Cristalografia Estructural

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CRISTALOGRAFÍA ESTRUCTURAL

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CRISTALOGRAFIacuteA ESTRUCTURAL

CURSO DE CRISTALOGRAFIacuteA

ESTRUCTURAL 1 El estado cristalino

11 Introduccioacuten 12 Redes cristalinas - Filas reticulares - Plano reticular - Iacutendices de Miller - Celda unidad - Redes planas - Redes de Bravais 13 Simetriacutea - Elementos de simetriacutea - Combinacioacuten de elementos - Las 32 clases de simetriacutea - Simetriacutea y redes de Bravais Sistemas cristalinas 14 Simetriacutea con traslacioacuten - Elementos de simetriacutea con traslacioacuten - Los 17 grupos planos - Grupos espaciales

EL ESTADO CRISTALINO 11- INTRODUCCIOacuteNSe describen como materiales cristalinos aquellos materiales soacutelidos cuyos elementos constitutivos se repiten de manera ordenada y paralela y cuya distribucioacuten en el espacio muestra ciertas relaciones de simetriacutea Asiacute la propiedad caracteriacutestica y definidora del medio cristalino es ser perioacutedico es decir que a lo largo de cualquier direccioacuten y dependiendo de la direccioacuten elegida la materia que lo forma se halla a distancias especiacuteficas y paralelamente orientada Ademaacutes de eacutesta otras propiedades caracteriacutesticas son la homogeneidad y la anisotropiacutea

Por tanto el cristal estaacute formado por la repeticioacuten monoacutetona de agrupaciones atoacutemicas paralelas entre siacute y a distancias repetitivas especiacuteficas (traslacioacuten) La red cristalina es una abstraccioacuten del contenido material de este medio cristalino y el tratarlo uacutenicamente en funcioacuten de las traslaciones presentes constituye la esencia de la teoriacutea de las redes cristalinas

En la red cristalina todos los puntos nudos tienen exactamente los mismos alrededores y son ideacutenticos en posicioacuten con relacioacuten al patroacuten o motivo que se repite Este motivo es una constante del cristal ya que constituye el contenido material es decir su naturaleza atoacutemica de manera que red x motivo = cristal

En esta red espacial existe una porcioacuten del espacio cristalino denominado celda unidad el cual repetido por traslacioacuten y adosado desde un punto reticular a otro engendra todo el retiacuteculo De esta manera conociendo la disposicioacuten exacta de los aacutetomos dentro de la celdilla unidad conocemos la disposicioacuten atoacutemica de todo el cristal

- Periodicidad El medio cristalino es un medio perioacutedico ya que a lo largo de cualquier direccioacuten la materia que lo forma se halla a distancias especiacuteficas y paralelamente orientada de forma que la orientacioacuten y distancias a que se encuentran dependen de la direccioacuten elegida La distancia seguacuten la cual las unidades estructurales se repiten paralela e ideacutenticamente a lo largo de una direccioacuten dada se denomina traslacioacuten Eacutestas definen la denominada red cristalina constituida por una serie de puntos (nudos) separados entre siacute por las citadas traslaciones

- Homogeneidad En una red cristalina la distribucioacuten de nudos alrededor de uno de ellos es la misma independientemente del nudo que tomemos como referencia Asiacute una red es un conjunto de nudos homogeacuteneos o bien un conjunto homogeacuteneo de nudos

- Anisotropiacutea La red de nudos constituyente del estado cristalino es anisoacutetropa en cuanto a las distancias entre nudos es decir eacutesta depende de la direccioacuten seguacuten la cual se mide

12- REDES CRISTALINASPara una apropiada asimilacioacuten de lo que significa el orden interno cristalino se ha de comenzar por la visualizacioacuten y definicioacuten a traveacutes de vectores traslacioacuten del orden interno monodimensional constituido por las diferentes direcciones de la red que definen por su periodicidad filas reticulares donde los nudos estaacuten alineados y equidistantes entre siacute

- Fila reticularSe trata de una fila de nudos obtenida por aplicacioacuten sucesiva de una traslacioacuten definida

El siacutembolo de las filas reticulares se denomina como los iacutendices [uvw] que son los componentes del vector traslacioacuten que une dos nudos adyacentes de la fila considerada expresados en funcioacuten de un par primitivo cuyo origen se situacutea sobre uno de estos dos nudos

Por ejemplo para las filas fundamentales

Para otras filas reticulares

- Plano reticularUn plano reticular queda definido por dos filas reticulares conjugadas Todo plano reticular puede definirse por sus intersecciones (Ha Kb Lc) con los tres ejes fundamentales del cristal

Las dimensiones de estas intersecciones (HKL) medidas desde un nudo tomado como origen son los paraacutemetros del plano reticular correspondiente Sin embargo la denominacioacuten habitual de un plano reticular son los iacutendices de Miller

- Iacutendices de MillerSe obtienen calculando las intersecciones (H K L) o nuacutemero de traslaciones con los tres ejes fundamentales del cristal Posteriormente se invierten y se eliminan denominadores o bien se calculan los cocientes entre el producto de las tres intersecciones dividido entre cada una de las intersecciones (HKL= N NH= h NK=k NL=l)

Intersecciones H=aelig K=aelig L=1

Invertimos 1aelig=0 1aelig=0 11=1 no existen denominadores

Iacutendices de Miller (001)

1ordm Deducir las intersecciones de cada plano con los ejes cristalograacuteficos a b y c Es decir contar el nuacutemero de traslaciones t1 t2 y t3 que ocupa el plano sobre los ejes a b y c

El plano ABD ocupa

2t1 en el eje a 2t2 en el eje b y 4t3 en el eje c

El plano EBD ocupa

4t1 en el eje a 2t2 en el eje b y 4t3 en el eje c

2ordm Para calcular los iacutendices de Miller de cada plano a partir de estas intersecciones se invierten los valores y si es necesario se reducen las fracciones

El plano ABD corta a los ejes en 2 2 y 4

Su inversioacuten es 12 12 14

Reducimos fracciones quitando denominadores 24 24 14 Sin denominadores queda 221

Iacutendices de Miller (221)

El plano EBD corta a los ejes en 4 2 y 4

Su inversioacuten es 14 12 14

Reducimos fracciones quitando denominadores 14 24 14 sin denominadores queda 121

Iacutendices de Miller (121)

Este siacutembolo entre pareacutentesis (hkl) nombra el plano dado mientras que entre corchetes hkl indica todos los planos homoacutelogos que resultan de aplicar los elementos de simetriacutea del cristal al plano (hkl)

- Celda unidadEn una red cristalina existen siempre tres traslaciones no coplanarias que tienen las dimensiones miacutenimas entre todas las traslaciones posibles de la red son las traslaciones fundamentales o constantes reticulares de dimensiones submicroscoacutepicas La porcioacuten del espacio cristalino limitado por estas traslaciones constituye la celda fundamental del cristal y es caracteriacutestica del mismo

Se denomina celda primitiva aquella que no tiene nudos en su interior y celda muacuteltiple a la que si los tiene y estaacute definida por vectores muacuteltiples que son muacuteltiplos enteros del vector traslacioacuten unitario de igual direccioacuten Se llama multiplicidad al nuacutemero de nudos que hay por celda elemental (todas las celdas primitivas de una red tienen multiplicidad 1 frac14 4 = 1)

- Redes planasEl orden bidimensional es el resultado de traslaciones regulares en dos direcciones distintas que resultan en la definicioacuten de los cinco tipos de redes planas La asimilacioacuten de este orden bidimensional es baacutesica para comprender la regularidad correspondiente a objetos tridimensionales tales como la materia cristalina Se definen cinco tipos de redes planas con las siguientes caracteriacutesticas

Red oblicua (ane b γ ne 90ordm)

Red rectangular (ane b γ =90ordm)

Existen tambieacuten redes centradas que son el resultado de antildeadir nuevos nudos en el centro de cada paralelogramo generador de la red plana Soacutelo puede realizarse esta operacioacuten de centrado si la red resultante es morfoloacutegicamente diferente de la original por ello soacutelo pueden centrarse las redes rectangulares (obtenieacutendose una red roacutembica) o las redes roacutembicas (dando lugar a una red rectangular)

Red roacutembica (a=b γ ne 90ordm 60ordm 120ordm)

Red hexagonal (a=b γ =60ordm 120ordm)

Red cuadrada (a=b γ =90ordm)

Las redes planas forman por apilamiento homogeacuteneo los distintos tipos de redes espaciales es decir las distintas familias de planos cristalinos que integran el cristal La manera como estos planos se apilan determina los aacutengulos entre las traslaciones fundamentales en las tres dimensiones que es lo que define a su vez la forma y dimensiones del paralelepiacutepedo o celda unidad que caracteriza la red cristalina

- Redes de BravaisDe la superposicioacuten de planos se generan catorce celdas morfoloacutegicamente distintas que se conocen como las Redes de Bravais en honor de su descubridor

En teacuterminos de redes cristalinas tridimensionales los paralelepiacutepedos fundamentales morfoloacutegicamente distintos son el resultado de combinar las tres traslaciones fundamentales de valores dados con sus inclinaciones respectivas es decir con los tres aacutengulos α szlig y γ

Su construccioacuten se realiza apilando paralelamente una sucesioacuten infinita de modelos planos ideacutenticos de manera que la distancia entre ellos sea siempre igual (familia de planos) Mientras que en el plano se deduciacutean cinco tipos de redes en el espacio tridimensional se reconocen hasta catorce distribuciones perioacutedicas

Red tricliacutenica (abc αszligγ90ordm)

Debido a los valores distintos entre siacute de las traslaciones y de los aacutengulos fundamentales el paralelepiacutepedo tiene forma cualquiera triplemente inclinado (por ello se denomina tricliacutenico) Se trata de una red primitiva

Redes monocliacutenicas (abc α=γ=90ordmszlig )

La celda es un paralelepiacutepedo no recto de base rectangular (formados por redes planas rectangulares)

- Red monocliacutenica primitiva P

- Red monocliacutenica de base centrada

La operacioacuten de centrado de redes permite la generacioacuten de este otro tipo de red Si se centra la red plana rectangular (100) su siacutembolo es A y si se centra la (001) es C Morfoloacutegicamente estas redes soacutelo se diferencian en su orientacioacuten por tanto las redes monocliacutenicas de base centrada A y C son equivalentes

Redes roacutembicas (abc α=szlig=γ=90ordm)

- Red roacutembica primitiva P

El paralelepiacutepedo fundamental es un prisma recto de base rectangular Los tres planos fundamentales (100) (010) y (001) maacutes los planos diagonales del prisma son redes planas rectangulares

- Redes roacutembicas centradas

La operacioacuten de centrado de redes permite la generacioacuten de estos otros tipos de red Si se centran las redes planas rectangulares (100) (010) y (001) sus siacutembolos son respectivamente A B y C

Morfoloacutegicamente estas redes son iguales y se denominan red roacutembica de base centrada simbolizada por C Cuando la operacioacuten de centrado es sobre las tres caras a la vez la red se denomina red roacutembica de caras centradas y se simboliza por F Si el centrado se produce en los planos diagonales del prisma la red resultante se denomina red roacutembica centrada en el interior de siacutembolo I

Redes tetragonales (a=bc α=szlig=γ=90ordm)

- Red tetragonal P

La celda fundamental es un prisma recto de base cuadrada La familia de planos (001) son de red plana cuadrada mientras que (100) y (010) son rectangulares e ideacutenticos entre siacute

- Red tetragonal centrada I

Al ser iguales por simetriacutea los planos (100) y (010) no pueden centrarse independientemente y a su vez no pueden hacerlo simultaacuteneamente porque ello destruye la homogeneidad de los planos de la misma familia

Sin embargo los planos diagonales que son tambieacuten redes rectangulares pueden centrarse dando origen a la red tetragonal centrada en el interior I

Red hexagonal P (a=bc α=szlig=90ordm γ=120ordm 60ordm)

El paralelepiacutepedo fundamental es un prisma recto de base roacutembica (de aacutengulo de 60ordm) Para visualizar la forma hexagonal se toma una celda muacuteltiple integrada por tres de estas celdillas roacutembicas

Esta red hexagonal permite un apilamiento especial de los planos hexagonales Seguacuten eacuteste los nudos se proyectan a 13 o a 23 de la diagonal mayor del rombo dando como resultado una red romboeacutedrica R de (a=b=c α=szlig=γ90ordm)

Redes cuacutebicas (a=b=c α=szlig=γ=90ordm)

- Red cuacutebica primitiva P

El paralelepiacutepedo fundamental es un cubo

- Redes cuacutebicas centradas

El centrado de las caras del cubo no debiera ser posible puesto que son redes planas cuadradas Las redes cuacutebicas centradas se originan cuando el aacutengulo del romboedro se hace igual a 60ordm y las tres diagonales del romboedro se hacen iguales entre siacute definiendo las aristas de un cubo que circunscribe al romboedro Asiacute la distribucioacuten de nudos es la correspondiente a un cubo de caras centradas originando la red cuacutebica de caras centradas F

De forma similar cuando el aacutengulo entre las aristas del romboedro es de 109ordm 28acute 16acuteacute las diagonales de sus tres caras fundamentales son perpendicuales entre si e iguales en magnitud y definen un cubo inscrito en el romboedro La distribucioacuten de nudos corresponde a una red cuacutebica centrada en el interior I

(Las redes cuacutebicas no soacutelo son casos especiales de redes romboeacutedricas sino que tambieacuten lo son de redes tetragonales)

13- SIMETRIacuteA La porcioacuten miacutenima del espacio cristalino que contiene en siacute misma toda la simetriacutea de la red cristalina es la celda unidad El medio cristalino por ser perioacutedico es un medio simeacutetrico y todas sus propiedades derivan de este hecho

Entendiendo por simetriacutea aquella transformacioacuten que al aplicarse a un objeto hace que eacuteste conserve todas sus dimensiones y lo deje en una posicioacuten indistinguible de su posicioacuten original la operacioacuten de simetriacutea maacutes sencilla que existe por definicioacuten en el medio cristalino es la simple traslacioacuten entre un motivo y otro

- Elementos de simetriacuteaEl lugar geomeacutetrico que ayuda a la visualizacioacuten de la simetriacutea de una distribucioacuten ordenada recibe el nombre de elemento de simetriacutea Los elementos de simetriacutea puntual (la operacioacuten de simetriacutea deja un punto particular del diagrama inmoacutevil) sin traslacioacuten son el plano de simetriacutea el eje de rotacioacuten y el centro de simetriacutea o centro de inversioacuten

El plano de simetriacutea m o de reflexioacuten refleja partes o todos ideacutenticos del objeto a traveacutes de un plano

El eje de rotacioacuten origina una rotacioacuten al objeto de 360ordmn alrededor del eje (de derecha a izquierda)

eje monario n=1 (360ordm1=360ordm)

eje binario (perpendicular al plano) (paralelo al plano)

n=2 (360ordm2=180ordm)

eje ternario n=3 (360ordm3=120ordm)

eje cuaternario n=4 (360ordm4=90ordm)

eje senario n=6 (360ordm6=60ordm)

(La restriccioacuten cristalograacutefica limita los giros permisibles a estos cinco para que su orden sea compatible con la existencia de redes)

Las combinaciones de ambos elementos de simetriacutea originan los ejes de rotacioacuten impropios

- eje de rotorreflexioacuten rotacioacuten de 360ordmn seguida por reflexioacuten en un plano perpendicular al eje

- eje de rotoinversioacuten rotacioacuten de 360ordmn seguida por inversioacuten a traveacutes de un punto en el eje

orden 1 orden 3 orden 4 orden 6

Nota Los ejes de rotoinversioacuten se representan por el orden del eje (2 3 4 o 6) con el siacutembolo negativo encima de ellos En esta Web ese siacutembolo se identifica tambieacuten por el signo negativo bien delante o inferior al nuacutemero de orden del eje

(el esquema superior representa una rotoreflexioacuten de orden 4 y el inferior una rotoinversioacuten del mismo orden)

Por su parte el centro de simetriacutea i o centro de inversioacuten es un elemento de simetriacutea puntual que invierte el objeto a traveacutes de una liacutenea recta

- Combinacioacuten de elementos de simetriacuteaLa combinacioacuten de elementos de simetriacutea no se produce al azar estaacute regida por una serie de normas y limitaciones que son

- Los elementos que se combinan guardan unas relaciones angulares caracteriacutesticas

- La combinacioacuten de algunos elementos de simetriacutea genera directamente la presencia de otros

Eje de orden par + centro de simetriacutea ------- plano de simetriacutea perpendicular al eje

Eje de orden n contenido en un plano de simetriacutea -------- n-1 planos de simetriacutea que intersectan en el eje

Dos ejes que se cortan --------- un tercer eje que pasa por el punto de corte

(entre propios e impropios soacutelo es posible un propio y dos impropios)

Eje de orden n + eje binario perpendicular -------- n-1 ejes binarios tambieacuten normales a eacutel

Eje de inversioacuten de orden n(impar) + eje binario perpendicular -------- n ejes binarios y planos de simetriacutea

Eje de inversioacuten de orden n(par) + eje binario perpendicular -------- n2 ejes binarios y planos de simetriacutea

-Los ejes de inversioacuten realizan una operacioacuten de simetriacutea equivalente a la de dos elementos de simetriacutea (excepto el de orden 4)

3 = 3 + i

Eje de rotoinversioacuten de orden impar = eje propio del mismo orden + centro de simetriacutea

(6 = 3 + m)

Eje de rotoinversioacuten de orden par = eje propio de mitad de orden + un plano de simetriacutea perpendicular a eacutel

- Las 32 clases de simetriacuteaEs faacutecil prever que en el medio cristalino los elementos de simetriacutea se combinan entre siacute hasta engendrar los modelos cristalinos regulares que se combinan de treinta y dos maneras distintas y dan lugar a las treinta y dos posibles clases cristalinas o grupos puntuales (la operacioacuten de simetriacutea deja un punto particular del diagrama inmoacutevil) existentes

Estas treinta y dos clases cristalinas se han obtenido mediante las siguientes combinaciones de elementos de simetriacutea

Siacutembolo Combinacioacuten de simetriacutea Elementos de simetriacutea

1 Eje monario (giro de 360ordm)

2 Eje binario (giro de 180ordm)

3 Eje ternario (giro de 120ordm)

4 Eje cuaternario (giro de 90ordm)

6 Eje senario (giro de 60ordm)

1 Eje monario de inversioacuten (giro de 360ordm+inversioacuten) = centro de inversioacuten (2=i)

2 Eje binario de inversioacuten (giro de 180ordm+inversioacuten) = plano de simetriacutea (2=m)

3 Eje ternario de inversioacuten (giro de 120ordm+inversioacuten)

T4 TEje cuaternario de inversioacuten (giro de 90ordm+inversioacuten)

6

Clases con un soacutelo elemento de simetriacutea

Eje senario de inversioacuten (giro de 60ordm+inversioacuten) = eje ternario + plano de simetriacutea perpendicular

(6=3m)

222 Tres ejes binarios en planos perpendiculares entre siacute

32 Un eje ternario + tres ejes binarios en planos perpendiculares

422 Un eje cuaternario + dos ejes binarios en planos perpendiculares

622 Un eje senario + tres ejes binarios a 120ordm (plano perpendicular al senario)

23 Cuatro ejes ternarios + Tres ejes binarios

432

Clases con combinacioacuten de ejes

Tres ejes cuaternarios + cuatro ejes ternarios + seis ejes binarios

2m Clases con un eje de Eje binario + plano de simetriacutea perpendicular a eacutel

4m Eje cuaternario + plano de simetriacutea perpendicular a eacutel

6m

orden par + un centro de simetriacutea

(Eje de orden par + centro de simetriacutea=plano de

simetriacutea perpendicular al eje)

Eje senario + plano de simetriacutea perpendicular a eacutel

2mm Eje binario + dos planos de simetriacutea que se cortan en eacutel

3m Eje ternario + tres planos de simetriacutea que se cortan en eacutel

4mm Eje cuaternario + cuatro planos de simetriacutea que se cortan en eacutel

6mm

Clases con un eje + un plano de simetriacutea que

contenga al eje

Eje senario + seis planos de simetriacutea que se cortan en eacutel

42m Eje cuaternario de inversioacuten + dos ejes binarios + dos planos de simetriacutea

43m Tres ejes cuaternarios de inversioacuten + cuatro ejes ternarios + seis planos de simetriacutea

62m

Clases con un eje + dos ejes impropios

Eje senario de inversioacuten (=eje ternario + plano de simetriacutea perpendicular) + tres ejes binarios + tres

planos de simetriacutea

2m2m2m

(mmm)

Tres ejes binarios + tres planos de simetriacutea perpendiculares

32m

(3m)

Un eje ternario + tres ejes binarios + tres planos de simetriacutea perpendiculares + un centro de simetriacutea

4m2m2m

(4mmm)

Un eje cuaternario + un plano de simetriacutea perpendicular + cuatro ejes binarios + cuatro

planos de simetriacutea perpendiculares + centro de simetriacutea

6m2m2m

(6mmm)

Un eje senario + un plano de simetriacutea perpendicular + seis ejes binarios + seis planos de simetriacutea perpendiculares + un centro de simetriacutea

2m3

(m3)

Cuatro ejes ternarios + tres ejes binarios + tres planos de simetriacutea perpendiculares + un centro de

simetriacutea

4m32m

(m3m)

TClases con tres ejes + un centro de

simetriacutea

Tres ejes cuaternarios + tres planos de simetriacutea perpendiculares + cuatro ejes ternarios + seis ejes binarios + seis planos de simetriacutea perpendiculares

+ un centro de simetriacutea

La distribucioacuten sistema cristalino-Redes de Bravais-Grupos puntuales o clases de simetriacutea es la siguiente

Red de Bravais Sistema Grupo puntual

Red Tricliacutenica primitiva P Tricliacutenico 1 1Red monocliacutenica primitiva PRed monocliacutenica centrada en las caras C

Monocliacutenico 2 m 2m

Red roacutembica primitiva PRed roacutembica centrada en las bases CRed roacutembica centrada en el interior IRed roacutembica centrada en las caras F

Roacutembico 222 mm2 mmm

Red tetragonal primitiva P

Red tetragonal centrada en el interior CTetragonal

4 4 4m 4mm 422

42m 4mmm

Red hexagonal primitiva P Hexagonal6 6 6m 6mm 622

62m 6mmm

Red romboeacutedrica primitiva P Romboeacutedrico o Trigonal

3 3 3m 32 3m

Red cuacutebica primitiva PRed cuacutebica centrada en el interior IRed cuacutebica centrada en las caras F

Cuacutebico o Isomeacutetrico23 m3

43m 432 m3m

- Simetriacutea y redes de BravaisLa presencia de elementos de simetriacutea en la red cristalina condiciona a su vez la existencia de ciertas relaciones meacutetricas entre los elementos de la celda elemental las relaciones angulares entre los ejes del cristal o ejes cristalograacuteficos y las intersecciones sobre estos ejes de la cara fundamental (111) Las dimensiones de estas intersecciones son proporcionales a las traslaciones en las tres dimensiones de la red

Por esta razoacuten se han agrupado las redes de Bravais en siete grandes grupos redes tricliacutenicas redes monocliacutenicas redes roacutembicas redes tetragonales redes hexagonales redes romboeacutedricas y redes cuacutebicas Cada uno de estos grupos de redes corresponde a un sistema cuyo nombre es ideacutentico al de las redes correspondientes y posee unas constantes reticulares fijas y una miacutenima simetriacutea caracteriacutestica

Red de Bravais SistemaRed Tricliacutenica primitiva P TricliacutenicoRed monocliacutenica primitiva PRed monocliacutenica centrada en las caras C

Monocliacutenico

Red roacutembica primitiva PRed roacutembica centrada en las bases CRed roacutembica centrada en el interior IRed roacutembica centrada en las caras F

Roacutembico

Red tetragonal primitiva PRed tetragonal centrada en el interior C

Tetragonal

Red hexagonal primitiva P HexagonalRed romboeacutedrica primitiva P Romboeacutedrico o Trigonal Red cuacutebica primitiva PRed cuacutebica centrada en el interior IRed cuacutebica centrada en las caras F

Cuacutebico o Isomeacutetrico

Las constantes reticulares y la miacutenima simetriacutea que caracteriza a cada grupo de redes o sistema cristalino es la siguiente

- Sistema tricliacutenico (abc αszligγ90ordm)

No posee ninguna simetriacutea miacutenima

- Sistema monocliacutenico (abc α=γ=90ordmszliggt90ordm)

Presenta como simetriacutea miacutenima un eje de rotacioacuten binario o un eje de inversioacuten binario (=plano de simetriacutea)

- Sistema roacutembico (abc α=szlig=γ=90ordm)

Como miacutenimo posee tres ejes binarios perpendiculares entre siacute

- Sistema tetragonal (a=bc α=szlig=γ=90ordm)

Posee como caracteriacutestica fundamental un eje de rotacioacuten cuaternario o un eje de inversioacuten cuaternario

- Sistema hexagonal (a=bc α=szlig=90ordm γ=120ordm)

Su caracteriacutestica fundamental es la presencia de un eje de rotacioacuten senario o un eje de inversioacuten senario (eje ternario + plano de simetriacutea perpendicular)

Para mayor precisioacuten generalmente se introduce un cuarto eje i coplanario con a y b que forma un aacutengulo de 120ordm con cada uno de ellos asiacute la cruz axial seraacute (a=b=ic α=szlig=90ordm γ=120ordm)

Iacutendices de Miller hexagonales Como se trabaja con un cuarto iacutendice que se situacutea en el plano a1 a2 y a 120ordm de cada uno de estos ejes los planos hexagonales se van a representar por cuatro iacutendices (hkil) El valor de i se determina como h+k

- Sistema romboeacutedrico o trigonal (a=b=c α=szlig=γ90ordm)

Su caracteriacutestica comuacuten es la presencia de un eje de rotacioacuten ternario o un eje de inversioacuten ternario (eje ternario + centro de simetriacutea)

- Sistema cuacutebico (a=b=c α=szlig=γ=90ordm)

Posee como caracteriacutestica fundamental cuatro ejes de rotacioacuten ternarios inclinados a 10947ordm

NOTA Ademaacutes de las constantes reticulares para definir un sistema cristalino puede utilizarse la relacioacuten parameacutetrica siendo eacutesta la relacioacuten existente entre los moacutedulos de a y c respecto al moacutedulo de b

ab 1 cb

Normalmente se toman estos valores y los aacutengulos para definir la red

14- SIMETRIacuteA CON TRASLACIOacuteN - Elementos de simetriacutea con traslacioacutenLa red cristalina soacutelo tiene sentido como indicadora de la periodicidad que se presenta en el cristal como consecuencia de la repeticioacuten del motivo Debido a ello la simetriacutea que revela por siacute la red no tiene que ser necesariamente la que posea el cristal aunque en general lo sea

Ejemplo La coesita (variedad de la siacutelice de alta presioacuten) tiene una red cuya meacutetrica es roacutembica mientras que la estructura es monocliacutenica ya que el motivo carece de ciertos elementos de simetriacutea que la meacutetrica de la red indicaban

Es faacutecil comprender que debido a que la red es solamente la consecuencia de unas fuerzas cohesivas entre los aacutetomos que forman el cristal fuerzas que obligan a una repeticioacuten monoacutetona de las agrupaciones atoacutemicas la simetriacutea de la red debe estar iacutentimamente relacionada con la del cristal entendido como agrupacioacuten repetitiva de aacutetomos

La red nos proporciona por tanto la simetriacutea maacutexima que el cristal puede tener pero dicha simetriacutea depende de la simetriacutea propia del motivo La complejidad que el motivo cristalino aacutetomos iones y moleacuteculas aporta a la red cristalina hace que los elementos de simetriacutea del medio cristalino se ampliacuteen Aparece la traslacioacuten que tiene dimensiones submicroscoacutepicas no accesibles a la morfologiacutea macroscoacutepica

Los operadores de simetriacutea que completan la tarea de rellenar el espacio cristalino se consideran cada uno de ellos como una sola y nueva operacioacuten de simetriacutea Estos son los planos de deslizamiento que implican la reflexioacuten asociada a una traslacioacuten y los ejes helicoidales que implican a su vez giro y traslacioacuten

- Plano de deslizamiento

El plano de deslizamiento realiza simultaacuteneamente dos operaciones refleja la imagen o traslada la imagen a intervalos de media traslacioacuten

Cuando la semitraslacioacuten asociada al plano de deslizamiento corresponde a alguna de las direcciones fundamentales del cristal el plano se denomina a b c respectivamente

Cuando la semitraslacioacuten corresponde a la diagonal del plano reflector es decir el plano de deslizamiento se situacutea paralelo a la diagonal entre las filas definidas por a b y c el plano se simboliza por n y las componentes de su traslacioacuten son

a2 + b2 b2 + c2 c2 + a2 y a2 + b2 + c2

Los planos d (aparece en la estructura del diamante) se tratan tambieacuten de planos diagonales Presentan como componentes de traslacioacuten cuartos de la fundamental es decir

a4 plusmn b4 b4 plusmn c4 c4 plusmn a4 y a4 plusmn b4 plusmn c4

El siguiente cuadro sintetiza la notacioacuten y simetriacutea de los planos en los grupos espaciales

Siacutembolo Siacutembolo graacutefico Orientacioacuten y Traslacioacuten

m

perpendicular al papel

paralelo al papel

(100) o (010) ninguna traslacioacuten

(001) ninguna traslacioacuten

a

perpendicular al papel

paralelo al papel

(010) traslacioacuten a2

(001) traslacioacuten a2

b

perpendicular al papel

paralelo al papel

(100) traslacioacuten b2

(001) traslacioacuten b2

c perpendicular al papel

(100) 0 (010) traslacioacuten c2

n

______ perpendicular al papel

paralelo al papel

traslacioacuten (b+c)2 en (100) traslacioacuten (c+a)2 en (010)

traslacioacuten (a+b)2 en (001) traslacioacuten (a+b+c)2 en (110) en sistemas tetragonal o cuacutebico

d

perpendicular al papel

paralelo al papel

traslacioacuten (b+c)4 en (100) traslacioacuten (c+a)4 en (010)

traslacioacuten (a+b)4 en (001) traslacioacuten (a+b+c)4 en (110) en sistemas tetragonal o cuacutebico

- Eje helicoidal

Un eje helicoidal implica similarmente una operacioacuten doble

Un giro el permisible para su orden

Una traslacioacuten constante a lo largo del eje

Como sabemos el orden del eje es el nuacutemero de repeticiones que se necesitan para lograr la identidad implicando una serie de giros sucesivos hasta haber completado su operacioacuten de simetriacutea total

En un eje helicoidal cada uno de estos giros parciales debe asociarse a una parte aliacutecuota de la traslacioacuten total t paralela a la direccioacuten del eje La identidad se logra en la operacioacuten giro cuando se ha aplicado tantas veces el giro permisible como indica el orden del eje

Haciendo el periodo de identidad t coincidente con el giro completo del eje se obtienen los siguientes ejes helicoidales

Siacutembolo Siacutembolo graacutefico Denominacioacuten Giro Traslacioacuten

21 Eje binario helicoidal 180ordm t2

31 Eje ternario helicoidal

derecho120ordm

dextroacutegiro t3

32 Eje ternario helicoidal

izquierdo 120ordm levoacutegiro t3

41 Eje cuaternario helicoidal

derecho90ordm

dextroacutegiro t4

43 Eje cuaternario helicoidal

izquierdo 90ordm levoacutegiro t4

61 Eje senario helicoidal

derecho 60ordmdextroacutegiro t6

65 Eje senario helicoidal

izquierdo 60ordm levoacutegiro t6

Tambieacuten se pueden deducir los ejes helicoidales haciendo que la identidad se alcance para Nn giros siendo N el orden del eje y n un divisor entero de N

N (orden

del eje)

n (divisor entero de N)

Nn (giros)

Siacutembolo Siacutembolo graacutefico Denominacioacuten Giro Traslacioacuten

4 T2 2 42 Eje cuaternario-binario helicoidal 90ordm t2

6 3 2 63

Eje senario-ternario

helicoidal60ordm t2

6 2 3 62

Eje senario-binario helicoidal

derecho

60ordm dextroacutegiro t3

6 2 3 64

Eje senario-binario helicoidal

izquierdo

60ordm levoacutegiro t3

- Los 17 grupos planos En la deduccioacuten de los grupos planos hay que tener en cuenta que es el motivo contenido de la celda definida por unas traslaciones dadas el que muestra la existencia de los elementos de simetriacutea Es decir que las partes del motivo estaacuten relacionadas entre siacute por dichos elementos de simetriacutea (que puede ser simetriacutea con traslacioacuten) que la suma de estas partes constituye la celda y que las celdas implican una meacutetrica dada es decir tiene una forma y unas dimensiones que condicionan una simetriacutea maacutexima

En los grupos planos los haces de elementos de simetriacutea son perpendiculares al plano que se asocia a un tipo de red plana El nuacutemero de estos grupos planos es de 17

- Grupos planos con red oblicua

La simetriacutea maacutexima que permite una red obiacutecua es un haz de ejes binarios Existiraacuten por tanto dos posibilidades

Grupo plano p1 p como indicativo de primitivo y 1 como indicativo de no simetriacutea El dominio complejo coincide con el motivo y por tanto su multiplicidad es 1

Grupo plano p2 p como indicativo de primitivo y 2 como indicativo de eje binario de simetriacutea La multiplicidad del dominio complejo es 2 ya que la simetriacutea genera duplicidad del motivo

- Grupos planos con red rectangular

La simetriacutea maacutexima que permite una red rectangular es dos haces de planos de simetriacutea y un haz de ejes binarios Existiraacuten por tanto diferentes combinaciones

Grupo plano pm p como indicativo de primitivo y m como indicativo del plano de simetriacutea La multiplicidad del dominio complejo es 2 ya que la simetriacutea genera duplicidad del motivo

Grupo plano pg p como indicativo de primitivo y g como indicativo del plano de deslizamiento La multiplicidad del dominio complejo es 2 ya que la simetriacutea genera duplicidad del motivo

Grupo plano pmm (p2mm) p como indicativo de primitivo y dos m como indicativo de planos de simetriacutea mutuamente perpendiculares Los planos de simetriacutea llevan impliacutecitos la aparcicioacuten de ejes binarios La multiplicidad del dominio complejo es 4

Grupo plano pmg (p2mg) p como indicativo de primitivo y planos perpendiculares de tipo distinto (m ordinarios y g de deslizamiento) Esto hace que los ejes de simetriacutea no se encuentren en la interseccioacuten sino desplazados a lo largo del plano de deslizamiento a mitad de la componente desplazamiento El origen de la celda se toma sobre un eje binario La multiplicidad del dominio complejo es 4

Grupo plano pgg(p2gg) p como indicativo de primitivo y dos g de planos perpendiculares de deslizamiento Esto hace que los ejes de simetriacutea no se encuentren en la interseccioacuten sino desplazados a lo largo de cada plano de deslizamiento a mitad de la componente deslizamiento El origen de la celda se toma sobre un eje binario La multiplicidad del dominio complejo es 4

- Grupos planos con red roacutembica o rectangular centrada

Grupo plano cm c como indicativo de la operacioacuten de centrado y m como indicativo del plano de simetriacutea La operacioacuten de centrado lleva impliacutecita la existencia de un plano de deslizamiento La multiplicidad del dominio complejo es 4

Grupo plano cmm (c2mm) c como indicativo de centrado y dos m como indicativo de planos de simetriacutea mutuamente perpendiculares La operacioacuten de centrado lleva impliacutecita la existencia de planos de deslizamiento La multiplicidad del dominio complejo es 4 Los planos de simetriacutea ordinarios y de deslizamiento llevan impliacutecitos la aparcicioacuten de ejes binarios en las intersecciones del mismo tipo de planos no de distintos La multiplicidad del dominio complejo es 8

- Grupos planos con red cuadrada

La simetriacutea maacutexima que permite una red cuadrada es un haz de ejes cuaternarios y sus planos de simetriacutea contenidos en ellos En todos los casos se toma un eje cuaternario como origen de

la celda apareciendo otro eje cuaternario en el centro de la celda Existiraacuten por tanto diferentes combinaciones

Grupo plano p4 p como indicativo de primitivo y 4 como indicativo de eje cuaternario de simetriacutea Los ejes cuaternarios generan la aparcicioacuten de ejes binarios intercalados entre los cuaternarios La multiplicidad del dominio complejo es 4

Grupo plano p4mm p como indicativo de primitivo 4 como indicativo de eje cuaternario de simetriacutea y m como los planos de simetriacutea que contienen a dichos ejes Los ejes cuaternarios generan la aparcicioacuten de ejes binarios intercalados entre los cuaternarios y toda la simetriacutea genera planos de deslizamiento paralelos a las diagonales de la celda La multiplicidad del dominio complejo es 8

Grupo plano p4gm p como indicativo de primitivo 4 como indicativo de eje cuaternario de simetriacutea g como planos de deslizamiento y m como los planos de simetriacutea La multiplicidad del dominio complejo es 8

- Grupos planos con red hexagonal

La simetriacutea maacutexima que permite una red hexagonal es un haz de ejes senarios o ternarios y los planos de simetriacutea que contienen a dichos ejes Existiraacuten por tanto diferentes combinaciones

Grupo plano p3 p como indicativo de primitivo y 3 como indicativo de eje ternario de simetriacutea Los ejes ternarios generan la aparcicioacuten de otros ternarios en el centro de los dos triaacutengulos equilaacuteteros que conforman la celda La multiplicidad del dominio complejo es 3

Grupo plano p3m1 p como indicativo de primitivo 3 como indicativo de eje ternario de simetriacutea y m como plano de simetriacutea en la diagonal mayor del rombo Se genera alternancia de planos de deslizamiento La multiplicidad del dominio complejo es 6

Grupo plano p31m p como indicativo de primitivo 3 como indicativo de eje ternario de simetriacutea y m como plano de simetriacutea en la diagonal menor del rombo Se genera alternancia de planos de deslizamiento La multiplicidad del dominio complejo es 6

Grupo plano p6 p como indicativo de primitivo y 6 como indicativo de eje senario de simetriacutea Se generan ejes ternarios en los centros de los triaacutengulos equilaacuteteros conformadores y ejes binarios en los centros de los lados de dichos triaacutengulos La multiplicidad del dominio complejo es de 6

Grupo plano p6mm p como indicativo de primitivo 6 como indicativo de eje senario de simetriacutea y m de los planos de simetriacutea que los contienen Se generan ejes ternarios en los centros de los triaacutengulos equilaacuteteros conformadores ejes binarios en los centros de los lados de dichos triaacutengulos y planos de deslizamiento alternantes La multiplicidad del dominio complejo es de 12

La tabla que relaciona los grupos puntuales y los grupos planos pone de manifiesto que no todas las combinaciones conducen a nuevos o diferentes grupos puntuales La interaccioacuten de la simetriacutea del motivo con la simetriacutea de las diversas redes planas afecta al contenido de simetriacutea resultante del modelo planar El modelo final muestra la simetriacutea de la red cuando los elementos de simetriacutea del motivo estaacuten alineados con los elementos de simetriacutea correspondiente de la red Si el motivo tiene menos simetriacutea que la red el modelo expresaraacute el menor grado de simetriacutea del motivo con los elementos de simetriacutea de eacuteste alineados con los correspondientes elementos de simetriacutea de la red

Red Grupo puntual Grupo plano

1 p1 Obliacutecua

2 p2 m pm pg

Rectangular mm pmm pmg pgg m cm

Roacutembica mm cmm

4 p4

Cuadrada

4mm p4mm p4gm

3 p3 3m p3m p31m 6 p6

Hexagonal

6mm p6mm

- Grupos espaciales Los grupos espaciales representan las diversas formas en que los motivos pueden distribuirse en el espacio en una estructura homogeacutenea

Los grupos espaciales surgen de la combinacioacuten de los 14 tipos posibles de redes espaciales (redes de Bravais) con la simetriacutea propia de las 32 clases cristalinas o grupos puntuales maacutes la simetriacutea con traslacioacuten

Las caracteriacutesticas de la red se expresan con las letras P A B C F I R de las redes de Bravais que designan el tipo de red general A continuacioacuten se describen en el siacutembolo los elementos de simetriacutea

Ejemplos

P4m2m2m oacute p4mmm

4m2m2m oacute 4mmm Grupo de simetriacutea 4mmm

P Red tetragonal sencilla

P42n2n2m oacute P42nnm

42nnm Grupo isogonal con el 4mmm donde los ejes de rotacioacuten cuaternaria del grupo puntual aparecen como ejes de rotoinversioacuten cuaternaria y helicoidal cuaternario paralelos y alternativos Existen planos de deslizamiento n y de simetriacutea m asiacute como ejes de rotacioacuten binaria con helicoidales binarios intercalados

P Red tetragonal sencilla

Al igual que ocurriacutea en los grupos planos en los grupos espaciales con redes no primitivas la operacioacuten de centrado introduce la simetriacutea con traslacioacuten y sin embargo estos nuevos elementos no se aprecian en los siacutembolos Por ejemplo

C2m

2m Grupo de simetriacutea 2m Sin embargo aparecen debido al centrado ejes helicoidales binarios intercalados con los binarios y planos de deslizamiento intercalados con los planos de simetriacutea

C Red roacutembica centrada de tipo C

Los 230 grupos espaciales vienen descritos en las International Tables for X-ray Crystallography clasificadas seguacuten los grupos puntuales y los sistemas cristalinos

Una composicioacuten de la informacioacuten contenida en estas Tablas se muestra a continuacioacuten para el grupo espacial Cmm2 en el que la C significa una red centrada en las caras separadas por el eje c la primera m representa un plano de simetriacutea perpendicular al eje a la segunda m

representa un plano de simetriacutea perpendicular al eje b y el 2 se refiere al eje binario paralelo al eje c

  • EL ESTADO CRISTALINO
Page 2: Cristalografia Estructural

CURSO DE CRISTALOGRAFIacuteA

ESTRUCTURAL 1 El estado cristalino

11 Introduccioacuten 12 Redes cristalinas - Filas reticulares - Plano reticular - Iacutendices de Miller - Celda unidad - Redes planas - Redes de Bravais 13 Simetriacutea - Elementos de simetriacutea - Combinacioacuten de elementos - Las 32 clases de simetriacutea - Simetriacutea y redes de Bravais Sistemas cristalinas 14 Simetriacutea con traslacioacuten - Elementos de simetriacutea con traslacioacuten - Los 17 grupos planos - Grupos espaciales

EL ESTADO CRISTALINO 11- INTRODUCCIOacuteNSe describen como materiales cristalinos aquellos materiales soacutelidos cuyos elementos constitutivos se repiten de manera ordenada y paralela y cuya distribucioacuten en el espacio muestra ciertas relaciones de simetriacutea Asiacute la propiedad caracteriacutestica y definidora del medio cristalino es ser perioacutedico es decir que a lo largo de cualquier direccioacuten y dependiendo de la direccioacuten elegida la materia que lo forma se halla a distancias especiacuteficas y paralelamente orientada Ademaacutes de eacutesta otras propiedades caracteriacutesticas son la homogeneidad y la anisotropiacutea

Por tanto el cristal estaacute formado por la repeticioacuten monoacutetona de agrupaciones atoacutemicas paralelas entre siacute y a distancias repetitivas especiacuteficas (traslacioacuten) La red cristalina es una abstraccioacuten del contenido material de este medio cristalino y el tratarlo uacutenicamente en funcioacuten de las traslaciones presentes constituye la esencia de la teoriacutea de las redes cristalinas

En la red cristalina todos los puntos nudos tienen exactamente los mismos alrededores y son ideacutenticos en posicioacuten con relacioacuten al patroacuten o motivo que se repite Este motivo es una constante del cristal ya que constituye el contenido material es decir su naturaleza atoacutemica de manera que red x motivo = cristal

En esta red espacial existe una porcioacuten del espacio cristalino denominado celda unidad el cual repetido por traslacioacuten y adosado desde un punto reticular a otro engendra todo el retiacuteculo De esta manera conociendo la disposicioacuten exacta de los aacutetomos dentro de la celdilla unidad conocemos la disposicioacuten atoacutemica de todo el cristal

- Periodicidad El medio cristalino es un medio perioacutedico ya que a lo largo de cualquier direccioacuten la materia que lo forma se halla a distancias especiacuteficas y paralelamente orientada de forma que la orientacioacuten y distancias a que se encuentran dependen de la direccioacuten elegida La distancia seguacuten la cual las unidades estructurales se repiten paralela e ideacutenticamente a lo largo de una direccioacuten dada se denomina traslacioacuten Eacutestas definen la denominada red cristalina constituida por una serie de puntos (nudos) separados entre siacute por las citadas traslaciones

- Homogeneidad En una red cristalina la distribucioacuten de nudos alrededor de uno de ellos es la misma independientemente del nudo que tomemos como referencia Asiacute una red es un conjunto de nudos homogeacuteneos o bien un conjunto homogeacuteneo de nudos

- Anisotropiacutea La red de nudos constituyente del estado cristalino es anisoacutetropa en cuanto a las distancias entre nudos es decir eacutesta depende de la direccioacuten seguacuten la cual se mide

12- REDES CRISTALINASPara una apropiada asimilacioacuten de lo que significa el orden interno cristalino se ha de comenzar por la visualizacioacuten y definicioacuten a traveacutes de vectores traslacioacuten del orden interno monodimensional constituido por las diferentes direcciones de la red que definen por su periodicidad filas reticulares donde los nudos estaacuten alineados y equidistantes entre siacute

- Fila reticularSe trata de una fila de nudos obtenida por aplicacioacuten sucesiva de una traslacioacuten definida

El siacutembolo de las filas reticulares se denomina como los iacutendices [uvw] que son los componentes del vector traslacioacuten que une dos nudos adyacentes de la fila considerada expresados en funcioacuten de un par primitivo cuyo origen se situacutea sobre uno de estos dos nudos

Por ejemplo para las filas fundamentales

Para otras filas reticulares

- Plano reticularUn plano reticular queda definido por dos filas reticulares conjugadas Todo plano reticular puede definirse por sus intersecciones (Ha Kb Lc) con los tres ejes fundamentales del cristal

Las dimensiones de estas intersecciones (HKL) medidas desde un nudo tomado como origen son los paraacutemetros del plano reticular correspondiente Sin embargo la denominacioacuten habitual de un plano reticular son los iacutendices de Miller

- Iacutendices de MillerSe obtienen calculando las intersecciones (H K L) o nuacutemero de traslaciones con los tres ejes fundamentales del cristal Posteriormente se invierten y se eliminan denominadores o bien se calculan los cocientes entre el producto de las tres intersecciones dividido entre cada una de las intersecciones (HKL= N NH= h NK=k NL=l)

Intersecciones H=aelig K=aelig L=1

Invertimos 1aelig=0 1aelig=0 11=1 no existen denominadores

Iacutendices de Miller (001)

1ordm Deducir las intersecciones de cada plano con los ejes cristalograacuteficos a b y c Es decir contar el nuacutemero de traslaciones t1 t2 y t3 que ocupa el plano sobre los ejes a b y c

El plano ABD ocupa

2t1 en el eje a 2t2 en el eje b y 4t3 en el eje c

El plano EBD ocupa

4t1 en el eje a 2t2 en el eje b y 4t3 en el eje c

2ordm Para calcular los iacutendices de Miller de cada plano a partir de estas intersecciones se invierten los valores y si es necesario se reducen las fracciones

El plano ABD corta a los ejes en 2 2 y 4

Su inversioacuten es 12 12 14

Reducimos fracciones quitando denominadores 24 24 14 Sin denominadores queda 221

Iacutendices de Miller (221)

El plano EBD corta a los ejes en 4 2 y 4

Su inversioacuten es 14 12 14

Reducimos fracciones quitando denominadores 14 24 14 sin denominadores queda 121

Iacutendices de Miller (121)

Este siacutembolo entre pareacutentesis (hkl) nombra el plano dado mientras que entre corchetes hkl indica todos los planos homoacutelogos que resultan de aplicar los elementos de simetriacutea del cristal al plano (hkl)

- Celda unidadEn una red cristalina existen siempre tres traslaciones no coplanarias que tienen las dimensiones miacutenimas entre todas las traslaciones posibles de la red son las traslaciones fundamentales o constantes reticulares de dimensiones submicroscoacutepicas La porcioacuten del espacio cristalino limitado por estas traslaciones constituye la celda fundamental del cristal y es caracteriacutestica del mismo

Se denomina celda primitiva aquella que no tiene nudos en su interior y celda muacuteltiple a la que si los tiene y estaacute definida por vectores muacuteltiples que son muacuteltiplos enteros del vector traslacioacuten unitario de igual direccioacuten Se llama multiplicidad al nuacutemero de nudos que hay por celda elemental (todas las celdas primitivas de una red tienen multiplicidad 1 frac14 4 = 1)

- Redes planasEl orden bidimensional es el resultado de traslaciones regulares en dos direcciones distintas que resultan en la definicioacuten de los cinco tipos de redes planas La asimilacioacuten de este orden bidimensional es baacutesica para comprender la regularidad correspondiente a objetos tridimensionales tales como la materia cristalina Se definen cinco tipos de redes planas con las siguientes caracteriacutesticas

