INTRODUCCION A LA TEOR´ ´IA DE LAS...
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INTRODUCCI ´ ON A LA TEOR ´ IA DE LAS ONDELETAS Trabajo de Graduaci´ on presentado a la Facultad de Ciencia, en cumplimiento parcial de los requisitos exigidos para optar al grado de Licenciado en Educaci´ on Matem´ atica y Computaci´ on. UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE SANTIAGO-CHILE 2006
Transcript of INTRODUCCION A LA TEOR´ ´IA DE LAS...
INTRODUCCION A LA TEORIA DE LAS
ONDELETAS
Trabajo de Graduacion presentado a la Facultad de Ciencia, en cumplimiento
parcial de los requisitos exigidos para optar al grado de Licenciado en Educacion
Matematica y Computacion.
UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE
SANTIAGO-CHILE
2006
INTRODUCCION A LA TEORIA DE LAS
ONDELETAS
Rodrigo Ponce Cubillos
Este trabajo de Graduacion fue elaborado bajo la supervision del profesor guıa
Dr. Carlos Lizama del Departamento de Matematica y Ciencia de la Com-
putacion y ha sido aprobado por los miembros de la Comision Calificadora del
candidato, Dra. Veronica Poblete y Dr. Humberto Prado.
————————— —————————
Profesor Informante Profesor Informante
————————— —————————
Profesor Guıa Director
3
Agradecimientos
Agraceder a todos resulta difıcil, debido a que son muchas las personas que nos
rodean, ademas, mi memoria no me ayuda mucho.
Fueron muchos con los que compartı durante todos estos anos de estudio. Mis
companeros(as) y amigos(as), Angy, Cata, Celeste, Cote, Lore, Bizama, Venegas,
y otros, con los cuales vivimos muchos momentos faciles y difıciles.
Agradezco al profesor Carlos Lizama, por acogerme como estudiante memorista
y por guiarme en este trabajo.
Agradezco tambien a los profesores que conocı en la univesidad, de los cuales
aprendı muchas cosas, en especial a la profesora Lorena Espinoza, el profesor
Maximo Gonzalez y Rafael Labarca, quienes me colaboraron enormemente en
diversos proyectos que emprendı.
Finalmente, agradezco especialmente a mi familia, quienes son el pilar funda-
mental de mi vida, y tambien a quien hace posible que estemos vivos, a Dios.
Gracias a todos.
Rodrigo Ponce Cubillos
Indice General
Indice 4
Introduccion 6
1. Preliminares 10
1.1. Elementos de Teorıa de Medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2. La integral de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3. Espacios Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4. Bases Ortonormales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.5. Operadores en Espacios de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.6. Series y Transformada de Fourier en L2 . . . . . . . . . . . . . . 20
1.6.1. Series de Fourier en L2(T) . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.6.2. La Transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2. La Transformada de Ondeletas 31
2.1. La Transformada continua de Ondeletas en L2 . . . . . . . . . . 31
2.1.1. Teorema de Parseval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.1.2. Transformada inversa de ondeletas . . . . . . . . . . . . 52
2.2. Caracterizacion de la regularidad usando ondeletas . . . . . . . 55
2.3. La Transformada continua de Ondeletas en varias dimensiones . 64
4
5
2.4. La Transformada Discreta de Ondeletas en L2 . . . . . . . . . . 66
2.4.1. Discretizando la transformada de ondeletas . . . . . . . . 66
2.5. Frames . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3. Aplicaciones 76
3.1. Analisis de Multiresolucion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.2. Caracterizacion de espacios de funciones usando ondeletas . . . 82
3.3. Analisis de Fourier versus Ondeletas . . . . . . . . . . . . . . . . 83
Bibliografıa 85
Introduccion
El analisis de senales en diversos contextos, resulta relevante para el desarrollo
de tecnologıas y el descubrimiento de nuevos recursos.
Representar funciones mediante partıculas elementales ha sido una de las he-
rramientas principales que han usado los cientıficos para examinar y transmi-
tir senales, ya sean auditivas, visuales o extraıdas a partir de algun fenomeno
natural.
El sistema de monomios {(x−a)n : n = 0, 1, 2, ...} son las partıculas elementales
que se usan para representar senales (funciones) mediante el desarrollo de Tay-
lor. Los sistemas de ondas {1, cosnx, sennx : n = 1, 2, 3, ...} son las partıculas
elementales de las series de Fourier, que permiten representar senales definidas
en cualquier intervalo de longitud 2π. Estos son los dos modelos clasicos de
sistemas reproductores. En general, cualquier base ortonormal para un espacio
de funciones es un sistema reproductor de ese espacio, en el que las partıculas
elementales son los elementos de la base.
Las ondeletas, en ingles wavelets, permiten descomponer una senal (funcion) en
sus diferentes componentes de frecuencia, utilizando traslaciones y dilataciones
de una funcion fija, permitiendo ademas, construir bases ortonormales de ciertos
espacios de funciones.
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Las primeras apariciones del termino ondeletas, fue en investigaciones del area
de la sismologıa, donde se analizaba el disturbio resultante de un impulso sısmico
o de una carga explosiva.
Sin embargo, el avance mas significativo fue realizado por el geofısico Jean Mor-
let, quien trabajaba en la companıa petrolera francesa Elf-Aquitaine. Morlet se
dedicaba a detectar capas petrolıferas al interior de la tierra enviando vibra-
ciones o impulsos y analizar el eco recibido. En la practica, este analisis deberıa
ayudar a decidir donde y de que estan compuestas las distintas capas del subsue-
lo. Sin embargo, el analisis de Fourier con ventanas, windowed Fourier transform
(WFT) que desde 1960 se usaba para estudiar estos ecos no lo satisfacıa.
La WFT analiza senales a partir de la base ortonormal de L2(R) (sistema re-
productor):
{χ[n,n+1)(t)e2πmt,m, n ∈ Z}
Sin embargo, en este sistema hay discontinuidades por el hecho de usar la funcion
caracterıstica.
Es por esto que Morlet propuso, en 1975, un nuevo sistema que consideraba
traslaciones y dilataciones de una funcion ψ de L2(R):
{ψ(m,n)(x) = 2−m2 ψ(2−mx− n
),m, n ∈ Z}.
Posteriormente, Alex Grossman y Morlet mostraron como senales arbitarias
pueden ser analizadas en terminos de estas traslaciones y dilataciones de una
funcion que denominaron ondeleta madre.
El matematico frances Yves Meyer y Stephane Mallat ampliaron esta nocion, y
desarrollaron el analisis de multiresolucion (AMR). En 1989, Mallat mostro como
esta teorıa se puede utilizar en el procesamiento digital de imagenes.
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Desde entonces, las ondeletas han sido usadas en diversas areas, y cuenta con
aplicaciones en geologıa, mecanica cuantica, compresion de imagenes y sonido,
analisis de imagenes y senales, desarrollo de instrumental medico, fısica, bio-
logıa, medicina, acustica, astronomıa, energıa nuclear, neurofisiologıa, resonan-
cia magnetica, identificacion de voces, reconocimiento de patrones, fısica solar,
meteorologıa, entre otras. En matematica pura, sus aplicaciones estan el estudio
de los operadores Calderon-Zygmund, analisis armonico, fractales, ecuaciones
diferenciales, ecuaciones integrales, sistemas dinamicos, entre otros.
Este Trabajo de Titulacion, cuenta con tres capıtulos, el primero de Preelimi-
nares en el cual se resumen los conceptos basicos para el estudio de la teorıa de
ondeletas, incluyendo teorıa de medida, espacios Lp, bases ortonormales, series
y transformada de Fourier, y operadores en espacios de Hilbert.
El segundo capıtulo, titulado La transformada de ondeletas se describe la trans-
formada continua y discreta de ondeletas en L2. Ademas, se prueban algunos
resultados importantes y se muestran algunas aplicaciones. Las secciones de este
capıtulo son:
La transformada continua de ondeletas; se definen la ondeleta generatriz, las
ondeletas asociadas a una ondeleta generatriz, y la transformada continua.
El Teorema de Parseval y la Transformada inversa de ondeletas; se prueban estos
importantes teoremas en la teorıa de ondeletas.
Caracterizacion de regularidad; se muestra como es posible caracterizar la re-
gularidad de funciones de L2 usando la transformada continua de ondeletas.
La transformada continua en varias dimensiones; se muestra brevemente como es
posible extender la transformada continua para funciones de L2(Rn), con n ≥ 2.
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La transformada discreta de ondeletas; se define la transformada discreta, se
prueba ademas que ciertas ondeletas constituyen una base ortonormal de L2(R).
Se finaliza con los Frames, que se definen, y se relacionan con la transformada
discreta.
Se finaliza con un breve capıtulo de Aplicaciones, en el cual se define el analisis
de Multiresolucion (AMR), y se muestra como es posible caracterizar ciertos
espacios de funciones usando la teorıa de ondeletas.
Este trabajo de titulacion tiene como proposito dar una vision global de la Teorıa
de Ondeletas, resumir sus principales propiedades, mostrar algunas aplicaciones,
comenzando con los conceptos basicos necesarios para su estudio, y se basa en el
texto Ten Lectures on wavelets de Ingrid Daubechies, quien es reconocida como
una de las investigadoras que han hecho mayores avances en esta teorıa.
Capıtulo 1
Preliminares
En este capıtulo se resumen los principales elementos de teorıa de medida, espa-
cios de Lebesgue, bases ortonormales, operadores en espacios de Hilbert, series
y transformada de Fourier, necesarios para el estudio de la teorıa de ondeletas.
1.1. Elementos de Teorıa de Medida
A continuacion se definen los principales conceptos de teorıa de medida.
Consideremos una coleccion M de subconjuntos de un conjunto X. Diremos
que M es una σ − algebra en X, si M satisface las siguientes condiciones:
X ∈ M .
Si A ∈ M , entonces Ac ∈ M , donde Ac es el complemento de A respecto a
X, es decir, Ac = X − A.
Si A =∞⋃i=1
Ai donde Ai ∈ M para i = 1, 2, ..., entonces A ∈ M .
10
11
Si M es una σ-algebra en X, entonces, se dice que X es un espacio medible,
y los elementos de M se llaman conjuntos medibles en X.
Consideremos ahora una coleccion T de subconjuntos de un conjunto Y . T se
dice una topologıa en Y , si T satisface:
∅ ∈ T ,Y ∈ T .
Si Vi ∈ T para i = 1, 2, ..., n, entoncesn⋂i=1
Vi ∈ T .
Si {Vα}α∈I es una coleccion arbitraria de elementos de T entonces⋃α∈I
Vα ∈
T , donde I es un conjunto de ındices.
Si T es una topologıa en Y , entonces, se dice que Y es un espacio topologico,
y los elementos de T se denominan conjuntos abiertos en Y .
Si X es un espacio medible, e Y un espacio topologico, la funcion f : X → Y
se dice medible si f−1(V ) es un conjunto medible en X para todo abierto V de
Y .
Definicion 1.1.1 Se llama medida positiva a una funcion µ : M → [0,∞],
donde M es una σ-algebra numerablemente aditiva, es decir, si {Ai} es una
coleccion numerable de elementos disjuntos de M , entonces:
µ
(∞⋃i=1
Ai
)=
∞∑i=1
µ (Ai) (donde Ai ∩ Aj = ∅ si i 6= j).
El conjunto X se dice un espacio de medida si X es un espacio medible en el
que hay definida una medida positiva µ : M → [0,∞], donde M es una σ-algebra
en X.
Definicion 1.1.2 Una funcion simple en un espacio medible X, es una fun-
cion definida de X en C, cuya imagen consta de una cantidad finita de puntos.
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1.2. La integral de Lebesgue
Consideremos una σ-algebra M en un conjunto X, y µ : M → [0,∞] una medida
positiva.
Definicion 1.2.1 Si s : X → [0,∞) es una funcion simple medible, de la forma:
s =n∑i=1
αiχAi
donde α1, ..., αn son los distintos valores de s, χAi es la funcion caracterıstica de
Ai. Para E ∈M definimos:
∫E
sdµ =n∑i=1
αiµ (Ai ∩ E) .
Si f : X → [0,∞] es medible, y E ∈M , definimos:
∫E
fdµ = sup
∫E
sdµ
donde el supremo se toma sobre todas las funciones simples medibles s tales que
0 ≤ s ≤ f .
Llamamos a∫E
fdµ la integral de Lebesgue de f sobre E, respecto a la medida
µ. Decimos, entonces que f es Lebesgue integrable sobre E respecto a la
medida µ.
13
1.3. Espacios Lp
Sea X un espacio de medida, con una medida positiva µ.
Definicion 1.3.1 Si 0 < p <∞, y si f es una funcion compleja medible en X,
f : X → [0,∞], sea:
||f ||p :=
∫X
|f |pdµ
1p
.
Se define el espacio Lp(µ) como el conjunto de todas las funciones f para las
que ||f ||p <∞, es decir:
Lp(µ) := {f ; ||f ||p <∞}.
Llamamos a ||f ||p la norma Lp de f .
Consideremos p = 2. Si µ es una medida positiva, definimos en L2(µ) el producto
interior de f, g ∈ L2(µ) por:
〈f, g〉 :=
∫X
fgdµ. (1.1)
Note que: ||f || = (〈f, f〉) 12 =
(∫X
ffdµ
) 12
=
(∫X
|f |2dµ) 1
2
= ||f ||2.
Para µ una medida positiva, es facil verificar que L2(µ) con el producto interno
definido en (1.1) es un espacio vectorial.
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Proposicion 1.3.1 (Desigualdad de Cauchy-Schwarz) Sean f, g ∈ L2(µ),
entonces: ∣∣∣∣∣∣∫X
fgdµ
∣∣∣∣∣∣2
≤∫X
|f |2dµ∫X
|g|2dµ.
