COMUNICACIONES SOBRE LA TEORIA DE LOSTRANSFINITOS

POR

G. CANTORde Halle a. S.

Traduccion y comentarios por J. Bares y J. Climent.

En el presente trabajo, motivado por determinados trabajos antiguos yrecientes escritos contra la posibilidad de los numeros infinitos, he intenta-do delimitar las cuestiones que se refieren al infinito actual segun sus mas[elevadas decisiones], desde el punto de vista mas general, para ganar deeste modo una vision de conjunto de las principales posiciones que puedentomarse en relacion a este objeto. Habrıa que distinguir en tres respectos elinfinito actual (IA): en primer lugar en tanto que se realiza en la mas al-ta perfeccion, en el ser completamente independiente, trascendente, in Deo,donde yo lo llamo infinito absoluto o brevemente absoluto; en segundo lugaren tanto que esta presente en el mundo dependiente, de las criaturas; en ter-cer lugar, en tanto que puede ser concebido in abstracto por el pensamientocomo extension matematica, numero o tipo de orden. En los dos ultimos res-pectos, donde claramente se representa como un IA limitado, aunque capazde un incremento ulterior, en tanto que emparentado con lo finito, lo llamotransfinito lo contrapongo de la manera mas energica a lo Absoluto.

En cada uno de estos tres respectos puede afirmarse o negarse la posibili-dad del infinito actual, de aquı se siguen en conjunto ocho diferentes puntosde partida, que han sido en su totalidad sostenidos en la filosofıa, y de loscuales yo tomo aquel que es incondicionalmente afirmativo, en relacion alos tres respectos.

Incumbe especialmente a la teologıa especulativa investigar el infinito ab-soluto y determinar lo que humanamente puede ser dicho de el, de la mismamanera que las cuestiones que se dirigen al transfinito recaen por otra parteprincipalmente en los dominios de la metafısica y de la matematica y es deellas de las que me he ocupado preferentemente desde hace anos.

Puesto que tuve la suerte de mantener correspondencia con varios sabios,que han dedicado un interes [amistoso] a mis trabajos, y se me ha dado laocasion en este caso de explicar y aclarar lo hasta ahora publicado de unamanera mas comprensible para todos, creo tener en este material procedentede un intercambio de pensamientos vivo, puntos de relacion para ulteriorestrabajos que interesen a un publico amplio. Quisiera por ello en primer lugaren lo que sigue publicar varias de estas cartas escritas por mi, sin efectuarcambios esenciales en ellas. Donde a pesar de todo, ello me parezca necesario,[me propongo] dar las explicaciones pertinentes en notas al texto.

A las cartas I, III, IV y VIII quisiera hacerlas preceder con lo siguientecomo introduccion.

A I y VIII. Aquı se encuentra la concepcion de los numeros enteros ylos tipos de orden como universales, que se refieren a conjuntos, y que seobtienen de ellos, cuando se hace abstraccion de las propiedades de los ele-mentos. Esta concepcion la he sostenido desde hace unos cuatro anos, y la

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he expuesto muchas veces en mis lecciones universitarias. Todo conjunto decosas bien diferenciadas puede se considerado como una cosa unitaria porsı misma, en la cual aquellas cosas son partes o elementos constitutivos. Si seabstrae tanto las propiedades de los elementos como tambien el orden en quese dan, entonces se obtiene el numero cardinal o la potencia del conjunto, unconcepto general, en el que los elementos, como las llamadas unidades, estanen cierto modo [compenetrados] entre sı organicamente en un todo unitario,tal que ninguno tiene una relacion de rango privilegiada con respecto a losdemas. A partir de aquı se obtiene [en una consideracion detenida] que ados conjuntos diferentes les corresponde uno y el mismo numero cardinal si,y solo si, son uno con respecto al otro lo que yo llamo equivalentes, y no hayninguna contradiccion si, dado que esto sucede a menudo entre conjuntosinfinitos, dos conjuntos, de los cuales uno es una parte o una componentedel otro, tiene un numero cardinal completamente identico. En la incom-prension de este hecho veo el obstaculo principal que se ha presentado a laintroduccion de los numeros infinitos desde los antiguos.

[Si este acto de abstraccion se efectua en un conjunto dado, ordenadosegun uno o varios [respectos] (dimensiones) solo en relacion a las propiedadesde los elementos de tal manera que el orden jerarquico en el que estan unoscon respecto a otros, tambien se sigue manteniendo en el concepto general,que de este modo en cierta manera llega a ser una configuracion organicaunitaria, procedente de diferentes unidades, que mantienen un determinadoorden jerarquico, en una o en varias direcciones, entonces se tiene con estoun cierto universal que he llamado en general tipo de orden o numero ideal,pero en el caso particular de conjuntos bien ordenados numero ordinal ]1; estoultimo coincide por completo con lo que antes [Fund. de una Teorıa Generalde la Multiplicidad] llame “cantidad [Anzahl] de un conjunto bien ordenado”.A dos conjuntos ordenados les corresponde uno y el mismo tipo de orden si,y solo si, estan entre ellos en relacion de semejanza o conformidad, relacionque sera definida [estrictamente].

Aquı se han descubierto las raıces, a partir de las cuales se desarrolla connecesidad logica el organismo de la teorıa de los tipos transfinitos o teorıade los numero ideales y en especial de los numeros ordinales transfinitos, lacual espero poder publicar pronto en forma sistematica.

En una recension que hube de entregar al “Deutsche Literaturzeitung”,formule las determinaciones de numero cardinal y ordinal como sigue: “Lla-mo potencia de un agregado o de un conjunto de elementos (donde estosultimos pueden ser del mismo o de diferente tipo, simples o compuestos) aaquel concepto general, bajo el cual caen todos los conjuntos que son equi-valentes al conjunto dado, y solo ellos. Dos conjuntos se llaman en este casoequivalentes si se pueden coordinar entre sı recıprocamente de modo unıvo-co, elemento [por] elemento. Otra cosa es lo que llamo ‘[cantidad] o numeroordinal’, la atribuyo solo a “conjuntos bien ordenados”, y en concreto en-tiendo por la ‘[cantidad] o el numero ordinal de un conjunto bien ordenadodado’ aquel concepto general, bajo el cual caen todos lo conjuntos bien or-denados, que son semejantes al dado, y solo estos. Llamo “semejantes” ados conjuntos bien ordenados si se pueden aplicar uno en el otro recıproca,

1Cf. Gutberlet: Das Problem des Unendlichen. Z. Philos. u. philo. Krit. vol. 88, p. 183.

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unıvoca y completamente, bajo la [salvaguardia] de la sucesion de los ele-mentos dada en ambos [lados]. En los conjuntos finitos coinciden en ciertomodo los dos momentos ‘potencia’ y ‘[cantidad]’ porque un conjunto finitoen toda ordenacion de sus elementos tiene como conjunto ‘bien ordenado’uno y el mismo numero ordinal. Por el contrario, en los conjuntos infinitossale a la luz la diferencia entre ‘potencia’ y ‘numero ordinal’ de la maneramas [energica], como ha sido mostrado en mi [articulito] ‘Fundamentos deuna Teorıa General de la Multiplicidad’, Leipzig, 1883.

Tanto los numeros cardinales como los tipos de orden son configuracionesconceptuales simples; cada uno de ellos es una verdadera unidad (mon�c),porque en el esta reunida unitariamente una pluralidad y multiplicidad deunidades.

Los elementos del conjunto M que se nos presenta han de representarseseparadamente; en la imagen intelectual M del mismo (Vid. cap. VIII, nr. 9de este artıculo), a la que llamo su tipo de orden, estan por el contrario lasunidades reunidas en un organismo. En cierto sentido se puede contemplartodo tipo de orden como un compuesto de materia y forma; las unidadescontenidas en el, diferenciadas conceptualmente proporcionan la materia,mientras que el orden que se mantiene entre ellas es lo correspondiente a laforma.

Si nos fijamos en la definicion de numero cardinal finito en Euclides, debereconocerse en primer lugar, que el refiere el numero, al igual que hacemosnosotros, de acuerdo con su verdadero origen, a los conjuntos, y que noviene a hacer del numero un mero “signo”, que se adjunte por un procesode contar subjetivo a las cosas particulares. Se dice en sus Elementos, libroVII: mon�c âstin, kaj' £n ékaston twn ïntwn ãn lègetai y �rijmoc dà tä âkmon�dwn sugkeÐmenon plhjoc.

Pero luego me parece, sin embargo, que se representa las unidades en elnumero tan separadas, como los elementos en el conjunto discreto al que serefieren. Al menos falta en la definicion euclıdea la indicacion expresa delcaracter unitario del numero que le es completamente esencial2

2La necesidad subrayada aquı, de ver acentuado el caracter organico e intraunitario delnumero, parece [atenderla] mas Nicomaco, cuando en su obra (Arith. intr. I, 7, 1) dice:�rijmoc âsti plnhjoc, ²rismènon « mon�dwn sÔsthma « posìthtoc qÔma(de qèw , fluir)âk mon�dwn sugkeÐmenon. Y Boecio, inst. arith. I, 3, dice: “numerus est unitatum collec-tio, verl quantitatis acervus ex unitatibus profusus”. Leibniz, en el ano 1666 en el escritoDissertatio de arte combinatoria, en el proemio, cuando estaba aun proximo a loscomienzos de su evolucion en filosofıa, se expresa de la siguiente manera: “omnis relatioauto es unio aut convenientia. In unione autem res, inter quas ahec relatio est, dicun-tur partes, sumtae cum unione, totum. Hoc contingit quoties plura simul tanquam unumsupponimus. Unum autem esse intelligitur quicquid uno actu intellectus, s. simul, cogi-tamus, v.g. queadmodum numerum aliquem quantumliber magnum, saepe caeca quadamcogitatione simul aprehendimus, cypjras mempe in charta legendo, cui explicate intuendone Methsalae quidem aetas suffectura sit. Abstractum autem ab uno es unitas, ipsumquetotum abstractum exunitatibus seu totalitas dicitur numerus”. Ya desde tres anos antes seencuentra en una carta del mismo autor a Thomasius (ed. Erdmann, p. 53) la explicaciondudosa:“numerum definito unum, et unum, et unum etc., seu unitates”. La adicion deunidades no puede sin embargo servir nunca para definir el numero, porque aquı la indi-cacion del asunto principal, a saber, cuantas veces deben anadirse las unidades, no puedeconseguirse sin el numero mismo que hay que definir. Esto demuestra que el numero,[conseguido] por medio de un acto de abstraccion, solo puede explicarse como una unidad

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No es superficial que yo destaque que el concepto de numero ordinal, comoha sido determinado previamente, no coincide por completo en el caso delos numeros ordinales finitos con el concepto de lo que se suele denominar“[nombres] de los numeros ordinales” (primero, segundo, etc); estos no sonotra cosa que denominaciones para el rango jerarquico de los elementos de unconjunto bien ordenado y se obtienen sin mas a partir de nuestros numerosordinales, en tanto el ultimo elemento de un conjunto finito bien ordenadoes denotado como el n-simo en la sucesion de que se trata, si n representael numero ordinal que corresponde a ese mismo conjunto bien ordenado.