Red oblicua (ane b γ ne 90ordm)

Red rectangular (ane b γ =90ordm)

Existen tambieacuten redes centradas que son el resultado de antildeadir nuevos nudos en el centro de cada paralelogramo generador de la red plana Soacutelo puede realizarse esta operacioacuten de centrado si la red resultante es morfoloacutegicamente diferente de la original por ello soacutelo pueden centrarse las redes rectangulares (obtenieacutendose una red roacutembica) o las redes roacutembicas (dando lugar a una red rectangular)

Red roacutembica (a=b γ ne 90ordm 60ordm 120ordm)

Red hexagonal (a=b γ =60ordm 120ordm)

Red cuadrada (a=b γ =90ordm)

Las redes planas forman por apilamiento homogeacuteneo los distintos tipos de redes espaciales es decir las distintas familias de planos cristalinos que integran el cristal La manera como estos planos se apilan determina los aacutengulos entre las traslaciones fundamentales en las tres dimensiones que es lo que define a su vez la forma y dimensiones del paralelepiacutepedo o celda unidad que caracteriza la red cristalina

- Redes de BravaisDe la superposicioacuten de planos se generan catorce celdas morfoloacutegicamente distintas que se conocen como las Redes de Bravais en honor de su descubridor

En teacuterminos de redes cristalinas tridimensionales los paralelepiacutepedos fundamentales morfoloacutegicamente distintos son el resultado de combinar las tres traslaciones fundamentales de valores dados con sus inclinaciones respectivas es decir con los tres aacutengulos α szlig y γ

Su construccioacuten se realiza apilando paralelamente una sucesioacuten infinita de modelos planos ideacutenticos de manera que la distancia entre ellos sea siempre igual (familia de planos) Mientras que en el plano se deduciacutean cinco tipos de redes en el espacio tridimensional se reconocen hasta catorce distribuciones perioacutedicas

Red tricliacutenica (abc αszligγ90ordm)

Debido a los valores distintos entre siacute de las traslaciones y de los aacutengulos fundamentales el paralelepiacutepedo tiene forma cualquiera triplemente inclinado (por ello se denomina tricliacutenico) Se trata de una red primitiva

Redes monocliacutenicas (abc α=γ=90ordmszlig )

La celda es un paralelepiacutepedo no recto de base rectangular (formados por redes planas rectangulares)

- Red monocliacutenica primitiva P

- Red monocliacutenica de base centrada

La operacioacuten de centrado de redes permite la generacioacuten de este otro tipo de red Si se centra la red plana rectangular (100) su siacutembolo es A y si se centra la (001) es C Morfoloacutegicamente estas redes soacutelo se diferencian en su orientacioacuten por tanto las redes monocliacutenicas de base centrada A y C son equivalentes

Redes roacutembicas (abc α=szlig=γ=90ordm)

- Red roacutembica primitiva P

El paralelepiacutepedo fundamental es un prisma recto de base rectangular Los tres planos fundamentales (100) (010) y (001) maacutes los planos diagonales del prisma son redes planas rectangulares

- Redes roacutembicas centradas

La operacioacuten de centrado de redes permite la generacioacuten de estos otros tipos de red Si se centran las redes planas rectangulares (100) (010) y (001) sus siacutembolos son respectivamente A B y C

Morfoloacutegicamente estas redes son iguales y se denominan red roacutembica de base centrada simbolizada por C Cuando la operacioacuten de centrado es sobre las tres caras a la vez la red se denomina red roacutembica de caras centradas y se simboliza por F Si el centrado se produce en los planos diagonales del prisma la red resultante se denomina red roacutembica centrada en el interior de siacutembolo I

Redes tetragonales (a=bc α=szlig=γ=90ordm)

- Red tetragonal P

La celda fundamental es un prisma recto de base cuadrada La familia de planos (001) son de red plana cuadrada mientras que (100) y (010) son rectangulares e ideacutenticos entre siacute

- Red tetragonal centrada I

Al ser iguales por simetriacutea los planos (100) y (010) no pueden centrarse independientemente y a su vez no pueden hacerlo simultaacuteneamente porque ello destruye la homogeneidad de los planos de la misma familia

Sin embargo los planos diagonales que son tambieacuten redes rectangulares pueden centrarse dando origen a la red tetragonal centrada en el interior I

Red hexagonal P (a=bc α=szlig=90ordm γ=120ordm 60ordm)

El paralelepiacutepedo fundamental es un prisma recto de base roacutembica (de aacutengulo de 60ordm) Para visualizar la forma hexagonal se toma una celda muacuteltiple integrada por tres de estas celdillas roacutembicas

Esta red hexagonal permite un apilamiento especial de los planos hexagonales Seguacuten eacuteste los nudos se proyectan a 13 o a 23 de la diagonal mayor del rombo dando como resultado una red romboeacutedrica R de (a=b=c α=szlig=γ90ordm)

Redes cuacutebicas (a=b=c α=szlig=γ=90ordm)

- Red cuacutebica primitiva P

El paralelepiacutepedo fundamental es un cubo

- Redes cuacutebicas centradas

El centrado de las caras del cubo no debiera ser posible puesto que son redes planas cuadradas Las redes cuacutebicas centradas se originan cuando el aacutengulo del romboedro se hace igual a 60ordm y las tres diagonales del romboedro se hacen iguales entre siacute definiendo las aristas de un cubo que circunscribe al romboedro Asiacute la distribucioacuten de nudos es la correspondiente a un cubo de caras centradas originando la red cuacutebica de caras centradas F

De forma similar cuando el aacutengulo entre las aristas del romboedro es de 109ordm 28acute 16acuteacute las diagonales de sus tres caras fundamentales son perpendicuales entre si e iguales en magnitud y definen un cubo inscrito en el romboedro La distribucioacuten de nudos corresponde a una red cuacutebica centrada en el interior I

(Las redes cuacutebicas no soacutelo son casos especiales de redes romboeacutedricas sino que tambieacuten lo son de redes tetragonales)

13- SIMETRIacuteA La porcioacuten miacutenima del espacio cristalino que contiene en siacute misma toda la simetriacutea de la red cristalina es la celda unidad El medio cristalino por ser perioacutedico es un medio simeacutetrico y todas sus propiedades derivan de este hecho

Entendiendo por simetriacutea aquella transformacioacuten que al aplicarse a un objeto hace que eacuteste conserve todas sus dimensiones y lo deje en una posicioacuten indistinguible de su posicioacuten original la operacioacuten de simetriacutea maacutes sencilla que existe por definicioacuten en el medio cristalino es la simple traslacioacuten entre un motivo y otro

- Elementos de simetriacuteaEl lugar geomeacutetrico que ayuda a la visualizacioacuten de la simetriacutea de una distribucioacuten ordenada recibe el nombre de elemento de simetriacutea Los elementos de simetriacutea puntual (la operacioacuten de simetriacutea deja un punto particular del diagrama inmoacutevil) sin traslacioacuten son el plano de simetriacutea el eje de rotacioacuten y el centro de simetriacutea o centro de inversioacuten

El plano de simetriacutea m o de reflexioacuten refleja partes o todos ideacutenticos del objeto a traveacutes de un plano

El eje de rotacioacuten origina una rotacioacuten al objeto de 360ordmn alrededor del eje (de derecha a izquierda)

eje monario n=1 (360ordm1=360ordm)

eje binario (perpendicular al plano) (paralelo al plano)

n=2 (360ordm2=180ordm)

eje ternario n=3 (360ordm3=120ordm)

eje cuaternario n=4 (360ordm4=90ordm)

eje senario n=6 (360ordm6=60ordm)

(La restriccioacuten cristalograacutefica limita los giros permisibles a estos cinco para que su orden sea compatible con la existencia de redes)

Las combinaciones de ambos elementos de simetriacutea originan los ejes de rotacioacuten impropios

- eje de rotorreflexioacuten rotacioacuten de 360ordmn seguida por reflexioacuten en un plano perpendicular al eje

- eje de rotoinversioacuten rotacioacuten de 360ordmn seguida por inversioacuten a traveacutes de un punto en el eje

orden 1 orden 3 orden 4 orden 6

Nota Los ejes de rotoinversioacuten se representan por el orden del eje (2 3 4 o 6) con el siacutembolo negativo encima de ellos En esta Web ese siacutembolo se identifica tambieacuten por el signo negativo bien delante o inferior al nuacutemero de orden del eje

(el esquema superior representa una rotoreflexioacuten de orden 4 y el inferior una rotoinversioacuten del mismo orden)

Por su parte el centro de simetriacutea i o centro de inversioacuten es un elemento de simetriacutea puntual que invierte el objeto a traveacutes de una liacutenea recta

- Combinacioacuten de elementos de simetriacuteaLa combinacioacuten de elementos de simetriacutea no se produce al azar estaacute regida por una serie de normas y limitaciones que son

- Los elementos que se combinan guardan unas relaciones angulares caracteriacutesticas

- La combinacioacuten de algunos elementos de simetriacutea genera directamente la presencia de otros

Eje de orden par + centro de simetriacutea ------- plano de simetriacutea perpendicular al eje

Eje de orden n contenido en un plano de simetriacutea -------- n-1 planos de simetriacutea que intersectan en el eje

Dos ejes que se cortan --------- un tercer eje que pasa por el punto de corte

(entre propios e impropios soacutelo es posible un propio y dos impropios)

Eje de orden n + eje binario perpendicular -------- n-1 ejes binarios tambieacuten normales a eacutel

Eje de inversioacuten de orden n(impar) + eje binario perpendicular -------- n ejes binarios y planos de simetriacutea

Eje de inversioacuten de orden n(par) + eje binario perpendicular -------- n2 ejes binarios y planos de simetriacutea

-Los ejes de inversioacuten realizan una operacioacuten de simetriacutea equivalente a la de dos elementos de simetriacutea (excepto el de orden 4)

3 = 3 + i

Eje de rotoinversioacuten de orden impar = eje propio del mismo orden + centro de simetriacutea

(6 = 3 + m)

Eje de rotoinversioacuten de orden par = eje propio de mitad de orden + un plano de simetriacutea perpendicular a eacutel

- Las 32 clases de simetriacuteaEs faacutecil prever que en el medio cristalino los elementos de simetriacutea se combinan entre siacute hasta engendrar los modelos cristalinos regulares que se combinan de treinta y dos maneras distintas y dan lugar a las treinta y dos posibles clases cristalinas o grupos puntuales (la operacioacuten de simetriacutea deja un punto particular del diagrama inmoacutevil) existentes

Estas treinta y dos clases cristalinas se han obtenido mediante las siguientes combinaciones de elementos de simetriacutea

Siacutembolo Combinacioacuten de simetriacutea Elementos de simetriacutea

1 Eje monario (giro de 360ordm)

2 Eje binario (giro de 180ordm)

3 Eje ternario (giro de 120ordm)

4 Eje cuaternario (giro de 90ordm)

6 Eje senario (giro de 60ordm)

1 Eje monario de inversioacuten (giro de 360ordm+inversioacuten) = centro de inversioacuten (2=i)

2 Eje binario de inversioacuten (giro de 180ordm+inversioacuten) = plano de simetriacutea (2=m)

3 Eje ternario de inversioacuten (giro de 120ordm+inversioacuten)

T4 TEje cuaternario de inversioacuten (giro de 90ordm+inversioacuten)

6

Clases con un soacutelo elemento de simetriacutea

Eje senario de inversioacuten (giro de 60ordm+inversioacuten) = eje ternario + plano de simetriacutea perpendicular

(6=3m)

222 Tres ejes binarios en planos perpendiculares entre siacute

32 Un eje ternario + tres ejes binarios en planos perpendiculares

422 Un eje cuaternario + dos ejes binarios en planos perpendiculares

622 Un eje senario + tres ejes binarios a 120ordm (plano perpendicular al senario)

23 Cuatro ejes ternarios + Tres ejes binarios

432

Clases con combinacioacuten de ejes

Tres ejes cuaternarios + cuatro ejes ternarios + seis ejes binarios

2m Clases con un eje de Eje binario + plano de simetriacutea perpendicular a eacutel

4m Eje cuaternario + plano de simetriacutea perpendicular a eacutel

6m

orden par + un centro de simetriacutea

(Eje de orden par + centro de simetriacutea=plano de

simetriacutea perpendicular al eje)

Eje senario + plano de simetriacutea perpendicular a eacutel

2mm Eje binario + dos planos de simetriacutea que se cortan en eacutel

3m Eje ternario + tres planos de simetriacutea que se cortan en eacutel

4mm Eje cuaternario + cuatro planos de simetriacutea que se cortan en eacutel

6mm

Clases con un eje + un plano de simetriacutea que

contenga al eje

Eje senario + seis planos de simetriacutea que se cortan en eacutel

42m Eje cuaternario de inversioacuten + dos ejes binarios + dos planos de simetriacutea

43m Tres ejes cuaternarios de inversioacuten + cuatro ejes ternarios + seis planos de simetriacutea

62m

Clases con un eje + dos ejes impropios

Eje senario de inversioacuten (=eje ternario + plano de simetriacutea perpendicular) + tres ejes binarios + tres

planos de simetriacutea

2m2m2m

(mmm)

Tres ejes binarios + tres planos de simetriacutea perpendiculares

32m

(3m)

Un eje ternario + tres ejes binarios + tres planos de simetriacutea perpendiculares + un centro de simetriacutea

4m2m2m

(4mmm)

Un eje cuaternario + un plano de simetriacutea perpendicular + cuatro ejes binarios + cuatro

planos de simetriacutea perpendiculares + centro de simetriacutea

6m2m2m

(6mmm)

Un eje senario + un plano de simetriacutea perpendicular + seis ejes binarios + seis planos de simetriacutea perpendiculares + un centro de simetriacutea

2m3

(m3)

Cuatro ejes ternarios + tres ejes binarios + tres planos de simetriacutea perpendiculares + un centro de

simetriacutea

4m32m

(m3m)

TClases con tres ejes + un centro de

simetriacutea

Tres ejes cuaternarios + tres planos de simetriacutea perpendiculares + cuatro ejes ternarios + seis ejes binarios + seis planos de simetriacutea perpendiculares

+ un centro de simetriacutea

La distribucioacuten sistema cristalino-Redes de Bravais-Grupos puntuales o clases de simetriacutea es la siguiente

Red de Bravais Sistema Grupo puntual

Red Tricliacutenica primitiva P Tricliacutenico 1 1Red monocliacutenica primitiva PRed monocliacutenica centrada en las caras C

Monocliacutenico 2 m 2m

Red roacutembica primitiva PRed roacutembica centrada en las bases CRed roacutembica centrada en el interior IRed roacutembica centrada en las caras F

Roacutembico 222 mm2 mmm

Red tetragonal primitiva P

Red tetragonal centrada en el interior CTetragonal

4 4 4m 4mm 422

42m 4mmm

Red hexagonal primitiva P Hexagonal6 6 6m 6mm 622

62m 6mmm

Red romboeacutedrica primitiva P Romboeacutedrico o Trigonal

3 3 3m 32 3m

Red cuacutebica primitiva PRed cuacutebica centrada en el interior IRed cuacutebica centrada en las caras F

Cuacutebico o Isomeacutetrico23 m3

43m 432 m3m

- Simetriacutea y redes de BravaisLa presencia de elementos de simetriacutea en la red cristalina condiciona a su vez la existencia de ciertas relaciones meacutetricas entre los elementos de la celda elemental las relaciones angulares entre los ejes del cristal o ejes cristalograacuteficos y las intersecciones sobre estos ejes de la cara fundamental (111) Las dimensiones de estas intersecciones son proporcionales a las traslaciones en las tres dimensiones de la red

Por esta razoacuten se han agrupado las redes de Bravais en siete grandes grupos redes tricliacutenicas redes monocliacutenicas redes roacutembicas redes tetragonales redes hexagonales redes romboeacutedricas y redes cuacutebicas Cada uno de estos grupos de redes corresponde a un sistema cuyo nombre es ideacutentico al de las redes correspondientes y posee unas constantes reticulares fijas y una miacutenima simetriacutea caracteriacutestica

Red de Bravais SistemaRed Tricliacutenica primitiva P TricliacutenicoRed monocliacutenica primitiva PRed monocliacutenica centrada en las caras C

Monocliacutenico

Red roacutembica primitiva PRed roacutembica centrada en las bases CRed roacutembica centrada en el interior IRed roacutembica centrada en las caras F

Roacutembico

Red tetragonal primitiva PRed tetragonal centrada en el interior C

Tetragonal

Red hexagonal primitiva P HexagonalRed romboeacutedrica primitiva P Romboeacutedrico o Trigonal Red cuacutebica primitiva PRed cuacutebica centrada en el interior IRed cuacutebica centrada en las caras F

Cuacutebico o Isomeacutetrico

Las constantes reticulares y la miacutenima simetriacutea que caracteriza a cada grupo de redes o sistema cristalino es la siguiente

- Sistema tricliacutenico (abc αszligγ90ordm)

No posee ninguna simetriacutea miacutenima

- Sistema monocliacutenico (abc α=γ=90ordmszliggt90ordm)

Presenta como simetriacutea miacutenima un eje de rotacioacuten binario o un eje de inversioacuten binario (=plano de simetriacutea)

- Sistema roacutembico (abc α=szlig=γ=90ordm)

Como miacutenimo posee tres ejes binarios perpendiculares entre siacute

- Sistema tetragonal (a=bc α=szlig=γ=90ordm)

Posee como caracteriacutestica fundamental un eje de rotacioacuten cuaternario o un eje de inversioacuten cuaternario

- Sistema hexagonal (a=bc α=szlig=90ordm γ=120ordm)

Su caracteriacutestica fundamental es la presencia de un eje de rotacioacuten senario o un eje de inversioacuten senario (eje ternario + plano de simetriacutea perpendicular)

Para mayor precisioacuten generalmente se introduce un cuarto eje i coplanario con a y b que forma un aacutengulo de 120ordm con cada uno de ellos asiacute la cruz axial seraacute (a=b=ic α=szlig=90ordm γ=120ordm)

Iacutendices de Miller hexagonales Como se trabaja con un cuarto iacutendice que se situacutea en el plano a1 a2 y a 120ordm de cada uno de estos ejes los planos hexagonales se van a representar por cuatro iacutendices (hkil) El valor de i se determina como h+k

- Sistema romboeacutedrico o trigonal (a=b=c α=szlig=γ90ordm)

Su caracteriacutestica comuacuten es la presencia de un eje de rotacioacuten ternario o un eje de inversioacuten ternario (eje ternario + centro de simetriacutea)

- Sistema cuacutebico (a=b=c α=szlig=γ=90ordm)

Posee como caracteriacutestica fundamental cuatro ejes de rotacioacuten ternarios inclinados a 10947ordm

NOTA Ademaacutes de las constantes reticulares para definir un sistema cristalino puede utilizarse la relacioacuten parameacutetrica siendo eacutesta la relacioacuten existente entre los moacutedulos de a y c respecto al moacutedulo de b

ab 1 cb

Normalmente se toman estos valores y los aacutengulos para definir la red

14- SIMETRIacuteA CON TRASLACIOacuteN - Elementos de simetriacutea con traslacioacutenLa red cristalina soacutelo tiene sentido como indicadora de la periodicidad que se presenta en el cristal como consecuencia de la repeticioacuten del motivo Debido a ello la simetriacutea que revela por siacute la red no tiene que ser necesariamente la que posea el cristal aunque en general lo sea

Ejemplo La coesita (variedad de la siacutelice de alta presioacuten) tiene una red cuya meacutetrica es roacutembica mientras que la estructura es monocliacutenica ya que el motivo carece de ciertos elementos de simetriacutea que la meacutetrica de la red indicaban

Es faacutecil comprender que debido a que la red es solamente la consecuencia de unas fuerzas cohesivas entre los aacutetomos que forman el cristal fuerzas que obligan a una repeticioacuten monoacutetona de las agrupaciones atoacutemicas la simetriacutea de la red debe estar iacutentimamente relacionada con la del cristal entendido como agrupacioacuten repetitiva de aacutetomos

La red nos proporciona por tanto la simetriacutea maacutexima que el cristal puede tener pero dicha simetriacutea depende de la simetriacutea propia del motivo La complejidad que el motivo cristalino aacutetomos iones y moleacuteculas aporta a la red cristalina hace que los elementos de simetriacutea del medio cristalino se ampliacuteen Aparece la traslacioacuten que tiene dimensiones submicroscoacutepicas no accesibles a la morfologiacutea macroscoacutepica

Los operadores de simetriacutea que completan la tarea de rellenar el espacio cristalino se consideran cada uno de ellos como una sola y nueva operacioacuten de simetriacutea Estos son los planos de deslizamiento que implican la reflexioacuten asociada a una traslacioacuten y los ejes helicoidales que implican a su vez giro y traslacioacuten

- Plano de deslizamiento

El plano de deslizamiento realiza simultaacuteneamente dos operaciones refleja la imagen o traslada la imagen a intervalos de media traslacioacuten

Cuando la semitraslacioacuten asociada al plano de deslizamiento corresponde a alguna de las direcciones fundamentales del cristal el plano se denomina a b c respectivamente

Cuando la semitraslacioacuten corresponde a la diagonal del plano reflector es decir el plano de deslizamiento se situacutea paralelo a la diagonal entre las filas definidas por a b y c el plano se simboliza por n y las componentes de su traslacioacuten son

a2 + b2 b2 + c2 c2 + a2 y a2 + b2 + c2

Los planos d (aparece en la estructura del diamante) se tratan tambieacuten de planos diagonales Presentan como componentes de traslacioacuten cuartos de la fundamental es decir

a4 plusmn b4 b4 plusmn c4 c4 plusmn a4 y a4 plusmn b4 plusmn c4

El siguiente cuadro sintetiza la notacioacuten y simetriacutea de los planos en los grupos espaciales

Siacutembolo Siacutembolo graacutefico Orientacioacuten y Traslacioacuten

m

perpendicular al papel

paralelo al papel

(100) o (010) ninguna traslacioacuten

(001) ninguna traslacioacuten

a

perpendicular al papel

paralelo al papel

(010) traslacioacuten a2

(001) traslacioacuten a2

b

perpendicular al papel

paralelo al papel

(100) traslacioacuten b2

(001) traslacioacuten b2

c perpendicular al papel

(100) 0 (010) traslacioacuten c2

n

______ perpendicular al papel

paralelo al papel

traslacioacuten (b+c)2 en (100) traslacioacuten (c+a)2 en (010)

traslacioacuten (a+b)2 en (001) traslacioacuten (a+b+c)2 en (110) en sistemas tetragonal o cuacutebico

d

perpendicular al papel

paralelo al papel

traslacioacuten (b+c)4 en (100) traslacioacuten (c+a)4 en (010)

traslacioacuten (a+b)4 en (001) traslacioacuten (a+b+c)4 en (110) en sistemas tetragonal o cuacutebico

- Eje helicoidal

Un eje helicoidal implica similarmente una operacioacuten doble

Un giro el permisible para su orden

Una traslacioacuten constante a lo largo del eje

Como sabemos el orden del eje es el nuacutemero de repeticiones que se necesitan para lograr la identidad implicando una serie de giros sucesivos hasta haber completado su operacioacuten de simetriacutea total

En un eje helicoidal cada uno de estos giros parciales debe asociarse a una parte aliacutecuota de la traslacioacuten total t paralela a la direccioacuten del eje La identidad se logra en la operacioacuten giro cuando se ha aplicado tantas veces el giro permisible como indica el orden del eje

Haciendo el periodo de identidad t coincidente con el giro completo del eje se obtienen los siguientes ejes helicoidales

Siacutembolo Siacutembolo graacutefico Denominacioacuten Giro Traslacioacuten

21 Eje binario helicoidal 180ordm t2

31 Eje ternario helicoidal

derecho120ordm

dextroacutegiro t3

32 Eje ternario helicoidal

izquierdo 120ordm levoacutegiro t3

41 Eje cuaternario helicoidal

derecho90ordm

dextroacutegiro t4

43 Eje cuaternario helicoidal

izquierdo 90ordm levoacutegiro t4

61 Eje senario helicoidal

derecho 60ordmdextroacutegiro t6

65 Eje senario helicoidal

izquierdo 60ordm levoacutegiro t6

Tambieacuten se pueden deducir los ejes helicoidales haciendo que la identidad se alcance para Nn giros siendo N el orden del eje y n un divisor entero de N

N (orden

del eje)

n (divisor entero de N)

Nn (giros)

Siacutembolo Siacutembolo graacutefico Denominacioacuten Giro Traslacioacuten

4 T2 2 42 Eje cuaternario-binario helicoidal 90ordm t2

6 3 2 63

Eje senario-ternario

helicoidal60ordm t2

6 2 3 62

Eje senario-binario helicoidal

derecho

60ordm dextroacutegiro t3

6 2 3 64

Eje senario-binario helicoidal

izquierdo

60ordm levoacutegiro t3

- Los 17 grupos planos En la deduccioacuten de los grupos planos hay que tener en cuenta que es el motivo contenido de la celda definida por unas traslaciones dadas el que muestra la existencia de los elementos de simetriacutea Es decir que las partes del motivo estaacuten relacionadas entre siacute por dichos elementos de simetriacutea (que puede ser simetriacutea con traslacioacuten) que la suma de estas partes constituye la celda y que las celdas implican una meacutetrica dada es decir tiene una forma y unas dimensiones que condicionan una simetriacutea maacutexima

En los grupos planos los haces de elementos de simetriacutea son perpendiculares al plano que se asocia a un tipo de red plana El nuacutemero de estos grupos planos es de 17

- Grupos planos con red oblicua

La simetriacutea maacutexima que permite una red obiacutecua es un haz de ejes binarios Existiraacuten por tanto dos posibilidades

Grupo plano p1 p como indicativo de primitivo y 1 como indicativo de no simetriacutea El dominio complejo coincide con el motivo y por tanto su multiplicidad es 1

Grupo plano p2 p como indicativo de primitivo y 2 como indicativo de eje binario de simetriacutea La multiplicidad del dominio complejo es 2 ya que la simetriacutea genera duplicidad del motivo

- Grupos planos con red rectangular

La simetriacutea maacutexima que permite una red rectangular es dos haces de planos de simetriacutea y un haz de ejes binarios Existiraacuten por tanto diferentes combinaciones

Grupo plano pm p como indicativo de primitivo y m como indicativo del plano de simetriacutea La multiplicidad del dominio complejo es 2 ya que la simetriacutea genera duplicidad del motivo

Grupo plano pg p como indicativo de primitivo y g como indicativo del plano de deslizamiento La multiplicidad del dominio complejo es 2 ya que la simetriacutea genera duplicidad del motivo

Grupo plano pmm (p2mm) p como indicativo de primitivo y dos m como indicativo de planos de simetriacutea mutuamente perpendiculares Los planos de simetriacutea llevan impliacutecitos la aparcicioacuten de ejes binarios La multiplicidad del dominio complejo es 4

Grupo plano pmg (p2mg) p como indicativo de primitivo y planos perpendiculares de tipo distinto (m ordinarios y g de deslizamiento) Esto hace que los ejes de simetriacutea no se encuentren en la interseccioacuten sino desplazados a lo largo del plano de deslizamiento a mitad de la componente desplazamiento El origen de la celda se toma sobre un eje binario La multiplicidad del dominio complejo es 4

Grupo plano pgg(p2gg) p como indicativo de primitivo y dos g de planos perpendiculares de deslizamiento Esto hace que los ejes de simetriacutea no se encuentren en la interseccioacuten sino desplazados a lo largo de cada plano de deslizamiento a mitad de la componente deslizamiento El origen de la celda se toma sobre un eje binario La multiplicidad del dominio complejo es 4

- Grupos planos con red roacutembica o rectangular centrada

Grupo plano cm c como indicativo de la operacioacuten de centrado y m como indicativo del plano de simetriacutea La operacioacuten de centrado lleva impliacutecita la existencia de un plano de deslizamiento La multiplicidad del dominio complejo es 4

Grupo plano cmm (c2mm) c como indicativo de centrado y dos m como indicativo de planos de simetriacutea mutuamente perpendiculares La operacioacuten de centrado lleva impliacutecita la existencia de planos de deslizamiento La multiplicidad del dominio complejo es 4 Los planos de simetriacutea ordinarios y de deslizamiento llevan impliacutecitos la aparcicioacuten de ejes binarios en las intersecciones del mismo tipo de planos no de distintos La multiplicidad del dominio complejo es 8

- Grupos planos con red cuadrada

La simetriacutea maacutexima que permite una red cuadrada es un haz de ejes cuaternarios y sus planos de simetriacutea contenidos en ellos En todos los casos se toma un eje cuaternario como origen de

la celda apareciendo otro eje cuaternario en el centro de la celda Existiraacuten por tanto diferentes combinaciones

Grupo plano p4 p como indicativo de primitivo y 4 como indicativo de eje cuaternario de simetriacutea Los ejes cuaternarios generan la aparcicioacuten de ejes binarios intercalados entre los cuaternarios La multiplicidad del dominio complejo es 4

Grupo plano p4mm p como indicativo de primitivo 4 como indicativo de eje cuaternario de simetriacutea y m como los planos de simetriacutea que contienen a dichos ejes Los ejes cuaternarios generan la aparcicioacuten de ejes binarios intercalados entre los cuaternarios y toda la simetriacutea genera planos de deslizamiento paralelos a las diagonales de la celda La multiplicidad del dominio complejo es 8

Grupo plano p4gm p como indicativo de primitivo 4 como indicativo de eje cuaternario de simetriacutea g como planos de deslizamiento y m como los planos de simetriacutea La multiplicidad del dominio complejo es 8

- Grupos planos con red hexagonal

La simetriacutea maacutexima que permite una red hexagonal es un haz de ejes senarios o ternarios y los planos de simetriacutea que contienen a dichos ejes Existiraacuten por tanto diferentes combinaciones

Grupo plano p3 p como indicativo de primitivo y 3 como indicativo de eje ternario de simetriacutea Los ejes ternarios generan la aparcicioacuten de otros ternarios en el centro de los dos triaacutengulos equilaacuteteros que conforman la celda La multiplicidad del dominio complejo es 3

Grupo plano p3m1 p como indicativo de primitivo 3 como indicativo de eje ternario de simetriacutea y m como plano de simetriacutea en la diagonal mayor del rombo Se genera alternancia de planos de deslizamiento La multiplicidad del dominio complejo es 6

Grupo plano p31m p como indicativo de primitivo 3 como indicativo de eje ternario de simetriacutea y m como plano de simetriacutea en la diagonal menor del rombo Se genera alternancia de planos de deslizamiento La multiplicidad del dominio complejo es 6

Grupo plano p6 p como indicativo de primitivo y 6 como indicativo de eje senario de simetriacutea Se generan ejes ternarios en los centros de los triaacutengulos equilaacuteteros conformadores y ejes binarios en los centros de los lados de dichos triaacutengulos La multiplicidad del dominio complejo es de 6

Grupo plano p6mm p como indicativo de primitivo 6 como indicativo de eje senario de simetriacutea y m de los planos de simetriacutea que los contienen Se generan ejes ternarios en los centros de los triaacutengulos equilaacuteteros conformadores ejes binarios en los centros de los lados de dichos triaacutengulos y planos de deslizamiento alternantes La multiplicidad del dominio complejo es de 12

La tabla que relaciona los grupos puntuales y los grupos planos pone de manifiesto que no todas las combinaciones conducen a nuevos o diferentes grupos puntuales La interaccioacuten de la simetriacutea del motivo con la simetriacutea de las diversas redes planas afecta al contenido de simetriacutea resultante del modelo planar El modelo final muestra la simetriacutea de la red cuando los elementos de simetriacutea del motivo estaacuten alineados con los elementos de simetriacutea correspondiente de la red Si el motivo tiene menos simetriacutea que la red el modelo expresaraacute el menor grado de simetriacutea del motivo con los elementos de simetriacutea de eacuteste alineados con los correspondientes elementos de simetriacutea de la red

Red Grupo puntual Grupo plano

1 p1 Obliacutecua

2 p2 m pm pg

Rectangular mm pmm pmg pgg m cm

Roacutembica mm cmm

4 p4

Cuadrada

4mm p4mm p4gm

3 p3 3m p3m p31m 6 p6

Hexagonal

6mm p6mm

- Grupos espaciales Los grupos espaciales representan las diversas formas en que los motivos pueden distribuirse en el espacio en una estructura homogeacutenea

Los grupos espaciales surgen de la combinacioacuten de los 14 tipos posibles de redes espaciales (redes de Bravais) con la simetriacutea propia de las 32 clases cristalinas o grupos puntuales maacutes la simetriacutea con traslacioacuten

Las caracteriacutesticas de la red se expresan con las letras P A B C F I R de las redes de Bravais que designan el tipo de red general A continuacioacuten se describen en el siacutembolo los elementos de simetriacutea

Ejemplos

P4m2m2m oacute p4mmm

4m2m2m oacute 4mmm Grupo de simetriacutea 4mmm

P Red tetragonal sencilla

P42n2n2m oacute P42nnm

42nnm Grupo isogonal con el 4mmm donde los ejes de rotacioacuten cuaternaria del grupo puntual aparecen como ejes de rotoinversioacuten cuaternaria y helicoidal cuaternario paralelos y alternativos Existen planos de deslizamiento n y de simetriacutea m asiacute como ejes de rotacioacuten binaria con helicoidales binarios intercalados

P Red tetragonal sencilla

Al igual que ocurriacutea en los grupos planos en los grupos espaciales con redes no primitivas la operacioacuten de centrado introduce la simetriacutea con traslacioacuten y sin embargo estos nuevos elementos no se aprecian en los siacutembolos Por ejemplo

C2m

2m Grupo de simetriacutea 2m Sin embargo aparecen debido al centrado ejes helicoidales binarios intercalados con los binarios y planos de deslizamiento intercalados con los planos de simetriacutea

C Red roacutembica centrada de tipo C

Los 230 grupos espaciales vienen descritos en las International Tables for X-ray Crystallography clasificadas seguacuten los grupos puntuales y los sistemas cristalinos

Una composicioacuten de la informacioacuten contenida en estas Tablas se muestra a continuacioacuten para el grupo espacial Cmm2 en el que la C significa una red centrada en las caras separadas por el eje c la primera m representa un plano de simetriacutea perpendicular al eje a la segunda m

representa un plano de simetriacutea perpendicular al eje b y el 2 se refiere al eje binario paralelo al eje c

  • EL ESTADO CRISTALINO
Page 3: Cristalografia Estructural

EL ESTADO CRISTALINO 11- INTRODUCCIOacuteNSe describen como materiales cristalinos aquellos materiales soacutelidos cuyos elementos constitutivos se repiten de manera ordenada y paralela y cuya distribucioacuten en el espacio muestra ciertas relaciones de simetriacutea Asiacute la propiedad caracteriacutestica y definidora del medio cristalino es ser perioacutedico es decir que a lo largo de cualquier direccioacuten y dependiendo de la direccioacuten elegida la materia que lo forma se halla a distancias especiacuteficas y paralelamente orientada Ademaacutes de eacutesta otras propiedades caracteriacutesticas son la homogeneidad y la anisotropiacutea

Por tanto el cristal estaacute formado por la repeticioacuten monoacutetona de agrupaciones atoacutemicas paralelas entre siacute y a distancias repetitivas especiacuteficas (traslacioacuten) La red cristalina es una abstraccioacuten del contenido material de este medio cristalino y el tratarlo uacutenicamente en funcioacuten de las traslaciones presentes constituye la esencia de la teoriacutea de las redes cristalinas

En la red cristalina todos los puntos nudos tienen exactamente los mismos alrededores y son ideacutenticos en posicioacuten con relacioacuten al patroacuten o motivo que se repite Este motivo es una constante del cristal ya que constituye el contenido material es decir su naturaleza atoacutemica de manera que red x motivo = cristal

En esta red espacial existe una porcioacuten del espacio cristalino denominado celda unidad el cual repetido por traslacioacuten y adosado desde un punto reticular a otro engendra todo el retiacuteculo De esta manera conociendo la disposicioacuten exacta de los aacutetomos dentro de la celdilla unidad conocemos la disposicioacuten atoacutemica de todo el cristal

- Periodicidad El medio cristalino es un medio perioacutedico ya que a lo largo de cualquier direccioacuten la materia que lo forma se halla a distancias especiacuteficas y paralelamente orientada de forma que la orientacioacuten y distancias a que se encuentran dependen de la direccioacuten elegida La distancia seguacuten la cual las unidades estructurales se repiten paralela e ideacutenticamente a lo largo de una direccioacuten dada se denomina traslacioacuten Eacutestas definen la denominada red cristalina constituida por una serie de puntos (nudos) separados entre siacute por las citadas traslaciones

- Homogeneidad En una red cristalina la distribucioacuten de nudos alrededor de uno de ellos es la misma independientemente del nudo que tomemos como referencia Asiacute una red es un conjunto de nudos homogeacuteneos o bien un conjunto homogeacuteneo de nudos

- Anisotropiacutea La red de nudos constituyente del estado cristalino es anisoacutetropa en cuanto a las distancias entre nudos es decir eacutesta depende de la direccioacuten seguacuten la cual se mide

12- REDES CRISTALINASPara una apropiada asimilacioacuten de lo que significa el orden interno cristalino se ha de comenzar por la visualizacioacuten y definicioacuten a traveacutes de vectores traslacioacuten del orden interno monodimensional constituido por las diferentes direcciones de la red que definen por su periodicidad filas reticulares donde los nudos estaacuten alineados y equidistantes entre siacute

- Fila reticularSe trata de una fila de nudos obtenida por aplicacioacuten sucesiva de una traslacioacuten definida

El siacutembolo de las filas reticulares se denomina como los iacutendices [uvw] que son los componentes del vector traslacioacuten que une dos nudos adyacentes de la fila considerada expresados en funcioacuten de un par primitivo cuyo origen se situacutea sobre uno de estos dos nudos

Por ejemplo para las filas fundamentales

Para otras filas reticulares

- Plano reticularUn plano reticular queda definido por dos filas reticulares conjugadas Todo plano reticular puede definirse por sus intersecciones (Ha Kb Lc) con los tres ejes fundamentales del cristal

Las dimensiones de estas intersecciones (HKL) medidas desde un nudo tomado como origen son los paraacutemetros del plano reticular correspondiente Sin embargo la denominacioacuten habitual de un plano reticular son los iacutendices de Miller

- Iacutendices de MillerSe obtienen calculando las intersecciones (H K L) o nuacutemero de traslaciones con los tres ejes fundamentales del cristal Posteriormente se invierten y se eliminan denominadores o bien se calculan los cocientes entre el producto de las tres intersecciones dividido entre cada una de las intersecciones (HKL= N NH= h NK=k NL=l)

Intersecciones H=aelig K=aelig L=1

Invertimos 1aelig=0 1aelig=0 11=1 no existen denominadores

Iacutendices de Miller (001)

1ordm Deducir las intersecciones de cada plano con los ejes cristalograacuteficos a b y c Es decir contar el nuacutemero de traslaciones t1 t2 y t3 que ocupa el plano sobre los ejes a b y c

El plano ABD ocupa

2t1 en el eje a 2t2 en el eje b y 4t3 en el eje c

El plano EBD ocupa

4t1 en el eje a 2t2 en el eje b y 4t3 en el eje c

2ordm Para calcular los iacutendices de Miller de cada plano a partir de estas intersecciones se invierten los valores y si es necesario se reducen las fracciones

El plano ABD corta a los ejes en 2 2 y 4

Su inversioacuten es 12 12 14

Reducimos fracciones quitando denominadores 24 24 14 Sin denominadores queda 221

Iacutendices de Miller (221)

El plano EBD corta a los ejes en 4 2 y 4

Su inversioacuten es 14 12 14

Reducimos fracciones quitando denominadores 14 24 14 sin denominadores queda 121

Iacutendices de Miller (121)

Este siacutembolo entre pareacutentesis (hkl) nombra el plano dado mientras que entre corchetes hkl indica todos los planos homoacutelogos que resultan de aplicar los elementos de simetriacutea del cristal al plano (hkl)

- Celda unidadEn una red cristalina existen siempre tres traslaciones no coplanarias que tienen las dimensiones miacutenimas entre todas las traslaciones posibles de la red son las traslaciones fundamentales o constantes reticulares de dimensiones submicroscoacutepicas La porcioacuten del espacio cristalino limitado por estas traslaciones constituye la celda fundamental del cristal y es caracteriacutestica del mismo

Se denomina celda primitiva aquella que no tiene nudos en su interior y celda muacuteltiple a la que si los tiene y estaacute definida por vectores muacuteltiples que son muacuteltiplos enteros del vector traslacioacuten unitario de igual direccioacuten Se llama multiplicidad al nuacutemero de nudos que hay por celda elemental (todas las celdas primitivas de una red tienen multiplicidad 1 frac14 4 = 1)

- Redes planasEl orden bidimensional es el resultado de traslaciones regulares en dos direcciones distintas que resultan en la definicioacuten de los cinco tipos de redes planas La asimilacioacuten de este orden bidimensional es baacutesica para comprender la regularidad correspondiente a objetos tridimensionales tales como la materia cristalina Se definen cinco tipos de redes planas con las siguientes caracteriacutesticas

Red oblicua (ane b γ ne 90ordm)

Red rectangular (ane b γ =90ordm)

Existen tambieacuten redes centradas que son el resultado de antildeadir nuevos nudos en el centro de cada paralelogramo generador de la red plana Soacutelo puede realizarse esta operacioacuten de centrado si la red resultante es morfoloacutegicamente diferente de la original por ello soacutelo pueden centrarse las redes rectangulares (obtenieacutendose una red roacutembica) o las redes roacutembicas (dando lugar a una red rectangular)

Red roacutembica (a=b γ ne 90ordm 60ordm 120ordm)

Red hexagonal (a=b γ =60ordm 120ordm)

Red cuadrada (a=b γ =90ordm)

Las redes planas forman por apilamiento homogeacuteneo los distintos tipos de redes espaciales es decir las distintas familias de planos cristalinos que integran el cristal La manera como estos planos se apilan determina los aacutengulos entre las traslaciones fundamentales en las tres dimensiones que es lo que define a su vez la forma y dimensiones del paralelepiacutepedo o celda unidad que caracteriza la red cristalina

- Redes de BravaisDe la superposicioacuten de planos se generan catorce celdas morfoloacutegicamente distintas que se conocen como las Redes de Bravais en honor de su descubridor

En teacuterminos de redes cristalinas tridimensionales los paralelepiacutepedos fundamentales morfoloacutegicamente distintos son el resultado de combinar las tres traslaciones fundamentales de valores dados con sus inclinaciones respectivas es decir con los tres aacutengulos α szlig y γ

Su construccioacuten se realiza apilando paralelamente una sucesioacuten infinita de modelos planos ideacutenticos de manera que la distancia entre ellos sea siempre igual (familia de planos) Mientras que en el plano se deduciacutean cinco tipos de redes en el espacio tridimensional se reconocen hasta catorce distribuciones perioacutedicas

Red tricliacutenica (abc αszligγ90ordm)

Debido a los valores distintos entre siacute de las traslaciones y de los aacutengulos fundamentales el paralelepiacutepedo tiene forma cualquiera triplemente inclinado (por ello se denomina tricliacutenico) Se trata de una red primitiva

Redes monocliacutenicas (abc α=γ=90ordmszlig )

La celda es un paralelepiacutepedo no recto de base rectangular (formados por redes planas rectangulares)

- Red monocliacutenica primitiva P

- Red monocliacutenica de base centrada

La operacioacuten de centrado de redes permite la generacioacuten de este otro tipo de red Si se centra la red plana rectangular (100) su siacutembolo es A y si se centra la (001) es C Morfoloacutegicamente estas redes soacutelo se diferencian en su orientacioacuten por tanto las redes monocliacutenicas de base centrada A y C son equivalentes

Redes roacutembicas (abc α=szlig=γ=90ordm)

- Red roacutembica primitiva P

El paralelepiacutepedo fundamental es un prisma recto de base rectangular Los tres planos fundamentales (100) (010) y (001) maacutes los planos diagonales del prisma son redes planas rectangulares

- Redes roacutembicas centradas

La operacioacuten de centrado de redes permite la generacioacuten de estos otros tipos de red Si se centran las redes planas rectangulares (100) (010) y (001) sus siacutembolos son respectivamente A B y C

Morfoloacutegicamente estas redes son iguales y se denominan red roacutembica de base centrada simbolizada por C Cuando la operacioacuten de centrado es sobre las tres caras a la vez la red se denomina red roacutembica de caras centradas y se simboliza por F Si el centrado se produce en los planos diagonales del prisma la red resultante se denomina red roacutembica centrada en el interior de siacutembolo I

Redes tetragonales (a=bc α=szlig=γ=90ordm)

- Red tetragonal P

La celda fundamental es un prisma recto de base cuadrada La familia de planos (001) son de red plana cuadrada mientras que (100) y (010) son rectangulares e ideacutenticos entre siacute

- Red tetragonal centrada I

Al ser iguales por simetriacutea los planos (100) y (010) no pueden centrarse independientemente y a su vez no pueden hacerlo simultaacuteneamente porque ello destruye la homogeneidad de los planos de la misma familia

Sin embargo los planos diagonales que son tambieacuten redes rectangulares pueden centrarse dando origen a la red tetragonal centrada en el interior I

Red hexagonal P (a=bc α=szlig=90ordm γ=120ordm 60ordm)

El paralelepiacutepedo fundamental es un prisma recto de base roacutembica (de aacutengulo de 60ordm) Para visualizar la forma hexagonal se toma una celda muacuteltiple integrada por tres de estas celdillas roacutembicas

Esta red hexagonal permite un apilamiento especial de los planos hexagonales Seguacuten eacuteste los nudos se proyectan a 13 o a 23 de la diagonal mayor del rombo dando como resultado una red romboeacutedrica R de (a=b=c α=szlig=γ90ordm)

Redes cuacutebicas (a=b=c α=szlig=γ=90ordm)

- Red cuacutebica primitiva P

El paralelepiacutepedo fundamental es un cubo

- Redes cuacutebicas centradas

El centrado de las caras del cubo no debiera ser posible puesto que son redes planas cuadradas Las redes cuacutebicas centradas se originan cuando el aacutengulo del romboedro se hace igual a 60ordm y las tres diagonales del romboedro se hacen iguales entre siacute definiendo las aristas de un cubo que circunscribe al romboedro Asiacute la distribucioacuten de nudos es la correspondiente a un cubo de caras centradas originando la red cuacutebica de caras centradas F

De forma similar cuando el aacutengulo entre las aristas del romboedro es de 109ordm 28acute 16acuteacute las diagonales de sus tres caras fundamentales son perpendicuales entre si e iguales en magnitud y definen un cubo inscrito en el romboedro La distribucioacuten de nudos corresponde a una red cuacutebica centrada en el interior I

(Las redes cuacutebicas no soacutelo son casos especiales de redes romboeacutedricas sino que tambieacuten lo son de redes tetragonales)

13- SIMETRIacuteA La porcioacuten miacutenima del espacio cristalino que contiene en siacute misma toda la simetriacutea de la red cristalina es la celda unidad El medio cristalino por ser perioacutedico es un medio simeacutetrico y todas sus propiedades derivan de este hecho

Entendiendo por simetriacutea aquella transformacioacuten que al aplicarse a un objeto hace que eacuteste conserve todas sus dimensiones y lo deje en una posicioacuten indistinguible de su posicioacuten original la operacioacuten de simetriacutea maacutes sencilla que existe por definicioacuten en el medio cristalino es la simple traslacioacuten entre un motivo y otro

- Elementos de simetriacuteaEl lugar geomeacutetrico que ayuda a la visualizacioacuten de la simetriacutea de una distribucioacuten ordenada recibe el nombre de elemento de simetriacutea Los elementos de simetriacutea puntual (la operacioacuten de simetriacutea deja un punto particular del diagrama inmoacutevil) sin traslacioacuten son el plano de simetriacutea el eje de rotacioacuten y el centro de simetriacutea o centro de inversioacuten

El plano de simetriacutea m o de reflexioacuten refleja partes o todos ideacutenticos del objeto a traveacutes de un plano

El eje de rotacioacuten origina una rotacioacuten al objeto de 360ordmn alrededor del eje (de derecha a izquierda)

eje monario n=1 (360ordm1=360ordm)

eje binario (perpendicular al plano) (paralelo al plano)

n=2 (360ordm2=180ordm)

eje ternario n=3 (360ordm3=120ordm)

eje cuaternario n=4 (360ordm4=90ordm)

eje senario n=6 (360ordm6=60ordm)

(La restriccioacuten cristalograacutefica limita los giros permisibles a estos cinco para que su orden sea compatible con la existencia de redes)

Las combinaciones de ambos elementos de simetriacutea originan los ejes de rotacioacuten impropios

- eje de rotorreflexioacuten rotacioacuten de 360ordmn seguida por reflexioacuten en un plano perpendicular al eje

