Clase Compiladores

8/19/2019 Clase Compiladores

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EXPRESIONES REGULARES

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DEFINICIONES BÁSICAS

Alfabeto: conjunto no vacío de símbolos. Es usualutilizar Σ para denotar un alfabeto.Ejemplos:

Palabra o cadena: es una secuencia de símbolos delalfabeto, es decir, s = a1a2...an, donde ai ∈ Σ.

Por lo general se utilizan las primeras letras del

alfabeto, a, b, c, d , e, para denotar símbolos delalfabeto las !ltimas letras, s, t, u, v , w , x , y , z , paradenotar palabras.

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DEFINICIONES BÁSICAS

"ongitud de una palabra: es el n!mero desímbolos en s. #e denota por $s$.

Palabra nula o vacía λ: es la palabra de longitudcero. Algunos autores utilizan ε para denotarla.

%oncatenaci&n: si s = a1a2...an t = b1b2...bn,entoncesst = a1a2...anb1b2...bn' s2 = ss' s( = sss. "a

concatenaci&n es asociativa, es decir, s)tu* = )st*u,pero no es conmutativa.

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EJEMPLO #ean dos palabras + e tales ue + - )/*,

- )/*

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#e llama concatenaci&n de las palabras + e a otra palabra z

z= + = a10.aib10.bj


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EJEMPLO "a concatenaci&n debe cumplir:

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E+istencia de elemento neutro

+ = +λ = x

#e comprueba ue es un monoide )semigrupo conelemento neutro*


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EJEMPLO o es conmutativa: si +=abc, =ad, se

verifica ue:+ = abcad

+= adabc

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"ongitud de la palabra

+ = + 3


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...DEFINICIONES BÁSICAS

4ado un alfabeto Σ, definimos: Σ5 = 6 x $ x es una palabra sobre Σ $ x $ = 57

Ejemplo: Σ = 68, 17Σ8 =6λ7Σ1 =68, 17Σ2 =688, 81, 18, 117Σ( =6888, 881, 818, 811, 188, 181, 118, 1117...

Σ9 = Σ8∪ Σ1∪ Σ2∪ Σ(∪... es el conjunto de todas laspalabras ue pueden ser formadas con letras del alfabetoΣ, incluendo a λ. A Σ9 se le llama la Cerradura de Kleenede Σ.

Σ3 = Σ1∪ Σ2∪ Σ(∪... es el conjunto de todas las palabrasno-vacías ue pueden ser formadas con letras de Σ, esdecir, Σ3 = Σ9 − 6λ7.

Ejercicio en clase: #ea Σ = 6a, b, c7. btener Σ8, Σ1, Σ2

Σ(. 7


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DEFINICIÓN RECURSIVA DE *

;ase: λ ∈ Σ9

Paso recursivo: si w ∈ Σ9 a ∈ Σ, entonceswa ∈ Σ9.

%erradura: w pertenece a Σ9

s&lo si puede serobtenida a partir de λ mediante un n!merofinito de aplicaciones del paso recursivo.

ota: definiciones recursivas son una buena


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LENGUAJES

"enguaje sobre un alfabeto Σ es un conjunto finito o infinitode palabras sobre Σ, es decir, es un subconjunto de Σ9.

"enguajes interesantes no consisten de conjuntosarbitrarios de cadenas sino de cadenas ue cumplenciertas condiciones las cuales definen la sinta+is dellenguaje.

n lenguaje finito puede ser definido por e+tensi&n, amenos ue sea >demasiado e+tenso?.

"enguajes infinitos con reuerimientos sint@cticos simples

pueden definirse recursivamente.

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EJEMPLOS

"enguaje L sobre Σ =68, 17 ue consta de cadenas ue terminan en 1;ase: 1 ∈ LPaso recursivo: si u ∈ L a ∈ Σ, entonces au ∈ L.%erradura: una cadena u pertenece a L s&lo si puede ser obtenida a partir del

elemento base mediante un n!mero finito de aplicaciones del paso recursivo.

"enguaje L sobre Σ =6a, b7 ue consta de cadenas ue inician con a tienen longitud par;ase: aa, ab ∈ LPaso recursivo: si u ∈ L, entonces uaa, uab, uba, ubb ∈ L.%erradura: una cadena u pertenece a L s&lo si puede ser obtenida a partir de

los elementos base mediante un n!mero finito de aplicaciones del pasorecursivo.

