Introduccion a La Cristalografia Geometrica
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JESÚS MARTÍNEZ MARTÍNEZ Introducción a la Cristalografía Geométrica <L Un» rsfdad Politócnica. Las Palmas
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JESÚS MARTÍNEZ MARTÍNEZ
Introducción a la Cristalografía Geométrica
<L Un» rsfdad Politócnica. Las Palmas
JESÚS MARTÍNEZ MARTÍNEZ
INTRODUCCIÓN A LA CRISTALOGRAFÍA GEOMÉTRICA
^ IBIBUCTrCr "
/,S P' !
jElBUOTCr,'
I1.AS l'¿l„\—
I.CE. Universidad Politécnica de Las Palmas
Apartado de Correos 530
D.L.: G.C. 481-1985
Rrü
ÍNDICE
pags.
Prologo 3
Delimitación de algunos conceptos A
Elementos de simetria 5
Teoremas de simetria 20
Las clases simétricas 27
Sistemas cristalinos A2
Morfología externa de los cristales 51
Las leyes cristalográficas 62
Diagnosis de macro cristales según la ley
de la constancia de los ángulos diedricos 74
La proyección estereográfica 90
Las zonas 104
Practicas con solidos cristalográficos 121
Cristalograf ia estructural 124
índice de figuras 139
Bibliografia 140
PROLOGO
Dentro de una Cristalografía,se ha intentado d£
sarrollar sus aspectos geométricos descriptivos-deducti--
vos.con una visión de introducción a este cuerpo de doc--
trina.
Se ha utilizado,en lo menos posible.supuestos -
matemáticos.tanto geométricos como de calculo.
Se pretendió que este conjunto de ideas crista
lográficas tuviese.como objetivo primordial.unas aplica--
ciones practicas en una doble vertiente:
a) En sentido estricto.y asi fue necesario:
- la exposición de ciertos apartados.como b^
se teórica.imprescidibles para el calculo
cristalográfico, y
- la inclusión de normas practicas de opera-
tividad.
b) En sentido lato,como introducción a otros aspec--
tos de la cristalografia.esto es,que constituyese los pi_
lares de la cristalfisica.cristalquimica y cristalogenia.
aunque esta ultima se la podria considerar como la comu
nion entre las dos anteriores.
Para una frustifera asimilación de esta crista
lograf ia .ser ia conveniente la utilización de solidos cri£
talograficos.En 1ibrerias.fácilmente se consigue modelos
recortables.
DELIMITACIÓN DE ALGUNOS CONCEPTOS
La mineralogia se ocupa de los minerales y la -
petrología de las rocas (conjunto de minerales).Los mine
rales y las rocas son sustancias naturales.generalmente -
inorgánicas y solidas.
Los minerales tienen una composición quimica d£
finida.Los átomos,iones o incluso moléculas,que determi--
nan la materia mineral.pueden constituir materia cristaH
na o cuerpos amorfos.
Las particulas de la materia cristalina están -
ordenadas y las de un cuerpo amorfo no.Esta ordenación im
plica la aparición de paralepipedos de traslación (conti
nuidad "geométrica").El efecto mas visible de la ordena--
cion interna es la posibilidad de que la materia presente
formas geométricas externas.Entonces recibe la denomina--
cion de crsital.Todo cristal esta constituido por materia
cristalina.pero no siempre se cumple la inversa.
El origen natural de esta ordenación se funda—
menta en la "ley de la simetria" .según la cual.cada partí,
cula esta ordenada simétricamente por las otras.En conse
cuencia.se debe considerar a la simetria como el princi--
pio básico que determina la aparición de la materia cris
talina.
La cristalografia se define como la parte de
las Ciencias que estudia la ordenación de las particulas
en la materia.su forma geométrica externa,si la posee, y
sus propiedades matemáticas.fisicas y quimicas.
La cristalografía geométrica se ocupa de las
propiedades y leyes que rigen la forma externa y la es
tructura geométrica interna de la materia cristalina.De -
esta manera,se subdivide en cristalografia morfológica y
en cristalografía estructural.
ELEMENTOS DE SIMETRÍA
ESQUEMA
Conceptos de puntos equivalentes.
Ejes de simetría de rotación sencilla.
Planos de simetria.
Centros de simetría.
Ejes de reflexión.
Ejes de inversión.
Consejos prácticos para la búsqueda de los elementos de -
de simetría en un solido cristalográfico.
Relaciones entre los poliedros geométricos y los cristali_
nos.
CONCEPTOS DE PUNTOS DE EQUIVALENCIA
Son puntos equivalentes de la materia cristali
na aquellos que presentan una misma posición,para un ob--
servador inmóvil,en relación con los puntos vecinos.cuan
do la materia realiza sucesivos giros.reflexiones o lnve£
alones.
Los puntos equivalentes están interrelacionados
entre si por medio de ejes,centros y planos de simetría,-
elementos que son,en consecuencia,utilizados en el estu--
dío de la ordenación de los elementos químicos en la mat^
ría.
EJES DE SIMETRÍA DE ROTACIÓN SENCILLA:
Son unos ejes ideales que hacen que,a partir de
puntos ordenados de la materia cristalina,se obtengan
otros equivalentes.Implican operaciones de giro de puntos
ordenados alrededor de esos ejes.Al final de todos los gi.
ros,cuando un punto ordenado vuelve a coincidir consigo -
mismo,ha tenido que recorrer 360?.
En la naturaleza cristalina solo existen ejes mona--
rios.binarios.ternarios.cuaternarios y senarios.
Existe un eje monario o de orden uno.E , cuando
un punto coincide con otros equivalentes mediante giros -
de 3608. 2
Existe un eje binario o de orden dos.E , cuando un punto coincide con otros equivalentes mediante giros -
de 1808. 3
Existe un eje ternario o de orden tres.E .cuando un punto coincide con otros equivalentes mediante gi--ros de 120e.
4 Existe un eje cuaternario o de orden cuatro,E .
cuando un punto coincide con otros equivalentes mediante
giros de 90e.
Ejes de orden cinco no pueden existir en la na
turaleza cristalina,porque esta dejarla de ser continua -
geométricamente.como se demuestra empiricamente al inten
tar recubrir una superficie con pentágonos regulares.Lo -
mismo ocurre con los ejes de orden siete o superiores a -
siete.
Existe un eje senario o de orden seis.E ,cuando
un punto coincide con otros equivalentes mediante giros -
de 60e.
Un eje de simetría se llama bipolar cuando en -
los dos extremos del mismo encontramos Idénticas agrupa--
ciones de puntos,como si una agrupación fuese la proye£
clon ortogonal de la otra.El eje es polar en caso contra
rio.Ejemplos : en un prisma tetragonal se localiza un eje
cuaternario bipolar; en cambio,en una pirámide tetragonal
el eje cuaternario es polar.
PLANO DE SIMETRÍA
Es un plano ideal que goza de la característi
ca de que si cortamos un cristal según el.y colocásemos -
una de las mitades sobre un espejo (apoyándolo sobre el -
plano del corte).entre la Imagen real y la reflejada va--
riamos el cristal completo.
En general, llamamos plano principal al perpendi
cular a un eje de orden superior a dos y secundarlo a los
perpendiculares a los ejes binarios o monarios.Los pla--
nos principales se suelen representar por H y los secunda^
rios por p.
CENTRO DE SIMETRÍA
Es un punto ideal del centro de un cristal , que
goza de la propiedad de que toda recta que pase por el --
une puntos equivalentes.siendo equidistantes esos puntos
del centro.
Cuando en un cristal existe centro,todas las c£
ras son paralelas dos a dos.
El centro se representa mediante una C.
Si se desea estudiar una cristalografia mas com
pleta.a los elementos de simetria descritos hay que unir
les ejes de reflexión y de inversión.
Estos son de ordenes 1,2,3,4 y 6,como los ya
mencionados,pero se diferencian en que:
1. los de reflexión,ademas del giro correspondiente,
implican reflexiones simultaneas,es decir,las operaciones
de estos ejes serán giros mas reflexiones.Se representan por E^2),,(3)^,(4)^,(6)_
2. los de inversión,ademas del giro correspondiente,
implican inversiones simultaneas,es decir,las operaciones
de estos ejes serán giros mas inversiones.Se representan ^«, p^i ir3i _4i _í>i por E ,E ,E ,E
Se demuestra empiricamente que:
E^2)„ c
E<3)= E ^ H j.(4)^ J.4Í
E ^ ^ ^ E ^ C
E = p
E^^= E ^ C
E^^= E^+ H
y de aqui se establecen las siguientes equivalencias:
^(3)^ ^6i ^ p(4)^ £4i ^ ¡,(6) £3i
plano
de s ime t r í a
f igura 1
EJES DE REFLEXIÓN
10
EJE B1NARI0= E (2)
/
\
\ \
-V
N',
/
Al
A=A, -A
-^ /
figura 2
^
Punto de partida A
A + giro = A' + reflexión = A, (materializado)
A, + giro = AJ + reflexión
A^ * A
c.(2)
A2 (materializado)
11
EJE TERNARIO » E (3)
. ^
I ,2o£S>'l^__ A, H ' r i -
A B A J B A J
120°
l*5 = ' l
T I I f i g u r a 3 I I I
* 1 " * 3 u-> I A 3 E A 5
^
Punto de partida A
A + giro = A' + reflexión = Aj (materializado)
Aj + giro - A| + reflexión = A2 (materializado)
^2 + giro = A2 + reflexión = A, (materializado)
A3 + giro = A3 + reflexión - A^ (materializado)
A^ + giro = A¿ + reflexión = A^ (materializado)
A^ + giro = A^ + reflexión - A^ (materializado)
A^E A
E^3) = E3 . H
12
EJE CUATERNARIO=E (4)
Punto de partida A
A + giro = A' + reflexión = Aj (materializado)
A, + giro = A| + reflexión - A2 (materializado)
A + giro = A¿ + reflexión - A3 (materializado)
A3 * giro - A3 + reflexión = A^ (materializado)
E<^^= E^^
13
EJE SENARIO - E (6)
I !
^.^
60» ^ - ^
^ ,3c. 60* ^ ^
^ ' >
T>./
- - • i J í i ^
L.
. - > '
^2
- ' ^ *
^ figura 5
Punto de partida 1 Aj + giro = A| + reflexión = A2 (materializado)
Ao + giro = A2 + reflexión = A^ (materializado)
An+ giro = A^ + reflexión = A¿ (materilizado)
A, + giro = A¿ + reflexión = A^ (materializado)
Ac + giro = Ac + reflexión = A^ (materializado)
k, + giro = A¿ + reflexión = Ay (materializado)
h ^ Aj
E^^^ E3 . C
lA
EJES DE INVERSIÓN
15
EJE BINARIO DE INVERSIÓN=E2Í
Punto de partida A
A • giro = A' + inversión = Aj (materializado)
'l + giro = Aj + inversión = A2 'mater ial izado J
AT = A
L2Í= P
16
EJE TERNARIO DE 1NVERSI0N= E 3i
t7
'2 -*t
• * * \ \
V. \
\ \
:igura 7 "/^ /\\ / \
/ / /
/ /
/ /
/ / Aj-X,
\ \ \ \ \ \
y • \
x ' \ ; ^
• X A, • Aj
t-Punto de partida A
A + giro = A' + inversión = A, (materializado)
A, + giro = AJ + inversión = A2 (materializado)
A, + giro = AA + inversión = A^ (materializado) k\ + inversión = A^ (materializado)
A3 + giro = «3 A + giro = A¿ + inversión = A^ (materializado) A + giro - A^ + inversión = A^ (materializado)
E i = E^ • C
17
EJE CUATERNARIO DE INVERS10N=E 4i
9o r$íC *
*"C'\
figura 8
y/
90° ^ ^ " " ^ / /
90" ***•»• ^
/ ^ ^ > A-A,
\ V
\ \
Punto de partida A
A • giro = A' + inversión = A (materializado)
A, + giro = A] + inversión = k^ (materializado)
AA + inversión An (materializado) A2 + giro
A-, + giro = AA + inversión = A^ (materializado)
A = A,
-4i ÁU)
18
EJE SENARIO DE 1NVERS10N=E 6 i
A4
N 60»
f igura 9
^ I ^ x
LL.^'.^^^C
/ / "VA
//y \l:
:i':.^.\
•^A
Punto de partida A
A •• giro = A' + inversión
'1 giro
giro
Al (materializado)
= A-, (materializado) Ai + inversión =
AA + inversión = Ao (materializado)
A^ + giro = A-, + inversión = A^ (materializado)
A4 + giro A¿ piro ^ Ai
A - A,
E^^ = E^ . H = E<3^
+ inversión
+ inversión
(material izado)
(material izado)
19
CONSEJOS PRÁCTICOS PARA LA BÚSQUEDA DE LOS ELEMENTOS DE
SIMETRÍA EN UN SOLIDO CRISTALOGRÁFICO
Los ejes de simetría se sitúan entre vértices,-
aristas o caras opuestas.Para la búsqueda de estos se su
jeta el cristal.entre los supuestos extremos de los mis--
mos.con los dedos Índice y pulgar de la mano izquierda.Se
hace girar el cristal con el Índice de la mano derecha y,
si existe un eje entre los dedos de la mano izquierda, el
cristal toma un numero de veces la misma posición.Este -
numero de posiciones equivalentes indica el orden del eje
de simetría.
Cuando existe centro de simetría,las caras del
cristal son paralelas dos a dos y, de esta manera .siempre
que se apoye una cara sobre una superficie.aparecerá otra
paralela a esa superficie.
Un plano de simetría se puede reconocer porque
divide al cristal en dos partes simétricas.que son entre
si como el objeto y su imagen en un espejo plano^que reem
plazase al plano de simetría.
20
TEOREMAS DE SIMETRÍA
ESQUEMA
Concepto de clases simétricas y significado de los teore
mas de simetria.
Enunciados de los teoreinas de simetria y sus demostracio
nes .
Ejemplos de las aplicaciones de los teoremas de simetria.
CONCEPTO DE CLASES SIMÉTRICAS Y SIGNIFICADO DE LOS TEORE
MAS DE SIMETRÍA.
Los elementos de simetria descritos se encuen--
tran asociados convergentemente .asociaciones puntuales,-
en la materia cristalina«pero todas las asociaciones no -
son permisibles.Existen unos teoremas de simetria que tra
ducen como se deben asociar esos elementos, indicando posi
bilidades y 1 imitaciones^sin necesidad de invocar constan
temente la trigonometria esférica.
En cristalografia_recibe el nombre de clase si
métrica cada una de las asociaciones .obtenida por combinai
ciones,reales o posibles,de elementos de simetria compa
tibles con los teoremas de simetria.
ENUNCIADO DE LOS TEOREMAS DE SIMETRÍA Y SUS DEMOSTRACIO
NES
PRIMER TEOREMA:
Solamente son posibles ejes de simetria de ord£
nes 1,2,3.A y 6.
Demostración:
En una red cristalina no solamente sufren tras
laciones sus partículas constituyentes^sino también los -
elementos de simetria asociados a ella.Una consecuencia -
de las traslaciones verificadas con los ejes de simetria
21
seria una restricción del orden de estos,como se deduce
de la siguiente demostración matemática.
AZI
figura 10
XAA-
A' procede del punto A por traslación.Si A' se
transforma en B por un giro con eje en A y ángulo oc, .tiene
que cumplirse,como en todo giro,que se conserve.entre pun
tos homólogos,la distancia al eje.Por ello,A A' •= B A = t
en magnitud.Al trasladarse el motivo A,se ha trasladado -
el eje de simetria que pasaba por el.El eje trasladado en
A' hace ahora que A se transforme en B',por un giro de o.
grados.
Como B y B' son puntos homólogos por giros des
de A y A',si entre estos últimos existe una ley de trasl£
cion,entre B y B' existirá la misma ley,luego la distan--
cia entre B y B' es t o múltiplo de t.por ejemplo,b = mt.
cos°<. = x/t
X = t.COScK
b = t-2x = t-2t.co8>>.
b « mt,lo que implica que t-2t.cos«- «= mt
mt = t-2t cos» ^
m = l-2cos>.
2cosw, = 1-m
1-m " N
2cosc^ = N
eos-, = N/2
El coseno toma los valores de +1 a -1.
Calculemos los valores de u^.Estos valores están
relacionados con el orden del eje rotativo de simetria.
N eos - n = orden dci eit
-:5 -3,'?
-2 -1 180' :
-1 -1/2 120'
0 o 90' U
1 1/2 60 < 6
2 1 360' 1
Lo anterior confirma el anunciado del teorema,-
es decir,que hay solamente ejes monarios.binarios.terna--
rios.cuaternarios y senarios.
SEGUNDO TEOREMA:
Si existe un eje E " de orden par y perpendicu--
larmente a el un plano de simetría,también existe un cen
tro de simetria C,que es la intersección del eje con el -
plano.Eje par.plano perpendicular y centro de simetria es
tan insulublemente unidos.La presencia de dos de ellos ira
plica la del tercero.
Demostración:
Con un eje de orden par.todo punto ordenado tie
ne otro equivalente a 180^ (compruébese empiricamente).Su
póngase un eje cuaternario.En el hemisferio superior.a
partir del punto ordenado A, se obtiene los puntos equiv^
lentes A^'^S ^ A^.Los pares de puntos A^-An y An-A- están
relacionados mediante giros de 180?.
Si perpendicular al eje existe un plano de sim£
tria,que en este caso seria un plano H.los cuatro puntos
del hemisferio superior tendrán sus homólogos en el hemis^
ferio inferior.B, seria la proyección ortogonal de A,, B^
de A,,B^ de Ao y B4 de A^.Se pueden unir mediante rectas
los puntos Aj con B3.A2 con B¿^,Aj con B^ y A^ con Bj. o -
sea un punto del hemisferio superior con el reflejado
del situado a 180?.
Todas estas rectas:
1) se cortan en un mismo punto,coincidente con la in
terseccion del eje con el plano, y
2) unen puntos equivalentes que equidistan del punto
23
de intersección.
Por las anteriores circunstancias,1 a intersec--
cion de las rectas traducen un centro de simetria (consuj^
tese la definición de este elemento).Y asi queda estable-U
cida la asociación puntual: E + H + C.Análogos razona--
mientos y conclusiones se obtienen para los restantes ejes
de orden par: para los ejes binarios y senarios,con lo
que queda demostrado el teorema de forma general.
TERCER TEOREMA:
Si por un eje de orden "n" hacemos pasar un pl¿
no de simetria,en total existirán n planos de simetria.
Demostración: 4
Supongamos un E y contenido en el un plano P .
Por la operatividad del E «aparece otro plano,P>,a 90^. -
Con esos dos planos se pueden definir cuatro sub-planos:
Aj,A2 ,Bj y B2
Si en el subplano A, se dibuja un motivo geomé
trico,por la operatividad del E ,ese motivo aparece en --
los subplanos A2,B2 y B-.Pero los motivos de los subpla--
nos Aj y Bj,0 de los subplanos A2 y Bj,definen a su vez -
otro plano de simetria,que seria bisector de los anterio
res subpalnos.
Análogamente,los motivos de los subplanos B^ y
A2,o de los subplanos hj f A,,definen otro plano de sime
tria,no coincidente con los ya existentes.
En total.existirian cuatro planos de simetria.
Semejantes demostraciones se harian para los
restantes ejes de simetria que contengan planos P.
CUARTO TEOREMA:
Si normalmente a un eje de orden "n" hacemos p£
sar un eje binario,en total existirán n ejes binarios.
Demostración:
Supongamos un E y perpendicular a el un eje bi
nario.E^.Por la operatividad del E aparece otro eje bin£
»
'lU
r io ,EJ~ , per pendicul ar al anterior.Con estos dos ejes.podt'-
mos definir cuatro subejes.a partir del punto de interser
Clon :
figura 12
48 teorema
Cualquier punto en el subeje E , tiene otros equivalentes
en los restantes subejes,por la operatividad del eje cua
ternario,pero a su vez,la equivalencia entre los puntos -2 2 de los subejes E^j y E^- definen otra operación simétrica:
giros de 1808 alrededor de un eje binario,bisector de los
dos subejes anteriores.Este mismo eje de simetria rela-2
cionarian los puntos equivalentes entre los subejes E , y 2 E, ».Por semejantes razonamientos .deduciriamos otro eje bi
2 2 2 2 nario como bisector a los subejes EKI"E 2 y ^,2 " = 1' " consecuencia.perpendiculares al E habria cuatro ejes bi
narios,como queriamos demostrar para este caso particular.
Análogas demostraciones se harian para los res
tantes ejes de simetria que contengan ejes binarios per--
pendiculares,con lo que se obtiene una demostración gene
ral izada.
QUINTO TEOREMA:
Un eje de inversión de orden par equivale a un /O
eje de simetria simple,de rotación,de orden mitad,E , y
a un plano perpendicular a el.Este teorema no lo cumple -
el E
SEXTO TEOREMA:
Un eje de inversión de orden impar equivale a -
A,
^ - ^ 2
^1
figura 11
3^ teorema de simetría
2b
un eie de rotación del misino orden mas un centro de s im^
tria contenido en el.
Las demostraciones de los dos anteriores teore
mas son empiricas,ya que se deducen los enunciados de los
esquemas gráficos explicativos de la operatividad de es
tos ejes simétricos.