Demostracion: Ver [11] de las referencias.
Definicion 1.3.2 Sean f, g ∈ L2(µ), tales que µ ({x : f(x) 6= g(x)}) = 0 (es
decir, los puntos en que f y g son distintas es un conjunto de medida cero).
Entonces, decimos que f es igual a g en casi todo punto, abreviadamente
f = g en ctp[u] o f ∼ g.
Definicion 1.3.3 Sea fn una sucesion en Lp(µ). Si f ∈ Lp(µ), y si lımn→∞
||f −
fn||p = 0, entonces, decimos que fn converge a f en Lp(µ).
Definicion 1.3.4 Si para todo ε > 0 existe N ∈ N tal que ||fn − fm||p < ε
cuando n > N y m > N , decimos entonces, que fn es una sucesion de
Cauchy en Lp(µ).
Definicion 1.3.5 Un espacio metrico es un conjunto X en el que hay definida
una funcion distancia (o metrica) d : X × X → R+ ∪ {0} con las siguientes
propiedades:
d(x, y) = 0 ⇔ x = y.
d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ X.
d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), ∀x, y, z ∈ X.
Definicion 1.3.6 Un espacio metrico M se dice completo si toda sucesion de
Cauchy definida en M converge en M .
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Sean f, g ∈ L2(µ), si se define d(f, g) := ||f − g||2, es sencillo verificar que L2(µ)
con d es un espacio metrico.
Proposicion 1.3.2 L2(µ) es un espacio metrico completo para toda medida
positiva µ.
Demostracion: Ver [11] de las referencias.
Observacion 1.3.1 La Proposicion 1.3.2 es tambien valida para Lp(µ) con 1 ≤
p ≤ ∞.
Ahora enunciamos un importante teorema que sera utilizado en algunos resul-
tados sobre la transformada de ondeletas.
Proposicion 1.3.3 (Teorema de convergencia dominada de Lebesgue)
Sea fn : M −→ R una sucesion de funciones tales que existe lımn−→∞fn(x),
para todo x ∈M . Si existe una funcion g ∈ L1(R) tal que |fn(x)| ≤ |g(x)| para
n = 1, 2, ...;x ∈M , entonces f ∈ L1(R) y
lımn−→∞
∫Rfn(x)dx =
∫Rf(x)dx.
Demostracion: Ver [11] de las referencias.
16
1.4. Bases Ortonormales
En esta seccion se estudiaran brevemente las bases ortonormales definidas en
espacios de dimension infinita.
En un espacio de dimension finita n, cualquier conjunto ortonormal de n vectores
forma una base. De esta manera, se puede obtener cualquier vector de dicho
espacio haciendo combinaciones lineales finitas con los elementos de la base.
En cambio, en los espacios de dimension infinita se requiere de otros conceptos
para que cada vector de el se pueda representar como combinacion lineal de
los elementos de la base. De aquı en adelante se consideraran solo espacios de
dimension infinita.
Definicion 1.4.1 Sea H un espacio vectorial complejo con producto interno
〈, 〉 en el que ha sido definida una metrica d, tal que para x, y ∈ H se tiene
d(x, y) = 〈x − y, x − y〉 12 . Si H con la metrica d es completo, entonces decimos
que H es un espacio de Hilbert.
Observacion 1.4.1 Como el espacio L2(µ) es completo, entonces, con el pro-
ducto interno definido en (1.1), y la metrica definida por d(f, g) := ||f − g||2,
L2(µ) es un espacio de Hilbert.
Definicion 1.4.2 Un conjunto de vectores {xk}k∈N en un espacio de Hilbert H
se dice ortonormal si:
〈xm, xn〉 =
1 si m = n
0 en otro caso
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Dada una sucesion ortonormal {ek} en un espacio de Hilbert H, se puede con-
siderar una serie de la forma:
∞∑k=1
αkek (1.2)
donde, α1, α2, ... son escalares. Si consideramos las sumas parciales sn = α1e1 +
...+αnen, y existe algun s ∈ H tal que estas sumas parciales convergen a s, esto
es: ||sn− s|| → 0 cuando n→∞, entonces diremos que la serie (1.2) converge a
s ∈ H.
Proposicion 1.4.1 (Convergencia) Sea {ek} una sucesion ortonormal en un
espacio de Hilbert H. Entonces:
(a) La serie (1.2) converge si y solo si converge la serie:
∞∑k=1
|αk|2.
(b) Si (1.2) converge, entonces los coeficientes ak son los coeficientes de Fourier
〈x, ek〉, donde x denota la suma de (1.2). En este caso podemos escribir:
x =∞∑k=1
〈x, ek〉ek.
Demostracion: (a) Sea sn = α1e1 + ...+αnen y σn = |α1|2 + ...+ |αn|2. Entonces
por la ortonormalidad, para cualquier m,n con n > m, se tiene (usando el
teorema de Pitagoras):
||sn − sm||2 = ||αm+1em+1 + ...+ αnen||2 = |αm+1|2 + ...+ |αn|2 = σn − σm
Luego, {sk} es una sucesion de Cauchy en H sı y solo sı {σn} es una sucesion
de Cauchy en R. Esto prueba (a) ya que H es completo.
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(b) Tomando el producto de sn y ej y usando la ortonormalidad, tenemos:
〈sn, ej〉 = αj para j = 1, ..., k con (k ≤ n fijo). Ademas:
x =∞∑k=1
αkek = lımN−→∞
N∑k=1
αkek = lımN−→∞
sN .
Pero, 〈sn, ej〉 = αj, luego:
αj = lımN−→∞
〈sN , ej〉 = 〈x, ej〉.
Ası, x =∞∑k=1
〈x, ek〉ek.
Observacion 1.4.2 Notese que el sistema {einθ}n∈Z es un sistema ortonormal
en L2(T), donde el producto interno para f, g ∈ L2(T) esta dado por 〈f, g〉 :=
12π
∫Tf(θ)g(θ)dθ. En efecto,
〈einθ, eimθ〉 =1
2π
∫T
ei(n−m)θdθ
Ahora, si n = m, entonces 〈einθ, eimθ〉 = 1. Si n 6= m, entonces, existe k ∈ Z−{0}
tal que n−m = k, luego,
〈einθ, eimθ〉 =1
2π
π∫−π
eikθdθ =1
2π
[− i
keikθ
∣∣∣∣∣π
−π
]= 0.
1.5. Operadores en Espacios de Hilbert
Consideremos un espacio de Hilbert H. Un operador es una funcion lineal de H
en H.
Luego, si A es un operador en H, entonces:
A(λ1u1 + λ2u2) = λ1Au1 + λ2Au2.
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Si ||Aw||||w|| (w 6= 0) es acotado, entonces el operador A se dice acotado. La norma
de A esta definida por:
||A|| = supu∈H,||u||6=0
||Au||||u||
= sup||u||=1
||Au||.
El adjunto A∗ de un operador acotado A en un espacio de Hilbert H es un
operador definido por:
〈u1, A∗u2〉 = 〈Au1, u2〉, donde u1, u2 ∈ H.
Si A∗ = A, entonces A se dice autoadjunto.
Si un operador autoadjunto A satisface 〈Au, u〉 ≥ 0, para todo u ∈ H, entonces
se dice que A es un operador positivo.
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1.6. Series y Transformada de Fourier en L2
En este capıtulo se estudian brevemente las series y la transformada de Fourier
definidas en L2(T) y L2(R) respectivamente. Ademas se enuncian y demuestran
algunos resultados importantes como el Teorema de Parseval (que sera estudiado
tambien para las ondeletas) y el de Riesz-Fischer.
1.6.1. Series de Fourier en L2(T)
Definicion 1.6.1 Sean f, g ∈ L2(T). Se define el producto interno de f con g
como:
〈f, g〉 :=1
2π
π∫−π
f(θ)g(θ)dθ. (1.3)
Para una funcion f ∈ L1(T) se definen los coeficientes de Fourier de f como:
f(n) =1
2π
∫T
f(θ)e−inθdθ.
La distancia media cuadratica de f, g ∈ L2(T) esta dada por ||f − g||22 = 〈f −
g, f − g〉.
En particular, si consideramos el polinomio trigonometrico g(θ) =n=N∑n=−N
bneinθ,
entonces g(θ) =n=N∑n=−N
bne−inθ. Por lo tanto:
||f − g||22 = ||f ||22 − 〈f, g〉 − 〈g, f〉+ ||g||22
= ||f ||22 −1
2π
∫T
f(θ)g(θ)dθ − 1
2π
∫T
g(θ)f(θ)dθ + ||g||22
= ||f ||22 −1
2π
∫T
f(θ)n=N∑n=−N
bne−inθdθ − 1
2π
∫T
n=N∑n=−N
bneinθf(θ)dθ + ||g||22
21
Si A1 = 12π
∫Tf(θ)
n=N∑n=−N
bne−inθdθ y A2 = 1
2π
∫T
n=N∑n=−N
bneinθf(θ)dθ, entonces:
A1 =1
2π
∫T
f(θ)n=N∑n=−N
bne−inθdθ
=n=N∑n=−N
bn1
2π
∫T
f(θ)e−inθdθ
=n=N∑n=−N
bnf(n).
Analogamente:
A2 =1
2π
∫T
n=N∑n=−N
bneinθf(θ)dθ
=n=N∑n=−N
bn1
2π
∫T
f(θ)einθdθ
=n=N∑n=−N
bnf(n).
Ası, tenemos:
||f − g||22 = ||f ||22 −n=N∑n=−N
bnf(n)−n=N∑n=−N
bnf(n) + ||g||22
= ||f ||22 −n=N∑n=−N
[bnf(n) + bnf(n)
]+ ||g||22. (1.4)
Por otro lado, por el teorema de Pitagoras:∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∑j
αjej
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣2
=∑j
|αj|2
donde ej es un sistema ortonormal, αj son escalares, y j pertenece a un conjunto
finito de ındices,
22
se tiene:
||g||22 =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣N∑−N
bneinθ
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣2
2
=N∑−N
|bn|2.
Ası, reemplazando esta igualdad en (1.4) obtenemos:
||f − g||22 = ||f ||22 −N∑−N
[bnf(n) + bnf(n)
]+
N∑−N
|bn|2
= ||f ||22 −N∑−N
[bnf(n) + bnf(n)− |bn|2
]= ||f ||22 +
N∑−N
[|bn − f(n)|2 − |f(n)|2
].
Este ultimo resultado se obtiene ya que:
N∑−N
[|bn − f(n)|2 − |f(n)|2
]=
N∑−N
[(bn − f(n))(bn − f(n))− |f(n)|2
]=
N∑−N
[(bnbn − bnf(n)− bnf(n) + |f(n)|2 − |f(n)|2
].
Resumiendo, si g(θ) =n=N∑n=−N
bneinθ, tenemos:
||f − g||22 = ||f ||22 +N∑−N
|bn − f(n)|2 −N∑−N
|f(n)|2. (1.5)
Esta igualdad permite enunciar la siguiente proposicion:
Proposicion 1.6.1 Sea f ∈ L2(T). Entonces el error medio cuadratico mınimo
se alcanza cuando bn es el coeficiente de Fourier bn = f(n). La media distancia
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cuadratica se expresa por:
||f − g||22 = ||f ||22 −N∑
n=−N
|f(n)|2. (1.6)
Ademas, para cada N ∈ Z, se tiene la desigualdad:
N∑n=−N
|f(n)|2 ≤ ||f ||22. (1.7)
Y en particular, la desigualdad de Bessel:∑n∈Z
|f(n)|2 ≤ ||f ||22. (1.8)
Demostracion: Por (1.5) tenemos:
||f − g||22 = ||f ||22 +N∑−N
|bn − f(n)|2 −N∑−N
|f(n)|2.
Si bn = f(n), entonces, el error medio cuadratico queda:
||f − g||22 = ||f ||22 −N∑−N
|f(n)|2.
Afirmamos que este valor es mınimo para ||f − g||22. En efecto, debemos probar
que no existe an, con an 6= f(n) tal que:
||f ||22 +N∑−N
|an − f(n)|2 −N∑−N
|f(n)|2 ≤ ||f ||22 −N∑−N
|f(n)|2.
De esta desigualdad obtenemos:
N∑−N
|an − f(n)|2 ≤ 0,
24
de donde, la unica alternativa posible es queN∑−N|an − f(n)|2 = 0, lo cual es
valido solo cuando an = f(n), lo que es una contradiccion. Por lo tanto, si
bn = f(n) entonces el error medio cuadratico es mınimo, y se tiene: ||f − g||22 =
||f ||22 −N∑−N|f(n)|2.
Ademas, como: 0 ≤ ||f − g||22 = ||f ||22 −N∑
n=−N|f(n)|2, obtenemos:
N∑n=−N
|f(n)|2 ≤ ||f ||22.
Finalmente, como ||f ||22 < ∞, entonces para N → ∞, la serieN∑
n=−N|f(n)|2
converge, y de la desigualdad anterior obtenemos:∑n∈Z
|f(n)|2 ≤ ||f ||22.
Definicion 1.6.2 Sea f ∈ L1(T). Se define la serie de Fourier de f como:∑n∈Z
f(n)eint,
y sus sumas parciales SNf para N = 0, 1, ..... como:
SNf =N∑
n=−N
f(n)eint.
Proposicion 1.6.2 (Teorema de Parseval) Para f ∈ L2(T), la serie de Fouri-
er de f converge en L2(T) y se tiene:
1
2π
∫T
|f(θ)|2dθ =∑n∈Z
|f(n)|2.