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... EJEMPLOS "enguaje L sobre Σ =6a, b7 ue consta de

cadenas en las ue cada ocurrencia de b es inmediatamente precedida por una a.

Por ejemploλ

, a, abaab est@n en " perono así bb, bab, abb.;ase: λ ∈ LPaso recursivo: si u ∈ L, entonces ua uab ∈

".%erradura: una cadena u pertenece a L s&lo si

puede ser obtenida a partir de los elementosbase mediante un n!mero finito deaplicaciones del paso recursivo.

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…EJEMPLOS

#ea L el lenguaje sobre el alfabeto Σ = 68, 17definido recursivamente por

1. λ ∈ L

2. #i u ∈ L entonces 8u 8u1 ∈ L.

(. %ualuier elemento en L puede ser obtenido apartir de la regla 1. utilizando la regla 2. unn!mero finito de veces.

4efina L por intenci&n.

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L = {0m 1n | m n 0


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…EJEMPLOS

4efina recursivamente al lenguaje L sobre elalfabeto Σ = 6a, b7 ue consiste de las palabrasue tienen m@s as ue bs.

1. a ∈ L

2. #i u ∈ L entonces au ∈ P .

(. #i u v ∈ L entonces buv , ubv uvb ∈ P .

. %ualuier palabra en L puede ser obtenido apartir de la regla 1. utilizando las reglas 2. (.

un n!mero finito de veces.

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¿ES SUFICIENTE LARECURSIVIDAD?

Ba muc


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CONCATENACIÓN DE LENGUAJES

L1L2 = 6w $ w = xy , x ∈ L1 y ∈ L27 Para un lenguaje L:

L8 = 6λ7

L1

= LL2 = L LL( = L L L ...

L*

= L8

∪ L1

∪ L2

∪ L(

∪... )%erradura de Cleene*L+ = L1 ∪ L2 ∪ L( ∪... = LL*

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EJEMPLO DE CONCATENACIÓN = 6a, b, c7' ! = 6abb, ba7

! =6aabb, aba, babb, bba, cabb, cba7 8 = 6λ7 1 = 6a, b, c7 2 = = 6aa, ab, ac, ba, bb, bc, ca, cb, cc7 ( = 2 = 6aaa, aab" aac" aba, abb" abc" aca,

acb" acc" baa, bab" bac" bba, bbb" bbc" bca, bcb"bcc" caa, cab" cac" cba" cbb, cbc" cca" ccb" ccc7

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EJEMPLOS DE CERRADURA DE KLEENE

L = 68, 117L8 = 6λ7L1 = 68, 117L2 = 688, 811, 118, 11117L( = 6888, 8811, 8118, 81111, 1188, 11811, 11118, 1111117L = 68888, 88811, 88118, 881111, 81188, 811811, 811118,

8111111, 11888, 118811, 118118, 1181111, 111188,1111811, 1111118, 111111117

L9 son todas las ue se pueden formar concatenandocualuier n!mero de veces )e+cepto ∞* palabras de L. "aspalabras pueden ser iguales o distintas.

D%u@ntos elementos tiene Ln7: 2n

ndependientemente del lenguaje, DLn tiene siempre 2n elementosF

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MÁS EJEMPLOS L = 6a, b796bb7 6a, b79

%onsiste de las cadenas sobre 6a, b7 ue contienen la

subcadena bb. "enguaje ue consiste de todas las cadenas ue

empiezan con aa o terminan con bb.L = 6aa76a, b79∪ 6a, b796bb7

L1 = 6bb7 L2 = 6λ, bb, bbbb7. L19 = DF, L29 = DFGanto L19 como L29 consisten de cadenas ue tienen un

n!mero par de bHs.

6aa, bb, ab, ba79%onsiste de todas las cadenas sobre 6a, b7 de longitud par.

6a, b79I 6aa, bb, ab, ba79Es el lenguaje ue consiste de las cadenas de longitud non.DEs regular este lenguajeFEste lenguaje tambiJn est@ dado por 6a, b76aa, bb, ab,

ba79,por lo tanto el lenguaje sí es regular.