SÉPTIMO TEOREMA:
Los ejes binarios pueden existir en un numero -
de 1,2,3,4 y 6.Los ejes ternarios pueden existir en un nu
mero de 1 o A.Los ejes cuaternarios pueden existir en un
numero de 1 o 3.Y los ejes senarios pueden existir en un
numero de 1.
El teorema se demuestra al aplicar el teorema -
cuarto y al considerar la geometria esférica,en relación
a la asociación de varios ejes de orden mayor a 2.Esta --
geometria deduce que solamente pueden existir asociacio--
nes de AE , siempre que vayan acompañados por 3E o 3E .
OCTAVO TEOREMA:
Cuando los ejes ternarios existen en un numero
de A,formando entre si ángulos de 109? 28' 16'', aparecen
tres ejes de simetría equidistantes de los anteriores y -
perpendiculares entre si,los cuales pueden ser binarios,
cuaternarios o cuaternarios de Inversión.
La demostración se basa en la geometría esféri
ca,con rectificaciones empíricas,ya que en el supuesto de 3 2
que esos ejes equidistantes de los ejes E no fuesen E ,-
E o E,habría una multiplicación de los ejes ternarios,
lo que estarla en contradicción con la geometría esférica,
que no permite sino uno o tres ejes ternarios asociados.
2b
EJEMPLOS DE LAS APLICACIONES DE LOS TEOREMAS DE SIMETRÍA
elementos de si teorema aplicado
metria dado.
E^ + C 1°-
E^ + Y? 42
E^ + P 3?
E* + H 2?
E^ + E^ 4e
E^ + 6 29
E^ + C 29 £•3 ^ J.2 / o
E ^ + P 39
asociación completa de elemen
tos de simetria
E^ E^ E^ E^ E^ E^ E^ E3
E^
+
+
+
+
+
+
+
+
4
C +
6E2
4P H +
4E2
C +
c 3E2
3P
H
c
H
H = plano perpendicular a un eje de orden mayor a 2
P - planos
E " ejes
C = centros
LAS CLASES SIMÉTRICAS
ESQUEMA
Introducción.
Esquema de la mecánica de deducción de las clases de siiii£
tria.
Ejemplo de la metodologia a emplear en el calculo de las
asociaciones de elementos de simetria del grupo A.
Los ejes de reflexión e inversión y las asociaciones de -
elementos de simetria.
Deducción de las asociaciones de los elementos de sime
tria con un eje cuaternario de reflexión.
Calculo de las asociaciones del grupo B.
Primera conclusión general.
Las notaciones de las clases de simetria.
Notaciones de Harmann - Mauguin.
Notaciones de Schoenflies.
INTRODUCCIÓN
Las asociaciones a calcular se denominan puntu¿
les,porque vamos a reunir los elementos de simetria de to
das las maneras posibles en un punto,que goza de la pro--
piedad de permanecer inmóvil en las operaciones de sime--
tria.
En la deducción de las asociaciones de elementos
de simetria se opera reuniendo previamente esas asociacio
nes en dos grupos:
GruDo A: solamente hay un eje de orden mayor a dos aso
ciado.También a este grupo pertenecerías asociaciones en que
no existen ejes de simetria,o,si los hay ,son binarios.
Estas deducciones son las estudiadas en los ejem--
pl os. Par tiraos de un centro, de un plano o de un solo eje de sime
tria (binario,ternario,cuaternario o senario) y aplicamos
los teoremas de simetria,asociando previamente centros,--
planos y ejes binarios.
28
Los ejes de orden mayor a dos no tienen ejes b_i
narios ni planos oblicuos,ya que,en tales circunstancias,
se muítiplicaria el eje mayor y,en consecuencia,por la --
premisa establecida,1 a asociación obtenida no estaria in
cluida en este grupo.En cambio, planos y ejes binarios pu£
den presentarse mutuamente oblicuos.siempre que esa obli
cuidad este regida por los teoremas 3* y 4e,ya que.en ca
so contrario, implicaria la aparición de otros ejes mayo--
res,no permisibles por el primer teorema de simetria.
Grupo B: están asociados varios ejes de orden mayor
a dos.Para calcular las asociaciones de partida es necesa
rio trabajar con triángulos esféricos.Operando vemos que
solamente pueden existir las siguientes asociaciones de -
partida:
2 1 3E + 4E • cuando los ejes ternarios son polares
A 3 3E + 4E , cuando los ejes ternarios son bipolares
A estas agrupaciones de ejes les asociamos cen
tros,planos y ejes binarios,y aplicamos los teoremas de -
simetria.De esta manera se obtiene todas las posibles aso
ciaciones permitidas del grupo B.
Conclusión:
La mecánica seguida en las deducciones de las -
asociaciones consiste en:
a) obtención de asociaciones de partida.Estas son,p¿
ra el grupo A,los elementos de simetria considerados ais
ladamente ,o,para el grupo B,agrupaciones de ejes determi
nados por la geometria esférica,
b) obtención de asociaciones primitivas.siendo estas
las obtenidas al asociar a las de partida de pianos, ejes 2
E y centros de simetria,aplicando la teoria combinatoria.
Y
c) obtención de asociaciones permitidas.que son las
primitivas corregidas por los teoremas de siemtria.
2 '
ESQUEMA DE LA MECÁNICA DE DEDUCCIÓN DE CLASES DE SIMETRÍA
Asociaciones
de partida
Asociaciones
primitivas
Asociaciones
permitidas
C
P
H
E'' (ejemplo)
Grupo A
E^ . E2 > E^ + ÓE^
3E^ + E^
3E^ ^ UE^ •Grupo B
30
EJEMPLO DE LA METODOLOGÍA A EMPLEAR EN EL CALCULO DE LhZ
ASOCIACIONES DE ELEMENTOS DE SIMETRÍA DEL GRUPO A
Deducción de todas aquellas asociaciones del
grupo A en las que intervienen un L .
Primeramente se hallan las asociaciones primit^,
vas.asociando al E combinaciones de los siguientes ele--2
mentos simétricos: C,E ,p,H,tomados uno a uno,dos a dos,-
tres a tres, y cuatro a cuatro:
-• asociación de partida primitiva.
incompatible 2^ teorema
repetida
repetida
repetida
repetida
repetida
repetida
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
E + I I I
'3 E^ +
P H
C + E'
C • p
C + H
E^+ C
E^+ p
E^+ H
p • C
p + E'
p + H
H + C
H • E'
H + p
C + E
C • E' * H
31
Es suficiente con hallar las asociaciones prin,^
tivas hasta E + CT inclusive,ya que con las restantes ob
tendríamos asociaciones permitidas repetidas, una ve?. -
hubiésemos operado.
Total de asociaciones primitivas:
E" 4 (Cj + C^) = 11
La segunda fase consiste en alicar los teoremas
de simetría a las asociaciones permisibles.Ejemplos:
1) E- + E^ + C—*E^ + 3E^ + C + p — E- + 3E"+ 3p + C \ ' \ ' • — - ^ — ^
4e 25 ~ 35 -^ asociaciones pe£
2) E- + p + H E- + 3p + H
misibles
Los tres planos "p" intersectan al plano "H",ob
teniéndose tres intersecciones, que desempeñan giros de --
1805 gracias a los planos "p",es decir,que son equivalen 2
tes a E contenidos en los planos "p".Luego:
E^ + 3p + H • E- + 3p + 3E^ + H
La tercera y ultima fase consiste en suprimir -
aquellas asociaciones permitidas que aparecen repetidas.
LOS EJES DE REFLEXIÓN E INVERSIÓN Y LAS ASOCIACIONES DE -
ELEMENTOS DE SIMETRÍA
Se podría pensar que los ejes de simetría de re
flexión y de inversión determinarían nuevas asociaciones
de elementos de simetría.Esta suposición,exceptuando el -
eje cuaternario de reflexión,equivalente al cuaternario -
de inversión,no es cierta,ya que esos ejes son equivalen
tes a asociaciones de elementos de simetría ya considera
dos en las asociaciones primitivas.Esto es demostrado por
las siguientes igualdades:
E(2) . C E2Í = P E^3) , E3 , H E^^ - E^^^ = E^ . C
E<^) . E'*^ E^^ - E "*
E<6> = E3 . C E^^ - E^^^ " E^ + H
32
Resumiendo: solamente se considera el eje cua--
ternario de reflexión como una nueva asociación de parti
da,con la que se formaran asociaciones primitivas y permj^
tidas.
ULUUCClUti ÜE LAS ASÜCIACIUNES ÜE ELEMENTOS DE SIMETRÍA
CON UN EJE CUATERNARIO DE REFLEXIÓN
Por consideraciones gráficas,se considera el
le ma 4i
E ,de manera restringida.como L .Recuérdese que un E
= E
Asociaciones: (4) 2
a) Le asociamos al E un E perpendicularmente. La
intersección coincide con el centro intrinsico.
Por el 48 teorema: E + 2E^
Los dos ejes binarios son perpendiculares entre
si y definen cuatro subejes.
Por la operatividad del E ^.cualquier "motivo"
en uno de los sub - ejes aparecerá en los otros tres.
Pero estos "motivos",a su vez,están traduciendo dos pla--
nos "p",que se sitúan,a manera de bisectores.entre los
ejes binarios.Compruébese esta relación entre elementos -
de simetria en el solido nS25 (Melendez,1980). En definitiva,la asociación permitida seria:
E^^ + 2E^ + 2p
b) Le asociamos al E un "p".
Por razonamientos análogos al caso anterior,pe
ro de acuerdo con el tercer teorema y a partir de motivos
situados en rectas "ecuatoriales" de los planos,se llega
a la misma clase simétrica: E + 2E + 2p
c) No se puede asociar un plano H ya que, con es
te elemento simétrico,el eje cuaternario de reflexión
adquiriria la cualidad de eje cuaternario de rotación nor_
mal . 4i
d) El centro lo lleva intrinsico el E y.por consi
guiente,no se le puede asociar. Y 4i M .1 2
e) se le asocia al E un p y un E ,con la condi--
cion de que entre ellos formen un ángulo de 459:De acuer
do con los dos primeros casos,se obtiene la asociación --
33
puntual:
E^^ 4 2E^ + 2p
En resumen:
Las nuevas clases simétricas son: ,(4) ^ ^Ui
E ' + 2p + 2C^
CALCULO DE LAS ASOCIACIONES DEL GRUPO B
1. Asociación de partida: 3E + AE
a) asociamos un p al E (o al E ):
Por el teorema 3?: 3E^ + UE^ + 9p.Como tres pía
nos son H.nos queda: 3E + UE^ + 6p + 3H.Estos planos p -
contienen también a los E .Si aplicamos otra vez el teore
ma 35 en relación con estos eies ternarios,no se obtienen 4
nuevos planos: Hay coincidencias.Por el 2^ teorema: 3E +
hE + 6p + 3H + C.Y nuevamente por el 2? teorema:3E + 4E
+6p + 3H + C + 6E^. 2 4
b) asociamos un E al E :
Por el 49 teorema: 3E^ + 4E^ + 9E^.Como 3E^ --
coinciden con los E ,nos queda: 3E + 4E + 6E .El eje E 3 4
no afecta a los E , ya que se raultiplicarian los E y los 3
E .cosa no permitida por la trigonometría.Cuando afecta -4 3
a los E no se multiplican los E .Por otra parte,si afec-y 3
ta a los E no puede afectar a los E y viceversa. La -
perpendicularidad simultanea a los dos tipos de ejes que
da impedida por el A» teorema de simetría. Por el 28 teorema: ÍE'* + AE" + C + 3H
2
c) asociamos un C:
rema: ÍE'* + AE" + I
Por el 3e teorema: 3E^ + AE" + C + 3H + 6p Por el 2B teorema: 3E^ + AE ^ + C + 3H + 6p + 6E
d) asociamos p • C:
Por los teoremas 2» y 3»: 3E + AE^ + 6p + 3H + C + (¡E' 2
e) asociamos E + C:
Por los teoremas 2» y A» y finalmente por el 3»:
3E^ 4 AE- + 3H + C + 6p + 6E^ 2
f) asociamos E + p:
Por los teoremas 38 y A8 y finalmente por el 2»:
3E^ • AE-' + 6p + 3H + C + 6E^
2) Asociación de partida: 3E + 4E
a) no asociamos ningún elemento de simetria:
SE" + AE-'
b) asociamos un C:
Por el segundo teorema: 3E + AE + 3p
For coincidir en las asociaciones anteriores estos "p" --2 3 con ios planos H,se debe escribir: 3E + 4E'' + 311
cJ asociamos un p: 2 3
Por el tercer teorema: 3E + 4E + 6p 2
d) asociamos un E a los binarios ya existen tes y perpendicularmente a las aristas,para que coincida
con estos. 2
Por el cuarto teorema y considerando cada E de la terna 2 3 2
por separado: 3E + AE + 6E
Pero entonces.perpendicualrmente a cada E primitivo, ha--2
bria AE ,con lo que estos ejes binarios se convierten en
E y la asociación seria: 3E + AE + 6E 2
e) asociamos E + C
Por los teoremas Ae y 2^: 3E + AE" + 6E^ + 3H + C + 6p
f) asociamos p + C
Por los teoremas 3e y 28: 3E^ + AE" + 6p + C + 6E^ + 3H 2
g) asociamos p + E + C
Por los teoremas 3e,2B y Ae; 3E^ + AE' + 6p + C + 6E^+ 3H
La asociación de partida 3E + AE no constitu
ye al mismo tiempo una asociación permitida al ser esta -
incompleta,ya que la operatividad simétrica conjunta de -2
los tres ejes cuaternarios implica la aparición de 6E c£
mo se deduce empiricamente jugando con un punto en su po
sición mas genral. PRIMERA CONCLUSIÓN GENERAL
Las asociaciones del grupo A mas las del grupo
B dan lugar a las treinta y dos clases de asociaciones, -
clases de simetria.
NOTACIONES DE LAS CLASES SIMÉTRICAS
Como algunos autores opinaban que seria oómpli-
cado referirise a las clases simétricas«enumerando todos
sus elementos de simetría,se introdujeron unos simbolos -
p.ira designar tales asociaciones.
Han sido ideadas dos claves,una por Hermann y -
Mauguin al mismo tiempo y otra por Schoenflies.Ambas not¿
cienes tienen sus ventajas y sus desventajas,por lo que -
se ha hecho frecuente dar ambos datos,unidos entre si por
un guión.
NOTACIONES DE HERMANN - MAUGUIN PARA LAS DIFERENTES CLA
SES DE SIMETRÍA
Para utilizar tales notaciones, previamente es -
necesario conocer los simbolos,con sus equivalencias,y r£
glas empleadas.
1 = eje monario normal
1 = eje monario de inversión
2 = eje binario de rotación
2 = eje binario de inversión
3 = eje ternario de rotación
3 = eje ternario de inversión
U •= eje cuaternario de rotación
U = eje cuaternario de inversión
6 = eje senario de rotación
6 = eje senario de inversión
/m = plano perpendicualar a un eje
/m"' = plano perpendicular a un eje y otro contenido
2 (posterior a otro n^ distinto de 2) = eje binarlo per--
pendicular a un eje
222 = tres ejes binarios perpendiculares entre si
En el sistema regular solamente se representa -
uno de cada tipo de ejes de la asociación de partida.
Para una correcta anotación,se ha de tener pre
sente los teoremas de simetria.teoremas que implican la -
simplificación de la notación.Ejemplo,la clase pararaorfi-
ca E •H + C,según Mauguin,se representarla solamente por
36
U>:n ya que por el 2^ teorema debe existir el centre.
EJEMPLOS UE NOTACIONES DE MAUGUIN
ninguno -
C = 1
P = 2
E^ *
E, +
3 E 2 =
E ' -E ' * E ' ^ E' > E3 .
,(3)
E ' -E' *
E^ *
E^ .
E +
P +
2p =
: 222
3p
3
C =
3p =
3 E 2
3 E 2
1
C = 2/m
2ir,
* C = 2/-
3
: 3m
= 32
+ 3p + C
= 6
+ 3E" + 3p =
C +
Ap
UE +
H = 4/ni
= hm
= U2
4p + H +
62
C
32
;m
=
tu
4/ IVi m
E^^^ = 4
E^^^ + 2E^ + 2p = 42ni
m
E^ = 6
E^ + C • H = 6/ni
E • 6p " íim
E^ + 6E^ = 62 E^+ 6E^ + 6P * C * H = 6/^
AE^ * 3E2 = 23
UE^ , 3E2 * C * 3H = 2/^
4E^ • 3E^ • 6p = 43ii.
4E^ > SE"* * 6E2 - 432 AE^ . 3E^ , 6E2 . 6p . 3H * C = 4/^
37
NOTACIONES DE SCHOENFLIES PARA LAS DIFERENTES CLASES DI.
SIMETRÍA
Criterios utilizados:
Las clases definidas por un eje de rotación sen
cilla determinan los grupos de simetria ciclica.El simbo-
lo general de estos grupos es C ,en donde:
C es inicial de "ciclico".
El subindice n indica el orden del eje de rotación.
Cuando los ejes de rotación sencilla dejan de -
ser polares,para pasar a bipolares,por la presencia de un
plano ecuatorial de simetria perpendicular al eje,se ob--
tienen los grupos ciclicos paramorficos.El simbolo gene--
ral de estos grupos es C i .en donde el plano ecuatorial -
se indica por el subindice h.
Cuando los ejes de rotación sencilla de orden n
son polares,por no existir un plano ecuatorial.pero cont£
niendo planos de simetria^ que forman diedros iguales en--
tre si,y no siendo bisectrices de los ángulos que forman 2
entre si los E perpendiculares al eje principal,en caso
de existir,se obtienen los grupos ciclicos hemimorficos.-
El simbolo general de estos grupos es C ,en donde v re--
cuerda la verticalidad de los planos de la asociación de
elementos de simetria.
Los ejes principales de orden n y n ejes bina--
rios, situados en planos perpendiculares a ellos, determi--
nan los llamados grupos diedricos.El simbolo general de -
estos grupos es D^.
Los grupos diedricos,que poseen ademas un plano
de simetria perpendicular al eje principal,se representan
por el simbolo general D j .El eje principal es de nuevo -
bipolar.
Cuando en los grupos diedricos de ejes polares,
es decir,con ausencia de planos ecuatoriales.existen pla
nos contenidos en el eje principal.siendo estos bisectri-2
ees de los ángulos que forman entre si los E perpendiculares al eje principal,el simbolo se convierte en D ,. en donde el subindice d indica en este caso que los planos -no contienen a los ejes binarios laterales.sino que ocu--
38
pan,respecto a el los,posición diagonal.
Los ejes de rotación de reflexión caracterizan
a los grupos cíclicos de segunda especie.El simbolo gene
ral es S .Es factible las siguientes equivalencias:
^3 " ^3h
^6 = ^3h
en donde C. = C,. = Ci .equivalentes a la operatividad
efectuada por un centro.
Las clases del sistema regular forman grupos e£
peciales.Estos son:
a) aquellos en los que los ejes ternarios son pola--
res,por la ausencia de los ejes binarios que salen por
las aristas.Se simbolizan por la letra T.
b) Y aquellos en que los ejes ternarios son bipola--
res,por la presencia de los ejes binarios que salen por -
las aristas.Se simbolizan por la letra O.
El subíndice h se refiere aqui a la existencia
exclusiva de planos principales (planos diametrales),y el
d se fiere a la existencia exclusiva de planos diagonales
(los planos diagonales son los 6 determinados por cada
par de aristas opuestas).
EN RESUMEN
notación
grupos de simetría cíclica: C
grupos cíclicos paramorficos: C ,
grupos cíclicos hemiraorficos: C^^
grupos diedricos de eje polar
y sin planos diagonales: D n
bipolar: D ,
grupos diedricos de eje principal
bipolar:
grupos diedricos de eje polar y con
planos diagonales:
grupos cíclicos de segunda especie: S
planos diagonales: D ,
n
rupo del sistema regular: i .,
EJEMPLOS ÜE NOTACIONES DE SCHOENKLIES
3Q
T
1) Grupos cíclicos:
E^ = Cj 2
3 E^ = C3
2) Grupos cíclicos paramorficos:
E^+ H = E^ + p + C = C2^
E^ . H = C3^
E^ + H = E^ + H + C = C¿^^
E^ + H = E^ + H + C = C^j^
3) Grupos ciclicos hemirnorf icos:
E^ + 2p = C2^
E3 . 3p = C3^
U) Grupos diedricos de eje principal polar y sin pl¿
nos diagonales: 2 2
E^ + 2E' = D2
E- + 3E^ = D3
5) Grupos diedricos de eje principal bipolar:
E^ + 2E^ + p = 3E^ + p + C = 3E^ + 3p + C - I j
E^+ 4E^+ H = E^+ ¿*E^* H + C = E^+ 4E^+ H + C + 4p = D ^
E*' + 6E^+ H = E^+ 6E^+ C + H - E^+ H + C + 6p = D j
6) Grupos diedricos de eje principal polar y con pl£
nos diagonales:
E ^ ^ ^ 2p + 2E^..E^^^ E^ polar = D^^
E^* 3E^ + 3p = E^ + 3E^ + 3p + C = D^^
Ub
7) Grupos cíclicos de segunda especie:
: ^ = s u
8) Grupos del sistema regular:
AE + SE' = T
4E^ + 3E^ + C + 3H = T^
4E- + 3E^ + 6p = T^
4E^+ 3E + 6E^ =0
4E- + 3E^ + 6E^ + 6p - 3H + C = 0^
OBSERVACIONES SOBRE LA SIMETRÍA PUNTUAL CRISTALINA
1- Relaciones entre la simetría geométrica de la ma
teria cristalina y la de la geometria de los fenómenos fi.
sicos:
Las 32 asociaciones puntuales deducidas son to
das las posibles en cuanto se refieren a la materia cris
talina,pero si es considerada la geometria en su totali--
dad necesariamente se establecen otras asociaciones pun--
tuales.Ejemplos: 2
para la circunsferencia —• E ' + w p -t- C + H +•£
para el cilindro • E ^ + a p + C + H + « E
para el cono • E* + » p
para la esfera — • » E" + « H + C
Los ejemplos indidados traducen que algunas tox_
mas geométricas^sin ninguna relación con la materia cris
talina .poseen una simetria muy superior a la crístalogra-
fia,aunque hay excepciones.