Es decir, ||f ||22 =∑n∈Z
|f(n)|2.
Demostracion: Lo primero es demostrar que las sumas parciales convegen en
L2(T). Supongamos que M < N , luego:
25
||SNf − SMf ||22 =1
2π
∫T
|SNf − SMf |2dθ
=1
2π
∫T
∣∣∣∣∣N∑
n=−N
f(n)eint −M∑
n=−M
f(n)eint
∣∣∣∣∣2
dθ
=1
2π
∫T
∣∣∣∣∣ ∑M<|n|≤N
f(n)eint
∣∣∣∣∣2
dθ
=
∥∥∥∥∥ ∑M<|n|≤N
f(n)eint
∥∥∥∥∥2
=∑
M<|n|≤N
|f(n)|2 (por el Teorema de Pitagoras)
=N∑
n=−N
|f(n)|2 −M∑
n=−M
|f(n)|2.
Llamando σk =k∑
n=−k|f(n)|2, la igualdad anterior queda:
||SNf − SMf ||22 = σN − σM .
Pero, σN → σ =∞∑
n=−∞|f(n)|2, por lo tanto, {σN}N∈N es una sucesion de Cauchy,
y luego σN − σM → 0 cuando N,M →∞.
Es decir, si N,M →∞, entonces ||SNf − SMf ||22 =∑
M<|n|≤N|f(n)|2 → 0.
De esto, {SNf} es una sucesion de Cauchy, por lo que las sumas parciales con-
vergen en L2(T).
Como L2(T) es completo, entonces existe F ∈ L2(T) tal que F = lımN→∞ SNf .
Falta demostrar que F ∼ f . Tenemos:
26
2πF (n) =
∫T
F (θ)e−inθdθ
=
∫T
[F (θ)− SNf(θ)]e−inθdθ +
∫T
SNf(θ)e−inθdθ (1.9)
Ademas, para N > |n|, se sigue que:∫T
SNf(θ)e−inθdθ =
∫T
N∑j=−N
f(j)eijθe−inθdθ
= 2π〈N∑
j=−N
f(j)eijθ, einθ〉
= 2πN∑
j=−N
f(j)〈eijθ, einθ〉
= 2πf(n).
Ahora, reemplazando esta ultima igualdad en (1.9), se obtiene:
2πF (n) =
∫T
[F (θ)− SNf(θ)]e−inθdθ +
∫T
SNf(θ)e−inθdθ
=
∫T
[F (θ)− SNf(θ)]e−inθdθ + 2πf(n).
Ası, por la desigualdad de Cauchy-Schwarz, si N > n:
|F (n)− f(n)| ≤ ||F − SNf ||2.
Haciendo N −→∞ obtenemos F (n) = f(n), para todo n ∈ Z. De donde, F ∼ f .
Ademas SNf −→ f en la norma L2(T). En particular, tomando la norma en los
coeficientes de Fourier, se tiene:
||f ||22 = lımN−→∞
N∑n=−N
|f(n)|2 =∑n∈Z
|f(n)|2.
27
Proposicion 1.6.3 (Teorema de Riesz-Fischer) Sea {cn}, n ∈ Z una suce-
sion de numeros complejos con∑n∈Z
|cn|2 < ∞. Entonces, existe una unica f ∈
L2(T) tal que f(n) = cn, para todo n ∈ Z.
Demostracion: Sea TN(θ) =N∑
n=−Ncne
inθ. La sucesion Tn es de Cauchy en L2(T).
En efecto, para M < N , se tiene:
||TN − TM ||22 =
∥∥∥∥∥N∑
n=−N
cneinθ −
M∑n=−M
cneinθ
∥∥∥∥∥2
2
=
∥∥∥∥∥N∑
|n|=M+1
cneinθ
∥∥∥∥∥2
2
=N∑
|n|=M+1
|cn|2. (por el Teorema de Pitagoras)
Ası, si N,M → ∞, entonces TN → TM , de dondeN∑
|n|=M+1
|cn|2 → 0. Pero como
L2(T) es completo, existe f ∈ L2(T) tal que: lımN→∞ ||f − TN ||2 → 0.
Los coeficientes de Fourier de f se obtienen al escribir:
2πf(n) =
∫T
f(θ)e−inθdθ
=
∫T
[f(θ)− TN(θ)]e−inθdθ +
∫T
TN(θ)e−inθdθ. (1.10)
Tomando valor absoluto en el primer termino de (1.10) obtenemos por la de-
sigualdad de Cauchy-Schwarz:∣∣∣∣∣∫T
[f(θ)− TN(θ)]e−inθdθ
∣∣∣∣∣ = 2π|〈f − TN , einθ〉| ≤ 2π||f − TN ||2||einθ||2.
Ası, ∣∣∣∣∣∫T
[f(θ)− TN(θ)]e−inθdθ
∣∣∣∣∣ ≤ 2π||f − TN ||2. (1.11)
28
Por otro lado, si N > |n|, se tiene:∫T
TN(θ)e−inθdθ =
∫T
N∑j=−N
cjeijθe−inθdθ
= 2πN∑
j=−N
cj〈eijθ, einθ〉
= 2πcn. (1.12)
Reemplazando lo obtenido en (1.11) y (1.12) en (1.10) se sigue que: 2πf(n) ≤
2π||f−TN ||2 +2πcn. Por lo tanto: |f(n)−cn| ≤ ||f−TN ||2. Como ||f−TN || −→
0 cuando N −→ ∞, tenemos |f(n) − cn| −→ 0, de donde f(n) = cn. Esto
demuestra la existencia. La unicidad de f se debe a la unicidad de los coeficientes
de Fourier en L1(T).
1.6.2. La Transformada de Fourier
A continuacion se define la transformada de Fourier y enuncian algunas de sus
principales propiedades.
Definicion 1.6.3 Sean f, g ∈ L2(R). Se define el producto interno de f y g en
L2(R) como:
〈f, g〉 :=
∫ ∞
−∞f(x)g(x)dx. (1.13)
Definicion 1.6.4 La transformada de Fourier de una funcion f ∈ L1(R) se
define por:
f(t) :=
∫R
f(x)e−2πitxdx.
29
Observacion 1.6.1 En algunas partes del texto se utilizara, por comodidad de
las expresiones resultantes, para la transformada de Fourier, la definicion:
f(t) := (2π)−12
∫R
f(x)e−itxdx.
Definicion 1.6.5 Sean f, g ∈ L1(R). Se define el producto de convolucion de f
con g como:
(f ∗ g)(x) :=
∫R
f(x− y)g(y)dy.
Proposicion 1.6.4 Sean f, g ∈ L1(R), entonces:
(a) La transformada de Fourier es un operador continuo.
(b) (αf + g)∧(t) = αf(t) + g(t).
(c) (f (n))∧(t) = (it)nf(t), donde f (n) es la n-esima derivada de f respecto a x.
(d) (f ∗ g)∧(t) = f(t)g(t).
(e) f(t) → 0 cuando |t| → ∞.
Demostracion: Ver [11] de las referencias.
Proposicion 1.6.5 (Teorema de Parseval para la transformada de Fourier)
Sean f, g ∈ L2(R), entonces:∫Rf(x)g(x)dx =
∫Rf(x)g(x)dx.
Demostracion: Ver [11] de las referencias.
30
Definicion 1.6.6 Sea f ∈ L2(R). Se define la transformada inversa de Fourier
denotada por ∨ como:
f(t) := f(−t) =
∫Rf(x)e2πitxdx.
Proposicion 1.6.6 (Formula de inversion de Fourier) Si f ∈ L1(R) y f ∈
L1(R), entonces (f)∧(t) = (f)∨(t).
Demostracion: Ver [11] de las referencias.
Capıtulo 2
La Transformada de Ondeletas
2.1. La Transformada continua de Ondeletas en
L2
El analisis clasico de Fourier consiste en reconstruir una funcion f a partir
de las dilataciones de una funcion senoidal fija x → e2πix, al escribir f(x) =∫R e
2πiξxf(ξ)dξ.
La teorıa de las ondeletas1 se refiere a la representacion de funciones en terminos
de una familia biparametrica de dilataciones y traslaciones de una funcion fija,
que en general no es senoidal. En este capıtulo se estudian las ondoletas en una
dimension.
Definicion 2.1.1 Sean f ∈ L2(R) y a, b ∈ R, a 6= 0. La funcion trasladada en
b de f es f(x− b). Mientras que la funcion dilatada segun a de f es f(xa
).
1La palabra Ondoletas proviene del ingles wavelets. Tambien se les conoce como ondıculasu ondelettes.
31
32
Definicion 2.1.2 Diremos que una funcion ψ ∈ L2(R) es una ondeleta ge-
neratriz si satisface:
(a) ||ψ||2 = 1.
(b) Cψ := 2π
∫R|ψ(t)|2 dt
|t|<∞ (Condicion de admisibilidad).
Ejemplo 2.1.1 Sea φ una funcion real dada por:
φ(x) =
x si x ∈ [−1, 1]
0 en otro caso
Luego, ||φ||2 =( ∫ 1
−1x2dx
) 12
=√
23.
A partir de φ, definamos la ondeleta generatriz ψ dada por:
ψ(x) =
φ(x)||φ||2 si x ∈ [−1, 1]
0 en otro caso
Luego, para x ∈ [−1, 1], tenemos ψ(x) = φ(x)||φ||2 =
√32x. Ası, tenemos que ||ψ||2 =
1. Por lo tanto, ψ satisface la condicion (a) de la definicion anterior.
Para verificar (b), calculamos la transformada de Fourier de ψ:
ψ(t) = (2π)−12
∫Rψ(x)e−itxdx = (2π)−
12
∫ 1
−1
xe−itxdx
= (2π)−122i(t cos(t)− sin(t))
t2.
Luego,
|ψ(t)|2
|t|=
(2π) · 4[t cos(t)− sin(t)]2
|t|5.
33
Por lo tanto, la condicion de admisibilidad queda:
Cψ = 2π
∫R
|ψ(t)|2
|t|dt
= 16π2
∫R
(t cos(t)− sin(t))2
|t|5dt
= 16π2
∫ 0
−∞
(t cos(t)− sin(t))2
|t|5dt︸ ︷︷ ︸
14
+16π2
∫ ∞
0
(t cos(t)− sin(t))2
|t|5dt︸ ︷︷ ︸
14
= 8π2 <∞.
Por lo que la condicion (b) se satisface. Ası, ψ es una ondeleta generatriz.
Establecer si una funcion ψ ∈ L2(R) satisface la condicion (b) de admisibilidad
resulta trabajoso. Sin embargo, como veremos luego, verificar que Cψ < ∞
es equivalente a probar que∫
R ψ(x)dx = 0 y∫
R |xψ(x)|dx < ∞. Ası, es facil
verificar que la funcion ψ del ejemplo anterior satiface estas condiciones, por lo
tanto ψ es una ondeleta generatriz.
Ejemplo 2.1.2 Sean n ∈ N un numero impar, α, a ∈ R+, y consideremos:
φ(x) =
αxn si x ∈ [−a, a]
0 en otro caso
Luego, ||φ||2 =( ∫ a
−a α2x2ndx
) 12
= α√
2√
a2n+1
2n+1.
Haciendo:
ψ(x) =
φ(x)||φ||2 si x ∈ [−a, a]
0 en otro caso
34
Tenemos, para x ∈ [−a, a]:
ψ(x) =xn
√2√
a2n+1
2n+1
.
Ası, ||ψ||2 = 1. Por otro lado, se tiene que∫
R ψ(x)dx =∫ a−a ψ(x)dx = 0 y∫
R |xψ(x)|dx =∫ a−a |xψ(x)|dx <∞. Por lo que, ψ es una ondeleta generatriz.
Ejemplo 2.1.3 Sea φ : R → R una funcion periodica de perıodo k, es decir,
φ(x + k) = φ(x), para todo x. Si∫ x0+k
x0φ(x+ k)dx = 0 para algun x0 ∈ R, y∫ x0+k
x0|xφ(x+ k)|dx <∞, entonces:
ψ(x) =
φ(x+k)||φ||2 si x ∈ [x0, x0 + k]
0 en otro caso
es una ondeleta generatriz, si ||φ||2 6= 0.
De esto, podemos concluir que las funciones sin(x) y cos(x) definida en el interva-
lo [0, 2π], (y en general en cualquier intervalo de longitud 2π) pueden determinar
ondeletas generatrices.
35
Definicion 2.1.3 Sea ψ ∈ L2(R) una ondeleta generatriz. Las ondeletas aso-
ciadas a ψ son funciones dilatadas y trasladadas defininidas por:
ψ(a,b)(x) = |a|−12ψ
(x− b
a
)a, b ∈ R, a 6= 0. (2.1)
De la definicion obtenemos:
∥∥ψ(a,b)
∥∥2
2=
∫R
∣∣∣∣∣|a|− 12ψ
(x− b
a
)∣∣∣∣∣2
dx
=
∫R|a|−1
∣∣∣∣∣ψ(x− b
a
)∣∣∣∣∣2
dx.
Haciendo z = x−ba
obtenemos:
∥∥ψ(a,b)
∥∥2
2= |a||a|−1
∫R|ψ(z)|2dz =
∫R|ψ(z)|2dz = ||ψ||22.
Por lo que ||ψ(a,b)||2 = ||ψ||2 = 1, por la condicion (a) de la definicion 2.1.2.
Observacion 2.1.1 El valor del exponente de |a|p, en la definicion de la funcion
(2.1), p = −12, es irrelevante en la teorıa basica de ondeletas. De hecho, algunos
autores definen la funcion (2.1) usando p = 12, p = 1 e incluso p = 0.