Mientras que ası a partir de mi punto de partida los “[terminos] de losnumeros ordinales” se obtienen como lo ultimo y lo mas inesencial en lateorıa cientıfica de los numeros, estos han sido tomados en dos trabajosrecientemente publicados como punto de partida para el desarrollo del con-cepto de numero. Esto ha sucedido en los dos trabajos, que el Sr. H.v. Helm-holtz y el Sr. L. Kronecker han hecho imprimir en la coleccion “Philosop-hische Aufsatze. Eduard Zeller zu seinem funfzigjahrigen Doktor-Jubilaumgewidtmet. Leipzig, bei Fues, 1887”3. Defienden el punto de partida empi-rista y psicologista con una rigidez, que no se podrıa [tener por posible] si nofuera porque se nos enfrenta aquı dos veces [incorporada en carne y hueso].Podrıa creerse que serıa erroneo que la oposicion entre estas concepcionesy la mıa vendrıa a ser la del nominalismo o conceptualismo por una parte,frente al realismo aristotelico mesurado que yo defiendo, por la otra; masaun, es altamente instructivo convencerse de que en estos dos investigadoreslos numeros deben ser en primera instancia signos, pero no en general signosde conceptos que se refieren a conjuntos, sino signos de las cosas particula-res contadas en el proceso subjetivo de numerar. Se comprende por ello porsı mismo que, frente a mi punto de partida, el pensamiento de estos trabajosse muestre como un completo hysteron-proteron.

Justamente en una tal oposicion estan sin embargo tambien las concepcio-nes que se refieren a los numeros, que encontramos en la antiguedad griega,no solo entre los filosofos, sino tambien entre los matematicos. La definicionantes citada de Euclides es una prueba de esto, y esto no necesita apenasser senalado en relacion a Platon y Aristoteles.

Sin embargo, sea cual sea la posicion que se tome tambien frente a losantiguos, a cualquiera le parecerıa en principio altamente inverosımil que losmejores de entre ellos pudieran haberse alejado mucho de la verdad en las

organica de unidades. De aquı se sigue ademas, cuan fundamentalmente falso es, quererhacer dependiente al concepto de numero del concepto del tiempo o de la llamada intuiciontemporal. Esto se ha visto muchas veces en la filosofıa mas reciente desde su desarrollopor parte de Kant: por ejemplo, Sir William Rowan Hamilton ha explicado la aritmeticacomo “the science or pure time”, y muchos otros hacen lo mismo. Podrıan exactamentecon los mismos derechos hacer pasar a cualquier otra ciencia, p. ej. la geometrıa, por “thesc. of pure time”, porque en la formacion de conceptos geometricos o de cualesquiera otrosno estamos menos [referidos] subjetivamente al “tiempo” como la forma de existencia deesta vida no trascendente que en la adquisicion de los conceptos aritmeticos.

3Ambos autores llaman “numero ordinal” a lo que yo llamo “[termino] de un numeroordinal”, mientras que en mis trabajos el termino “numero ordinal” tiene otra significacion.Yo traducirıa mi “numero ordinal” por “numerus ordinarius”, y por el contrario “[termino]de un numero ordinal” por “nota ordinalis”. Estas notae ordinales son lo que segun losdos autores mencionados debe determinar la esencia de los numeros

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cosas mas simples, determinadas y mas generalmente conocidas, y que porprimera vez en el siglo XIX d.J.C. hubiera aparecido el conocimiento correctosobre este objeto. Y, por otra parte, hubo por cierto tambien en el [tiempopreterito horrible [grauen,¿canoso, en el sentido de antiguo?] una secta], lacual es recordada [vivamente] por los trabajos de los senores v. Helmholtz yKronecker, es la antigua skepsis, y remito sobre esto, por lo que se refiere enparticular a los numeros, a las Hipotiposis pirronicas de Sexto Empırico, Lib.3, cap. 18. Con todo, tambien del “siglo de la ilustracion”, que ha ejercidoen el espıritu de la noble y sabia Academia [un tan persistente, siempreduradero influjo], hay que senalar una obra excelentemente elaborada, queha sido incluso escrita por un miembro de la Academia Berlinesa de lasCiencias:

Louis Bertrand, Developpement nouveau de la partie elementaire des Ma-thematiques (Genova, edicion a costa del autor, 1778).

La portada de este escrito en dos tomos muestra un grabado en cobre;en primer plano un pastor, que examina a su rebano que vuelve a [casa], alfondo un cazador, cuya flecha vuela a traves del [extenso espacio]; a esto serefiere el Motto: Tu pastor numeros, extesi tu rationes Pandito Venator.

El primer capıtulo comienza inmediatamente ası: “En los comienzos, loshombres fueron cazadores o ganaderos. Estos ultimos fueron los primerosque tuvieron la ocasion de contar ; era importante para ellos no perder susanimales, y por ello necesitaban asegurarse al anochecer de que todos hubie-ran vuelto de pastar: el que no tuviera mas que cuatro o cinco, habrıa podidover de un golpe de vista si todos habıan vuelto; pero un golpe de vista nohabrıa sido suficiente para el que hubiera tenido veinte. Considerando, porlo tanto, a estos animales volviendo los unos tras los otros, habrıa imaginadouna sucesion de palabras en numero semejante, y guardando estas palabrasen su memoria las habrıa repetido al dıa siguiente a medida que sus anima-les volvıan; para estar seguro, si estos hubieran acabado de entrar antes deque el hubiera acabado sus palabras, de que le quedaban tantas palabras porpronunciar, como animales le faltaban, etc”.

Se ve que es, mutatis mutandis, el mismo principio de los numeros que enlos Sres. v. Helmholtz y Kronecker; no se trata por lo tanto aquı de algo nue-vo, sino solo, como tantas veces, de nuevo de ”una antigua y menospreciadaverdad”(Ben Akiba).

Por lo demas aparece tambien en ambos sabios abiertamente el [motivoenemigo] contra el infinito actual, y puesto que, como es sabido, los mismosnumeros irracionales “finitos” sin un uso [decidido] de conjuntos actualmenteinfinitos no pueden fundamentarse de manera cientıficamente rigurosa4, losesfuerzos de ambos se han dirigido, por ejemplo en el caso del Sr. Kronecker,a hacer por completo “innecesarios” y superfluos los numeros irracionalesgeneralmente reconocidos desde Pitagoras y Platon con la ayuda de teorıassubsidiarias apropiadas para ellos mas [aparentes], artificiosamente pensa-das5–en lugar de investigarlos y explicarlos como es natural. Ası vemos a la

4Cf. mis “Grundlagen”, p. 21, y el ultimo capıtulo de mi trabajo en Bib. till K.Sv.Vet.-Akad. Hdl. 11, nr. 19.

5Cf. Kronecker: Crelles J. 99,336, y Molks, Abhandlung in Acta math. 6.

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en la actualidad dominante y potente skepsis academico-positivista surgi-da en Alemania como reaccion contra el excesivamente extendido idealismoKant-Fichte-Hegel-Schellingniano, por fin tambien situada [angelangt] en laaritmetica, donde parece extraer las ultimas conclusiones que aun le es po-sible extraer, con la mas extrema consecuencia, para sı misma quizas fatal.Pues, ¿que podrıa faltarle aun, tras el despliegue de una tal perspicacia yde tales fuerzas, para su perfeccion?

No entra en mis intenciones realizar una valoracion detallada de ambostrabajos; puede suponerse que, correspondientemente a la dignidad de susautores, tambien otros pueden tomarlos en consideracion y examinarlos.Permıtaseme solo realizar aun unas pocas observaciones.

El trabajo del Sr. Kronecker (Philos. Aufsatze, p. 263) se limita a los ele-mentos de la teorıa de los numeros, pero esta estrechamente interrelacionadocon sus anteriores investigaciones algebraicas y en teorıa de los numeros ypor ello tambien desde luego solo puede ser valorado completamente en estecontexto. Algunas indicaciones del trabajo dan [espacio a la expectativa]de que la teorıa habra de ser continuada in extenso posteriormente. Soloentonces se podra emitir un juicio concluyente sobre su sistema, cuando semuestre construida la relacion de sus numeros con la geometrıa y la mecani-ca. En tanto que este no es el caso a cualquiera se le permitira [una duda]sobre la utilidad de su teorıa. Creo incluso poder pronosticar sin lugar adudas que no le sera posible, con la “reserva idea” (p. 266) de sus “deno-taciones” “describir completamente y del modo mas simple” la “reserva depuntos actualmente infinita” (este modo de expresion se refiere a G. Kirch-hoff, Vorl. ub. math. Phys., 1. Volf.; Kronecker, Crelles J., Vols. 92, pag. 93)y ciertamente esta conviccion mıa se corresponde con que en el ano 1873demostre que la potencia de un continuum es mas elevada que la potenciadel agregado de todos los numeros finitos y enteros (Cf. Crelles J., vol. 77,pag. 258 ss.)

En la introduccion del artıculo de Kronecker (Phil. Aufs. pag. 264) seimprime un pequeno poema [parodiado de Schiller] (Arquımedes y el joven-cito), que esta dedicado al “numero eterno”. Si como aquı y en el trabajo deV. Helmholtz, la [significacion] fundamental de los numeros ha de reducirlosa meros “signos de numeros”, entonces no puede, para mı, iluminar correcta-mente su relacion con la “eternidad”, porque ante esta palabra siempre tengoen mente la insuperada definicion de Boecio (De consolatione philosophiae,libr. 5, prosa 6).

Para concluir senalo que la demostracion del teorema principal (p. 268)en la argumentacion de Kronecker no me parece que sea rigurosa; debemostrarse allı que la “[cantidad]” [enumeracion] es independiente del ordenque se [persigue] en los numeros. Si se sigue estrictamente la demostracion,se encuentra, que en ella [el mismo teorema en otra forma se presupone y esusado, el que debe ser demostrado, esta presente por lo tanto el pasar poralto una petitio principii.]