Muchos fenómenos físicos implican formas geomé
tricas como las descritas,© mas o menos próximas,luego,de
una manera generalizada,cabria enunciar que tales fenóme
nos simétricamente,y con bastante frecuencia,son superio
res a la geometría cristalina.
Un ejemplo Ilustrativo, de las anteriores conclu
siones.serla la simetría determinada por la incidencia de
un objeto solido sobre una superficie liquida.Las ondas -
concéntricas originadas tienen la simetría de la circuns
ferencia,y esta simetría posee un rango mayor a la de
Al
cualquier solido cristalino.
2- La materia cristalina y la discriminación sime--
trica:
En regiones de un vulcanismo basáltico,no resul_
ta raro encontrar una disyunción columnar pentagonal.Apa
rentemente estas rocas implican ejes de simetria de orden
cinco,y hay.obviamente, una discriminación en relación
con la materia cristalina,ya que a esta no se le permite
tales ejes.Sin embargo,en este caso concreto,no existe
tal descriminacion,debido a que estos basaltos solamente
muestran falsos ejes pentagonales,al ser los prismas irre
guiares.circunstancia incompatible con la presencia de
ejes de simetria.
No obstante,si seguimos analizando la Naturale
za,encontramos hechos y fenómenos que,sin duda, presentan
una simetria no permitida a la materia cristalina.Ejemplo:
las ondas concéntricas,que determinan una piedra al caer
sobre una superficie liquida.tienen una simetria que en--
globa un eje E" «prohibido en la materia cristalina.Igual
ocurre,entre otros muchos ejemplos,con la simetria que en
gendra la propagación de ondas sonoras; la de la esfera.
Conclusión: La Naturaleza se comporta de forma
discriminatoria en cuanto a la simetria de cuerpos.hechos
y fenómenos naturales.
A2
SISTEMAS CRISTALINOS
ESQUEMA
Introducción.
Cuadro - resumen de los sistemas y clases cristalinas.
Nomenclatura standard de las diferentes clases de simetria.
Notaciones de Harmann - Mauguin y de Schoflies para las -
diferentes clases cristalinas.
Equivalencias de nomenclaturas de las clases simétricas.
INTRODUCCIÓN
Las clases de simetria se agrupan en sistemas,-
siendo en principio y en una primera aproximación,el cri
terio de esta reagrupacion la presencia del eje de orden
mayor a dos,o a la presencia conjunta de varios ejes de -
orden mayor a dos.
Con este criterio quedan ambiguas las definicio
nes de los sistemas triclinico.monoclinico y rómbico.
En total existen siete sistemas:
El sistema triclinico es muy simple,ya que en--
globa únicamente a dos asociaciones: la formada por un
centro de simetria y la que carece de todo elemento de si
metria.
El sistema monoclinico esta formado por algunas 2
asociaciones unitarias (por un E o por un p),o por la a-
4 3
'I asociación: E + p + C.
El sistema rómbico lo constituye el conjunto de
asociaciones de elementos de simetria en la que intervie-2
nen E .estando ausentes los ejes de orden mayor a dos.Que^
dan excluidas aquellas asociaciones que se ajustan al si£
tema monoclinico.
El sisteam trigonal esta formado por aquellas ¿
sociaciones del grupo A en las que interviene un eje te£
nario.
El sistema tetragonal esta formado por aquellas
asociaciones del grupo A en las que interviene un eje cua^
ternario.
El sistema exagonal esta formado por aquellas a
sociaciones del grupo A en las que interviene un eje sen^
rio.
El sistema regular,o cubico,esta formado por a-
quellas asociaciones en las que intervienen A ejes terna
rios mas 3 ejes binarios o cuaternarios.
CUADRO - RESUMEN DE LOS SISTEMAS Y CLASES CRITALINAS
grupo A
criclInlco
0
C
monoc1Inico
P
E2
2 E +p*C
rómbico
E^*2p
3E2
3E^*3p+C
trigonal
E^
E-'^C
E^*3p
E •SE
E^+3E^+3p*
• C
Ef3),E3>H
E ' 3 ' 0 E 2 0 P
Cetragona1
E^
E^ + C»-H
E +4p
E S 4 E 2
E' + 4E^*4p*
• C + H
E'^'=E^^
E ' ^ ^ 2 E 2 . 2 P
exagonal
E^
E^*C+H
E^*-6p
E^^eE^
E^+6E^+6p+
• C + H
grupo B
regular
¿.E-'OE^
Í E - ' - S E ^ + C
+ 3H
4 E ^ + 3 E 2 + 6 P
+ 6E^
4E^+3E^*C+
+ 6E^ + 6p-t-3H
nonenclacur.i <)••
las clases
s istonas
clase tecer'ce -
dr lea
clase hemledric!
en sencido lato
clase hemiedrica
paramorfica
clase heniedrici •
hemlnorflea
clase hemiedrica
enant ionor f ic .T
1 clase holoedr i c 3
clase tetartcedr;
ca de reflexión
clase h i n i <>ci r i !
de re f 1<'-: i "•!
NOMENCLATURA STANDARD UE LAS DIFERENTES CLASES DF.
SIMETRÍA
Dentro de un mismo sistema,los criterios utili
zados para elaborar una nomenclatura standard son:
1- El numero de caras que determinan una cara dada -
en su posición general. Y
2- la presencia de determinados elementos de sime--
tr ia.
Una clase recibe la denominación "tetartoedrica'
cuando la forma cristalina,engendrada por una cara en su
posición general.posee la cuarta parte de caras de las -
que resultarían en la clase holoedrica en análogo caso.La
clase tetartoedrica recibe el calificativo de reflexión -
cuando,en la asociación de elementos de 8iemtria,intervi£
ne un E o un E .En realidad,es una clase con el menor
numero de elementos de simetria dentro de un sistema.
Una clase recibe la denominación "hemiedrica" -
cuando la forma cristalina,engendrada por una cara en su
posición general.posee la mitad de las caras de las que -
resultarian en la clase holoedrica en análogo caso.
Las clases heraiedricas reciben los calificati--
vos de:
a) paramorfica: cuando entre los elementos
simétricos asociados,en un numero que no sea el máximo
dentro del sistema,hay un centro,
b) hemimorfica: cuando,entre los elementos
simétricos asociados,predominan los planos.Hay planos se
cundarios ,pero no principales,
c) enantiomorfica: cuando la asociación de
elementos de simetria la constituye exclusivamente ejes.
e) de reflexión: cuando entre los elementos
asociados hay un eje de reflexión ternario o cuaternario.
El termino "meroedrico" designa indistintamente
a una clase tetartoedrica o hemiedrica.
Una clase recibe la denominación de holoedrica
cuando una cara de un cristal,en su posición general, de
Ub
termina una forma cristalina,que posee el numero completo
o máximo de caras factibles en el sistema.Esta clase tam
bién se caracteriza por tener el mayor numero de elemen--
tos de simetria dentro del sistema en cuestión.
NUTACIONES DE HARMANN - MAUGUIN Y DE SCHOENFLIES PARA LAS
DIFERENTES CLASES CRISTALINAS
nomenclatura notación de notación de
standard Harmann Schonflies
Mauguin
sistema triclinico
hemiedria 1 C,
holoedria 1 C-
sistema monoclinico
hemiedria hemimorfica 2 S-,
hemiedria enantiomorfica 2 C 2
holoedria 2/in C
sistema rómbico
2h
hemiedria hemimorfica 2m Cj
hemiedria enantioniorfica 222 D2
holoedria 2 vn Do^
n
sistema trigonal
tetartoedria 3 Cn
hemiedria paramorfica 3 ^6^^3i
hemiedria hemimorfica 3m Co
hemiedria enantiomorfica 32 D-j
holoedria 32m D-j^
tetartoedria de reflexión 6 C^.
hemiedria de reflexión 62 D^,
Ul
sistema tetragonal
tetartoedria A C¿
hemiedria paramorfica ^/m C^,
hemiedria hemimorfica ^m C,
hemiedria enantiomorfica ^2 D,
holoedria ^m/m D,,
tetartoedria de reflexión ^ S,
hemiedria de reflexión ^2m D2J
sistema exagonal
tetartoedria 6 C^
hemiedria paramorfica 6/ra C^j^
hemiedria hemiraorfica &ni C^^
hemiedria enantiomorfica 62 D^
holoedria 6m/m D^j^ sistema regular
tetartoedria 23 T
hemiedria paramorfica 23/m T,
hemiedria hemimorfica A3m T,
hemiedria enentioraorfica A32 O
holoedria A3m/m 0.
EQUIVALENCIAS DE NOMENCLATURAS DE LAS CLASES SIMÉTRICAS
sistema triclinico
clase hemiedrica clase pedial triclinica
clase holoedrica clase pinacoidal tri--
clinica
sistema monoclinico
clase hemiedrica hemimorfica clase domatica monocH
nica-diedrica anaxial
clase hemiedrica enantiomorfica __ clase esfenoidal mono-
clinica=diedrica axial
¿«8
clase holoedrica clase prismática mono-
cl inica=nionoclinica ho
lositnetr ica
sistema rómbico
clase hemiedrica hemimorfica clase piramidal rómbi
ca
clase hemiedrica enentiomorfica-- clase biesfenoedrica -
rombica=diesfenoidal -
rorabica=tetraedrica
rombica=holoaxica róm
bica
clase holoedrica clase bipiramidal rom-
bica=rombica holosirae-
trica
sistema trigonal
clase tetartoedrica clase piramidal trigo-
nal=trigonal tetartoe
drica -hemimor fie a=og-
doedrica trigonal
clase hemiedrica paramorfica clase romboédrica tri-
gonal=exagonal tetar--
toedrica-romboedral
clase hemiedrica hemimorfica clase piramidal ditri-
gonal=trigonal hemie--
drica-hemimorfica
clase hemiedrica enantiomorfica . _ clase trapezoedrica
trigonal=holoaxica tr¿
gonal-exagonal teter--
toedrica trapezoidal
clase holoedrica clase escalenoedrica -
ditrigonal=exagonal h£
miedrica,escalenoedri
ca o hemiedrica romboe
dral
clase tetartoedrica de reflexión _ clase bipiramidal tri-
gonalpexagonal tetar--
toedrica-trigonal
clase hemiedrica de reflexión clase bipiramidal di--
trigonal=exagonal he.--
A9
miedrica-trigonal
sistema tetragonal
clase tetartoedrica clase bipiramidal te
tragonal =tetragonal he
miedrico-bipiramidal--
hemimorfica
clase hemiedrica paramorfica clase bipiramidal te--
tragonal=heraiedrico p^
ramidal tetragonal o -
heraiedrico-bipiramidal
clase hemiedrica hemimorfica clase piramidal dite--
tragonal=ditetragonal
hemimorfica=tetragonal
hemimorfico-holoedrica
clase hemiedrica enantiomorfica-- clase trapezoidal te--
tragonal=holoaxica te
tragonal
1 u i„„^,í^o clase bipiramidal dite clase holoedrica '^ —
tragonal=tetragonal ho
losimetrica clase tetartoedrica de reflexión .. clase biesfenoedrica -
tetragonal=bÍesfenoi--
dal tetragonal=tetar--
toedrica esfenoidal clase hemiedrica de reflexión clase escalenoedrica -
tetragonal=tetragonal-
hemiedrica escalenoe--
drica
sistema exagonal clase tetartoedrica clase piramidal exago-
nal-exagonal hemiedri-
co-bipiramidal-hemimo£
f ica clase hemiedrica paramorfica clase bipiramidal exa
gonal
clase hemiedrica hemimorfica clase piramidal diexa-
gonal=diexagonal hemi
morf ica=exagonal hemi
morf ica-holoed rica
30
clase hemiedrica enantiomorfica__ clase trapezoedrica e-
xagonal=exagonal holo£
XLca
clase holoedrica clase biptramidal die-
xagonal holosimetrica
sistema regular
clase tetartoedrica clase triaquistetrae--
drica pentagonal=trit£
traedrica pentagonal
clase hemiedrica paramorfica clase didodecaedrica =
triaquisoctaedrica cu£
drilateral=diaquisdod£
caedrica
clase hemiedrica hemimorfica clase exaquistetraedri
ca=hemiedrica tetrae--
drica
clase hemiedrica enantiomorfica _- clase triaquisoctaedrj^
ca pentagonal=icosite-
traedrica=icositetrae
drica pentagonal-holo£
xica
clase holoedrica clase exaquisoctaedri-
ca
51
MORFOLOGÍA EXTERNA DE LOS CRISTALES
ESQUEMA
El habito.
Formas simples y compuestas.
Nomenclatura de las principales formas simples.
Equivalencias entre nomenclaturas de las formas simples -
en el sistema regular.
Observaciones practicas para determinar las formas sim--
ples del sistema regular.
Otras observaciones.
Consejos para la búsqueda de elementos de simetria en las
formas simples,mas complicadas,del sistema regular.
Significado de la geometria externa.
EL HABITO
Los cristalografos entienden por "habito" la
forma caracteristica de un cristal.Esta forma se encuen--
tra delimitada por vértices,aristas y por superficies pl£
ñas^de configuración poliédrica,llamadas caras, elementos
que determinan poliedros: figuras limitadas por un numero
finito de caras planas.
Tengase presente que este habito,en ocasiones,-
no revelan la simetria del cristal,como se observara al -
considerar el significado de la geometria externa de los
cristales.
FORMAS SIMPLES Y COMPUESTAS DE LOS CRISTALES
Se denomina como forma simple la figura que se
deduce de una cara conocida,mediante la acción de todos -
los elementos de simetria de la clase considerada.
Efectuando el conjunto de operaciones, que impli_
ca cada una de las 32 agrupaciones puntuales de elementos
de simetria,con las caras externas dadas no equivalentes.
52
se deducen todas las formas simples de los cristales.
Se obtienen las siguientes conclusiones al ana
lizar esta geotnetria cristalina:
1- La forma simple se caracteriza en que todas las -
caras son iguales cristalográficamente.
2- Los cristales raramente se limitan a una forma
simple.Lo mas corriente es que existan varias formas sim
ples «originándose formas compuestas.
3- Las formas simples pueden ser cerradas o abiertas,
según que cierren o no al espacio.
A- Cuando mas elementos de simetría están en la cla
se,mas complejas y variadas son las formas simples.
5- Las formas abiertas (que no cierran al espacio) -
pueden existir solamente en combinaciones.
Formas simples de igual denomonacion pueden eri
centrarse en varias clases de simetría,por ejemplo,el cu
bo se encuentra en las cinco clases del sistema regular.-
Para aclarar esta ambigüedad,se dice que las formas que -
se diferencian en la denominación,en la simetría,o en am
bas cosas a la vez,son cristalográficamente diferentes. -
Por lo tanteen el ejemplo citado,existen cinco cubos di
ferentes .
Nota aclarativa: Las estrias paralelas que con
frecuencia se observan en las caras de los cubos de la pi
rita,S2Fe.traducen que esa forma no corresponde a la cla
se holoedrlca del sistema regular: las direcciones de la
estrlacion no reflejan la simetría de esa clase.Para ma--
yor claridad de comprensión,examínese un macro cubo de pi
rita.Pero, siguiendo esta linea experimental,1 legamos tam
bien a la conclusión de que hay cubos de otros minerales
que si pertenecen a la clase holoedrlca; para esta deduc
ción empírica resulta suficiente,entre otros métodos, con
cubrir las caras de un macro cristal problema con paraf¿
na y tocar posteriormente los centros de las caras con u-
na barita caliente.Las figuras obtenidas sobre las caras
revelan la existencia de determinados elementos de sime--
tria.que implican que exista una determinada clase slme--
trlca.
En conclusión: Un conjunto de formas simples
53
pueden ser geométricamente simétricas.siendo cristalogrw-
ficamente distintas.
Las formas compuestas consisten en la unión de
varias formas simples.No se pueden deducir de una cara i-
nicial y,de esta manera,las caras no son iguales cristalo
gráficamente en su totalidad.El numero de formas simples,
que entran en una combinación determinada,se establece --
por el numero de caras diferentes de la figura.
En las formas compuestas,las formas simples ti£
nen un centro simétrico y/o geométrico común, truncándose
mutuamente,a la vez,algunos de sus vértices y aristas.
NOMENCLATURA DE LAS PRINCIPALES FORMAS GEOMÉTRICAS UTILI-
ZABLES EH EL ESTUDIO DE LAS CLASES CRISTALINAS
Las formas mas frecuentes son:
1- Pedion: cuando existe una sola cara.
2- Pinacoide: cuando existen dos caras equivalentes
paralelas.
3- Domo: cuando existen dos caras equivalentes for--
mando ángulo.Las caras son simétricas respecto a un plano
de simetria que pasa por la arista.
4- Esfenoide: cuando existen dos caras equivalentes
formando ángulo.Las caras son simétricas respecto a un
eje binario que pasa por la arista
5- Prisma: conjunto de caras equivalentes en un num£
ro mayor a dos,que se cortan entre si y que son paralelas
a un determinado eje.
6- Prisma di...: prisma cuyas caras están en un num£
ro doble al del orden del eje de simetria que lo engen--
dra .
7- Pirámide: conjunto de caras equivalentes en un nu
mero mayor a dos,no paralelas al eje de simetria que las
ha engendrado.Todas las caras se inclinan hacia un mismo
punto.El numero de caras es igual al del orden del eje en
gendrador.
8- Bipiramide: conjunto de caras equivalentes.forman
do dos pirámides que coinciden por la base.
9- Bipiramide di...: bipiramide en la que cada pira-
bL
mide tiene caras en un numero doble al del orden del eje
de simetria engendrador.
lÜ- Biesfenoedro: es un conjunto de cuatro caras
triangulares no equiláteras.equivalentes formando un do--
ble esfenoide interpenetrado.
11- Romboedro: dos pirámides sin plano simétrico
ecuatorial.siendo las caras de las pirámides rombos: ca--
ras de cuatro lados iguales y sin haber ángulos rectos.
12- Trapezoedro: dos pirámides sin plano simétrico e
cuatorial.siendo las caras de las pirámides trapezoides:-
caras de cuatro lados sin ser paralelas 2 a 2.
13- Escalenoedro: dos pirámides,no unidas por un pl£
no simétrico ecuatorial .que tienen por caras triángulos -
escalenos.
14- Tetraedro: forma simple cerrada limitada por cua_
tro triángulos equiláteros.Posee cuatro vértices y una so
la clase de ángulos diedros ,que valen 109^ 28' 16''.y ti£
ne seis pares de aristas,que se cruzan a 902 en el espa--
cio.
15- Exaedro: forma simple cerrada limitada por seis
caras cuadradas paralelas 2 a 2.doce aristas iguales.ocho
vértices ternarios y solamente una clase de ángulos die--
dros que valen 90?.
16- octaedro: forma simple cerrada limitada por ocho
triángulos equiláteros.Tiene doce aristas iguales,seis
vértices cuaternarios y solamente una clase de ángulos
diedros que valen 70? 31' 43''.Se asemeja a una bipirami-
de tetragonal de caras triangulares equiláteras.
17- Rorabododecaedro: forma simple cerrada limitada -
por doce rombos.Tiene veinticuatro aristas iguales.cato£
ce vértices y solamente una clase de ángulos diedros que
miden 60?.
18- Dodecaedro pentagonal: forma simple cerrada 1 imi
tada por doce pentágonos no regulares.que tienen cuatro -
de sus lados Iguales y el quinto desigual.
19- Triaquistetraedro triangular: forma simple cerra
da,definible como un tetraedro que lleva adosados tres
triángulos isósceles a cada una de sus caras.a manera de
pirámides.Tiene doce caras.
5S
20- Triaquistetraedro trapezoidal: forma simple ce--
rrada,definible como un tetraedro que lleva adosados tres
cuadriláteros de lados no paralelos.pero con dos pares de
lados iguales,esto es .deltoides,a cada una de sus caras.a
manera de pirámides.Tiene doce caras.
21- Triaquistetraedro pentagonal: forma simple cerr^
da,definible como un tetraedro ordinario,cuyas caras se -
han sustituido por triedros formados por tres pentágonos.
Estos pentágonos no tienen cuatro lados iguales.Tiene do
ce caras.
22- Triaquisoctaedro triangular:forma simple cerrada
limitada por veinticuatro triángulos isósceles.Tiene
treinta y seis aristas.doce de las cuales corresponden a
las del octaedro; catorce vértices,y dos clases de angu--
los diedros.Seria equiparable a un octaedro que lleve ado
sado a sus caras triedros formados por tres triángulos.
