TEOR A DEL CAOS · TEOR´IA DEL CAOS Ana Mar´ıa Beltran Pre - Unal Marzo 19 de 2013 Ana Mar´ıa...

TEORIA DEL CAOS

Ana Marıa Beltran

Pre - Unal

Marzo 19 de 2013

Ana Marıa Beltran (Matematicas) TEORIA DEL CAOS Marzo 19 de 2013 1 / 17

1 ¿Que es el caos?Caos matematico

2 Fractales

¿Que es el caos?

Segun la RAE se define caos como

Confusion, desorden.

Estado amorfo e indefinido que se supone anterior a la ordenacion delcosmos.

Comportamiento aparentemente erratico e impredecible de algunossistemas dinamicos, aunque su formulacion matematica sea enprincipio determinista.

¿Que es el caos?

¿Que es el caos? Caos matematico

Caos matematico

Definicion

En matematicas se llama caotico a todo sistema determinista que es

sensible a las condiciones iniciales.

Donde por sistema determinista se entiende a un sistema dinamico (enmovimiento) cuya evolucion esta perfectamente descrita por ecuaciones -principalmente diferenciales - y por condiciones iniciales interpretamos alas variables que intervienen en la evolucion del sistema.

Caos matematico

Definicion

En matematicas se llama caotico a todo sistema determinista que es

sensible a las condiciones iniciales.

Donde por sistema determinista se entiende a un sistema dinamico (enmovimiento) cuya evolucion esta perfectamente descrita por ecuaciones -principalmente diferenciales - y por condiciones iniciales interpretamos alas variables que intervienen en la evolucion del sistema.

Efecto mariposa

Propuesto por el matematico y metereologo estadounidense EdwardLorenz durante el invierno de 1961 y que en pocas palabras lo convierte enel padre de la teorıa del caos.El movimiento de una simple ala de una mariposa en China, hoy produceun diminuto cambio en el estado de la atmosfera. Despues de un ciertoperıodo de tiempo, el comportamiento de la atmosfera diverge del quedeberıa haber tenido. Ası que, en el perıodo de un mes, un tornado quehabrıa devastado la costa de America no se forma. O quizas uno que no seiba a formar, se produce.

Efecto mariposa

Propuesto por el matematico y metereologo estadounidense EdwardLorenz durante el invierno de 1961 y que en pocas palabras lo convierte enel padre de la teorıa del caos.El movimiento de una simple ala de una mariposa en China, hoy produceun diminuto cambio en el estado de la atmosfera. Despues de un ciertoperıodo de tiempo, el comportamiento de la atmosfera diverge del quedeberıa haber tenido. Ası que, en el perıodo de un mes, un tornado quehabrıa devastado la costa de America no se forma. O quizas uno que no seiba a formar, se produce.

Aplicaciones

Los fenomenos cuya modelacion obedece a un sistema dinamico caoticoson muy comunes y por eso el ambito en el que se puede aplicar estateorıa es supremamente amplio. Las temas de estudio que mejor se puedencomprender a traves del caos matematico estan distribuidos enmetereologıa, biologıa, medicina, fısica, ingenerıa de redes, comunicacionesy claro esta: matematicas.

Fractales

La geometrıa euclidiana nos provee figuras demasiado regulares como paraencontrarlas en la naturaleza; nunca veremos algo totalmente recto ocompletamente circular; al contrario, lo que observamos son estructurasmas bien irregulares muchas de las cuales tienen algo en comun: sonautosimilares.La nocion de autosimilaridad hace referencia al hecho de que al observar acualquier escala un objeto vemos que este se repite una y otra vez ’alinfinito’.

Fractales

La geometrıa euclidiana nos provee figuras demasiado regulares como paraencontrarlas en la naturaleza; nunca veremos algo totalmente recto ocompletamente circular; al contrario, lo que observamos son estructurasmas bien irregulares muchas de las cuales tienen algo en comun: sonautosimilares.La nocion de autosimilaridad hace referencia al hecho de que al observar acualquier escala un objeto vemos que este se repite una y otra vez ’alinfinito’.

Fractales

Un ejemplo sencillo de esta idea son los helechos de cuero comunes quevemos en las azoteas de las casas

Fractales

O el triangulo de Sierpinski

Fractales

O el copo de Koch

Fractales

Dinamica compleja

Dentro del estudio de los sistemas dinamicos en matematicas hay uno muyparticular y es el analisis del comportamiento de ciertas funciones en elplano complejo.El plano complejo es la representacion visual de los numeros complejos (losde la forma a+ bi) y es semejante a un plano cartesiano en el que se ubicala parte real en el eje x y la parte imaginaria en el eje y .

Fractales

Dinamica compleja

Dentro del estudio de los sistemas dinamicos en matematicas hay uno muyparticular y es el analisis del comportamiento de ciertas funciones en elplano complejo.El plano complejo es la representacion visual de los numeros complejos (losde la forma a+ bi) y es semejante a un plano cartesiano en el que se ubicala parte real en el eje x y la parte imaginaria en el eje y .

Fractales

Iteracion

Dada una funcion f con dominio y rango complejo

f : C −→ C

hablamos de la orbita de f en el punto c como el conjunto de las imagenesque se obtienen al iterar f en c

Oc(f ) = {f (c), f (f (c)), f (f (f (c))), . . .}

Fractales

Interpretacion visual

Ahora bien, si observamos el plano complejo como un arreglo de numerosen el que a cada entrada se le hace corresponder la coordenada x + iy

respectiva e iteramos la funcion f en cada una de ellas hay dos opciones:

La orbita se aleja cada vez mas del origen tendiendo al infinito, o,

La orbita va rapidamente hacia el cero complejo

El siguiente paso es asignar a cada punto del arreglo el numero de iteradasque se necesitaron para decidir hacia donde iba la orbita.Por ultimo, asignamos escalas de color segun el numero de iteradascorrespondiente a cada entrada compleja.

Fractales

¿Que pintamos?

Segun la funcion que usemos obtenemos distintos graficos; sin embargo,todos son FRACTALES y todos tienen caos en la frontera.A continuacion veremos una pequena galerıa de algunos de ellos

Fractales

¿Que pintamos?

Segun la funcion que usemos obtenemos distintos graficos; sin embargo,todos son FRACTALES y todos tienen caos en la frontera.A continuacion veremos una pequena galerıa de algunos de ellos

Fractales

L-Sistemas

Existe un metodo un poco mas sencillo que genera otro tipo de fractalesen el que la iteracion no es de una funcion sino de un conjunto de reglassobre una cadena inicial.Si las reglas son de tipo geometrico; es decir, rotaciones, desplazamientosy traslaciones obtenemos esquemas similares a los siguientes

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