- eje de rotoinversioacuten rotacioacuten de 360ordmn seguida por inversioacuten a traveacutes de un punto en el eje

orden 1 orden 3 orden 4 orden 6

Nota Los ejes de rotoinversioacuten se representan por el orden del eje (2 3 4 o 6) con el siacutembolo negativo encima de ellos En esta Web ese siacutembolo se identifica tambieacuten por el signo negativo bien delante o inferior al nuacutemero de orden del eje

(el esquema superior representa una rotoreflexioacuten de orden 4 y el inferior una rotoinversioacuten del mismo orden)

Por su parte el centro de simetriacutea i o centro de inversioacuten es un elemento de simetriacutea puntual que invierte el objeto a traveacutes de una liacutenea recta

- Combinacioacuten de elementos de simetriacuteaLa combinacioacuten de elementos de simetriacutea no se produce al azar estaacute regida por una serie de normas y limitaciones que son

- Los elementos que se combinan guardan unas relaciones angulares caracteriacutesticas

- La combinacioacuten de algunos elementos de simetriacutea genera directamente la presencia de otros

Eje de orden par + centro de simetriacutea ------- plano de simetriacutea perpendicular al eje

Eje de orden n contenido en un plano de simetriacutea -------- n-1 planos de simetriacutea que intersectan en el eje

Dos ejes que se cortan --------- un tercer eje que pasa por el punto de corte

(entre propios e impropios soacutelo es posible un propio y dos impropios)

Eje de orden n + eje binario perpendicular -------- n-1 ejes binarios tambieacuten normales a eacutel

Eje de inversioacuten de orden n(impar) + eje binario perpendicular -------- n ejes binarios y planos de simetriacutea

Eje de inversioacuten de orden n(par) + eje binario perpendicular -------- n2 ejes binarios y planos de simetriacutea

-Los ejes de inversioacuten realizan una operacioacuten de simetriacutea equivalente a la de dos elementos de simetriacutea (excepto el de orden 4)

3 = 3 + i

Eje de rotoinversioacuten de orden impar = eje propio del mismo orden + centro de simetriacutea

(6 = 3 + m)

Eje de rotoinversioacuten de orden par = eje propio de mitad de orden + un plano de simetriacutea perpendicular a eacutel

- Las 32 clases de simetriacuteaEs faacutecil prever que en el medio cristalino los elementos de simetriacutea se combinan entre siacute hasta engendrar los modelos cristalinos regulares que se combinan de treinta y dos maneras distintas y dan lugar a las treinta y dos posibles clases cristalinas o grupos puntuales (la operacioacuten de simetriacutea deja un punto particular del diagrama inmoacutevil) existentes

Estas treinta y dos clases cristalinas se han obtenido mediante las siguientes combinaciones de elementos de simetriacutea

Siacutembolo Combinacioacuten de simetriacutea Elementos de simetriacutea

1 Eje monario (giro de 360ordm)

2 Eje binario (giro de 180ordm)

3 Eje ternario (giro de 120ordm)

4 Eje cuaternario (giro de 90ordm)

6 Eje senario (giro de 60ordm)

1 Eje monario de inversioacuten (giro de 360ordm+inversioacuten) = centro de inversioacuten (2=i)

2 Eje binario de inversioacuten (giro de 180ordm+inversioacuten) = plano de simetriacutea (2=m)

3 Eje ternario de inversioacuten (giro de 120ordm+inversioacuten)

T4 TEje cuaternario de inversioacuten (giro de 90ordm+inversioacuten)

6

Clases con un soacutelo elemento de simetriacutea

Eje senario de inversioacuten (giro de 60ordm+inversioacuten) = eje ternario + plano de simetriacutea perpendicular

(6=3m)

222 Tres ejes binarios en planos perpendiculares entre siacute

32 Un eje ternario + tres ejes binarios en planos perpendiculares

422 Un eje cuaternario + dos ejes binarios en planos perpendiculares

622 Un eje senario + tres ejes binarios a 120ordm (plano perpendicular al senario)

23 Cuatro ejes ternarios + Tres ejes binarios

432

Clases con combinacioacuten de ejes

Tres ejes cuaternarios + cuatro ejes ternarios + seis ejes binarios

2m Clases con un eje de Eje binario + plano de simetriacutea perpendicular a eacutel

4m Eje cuaternario + plano de simetriacutea perpendicular a eacutel

6m

orden par + un centro de simetriacutea

(Eje de orden par + centro de simetriacutea=plano de

simetriacutea perpendicular al eje)

Eje senario + plano de simetriacutea perpendicular a eacutel

2mm Eje binario + dos planos de simetriacutea que se cortan en eacutel

3m Eje ternario + tres planos de simetriacutea que se cortan en eacutel

4mm Eje cuaternario + cuatro planos de simetriacutea que se cortan en eacutel

6mm

Clases con un eje + un plano de simetriacutea que

contenga al eje

Eje senario + seis planos de simetriacutea que se cortan en eacutel

42m Eje cuaternario de inversioacuten + dos ejes binarios + dos planos de simetriacutea

43m Tres ejes cuaternarios de inversioacuten + cuatro ejes ternarios + seis planos de simetriacutea

62m

Clases con un eje + dos ejes impropios

Eje senario de inversioacuten (=eje ternario + plano de simetriacutea perpendicular) + tres ejes binarios + tres

planos de simetriacutea

2m2m2m

(mmm)

Tres ejes binarios + tres planos de simetriacutea perpendiculares

32m

(3m)

Un eje ternario + tres ejes binarios + tres planos de simetriacutea perpendiculares + un centro de simetriacutea

4m2m2m

(4mmm)

Un eje cuaternario + un plano de simetriacutea perpendicular + cuatro ejes binarios + cuatro

planos de simetriacutea perpendiculares + centro de simetriacutea

6m2m2m

(6mmm)

Un eje senario + un plano de simetriacutea perpendicular + seis ejes binarios + seis planos de simetriacutea perpendiculares + un centro de simetriacutea

2m3

(m3)

Cuatro ejes ternarios + tres ejes binarios + tres planos de simetriacutea perpendiculares + un centro de

simetriacutea

4m32m

(m3m)

TClases con tres ejes + un centro de

simetriacutea

Tres ejes cuaternarios + tres planos de simetriacutea perpendiculares + cuatro ejes ternarios + seis ejes binarios + seis planos de simetriacutea perpendiculares

+ un centro de simetriacutea

La distribucioacuten sistema cristalino-Redes de Bravais-Grupos puntuales o clases de simetriacutea es la siguiente

Red de Bravais Sistema Grupo puntual

Red Tricliacutenica primitiva P Tricliacutenico 1 1Red monocliacutenica primitiva PRed monocliacutenica centrada en las caras C

Monocliacutenico 2 m 2m

Red roacutembica primitiva PRed roacutembica centrada en las bases CRed roacutembica centrada en el interior IRed roacutembica centrada en las caras F

Roacutembico 222 mm2 mmm

Red tetragonal primitiva P

Red tetragonal centrada en el interior CTetragonal

4 4 4m 4mm 422

42m 4mmm

Red hexagonal primitiva P Hexagonal6 6 6m 6mm 622

62m 6mmm

Red romboeacutedrica primitiva P Romboeacutedrico o Trigonal

3 3 3m 32 3m

Red cuacutebica primitiva PRed cuacutebica centrada en el interior IRed cuacutebica centrada en las caras F

Cuacutebico o Isomeacutetrico23 m3

43m 432 m3m

- Simetriacutea y redes de BravaisLa presencia de elementos de simetriacutea en la red cristalina condiciona a su vez la existencia de ciertas relaciones meacutetricas entre los elementos de la celda elemental las relaciones angulares entre los ejes del cristal o ejes cristalograacuteficos y las intersecciones sobre estos ejes de la cara fundamental (111) Las dimensiones de estas intersecciones son proporcionales a las traslaciones en las tres dimensiones de la red

Por esta razoacuten se han agrupado las redes de Bravais en siete grandes grupos redes tricliacutenicas redes monocliacutenicas redes roacutembicas redes tetragonales redes hexagonales redes romboeacutedricas y redes cuacutebicas Cada uno de estos grupos de redes corresponde a un sistema cuyo nombre es ideacutentico al de las redes correspondientes y posee unas constantes reticulares fijas y una miacutenima simetriacutea caracteriacutestica

Red de Bravais SistemaRed Tricliacutenica primitiva P TricliacutenicoRed monocliacutenica primitiva PRed monocliacutenica centrada en las caras C

Monocliacutenico

Red roacutembica primitiva PRed roacutembica centrada en las bases CRed roacutembica centrada en el interior IRed roacutembica centrada en las caras F

Roacutembico

Red tetragonal primitiva PRed tetragonal centrada en el interior C

Tetragonal

Red hexagonal primitiva P HexagonalRed romboeacutedrica primitiva P Romboeacutedrico o Trigonal Red cuacutebica primitiva PRed cuacutebica centrada en el interior IRed cuacutebica centrada en las caras F

Cuacutebico o Isomeacutetrico

Las constantes reticulares y la miacutenima simetriacutea que caracteriza a cada grupo de redes o sistema cristalino es la siguiente

- Sistema tricliacutenico (abc αszligγ90ordm)

No posee ninguna simetriacutea miacutenima

- Sistema monocliacutenico (abc α=γ=90ordmszliggt90ordm)

Presenta como simetriacutea miacutenima un eje de rotacioacuten binario o un eje de inversioacuten binario (=plano de simetriacutea)

- Sistema roacutembico (abc α=szlig=γ=90ordm)

Como miacutenimo posee tres ejes binarios perpendiculares entre siacute

- Sistema tetragonal (a=bc α=szlig=γ=90ordm)

Posee como caracteriacutestica fundamental un eje de rotacioacuten cuaternario o un eje de inversioacuten cuaternario

- Sistema hexagonal (a=bc α=szlig=90ordm γ=120ordm)

Su caracteriacutestica fundamental es la presencia de un eje de rotacioacuten senario o un eje de inversioacuten senario (eje ternario + plano de simetriacutea perpendicular)

Para mayor precisioacuten generalmente se introduce un cuarto eje i coplanario con a y b que forma un aacutengulo de 120ordm con cada uno de ellos asiacute la cruz axial seraacute (a=b=ic α=szlig=90ordm γ=120ordm)

Iacutendices de Miller hexagonales Como se trabaja con un cuarto iacutendice que se situacutea en el plano a1 a2 y a 120ordm de cada uno de estos ejes los planos hexagonales se van a representar por cuatro iacutendices (hkil) El valor de i se determina como h+k

- Sistema romboeacutedrico o trigonal (a=b=c α=szlig=γ90ordm)

Su caracteriacutestica comuacuten es la presencia de un eje de rotacioacuten ternario o un eje de inversioacuten ternario (eje ternario + centro de simetriacutea)

- Sistema cuacutebico (a=b=c α=szlig=γ=90ordm)

Posee como caracteriacutestica fundamental cuatro ejes de rotacioacuten ternarios inclinados a 10947ordm

NOTA Ademaacutes de las constantes reticulares para definir un sistema cristalino puede utilizarse la relacioacuten parameacutetrica siendo eacutesta la relacioacuten existente entre los moacutedulos de a y c respecto al moacutedulo de b

ab 1 cb

Normalmente se toman estos valores y los aacutengulos para definir la red

14- SIMETRIacuteA CON TRASLACIOacuteN - Elementos de simetriacutea con traslacioacutenLa red cristalina soacutelo tiene sentido como indicadora de la periodicidad que se presenta en el cristal como consecuencia de la repeticioacuten del motivo Debido a ello la simetriacutea que revela por siacute la red no tiene que ser necesariamente la que posea el cristal aunque en general lo sea

Ejemplo La coesita (variedad de la siacutelice de alta presioacuten) tiene una red cuya meacutetrica es roacutembica mientras que la estructura es monocliacutenica ya que el motivo carece de ciertos elementos de simetriacutea que la meacutetrica de la red indicaban

Es faacutecil comprender que debido a que la red es solamente la consecuencia de unas fuerzas cohesivas entre los aacutetomos que forman el cristal fuerzas que obligan a una repeticioacuten monoacutetona de las agrupaciones atoacutemicas la simetriacutea de la red debe estar iacutentimamente relacionada con la del cristal entendido como agrupacioacuten repetitiva de aacutetomos

La red nos proporciona por tanto la simetriacutea maacutexima que el cristal puede tener pero dicha simetriacutea depende de la simetriacutea propia del motivo La complejidad que el motivo cristalino aacutetomos iones y moleacuteculas aporta a la red cristalina hace que los elementos de simetriacutea del medio cristalino se ampliacuteen Aparece la traslacioacuten que tiene dimensiones submicroscoacutepicas no accesibles a la morfologiacutea macroscoacutepica

Los operadores de simetriacutea que completan la tarea de rellenar el espacio cristalino se consideran cada uno de ellos como una sola y nueva operacioacuten de simetriacutea Estos son los planos de deslizamiento que implican la reflexioacuten asociada a una traslacioacuten y los ejes helicoidales que implican a su vez giro y traslacioacuten

- Plano de deslizamiento

El plano de deslizamiento realiza simultaacuteneamente dos operaciones refleja la imagen o traslada la imagen a intervalos de media traslacioacuten

Cuando la semitraslacioacuten asociada al plano de deslizamiento corresponde a alguna de las direcciones fundamentales del cristal el plano se denomina a b c respectivamente

Cuando la semitraslacioacuten corresponde a la diagonal del plano reflector es decir el plano de deslizamiento se situacutea paralelo a la diagonal entre las filas definidas por a b y c el plano se simboliza por n y las componentes de su traslacioacuten son

a2 + b2 b2 + c2 c2 + a2 y a2 + b2 + c2

Los planos d (aparece en la estructura del diamante) se tratan tambieacuten de planos diagonales Presentan como componentes de traslacioacuten cuartos de la fundamental es decir

a4 plusmn b4 b4 plusmn c4 c4 plusmn a4 y a4 plusmn b4 plusmn c4

El siguiente cuadro sintetiza la notacioacuten y simetriacutea de los planos en los grupos espaciales

Siacutembolo Siacutembolo graacutefico Orientacioacuten y Traslacioacuten

m

perpendicular al papel

paralelo al papel

(100) o (010) ninguna traslacioacuten

(001) ninguna traslacioacuten

a

perpendicular al papel

paralelo al papel

(010) traslacioacuten a2

(001) traslacioacuten a2

b

perpendicular al papel

paralelo al papel

(100) traslacioacuten b2

(001) traslacioacuten b2

c perpendicular al papel

(100) 0 (010) traslacioacuten c2

n

______ perpendicular al papel

paralelo al papel

traslacioacuten (b+c)2 en (100) traslacioacuten (c+a)2 en (010)

traslacioacuten (a+b)2 en (001) traslacioacuten (a+b+c)2 en (110) en sistemas tetragonal o cuacutebico

d

perpendicular al papel

paralelo al papel

traslacioacuten (b+c)4 en (100) traslacioacuten (c+a)4 en (010)

traslacioacuten (a+b)4 en (001) traslacioacuten (a+b+c)4 en (110) en sistemas tetragonal o cuacutebico

- Eje helicoidal

Un eje helicoidal implica similarmente una operacioacuten doble

Un giro el permisible para su orden

Una traslacioacuten constante a lo largo del eje

Como sabemos el orden del eje es el nuacutemero de repeticiones que se necesitan para lograr la identidad implicando una serie de giros sucesivos hasta haber completado su operacioacuten de simetriacutea total

En un eje helicoidal cada uno de estos giros parciales debe asociarse a una parte aliacutecuota de la traslacioacuten total t paralela a la direccioacuten del eje La identidad se logra en la operacioacuten giro cuando se ha aplicado tantas veces el giro permisible como indica el orden del eje

Haciendo el periodo de identidad t coincidente con el giro completo del eje se obtienen los siguientes ejes helicoidales

Siacutembolo Siacutembolo graacutefico Denominacioacuten Giro Traslacioacuten

21 Eje binario helicoidal 180ordm t2

31 Eje ternario helicoidal

derecho120ordm

dextroacutegiro t3

32 Eje ternario helicoidal

izquierdo 120ordm levoacutegiro t3

41 Eje cuaternario helicoidal

derecho90ordm

dextroacutegiro t4

43 Eje cuaternario helicoidal

izquierdo 90ordm levoacutegiro t4

61 Eje senario helicoidal

derecho 60ordmdextroacutegiro t6

65 Eje senario helicoidal

izquierdo 60ordm levoacutegiro t6

Tambieacuten se pueden deducir los ejes helicoidales haciendo que la identidad se alcance para Nn giros siendo N el orden del eje y n un divisor entero de N

N (orden

del eje)

n (divisor entero de N)

Nn (giros)

Siacutembolo Siacutembolo graacutefico Denominacioacuten Giro Traslacioacuten

4 T2 2 42 Eje cuaternario-binario helicoidal 90ordm t2

6 3 2 63

Eje senario-ternario

helicoidal60ordm t2

6 2 3 62

Eje senario-binario helicoidal

derecho

60ordm dextroacutegiro t3

6 2 3 64

Eje senario-binario helicoidal

izquierdo

60ordm levoacutegiro t3

- Los 17 grupos planos En la deduccioacuten de los grupos planos hay que tener en cuenta que es el motivo contenido de la celda definida por unas traslaciones dadas el que muestra la existencia de los elementos de simetriacutea Es decir que las partes del motivo estaacuten relacionadas entre siacute por dichos elementos de simetriacutea (que puede ser simetriacutea con traslacioacuten) que la suma de estas partes constituye la celda y que las celdas implican una meacutetrica dada es decir tiene una forma y unas dimensiones que condicionan una simetriacutea maacutexima

En los grupos planos los haces de elementos de simetriacutea son perpendiculares al plano que se asocia a un tipo de red plana El nuacutemero de estos grupos planos es de 17

- Grupos planos con red oblicua

La simetriacutea maacutexima que permite una red obiacutecua es un haz de ejes binarios Existiraacuten por tanto dos posibilidades

Grupo plano p1 p como indicativo de primitivo y 1 como indicativo de no simetriacutea El dominio complejo coincide con el motivo y por tanto su multiplicidad es 1

Grupo plano p2 p como indicativo de primitivo y 2 como indicativo de eje binario de simetriacutea La multiplicidad del dominio complejo es 2 ya que la simetriacutea genera duplicidad del motivo

- Grupos planos con red rectangular

La simetriacutea maacutexima que permite una red rectangular es dos haces de planos de simetriacutea y un haz de ejes binarios Existiraacuten por tanto diferentes combinaciones

Grupo plano pm p como indicativo de primitivo y m como indicativo del plano de simetriacutea La multiplicidad del dominio complejo es 2 ya que la simetriacutea genera duplicidad del motivo

Grupo plano pg p como indicativo de primitivo y g como indicativo del plano de deslizamiento La multiplicidad del dominio complejo es 2 ya que la simetriacutea genera duplicidad del motivo

Grupo plano pmm (p2mm) p como indicativo de primitivo y dos m como indicativo de planos de simetriacutea mutuamente perpendiculares Los planos de simetriacutea llevan impliacutecitos la aparcicioacuten de ejes binarios La multiplicidad del dominio complejo es 4

Grupo plano pmg (p2mg) p como indicativo de primitivo y planos perpendiculares de tipo distinto (m ordinarios y g de deslizamiento) Esto hace que los ejes de simetriacutea no se encuentren en la interseccioacuten sino desplazados a lo largo del plano de deslizamiento a mitad de la componente desplazamiento El origen de la celda se toma sobre un eje binario La multiplicidad del dominio complejo es 4

Grupo plano pgg(p2gg) p como indicativo de primitivo y dos g de planos perpendiculares de deslizamiento Esto hace que los ejes de simetriacutea no se encuentren en la interseccioacuten sino desplazados a lo largo de cada plano de deslizamiento a mitad de la componente deslizamiento El origen de la celda se toma sobre un eje binario La multiplicidad del dominio complejo es 4

- Grupos planos con red roacutembica o rectangular centrada

Grupo plano cm c como indicativo de la operacioacuten de centrado y m como indicativo del plano de simetriacutea La operacioacuten de centrado lleva impliacutecita la existencia de un plano de deslizamiento La multiplicidad del dominio complejo es 4

Grupo plano cmm (c2mm) c como indicativo de centrado y dos m como indicativo de planos de simetriacutea mutuamente perpendiculares La operacioacuten de centrado lleva impliacutecita la existencia de planos de deslizamiento La multiplicidad del dominio complejo es 4 Los planos de simetriacutea ordinarios y de deslizamiento llevan impliacutecitos la aparcicioacuten de ejes binarios en las intersecciones del mismo tipo de planos no de distintos La multiplicidad del dominio complejo es 8

- Grupos planos con red cuadrada

La simetriacutea maacutexima que permite una red cuadrada es un haz de ejes cuaternarios y sus planos de simetriacutea contenidos en ellos En todos los casos se toma un eje cuaternario como origen de

la celda apareciendo otro eje cuaternario en el centro de la celda Existiraacuten por tanto diferentes combinaciones

Grupo plano p4 p como indicativo de primitivo y 4 como indicativo de eje cuaternario de simetriacutea Los ejes cuaternarios generan la aparcicioacuten de ejes binarios intercalados entre los cuaternarios La multiplicidad del dominio complejo es 4

Grupo plano p4mm p como indicativo de primitivo 4 como indicativo de eje cuaternario de simetriacutea y m como los planos de simetriacutea que contienen a dichos ejes Los ejes cuaternarios generan la aparcicioacuten de ejes binarios intercalados entre los cuaternarios y toda la simetriacutea genera planos de deslizamiento paralelos a las diagonales de la celda La multiplicidad del dominio complejo es 8

Grupo plano p4gm p como indicativo de primitivo 4 como indicativo de eje cuaternario de simetriacutea g como planos de deslizamiento y m como los planos de simetriacutea La multiplicidad del dominio complejo es 8

- Grupos planos con red hexagonal

La simetriacutea maacutexima que permite una red hexagonal es un haz de ejes senarios o ternarios y los planos de simetriacutea que contienen a dichos ejes Existiraacuten por tanto diferentes combinaciones

Grupo plano p3 p como indicativo de primitivo y 3 como indicativo de eje ternario de simetriacutea Los ejes ternarios generan la aparcicioacuten de otros ternarios en el centro de los dos triaacutengulos equilaacuteteros que conforman la celda La multiplicidad del dominio complejo es 3

Grupo plano p3m1 p como indicativo de primitivo 3 como indicativo de eje ternario de simetriacutea y m como plano de simetriacutea en la diagonal mayor del rombo Se genera alternancia de planos de deslizamiento La multiplicidad del dominio complejo es 6

Grupo plano p31m p como indicativo de primitivo 3 como indicativo de eje ternario de simetriacutea y m como plano de simetriacutea en la diagonal menor del rombo Se genera alternancia de planos de deslizamiento La multiplicidad del dominio complejo es 6

Grupo plano p6 p como indicativo de primitivo y 6 como indicativo de eje senario de simetriacutea Se generan ejes ternarios en los centros de los triaacutengulos equilaacuteteros conformadores y ejes binarios en los centros de los lados de dichos triaacutengulos La multiplicidad del dominio complejo es de 6

Grupo plano p6mm p como indicativo de primitivo 6 como indicativo de eje senario de simetriacutea y m de los planos de simetriacutea que los contienen Se generan ejes ternarios en los centros de los triaacutengulos equilaacuteteros conformadores ejes binarios en los centros de los lados de dichos triaacutengulos y planos de deslizamiento alternantes La multiplicidad del dominio complejo es de 12

La tabla que relaciona los grupos puntuales y los grupos planos pone de manifiesto que no todas las combinaciones conducen a nuevos o diferentes grupos puntuales La interaccioacuten de la simetriacutea del motivo con la simetriacutea de las diversas redes planas afecta al contenido de simetriacutea resultante del modelo planar El modelo final muestra la simetriacutea de la red cuando los elementos de simetriacutea del motivo estaacuten alineados con los elementos de simetriacutea correspondiente de la red Si el motivo tiene menos simetriacutea que la red el modelo expresaraacute el menor grado de simetriacutea del motivo con los elementos de simetriacutea de eacuteste alineados con los correspondientes elementos de simetriacutea de la red

Red Grupo puntual Grupo plano

1 p1 Obliacutecua

2 p2 m pm pg

Rectangular mm pmm pmg pgg m cm

Roacutembica mm cmm

4 p4

Cuadrada

4mm p4mm p4gm

3 p3 3m p3m p31m 6 p6

Hexagonal

6mm p6mm

- Grupos espaciales Los grupos espaciales representan las diversas formas en que los motivos pueden distribuirse en el espacio en una estructura homogeacutenea

Los grupos espaciales surgen de la combinacioacuten de los 14 tipos posibles de redes espaciales (redes de Bravais) con la simetriacutea propia de las 32 clases cristalinas o grupos puntuales maacutes la simetriacutea con traslacioacuten

Las caracteriacutesticas de la red se expresan con las letras P A B C F I R de las redes de Bravais que designan el tipo de red general A continuacioacuten se describen en el siacutembolo los elementos de simetriacutea

Ejemplos

P4m2m2m oacute p4mmm

4m2m2m oacute 4mmm Grupo de simetriacutea 4mmm

P Red tetragonal sencilla

P42n2n2m oacute P42nnm

42nnm Grupo isogonal con el 4mmm donde los ejes de rotacioacuten cuaternaria del grupo puntual aparecen como ejes de rotoinversioacuten cuaternaria y helicoidal cuaternario paralelos y alternativos Existen planos de deslizamiento n y de simetriacutea m asiacute como ejes de rotacioacuten binaria con helicoidales binarios intercalados

P Red tetragonal sencilla

Al igual que ocurriacutea en los grupos planos en los grupos espaciales con redes no primitivas la operacioacuten de centrado introduce la simetriacutea con traslacioacuten y sin embargo estos nuevos elementos no se aprecian en los siacutembolos Por ejemplo

C2m

2m Grupo de simetriacutea 2m Sin embargo aparecen debido al centrado ejes helicoidales binarios intercalados con los binarios y planos de deslizamiento intercalados con los planos de simetriacutea

C Red roacutembica centrada de tipo C

Los 230 grupos espaciales vienen descritos en las International Tables for X-ray Crystallography clasificadas seguacuten los grupos puntuales y los sistemas cristalinos

Una composicioacuten de la informacioacuten contenida en estas Tablas se muestra a continuacioacuten para el grupo espacial Cmm2 en el que la C significa una red centrada en las caras separadas por el eje c la primera m representa un plano de simetriacutea perpendicular al eje a la segunda m

representa un plano de simetriacutea perpendicular al eje b y el 2 se refiere al eje binario paralelo al eje c

  • EL ESTADO CRISTALINO
Page 4: Cristalografia Estructural

- Periodicidad El medio cristalino es un medio perioacutedico ya que a lo largo de cualquier direccioacuten la materia que lo forma se halla a distancias especiacuteficas y paralelamente orientada de forma que la orientacioacuten y distancias a que se encuentran dependen de la direccioacuten elegida La distancia seguacuten la cual las unidades estructurales se repiten paralela e ideacutenticamente a lo largo de una direccioacuten dada se denomina traslacioacuten Eacutestas definen la denominada red cristalina constituida por una serie de puntos (nudos) separados entre siacute por las citadas traslaciones

- Homogeneidad En una red cristalina la distribucioacuten de nudos alrededor de uno de ellos es la misma independientemente del nudo que tomemos como referencia Asiacute una red es un conjunto de nudos homogeacuteneos o bien un conjunto homogeacuteneo de nudos

- Anisotropiacutea La red de nudos constituyente del estado cristalino es anisoacutetropa en cuanto a las distancias entre nudos es decir eacutesta depende de la direccioacuten seguacuten la cual se mide

12- REDES CRISTALINASPara una apropiada asimilacioacuten de lo que significa el orden interno cristalino se ha de comenzar por la visualizacioacuten y definicioacuten a traveacutes de vectores traslacioacuten del orden interno monodimensional constituido por las diferentes direcciones de la red que definen por su periodicidad filas reticulares donde los nudos estaacuten alineados y equidistantes entre siacute

- Fila reticularSe trata de una fila de nudos obtenida por aplicacioacuten sucesiva de una traslacioacuten definida

El siacutembolo de las filas reticulares se denomina como los iacutendices [uvw] que son los componentes del vector traslacioacuten que une dos nudos adyacentes de la fila considerada expresados en funcioacuten de un par primitivo cuyo origen se situacutea sobre uno de estos dos nudos

Por ejemplo para las filas fundamentales

Para otras filas reticulares

- Plano reticularUn plano reticular queda definido por dos filas reticulares conjugadas Todo plano reticular puede definirse por sus intersecciones (Ha Kb Lc) con los tres ejes fundamentales del cristal

Las dimensiones de estas intersecciones (HKL) medidas desde un nudo tomado como origen son los paraacutemetros del plano reticular correspondiente Sin embargo la denominacioacuten habitual de un plano reticular son los iacutendices de Miller

- Iacutendices de MillerSe obtienen calculando las intersecciones (H K L) o nuacutemero de traslaciones con los tres ejes fundamentales del cristal Posteriormente se invierten y se eliminan denominadores o bien se calculan los cocientes entre el producto de las tres intersecciones dividido entre cada una de las intersecciones (HKL= N NH= h NK=k NL=l)

Intersecciones H=aelig K=aelig L=1

Invertimos 1aelig=0 1aelig=0 11=1 no existen denominadores

Iacutendices de Miller (001)

1ordm Deducir las intersecciones de cada plano con los ejes cristalograacuteficos a b y c Es decir contar el nuacutemero de traslaciones t1 t2 y t3 que ocupa el plano sobre los ejes a b y c

El plano ABD ocupa

2t1 en el eje a 2t2 en el eje b y 4t3 en el eje c

El plano EBD ocupa

4t1 en el eje a 2t2 en el eje b y 4t3 en el eje c

2ordm Para calcular los iacutendices de Miller de cada plano a partir de estas intersecciones se invierten los valores y si es necesario se reducen las fracciones

El plano ABD corta a los ejes en 2 2 y 4

Su inversioacuten es 12 12 14

Reducimos fracciones quitando denominadores 24 24 14 Sin denominadores queda 221

Iacutendices de Miller (221)

El plano EBD corta a los ejes en 4 2 y 4

Su inversioacuten es 14 12 14

Reducimos fracciones quitando denominadores 14 24 14 sin denominadores queda 121

Iacutendices de Miller (121)

Este siacutembolo entre pareacutentesis (hkl) nombra el plano dado mientras que entre corchetes hkl indica todos los planos homoacutelogos que resultan de aplicar los elementos de simetriacutea del cristal al plano (hkl)

- Celda unidadEn una red cristalina existen siempre tres traslaciones no coplanarias que tienen las dimensiones miacutenimas entre todas las traslaciones posibles de la red son las traslaciones fundamentales o constantes reticulares de dimensiones submicroscoacutepicas La porcioacuten del espacio cristalino limitado por estas traslaciones constituye la celda fundamental del cristal y es caracteriacutestica del mismo

Se denomina celda primitiva aquella que no tiene nudos en su interior y celda muacuteltiple a la que si los tiene y estaacute definida por vectores muacuteltiples que son muacuteltiplos enteros del vector traslacioacuten unitario de igual direccioacuten Se llama multiplicidad al nuacutemero de nudos que hay por celda elemental (todas las celdas primitivas de una red tienen multiplicidad 1 frac14 4 = 1)

- Redes planasEl orden bidimensional es el resultado de traslaciones regulares en dos direcciones distintas que resultan en la definicioacuten de los cinco tipos de redes planas La asimilacioacuten de este orden bidimensional es baacutesica para comprender la regularidad correspondiente a objetos tridimensionales tales como la materia cristalina Se definen cinco tipos de redes planas con las siguientes caracteriacutesticas

Red oblicua (ane b γ ne 90ordm)

Red rectangular (ane b γ =90ordm)

Existen tambieacuten redes centradas que son el resultado de antildeadir nuevos nudos en el centro de cada paralelogramo generador de la red plana Soacutelo puede realizarse esta operacioacuten de centrado si la red resultante es morfoloacutegicamente diferente de la original por ello soacutelo pueden centrarse las redes rectangulares (obtenieacutendose una red roacutembica) o las redes roacutembicas (dando lugar a una red rectangular)

Red roacutembica (a=b γ ne 90ordm 60ordm 120ordm)

Red hexagonal (a=b γ =60ordm 120ordm)

Red cuadrada (a=b γ =90ordm)

Las redes planas forman por apilamiento homogeacuteneo los distintos tipos de redes espaciales es decir las distintas familias de planos cristalinos que integran el cristal La manera como estos planos se apilan determina los aacutengulos entre las traslaciones fundamentales en las tres dimensiones que es lo que define a su vez la forma y dimensiones del paralelepiacutepedo o celda unidad que caracteriza la red cristalina

- Redes de BravaisDe la superposicioacuten de planos se generan catorce celdas morfoloacutegicamente distintas que se conocen como las Redes de Bravais en honor de su descubridor

En teacuterminos de redes cristalinas tridimensionales los paralelepiacutepedos fundamentales morfoloacutegicamente distintos son el resultado de combinar las tres traslaciones fundamentales de valores dados con sus inclinaciones respectivas es decir con los tres aacutengulos α szlig y γ

Su construccioacuten se realiza apilando paralelamente una sucesioacuten infinita de modelos planos ideacutenticos de manera que la distancia entre ellos sea siempre igual (familia de planos) Mientras que en el plano se deduciacutean cinco tipos de redes en el espacio tridimensional se reconocen hasta catorce distribuciones perioacutedicas

Red tricliacutenica (abc αszligγ90ordm)

Debido a los valores distintos entre siacute de las traslaciones y de los aacutengulos fundamentales el paralelepiacutepedo tiene forma cualquiera triplemente inclinado (por ello se denomina tricliacutenico) Se trata de una red primitiva

Redes monocliacutenicas (abc α=γ=90ordmszlig )

La celda es un paralelepiacutepedo no recto de base rectangular (formados por redes planas rectangulares)

- Red monocliacutenica primitiva P

- Red monocliacutenica de base centrada

La operacioacuten de centrado de redes permite la generacioacuten de este otro tipo de red Si se centra la red plana rectangular (100) su siacutembolo es A y si se centra la (001) es C Morfoloacutegicamente estas redes soacutelo se diferencian en su orientacioacuten por tanto las redes monocliacutenicas de base centrada A y C son equivalentes

Redes roacutembicas (abc α=szlig=γ=90ordm)

- Red roacutembica primitiva P

El paralelepiacutepedo fundamental es un prisma recto de base rectangular Los tres planos fundamentales (100) (010) y (001) maacutes los planos diagonales del prisma son redes planas rectangulares

- Redes roacutembicas centradas

La operacioacuten de centrado de redes permite la generacioacuten de estos otros tipos de red Si se centran las redes planas rectangulares (100) (010) y (001) sus siacutembolos son respectivamente A B y C

Morfoloacutegicamente estas redes son iguales y se denominan red roacutembica de base centrada simbolizada por C Cuando la operacioacuten de centrado es sobre las tres caras a la vez la red se denomina red roacutembica de caras centradas y se simboliza por F Si el centrado se produce en los planos diagonales del prisma la red resultante se denomina red roacutembica centrada en el interior de siacutembolo I

Redes tetragonales (a=bc α=szlig=γ=90ordm)

- Red tetragonal P

La celda fundamental es un prisma recto de base cuadrada La familia de planos (001) son de red plana cuadrada mientras que (100) y (010) son rectangulares e ideacutenticos entre siacute

- Red tetragonal centrada I

Al ser iguales por simetriacutea los planos (100) y (010) no pueden centrarse independientemente y a su vez no pueden hacerlo simultaacuteneamente porque ello destruye la homogeneidad de los planos de la misma familia

Sin embargo los planos diagonales que son tambieacuten redes rectangulares pueden centrarse dando origen a la red tetragonal centrada en el interior I

Red hexagonal P (a=bc α=szlig=90ordm γ=120ordm 60ordm)

El paralelepiacutepedo fundamental es un prisma recto de base roacutembica (de aacutengulo de 60ordm) Para visualizar la forma hexagonal se toma una celda muacuteltiple integrada por tres de estas celdillas roacutembicas

Esta red hexagonal permite un apilamiento especial de los planos hexagonales Seguacuten eacuteste los nudos se proyectan a 13 o a 23 de la diagonal mayor del rombo dando como resultado una red romboeacutedrica R de (a=b=c α=szlig=γ90ordm)

Redes cuacutebicas (a=b=c α=szlig=γ=90ordm)

- Red cuacutebica primitiva P

El paralelepiacutepedo fundamental es un cubo

- Redes cuacutebicas centradas

El centrado de las caras del cubo no debiera ser posible puesto que son redes planas cuadradas Las redes cuacutebicas centradas se originan cuando el aacutengulo del romboedro se hace igual a 60ordm y las tres diagonales del romboedro se hacen iguales entre siacute definiendo las aristas de un cubo que circunscribe al romboedro Asiacute la distribucioacuten de nudos es la correspondiente a un cubo de caras centradas originando la red cuacutebica de caras centradas F

De forma similar cuando el aacutengulo entre las aristas del romboedro es de 109ordm 28acute 16acuteacute las diagonales de sus tres caras fundamentales son perpendicuales entre si e iguales en magnitud y definen un cubo inscrito en el romboedro La distribucioacuten de nudos corresponde a una red cuacutebica centrada en el interior I

(Las redes cuacutebicas no soacutelo son casos especiales de redes romboeacutedricas sino que tambieacuten lo son de redes tetragonales)

13- SIMETRIacuteA La porcioacuten miacutenima del espacio cristalino que contiene en siacute misma toda la simetriacutea de la red cristalina es la celda unidad El medio cristalino por ser perioacutedico es un medio simeacutetrico y todas sus propiedades derivan de este hecho

Entendiendo por simetriacutea aquella transformacioacuten que al aplicarse a un objeto hace que eacuteste conserve todas sus dimensiones y lo deje en una posicioacuten indistinguible de su posicioacuten original la operacioacuten de simetriacutea maacutes sencilla que existe por definicioacuten en el medio cristalino es la simple traslacioacuten entre un motivo y otro

- Elementos de simetriacuteaEl lugar geomeacutetrico que ayuda a la visualizacioacuten de la simetriacutea de una distribucioacuten ordenada recibe el nombre de elemento de simetriacutea Los elementos de simetriacutea puntual (la operacioacuten de simetriacutea deja un punto particular del diagrama inmoacutevil) sin traslacioacuten son el plano de simetriacutea el eje de rotacioacuten y el centro de simetriacutea o centro de inversioacuten

El plano de simetriacutea m o de reflexioacuten refleja partes o todos ideacutenticos del objeto a traveacutes de un plano

El eje de rotacioacuten origina una rotacioacuten al objeto de 360ordmn alrededor del eje (de derecha a izquierda)

eje monario n=1 (360ordm1=360ordm)

eje binario (perpendicular al plano) (paralelo al plano)

n=2 (360ordm2=180ordm)

eje ternario n=3 (360ordm3=120ordm)

eje cuaternario n=4 (360ordm4=90ordm)

eje senario n=6 (360ordm6=60ordm)

(La restriccioacuten cristalograacutefica limita los giros permisibles a estos cinco para que su orden sea compatible con la existencia de redes)

Las combinaciones de ambos elementos de simetriacutea originan los ejes de rotacioacuten impropios

- eje de rotorreflexioacuten rotacioacuten de 360ordmn seguida por reflexioacuten en un plano perpendicular al eje

- eje de rotoinversioacuten rotacioacuten de 360ordmn seguida por inversioacuten a traveacutes de un punto en el eje

orden 1 orden 3 orden 4 orden 6

Nota Los ejes de rotoinversioacuten se representan por el orden del eje (2 3 4 o 6) con el siacutembolo negativo encima de ellos En esta Web ese siacutembolo se identifica tambieacuten por el signo negativo bien delante o inferior al nuacutemero de orden del eje

(el esquema superior representa una rotoreflexioacuten de orden 4 y el inferior una rotoinversioacuten del mismo orden)

Por su parte el centro de simetriacutea i o centro de inversioacuten es un elemento de simetriacutea puntual que invierte el objeto a traveacutes de una liacutenea recta

- Combinacioacuten de elementos de simetriacuteaLa combinacioacuten de elementos de simetriacutea no se produce al azar estaacute regida por una serie de normas y limitaciones que son

- Los elementos que se combinan guardan unas relaciones angulares caracteriacutesticas

- La combinacioacuten de algunos elementos de simetriacutea genera directamente la presencia de otros

Eje de orden par + centro de simetriacutea ------- plano de simetriacutea perpendicular al eje

Eje de orden n contenido en un plano de simetriacutea -------- n-1 planos de simetriacutea que intersectan en el eje

Dos ejes que se cortan --------- un tercer eje que pasa por el punto de corte

(entre propios e impropios soacutelo es posible un propio y dos impropios)

Eje de orden n + eje binario perpendicular -------- n-1 ejes binarios tambieacuten normales a eacutel

Eje de inversioacuten de orden n(impar) + eje binario perpendicular -------- n ejes binarios y planos de simetriacutea

Eje de inversioacuten de orden n(par) + eje binario perpendicular -------- n2 ejes binarios y planos de simetriacutea

-Los ejes de inversioacuten realizan una operacioacuten de simetriacutea equivalente a la de dos elementos de simetriacutea (excepto el de orden 4)

3 = 3 + i

Eje de rotoinversioacuten de orden impar = eje propio del mismo orden + centro de simetriacutea

(6 = 3 + m)

Eje de rotoinversioacuten de orden par = eje propio de mitad de orden + un plano de simetriacutea perpendicular a eacutel

- Las 32 clases de simetriacuteaEs faacutecil prever que en el medio cristalino los elementos de simetriacutea se combinan entre siacute hasta engendrar los modelos cristalinos regulares que se combinan de treinta y dos maneras distintas y dan lugar a las treinta y dos posibles clases cristalinas o grupos puntuales (la operacioacuten de simetriacutea deja un punto particular del diagrama inmoacutevil) existentes

Estas treinta y dos clases cristalinas se han obtenido mediante las siguientes combinaciones de elementos de simetriacutea

Siacutembolo Combinacioacuten de simetriacutea Elementos de simetriacutea

1 Eje monario (giro de 360ordm)

2 Eje binario (giro de 180ordm)

3 Eje ternario (giro de 120ordm)

4 Eje cuaternario (giro de 90ordm)

6 Eje senario (giro de 60ordm)

1 Eje monario de inversioacuten (giro de 360ordm+inversioacuten) = centro de inversioacuten (2=i)

2 Eje binario de inversioacuten (giro de 180ordm+inversioacuten) = plano de simetriacutea (2=m)

3 Eje ternario de inversioacuten (giro de 120ordm+inversioacuten)

T4 TEje cuaternario de inversioacuten (giro de 90ordm+inversioacuten)

6

Clases con un soacutelo elemento de simetriacutea

Eje senario de inversioacuten (giro de 60ordm+inversioacuten) = eje ternario + plano de simetriacutea perpendicular

(6=3m)

222 Tres ejes binarios en planos perpendiculares entre siacute

32 Un eje ternario + tres ejes binarios en planos perpendiculares

422 Un eje cuaternario + dos ejes binarios en planos perpendiculares

622 Un eje senario + tres ejes binarios a 120ordm (plano perpendicular al senario)

23 Cuatro ejes ternarios + Tres ejes binarios

432

Clases con combinacioacuten de ejes

Tres ejes cuaternarios + cuatro ejes ternarios + seis ejes binarios

2m Clases con un eje de Eje binario + plano de simetriacutea perpendicular a eacutel

4m Eje cuaternario + plano de simetriacutea perpendicular a eacutel

6m

orden par + un centro de simetriacutea

(Eje de orden par + centro de simetriacutea=plano de

simetriacutea perpendicular al eje)

Eje senario + plano de simetriacutea perpendicular a eacutel

2mm Eje binario + dos planos de simetriacutea que se cortan en eacutel

3m Eje ternario + tres planos de simetriacutea que se cortan en eacutel

4mm Eje cuaternario + cuatro planos de simetriacutea que se cortan en eacutel

6mm

Clases con un eje + un plano de simetriacutea que

contenga al eje

Eje senario + seis planos de simetriacutea que se cortan en eacutel

42m Eje cuaternario de inversioacuten + dos ejes binarios + dos planos de simetriacutea

43m Tres ejes cuaternarios de inversioacuten + cuatro ejes ternarios + seis planos de simetriacutea

62m

Clases con un eje + dos ejes impropios

Eje senario de inversioacuten (=eje ternario + plano de simetriacutea perpendicular) + tres ejes binarios + tres

planos de simetriacutea

2m2m2m

(mmm)

Tres ejes binarios + tres planos de simetriacutea perpendiculares

32m

(3m)

Un eje ternario + tres ejes binarios + tres planos de simetriacutea perpendiculares + un centro de simetriacutea

4m2m2m

(4mmm)

Un eje cuaternario + un plano de simetriacutea perpendicular + cuatro ejes binarios + cuatro

planos de simetriacutea perpendiculares + centro de simetriacutea

6m2m2m

(6mmm)

Un eje senario + un plano de simetriacutea perpendicular + seis ejes binarios + seis planos de simetriacutea perpendiculares + un centro de simetriacutea

2m3

(m3)

Cuatro ejes ternarios + tres ejes binarios + tres planos de simetriacutea perpendiculares + un centro de

simetriacutea

4m32m

(m3m)

TClases con tres ejes + un centro de

simetriacutea

Tres ejes cuaternarios + tres planos de simetriacutea perpendiculares + cuatro ejes ternarios + seis ejes binarios + seis planos de simetriacutea perpendiculares

+ un centro de simetriacutea

La distribucioacuten sistema cristalino-Redes de Bravais-Grupos puntuales o clases de simetriacutea es la siguiente

Red de Bravais Sistema Grupo puntual

Red Tricliacutenica primitiva P Tricliacutenico 1 1Red monocliacutenica primitiva PRed monocliacutenica centrada en las caras C

Monocliacutenico 2 m 2m

Red roacutembica primitiva PRed roacutembica centrada en las bases CRed roacutembica centrada en el interior IRed roacutembica centrada en las caras F

Roacutembico 222 mm2 mmm

Red tetragonal primitiva P

Red tetragonal centrada en el interior CTetragonal

4 4 4m 4mm 422

42m 4mmm

Red hexagonal primitiva P Hexagonal6 6 6m 6mm 622

62m 6mmm

Red romboeacutedrica primitiva P Romboeacutedrico o Trigonal

3 3 3m 32 3m

Red cuacutebica primitiva PRed cuacutebica centrada en el interior IRed cuacutebica centrada en las caras F

Cuacutebico o Isomeacutetrico23 m3

43m 432 m3m

- Simetriacutea y redes de BravaisLa presencia de elementos de simetriacutea en la red cristalina condiciona a su vez la existencia de ciertas relaciones meacutetricas entre los elementos de la celda elemental las relaciones angulares entre los ejes del cristal o ejes cristalograacuteficos y las intersecciones sobre estos ejes de la cara fundamental (111) Las dimensiones de estas intersecciones son proporcionales a las traslaciones en las tres dimensiones de la red

Por esta razoacuten se han agrupado las redes de Bravais en siete grandes grupos redes tricliacutenicas redes monocliacutenicas redes roacutembicas redes tetragonales redes hexagonales redes romboeacutedricas y redes cuacutebicas Cada uno de estos grupos de redes corresponde a un sistema cuyo nombre es ideacutentico al de las redes correspondientes y posee unas constantes reticulares fijas y una miacutenima simetriacutea caracteriacutestica

Red de Bravais SistemaRed Tricliacutenica primitiva P TricliacutenicoRed monocliacutenica primitiva PRed monocliacutenica centrada en las caras C

Monocliacutenico

Red roacutembica primitiva PRed roacutembica centrada en las bases CRed roacutembica centrada en el interior IRed roacutembica centrada en las caras F

Roacutembico

Red tetragonal primitiva PRed tetragonal centrada en el interior C

Tetragonal

Red hexagonal primitiva P HexagonalRed romboeacutedrica primitiva P Romboeacutedrico o Trigonal Red cuacutebica primitiva PRed cuacutebica centrada en el interior IRed cuacutebica centrada en las caras F

Cuacutebico o Isomeacutetrico

Las constantes reticulares y la miacutenima simetriacutea que caracteriza a cada grupo de redes o sistema cristalino es la siguiente

- Sistema tricliacutenico (abc αszligγ90ordm)

No posee ninguna simetriacutea miacutenima

- Sistema monocliacutenico (abc α=γ=90ordmszliggt90ordm)

Presenta como simetriacutea miacutenima un eje de rotacioacuten binario o un eje de inversioacuten binario (=plano de simetriacutea)

- Sistema roacutembico (abc α=szlig=γ=90ordm)

Como miacutenimo posee tres ejes binarios perpendiculares entre siacute

- Sistema tetragonal (a=bc α=szlig=γ=90ordm)

Posee como caracteriacutestica fundamental un eje de rotacioacuten cuaternario o un eje de inversioacuten cuaternario

- Sistema hexagonal (a=bc α=szlig=90ordm γ=120ordm)