En esta ocasion quisiera permitirme corregir otra inadvertencia que el Sr.Kronecker ha cometido frente a mi [eterno] amigo y colega Eduard Heine.A este ultimo se le hace en Crelles J., vol. 74, ano 1886 principalmente res-ponsable de la teorıa de los numeros irracionales que desarrolla en el trabajo

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“Elementos de la teorıa de funciones”, Crelles J., vl. 74, ano 1872, sobre labase del concepto de “sucesion fundamental” (a la cual el sr. Heine llama“sucesion de numeros”), aunque el sr. Heine en la introduccion de su trabajoha dicho expresamente, que el ha“tomado prestado” los pensamientos fun-damentales de mı, y que me esta obligado por“comunicaciones orale”, que haejercido un “influjo importante” en la configuracion de su trabajo. Al mismotiempo aparecio un trabajo mıo en el vol. 5 de los “Anales matematicos” enel mismo ano 1872 bajo el tıtulo: “Sobre la extension de un teorema de lateorıa de las sucesiones trigonometricas” en el que desarrolle abreviadamen-te los puntos esenciales de mi teorıa de los numeros irracionales; y tambienhe vuelto mas tarde en los “Fundamentos” p. 23 sobre este tema. Debo porlo tanto asumir para mı la responsabilidad por la teorıa tan duramente ata-cada por el sr. Kronecker, en la medida en que descargo con ella al [buen] sr.Heine de la presunta acusacion principal atribuida a el por el sr. Kronecker.

Ad III y IV. Desde la parte teologica se me ha objetado que aquello queyo he llamada transfinito en la natura naturata (Cf. esta rev. vol. 88, p.227),[“no se puede defender, y en un cierto sentido. que sin embargo yo “noparezco dar al concepto”] “estarıa contenido el error del panteısmo”. A estaduda respondıa con la carta III, a proposito de la cual experimente el placerde un escrito detallado dirigido a mı, el cual me permito aquı imprimirliteralmente, dejando [caer] algunos epıtetos de caracter cortes.

Se me contesto lo siguiente a la carta III:“En su artıculo “Sobre el problema del infinito actual”, observo para mi

satisfaccion, como Vd. distingue muy bien el infinito absoluto y lo que Vd.llama el infinito actual en lo creado. Puesto que Vd. [] explica expresamentecomo un aun incrementable (naturalmente al infinito, i.e., sin poder llegar aser respectivamente un [no mas incrementable]), y lo contrapone al Absolutocomo un“esencialmente inincrementable”, lo que por supuesto debe ser vali-do tambien de la posibilidad o imposibilidad de la disminucion o el defecto;ası son conceptos, el del infinito absoluto y el del infinito actual en lo creadoo transfinito esencialmente diferentes, de tal manera que en la comparacionde ambos solo el primero puede caracterizarse como propiamente infinito.Entendido ası, no reside, hasta donde yo veo hasta ahora, en su concepto delTransfinito ningun peligro para las verdades religiosas. Sin embargo, en unpunto va usted con total seguridad errado contra la verdad indudable; peroeste error no se sigue de su concepto del transfinito, sino de su concepciondefectuosa de lo Absoluto. En su valioso escrito dirigido a mı dice Vd. porejemplo, en primer lugar, correctamente, que (se supone que su conceptode lo transfinito no es meramente teologicamente inofensivo, sino tambienverdadero, acerca de lo cual yo no juzgo)[que] un [movimiento] parte delconcepto de Dios y acaba en primer lugar desde la mas alta perfeccion dela esencia divina hasta la posibilidad de la creacion de un transfinitum or-dinatum. Suponiendo que su transfinito actual no contenga en sı ningunacontradiccion, su deduccion de la posibilidad de la creacion de un transfinitoa partir del concepto de la omnipotencia divina es completamente correcta.Solo que a mi pesar Vd. sigue adelante y deduce ‘de su completa bondad ypoder la necesidad de una creacion de lo transfinito que realmente ha tenidolugar’. Precisamente porque Dios es en sı el bien absolutamente infinito y el

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poder absoluto, un bien y un poder que no pueden crecer ni decrecer, es lanecesidad de una creacion, [que pudiera ser siempre], una contradiccion, yes la libertad de la creacion una perfeccion tan necesaria de Dios, como to-das sus demas perfecciones, o mejor, la perfeccion infinita de Dios es (segunnuestras necesarias diferenciaciones), tanto libertad como omnipotencia, sa-bidurıa, justicia, etc. Tras su deduccion de la necesidad de una creacion de lotransfinito deberıa Vd. de haber ido mucho mas lejos. Su transfinito actuales incrementable; ahora bien, si la bondad y el poder infinitos de Dios exi-gen en general con necesidad la creacion de lo transfinito, entonces se sigue,exactamente por el mismo motivo de la infinitud de su bondad y poder, lanecesidad del incremento, hasta que no hubiera nada mas incrementable,lo que contradice su propio concepto de lo transfinito. Con otras palabras:quien deduce la necesidad de una creacion de la infinitud de la bondad y elpoder de Dios, debe afirmar que todo lo creable ha sido realmente creadodesde la eternidad, y que ante los ojos de Dios no hay nada posible que suomnipotencia pudiera llamar a la existencia. Esta infeliz opinion suya de lanecesidad de la creacion le sera tambien muy embarazosa en su refutacionde los panteıstas y al menos debilitara la fuerza de conviccion de sus demos-traciones. Me he detenido tanto en este punto, porque deseo de todo corazonque su sagacidad se libre de un error tan pasado, en el que desde luego hancaıdo tantos otros, incluyendo a algunos que se creıan creyentes ortodoxos”.

Coincido por completo con todo lo que se establece en este escrito, comose desprende de las pocas lıneas que se han escrito en el apartado V. Luego,puesto que para mı la absoluta libertad de Dios esta fuera de cuestion, la“necesidad” en el lugar correspondiente de la carta IV no fue comprendidapor mı del modo que aquı se supone y combate con razon. Sin embargo,una vez que uno se familiariza con mas precision con el sentido correcto demi argumentacion, entonces parece, como explicare en una ocasion ulterior,que la demostracion apriorıstica de la creacion [sucedida] de hecho indicadaa modo de ensayo en IV requiere de una amplia demostracion y prueba.

I.6

Por potencia o numero cardinal de un conjunto M (que consiste en loselementos bien diferenciados y conceptualmente separados m, m′,. . . , y quepor eso esta determinado y delimitado) entiendo el concepto general y elconcepto generico (universal) que se obtiene cuando se hace abstraccion enel conjunto tanto de las caracterısticas de sus elementos, como de todas lasrelaciones que tienen los elementos, ya entre sı, ya con otras cosas, luegoen particular tambien del orden que podrıa dominar entre los elementos,y solo se piensa en aquello que es comun a todos los conjuntos que son

6Esta carta fue escrita hace tres anos, el 15 de feb. de 1884, al Sr. Prof. Dr. Kurd Laßwitzen Gotha. Reproduce en lo esencial el contenido de una conferencia que dicte en septiembrede 1883 en la seccion matematica de la asamblea de investigadores de la naturaleza enFriburgo (Baden). Como consecuencia de esta conferencia recibı poco tiempo despues unacarta del Sr. R. Lipschitz (al que mencione en Z. Philos. u. philos. Krit.. n. 88, p. 225), enla que este excelente matematico me llamaba la atencion hacia la correspondencia (del 12de julio de 1831) entre Gauss y Schumacher, en la que Gauss se expresaba contra cualquierintroduccion del infinito actual en la matematica.

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equivalentes con M . Llamo, sin embargo, a dos conjuntos M y N equivalentessi pueden ponerse en correspondencia elemento por elemento recıproca yunıvocamente. (Cf. Crelles Journal, vol. 84, p. 242). Por eso uso tambienla expresion mas breve valencia para la potencia o el numero cardinal. Deconjuntos de la misma valencia digo, que pertenecen a la misma clase depotencia. Valencia de un conjunto M es por lo tanto un concepto general,bajo el cual esta situados todos los conjuntos de la misma clase que M ysolo ellos.

Una de las tareas mas importantes de la teorıa de conjuntos, que creohaber resuelto en lo principal en el trabajos “Fundamentos de una teorıageneral de las multiplicidades”, Leipzig, 1883, consiste en la exigencia dedeterminar las diferentes valencias o potencias de las multiplicidades quepresentan en el conjunto de la naturaleza, en la medida en que ella se abre anuestro conocimiento; esto lo he conseguido a traves de la formacion del con-cepto general de enumerable de conjuntos bien ordenados, o lo que significalo mismo, del concepto de numero ordinal.

La definicion de lo que entiendo por un conjunto bien ordenado M, seencuentra en los “Fundamentos”, p. 4.

A dos conjuntos bien ordenados M y R los llamo del mismo tipo o tambiensemejantes entre sı si se pueden relacionar recıproca y unıvocamente de unamanera tal que si m y m′ son cualesquiera dos elementos del primero, y n yn′ los elementos correspondientes del segundo, entonces la relacion de rangode m′ a m es la misma que la relacion de rango de n′ a n. Digo tambien dedos conjuntos bien ordenados M y R de este tipo que son respectivamenteenumerables [ojo, abzalbar].

Ası, por ejemplo, los conjuntos bien ordenados

(a, a′, a′′) y (b, b′, b′′)

ası como tambien los conjuntos bien ordenados

(a, a′, a′′, ..., a(ν), ...) y (b, b′, b′′, ..., b(ν), ...)

y tambien

(a, a′, a′′, ..., a(ν), ..., c, c′, c′′) y (b, b′, b′′, ..., b(ν), ..., d, d′, d′′)

son del mismo tipo, o, lo que quiere decir lo mismo respectivamente enume-rables.

Por enumerable o numero ordinal de un conjunto bien ordenado M entien-do el concepto general (concepto generico, universal), que se obtiene cuandoen el conjunto bien ordenado M se hace abstraccion de las caracterısticas yrelaciones de sus elementos y solo se piensa en su orden jerarquico, por elque los elementos estan en relacion entre sı; el enumerable o numero ordinalde M es por lo tanto comun a todos los conjuntos bien ordenados del mismotipo, en cierto modo, aquel que es inmanente a todos ellos. Aquı nos saleal paso la tarea de determinar los numeros ordinales o enumerables de losconjuntos bien ordenados que se presentan en la naturaleza y diferenciar-los adecuadamente con la ayuda de signos apropiados. A ello conducen lassiguientes definiciones y teoremas:

Sean M y N cualesquiera dos conjuntos bien ordenados, y α y β losnumeros ordinales que les pertenecen; se tiene siempre que

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M reunido con el R que le siguees a su vez un conjunto bien ordenado de un determinado tipo, y sea elnumero ordinal que le corresponde γ. Definimos γ como la suma de α y β,γ = α+β, y llamamos a α el sumando, y a β el sumador de esta suma. Si αy β son cualesquiera dos diferentes numeros ordinales, i. e., correspondientesa dos tipos diferentes, entonces se puede demostrar, que o bien la ecuacionβ = α + ξ, o bien la ecuacion α = β + ξ segun ξ (i.e., segun el sumador) esresoluble, y ´por cierto solo de una manera; en el primer caso llamamos a αmenor que β, y en el segundo llamamos a α mayor que β, xi se llamara ladiferencia entre ambos numeros; en el primer caso, ξ = β−α, y en el segundo,ξ = α− β.