Ejemplo 2.1.4 Las ondeletas asociadas a la ondeleta generatriz definida en el
ejemplo (2.1.1) son, para a, b ∈ R, a 6= 0, y x ∈ [−1, 1]:
ψ(a,b)(x) = |a|−12ψ
(x− b
a
)
=
√3
2|a|−
12(x− b)
a.
36
Ejemplo 2.1.5 Consideremos una funcion φ : R → R tal que φ ∈ L2(R), con
||φ||2 6= 0,∫
R φ(x)dx = 0, y∫
R |xφ(x)|dx <∞. Si definimos:
ψ(x) =φ(x)
||φ||2(para x ∈ R).
Entonces, ψ es una ondeleta generatriz. Por lo que, las ondeletas asociadas a ψ
son:
ψ(a,b)(x) = |a|−12ψ
(x− b
a
)
= |a|−12φ(x−ba
)||ψ||2
.
La familia {ψ(a,b), a, b ∈ R, a 6= 0} determina una familia de funciones, segun
sean los valores de a y b. A estas funciones se les llama ondeletas generadas
por ψ, y la funcion generatriz ψ se le suele llamar ondeleta madre.
Observacion 2.1.2 Para establecer que ψ ∈ L2(R) es una ondoleta generatriz,
se debe probar que ψ cumple (a) y (b) de la definicion (2.1.2), sin embargo,
suele ser difıcil verificar que Cψ < ∞. La proposicion siguiente, muestra que
bajo ciertas condiciones, Cψ <∞ equivale a probar que∫
R ψ(x)dx = 0, lo que a
su vez es equivalente a ψ(0) = 0.
Proposicion 2.1.1 Sea ψ ∈ L2(R) tal que∫
R |xψ(x)| <∞, entonces:∫Rψ(x)dx = 0
es equivalente a
〈ψ, ψ〉w :=
∫R|ψ(t)|2 dt
|t|<∞ (2.2)
37
Demostracion: Primero note que∫
R ψ(x)dx = 0 equivale a ψ(0) = 0, pues:
ψ(t) =∫
R ψ(x)e−2πitxdx. Si t = 0, y exigimos que ψ(0) = 0, entonces∫
R ψ(x)dx =
0.
Supongamos primero que∫
R |ψ(t)|2 dt|t| <∞. Debemos probar que ψ(0) = 0. Por
hipotesis tenemos que ψ ∈ L2(R) y∫
R |xψ(x)| <∞. De estas hipotesis podemos
concluir que ψ ∈ L1(R). En efecto:
Escribamos: ∫R|ψ(x)|dx =
∫|x|≤1
|ψ(x)|dx+
∫|x|>1
|ψ(x)|dx.
La segunda integral puede ser estimada como:
∫|x|>1
|ψ(x)|dx ≤∫|x|>1
|xψ(x)|dx <∞, (por hipotesis). (2.3)
Por lo que, si |x| > 1, entonces, f ∈ L1(R).
En cuanto a la primera integral tenemos:
∫|x|≤1
|ψ(x)|dx =
∫|x|≤1{|ψ|≤1}
|ψ(x)|dx+
∫|x|≤1{|ψ|>1}
|ψ(x)|dx.
Notemos que:∫|x|≤1{|ψ|≤1}
|ψ(x)|dx ≤ 2. Ademas:
∫|x|≤1{|ψ|>1}
|ψ(x)|dx ≤∫
R|ψ(x)|2dx = ||ψ||22 <∞, (por hipotesis). (2.4)
Luego, si |x| ≤ 1, obtenemos que∫|x|≤1
|ψ(x)|dx <∞.
Ası, de (2.3) y (2.4), obtenemos que ψ ∈ L1(R).
38
Como consecuencia de la definicion de la transformada de Fourier, ψ es una
funcion continua en toda la recta. Mas aun, ψ es continuamente derivable, es
decir, ψ ∈ C1(R), pues ψ′(t) = −ixψ(t).
Observe ademas que, siendo la derivada de ψ la transformada de Fourier de una
funcion de L1(R), especıficamente de −ixψ(t), ella es necesariamente acotada
en toda la recta, ya que por la proposicion (1.6.4), tenemos:
ψ′(t) = −ixψ(t) → 0 cuando |t| → ∞.
Es decir, ψ′ ∈ C0(R)⋂L∞(R).
Ahora, si ψ(0) no fuese 0, entonces la integral (2.2) no podrıa ser finita, por lo
tanto ψ(0) = 0.
Recıprocamente, supongamos que ψ(0) = 0. Del teorema del valor medio, se
deduce un crecimiento lineal para ψ, pues:
ψ(t) = ψ(0) +d
dtψ(t0)t =
d
dtψ(t0)t, para − t0 ≤ t ≤ t0.
Pero, observemos que M := ||ψ′||∞ <∞.
Por lo tanto:
|ψ(t)| ≤M |t|.
Como:
∫R
|ψ(t)|2
|t|dt =
∫|t|≤1
|ψ(t)|2
|t|dt+
∫|t|>1
|ψ(t)|2
|t|dt. (2.5)
39
Entonces, tenemos:
∫|t|>1
|ψ(t)|2
|t|dt <
∫|t|>1
|ψ(t)|2dt ≤∫
R|ψ(t)|2dt = ||ψ||22, (por 1.6.5) (2.6)
Y ademas:
∫|t|≤1
|ψ(t)|2
|t|dt ≤
∫|t|≤1
M2t2
|t|dt ≤M2 <∞. (2.7)
Por lo tanto, en (2.5) tenemos por (2.6) y (2.7) que:∫R
|ψ(t)|2
|t|dt <∞.
Ahora se muestran algunos ejemplos de ondoletas:
Ejemplo 2.1.6 La ondoleta de Haar se define mediante la funcion:
ψ(x) =
1 si 0 ≤ x < 1
2
−1 si 12≤ x < 1
0 en otro caso
Figura: Ondeleta de Haar.
40
La transformada de Fourier de ψ es:
ψ(ξ) =
∫Rψ(x)e−2πiξxdx
=
∫ 12
0
e−2πiξxdx−∫ 1
12
e−2πiξxdx
=1− 2e−πiξ + e−2πiξ
2πiξ
=(1− e−πiξ)2
2πiξ
Para establecer que ψ es una ondoleta generatriz serıa necesario verificar que
Cψ <∞, condicion indicada en la definicion (2.1.2) . Sin embargo, en virtud de
la Proposicion 2.1.1 basta verificar que∫
R |xψ(x)|dx <∞ y ψ(0) = 0.
En efecto. Primero notese que es facil establecer∫
R |xψ(x)|dx < ∞. Por otro
lado, (1− e−πiξ)2 y 2πiξ son diferenciables respecto a ξ, por lo que aplicando el
teorema de L’Hopital para el calculo de lımites tenemos:
lımξ−→0
ψ(ξ) = lımξ−→0
−2πi(1− e−πiξ)
2πi= 0.
Ademas ||ψ||2 = 1, por lo que, ψ es una ondoleta generatriz.
Ejemplo 2.1.7 Una ondoleta gaussiana puede definirse por ψ(x) = Cxe−πx2,
C ∈ R\{0}. La transformada de Fourier es ψ(ξ) = −iCξe−πξ2 . Para establecer
que ψ es una ondeleta generatriz basta verificar que∫
R |xψ(x)|dx <∞, ψ(0) = 0,
y ||ψ||2 = 1.
Primero, es evidente que ψ(0) = 0. Por otro lado,∫
R |xψ(x)|dx = C 12π
< ∞.
Para ||ψ||2 observese que:
41
||ψ||22 =
∫R|Cxe−πx2|2dx
= C2
∫Rx2e−2πx2
dx
= C2
√2
8π.
Si exigimos que ||ψ||22 = 1, entonces, C = 2 4√
2√π. Luego, la ondeleta gaussiana
queda ψ(x) = 2 4√
2√πxe−πx
2.
Figura: Una ondeleta Gaussiana.
Observacion 2.1.3 En general, las ondeletas gaussianas se definen a partir de
la funcion g(x) = e−x2
2 .
Ejemplo 2.1.8 La ondeleta del sombrero mexicano se define a partir de la se-
gunda derivada de la ondeleta gaussiana g(x) = e−x2
2 . Tenemos d2
dx2 g(x) = (x2−
1)e−x2
2 . Consideremos ahora la funcion ψ(x) = 24√π√
3g′′(x) = 2
4√π√
3(x2 − 1)e−
x2
2 ,
que tiene por transformada de Fourier a:
ψ(ξ) = − 24√π√
3(iξ)2g(ξ),
donde g(x) = e−x2
2 (una ondeleta gaussiana). La constante γ := 24√π√
3es escogida
de esta forma para garantizar la normalizacion. Luego, ψ(ξ) = γξ2e−ξ2
2 , de
42
donde, se verifica claramente que ψ(0) = 0, y como ||ψ||2 = 1, entonces, ψ es
una ondeleta generatriz.
Figura: Ondeleta del Sombrero Mexicano.
Definicion 2.1.4 Sean f ∈ L2(R), a, b ∈ R, a 6= 0. Se define la transformada
continua de ondeletas de f respecto a la ondeleta generatriz ψ ∈ L2(R) como:
Wψf(a, b) :=
∫Rf(x)ψ(a,b)(x)dx =
∫R|a|−
12f(x)ψ
(x− b
a
)dx.
Ejemplo 2.1.9 Las ondeletas definidas en el ejemplo (2.1.4) estan dadas para
a, b ∈ R, a 6= 0, por:
ψ(a,b)(x) =
√3
2|a|−
12(x− b)
a(para x ∈ [−1, 1])
Luego, si f ∈ L2(R), entonces la transformada continua de ondeletas de f res-
pecto a ψ esta dada por:
Wψf(a, b) =
∫Rψ(a,b)(x)f(x)dx
=
√3
2
∫R|a|−
12
(x− b
a
)f(x)dx
=
√3
2
∫ 1
−1
|a|−12
(x− b
a
)f(x)dx.
43
Supongamos ahora que f(x) = e2πiξx, entonces:
Wψf(a, b) =
∫R|a|−
12 e2πiξxψ
(x− b
a
)dx.
Haciendo z = x−ba
, tenemos x = az + b y adz = dx, con lo que se obtiene:
Wψf(a, b) =
∫R|a|
12 e2πiξ(az+b)ψ(z)dz
= |a|12 e2πiξb
∫Re2πi(aξ)zψ(z)dz
= |a|12 e2πiξbψ(aξ).
Consideremos el operador adjunto:
Wψ ∗Wψf(x) =
∫RWψf(a, b)ψ
(x− b
a
)db√|a|
Pero como Wψf(a, b) = |a| 12 e2πiξbψ(aξ), tenemos:
Wψ ∗Wψf(x) = |a|12 ψ(aξ)
∫ ∞
−∞e2πiξbψ
(x− b
a
)db√|a|.
Haciendo z = x−ba
, tenemos b = x− az y db = −adz, de donde:
Wψ ∗Wψf(x) = −|a|12 ψ(aξ)
∫ −∞
∞e2πiξ(x−az)ψ(z)|a|
12dz
= |a|ψ(aξ)e2πiξx∫
Re−2πi(aξ)zψ(z)dz
= |a|ψ(aξ)e2πiξxψ(aξ)
= |a|∣∣ψ(aξ)
∣∣2e2πiξx.
44
Integrando esta ultima igualdad respecto a daa2 se obtiene:
∫RWψ ∗Wψf(x)
da
a2= e2πiξx
∫R|a|∣∣ψ(aξ)
∣∣2daa2
= e2πiξx∫
R
∣∣ψ(aξ)∣∣2
|a|da
Ası,
∫RWψ ∗Wψf(x)da
a2∫R
∣∣ψ(aξ)
∣∣2|a| da
= e2πiξx = f(x).
Si se exige que
∫R
∣∣ψ(aξ)∣∣2
|a|da = 1, entonces:
f(x) =
∫RWψ ∗Wψf(x)
da
a2.
Valida solo para f(x) = e2πiξx.
Observacion 2.1.4 De la definicion (2.1.4) se tiene:
Wψf(a, b) = 〈f, ψ(a,b)〉.
Donde 〈, 〉 indica el producto interno definido en (1.13).
Ahora se muestran algunas de las principales propiedades de la transformada
de ondeletas. Notese que son propiedades analogas a las de la transformada de
Fourier.
45
Proposicion 2.1.2 Sean f, g ∈ L2(R), ψ una ondeleta y α ∈ C, entonces se
verifican las siguientes propiedades:
(a) Wψ(αf + g)(a, b) = αWψf(a, b) +Wψg(a, b).
(b) Wψf es una funcion acotada en L2(R).
(c) Si f ∈ L1(R), y |ψ(a,b)(x)| < M para algun M ∈ R, entonces ||Wψf ||∞ ≤
M ||f ||1.
Demostracion:
(a) De la definicion de la transformada continua, tenemos:
Wψ(αf + g)(a, b) =
∫R|a|−
12 (αf + g)(x)ψ
(x− b
a
)dx
= α
∫R|a|−
12f(x)ψ
(x− b
a
)dx+
∫R|a|−
12 g(x)ψ
(x− b
a
)dx
= αWψf(a, b) +Wψg(a, b).