Su caracteriacutestica fundamental es la presencia de un eje de rotacioacuten senario o un eje de inversioacuten senario (eje ternario + plano de simetriacutea perpendicular)

Para mayor precisioacuten generalmente se introduce un cuarto eje i coplanario con a y b que forma un aacutengulo de 120ordm con cada uno de ellos asiacute la cruz axial seraacute (a=b=ic α=szlig=90ordm γ=120ordm)

Iacutendices de Miller hexagonales Como se trabaja con un cuarto iacutendice que se situacutea en el plano a1 a2 y a 120ordm de cada uno de estos ejes los planos hexagonales se van a representar por cuatro iacutendices (hkil) El valor de i se determina como h+k

- Sistema romboeacutedrico o trigonal (a=b=c α=szlig=γ90ordm)

Su caracteriacutestica comuacuten es la presencia de un eje de rotacioacuten ternario o un eje de inversioacuten ternario (eje ternario + centro de simetriacutea)

- Sistema cuacutebico (a=b=c α=szlig=γ=90ordm)

Posee como caracteriacutestica fundamental cuatro ejes de rotacioacuten ternarios inclinados a 10947ordm

NOTA Ademaacutes de las constantes reticulares para definir un sistema cristalino puede utilizarse la relacioacuten parameacutetrica siendo eacutesta la relacioacuten existente entre los moacutedulos de a y c respecto al moacutedulo de b

ab 1 cb

Normalmente se toman estos valores y los aacutengulos para definir la red

14- SIMETRIacuteA CON TRASLACIOacuteN - Elementos de simetriacutea con traslacioacutenLa red cristalina soacutelo tiene sentido como indicadora de la periodicidad que se presenta en el cristal como consecuencia de la repeticioacuten del motivo Debido a ello la simetriacutea que revela por siacute la red no tiene que ser necesariamente la que posea el cristal aunque en general lo sea

Ejemplo La coesita (variedad de la siacutelice de alta presioacuten) tiene una red cuya meacutetrica es roacutembica mientras que la estructura es monocliacutenica ya que el motivo carece de ciertos elementos de simetriacutea que la meacutetrica de la red indicaban

Es faacutecil comprender que debido a que la red es solamente la consecuencia de unas fuerzas cohesivas entre los aacutetomos que forman el cristal fuerzas que obligan a una repeticioacuten monoacutetona de las agrupaciones atoacutemicas la simetriacutea de la red debe estar iacutentimamente relacionada con la del cristal entendido como agrupacioacuten repetitiva de aacutetomos

La red nos proporciona por tanto la simetriacutea maacutexima que el cristal puede tener pero dicha simetriacutea depende de la simetriacutea propia del motivo La complejidad que el motivo cristalino aacutetomos iones y moleacuteculas aporta a la red cristalina hace que los elementos de simetriacutea del medio cristalino se ampliacuteen Aparece la traslacioacuten que tiene dimensiones submicroscoacutepicas no accesibles a la morfologiacutea macroscoacutepica

Los operadores de simetriacutea que completan la tarea de rellenar el espacio cristalino se consideran cada uno de ellos como una sola y nueva operacioacuten de simetriacutea Estos son los planos de deslizamiento que implican la reflexioacuten asociada a una traslacioacuten y los ejes helicoidales que implican a su vez giro y traslacioacuten

- Plano de deslizamiento

El plano de deslizamiento realiza simultaacuteneamente dos operaciones refleja la imagen o traslada la imagen a intervalos de media traslacioacuten

Cuando la semitraslacioacuten asociada al plano de deslizamiento corresponde a alguna de las direcciones fundamentales del cristal el plano se denomina a b c respectivamente

Cuando la semitraslacioacuten corresponde a la diagonal del plano reflector es decir el plano de deslizamiento se situacutea paralelo a la diagonal entre las filas definidas por a b y c el plano se simboliza por n y las componentes de su traslacioacuten son

a2 + b2 b2 + c2 c2 + a2 y a2 + b2 + c2

Los planos d (aparece en la estructura del diamante) se tratan tambieacuten de planos diagonales Presentan como componentes de traslacioacuten cuartos de la fundamental es decir

a4 plusmn b4 b4 plusmn c4 c4 plusmn a4 y a4 plusmn b4 plusmn c4

El siguiente cuadro sintetiza la notacioacuten y simetriacutea de los planos en los grupos espaciales

Siacutembolo Siacutembolo graacutefico Orientacioacuten y Traslacioacuten

m

perpendicular al papel

paralelo al papel

(100) o (010) ninguna traslacioacuten

(001) ninguna traslacioacuten

a

perpendicular al papel

paralelo al papel

(010) traslacioacuten a2

(001) traslacioacuten a2

b

perpendicular al papel

paralelo al papel

(100) traslacioacuten b2

(001) traslacioacuten b2

c perpendicular al papel

(100) 0 (010) traslacioacuten c2

n

______ perpendicular al papel

paralelo al papel

traslacioacuten (b+c)2 en (100) traslacioacuten (c+a)2 en (010)

traslacioacuten (a+b)2 en (001) traslacioacuten (a+b+c)2 en (110) en sistemas tetragonal o cuacutebico

d

perpendicular al papel

paralelo al papel

traslacioacuten (b+c)4 en (100) traslacioacuten (c+a)4 en (010)

traslacioacuten (a+b)4 en (001) traslacioacuten (a+b+c)4 en (110) en sistemas tetragonal o cuacutebico

- Eje helicoidal

Un eje helicoidal implica similarmente una operacioacuten doble

Un giro el permisible para su orden

Una traslacioacuten constante a lo largo del eje

Como sabemos el orden del eje es el nuacutemero de repeticiones que se necesitan para lograr la identidad implicando una serie de giros sucesivos hasta haber completado su operacioacuten de simetriacutea total

En un eje helicoidal cada uno de estos giros parciales debe asociarse a una parte aliacutecuota de la traslacioacuten total t paralela a la direccioacuten del eje La identidad se logra en la operacioacuten giro cuando se ha aplicado tantas veces el giro permisible como indica el orden del eje

Haciendo el periodo de identidad t coincidente con el giro completo del eje se obtienen los siguientes ejes helicoidales

Siacutembolo Siacutembolo graacutefico Denominacioacuten Giro Traslacioacuten

21 Eje binario helicoidal 180ordm t2

31 Eje ternario helicoidal

derecho120ordm

dextroacutegiro t3

32 Eje ternario helicoidal

izquierdo 120ordm levoacutegiro t3

41 Eje cuaternario helicoidal

derecho90ordm

dextroacutegiro t4

43 Eje cuaternario helicoidal

izquierdo 90ordm levoacutegiro t4

61 Eje senario helicoidal

derecho 60ordmdextroacutegiro t6

65 Eje senario helicoidal

izquierdo 60ordm levoacutegiro t6

Tambieacuten se pueden deducir los ejes helicoidales haciendo que la identidad se alcance para Nn giros siendo N el orden del eje y n un divisor entero de N

N (orden

del eje)

n (divisor entero de N)

Nn (giros)

Siacutembolo Siacutembolo graacutefico Denominacioacuten Giro Traslacioacuten

4 T2 2 42 Eje cuaternario-binario helicoidal 90ordm t2

6 3 2 63

Eje senario-ternario

helicoidal60ordm t2

6 2 3 62

Eje senario-binario helicoidal

derecho

60ordm dextroacutegiro t3

6 2 3 64

Eje senario-binario helicoidal

izquierdo

60ordm levoacutegiro t3

- Los 17 grupos planos En la deduccioacuten de los grupos planos hay que tener en cuenta que es el motivo contenido de la celda definida por unas traslaciones dadas el que muestra la existencia de los elementos de simetriacutea Es decir que las partes del motivo estaacuten relacionadas entre siacute por dichos elementos de simetriacutea (que puede ser simetriacutea con traslacioacuten) que la suma de estas partes constituye la celda y que las celdas implican una meacutetrica dada es decir tiene una forma y unas dimensiones que condicionan una simetriacutea maacutexima

En los grupos planos los haces de elementos de simetriacutea son perpendiculares al plano que se asocia a un tipo de red plana El nuacutemero de estos grupos planos es de 17

- Grupos planos con red oblicua

La simetriacutea maacutexima que permite una red obiacutecua es un haz de ejes binarios Existiraacuten por tanto dos posibilidades

Grupo plano p1 p como indicativo de primitivo y 1 como indicativo de no simetriacutea El dominio complejo coincide con el motivo y por tanto su multiplicidad es 1

Grupo plano p2 p como indicativo de primitivo y 2 como indicativo de eje binario de simetriacutea La multiplicidad del dominio complejo es 2 ya que la simetriacutea genera duplicidad del motivo

- Grupos planos con red rectangular

La simetriacutea maacutexima que permite una red rectangular es dos haces de planos de simetriacutea y un haz de ejes binarios Existiraacuten por tanto diferentes combinaciones

Grupo plano pm p como indicativo de primitivo y m como indicativo del plano de simetriacutea La multiplicidad del dominio complejo es 2 ya que la simetriacutea genera duplicidad del motivo

Grupo plano pg p como indicativo de primitivo y g como indicativo del plano de deslizamiento La multiplicidad del dominio complejo es 2 ya que la simetriacutea genera duplicidad del motivo

Grupo plano pmm (p2mm) p como indicativo de primitivo y dos m como indicativo de planos de simetriacutea mutuamente perpendiculares Los planos de simetriacutea llevan impliacutecitos la aparcicioacuten de ejes binarios La multiplicidad del dominio complejo es 4

Grupo plano pmg (p2mg) p como indicativo de primitivo y planos perpendiculares de tipo distinto (m ordinarios y g de deslizamiento) Esto hace que los ejes de simetriacutea no se encuentren en la interseccioacuten sino desplazados a lo largo del plano de deslizamiento a mitad de la componente desplazamiento El origen de la celda se toma sobre un eje binario La multiplicidad del dominio complejo es 4

Grupo plano pgg(p2gg) p como indicativo de primitivo y dos g de planos perpendiculares de deslizamiento Esto hace que los ejes de simetriacutea no se encuentren en la interseccioacuten sino desplazados a lo largo de cada plano de deslizamiento a mitad de la componente deslizamiento El origen de la celda se toma sobre un eje binario La multiplicidad del dominio complejo es 4

- Grupos planos con red roacutembica o rectangular centrada

Grupo plano cm c como indicativo de la operacioacuten de centrado y m como indicativo del plano de simetriacutea La operacioacuten de centrado lleva impliacutecita la existencia de un plano de deslizamiento La multiplicidad del dominio complejo es 4

Grupo plano cmm (c2mm) c como indicativo de centrado y dos m como indicativo de planos de simetriacutea mutuamente perpendiculares La operacioacuten de centrado lleva impliacutecita la existencia de planos de deslizamiento La multiplicidad del dominio complejo es 4 Los planos de simetriacutea ordinarios y de deslizamiento llevan impliacutecitos la aparcicioacuten de ejes binarios en las intersecciones del mismo tipo de planos no de distintos La multiplicidad del dominio complejo es 8

- Grupos planos con red cuadrada

La simetriacutea maacutexima que permite una red cuadrada es un haz de ejes cuaternarios y sus planos de simetriacutea contenidos en ellos En todos los casos se toma un eje cuaternario como origen de

la celda apareciendo otro eje cuaternario en el centro de la celda Existiraacuten por tanto diferentes combinaciones

Grupo plano p4 p como indicativo de primitivo y 4 como indicativo de eje cuaternario de simetriacutea Los ejes cuaternarios generan la aparcicioacuten de ejes binarios intercalados entre los cuaternarios La multiplicidad del dominio complejo es 4

Grupo plano p4mm p como indicativo de primitivo 4 como indicativo de eje cuaternario de simetriacutea y m como los planos de simetriacutea que contienen a dichos ejes Los ejes cuaternarios generan la aparcicioacuten de ejes binarios intercalados entre los cuaternarios y toda la simetriacutea genera planos de deslizamiento paralelos a las diagonales de la celda La multiplicidad del dominio complejo es 8

Grupo plano p4gm p como indicativo de primitivo 4 como indicativo de eje cuaternario de simetriacutea g como planos de deslizamiento y m como los planos de simetriacutea La multiplicidad del dominio complejo es 8

- Grupos planos con red hexagonal

La simetriacutea maacutexima que permite una red hexagonal es un haz de ejes senarios o ternarios y los planos de simetriacutea que contienen a dichos ejes Existiraacuten por tanto diferentes combinaciones

Grupo plano p3 p como indicativo de primitivo y 3 como indicativo de eje ternario de simetriacutea Los ejes ternarios generan la aparcicioacuten de otros ternarios en el centro de los dos triaacutengulos equilaacuteteros que conforman la celda La multiplicidad del dominio complejo es 3

Grupo plano p3m1 p como indicativo de primitivo 3 como indicativo de eje ternario de simetriacutea y m como plano de simetriacutea en la diagonal mayor del rombo Se genera alternancia de planos de deslizamiento La multiplicidad del dominio complejo es 6

Grupo plano p31m p como indicativo de primitivo 3 como indicativo de eje ternario de simetriacutea y m como plano de simetriacutea en la diagonal menor del rombo Se genera alternancia de planos de deslizamiento La multiplicidad del dominio complejo es 6

Grupo plano p6 p como indicativo de primitivo y 6 como indicativo de eje senario de simetriacutea Se generan ejes ternarios en los centros de los triaacutengulos equilaacuteteros conformadores y ejes binarios en los centros de los lados de dichos triaacutengulos La multiplicidad del dominio complejo es de 6

Grupo plano p6mm p como indicativo de primitivo 6 como indicativo de eje senario de simetriacutea y m de los planos de simetriacutea que los contienen Se generan ejes ternarios en los centros de los triaacutengulos equilaacuteteros conformadores ejes binarios en los centros de los lados de dichos triaacutengulos y planos de deslizamiento alternantes La multiplicidad del dominio complejo es de 12

La tabla que relaciona los grupos puntuales y los grupos planos pone de manifiesto que no todas las combinaciones conducen a nuevos o diferentes grupos puntuales La interaccioacuten de la simetriacutea del motivo con la simetriacutea de las diversas redes planas afecta al contenido de simetriacutea resultante del modelo planar El modelo final muestra la simetriacutea de la red cuando los elementos de simetriacutea del motivo estaacuten alineados con los elementos de simetriacutea correspondiente de la red Si el motivo tiene menos simetriacutea que la red el modelo expresaraacute el menor grado de simetriacutea del motivo con los elementos de simetriacutea de eacuteste alineados con los correspondientes elementos de simetriacutea de la red

Red Grupo puntual Grupo plano

1 p1 Obliacutecua

2 p2 m pm pg

Rectangular mm pmm pmg pgg m cm

Roacutembica mm cmm

4 p4

Cuadrada

4mm p4mm p4gm

3 p3 3m p3m p31m 6 p6

Hexagonal

6mm p6mm

- Grupos espaciales Los grupos espaciales representan las diversas formas en que los motivos pueden distribuirse en el espacio en una estructura homogeacutenea

Los grupos espaciales surgen de la combinacioacuten de los 14 tipos posibles de redes espaciales (redes de Bravais) con la simetriacutea propia de las 32 clases cristalinas o grupos puntuales maacutes la simetriacutea con traslacioacuten

Las caracteriacutesticas de la red se expresan con las letras P A B C F I R de las redes de Bravais que designan el tipo de red general A continuacioacuten se describen en el siacutembolo los elementos de simetriacutea

Ejemplos

P4m2m2m oacute p4mmm

4m2m2m oacute 4mmm Grupo de simetriacutea 4mmm

P Red tetragonal sencilla

P42n2n2m oacute P42nnm

42nnm Grupo isogonal con el 4mmm donde los ejes de rotacioacuten cuaternaria del grupo puntual aparecen como ejes de rotoinversioacuten cuaternaria y helicoidal cuaternario paralelos y alternativos Existen planos de deslizamiento n y de simetriacutea m asiacute como ejes de rotacioacuten binaria con helicoidales binarios intercalados

P Red tetragonal sencilla

Al igual que ocurriacutea en los grupos planos en los grupos espaciales con redes no primitivas la operacioacuten de centrado introduce la simetriacutea con traslacioacuten y sin embargo estos nuevos elementos no se aprecian en los siacutembolos Por ejemplo

C2m

2m Grupo de simetriacutea 2m Sin embargo aparecen debido al centrado ejes helicoidales binarios intercalados con los binarios y planos de deslizamiento intercalados con los planos de simetriacutea

C Red roacutembica centrada de tipo C

Los 230 grupos espaciales vienen descritos en las International Tables for X-ray Crystallography clasificadas seguacuten los grupos puntuales y los sistemas cristalinos

Una composicioacuten de la informacioacuten contenida en estas Tablas se muestra a continuacioacuten para el grupo espacial Cmm2 en el que la C significa una red centrada en las caras separadas por el eje c la primera m representa un plano de simetriacutea perpendicular al eje a la segunda m

representa un plano de simetriacutea perpendicular al eje b y el 2 se refiere al eje binario paralelo al eje c

  • EL ESTADO CRISTALINO
Page 5: Cristalografia Estructural

12- REDES CRISTALINASPara una apropiada asimilacioacuten de lo que significa el orden interno cristalino se ha de comenzar por la visualizacioacuten y definicioacuten a traveacutes de vectores traslacioacuten del orden interno monodimensional constituido por las diferentes direcciones de la red que definen por su periodicidad filas reticulares donde los nudos estaacuten alineados y equidistantes entre siacute

- Fila reticularSe trata de una fila de nudos obtenida por aplicacioacuten sucesiva de una traslacioacuten definida

El siacutembolo de las filas reticulares se denomina como los iacutendices [uvw] que son los componentes del vector traslacioacuten que une dos nudos adyacentes de la fila considerada expresados en funcioacuten de un par primitivo cuyo origen se situacutea sobre uno de estos dos nudos

Por ejemplo para las filas fundamentales

Para otras filas reticulares

- Plano reticularUn plano reticular queda definido por dos filas reticulares conjugadas Todo plano reticular puede definirse por sus intersecciones (Ha Kb Lc) con los tres ejes fundamentales del cristal

Las dimensiones de estas intersecciones (HKL) medidas desde un nudo tomado como origen son los paraacutemetros del plano reticular correspondiente Sin embargo la denominacioacuten habitual de un plano reticular son los iacutendices de Miller

- Iacutendices de MillerSe obtienen calculando las intersecciones (H K L) o nuacutemero de traslaciones con los tres ejes fundamentales del cristal Posteriormente se invierten y se eliminan denominadores o bien se calculan los cocientes entre el producto de las tres intersecciones dividido entre cada una de las intersecciones (HKL= N NH= h NK=k NL=l)

Intersecciones H=aelig K=aelig L=1

Invertimos 1aelig=0 1aelig=0 11=1 no existen denominadores

Iacutendices de Miller (001)

1ordm Deducir las intersecciones de cada plano con los ejes cristalograacuteficos a b y c Es decir contar el nuacutemero de traslaciones t1 t2 y t3 que ocupa el plano sobre los ejes a b y c

El plano ABD ocupa

2t1 en el eje a 2t2 en el eje b y 4t3 en el eje c

El plano EBD ocupa

4t1 en el eje a 2t2 en el eje b y 4t3 en el eje c

2ordm Para calcular los iacutendices de Miller de cada plano a partir de estas intersecciones se invierten los valores y si es necesario se reducen las fracciones

El plano ABD corta a los ejes en 2 2 y 4

Su inversioacuten es 12 12 14

Reducimos fracciones quitando denominadores 24 24 14 Sin denominadores queda 221

Iacutendices de Miller (221)

El plano EBD corta a los ejes en 4 2 y 4

Su inversioacuten es 14 12 14

Reducimos fracciones quitando denominadores 14 24 14 sin denominadores queda 121

Iacutendices de Miller (121)

Este siacutembolo entre pareacutentesis (hkl) nombra el plano dado mientras que entre corchetes hkl indica todos los planos homoacutelogos que resultan de aplicar los elementos de simetriacutea del cristal al plano (hkl)

- Celda unidadEn una red cristalina existen siempre tres traslaciones no coplanarias que tienen las dimensiones miacutenimas entre todas las traslaciones posibles de la red son las traslaciones fundamentales o constantes reticulares de dimensiones submicroscoacutepicas La porcioacuten del espacio cristalino limitado por estas traslaciones constituye la celda fundamental del cristal y es caracteriacutestica del mismo

Se denomina celda primitiva aquella que no tiene nudos en su interior y celda muacuteltiple a la que si los tiene y estaacute definida por vectores muacuteltiples que son muacuteltiplos enteros del vector traslacioacuten unitario de igual direccioacuten Se llama multiplicidad al nuacutemero de nudos que hay por celda elemental (todas las celdas primitivas de una red tienen multiplicidad 1 frac14 4 = 1)

- Redes planasEl orden bidimensional es el resultado de traslaciones regulares en dos direcciones distintas que resultan en la definicioacuten de los cinco tipos de redes planas La asimilacioacuten de este orden bidimensional es baacutesica para comprender la regularidad correspondiente a objetos tridimensionales tales como la materia cristalina Se definen cinco tipos de redes planas con las siguientes caracteriacutesticas

Red oblicua (ane b γ ne 90ordm)

Red rectangular (ane b γ =90ordm)

Existen tambieacuten redes centradas que son el resultado de antildeadir nuevos nudos en el centro de cada paralelogramo generador de la red plana Soacutelo puede realizarse esta operacioacuten de centrado si la red resultante es morfoloacutegicamente diferente de la original por ello soacutelo pueden centrarse las redes rectangulares (obtenieacutendose una red roacutembica) o las redes roacutembicas (dando lugar a una red rectangular)

Red roacutembica (a=b γ ne 90ordm 60ordm 120ordm)

Red hexagonal (a=b γ =60ordm 120ordm)

Red cuadrada (a=b γ =90ordm)

Las redes planas forman por apilamiento homogeacuteneo los distintos tipos de redes espaciales es decir las distintas familias de planos cristalinos que integran el cristal La manera como estos planos se apilan determina los aacutengulos entre las traslaciones fundamentales en las tres dimensiones que es lo que define a su vez la forma y dimensiones del paralelepiacutepedo o celda unidad que caracteriza la red cristalina

- Redes de BravaisDe la superposicioacuten de planos se generan catorce celdas morfoloacutegicamente distintas que se conocen como las Redes de Bravais en honor de su descubridor

En teacuterminos de redes cristalinas tridimensionales los paralelepiacutepedos fundamentales morfoloacutegicamente distintos son el resultado de combinar las tres traslaciones fundamentales de valores dados con sus inclinaciones respectivas es decir con los tres aacutengulos α szlig y γ

Su construccioacuten se realiza apilando paralelamente una sucesioacuten infinita de modelos planos ideacutenticos de manera que la distancia entre ellos sea siempre igual (familia de planos) Mientras que en el plano se deduciacutean cinco tipos de redes en el espacio tridimensional se reconocen hasta catorce distribuciones perioacutedicas

Red tricliacutenica (abc αszligγ90ordm)

Debido a los valores distintos entre siacute de las traslaciones y de los aacutengulos fundamentales el paralelepiacutepedo tiene forma cualquiera triplemente inclinado (por ello se denomina tricliacutenico) Se trata de una red primitiva

Redes monocliacutenicas (abc α=γ=90ordmszlig )

La celda es un paralelepiacutepedo no recto de base rectangular (formados por redes planas rectangulares)

- Red monocliacutenica primitiva P

- Red monocliacutenica de base centrada

La operacioacuten de centrado de redes permite la generacioacuten de este otro tipo de red Si se centra la red plana rectangular (100) su siacutembolo es A y si se centra la (001) es C Morfoloacutegicamente estas redes soacutelo se diferencian en su orientacioacuten por tanto las redes monocliacutenicas de base centrada A y C son equivalentes

Redes roacutembicas (abc α=szlig=γ=90ordm)

- Red roacutembica primitiva P

El paralelepiacutepedo fundamental es un prisma recto de base rectangular Los tres planos fundamentales (100) (010) y (001) maacutes los planos diagonales del prisma son redes planas rectangulares

- Redes roacutembicas centradas

La operacioacuten de centrado de redes permite la generacioacuten de estos otros tipos de red Si se centran las redes planas rectangulares (100) (010) y (001) sus siacutembolos son respectivamente A B y C

Morfoloacutegicamente estas redes son iguales y se denominan red roacutembica de base centrada simbolizada por C Cuando la operacioacuten de centrado es sobre las tres caras a la vez la red se denomina red roacutembica de caras centradas y se simboliza por F Si el centrado se produce en los planos diagonales del prisma la red resultante se denomina red roacutembica centrada en el interior de siacutembolo I

Redes tetragonales (a=bc α=szlig=γ=90ordm)

- Red tetragonal P

La celda fundamental es un prisma recto de base cuadrada La familia de planos (001) son de red plana cuadrada mientras que (100) y (010) son rectangulares e ideacutenticos entre siacute

- Red tetragonal centrada I

Al ser iguales por simetriacutea los planos (100) y (010) no pueden centrarse independientemente y a su vez no pueden hacerlo simultaacuteneamente porque ello destruye la homogeneidad de los planos de la misma familia

Sin embargo los planos diagonales que son tambieacuten redes rectangulares pueden centrarse dando origen a la red tetragonal centrada en el interior I

Red hexagonal P (a=bc α=szlig=90ordm γ=120ordm 60ordm)

El paralelepiacutepedo fundamental es un prisma recto de base roacutembica (de aacutengulo de 60ordm) Para visualizar la forma hexagonal se toma una celda muacuteltiple integrada por tres de estas celdillas roacutembicas

Esta red hexagonal permite un apilamiento especial de los planos hexagonales Seguacuten eacuteste los nudos se proyectan a 13 o a 23 de la diagonal mayor del rombo dando como resultado una red romboeacutedrica R de (a=b=c α=szlig=γ90ordm)

Redes cuacutebicas (a=b=c α=szlig=γ=90ordm)

- Red cuacutebica primitiva P

El paralelepiacutepedo fundamental es un cubo

- Redes cuacutebicas centradas

El centrado de las caras del cubo no debiera ser posible puesto que son redes planas cuadradas Las redes cuacutebicas centradas se originan cuando el aacutengulo del romboedro se hace igual a 60ordm y las tres diagonales del romboedro se hacen iguales entre siacute definiendo las aristas de un cubo que circunscribe al romboedro Asiacute la distribucioacuten de nudos es la correspondiente a un cubo de caras centradas originando la red cuacutebica de caras centradas F

De forma similar cuando el aacutengulo entre las aristas del romboedro es de 109ordm 28acute 16acuteacute las diagonales de sus tres caras fundamentales son perpendicuales entre si e iguales en magnitud y definen un cubo inscrito en el romboedro La distribucioacuten de nudos corresponde a una red cuacutebica centrada en el interior I

(Las redes cuacutebicas no soacutelo son casos especiales de redes romboeacutedricas sino que tambieacuten lo son de redes tetragonales)

13- SIMETRIacuteA La porcioacuten miacutenima del espacio cristalino que contiene en siacute misma toda la simetriacutea de la red cristalina es la celda unidad El medio cristalino por ser perioacutedico es un medio simeacutetrico y todas sus propiedades derivan de este hecho

Entendiendo por simetriacutea aquella transformacioacuten que al aplicarse a un objeto hace que eacuteste conserve todas sus dimensiones y lo deje en una posicioacuten indistinguible de su posicioacuten original la operacioacuten de simetriacutea maacutes sencilla que existe por definicioacuten en el medio cristalino es la simple traslacioacuten entre un motivo y otro

- Elementos de simetriacuteaEl lugar geomeacutetrico que ayuda a la visualizacioacuten de la simetriacutea de una distribucioacuten ordenada recibe el nombre de elemento de simetriacutea Los elementos de simetriacutea puntual (la operacioacuten de simetriacutea deja un punto particular del diagrama inmoacutevil) sin traslacioacuten son el plano de simetriacutea el eje de rotacioacuten y el centro de simetriacutea o centro de inversioacuten

El plano de simetriacutea m o de reflexioacuten refleja partes o todos ideacutenticos del objeto a traveacutes de un plano

El eje de rotacioacuten origina una rotacioacuten al objeto de 360ordmn alrededor del eje (de derecha a izquierda)

eje monario n=1 (360ordm1=360ordm)

eje binario (perpendicular al plano) (paralelo al plano)

n=2 (360ordm2=180ordm)

eje ternario n=3 (360ordm3=120ordm)

eje cuaternario n=4 (360ordm4=90ordm)

eje senario n=6 (360ordm6=60ordm)

(La restriccioacuten cristalograacutefica limita los giros permisibles a estos cinco para que su orden sea compatible con la existencia de redes)

Las combinaciones de ambos elementos de simetriacutea originan los ejes de rotacioacuten impropios

- eje de rotorreflexioacuten rotacioacuten de 360ordmn seguida por reflexioacuten en un plano perpendicular al eje

- eje de rotoinversioacuten rotacioacuten de 360ordmn seguida por inversioacuten a traveacutes de un punto en el eje

orden 1 orden 3 orden 4 orden 6

Nota Los ejes de rotoinversioacuten se representan por el orden del eje (2 3 4 o 6) con el siacutembolo negativo encima de ellos En esta Web ese siacutembolo se identifica tambieacuten por el signo negativo bien delante o inferior al nuacutemero de orden del eje

(el esquema superior representa una rotoreflexioacuten de orden 4 y el inferior una rotoinversioacuten del mismo orden)

Por su parte el centro de simetriacutea i o centro de inversioacuten es un elemento de simetriacutea puntual que invierte el objeto a traveacutes de una liacutenea recta

- Combinacioacuten de elementos de simetriacuteaLa combinacioacuten de elementos de simetriacutea no se produce al azar estaacute regida por una serie de normas y limitaciones que son

- Los elementos que se combinan guardan unas relaciones angulares caracteriacutesticas

- La combinacioacuten de algunos elementos de simetriacutea genera directamente la presencia de otros

Eje de orden par + centro de simetriacutea ------- plano de simetriacutea perpendicular al eje

Eje de orden n contenido en un plano de simetriacutea -------- n-1 planos de simetriacutea que intersectan en el eje

Dos ejes que se cortan --------- un tercer eje que pasa por el punto de corte

(entre propios e impropios soacutelo es posible un propio y dos impropios)

Eje de orden n + eje binario perpendicular -------- n-1 ejes binarios tambieacuten normales a eacutel

Eje de inversioacuten de orden n(impar) + eje binario perpendicular -------- n ejes binarios y planos de simetriacutea

Eje de inversioacuten de orden n(par) + eje binario perpendicular -------- n2 ejes binarios y planos de simetriacutea

-Los ejes de inversioacuten realizan una operacioacuten de simetriacutea equivalente a la de dos elementos de simetriacutea (excepto el de orden 4)

3 = 3 + i

Eje de rotoinversioacuten de orden impar = eje propio del mismo orden + centro de simetriacutea

(6 = 3 + m)

Eje de rotoinversioacuten de orden par = eje propio de mitad de orden + un plano de simetriacutea perpendicular a eacutel

- Las 32 clases de simetriacuteaEs faacutecil prever que en el medio cristalino los elementos de simetriacutea se combinan entre siacute hasta engendrar los modelos cristalinos regulares que se combinan de treinta y dos maneras distintas y dan lugar a las treinta y dos posibles clases cristalinas o grupos puntuales (la operacioacuten de simetriacutea deja un punto particular del diagrama inmoacutevil) existentes

Estas treinta y dos clases cristalinas se han obtenido mediante las siguientes combinaciones de elementos de simetriacutea

Siacutembolo Combinacioacuten de simetriacutea Elementos de simetriacutea

1 Eje monario (giro de 360ordm)

2 Eje binario (giro de 180ordm)

3 Eje ternario (giro de 120ordm)

4 Eje cuaternario (giro de 90ordm)

6 Eje senario (giro de 60ordm)

1 Eje monario de inversioacuten (giro de 360ordm+inversioacuten) = centro de inversioacuten (2=i)

2 Eje binario de inversioacuten (giro de 180ordm+inversioacuten) = plano de simetriacutea (2=m)

3 Eje ternario de inversioacuten (giro de 120ordm+inversioacuten)

T4 TEje cuaternario de inversioacuten (giro de 90ordm+inversioacuten)

6

Clases con un soacutelo elemento de simetriacutea

Eje senario de inversioacuten (giro de 60ordm+inversioacuten) = eje ternario + plano de simetriacutea perpendicular

(6=3m)

222 Tres ejes binarios en planos perpendiculares entre siacute

32 Un eje ternario + tres ejes binarios en planos perpendiculares

422 Un eje cuaternario + dos ejes binarios en planos perpendiculares

622 Un eje senario + tres ejes binarios a 120ordm (plano perpendicular al senario)

23 Cuatro ejes ternarios + Tres ejes binarios

432

Clases con combinacioacuten de ejes

Tres ejes cuaternarios + cuatro ejes ternarios + seis ejes binarios

2m Clases con un eje de Eje binario + plano de simetriacutea perpendicular a eacutel

4m Eje cuaternario + plano de simetriacutea perpendicular a eacutel

6m

orden par + un centro de simetriacutea

(Eje de orden par + centro de simetriacutea=plano de

simetriacutea perpendicular al eje)

Eje senario + plano de simetriacutea perpendicular a eacutel

2mm Eje binario + dos planos de simetriacutea que se cortan en eacutel

3m Eje ternario + tres planos de simetriacutea que se cortan en eacutel

4mm Eje cuaternario + cuatro planos de simetriacutea que se cortan en eacutel

6mm

Clases con un eje + un plano de simetriacutea que

contenga al eje

Eje senario + seis planos de simetriacutea que se cortan en eacutel

42m Eje cuaternario de inversioacuten + dos ejes binarios + dos planos de simetriacutea

43m Tres ejes cuaternarios de inversioacuten + cuatro ejes ternarios + seis planos de simetriacutea

62m

Clases con un eje + dos ejes impropios

Eje senario de inversioacuten (=eje ternario + plano de simetriacutea perpendicular) + tres ejes binarios + tres

planos de simetriacutea

2m2m2m

(mmm)

Tres ejes binarios + tres planos de simetriacutea perpendiculares

32m

(3m)

Un eje ternario + tres ejes binarios + tres planos de simetriacutea perpendiculares + un centro de simetriacutea

4m2m2m

(4mmm)

Un eje cuaternario + un plano de simetriacutea perpendicular + cuatro ejes binarios + cuatro

planos de simetriacutea perpendiculares + centro de simetriacutea

6m2m2m

(6mmm)

Un eje senario + un plano de simetriacutea perpendicular + seis ejes binarios + seis planos de simetriacutea perpendiculares + un centro de simetriacutea

2m3

(m3)

Cuatro ejes ternarios + tres ejes binarios + tres planos de simetriacutea perpendiculares + un centro de

simetriacutea

4m32m

(m3m)

TClases con tres ejes + un centro de

simetriacutea

Tres ejes cuaternarios + tres planos de simetriacutea perpendiculares + cuatro ejes ternarios + seis ejes binarios + seis planos de simetriacutea perpendiculares

+ un centro de simetriacutea

La distribucioacuten sistema cristalino-Redes de Bravais-Grupos puntuales o clases de simetriacutea es la siguiente

Red de Bravais Sistema Grupo puntual

Red Tricliacutenica primitiva P Tricliacutenico 1 1Red monocliacutenica primitiva PRed monocliacutenica centrada en las caras C

Monocliacutenico 2 m 2m

Red roacutembica primitiva PRed roacutembica centrada en las bases CRed roacutembica centrada en el interior IRed roacutembica centrada en las caras F

Roacutembico 222 mm2 mmm

Red tetragonal primitiva P

Red tetragonal centrada en el interior CTetragonal

4 4 4m 4mm 422

42m 4mmm

Red hexagonal primitiva P Hexagonal6 6 6m 6mm 622

62m 6mmm

Red romboeacutedrica primitiva P Romboeacutedrico o Trigonal

3 3 3m 32 3m

Red cuacutebica primitiva PRed cuacutebica centrada en el interior IRed cuacutebica centrada en las caras F

Cuacutebico o Isomeacutetrico23 m3

43m 432 m3m

- Simetriacutea y redes de BravaisLa presencia de elementos de simetriacutea en la red cristalina condiciona a su vez la existencia de ciertas relaciones meacutetricas entre los elementos de la celda elemental las relaciones angulares entre los ejes del cristal o ejes cristalograacuteficos y las intersecciones sobre estos ejes de la cara fundamental (111) Las dimensiones de estas intersecciones son proporcionales a las traslaciones en las tres dimensiones de la red

Por esta razoacuten se han agrupado las redes de Bravais en siete grandes grupos redes tricliacutenicas redes monocliacutenicas redes roacutembicas redes tetragonales redes hexagonales redes romboeacutedricas y redes cuacutebicas Cada uno de estos grupos de redes corresponde a un sistema cuyo nombre es ideacutentico al de las redes correspondientes y posee unas constantes reticulares fijas y una miacutenima simetriacutea caracteriacutestica

Red de Bravais SistemaRed Tricliacutenica primitiva P TricliacutenicoRed monocliacutenica primitiva PRed monocliacutenica centrada en las caras C

Monocliacutenico

Red roacutembica primitiva PRed roacutembica centrada en las bases CRed roacutembica centrada en el interior IRed roacutembica centrada en las caras F

Roacutembico

Red tetragonal primitiva PRed tetragonal centrada en el interior C

Tetragonal

Red hexagonal primitiva P HexagonalRed romboeacutedrica primitiva P Romboeacutedrico o Trigonal Red cuacutebica primitiva PRed cuacutebica centrada en el interior IRed cuacutebica centrada en las caras F

Cuacutebico o Isomeacutetrico

Las constantes reticulares y la miacutenima simetriacutea que caracteriza a cada grupo de redes o sistema cristalino es la siguiente

- Sistema tricliacutenico (abc αszligγ90ordm)

No posee ninguna simetriacutea miacutenima

- Sistema monocliacutenico (abc α=γ=90ordmszliggt90ordm)

Presenta como simetriacutea miacutenima un eje de rotacioacuten binario o un eje de inversioacuten binario (=plano de simetriacutea)

- Sistema roacutembico (abc α=szlig=γ=90ordm)

Como miacutenimo posee tres ejes binarios perpendiculares entre siacute

- Sistema tetragonal (a=bc α=szlig=γ=90ordm)

Posee como caracteriacutestica fundamental un eje de rotacioacuten cuaternario o un eje de inversioacuten cuaternario

- Sistema hexagonal (a=bc α=szlig=90ordm γ=120ordm)

Su caracteriacutestica fundamental es la presencia de un eje de rotacioacuten senario o un eje de inversioacuten senario (eje ternario + plano de simetriacutea perpendicular)

Para mayor precisioacuten generalmente se introduce un cuarto eje i coplanario con a y b que forma un aacutengulo de 120ordm con cada uno de ellos asiacute la cruz axial seraacute (a=b=ic α=szlig=90ordm γ=120ordm)

Iacutendices de Miller hexagonales Como se trabaja con un cuarto iacutendice que se situacutea en el plano a1 a2 y a 120ordm de cada uno de estos ejes los planos hexagonales se van a representar por cuatro iacutendices (hkil) El valor de i se determina como h+k

- Sistema romboeacutedrico o trigonal (a=b=c α=szlig=γ90ordm)

Su caracteriacutestica comuacuten es la presencia de un eje de rotacioacuten ternario o un eje de inversioacuten ternario (eje ternario + centro de simetriacutea)

- Sistema cuacutebico (a=b=c α=szlig=γ=90ordm)

Posee como caracteriacutestica fundamental cuatro ejes de rotacioacuten ternarios inclinados a 10947ordm

NOTA Ademaacutes de las constantes reticulares para definir un sistema cristalino puede utilizarse la relacioacuten parameacutetrica siendo eacutesta la relacioacuten existente entre los moacutedulos de a y c respecto al moacutedulo de b

ab 1 cb

Normalmente se toman estos valores y los aacutengulos para definir la red

14- SIMETRIacuteA CON TRASLACIOacuteN - Elementos de simetriacutea con traslacioacutenLa red cristalina soacutelo tiene sentido como indicadora de la periodicidad que se presenta en el cristal como consecuencia de la repeticioacuten del motivo Debido a ello la simetriacutea que revela por siacute la red no tiene que ser necesariamente la que posea el cristal aunque en general lo sea

Ejemplo La coesita (variedad de la siacutelice de alta presioacuten) tiene una red cuya meacutetrica es roacutembica mientras que la estructura es monocliacutenica ya que el motivo carece de ciertos elementos de simetriacutea que la meacutetrica de la red indicaban

Es faacutecil comprender que debido a que la red es solamente la consecuencia de unas fuerzas cohesivas entre los aacutetomos que forman el cristal fuerzas que obligan a una repeticioacuten monoacutetona de las agrupaciones atoacutemicas la simetriacutea de la red debe estar iacutentimamente relacionada con la del cristal entendido como agrupacioacuten repetitiva de aacutetomos

La red nos proporciona por tanto la simetriacutea maacutexima que el cristal puede tener pero dicha simetriacutea depende de la simetriacutea propia del motivo La complejidad que el motivo cristalino aacutetomos iones y moleacuteculas aporta a la red cristalina hace que los elementos de simetriacutea del medio cristalino se ampliacuteen Aparece la traslacioacuten que tiene dimensiones submicroscoacutepicas no accesibles a la morfologiacutea macroscoacutepica

Los operadores de simetriacutea que completan la tarea de rellenar el espacio cristalino se consideran cada uno de ellos como una sola y nueva operacioacuten de simetriacutea Estos son los planos de deslizamiento que implican la reflexioacuten asociada a una traslacioacuten y los ejes helicoidales que implican a su vez giro y traslacioacuten

- Plano de deslizamiento

El plano de deslizamiento realiza simultaacuteneamente dos operaciones refleja la imagen o traslada la imagen a intervalos de media traslacioacuten

Cuando la semitraslacioacuten asociada al plano de deslizamiento corresponde a alguna de las direcciones fundamentales del cristal el plano se denomina a b c respectivamente

Cuando la semitraslacioacuten corresponde a la diagonal del plano reflector es decir el plano de deslizamiento se situacutea paralelo a la diagonal entre las filas definidas por a b y c el plano se simboliza por n y las componentes de su traslacioacuten son

a2 + b2 b2 + c2 c2 + a2 y a2 + b2 + c2

Los planos d (aparece en la estructura del diamante) se tratan tambieacuten de planos diagonales Presentan como componentes de traslacioacuten cuartos de la fundamental es decir

a4 plusmn b4 b4 plusmn c4 c4 plusmn a4 y a4 plusmn b4 plusmn c4

El siguiente cuadro sintetiza la notacioacuten y simetriacutea de los planos en los grupos espaciales

Siacutembolo Siacutembolo graacutefico Orientacioacuten y Traslacioacuten

m

perpendicular al papel

paralelo al papel

(100) o (010) ninguna traslacioacuten

(001) ninguna traslacioacuten

a

perpendicular al papel

paralelo al papel

(010) traslacioacuten a2

(001) traslacioacuten a2

b

perpendicular al papel

paralelo al papel

(100) traslacioacuten b2

(001) traslacioacuten b2

c perpendicular al papel

(100) 0 (010) traslacioacuten c2

n

______ perpendicular al papel

paralelo al papel

traslacioacuten (b+c)2 en (100) traslacioacuten (c+a)2 en (010)

traslacioacuten (a+b)2 en (001) traslacioacuten (a+b+c)2 en (110) en sistemas tetragonal o cuacutebico

d

perpendicular al papel

paralelo al papel

traslacioacuten (b+c)4 en (100) traslacioacuten (c+a)4 en (010)

traslacioacuten (a+b)4 en (001) traslacioacuten (a+b+c)4 en (110) en sistemas tetragonal o cuacutebico

- Eje helicoidal

Un eje helicoidal implica similarmente una operacioacuten doble

Un giro el permisible para su orden

Una traslacioacuten constante a lo largo del eje

Como sabemos el orden del eje es el nuacutemero de repeticiones que se necesitan para lograr la identidad implicando una serie de giros sucesivos hasta haber completado su operacioacuten de simetriacutea total

En un eje helicoidal cada uno de estos giros parciales debe asociarse a una parte aliacutecuota de la traslacioacuten total t paralela a la direccioacuten del eje La identidad se logra en la operacioacuten giro cuando se ha aplicado tantas veces el giro permisible como indica el orden del eje

Haciendo el periodo de identidad t coincidente con el giro completo del eje se obtienen los siguientes ejes helicoidales

Siacutembolo Siacutembolo graacutefico Denominacioacuten Giro Traslacioacuten

21 Eje binario helicoidal 180ordm t2

31 Eje ternario helicoidal

derecho120ordm

dextroacutegiro t3

32 Eje ternario helicoidal

izquierdo 120ordm levoacutegiro t3

41 Eje cuaternario helicoidal

derecho90ordm

dextroacutegiro t4

43 Eje cuaternario helicoidal

izquierdo 90ordm levoacutegiro t4

61 Eje senario helicoidal

derecho 60ordmdextroacutegiro t6

65 Eje senario helicoidal

izquierdo 60ordm levoacutegiro t6

Tambieacuten se pueden deducir los ejes helicoidales haciendo que la identidad se alcance para Nn giros siendo N el orden del eje y n un divisor entero de N

N (orden

del eje)

n (divisor entero de N)

Nn (giros)

Siacutembolo Siacutembolo graacutefico Denominacioacuten Giro Traslacioacuten

4 T2 2 42 Eje cuaternario-binario helicoidal 90ordm t2

6 3 2 63

Eje senario-ternario

helicoidal60ordm t2

6 2 3 62

Eje senario-binario helicoidal

derecho

60ordm dextroacutegiro t3

6 2 3 64

Eje senario-binario helicoidal

izquierdo

60ordm levoacutegiro t3

- Los 17 grupos planos En la deduccioacuten de los grupos planos hay que tener en cuenta que es el motivo contenido de la celda definida por unas traslaciones dadas el que muestra la existencia de los elementos de simetriacutea Es decir que las partes del motivo estaacuten relacionadas entre siacute por dichos elementos de simetriacutea (que puede ser simetriacutea con traslacioacuten) que la suma de estas partes constituye la celda y que las celdas implican una meacutetrica dada es decir tiene una forma y unas dimensiones que condicionan una simetriacutea maacutexima

En los grupos planos los haces de elementos de simetriacutea son perpendiculares al plano que se asocia a un tipo de red plana El nuacutemero de estos grupos planos es de 17

- Grupos planos con red oblicua

La simetriacutea maacutexima que permite una red obiacutecua es un haz de ejes binarios Existiraacuten por tanto dos posibilidades

Grupo plano p1 p como indicativo de primitivo y 1 como indicativo de no simetriacutea El dominio complejo coincide con el motivo y por tanto su multiplicidad es 1

Grupo plano p2 p como indicativo de primitivo y 2 como indicativo de eje binario de simetriacutea La multiplicidad del dominio complejo es 2 ya que la simetriacutea genera duplicidad del motivo

- Grupos planos con red rectangular

La simetriacutea maacutexima que permite una red rectangular es dos haces de planos de simetriacutea y un haz de ejes binarios Existiraacuten por tanto diferentes combinaciones

Grupo plano pm p como indicativo de primitivo y m como indicativo del plano de simetriacutea La multiplicidad del dominio complejo es 2 ya que la simetriacutea genera duplicidad del motivo

Grupo plano pg p como indicativo de primitivo y g como indicativo del plano de deslizamiento La multiplicidad del dominio complejo es 2 ya que la simetriacutea genera duplicidad del motivo

Grupo plano pmm (p2mm) p como indicativo de primitivo y dos m como indicativo de planos de simetriacutea mutuamente perpendiculares Los planos de simetriacutea llevan impliacutecitos la aparcicioacuten de ejes binarios La multiplicidad del dominio complejo es 4

Grupo plano pmg (p2mg) p como indicativo de primitivo y planos perpendiculares de tipo distinto (m ordinarios y g de deslizamiento) Esto hace que los ejes de simetriacutea no se encuentren en la interseccioacuten sino desplazados a lo largo del plano de deslizamiento a mitad de la componente desplazamiento El origen de la celda se toma sobre un eje binario La multiplicidad del dominio complejo es 4

Grupo plano pgg(p2gg) p como indicativo de primitivo y dos g de planos perpendiculares de deslizamiento Esto hace que los ejes de simetriacutea no se encuentren en la interseccioacuten sino desplazados a lo largo de cada plano de deslizamiento a mitad de la componente deslizamiento El origen de la celda se toma sobre un eje binario La multiplicidad del dominio complejo es 4

- Grupos planos con red roacutembica o rectangular centrada

Grupo plano cm c como indicativo de la operacioacuten de centrado y m como indicativo del plano de simetriacutea La operacioacuten de centrado lleva impliacutecita la existencia de un plano de deslizamiento La multiplicidad del dominio complejo es 4