Se demuestra facilmente, que si α < β, y β < γ, entonces tambien α < γ.Ademas, se muestra que siempre se mantiene la ley [de asociacion]

(α + β) + γ = α + (β + γ).

De manera semejante se define el producto de dos numeros ordinales,donde hay sin embargo que diferenciar entre multiplicador y multiplicando,pues en general α · β es diferente de β · α. Por el contrario se demuestratambien aquı, por decirlo rapidamente, de un vistazo, que

(α · β) · γ = α · (β · γ) (ley asociativa),

ası como tambien queα · (β + γ) = αβ + αγ (ley distributiva con α como multiplicando)

En los “Fundamentos” escribı el multiplicando a la izquierda, y el multi-plicador a la derecha; pero se me ha mostrado que el uso opuesto, escribirprimero el multiplicando a la izquierda y luego a la derecha el multiplicador,es el mas apropiado, y en verdad casi inevitable, para el ulterior desarrollode la teorıa de los numeros ordinales transfinitos; por ese motivo inviertopor lo tanto el modo de escribir que se empleo en los “Fundamentos”, en loque se refiere a los productos, a partir de ahora siempre al reves. Se convenceuno de la importancia de este cambio, en cuanto se sacan a consideracionnumeros ordinales transfinitos de la forma αβ, para los cuales segun este mo-do de escribir vale la misma ley: αβ ·αγ = αβ+γ . Esta misma ley tomarıa sinembargo la chocante forma segun el modo de escribir de los “Fundamentos”:

αβ · αγ = αγ+β.

Senalo ademas lo siguiente: si en un conjunto bien ordenado M cualesquie-ra dos elementos m y m′ cambian su lugar en la ordenacion jerarquica total,el tipo no cambiara por eso, luego tampoco el “enumerable” o el “numeroordinal”. De aquı se sigue que tales [reconfiguraciones] de un conjunto bienordenado dejan inalterado el [enumerable] del mismo, que se puede recondu-cir a una sucesion finita o infinita de transposiciones de cada dos elementos,i.e., todos los cambios de este tipo, que se producen por permutacion de loselementos. Ahora, puesto que en un conjunto finito, si el agregado de suselementos permanece el mismo, cada [reconfiguracion] se puede reconducira una sucesion de transposiciones, entonces reside aquı el fundamento, porel que en los conjuntos finitos el numero ordinal y el numero cardinal encierto modo coinciden, en tanto que aquı conjuntos de la misma valencia [encada forma], pensados como conjuntos bien ordenados, siempre tienen uno

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y el mismo numero ordinal. En los conjuntos bien ordenados, sin embargo,surge la diferencia entre numero cardinal y numero ordinal inmediatamentede la manera mas decisiva. Igualmente en los conjuntos finitos se [corres-ponden] en cualquier circunstancia las leyes conmutativas de la adicion y lamultiplicacion, en tanto que a partir de ahı se prueba muy facilmente que,si µ y ν son dos numeros ordinales finitos, entonces siempre µ + ν = ν + µy µ · ν = ν · µ.

Para los ordinales transfinitos mınimos, esto es, aquellos que correspondena conjuntos bien ordenados del tipo

(a, a′, a′′, ..., a(ν), ...)

debe de adoptarse un nuevo signo; para ello he elegido la ultima letra delalfabeto griego ω.

Por numeros ordinales de la segunda clase numerica entiendo aquellosnumeros, que pertenecen a conjuntos bien ordenados de la potencia de laprimera clase numerica 1, 2, 3,. . . , ν,. . . ; este agregado de numeros ordinalesconstituye una nueva valencia y ciertamente la valencia inmediatamentesiguiente a la previa, como he mostrado rigurosamente (Fundamentos, p.35-38). Y el mismo argumento nos conduce a clases numericas mas elevadasy a las valencias mas elevadas que les corresponden. –Esto es una armonıaprodigiosa, que avanza en magnitud, cuya realizacion exacta es el tema dela teorıa de los numeros transfinitos.

He creıdo que tenıa que enviarle previamente todo esto, desde luego en [la]forma concisa, para poder abordar algunas observaciones que encuentro ensu escrito. En primer lugar llamo la atencion sobre la generalidad, precisiony determinacion de mis definiciones de numeros; tienen la misma formula-cion, tanto si se refieren a conjuntos finitos como a infinitos. Todo numerotransfinito de la segunda clase numerica, p.ej., tiene segun su definicion, lamisma determinacion, la misma completitud en sı como todo numero finito.

El concepto ω, por ejemplo, no contiene nada fluctuante, nada inde-terminado, nada variable, nada potencial, no es ningun �peiron, sino un�fwrismenon, y lo mismo vale para todos los demas numeros transfinitos.Constituye, igual que todo numero finito, p.ej. 7 o 3, una oposicion a lossignos indeterminados x, a, b del calculo con letras, con el que Usted demodo inadecuado compara a los numeros transfinitos en su escrito. De estemodo, Usted se aparta del sentido que los numeros transfinitos tienen paramı, lo mismo que ha hecho el Sr. Wundt en su concepcion, que se encuentrasobre este tema en su Doctrina del Metodo, Logica, Vol. II, p. 126-129. Eltratamiento de Wundt muestra que no es clara y distintamente conscientede la diferencia fundamental entre infinitoimpropio=finito variable=infinitosincategorematico (�peiron) por una parte, y finito propio = transfinito =infinito perfecto = siendo infinito = infinito categorematico (�fwrismenon);de no ser ası, no habrıa caracterizado tanto a uno como al otro como lımites,un lımite es siempre algo fijo, invariable en sı, por ello, de los dos concep-tos de infinito, solo el transfinito puede ser pensado como siendo y segunque circunstancias, y en cierto sentido tambien como un lımite fijo. Por elloyerra Wundt tambien al creer que el transfinito no tiene ninguna significa-cion fısica, pero sı, desde luego, el infinito potencial; tomado rigurosamente,

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lo contrario de eso es lo correcto, porque el infinito potencial es solo un con-cepto auxiliar y relacional, y se refiere siempre a un transfinito que esta ala base, sin el cual aquel no puede ser ni ser pensado. La diferencia entreel infinito impropio y el infinito propio fue reconocida por los filosofos muytemprano, i.e., ya desde los antiguos griegos, aunque desde luego no en to-dos los casos con la misma claridad; igualmente se la encuentra claramenteexpresada entre los modernos, con la excepcion de Kant, Herbart y los ma-terialistas, empiristas, positivistas, etc. No obstante, Hegel no merece enesto, como Wundt parece opinar, una mencion especial, puesto que inclusola contradiccion ha sido elevada por el mismo como elemento originador desu filosofıa a propiedad caracterıstica de su manera de pensar, a lo que yoal menos no me inclino. A esto se anade que lo que Hegel pueda haber di-cho mas o menos apropiado sobre la diferencia aquı explicada, como tantasotras cosas en el, estan tomadas de Spinoza. En todos los filosofos falta, sinembargo, el principio de la diferencia en el transfinito, que conduce a di-ferentes numeros transfinitos y diferentes potencias. La mayorıa confundenincluso el transfinito con el uno mas elevado sin diferencia segun su propianaturaleza, con el Absoluto, con el maximo absoluto, que naturalmente noes susceptible de ninguna determinacion y por ello no esta subordinado a lamatematica.

Tambien es por completo inadecuado en la crıtica de Wundt la elaboracionde nuevas especulaciones denominadas “metamatematicas”, que no tienen nila menor semejanza ni ningun autentico punto de contacto con mis trabajos,y, asimismo, no puede calificarse al infinito de “trascendente” (i.e, superandoa pesar de todo ampliamente las capacidades humanas de comprension).

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En la recension de Ballauf 7 que precisamente alcanza el maximo de lainexactitud en las notas de la redaccion, no solo no es el giro, que deberıaser humorıstico, al final correcto, sino que descansa en un manifiesto error.Si tenemos una lınea infinita AO que parte de A y ponemos en su principio