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CONJUNTOS REGULARES

n conjunto es regular si1. Es el conjunto vacío, ∅, & el conjunto cuo elemento es la

palabra vacía, 6λ7, & es un subconjunto simple )s&lo unelemento* del alfabeto.er generado a partir

2. Puede ser generado a partir de ∅ & de 6λ7 & de un subconjuntosimple utilizando las operaciones de uni&n, concatenaci&n cerradura de Cleene.

ota: no se puede utilizar la diferencia de conjuntos. 4efinici&n recursiva de conjunto regular.

#ea Σ un alfabeto. "os conjuntos regulares sobre Σ sedefinen recursivamente de la siguiente manera:

;ase: ∅, 6λ7 6a7, para toda a ∈ Σ, son conjuntos regulares

sobre Σ. Paso recursivo: #i ! son conjuntos regulares sobre Σ,

entonces los conjuntos ∪ ! , ! 9 tambiJn lo son. %erradura: es un conjunto regular sobre Σ s&lo si puede ser

obtenido a partir de los elementos base mediante un n!mero

finito de aplicaciones del paso recursivo. 20


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EJEMPLOS DE CONJUNTOSREGULARES 6a, b796bb76a, b79 es regular sobre 6a, b7

%onsiste del conjunto de cadenas ue contienena la subcadena bb.

El conjunto de cadenas ue empiezan terminan con una a contienen al menos unab es regular sobre 6a, b7. 6a76a, b796b76a, b796a7

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"as e+presiones regulares se utilizan para abreviar ladescripci&n de conjuntos regulares. El conjunto regular 6a7 es representado por a. "as operaciones de uni&n, concatenaci&n cerradura de Cleene son

denotadas por 3, u+taposici&n 9, respectivamente.

4efinici&n recursiva de una e+presi&n regular.#ea Σ un alfabeto. "as e+presiones regulares sobre Σ se definenrecursivamente de la siguiente manera:

;ase:∅

,λ a, para toda a

∈ Σ, son e+presiones regulares sobre

Σ.

Paso recursivo: #i u v son e+presiones regulares sobre Σ, entonces lase+presiones )u3v *, )uv * )u9* tambiJn lo son representan a los conjuntos6u7 ∪ 6v 7, 6u76v 7 6u79, respectivamente.

%erradura: u es una e+presi&n regular sobre Σ s&lo si puede ser obtenido apartir de los elementos base mediante un n!mero finito de aplicacionesdel paso recursivo.

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EJEMPLOS

"enguaje E+presi&n regular

6λ7 λ687 868817 = 687687617 88168, 17 = 687∪617 8 3 1

68, 187 = 687∪6187 8 3 1861, λ768817 )1 3 λ*88161187968, 17 )118*9)8 3 1*61796187 1918

618, 111, 1181879 )18 3 111 3 11818*9

68, 1879)61179∪6881, λ7* )8 3 18*9))11*9 3 881 3 λ*)88 3 81 3 18 3 11*9 ))8 3 1*)8 3 1**9

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...EXPRESIONES REGULARES

Gomando en cuenta ue la uni&n la concatenaci&n son asociativas,adem@s conviniendo en ue la precedencia u orden de ejecuci&n de lasoperaciones est@ dada por:ParJntesis%erradura de Cleene%oncatenaci&nni&n

las e+presiones se pueden simplificar a!n m@s reduciendo el n!mero deparJntesis. 6a, b796bb76a, b79 = )a 3 b*9bb)a 3 b*9

6a76a, b796b76a, b796a7 = a)a 3 b*9b)a 3 b*9a

otaci&nu3 = uu* u2 = uu" u( = u2u" ...

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EJEMPLO

El conjunto 6bawab $ w ∈ 6a, b797 es regular sobre6a, b74emostraci&n:%onjunto E+presi&n Kustificaci&n

1. 6a7 a ;ase2. 6b7 b ;ase(. 6a76b7=6ab7 ab %oncatenaci&n de 1 2. 6a7 ∪ 6b7=6a,b7 a3b ni&n de 1 2L. 6b76a7=6ba7 ba %oncatenaci&n de 2 1M. 6a,b79 )a3b*9 %erradura Cleene de N. 6ba76a,b79 ba)a3b*9 %oncatenaci&n de L MO. 6ba76a,b796ab7 ba)a3b*9ab %oncatenaci&n de N (

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LENGUAJES REGULARES 4efinici&n: n lenguaje es regular si se

puede representar por una e+presi&n regularo conjunto regular.