Grupo plano cmm (c2mm) c como indicativo de centrado y dos m como indicativo de planos de simetriacutea mutuamente perpendiculares La operacioacuten de centrado lleva impliacutecita la existencia de planos de deslizamiento La multiplicidad del dominio complejo es 4 Los planos de simetriacutea ordinarios y de deslizamiento llevan impliacutecitos la aparcicioacuten de ejes binarios en las intersecciones del mismo tipo de planos no de distintos La multiplicidad del dominio complejo es 8

- Grupos planos con red cuadrada

La simetriacutea maacutexima que permite una red cuadrada es un haz de ejes cuaternarios y sus planos de simetriacutea contenidos en ellos En todos los casos se toma un eje cuaternario como origen de

la celda apareciendo otro eje cuaternario en el centro de la celda Existiraacuten por tanto diferentes combinaciones

Grupo plano p4 p como indicativo de primitivo y 4 como indicativo de eje cuaternario de simetriacutea Los ejes cuaternarios generan la aparcicioacuten de ejes binarios intercalados entre los cuaternarios La multiplicidad del dominio complejo es 4

Grupo plano p4mm p como indicativo de primitivo 4 como indicativo de eje cuaternario de simetriacutea y m como los planos de simetriacutea que contienen a dichos ejes Los ejes cuaternarios generan la aparcicioacuten de ejes binarios intercalados entre los cuaternarios y toda la simetriacutea genera planos de deslizamiento paralelos a las diagonales de la celda La multiplicidad del dominio complejo es 8

Grupo plano p4gm p como indicativo de primitivo 4 como indicativo de eje cuaternario de simetriacutea g como planos de deslizamiento y m como los planos de simetriacutea La multiplicidad del dominio complejo es 8

- Grupos planos con red hexagonal

La simetriacutea maacutexima que permite una red hexagonal es un haz de ejes senarios o ternarios y los planos de simetriacutea que contienen a dichos ejes Existiraacuten por tanto diferentes combinaciones

Grupo plano p3 p como indicativo de primitivo y 3 como indicativo de eje ternario de simetriacutea Los ejes ternarios generan la aparcicioacuten de otros ternarios en el centro de los dos triaacutengulos equilaacuteteros que conforman la celda La multiplicidad del dominio complejo es 3

Grupo plano p3m1 p como indicativo de primitivo 3 como indicativo de eje ternario de simetriacutea y m como plano de simetriacutea en la diagonal mayor del rombo Se genera alternancia de planos de deslizamiento La multiplicidad del dominio complejo es 6

Grupo plano p31m p como indicativo de primitivo 3 como indicativo de eje ternario de simetriacutea y m como plano de simetriacutea en la diagonal menor del rombo Se genera alternancia de planos de deslizamiento La multiplicidad del dominio complejo es 6

Grupo plano p6 p como indicativo de primitivo y 6 como indicativo de eje senario de simetriacutea Se generan ejes ternarios en los centros de los triaacutengulos equilaacuteteros conformadores y ejes binarios en los centros de los lados de dichos triaacutengulos La multiplicidad del dominio complejo es de 6

Grupo plano p6mm p como indicativo de primitivo 6 como indicativo de eje senario de simetriacutea y m de los planos de simetriacutea que los contienen Se generan ejes ternarios en los centros de los triaacutengulos equilaacuteteros conformadores ejes binarios en los centros de los lados de dichos triaacutengulos y planos de deslizamiento alternantes La multiplicidad del dominio complejo es de 12

La tabla que relaciona los grupos puntuales y los grupos planos pone de manifiesto que no todas las combinaciones conducen a nuevos o diferentes grupos puntuales La interaccioacuten de la simetriacutea del motivo con la simetriacutea de las diversas redes planas afecta al contenido de simetriacutea resultante del modelo planar El modelo final muestra la simetriacutea de la red cuando los elementos de simetriacutea del motivo estaacuten alineados con los elementos de simetriacutea correspondiente de la red Si el motivo tiene menos simetriacutea que la red el modelo expresaraacute el menor grado de simetriacutea del motivo con los elementos de simetriacutea de eacuteste alineados con los correspondientes elementos de simetriacutea de la red

Red Grupo puntual Grupo plano

1 p1 Obliacutecua

2 p2 m pm pg

Rectangular mm pmm pmg pgg m cm

Roacutembica mm cmm

4 p4

Cuadrada

4mm p4mm p4gm

3 p3 3m p3m p31m 6 p6

Hexagonal

6mm p6mm

- Grupos espaciales Los grupos espaciales representan las diversas formas en que los motivos pueden distribuirse en el espacio en una estructura homogeacutenea

Los grupos espaciales surgen de la combinacioacuten de los 14 tipos posibles de redes espaciales (redes de Bravais) con la simetriacutea propia de las 32 clases cristalinas o grupos puntuales maacutes la simetriacutea con traslacioacuten

Las caracteriacutesticas de la red se expresan con las letras P A B C F I R de las redes de Bravais que designan el tipo de red general A continuacioacuten se describen en el siacutembolo los elementos de simetriacutea

Ejemplos

P4m2m2m oacute p4mmm

4m2m2m oacute 4mmm Grupo de simetriacutea 4mmm

P Red tetragonal sencilla

P42n2n2m oacute P42nnm

42nnm Grupo isogonal con el 4mmm donde los ejes de rotacioacuten cuaternaria del grupo puntual aparecen como ejes de rotoinversioacuten cuaternaria y helicoidal cuaternario paralelos y alternativos Existen planos de deslizamiento n y de simetriacutea m asiacute como ejes de rotacioacuten binaria con helicoidales binarios intercalados

P Red tetragonal sencilla

Al igual que ocurriacutea en los grupos planos en los grupos espaciales con redes no primitivas la operacioacuten de centrado introduce la simetriacutea con traslacioacuten y sin embargo estos nuevos elementos no se aprecian en los siacutembolos Por ejemplo

C2m

2m Grupo de simetriacutea 2m Sin embargo aparecen debido al centrado ejes helicoidales binarios intercalados con los binarios y planos de deslizamiento intercalados con los planos de simetriacutea

C Red roacutembica centrada de tipo C

Los 230 grupos espaciales vienen descritos en las International Tables for X-ray Crystallography clasificadas seguacuten los grupos puntuales y los sistemas cristalinos

Una composicioacuten de la informacioacuten contenida en estas Tablas se muestra a continuacioacuten para el grupo espacial Cmm2 en el que la C significa una red centrada en las caras separadas por el eje c la primera m representa un plano de simetriacutea perpendicular al eje a la segunda m

representa un plano de simetriacutea perpendicular al eje b y el 2 se refiere al eje binario paralelo al eje c

  • EL ESTADO CRISTALINO
Page 6: Cristalografia Estructural

- Plano reticularUn plano reticular queda definido por dos filas reticulares conjugadas Todo plano reticular puede definirse por sus intersecciones (Ha Kb Lc) con los tres ejes fundamentales del cristal

Las dimensiones de estas intersecciones (HKL) medidas desde un nudo tomado como origen son los paraacutemetros del plano reticular correspondiente Sin embargo la denominacioacuten habitual de un plano reticular son los iacutendices de Miller

- Iacutendices de MillerSe obtienen calculando las intersecciones (H K L) o nuacutemero de traslaciones con los tres ejes fundamentales del cristal Posteriormente se invierten y se eliminan denominadores o bien se calculan los cocientes entre el producto de las tres intersecciones dividido entre cada una de las intersecciones (HKL= N NH= h NK=k NL=l)

Intersecciones H=aelig K=aelig L=1

Invertimos 1aelig=0 1aelig=0 11=1 no existen denominadores

Iacutendices de Miller (001)

1ordm Deducir las intersecciones de cada plano con los ejes cristalograacuteficos a b y c Es decir contar el nuacutemero de traslaciones t1 t2 y t3 que ocupa el plano sobre los ejes a b y c

El plano ABD ocupa

2t1 en el eje a 2t2 en el eje b y 4t3 en el eje c

El plano EBD ocupa

4t1 en el eje a 2t2 en el eje b y 4t3 en el eje c

2ordm Para calcular los iacutendices de Miller de cada plano a partir de estas intersecciones se invierten los valores y si es necesario se reducen las fracciones

El plano ABD corta a los ejes en 2 2 y 4

Su inversioacuten es 12 12 14

Reducimos fracciones quitando denominadores 24 24 14 Sin denominadores queda 221

Iacutendices de Miller (221)

El plano EBD corta a los ejes en 4 2 y 4

Su inversioacuten es 14 12 14

Reducimos fracciones quitando denominadores 14 24 14 sin denominadores queda 121

Iacutendices de Miller (121)

Este siacutembolo entre pareacutentesis (hkl) nombra el plano dado mientras que entre corchetes hkl indica todos los planos homoacutelogos que resultan de aplicar los elementos de simetriacutea del cristal al plano (hkl)

- Celda unidadEn una red cristalina existen siempre tres traslaciones no coplanarias que tienen las dimensiones miacutenimas entre todas las traslaciones posibles de la red son las traslaciones fundamentales o constantes reticulares de dimensiones submicroscoacutepicas La porcioacuten del espacio cristalino limitado por estas traslaciones constituye la celda fundamental del cristal y es caracteriacutestica del mismo

Se denomina celda primitiva aquella que no tiene nudos en su interior y celda muacuteltiple a la que si los tiene y estaacute definida por vectores muacuteltiples que son muacuteltiplos enteros del vector traslacioacuten unitario de igual direccioacuten Se llama multiplicidad al nuacutemero de nudos que hay por celda elemental (todas las celdas primitivas de una red tienen multiplicidad 1 frac14 4 = 1)

- Redes planasEl orden bidimensional es el resultado de traslaciones regulares en dos direcciones distintas que resultan en la definicioacuten de los cinco tipos de redes planas La asimilacioacuten de este orden bidimensional es baacutesica para comprender la regularidad correspondiente a objetos tridimensionales tales como la materia cristalina Se definen cinco tipos de redes planas con las siguientes caracteriacutesticas

Red oblicua (ane b γ ne 90ordm)

Red rectangular (ane b γ =90ordm)

Existen tambieacuten redes centradas que son el resultado de antildeadir nuevos nudos en el centro de cada paralelogramo generador de la red plana Soacutelo puede realizarse esta operacioacuten de centrado si la red resultante es morfoloacutegicamente diferente de la original por ello soacutelo pueden centrarse las redes rectangulares (obtenieacutendose una red roacutembica) o las redes roacutembicas (dando lugar a una red rectangular)

Red roacutembica (a=b γ ne 90ordm 60ordm 120ordm)

Red hexagonal (a=b γ =60ordm 120ordm)

Red cuadrada (a=b γ =90ordm)

Las redes planas forman por apilamiento homogeacuteneo los distintos tipos de redes espaciales es decir las distintas familias de planos cristalinos que integran el cristal La manera como estos planos se apilan determina los aacutengulos entre las traslaciones fundamentales en las tres dimensiones que es lo que define a su vez la forma y dimensiones del paralelepiacutepedo o celda unidad que caracteriza la red cristalina

- Redes de BravaisDe la superposicioacuten de planos se generan catorce celdas morfoloacutegicamente distintas que se conocen como las Redes de Bravais en honor de su descubridor

En teacuterminos de redes cristalinas tridimensionales los paralelepiacutepedos fundamentales morfoloacutegicamente distintos son el resultado de combinar las tres traslaciones fundamentales de valores dados con sus inclinaciones respectivas es decir con los tres aacutengulos α szlig y γ

Su construccioacuten se realiza apilando paralelamente una sucesioacuten infinita de modelos planos ideacutenticos de manera que la distancia entre ellos sea siempre igual (familia de planos) Mientras que en el plano se deduciacutean cinco tipos de redes en el espacio tridimensional se reconocen hasta catorce distribuciones perioacutedicas

Red tricliacutenica (abc αszligγ90ordm)

Debido a los valores distintos entre siacute de las traslaciones y de los aacutengulos fundamentales el paralelepiacutepedo tiene forma cualquiera triplemente inclinado (por ello se denomina tricliacutenico) Se trata de una red primitiva

Redes monocliacutenicas (abc α=γ=90ordmszlig )

La celda es un paralelepiacutepedo no recto de base rectangular (formados por redes planas rectangulares)

- Red monocliacutenica primitiva P

- Red monocliacutenica de base centrada

La operacioacuten de centrado de redes permite la generacioacuten de este otro tipo de red Si se centra la red plana rectangular (100) su siacutembolo es A y si se centra la (001) es C Morfoloacutegicamente estas redes soacutelo se diferencian en su orientacioacuten por tanto las redes monocliacutenicas de base centrada A y C son equivalentes

Redes roacutembicas (abc α=szlig=γ=90ordm)

- Red roacutembica primitiva P

El paralelepiacutepedo fundamental es un prisma recto de base rectangular Los tres planos fundamentales (100) (010) y (001) maacutes los planos diagonales del prisma son redes planas rectangulares

- Redes roacutembicas centradas

La operacioacuten de centrado de redes permite la generacioacuten de estos otros tipos de red Si se centran las redes planas rectangulares (100) (010) y (001) sus siacutembolos son respectivamente A B y C

Morfoloacutegicamente estas redes son iguales y se denominan red roacutembica de base centrada simbolizada por C Cuando la operacioacuten de centrado es sobre las tres caras a la vez la red se denomina red roacutembica de caras centradas y se simboliza por F Si el centrado se produce en los planos diagonales del prisma la red resultante se denomina red roacutembica centrada en el interior de siacutembolo I

Redes tetragonales (a=bc α=szlig=γ=90ordm)

- Red tetragonal P

La celda fundamental es un prisma recto de base cuadrada La familia de planos (001) son de red plana cuadrada mientras que (100) y (010) son rectangulares e ideacutenticos entre siacute

- Red tetragonal centrada I

Al ser iguales por simetriacutea los planos (100) y (010) no pueden centrarse independientemente y a su vez no pueden hacerlo simultaacuteneamente porque ello destruye la homogeneidad de los planos de la misma familia

Sin embargo los planos diagonales que son tambieacuten redes rectangulares pueden centrarse dando origen a la red tetragonal centrada en el interior I

Red hexagonal P (a=bc α=szlig=90ordm γ=120ordm 60ordm)

El paralelepiacutepedo fundamental es un prisma recto de base roacutembica (de aacutengulo de 60ordm) Para visualizar la forma hexagonal se toma una celda muacuteltiple integrada por tres de estas celdillas roacutembicas

Esta red hexagonal permite un apilamiento especial de los planos hexagonales Seguacuten eacuteste los nudos se proyectan a 13 o a 23 de la diagonal mayor del rombo dando como resultado una red romboeacutedrica R de (a=b=c α=szlig=γ90ordm)

Redes cuacutebicas (a=b=c α=szlig=γ=90ordm)

- Red cuacutebica primitiva P

El paralelepiacutepedo fundamental es un cubo

- Redes cuacutebicas centradas

El centrado de las caras del cubo no debiera ser posible puesto que son redes planas cuadradas Las redes cuacutebicas centradas se originan cuando el aacutengulo del romboedro se hace igual a 60ordm y las tres diagonales del romboedro se hacen iguales entre siacute definiendo las aristas de un cubo que circunscribe al romboedro Asiacute la distribucioacuten de nudos es la correspondiente a un cubo de caras centradas originando la red cuacutebica de caras centradas F

De forma similar cuando el aacutengulo entre las aristas del romboedro es de 109ordm 28acute 16acuteacute las diagonales de sus tres caras fundamentales son perpendicuales entre si e iguales en magnitud y definen un cubo inscrito en el romboedro La distribucioacuten de nudos corresponde a una red cuacutebica centrada en el interior I

(Las redes cuacutebicas no soacutelo son casos especiales de redes romboeacutedricas sino que tambieacuten lo son de redes tetragonales)

13- SIMETRIacuteA La porcioacuten miacutenima del espacio cristalino que contiene en siacute misma toda la simetriacutea de la red cristalina es la celda unidad El medio cristalino por ser perioacutedico es un medio simeacutetrico y todas sus propiedades derivan de este hecho

Entendiendo por simetriacutea aquella transformacioacuten que al aplicarse a un objeto hace que eacuteste conserve todas sus dimensiones y lo deje en una posicioacuten indistinguible de su posicioacuten original la operacioacuten de simetriacutea maacutes sencilla que existe por definicioacuten en el medio cristalino es la simple traslacioacuten entre un motivo y otro

- Elementos de simetriacuteaEl lugar geomeacutetrico que ayuda a la visualizacioacuten de la simetriacutea de una distribucioacuten ordenada recibe el nombre de elemento de simetriacutea Los elementos de simetriacutea puntual (la operacioacuten de simetriacutea deja un punto particular del diagrama inmoacutevil) sin traslacioacuten son el plano de simetriacutea el eje de rotacioacuten y el centro de simetriacutea o centro de inversioacuten

El plano de simetriacutea m o de reflexioacuten refleja partes o todos ideacutenticos del objeto a traveacutes de un plano

El eje de rotacioacuten origina una rotacioacuten al objeto de 360ordmn alrededor del eje (de derecha a izquierda)

eje monario n=1 (360ordm1=360ordm)

eje binario (perpendicular al plano) (paralelo al plano)

n=2 (360ordm2=180ordm)

eje ternario n=3 (360ordm3=120ordm)

eje cuaternario n=4 (360ordm4=90ordm)

eje senario n=6 (360ordm6=60ordm)

(La restriccioacuten cristalograacutefica limita los giros permisibles a estos cinco para que su orden sea compatible con la existencia de redes)

Las combinaciones de ambos elementos de simetriacutea originan los ejes de rotacioacuten impropios

- eje de rotorreflexioacuten rotacioacuten de 360ordmn seguida por reflexioacuten en un plano perpendicular al eje

- eje de rotoinversioacuten rotacioacuten de 360ordmn seguida por inversioacuten a traveacutes de un punto en el eje

orden 1 orden 3 orden 4 orden 6

Nota Los ejes de rotoinversioacuten se representan por el orden del eje (2 3 4 o 6) con el siacutembolo negativo encima de ellos En esta Web ese siacutembolo se identifica tambieacuten por el signo negativo bien delante o inferior al nuacutemero de orden del eje

(el esquema superior representa una rotoreflexioacuten de orden 4 y el inferior una rotoinversioacuten del mismo orden)

Por su parte el centro de simetriacutea i o centro de inversioacuten es un elemento de simetriacutea puntual que invierte el objeto a traveacutes de una liacutenea recta

- Combinacioacuten de elementos de simetriacuteaLa combinacioacuten de elementos de simetriacutea no se produce al azar estaacute regida por una serie de normas y limitaciones que son

- Los elementos que se combinan guardan unas relaciones angulares caracteriacutesticas

- La combinacioacuten de algunos elementos de simetriacutea genera directamente la presencia de otros

Eje de orden par + centro de simetriacutea ------- plano de simetriacutea perpendicular al eje

Eje de orden n contenido en un plano de simetriacutea -------- n-1 planos de simetriacutea que intersectan en el eje

Dos ejes que se cortan --------- un tercer eje que pasa por el punto de corte

(entre propios e impropios soacutelo es posible un propio y dos impropios)

Eje de orden n + eje binario perpendicular -------- n-1 ejes binarios tambieacuten normales a eacutel

Eje de inversioacuten de orden n(impar) + eje binario perpendicular -------- n ejes binarios y planos de simetriacutea

Eje de inversioacuten de orden n(par) + eje binario perpendicular -------- n2 ejes binarios y planos de simetriacutea

-Los ejes de inversioacuten realizan una operacioacuten de simetriacutea equivalente a la de dos elementos de simetriacutea (excepto el de orden 4)

3 = 3 + i

Eje de rotoinversioacuten de orden impar = eje propio del mismo orden + centro de simetriacutea

(6 = 3 + m)

Eje de rotoinversioacuten de orden par = eje propio de mitad de orden + un plano de simetriacutea perpendicular a eacutel

- Las 32 clases de simetriacuteaEs faacutecil prever que en el medio cristalino los elementos de simetriacutea se combinan entre siacute hasta engendrar los modelos cristalinos regulares que se combinan de treinta y dos maneras distintas y dan lugar a las treinta y dos posibles clases cristalinas o grupos puntuales (la operacioacuten de simetriacutea deja un punto particular del diagrama inmoacutevil) existentes

Estas treinta y dos clases cristalinas se han obtenido mediante las siguientes combinaciones de elementos de simetriacutea

Siacutembolo Combinacioacuten de simetriacutea Elementos de simetriacutea

1 Eje monario (giro de 360ordm)

2 Eje binario (giro de 180ordm)

3 Eje ternario (giro de 120ordm)

4 Eje cuaternario (giro de 90ordm)

6 Eje senario (giro de 60ordm)

1 Eje monario de inversioacuten (giro de 360ordm+inversioacuten) = centro de inversioacuten (2=i)

2 Eje binario de inversioacuten (giro de 180ordm+inversioacuten) = plano de simetriacutea (2=m)

3 Eje ternario de inversioacuten (giro de 120ordm+inversioacuten)

T4 TEje cuaternario de inversioacuten (giro de 90ordm+inversioacuten)

6

Clases con un soacutelo elemento de simetriacutea

Eje senario de inversioacuten (giro de 60ordm+inversioacuten) = eje ternario + plano de simetriacutea perpendicular

(6=3m)

222 Tres ejes binarios en planos perpendiculares entre siacute

32 Un eje ternario + tres ejes binarios en planos perpendiculares

422 Un eje cuaternario + dos ejes binarios en planos perpendiculares

622 Un eje senario + tres ejes binarios a 120ordm (plano perpendicular al senario)

23 Cuatro ejes ternarios + Tres ejes binarios

432

Clases con combinacioacuten de ejes

Tres ejes cuaternarios + cuatro ejes ternarios + seis ejes binarios

2m Clases con un eje de Eje binario + plano de simetriacutea perpendicular a eacutel

4m Eje cuaternario + plano de simetriacutea perpendicular a eacutel

6m

orden par + un centro de simetriacutea

(Eje de orden par + centro de simetriacutea=plano de

simetriacutea perpendicular al eje)

Eje senario + plano de simetriacutea perpendicular a eacutel

2mm Eje binario + dos planos de simetriacutea que se cortan en eacutel

3m Eje ternario + tres planos de simetriacutea que se cortan en eacutel

4mm Eje cuaternario + cuatro planos de simetriacutea que se cortan en eacutel

6mm

Clases con un eje + un plano de simetriacutea que

contenga al eje

Eje senario + seis planos de simetriacutea que se cortan en eacutel

42m Eje cuaternario de inversioacuten + dos ejes binarios + dos planos de simetriacutea

43m Tres ejes cuaternarios de inversioacuten + cuatro ejes ternarios + seis planos de simetriacutea

62m

Clases con un eje + dos ejes impropios

Eje senario de inversioacuten (=eje ternario + plano de simetriacutea perpendicular) + tres ejes binarios + tres

planos de simetriacutea

2m2m2m

(mmm)

Tres ejes binarios + tres planos de simetriacutea perpendiculares

32m

(3m)

Un eje ternario + tres ejes binarios + tres planos de simetriacutea perpendiculares + un centro de simetriacutea

4m2m2m

(4mmm)

Un eje cuaternario + un plano de simetriacutea perpendicular + cuatro ejes binarios + cuatro

planos de simetriacutea perpendiculares + centro de simetriacutea

6m2m2m

(6mmm)

Un eje senario + un plano de simetriacutea perpendicular + seis ejes binarios + seis planos de simetriacutea perpendiculares + un centro de simetriacutea

2m3

(m3)

Cuatro ejes ternarios + tres ejes binarios + tres planos de simetriacutea perpendiculares + un centro de

simetriacutea

4m32m

(m3m)

TClases con tres ejes + un centro de

simetriacutea

Tres ejes cuaternarios + tres planos de simetriacutea perpendiculares + cuatro ejes ternarios + seis ejes binarios + seis planos de simetriacutea perpendiculares

+ un centro de simetriacutea

La distribucioacuten sistema cristalino-Redes de Bravais-Grupos puntuales o clases de simetriacutea es la siguiente

Red de Bravais Sistema Grupo puntual

Red Tricliacutenica primitiva P Tricliacutenico 1 1Red monocliacutenica primitiva PRed monocliacutenica centrada en las caras C

Monocliacutenico 2 m 2m

Red roacutembica primitiva PRed roacutembica centrada en las bases CRed roacutembica centrada en el interior IRed roacutembica centrada en las caras F

Roacutembico 222 mm2 mmm

Red tetragonal primitiva P

Red tetragonal centrada en el interior CTetragonal

4 4 4m 4mm 422

42m 4mmm

Red hexagonal primitiva P Hexagonal6 6 6m 6mm 622

62m 6mmm

Red romboeacutedrica primitiva P Romboeacutedrico o Trigonal

3 3 3m 32 3m

Red cuacutebica primitiva PRed cuacutebica centrada en el interior IRed cuacutebica centrada en las caras F

Cuacutebico o Isomeacutetrico23 m3

43m 432 m3m

- Simetriacutea y redes de BravaisLa presencia de elementos de simetriacutea en la red cristalina condiciona a su vez la existencia de ciertas relaciones meacutetricas entre los elementos de la celda elemental las relaciones angulares entre los ejes del cristal o ejes cristalograacuteficos y las intersecciones sobre estos ejes de la cara fundamental (111) Las dimensiones de estas intersecciones son proporcionales a las traslaciones en las tres dimensiones de la red

Por esta razoacuten se han agrupado las redes de Bravais en siete grandes grupos redes tricliacutenicas redes monocliacutenicas redes roacutembicas redes tetragonales redes hexagonales redes romboeacutedricas y redes cuacutebicas Cada uno de estos grupos de redes corresponde a un sistema cuyo nombre es ideacutentico al de las redes correspondientes y posee unas constantes reticulares fijas y una miacutenima simetriacutea caracteriacutestica

Red de Bravais SistemaRed Tricliacutenica primitiva P TricliacutenicoRed monocliacutenica primitiva PRed monocliacutenica centrada en las caras C

Monocliacutenico

Red roacutembica primitiva PRed roacutembica centrada en las bases CRed roacutembica centrada en el interior IRed roacutembica centrada en las caras F

Roacutembico

Red tetragonal primitiva PRed tetragonal centrada en el interior C

Tetragonal

Red hexagonal primitiva P HexagonalRed romboeacutedrica primitiva P Romboeacutedrico o Trigonal Red cuacutebica primitiva PRed cuacutebica centrada en el interior IRed cuacutebica centrada en las caras F

Cuacutebico o Isomeacutetrico

Las constantes reticulares y la miacutenima simetriacutea que caracteriza a cada grupo de redes o sistema cristalino es la siguiente

- Sistema tricliacutenico (abc αszligγ90ordm)

No posee ninguna simetriacutea miacutenima

- Sistema monocliacutenico (abc α=γ=90ordmszliggt90ordm)

Presenta como simetriacutea miacutenima un eje de rotacioacuten binario o un eje de inversioacuten binario (=plano de simetriacutea)

- Sistema roacutembico (abc α=szlig=γ=90ordm)

Como miacutenimo posee tres ejes binarios perpendiculares entre siacute

- Sistema tetragonal (a=bc α=szlig=γ=90ordm)

Posee como caracteriacutestica fundamental un eje de rotacioacuten cuaternario o un eje de inversioacuten cuaternario

- Sistema hexagonal (a=bc α=szlig=90ordm γ=120ordm)

Su caracteriacutestica fundamental es la presencia de un eje de rotacioacuten senario o un eje de inversioacuten senario (eje ternario + plano de simetriacutea perpendicular)

Para mayor precisioacuten generalmente se introduce un cuarto eje i coplanario con a y b que forma un aacutengulo de 120ordm con cada uno de ellos asiacute la cruz axial seraacute (a=b=ic α=szlig=90ordm γ=120ordm)

Iacutendices de Miller hexagonales Como se trabaja con un cuarto iacutendice que se situacutea en el plano a1 a2 y a 120ordm de cada uno de estos ejes los planos hexagonales se van a representar por cuatro iacutendices (hkil) El valor de i se determina como h+k

- Sistema romboeacutedrico o trigonal (a=b=c α=szlig=γ90ordm)

Su caracteriacutestica comuacuten es la presencia de un eje de rotacioacuten ternario o un eje de inversioacuten ternario (eje ternario + centro de simetriacutea)

- Sistema cuacutebico (a=b=c α=szlig=γ=90ordm)

Posee como caracteriacutestica fundamental cuatro ejes de rotacioacuten ternarios inclinados a 10947ordm

NOTA Ademaacutes de las constantes reticulares para definir un sistema cristalino puede utilizarse la relacioacuten parameacutetrica siendo eacutesta la relacioacuten existente entre los moacutedulos de a y c respecto al moacutedulo de b

ab 1 cb

Normalmente se toman estos valores y los aacutengulos para definir la red

14- SIMETRIacuteA CON TRASLACIOacuteN - Elementos de simetriacutea con traslacioacutenLa red cristalina soacutelo tiene sentido como indicadora de la periodicidad que se presenta en el cristal como consecuencia de la repeticioacuten del motivo Debido a ello la simetriacutea que revela por siacute la red no tiene que ser necesariamente la que posea el cristal aunque en general lo sea

Ejemplo La coesita (variedad de la siacutelice de alta presioacuten) tiene una red cuya meacutetrica es roacutembica mientras que la estructura es monocliacutenica ya que el motivo carece de ciertos elementos de simetriacutea que la meacutetrica de la red indicaban

Es faacutecil comprender que debido a que la red es solamente la consecuencia de unas fuerzas cohesivas entre los aacutetomos que forman el cristal fuerzas que obligan a una repeticioacuten monoacutetona de las agrupaciones atoacutemicas la simetriacutea de la red debe estar iacutentimamente relacionada con la del cristal entendido como agrupacioacuten repetitiva de aacutetomos

La red nos proporciona por tanto la simetriacutea maacutexima que el cristal puede tener pero dicha simetriacutea depende de la simetriacutea propia del motivo La complejidad que el motivo cristalino aacutetomos iones y moleacuteculas aporta a la red cristalina hace que los elementos de simetriacutea del medio cristalino se ampliacuteen Aparece la traslacioacuten que tiene dimensiones submicroscoacutepicas no accesibles a la morfologiacutea macroscoacutepica

Los operadores de simetriacutea que completan la tarea de rellenar el espacio cristalino se consideran cada uno de ellos como una sola y nueva operacioacuten de simetriacutea Estos son los planos de deslizamiento que implican la reflexioacuten asociada a una traslacioacuten y los ejes helicoidales que implican a su vez giro y traslacioacuten

- Plano de deslizamiento

El plano de deslizamiento realiza simultaacuteneamente dos operaciones refleja la imagen o traslada la imagen a intervalos de media traslacioacuten

Cuando la semitraslacioacuten asociada al plano de deslizamiento corresponde a alguna de las direcciones fundamentales del cristal el plano se denomina a b c respectivamente

Cuando la semitraslacioacuten corresponde a la diagonal del plano reflector es decir el plano de deslizamiento se situacutea paralelo a la diagonal entre las filas definidas por a b y c el plano se simboliza por n y las componentes de su traslacioacuten son

a2 + b2 b2 + c2 c2 + a2 y a2 + b2 + c2

Los planos d (aparece en la estructura del diamante) se tratan tambieacuten de planos diagonales Presentan como componentes de traslacioacuten cuartos de la fundamental es decir

a4 plusmn b4 b4 plusmn c4 c4 plusmn a4 y a4 plusmn b4 plusmn c4

El siguiente cuadro sintetiza la notacioacuten y simetriacutea de los planos en los grupos espaciales

Siacutembolo Siacutembolo graacutefico Orientacioacuten y Traslacioacuten

m

perpendicular al papel

paralelo al papel

(100) o (010) ninguna traslacioacuten

(001) ninguna traslacioacuten

a

perpendicular al papel

paralelo al papel

(010) traslacioacuten a2

(001) traslacioacuten a2

b

perpendicular al papel

paralelo al papel

(100) traslacioacuten b2

(001) traslacioacuten b2

c perpendicular al papel

(100) 0 (010) traslacioacuten c2

n

______ perpendicular al papel

paralelo al papel

traslacioacuten (b+c)2 en (100) traslacioacuten (c+a)2 en (010)

traslacioacuten (a+b)2 en (001) traslacioacuten (a+b+c)2 en (110) en sistemas tetragonal o cuacutebico

d

perpendicular al papel

paralelo al papel

traslacioacuten (b+c)4 en (100) traslacioacuten (c+a)4 en (010)

traslacioacuten (a+b)4 en (001) traslacioacuten (a+b+c)4 en (110) en sistemas tetragonal o cuacutebico

- Eje helicoidal

Un eje helicoidal implica similarmente una operacioacuten doble

Un giro el permisible para su orden

Una traslacioacuten constante a lo largo del eje

Como sabemos el orden del eje es el nuacutemero de repeticiones que se necesitan para lograr la identidad implicando una serie de giros sucesivos hasta haber completado su operacioacuten de simetriacutea total

En un eje helicoidal cada uno de estos giros parciales debe asociarse a una parte aliacutecuota de la traslacioacuten total t paralela a la direccioacuten del eje La identidad se logra en la operacioacuten giro cuando se ha aplicado tantas veces el giro permisible como indica el orden del eje

Haciendo el periodo de identidad t coincidente con el giro completo del eje se obtienen los siguientes ejes helicoidales

Siacutembolo Siacutembolo graacutefico Denominacioacuten Giro Traslacioacuten

21 Eje binario helicoidal 180ordm t2

31 Eje ternario helicoidal

derecho120ordm

dextroacutegiro t3

32 Eje ternario helicoidal

izquierdo 120ordm levoacutegiro t3

41 Eje cuaternario helicoidal

derecho90ordm

dextroacutegiro t4

43 Eje cuaternario helicoidal

izquierdo 90ordm levoacutegiro t4

61 Eje senario helicoidal

derecho 60ordmdextroacutegiro t6

65 Eje senario helicoidal

izquierdo 60ordm levoacutegiro t6

Tambieacuten se pueden deducir los ejes helicoidales haciendo que la identidad se alcance para Nn giros siendo N el orden del eje y n un divisor entero de N

N (orden

del eje)

n (divisor entero de N)

Nn (giros)

Siacutembolo Siacutembolo graacutefico Denominacioacuten Giro Traslacioacuten

4 T2 2 42 Eje cuaternario-binario helicoidal 90ordm t2

6 3 2 63

Eje senario-ternario

helicoidal60ordm t2

6 2 3 62

Eje senario-binario helicoidal

derecho

60ordm dextroacutegiro t3

6 2 3 64

Eje senario-binario helicoidal

izquierdo

60ordm levoacutegiro t3

- Los 17 grupos planos En la deduccioacuten de los grupos planos hay que tener en cuenta que es el motivo contenido de la celda definida por unas traslaciones dadas el que muestra la existencia de los elementos de simetriacutea Es decir que las partes del motivo estaacuten relacionadas entre siacute por dichos elementos de simetriacutea (que puede ser simetriacutea con traslacioacuten) que la suma de estas partes constituye la celda y que las celdas implican una meacutetrica dada es decir tiene una forma y unas dimensiones que condicionan una simetriacutea maacutexima

En los grupos planos los haces de elementos de simetriacutea son perpendiculares al plano que se asocia a un tipo de red plana El nuacutemero de estos grupos planos es de 17

- Grupos planos con red oblicua

La simetriacutea maacutexima que permite una red obiacutecua es un haz de ejes binarios Existiraacuten por tanto dos posibilidades

Grupo plano p1 p como indicativo de primitivo y 1 como indicativo de no simetriacutea El dominio complejo coincide con el motivo y por tanto su multiplicidad es 1

Grupo plano p2 p como indicativo de primitivo y 2 como indicativo de eje binario de simetriacutea La multiplicidad del dominio complejo es 2 ya que la simetriacutea genera duplicidad del motivo

- Grupos planos con red rectangular

La simetriacutea maacutexima que permite una red rectangular es dos haces de planos de simetriacutea y un haz de ejes binarios Existiraacuten por tanto diferentes combinaciones

Grupo plano pm p como indicativo de primitivo y m como indicativo del plano de simetriacutea La multiplicidad del dominio complejo es 2 ya que la simetriacutea genera duplicidad del motivo

Grupo plano pg p como indicativo de primitivo y g como indicativo del plano de deslizamiento La multiplicidad del dominio complejo es 2 ya que la simetriacutea genera duplicidad del motivo

Grupo plano pmm (p2mm) p como indicativo de primitivo y dos m como indicativo de planos de simetriacutea mutuamente perpendiculares Los planos de simetriacutea llevan impliacutecitos la aparcicioacuten de ejes binarios La multiplicidad del dominio complejo es 4

Grupo plano pmg (p2mg) p como indicativo de primitivo y planos perpendiculares de tipo distinto (m ordinarios y g de deslizamiento) Esto hace que los ejes de simetriacutea no se encuentren en la interseccioacuten sino desplazados a lo largo del plano de deslizamiento a mitad de la componente desplazamiento El origen de la celda se toma sobre un eje binario La multiplicidad del dominio complejo es 4

Grupo plano pgg(p2gg) p como indicativo de primitivo y dos g de planos perpendiculares de deslizamiento Esto hace que los ejes de simetriacutea no se encuentren en la interseccioacuten sino desplazados a lo largo de cada plano de deslizamiento a mitad de la componente deslizamiento El origen de la celda se toma sobre un eje binario La multiplicidad del dominio complejo es 4

- Grupos planos con red roacutembica o rectangular centrada

Grupo plano cm c como indicativo de la operacioacuten de centrado y m como indicativo del plano de simetriacutea La operacioacuten de centrado lleva impliacutecita la existencia de un plano de deslizamiento La multiplicidad del dominio complejo es 4

Grupo plano cmm (c2mm) c como indicativo de centrado y dos m como indicativo de planos de simetriacutea mutuamente perpendiculares La operacioacuten de centrado lleva impliacutecita la existencia de planos de deslizamiento La multiplicidad del dominio complejo es 4 Los planos de simetriacutea ordinarios y de deslizamiento llevan impliacutecitos la aparcicioacuten de ejes binarios en las intersecciones del mismo tipo de planos no de distintos La multiplicidad del dominio complejo es 8

- Grupos planos con red cuadrada

La simetriacutea maacutexima que permite una red cuadrada es un haz de ejes cuaternarios y sus planos de simetriacutea contenidos en ellos En todos los casos se toma un eje cuaternario como origen de

la celda apareciendo otro eje cuaternario en el centro de la celda Existiraacuten por tanto diferentes combinaciones

Grupo plano p4 p como indicativo de primitivo y 4 como indicativo de eje cuaternario de simetriacutea Los ejes cuaternarios generan la aparcicioacuten de ejes binarios intercalados entre los cuaternarios La multiplicidad del dominio complejo es 4

Grupo plano p4mm p como indicativo de primitivo 4 como indicativo de eje cuaternario de simetriacutea y m como los planos de simetriacutea que contienen a dichos ejes Los ejes cuaternarios generan la aparcicioacuten de ejes binarios intercalados entre los cuaternarios y toda la simetriacutea genera planos de deslizamiento paralelos a las diagonales de la celda La multiplicidad del dominio complejo es 8

Grupo plano p4gm p como indicativo de primitivo 4 como indicativo de eje cuaternario de simetriacutea g como planos de deslizamiento y m como los planos de simetriacutea La multiplicidad del dominio complejo es 8

- Grupos planos con red hexagonal

La simetriacutea maacutexima que permite una red hexagonal es un haz de ejes senarios o ternarios y los planos de simetriacutea que contienen a dichos ejes Existiraacuten por tanto diferentes combinaciones

Grupo plano p3 p como indicativo de primitivo y 3 como indicativo de eje ternario de simetriacutea Los ejes ternarios generan la aparcicioacuten de otros ternarios en el centro de los dos triaacutengulos equilaacuteteros que conforman la celda La multiplicidad del dominio complejo es 3

Grupo plano p3m1 p como indicativo de primitivo 3 como indicativo de eje ternario de simetriacutea y m como plano de simetriacutea en la diagonal mayor del rombo Se genera alternancia de planos de deslizamiento La multiplicidad del dominio complejo es 6

Grupo plano p31m p como indicativo de primitivo 3 como indicativo de eje ternario de simetriacutea y m como plano de simetriacutea en la diagonal menor del rombo Se genera alternancia de planos de deslizamiento La multiplicidad del dominio complejo es 6

Grupo plano p6 p como indicativo de primitivo y 6 como indicativo de eje senario de simetriacutea Se generan ejes ternarios en los centros de los triaacutengulos equilaacuteteros conformadores y ejes binarios en los centros de los lados de dichos triaacutengulos La multiplicidad del dominio complejo es de 6

Grupo plano p6mm p como indicativo de primitivo 6 como indicativo de eje senario de simetriacutea y m de los planos de simetriacutea que los contienen Se generan ejes ternarios en los centros de los triaacutengulos equilaacuteteros conformadores ejes binarios en los centros de los lados de dichos triaacutengulos y planos de deslizamiento alternantes La multiplicidad del dominio complejo es de 12

La tabla que relaciona los grupos puntuales y los grupos planos pone de manifiesto que no todas las combinaciones conducen a nuevos o diferentes grupos puntuales La interaccioacuten de la simetriacutea del motivo con la simetriacutea de las diversas redes planas afecta al contenido de simetriacutea resultante del modelo planar El modelo final muestra la simetriacutea de la red cuando los elementos de simetriacutea del motivo estaacuten alineados con los elementos de simetriacutea correspondiente de la red Si el motivo tiene menos simetriacutea que la red el modelo expresaraacute el menor grado de simetriacutea del motivo con los elementos de simetriacutea de eacuteste alineados con los correspondientes elementos de simetriacutea de la red

Red Grupo puntual Grupo plano

1 p1 Obliacutecua

2 p2 m pm pg

Rectangular mm pmm pmg pgg m cm

Roacutembica mm cmm

4 p4

Cuadrada

4mm p4mm p4gm

3 p3 3m p3m p31m 6 p6

Hexagonal

6mm p6mm

- Grupos espaciales Los grupos espaciales representan las diversas formas en que los motivos pueden distribuirse en el espacio en una estructura homogeacutenea

Los grupos espaciales surgen de la combinacioacuten de los 14 tipos posibles de redes espaciales (redes de Bravais) con la simetriacutea propia de las 32 clases cristalinas o grupos puntuales maacutes la simetriacutea con traslacioacuten

Las caracteriacutesticas de la red se expresan con las letras P A B C F I R de las redes de Bravais que designan el tipo de red general A continuacioacuten se describen en el siacutembolo los elementos de simetriacutea

Ejemplos

P4m2m2m oacute p4mmm

4m2m2m oacute 4mmm Grupo de simetriacutea 4mmm

P Red tetragonal sencilla

P42n2n2m oacute P42nnm

42nnm Grupo isogonal con el 4mmm donde los ejes de rotacioacuten cuaternaria del grupo puntual aparecen como ejes de rotoinversioacuten cuaternaria y helicoidal cuaternario paralelos y alternativos Existen planos de deslizamiento n y de simetriacutea m asiacute como ejes de rotacioacuten binaria con helicoidales binarios intercalados

P Red tetragonal sencilla

Al igual que ocurriacutea en los grupos planos en los grupos espaciales con redes no primitivas la operacioacuten de centrado introduce la simetriacutea con traslacioacuten y sin embargo estos nuevos elementos no se aprecian en los siacutembolos Por ejemplo

C2m

2m Grupo de simetriacutea 2m Sin embargo aparecen debido al centrado ejes helicoidales binarios intercalados con los binarios y planos de deslizamiento intercalados con los planos de simetriacutea

C Red roacutembica centrada de tipo C

Los 230 grupos espaciales vienen descritos en las International Tables for X-ray Crystallography clasificadas seguacuten los grupos puntuales y los sistemas cristalinos

Una composicioacuten de la informacioacuten contenida en estas Tablas se muestra a continuacioacuten para el grupo espacial Cmm2 en el que la C significa una red centrada en las caras separadas por el eje c la primera m representa un plano de simetriacutea perpendicular al eje a la segunda m

representa un plano de simetriacutea perpendicular al eje b y el 2 se refiere al eje binario paralelo al eje c

  • EL ESTADO CRISTALINO
Page 7: Cristalografia Estructural

Las dimensiones de estas intersecciones (HKL) medidas desde un nudo tomado como origen son los paraacutemetros del plano reticular correspondiente Sin embargo la denominacioacuten habitual de un plano reticular son los iacutendices de Miller

- Iacutendices de MillerSe obtienen calculando las intersecciones (H K L) o nuacutemero de traslaciones con los tres ejes fundamentales del cristal Posteriormente se invierten y se eliminan denominadores o bien se calculan los cocientes entre el producto de las tres intersecciones dividido entre cada una de las intersecciones (HKL= N NH= h NK=k NL=l)

Intersecciones H=aelig K=aelig L=1

Invertimos 1aelig=0 1aelig=0 11=1 no existen denominadores

Iacutendices de Miller (001)

1ordm Deducir las intersecciones de cada plano con los ejes cristalograacuteficos a b y c Es decir contar el nuacutemero de traslaciones t1 t2 y t3 que ocupa el plano sobre los ejes a b y c

El plano ABD ocupa

2t1 en el eje a 2t2 en el eje b y 4t3 en el eje c

El plano EBD ocupa

4t1 en el eje a 2t2 en el eje b y 4t3 en el eje c

2ordm Para calcular los iacutendices de Miller de cada plano a partir de estas intersecciones se invierten los valores y si es necesario se reducen las fracciones

El plano ABD corta a los ejes en 2 2 y 4

Su inversioacuten es 12 12 14

Reducimos fracciones quitando denominadores 24 24 14 Sin denominadores queda 221

Iacutendices de Miller (221)

El plano EBD corta a los ejes en 4 2 y 4

Su inversioacuten es 14 12 14

Reducimos fracciones quitando denominadores 14 24 14 sin denominadores queda 121

Iacutendices de Miller (121)

Este siacutembolo entre pareacutentesis (hkl) nombra el plano dado mientras que entre corchetes hkl indica todos los planos homoacutelogos que resultan de aplicar los elementos de simetriacutea del cristal al plano (hkl)

- Celda unidadEn una red cristalina existen siempre tres traslaciones no coplanarias que tienen las dimensiones miacutenimas entre todas las traslaciones posibles de la red son las traslaciones fundamentales o constantes reticulares de dimensiones submicroscoacutepicas La porcioacuten del espacio cristalino limitado por estas traslaciones constituye la celda fundamental del cristal y es caracteriacutestica del mismo

Se denomina celda primitiva aquella que no tiene nudos en su interior y celda muacuteltiple a la que si los tiene y estaacute definida por vectores muacuteltiples que son muacuteltiplos enteros del vector traslacioacuten unitario de igual direccioacuten Se llama multiplicidad al nuacutemero de nudos que hay por celda elemental (todas las celdas primitivas de una red tienen multiplicidad 1 frac14 4 = 1)

- Redes planasEl orden bidimensional es el resultado de traslaciones regulares en dos direcciones distintas que resultan en la definicioacuten de los cinco tipos de redes planas La asimilacioacuten de este orden bidimensional es baacutesica para comprender la regularidad correspondiente a objetos tridimensionales tales como la materia cristalina Se definen cinco tipos de redes planas con las siguientes caracteriacutesticas

Red oblicua (ane b γ ne 90ordm)

Red rectangular (ane b γ =90ordm)

Existen tambieacuten redes centradas que son el resultado de antildeadir nuevos nudos en el centro de cada paralelogramo generador de la red plana Soacutelo puede realizarse esta operacioacuten de centrado si la red resultante es morfoloacutegicamente diferente de la original por ello soacutelo pueden centrarse las redes rectangulares (obtenieacutendose una red roacutembica) o las redes roacutembicas (dando lugar a una red rectangular)

Red roacutembica (a=b γ ne 90ordm 60ordm 120ordm)

Red hexagonal (a=b γ =60ordm 120ordm)

Red cuadrada (a=b γ =90ordm)

Las redes planas forman por apilamiento homogeacuteneo los distintos tipos de redes espaciales es decir las distintas familias de planos cristalinos que integran el cristal La manera como estos planos se apilan determina los aacutengulos entre las traslaciones fundamentales en las tres dimensiones que es lo que define a su vez la forma y dimensiones del paralelepiacutepedo o celda unidad que caracteriza la red cristalina

- Redes de BravaisDe la superposicioacuten de planos se generan catorce celdas morfoloacutegicamente distintas que se conocen como las Redes de Bravais en honor de su descubridor

En teacuterminos de redes cristalinas tridimensionales los paralelepiacutepedos fundamentales morfoloacutegicamente distintos son el resultado de combinar las tres traslaciones fundamentales de valores dados con sus inclinaciones respectivas es decir con los tres aacutengulos α szlig y γ

Su construccioacuten se realiza apilando paralelamente una sucesioacuten infinita de modelos planos ideacutenticos de manera que la distancia entre ellos sea siempre igual (familia de planos) Mientras que en el plano se deduciacutean cinco tipos de redes en el espacio tridimensional se reconocen hasta catorce distribuciones perioacutedicas

Red tricliacutenica (abc αszligγ90ordm)

Debido a los valores distintos entre siacute de las traslaciones y de los aacutengulos fundamentales el paralelepiacutepedo tiene forma cualquiera triplemente inclinado (por ello se denomina tricliacutenico) Se trata de una red primitiva