7Ztschr. f. exakte Philos. 12, 375. De esta resena he llegado a tener la impresion deque el crıtico, [que] en muchos respectos ha comprendido muy bien mis pensamientos, hasido obligado por el terrorismo de los jefes de escuela a adoptar una posicion mucho masaguda contra mı, de lo que parece compatible con sus propias convicciones. Esto resaltade la manera mas llamativa en la p. 389, donde la redaccion (Theod. Allihn y Otto Flugel)toma de repente las riendas de su reflexion libre y sin prejuicios para reconducir a la pobrea la prision oscura y subterranea de la dogmatica Herbartiana. A lo dicho en esta notabajo el texto por la redaccion no podemos ahorrarnos dos respuestas. En primer lugar,no parece haber leıdo mi trabajo, pues no tiene en cuenta que yo distingo rigurosamenteen los “Fundamentos” el infinito potencial, que llame allı infinito impropio, del infinitoactual, al que llame infinito propio. Herbart y sus discıpulos reconocen solo el primero, ledan solo a el el nombre de infinito y no saben nada de transfinitos. Contra ello no habrıanada que objetar formalmente, non cuivis homini contingit adire Corinthum, (no a todohombre le es dado ir a Corinto) y serıa ademas para su uso linguıstico una contradictioin terminis (contradiccion en los terminos), conceder el predicado de la determinacion alo infinito. Pero, ¿como se puede justificar formalmente el reproche hecho a mı, segunel cual yo habrıa querido unificar los predicados de determinacion e indeterminacion, yde ahı hacer un “determinado indeterminado”, ya que yo justo al contrario he separadotan rigurosamente el infinito potencial del transfinito, que aparecen en mi obra siemprecomo diferentes toto genere (en todos los generos)? La otra respuesta es de tipo materialy afecta mas al maestro que a sus desafortunados discıpulos. Segun Herbart, IV, 88 ss, elconcepto de infinito debe basarse “en un lımite variable, que en cada momento puede y,respectivamente, debe deslizarse en adelante”. “Prescindir de esta variabilidad del lımite,significa superar el concepto de lo infinito, no significa pensar nada Infinito, sino lo finito”.Sin embargo, si se prescinde de esta variabilidad del lımite o de la continua posibilidad deprogresar, en cuanto se pone lo infinito como acabado o como realmente presente, ya nose pone entonces un conjunto infinito, sino uno finito. No se trata aquı de la incapacidadsubjetiva, que es incapaz de llegar nunca al fin en la actividad de contar o de poner,sino del concepto de lo infinito mismo, cuya caracterıstica esencial, y sin la que no se lepuede pensar es precisamente aquel lımite variable mas alla del cual siempre se puedeencontrar algo. Con respecto a los numeros se puede expresar lo ya dicho tambien enlos siguientes terminos: en todo conjunto finito de cosas, por grande que este pueda ser,se ofrece inmediatamente la posibilidad de un recuento objetivo (si el conjunto alcanzaunos cuantos miles de millones, me permito dudar de que a los senores redactores les seaposible realizar el recuento objetivo inmediatamente; nota del autor). Por el contrario,en los conjuntos infinitos (¡por lo tanto a pesar de todo un cierto reconocimiento de losconjuntos infinitos!) la posibilidad de contar esta simplemente excluida (lo que en el sentidoa que nos referimos aquı no lo niega nadie), porque precisamente el verdadero infinito solopuede concebirse como un indeterminado e inacabado. (¡Por lo tanto el “verdadero infinito”debe ser peor que lo finito!) etc. ¿A los senores se les ha ido por completo de la memoriaque, aparte de los viajes que se pueden realizar en la fantasıa o en los suenos, que, digo,para cambiar o desplazarse con seguridad se requiere un suelo y un piso solidos ası comoun camino apropiado, un camino, que nunca se interrumpe, sino que alla donde lleva elviaje, debe ser y permanecer practicable? Ası pues, la exhortacion que Heinrich Hoffmannnos ha dirigido al animo a todos tan claramente en su “Struwelpeter” (Frankfurt a. M.:Loening) con el “Vistazo de Hans al cielo” a los senores herbartianos ¿es a los unicos alos que no ha impresionado? El largo viaje que Herbart prescribe a sus “lımites variables”no esta limitado confesablemente a un camino finito, por lo tanto su camino debe ser unoinfinito, y ciertamente, puesto que no es por su parte cambiante, sino siempre fijo, debeser un camino actualmente finito. Se requiere por lo tanto para cada infinito potencial (loslımites variables) un transfinito (el camino seguro para caminar) y no puede ser pensadosin un ultimo (Cf. con esto los caps. V y VII de este trabajo). Puesto que nosotros con

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A un segmento finito BA, entonces obtenemos de nuevo una lınea infinitaBO que parte B, a la que el segmento recto que se anade no le ha producidoel menor cambio en relacion con el “tamano”, lo que se reconoce porquese puede poner a la nueva recta en total congruencia con la antigua; la ga-nancia, que se ha obtenido por medio del segmento BA que se anade, esciertamente realmente presente e indiscutible, pero desaparece por completosi se atiende solamente al accidente que afecta a ambas lıneas AO y BO dela magnitud. Quien encuentra aquı, como siempre, en la cantidades actual-mente infinitas una falta contra el principio de contradiccion, se equivocapor completo, al perder de vista el caracter abstractivo de la “magnitud” alidentificar erroneamente el quantum presente con la entidad substantiva. Enuna inadvertencia semejante, sin embargo, parece haber caıdo Wundt en lapagina 128. No requiere, por lo tanto, ninguna justificacion ulterior, el queyo en los “Fundamentos“ justo al principio distinga dos conceptos diferentestoto genere entre sı, a los que llamo el infinito impropio y el infinito propio;no deben ser considerados en modo alguno como unificables o emparentados.La tan a menudo en todos los tiempos admitida reunion o mezcla de estosdos conceptos completamente distintos contiene segun mi firme conviccion lacausa de innumerables errores; en particular veo aquı sin embargo el motivopor el que no se ha descubierto antes los numeros transfinitos.

Para excluir en adelante esta confusion, denoto el mınimo numero transfi-nito con el signo acostumbrado, diferente al signo correspondiente al infinitoimpropio ∞, a saber, con ω.

Por otra parte, ω puede en cierto modo considerarse como el lımite, al quetiende el numero entero finito variable ν, pero solo en el sentido de que ω esel mınimo numero de orden transfinito, i.e., el mınimo numero firmementedeterminado, que es mayor que todos los numeros finitos ν; exactamenteigual que

√2 es el lımite de determinados numeros racionales variables y

crecientes, solo que aquı ademas se anade que la diferencia entre√

2 y estasfracciones aproximadas se hace todo lo pequena que se quiera, pero por elcontrario ω− ν siempre es igual a ω; esta diferencia no cambia sin embargonada, el que ω ha de contemplarse como tan determinado y completo como√

2, y tampoco cambia nada el que ω tiene tan pocos rastros de los numerosque tienden a el como

√2 algo de las fracciones aproximadas racionales.

Los numeros transfinitos son en cierto sentido ellos mismos nuevas irra-cionalidades, y de hecho, el mejor metodo, a mi modo de ver, de definir losnumeros irracionales finitos es por completo semejante, yo dirıa incluso queen principio el mismo, que mi metodo mas arriba descrito de introduccionde los numeros transfinitos. Se puede decir incondicionalmente: los numerostransfinitos [concuerdan o coinciden] con los numeros irracionales finitos;se parecen entre sı en su esencia mas ıntima; pues estos son como aquellos

nuestros trabajos hemos asegurado el amplio camino [militar] de los transfinitos, lo hemosfundamentado y empedrado cuidadosamente, lo abrimos al trafico y lo ponemos comofundamento inamovible, utilizable por todos los amigos del infinito potencial, pero enespecial a disposicion de los amantes de caminar dispuestos a los “lımites” Herbartianos,de buen grado y pacientemente dejamos lo infatigable de la monotonıa de su en absolutono envidiable destino; solo con que [ella] camine siempre mas adelante, nunca mas lesdesaparecera el suelo bajo los pies. ¡Disfruten del viaje!

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[conformaciones] o modificaciones(�forismenai)8 limitadas y determinadasdel infinito actual.

II.9

Aunque corresponde tan poco a mis inclinaciones criticar los puntos devista de los demas, considerando la importancia del tema, y siguiendo suexpresa y repetidamente manifestada voluntad he examinado con detalle lasrazones indicadas, en su artıculo 10 “El problema de lo infinito” contra el“infinitum actuale existens seu in concreto”, que segun su opinion no serıanutilizables contra el “inf. act. possibile”, y he encontrado que aquı tambiende nuevo, como en todas las demostraciones que persiguen el mismo fin, sehalla a la base un cırculo vicioso oculto. En mi carta al Sr. G. Enestromhe dicho que todas las ası llamadas demostraciones contra los numeros ac-tualmente infinitos reposan en un prwton yeudoc, del que no se da completacuenta, y que me comprometo a demostrar en todo caso en el caso presente;consiste en que se exige de antemano todas las propiedades de la magnitudactualmente infinita de la magnitud finita, con lo que se sigue facilmente unacontradiccion con su ser infinito. Con esto se cree entonces haber llegado auna demostracion de su imposibilidad, mientras que en verdad, solo se hamovido en cırculo. Exactamente la misma conviccion tengo con todos losintentos de demostracion por medio de los cuales el IA in concreto seu innatura creata debe ser discutido; solo que aquı se puede anadir aun otrosmotivos, de mucho mas peso, que fluyen de la absoluta omnipotencia deDios y ante los cuales toda negacion de la posibilidad de un “transfininutseu infinitum actuale creatu” parece como una violacion de aquel atributode la divinidad. Con todo, no quiero llevar mas adelante el ultimo argumen-to, porque sera suficiente senalar en la demostracion de Vd. aquello que,en correspondencia con mi conviccion previamente expresada y mi humildeopinion, es incompleto en ella.

Su reflexion dice expresamente [como sigue]: “En este lugar creo sin em-bargo que debo llevar a cabo la demostracion de que una magnitud actual-mente infinita no puede existir. Si existiera una lınea infinita, un hilo infini-tamente largo, entonces se podrıa en el lugar, [donde me alcanza], cortar unsegmento finito y a continuacion concentrar los dos segmentos restantes yunirlos de nuevo entre sı. Pero ahora ninguno de los dos segmentos es ya infi-nito; pues a ambos les falta ya tanto de la infinitud, como se han [deslizado]

8Cf. Conimbricenses Phys. Lib. III, cap. 8, quest. 1, art. 1. Este pasaje se refiere aAristoteles Fıs. Γ 208 a 6, donde se opone al >apeiron un >apeiron ±c �forismenon y, comohe demostrado en otra ocasion, se le combate con fundamento totalmente insuficiente. Cf.tb. S. Tomas, Phys. III, lectio 13. Los fundamentos del Estagirita no demuestran otra cosa,que el que los argumentos, que los antiguos filosofos de la naturaleza han aducido en favorde la existencia necesaria de un >apeiron ±c �forismenon no son concluyentes; sin embar-go, el no demuestra la imposibilidad de un >apeiron ±c �forismenon existente; en otraspalabras, el no demuestra que el concepto de este ultimo, si se le concibe como transfinito,sea contradictorio, y afirmar algo ası le habrıa sido difıcil, o dicho mas correctamente,imposible.

9Este escrito fue dirigido al Prof. Guberlet en Fulda y lleva la fecha del 24 de enero de1886.

10Ztsch. f. Philos. u. philos. Kritik, 88, p. 199

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por la aproximacion a la mitad. Por lo tanto ambos estan limitados desdela parte de la infinitude igualmente limitados hacia la mitad. Ahora bien,una lınea podrıa ser por otra parte limitada en un sentido y sin embargoilimitada hacia el otro, pero si ella esta limitada en los dos sentidos, entonceses con toda seguridad finita. Pero si los dos segmentos son finitos, entoncestambien lo es toda la lınea, y si ella ahora, tras la sustraccion de un segmentointermedio finito, se muestra como finita, entonces lo era tambien con estesegmento intermedio finito, pues dos finitos no hacen ningun infinito”.

En esta argumentacion reconozco el error de que se han transferido laspropiedades de una lınea recta finita sin mas a una lınea recta infinita, cuyaspropiedades dependen de la naturaleza de lo infinito.

Si Vd. traslada una recta finita AB de tal modo que su punto inicial Ase deslice a lo largo de segmento AA′ = 1 hacia A′, esto solo es posible, demodo que cada uno de sus demas puntos se deslizan, p.ej. M hacia M ′ a lolargo de un segmento igual MM ′ = 1 y en especial tambien el punto finalB a lo largo de BB′ = 1 hacia B′.