(b) Por la desigualdad de Cauchy-Schwarz, tenemos:
|Wψf(a, b)| = |〈f, ψ(a,b)〉| ≤ ||f ||2||ψ(a,b)||2
Y como f, ψ ∈ L2(R), entonces, ||f ||2 =( ∫
R |f |2dx) 1
2 = M < ∞, y ||ψ||2 =( ∫R |ψ|
2dx) 1
2 = N <∞, por lo que:
|Wψf(a, b)| ≤ ||f ||2||ψ(a,b)||2 = M ·N <∞
(c)
|Wψf(a, b)| =
∣∣∣∣∣∫
R|a|−
12ψ
(x− b
a
)f(x)dx
∣∣∣∣∣ ≤∫
R|a|−
12
∣∣∣∣ψ(x− b
a
)∣∣∣∣|f(x)|dx
≤ M
∫R|f(x)|dx
46
Ası, tenemos |Wψf(a, b)| ≤ M∫
R |f(x)|dx, es decir, |Wψf(a, b)| ≤ M ||f ||1.
Luego:
||Wψf ||∞ = sup(a,b)∈R2
|Wψf(a, b)| ≤M ||f ||1.
Por lo tanto, ||Wψf ||∞ ≤M ||f ||1.
47
2.1.1. Teorema de Parseval
Probaremos ahora una importante proposicion, que sera utilizada en varias oca-
siones en el desarrollo de la teorıa de las ondeletas.
Proposicion 2.1.3 (Teorema de Parseval para Ondeletas) Sea ψ una on-
deleta generatriz, entonces, para toda f, g ∈ L2(R) se tiene:
∫Rf(x)g(x)dx = C−1
ψ
∫R
∫RWψf(a, b)Wψg(a, b)
dadb
a2.
Demostracion: Primero, note que la transformada de Fourier de ψ(a,b) es:
ψ(a,b)(ξ) = (2π)−12
∫Rψ(a,b)(x)e
−iξxdx
= (2π)−12
∫R|a|−
12ψ(x− b
a
)e−iξxdx
= (2π)−12 |a|
12
∫Rψ(z)e−iξ(az+b)dz (haciendo z = x−b
a)
= (2π)−12 |a|
12 e−iξb
∫Rψ(z)e−i(aξ)zdz
= (2π)−12 |a|
12 e−iξxψ(aξ).
Luego, ψ(aξ) = (2π)12 ψ(a,b)(ξ)|a|−
12 eiξx.
Por lo tanto:
ψ(aξ) = (2π)12 ψ(a,b)(ξ)|a|−
12 e−iξx. (2.8)
Pero, por otro lado, tenemos:
48
ψ(a,b)(ξ) =
∫Rψ(a,b)(x)e
−2πiξxdx
=
∫R|a|−
12ψ(x− b
a
)e−2πiξxdx
= |a|12
∫Rψ(z)e−2πiξ(az+b)dz (haciendo z = x−b
a)
= |a|12 e−2πiξb
∫Rψ(z)e−2πi(aξ)zdz
= |a|12 e−2πiξxψ(aξ).
Ası,
|ψ(a,b)(ξ)|2 =∣∣|a| 12 e−2πiξxψ(aξ)
∣∣2 = |a||ψ(aξ)|2. (2.9)
Sea ahora, ψ(x) = ψ(−x). Entonces Wψf(a, b) es la convolucion de ψ(a,0) con f ,
es decir:
(ψ(a,0) ∗ f)(b) =
∫Rψ(a,0)(b− y)f(y)dy
=
∫Rψ(a,0)(y − b)f(y)dy
=
∫R|a|−
12ψ
(y − b
a
)f(y)dy
= Wψf(a, b).
La transformada de Fourier de ψ es:
ˆψ(ξ) =
∫Rψ(a,0)(x)e
−2πixξdx
=
∫Rψ(a,0)(−x)e−2πixξdx
=
∫ ∞
−∞|a|−
12ψ
(−xa
)e−2πixξdx.
49
Haciendo z = −xa
, obtenemos:
ˆψ(ξ) = |a|−12 · −
∫ −∞
∞ψ(z)e2πiazξ|a|dz
= |a|12
∫ ∞
−∞ψ(z)e2πiazξdz
= |a|12 ψ(aξ).
Luego la transformada de Fourier de Wψf(a, b) es:
Wψf(a, b) = (ψ(a,0) ∗ f)∧(ξ)
= ˆψ(a,0)(ξ)f(ξ)
= |a|12 ψ(aξ)f(ξ).
Pero, reemplazando lo obtenido en (2.8) en esta igualdad, tenemos:
Wψf(a, b) = (2π)12 ψ(a,b)(ξ)f(ξ)e−iξx.
Observacion 2.1.5 Notese que ψ(−t) = ψ(t)
Analogamente para g tenemos Wψg(a, b) = (2π)12 ψ(a,b)(ξ)g(ξ)e
−iξx. Ası Wψg(a, b) =
(2π)12 ψ(a,b)(ξ)g(ξ)e
iξx.
Luego por el teorema de Parseval para la transformada de Fourier, y por (2.9)
se obtiene:∫RWψf(a, b)Wψg(a, b)db =
∫RWψf(a, b)Wψg(a, b)db
= 2π
∫Rψ(a,b)(ξ)f(ξ)ψ(a,b)(ξ)g(ξ)dξ
= 2π
∫Rf(ξ)g(ξ)|ψ(a,b)(ξ)|2dξ
= 2π
∫R|a|f(ξ)g(ξ)|ψ(aξ)|2dξ.
50
Integramos ambos miembros de la igualdad respecto a da|a|2 obteniendo, por el
teorema de Fubini:
∫R
∫RWψf(a, b)Wψg(a, b)
dadb
|a|2= 2π
∫R
∫R|a|f(ξ)g(ξ)|ψ(aξ)|2dξda
|a|2
=
∫Rf(ξ)g(ξ)2π
∫R
|ψ(aξ)|2
|a|dadξ
= Cψ
∫Rf(ξ)g(ξ)dξ.
Luego, por el teorema de Parseval para la transformada de Fourier obtenemos:
∫R
∫RWψf(a, b)Wψg(a, b)
dadb
a2= Cψ
∫Rf(ξ)g(ξ)dξ = Cψ
∫Rf(x)g(x)dx.
El teorema de Parseval para la transformada de Ondeletas nos permite probar
la siguiente proposicion.
Proposicion 2.1.4 La transformada de ondeletas es un operador continuo.
Demostracion: Probaremos primero que ||Wψf ||2 = ||f ||2.
Tomando f = g en la Proposicion 2.1.3, tenemos:
||f ||22 =
∫R|f(x)|2dx = C−1
ψ
∫R
∫R|Wψf(a, b)|2dadb
a2.
Luego,
||f ||2L2(R,dx) = ||Wψf ||2L2(R2,dµ),
donde, dµ es la medida dada por dµ = dadbCψa2 .
51
Observacion 2.1.6 Puesto que ||Wψf || = ||f ||, entonces,Wψf es una isometrıa
de L2(R, dx) en L2(R2, dadbCψa2 ).
Ahora, si fn → f en L2(R, dx), tenemos por la linealidad de Wψf ,
||Wψfn −Wψf ||L2(R2,dµ) = ||Wψ(fn − f)||L2(R2,dµ)
= ||fn − f ||L2(R,dx) (Pues Wψf es una isometrıa)
= 0.
Luego, Wψfn → Wψf en L2(R2, dµ), por lo que Wψf(a, b) es un operador con-
tinuo.
Observacion 2.1.7 Sabemos que Wψf(a, b) = 〈f, ψ(a,b)〉, pero por el teorema
(1.6.5) obtenemos:
Wψf(a, b) =
∫Rf(x)ψ(a,b)(x)dx = 〈f , ψ(a,b)〉 (2.10)
Ademas:
ψ(a,b)(t) = |a|12 e−2πitbψ(at).
Ası, reemplazando en (2.10) tenemos:
Wψf(a, b) = 〈f(x), ψ(a,b)(x)〉
=
∫Rf(x)ψ(a,b)(x)dx
=
∫Rf(x)|a|
12 ψ(ax)e2πixbdx
= |a|12
(f(x)ψ(ax)
)∨(b).
Esto es, Wψf(a, b) se obtiene como la transformada inversa de Fourier de la
funcion |a| 12(f(x)ψ(ax)
)respecto a la variable x.
52
2.1.2. Transformada inversa de ondeletas
La siguiente proposicion muestra que toda funcion f ∈ L2(R) puede ser repre-
sentada mediante la transformada de ondeletas.
Proposicion 2.1.5 (Transformada inversa de ondeletas) Sea ψ una on-
doleta generatriz. Entonces, para toda f ∈ L2(R) se tiene:
f = C−1ψ
∫R
∫RWψf(a, b)ψ(a,b)
dadb
a2. (2.11)
Demostracion: Mostrar la igualdad anterior equivale a probar que:
lımA1−→0A2,B−→∞
∥∥∥∥∥f − C−1ψ
∫ ∫A1≤|a|≤A2
|b|≤B
Wψf(a, b)ψ(a,b)dadb
a2
∥∥∥∥∥2
= 0
Tenemos que para toda g ∈ L2(R):
∥∥∥∥∥f − C−1ψ
∫ ∫A1≤|a|≤A2
|b|≤B
Wψf(a, b)ψ(a,b)dadb
a2
∥∥∥∥∥2
=
= sup||g||2=1
∣∣∣∣∣⟨f − C−1
ψ
∫ ∫A1≤|a|≤A2
|b|≤B
Wψf(a, b)ψ(a,b)dadb
a2, g
⟩∣∣∣∣∣
Si se aplica el teorema de Fubini, se tiene:
53
⟨C−1ψ
∫ ∫A1≤|a|≤A2
|b|≤B
Wψf(a, b)ψ(a,b)dadb
a2, g
⟩=
=
∫Rg(x)
(C−1ψ
∫ ∫A1≤|a|≤A2
|b|≤B
Wψf(a, b)ψ(a,b)(x)dadb
a2
)dx
= C−1ψ
∫ ∫A1≤|a|≤A2
|b|≤B
Wψf(a, b)
(∫Rg(x)ψ(a,b)(x)dx
)dadb
a2
= C−1ψ
∫ ∫A1≤|a|≤A2
|b|≤B
Wψf(a, b)Wψg(a, b)dadb
a2.
Ahora, por el Teorema de Parseval para ondeletas 2.1.3, por la igualdad anterior
y por la desigualdad de Cauchy-Schwarz se tiene:
54
∣∣∣∣∣⟨f − C−1
ψ
∫ ∫A1≤|a|≤A2
|b|≤B
Wψf(a, b)ψ(a,b)dadb
a2, g
⟩∣∣∣∣∣ =
=
∣∣∣∣∣〈f, g〉 −⟨C−1ψ
∫ ∫A1≤|a|≤A2
|b|≤B
Wψf(a, b)ψ(a,b)dadb
a2, g
⟩∣∣∣∣∣=
∣∣∣∣∣〈f, g〉 − C−1ψ
∫ ∫A1≤|a|≤A2
|b|≤B
Wψf(a, b)Wψg(a, b)dadb
a2
∣∣∣∣∣=
∣∣∣∣∣C−1ψ
∫R
∫RWψf(a, b)Wψg(a, b)
dadb
a2− C−1
ψ
∫ ∫A1≤|a|≤A2
|b|≤B
Wψf(a, b)Wψg(a, b)dadb
a2
∣∣∣∣∣=
∣∣∣∣∣C−1ψ
∫ ∫{A1≤|a|≤A2
|b|≤B}c
Wψf(a, b)Wψg(a, b)dadb
a2
∣∣∣∣∣≤
(C−1ψ
∫∫{A1≤|a|≤A2
|b|≤B}c
|Wψf(a, b)|2dadba2
) 12(C−1ψ
∫R
∫R|Wψg(a, b)|2
dadb
a2
) 12
=
(C−1ψ
∫ ∫{A1≤|a|≤A2
|b|≤B}c
|Wψf(a, b)|2dadba2
) 12
· ||g||2
=
(C−1ψ
∫ ∫{A1≤|a|≤A2
|b|≤B}c
|Wψf(a, b)|2dadba2
) 12
(Pues ||g||2 = 1).
Ahora, si A1 −→ 0, A2 −→ ∞, B −→ ∞, entonces la region de integracion
decrece hasta un conjunto de medida nula, de donde, la integral tiende a cero
por el teorema de convergencia dominada de Lebesgue. Ası,∥∥∥∥∥f − C−1ψ
∫ ∫A1≤|a|≤A2
|b|≤B
Wψf(a, b)ψ(a,b)dadb
a2
∥∥∥∥∥2
−→ 0. 2
55
2.2. Caracterizacion de la regularidad usando
ondeletas
La transformada de ondeletas puede ser utilizada para caracterizar la regularidad
local de una funcion.
Proposicion 2.2.1 Suponga que∫
R (1 + |x|)|ψ(x)|dx <∞, y que ψ(0) = 0. Si
f es una funcion acotada Holder continua con exponente α, 0 < α ≤ 1, es decir:
|f(x)− f(y)| ≤ C|x− y|α
entonces, la transformada de ondeletas satisface:
|Wψf(a, b)| = |〈f, ψ(a,b)〉| ≤ C ′|a|α+ 12 .
Demostracion: Puesto que ψ(0) = 0, entonces tenemos ψ(0) = 0, es decir,∫R ψ(x)dx = 0, por lo que
∫R ψ(a,b)(x)dx = 0. Luego, para b ∈ R:
Wψf(a, b) = 〈f, ψ(a,b)〉 − 0
=
∫Rf(x)ψ(a,b)(x)dx− f(b)
∫Rψ(a,b)(x)dx
=
∫Rψ(a,b)(x)
(f(x)− f(b)
)dx
Ası,
|Wψf(a, b)| ≤∫
R|ψ(a,b)(x)|
∣∣f(x)− f(b)∣∣dx
≤ C
∫R|ψ(a,b)(x)||x− b|αdx
= C|a|−12
∫R
∣∣∣ψ(x− b
a
)∣∣∣|x− b|αdx
56
Haciendo z = x−ba
obtenemos:
|Wψf(a, b)| ≤ C|a|−12 |a|
∫R|ψ(z)||az|αdz
= C|a|12 |a|α
∫R|ψ(z)||z|αdz
≤ C ′|a|12+α.