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...MÁS EJEMPLOS )a3b*9aa)a3b*93)a3b*9bb)a3b*9:

epresenta al conjunto de cadenas sobre 6a, b7 ue contienen a la subcadena aa o a la subcadena bb oa ambas subcadenas.

E+presi&n regular ue represente al conjunto de cadenas sobre 6a, b7 ue contienene+actamente dos bHs: a9ba9ba9

a9ba9b#a3b*9, )a3b*9ba9ba9, )a3b*9b)a3b*9b)a3b*9 representan al conjunto de cadenas sobre 6a, b7 ue contienen dos o m@s bHs.

a9)a9ba9ba9*9 a9)ba9ba9*9 epresentan cadenas con un n!mero par de bHs.

E+presi&n regular para el lenguaje sobre 6a, b7 en cuas palabras inmediatamenteantes de toda b aparece una a: )a3ab*9.

E+presi&n regular ue representa a las palabras ue contienen e+actamente una vezdos bHs contiguas: )ba3bc3a3c*9bb)a3c3ab3cb*9

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EJERCICIO EN CLASE Escriba una e+presi&n regular para el

lenguaje sobre 68 ,17 ue consiste de laspalabras en las ue no


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EUIVALENCIAS

na e+presi&n regular define un patr&n' unapalabra pertenece al lenguaje definido por

esa e+presi&n regular si s&lo si sigue elpatr&n.

na e+presi&n regular ue represente un

lenguaje debe cumplir dos condiciones:%orrecta: todas las palabras representadas por lae+presi&n regular deben ser parte del lenguaje.

%ompleta: toda palabra del lenguaje debe serrepresentada por la e+presi&n regular.

%oncatenaci&n indica orden de los símbolos,la cerradura de Cleene permite repeticiones 3 indica selecci&n.

4os e+presiones ue representan al mismoconjunto son llamadas euivalentes.

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IDENTIDADES


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IDENTIDADES ∅u = u∅ = ∅ λu = uλ = u

∅9

= λ λ9 = λ u3v = v 3u u3∅ = u u3u = u u9 = u9 u9 = )u9*9 u)v 3w * = uv 3 uw )u3v *w = uw 3vw )uv *9u = u)vu*9

)u3v *

9

= )u9

3v *

9

= u9

)u3v *

9

= )u3vu9

*

9

= )u9

v

9

*

9

= u9

)vu9

*

9

=)u9v *9u9

u9)u + λ* = u9

u9u9 = u9 u9 3 v 9 = v 9 3 u9

)u9

v 9

*9

= )u 3 v *9

= )u 3 v *9

uv )u 3 v *9

3 v 9

u9

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EJEMPLOS


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EJEMPLOS E+presi&n ue representa las cadenas sobre 6a, b7 ue no

contienen la subcadena aa: b9)ab3*93b9)ab3*9a =

b9)ab3*9)λ3a* =b9)abb9*9)λ3a* =)b3ab*9)λ3a*

E+presi&n regular ue representa las cadenas sobre 6a, b,c7 ue contienen la subcadena bc: )a3b3c*9bc)a3b3c*9

c9)b3ac9*9

epresenta las cadenas ue no contienen la subcadena bc.

%adenas sobre 68, 17 de longitud igual a M:

)8 3 1*)8 3 1*)8 3 1*)8 3 1*)8 3 1*)8 3 1* = )8 3 1*M

%adenas sobre 68, 17 de longitud maor o igual a M: )8 3 1*)8 3 1*)8 3 1*)8 3 1*)8 3 1*)8 3 1*)8 3 1* 9 = )8 3 1*M)8 3 1*9

%adenas sobre 68, 17 de longitud menor o igual a M: )8 3 1 3 λ*)8 3 1 3 λ*)8 3 1 3 λ*)8 3 1 3 λ*)8 3 1 3 λ*)8 3 1 3 λ*

= )8 3 1 3 λ*M 31


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EJERCICIOS EN CLASE

btenga una e+presi&n regular para el conjunto depalabras sobre 6a, b, c7 ue tienen al menos una a al menos una b.

c9a)a 3 c*9b)a 3 b 3 c*9 3 c9b)b 3 c*9a)a 3 b 3 c*9

btenga una e+presi&n regular para el lenguaje sobre68 , 17 ue consiste de las palabras cuo dJcimosímbolo contado de la derec


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CLAUSURA POSITIVA DE UNLENGUAJE #e define

Es decir, el lenguaje obtenido uniendo el

lenguaje " con todas sus potencias posibles,e+cepto "8.