Redes monocliacutenicas (abc α=γ=90ordmszlig )

La celda es un paralelepiacutepedo no recto de base rectangular (formados por redes planas rectangulares)

- Red monocliacutenica primitiva P

- Red monocliacutenica de base centrada

La operacioacuten de centrado de redes permite la generacioacuten de este otro tipo de red Si se centra la red plana rectangular (100) su siacutembolo es A y si se centra la (001) es C Morfoloacutegicamente estas redes soacutelo se diferencian en su orientacioacuten por tanto las redes monocliacutenicas de base centrada A y C son equivalentes

Redes roacutembicas (abc α=szlig=γ=90ordm)

- Red roacutembica primitiva P

El paralelepiacutepedo fundamental es un prisma recto de base rectangular Los tres planos fundamentales (100) (010) y (001) maacutes los planos diagonales del prisma son redes planas rectangulares

- Redes roacutembicas centradas

La operacioacuten de centrado de redes permite la generacioacuten de estos otros tipos de red Si se centran las redes planas rectangulares (100) (010) y (001) sus siacutembolos son respectivamente A B y C

Morfoloacutegicamente estas redes son iguales y se denominan red roacutembica de base centrada simbolizada por C Cuando la operacioacuten de centrado es sobre las tres caras a la vez la red se denomina red roacutembica de caras centradas y se simboliza por F Si el centrado se produce en los planos diagonales del prisma la red resultante se denomina red roacutembica centrada en el interior de siacutembolo I

Redes tetragonales (a=bc α=szlig=γ=90ordm)

- Red tetragonal P

La celda fundamental es un prisma recto de base cuadrada La familia de planos (001) son de red plana cuadrada mientras que (100) y (010) son rectangulares e ideacutenticos entre siacute

- Red tetragonal centrada I

Al ser iguales por simetriacutea los planos (100) y (010) no pueden centrarse independientemente y a su vez no pueden hacerlo simultaacuteneamente porque ello destruye la homogeneidad de los planos de la misma familia

Sin embargo los planos diagonales que son tambieacuten redes rectangulares pueden centrarse dando origen a la red tetragonal centrada en el interior I

Red hexagonal P (a=bc α=szlig=90ordm γ=120ordm 60ordm)

El paralelepiacutepedo fundamental es un prisma recto de base roacutembica (de aacutengulo de 60ordm) Para visualizar la forma hexagonal se toma una celda muacuteltiple integrada por tres de estas celdillas roacutembicas

Esta red hexagonal permite un apilamiento especial de los planos hexagonales Seguacuten eacuteste los nudos se proyectan a 13 o a 23 de la diagonal mayor del rombo dando como resultado una red romboeacutedrica R de (a=b=c α=szlig=γ90ordm)

Redes cuacutebicas (a=b=c α=szlig=γ=90ordm)

- Red cuacutebica primitiva P

El paralelepiacutepedo fundamental es un cubo

- Redes cuacutebicas centradas

El centrado de las caras del cubo no debiera ser posible puesto que son redes planas cuadradas Las redes cuacutebicas centradas se originan cuando el aacutengulo del romboedro se hace igual a 60ordm y las tres diagonales del romboedro se hacen iguales entre siacute definiendo las aristas de un cubo que circunscribe al romboedro Asiacute la distribucioacuten de nudos es la correspondiente a un cubo de caras centradas originando la red cuacutebica de caras centradas F

De forma similar cuando el aacutengulo entre las aristas del romboedro es de 109ordm 28acute 16acuteacute las diagonales de sus tres caras fundamentales son perpendicuales entre si e iguales en magnitud y definen un cubo inscrito en el romboedro La distribucioacuten de nudos corresponde a una red cuacutebica centrada en el interior I

(Las redes cuacutebicas no soacutelo son casos especiales de redes romboeacutedricas sino que tambieacuten lo son de redes tetragonales)

13- SIMETRIacuteA La porcioacuten miacutenima del espacio cristalino que contiene en siacute misma toda la simetriacutea de la red cristalina es la celda unidad El medio cristalino por ser perioacutedico es un medio simeacutetrico y todas sus propiedades derivan de este hecho

Entendiendo por simetriacutea aquella transformacioacuten que al aplicarse a un objeto hace que eacuteste conserve todas sus dimensiones y lo deje en una posicioacuten indistinguible de su posicioacuten original la operacioacuten de simetriacutea maacutes sencilla que existe por definicioacuten en el medio cristalino es la simple traslacioacuten entre un motivo y otro

- Elementos de simetriacuteaEl lugar geomeacutetrico que ayuda a la visualizacioacuten de la simetriacutea de una distribucioacuten ordenada recibe el nombre de elemento de simetriacutea Los elementos de simetriacutea puntual (la operacioacuten de simetriacutea deja un punto particular del diagrama inmoacutevil) sin traslacioacuten son el plano de simetriacutea el eje de rotacioacuten y el centro de simetriacutea o centro de inversioacuten

El plano de simetriacutea m o de reflexioacuten refleja partes o todos ideacutenticos del objeto a traveacutes de un plano

El eje de rotacioacuten origina una rotacioacuten al objeto de 360ordmn alrededor del eje (de derecha a izquierda)

eje monario n=1 (360ordm1=360ordm)

eje binario (perpendicular al plano) (paralelo al plano)

n=2 (360ordm2=180ordm)

eje ternario n=3 (360ordm3=120ordm)

eje cuaternario n=4 (360ordm4=90ordm)

eje senario n=6 (360ordm6=60ordm)

(La restriccioacuten cristalograacutefica limita los giros permisibles a estos cinco para que su orden sea compatible con la existencia de redes)

Las combinaciones de ambos elementos de simetriacutea originan los ejes de rotacioacuten impropios

- eje de rotorreflexioacuten rotacioacuten de 360ordmn seguida por reflexioacuten en un plano perpendicular al eje

- eje de rotoinversioacuten rotacioacuten de 360ordmn seguida por inversioacuten a traveacutes de un punto en el eje

orden 1 orden 3 orden 4 orden 6

Nota Los ejes de rotoinversioacuten se representan por el orden del eje (2 3 4 o 6) con el siacutembolo negativo encima de ellos En esta Web ese siacutembolo se identifica tambieacuten por el signo negativo bien delante o inferior al nuacutemero de orden del eje

(el esquema superior representa una rotoreflexioacuten de orden 4 y el inferior una rotoinversioacuten del mismo orden)

Por su parte el centro de simetriacutea i o centro de inversioacuten es un elemento de simetriacutea puntual que invierte el objeto a traveacutes de una liacutenea recta

- Combinacioacuten de elementos de simetriacuteaLa combinacioacuten de elementos de simetriacutea no se produce al azar estaacute regida por una serie de normas y limitaciones que son

- Los elementos que se combinan guardan unas relaciones angulares caracteriacutesticas

- La combinacioacuten de algunos elementos de simetriacutea genera directamente la presencia de otros

Eje de orden par + centro de simetriacutea ------- plano de simetriacutea perpendicular al eje

Eje de orden n contenido en un plano de simetriacutea -------- n-1 planos de simetriacutea que intersectan en el eje

Dos ejes que se cortan --------- un tercer eje que pasa por el punto de corte

(entre propios e impropios soacutelo es posible un propio y dos impropios)

Eje de orden n + eje binario perpendicular -------- n-1 ejes binarios tambieacuten normales a eacutel

Eje de inversioacuten de orden n(impar) + eje binario perpendicular -------- n ejes binarios y planos de simetriacutea

Eje de inversioacuten de orden n(par) + eje binario perpendicular -------- n2 ejes binarios y planos de simetriacutea

-Los ejes de inversioacuten realizan una operacioacuten de simetriacutea equivalente a la de dos elementos de simetriacutea (excepto el de orden 4)

3 = 3 + i

Eje de rotoinversioacuten de orden impar = eje propio del mismo orden + centro de simetriacutea

(6 = 3 + m)

Eje de rotoinversioacuten de orden par = eje propio de mitad de orden + un plano de simetriacutea perpendicular a eacutel

- Las 32 clases de simetriacuteaEs faacutecil prever que en el medio cristalino los elementos de simetriacutea se combinan entre siacute hasta engendrar los modelos cristalinos regulares que se combinan de treinta y dos maneras distintas y dan lugar a las treinta y dos posibles clases cristalinas o grupos puntuales (la operacioacuten de simetriacutea deja un punto particular del diagrama inmoacutevil) existentes

Estas treinta y dos clases cristalinas se han obtenido mediante las siguientes combinaciones de elementos de simetriacutea

Siacutembolo Combinacioacuten de simetriacutea Elementos de simetriacutea

1 Eje monario (giro de 360ordm)

2 Eje binario (giro de 180ordm)

3 Eje ternario (giro de 120ordm)

4 Eje cuaternario (giro de 90ordm)

6 Eje senario (giro de 60ordm)

1 Eje monario de inversioacuten (giro de 360ordm+inversioacuten) = centro de inversioacuten (2=i)

2 Eje binario de inversioacuten (giro de 180ordm+inversioacuten) = plano de simetriacutea (2=m)

3 Eje ternario de inversioacuten (giro de 120ordm+inversioacuten)

T4 TEje cuaternario de inversioacuten (giro de 90ordm+inversioacuten)

6

Clases con un soacutelo elemento de simetriacutea

Eje senario de inversioacuten (giro de 60ordm+inversioacuten) = eje ternario + plano de simetriacutea perpendicular

(6=3m)

222 Tres ejes binarios en planos perpendiculares entre siacute

32 Un eje ternario + tres ejes binarios en planos perpendiculares

422 Un eje cuaternario + dos ejes binarios en planos perpendiculares

622 Un eje senario + tres ejes binarios a 120ordm (plano perpendicular al senario)

23 Cuatro ejes ternarios + Tres ejes binarios

432

Clases con combinacioacuten de ejes

Tres ejes cuaternarios + cuatro ejes ternarios + seis ejes binarios

2m Clases con un eje de Eje binario + plano de simetriacutea perpendicular a eacutel

4m Eje cuaternario + plano de simetriacutea perpendicular a eacutel

6m

orden par + un centro de simetriacutea

(Eje de orden par + centro de simetriacutea=plano de

simetriacutea perpendicular al eje)

Eje senario + plano de simetriacutea perpendicular a eacutel

2mm Eje binario + dos planos de simetriacutea que se cortan en eacutel

3m Eje ternario + tres planos de simetriacutea que se cortan en eacutel

4mm Eje cuaternario + cuatro planos de simetriacutea que se cortan en eacutel

6mm

Clases con un eje + un plano de simetriacutea que

contenga al eje

Eje senario + seis planos de simetriacutea que se cortan en eacutel

42m Eje cuaternario de inversioacuten + dos ejes binarios + dos planos de simetriacutea

43m Tres ejes cuaternarios de inversioacuten + cuatro ejes ternarios + seis planos de simetriacutea

62m

Clases con un eje + dos ejes impropios

Eje senario de inversioacuten (=eje ternario + plano de simetriacutea perpendicular) + tres ejes binarios + tres

planos de simetriacutea

2m2m2m

(mmm)

Tres ejes binarios + tres planos de simetriacutea perpendiculares

32m

(3m)

Un eje ternario + tres ejes binarios + tres planos de simetriacutea perpendiculares + un centro de simetriacutea

4m2m2m

(4mmm)

Un eje cuaternario + un plano de simetriacutea perpendicular + cuatro ejes binarios + cuatro

planos de simetriacutea perpendiculares + centro de simetriacutea

6m2m2m

(6mmm)

Un eje senario + un plano de simetriacutea perpendicular + seis ejes binarios + seis planos de simetriacutea perpendiculares + un centro de simetriacutea

2m3

(m3)

Cuatro ejes ternarios + tres ejes binarios + tres planos de simetriacutea perpendiculares + un centro de

simetriacutea

4m32m

(m3m)

TClases con tres ejes + un centro de

simetriacutea

Tres ejes cuaternarios + tres planos de simetriacutea perpendiculares + cuatro ejes ternarios + seis ejes binarios + seis planos de simetriacutea perpendiculares

+ un centro de simetriacutea

La distribucioacuten sistema cristalino-Redes de Bravais-Grupos puntuales o clases de simetriacutea es la siguiente

Red de Bravais Sistema Grupo puntual

Red Tricliacutenica primitiva P Tricliacutenico 1 1Red monocliacutenica primitiva PRed monocliacutenica centrada en las caras C

Monocliacutenico 2 m 2m

Red roacutembica primitiva PRed roacutembica centrada en las bases CRed roacutembica centrada en el interior IRed roacutembica centrada en las caras F

Roacutembico 222 mm2 mmm

Red tetragonal primitiva P

Red tetragonal centrada en el interior CTetragonal

4 4 4m 4mm 422

42m 4mmm

Red hexagonal primitiva P Hexagonal6 6 6m 6mm 622

62m 6mmm

Red romboeacutedrica primitiva P Romboeacutedrico o Trigonal

3 3 3m 32 3m

Red cuacutebica primitiva PRed cuacutebica centrada en el interior IRed cuacutebica centrada en las caras F

Cuacutebico o Isomeacutetrico23 m3

43m 432 m3m

- Simetriacutea y redes de BravaisLa presencia de elementos de simetriacutea en la red cristalina condiciona a su vez la existencia de ciertas relaciones meacutetricas entre los elementos de la celda elemental las relaciones angulares entre los ejes del cristal o ejes cristalograacuteficos y las intersecciones sobre estos ejes de la cara fundamental (111) Las dimensiones de estas intersecciones son proporcionales a las traslaciones en las tres dimensiones de la red

Por esta razoacuten se han agrupado las redes de Bravais en siete grandes grupos redes tricliacutenicas redes monocliacutenicas redes roacutembicas redes tetragonales redes hexagonales redes romboeacutedricas y redes cuacutebicas Cada uno de estos grupos de redes corresponde a un sistema cuyo nombre es ideacutentico al de las redes correspondientes y posee unas constantes reticulares fijas y una miacutenima simetriacutea caracteriacutestica

Red de Bravais SistemaRed Tricliacutenica primitiva P TricliacutenicoRed monocliacutenica primitiva PRed monocliacutenica centrada en las caras C

Monocliacutenico

Red roacutembica primitiva PRed roacutembica centrada en las bases CRed roacutembica centrada en el interior IRed roacutembica centrada en las caras F

Roacutembico

Red tetragonal primitiva PRed tetragonal centrada en el interior C

Tetragonal

Red hexagonal primitiva P HexagonalRed romboeacutedrica primitiva P Romboeacutedrico o Trigonal Red cuacutebica primitiva PRed cuacutebica centrada en el interior IRed cuacutebica centrada en las caras F

Cuacutebico o Isomeacutetrico

Las constantes reticulares y la miacutenima simetriacutea que caracteriza a cada grupo de redes o sistema cristalino es la siguiente

- Sistema tricliacutenico (abc αszligγ90ordm)

No posee ninguna simetriacutea miacutenima

- Sistema monocliacutenico (abc α=γ=90ordmszliggt90ordm)

Presenta como simetriacutea miacutenima un eje de rotacioacuten binario o un eje de inversioacuten binario (=plano de simetriacutea)

- Sistema roacutembico (abc α=szlig=γ=90ordm)

Como miacutenimo posee tres ejes binarios perpendiculares entre siacute

- Sistema tetragonal (a=bc α=szlig=γ=90ordm)

Posee como caracteriacutestica fundamental un eje de rotacioacuten cuaternario o un eje de inversioacuten cuaternario

- Sistema hexagonal (a=bc α=szlig=90ordm γ=120ordm)

Su caracteriacutestica fundamental es la presencia de un eje de rotacioacuten senario o un eje de inversioacuten senario (eje ternario + plano de simetriacutea perpendicular)

Para mayor precisioacuten generalmente se introduce un cuarto eje i coplanario con a y b que forma un aacutengulo de 120ordm con cada uno de ellos asiacute la cruz axial seraacute (a=b=ic α=szlig=90ordm γ=120ordm)

Iacutendices de Miller hexagonales Como se trabaja con un cuarto iacutendice que se situacutea en el plano a1 a2 y a 120ordm de cada uno de estos ejes los planos hexagonales se van a representar por cuatro iacutendices (hkil) El valor de i se determina como h+k

- Sistema romboeacutedrico o trigonal (a=b=c α=szlig=γ90ordm)

Su caracteriacutestica comuacuten es la presencia de un eje de rotacioacuten ternario o un eje de inversioacuten ternario (eje ternario + centro de simetriacutea)

- Sistema cuacutebico (a=b=c α=szlig=γ=90ordm)

Posee como caracteriacutestica fundamental cuatro ejes de rotacioacuten ternarios inclinados a 10947ordm

NOTA Ademaacutes de las constantes reticulares para definir un sistema cristalino puede utilizarse la relacioacuten parameacutetrica siendo eacutesta la relacioacuten existente entre los moacutedulos de a y c respecto al moacutedulo de b

ab 1 cb

Normalmente se toman estos valores y los aacutengulos para definir la red

14- SIMETRIacuteA CON TRASLACIOacuteN - Elementos de simetriacutea con traslacioacutenLa red cristalina soacutelo tiene sentido como indicadora de la periodicidad que se presenta en el cristal como consecuencia de la repeticioacuten del motivo Debido a ello la simetriacutea que revela por siacute la red no tiene que ser necesariamente la que posea el cristal aunque en general lo sea

Ejemplo La coesita (variedad de la siacutelice de alta presioacuten) tiene una red cuya meacutetrica es roacutembica mientras que la estructura es monocliacutenica ya que el motivo carece de ciertos elementos de simetriacutea que la meacutetrica de la red indicaban

Es faacutecil comprender que debido a que la red es solamente la consecuencia de unas fuerzas cohesivas entre los aacutetomos que forman el cristal fuerzas que obligan a una repeticioacuten monoacutetona de las agrupaciones atoacutemicas la simetriacutea de la red debe estar iacutentimamente relacionada con la del cristal entendido como agrupacioacuten repetitiva de aacutetomos

La red nos proporciona por tanto la simetriacutea maacutexima que el cristal puede tener pero dicha simetriacutea depende de la simetriacutea propia del motivo La complejidad que el motivo cristalino aacutetomos iones y moleacuteculas aporta a la red cristalina hace que los elementos de simetriacutea del medio cristalino se ampliacuteen Aparece la traslacioacuten que tiene dimensiones submicroscoacutepicas no accesibles a la morfologiacutea macroscoacutepica

Los operadores de simetriacutea que completan la tarea de rellenar el espacio cristalino se consideran cada uno de ellos como una sola y nueva operacioacuten de simetriacutea Estos son los planos de deslizamiento que implican la reflexioacuten asociada a una traslacioacuten y los ejes helicoidales que implican a su vez giro y traslacioacuten

- Plano de deslizamiento

El plano de deslizamiento realiza simultaacuteneamente dos operaciones refleja la imagen o traslada la imagen a intervalos de media traslacioacuten

Cuando la semitraslacioacuten asociada al plano de deslizamiento corresponde a alguna de las direcciones fundamentales del cristal el plano se denomina a b c respectivamente

Cuando la semitraslacioacuten corresponde a la diagonal del plano reflector es decir el plano de deslizamiento se situacutea paralelo a la diagonal entre las filas definidas por a b y c el plano se simboliza por n y las componentes de su traslacioacuten son

a2 + b2 b2 + c2 c2 + a2 y a2 + b2 + c2

Los planos d (aparece en la estructura del diamante) se tratan tambieacuten de planos diagonales Presentan como componentes de traslacioacuten cuartos de la fundamental es decir

a4 plusmn b4 b4 plusmn c4 c4 plusmn a4 y a4 plusmn b4 plusmn c4

El siguiente cuadro sintetiza la notacioacuten y simetriacutea de los planos en los grupos espaciales

Siacutembolo Siacutembolo graacutefico Orientacioacuten y Traslacioacuten

m

perpendicular al papel

paralelo al papel

(100) o (010) ninguna traslacioacuten

(001) ninguna traslacioacuten

a

perpendicular al papel

paralelo al papel

(010) traslacioacuten a2

(001) traslacioacuten a2

b

perpendicular al papel

paralelo al papel

(100) traslacioacuten b2

(001) traslacioacuten b2

c perpendicular al papel

(100) 0 (010) traslacioacuten c2

n

______ perpendicular al papel

paralelo al papel

traslacioacuten (b+c)2 en (100) traslacioacuten (c+a)2 en (010)

traslacioacuten (a+b)2 en (001) traslacioacuten (a+b+c)2 en (110) en sistemas tetragonal o cuacutebico

d

perpendicular al papel

paralelo al papel

traslacioacuten (b+c)4 en (100) traslacioacuten (c+a)4 en (010)

traslacioacuten (a+b)4 en (001) traslacioacuten (a+b+c)4 en (110) en sistemas tetragonal o cuacutebico

- Eje helicoidal

Un eje helicoidal implica similarmente una operacioacuten doble

Un giro el permisible para su orden

Una traslacioacuten constante a lo largo del eje

Como sabemos el orden del eje es el nuacutemero de repeticiones que se necesitan para lograr la identidad implicando una serie de giros sucesivos hasta haber completado su operacioacuten de simetriacutea total

En un eje helicoidal cada uno de estos giros parciales debe asociarse a una parte aliacutecuota de la traslacioacuten total t paralela a la direccioacuten del eje La identidad se logra en la operacioacuten giro cuando se ha aplicado tantas veces el giro permisible como indica el orden del eje

Haciendo el periodo de identidad t coincidente con el giro completo del eje se obtienen los siguientes ejes helicoidales

Siacutembolo Siacutembolo graacutefico Denominacioacuten Giro Traslacioacuten

21 Eje binario helicoidal 180ordm t2

31 Eje ternario helicoidal

derecho120ordm

dextroacutegiro t3

32 Eje ternario helicoidal

izquierdo 120ordm levoacutegiro t3

41 Eje cuaternario helicoidal

derecho90ordm

dextroacutegiro t4

43 Eje cuaternario helicoidal

izquierdo 90ordm levoacutegiro t4

61 Eje senario helicoidal

derecho 60ordmdextroacutegiro t6

65 Eje senario helicoidal

izquierdo 60ordm levoacutegiro t6

Tambieacuten se pueden deducir los ejes helicoidales haciendo que la identidad se alcance para Nn giros siendo N el orden del eje y n un divisor entero de N

N (orden

del eje)

n (divisor entero de N)

Nn (giros)

Siacutembolo Siacutembolo graacutefico Denominacioacuten Giro Traslacioacuten

4 T2 2 42 Eje cuaternario-binario helicoidal 90ordm t2

6 3 2 63

Eje senario-ternario

helicoidal60ordm t2

6 2 3 62

Eje senario-binario helicoidal

derecho

60ordm dextroacutegiro t3

6 2 3 64

Eje senario-binario helicoidal

izquierdo

60ordm levoacutegiro t3

- Los 17 grupos planos En la deduccioacuten de los grupos planos hay que tener en cuenta que es el motivo contenido de la celda definida por unas traslaciones dadas el que muestra la existencia de los elementos de simetriacutea Es decir que las partes del motivo estaacuten relacionadas entre siacute por dichos elementos de simetriacutea (que puede ser simetriacutea con traslacioacuten) que la suma de estas partes constituye la celda y que las celdas implican una meacutetrica dada es decir tiene una forma y unas dimensiones que condicionan una simetriacutea maacutexima

En los grupos planos los haces de elementos de simetriacutea son perpendiculares al plano que se asocia a un tipo de red plana El nuacutemero de estos grupos planos es de 17

- Grupos planos con red oblicua

La simetriacutea maacutexima que permite una red obiacutecua es un haz de ejes binarios Existiraacuten por tanto dos posibilidades

Grupo plano p1 p como indicativo de primitivo y 1 como indicativo de no simetriacutea El dominio complejo coincide con el motivo y por tanto su multiplicidad es 1

Grupo plano p2 p como indicativo de primitivo y 2 como indicativo de eje binario de simetriacutea La multiplicidad del dominio complejo es 2 ya que la simetriacutea genera duplicidad del motivo

- Grupos planos con red rectangular

La simetriacutea maacutexima que permite una red rectangular es dos haces de planos de simetriacutea y un haz de ejes binarios Existiraacuten por tanto diferentes combinaciones

Grupo plano pm p como indicativo de primitivo y m como indicativo del plano de simetriacutea La multiplicidad del dominio complejo es 2 ya que la simetriacutea genera duplicidad del motivo

Grupo plano pg p como indicativo de primitivo y g como indicativo del plano de deslizamiento La multiplicidad del dominio complejo es 2 ya que la simetriacutea genera duplicidad del motivo

Grupo plano pmm (p2mm) p como indicativo de primitivo y dos m como indicativo de planos de simetriacutea mutuamente perpendiculares Los planos de simetriacutea llevan impliacutecitos la aparcicioacuten de ejes binarios La multiplicidad del dominio complejo es 4

Grupo plano pmg (p2mg) p como indicativo de primitivo y planos perpendiculares de tipo distinto (m ordinarios y g de deslizamiento) Esto hace que los ejes de simetriacutea no se encuentren en la interseccioacuten sino desplazados a lo largo del plano de deslizamiento a mitad de la componente desplazamiento El origen de la celda se toma sobre un eje binario La multiplicidad del dominio complejo es 4

Grupo plano pgg(p2gg) p como indicativo de primitivo y dos g de planos perpendiculares de deslizamiento Esto hace que los ejes de simetriacutea no se encuentren en la interseccioacuten sino desplazados a lo largo de cada plano de deslizamiento a mitad de la componente deslizamiento El origen de la celda se toma sobre un eje binario La multiplicidad del dominio complejo es 4

- Grupos planos con red roacutembica o rectangular centrada

Grupo plano cm c como indicativo de la operacioacuten de centrado y m como indicativo del plano de simetriacutea La operacioacuten de centrado lleva impliacutecita la existencia de un plano de deslizamiento La multiplicidad del dominio complejo es 4

Grupo plano cmm (c2mm) c como indicativo de centrado y dos m como indicativo de planos de simetriacutea mutuamente perpendiculares La operacioacuten de centrado lleva impliacutecita la existencia de planos de deslizamiento La multiplicidad del dominio complejo es 4 Los planos de simetriacutea ordinarios y de deslizamiento llevan impliacutecitos la aparcicioacuten de ejes binarios en las intersecciones del mismo tipo de planos no de distintos La multiplicidad del dominio complejo es 8

- Grupos planos con red cuadrada

La simetriacutea maacutexima que permite una red cuadrada es un haz de ejes cuaternarios y sus planos de simetriacutea contenidos en ellos En todos los casos se toma un eje cuaternario como origen de

la celda apareciendo otro eje cuaternario en el centro de la celda Existiraacuten por tanto diferentes combinaciones

Grupo plano p4 p como indicativo de primitivo y 4 como indicativo de eje cuaternario de simetriacutea Los ejes cuaternarios generan la aparcicioacuten de ejes binarios intercalados entre los cuaternarios La multiplicidad del dominio complejo es 4

Grupo plano p4mm p como indicativo de primitivo 4 como indicativo de eje cuaternario de simetriacutea y m como los planos de simetriacutea que contienen a dichos ejes Los ejes cuaternarios generan la aparcicioacuten de ejes binarios intercalados entre los cuaternarios y toda la simetriacutea genera planos de deslizamiento paralelos a las diagonales de la celda La multiplicidad del dominio complejo es 8

Grupo plano p4gm p como indicativo de primitivo 4 como indicativo de eje cuaternario de simetriacutea g como planos de deslizamiento y m como los planos de simetriacutea La multiplicidad del dominio complejo es 8

- Grupos planos con red hexagonal

La simetriacutea maacutexima que permite una red hexagonal es un haz de ejes senarios o ternarios y los planos de simetriacutea que contienen a dichos ejes Existiraacuten por tanto diferentes combinaciones

Grupo plano p3 p como indicativo de primitivo y 3 como indicativo de eje ternario de simetriacutea Los ejes ternarios generan la aparcicioacuten de otros ternarios en el centro de los dos triaacutengulos equilaacuteteros que conforman la celda La multiplicidad del dominio complejo es 3

Grupo plano p3m1 p como indicativo de primitivo 3 como indicativo de eje ternario de simetriacutea y m como plano de simetriacutea en la diagonal mayor del rombo Se genera alternancia de planos de deslizamiento La multiplicidad del dominio complejo es 6

Grupo plano p31m p como indicativo de primitivo 3 como indicativo de eje ternario de simetriacutea y m como plano de simetriacutea en la diagonal menor del rombo Se genera alternancia de planos de deslizamiento La multiplicidad del dominio complejo es 6

Grupo plano p6 p como indicativo de primitivo y 6 como indicativo de eje senario de simetriacutea Se generan ejes ternarios en los centros de los triaacutengulos equilaacuteteros conformadores y ejes binarios en los centros de los lados de dichos triaacutengulos La multiplicidad del dominio complejo es de 6

Grupo plano p6mm p como indicativo de primitivo 6 como indicativo de eje senario de simetriacutea y m de los planos de simetriacutea que los contienen Se generan ejes ternarios en los centros de los triaacutengulos equilaacuteteros conformadores ejes binarios en los centros de los lados de dichos triaacutengulos y planos de deslizamiento alternantes La multiplicidad del dominio complejo es de 12

La tabla que relaciona los grupos puntuales y los grupos planos pone de manifiesto que no todas las combinaciones conducen a nuevos o diferentes grupos puntuales La interaccioacuten de la simetriacutea del motivo con la simetriacutea de las diversas redes planas afecta al contenido de simetriacutea resultante del modelo planar El modelo final muestra la simetriacutea de la red cuando los elementos de simetriacutea del motivo estaacuten alineados con los elementos de simetriacutea correspondiente de la red Si el motivo tiene menos simetriacutea que la red el modelo expresaraacute el menor grado de simetriacutea del motivo con los elementos de simetriacutea de eacuteste alineados con los correspondientes elementos de simetriacutea de la red

Red Grupo puntual Grupo plano

1 p1 Obliacutecua

2 p2 m pm pg

Rectangular mm pmm pmg pgg m cm

Roacutembica mm cmm

4 p4

Cuadrada

4mm p4mm p4gm

3 p3 3m p3m p31m 6 p6

Hexagonal

6mm p6mm

- Grupos espaciales Los grupos espaciales representan las diversas formas en que los motivos pueden distribuirse en el espacio en una estructura homogeacutenea

Los grupos espaciales surgen de la combinacioacuten de los 14 tipos posibles de redes espaciales (redes de Bravais) con la simetriacutea propia de las 32 clases cristalinas o grupos puntuales maacutes la simetriacutea con traslacioacuten

Las caracteriacutesticas de la red se expresan con las letras P A B C F I R de las redes de Bravais que designan el tipo de red general A continuacioacuten se describen en el siacutembolo los elementos de simetriacutea

Ejemplos

P4m2m2m oacute p4mmm

4m2m2m oacute 4mmm Grupo de simetriacutea 4mmm

P Red tetragonal sencilla

P42n2n2m oacute P42nnm

42nnm Grupo isogonal con el 4mmm donde los ejes de rotacioacuten cuaternaria del grupo puntual aparecen como ejes de rotoinversioacuten cuaternaria y helicoidal cuaternario paralelos y alternativos Existen planos de deslizamiento n y de simetriacutea m asiacute como ejes de rotacioacuten binaria con helicoidales binarios intercalados

P Red tetragonal sencilla

Al igual que ocurriacutea en los grupos planos en los grupos espaciales con redes no primitivas la operacioacuten de centrado introduce la simetriacutea con traslacioacuten y sin embargo estos nuevos elementos no se aprecian en los siacutembolos Por ejemplo

C2m

2m Grupo de simetriacutea 2m Sin embargo aparecen debido al centrado ejes helicoidales binarios intercalados con los binarios y planos de deslizamiento intercalados con los planos de simetriacutea

C Red roacutembica centrada de tipo C

Los 230 grupos espaciales vienen descritos en las International Tables for X-ray Crystallography clasificadas seguacuten los grupos puntuales y los sistemas cristalinos

Una composicioacuten de la informacioacuten contenida en estas Tablas se muestra a continuacioacuten para el grupo espacial Cmm2 en el que la C significa una red centrada en las caras separadas por el eje c la primera m representa un plano de simetriacutea perpendicular al eje a la segunda m

representa un plano de simetriacutea perpendicular al eje b y el 2 se refiere al eje binario paralelo al eje c

  • EL ESTADO CRISTALINO
Page 8: Cristalografia Estructural

El plano ABD ocupa

2t1 en el eje a 2t2 en el eje b y 4t3 en el eje c

El plano EBD ocupa

4t1 en el eje a 2t2 en el eje b y 4t3 en el eje c

2ordm Para calcular los iacutendices de Miller de cada plano a partir de estas intersecciones se invierten los valores y si es necesario se reducen las fracciones

El plano ABD corta a los ejes en 2 2 y 4

Su inversioacuten es 12 12 14

Reducimos fracciones quitando denominadores 24 24 14 Sin denominadores queda 221

Iacutendices de Miller (221)

El plano EBD corta a los ejes en 4 2 y 4

Su inversioacuten es 14 12 14

Reducimos fracciones quitando denominadores 14 24 14 sin denominadores queda 121

Iacutendices de Miller (121)

Este siacutembolo entre pareacutentesis (hkl) nombra el plano dado mientras que entre corchetes hkl indica todos los planos homoacutelogos que resultan de aplicar los elementos de simetriacutea del cristal al plano (hkl)

- Celda unidadEn una red cristalina existen siempre tres traslaciones no coplanarias que tienen las dimensiones miacutenimas entre todas las traslaciones posibles de la red son las traslaciones fundamentales o constantes reticulares de dimensiones submicroscoacutepicas La porcioacuten del espacio cristalino limitado por estas traslaciones constituye la celda fundamental del cristal y es caracteriacutestica del mismo

Se denomina celda primitiva aquella que no tiene nudos en su interior y celda muacuteltiple a la que si los tiene y estaacute definida por vectores muacuteltiples que son muacuteltiplos enteros del vector traslacioacuten unitario de igual direccioacuten Se llama multiplicidad al nuacutemero de nudos que hay por celda elemental (todas las celdas primitivas de una red tienen multiplicidad 1 frac14 4 = 1)

- Redes planasEl orden bidimensional es el resultado de traslaciones regulares en dos direcciones distintas que resultan en la definicioacuten de los cinco tipos de redes planas La asimilacioacuten de este orden bidimensional es baacutesica para comprender la regularidad correspondiente a objetos tridimensionales tales como la materia cristalina Se definen cinco tipos de redes planas con las siguientes caracteriacutesticas

Red oblicua (ane b γ ne 90ordm)

Red rectangular (ane b γ =90ordm)

Existen tambieacuten redes centradas que son el resultado de antildeadir nuevos nudos en el centro de cada paralelogramo generador de la red plana Soacutelo puede realizarse esta operacioacuten de centrado si la red resultante es morfoloacutegicamente diferente de la original por ello soacutelo pueden centrarse las redes rectangulares (obtenieacutendose una red roacutembica) o las redes roacutembicas (dando lugar a una red rectangular)

Red roacutembica (a=b γ ne 90ordm 60ordm 120ordm)

Red hexagonal (a=b γ =60ordm 120ordm)

Red cuadrada (a=b γ =90ordm)

Las redes planas forman por apilamiento homogeacuteneo los distintos tipos de redes espaciales es decir las distintas familias de planos cristalinos que integran el cristal La manera como estos planos se apilan determina los aacutengulos entre las traslaciones fundamentales en las tres dimensiones que es lo que define a su vez la forma y dimensiones del paralelepiacutepedo o celda unidad que caracteriza la red cristalina

- Redes de BravaisDe la superposicioacuten de planos se generan catorce celdas morfoloacutegicamente distintas que se conocen como las Redes de Bravais en honor de su descubridor

En teacuterminos de redes cristalinas tridimensionales los paralelepiacutepedos fundamentales morfoloacutegicamente distintos son el resultado de combinar las tres traslaciones fundamentales de valores dados con sus inclinaciones respectivas es decir con los tres aacutengulos α szlig y γ

Su construccioacuten se realiza apilando paralelamente una sucesioacuten infinita de modelos planos ideacutenticos de manera que la distancia entre ellos sea siempre igual (familia de planos) Mientras que en el plano se deduciacutean cinco tipos de redes en el espacio tridimensional se reconocen hasta catorce distribuciones perioacutedicas

Red tricliacutenica (abc αszligγ90ordm)

Debido a los valores distintos entre siacute de las traslaciones y de los aacutengulos fundamentales el paralelepiacutepedo tiene forma cualquiera triplemente inclinado (por ello se denomina tricliacutenico) Se trata de una red primitiva

Redes monocliacutenicas (abc α=γ=90ordmszlig )

La celda es un paralelepiacutepedo no recto de base rectangular (formados por redes planas rectangulares)

- Red monocliacutenica primitiva P

- Red monocliacutenica de base centrada

La operacioacuten de centrado de redes permite la generacioacuten de este otro tipo de red Si se centra la red plana rectangular (100) su siacutembolo es A y si se centra la (001) es C Morfoloacutegicamente estas redes soacutelo se diferencian en su orientacioacuten por tanto las redes monocliacutenicas de base centrada A y C son equivalentes

Redes roacutembicas (abc α=szlig=γ=90ordm)

- Red roacutembica primitiva P

El paralelepiacutepedo fundamental es un prisma recto de base rectangular Los tres planos fundamentales (100) (010) y (001) maacutes los planos diagonales del prisma son redes planas rectangulares

- Redes roacutembicas centradas

La operacioacuten de centrado de redes permite la generacioacuten de estos otros tipos de red Si se centran las redes planas rectangulares (100) (010) y (001) sus siacutembolos son respectivamente A B y C

Morfoloacutegicamente estas redes son iguales y se denominan red roacutembica de base centrada simbolizada por C Cuando la operacioacuten de centrado es sobre las tres caras a la vez la red se denomina red roacutembica de caras centradas y se simboliza por F Si el centrado se produce en los planos diagonales del prisma la red resultante se denomina red roacutembica centrada en el interior de siacutembolo I

Redes tetragonales (a=bc α=szlig=γ=90ordm)

- Red tetragonal P

La celda fundamental es un prisma recto de base cuadrada La familia de planos (001) son de red plana cuadrada mientras que (100) y (010) son rectangulares e ideacutenticos entre siacute

- Red tetragonal centrada I

Al ser iguales por simetriacutea los planos (100) y (010) no pueden centrarse independientemente y a su vez no pueden hacerlo simultaacuteneamente porque ello destruye la homogeneidad de los planos de la misma familia

Sin embargo los planos diagonales que son tambieacuten redes rectangulares pueden centrarse dando origen a la red tetragonal centrada en el interior I

Red hexagonal P (a=bc α=szlig=90ordm γ=120ordm 60ordm)

El paralelepiacutepedo fundamental es un prisma recto de base roacutembica (de aacutengulo de 60ordm) Para visualizar la forma hexagonal se toma una celda muacuteltiple integrada por tres de estas celdillas roacutembicas

Esta red hexagonal permite un apilamiento especial de los planos hexagonales Seguacuten eacuteste los nudos se proyectan a 13 o a 23 de la diagonal mayor del rombo dando como resultado una red romboeacutedrica R de (a=b=c α=szlig=γ90ordm)

Redes cuacutebicas (a=b=c α=szlig=γ=90ordm)

- Red cuacutebica primitiva P

El paralelepiacutepedo fundamental es un cubo

- Redes cuacutebicas centradas

El centrado de las caras del cubo no debiera ser posible puesto que son redes planas cuadradas Las redes cuacutebicas centradas se originan cuando el aacutengulo del romboedro se hace igual a 60ordm y las tres diagonales del romboedro se hacen iguales entre siacute definiendo las aristas de un cubo que circunscribe al romboedro Asiacute la distribucioacuten de nudos es la correspondiente a un cubo de caras centradas originando la red cuacutebica de caras centradas F

De forma similar cuando el aacutengulo entre las aristas del romboedro es de 109ordm 28acute 16acuteacute las diagonales de sus tres caras fundamentales son perpendicuales entre si e iguales en magnitud y definen un cubo inscrito en el romboedro La distribucioacuten de nudos corresponde a una red cuacutebica centrada en el interior I

(Las redes cuacutebicas no soacutelo son casos especiales de redes romboeacutedricas sino que tambieacuten lo son de redes tetragonales)

13- SIMETRIacuteA La porcioacuten miacutenima del espacio cristalino que contiene en siacute misma toda la simetriacutea de la red cristalina es la celda unidad El medio cristalino por ser perioacutedico es un medio simeacutetrico y todas sus propiedades derivan de este hecho

Entendiendo por simetriacutea aquella transformacioacuten que al aplicarse a un objeto hace que eacuteste conserve todas sus dimensiones y lo deje en una posicioacuten indistinguible de su posicioacuten original la operacioacuten de simetriacutea maacutes sencilla que existe por definicioacuten en el medio cristalino es la simple traslacioacuten entre un motivo y otro

- Elementos de simetriacuteaEl lugar geomeacutetrico que ayuda a la visualizacioacuten de la simetriacutea de una distribucioacuten ordenada recibe el nombre de elemento de simetriacutea Los elementos de simetriacutea puntual (la operacioacuten de simetriacutea deja un punto particular del diagrama inmoacutevil) sin traslacioacuten son el plano de simetriacutea el eje de rotacioacuten y el centro de simetriacutea o centro de inversioacuten

El plano de simetriacutea m o de reflexioacuten refleja partes o todos ideacutenticos del objeto a traveacutes de un plano

El eje de rotacioacuten origina una rotacioacuten al objeto de 360ordmn alrededor del eje (de derecha a izquierda)

eje monario n=1 (360ordm1=360ordm)

eje binario (perpendicular al plano) (paralelo al plano)

n=2 (360ordm2=180ordm)

eje ternario n=3 (360ordm3=120ordm)

eje cuaternario n=4 (360ordm4=90ordm)

eje senario n=6 (360ordm6=60ordm)

(La restriccioacuten cristalograacutefica limita los giros permisibles a estos cinco para que su orden sea compatible con la existencia de redes)

Las combinaciones de ambos elementos de simetriacutea originan los ejes de rotacioacuten impropios

- eje de rotorreflexioacuten rotacioacuten de 360ordmn seguida por reflexioacuten en un plano perpendicular al eje

- eje de rotoinversioacuten rotacioacuten de 360ordmn seguida por inversioacuten a traveacutes de un punto en el eje

orden 1 orden 3 orden 4 orden 6

Nota Los ejes de rotoinversioacuten se representan por el orden del eje (2 3 4 o 6) con el siacutembolo negativo encima de ellos En esta Web ese siacutembolo se identifica tambieacuten por el signo negativo bien delante o inferior al nuacutemero de orden del eje

(el esquema superior representa una rotoreflexioacuten de orden 4 y el inferior una rotoinversioacuten del mismo orden)

Por su parte el centro de simetriacutea i o centro de inversioacuten es un elemento de simetriacutea puntual que invierte el objeto a traveacutes de una liacutenea recta

- Combinacioacuten de elementos de simetriacuteaLa combinacioacuten de elementos de simetriacutea no se produce al azar estaacute regida por una serie de normas y limitaciones que son

- Los elementos que se combinan guardan unas relaciones angulares caracteriacutesticas

- La combinacioacuten de algunos elementos de simetriacutea genera directamente la presencia de otros

Eje de orden par + centro de simetriacutea ------- plano de simetriacutea perpendicular al eje

Eje de orden n contenido en un plano de simetriacutea -------- n-1 planos de simetriacutea que intersectan en el eje

Dos ejes que se cortan --------- un tercer eje que pasa por el punto de corte

(entre propios e impropios soacutelo es posible un propio y dos impropios)

Eje de orden n + eje binario perpendicular -------- n-1 ejes binarios tambieacuten normales a eacutel

Eje de inversioacuten de orden n(impar) + eje binario perpendicular -------- n ejes binarios y planos de simetriacutea

Eje de inversioacuten de orden n(par) + eje binario perpendicular -------- n2 ejes binarios y planos de simetriacutea

-Los ejes de inversioacuten realizan una operacioacuten de simetriacutea equivalente a la de dos elementos de simetriacutea (excepto el de orden 4)

3 = 3 + i

Eje de rotoinversioacuten de orden impar = eje propio del mismo orden + centro de simetriacutea

(6 = 3 + m)

Eje de rotoinversioacuten de orden par = eje propio de mitad de orden + un plano de simetriacutea perpendicular a eacutel

- Las 32 clases de simetriacuteaEs faacutecil prever que en el medio cristalino los elementos de simetriacutea se combinan entre siacute hasta engendrar los modelos cristalinos regulares que se combinan de treinta y dos maneras distintas y dan lugar a las treinta y dos posibles clases cristalinas o grupos puntuales (la operacioacuten de simetriacutea deja un punto particular del diagrama inmoacutevil) existentes

Estas treinta y dos clases cristalinas se han obtenido mediante las siguientes combinaciones de elementos de simetriacutea

Siacutembolo Combinacioacuten de simetriacutea Elementos de simetriacutea

1 Eje monario (giro de 360ordm)

2 Eje binario (giro de 180ordm)

3 Eje ternario (giro de 120ordm)

4 Eje cuaternario (giro de 90ordm)

6 Eje senario (giro de 60ordm)

1 Eje monario de inversioacuten (giro de 360ordm+inversioacuten) = centro de inversioacuten (2=i)

2 Eje binario de inversioacuten (giro de 180ordm+inversioacuten) = plano de simetriacutea (2=m)

3 Eje ternario de inversioacuten (giro de 120ordm+inversioacuten)

T4 TEje cuaternario de inversioacuten (giro de 90ordm+inversioacuten)

6

Clases con un soacutelo elemento de simetriacutea

Eje senario de inversioacuten (giro de 60ordm+inversioacuten) = eje ternario + plano de simetriacutea perpendicular

(6=3m)

222 Tres ejes binarios en planos perpendiculares entre siacute

32 Un eje ternario + tres ejes binarios en planos perpendiculares

422 Un eje cuaternario + dos ejes binarios en planos perpendiculares

622 Un eje senario + tres ejes binarios a 120ordm (plano perpendicular al senario)

23 Cuatro ejes ternarios + Tres ejes binarios

432

Clases con combinacioacuten de ejes

Tres ejes cuaternarios + cuatro ejes ternarios + seis ejes binarios

2m Clases con un eje de Eje binario + plano de simetriacutea perpendicular a eacutel

4m Eje cuaternario + plano de simetriacutea perpendicular a eacutel

6m

orden par + un centro de simetriacutea

(Eje de orden par + centro de simetriacutea=plano de

simetriacutea perpendicular al eje)

Eje senario + plano de simetriacutea perpendicular a eacutel

2mm Eje binario + dos planos de simetriacutea que se cortan en eacutel

3m Eje ternario + tres planos de simetriacutea que se cortan en eacutel

4mm Eje cuaternario + cuatro planos de simetriacutea que se cortan en eacutel

6mm

Clases con un eje + un plano de simetriacutea que

contenga al eje

Eje senario + seis planos de simetriacutea que se cortan en eacutel

42m Eje cuaternario de inversioacuten + dos ejes binarios + dos planos de simetriacutea

43m Tres ejes cuaternarios de inversioacuten + cuatro ejes ternarios + seis planos de simetriacutea

62m

Clases con un eje + dos ejes impropios

Eje senario de inversioacuten (=eje ternario + plano de simetriacutea perpendicular) + tres ejes binarios + tres

planos de simetriacutea

2m2m2m

(mmm)

Tres ejes binarios + tres planos de simetriacutea perpendiculares

32m

(3m)

Un eje ternario + tres ejes binarios + tres planos de simetriacutea perpendiculares + un centro de simetriacutea

4m2m2m

(4mmm)

Un eje cuaternario + un plano de simetriacutea perpendicular + cuatro ejes binarios + cuatro

planos de simetriacutea perpendiculares + centro de simetriacutea

6m2m2m

(6mmm)

Un eje senario + un plano de simetriacutea perpendicular + seis ejes binarios + seis planos de simetriacutea perpendiculares + un centro de simetriacutea

2m3

(m3)

Cuatro ejes ternarios + tres ejes binarios + tres planos de simetriacutea perpendiculares + un centro de

simetriacutea

4m32m

(m3m)

TClases con tres ejes + un centro de

simetriacutea

Tres ejes cuaternarios + tres planos de simetriacutea perpendiculares + cuatro ejes ternarios + seis ejes binarios + seis planos de simetriacutea perpendiculares

+ un centro de simetriacutea

La distribucioacuten sistema cristalino-Redes de Bravais-Grupos puntuales o clases de simetriacutea es la siguiente

Red de Bravais Sistema Grupo puntual

Red Tricliacutenica primitiva P Tricliacutenico 1 1Red monocliacutenica primitiva PRed monocliacutenica centrada en las caras C

Monocliacutenico 2 m 2m

Red roacutembica primitiva PRed roacutembica centrada en las bases CRed roacutembica centrada en el interior IRed roacutembica centrada en las caras F