23- Triaquisoctaedro trapezoidal: forma simple cerr£
da limitada por veinticuatro caras.Cada una de estas con¿
ta de cuatro lados desiguales y no paralelos (cuadriláte
ro próximo al trapecio).La forma seria también definible
como un octaedro que lleva adosado en cada cara tres de -
los cuadriláteros descritos.Posee cuarenta y ocho aristas,
veintiséis vértices y dos clases de ángulos diedros,que -
no tienen valor fijo.
24- Triaquisoctaedro cuadrilateral: forma simple ce
rrada, definible como un octaedro en el que cada cara oc--
tante lleva adosado tres cuadriláteros de lados desigua--
les y no paralelos.cuadriláteros que no se aproximan a
los trapecios.Tiene veinticuatro caras,tres clases de
aristas y tres clases de ángulos diedros.
25- Triaquisoctaedro pentagonal: forma simple cerra
da limitada por veinticuatro caras pentagonales.Puede con
siderarsele como un octaedro en el que cada octante lleva
adosado tres pentágonos.
26- tetraquishexaedro triangular: forma simple cerra
da limitada por veinticuatro caras triangulares isósceles.
Tiene treinta y seis aristas,doce de las cuales correspon
den a las del cubo o hexaedro,catorce vértices y dos cla
ses de ángulos diedros.Puede considerársele como un hexae
bb
dro,a cuyas caras se ha adosado una pirámide de cuatro C£
ras triangulares.
27- letraquishexaedro pentagonal: forma simple cerra
da limitada por veinticuatro caras pentagonles (pentago
nos irregulares sin tener cuatro lados iguales).Puede con
siderarsele como un hexaedro en el que cada cara lleve a-
dosados cuatro pentágonos.
28- Exaquistetraedro: forma simple cerrada limitada
por veinticuatro triángulos escalenos.Puede mirársele co
mo un tetraedro en el que cada una de sus caras lleve ado
sado seis triángulos.
29- Exaquisoctaedro: forma simple cerrada limitada -
por cuarenta y ocho triángulos escalenos.Posee setenta y
dos aristas,veintiséis vértices y tres clases diferentes
de ángulos diedros.La forma puede mirársele como un octae
dro con seis triángulos adosados a sus caras,a manera de
pirámides.
EQUIVALENCIAS ENTRE NOMENCLATURAS DE LAS FORMAS SIMPLES -
DEL SISTEMA REGULAR
hexaedro » cubo
dodecaedro pentagonal = piritoedro = pentágono dodecaedro
triaquistetraedro triangular = tritetraedro triangular
triaquistetraedro trapezoidal = dodecaedro deltoide - dej_
toedro
triaquistetraedro pentagonal - dodecaedro pentagonal te--
traedrico - tritetraedro pentagonal
triaquisoctaedro triangular - octaedro apiriramidado=tra-
quisoctaedro
triaquisoctaedro trapezoidal=trapezoedro=dipiedro-diploe-
dro
triaquisoctaedro cuadrilateral = didodecaedro * diaquisdo
decaedro
triaquisoctaedro pentagonal =» icositetraedro pentagonal
tetraquishexaedro triangular = cubo apiramidado
tetraquishexaedro pentagonal «= icosaedro pentagonal plagie-
dro = giroedro
exaquisoctaedro - exaquisoctaedro triangular hexaoctaedro
trapezoides
'.
pentágonos
irregulares
U lados ,no existiendo
ningún par de estos
paralelos entre si
los 5 lados no son igu
a
les entre s i
12
2h
24
12
12
2U
24
morfologia próxima al
del trapeclo:2 lados C£
si paralelos
sin aproximarse a los
trapecios
; 4 de los lados de los
• pentágonos son iguales
entre si
! los pentágonos no tie
nen 4 lados iguales
pentágonos adosados 3
a 3
pentágonos adosados 4
a 4
trlaquistetraedro
trapezoidal
trlaqulsoctaedro
trapezoidal
trlaquisoctaedro
cuadrilateral
dodecaedro pent£
gonal
triaquistetraedro
pentagonal
triaqulsoctaedro
pentagonal
tetraquishexaedro
pentagonal
OBSERVACIONES PRACTICAS PARA DETERMINAR LAS FORMAS SIMPLES DEL SISTEMA REGULAR
triángulos
tr iangulos
triángulos
cuadrados
rombos
Morfología
equiláteros
Isósceles
esc«leños
de
';
^
;'
•
Las caras
tienen sus 3 lados 1-
guales entre si
tienen 2 lados igua
les entre si y uno
desigual
tienen sus 3 lados
desiguales entre si
i* lados Iguales en
tre si,paralelos 2 a
2 y formando ángulos
de 90»
4 lados iguales.Angu
los distintos a 90»
•- n« de :
; caras
4
8
: 12
: 24
: 24
: 24
: ^
8
!
"
: 1
2
1
otras
; triang
: 3 a 3
; triang
! 4 a 4
observac
ulos
ulos
iones
adosados
adosados
'. nomenclatura de
;
la forma simple
tetraedro
;
octaedro
•
triaquistetraedro
triangular
triaqulsoctaedro
;
triangular
tetraquisexaedro
;
triangular
'. exaquistetraedro
;
exaquisoctaedro
exaedro
;
rombododecaedro
bí
OTRAS OBSERVACIONES
Las formas simples descritas del 14 al 29,ambas
inclusive.corresponden al sistema regular.
Normalmente,las nomenclaturas de las formas sim
pies del sistema regular traducen el numero de caras que
posee esas formas,si sustituimos el termino "quis" por
"por" y la terminación "edro" por "cara".De esta manera,-
el"hexaquisoctaedro" equivaldria a "seis por ocho caras",
o sea,a 48 caras.
Con las formas simples cerradas se cumple el
teorema de Euler,el cual enuncia que:
numero de caras + numero de vértices - numero de aristas^
+ 2
CONSEJOS PARA LA BÚSQUEDA DE ELEMENTOS DE SIMETRÍA EN LAS
FORMAS SIMPLES MAS COMPLICADAS DEL SISTEMA REGULAR
Para buscar los elementos de simetria de las
formas mas complicadas del sistema regular,seria aconseja
ble actuar con un poco de picardia.Por ejemplo:considere-
mos que queremos practicar con un solido cristalográfico
correspondiente a la forma simple exaquÍ80Ctaedrlca.Facil_
mente son visualizados los ejes cuaternarios«luego,cónsul^
tando el cuadro resumen de los sistemas y clases cristaH
ñas,hemos de excluir aquellas clases que no aparecen los
tres ejes cuaternarios,o sea,que estariamos antes las cl£
ses enantiomorfa u holoedria y,asi,nos bastaria con co'.n--
probar la existencia de algún plano de simetria,para sa
ber que el solido perteneceria a la holoedria,definida,co
mo sabemos,por la asociación:
3E^ • AE-' + 6p + 3H * bE^ * C
y no a la clase enentiomorfica.por carecer esta de planou
de simetria.
60
SIGNIFICADO DE LA GEOMETRÍA EXTERNA DE LOS CRISTALES
1- Concepto:
No es lo mismo poliedro geométrico que poliedro
cristalino o cristal:
En el poliedro geométrico,lo esencial lo deter
mina la forma geométrica.que se define como el espacio U
mitado por caras planas,sin considerar para nada el inte
rior de esa porción de espacio.
En el poliedro cristalino,lo fundamental corres^
ponde a la ordenación de las particulas en el espacio de
limitado por las caras planas.siendo estas precisamente -
consecuencia de esa ordenación.Las caras representan su
perficies de equilibrio entre las energias internas del -
cristal y las externas del medio de cristalización.
2- Cristales proporcionados y cristales no proporcio
nados:
Se entiende por cristales proporcionados, o ide£
lizados, aquellos en los que el poliedro cristalino coinci^
de con un poliedro geométrico.
Los cristales no proporcionados, o contrahechas
representan a los geométricamente irregulares.
En cristales no proporcionados.cabe siempre im£
ginar las caras trasladadas paralelamente asi mismas,has
ta conseguir transformarlos en otros de formas poliedri--
cas perfectas y equilibradas.Esta operación se llama
"idealizar el cristal" y resulta factible realizarla,al -
tener las caras paralelas el mismo valor cristalográfico.
Con la idealización de cristales, se tiene la -
ventaja de poder referirlo siempre a tipos poliédricos fi.
jos. Ademas,se pone mas en evidencia la sinietria geómetra
ca de estos.
61
3- Simetría geométrica y simetria cristalina:
Las simetrías geométricas y cristalinas no tie
nen porque coincidir: Supongamos un cubo de fluorita y
otro de pirita del mismo tamaño.Considerados en su aspec
to geométrico,ambos son Idénticos a un cubo o hexaedro --
geométrico ,y,por consiguiente, poseen los mismos elementos
de simetria geométrica que el.Pero si estudiamos la dis--
tribucion de una propiedad física,como, por ejemplo, la -
propagación del calor alrededor de los centros de las ca
ras de ambos cristales,encontramos que las curvas de pro
pagación,correspondientes a un mismo instante.tienen res
pecto al eje que unen los centros de dos caras opuestas:
a) simetria cuaternaria en la fluorita,y
b) simetria binaria en la pirita.
Las anteriores observaciones manifiestan que
los cristales de ambos minerales.aunque tienen la misma -
simetria geométrica,no poseen la misma simetria cristali
na: en estos dos minerales,la simetria de constitución in
terna es diferente.
LAS LEYES CRISTALOGRÁFICAS
ESQUEMA
Ley de la racionalidad de los Índices.
Notaciones de las caras cristalográficas en los sistemas
trigonal y exagonal.
Orientación de un cristal.
Ley de la constancia de los ángulos diedros
Estas leyes están relacionadas con la geometria
de los cristales y se denominan ley de la racionalidad de
los Índices y ley de la constancia de los ángulos diedros.
LEY DE LA RACIONALIDAD DE LOS ÍNDICES
La ley define las diferentes caras de un cris
tal.Realmente sitúan a los planos en donde se encuentran
las caras.Las geometrias de estas están determinadas por
las intersecciones de esos planos.
Las caras de los cristales quedan localizadas -
en el espacio por 3 o 4 parámetros,que miden las distan--
cias a las que cortan a 3 o 4 ejes cristalográficos.iden
tificados con filas de nudos de la red cristalográfica y
11 amados:
1- Eje aj.o antero-posterior respecto al observador.
A partir del origen y por convenio,la parte anterior se -
la considera positiva y la posterior negativa.
2- Eje a^.b o transverso,es decir,el que va de dere
cha a izquierda,siendo la parte derecha la positiva y la
izquierda la negativa.
3- Eje c.que coincide con el de ordenadas en el sis
tema de ejes cartesianos.La parte superior tiene signo po
sitivo y la inferior negativo.
U- En los sistemas trigonal y exagonal existe,ademas,
el eje a-, .coplanario con BJ y b.Estos 3 ejes ecuatoriales
63
se encuentran en una disposición tal que dividen su plano
ecuatorial en 6 sectores idénticos.
En la orientación de un cristal,el eje c se le
hace coincidir preferenteraente,y en el caso de existir, -
con el eje de orden mayor a 2 de la asociación simétrica,
o con un eje cuaternario (o con su sustituto) en el siste
ma regular.Los restantes ejes cristalográficos están tam~
bien contenidos,como norma general,en los elementos simé
tricos del cristal: ejes de simetria y planos,ya que e s
tos coinciden con filas de nudos en la mayoria de los ca
sos .
Con un sistema de dos ejes,únicamente hubiera--
mos podido definir puntos.rectas,curvas y figuras planas,
que se encontraran en el plano determinado por ellos.Pero
cuando hay figuras planas,como las caras de un cristal,-
no situadas en el plano de los ejes y queremos localizar
las,se debe considerar dos situaciones:
1- Si se desea definir la figura plana en sentido es
tricto.En tal caso el sistema de ejes tendrá que sufrir -
traslaciones y rotaciones.
2- Si solamente nos basta definir el plano en donde
se encuentra la figura plana,como en nuestro caso.Enton--
ces resulta suficiente añadir un tercer eje,y en ocasio--
nes un cuarto,al sistema de dos ejes,obteniéndose el sis-
tema de ejes descrito.
Asi.y a manera de una primera conclusión.una ca
ra cristalina estara definida por tres o cuatro magnitu-^
des.Con frecuencia Interesa establecer relaciones entre -
ellas,darlas como proporciones:
OH : OK : OL
El que nos interese esas relaciones,entre los parámetros
de una cara,se debe a que.en una misma familia de planos,
las relaciones se mantienen constantes en cada una de las
caras,y en cristalografia basta en muchas ocasiones cono
cer.no la posición absoluta de una cara,sino a que f a m i
lia pertenece.Con esas proporciones ocurrirán dos s i t ú a -
ciones:
a) que sean racionales,cuando representan -
bU
fracciones de números enteros,v
b) que sean irracionales.cosa que ocurre a
menudo,como era de esperar,si se trata de magnitudes no -
enteras,lo que implica incomodidad en los cálculos crista
lograficos.
Para evitar los casos de irracionalidad,las ma^
nitudes de los parámetros de una cara en cuestión se re--
fieren a los de otra,tomada como unidad,de la misma fami
lia.Los parámetros de la cara problema.debido a la natura
leza de los cristales.traslaciones tridimensionales perio
dicas de los nudos de la red cristalográfica (los nudos -
determinan las caras),serán múltiplos o submúltiplos de -
la cara unidad.De esta manera.los parámetros de una cara
se transforman.en caso de no serlo,en números enteros,o -
en sus inversos.llamados Índices.En tales circunstancias,
al establecer las relaciones.se obtienen números raciona
les (cocientes de números enteros).De aqui que estas con
sideraciones sean conocidas como ley de Haüy sobre la ra
cionalidad de los Índices.
Concretamente.esta ley .descubierta experimental
mente.dice: "La relación entre cualquier par de parame-
tros .correspondientes a un mismo eje.es racional y gene--
raímente sencilla". En efecto: Si esos dos parámetros.respecto a un
determinado eje,son m y ro',en donde:
m - OA/oa
m' = OA'/oa
siendo OA y OA' los parámetros absolutos y oa el parame-
tro de la cara unidad.se cumple que:
— = nfi entero
m oa m' OA' )0 entero
oa
"° entero „ relación racional n8 entero
con lo que se cumple el enunciado.
Sj en vez de parámetros relativos consideramos
parámetros absolutos.como OA y OA'.también se cumple esta
ley,ya que al ser: OA - m.oa y OA" - n.oa
63
siendo:
m y n números enteros
oa = parámetro de la cara unidad respecto al eje co£
siderado
se cumple que:
OA ^ üLiOa ^ ¡B = po racional .como queriamos demostrar OA n.oa n
Normalmente las caras de las diferentes fami--
lias de un cristal se refieren a una única cara unidad.En
esas situaciones.cada parámetro de la cara problema se -
refiere al correspondiente de la cara unidad,y por las
traslaciones periódicas de los nudos de la red,se obtie--
nen números enteros.o sus inversos,con los consiguientes
corolarios ya indicados.
Los valores de los parámetros relativos obteni
dos de una cara,Índices,toman dos modalidades:
a) cuando están referidos a una cara unidad,
caracterizada por tener los parámetros de magnitudes mas
pequeños.Se obtienen los Índices de Waiss,
b) cuando están referidos a una cara unidad,
caracterizada por tener los parámetros de magnitudes mas
grandes.Se obtienen los índices de Miller.que son los in
versos del caso anterior,como veremos a continuación.
Notaciones :
1- Para obtener los índices de Waiss:
OH/oa = m,.OK/ob = n,,OL/oc = p
oa < OH , , ob < OK , , oc •< OL
{m,n,p) - índices de Waiss
m:n:p implica números racionales
2- Para obtener los índices de Miller:
OH/oa = h = l/m.,OK/ob = k = l/n,,OL/oc - i = 1/p
oa > OH ,, ob > OK ,, oc > OL
(h,k,l) = índices de Miller
h:k:l implica números racionales
Los parámetros en mayúscula corresponden a la cara proble ma
Los parámetros en minúscula corresponden a la cara unidad
Ejemplos numéricos:
Se considera los parámetros "a" de dos caras.
66
a) para obtener Índices de Waiss.
ÜH/oa = 8/2 = ü = m. La cara de parámetros mas peque
ños ha sido tomada como cara unidad.
b) para obtener Índices de Míller.
OH/oa - 2/8 = 1/A = h = 1/m.La cara de parámetros mas --
grandes ha sido tomada como cara unidad.
LEYENDA:
OH = magnitud del parámetro de la cara problema,según el eje a
OK = magnitud del parámetro de la cara problema,según el eje b
OL «= magnitud del parámetro de la cara problema,según el eje c
oa = magnitud del parámetro de la cara unidad,según el eje a
ob « magnitud del parámetro de la cara unidad,según el eje b
oc = magnitud del parámetro de la cara unidad .según el eje c
NOMENCLATURA DE LOS DIFERENTES TIPOS DE CARAS BASÁNDONOS
EN SUS ÍNDICES
(«',n,p)
(m,B, ,p)
(m,n,p)
("»,n,<» )
(m,«0,«)
caras bipiramida1es,trapezoidales,escalenoida--
les o romboidales por generar normalmente bipi-
ramides,trapezoedros,escalenoedros o romboedros
caras prismaticas,por generar normalmente prismas
(a),«),p) I caras pinacoidales.por generar normalmente pina--
coides.
Los Índices de Miller se representan dentro de
paréntesis redondeados.cuando se refieren a una cara,o --
bien dentro de una llave cuando,ademas de la cara en cues
tion,se refieren a todas aquellas que están ligadas a es
ta por una operación de simetría.o sea,cuando simboliza a
toda la forma cristalina.
Cuando los segmentos de los ejes son negativos
se indican con un guión sobre el Índice.
NOTACIONES DE LAS CARAS CRISTALOGRÁFICAS EN LOS SISTEMAS
TRIGONAL Y EXAGONAL
Tomaremos en estos dos sistemas,por excepción,-
'* ejes cristalográficos .Uno de ellos se orienta vertical
mente y se le designa por c,los otros 3, iguales,intercam-
67
biables y situados en un plano normal al eje C,forman en
tre si ángulos de IZU .y se les designa por ai.aj y a ,
respectivamente.
La orientación de la cruz axial es la siguiente;
figura 11
Esta disposición de ejes se debe a Bravais.
Para la notación de una cara se opera como si--
gue: Considerando una cara que corte a,,a2.a^ y a C,la no
tacion de Miller seria (h k i l),en la que h corresponde
al eje a^,k al eje a2,i al eje a-,,llevando el signo menos
arriba por cortarlo en el sector negativo,y 1 corresponde
al eje C.
Para que una notación de una cara sea buena se
ha de cumplir que h + k + i « O
Demostración:
En la figura K , H I K representa la traza
de una cara,de simbolo (h k T 1), en el plano horizontal,-
que contiene los ejes «j .a^ y a-,.
Los triángulos OKH y MIH son semejantes y,entre
triángulos seinejentes, la razón de seme janza ,K .es el co
ciente de 2 lados homólogos cualesquiera,y de aqui se de
duce que:
if _ OH KH OK ^ MH • TH ' RT
68
figura lA
Notaciones de las caras (s.trigonal y exagonal)
69
DE DONDE:
OH/MH = OK/MI
pero MH = OH - OM; OM = 01.luego MH = OH - 01,con lo que:
OH/OH - 01 = OK/Ml
Si se tiene presente los Índices de Miller.la anterior ex
presión se convierte en:
i i i h k j . j h l i , . , . = —, de donde = — . — lo que implica que
1 - i i i - h k 1
h i i hi
(1/h).(hi/i-h) = i/k; simplificando:l/i-h=l/k
k = i-h ,, k+h-i = 0 (I)
pero como la intersección 01 = 1/i corresponde a la parte
negativa,la expresión (I) se convierte en:
h + k-(-i)=0, lo que implica h+k+i = 0,como queriamos demostrar ,
En el supuesto que la cara sea paralela a "c" y
que h = k,el trazo seria perpendicular a a^.lo que implica -
que 0I=0H/2.porque un cateto opuesto a un ángulo de 30» -
vale la mitad de la hipotenusa.La notación de Waiss, para
esa cara,tomaría la simbologia:
(HKT) - (HHH/2.- )
pero según Miller.la notación se convertiría en:
(iiii, = (iili) = (hhíh 0) H H H " H H H *
?
La notación (h h 2h 0) es buena,por sumar h+K+I
cero.
Se podría indicar otro caso,la de una cara per
pendicular al eje a,,y que fuese,por ejemplo paralela al
eje c :
La notación de la cara según Wíass sería:
(HKÍ oc)
pero 0K=0I, y 0I=20H.por construcción geométrica.luego:
(HKioo) " ( H2H2HOO) - (H/2HHoo)
Según Híller.esa cara seria:
<2/H I/H I/H 1/-) = (2h fi fi 0)
7L
figura 15
Notaciones de las caras (s.trigonal y exagonal)
71
La notación (2h R fi 0; es correcta por sumar -
los 3 primeros Índices cero.
EJEMPLOS DE EJERCICIOS SOBRE NOTACIONES DE CARAS
1- Una cara tiene por simbolo en el sistema de Waiss
2a:3b:4c.Hallar la notación de la misma en el sistema de
Miller.