Puesto ue el alfabeto / es tambiJn unlenguaje sobre /, puede aplic@rsele esta

operaci&n. #e ver@ entonces ue

/3 = R)/*I67

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ITERACIÓN! CIERRE OCLAUSURA DE UN LENGUAJE #e define:

#on evidentes las siguientes identidades:"9 = "3 67∪

"3 = ""9 = "9" Puesto ue el alfabeto / es tambiJn un lenguaje

sobre /, puede aplic@rsele esta operaci&n. #e ver@entonces ue /9 = R)/*

A partir de este momento, representaremos allenguaje universal sobre el alfabeto / con elsímbolo /9.

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EJERCICIOS #ea / =68,1,27, +=88, =1, z=218. 4efinir las

siguientes palabras: +, +z,z, +z, +(, +22,)+*2, )z++*(. D%u@les son sus longitudes,cabezas colasF

#ea / =68,1,27. Escribir seis de las cadenasm@s cortas de /3 de /9.

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GRAMATICA na gram@tica describe la estructura de las

frases de las palabras de un lenguaje.

#e llama $ra)ática &or)al a la cuádru'la

donde G es el alfabeto de sí)boloster)inales" y es el al&abeto de sí)bolos noter)inales. e verifica ue

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P es un conjunto finito de reglas de producci&n dela forma u ::= v, donde se verifica ue:

Es decir, u es una palabra no vacía del lenguajeuniversal del alfabeto ue contiene al menos unsímbolo no terminal v es una palabra,posiblemente vacía, del mismo lenguaje universal.

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EJEMPLO

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NOTACION DE BACKUS otaci&n abreviada: si el conjunto de

producciones contiene dos reglas de la forma

u ::= v

u ::= pueden representarse abreviadamente con lanotaci&n u ::= v $

"a notaci&n u::=v de las reglas de

producci&n, junto con la regla de abreviaci&nindicada, se denomina ,or)a or)al deacus" o ,.

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DERIVACION DIRECTA #ea / un alfabeto +::= una producci&n

sobre las palabras de ese alfabeto. #ean v dos palabras del mismo alfabeto )v, /9*.∈#e dice ue w es derivaci/n directa de v" o0ue v 'roduce directa)ente w" o 0ue w sereduce directa)ente a v" si existen dos 'alabras z"u *"∈ tales ue:

v=z+u=zu

ndicamos esta relaci&n con el símbolo v .→

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DERIVACION DIRECTA %"A: #i +::= es una producci&n sobre /, se

sigue ue + .→

#ea el alfabeto /=68,1,2,,%7, el conjunto deproducciones

::= %

::= %

% ::= 8

% ::= 1

% ::= 2

Pueden demostrarse f@cilmente las siguientesderivaciones directas:

% %% %%% 2%% 21% 218→ → → → → →

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DERIVACION #ea / un alfabeto P un conjunto de

producciones sobre las palabras de esealfabeto. #ean v dos palabras del mismoalfabeto )v, /9*. #e dice ue∈ w esderivaci/n de v" o 0ue v 'roduce w" o 0ue wse reduce a v" si existe una secuencia &initade 'alabras u2" u1" ..." un #n324" 5 ales ue

v = u8 u1 u2 ... unI1 un = → → →

ndicamos esta relaci&n con el símbolo v 3→. "a secuencia anterior se llama derivaci/nde lon$itud n.

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ndicamos esta relaci&n con el símbolo v 3→. "a secuencia anterior se llama derivaci/nde lon$itud n.

En el ejemplo anterior, puede verse ue 3 218 mediante una secuencia de longitud→M.

%"A: #i v , entonces v 3 → →mediante una secuencia de longitud 1.

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PREGUNTADBa lenguajes para los ueno e+iste una e+presi&n

regular ue losrepresenteF

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Sí !!


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EJEMPLO DE UN LENGUAJE NOREGULAR

6anbn $ n ≥ 87

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