Utilizando de la tcnica del lugar geomtrico de las races, al diseador le es posible predecir los efectos que tiene en la localizacin de los polos en lazo cerrado, variar el valor de la ganancia o aadir polo y ceros en lazo abierto. De manera que resulta muy conveniente que el diseador comprenda correctamente esta tcnica para la generacin de los lugares de las races del sistema en lazo cerrado, bien sea de forma manual o mediante el uso de programas informticos como matlab, por ejemplo.

Cuando se disea un sistema de control lineal, encontramos que la tcnica del lugar geomtrico de las races resulta muy til, esto debido a que indica la forma en la que deben modificarse los polos y ceros en lazo abierto para que la respuesta cumpla las especificaciones del sistema. Esto es: que el sistema genere una respuesta deseada. Quiz la ventaja ms relevante de esta tcnica sea lo conveniente que resulta para obtener resultados aproximados de manera muy rpida. 3.2 Construccin del lugar geomtrico de las races 3.2.1 Condiciones de ngulo y magnitud

Dada la siguiente funcin de transferencia de un sistema en lazo cerrado:

El polinomio caracterstico para este sistema en lazo cerrado se obtiene haciendo que el denominador del segundo miembro de la ecuacin anterior sea igual a cero. De modo que tenemos:

O tambin:

(Ecuacin 1) Aqu se supone que G(S)H(S) es un cociente de polinomios en s. Dado que G(s)H(s) es una cantidad compleja de la ecuacin 1 se divide en dos ecuaciones igualando los ngulos y las magnitudes de ambos miembros, para obtener as la condicin del ngulo.

La condicin de magnitud sera:

Los valores de s que cumplen tanto las condiciones de ngulo como las de magnitud son las races de la ecuacin caracterstica, o los polos en lazo cerrado. El lugar geomtrico de las races no es ms que una grfica de los puntos del plano complejo que solo satisfacen la condicin de ngulo. Las races de la ecuacin caracterstica que corresponden a un valor especfico de la ganancia se determinan a partir de la condicin de magnitud (p.e: Ogata, 2010). 3.2.2 Propiedades para la construccin del LGR Teniendo la ecuacin caracterstica de la forma:

1 G( s ) H ( s ) 0 En donde

ai, bi: son nmeros reales; y n+m: son races

(n: el nmero de polos que es igual al grado de la ecuacin caracterstica; m: el nmero de ceros o grado de la ecuacin del numerador.) El contorno del LGR est divido en las secciones RL y CRl. Donde : RL: Es la seccin del LGR cuando K es mayor o igual a cero (K>0). CRL: seccin del LGR cuando K es menor que cero (k

Como

entonces 0+N(s)=0 Los valores s aproximan a los ceros de G(s)H(s). 3) Ramas del LRG: El nmero de ramas son el nmero de polos del sistema, es decir, el grado de la ecuacin caracterstica. Las ramas son los flujos[ ] que parten de un polo hacia un cero o hacia el infinito. Los polos se representan con el smbolo: x; mientras que los ceros con el smbolo: o. 4) Simetra del LGR: El LGR es simtrico con respecto al eje real. En general es simtrico a la configuracin de los polos y ceros de G(s)H(s).

Figura 1. 5) Secciones RL Y CRL sobre el eje real: Para que una seccin sea RL depende de si la cantidad de polos y ceros a la derecha de la seccin es impar; mientras que una seccin es CRL si la cantidad de polos y ceros a la derecha de la seccin es par.

Figura 2.

6) Asntotas, interseccin y el grado de las asntotas: Las asntotas definen el lugar por donde ha de moverse una rama. La frmula para hallar las asntotas es: #Asntotas: 2 (n-m); RL: (n-m); CRL: (n-m). En donde n es el nmero de polos y m es el nmero de ceros del sistema. Las asntotas parten de un punto de interseccin el cual est definido en la frmula:

Los ngulos que toman las asntotas estn dados por las siguientes frmulas:

Donde:

7) Punto de ruptura o punto de silla (o punto de desprendimiento). Grficamente sera:

Figura 3. Figura 4. La frmula empleada para hallar el punto de ruptura es la siguiente:

; Entonces tenemos:

8) ngulos de salida y ngulos de llegada a un punto de ruptura: Los ngulos de salida y de llegada a un punto de ruptura se hallan utilizando la frmula:

3.2.3 Recurso computacional

El lugar geomtrico de las races puede ser fcilmente dibujado empleando la herramienta informtica matlab. Las instrucciones que nos permiten realizarlos son: rlocus y rltool. Si se quiere dibujar los lugares de las races con las marcas o, bien x, es necesario usar la siguiente instruccin: plot(r,o); plot(r,x). Resulta instructivo realizar los LGR mediantes las marcas o, x, esto debido a que cada lazo cerrado hallado se muestra de forma grfica. En alguna parte de los LGR estas marcas se muestran de una forma densa y en otra parte aparecen separadas (p.e: Ogata, 2010). Para obtener el LGR en matlab se procede de la siguiente manera: se declara el numerado y el denominador de la funcin de transferencia. Los nmeros entre corchetes son los coeficientes de los polinomios; se declara el

proceso, que para este caso est denotado por (pl). En esta instruccin se crea la funcin de transferencia con el numerador y el denominador declarados anteriormente, y luego lo guarda en (pl).Por ltimo se genera el LGR usando la instruccin rlocus y colocando entre parntesis a la funcin de transferencia de cual queremos obtener el LGR, para este caso generada a travs de la variable pl. Lo anterior en matlab se vera de la siguiente forma:

Figura 5. Y la grfica del LGR sera:

Figura 6. 4. RESULTADOS

Como resultado de este artculo se presenta a continuacin un ejercicio propuesto en el libro de Bolton (2001, p.213), en cual se aplican los pasos y propiedades del LRG presentadas anteriormente.

4.1 Ejercicio propuesto

1. El sistema tiene realimentacin unitaria y, de este modo, la funcin de transferencia del sistema estar dada por la ecuacin [1] como:

Ecuacin [1].

La ecuacin caracterstica es, entonces: (s+1)(s+2)(s+3)+K=0 2.Cuando K=0 la ecuacin caracterstica se convierte en: (s+1)(s+2)(s+3)=0; y los polos en lazo abierto estn en -1,-2,-3.No hay ceros. 3. La ecuacin es de tercer grado y, por lo tanto, se tendrn tres lugares geomtricos de las races. 4. Las porciones del LGR sobre el eje real estarn entre -1 y -2 y desde -3 hasta menos infinito. 5. Los ngulos de las asntotas sern 60, 180 y 300. 6. El punto de interseccin de las asntotas con el eje real es: (-1-2-3)/3= -2. 7. Para determinar el punto de ruptura; la ecuacin caracterstica es:

Al igualar la ecuacin a cero se tiene que:

Y, de esta manera, las races son:

De modo que solo es factible el punto de ruptura: -2+0.58. 8. No hay polo o ceros complejos. La grfica generada sera:

Figura 7. 5. CONCLUSIONES 6. REFERENCIAS BIBLIOGRFICAS

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