Observacion 2.2.1 La siguiente proposicion permite probar un importante
teorema sobre la regularidad.
Proposicion 2.2.2 Suponga que ψ1, ψ2 ∈ L1(R), que ψ2 es diferenciable con
ψ′2 ∈ L2(R), y que ψ1(0) = 0 = ψ2(0). Si f ∈ L2(R) es acotada, entonces,
f(x) = C−1ψ1,ψ2
lımA1−→0A2−→∞
∫A1≤|a|≤A2
da
a2
∫ ∞
−∞〈f, ψ1(a,b)〉ψ2(a,b)(x)db
donde, Cψ1,ψ2 = 2π∫
R ψ1(ξ)ψ2(ξ)dξ|ξ| .
Demostracion: Ver [3] de las referencias.
Definicion 2.2.1 Diremos que una funcion f tiene soporte compacto, si existe
un intervalo cerrado y acotado I en el cual se tiene f(x) = 0, para todo x ∈ I.
La siguiente proposicion es un recıproco del Teorema 2.2.1:
Proposicion 2.2.3 Suponga que ψ tiene soporte compacto. Suponga ademas
que f ∈ L2(R) es acotada y continua. Si para algun α ∈]0, 1[ la transformada
de ondeletas de f satisface:
|〈f, ψ(a,b)〉| ≤ C|a|α+ 12 ,
57
entonces, f es Holder continua con exponente α.
Demostracion:
1. Elijamos ψ2 con soporte compacto y continuamente diferenciable, con∫ψ2(x)dx =
0. Normalice ψ2 tal que Cψ,ψ2 = 1. Entonces, por la proposicion (2.2.2) tenemos:
f(x) =
∫ ∞
−∞
da
a2
∫ ∞
−∞〈f, ψ(a,b)〉ψ2(a,b)(x)db.
Dividimos la integral sobre a en dos partes, cuando |a| ≤ 1 y |a| ≥ 1, y llamemos
a estas integrales respectivamente fss(x) y fls.
2. Primero, notese que fls esta uniformemente acotada en x:
|fls| =
∣∣∣∣∣∫|a|≥1
da
a2
∫R〈f, ψ(a,b)〉ψ2(a,b)(x)db
∣∣∣∣∣≤
∫|a|≥1
da
a2
∫R||f ||2||ψ(a,b)||2|ψ2(a,b)(x)|db
≤ C
∫|a|≥1
da
a2
∫R|a|−
12
∣∣∣ψ2
(x− b
a
)∣∣∣db≤ C
∫|a|≥1
da
a2
∫R|a|
12 |ψ2(z)|dz (haciendo z = x−b
a)
≤ C||ψ2||1∫|a|≥1
|a|−32dz
≤ C ′ <∞.
Luego, tenemos para |h| ≤ 1:
58
|fls(x+ h)− fls(x)| =
=
∣∣∣∣∣∫|a|≥1
da
a2
∫R〈f, ψ(a,b)〉ψ2(a,b)(x+ h)− 〈f, ψ(a,b)〉ψ2(a,b)(x)db
∣∣∣∣∣=
∣∣∣∣∣∫|a|≥1
da
a2
∫R
∫R
(|a|−1f(y)ψ
(y − b
a
)ψ2
(x+ h− b
a
)−|a|−1f(y)ψ
(y − b
a
)ψ2
(x− b
a
)dy
)db
∣∣∣∣∣≤
∫|a|≥1
da
|a|3
∫R
∫R
∣∣f(y)∣∣∣∣∣∣∣ψ(y − b
a
)∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ψ2
(x+ h− b
a
)− ψ2
(x− b
a
)∣∣∣∣∣dydb
Como |ψ2(z + t)−ψ2(z)| ≤ C|t|, y puesto que el soporte ψ, sop (ψ2) ⊂ [−R,R],
para algun R <∞, podemos acotar lo anterior por:
|fls(x+ h)− fls(x)| ≤ C ′∫|a|≥1
da
|a|3
∫R
∫R|f(y)| |h|
|a|dydb
≤ C ′|h|∫|a|≥1
da
a4
∫Rdb
∫R|f(y)|dy
≤ C ′|h|∫|a|≥1
a−4da
∫Rdb
∫|x−b|≤|a|R+1|y−b|≤|a|R
|f(y)|dy
≤ C ′′|h|∫|a|≥1
|a|−3da
∫|y−x|≤2|a|R+1
|f(y)|dy
≤ C ′′|h|||f ||2∫|a|≥1
|a|−3(4|a|R + 2)12dy ≤ C ′′′|h|.
Esto para todo |h| ≤ 1, y como |fls| < C ′, podemos concluir que |fls(x + h) −
fls(x)| ≤ C|h|, para todo h, uniformemente en x.
3. Por otro lado, tenemos que fss es tambien uniformemente acotada:
59
|fss| =
∣∣∣∣∣∫|a|≤1
da
a2
∫R〈f, ψ(a,b)〉ψ2(a,b)(x)db
∣∣∣∣∣≤ C
∫|a|≤1
da
a2
∫R|a|α+ 1
2 |a|−12
∣∣∣ψ2
(x− b
a
)∣∣∣db≤ C
∫|a|≤1
da
a2|a|α+ 1
2 |a|12 ||ψ2||1
= C||ψ2||1∫|a|≤1
|a|−1+αda = C ′ <∞.
4. Ademas, para |h| ≤ 1, y como |ψ2(z+t)−ψ2(z)| ≤ C|t|, y sop (ψ2) ⊂ [−R,R],
tenemos:
|fss(x+ h)− fss(x)| =
=
∣∣∣∣∣∫|a|≤1
da
a2
∫R〈f, ψ(a,b)〉ψ2(a,b)(x+ h)− 〈f, ψ(a,b)〉ψ2(a,b)(x)db
∣∣∣∣∣=
∣∣∣∣∣∫|a|≤1
da
a2
∫R〈f, ψ(a,b)〉
(ψ2(a,b)(x+ h)− ψ2(a,b)(x)
)db
∣∣∣∣∣=
∣∣∣∣∣∫|a|≤|h|
da
a2
∫R〈f, ψ(a,b)〉
(ψ2(a,b)(x+ h)− ψ2(a,b)(x)
)db
+
∫|h|≤|a|≤1
da
a2
∫R〈f, ψ(a,b)〉
(ψ2(a,b)(x+ h)− ψ2(a,b)(x)
)db
∣∣∣∣∣≤
∫|a|≤|h|
da
a2
∫R
∣∣〈f, ψ(a,b)〉∣∣(∣∣ψ2(a,b)(x+ h)
∣∣+ ∣∣ψ2(a,b)(x)∣∣)db
+
∫|h|≤|a|≤1
da
a2
∫R
∣∣〈f, ψ(a,b)〉∣∣∣∣∣ψ2(a,b)(x+ h)− ψ2(a,b)(x)
∣∣∣db≤
∫|a|≤|h|
da
a2
∫RC|a|α+ 1
2
(∣∣ψ2(a,b)(x+ h)∣∣+ ∣∣ψ2(a,b)(x)
∣∣)db+
∫|h|≤|a|≤1
da
a2
∫RC|a|α+ 1
2
∣∣∣ψ2(a,b)(x+ h)− ψ2(a,b)(x)∣∣∣db
60
≤∫|a|≤|h|
da
a2
∫RC|a|α
(∣∣∣ψ2
(x+ h− b
a
)∣∣∣+ ∣∣∣ψ2
(x− b
a
)∣∣∣)db+
∫|h|≤|a|≤1
da
a2
∫|x−b|≤|a|R+|h|
C|a|α∣∣∣ψ2
(x− b
a+h
a
)− ψ2
(x− b
a
)∣∣∣db≤
∫|a|≤|h|
da
a2
∫RC|a|α
(∣∣∣ψ2
(x+ h− b
a
)∣∣∣+ ∣∣∣ψ2
(x− b
a
)∣∣∣)db+
∫|h|≤|a|≤1
da
a2
∫|x−b|≤|a|R+|h|
C2|a|α∣∣∣ha
∣∣∣db≤
∫|a|≤|h|
da
a2
∫RC|a|α+1
(∣∣∣ψ2
(z +
h
a
)∣∣∣+ |ψ2(z)|)dz
+|h|∫|h|≤|a|≤1
C2|a|−3+α2(|a|R + |h|)da
≤∫|a|≤|h|
C|a|−1+αda
∫ R
−R
(∣∣∣ψ2
(z +
h
a
)∣∣∣+ |ψ2(z)|)dz
+|h|∫|h|≤|a|≤1
C2|a|−3+α2(|a|R + |h|)da
≤∫|a|≤|h|
2C|a|−1+αda
(∫ R
−R|ψ2(z)|2dz
) 12
+ |h|∫|h|≤|a|≤1
C2|a|−3+α2(|a|R + |h|)da
≤ C3
[ ∫|a|≤|h|
|a|−1+α||ψ2||2da+ |h|∫|h|≤|a|≤1
|a|−3+α2(|a|R + |h|)da]
≤ C ′[||ψ2||2
∫|a|≤|h|
|a|−1+αda+ |h|∫|h|≤|a|≤1
|a|−3+α(|a|R + |h|)da]
= C ′′|h|α.
Resumiendo, tenemos |fls(x + h) − fls(x)| ≤ C ′′′|h|, y |fss(x + h) − fss(x)| ≤
C ′′|h|α.
Por lo tanto, tenemos que f es Holder continua con exponente α.
61
Observacion 2.2.2 Las Proposiciones 2.2.1, y 2.2.3 muestran que la continuidad
de Holder de una funcion f puede ser caracterizada por el decaimiento en a del
valor absoluto de su transformada de ondeletas.
Cuando hay mayor orden de diferenciabilidad de f , y hay continuidad de Holder,
entonces f puede ser caracterizada similarmente por medio del decaimiento de
los coeficientes de ondeletas si ψ tiene mas de un momento cero: en orden a cara-
terizar f ∈ Cn y la continuidad Holder con exponente α de f (n), se requiere de
una ondeleta ψ tal que∫
R xmψ(x)dx = 0, para m = 0, ..., n. Luego, si α ∈]0, 1[,
se tiene:
f ∈ Cn, con todas las f (m),m = 0, ..., n acotadas y cuadrado integrables, y f (n)
Holder continua con exponente α, sı y solo sı,
|〈f, ψ(a,b)〉| ≤ C|a|n+ 12+α,
uniformemente en a.
62
Proposicion 2.2.4 Suponga que∫
R (1 + |x|)|ψ(x)|dx < ∞ y∫
R ψ(x)dx = 0.
Si una funcion acotada f es Holder continua en x0, con exponente α ∈]0, 1[, es
decir:
|f(x0 + h)− f(x0)| ≤ C|h|α,
entonces:
|〈f, ψ(a,x0+b)〉| ≤ C|a|12 (|a|α + |b|α).
Demostracion:
Por traslacion, podemos asumir que x0 = 0. Puesto que∫
R ψ(x)dx = 0, tenemos:
|〈f, ψ(a,b)〉| ≤∫
R|f(x)− f(0)||a|−
12
∣∣∣ψ(x− b
a
)∣∣∣dx≤ C
∫R|x|α|a|−
12
∣∣∣ψ(x− b
a
)∣∣∣dx≤ C|a|α+ 1
2
∫R
∣∣∣y +b
a
∣∣∣α|ψ(y)|dy
= C|a|α+ 12
∫R
∣∣∣ ba
(aby + 1
)∣∣∣α|ψ(y)|dy
= C|a|α+ 12
∫R
|b|α
|a|α∣∣∣aby + 1
∣∣∣α|ψ(y)|dy
≤ C|a|α+ 12
∫R
(1 +
|b|α
|a|α
)∣∣∣aby + 1
∣∣∣α|ψ(y)|dy
= C|a|12 (|a|α + |b|α)
∫R
∣∣∣aby + 1
∣∣∣α|ψ(y)|dy
Afirmamos que si 0 < α < 1, entonces∣∣aby+1
∣∣α < 1+∣∣aby∣∣. En efecto, lo anterior
equivale a probar:
∣∣∣aby + 1
∣∣∣α = eα ln |aby+1| < 1 +
∣∣∣aby∣∣∣ = e1 ln(1+|a
by|).
63
Pero, como la funcion exponencial es creciente, y como α < 1, basta probar que∣∣aby + 1
∣∣ < 1 +∣∣aby∣∣, lo cual es valido por la desigualdad triangular en R.
Por lo tanto,
|〈f, ψ(a,b)〉| ≤ C|a|12 (|a|α + |b|α)
∫R
∣∣∣aby + 1
∣∣∣α|ψ(y)|dy
≤ C|a|12 (|a|α + |b|α)
∫R
(1 +
∣∣∣aby∣∣∣)|ψ(y)|dy
≤ C ′|a|12 (|a|α + |b|α).
Proposicion 2.2.5 Suponga que ψ tiene soporte compacto. Suponga ademas
que f ∈ L2(R) es acotada y continua. Si para algun γ > 0 y α ∈]0, 1[,
|〈f, ψ(a,b)〉| ≤ C|a|γ+12 uniformemente en b,
y
|〈f, ψ(a,b+x0)〉| ≤ C|a|12
(|a|α +
|b|α
| log |b||
),
entonces, f es Holder continua en x0 con exponente α.
Demostracion: Ver [3] de las referencias.
64
2.3. La Transformada continua de Ondeletas en
varias dimensiones
En esta seccion se muestra brevemente como es posible extender la transformada
de ondeletas a funciones f ∈ L2(Rn), con n > 1.