Pensemos ahora sin embargo en lugar de la lınea finita AB una lıneaactualmente infinita AO en el mismo sentido y con el mismo punto inicial,la cual tiene su punto final O en el infinito, entonces es valido tambienciertamente que cada punto situado en [la finita] M se desliza a lo largo deMM ′ = 1 hacia M ′, y en caso de que A sigue tras A’, ¿quien le dice a Vd.,sin embargo, que aquı tambien vale lo mismo del punto final infinitamentelejano O?

Completamente al contrario la ultima suposicion lleva, como Vd. mismoha mostrado, a una contradiccion; esta contradiccion no justifica, como Vd.supone, la negacion de posibilidad de la existencia de una recta actualmenteinfinita AO, sino que conduce a la propiedad no contradictoria aquı in-volucrada de la recta actualmente infinita AO, de que, mientras todos losdemas puntos M , A, B de la recta AO son [arrastrado] un segmento igualMM ′ = AA′ = BB′ = 1 hacia la izquierda, solo el punto infinitamentelejano O permanece fijo en su lugar, i.e., no puede ser traıdo del alejamientoinfinito a lo finito por este camino, y tampoco en el caso de que Vd. quisieraasumir por hipotesis una fuerza de traccion infinita.

Puesto que la recta pensada actualmente infinita AO corresponde segunsu magnitud al numero ordinal transfinito mınimo denotado con ω se pue-de reencontrar lo que acabamos de decir con la conocida ecuacion, que noenvuelve la menor contradiccion, 1 + ω = ω, donde en la parte izquierda1 = A′A tiene la significacion del sumando, y ω = AO tiene la la cantidad ala que se le suma. Por otra parte y al contrario, ω +1 donde figuran ω comocantidad a la que se suma, 1 como sumando, es, como se deduce de los prin-cipios de mis Fundamentos, un numero transfinito diferente de ω, a saber, elnumero ordinal transfinito entero inmediatamente siguiente al numero ordi-nal mınimo ω; pero este ultimo no tiene ningun uso en su ejemplo, puestoque puesto que para Vd. el numero al que se le suma es un numero finito yque esta situado en la magnitud finita A′A = 1, y el sumando AO = ω esun numero actualmente infinito.

Puesto que he discutido el mismo tema desde otros puntos de vista enuna carta que he escrito en estos dıas, quisiera obsequiarle con la siguiente

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copia de un extracto11 de ella, con el deseo de que Vd. me comunicara porescrito por favor su opinion sobre esto ası como sobre lo dicho en la cartaque acabo de mencionar12

III.13

Las lıneas, que SE ... tuvo la bondad de dirigirme el 25 de diciembre de1885, contienen algunas dudas en relacion con los fundamentos filosoficosde mis trabajos, enviados a Vd. para examen; presumiblemente se trata dedeterminadas palabras empleadas por mı, cuya significacion no he explicadocon precision, las cuales no permiten que mi opinion aparezca completamentedeterminada, y yo quisiera permitirme por ello, explicarme brevemente conmas precision.

Las expresiones “natura naturans”, y “natura naturata”, que aparecen enmi [pequeno] artıculo “Sobre los diferentes puntos de partida en relacion conel infinito actual”, las uso con la misma significacion que le dieron los tomis-tas, de tal manera que la primera expresion se refiere a Dios como el creadory conservador de todas las cosas, fuera del cual no se mantiene ninguna delas substancias creadas por el, la segunda sin embargo al mundo creado porel. Correspondientemente distingo un “infinitum aeternum increatum siveabsolutum”, que se refiere a Dios y sus atributos, y un “infinitum creatumsive transfinitum”, que se dice en todas partes allı donde en la natura creatase debe constatar un infinito actual, como por ejemplo en relacion con el,segun mi solida conviccion, numero infinito actual de los seres particularescreados tanto en el universo como ya tambien en nuestra tierra y, segun todaverosimilitud, ya en toda parte extensa del espacio, por pequena que sea, enlo que coincido por completo con Leibniz (Epistola a Foucher, t. 2 operum,ed. Dutens, p. I, pag 243).

11Vid. infra III.12Con respecto a la precedente exposicion, se puede, segun parece, senalar lo siguiente.

Precisamente porque la lınea que se desplaza se supone rıgida, cada punto debe deslizar-se igualmente con el deslizamiento desde A hasta A′, y por ello tambien el punto finalinfinitamente lejano O. La infinitud solo podrıa entonces condicionar una imposibilidaddel deslizamiento, si la fuerza de traccion fuera suficiente para el deslizamiento de un hilofinito, pero no de uno infinito. Pero para ello podemos suponer una fuerza de traccioninfinita.

Ahora bien, se puede desde luego objetar por el contrario, que a causa de la imposibi-lidad metafısica de arrastrar una lınea infinita a la finitud, la realizacion no sera posiblea pesar del cumplimiento de todas las condiciones fısicas, incluso bajo el supuesto de uninflujo infinitamente fuerte. Nos encontramos aquı en el mismo caso que Suarez presupo-ne con el supuesto de un mundo eterno (inmutable). El fuego, ası opina el, puesto en elcombustible eternamente, no podrıa inflamarlo, a pesar de su gran capacidad de quemar.Pues el proceso de combustion de algunos minutos deberıa cortar un trozo de la eternidad,y ası hacer a esta misma finita.

Sin embargo, apenas creo que alguien haya entendido esto de tal modo que piense que elfuego deje el combustible eternamente intacto. Para ello debe senalarse como insostenibleincluso el supuesto de un mundo eterno, relacionado con cambios. Lo mismo parece valertambien para el hilo infinito. (Nota del Prof. Gutberlet).

13Las dos cartas siguientes (III y IV) del 22 y del 29 de enero de 1886 fueron dirigidas aun gran teologo [el cardenal Franzelin]; este fue, lo digo con dolor, llamado a la eternidadel 11 de diciembre de 1886.

18

Aunque se que la teorıa del “infinitum creatum” es discutida, aunque nopor todos, sı por la mayorıa de los maestros de la iglesia y en particular porel gran S. Tomas de Aquino introdujo determinadas opiniones en contra ensu Summa Teologica p. q 7 obs. 4, sin embargo, los motivos, que en estacuestion en el curso de una investigacion de veinte anos, puedo decir, contrami voluntad, porque en oposicion a la por mı siempre altamente respetadatradicion, desde dentro me he visto forzado y en cierto modo obligado, masfuertemente que todo lo que hasta ahora he encontrado dicho en contra, aun-que he comprobado esto muy ampliamente. Tambien creo que las palabrasde la sagrada escritura, como p. ej. Sap. c. 11 cap. 21: “omnia in pondere,numero et mensura disposuist”, en las que se presumio una contradiccioncon los numeros actualmente infinitos, no tienen ese sentido; pues, puestoel caso, habrıa, como creo haber demostrado, “potencias” actualmente infi-nitas, i.e., numero cardinales y “enumerables de conjuntos bien ordenados”actualmente infinitos, i.e., numeros ordinales (estos dos conceptos, como heencontrado, son extraordinariamente diferentes en los conjuntos actualmen-te infinitos, mientras que en los conjuntos finitos su diferencia es apenasperceptible), por lo tanto estarıan con toda seguridad tambien mencionadosconjuntamente los numeros transfinitos en aquella expresion sagrada, y nose puede por ello, a mi parecer, tomarla como argumento contra los numerosactualmente infinitos, si se quiere evitar un argumento circular.

Sin embargo, que debe admitirse un “infinitum creatum” como existente,puede demostrarse de multiples modos. Para no entretener a V.E. demasia-do, quisiera limitarme a dos breves indicaciones en este asunto.

Una demostracion parte del concepto de Dios y deduce en primer lugarde la altısima perfeccion de la esencia divina la posibilidad de la creacion deun transfinitum ordinatum, y luego de su bondad y poder, la necesidad dela de hecho llevada a termino creacion de un transfinito. Otra demostracionmuestra a posteriori, que el supuesto de un transfinito en la natura natu-rata permite una explicacion mejor de los fenomenos, en particular de losorganismos y de los fenomenos psıquicos, porque es mas completa, que lahipotesis contraria.

IV

...V.E.... le expreso mi mas cordial agradecimiento por las declaracionesdel clemente escrito del 26 de enero de 1886, con las que coincido con totalconviccion; pues en la breve indicacion de mi carta del 22 del mismo, noera mi opinion en el pasaje en cuestion hablar de una necesidad metafısicay objetiva para el acto de la creacion, a la que Dios con una libertad abso-luta estuviera supeditado, sino que querıa solo senalar una cierta necesidadsubjetiva para nosotros de deducir de la bondad y el poder de Dios la crea-cion llevada a termino de hecho (no a llevar a termino a parte Dei), nomeramente de un finitum ordinatum, sino de un transfinitum ordinatum.

V.14

14Esta carta, fechada el 28 de febrero de 1886, esta dirigida al Prof. Dr. med. A.Eulenburg en Berlın.

19

Con placer encuentro en su escrito del 23 del mismo que Vd. dedica uninteres al objeto de mis investigaciones, para el cual mi agradecimiento estanto mayor, cuanto mas inusual es que me lo hayan mostrado famosos in-vestigadores y medicos; pues en esos cırculo es lo que llamo “horror infiniti”,en los contextos mas diferentes y por las mas variadas causas, en general unmal profundamente enraizado.

Si ponemos la vista en las definiciones del infinito potencial y actual, sedesvaneceran pronto las dificultades de las que Vd. me escribe.

I. El I.P.15 se afirma preferentemente, donde se presenta una magnitudindeterminada, variable y finita, que o bien crece mas alla de todos los lımi-tes finitos (entre nuestras representaciones, pensemos, p.ej., lo que llamamostiempo, contado desde un determinado momento inicial) o bien decrece baotodo lımite finito (lo que, p.ej., es la representacion legıtima de lo que lla-mamos un diferencial; mas en general, hablo de un I.P. en todos los casos enque entre en consideracion una magnitud indeterminada, que es susceptiblede una cantidad innumerable de determinaciones.