Solución:
Notaciones de Waiss = (2,3,' )
Notaciones de Miller = (1/2,1/3,1/4) = (6/12,4/12,3/12)
(6,4,3)
12 = m.c.ra de 2,3 y 4
La notación de la cara,en el sistema Miller, es
(6,4,3)
2- Hallar la notación de Waiss correspondiente a la
cara (1,2,3) del sistema Miller
Solución:
Notación de Miller = (1,2,3)
Notación de Waiss = (1/1,1/2,1/3) = 6/6,3/6,2/6) (6,3.2)
La notación de la cara,en el sistema Waiss, es -
(6a:3b:2c).
ORIENTACIÓN DE UN CRISTAL
La orientación de un cristal consiste en colo--
carle de tal manera,que sus ejes cristalográficos queden
en posición vertical.antero-posterior y transversal.
Los ejes cristalograficos,de acuerdo con un crj_
terio muy general,coinciden con los ejes de simetria de -
orden superior.En cada sistema en particular,se dan las -
siguientes circunstancias:
1- En el sistema regular,se les hacen coincidir con
los tres ejes cuaternarios,o con sus equivalentes bina
rios en las hemiedrias,y son equivalentes y perpendicula
res entre si.
2- En el sistema tetragonal,el eje vertical coincide
con el eje cuaternario.Los otros dos ejes,que son equiva
lentes entre si,toman la posición de los dos ejes bina-
V
72
rios.perpendiculares entre si y al anterior.
3- En el sistema rómbico,los tres ejes cristaloprafj.
eos son perpendiculares entre si,pero no equivalentes,
toman la posición de los tres ejes binarios posibles en -
este sistema.
U- En los sistemas exagonal y trigonal,el eje verti
cal coincide con el eje senario o ternario,y,por excep
ción,existen otros tres ejes cristalograficos,perpendicu
lares al vertical y equivalentes,formando entre si angu--
los de 60e,Estos últimos coinciden con la posición de los
ejes binarios,cuando existan en el cristal.
5- En el sistema monoclinico,el eje transverso coin
cide con el eje binario.El eje vertical es perpendicular
al transverso y el antero-posterior.también perpendicular
al eje transverso,forma hacia adelante un ángulo obtuso -
con el vertical. Y
6- en el sistema tricliniccpor no existir ejes de -
simetria.los ejes cristalográficos son sencillamente para
lelos a las tres aristas del paralelepípedo,determinado -
por los tres pinacoides,y oblicuos entre si.
LEY DE LA CONSTANCIA DE LOS ÁNGULOS DIEDROS O LEY DE STE_
NO
Se trata del primer descubrimiento cuantitativo
de la cristalografia primitiva.Describe la constancia de
los ángulos diedros.formados por determinadas caras.en to
dos los cristales pertenecientes a una misma especie mine
ral.La constancia asimismo se mantiene en un mismo cris--
tal,entre las restantes pares de caras equivalentes a las
que determinan el ángulo medido.independientemente de que
estas sean mas o menos grandes.mas o menos perfectas.
Esta constancia angular constituye la ley de -
Steno.y se cumple siempre que: 1- Los cristales tengan análoga composición quimica
y 2- estén formados a igualdad de pres-ion y tempera
tura. En realidad,el ángulo diedro esta definido por
73
el formado por las normales a las dos caras,es decir, por
el suplementario.
La ley se fundamenta en la operatividad de una
misma asociación de elementos de simetria.en igualdad de
circunstancias.
A veces,el mineralogista,o el químico,utiliza -
esta ley para identificar sustancias cristal izadas,median
te el método del contraste de ángulos: Los de un cristal
problema con los de cristales conocidos.Igualmente,se de
duce deformaciones (cristales imperfectos).
La ley permitió descubrir que los cristales es
tarían formados por un solo tipo de unidad estructural, -
dispuesta una sobre otra y lado a lado,en una distribu--
cion regular.En efecto,los ángulos entre las caras de
cristales,de muy diferentes sustancias,siempre se ajustan
a una apropiada unidad estructural,establecida por un ato
mo.una molécula o un grupo de algunos pocos átomos o mol£
culas.
En resumen,los principales corolarios de la ley
de la constancia de los ángulos diedros se enuncian como
sigue:
1- La ley da a la cristalografía un carácter cuanti
tativo,
2- se obtiene un método,ciertamente rudimentario, de
diagnosis de sustancias,y
3- proporciona la herramienta para una primitiva
cristalografía estructural.
7A
DIAGNOSIS DE MAGRO CRISTALES SEGÚN LA LEY DE LA CONSTAN
CIA DE LOS ÁNGULOS DIEDROS
ESQUEMA
Consideraciones previas.
Construcción de goniómetros de contacto.
Tabla de diagnosis.
CONSIDERACIONES PREVIAS
Esta diagnosis esta prácticamente muy limitada,
principalmente por dos causas:
1- Por lo incompleta de la tabla de diagnosis,que se
da a continuación,y 2- por la necesidad de que los minerales a determi--
nar sean macro cristrales.
Con todo.estos intentos de identificar rainera^-
les tienen interés didáctico.si se emplean ejemplares ido
neos,a priori seleccionados.Para ello.resulta imprescindi
ble la previa construcción de un goniómetro de contacto o
tener la posibilidad de utilizar un goniómetro de refle
xión. En el primer caso.las determinaciones tendrian un -
cierto grado de incertidumbre.
CONSTRUCCIÓN DE GONIÓMETROS DE CONTACTO
Consideraremos dos tipos de goniómetros de con-
tacto: a) de medición directa y
b) de medición indirecta.
GONIÓMETRO DE CONTACTO DE MEDICIÓN DIRECTA:
Material:
- un semi-circulo graduado.de unos 15 cm. de diámetro y -
con una base sin salientes,
75
- una regla de unos 13 cm.de longitud,
- un tornillo,
- una tuerca y
- dos arandelas de goma.
Construcción:
Se atornilla el semi-circulo y la regla,corao indica la fi.
gura 16,siguiendo la siguiente disposición:
tornillo + arandela • regla + semi-circulo + arande
la + tuerca.
Medición:
1- Se ajusta la base del semi-circulo y la regla a -
un par de caras del cristal.
2- El ángulo que forman esas dos caras se lee direc
tamente sobre el semi-circulo.
GONIÓMETRO DE CONTACTO DE MEDICIÓN INDIRECTA:
Material:
- dos reglas de unos 20 cm.de longitud,
- un tornillo,
- una tuerca y
- dos arandelas de goma.
Construcción:
Se atornillan las dos reglas por los extremos, siguiendo
la siguiente disposición:
tornillo • arandela 4 las dos reglas + arandela + -
• tuerca. Se obtiene un instrumento tal como se indica en
la figura 17.
Medición:
1- Ajustar las reglas articuladas a un par de caras
del cristal.
2- llevar el ángulo definido por las dos reglas so--
bre una hoja de papel y dibujarlo. Y
3- medir el ángulo dibujado con un semi-circulo gra
duado.
7b
figura 16
goniómetro de contacto de medición directa
77
figura 17
goniómetro de contacto de medición indirecta
78
TABLA DE DIAGNOSIS
ÁNGULOS DIEDROS MAS FRECUENTES DE CRISTALES NATURALES
ángulo
diedrico
8246'
1251'
16553'
18«26
20913'
20557'
21830'
23554'
24956'
2556'
25931'
25953'
2694'
26941'
26544'
26954'
27920'
27958'
28511•
28558'
29948'
30524'
31919'
otros ángulos
5896"
85946'
66552'
50940"
47941 '
32956'
31943'
5694'
79937'
47933'
37914'
3797'
4399'
4596'
63918'
120927
27958'
64917'
54921'
45957'
6691'
81955'
3758'
31936
45912
4395'
5691'
57910
92950
53945'
46916'
37958'
45925'
65934'
56940'
4795I'
46930'
57936'
65924'
56939'
4795'
43545'
90915'
48924'
71933'
38513'
74938'
57913'
5398'
46525'
61513'
49945'
4355O'
4858'
75911'
68957'
'• 69949' 33954'
81955'
45912'
44936'
' 46952
42936'
' 4090'
66914' 1
• 33B20
5158'
44942'
• 33949
• 74910
' 4090'
, 72812'
' IO995O"
' 7750'
26941'
50932'
' 135925'
59947'
54936'
' 5994* f
mineral
aragonito
cuarzo
marcasita
rutilo
zircon
casiterita
hematites
(oligisto)
manganita
rejalgar
bournonita
ambligonita
antlerita
calcantita
wolframita
estibina
calcopirita
turmalina
wolframita
idocrasa
axinita
crisoberilo
brauntta
diopsido
hedenbergtta
augita
colum
na
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
79
31936'
3ie37'
31243'
31844'
32843'
32552*
32856'
33810'
33820'
33849'
33854'
34831 '
34241'
34842'
34954'
358358
28911 '
50932'
80956'
31244'
47951'
56940'
74929'
34941'
48848'
76938'
56940'
47951'
67854'
135825
5994'
31919'
2684"
58922'
55935'
31937"
59911'
71C14"
6398'
' 3798'
' 34941
74929
20913
8398'
31937'
55935'
75828'
5398'
20913'
67914'
' 55835'
' 32856'
' 80956'
' 39854'
31843*
1009 12184'
1' 2895E ['45912"
92950'74910'
97810'
120927*
54916'
31944'
80956'
58945"
44838"
69949"
74929'
5486*
74857'
idocrasa
horbblenda
zircon
hornblenda
xenotina
brocantíta
zircon
arsenopirita
(mispiquel)
axinita
diopsido
hedembergita
augita
calcantita
cerusita
hornblenda
witherita
estroncionita
calcita
24
2b
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
114910* 63944"
36939" 62818" 66852" 53813'
45811* 73834*
azufre 40
3794'
3798*
37914'
37914*
37948'
37949'
37258'
69918'
66814'
28811'
53810"
56839"
4785*
76818*
60856"
1291"
38913"
' 41925"
50932' 1
66942'
43850"
24856"
56848"
73825"
85846"
66952"
71947*
31836*
63841*
7397*
39822*
43912*
46912*
cinabrio
idocrasa
atacamita
rejalgar
anglesita
bórax
cuarzo
41
42
43
44
45
46
47
80
38^13'
38833'
38«31"
39518'
39922'
39824'
39854"
39256'
4080'
4088'
41822'
41825'
4ieA0'
42836"
42846'
4395'
4386'
4389'
43812'
43826'
43830'
43841'
43845'
43845'
43849'
43850'
44836"
44837"
44838'
66852"
85846"
61829"
52e¿,2'
53938"
37948'
5294" ;
32952"
89933"
26841"
72818"
102854
87835'
69918'
67819"
27820"
7790'
72812"
5198"
72933'
43845"
37849"
62810"
62922'
7394"
62822
62910
4888"
6896'
5385"
56839
24856
54821
73852
74857
37858' 1291'
46916'
5795A'
78920' 64918'
94915' 46943'
76918' 56948'
75858' 64822'
76838' 75928'
69918' 73827"
27858' 81855"
5084" 93854'
• 99eA'
49938' 47910'
3794" 71947"
63840" 6681"
45057' 46952'
6691"
59B47" 29948"
4888" 2586'
60856" 73925'
69912' 43841'
63956'
' 63956' 43926'
' 69912"
2596" 4399'
50820" 70821'
49810" 59857'
• 7387" 4785*
• 37815"
• 26954" 109850'
• 53955" 69853'
• 114910" 63844'
cuarzo
ilmenita
baritina
(barita)
monacita
anglesita
celestina
brocantita
oropimente
wolframita
olivino
azurita
cinabrio
heulandita
turmalina
smithsonito
crisoberilo
magnetita
(giobertita)
bournonita
bórax
topacio
rodocrosita
topacio
bournonita
columbita
(tantalita)
enargita
rejalgar
calcopirita
colemanita
calcita
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
3 5 9 3 5 ' 6 3 9 8 "
81
44?5r
¿•596'
45911'
45912'
45=12'
45925'
45957'
46916'
4Ó925'
46930'
46943'
46952'
4795"
47910'
47917'
47922'
47923'
47941'
47951'
4898'
48924'
48948'
49910'
4993O'
49934*
49938'
49941"
49945'
89942'
5Ü96'
54936'
90915'
62918'
36939'
33920'
72912'
74938'
46952'
42936'
38913'
1291'
20957'
46925'
39918'
779 66
56939'
24956'
41922'
58945'
56956'
69924'
65934'
20913'
8398'
2596'
69957'
32943'
59957'
71974'
53948'
47910'
55946'
23954-
' 61916'
8097'
' 30924"
75911'
66952'
73934'
135925
26944'
16953'
779 66
27920'
66952'
85946'
569¿.'
20957'
53938'
,91" 429
43950'
37914'
87935'
49934'
49945'
57913'
32«56'
31943'
58«46'
5691'
25931'
53913'
.' 28958'
64917'
50940'
91'
37958'
46930'
5694'
94915'
36'
7397'
49938'
53948'
23954'
18926'
56940'
4399' 43945'
25953'
43949'
47917'
41922"
47933'
63918'
5395"
58945*
87935'
65924'
sanidina
ortociasa
(ortosa)
braunita
ambligonita
azufre
axinita
estibina
marcasita
turmalina
cuarzo
casiterita
casiterita
monacita
turmalina
rejalgar
azurita
goethita
(limonita)
pirolusita
manganita
rutilo
zircon
bounonita
antlerita
xenotima
anargita
scheelita
goethita
(limonita)
azurita
apatito
manganita
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
82
5084'
50S6'
50520'
50»26'
50832'
508^0'
5188'
51852'
528A'
52842'
5385'
53810'
53818'
53838'
53845'
53848'
53855'
53859'
5486'
54815'
54816*
54821'
54829'
54836'
54Bi,l •
558ir
55911'
55817'
55818'
93854' 102854'
4088' 72818'
9984'
8087' 44851' 59842'
61816'
70821'
55817'
31936'
66814'
45825'
49847'
55811'
58935'
75858'
78920'
49810'
66842'
62818'
36939'
94815'
71873'
47817"
69953'
54941•
34954"
55918'
34931"
26854'
659
30924'
60915
64936
75910
87854
50926
55911
58846'
43845'
28811'
74838'
29948*
64936'
75810'
64822'
64918'
59957'
63941'
66952'
73834'
46943'
8946'
58945"
44937'
60915'
71914'
55911"
58922*
44936'
' 5691'
' 53859
• 63932
' 51'52
• 54915
•
' 87854
6896'
3788'
16953'
4385'
63832'
39924'
3885'
43849'
37914'
45811'
39818'
5886'
49934'
73952'
58945'
87954'
109950'
44952" t
' 58935' t
' 55818'
' 54815'
divino
sanidina
ortoclasa
(ortosa)
columbita
tantalita
estaurolita
idocrasa
marcasita
crisoberilo
clinozoisita
epidota
celestina
baritina
(barita)
enargita
atacamita
azufre
monacita
aragonito
goethita
(limonita)
colemanita
vianita
estroncianita
criolita
cerusita
calcopirita
diaspora
braunita
vivianita
clinozoisita
epidota
criolita
estaurolita
criolota
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
83
35?35'
53537'
55846'
5681'
5654'
56839'
56840'
56848'
56956'
57913'
57835'
57936'
57836'
57954'
5896'
58922'
58835'
58845'
58945'
58946'
5994'
59911'
59945'
59947'
59957'
31844
8Ü?56
71850
49941
44852
46930
43950
24956
8398'
20913
39922
47922'
18926'
72923'
61913'
65950'
38933'
53945'
54816'
75810'
64936'
49934'
5496'
5096'
89942*
92950'
97910'
34942'
63907'
29948'
43949'
74929
34541
69916
54836
46925
7397'
37814
31943"
32956
37948
47941
61911
21930
61929
71973
34931
51952'
63932'
53948'
34954'
31937'
66910'
5691'
20957"
4795'
47851
76918'
65934'
79937'
79937"
8946"
55911'
47917
71914'
8097' 44951'
61916'
74910'
34949'
63918"
4395'
5395"
31919'
60930'
5198"
49910'
exclusivamente ángulos diedros de 609
hornblenda
yeso
apatito
braunita
casiterita
rejalgar
zircon
anglesita
pirolusita
rutilo
corindón
hematites
(oligisto)
wolfenita
ilmenita
aragonito
cerusita
clinozoisita
epidota
goethita
(ilmenita)
estroncianita
sanidina
ortoclasa
(ortosa)
diopsido
hedembergita
augita
witherita
calcosina
crisoberilo
enargita
grosularia
andrádita
uvarovita
almandino
13b
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
16C
84
60513'
60530'
60959'
61511 '
61513'
61916'
61529'
62510'
62918'
62922"
6397'
6398'
63518'
63918'
63932'
63940'
639A1'
63944'
63956'
64917
64918'
64922'
64936'
659
65924'
65934'
65950'
53959'
59945'
73525'
79537'
21930'
58946'
44951'
57954'
69912'
63956'
66952'
36939'
63956'
69912"
59945"
44938'
63944"
48924"
59945"
58935"
64936"
6691"
37914"
35935"
74957'
A3926'
43941'
45912"
38951'
39924"
63932"
51952"
54929"
49945"
57913"
57936"
54541 '
63907'
43912'
57935'
79537'
5096'
59942'
38533'
43541'
43926'
53913'
73934"
43926"
43541'
63918'
74957'
35935'
68957'
6397'
75910'
55911"
41940'
53910"
6398"
114e4¿
62910'
62922"
72912"
52942"
5294*
58935*
53911"
23954"
18926'
63°18'
37549'
72923'
57636'
8097'
62922'
45911'
62910"
60930"
114910"
25953'
60930'
51952'
67919'
66942*
44638' 1
69912*
26944'
78920'
75958'
75910'
47633'
47941"
vivianita
calcocina
bórax
corindón
hematites
(oligisto)
sanidina
ortoclasa
(ortosa)
ilmenita
topacio
azufre
topacio
calcocina
calcita
antlerita
calcocina
clinozoisita
epidota
heulandita
atacamita
calcita
topacio
estibina
baritina
(barita)
celestina
elinozoisita
epidota
diaspora
manganita
rutilo
wulfenita
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
85
67ei •
66?1 '
66C10'
66214'
66242'
66552'
66252'
67S19'
67254'
41240'
42236'
46252'
55237'
5Ü232'
3728'
63241'
37258'
46216'
62218'
36239'
63240'
67219'
4722O'
77'
71250'
31236'
37214'
1221'
38213'
53213
' 73234
' 66201
1002 12124' :
63240
45257'
69216'
26211'
53910'
85246' 1
' 452II'
• 41240'
33210'
heulandita
turtnal ina
yeso
idocrasa
atacamita
cuarzo
azufre
heulandita
arsenopirita
188
189
190
191
192
193
194
195
196
6826' 50220' 70221' 43245' 197
68257'
69212'
69216'
66218'
69218'
69249'
69253'
70221'
25253' 63218' 48224'
43241' 62222' 63256'
43826" 62210'
66210' 55237' 71250'
3724' 41225' 71247'
73227' 39256' 89233'
33254' 2624' 120227'
44237'73252' 53255'
43845' 6826' 50220'
exclusivamente ángulos diedros
de 7023r43' '
71214' 58845' 5486' 34854'
71?33' 8846* 5886' 53845'
antlerita
topacio
yeso
cinabrio
oropimente
calcantita
coletnanita
columbita
tantalita
espinela
argentita
cromita
pirita
franklinita
magnetita
skutterudita
cristobalita
diamante
pirocloro
microlita
estroncianita
aragonito
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
86
71B44'
71247'
71950'
72512'
72912'
72918'
72923'
72933'
739
7394'
7397'
73916'
73925"
7392T
73934'
73952'
74910'
79929'
74938'
74957'
75910'
75911'
75916'
75928'
75958'
76918'
76938'
779
77938"
7893'
49930'
69918'
69916'
26944'
42946'
5094' <
9994' i
61911"
4396'
7893"
43930'
56939'
75916'
43912"
39956"
62918'
45911"
53955"
31919"
5994"
31937"
55935"
16953"
3794' 41925'
66910'
64917'
Í3954' :
^098'
79937'
4395O'
37949'
89933"
66952'
36939'
69953'
97910'
92950'
80956'
31944"
50940"
114910"63944"
6398"
51952'
58925'
25931'
73916'
39954'
64922
56948
75928
6691"
45957
89922
739
48936'
55911"
63932
' 4596" \
' 32952'
' 39944
' 39922
" 39954
42936'
' 46952 1
55937'
45912'
102954'
57935"
4795'
60956'
69918'
53913'
44937"
33949"
34941'
45920'
35935"
64936"
90915'
' 76938'
' 5294"
' 37948
' 32952'
27920"
scheelita
cinabr io
yeso
estibtna
smithsonita
olivino
corindón
magnesita
(giobertita)
siderita
rodocrosita
rejalgar
dolomita
bórax
oropimente
azufre
colemanita
diopsido
hedembergita
augita
hornblenda
marcasita
calcita
clinozoisita
epidota
ambligonita
dolomita
broncantita
celestina
anglesita
broncantita
turmalina
epsomita
siderita
20^
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
338
78520'
79^37'
79237'
8057'
80556"
81855'
8388'
85846'
57835'
8785A'
89822'
89833'
89842'
64818'
57835*
57836'
44851 '
58846*
34841*
74829*
408 26
31843'
32856*
46816*
37858'
49838*
54815'
77838*
69818'
61816*
8087*
38951'
72823'
61913'
89842'
5096'
55835*
31837'
52842'
61911'
21830'
61816'
31844'
841* 27848'
47851'
56840'
38813*
1281'
47810*
55818*
73827*
58846*
44851'
exclusivamente ángulos de
90815'
92850*
93854'
75811*
74810*
33849*
102854
72818*
25831*
31819*
5984*
• 9984*
5084*
20813'
66852'
41822*
55811*
39956*
5086*
908
4586*
97810'
4088*
baritina
(barita)
corindón
hematites
(oligisto)
sanidina
ortoclasa
(ortosa)
hornblenda
volframita
zircon
cuarzo
azurita
criolita
epsomita
oropimente
sanidina
ortoclasa
(ortosa)
esperrilita
silvina
balita
fluorita
cuprita
argentita
galena
pirita
cobaltina
skutterudita
uraninita
ambligonita
diopsido
hedenbergita
augita
olivino
87
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
2 54
255
monacita
d iops ido
hedembergita
augita
olivino
arsenoptrita
(mispiquel)
olivino
calcopirita
calcita
calcantita
arsenopirita
(mispiquel)
axinita
2bb
257
258
259
260
261
262
263
264
265
88
9A9lí> ¿.6543' 39518* 53538'
97510' 33549' 5954' 92^50'
74510' 31519'
9984' 4058' 72518' 5054'
93554' 102554'
1005 12154' 33510' 67554'
102554' 9954' 4058' 72518'
5054' 93854'
IO955O' 54521' 26554' 44536'
114510' 63544' 35935' 6358'
44538' 74557'
120527' 69549' 33554' 2654'
12184' 33510' 67854' 1005
135525' 28558" 45812* 33820'
ESTA TABLA HA SIDO ELABORADA CONSIDERANDO 94 FASES MINERA
LÓGICAS,A SABER:
almandino braunita
ambligonita broncantita
anglesita calcantita
andrádita calcita
antlerita calcopirita
apatito calcosina
argentita casiterita
aragonito celestina
arsenopirita (mispiquel) cerusita
atacamita cinabrio
augita clinozoisita
axinita cobaltina
azufre colemanita
azurita columbita
barita (baritina) corindón
baritina (barita) criolita
bórax crisoberilo
bourmonita cristobalita
89
cromita
cuarzo
cuprita
diamante
diaspora
diopsido
dolomita
enargita
epidota
epsomita
esperrilita
espinela
estaurolita
estibina
estroncianita
fluorita
franklinita
galena
giobertita (magnetita)
goethita (limonita)
grosularia
balita
hederabergita
hematites (oligisto)
hornblenda
heulandita
idocrasa
ilmenita
limonita (goethita)
magnetita (giobertita)
manganita
marcasita
microlita
mispiquel (arsenopirita)
monacita
oligisto (hematites)
olivino
oropimente
ortoclasa (ortosa)
ortosa (ortoclasa)
petchblenda (uraninita)
pirita
pirocloro
pirolusita
rejalgar
rodocrosita
rutilo
sanidina
schelita
siderita
skutterudita
silvina
smithsonita
tantalita
topacio
turmalina
uraninita (petchblenda)
uvarovita
vivianita
witerita
wolframita
wulfenita
xenotina
yeso
zircon
90
LA PROYECCIÓN ESTEREOGRÁFICA
ESQUEMA
Concepto. Mecánica de la proyección estereográfica de las caras de
un cristal.