Recordemos que por el Teorema 2.1.5, dada f ∈ L2(R), se tiene:
f = C−1ψ
∫ ∞
−∞
∫ ∞
−∞Wψf(a, b)ψ(a,b)
dadb
a2.
Si consideramos solamente a > 0, obtenemos:
f = C−1ψ
∫ ∞
0
∫ ∞
−∞Wψf(a, b)ψ(a,b)
dadb
a2,
donde:
Cψ = 2π
∫ ∞
0
|ψ(t)|2 dt|t|
= 2π
∫ 0
−∞|ψ(t)|2 dt
|t|<∞.
Del mismo modo en que se probo la Proposicion 2.1.3, puede demostrarse que,
para f, g ∈ L2(Rn) se tiene:
〈f, g〉 = C−1ψ
∫ ∞
0
∫RWψf(a, b)Wψg(a, b)
dadb
an+1,
donde, Wψf(a, b) = 〈f, ψ(a,b)〉, como antes, ψ(a,b) = |a|−n2ψ(x−ba
), con a ∈ R,
a 6= 0, y b ∈ Rn, donde ψ ∈ L2(Rn) es tal que:
Cψ = (2π)n∫
Rn|ψ(t)|2 dt
|t|n<∞.
65
La proposicion (2.1.5), permite escribir f ∈ L2(Rn) como:
f = C−1ψ
∫ ∞
0
∫RnWψf(a, b)ψ(a,b)
dadb
an+1.
Por ejemplo, en dos dimensiones, podemos definir la transformada de ondeletas
utilizando rotaciones de la siguiente forma:
ψa,b,θ(x) = a−1
(R−1θ
(x− b
a
)),
donde, a > 0, b ∈ R2, y Rθ es la matriz de rotacion:
cosθ −sinθ
sinθ cosθ
La condicion de admisibilidad queda:
Cψ = (2π)2
∫ ∞
0
dr
r
∫ 2π
0
|ψ(rcosθ, rsinθ)|2dθ <∞.
De donde,
f = C−1ψ
∫ ∞
0
da
a3
∫R2
db
∫ 2π
0
Wψf(a, b, θ)ψ(a,b,θ)dθ.
66
2.4. La Transformada Discreta de Ondeletas en
L2
En esta seccion, se introduce la transformada discreta de Ondeletas. Tal como
ocurre en la transformada continua, tambien se consideran translaciones y dila-
taciones de una funcion fija. Ademas, veremos que ciertas ondeletas generatrices
forman una base ortonormal de L2(R).
2.4.1. Discretizando la transformada de ondeletas
En la transformada continua de ondeletas, se considera una familia de funciones
ψ(a,b), generadas a partir de una ondeleta madre ψ ∈ L2(R):
ψ(a,b)(x) = |a|−12ψ
(x− b
a
)a, b ∈ R, a 6= 0. (2.12)
Por conveniencia, en la discretizacion consideraremos solo valores enteros para
a, y b, con a > 0. Luego, la condicion de admisibilidad queda:
Cψ = 2π
∫ ∞
0
|ψ(t)|2 dt|t|
= 2π
∫ 0
−∞|ψ(t)|2 dt
|t|<∞. (2.13)
La discretizacion del parametro de dilatacion a, se realiza de la siguiente forma:
Consideremos a = am0 , donde m, a0 ∈ Z, con a0 > 1, y a0 es un valor fijo.
Para el parametro de traslacion, tenemos:
Si m = 0, consideramos los multiplos de b0, donde b0 ∈ Z, y b0 > 0, es decir,
b = nb0, con n ∈ Z. Ahora, si m 6= 0 hacemos b = nb0am0 .
67
Definicion 2.4.1 Sea ψ ∈ L2(R) una funcion tal que ψ satisface la condicion
de admisibilidad (2.13) y ||ψ||2 = 1. Si m,n ∈ Z, a0, b0 ∈ Z con, a0 > 1, b0 > 0
fijos, entonces las ondeletas asociadas a ψ se definen por:
ψ(m,n)(x) = a0−m
2 ψ
(x− nb0a
m0
am0
)= a0
−m2 ψ(a−m0 x− nb0
). (2.14)
La definicion de la transformada discreta es analoga a (2.1.4), solo que ahora se
considera a ψ como una funcion real:
Definicion 2.4.2 Sean f ∈ L2(R), m,n ∈ Z, a0, b0 ∈ Z, con a0 > 1, b0 > 0 fijos.
Se define la transformada discreta de ondeletas respecto a la ondeleta real
ψ ∈ L2(R), como:
Wψf(m,n) := 〈f, ψ(m,n)〉 =
∫Ra−m
20 f(x)ψ
(a−m0 x− nb0
)dx.
En el caso discreto, no es posible, en general, escribir f ∈ L2(R) del mismo modo
como en la Proposicion 2.1.5 del caso contınuo.
Un caso interesante de estudiar, es cuando a0 = 2 y b0 = 1, pues, como veremos
luego, para ciertas funciones ψ ∈ L2(R), la familia de funciones ψ(m,n) para estos
valores de a0 y b0 forman una base ortonormal de L2(R).
Consideremos ahora, la funcion de Haar:
ψ(x) =
1 si 0 ≤ x < 1
2
−1 si 12≤ x < 1
0 en otro caso
68
Luego, si a0 = 2, y b0 = 1, obtenemos para (2.14):
ψ(m,n)(x) = 2−m2 ψ(2−mx− n
),
donde m,n ∈ Z.
Esta familia de funciones ψ(m,n), se conoce como las funciones de Haar. Probare-
mos ahora, que esta familia forma una base ortonormal de L2(R).
Note que∫
R ψ(x)dx =∫ 1
0ψ(x)dx = 0, y ||ψ||22 =
∫R |ψ(x)|2dx =
∫ 1
0|ψ(x)|2dx =
1.
Observacion 2.4.1 La eleccion de los valores a0 y b0, determina que funcion ψ
se debe elegir, para que ψ(m,n) forme una base ortonormal de L2(R).
Proposicion 2.4.1 Sea ψ la funcion de Haar. Entonces, si m,n ∈ Z, la familia
de funciones
ψ(m,n)(x) = 2−m2 ψ(2−mx− n
),
forma una base ortonormal de L2(R).
Demostracion: Debemos probar que ψ(m,n) es ortonormal, y que cualquier fun-
cion f ∈ L2(R) puede ser aproximada por una combinacion lineal finita de
ψ(m,n).
Probaremos primero la ortonormalidad. Debemos probar que:
∫Rψ(m,n)(x)ψ(m′,n′)(x)dx =
1 si (m,n) = (m′, n′)
0 si (m,n) 6= (m′, n′)
Si m = m′ y n = n′, entonces:
69
∫Rψ(m,n)(x)ψ(m′,n′)(x)dx = 2−m
∫R
(ψ(2−mx− n))2dx Haciendo z = (2−mx− n)
= 2−m2m∫
R(ψ(z))2dz
= 1.
Sea ahora (m,n) 6= (m′, n′), y supongamos que m < m′. Entonces:
∫Rψ(m,n)(x)ψ(m′,n′)(x)dx =
∫R
2−m2 ψ(2−mx− n)2−
m′2 ψ(2−m
′x− n′)dx
= 2−12(m+m′)
∫Rψ(2−mx− n)ψ(2−m
′x− n′)dx
Sea y = 2−mx− n, luego dx = 2mdy, y 2m(y + n) = x, por lo tanto:
∫Rψ(m,n)ψ(m′,n′)dx = 2−
12(m+m′)
∫Rψ(y)ψ(2−m
′2m(y + n)− n′)dy
= 2−12(m+m′)
∫Rψ(y)ψ(2m−m
′y + 2m−m
′n− n′)dy
= 2−12(m+m′)
(∫ 12
0
ψ(2m−m′y +m′′)dy −
∫ 1
12
ψ(2m−m′y +m′′)dy
).
Pero, estas dos integrales son iguales a cero, pues∫ 1
0ψ = 0, luego si (m,n) 6=
(m′, n′) se tiene∫
R ψ(m,n)(x)ψ(m′,n′)(x)dx = 0.
Hemos probado la ortonormalidad. Entonces, tenemos que {ψ(m,n)}m,n∈Z, donde
ψ es la funcion de Haar, es un sistema ortonormal.
Luego, como L2(R) es un espacio de Hilbert completo, entonces, para toda f ∈
L2(R), se tiene por la Proposicion 1.4.1:
70
f =∑m,n∈Z
〈f, ψ(m,n)〉ψ(m,n)
=∑m,n∈Z
ψ(m,n)
(∫Rf(x)ψ(m,n)(x)dx
). (2.15)
De la proposicion anterior, tenemos, el teorema de Parseval para las ondeletas
discretas.
Proposicion 2.4.2 (Teorema de Parseval) Sean f, g ∈ L2(R), y ψ(m,n) ∈
L2(R), m,n ∈ Z, las funciones de Haar. Entonces:
〈f, g〉 =∑m,n∈Z
〈f, ψ(m,n)〉〈g, ψ(m,n)〉.
Demostracion: Por (2.15) tenemos:
f =∑m,n∈Z
〈f, ψ(m,n)〉ψ(m,n)
Luego, para toda g ∈ L2(R),
〈f, g〉 =∑m,n∈Z
⟨〈f, ψ(m,n)〉ψ(m,n), g
⟩=
∑m,n∈Z
〈f, ψ(m,n)〉〈ψ(m,n), g〉
=∑m,n∈Z
〈f, ψ(m,n)〉〈g, ψ(m,n)〉.
71
2.5. Frames
Los Frames fueron introducidos por Duffin y Schaeffer (1952), en el contexto de
las series de Fourier no Armonicas, es decir, expansion de funciones de L2([0, 1])
en exponenciales complejos eiλnx, donde λn 6= 2πn.
En esta seccion, relacionaremos los frames con la condicion de admisibilidad
para las ondeletas discretas.
Definicion 2.5.1 Una familia de funciones {ϕj}j∈J en un espacio de Hilbert H
es llamada un frame si existen A > 0, B <∞, tal que, para toda f ∈ H se tiene
A||f ||2 ≤∑j∈J
|〈f, ϕj〉|2 ≤ B||f ||2.
Llamamos a A y B cotas del frame.
Si ambas cotas del frame son iguales, A = B, entonces, llamamos al frame, un
frame ajustado. En el frame ajustado, tenemos, para toda f ∈ H,
∑j∈J
|〈f, ϕj〉|2 = A||f ||2. (2.16)
Luego, usando la identidad de polarizacion2, tenemos por (2.16):
〈f, g〉 =1
4
[||f + g||2 − ||f − g||2 + i||f + ig||2 − i||f − ig||2
]=
1
A· 1
4
∑j∈J
[|〈f + g, ϕj〉|2 − |〈f − g, ϕj〉|2 + i|〈f + ig, ϕj〉|2 − i|〈f − ig, ϕj〉|2
]=
1
A· 1
4
∑j∈J
[4〈f, ϕj〉 〈g, ϕj〉
]=
1
A· 1
4
∑j∈J
[4〈f, ϕj〉〈ϕj, g〉
]2Si f, g ∈ H, entonces, 〈f, g〉 = 1
4
[||f + g||2 − ||f − g||2 + i||f + ig||2 − i||f − ig||2
]
72
De donde se obtiene
A〈f, g〉 =∑j
〈f, ϕj〉〈ϕj, g〉.
Ası, para toda g ∈ H, se tiene:
〈f, g〉 = A−1∑j
⟨〈f, ϕj〉ϕj, g
⟩, ∀g ∈ H
=⟨A−1
∑j
〈f, ϕj〉ϕj, g⟩.
Por lo que,
f = A−1∑j
〈f, ϕj〉ϕj. (2.17)
La expresion (2.17) es similar a la expansion de f en una base ortonormal,
pero, uno de los aspectos interesantes de los frames, es que la familia ϕj no es
necesariamente ortonormal. Por lo tanto, podemos escribir f usando una base
no ortonormal.
Ejemplo 2.5.1 Tomando H = C2, e1 = (0, 1), e2 = (−√
32,−1
2), e3 = (
√3
2,−1
2).
Luego, para cualquier v = (v1, v2) en H, tenemos:
3∑j=1
|〈v, ej〉|2 = |v2|2 +
∣∣∣∣∣−√
3
2v1 −
1
2v2
∣∣∣∣∣2
+
∣∣∣∣∣√
3
2v1 −
1
2v2
∣∣∣∣∣2
=3
2
[|v1|2 + |v2|2
]=
3
2||v||2.
73
Figura: Tres vectores en C2 que forman un frame ajustado.
En este caso, tenemos que la cota del frame es A = 32. Luego, si v ∈ C2, entonces:
v =2
3
3∑j=1
〈v, ej〉ej.
Observamos que si A = 1, entonces, la representacion anterior, es la misma que
si ϕj fuese una base ortonormal. Esta afirmacion es valida, lo que se senala en
la siguiente proposicion.
Proposicion 2.5.1 Si {ϕj}j∈J es un frame ajustado en un espacio de Hilbert
H, con A = 1, y si ||ϕj|| = 1 para todo j ∈ J , entonces ϕj constituye una base
ortonormal de H.
Demostracion: Ver [3] de las referencias.
Ahora, regresamos a la definicion (2.4.1),
ψ(m,n)(x) = a0−m
2 ψ(a−m0 x− nb0
).
Mostraremos ahora, que si ψ(m,n), constituye un frame, entonces la condicion de
admisibilidad (2.13) se satisface.