II. Por un I.A.16 ha de entenderse por el contrario un quantum, que poruna parte no es variable, sino que mas bien es fijo en todas sus partes, unaverdadera constante, pero al mismo tiempo, por otra parte, excede a todamagnitud finita del mismo tipo en magnitud. Como ejemplo cito la totalidad,el concepto de todos los numeros enteros positivos finitos; este conjunto esuna cosa de por sı y conforma, aparte por completo de la sucesion naturalde los numeros que pertenecen a el, un quantum fijo en todas sus partes ydeterminado, un �fwrismenon),que manifiestamente hay que llamar mayorque todo enumerable finito17

15Esto es, el infinito potencial (>apeiron).16Esto es, el infinito actual (�fwrismenon).17Cf. la concepcion completamente conforme con esto de la sucesion de los numeros

enteros como un quantum actuamente infinito en S. Agustın (De civitate Dei, lib. XII,cap. 19): Contra eos, qui dicunt ea, quae infinita sunt, nec Dei posse scientia comprehen-di. Debido a la gran significacion que tiene este pasaje para mi posicion, quiero recogerloaquı literalmente, y me reservo discutirlo en detalle en una ocasion posterior. El capıtulodice ası: “Illud autem aliud quod dicunt, nec Dei scientia quae infinita sunt posse com-prehendi: restat eis, ut dicere audeant atque hic se voragini profundae inpietatis inmergant,quod non omnes numeros Deus noverit. Eos quippe infinitos esse, certissimum est; quoniamin quocumque numero finem facindum putaveris, idem ipse, non dico uno addito augeri,sed quamlibet sit magnus et quamlibet ingentem multitudinem continens, in ipsa rationeatque scientia numerorum non solum duplicari, verum etiam multiplicari potest. Ita verosuis quisque numerus proprietatibus terminatur, tu nullus eorum par esse cuicumque alteripossit. Ergo et dispares inter se atque diversi sunt, et singuli quique finiti sunt, et omnesinfiniti sunt. Itane numeros propter infinitatem nescit omnes Deus, et usque ad quandamsummam numerorum scientia Dei pervenit, ceteros ignorat? Quis hoc etiam dementissimusdixerit? Nec audebunt isti contemnere numeros et oes dicere ad Dei scientiam non pertine-re, apud quos Plato Deum magna auctoritate commendat numeris mundum fabricantem.Et apud nos Deo dictum legitur: Omnia in mensura et numero et pondere disposuisti (Sap.11,21); de quo et propheta dicit: Qui profert numerose saeculum (Esai. 40,26), et Salvatorin evangelio: Capilli, inquit, vestri omnes numerati sunt (Mt. 10,30). Absit itaque ut dubi-temus, quod ei notus sit omnis numerus, cujus intelligentiae (absolutae), sicut in psalmocanitur, non est numerus (Ps., 147, 5). Infinitas itaque numeri, quamvis infinitorum nume-rorum nullus sit numeros [finitus], non est tamen inconprehensibilis ei, cujus intelligentiae[absolutae] non est numerus. Quapropter si, quidquid scientida conprehenditur, scientis

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Ahora bien, en tanto que San Agustın sostiene la percepcion total e in-tuitiva del conjunto (ν) “quodam ineffabili modo”, a parte Dei, reconoce almismo tiempo a este conjunto formaliter como un todo actualmente infi-nito, como un transfinito, y estamos obligados, a seguirlo en esto. En estepasaje, posiblemente sin embargo, se le formulara la objecion de que noso-tros tenemos tambien la necesidad de contemplar el conjunto (ν) como uninfinito categorematico, y por otra parte no nos esta permitido sacar a con-sideracion el numero ordinal ω o el numero cardinal ω que le corresponde,y esto no nos estarıa permitido por este motivo, porque nosotros por laslimitaciones de nuestro ser no estamos en condiciones de pensar actualmen-te uno intuitu todos los infinitos individuos numericos ν pertenecientes alconjunto (ν). Ahora bien, yo quisiera ver a aquel que, por ejemplo, en el casodel numero finito“mil millones” o incluso en numeros mucho mas pequenospuede representarse distintamente y con precision uno intuito las unidadespresentes en el. Alguien ası hoy por hoy no vive con toda seguridad entrenosotros. Y a pesar de ello, tenemos el derecho de contemplar a los numerosfinitos, aun cuando sean tan grandes, como objetos del conocimiento dis-cursivo y humano, e investigarlos cientıficamente segun sus propiedades; elmismo derecho nos asiste tambien en relacion con los numeros transfinitos.Frente a aquella objecion, por lo tanto, solo hay una respuesta: ¡la condicionque vosotros mismos, incluso en los numeros pequenos y finitos no estais encondiciones de satisfacer y cumplir, pretendeis exigirnosla en relacion conlos numeros infinitos! ¿Se ha puesto una exigencia mas inicua nunca entrelos hombres? Segun nuestra organizacion [conformacion], rara vez estamosen posesion de un concepto, del que pudieramos decir, que este serıa un“conceptus rei propius ex propiis”, en tanto que nosotros, a traves de el, sinla ayuda de una negacion, un [simplo] o un ejemplo, lo captamos y recono-cemos, como es en sı y para sı. Es mas, en el conocimiento dependemos lamayor parte de las veces de un “conceptus proprius ex communibus”, quenos capacita para determinar una cosa a partir de predicados generales ycon la ayuda de comparaciones, exclusiones, sımbolos o ejemplos de tal ma-nera que, podamos distinguirla claramente de toda otra cosa. Comparese,p.ej., el metodo por el que yo en los “Fundamentos” y antes en los Math.Ann. 5 (1871), definı las magnitudes numericas irracionales. Yo voy ahoratan lejos, como para afirmar incondicionalmente, que este segundo tipo de

conprehensione finitur: profecto et omnis infinitas qodam ineffabili modo Deo [de]finita:qui tandem nos sumus homunculi, qui ejus scientiae limites figere praesumamus, dicentesquod, nisi eisdem circuitibus temporum eadem temporalia repetantur, non potest Deuscuncta quae facit vel praescire ut faciat, vel scire cum fecerit? cujus sapientia simplicitermultiplex et uniformiter multiformis tam inconprehensibili conprehensione omnia incon-prehensibilia conprehendit, ut, quaecumque nova et dissimilia conseuentia praecedentibussi pemper facere vellet, inordinata et inprovisa habere non posset, nec ea provideret exproximo tempore, sed aeterna praescientia contineret.” En determinados lugares me hepermitido realizar inserciones (reconocibles por los parentesis), que permiten senalar masclaramente el sentido que segun mi parecer tienen las palabras en [cuestion] en los pasajesen [cuestion] en S. Agustın. No se puede exigir el transfinito mas energicamente que loque lo hace aquı S. Agustın, ni se le puede fundamentar y defender mas completamente.Pues desde luego nadie puede poner en duda que en los conjuntos infinitos (ν) de todoslos numeros enteros ν no se trata del infinito absoluto (IIb).

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determinacion y delimitacion de las cosas es incomparablemente mas senci-llo, comodo y facil para los numeros transfinitos mas pequenos (p.ej., ω, oω + 1, o ων en el numero entero finito pequeno ν), que para numeros fini-tos muy grandes, en los cuales solo dependemos de la misma herramienta,correspondientemente a nuestra naturaleza imperfecta.

En contraposicion a Agustın, se encuentra en Orıgenes una decidida tomade posicion contra el infinito actual,y avanza tan lejos por este camino, quecasi pudiera parecer que quisiera no saber afirmar incluso la infinitud deDios. Pues dice, que no se puede negar por medio de un falso eufemismo(eÎfhmıac qarin) la limitacion (circumscriptio = perigraf´h) de la potenciadivina. Recuerdo, a este respecto, que perac significa en griego fin, lımitey perfeccion al mismo tiempo; al >apeiron se vincula por ello propiamenteel concepto de lo indeterminado, imperfecto. Tambien en latın aparece in-finitum en el sentido de “indeterminado” en Ciceron y Quintiliano (p. ej.,infinitior distributio partium, un error logico en el discurso; infinitas quaes-tiones, preguntas determinadas imprecisamente, etc.). Tambien finis denota,como perac, la perfeccion, ası en el conocido tıtulo de la obra ciceroniana definibus bonorum, en Tacito finis aequi juris, etc.

En el de principiis (perı �rq´wn), ed. Redepenning (en los fragmentosconservados, p. 10, en la traduccion de Rufinus p. 214, se dice literalmen-te: “-intueamur creaturae initium, quodcunque illud initium creantis Deimens potuerit intueri. In illo ergo initio putandum est tantum numerum ra-tionabilium creaturarum, vel intellectualium, vel quoquomodo appellandaesunt, quas mentes superius diximus, fecisse Deum quantum sufficere posseprospexit. Certum est quippe quod praefinito aliquo apud se numero easfecit: non enim, ut quidam volunt, finem putandum est non habere creatu-rasK quia ubi finis non est, nec conprhensio ulla nec circumscriptio essepotest. (Es muy verosımil que que la discusion en Agustın haya sido escritaen oposicion completamente consciente a este pasaje en Orıgenes.) Quod sifuerit, utique nec contineri vel dispensari a Deo, quae facta sunt, poterunt.Naturaliter nempe quidquid infinitum (Orıgenes toma siempre solo en con-sideracion lo >apeiron y dice, que si la potencia divina fuera >apeiroc, Diosno podrıa conocerse a sı mismo) fuerit, et incomprehensibile erit. Porro au-tem, sicut scriptura dicit: ‘In numero et mensura universa’ (Sap. 11, 21)condidit Deus, et idcirco numerus quidem recte adaptabitur rationabilibuscreaturis, vel mentibus, ut tantae sint, quantae a providentia Dei dispensa-ri, regi et contineri possint. Mensura vero materiae corporali consequenteraptabitur: quam utique tantam a Deo esse cretam credendum est, quan-tum sibi sciret ad ornatum mundi posset sufficere (gr. tosauthn <ulhn <oshn�dunato katakosmhsai). He reproducido por completo esta consideracion deprofundo sentido de Orıgenes porque veo en ella el origen de, debo recono-cerlo, los argumentos mas significativos y mas llenos de contenido que sehan esgrimido contra el transfinito. Se les encuentra repetidos a menudo;quiero mencionarlos aquı en la forma mas perfecta que se les ha dado. Enla Summa theol tomista, I, q. 7, a. 4, se dice: “1) Multitudinem actu infini-tam dari, impossibile est, quia omnem multitudinem oportet esse in aliquaspecie multitudinis. Species autem mutltitudinis sunt secundum species nu-merorum. Nulla autem species numeri est infinita, quia quilibet numerus est

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multitudo mensurata per unum. Unde imposibile est ess multitudinem infi-nitam actu; sive per se, sive per accidens. 2) Item omnis multitudo in rerumnatura existens est creata; et omne creatum sub aliqua intentione creantiscomprehenditur, non enim in vanum agens aliquod operatur. Unde necesseest quod sub certo numero omnia creata comprehendantur. Impossibile estergo esse multitudinem infinitam in actu, etiam per accidens”.