Proyección de los elementos de simetria.
El dominio fundamental.
Propiedades de la proyección esterepgrafica. ^^^•uormr los solidos cristalografi Normas practicas para proyectar IUB O^ e, _
eos. Ejemplos de proyecciones estereográficas.
Aplicaciones practicas.
La falsilla de Wulff.
CONCEPTO
Se trata de una proyección peculiar,que simpli-
.. ofipía todo lo que interesa de fica la representación y retieja LUUU VÍ 1 .j „ i„„ relaciones angulares entre caras, un cristal .incluidas las reiaciu"«= e
4»r>oe Pístereograficas pueden ser: Las proyecciones esueicw© r
- indirectas o
- directas. ^^ínn PBtereografica indirecta se su En la proyección esi-ci ^ e _
1 4 • 1 „„ oí rentro de una esfera,de radio arbi-pone el cristal en el centiu A A^ c\ rentro de ella las normales a -trario.Se trazan desde ei ceni-i" , „-„ hasta Que encuentren a la super-
las caras y se prolongan,nasua s^
ficie esférica en unos puntos denominados "polos esféri
cos".Cada cara del cristal tiene,por lo tanto,su polo.y -
la posición de este define por completo la dirección de -
la cara en el espacio.El conjunto de caras se sustituye -
asi por un conjunto de polos.y el problema se reduce e n
tonces a representarlos en el plano de dibujo.Para ello -
se elige como plano o circulo de proyección el plano hori
zontal del ecuador y como punto de vista un extremo del -
diámetro vertical N-S (el S para los polos del hemisferio
a
91
superio.y el N para los del inferior). En definitiva, la
proyección estereográfica indirecta consta de dos fases:-
ia primera,que realmente es una proyección esf erica ,seguj.
da de una segunda,que se la podria considerar como la pro
yeccion estereográfica en sentido estricto.
La proyección estereográfica directa.empleada -
para proyectar en general una superficie.consiste: 1- En hacer pasar la superficie por el centro de 1
esfera ,y 2- proyectar a continuación la circunsferencia de in
terseccion.
En estas proyecciones,se toma el polo S como --
punto de vista para la semicircunsferencia del hemisferio
superior.y el polo N para la semicircunsferencia del he--
misferio inferior. Normalmente se utilizan proyecciones mixtas:
a) proyecciones indirectas para las caras -
de un cristal y b) proyecciones directas para los elementos
simétricos.
La proyección indirecta de las caras de un cri£
tal revelan con suma claridad las relaciones simétricas -
existentes entre ellas.o los distintos conjuntos de caras
entre si simétricas.mediante los elementos simétricos pro
yectados directamente.Si los elementos simétricos son pro
yectados también indirectamente.estas relaciones simétri
cas entre las caras aparecen algo mas difusas.
MECÁNICA DE LA PROYECCIÓN ESTEREOGRÁFICA DE LAS CARAS DE
UN CRISTAL
1- Imaginemos un cristal en el interior de una esfe
ra de radio unidad.
2- El centro del cristal (el centro de simetria o,en
caso de no existir,el punto de convergencia de la asocia
ción de elementos de simetria) se le hace coincidir con -
el centro de la esfera.
3- Trasladamos las caras del cristal paralelamente.-
hasta hacerlas tangentes a la superficie esférica.Asi se
92
obtiene unos puntos de tangencia,que se les denomina po--
los de las caras.Estos polos tendrán las notaciones de
las caras correspondientes (por ejemplo.notación de Mi--
11er).Los polos esféricos también se habrian obtenido tr^
zando normales a las caras desde el centro de la esfera,-
hasta que corte a esta.En resumen,se ha conseguido una re
presentación polar: conjunto de polos esféricos que tradu
cen la totalidad de las caras de un cristal.
A- Consideramos el plan ecuatorial de la esfera como
el circulo de proyección.
5- En el circulo de proyección representamos los po
los esféricos,con lo que se obtienen los polos planos. Se
conservan las notaciones.
6- Para hallar los polos planos a partir de los po
los esféricos del hemisferio N,trazamos visuales desde es
tos al polo S,tomado como punto de vista.Las interseccio
nes de estas visuales,señalizadas con x.con el circulo de
proyección son los polos planos en cuestión.
7- Para hallar los polos planos a partir de los po--
los esféricos del hemisferio S,trazamos visuales desde es
tos al polo N,tomado ahora como punto de vista.Las inter
secciones de estas visuales,señal izadas con circuios, con
el plano de proyección son los nuevos polos planos.
8- Frecuentemente es suficiente considerar solo como
punto de vista el polo S.
9- Puede ocurrir que se superpongan dos polos planos:
uno correspondiente a un polo esférico del hemisferio su
perior y otro correspondiente al polo esférico del hemis
ferio inferior. Y
lü- Aunque normalmente se representan solo caras,por
mecanismos anologos se proyectarian los vértices y/o aris
tas de un cristal .
PROYECCIÓN DE LOS ELEMENTOS DE SIMETRÍA
1- Un centro de simetria esta representado por un -
punto.que coincide con el del centro del circulo fundamen
tal o de proyección. 2- Un eje de simetria vertical esta asimismo repre--
93
sentado por un punto,que tiene la misma situación que el
anterior.
3- Los ejes perpendiculares al vertical están repre
sentados por rectas.coincidentes con diámetros del circu
lo de proyección.Se simbolizan por lineas a trazos.
4- Los planos de simetria principal se representan: a) por la circunsferencia que delimita al -
circulo de proyección,
b) por el diámetro antero-posterior del ci£
culo de proyección,y/o
c) por el diámetro transversal del circulo
de proyección.
5- Los planos secundarios describen circuios máximos.
Con estos ocurrirán dos circunstancias:
a) Que pasen por los puntos de vista.En es
te caso,la proyección estereográfica coincide con diame--
tros del circulo fundamental. O
b) que no pasen por los puntos de vista. La
proyección estereográfica seria arcos.Cada arco oortaria
a la circunsferencia del circulo de proyección en dos pun
tos diametrales.
Los planos de simetria están simbolizados por lineas con
tinuas. Para demostrar estas proyecciones,apliqúese la
mecánica de la proyección estereográfica directa a los e-
lementos de simetria.
En el sistema cubico,algunos de los ejes bina--
rios,los comprendidos en los planos que representan circu
los máximos,sin pasar por los puntos de vista,y los terna
rios,vienen representados por puntos,que son las intersec
clones con el circulo de proyección de las visuales que -
van desde las intersecciones de esos ejes con la esfera -
al punto de vista. EL DOMINIO FUNDAMENTAL
Se llama dominio fundamental a la minima por--
cion del circulo de proyección,en donde esta representado
el menor numero de caras,normalmente del hemisferio supe-
9A
rior.que engendraran la totalidad de las caras del cris--
tal.al aplicar las operaciones de los elementos de sime--
tr ia. El dominio fundamental es especifico para cada
sistema.
PROPIEDADES DE LA PROYECCIÓN ESTEREOGRÁFICA
Las propiedades mas importantes de la .proyec
ción estereográfica se formulan como sigue: 1- Todas las caras del cristal vienen representados
por puntos.
2- Los puntos de proyección de todos los polos, c o
rrespondientes a caras que pertenecen a una zona.estan si
tuados en un circulo máximo. 3- En el triangulo esférico.determinado por los po--
, j „ fr^rman un triedro,los lados miden -los de tres caras que forman un i.i.i.^ . . , j. j ^o lac raras.Al proyectarse los circu los ángulos diedros de las cara»."^ f J _ 1 .. • „^^o 1 aHn<5 se proyectan los ángulos los que contienen estos laaos.&c y^- } o ,. , , , „„ ^iipcjtion.Debe recordarse que en -diedros de las caras en cuestii»"-^«^ T
1 r- 1 „ ...,o,iinc diedros están formados por las cristalografía,los ángulos aieuiwo normales a las caras.
A- La proyección de una circunsferencia determina -otra circunsferencia. V
5- el ángulo de dos curvas se proyecta en su verdade
ro valor.
NORMAS PRACTICAS PARA PROYECTAR LOS SOLIDOS CRISTALOGRAFI-
eos 1- Hallamos los ejes,planos y el centro de simetria
del solido.Con el lo.identificamos la clase y el sistema -
al que pertenece.
2- Representamos en el circulo fundamental los pla
nos,ejes.el centro de simetria y los ejes cristalografi-
eos. 3- Orientamos el cristal.
U- Las caras (hkl).(001).(OkO).(hOO),(hkO),(hOl) y -
(hkl) se representan en el dominio fundamental.según las
9b
consideraciones siguientes:
a) La cara (hkl) se sitúa en el interior --
del circulo.entre los ejes a y b.Cuando mas inclinada sea
la cara.cnas se acerca a la periferia del circulo. b) La cara horinzotal (001) se encuentra re
oresentada en el centro del circulo.
O Las caras verticales (OkO).(hOO) y (hkO)
se encuentran representadas tangencialmente al circulo.
d) La cara (hOl) se sitúa en el interior -
del circulo.sobre la proyección del eje a. e) La cara (Okl) se sitúa en el interior -
del circulo.sobre la proyección del eje b. t^ ^o= «n el hemisferio superior tie
5- Las caras situadas en ei n _ .4i-iiadaB cH el hemisferio in-nen por simbolo una x y las situadas en
ferio un circulo.Y i^o slpmentos de simetria.
6- Hacemos operar a los eiemeni-u
figura 18
Propiedades de la proyección estéreo
gráfica
(1) ángulo entre las caras A y C
SISTEMA TRICLINICO
96
figura 19
a )l b 1* c
'*- f ^f \ clase holoedrica: c
caras de partida
1 (001)
2 (hOO) - - -
3 (OkO) - - -
i* (Okl) - - -
5 (hkO) - - -
6 (hOl)
7 (hkl) - - -
figuras geométricas obtenidas
_ . . - pinacoide
. . . - pinacoide
. . . - pinacoide
. . . . pinacoide
. . . . pinacoide
. . . - pinacoide
_ . - - pinacoide
97
EJEMPLOS DE PROYECCIONES ESTEREOGRÁFICAS
SISTEMA MONOCLINICO
X ' ' '••
4í-\
V >—-T
figura 20
a ,í b )t c ^ - - 90« .. ís > 90e
clase holoedrica: E + p + c ^.j„ figuras geométricas obtenidas
caras de partiua °
1 (001) pinacoide
2 (hOO) pinacoide
3 (OkO) pinacoide
4 (Okl) P""""
5 (hkO) P^^*"^
6 (hOl) pinacoide
7 (hkl) - - P' ^ ™
98
SISTEMA RÓMBICO
2 figura 21
a it b >t c
clase holoedrica : 3E + 3p + c
, ^., fieuras Reometricas obtenidas caras de partida iiguiaos
,,,,,, _ _ . - - bipiramide rómbica
1 (hkl ) - - - - - - "
2 (001) pinacoide
3 (hOO) pinacoide
4 (OkO) pinacoide
5 (okl) P' ""*
6 (hkO) P^^«""*
7 (hOl) P '""
SISTEMAS TRIGONAL Y EXAGONAL
99
figura 22
a = b = c
1208
a = b !t c
c - ft = 908 ,, = 1208 ^
clases holoedricas: E ^ 3E2 . 3p . c..E^ c . H . 6E . 6p
El ejemplo se hará con la holoedria del trigo--
nal.La circunsferencia que delimita el circulo de proyec
ción esta dibujada a trazos discontinuos,por no represen-
tar a un plano H ***** *****
*****
cara de partida f igu^« geométrica obtenida
1 (hkTl) - - - - - - - - escalenoedro ditrigonal
SISTEMA TETRAGONAL
100
E figura 23
a - b ít c
clase holoedrica: E ^ AE'+ 4p + H + C
figuras geométricas obtenidas caras de partida
bipiramide ditretagonal 1 (hkl)
SISTEMA REGULAR
101
E figura 24
a = b = c
^ = y . ^ = 90e
clase holoedrica: 3E^+AE + 6E^+ 6p +3H + c
cara de partida figura geométrica obtenida
1 (hkl) exasquisoctaedro
102
APLICACIONES PRACTICAS
Como ya sabemos.normalmente se representan las
caras y los elementos simétricos de un cristal y,mediante
cálculos cristalográficos,se resuelven,entre otros,probl^
mas de los siguientes estilos:
1- Cálculos de ángulos correspondientes a dos caras
consecutivas.
2- Cálculos de ángulos formados por dos superficies
en proyección estereográfica directa.
3- Identificaciones de las caras pertenecientes a -
unas mismas zonas.
A- Identificaciones de zonas a partir de pares de c£
ras dadas.
5- Identificaciones de polos de zonas,calculadas pre
viamente a partir de pares de caras. 6- Identificaciones de zonas correspondientes a unos
polos dados.
7- Identificaciones de los lugares geométricos de -
los polos de las caras que forman determinados ángulos -
con unas caras dadas.
8- deducciones de las situaciones de caras que estén
en zona con pares de caras conocidas,y a partir de los an
gules que formen entre si.
9- Identificaciones de los ángulos que forman pares
de zonas entre si.
10- Cálculos de las relaciones axicas de un cristal,
si se conocen los Índices y ángulos de determinadas caras
consecutivas.
11- Calculo de los Índices de pares de caras consecu
tivas,8i se conocen los ángulos que forman. Y
12- Deducciones de algunos ángulos axiales,a partir
de determinados ángulos de caras consecutivas.
LA FALSILLA DE WULFF
En los cálculos cristalográficos,se emplean me-
103
todos trigonométricos o gráficos.El primer método da unos
resultados mas exactos,pero exige mucha laboriosidad. Con
el segundo se obtiene unos resultados menos precisos.aun
que en general bastantes exactos.
El método del calculo gráfico lo elaboro G.VÍulff ,
el cual uso la red estereográfica inventada por el mismo.
Con ayuda de esta red,se realizan cómodamente los calcu--
los cristalográficos.
CONCEPTO DE RED ESTEREOGRÁFICA
Imaginemos una esfera en que,como en el globo -
geográfico,se hayan trazado merianos y paralelos.Si ahora
proyectamos estereográficamente esta esfera,como haciamos
con los cristales.pero tomando como circulo de proyección
un plano que contenga a los ejes N-S y E-W.se obtiene lo
que se ha llamado falsilla o plantilla de Wulff.Los pun--
tos de vista se sitúan por encima y por debajo de este --
circulo coplanario con los cuatro puntos cardinales,con--
cretamente.serian los polos esféricos del circulo de pro
yección.
La falsilla permite medir los ángulos entre pun
tos arbitrariamente elegidos en el interior del circulo -
de proyección.
DESCRIPCIÓN DE LA FALSILLA
Tiene un diámetro de 20 cms.Las divisiones se -
hacen de dos a dos grados.Para la comodidad de la lectura,
los paralelos y los meridianos que marcan las decenas de
grados se dibujan con lineas mas gruesas.
A menudo conviene utilizar la plantilla de Wulff
impresa en una cartulina fuerte.Las proyecciones y opera
ciones se realizan sobre una hoja de papel transparente,-
colocada sobre la plantilla,de modo que pueda girar en
torno a un alfiler clavado en su centro.
figura 25
Falsilla de Wulff
lOA
LAS ZONAS
ESQUEMA
Concepto de zona y de eje de zona.Observaciones generales.
Ley de las zonas.
Notaciones.
Calculo geométrico de los Índices de un eje de zona.
Calculo analitico de los Índices de un eje de zona.
Ecuación de las zonas.
Relaciones entre los simbolos de las caras y de las zonas.
Resumen parcial.
Ley de Miller o de la razón armónica de los senos.
Proyección estereográfica de un eje de zona,conocida dos
de sus caras.
Medida del ángulo formado por dos zonas.
Calculo estereográfico de una cara común a dos zonas.
La deducción.
CONCEPTO DE ZONA Y DE EJE DE ZONA.OBSERVACIONES GENERALES
El conjunto de caras,cuyas intersecciones dan -
lugar en un cristal a aristas paralelas,se denomina zona.
La dirección común a todas ellas,desplazada al origen,re
cibe el nombre de eje de zona,y realmente coincide con -
una fila reticular.Una zona queda definida por su eje.
En proyección estereográfica, los polos de to--
das las caras de una zona se ubican en un circulo máximo.
El polo de ese circulo traduce a la zona en cuestión.
Las zonas se clasifican:
- en primitivas o completas, y
- en secundarias o incompletas.
La zona se denomina primitiva cuando las caras
que la componen se intersectan mutuamente,formando aris--
tas reales en el cristal.
La zona se denomina secundaria cuando hay que -
prolongar sus caras para que se íntersecten,formando arís
105
tas que en el cristal no existen (aristas virtuales).pero
posibles,en el caso de haberse desarrollado las caras de
otra manera.
El plano perpendicular a un eje de zona se le
conoce como "plano de zona".
Una cara tautozonal es aquella que pertenece a
una misma zona.
La posición de una cara queda estereografica--
mente identificada si pertenece a dos zonas conocidas.
De lo anterior se puede formular que dos caras
no paralelas determinan una zona y que dos zonas determi
nan una cara posible.
LEY DE LAS ZONAS
Los cristales o poliedros cristalinos tienen to
das sus aristas,por muchas que sean,distribuidas en gru--
pos de aristas paralelas,lo cual equivale a decir que ti£
nen sus caras,reales o posibles,agrupadas en zonas.
NOTACIONES
Una zona esta definida por el eje de zona,y co
mo este pasa por el origen de coordenadas,para conocer la
dirección del mismo basta con saber las coordenadas de o-
tro de sus puntos.Este segundo punto queda situado median
te tres Índices,escritos entre corchetes.Se emplea un
cuarto índice solamente en los sitemas trigonal y exago--
nal.
Los Índices se simbolizan por las letras "u","v'
y "w",relacionados,respectivamente con los ejes cristalo
gráficos I,II y III.Asi,la notación generalizada de un
eje de zona sería /u,v,w/ .
Los índices de las aristas se diferencian de
los de las caras en que no son magnitudes inversas de los
parámetros numéricos,sino iguales a estos.
106
CALCULO GEOMÉTRICO DE LOS ÍNDICES DE UN EJE DE ZONA
Tanto en este apartado,como en el siguiente, se
hace uso de un sistema de coordenadas oblicuo (o,x,y,z).