Roacutembico 222 mm2 mmm

Red tetragonal primitiva P

Red tetragonal centrada en el interior CTetragonal

4 4 4m 4mm 422

42m 4mmm

Red hexagonal primitiva P Hexagonal6 6 6m 6mm 622

62m 6mmm

Red romboeacutedrica primitiva P Romboeacutedrico o Trigonal

3 3 3m 32 3m

Red cuacutebica primitiva PRed cuacutebica centrada en el interior IRed cuacutebica centrada en las caras F

Cuacutebico o Isomeacutetrico23 m3

43m 432 m3m

- Simetriacutea y redes de BravaisLa presencia de elementos de simetriacutea en la red cristalina condiciona a su vez la existencia de ciertas relaciones meacutetricas entre los elementos de la celda elemental las relaciones angulares entre los ejes del cristal o ejes cristalograacuteficos y las intersecciones sobre estos ejes de la cara fundamental (111) Las dimensiones de estas intersecciones son proporcionales a las traslaciones en las tres dimensiones de la red

Por esta razoacuten se han agrupado las redes de Bravais en siete grandes grupos redes tricliacutenicas redes monocliacutenicas redes roacutembicas redes tetragonales redes hexagonales redes romboeacutedricas y redes cuacutebicas Cada uno de estos grupos de redes corresponde a un sistema cuyo nombre es ideacutentico al de las redes correspondientes y posee unas constantes reticulares fijas y una miacutenima simetriacutea caracteriacutestica

Red de Bravais SistemaRed Tricliacutenica primitiva P TricliacutenicoRed monocliacutenica primitiva PRed monocliacutenica centrada en las caras C

Monocliacutenico

Red roacutembica primitiva PRed roacutembica centrada en las bases CRed roacutembica centrada en el interior IRed roacutembica centrada en las caras F

Roacutembico

Red tetragonal primitiva PRed tetragonal centrada en el interior C

Tetragonal

Red hexagonal primitiva P HexagonalRed romboeacutedrica primitiva P Romboeacutedrico o Trigonal Red cuacutebica primitiva PRed cuacutebica centrada en el interior IRed cuacutebica centrada en las caras F

Cuacutebico o Isomeacutetrico

Las constantes reticulares y la miacutenima simetriacutea que caracteriza a cada grupo de redes o sistema cristalino es la siguiente

- Sistema tricliacutenico (abc αszligγ90ordm)

No posee ninguna simetriacutea miacutenima

- Sistema monocliacutenico (abc α=γ=90ordmszliggt90ordm)

Presenta como simetriacutea miacutenima un eje de rotacioacuten binario o un eje de inversioacuten binario (=plano de simetriacutea)

- Sistema roacutembico (abc α=szlig=γ=90ordm)

Como miacutenimo posee tres ejes binarios perpendiculares entre siacute

- Sistema tetragonal (a=bc α=szlig=γ=90ordm)

Posee como caracteriacutestica fundamental un eje de rotacioacuten cuaternario o un eje de inversioacuten cuaternario

- Sistema hexagonal (a=bc α=szlig=90ordm γ=120ordm)

Su caracteriacutestica fundamental es la presencia de un eje de rotacioacuten senario o un eje de inversioacuten senario (eje ternario + plano de simetriacutea perpendicular)

Para mayor precisioacuten generalmente se introduce un cuarto eje i coplanario con a y b que forma un aacutengulo de 120ordm con cada uno de ellos asiacute la cruz axial seraacute (a=b=ic α=szlig=90ordm γ=120ordm)

Iacutendices de Miller hexagonales Como se trabaja con un cuarto iacutendice que se situacutea en el plano a1 a2 y a 120ordm de cada uno de estos ejes los planos hexagonales se van a representar por cuatro iacutendices (hkil) El valor de i se determina como h+k

- Sistema romboeacutedrico o trigonal (a=b=c α=szlig=γ90ordm)

Su caracteriacutestica comuacuten es la presencia de un eje de rotacioacuten ternario o un eje de inversioacuten ternario (eje ternario + centro de simetriacutea)

- Sistema cuacutebico (a=b=c α=szlig=γ=90ordm)

Posee como caracteriacutestica fundamental cuatro ejes de rotacioacuten ternarios inclinados a 10947ordm

NOTA Ademaacutes de las constantes reticulares para definir un sistema cristalino puede utilizarse la relacioacuten parameacutetrica siendo eacutesta la relacioacuten existente entre los moacutedulos de a y c respecto al moacutedulo de b

ab 1 cb

Normalmente se toman estos valores y los aacutengulos para definir la red

14- SIMETRIacuteA CON TRASLACIOacuteN - Elementos de simetriacutea con traslacioacutenLa red cristalina soacutelo tiene sentido como indicadora de la periodicidad que se presenta en el cristal como consecuencia de la repeticioacuten del motivo Debido a ello la simetriacutea que revela por siacute la red no tiene que ser necesariamente la que posea el cristal aunque en general lo sea

Ejemplo La coesita (variedad de la siacutelice de alta presioacuten) tiene una red cuya meacutetrica es roacutembica mientras que la estructura es monocliacutenica ya que el motivo carece de ciertos elementos de simetriacutea que la meacutetrica de la red indicaban

Es faacutecil comprender que debido a que la red es solamente la consecuencia de unas fuerzas cohesivas entre los aacutetomos que forman el cristal fuerzas que obligan a una repeticioacuten monoacutetona de las agrupaciones atoacutemicas la simetriacutea de la red debe estar iacutentimamente relacionada con la del cristal entendido como agrupacioacuten repetitiva de aacutetomos

La red nos proporciona por tanto la simetriacutea maacutexima que el cristal puede tener pero dicha simetriacutea depende de la simetriacutea propia del motivo La complejidad que el motivo cristalino aacutetomos iones y moleacuteculas aporta a la red cristalina hace que los elementos de simetriacutea del medio cristalino se ampliacuteen Aparece la traslacioacuten que tiene dimensiones submicroscoacutepicas no accesibles a la morfologiacutea macroscoacutepica

Los operadores de simetriacutea que completan la tarea de rellenar el espacio cristalino se consideran cada uno de ellos como una sola y nueva operacioacuten de simetriacutea Estos son los planos de deslizamiento que implican la reflexioacuten asociada a una traslacioacuten y los ejes helicoidales que implican a su vez giro y traslacioacuten

- Plano de deslizamiento

El plano de deslizamiento realiza simultaacuteneamente dos operaciones refleja la imagen o traslada la imagen a intervalos de media traslacioacuten

Cuando la semitraslacioacuten asociada al plano de deslizamiento corresponde a alguna de las direcciones fundamentales del cristal el plano se denomina a b c respectivamente

Cuando la semitraslacioacuten corresponde a la diagonal del plano reflector es decir el plano de deslizamiento se situacutea paralelo a la diagonal entre las filas definidas por a b y c el plano se simboliza por n y las componentes de su traslacioacuten son

a2 + b2 b2 + c2 c2 + a2 y a2 + b2 + c2

Los planos d (aparece en la estructura del diamante) se tratan tambieacuten de planos diagonales Presentan como componentes de traslacioacuten cuartos de la fundamental es decir

a4 plusmn b4 b4 plusmn c4 c4 plusmn a4 y a4 plusmn b4 plusmn c4

El siguiente cuadro sintetiza la notacioacuten y simetriacutea de los planos en los grupos espaciales

Siacutembolo Siacutembolo graacutefico Orientacioacuten y Traslacioacuten

m

perpendicular al papel

paralelo al papel

(100) o (010) ninguna traslacioacuten

(001) ninguna traslacioacuten

a

perpendicular al papel

paralelo al papel

(010) traslacioacuten a2

(001) traslacioacuten a2

b

perpendicular al papel

paralelo al papel

(100) traslacioacuten b2

(001) traslacioacuten b2

c perpendicular al papel

(100) 0 (010) traslacioacuten c2

n

______ perpendicular al papel

paralelo al papel

traslacioacuten (b+c)2 en (100) traslacioacuten (c+a)2 en (010)

traslacioacuten (a+b)2 en (001) traslacioacuten (a+b+c)2 en (110) en sistemas tetragonal o cuacutebico

d

perpendicular al papel

paralelo al papel

traslacioacuten (b+c)4 en (100) traslacioacuten (c+a)4 en (010)

traslacioacuten (a+b)4 en (001) traslacioacuten (a+b+c)4 en (110) en sistemas tetragonal o cuacutebico

- Eje helicoidal

Un eje helicoidal implica similarmente una operacioacuten doble

Un giro el permisible para su orden

Una traslacioacuten constante a lo largo del eje

Como sabemos el orden del eje es el nuacutemero de repeticiones que se necesitan para lograr la identidad implicando una serie de giros sucesivos hasta haber completado su operacioacuten de simetriacutea total

En un eje helicoidal cada uno de estos giros parciales debe asociarse a una parte aliacutecuota de la traslacioacuten total t paralela a la direccioacuten del eje La identidad se logra en la operacioacuten giro cuando se ha aplicado tantas veces el giro permisible como indica el orden del eje

Haciendo el periodo de identidad t coincidente con el giro completo del eje se obtienen los siguientes ejes helicoidales

Siacutembolo Siacutembolo graacutefico Denominacioacuten Giro Traslacioacuten

21 Eje binario helicoidal 180ordm t2

31 Eje ternario helicoidal

derecho120ordm

dextroacutegiro t3

32 Eje ternario helicoidal

izquierdo 120ordm levoacutegiro t3

41 Eje cuaternario helicoidal

derecho90ordm

dextroacutegiro t4

43 Eje cuaternario helicoidal

izquierdo 90ordm levoacutegiro t4

61 Eje senario helicoidal

derecho 60ordmdextroacutegiro t6

65 Eje senario helicoidal

izquierdo 60ordm levoacutegiro t6

Tambieacuten se pueden deducir los ejes helicoidales haciendo que la identidad se alcance para Nn giros siendo N el orden del eje y n un divisor entero de N

N (orden

del eje)

n (divisor entero de N)

Nn (giros)

Siacutembolo Siacutembolo graacutefico Denominacioacuten Giro Traslacioacuten

4 T2 2 42 Eje cuaternario-binario helicoidal 90ordm t2

6 3 2 63

Eje senario-ternario

helicoidal60ordm t2

6 2 3 62

Eje senario-binario helicoidal

derecho

60ordm dextroacutegiro t3

6 2 3 64

Eje senario-binario helicoidal

izquierdo

60ordm levoacutegiro t3

- Los 17 grupos planos En la deduccioacuten de los grupos planos hay que tener en cuenta que es el motivo contenido de la celda definida por unas traslaciones dadas el que muestra la existencia de los elementos de simetriacutea Es decir que las partes del motivo estaacuten relacionadas entre siacute por dichos elementos de simetriacutea (que puede ser simetriacutea con traslacioacuten) que la suma de estas partes constituye la celda y que las celdas implican una meacutetrica dada es decir tiene una forma y unas dimensiones que condicionan una simetriacutea maacutexima

En los grupos planos los haces de elementos de simetriacutea son perpendiculares al plano que se asocia a un tipo de red plana El nuacutemero de estos grupos planos es de 17

- Grupos planos con red oblicua

La simetriacutea maacutexima que permite una red obiacutecua es un haz de ejes binarios Existiraacuten por tanto dos posibilidades

Grupo plano p1 p como indicativo de primitivo y 1 como indicativo de no simetriacutea El dominio complejo coincide con el motivo y por tanto su multiplicidad es 1

Grupo plano p2 p como indicativo de primitivo y 2 como indicativo de eje binario de simetriacutea La multiplicidad del dominio complejo es 2 ya que la simetriacutea genera duplicidad del motivo

- Grupos planos con red rectangular

La simetriacutea maacutexima que permite una red rectangular es dos haces de planos de simetriacutea y un haz de ejes binarios Existiraacuten por tanto diferentes combinaciones

Grupo plano pm p como indicativo de primitivo y m como indicativo del plano de simetriacutea La multiplicidad del dominio complejo es 2 ya que la simetriacutea genera duplicidad del motivo

Grupo plano pg p como indicativo de primitivo y g como indicativo del plano de deslizamiento La multiplicidad del dominio complejo es 2 ya que la simetriacutea genera duplicidad del motivo

Grupo plano pmm (p2mm) p como indicativo de primitivo y dos m como indicativo de planos de simetriacutea mutuamente perpendiculares Los planos de simetriacutea llevan impliacutecitos la aparcicioacuten de ejes binarios La multiplicidad del dominio complejo es 4

Grupo plano pmg (p2mg) p como indicativo de primitivo y planos perpendiculares de tipo distinto (m ordinarios y g de deslizamiento) Esto hace que los ejes de simetriacutea no se encuentren en la interseccioacuten sino desplazados a lo largo del plano de deslizamiento a mitad de la componente desplazamiento El origen de la celda se toma sobre un eje binario La multiplicidad del dominio complejo es 4

Grupo plano pgg(p2gg) p como indicativo de primitivo y dos g de planos perpendiculares de deslizamiento Esto hace que los ejes de simetriacutea no se encuentren en la interseccioacuten sino desplazados a lo largo de cada plano de deslizamiento a mitad de la componente deslizamiento El origen de la celda se toma sobre un eje binario La multiplicidad del dominio complejo es 4

- Grupos planos con red roacutembica o rectangular centrada

Grupo plano cm c como indicativo de la operacioacuten de centrado y m como indicativo del plano de simetriacutea La operacioacuten de centrado lleva impliacutecita la existencia de un plano de deslizamiento La multiplicidad del dominio complejo es 4

Grupo plano cmm (c2mm) c como indicativo de centrado y dos m como indicativo de planos de simetriacutea mutuamente perpendiculares La operacioacuten de centrado lleva impliacutecita la existencia de planos de deslizamiento La multiplicidad del dominio complejo es 4 Los planos de simetriacutea ordinarios y de deslizamiento llevan impliacutecitos la aparcicioacuten de ejes binarios en las intersecciones del mismo tipo de planos no de distintos La multiplicidad del dominio complejo es 8

- Grupos planos con red cuadrada

La simetriacutea maacutexima que permite una red cuadrada es un haz de ejes cuaternarios y sus planos de simetriacutea contenidos en ellos En todos los casos se toma un eje cuaternario como origen de

la celda apareciendo otro eje cuaternario en el centro de la celda Existiraacuten por tanto diferentes combinaciones

Grupo plano p4 p como indicativo de primitivo y 4 como indicativo de eje cuaternario de simetriacutea Los ejes cuaternarios generan la aparcicioacuten de ejes binarios intercalados entre los cuaternarios La multiplicidad del dominio complejo es 4

Grupo plano p4mm p como indicativo de primitivo 4 como indicativo de eje cuaternario de simetriacutea y m como los planos de simetriacutea que contienen a dichos ejes Los ejes cuaternarios generan la aparcicioacuten de ejes binarios intercalados entre los cuaternarios y toda la simetriacutea genera planos de deslizamiento paralelos a las diagonales de la celda La multiplicidad del dominio complejo es 8

Grupo plano p4gm p como indicativo de primitivo 4 como indicativo de eje cuaternario de simetriacutea g como planos de deslizamiento y m como los planos de simetriacutea La multiplicidad del dominio complejo es 8

- Grupos planos con red hexagonal

La simetriacutea maacutexima que permite una red hexagonal es un haz de ejes senarios o ternarios y los planos de simetriacutea que contienen a dichos ejes Existiraacuten por tanto diferentes combinaciones

Grupo plano p3 p como indicativo de primitivo y 3 como indicativo de eje ternario de simetriacutea Los ejes ternarios generan la aparcicioacuten de otros ternarios en el centro de los dos triaacutengulos equilaacuteteros que conforman la celda La multiplicidad del dominio complejo es 3

Grupo plano p3m1 p como indicativo de primitivo 3 como indicativo de eje ternario de simetriacutea y m como plano de simetriacutea en la diagonal mayor del rombo Se genera alternancia de planos de deslizamiento La multiplicidad del dominio complejo es 6

Grupo plano p31m p como indicativo de primitivo 3 como indicativo de eje ternario de simetriacutea y m como plano de simetriacutea en la diagonal menor del rombo Se genera alternancia de planos de deslizamiento La multiplicidad del dominio complejo es 6

Grupo plano p6 p como indicativo de primitivo y 6 como indicativo de eje senario de simetriacutea Se generan ejes ternarios en los centros de los triaacutengulos equilaacuteteros conformadores y ejes binarios en los centros de los lados de dichos triaacutengulos La multiplicidad del dominio complejo es de 6

Grupo plano p6mm p como indicativo de primitivo 6 como indicativo de eje senario de simetriacutea y m de los planos de simetriacutea que los contienen Se generan ejes ternarios en los centros de los triaacutengulos equilaacuteteros conformadores ejes binarios en los centros de los lados de dichos triaacutengulos y planos de deslizamiento alternantes La multiplicidad del dominio complejo es de 12

La tabla que relaciona los grupos puntuales y los grupos planos pone de manifiesto que no todas las combinaciones conducen a nuevos o diferentes grupos puntuales La interaccioacuten de la simetriacutea del motivo con la simetriacutea de las diversas redes planas afecta al contenido de simetriacutea resultante del modelo planar El modelo final muestra la simetriacutea de la red cuando los elementos de simetriacutea del motivo estaacuten alineados con los elementos de simetriacutea correspondiente de la red Si el motivo tiene menos simetriacutea que la red el modelo expresaraacute el menor grado de simetriacutea del motivo con los elementos de simetriacutea de eacuteste alineados con los correspondientes elementos de simetriacutea de la red

Red Grupo puntual Grupo plano

1 p1 Obliacutecua

2 p2 m pm pg

Rectangular mm pmm pmg pgg m cm

Roacutembica mm cmm

4 p4

Cuadrada

4mm p4mm p4gm

3 p3 3m p3m p31m 6 p6

Hexagonal

6mm p6mm

- Grupos espaciales Los grupos espaciales representan las diversas formas en que los motivos pueden distribuirse en el espacio en una estructura homogeacutenea

Los grupos espaciales surgen de la combinacioacuten de los 14 tipos posibles de redes espaciales (redes de Bravais) con la simetriacutea propia de las 32 clases cristalinas o grupos puntuales maacutes la simetriacutea con traslacioacuten

Las caracteriacutesticas de la red se expresan con las letras P A B C F I R de las redes de Bravais que designan el tipo de red general A continuacioacuten se describen en el siacutembolo los elementos de simetriacutea

Ejemplos

P4m2m2m oacute p4mmm

4m2m2m oacute 4mmm Grupo de simetriacutea 4mmm

P Red tetragonal sencilla

P42n2n2m oacute P42nnm

42nnm Grupo isogonal con el 4mmm donde los ejes de rotacioacuten cuaternaria del grupo puntual aparecen como ejes de rotoinversioacuten cuaternaria y helicoidal cuaternario paralelos y alternativos Existen planos de deslizamiento n y de simetriacutea m asiacute como ejes de rotacioacuten binaria con helicoidales binarios intercalados

P Red tetragonal sencilla

Al igual que ocurriacutea en los grupos planos en los grupos espaciales con redes no primitivas la operacioacuten de centrado introduce la simetriacutea con traslacioacuten y sin embargo estos nuevos elementos no se aprecian en los siacutembolos Por ejemplo

C2m

2m Grupo de simetriacutea 2m Sin embargo aparecen debido al centrado ejes helicoidales binarios intercalados con los binarios y planos de deslizamiento intercalados con los planos de simetriacutea

C Red roacutembica centrada de tipo C

Los 230 grupos espaciales vienen descritos en las International Tables for X-ray Crystallography clasificadas seguacuten los grupos puntuales y los sistemas cristalinos

Una composicioacuten de la informacioacuten contenida en estas Tablas se muestra a continuacioacuten para el grupo espacial Cmm2 en el que la C significa una red centrada en las caras separadas por el eje c la primera m representa un plano de simetriacutea perpendicular al eje a la segunda m

representa un plano de simetriacutea perpendicular al eje b y el 2 se refiere al eje binario paralelo al eje c

  • EL ESTADO CRISTALINO
Page 9: Cristalografia Estructural

Se denomina celda primitiva aquella que no tiene nudos en su interior y celda muacuteltiple a la que si los tiene y estaacute definida por vectores muacuteltiples que son muacuteltiplos enteros del vector traslacioacuten unitario de igual direccioacuten Se llama multiplicidad al nuacutemero de nudos que hay por celda elemental (todas las celdas primitivas de una red tienen multiplicidad 1 frac14 4 = 1)

- Redes planasEl orden bidimensional es el resultado de traslaciones regulares en dos direcciones distintas que resultan en la definicioacuten de los cinco tipos de redes planas La asimilacioacuten de este orden bidimensional es baacutesica para comprender la regularidad correspondiente a objetos tridimensionales tales como la materia cristalina Se definen cinco tipos de redes planas con las siguientes caracteriacutesticas

Red oblicua (ane b γ ne 90ordm)

Red rectangular (ane b γ =90ordm)

Existen tambieacuten redes centradas que son el resultado de antildeadir nuevos nudos en el centro de cada paralelogramo generador de la red plana Soacutelo puede realizarse esta operacioacuten de centrado si la red resultante es morfoloacutegicamente diferente de la original por ello soacutelo pueden centrarse las redes rectangulares (obtenieacutendose una red roacutembica) o las redes roacutembicas (dando lugar a una red rectangular)

Red roacutembica (a=b γ ne 90ordm 60ordm 120ordm)

Red hexagonal (a=b γ =60ordm 120ordm)

Red cuadrada (a=b γ =90ordm)

Las redes planas forman por apilamiento homogeacuteneo los distintos tipos de redes espaciales es decir las distintas familias de planos cristalinos que integran el cristal La manera como estos planos se apilan determina los aacutengulos entre las traslaciones fundamentales en las tres dimensiones que es lo que define a su vez la forma y dimensiones del paralelepiacutepedo o celda unidad que caracteriza la red cristalina

- Redes de BravaisDe la superposicioacuten de planos se generan catorce celdas morfoloacutegicamente distintas que se conocen como las Redes de Bravais en honor de su descubridor

En teacuterminos de redes cristalinas tridimensionales los paralelepiacutepedos fundamentales morfoloacutegicamente distintos son el resultado de combinar las tres traslaciones fundamentales de valores dados con sus inclinaciones respectivas es decir con los tres aacutengulos α szlig y γ

Su construccioacuten se realiza apilando paralelamente una sucesioacuten infinita de modelos planos ideacutenticos de manera que la distancia entre ellos sea siempre igual (familia de planos) Mientras que en el plano se deduciacutean cinco tipos de redes en el espacio tridimensional se reconocen hasta catorce distribuciones perioacutedicas

Red tricliacutenica (abc αszligγ90ordm)

Debido a los valores distintos entre siacute de las traslaciones y de los aacutengulos fundamentales el paralelepiacutepedo tiene forma cualquiera triplemente inclinado (por ello se denomina tricliacutenico) Se trata de una red primitiva

Redes monocliacutenicas (abc α=γ=90ordmszlig )

La celda es un paralelepiacutepedo no recto de base rectangular (formados por redes planas rectangulares)

- Red monocliacutenica primitiva P

- Red monocliacutenica de base centrada

La operacioacuten de centrado de redes permite la generacioacuten de este otro tipo de red Si se centra la red plana rectangular (100) su siacutembolo es A y si se centra la (001) es C Morfoloacutegicamente estas redes soacutelo se diferencian en su orientacioacuten por tanto las redes monocliacutenicas de base centrada A y C son equivalentes

Redes roacutembicas (abc α=szlig=γ=90ordm)

- Red roacutembica primitiva P

El paralelepiacutepedo fundamental es un prisma recto de base rectangular Los tres planos fundamentales (100) (010) y (001) maacutes los planos diagonales del prisma son redes planas rectangulares

- Redes roacutembicas centradas

La operacioacuten de centrado de redes permite la generacioacuten de estos otros tipos de red Si se centran las redes planas rectangulares (100) (010) y (001) sus siacutembolos son respectivamente A B y C

Morfoloacutegicamente estas redes son iguales y se denominan red roacutembica de base centrada simbolizada por C Cuando la operacioacuten de centrado es sobre las tres caras a la vez la red se denomina red roacutembica de caras centradas y se simboliza por F Si el centrado se produce en los planos diagonales del prisma la red resultante se denomina red roacutembica centrada en el interior de siacutembolo I

Redes tetragonales (a=bc α=szlig=γ=90ordm)

- Red tetragonal P

La celda fundamental es un prisma recto de base cuadrada La familia de planos (001) son de red plana cuadrada mientras que (100) y (010) son rectangulares e ideacutenticos entre siacute

- Red tetragonal centrada I

Al ser iguales por simetriacutea los planos (100) y (010) no pueden centrarse independientemente y a su vez no pueden hacerlo simultaacuteneamente porque ello destruye la homogeneidad de los planos de la misma familia

Sin embargo los planos diagonales que son tambieacuten redes rectangulares pueden centrarse dando origen a la red tetragonal centrada en el interior I

Red hexagonal P (a=bc α=szlig=90ordm γ=120ordm 60ordm)

El paralelepiacutepedo fundamental es un prisma recto de base roacutembica (de aacutengulo de 60ordm) Para visualizar la forma hexagonal se toma una celda muacuteltiple integrada por tres de estas celdillas roacutembicas

Esta red hexagonal permite un apilamiento especial de los planos hexagonales Seguacuten eacuteste los nudos se proyectan a 13 o a 23 de la diagonal mayor del rombo dando como resultado una red romboeacutedrica R de (a=b=c α=szlig=γ90ordm)

Redes cuacutebicas (a=b=c α=szlig=γ=90ordm)

- Red cuacutebica primitiva P

El paralelepiacutepedo fundamental es un cubo

- Redes cuacutebicas centradas

El centrado de las caras del cubo no debiera ser posible puesto que son redes planas cuadradas Las redes cuacutebicas centradas se originan cuando el aacutengulo del romboedro se hace igual a 60ordm y las tres diagonales del romboedro se hacen iguales entre siacute definiendo las aristas de un cubo que circunscribe al romboedro Asiacute la distribucioacuten de nudos es la correspondiente a un cubo de caras centradas originando la red cuacutebica de caras centradas F

De forma similar cuando el aacutengulo entre las aristas del romboedro es de 109ordm 28acute 16acuteacute las diagonales de sus tres caras fundamentales son perpendicuales entre si e iguales en magnitud y definen un cubo inscrito en el romboedro La distribucioacuten de nudos corresponde a una red cuacutebica centrada en el interior I

(Las redes cuacutebicas no soacutelo son casos especiales de redes romboeacutedricas sino que tambieacuten lo son de redes tetragonales)

13- SIMETRIacuteA La porcioacuten miacutenima del espacio cristalino que contiene en siacute misma toda la simetriacutea de la red cristalina es la celda unidad El medio cristalino por ser perioacutedico es un medio simeacutetrico y todas sus propiedades derivan de este hecho

Entendiendo por simetriacutea aquella transformacioacuten que al aplicarse a un objeto hace que eacuteste conserve todas sus dimensiones y lo deje en una posicioacuten indistinguible de su posicioacuten original la operacioacuten de simetriacutea maacutes sencilla que existe por definicioacuten en el medio cristalino es la simple traslacioacuten entre un motivo y otro

- Elementos de simetriacuteaEl lugar geomeacutetrico que ayuda a la visualizacioacuten de la simetriacutea de una distribucioacuten ordenada recibe el nombre de elemento de simetriacutea Los elementos de simetriacutea puntual (la operacioacuten de simetriacutea deja un punto particular del diagrama inmoacutevil) sin traslacioacuten son el plano de simetriacutea el eje de rotacioacuten y el centro de simetriacutea o centro de inversioacuten

El plano de simetriacutea m o de reflexioacuten refleja partes o todos ideacutenticos del objeto a traveacutes de un plano

El eje de rotacioacuten origina una rotacioacuten al objeto de 360ordmn alrededor del eje (de derecha a izquierda)

eje monario n=1 (360ordm1=360ordm)

eje binario (perpendicular al plano) (paralelo al plano)

n=2 (360ordm2=180ordm)

eje ternario n=3 (360ordm3=120ordm)

eje cuaternario n=4 (360ordm4=90ordm)

eje senario n=6 (360ordm6=60ordm)

(La restriccioacuten cristalograacutefica limita los giros permisibles a estos cinco para que su orden sea compatible con la existencia de redes)

Las combinaciones de ambos elementos de simetriacutea originan los ejes de rotacioacuten impropios

- eje de rotorreflexioacuten rotacioacuten de 360ordmn seguida por reflexioacuten en un plano perpendicular al eje

- eje de rotoinversioacuten rotacioacuten de 360ordmn seguida por inversioacuten a traveacutes de un punto en el eje

orden 1 orden 3 orden 4 orden 6

Nota Los ejes de rotoinversioacuten se representan por el orden del eje (2 3 4 o 6) con el siacutembolo negativo encima de ellos En esta Web ese siacutembolo se identifica tambieacuten por el signo negativo bien delante o inferior al nuacutemero de orden del eje

(el esquema superior representa una rotoreflexioacuten de orden 4 y el inferior una rotoinversioacuten del mismo orden)

Por su parte el centro de simetriacutea i o centro de inversioacuten es un elemento de simetriacutea puntual que invierte el objeto a traveacutes de una liacutenea recta

- Combinacioacuten de elementos de simetriacuteaLa combinacioacuten de elementos de simetriacutea no se produce al azar estaacute regida por una serie de normas y limitaciones que son

- Los elementos que se combinan guardan unas relaciones angulares caracteriacutesticas

- La combinacioacuten de algunos elementos de simetriacutea genera directamente la presencia de otros

Eje de orden par + centro de simetriacutea ------- plano de simetriacutea perpendicular al eje

Eje de orden n contenido en un plano de simetriacutea -------- n-1 planos de simetriacutea que intersectan en el eje

Dos ejes que se cortan --------- un tercer eje que pasa por el punto de corte

(entre propios e impropios soacutelo es posible un propio y dos impropios)

Eje de orden n + eje binario perpendicular -------- n-1 ejes binarios tambieacuten normales a eacutel

Eje de inversioacuten de orden n(impar) + eje binario perpendicular -------- n ejes binarios y planos de simetriacutea

Eje de inversioacuten de orden n(par) + eje binario perpendicular -------- n2 ejes binarios y planos de simetriacutea

-Los ejes de inversioacuten realizan una operacioacuten de simetriacutea equivalente a la de dos elementos de simetriacutea (excepto el de orden 4)

3 = 3 + i

Eje de rotoinversioacuten de orden impar = eje propio del mismo orden + centro de simetriacutea

(6 = 3 + m)

Eje de rotoinversioacuten de orden par = eje propio de mitad de orden + un plano de simetriacutea perpendicular a eacutel

- Las 32 clases de simetriacuteaEs faacutecil prever que en el medio cristalino los elementos de simetriacutea se combinan entre siacute hasta engendrar los modelos cristalinos regulares que se combinan de treinta y dos maneras distintas y dan lugar a las treinta y dos posibles clases cristalinas o grupos puntuales (la operacioacuten de simetriacutea deja un punto particular del diagrama inmoacutevil) existentes

Estas treinta y dos clases cristalinas se han obtenido mediante las siguientes combinaciones de elementos de simetriacutea

Siacutembolo Combinacioacuten de simetriacutea Elementos de simetriacutea

1 Eje monario (giro de 360ordm)

2 Eje binario (giro de 180ordm)

3 Eje ternario (giro de 120ordm)

4 Eje cuaternario (giro de 90ordm)

6 Eje senario (giro de 60ordm)

1 Eje monario de inversioacuten (giro de 360ordm+inversioacuten) = centro de inversioacuten (2=i)

2 Eje binario de inversioacuten (giro de 180ordm+inversioacuten) = plano de simetriacutea (2=m)

3 Eje ternario de inversioacuten (giro de 120ordm+inversioacuten)

T4 TEje cuaternario de inversioacuten (giro de 90ordm+inversioacuten)

6

Clases con un soacutelo elemento de simetriacutea

Eje senario de inversioacuten (giro de 60ordm+inversioacuten) = eje ternario + plano de simetriacutea perpendicular

(6=3m)

222 Tres ejes binarios en planos perpendiculares entre siacute

32 Un eje ternario + tres ejes binarios en planos perpendiculares

422 Un eje cuaternario + dos ejes binarios en planos perpendiculares

622 Un eje senario + tres ejes binarios a 120ordm (plano perpendicular al senario)

23 Cuatro ejes ternarios + Tres ejes binarios

432

Clases con combinacioacuten de ejes

Tres ejes cuaternarios + cuatro ejes ternarios + seis ejes binarios

2m Clases con un eje de Eje binario + plano de simetriacutea perpendicular a eacutel

4m Eje cuaternario + plano de simetriacutea perpendicular a eacutel

6m

orden par + un centro de simetriacutea

(Eje de orden par + centro de simetriacutea=plano de

simetriacutea perpendicular al eje)

Eje senario + plano de simetriacutea perpendicular a eacutel

2mm Eje binario + dos planos de simetriacutea que se cortan en eacutel

3m Eje ternario + tres planos de simetriacutea que se cortan en eacutel

4mm Eje cuaternario + cuatro planos de simetriacutea que se cortan en eacutel

6mm

Clases con un eje + un plano de simetriacutea que

contenga al eje

Eje senario + seis planos de simetriacutea que se cortan en eacutel

42m Eje cuaternario de inversioacuten + dos ejes binarios + dos planos de simetriacutea

43m Tres ejes cuaternarios de inversioacuten + cuatro ejes ternarios + seis planos de simetriacutea

62m

Clases con un eje + dos ejes impropios

Eje senario de inversioacuten (=eje ternario + plano de simetriacutea perpendicular) + tres ejes binarios + tres

planos de simetriacutea

2m2m2m

(mmm)

Tres ejes binarios + tres planos de simetriacutea perpendiculares

32m

(3m)

Un eje ternario + tres ejes binarios + tres planos de simetriacutea perpendiculares + un centro de simetriacutea

4m2m2m

(4mmm)

Un eje cuaternario + un plano de simetriacutea perpendicular + cuatro ejes binarios + cuatro

planos de simetriacutea perpendiculares + centro de simetriacutea

6m2m2m

(6mmm)

Un eje senario + un plano de simetriacutea perpendicular + seis ejes binarios + seis planos de simetriacutea perpendiculares + un centro de simetriacutea

2m3

(m3)

Cuatro ejes ternarios + tres ejes binarios + tres planos de simetriacutea perpendiculares + un centro de

simetriacutea

4m32m

(m3m)

TClases con tres ejes + un centro de

simetriacutea

Tres ejes cuaternarios + tres planos de simetriacutea perpendiculares + cuatro ejes ternarios + seis ejes binarios + seis planos de simetriacutea perpendiculares

+ un centro de simetriacutea

La distribucioacuten sistema cristalino-Redes de Bravais-Grupos puntuales o clases de simetriacutea es la siguiente

Red de Bravais Sistema Grupo puntual

Red Tricliacutenica primitiva P Tricliacutenico 1 1Red monocliacutenica primitiva PRed monocliacutenica centrada en las caras C

Monocliacutenico 2 m 2m

Red roacutembica primitiva PRed roacutembica centrada en las bases CRed roacutembica centrada en el interior IRed roacutembica centrada en las caras F

Roacutembico 222 mm2 mmm

Red tetragonal primitiva P

Red tetragonal centrada en el interior CTetragonal

4 4 4m 4mm 422

42m 4mmm

Red hexagonal primitiva P Hexagonal6 6 6m 6mm 622

62m 6mmm

Red romboeacutedrica primitiva P Romboeacutedrico o Trigonal

3 3 3m 32 3m

Red cuacutebica primitiva PRed cuacutebica centrada en el interior IRed cuacutebica centrada en las caras F

Cuacutebico o Isomeacutetrico23 m3

43m 432 m3m

- Simetriacutea y redes de BravaisLa presencia de elementos de simetriacutea en la red cristalina condiciona a su vez la existencia de ciertas relaciones meacutetricas entre los elementos de la celda elemental las relaciones angulares entre los ejes del cristal o ejes cristalograacuteficos y las intersecciones sobre estos ejes de la cara fundamental (111) Las dimensiones de estas intersecciones son proporcionales a las traslaciones en las tres dimensiones de la red

Por esta razoacuten se han agrupado las redes de Bravais en siete grandes grupos redes tricliacutenicas redes monocliacutenicas redes roacutembicas redes tetragonales redes hexagonales redes romboeacutedricas y redes cuacutebicas Cada uno de estos grupos de redes corresponde a un sistema cuyo nombre es ideacutentico al de las redes correspondientes y posee unas constantes reticulares fijas y una miacutenima simetriacutea caracteriacutestica

Red de Bravais SistemaRed Tricliacutenica primitiva P TricliacutenicoRed monocliacutenica primitiva PRed monocliacutenica centrada en las caras C

Monocliacutenico

Red roacutembica primitiva PRed roacutembica centrada en las bases CRed roacutembica centrada en el interior IRed roacutembica centrada en las caras F

Roacutembico

Red tetragonal primitiva PRed tetragonal centrada en el interior C

Tetragonal

Red hexagonal primitiva P HexagonalRed romboeacutedrica primitiva P Romboeacutedrico o Trigonal Red cuacutebica primitiva PRed cuacutebica centrada en el interior IRed cuacutebica centrada en las caras F

Cuacutebico o Isomeacutetrico

Las constantes reticulares y la miacutenima simetriacutea que caracteriza a cada grupo de redes o sistema cristalino es la siguiente

- Sistema tricliacutenico (abc αszligγ90ordm)

No posee ninguna simetriacutea miacutenima

- Sistema monocliacutenico (abc α=γ=90ordmszliggt90ordm)

Presenta como simetriacutea miacutenima un eje de rotacioacuten binario o un eje de inversioacuten binario (=plano de simetriacutea)

- Sistema roacutembico (abc α=szlig=γ=90ordm)

Como miacutenimo posee tres ejes binarios perpendiculares entre siacute

- Sistema tetragonal (a=bc α=szlig=γ=90ordm)

Posee como caracteriacutestica fundamental un eje de rotacioacuten cuaternario o un eje de inversioacuten cuaternario

- Sistema hexagonal (a=bc α=szlig=90ordm γ=120ordm)

Su caracteriacutestica fundamental es la presencia de un eje de rotacioacuten senario o un eje de inversioacuten senario (eje ternario + plano de simetriacutea perpendicular)

Para mayor precisioacuten generalmente se introduce un cuarto eje i coplanario con a y b que forma un aacutengulo de 120ordm con cada uno de ellos asiacute la cruz axial seraacute (a=b=ic α=szlig=90ordm γ=120ordm)

Iacutendices de Miller hexagonales Como se trabaja con un cuarto iacutendice que se situacutea en el plano a1 a2 y a 120ordm de cada uno de estos ejes los planos hexagonales se van a representar por cuatro iacutendices (hkil) El valor de i se determina como h+k

- Sistema romboeacutedrico o trigonal (a=b=c α=szlig=γ90ordm)

Su caracteriacutestica comuacuten es la presencia de un eje de rotacioacuten ternario o un eje de inversioacuten ternario (eje ternario + centro de simetriacutea)

- Sistema cuacutebico (a=b=c α=szlig=γ=90ordm)

Posee como caracteriacutestica fundamental cuatro ejes de rotacioacuten ternarios inclinados a 10947ordm

NOTA Ademaacutes de las constantes reticulares para definir un sistema cristalino puede utilizarse la relacioacuten parameacutetrica siendo eacutesta la relacioacuten existente entre los moacutedulos de a y c respecto al moacutedulo de b

ab 1 cb

Normalmente se toman estos valores y los aacutengulos para definir la red

14- SIMETRIacuteA CON TRASLACIOacuteN - Elementos de simetriacutea con traslacioacutenLa red cristalina soacutelo tiene sentido como indicadora de la periodicidad que se presenta en el cristal como consecuencia de la repeticioacuten del motivo Debido a ello la simetriacutea que revela por siacute la red no tiene que ser necesariamente la que posea el cristal aunque en general lo sea

Ejemplo La coesita (variedad de la siacutelice de alta presioacuten) tiene una red cuya meacutetrica es roacutembica mientras que la estructura es monocliacutenica ya que el motivo carece de ciertos elementos de simetriacutea que la meacutetrica de la red indicaban

Es faacutecil comprender que debido a que la red es solamente la consecuencia de unas fuerzas cohesivas entre los aacutetomos que forman el cristal fuerzas que obligan a una repeticioacuten monoacutetona de las agrupaciones atoacutemicas la simetriacutea de la red debe estar iacutentimamente relacionada con la del cristal entendido como agrupacioacuten repetitiva de aacutetomos

La red nos proporciona por tanto la simetriacutea maacutexima que el cristal puede tener pero dicha simetriacutea depende de la simetriacutea propia del motivo La complejidad que el motivo cristalino aacutetomos iones y moleacuteculas aporta a la red cristalina hace que los elementos de simetriacutea del medio cristalino se ampliacuteen Aparece la traslacioacuten que tiene dimensiones submicroscoacutepicas no accesibles a la morfologiacutea macroscoacutepica

Los operadores de simetriacutea que completan la tarea de rellenar el espacio cristalino se consideran cada uno de ellos como una sola y nueva operacioacuten de simetriacutea Estos son los planos de deslizamiento que implican la reflexioacuten asociada a una traslacioacuten y los ejes helicoidales que implican a su vez giro y traslacioacuten

- Plano de deslizamiento

El plano de deslizamiento realiza simultaacuteneamente dos operaciones refleja la imagen o traslada la imagen a intervalos de media traslacioacuten

Cuando la semitraslacioacuten asociada al plano de deslizamiento corresponde a alguna de las direcciones fundamentales del cristal el plano se denomina a b c respectivamente

Cuando la semitraslacioacuten corresponde a la diagonal del plano reflector es decir el plano de deslizamiento se situacutea paralelo a la diagonal entre las filas definidas por a b y c el plano se simboliza por n y las componentes de su traslacioacuten son

a2 + b2 b2 + c2 c2 + a2 y a2 + b2 + c2

Los planos d (aparece en la estructura del diamante) se tratan tambieacuten de planos diagonales Presentan como componentes de traslacioacuten cuartos de la fundamental es decir

a4 plusmn b4 b4 plusmn c4 c4 plusmn a4 y a4 plusmn b4 plusmn c4

El siguiente cuadro sintetiza la notacioacuten y simetriacutea de los planos en los grupos espaciales

Siacutembolo Siacutembolo graacutefico Orientacioacuten y Traslacioacuten

m

perpendicular al papel

paralelo al papel

(100) o (010) ninguna traslacioacuten

(001) ninguna traslacioacuten

a

perpendicular al papel

paralelo al papel

(010) traslacioacuten a2

(001) traslacioacuten a2

b

perpendicular al papel

paralelo al papel

(100) traslacioacuten b2

(001) traslacioacuten b2

c perpendicular al papel

(100) 0 (010) traslacioacuten c2

n

______ perpendicular al papel

paralelo al papel

traslacioacuten (b+c)2 en (100) traslacioacuten (c+a)2 en (010)

traslacioacuten (a+b)2 en (001) traslacioacuten (a+b+c)2 en (110) en sistemas tetragonal o cuacutebico

d

perpendicular al papel

paralelo al papel

traslacioacuten (b+c)4 en (100) traslacioacuten (c+a)4 en (010)

traslacioacuten (a+b)4 en (001) traslacioacuten (a+b+c)4 en (110) en sistemas tetragonal o cuacutebico

- Eje helicoidal

Un eje helicoidal implica similarmente una operacioacuten doble

Un giro el permisible para su orden

Una traslacioacuten constante a lo largo del eje

Como sabemos el orden del eje es el nuacutemero de repeticiones que se necesitan para lograr la identidad implicando una serie de giros sucesivos hasta haber completado su operacioacuten de simetriacutea total

En un eje helicoidal cada uno de estos giros parciales debe asociarse a una parte aliacutecuota de la traslacioacuten total t paralela a la direccioacuten del eje La identidad se logra en la operacioacuten giro cuando se ha aplicado tantas veces el giro permisible como indica el orden del eje

Haciendo el periodo de identidad t coincidente con el giro completo del eje se obtienen los siguientes ejes helicoidales

Siacutembolo Siacutembolo graacutefico Denominacioacuten Giro Traslacioacuten

21 Eje binario helicoidal 180ordm t2

31 Eje ternario helicoidal

derecho120ordm

dextroacutegiro t3

32 Eje ternario helicoidal

izquierdo 120ordm levoacutegiro t3

41 Eje cuaternario helicoidal

derecho90ordm

dextroacutegiro t4

43 Eje cuaternario helicoidal

izquierdo 90ordm levoacutegiro t4

61 Eje senario helicoidal

derecho 60ordmdextroacutegiro t6

65 Eje senario helicoidal

izquierdo 60ordm levoacutegiro t6

Tambieacuten se pueden deducir los ejes helicoidales haciendo que la identidad se alcance para Nn giros siendo N el orden del eje y n un divisor entero de N

N (orden

del eje)

n (divisor entero de N)

Nn (giros)

Siacutembolo Siacutembolo graacutefico Denominacioacuten Giro Traslacioacuten

4 T2 2 42 Eje cuaternario-binario helicoidal 90ordm t2

6 3 2 63

Eje senario-ternario

helicoidal60ordm t2

6 2 3 62

Eje senario-binario helicoidal

derecho

60ordm dextroacutegiro t3

6 2 3 64

Eje senario-binario helicoidal

izquierdo

60ordm levoacutegiro t3

- Los 17 grupos planos En la deduccioacuten de los grupos planos hay que tener en cuenta que es el motivo contenido de la celda definida por unas traslaciones dadas el que muestra la existencia de los elementos de simetriacutea Es decir que las partes del motivo estaacuten relacionadas entre siacute por dichos elementos de simetriacutea (que puede ser simetriacutea con traslacioacuten) que la suma de estas partes constituye la celda y que las celdas implican una meacutetrica dada es decir tiene una forma y unas dimensiones que condicionan una simetriacutea maacutexima

En los grupos planos los haces de elementos de simetriacutea son perpendiculares al plano que se asocia a un tipo de red plana El nuacutemero de estos grupos planos es de 17

- Grupos planos con red oblicua

La simetriacutea maacutexima que permite una red obiacutecua es un haz de ejes binarios Existiraacuten por tanto dos posibilidades

Grupo plano p1 p como indicativo de primitivo y 1 como indicativo de no simetriacutea El dominio complejo coincide con el motivo y por tanto su multiplicidad es 1

Grupo plano p2 p como indicativo de primitivo y 2 como indicativo de eje binario de simetriacutea La multiplicidad del dominio complejo es 2 ya que la simetriacutea genera duplicidad del motivo

- Grupos planos con red rectangular

La simetriacutea maacutexima que permite una red rectangular es dos haces de planos de simetriacutea y un haz de ejes binarios Existiraacuten por tanto diferentes combinaciones

Grupo plano pm p como indicativo de primitivo y m como indicativo del plano de simetriacutea La multiplicidad del dominio complejo es 2 ya que la simetriacutea genera duplicidad del motivo

Grupo plano pg p como indicativo de primitivo y g como indicativo del plano de deslizamiento La multiplicidad del dominio complejo es 2 ya que la simetriacutea genera duplicidad del motivo

Grupo plano pmm (p2mm) p como indicativo de primitivo y dos m como indicativo de planos de simetriacutea mutuamente perpendiculares Los planos de simetriacutea llevan impliacutecitos la aparcicioacuten de ejes binarios La multiplicidad del dominio complejo es 4

Grupo plano pmg (p2mg) p como indicativo de primitivo y planos perpendiculares de tipo distinto (m ordinarios y g de deslizamiento) Esto hace que los ejes de simetriacutea no se encuentren en la interseccioacuten sino desplazados a lo largo del plano de deslizamiento a mitad de la componente desplazamiento El origen de la celda se toma sobre un eje binario La multiplicidad del dominio complejo es 4

Grupo plano pgg(p2gg) p como indicativo de primitivo y dos g de planos perpendiculares de deslizamiento Esto hace que los ejes de simetriacutea no se encuentren en la interseccioacuten sino desplazados a lo largo de cada plano de deslizamiento a mitad de la componente deslizamiento El origen de la celda se toma sobre un eje binario La multiplicidad del dominio complejo es 4

- Grupos planos con red roacutembica o rectangular centrada

Grupo plano cm c como indicativo de la operacioacuten de centrado y m como indicativo del plano de simetriacutea La operacioacuten de centrado lleva impliacutecita la existencia de un plano de deslizamiento La multiplicidad del dominio complejo es 4

Grupo plano cmm (c2mm) c como indicativo de centrado y dos m como indicativo de planos de simetriacutea mutuamente perpendiculares La operacioacuten de centrado lleva impliacutecita la existencia de planos de deslizamiento La multiplicidad del dominio complejo es 4 Los planos de simetriacutea ordinarios y de deslizamiento llevan impliacutecitos la aparcicioacuten de ejes binarios en las intersecciones del mismo tipo de planos no de distintos La multiplicidad del dominio complejo es 8

- Grupos planos con red cuadrada

La simetriacutea maacutexima que permite una red cuadrada es un haz de ejes cuaternarios y sus planos de simetriacutea contenidos en ellos En todos los casos se toma un eje cuaternario como origen de

la celda apareciendo otro eje cuaternario en el centro de la celda Existiraacuten por tanto diferentes combinaciones