Estos son los dos motivos de mas peso, que el curso de los tiempos se handirigido contra el transfinito; todos los demas argumentos que se encuentranexpresados, pueden con relativa facilidad debilitarse negativamente, senalan-do que reposan en un error en la argumentacion. Estos dos motivos, por elcontrario, estan muy bien fundamentados y podrıan ser disueltos y despa-chados solo positivamente, si se demostrara y senalara que los numeros y lostipos de orden transfinitos existen en el dominio de lo posible, de la mismamanera que los numeros finitos y que en los transfinitos estan presentes yen cierto modo acumulados incluso un dominio ampliamente mayor de for-mas y de “species numerorum”, que en el campo relativamente pequeno delos finitos no limitados; por ello los transfinitos estuvieron a disposicion delas intenciones del creadar y de la potencia de su voluntad absolutamenteinagotable del mismo modo que los numeros finitos. Se podrıa creer que S.Tomas ha sospechado o incluso conocido y examinado esta tesitura, y jus-tamente por eso ha desdenado reproducir los demas argumentos [ligeros]contra las magnitudes y los numeros actualmente infinitos, que se encuen-tran entre otros tambien en los escritos de su maestro Alberto Magno. Else mantuvo y permanecio con gran [derecho] en aquellos dos motivos llenosde contenido y de peso, que podıan ser resueltos solo positivamente; sin em-bargo, abandono los restantes motivos por completo de buena gana en laconocida exclamacion contra los murmuradores: “Praeterea adhuc non estdemonstratum, quod Deus non possit facere ut sint infinita actu”. (Opusc.de aeternitate mundi.). Otro ejemplo es la totalidad de todos los puntos,que estan situados en un cırculo dado (o en cualquier otra curva determi-nada). Un tercer ejemplo es la totalidad de todas las monadas que han derepresentarse como rigurosamente puntuales, que contribuyen como partesconstitutivas al fenomeno de un cuerpo natural existente.

De la definicion I se sigue que Vd. tiene perfecto derecho a preguntar:“¿No serıa mejor abandonar para el I.P. la expresion infinito?”

En efecto, el I.P. no es propiamente un infinito, por ello lo he llamado enmis “Fundamentos” infinito impropio. A pesar de todo, sera difıcil vencer eluso en cuestion, tanto mas difıcil, cuanto que el I.P. es el concepto mas facil,agradable, superficial, dependiente, y la mayorıa de las veces esta unida conel la ilusion aduladora, de que se tendrıa con el algo correcto, un infinitocorrecto; mientras que sin embargo en verdad el I.P. solo tiene una realidadprestada, en la medida en que siempre esta referido a un I.A., solo por elcual este es posible. De ahı el epıteto acertado que dieron los escolasticos aI.P.: sugkategorhmatikwc.

Si examinamos, ademas, la definicion II, se sigue en primer lugar, quede ahı puede concluirse con negar que el I.A. en su magnitud deberıa serinincrementable; un supuesto erroneo, que no solo esta extendido entre losantiguos y los escolasticos que se adherıan a ellos, sino tambien nueva y la

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novısima filosofıa, casi se podrıa decir, por doquier18. Antes bien, necesita-mos hacer aquı una distincion fundamental, distinguiendo:

IIa I.A. incrementable o transfinito.IIb I.A. inincrementable, o absoluto.Los tres ejemplos anteriormente mencionados pertenecen todos a la clase

IIa de transfinitos. Pertenece igualmente a esta el numero ordinal transfinito[uberendliche] mınimo, que denoto con ω, pues este puede aumentarse oincrementarse hasta el siguiente numero ordinal en tamano ω + 1. Perotambien la mınima potencia o numero cardinal actualmente infinito es untransfinito, y lo mismo vale para el numero cardinal siguiente en tamanoetc.

Lo transfinito con su abundancia de configuraciones y formas esta referidocon necesidad a un absoluto, a lo “verdaderamente infinito”, la magnitud delcual en modo alguno puede experimentar incremento o disminucion y al quepor ello hay que contemplar cuantitativamente como un maximo absoluto.Este ultimo excede en cierto modo la capacidad humana de comprension yse sustrae, en particular, a la determinacion matematica: por el contrario, eltransfinito no solo corresponde al amplio dominio de lo posible en el conoci-miento de Dios, sino que tambien ofrece un rico y siempre creciente campode investigacion ideal y segun mi conviccion alcanza realidad y existenciaen diferentes respectos y hasta un cierto punto tambien en el en el mundode lo creado, para dar expresion al poder del Creador, segun su decisionabsolutamente libre, mas fuertemente de lo que habrıa podido llevarse a ca-bo por medio de un ‘mero “mundo finito”. Pero esto habra de esperar aunmucho tiempo para obtener un reconocimiento general, sobre todo entre losteologos, por muy valioso que se pueda mostrar tambien este conocimientocomo medio para apoyar el objeto que defienden (la religion).

Por ultimo, tengo aun que explicarle en que sentido concibo el mınimode los transfinitos como lımite de los finitos crecientes. Se observa a esterespecto que el concepto “lımite” en el dominio de los numeros finitos tiene

18Puesto que desde cuatro anos, tras la publicacion de los “Fundamentos” he encon-trado tiempo para estudiar mas en detalle la literatura de la filosofıa antigua y de laescolastica, se ahora tambien que el I.A. in natura creata ha tenido en todos los tiem-pos sus defensores dentro de la especulacion cristiana. A traves del diccionario de Baylehace tres anos me llamo la atencion entre otros el sobresaliente monje franciscano R. P.Emuanel Maignan (La calificacion de Emanuel Maignan (vivio de 1601 a 1676) como unmonje franciscano no es completamente correcta, pues normalmente se entienden por ta-les los llamados minoritas o hermanos seraficos pertenecientes a la orden de S. Franciscode Asıs. E. M. fue sin embargo (ası como el Padre Mersenne, conocido como amigo deDescartes), un Minime, i.e., perteneciente a una orden monacal fundada en el ano 1435por Francisco de Paula († 1507), que sobrepasaba el rigor de la orden franciscana, a laque por lo demas se adhirio, por la prohibicion de toda carne) de Toulouse (Cursus philo-sophicus, Lyon, 1673, que asigna al infinito categorematico una esfera muy amplia. A estose adhiere su discıpulo, el franciscano R. P. Hoh. Saguens (Cf. su obra: De perfectionibusdivinis. Colonia, 1718). De los nominalistas (siguiendo a Avicena) la mayor parte debenhaber afirmado el “numero infinito”. Lo mismo se atribuye a los escotistas. El R.P. T.Pesch menciona en su Inst. phil. nat. § 409 entre los defensores de la posibilidad de losnumeros infinitos tambien a los siguientes autores: Gabriel [Vasquez] (Comm. in Summ.p. 1, d. 26, c.1), Hurtado (Phys. d. 13, §16), Arriaga (Phys. d. 13. n. 32) y Oviedo (Phys.controv. 14, punct. 4, n. 6; punct. 5). Un punto de vista conciliador se encuentra en losConimbricenses (Pys. 1.3, c.8, q. 2) y en Amicus (Phys. tr. 18, q. 6, dub. 2).

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dos caracterısticas esenciales, que aquı se siguen recıprocamente entre si. Elnumero 1, p.ej., es el lımite de los numeros zν = 1 − 1

ν (donde ν significaun numero entero finito, que crece mas alla de todos los lımites finitos), ypresenta como lımite las dos siguientes caracterısticas, deducibles la una dela otra:

En primer lugar, la diferencia 1 − zν = 1ν es una magnitud que deviene

infinitamente pequena, i.e., los numeros zν se aproximan al lımite 1 hastala proximidad que se quiera.

En segundo lugar, 1 es la menor de todas las magnitudes numericas, queson mayores que todas las magnitudes zν ; porque si se toma cualquier mag-nitud 1−ε, que es menor que 1, entonces 1−ε sera mayor que algunos de loszν ; pero a partir de un determinado ν, a saber, para ν > 1

ε , se tendra siem-pre que zν > 1− ε; por lo tanto, 1 es el minimum de todas las magnitudesnumericas que son mayores que todos los zν .

A partir de estas dos caracterısticas se muestra. por ası decir, por cadauna de ellas por completo, el numero finito 1 como lımite de la magnitudvariable zν = 1− 1

ν .Ahora, si se quiere extender el concepto de lımite tambien a los lımites

transfinitos, entonces sirve para ello solo la segunda de las dos caracterısticasque se acaban de mencionar, y la primera habrıa que dejarla caer aquı,porque solo tiene sentido para los lımites finitos, pero no tiene ningun sentidopara los transfinitos.

Segun esto, llamo, por ejemplo, a ω el “lımite” de los numeros enterosfinitos crecientes ν, porque ω es es el menor de todos lo numeros que sonmenores que todos los numeros finitos ν; exactamente igual que 1 se en-cuentra que es el menor de todos lo numeros, que son mayores que todas lasmagnitudes zν = 1− 1

ν ; todo numero mas pequeno que ω es un numero finitoy es sobrepasado en magnitud por otros numeros finitos ν. Por el contrario,ω− ν es siempre igual a ω, y por lo tanto no se puede decir que los numerosν finitos crecientes llegan todo lo cerca que se quiera a su fin ω; antes bienpermanece todo numero ν por grande que sea igualmente alejado de ω comoel numero finito mınimo.

Se manifiesta aquı con especial claridad la circunstancia muy importantey decisiva, que mi numero ordinal mınimo transfinito ω y por consiguientetambien todos los demas numeros ordinales mayores estan situado fuera porcompleto de la serie numerica sin fin 1, 2, 3 etc. El ω no es desde luego elmaximo de los numeros finitos (no hay ciertamente tal), sino que ω es elmınimo de todos los numeros ordinales finitos. Fue el desgraciado error deFontenelle 19 buscar el transfinito dentro de la [serie] numerica 1, 2, 3,...,ν,..., aun cuando en cierto modo en el cierre de la misma (el cual, sin em-bargo, ciertamente le falta); en tanto que el de este modo proporciono a susnumeros infinitos en adelante una contradiccion irresoluble, que decidio eldestino de su infructuosa teorıa; ella tuvo que abandonar el campo ante unacrıtica completamente correcta 20. Pero si otros posteriores se dejan por lodemas guiar por la muerte de los numeros infinitos de Fontenelle, a criticarseveramente a los numeros actualmente infinitos en general, yo se, que ellos

19Cf. Fontenelle: Elements de la Geometrie de l’infini. Parıs, 1727.20

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pos su parte estan contradichos por los hechos de mi teorıa, completamentediferente de la de Fontenelle, y completamente libre de contradicciones.