74
Proposicion 2.5.2 Si ψ(m,n)(x) = a0−m
2 ψ(a−m0 x − nb0
), m,n ∈ Z constituye
un frame para L2(R) con cotas del frame A,B, entonces
b0 ln a0
2πA ≤
∫ ∞
0
|ψ(t)|2 dt|t|≤ b0 ln a0
2πB
y
b0 ln a0
2πA ≤
∫ 0
−∞|ψ(t)|2 dt
|t|≤ b0 ln a0
2πB
Demostracion: Ver [3] de las referencias, p.63-66.
Observacion 2.5.1 Esta proposicion permite construir ondeletas, a partir de
un frame ψ(m,n), pues esto garantiza la condicion de admisibilidad (2.13) que es
la condicion mas fuerte de la definicion (2.4.1).
Observacion 2.5.2 Si ψ(m,n) es un frame ajustado, es decir, A = B, entonces,
por la proposicion anterior, tenemos:
A =2π
b0 ln a0
∫ ∞
0
|ψ(t)|2 dt|t|.
En particular, si ψ(m,n) constituye una base ortonormal de L2(R) (como por
ejemplo la base de Haar), entonces:
b0 ln a0
2π=
∫ ∞
0
|ψ(t)|2 dt|t|.
En efecto,
Si ψ(m,n)(x) = 2−m2 ψ(2−mx − n
), donde ψ es la funcion de Haar. En este caso,
a0 = 2, y b0 = 1, entonces:
75
ψ(ξ) =1
(2π)12
∫ 12
0
e−iξxdx− 1
(2π)12
∫ 1
12
e−iξxdx
=1
(2π)12
(1− 2e−iξ2 + e−iξ)
iξ
=1
(2π)12
(1− e−iξ2 )2
iξ.
Luego,
|ψ(ξ)| =|(1− e−
iξ2 )|2
(2π)12 |ξ|
=1− e
iξ2 − e−
iξ2 + 1
(2π)12 |ξ|
=(2− 2 cos ξ
2)
(2π)12 |ξ|
.
Por lo tanto,
|ψ(ξ)|2
ξ=
(2− 2 cos ξ2)2
(2π)|ξ|3,
Ası, ∫R
(2− 2 cos ξ2)2
(2π)|ξ|3dξ =
ln 2
2π.
Capıtulo 3
Aplicaciones
En este ultimo capıtulo, se resumen algunas aplicaciones matematicas de las
ondeletas.
3.1. Analisis de Multiresolucion
En esta seccion se muestra una breve introduccion a una de las principales
aplicaciones de las ondeletas, conocido como el analisis de multiresolucion, que
consiste basicamente en un metodo para contruir bases ortonormales de ciertos
espacios de funciones.
Definicion 3.1.1 Una ondeleta ortonormal es una funcion ψ ∈ L2(R) tal que
la familia de funciones ψ(j,k)(x) = 2j2ψ(2jx − k
), con j, k ∈ Z, es una base
ortonormal de L2(R).
Observacion 3.1.1 Note que familia de funciones ψ(j,k)(x) es similar a las fun-
ciones de Haar definidas en el capıtulo anterior.
76
77
Ya hemos visto, que la funcion de Haar proporciona un ejemplo de ondeleta
ortonormal. Con el fin de proporcionar un metodo que permita contruir on-
deletas ortonormales se introduce otro concepto, el cual permite generalizar la
construccion de Haar:
Definicion 3.1.2 Un Analisis de Multiresolucion (AMR) es una sucesion cre-
ciente de subespacios cerrados {Vn} ⊂ L2(R) definidos para n ∈ Z por:
... ⊂ V−1 ⊂ V0 ⊂ V1 ⊂ ...
junto con una funcion Φ ∈ L2(R) tal que:
i)∞⋃
n=−∞
Vn es denso en L2(R), es decir,∞⋃
n=−∞
Vn = L2(R).
ii)∞⋂
n=−∞
Vn = {0}.
iii) f ∈ Vj sı y solo sı f(2−j·) ∈ V0.
iv) Φ(x− k)k∈Z es una base ortonormal de V0.
La funcion Φ se llama funcion escala del AMR.
Observacion 3.1.2 De la condicion (iv), y la Proposicion 1.4.1 se tiene, que:
V0 ={f ∈ L2(R); f(x) =
∑k
ckΦ(x− k), donde∑k
|ck| <∞},
por lo que V0 esta definido de manera unica.
Ejemplo 3.1.1 Sea Vj el subespacio de L2(R) de las funciones constantes en
intervalos de la forma Ijk := [2jk, 2j(k+ 1)[, con k ∈ Z, y considerese la funcion
Φ(x) = 1 si x ∈ [0, 1], y 0 en otro caso. Veamos que los Vj junto con Φ forman
un AMR. En efecto,
78
a) Si j < j′, entonces, se tiene que Vj ⊂ Vj′ , pues [2jk, 2j(k+1)[⊂ [2j′k, 2j
′(k+
1)[, esto porque k < k + 1, para todo k ∈ Z, y si consideramos h(j) = 2j,
vemos que h es una funcion creciente para todo j.
b) Puesto que las funciones f de Vj son constantes, entonces son continuas.
Luego, si x ∈ Ijk = [2jk, 2j(k + 1)], entonces para f : Ijk → Vj ⊂ L2(R),
se tiene f(x) ∈ Vj (ver [2], p.26). Luego,⋃∞n=−∞ Vn = L2(R).
c) Para la interseccion, puesto que Vj ⊂ Vj+1, para todo j ∈ Z, y como las
funciones son constantes, entonces para probar que⋂∞n=−∞ Vn = {0}, basta
probar que⋂∞n=−∞[2jk, 2j(k+1)[= {0}. En efecto, puesto que [2jk, 2j(k+
1)[⊂ [2(j+1)k, 2(j+1)(k + 1)[, se sigue que⋂∞n=−∞[2jk, 2j(k + 1)[= {0}, por
lo que⋂∞n=−∞ Vn = {0}.
e) Tenemos que Vj = {f ∈ L2(R), tal que f[2jk,2j(k+1)) es constante}, por lo
que V0 = {f ∈ L2(R), tal que f[k,(k+1)) = c, con c constante}. Debemos
probar que si f ∈ Vj, entonces f(2−j·) ∈ V0. Si f ∈ Vj, entonces f(x) =
c para todo x ∈ [2jk, 2j(k + 1)), por que tomando 2−jx en vez de x,
obtenemos f(2−jx) = c para todo x ∈ [k, (k+1)), lo que equivale, f(2−j·) ∈
V0.
f) Falta probar que Φ(x− k)k∈Z es una base ortonormal de V0. Para esto,
notese que {Φ(x − k) : k ∈ Z} = {χ[k,k+1] : k ∈ Z}, de donde, cualquier
funcion constante f en [k, k+ 1) puede escribirse como combinacion lineal
de χ[k,k+1], con k ∈ Z, por lo que Φ(x− k)k∈Z es una base ortonormal de
V0.
Por lo tanto, hemos probado que los conjuntos Vj = {f ∈ L2(R), tal que
f[2jk,2j(k+1)) es constante}, con j ∈ Z, junto con la funcion escala Φ forman
un AMR.
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Veamos ahora, como es posible interpretar el efecto de los espacios Vj en el anali-
sis del grafico de una funcion. Consideremos la funcion f(x) = sin(4πx) sin(2πx)
definida en el intervalo [0, π3].
Figura: Grafico de f(x) = sin(4πx) sin(2πx).
Representaremos la funcion f en el espacio V−5 = {f ∈ L2(R), tal que f[2−5k,2−5(k+1))
es constante}. Puesto que Φ es una base ortonormal de V0, entonces, podemos
escribir cualquier funcion de V0 haciendo combinaciones lineales de Φ(x−k)k∈Z,
o equivalentemente, combinaciones de la funcion χ[k,k+1], k ∈ Z.
Realizemos una particion del intervalo [0, π3] de la forma xk = [2−5k, 2−5(k+1)),
k = 0, ...,m. Entonces, podremos aproximar f en dicho intervalo haciendo el
producto de la funcion caracteristica en dicho intervalo con la funcion f evaluada
en 2−5k:
Figura: Aproximacion de f en [2−5k, 2−5(k + 1)).
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Luego, para aproximar f en [0, π3] basta sumar todas las aproximaciones hechas
en los intervalos [2−5k, 2−5(k + 1)), es decir:
f(x) =∑k
f(2−5k)χ[2−5k,2−5(k+1))(x).
El grafico de f en V−5 es,
Figura: Grafico de f(x) = sin(4πx) sin(2πx) en V−5.
Del mismo modo, que para V−5, podemos aproximar f en V−7, y V−9, obteniendo,
f(x) =∑
k f(2−7k)χ[2−7k,2−7(k+1))(x), y f(x) =∑
k f(2−9k)χ[2−9k,2−9(k+1))(x),
respectivamente. Los graficos correspondientes son:
Figura: Grafico de f(x) = sin(4πx) sin(2πx) en V−7.
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Figura: Grafico de f(x) = sin(4πx) sin(2πx) en V−9.
La proposicion siguiente muestra que la funcion escala Φ del AMR, para la cual
Φ(x−k) es una base ortonormal de V0, permite contruir una familia de funciones
que forman una base ortonormal para todos los Vj.
Proposicion 3.1.1 Suponga que {Vj} es un AMR con funcion escala Φ. En-
tonces, para cualquier j ∈ Z, el conjunto de funciones:
{Φ(j,k)(x) = 2j2 Φ(2jx− k); k ∈ Z}
es una base ortonormal para Vj.
Demostracion: Para probar que Φ(j,k) genera a Vj, debemos mostrar que cualquier
funcion f ∈ Vj puede ser escrita como combinacion lineal de {Φ(2jx−k), k ∈ Z}.
Usando la condicion (iii) de la definicion del AMR, se tiene que la funcion f(2−jx)
pertenece a V0, y por lo tanto, f(2−jx) es combinacion lineal de {Φ(x−k), k ∈ Z}.
Luego, reemplazando x por 2−jx, se sigue que f(x) es combinacion lineal de
{Φ(2jx− k), k ∈ Z}. La ortonormalidad se prueba de manera analoga a lo real-
izado en la Proposicion 2.4.1.
82
3.2. Caracterizacion de espacios de funciones
usando ondeletas
En esta seccion, definimos el concepto de base incondicional, y mostramos que
la familia de funciones ψ(m,n) constituye una base de este tipo para Lp(R), con
1 < p <∞, y tambien para otros espacios de funciones.
Definicion 3.2.1 Llamamos a una familia de funciones {ψj}j∈J una base in-
condicional de Lp(R), si {ψj}j∈J es una base para todos los espacios Lp(R) con
1 < p <∞.
Proposicion 3.2.1 Si ψ ∈ C1(R) y |ψ(x)|, |ψ′(x)| ≤M(1+ |x|)−1−ε para algun
M y ε > 0, y si ψ(m,n)(x) = 2−m2 ψ(2−mx − n
)constituye una base ortonormal
para L2(R), entonces la familia de funciones {ψ(m,n);m,n ∈ Z} tambien consti-
tuye una base para todos los espacios Lp(R) con 1 < p <∞.
Demostracion: Ver [3] de las referencias.
Puesto que ψ(m,n) contituye una base ortonormal de Lp(R), entonces, podemos
caracterizar cualquier funcion f ∈ Lp(R) usando solo el valor absoluto de los
coeficientes de las ondeletas de f . Es decir, dada f , entonces podemos decidir
si f ∈ Lp(R), usando solamente |〈f, ψ(m,n)〉|. Explıcitamente, el criterio es el
siguiente:
f ∈ Lp(R) ⇐⇒
[∑m,n
|〈f, ψ(m,n)〉|2|ψ(m,n)(x)|2] 1
2
∈ Lp(R)
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Similarmente, las ondeletas proveen de bases incondicionales y caracterizaciones
como la anterior, para diversos espacios de funciones. A continuacion se muestra
una caracterizacion para los espacios de Sobolev:
Espacios de Sobolev W s(R).
El espacio de Sobolev esta definido como el conjunto:
W s(R) :=
{f ;
∫R(1 + |ξ|2)s|f(ξ)|2dξ <∞
}.
Su caraterizacion por medio de los coeficientes de las ondeletas esta dada por:
f ∈ W s(R) ⇐⇒∑m,n
|〈f, ψ(m,n)〉|2(1 + 2−2ms) <∞.
3.3. Analisis de Fourier versus Ondeletas
Para finalizar, se realiza una comparacion entre el analisis de Fourier y el de
ondeletas.
El analisis de ondeletas esta especialmente indicado para senales con pulsos o
intermitencias, es decir, con discontinuidades, o en otras palabras, sucesos que
ocurren de manera no periodica. Para estas senales, Fourier aporta muy poca
informacion, ademas Fourier es inestable frente a senales de este tipo.
La mayor ventaja de las ondeletas sobre la transformada de Fourier, es que
permite analizar senales con discontinuidades.
La Transformada Discreta de ondeletas presenta ademas claras ventajas frente
a su contrapartida de Fourier:
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Mas rapida desde el punto de vista computacional.
En muchos casos proporciona un mejor ajuste a los datos con menos coe-
ficientes.(Permitiendo una mejor compresion de los datos que los metodos
basados en Fourier).
Las tecnicas de filtrado de ruido de imagenes basadas en ondeletas dan
mejores resultados.
Una de las aplicaciones mas populares es la de compresion de imagenes.
Los metodos basados en las ondeletas proporcionan mejores compresiones
que los basados en Fourier. Actualmente, la base de huellas dactilares del
FBI, almacena las imagenes usando las ondeletas.
Bibliografıa
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Prentice Hall, 2001.
[2] N. Bourbaki, General Topology, Part I, Addison-Wesley, 1966.
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