En la figura 26 representamos la arista H,que -
culmina en el nudo M (el primero de su fila a partir del
origen de coordenadas).Para calcular la notación de la
misma,trazamos tres filas (MK,MF y MR) paralelas a los e-
jes cristalográficos.La posición del punto M.que define a
la arista,la determinamos mediante los números enteros,co
rrespondientes a las distancias nodales,en las filas tra
zadas.De esta manera,la arista OM toma la notación 1,2,3 .
Con un método análogo,se obtienen las notacio--
nes de los ejes cristalográficos:
eje I /lOO/
eje II /OlO/
eje III - /OOl /
CALCULO ANALÍTICO DE LOS ÍNDICES DE UN EJE DE ZONA
Los Índices de la zona se calculan a partir de
dos caras cualesquiera de la misma,siempre que no sean pa
ralelas.El calculo consiste en determinar primero las e-
cuaciones parametricas de esas caras del cristal,desplaz£
das al origen,y luego hallar las condiciones,bajo las cu£
les las coordenadas de un punto satisfacen las ecuaciones
de ambas caras (lo cual solo ocurre en el supuesto de que
el punto corresponda a las dos caras,esto és.que este en
la arista común). La ecuación parametrica de una cara viene dada
por la expresión:
X/OH + Y/OK + Z/OL - n
en donde:
X,Y y Z son las coordenadas de un punto del plano, y
OH,OK y OL representan a los segmentos definidos por
una cara sobre los ejes de coordenadas I,II y III respec-
107
figura 26
índices de un eje de zona
108
tivamente.
"n" define la distancia del origen a la cara,según -
vector normal a la misma.
Por otra parte:
OH = m.a
OK = n.b
OL = p.c
siendo: a,b y c los segmentos unidad de los ejes I,II y III
respectivamente ,y
m,n y p (Índices de Waiss) = los números de veces -
que están repetidos los segmentos unitarios en los ejes I,
II y III respectivamente.
De acuerdo con lo anterior,la nueva expresión -
de la ecuación parametrica sera:
X/m.a + Y/n.b + Z/p.c = n
Pero si la cara esta desplazada al origen de coordenadas,
se establece que:
X/m.a + Y/n.b + Z/p.c = O
Ademas,si se consideran las igualdades:
h = 1/m
k = 1/n
1 = 1/p
se donde:
m = 1/h
n = 1/k
P = 1/1 la ecuación parametrica toma esta otra expresión:
X/la/h + Y/lb/k + Z/lc/1 « O
que implica que:
X.h/a + Y.k/b +Z.l/c - O
Pero como hemos dicho que a,b y c son segmentos unitarios
en los ejes I.II y I H respectivamente,es decir,que:
a - 1
b - 1
c - 1
la ecuación se convierte en:
X.h + Y.k + Z.l - O
Sean dos caras no paralelas:
109
A = (hjk^lj) ,, B = (h2k2l2)
Sus respectivas ecuaciones parametricas serian:
X^hj + Yjkj + Zjlj = O (1)
£ 2 * 2* 2 ^ ^2^2 " ° ^ ^
Si en esas dos ecuaciones consideramos un punto común a -
los dos planos,en la arista de intersección,se cumple que:
Yj = Y2 = Y
Zj = Z2 = Z
con lo que las ecuaciones (1) y (2) se expresarian de la
siguiente manera:
X.hj + Y.kj + Z.lj = O (3)
X.h2 + Y.k2 + Z.I2 = O (A)
Como el punto considerado esta en la arista in
tersección,que pasa por el origen de coordenadas (un eje
de zona), las coordenadas de ese punto se designan por u,
V y w,según las siguientes igualdades:
X - u
Y = V
Z = w
Y asi las ecuaciones ( 3) y (4) se transforman en:
u.hj + v.k, + w.l-, «= O
u.h2 + v.kj + w.lj = O
Resolvamos este sistema:
y vk, = -wl
uho + vko = -wl.
uh, + vk, = -wl.
uh2h, + vh2k2 = -wh2li
uh2h, + vh,k2 = -wh2li
-uh2h2 - vkih2 = wljh2
uh2h, + vhjk2 = -wh2l2
V (hjk2 - kjh2) = w (lih2 - hjl2)
lio
h^2 - 1 2 ,.) V = W T—-¡ i r — ^ J '
12 " 12
El sistema tiene infinitas soluciones,una para
cada valor de w.Para quitar el denominador en la ecuación
(5),demos a w el valor de (h|k2 - k2^h2):
(llh2 - hjl2)
1 2 1 2 (h , ^ . kjh2)
lo que implica que:
V = ljh2 - hil2
Si en el sistema (I) sustituimos v por su equi
valencia,obtenemos las siguientes ecuaciones:
uh,k2 + uk,k2 = "*'li' 2
uh2k, + uk2k, = -wl2k2
uh,k2 + uk,k2 = "*'ll'^2
-uh2k, - uk,k2 = wl2'^l
u(hjk2 - kjh2) = w (kjl2 " 11* 2
u = w ^1^2 " 1 2
Hagamos de nuevo que w tome el valor de (hik2 - kih2):
(k^l; - llk2>
1 2 1 2 (tijk2 - kih2)
lo que implica que:
u = kil2 - lik2
En resumen:
u - k j . l 2 - 11-^2
V » l j . h 2 - h j . l 2
W = h 2 . k 2 - k j . h 2
Estas deducciones serán nuevamente consideradas
111
en el apartado de las relaciones entre los simbolos de
las caras y de las aristas.
Si en el sistema de ecuaciones de partida (I),-
desconocemos los Índices h,k y l,y en cambio se conocen -
los valores de u,v y w,por un procedimiento análogo al --
descrito,identificaremos las nuevas incógnitas.
ECUACIONES DE LAS ZONAS
Se entiende por "ecuaciones de las zonas" a la
igualdad que relaciona los Índices de una cara (hkl) y
los de su zona / uvw / :
h.u + k.v + l.w = O (6)
La ecuación permite deducir si una cara perten£
ce a una determinada zona.Ejemplo: averigüemos si la cara
(121) pertenece a la zona I 2\UI : h.u + k.v + l.w = O
1.2 + 2.1 + 1.5 = 2 + 2 - A " O
La cara pertenece a la zona,dado que los índices satisfa
cen a la ecuación.
RELACIONES ENTRE LOS SÍMBOLOS DE LAS CARAS Y DE LAS ARIS
TAS
La formula h.u + k.v + l.w = O expresa la rel¿
cion entre los índices de las caras y de las aristas de
finidas por ellas,y permite resolver problemas que . fre
cuentemente se platean en cristalografía.Los problemas co
rresponderian a los siguientes estilos:
I-Hallar los rasgos característicos de los índices -
de las caras de una zona determinada.
Sea el caso concreto de la zona /lll / .Sustitu
yendo u,v y w en la ecuación (6) obtenemos:
h.l + k.l + 1.1 = O
lo que implica que:
h + k •»• 1 = O
luego todas las caras cuya suma de índices sea igual a -
cero,pertenecerá a la zona / 111 / .
Para la zona /001/ tenemos;
112
h.O + k.O + 1.1 = O 1 • 1 _ n Fcro síEnifica que todas las -
lo que implica que 1 = u .esto bi^uiüi-ci M .- >„»^ •ir,riir-p sea igual a O,pertenecen a la zo caras,cuyo tercer índice bcd x^uoi ,r _ na / 001/ .
2- Hallar los Índices de una arista de intersección.
dadas las notaciones de dos caras.
Sean las caras (h^^^^l^) V ^^^^2^^ ^"^ ^^f^"^"
a la arista /uvw/ .Como la arista pertenece a dos las dos
caras,se puede escribir las ecuaciones:
h , . u + k j .V + I j . w
h j . u + k j . v + l 2 '
O
.w = O
R e s o l v i e n d o e l s i s t e m a ob tenemos :
u = k, . 1.
V
w
, u_ -.-on-rosentan a los determinan-»* Los binomios de la derecha representan a
tes:
lj.h2
h-^2
hj.l2 k, .h2
I 1 1 ^
que resultan de la matriz:
'1 ^1 1;
'2 ^ 2 ^1
De forma practica.para calcular los Índices u.
V y w operaremos teniendo presente las siguientes reglas: a) escribir los Índices de las notaciones -
„„„ot.rutivas y en dos reglones,uno de cada cara dos veces consecutivao j c
por cara.en disposiciones ordenadas. b) separar las dos columnas extremas de las
demás, y c) multiplicar en cruz los Índices y restar
los productos.
u V w
. Al Ah A.
113
u = hj.l- - 11-^2
V = li-hj - h^.K
w = h,.kj - k|.h2
Evidentemente,estas reglas se aplican también -
para resolver el problema inverso: hallar las notaciones
de una cara a partir de las notaciones de dos aristas que
existan en ella.
Ejemplos:
a) dadas las caras (320) y (110),hallar la
notación de la arista de intersección.
Solución:
3 2 0 3 2 0
1 1 0 1 1 0
u = 2.0 - 1.0 = O
v - 0.1 - 0.3 = O
w = 3.1 - 2.1 = 1
La notación buscada sera /OOl/ .
b) dadas dos aristas /T20/ y /122/ , hallar
la notación de la cara en la que se encuentran.
Solución: 1 2
1 2
0
2
T 1
2
2
0
2
h = 2.2 - 0.2 = A
k = 0.1 - (-1.2) = 2
1 = -1.2 -1.2 = -4=5"
La notación de la cara sera (422f),equivalente a (2l7),de£
pues de haber dividido por dos.
3- Deducir los simbolos de todas las posibles caras
de los cristales,a partir de un pequeño numero de caras -
conocidas (desarrollo periódico del complejo de caras).
La metodologia recibe la denominación de "Ley -
de la complicación" y tiene la siguiente formulación:
"Si se suman ordenadamente los Índices de dos -
caras,los números resultantes representan a los Índices -
IK
de otra,que esta en zona con las primeras y situada entre
ellas.Los Índices de las caras de partida podrian estar -
multiplicados previamente por un numero entero".
En efecto: Sea dos caras, (hjljkj) y (h2l2k2).-
que pertenecen a una misma zona,a la /uvw/ .Necesariamen
te se cumple que: hj.u +k,.V + Ij.w = O
h2.u + k2.v + l2-w = O
Sumando estas ecuaciones tenemos:
(hj+ h2) .u + {kj+ k2)
de donde;
(hj+ h2) (kj+ kj)
.V + {li+ I2)
(I1+ Ij)
.w
son los Índices de una nueva cara de la misma zona /uvw/.
La representación gráfica y el calculo resulta
mas cómodo realizarlo cuando tenemos cuatro caras del te
traedro fundamental.o sea.del tetraedro en que tres caras
representan a los planos coordenados (100),(010) y (001),
y la cuarta cara,al plano (IID-
RESUMEN PARCIAL
Según lo expuesto,entre las notaciones de zonas
y caras se tiene una serie de relaciones:
1- Con los Índices de u
na cara (hkl) y los de su zo
na /uvw / ,se establece una £ ,
cuacion
2- Zona determinada por
la intersección de dos caras
(hjkjlj) y (h2k2l2)
3- Cara (hkl) determina
da por intersección de dos -
zonas / UjVjWj/ y l-^2^2^2^ .
ecuación de
h.u + k.v +
u •=
v =
W =
h =
k =
1 =
kj.l2 -
hj.l2 -
h,.k2 -
V1.W2-
"l-"2 -U1.V2 -
las zonas:
l.w = 0
kj.l2
hi.k2
^2-^1
"2-^1 U2.VJ
115
4- los números resultan
tes de sumar ordenadamente -
los Índices de dos caras -
(h,k,l,) y (hjV-ylj^ represen
tan a los Índices de una te£
cera cara (real o posible),-
tautozonal y situada entre -
ellas.
Ley de la complicación
(hjkjlj) (hjkolo)
h,+h2
I3 = 1 + I2
(hok^lo) = nueva cara -
tautozonal entre ambas.
LEY DE MILLER O DE LA RAZÓN ARMÓNICA DE LOS SENOS
La ley liga los ángulos,formados por caras tau-
tozonales,con los Índices de esas caras y con los de la -
zona.
Recordemos que se llama razón armónica,entre 4
puntos en linea recta (A,B,C y D),al producto:
AB/AC.DC/DB
o lo que es lo mismo:
AB
AC A B
-e G-C D
-e e-DB
DC
Por analogia.con los senos de los ángulos de 4
caras tautozonales,se establece asimismo relaciones armo-
nicas :
sen O 12
sen 9 13
sen 9 42
sen 9 43
cara 1
figura 27
La ley de Miller establece estas relaciones con
los Índices de la zona como sigue:
116
sen 0J2
sen 0^2
sen 9,2
sen 0/n
^
"13
"43
^
^13
Ihl ^43
Wi2
^13
! ^ W43
Se pueden sustituir u.v y w por sus equivalen
cias :
^ = ^a-^b " ^ a \
" " ^a-H • ''a- b
Ejemplo: ,.„ oYíQten los siguientes polos con Supongamos que existen Í«J= " 6 r _
/ i_ j\ «r. lina zona.cuyos simbolos se cono-secutivos (a,b,c y d),en una zona.i-u/ 1 1»^ 1 a nosicion exacta de b (los aneen,y se quiere calcular la posiuj-un
1 „ moHirIones Que se hicieron oon gulos ab y be),porque las mediciones MUC „«cTin-if1fld oara esa cara,a causa el goniómetro no ofrecen segurlOao pai-
j 1 K ^n olla resulta la reflexión de la sede lo borrosa que en ella resuií.» nal.
incógnitas datos
cara simbolos f^fVÍ?!..
á(i) * (ÓÓi) ángulo ab
b(2) (111) 77»26' (ac) ángulo be
c(3) (110) 43216' (de) ángulo bd
d(4) (llT)
Planteamiento:
sen 0J2
sen 10, n
sen 0,2
sen 0,0
Sustituyendo:
sen ab
sen 77226'
sen db
sen 43816'
U12
"13
"43
0.1-1
0.0-1
l.l-(-
1.0-(-
.1
.1
1),
1)
.1
.1
kil2-
kil3-
H'^i-
-1 _2
1
llk2
llk3
14^2
14^3
I
2
117
lo que implica:
sen ab , sen db _ 1_
sen 77226" sen 43216" 2
lo que implica que:
sen ab sen 43216' _ 1
sen 77226' sen db 2
sen 77226" - 0"97604
sen 43216' = 0'68539
sen ab
0'97604
0'97604 = A
0*68539 = B
sen ab
A
0'68539
sen db
B
sen db
1
2
1 2
2B sen ab = A sen db
ab = 120942' - db •
2B sen (120242' - db) = A sen db
sen (x-y) = sen x.cos y - eos x.sen y
2B (sen 120242'.eos db - eos 120242'.sen db)-Asendb
2B sen 120242' .eos db-2B.eos 120242' .sen db - A sen db
2B sen 120242' .eos db = A sen db+2B eos 120242'sendb
sendb (A+2B eos 120242' ) = 2B sen 120242' eos db
sen db 2B sen 120242'
eos db A+2B eos 120242'
2B sen 120242' tag db =
A+2B eos 120242'
sen 120242' = 0'8598
eos 120242' - -0'5105
118
7.n-fe8539.0'8598 . = l'nB59b ^ ' ^ ^ " 0 '97604+2.0 '68539. ( -0 '5105) 0;2762569
- A'2663042
db - 76081 - 76848'
ab - 120»42'- db - 120»42'-76S48' - 43S54'
be = 77»26' - ab - 77»26'-43=54' = 33=32'
bd = 120»42'-ab = 120842' - 43»54' - 76=48
Soluciones:
ángulo db - 76=48'
ángulo ab - 43=54' (pedido)
ángulo be = 33=32' (pedido)
ángulo bd = 76=48' (pedido)
PROYECCIÓN ESTEREOGRÁFICA DE UN EJE DE ZONA CONOCIDA DOS
CARAS TAUTOZONALES
Se da por conocida la proyección estereográfica
de las dos caras en la falsilla de Wulff.En caso contra-4„_ a nartir de datos complemen rio,se buscara esa proyección a partii. u ^ _
tarios.
Normas a seguir:
1- Teniendo como base una falsilla de Wulff y giran
do el papel transparente,en donde se encuentran situadas , , • . „ „i -círculo máximo en proyección que las dos caras,buscamos el circuiu
pase por esas caras.Los circuios maximos.en la falsilla -
de Wulff,vienen representados por meridianos.
2- Fijamos la posición del papel transparente.
3- Buscamos el punto del circulo máximo equidistant
j .. 1 c Miarlo a 90= a partir de uno de lo de sus extremos,el situaao a ?« r
extremos.
4- Desde ese punto equidistante,y a través del para
lelo que pase por el.medimos 90=.
5- El punto obtenido es el polo,en proyección este--
reografica,del eje de zona. Si se da el polo de una zona y deseamos deducir
e
os
119
esa zona en proyección,operaríamos inversamente.
MEDIDA DEL ÁNGULO FORMADO POR DOS ZONAS
El ángulo formado por dos zonas esta definido -
por el existente entre los ejes de las zonas respectivas.
Normas a seguir:
1- Hallamos los polos de las dos zonas en la falsi--
11a de Wulff.
2- Giramos el papel transparente hasta que esos dos
polos se encuentren situados sobre un mismo meridiano,© -
paralelo,de la falsilla de Wulff.
3- Medimos los grados que separan a esos dos polos,-
con lo que obtenemos la medida incógnita.
CALCULO ESTEREOGRÁFICO DE UNA CARA COMÚN A DOS ZONAS
Operatividad:
1- A partir de caras dadas,dibujamos sobre el papel
transparente las dos zonas (meridianos en donde se ubican
las caras tautozonales).
2- El punto de intersección de las zonas correspon--
den a la cara pedida.
LA DEDUCCIÓN
La deducción desarrolla el proceso de deriva--
cion de caras posibles en la proyección estereográfica, a
partir de las cuatro caras de un tetraedro.
El numero minimo de caras que puede tener un po
liedro es cuatro,ya que con menos no se cerraría el espa
cio.El poliedro cristalino mas sencillo corresponde,en --
consecuencia,a un tetraedro irregular.cuyas caras origí--
nan seis aristas no paralelas.Cada dos caras estaran de--
terminando una zona,por lo cual,las caras del poliedro d£
ran lugar a seis zonas.En proyección estereográfica,estas
corresponden a otras tantas círcunsferencias de círculos
máximos.
Las seis zonas determinan,con sus interseccío--
120
nes,otras caras reales o posibles en el mismo cristal ( o
que existen en otros individuos cristalinos de la misma -
sustancia).En total tendriamos diez caras.
Si combinamos ahora.dos a dos.las diez caras ya
identificadas.surgirán nuevas zonas.que a su vez traduci
rán nuevas caras posibles.Podriamos continuar el proceso
hasta obtener las infinitas caras.teóricamente posibles.-
del cristal.
Estas infinitas caras posibles quedan restringí
das en la Naturaleza a unas cuantas.en función de que.se
gún la ley de Haüy.sus parámetros han de ser racionales y „4iir.o np esta forma,estarian ademas números enteros y sencillos.ue esua
eliminadas las caras cuyos parámetros no se ajustaran a -
la anterior condicionante.
121
PRACTICAS CON LOS SOLIDOS CRISTALOGRÁFICOS
ESQUEMA
Metodología. . . , j 1 • ^ r, niinMial de elementos de sime La unicidad en la asociación puncuai uc «= _
tria en un solido cristalográfico.
METODOLOGÍA
Los pasos mas aconsejables a seguir.con cada so
lido,serian:
1- Solido numero
2- Elementos de simetria:
3- Grupo (A o B):
U- Clase de simetria: 5- Sistema cristalino:
6- Formas (simples o compuestas):
7- Nomenclatura de Ids formas geométricas: . 8- Proyección estereográfica:
9- Notaciones de las diferentes caras:
, morrHfls externas no depen-deductmos que las geometrías exi-c
j , i«r.innp& de elementos de sime — den solamente de las aosciaciones ae !„„_ Ap un determinado sistema,
tria,ya que de una misma clase,de un uci.
obtenemos distintas formas.
.or . T*rTnN PUNTUAL DE ELEMENTOS DE SIME LA UNICIDAD EN LA ASOCIACIÓN FUNiuftu TRIA EN UN SOLIDO CRISTALOGRÁFICO
En un solido cristalografico.o en un macrocris-
tal.encontramos una asociación puntual de elementos de si ..ofT-Mrrura cristalina formada por — metria.asi como una estructura
traslaciones de particulas,tra8laciones que también afec
tan a la asociación puntual.Entonces. ¿como es que el so
lido cristalográfico no traduce las traslaciones de la a-
sociacion puntual ?.
122
En realidad hay un enmascaramiento.En efecto, -
las caras.aristas y vértices de un solido cristalográfico,
que revelan la clase simétrica,son elementos, geométricos
trasladados,y a veces integrados,a partir de un motivo
primitivo,localizado en el origen del cristal y controla
do por una asociación simétrica unitaria.£1 solido seria
un conjunto de motivos,cada uno con sus elementos simetri.
eos,que estarian camuflados por concepciones puramente
geométricas.externas de los solidos cristalograficos,olvi^
dándonos de sus estructuras internas.
123
figura 28
Aparente unicidad de la
clase cristalina
Leyenda:
O
o
eje senario primitivo
ejes senarios trasladados
caras que,una vez trasladas .actúan de enmasca
ramiento
124
CRISTALOGRAFÍA ESTRUCTURAL
ESQUEMA
Concepto de estructura cristalina.
La celdilla unidad.
Redes de Bravais.
Las redes espaciales:
Concepto.
Operadores de la traslación.
Nomenclatura. Formación de los grupos espaciales.
Los 230 grupos espaciales.
Particulariedades.
CONCEPTO DE ESTRUCTURA CRISTALINA
La regularidad y si.etria.observadas - los PO" • fatst-aniones externas
liedros cristalinos,son simples manifestacx ^
del orden interno espacial de sus particulas "^"^^^^J^/; _
En efecto.como demuestra la aplicación de los . '
cristales.estos se encuentran constituidos por P^^J-^"'
,ue ocupan unas posiciones - ^ ^ ^ / ^ J / ^ J Jlires ;arale:
dos.posiciones que orxg.nan 1« «P^'^^" controlado
lepipedicas.en donde cada paralelepipedo esta
por una misma simetria puntual. ^^^^^__ Estas redes paralelepipedicas se p
1 ™or,t-flles como tantos distintos ti blar en tantas redes elementales cora a^ í-ristal .Cada tipo ue
pos de átomos o iones existan en el cri ,. ,_ , . 1o^ rpd con la condición de -
particulas forman su particular red.con »Hn í.sten ordenadas conforme a una mis
que estas,por separado.estén uiu ^ ^. j 1 ,.« diferentes redes constitutivas de ma simetria puntual.Las ditereni-c
/ , j onrre si.determinan la estructura un cristal.desplazadas entre si.u
del mismo. , , , i.^. nuo Ejemplo: Consideremos el caso de la haUta.ClNa.
LOS iones Cl" y Na* constituyen un paralelepipedo cubico.
figura 29
Estructura cristalina del sistema
exagonal
125
en donde se sitúan alternativamente cloros y sodios.Si -
ahora observamos los cloros.estos constituyen asi mxsmo.e »,=ioioninedo cubico,lo mismo que independientemente,un paralelepipeao <.uu . , , ^
A^r.. P.>ro estos dos simples paralelepipe ocurre con los sodios.Pero estoi. u r ^ j->o„i arados entre si.Como resul_ dos aparecen regularmente desplazados enu
tado de ello.la estructura de la balita esta formada por
dos diferentes redes cubicas,desplazadas entre si. aunque •ijj A „o ripflna por una única red la estructura en su totalidad se detina pu
paralelepipedica cubica.
LA CELDILLA UNIDAD
Se entiende por celdilla unidad el paralelepipe
do que resulta de unir.tridimensionalemnte.los nudos de -
la estructura cristalina,mediante las rectas mas ' ^ " t " "
posibles.Este paralelepipedo sera valido "«""P" .^^"^^^'°'^
diferentes tipos de particulas.por separado.se ajus
una simetria puntual. El paralelepipedo estaria definido por sexs pa
rametros:
Longitudes de las aristas:
parámetro a^» a (longitud paralela al eje x o U ^
parámetro a,= b (longitud paralela al eje y o
parámetro 83= c (longitud paralela al eje
ángulos entre las aristas:
- .entre c y b c
^ .entre c y a
V .entre a y b
figura 30 _ b
126
Como las ordenaciones de los nudos en las redes,
conforme a una simetría puntual.determinan las formas de
los paralelepípedos,por la propiedad transitiyaylos valo
res de los parámetros de los paralelepípedos serán una
consecuencia de la clase de simetría a la que pertenezca
el cristal.
Las clases cristalinas imponen unas determina--
das condiciones en los parámetros de la celdilla unidad,
como muestra el siguiente cuadro:
SISTEMA
tetragonal
exagonal
CONDICIONES NECESARIAS Y SUFI
CIENTES QUE IMPONEN LAS CLASES
SIMÉTRICAS EN LOS PARÁMETROS.
triclinico
monoclinico
rómbico
trigonal
va
ok
^
a
lores
=
=
=
í
P
b
cualesquiera
- 90e
= 908
= c
= 90e ,, \ = 120e
= b
^ = >( = 902
a
ai.
a
. j .
= s:
=
=
b
^
b
f>
4 "
=:
=
c
908
c
i '
t 9
90
i
e
1208
regular
Hemos basado las determinaciones de las diferen
tes celdillas unidades en criterios simétricos,y no sim--
plemente geométricos (dimensiones y ángulos del paralele
pípedo),por la objeción de que aristas,que parecen ser --
iguales.podrían hacerse desiguales,si cambiaran las cond^
cíones físicas ambientales.como la temperatura,a menos
que hubiera alguna garantía de que las direcciones experi^
mentaran,por ejemplo,la misma expansión térmica.Estos e-
fectos físicos podrían originar también la desviación de
127
los ángulos del paralelepípedo. Por el contrario.al basar nuestros criterios en
• ,ii f i pul rad.Si dos direccio-la 8in.etria.no tendremos esta dificultad.bi a ^n,avalentes por simetría,necesaria nes en un cristal son equivalentes y
• -, o pfipficientes de expansión termí, mente tendrán los mismos coeticienu ,Hv«lentes al cambiar la temperatura, ca y permanecerán equivalentes
REDES DE BRAVAIS
A^^ naralelepipedo de menor volu En la elección del paraieie^ y i ^ m a unidad,puede ocurrir dos -men de una estructura,celdilla uniaa ,w
circunstancias: „ort-irPK ^«.rirulares solo en los vértices 1- Que haya puntos retlcuiaie» . ^»«o la celdilla se llama pri-del paralelepípedo.En este caso,la cei
mitiva y se simboliza por una P. ^araleleni 2- Que haya puntos reticulares dentro del paralelepi
pedo.Ahora la celdilla se llama ""«^'^^- . .^„,,, . LOS centrados se clasifican en los siguientes
^^^°^'' ^ ^„n las caras (100) centradas. A = naralelepipedos con las cato» A paraieiep H ^„„ ,._ caras (010) centradas. B - naralelepipedos con las caía B paraiei H P caras (001) centradas. C = naralelepipedos con las caía» C - paraieiep F ^^„ .-Has las caras centradas. F = paralelepípedos con todas I = paralelepípedos centrados en el interior. I = paraieiep v unidades,en relación -
La variedad de celdillas uní io« diferentes sistemas,constituye las -
a su centrado,en los diferen 3^ ,3,„g, . redes de Bravais.El conjunto de posio en este otro cuadro.
SISTEMA TIPO DE CELDILLA
p (celdilla primitiva) trícliníco
IP . 1^ monoclinico ** ,_ ,-, ip .. ic .. if '• ^
rómbico , IP ,. II
tetragonal IP romboédrica IK;
trigonal regular
128
¿y
¿/ /F7\
lAF
¿y
/ /
o
rv
A7 [)
o o o
A7 4
/L-7
Viy \ty 10
LU\
lA
y:s y 11
12 13 14
figura 31
Redes de Bravals
129
En total se describen 14 redes de Bravais.
LAS REDES ESPACIALES
1- CONCEPTO.
Podemos representar a una red espacial como una
forma geométrica infinita,que se construye a partir de un
paralelepipedo,determinado por la simetria puntual.Este -
paralelepipedo se desplaza mediante traslaciones parale--
las a las aristas y debido a planos de deslizamiento y a
ejes helicoidales.En definitiva,se obtiene un conjunto de
paralelepipedos iguales,que llenan el espacio sin intervji
los.
El paralelepipedo que sufre traslaciones ha si
do ya definido como celdilla unidad y pertenece a uno de
los tipos diferentes de redes de Bravais.
Por muy distintas que sean sus formas,en una -
red espacial se mantienen constantes: a) el numero de paralelepipedos por unidad
de volumen, b) la suma.de las superficies de las caras,
y
c) el volumen de las celdillas elementales
o paralelepipedos que la componen.
2- LOS OPERADORES DE LA TRASLACIÓN.
En la formación de las redes espaciales inter--
vienen nuevos elementos de simetria,a saber:
- planos de deslizamiento,
- ejes helicoidales, y
- traslaciones.
a) Planos de deslizamientos;
Un plano de deslizamiento lleva asociado una re
flexión y una traslación paralela a su superficie.Si se -
efectúa la operación dos veces,se vuelve a alcanzar una -
130
posición congruente con la de partida.De aqui.se deduce -
que en una estructura cristalina,que admite planos de de£
lizamiento.la componente de traslación ha de ser siem
pre igual a la mitad de la distancia T que existe entre -
dos puntos vecinos congruentes,que se hallen en la direc
ción en la cual el movimiento se verifica;Do8 reflexiones
deslizantes sucesivas equivalen,por lo tanto,a una trasl¿
cion T de la red.
Se dice que dos puntos están en congruencia
cuando permiten una traslación T.
Cuando el deslizamiento tiene lugar según las -
direcciones de los ejes a,b y c.los planos de deslizamien
to se simbolizan mediante las letras "a","b" y "c" respe£
tivamente.
Si el deslizamiento va desde el vértice al cen
tro de una cara de la celdilla unidad,es decir,con magni
tud vectorial l/(a+b)/2 ,, l/(b4-c)/2 o l/{a+c)/2,el -
plano del deslizamiento tendria por simbolo la letra m.
Y por ultimo,si el deslizamiento vale 1/4 de la
diagonal de la cara paralela al plano,con magnitud vecto
rial l/(a+b)/4 .,, l/(b+c)/4 o l/(c+a)/4,el plano se -
designa por la letra d.
Cuando no se precisa el plano de deslizamiento,
este se simbolizaria mediante una m,con un punto ' sobre
puesto (A).
En resumen:
SÍMBOLO MAGNITUD TRASLACIÓN DIRECCIÓN DE LA TRASLACIÓN
a .... 1/2 distancia reticular ..... eje a
b .... 1/2 distancia reticular eje b
c .... 1/2 distancia reticular eje c
m 1/2 distancia reticular diagonal de las caras
d .... 1/4 distancia reticular diagonal de las caras
b) Ejes helicoidales:
Se trata de ejes que conllevan rotaciones de
360s/n,seguidas por traslaciones simultaneas p/n,en la di.
131
reccion del eje.La letra n define el orden del eje o el -
numero de giros.La letra p traduce el numero de veces que
esta contenido,en la traslación,el parámetro, longitudinal
paralelo al eje de la celdilla unidad.Los ejes tienen la
simbologia "n ".
Ejemplos: un eje 2j implica una rotación de 180e
seguida por una traslación de magnitud equivalente a la -
mitad del parámetro paralelo de la celdilla unidad.Para -
un eje 3^ la rotación es de 120s y la traslación vale un
tercio,mientras que un eje Sj implica una rotación de 1202
y una traslación de 2/3.
Al cerrar el ciclo de 3602,88 alcanza un punüo
congruente con el de partida.Estos dos puntos,a su vez,se
relacionan mediante una traslación T.de amplitud equiva
lente al parámetro,o un múltiplo de este,de la celdilla u
nidad paralelo al eje.
Ejemplos: con un eje 2^ se realizan 2 giros de
180» con una traslación 1/2 cada uno,en un ciclo de 360e.
La traslación total realizada seria 1/2+ 1/2- 1.equivalen
te al valor del parámetro paralelo al eje,y en consecuen
cia,los dos puntos congruentes se relacionan mediante una
traslación de amplitud = 1 . Con un eje 32.8e realizan 3 -
giros de 120»,con una traslación 2/3 cada uno,en un ciclo
de 360».La traslación total realizada seria 2/3+2/3+2/3 =
- 6/3 - 2,equivalente al doble del valor del parámetro pa
ralelo al eje,con lo que los dos puntos congruentes se re
lacionan mediante una traslación T.de amplitud - 2.
Si se repiten los giros helicoidales indefinida
mente.las nuevas posiciones que toma el punto de partida,
en los ciclos sucesivos.se derivan de las correspondien
tes al primer ciclo por traslación T,paralela al eje.En -
este intervalo T queda.por lo tanto.representado el fenó
meno helicoidal n del eje.
Los ejes helicoidales de un mismo orden pueden
tener diferentes sentidos de giro: dextrogiros o levogi--
ros.Los ejes helicoidales dextrogiros se indican con el -
signo +,colocado delante del simbolo.Los levógiros,con el
signo negativo.Otra alternativa seria colocar sobre el -
simbolo del eje una flecha arqueada,que indique el senti-
132
do de giro.
c) Traslaciones:
Todo nudo de la red espacial se le puede -
hacer coincidir con su posición inicial.mediante una ope
ración de traslación.El nudo se desplazaria.uno o varios
intervalos,a lo largo de la fila.
La traslación tiene carácter tridimensional y -
periódico,y se efectúa paralelamente a cualquier fila de
nudos.
La operación de un eje helicoidal monario equi
vale a una traslación.En realidad,para las redes espacia
les,las traslaciones se deben a los ejes helicoidales y a
los planos de deslizamiento.
3- NOMENCLATURA DE LAS REDES.
En la designación de un determinado grupo espa
cial debemos hacer cosntar:
a) el paralelepipedo,red de Bravais, objeto
de la traslación,mediante, su correspondiente simbologia,-
b) los elementos de simetría puntual,que d£
terminan al paralelepipedo,según la notación de Hermann--
Mauguin, y
c) los elementos simétricos que implican la
traslación del paralelepipedo.
Ejemplo: la simbologia P2j/m define un grupo -
espacial,en donde:
P = tipo de red de Bravais ,
2/m « asociación puntual de elementos de simetría,y
2j= existencia de un eje helicoidal,coincidente con el
eje de rotación sencilla,que determina la trasl£
clon.
4- FORMACIÓN DE LOS GRUPOS ESPACIALES.
Se trata de un problema de combinatoria matemá
tica,concretamente de unas restringidas combinaciones bl-
133
narias,entre determinadas redes .respecto al centrado y a-i
sociaciones puntuales,en donde los ejes de rotación sim
pie y los planos tienen la posibilidad de ser coinciden-
tes con ejes helicoidales y planos de deslizamientos res
pectivamente .
Hemos indicado que las combinaciones tienen ca
rácter restringido dado que es una condición indispensa--
ble que,en cada combinación obtenida,exista una de las po
sibles redes de Bravais. Sea el sistema monoclinico.Tendriamos.los si--
guientes elementos en juego: P , C , 2 , 2j, m , A . 2/m , 2j/m , 2/m , 2^/4
y las distintas combinaciones binarias,para formar los -
distintos grupos espaciales serian:
P2 , P2j .Pm , PA , P2/m , P2j/m , P2/A , P2j/m ,
C2 . C2j , Cm , CA ,C2/m . C2j/m . C2/A , C2j/m
De estas combinaciones se excluye:
C2j , C2j/m , C2j/*
al estar duplicadas.
Las duplicidades las deducimos mediante conside
raciones geométricas,por ejemplo,cambiando de origen.En -
las redes espaciales,los nudos se expresan según sus coor
denadas.En principio,dos grupos espaciales,cuyos nudos -
tengan diferentes coordenadas,traducen dos redes espacia
les diferentes,pero si cambiamos el origen de coordenadas
en uno de estos grupos,podria ocurrir que los nudos ad
quieran unas coordenadas equivalentes a las del grupo con
un origen inmóvil.De esta manera,demostrariamos la posibi
lidad de que los dos casos pertenezcan a una misma red es
pacial.
Como anexo a las anteriores deduceiones,indique
mos ejemplos de coordenadas para algunos nudos de una red
espacial:
Sea el nudo 1, que por la existencia de un eje
de simetria Aj,engendra las posiciones o nudos 2,3 y A -
(figura 32).De partida,las coordenadas de los nudos consi
derados serian:
13¿.
nudo 1 (x,y,z)
nudo 2 (x^, y^, z + 1/2)
-2 -2 nudo 3 ( x , y , z )
3 —3 nudo A ( x , y , z + l / 2 )
Por otra parte,de la gráfica deducimos,en valores absolu
tos ,que:
1 y = X
x2 = x
2 y = y
Teniendo presente estas equivalencias,y considerando ade
mas el signo,obtenemos las siguientes coordenadas defini
tivas:
nudo 1 , .. .• (x,y,z)
nudo 2 (y,x,z + 1/2)
nudo 3 (x,y,z)
nudo 4 (y,x,z + 1/2)
En el caso particular de que:
X = O'l
y = 0'2
z - 0'3
1 "• distancias entre los origenes de los pa-
ralelepipedos consecutivos en las dire£
ciones x,y,z (valor T de la periodici--
dad).
Las coordenadas serian:
135
,-1 -2 . (x ,y ,z)
(x^.y^.z + 1/2)
« (x^y^z + 1/2)
y = b
(x.y.z)
X = a
figura 32 Coordenadas de algunos números
136
nudo 1 (0'10'2 0'3)
nudo 2 (0'2 O'l 0'3+0'5) - (0'2 O'l 0'8)
nudo 3 (0'10'2 0'3)
nudo h (0'2 O'l 0'3+0'5) = (0*2 O'l 0'8)
Pero si las coordenadas negativas las consideramos re8pe£
to a los orígenes de los paralelepípedos,se establecen
las siguientes equivalencias:
0'2 - 1 - 0'2 = 0'8
O'l = 1 - O'l = 0'9
Y en definitiva,1 as coordenadas de los A nudos serian:
nudo 1 (0'10'2 0'3)
nudo 2 (0'8 0'10'8)
nudo 3 (0'9 0'8 0'3)
nudo 4 (0-2 0'9 0'8)
En el calculo de los grupos espaciales.practica--
mente operaremos en dos fases:
a) En la primera formaremos todas las posi
bles combinaciones entre los diferentes tipos de redes de
Bravais y las asociaciones puntuales de elementos de sim£
tria,sin considerar la posibilidad de que sean los elemen
tos simétricos puntuales coincidentes con ejes helicoida
les y con planos de deslizamiento.
b) En la segunda consideraremos esas posl--
bles coincidencias.
Ejemplo ilustrativo: Volvamos a considerar el si£
tema monoclinlco.Operaremos con los siguientes elementos:
P = retículo primitivo
C = retículo con las caras (001) centradas
2 ,, m ,, 2/m
Calculo de los grupos espaciales:
137
PRIMERA FASE SEGUNDA FASE
P2 P2 P2j
Pm Ptn PA
P2/ni F2j/m P2/ih P2j/rh
C2 C2 C2j (duplicado)
Cm Cm Cm
C2/m C2j /m(dupl icado) C2/ili C2/m
C22/m(duplicado)
De forma análoga y considerando todas las clases
de simetria.deduciriamos los 230 grupos espaciales.Estos,
dentro de los sistemas,se distribuyen en numero,de la si
guiente manera:
sistema triclinico 2
sistema monoclinico 13
sistema rómbico ^^
sistema trigonal 25
sistema tetragonal ^^
sistema exagonal ^^
sistema regular ^^
230
Los 230 grupos espaciales.teóricamente posibles,-
constituyen los armazones geométricos,a los cuales tienen
que ajustarse necesariamente los edificios cristalinos, -
que crean la Naturaleza.
5- PARTICULARIEDADES DE LA SIMETRÍA EN LAS REDES ES
PACIALES.
La simetria de las redes espaciales se distingue
por las siguientes particulariedades:
a) Una recta paralela al eje de simetria,y -
que pase por un nudo de la red,coincide con un eje de si
metria del mismo orden para dicha red.
138
b) Un plano paralelo al plano de simetría, y
que pase por un nudo,también se trata de un plano de si-
metria de la misma red.
c) El eje de simetría,que pase por un nudo -
de la red,coincide con una fila de la red.
d) El plano que pase por un nudo de la red,-
y sea perpendicular al eje de simetría de la misma,equiv£
le a un plano reticular de dicha red.
e) La red espacial siempre tiene un numero -
infinito de centros de simetría.Estos son los nudos,los -
centros de los paralelepípedos y los de las caras,y los -
puntos medios de las aristas.Y
f) si en la red hay un eje de simetría de o£
den n (mayor a dos),en la misma red hay también n ejes bi.
narios,perpendiculares al eje E .
139
ÍNDICES DE FIGURAS
figuras
j plano de simetría
2 3 ¿^'5'"/. ejes de reflexión
e'.T'.s'.Q '/.*."/.".'.*.'.'.". ejes de inversión
jer teorema de simetria
3er teorema de simetria
42 teorema de simetria
13 . . . . . . . . . . . . . . . . . ejes cristalográficos (s.trigo
nal y exagonal)
1¿ 15 notaciones de las caras (s.tri
gonal y exagonal) j^ goniómetro de contacto de medí
cion directa
j7 goniómetro de contacto de medí
cion indirecta
jg propiedades de la proyección -
estereográfica
^ „ . r„-nvecciones estereográficas 19,20,21,22,23,24 proyeccxoi 25 falsilla de Wulff 26 .. *. Índices de un eje de zona 27 '*/_ ley de Miller 28 . . . . . . . . . . . . . . . . . . • unicidad aparente..de la asocia
cion puntual de elementos de -
simetria
29 estructura cristalina del sis
tema exagonal
ejes cristalográficos
[ redes de Bravais coordenadas de algunos nudos
140
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Fotocopiado en el Servicio de
Publicaciones del I.CE.
Apartado de Correos 550
LAS PALMAS DE GRAN CANARIA
Rank Xerok Mod.3450
N5 de Registro 81430415 Las Palmas,2 de septiembre del 85
ULPGC.BiblJoteca Universitaria
* 4 4 3 9 3 3 * BAS 5 4 8 MAR i n t