Grupo plano p4 p como indicativo de primitivo y 4 como indicativo de eje cuaternario de simetriacutea Los ejes cuaternarios generan la aparcicioacuten de ejes binarios intercalados entre los cuaternarios La multiplicidad del dominio complejo es 4

Grupo plano p4mm p como indicativo de primitivo 4 como indicativo de eje cuaternario de simetriacutea y m como los planos de simetriacutea que contienen a dichos ejes Los ejes cuaternarios generan la aparcicioacuten de ejes binarios intercalados entre los cuaternarios y toda la simetriacutea genera planos de deslizamiento paralelos a las diagonales de la celda La multiplicidad del dominio complejo es 8

Grupo plano p4gm p como indicativo de primitivo 4 como indicativo de eje cuaternario de simetriacutea g como planos de deslizamiento y m como los planos de simetriacutea La multiplicidad del dominio complejo es 8

- Grupos planos con red hexagonal

La simetriacutea maacutexima que permite una red hexagonal es un haz de ejes senarios o ternarios y los planos de simetriacutea que contienen a dichos ejes Existiraacuten por tanto diferentes combinaciones

Grupo plano p3 p como indicativo de primitivo y 3 como indicativo de eje ternario de simetriacutea Los ejes ternarios generan la aparcicioacuten de otros ternarios en el centro de los dos triaacutengulos equilaacuteteros que conforman la celda La multiplicidad del dominio complejo es 3

Grupo plano p3m1 p como indicativo de primitivo 3 como indicativo de eje ternario de simetriacutea y m como plano de simetriacutea en la diagonal mayor del rombo Se genera alternancia de planos de deslizamiento La multiplicidad del dominio complejo es 6

Grupo plano p31m p como indicativo de primitivo 3 como indicativo de eje ternario de simetriacutea y m como plano de simetriacutea en la diagonal menor del rombo Se genera alternancia de planos de deslizamiento La multiplicidad del dominio complejo es 6

Grupo plano p6 p como indicativo de primitivo y 6 como indicativo de eje senario de simetriacutea Se generan ejes ternarios en los centros de los triaacutengulos equilaacuteteros conformadores y ejes binarios en los centros de los lados de dichos triaacutengulos La multiplicidad del dominio complejo es de 6

Grupo plano p6mm p como indicativo de primitivo 6 como indicativo de eje senario de simetriacutea y m de los planos de simetriacutea que los contienen Se generan ejes ternarios en los centros de los triaacutengulos equilaacuteteros conformadores ejes binarios en los centros de los lados de dichos triaacutengulos y planos de deslizamiento alternantes La multiplicidad del dominio complejo es de 12

La tabla que relaciona los grupos puntuales y los grupos planos pone de manifiesto que no todas las combinaciones conducen a nuevos o diferentes grupos puntuales La interaccioacuten de la simetriacutea del motivo con la simetriacutea de las diversas redes planas afecta al contenido de simetriacutea resultante del modelo planar El modelo final muestra la simetriacutea de la red cuando los elementos de simetriacutea del motivo estaacuten alineados con los elementos de simetriacutea correspondiente de la red Si el motivo tiene menos simetriacutea que la red el modelo expresaraacute el menor grado de simetriacutea del motivo con los elementos de simetriacutea de eacuteste alineados con los correspondientes elementos de simetriacutea de la red

Red Grupo puntual Grupo plano

1 p1 Obliacutecua

2 p2 m pm pg

Rectangular mm pmm pmg pgg m cm

Roacutembica mm cmm

4 p4

Cuadrada

4mm p4mm p4gm

3 p3 3m p3m p31m 6 p6

Hexagonal

6mm p6mm

- Grupos espaciales Los grupos espaciales representan las diversas formas en que los motivos pueden distribuirse en el espacio en una estructura homogeacutenea

Los grupos espaciales surgen de la combinacioacuten de los 14 tipos posibles de redes espaciales (redes de Bravais) con la simetriacutea propia de las 32 clases cristalinas o grupos puntuales maacutes la simetriacutea con traslacioacuten

Las caracteriacutesticas de la red se expresan con las letras P A B C F I R de las redes de Bravais que designan el tipo de red general A continuacioacuten se describen en el siacutembolo los elementos de simetriacutea

Ejemplos

P4m2m2m oacute p4mmm

4m2m2m oacute 4mmm Grupo de simetriacutea 4mmm

P Red tetragonal sencilla

P42n2n2m oacute P42nnm

42nnm Grupo isogonal con el 4mmm donde los ejes de rotacioacuten cuaternaria del grupo puntual aparecen como ejes de rotoinversioacuten cuaternaria y helicoidal cuaternario paralelos y alternativos Existen planos de deslizamiento n y de simetriacutea m asiacute como ejes de rotacioacuten binaria con helicoidales binarios intercalados

P Red tetragonal sencilla

Al igual que ocurriacutea en los grupos planos en los grupos espaciales con redes no primitivas la operacioacuten de centrado introduce la simetriacutea con traslacioacuten y sin embargo estos nuevos elementos no se aprecian en los siacutembolos Por ejemplo

C2m

2m Grupo de simetriacutea 2m Sin embargo aparecen debido al centrado ejes helicoidales binarios intercalados con los binarios y planos de deslizamiento intercalados con los planos de simetriacutea

C Red roacutembica centrada de tipo C

Los 230 grupos espaciales vienen descritos en las International Tables for X-ray Crystallography clasificadas seguacuten los grupos puntuales y los sistemas cristalinos

Una composicioacuten de la informacioacuten contenida en estas Tablas se muestra a continuacioacuten para el grupo espacial Cmm2 en el que la C significa una red centrada en las caras separadas por el eje c la primera m representa un plano de simetriacutea perpendicular al eje a la segunda m

representa un plano de simetriacutea perpendicular al eje b y el 2 se refiere al eje binario paralelo al eje c

  • EL ESTADO CRISTALINO
Page 10: Cristalografia Estructural

Red rectangular (ane b γ =90ordm)

Existen tambieacuten redes centradas que son el resultado de antildeadir nuevos nudos en el centro de cada paralelogramo generador de la red plana Soacutelo puede realizarse esta operacioacuten de centrado si la red resultante es morfoloacutegicamente diferente de la original por ello soacutelo pueden centrarse las redes rectangulares (obtenieacutendose una red roacutembica) o las redes roacutembicas (dando lugar a una red rectangular)

Red roacutembica (a=b γ ne 90ordm 60ordm 120ordm)

Red hexagonal (a=b γ =60ordm 120ordm)

Red cuadrada (a=b γ =90ordm)

Las redes planas forman por apilamiento homogeacuteneo los distintos tipos de redes espaciales es decir las distintas familias de planos cristalinos que integran el cristal La manera como estos planos se apilan determina los aacutengulos entre las traslaciones fundamentales en las tres dimensiones que es lo que define a su vez la forma y dimensiones del paralelepiacutepedo o celda unidad que caracteriza la red cristalina

- Redes de BravaisDe la superposicioacuten de planos se generan catorce celdas morfoloacutegicamente distintas que se conocen como las Redes de Bravais en honor de su descubridor

En teacuterminos de redes cristalinas tridimensionales los paralelepiacutepedos fundamentales morfoloacutegicamente distintos son el resultado de combinar las tres traslaciones fundamentales de valores dados con sus inclinaciones respectivas es decir con los tres aacutengulos α szlig y γ

Su construccioacuten se realiza apilando paralelamente una sucesioacuten infinita de modelos planos ideacutenticos de manera que la distancia entre ellos sea siempre igual (familia de planos) Mientras que en el plano se deduciacutean cinco tipos de redes en el espacio tridimensional se reconocen hasta catorce distribuciones perioacutedicas

Red tricliacutenica (abc αszligγ90ordm)

Debido a los valores distintos entre siacute de las traslaciones y de los aacutengulos fundamentales el paralelepiacutepedo tiene forma cualquiera triplemente inclinado (por ello se denomina tricliacutenico) Se trata de una red primitiva

Redes monocliacutenicas (abc α=γ=90ordmszlig )

La celda es un paralelepiacutepedo no recto de base rectangular (formados por redes planas rectangulares)

- Red monocliacutenica primitiva P

- Red monocliacutenica de base centrada

La operacioacuten de centrado de redes permite la generacioacuten de este otro tipo de red Si se centra la red plana rectangular (100) su siacutembolo es A y si se centra la (001) es C Morfoloacutegicamente estas redes soacutelo se diferencian en su orientacioacuten por tanto las redes monocliacutenicas de base centrada A y C son equivalentes

Redes roacutembicas (abc α=szlig=γ=90ordm)

- Red roacutembica primitiva P

El paralelepiacutepedo fundamental es un prisma recto de base rectangular Los tres planos fundamentales (100) (010) y (001) maacutes los planos diagonales del prisma son redes planas rectangulares

- Redes roacutembicas centradas

La operacioacuten de centrado de redes permite la generacioacuten de estos otros tipos de red Si se centran las redes planas rectangulares (100) (010) y (001) sus siacutembolos son respectivamente A B y C

Morfoloacutegicamente estas redes son iguales y se denominan red roacutembica de base centrada simbolizada por C Cuando la operacioacuten de centrado es sobre las tres caras a la vez la red se denomina red roacutembica de caras centradas y se simboliza por F Si el centrado se produce en los planos diagonales del prisma la red resultante se denomina red roacutembica centrada en el interior de siacutembolo I

Redes tetragonales (a=bc α=szlig=γ=90ordm)

- Red tetragonal P

La celda fundamental es un prisma recto de base cuadrada La familia de planos (001) son de red plana cuadrada mientras que (100) y (010) son rectangulares e ideacutenticos entre siacute

- Red tetragonal centrada I

Al ser iguales por simetriacutea los planos (100) y (010) no pueden centrarse independientemente y a su vez no pueden hacerlo simultaacuteneamente porque ello destruye la homogeneidad de los planos de la misma familia

Sin embargo los planos diagonales que son tambieacuten redes rectangulares pueden centrarse dando origen a la red tetragonal centrada en el interior I

Red hexagonal P (a=bc α=szlig=90ordm γ=120ordm 60ordm)

El paralelepiacutepedo fundamental es un prisma recto de base roacutembica (de aacutengulo de 60ordm) Para visualizar la forma hexagonal se toma una celda muacuteltiple integrada por tres de estas celdillas roacutembicas

Esta red hexagonal permite un apilamiento especial de los planos hexagonales Seguacuten eacuteste los nudos se proyectan a 13 o a 23 de la diagonal mayor del rombo dando como resultado una red romboeacutedrica R de (a=b=c α=szlig=γ90ordm)

Redes cuacutebicas (a=b=c α=szlig=γ=90ordm)

- Red cuacutebica primitiva P

El paralelepiacutepedo fundamental es un cubo

- Redes cuacutebicas centradas

El centrado de las caras del cubo no debiera ser posible puesto que son redes planas cuadradas Las redes cuacutebicas centradas se originan cuando el aacutengulo del romboedro se hace igual a 60ordm y las tres diagonales del romboedro se hacen iguales entre siacute definiendo las aristas de un cubo que circunscribe al romboedro Asiacute la distribucioacuten de nudos es la correspondiente a un cubo de caras centradas originando la red cuacutebica de caras centradas F

De forma similar cuando el aacutengulo entre las aristas del romboedro es de 109ordm 28acute 16acuteacute las diagonales de sus tres caras fundamentales son perpendicuales entre si e iguales en magnitud y definen un cubo inscrito en el romboedro La distribucioacuten de nudos corresponde a una red cuacutebica centrada en el interior I

(Las redes cuacutebicas no soacutelo son casos especiales de redes romboeacutedricas sino que tambieacuten lo son de redes tetragonales)

13- SIMETRIacuteA La porcioacuten miacutenima del espacio cristalino que contiene en siacute misma toda la simetriacutea de la red cristalina es la celda unidad El medio cristalino por ser perioacutedico es un medio simeacutetrico y todas sus propiedades derivan de este hecho

Entendiendo por simetriacutea aquella transformacioacuten que al aplicarse a un objeto hace que eacuteste conserve todas sus dimensiones y lo deje en una posicioacuten indistinguible de su posicioacuten original la operacioacuten de simetriacutea maacutes sencilla que existe por definicioacuten en el medio cristalino es la simple traslacioacuten entre un motivo y otro

- Elementos de simetriacuteaEl lugar geomeacutetrico que ayuda a la visualizacioacuten de la simetriacutea de una distribucioacuten ordenada recibe el nombre de elemento de simetriacutea Los elementos de simetriacutea puntual (la operacioacuten de simetriacutea deja un punto particular del diagrama inmoacutevil) sin traslacioacuten son el plano de simetriacutea el eje de rotacioacuten y el centro de simetriacutea o centro de inversioacuten

El plano de simetriacutea m o de reflexioacuten refleja partes o todos ideacutenticos del objeto a traveacutes de un plano

El eje de rotacioacuten origina una rotacioacuten al objeto de 360ordmn alrededor del eje (de derecha a izquierda)

eje monario n=1 (360ordm1=360ordm)

eje binario (perpendicular al plano) (paralelo al plano)

n=2 (360ordm2=180ordm)

eje ternario n=3 (360ordm3=120ordm)

eje cuaternario n=4 (360ordm4=90ordm)

eje senario n=6 (360ordm6=60ordm)

(La restriccioacuten cristalograacutefica limita los giros permisibles a estos cinco para que su orden sea compatible con la existencia de redes)

Las combinaciones de ambos elementos de simetriacutea originan los ejes de rotacioacuten impropios

- eje de rotorreflexioacuten rotacioacuten de 360ordmn seguida por reflexioacuten en un plano perpendicular al eje

- eje de rotoinversioacuten rotacioacuten de 360ordmn seguida por inversioacuten a traveacutes de un punto en el eje

orden 1 orden 3 orden 4 orden 6

Nota Los ejes de rotoinversioacuten se representan por el orden del eje (2 3 4 o 6) con el siacutembolo negativo encima de ellos En esta Web ese siacutembolo se identifica tambieacuten por el signo negativo bien delante o inferior al nuacutemero de orden del eje

(el esquema superior representa una rotoreflexioacuten de orden 4 y el inferior una rotoinversioacuten del mismo orden)

Por su parte el centro de simetriacutea i o centro de inversioacuten es un elemento de simetriacutea puntual que invierte el objeto a traveacutes de una liacutenea recta

- Combinacioacuten de elementos de simetriacuteaLa combinacioacuten de elementos de simetriacutea no se produce al azar estaacute regida por una serie de normas y limitaciones que son

- Los elementos que se combinan guardan unas relaciones angulares caracteriacutesticas

- La combinacioacuten de algunos elementos de simetriacutea genera directamente la presencia de otros

Eje de orden par + centro de simetriacutea ------- plano de simetriacutea perpendicular al eje

Eje de orden n contenido en un plano de simetriacutea -------- n-1 planos de simetriacutea que intersectan en el eje

Dos ejes que se cortan --------- un tercer eje que pasa por el punto de corte

(entre propios e impropios soacutelo es posible un propio y dos impropios)

Eje de orden n + eje binario perpendicular -------- n-1 ejes binarios tambieacuten normales a eacutel

Eje de inversioacuten de orden n(impar) + eje binario perpendicular -------- n ejes binarios y planos de simetriacutea

Eje de inversioacuten de orden n(par) + eje binario perpendicular -------- n2 ejes binarios y planos de simetriacutea

-Los ejes de inversioacuten realizan una operacioacuten de simetriacutea equivalente a la de dos elementos de simetriacutea (excepto el de orden 4)

3 = 3 + i

Eje de rotoinversioacuten de orden impar = eje propio del mismo orden + centro de simetriacutea

(6 = 3 + m)

Eje de rotoinversioacuten de orden par = eje propio de mitad de orden + un plano de simetriacutea perpendicular a eacutel

- Las 32 clases de simetriacuteaEs faacutecil prever que en el medio cristalino los elementos de simetriacutea se combinan entre siacute hasta engendrar los modelos cristalinos regulares que se combinan de treinta y dos maneras distintas y dan lugar a las treinta y dos posibles clases cristalinas o grupos puntuales (la operacioacuten de simetriacutea deja un punto particular del diagrama inmoacutevil) existentes

Estas treinta y dos clases cristalinas se han obtenido mediante las siguientes combinaciones de elementos de simetriacutea

Siacutembolo Combinacioacuten de simetriacutea Elementos de simetriacutea

1 Eje monario (giro de 360ordm)

2 Eje binario (giro de 180ordm)

3 Eje ternario (giro de 120ordm)

4 Eje cuaternario (giro de 90ordm)

6 Eje senario (giro de 60ordm)

1 Eje monario de inversioacuten (giro de 360ordm+inversioacuten) = centro de inversioacuten (2=i)

2 Eje binario de inversioacuten (giro de 180ordm+inversioacuten) = plano de simetriacutea (2=m)

3 Eje ternario de inversioacuten (giro de 120ordm+inversioacuten)

T4 TEje cuaternario de inversioacuten (giro de 90ordm+inversioacuten)

6

Clases con un soacutelo elemento de simetriacutea

Eje senario de inversioacuten (giro de 60ordm+inversioacuten) = eje ternario + plano de simetriacutea perpendicular

(6=3m)

222 Tres ejes binarios en planos perpendiculares entre siacute

32 Un eje ternario + tres ejes binarios en planos perpendiculares

422 Un eje cuaternario + dos ejes binarios en planos perpendiculares

622 Un eje senario + tres ejes binarios a 120ordm (plano perpendicular al senario)

23 Cuatro ejes ternarios + Tres ejes binarios

432

Clases con combinacioacuten de ejes

Tres ejes cuaternarios + cuatro ejes ternarios + seis ejes binarios

2m Clases con un eje de Eje binario + plano de simetriacutea perpendicular a eacutel

4m Eje cuaternario + plano de simetriacutea perpendicular a eacutel

6m

orden par + un centro de simetriacutea

(Eje de orden par + centro de simetriacutea=plano de

simetriacutea perpendicular al eje)

Eje senario + plano de simetriacutea perpendicular a eacutel

2mm Eje binario + dos planos de simetriacutea que se cortan en eacutel

3m Eje ternario + tres planos de simetriacutea que se cortan en eacutel

4mm Eje cuaternario + cuatro planos de simetriacutea que se cortan en eacutel

6mm

Clases con un eje + un plano de simetriacutea que

contenga al eje

Eje senario + seis planos de simetriacutea que se cortan en eacutel

42m Eje cuaternario de inversioacuten + dos ejes binarios + dos planos de simetriacutea

43m Tres ejes cuaternarios de inversioacuten + cuatro ejes ternarios + seis planos de simetriacutea

62m

Clases con un eje + dos ejes impropios

Eje senario de inversioacuten (=eje ternario + plano de simetriacutea perpendicular) + tres ejes binarios + tres

planos de simetriacutea

2m2m2m

(mmm)

Tres ejes binarios + tres planos de simetriacutea perpendiculares

32m

(3m)

Un eje ternario + tres ejes binarios + tres planos de simetriacutea perpendiculares + un centro de simetriacutea

4m2m2m

(4mmm)

Un eje cuaternario + un plano de simetriacutea perpendicular + cuatro ejes binarios + cuatro

planos de simetriacutea perpendiculares + centro de simetriacutea

6m2m2m

(6mmm)

Un eje senario + un plano de simetriacutea perpendicular + seis ejes binarios + seis planos de simetriacutea perpendiculares + un centro de simetriacutea

2m3

(m3)

Cuatro ejes ternarios + tres ejes binarios + tres planos de simetriacutea perpendiculares + un centro de

simetriacutea

4m32m

(m3m)

TClases con tres ejes + un centro de

simetriacutea

Tres ejes cuaternarios + tres planos de simetriacutea perpendiculares + cuatro ejes ternarios + seis ejes binarios + seis planos de simetriacutea perpendiculares

+ un centro de simetriacutea

La distribucioacuten sistema cristalino-Redes de Bravais-Grupos puntuales o clases de simetriacutea es la siguiente

Red de Bravais Sistema Grupo puntual

Red Tricliacutenica primitiva P Tricliacutenico 1 1Red monocliacutenica primitiva PRed monocliacutenica centrada en las caras C

Monocliacutenico 2 m 2m

Red roacutembica primitiva PRed roacutembica centrada en las bases CRed roacutembica centrada en el interior IRed roacutembica centrada en las caras F

Roacutembico 222 mm2 mmm

Red tetragonal primitiva P

Red tetragonal centrada en el interior CTetragonal

4 4 4m 4mm 422

42m 4mmm

Red hexagonal primitiva P Hexagonal6 6 6m 6mm 622

62m 6mmm

Red romboeacutedrica primitiva P Romboeacutedrico o Trigonal

3 3 3m 32 3m

Red cuacutebica primitiva PRed cuacutebica centrada en el interior IRed cuacutebica centrada en las caras F

Cuacutebico o Isomeacutetrico23 m3

43m 432 m3m

- Simetriacutea y redes de BravaisLa presencia de elementos de simetriacutea en la red cristalina condiciona a su vez la existencia de ciertas relaciones meacutetricas entre los elementos de la celda elemental las relaciones angulares entre los ejes del cristal o ejes cristalograacuteficos y las intersecciones sobre estos ejes de la cara fundamental (111) Las dimensiones de estas intersecciones son proporcionales a las traslaciones en las tres dimensiones de la red

Por esta razoacuten se han agrupado las redes de Bravais en siete grandes grupos redes tricliacutenicas redes monocliacutenicas redes roacutembicas redes tetragonales redes hexagonales redes romboeacutedricas y redes cuacutebicas Cada uno de estos grupos de redes corresponde a un sistema cuyo nombre es ideacutentico al de las redes correspondientes y posee unas constantes reticulares fijas y una miacutenima simetriacutea caracteriacutestica

Red de Bravais SistemaRed Tricliacutenica primitiva P TricliacutenicoRed monocliacutenica primitiva PRed monocliacutenica centrada en las caras C

Monocliacutenico

Red roacutembica primitiva PRed roacutembica centrada en las bases CRed roacutembica centrada en el interior IRed roacutembica centrada en las caras F

Roacutembico

Red tetragonal primitiva PRed tetragonal centrada en el interior C

Tetragonal

Red hexagonal primitiva P HexagonalRed romboeacutedrica primitiva P Romboeacutedrico o Trigonal Red cuacutebica primitiva PRed cuacutebica centrada en el interior IRed cuacutebica centrada en las caras F

Cuacutebico o Isomeacutetrico

Las constantes reticulares y la miacutenima simetriacutea que caracteriza a cada grupo de redes o sistema cristalino es la siguiente

- Sistema tricliacutenico (abc αszligγ90ordm)

No posee ninguna simetriacutea miacutenima

- Sistema monocliacutenico (abc α=γ=90ordmszliggt90ordm)

Presenta como simetriacutea miacutenima un eje de rotacioacuten binario o un eje de inversioacuten binario (=plano de simetriacutea)

- Sistema roacutembico (abc α=szlig=γ=90ordm)

Como miacutenimo posee tres ejes binarios perpendiculares entre siacute

- Sistema tetragonal (a=bc α=szlig=γ=90ordm)

Posee como caracteriacutestica fundamental un eje de rotacioacuten cuaternario o un eje de inversioacuten cuaternario

- Sistema hexagonal (a=bc α=szlig=90ordm γ=120ordm)

Su caracteriacutestica fundamental es la presencia de un eje de rotacioacuten senario o un eje de inversioacuten senario (eje ternario + plano de simetriacutea perpendicular)

Para mayor precisioacuten generalmente se introduce un cuarto eje i coplanario con a y b que forma un aacutengulo de 120ordm con cada uno de ellos asiacute la cruz axial seraacute (a=b=ic α=szlig=90ordm γ=120ordm)

Iacutendices de Miller hexagonales Como se trabaja con un cuarto iacutendice que se situacutea en el plano a1 a2 y a 120ordm de cada uno de estos ejes los planos hexagonales se van a representar por cuatro iacutendices (hkil) El valor de i se determina como h+k

- Sistema romboeacutedrico o trigonal (a=b=c α=szlig=γ90ordm)

Su caracteriacutestica comuacuten es la presencia de un eje de rotacioacuten ternario o un eje de inversioacuten ternario (eje ternario + centro de simetriacutea)

- Sistema cuacutebico (a=b=c α=szlig=γ=90ordm)

Posee como caracteriacutestica fundamental cuatro ejes de rotacioacuten ternarios inclinados a 10947ordm

NOTA Ademaacutes de las constantes reticulares para definir un sistema cristalino puede utilizarse la relacioacuten parameacutetrica siendo eacutesta la relacioacuten existente entre los moacutedulos de a y c respecto al moacutedulo de b

ab 1 cb

Normalmente se toman estos valores y los aacutengulos para definir la red

14- SIMETRIacuteA CON TRASLACIOacuteN - Elementos de simetriacutea con traslacioacutenLa red cristalina soacutelo tiene sentido como indicadora de la periodicidad que se presenta en el cristal como consecuencia de la repeticioacuten del motivo Debido a ello la simetriacutea que revela por siacute la red no tiene que ser necesariamente la que posea el cristal aunque en general lo sea

Ejemplo La coesita (variedad de la siacutelice de alta presioacuten) tiene una red cuya meacutetrica es roacutembica mientras que la estructura es monocliacutenica ya que el motivo carece de ciertos elementos de simetriacutea que la meacutetrica de la red indicaban

Es faacutecil comprender que debido a que la red es solamente la consecuencia de unas fuerzas cohesivas entre los aacutetomos que forman el cristal fuerzas que obligan a una repeticioacuten monoacutetona de las agrupaciones atoacutemicas la simetriacutea de la red debe estar iacutentimamente relacionada con la del cristal entendido como agrupacioacuten repetitiva de aacutetomos

La red nos proporciona por tanto la simetriacutea maacutexima que el cristal puede tener pero dicha simetriacutea depende de la simetriacutea propia del motivo La complejidad que el motivo cristalino aacutetomos iones y moleacuteculas aporta a la red cristalina hace que los elementos de simetriacutea del medio cristalino se ampliacuteen Aparece la traslacioacuten que tiene dimensiones submicroscoacutepicas no accesibles a la morfologiacutea macroscoacutepica

Los operadores de simetriacutea que completan la tarea de rellenar el espacio cristalino se consideran cada uno de ellos como una sola y nueva operacioacuten de simetriacutea Estos son los planos de deslizamiento que implican la reflexioacuten asociada a una traslacioacuten y los ejes helicoidales que implican a su vez giro y traslacioacuten

- Plano de deslizamiento

El plano de deslizamiento realiza simultaacuteneamente dos operaciones refleja la imagen o traslada la imagen a intervalos de media traslacioacuten

Cuando la semitraslacioacuten asociada al plano de deslizamiento corresponde a alguna de las direcciones fundamentales del cristal el plano se denomina a b c respectivamente

Cuando la semitraslacioacuten corresponde a la diagonal del plano reflector es decir el plano de deslizamiento se situacutea paralelo a la diagonal entre las filas definidas por a b y c el plano se simboliza por n y las componentes de su traslacioacuten son

a2 + b2 b2 + c2 c2 + a2 y a2 + b2 + c2

Los planos d (aparece en la estructura del diamante) se tratan tambieacuten de planos diagonales Presentan como componentes de traslacioacuten cuartos de la fundamental es decir

a4 plusmn b4 b4 plusmn c4 c4 plusmn a4 y a4 plusmn b4 plusmn c4

El siguiente cuadro sintetiza la notacioacuten y simetriacutea de los planos en los grupos espaciales

Siacutembolo Siacutembolo graacutefico Orientacioacuten y Traslacioacuten

m

perpendicular al papel

paralelo al papel

(100) o (010) ninguna traslacioacuten

(001) ninguna traslacioacuten

a

perpendicular al papel

paralelo al papel

(010) traslacioacuten a2

(001) traslacioacuten a2

b

perpendicular al papel

paralelo al papel

(100) traslacioacuten b2

(001) traslacioacuten b2

c perpendicular al papel

(100) 0 (010) traslacioacuten c2

n

______ perpendicular al papel

paralelo al papel

traslacioacuten (b+c)2 en (100) traslacioacuten (c+a)2 en (010)

traslacioacuten (a+b)2 en (001) traslacioacuten (a+b+c)2 en (110) en sistemas tetragonal o cuacutebico

d

perpendicular al papel

paralelo al papel

traslacioacuten (b+c)4 en (100) traslacioacuten (c+a)4 en (010)

traslacioacuten (a+b)4 en (001) traslacioacuten (a+b+c)4 en (110) en sistemas tetragonal o cuacutebico

- Eje helicoidal

Un eje helicoidal implica similarmente una operacioacuten doble

Un giro el permisible para su orden

Una traslacioacuten constante a lo largo del eje

Como sabemos el orden del eje es el nuacutemero de repeticiones que se necesitan para lograr la identidad implicando una serie de giros sucesivos hasta haber completado su operacioacuten de simetriacutea total

En un eje helicoidal cada uno de estos giros parciales debe asociarse a una parte aliacutecuota de la traslacioacuten total t paralela a la direccioacuten del eje La identidad se logra en la operacioacuten giro cuando se ha aplicado tantas veces el giro permisible como indica el orden del eje

Haciendo el periodo de identidad t coincidente con el giro completo del eje se obtienen los siguientes ejes helicoidales

Siacutembolo Siacutembolo graacutefico Denominacioacuten Giro Traslacioacuten

21 Eje binario helicoidal 180ordm t2

31 Eje ternario helicoidal

derecho120ordm

dextroacutegiro t3

32 Eje ternario helicoidal

izquierdo 120ordm levoacutegiro t3

41 Eje cuaternario helicoidal

derecho90ordm

dextroacutegiro t4

43 Eje cuaternario helicoidal

izquierdo 90ordm levoacutegiro t4

61 Eje senario helicoidal

derecho 60ordmdextroacutegiro t6

65 Eje senario helicoidal

izquierdo 60ordm levoacutegiro t6

Tambieacuten se pueden deducir los ejes helicoidales haciendo que la identidad se alcance para Nn giros siendo N el orden del eje y n un divisor entero de N

N (orden

del eje)

n (divisor entero de N)

Nn (giros)

Siacutembolo Siacutembolo graacutefico Denominacioacuten Giro Traslacioacuten

4 T2 2 42 Eje cuaternario-binario helicoidal 90ordm t2

6 3 2 63

Eje senario-ternario

helicoidal60ordm t2

6 2 3 62

Eje senario-binario helicoidal

derecho

60ordm dextroacutegiro t3

6 2 3 64

Eje senario-binario helicoidal

izquierdo

60ordm levoacutegiro t3

- Los 17 grupos planos En la deduccioacuten de los grupos planos hay que tener en cuenta que es el motivo contenido de la celda definida por unas traslaciones dadas el que muestra la existencia de los elementos de simetriacutea Es decir que las partes del motivo estaacuten relacionadas entre siacute por dichos elementos de simetriacutea (que puede ser simetriacutea con traslacioacuten) que la suma de estas partes constituye la celda y que las celdas implican una meacutetrica dada es decir tiene una forma y unas dimensiones que condicionan una simetriacutea maacutexima

En los grupos planos los haces de elementos de simetriacutea son perpendiculares al plano que se asocia a un tipo de red plana El nuacutemero de estos grupos planos es de 17

- Grupos planos con red oblicua

La simetriacutea maacutexima que permite una red obiacutecua es un haz de ejes binarios Existiraacuten por tanto dos posibilidades

Grupo plano p1 p como indicativo de primitivo y 1 como indicativo de no simetriacutea El dominio complejo coincide con el motivo y por tanto su multiplicidad es 1

Grupo plano p2 p como indicativo de primitivo y 2 como indicativo de eje binario de simetriacutea La multiplicidad del dominio complejo es 2 ya que la simetriacutea genera duplicidad del motivo

- Grupos planos con red rectangular

La simetriacutea maacutexima que permite una red rectangular es dos haces de planos de simetriacutea y un haz de ejes binarios Existiraacuten por tanto diferentes combinaciones

Grupo plano pm p como indicativo de primitivo y m como indicativo del plano de simetriacutea La multiplicidad del dominio complejo es 2 ya que la simetriacutea genera duplicidad del motivo

Grupo plano pg p como indicativo de primitivo y g como indicativo del plano de deslizamiento La multiplicidad del dominio complejo es 2 ya que la simetriacutea genera duplicidad del motivo

Grupo plano pmm (p2mm) p como indicativo de primitivo y dos m como indicativo de planos de simetriacutea mutuamente perpendiculares Los planos de simetriacutea llevan impliacutecitos la aparcicioacuten de ejes binarios La multiplicidad del dominio complejo es 4

Grupo plano pmg (p2mg) p como indicativo de primitivo y planos perpendiculares de tipo distinto (m ordinarios y g de deslizamiento) Esto hace que los ejes de simetriacutea no se encuentren en la interseccioacuten sino desplazados a lo largo del plano de deslizamiento a mitad de la componente desplazamiento El origen de la celda se toma sobre un eje binario La multiplicidad del dominio complejo es 4

Grupo plano pgg(p2gg) p como indicativo de primitivo y dos g de planos perpendiculares de deslizamiento Esto hace que los ejes de simetriacutea no se encuentren en la interseccioacuten sino desplazados a lo largo de cada plano de deslizamiento a mitad de la componente deslizamiento El origen de la celda se toma sobre un eje binario La multiplicidad del dominio complejo es 4

- Grupos planos con red roacutembica o rectangular centrada

Grupo plano cm c como indicativo de la operacioacuten de centrado y m como indicativo del plano de simetriacutea La operacioacuten de centrado lleva impliacutecita la existencia de un plano de deslizamiento La multiplicidad del dominio complejo es 4

Grupo plano cmm (c2mm) c como indicativo de centrado y dos m como indicativo de planos de simetriacutea mutuamente perpendiculares La operacioacuten de centrado lleva impliacutecita la existencia de planos de deslizamiento La multiplicidad del dominio complejo es 4 Los planos de simetriacutea ordinarios y de deslizamiento llevan impliacutecitos la aparcicioacuten de ejes binarios en las intersecciones del mismo tipo de planos no de distintos La multiplicidad del dominio complejo es 8

- Grupos planos con red cuadrada

La simetriacutea maacutexima que permite una red cuadrada es un haz de ejes cuaternarios y sus planos de simetriacutea contenidos en ellos En todos los casos se toma un eje cuaternario como origen de

la celda apareciendo otro eje cuaternario en el centro de la celda Existiraacuten por tanto diferentes combinaciones

Grupo plano p4 p como indicativo de primitivo y 4 como indicativo de eje cuaternario de simetriacutea Los ejes cuaternarios generan la aparcicioacuten de ejes binarios intercalados entre los cuaternarios La multiplicidad del dominio complejo es 4

Grupo plano p4mm p como indicativo de primitivo 4 como indicativo de eje cuaternario de simetriacutea y m como los planos de simetriacutea que contienen a dichos ejes Los ejes cuaternarios generan la aparcicioacuten de ejes binarios intercalados entre los cuaternarios y toda la simetriacutea genera planos de deslizamiento paralelos a las diagonales de la celda La multiplicidad del dominio complejo es 8

Grupo plano p4gm p como indicativo de primitivo 4 como indicativo de eje cuaternario de simetriacutea g como planos de deslizamiento y m como los planos de simetriacutea La multiplicidad del dominio complejo es 8

- Grupos planos con red hexagonal

La simetriacutea maacutexima que permite una red hexagonal es un haz de ejes senarios o ternarios y los planos de simetriacutea que contienen a dichos ejes Existiraacuten por tanto diferentes combinaciones

Grupo plano p3 p como indicativo de primitivo y 3 como indicativo de eje ternario de simetriacutea Los ejes ternarios generan la aparcicioacuten de otros ternarios en el centro de los dos triaacutengulos equilaacuteteros que conforman la celda La multiplicidad del dominio complejo es 3

Grupo plano p3m1 p como indicativo de primitivo 3 como indicativo de eje ternario de simetriacutea y m como plano de simetriacutea en la diagonal mayor del rombo Se genera alternancia de planos de deslizamiento La multiplicidad del dominio complejo es 6

Grupo plano p31m p como indicativo de primitivo 3 como indicativo de eje ternario de simetriacutea y m como plano de simetriacutea en la diagonal menor del rombo Se genera alternancia de planos de deslizamiento La multiplicidad del dominio complejo es 6

Grupo plano p6 p como indicativo de primitivo y 6 como indicativo de eje senario de simetriacutea Se generan ejes ternarios en los centros de los triaacutengulos equilaacuteteros conformadores y ejes binarios en los centros de los lados de dichos triaacutengulos La multiplicidad del dominio complejo es de 6

Grupo plano p6mm p como indicativo de primitivo 6 como indicativo de eje senario de simetriacutea y m de los planos de simetriacutea que los contienen Se generan ejes ternarios en los centros de los triaacutengulos equilaacuteteros conformadores ejes binarios en los centros de los lados de dichos triaacutengulos y planos de deslizamiento alternantes La multiplicidad del dominio complejo es de 12

La tabla que relaciona los grupos puntuales y los grupos planos pone de manifiesto que no todas las combinaciones conducen a nuevos o diferentes grupos puntuales La interaccioacuten de la simetriacutea del motivo con la simetriacutea de las diversas redes planas afecta al contenido de simetriacutea resultante del modelo planar El modelo final muestra la simetriacutea de la red cuando los elementos de simetriacutea del motivo estaacuten alineados con los elementos de simetriacutea correspondiente de la red Si el motivo tiene menos simetriacutea que la red el modelo expresaraacute el menor grado de simetriacutea del motivo con los elementos de simetriacutea de eacuteste alineados con los correspondientes elementos de simetriacutea de la red

Red Grupo puntual Grupo plano

1 p1 Obliacutecua

2 p2 m pm pg

Rectangular mm pmm pmg pgg m cm

Roacutembica mm cmm

4 p4

Cuadrada

4mm p4mm p4gm

3 p3 3m p3m p31m 6 p6

Hexagonal

6mm p6mm

- Grupos espaciales Los grupos espaciales representan las diversas formas en que los motivos pueden distribuirse en el espacio en una estructura homogeacutenea

Los grupos espaciales surgen de la combinacioacuten de los 14 tipos posibles de redes espaciales (redes de Bravais) con la simetriacutea propia de las 32 clases cristalinas o grupos puntuales maacutes la simetriacutea con traslacioacuten

Las caracteriacutesticas de la red se expresan con las letras P A B C F I R de las redes de Bravais que designan el tipo de red general A continuacioacuten se describen en el siacutembolo los elementos de simetriacutea

Ejemplos

P4m2m2m oacute p4mmm

4m2m2m oacute 4mmm Grupo de simetriacutea 4mmm

P Red tetragonal sencilla

P42n2n2m oacute P42nnm

42nnm Grupo isogonal con el 4mmm donde los ejes de rotacioacuten cuaternaria del grupo puntual aparecen como ejes de rotoinversioacuten cuaternaria y helicoidal cuaternario paralelos y alternativos Existen planos de deslizamiento n y de simetriacutea m asiacute como ejes de rotacioacuten binaria con helicoidales binarios intercalados

P Red tetragonal sencilla

Al igual que ocurriacutea en los grupos planos en los grupos espaciales con redes no primitivas la operacioacuten de centrado introduce la simetriacutea con traslacioacuten y sin embargo estos nuevos elementos no se aprecian en los siacutembolos Por ejemplo

C2m

2m Grupo de simetriacutea 2m Sin embargo aparecen debido al centrado ejes helicoidales binarios intercalados con los binarios y planos de deslizamiento intercalados con los planos de simetriacutea

C Red roacutembica centrada de tipo C

Los 230 grupos espaciales vienen descritos en las International Tables for X-ray Crystallography clasificadas seguacuten los grupos puntuales y los sistemas cristalinos

Una composicioacuten de la informacioacuten contenida en estas Tablas se muestra a continuacioacuten para el grupo espacial Cmm2 en el que la C significa una red centrada en las caras separadas por el eje c la primera m representa un plano de simetriacutea perpendicular al eje a la segunda m

representa un plano de simetriacutea perpendicular al eje b y el 2 se refiere al eje binario paralelo al eje c

  • EL ESTADO CRISTALINO
Page 11: Cristalografia Estructural

Red roacutembica (a=b γ ne 90ordm 60ordm 120ordm)

Red hexagonal (a=b γ =60ordm 120ordm)

Red cuadrada (a=b γ =90ordm)

Las redes planas forman por apilamiento homogeacuteneo los distintos tipos de redes espaciales es decir las distintas familias de planos cristalinos que integran el cristal La manera como estos planos se apilan determina los aacutengulos entre las traslaciones fundamentales en las tres dimensiones que es lo que define a su vez la forma y dimensiones del paralelepiacutepedo o celda unidad que caracteriza la red cristalina

- Redes de BravaisDe la superposicioacuten de planos se generan catorce celdas morfoloacutegicamente distintas que se conocen como las Redes de Bravais en honor de su descubridor

En teacuterminos de redes cristalinas tridimensionales los paralelepiacutepedos fundamentales morfoloacutegicamente distintos son el resultado de combinar las tres traslaciones fundamentales de valores dados con sus inclinaciones respectivas es decir con los tres aacutengulos α szlig y γ

Su construccioacuten se realiza apilando paralelamente una sucesioacuten infinita de modelos planos ideacutenticos de manera que la distancia entre ellos sea siempre igual (familia de planos) Mientras que en el plano se deduciacutean cinco tipos de redes en el espacio tridimensional se reconocen hasta catorce distribuciones perioacutedicas

Red tricliacutenica (abc αszligγ90ordm)

Debido a los valores distintos entre siacute de las traslaciones y de los aacutengulos fundamentales el paralelepiacutepedo tiene forma cualquiera triplemente inclinado (por ello se denomina tricliacutenico) Se trata de una red primitiva

Redes monocliacutenicas (abc α=γ=90ordmszlig )

La celda es un paralelepiacutepedo no recto de base rectangular (formados por redes planas rectangulares)

- Red monocliacutenica primitiva P

- Red monocliacutenica de base centrada

La operacioacuten de centrado de redes permite la generacioacuten de este otro tipo de red Si se centra la red plana rectangular (100) su siacutembolo es A y si se centra la (001) es C Morfoloacutegicamente estas redes soacutelo se diferencian en su orientacioacuten por tanto las redes monocliacutenicas de base centrada A y C son equivalentes

Redes roacutembicas (abc α=szlig=γ=90ordm)

- Red roacutembica primitiva P

El paralelepiacutepedo fundamental es un prisma recto de base rectangular Los tres planos fundamentales (100) (010) y (001) maacutes los planos diagonales del prisma son redes planas rectangulares

- Redes roacutembicas centradas

La operacioacuten de centrado de redes permite la generacioacuten de estos otros tipos de red Si se centran las redes planas rectangulares (100) (010) y (001) sus siacutembolos son respectivamente A B y C

Morfoloacutegicamente estas redes son iguales y se denominan red roacutembica de base centrada simbolizada por C Cuando la operacioacuten de centrado es sobre las tres caras a la vez la red se denomina red roacutembica de caras centradas y se simboliza por F Si el centrado se produce en los planos diagonales del prisma la red resultante se denomina red roacutembica centrada en el interior de siacutembolo I

Redes tetragonales (a=bc α=szlig=γ=90ordm)

- Red tetragonal P

La celda fundamental es un prisma recto de base cuadrada La familia de planos (001) son de red plana cuadrada mientras que (100) y (010) son rectangulares e ideacutenticos entre siacute

- Red tetragonal centrada I

Al ser iguales por simetriacutea los planos (100) y (010) no pueden centrarse independientemente y a su vez no pueden hacerlo simultaacuteneamente porque ello destruye la homogeneidad de los planos de la misma familia

Sin embargo los planos diagonales que son tambieacuten redes rectangulares pueden centrarse dando origen a la red tetragonal centrada en el interior I

Red hexagonal P (a=bc α=szlig=90ordm γ=120ordm 60ordm)

El paralelepiacutepedo fundamental es un prisma recto de base roacutembica (de aacutengulo de 60ordm) Para visualizar la forma hexagonal se toma una celda muacuteltiple integrada por tres de estas celdillas roacutembicas

Esta red hexagonal permite un apilamiento especial de los planos hexagonales Seguacuten eacuteste los nudos se proyectan a 13 o a 23 de la diagonal mayor del rombo dando como resultado una red romboeacutedrica R de (a=b=c α=szlig=γ90ordm)

Redes cuacutebicas (a=b=c α=szlig=γ=90ordm)

- Red cuacutebica primitiva P

El paralelepiacutepedo fundamental es un cubo

- Redes cuacutebicas centradas

El centrado de las caras del cubo no debiera ser posible puesto que son redes planas cuadradas Las redes cuacutebicas centradas se originan cuando el aacutengulo del romboedro se hace igual a 60ordm y las tres diagonales del romboedro se hacen iguales entre siacute definiendo las aristas de un cubo que circunscribe al romboedro Asiacute la distribucioacuten de nudos es la correspondiente a un cubo de caras centradas originando la red cuacutebica de caras centradas F

De forma similar cuando el aacutengulo entre las aristas del romboedro es de 109ordm 28acute 16acuteacute las diagonales de sus tres caras fundamentales son perpendicuales entre si e iguales en magnitud y definen un cubo inscrito en el romboedro La distribucioacuten de nudos corresponde a una red cuacutebica centrada en el interior I

(Las redes cuacutebicas no soacutelo son casos especiales de redes romboeacutedricas sino que tambieacuten lo son de redes tetragonales)

13- SIMETRIacuteA La porcioacuten miacutenima del espacio cristalino que contiene en siacute misma toda la simetriacutea de la red cristalina es la celda unidad El medio cristalino por ser perioacutedico es un medio simeacutetrico y todas sus propiedades derivan de este hecho

Entendiendo por simetriacutea aquella transformacioacuten que al aplicarse a un objeto hace que eacuteste conserve todas sus dimensiones y lo deje en una posicioacuten indistinguible de su posicioacuten original la operacioacuten de simetriacutea maacutes sencilla que existe por definicioacuten en el medio cristalino es la simple traslacioacuten entre un motivo y otro

- Elementos de simetriacuteaEl lugar geomeacutetrico que ayuda a la visualizacioacuten de la simetriacutea de una distribucioacuten ordenada recibe el nombre de elemento de simetriacutea Los elementos de simetriacutea puntual (la operacioacuten de simetriacutea deja un punto particular del diagrama inmoacutevil) sin traslacioacuten son el plano de simetriacutea el eje de rotacioacuten y el centro de simetriacutea o centro de inversioacuten

El plano de simetriacutea m o de reflexioacuten refleja partes o todos ideacutenticos del objeto a traveacutes de un plano

El eje de rotacioacuten origina una rotacioacuten al objeto de 360ordmn alrededor del eje (de derecha a izquierda)

eje monario n=1 (360ordm1=360ordm)

eje binario (perpendicular al plano) (paralelo al plano)

n=2 (360ordm2=180ordm)

eje ternario n=3 (360ordm3=120ordm)

eje cuaternario n=4 (360ordm4=90ordm)

eje senario n=6 (360ordm6=60ordm)

(La restriccioacuten cristalograacutefica limita los giros permisibles a estos cinco para que su orden sea compatible con la existencia de redes)

Las combinaciones de ambos elementos de simetriacutea originan los ejes de rotacioacuten impropios

- eje de rotorreflexioacuten rotacioacuten de 360ordmn seguida por reflexioacuten en un plano perpendicular al eje

- eje de rotoinversioacuten rotacioacuten de 360ordmn seguida por inversioacuten a traveacutes de un punto en el eje

orden 1 orden 3 orden 4 orden 6

Nota Los ejes de rotoinversioacuten se representan por el orden del eje (2 3 4 o 6) con el siacutembolo negativo encima de ellos En esta Web ese siacutembolo se identifica tambieacuten por el signo negativo bien delante o inferior al nuacutemero de orden del eje

(el esquema superior representa una rotoreflexioacuten de orden 4 y el inferior una rotoinversioacuten del mismo orden)

Por su parte el centro de simetriacutea i o centro de inversioacuten es un elemento de simetriacutea puntual que invierte el objeto a traveacutes de una liacutenea recta

- Combinacioacuten de elementos de simetriacuteaLa combinacioacuten de elementos de simetriacutea no se produce al azar estaacute regida por una serie de normas y limitaciones que son

- Los elementos que se combinan guardan unas relaciones angulares caracteriacutesticas

- La combinacioacuten de algunos elementos de simetriacutea genera directamente la presencia de otros

Eje de orden par + centro de simetriacutea ------- plano de simetriacutea perpendicular al eje

Eje de orden n contenido en un plano de simetriacutea -------- n-1 planos de simetriacutea que intersectan en el eje

Dos ejes que se cortan --------- un tercer eje que pasa por el punto de corte

(entre propios e impropios soacutelo es posible un propio y dos impropios)

Eje de orden n + eje binario perpendicular -------- n-1 ejes binarios tambieacuten normales a eacutel

Eje de inversioacuten de orden n(impar) + eje binario perpendicular -------- n ejes binarios y planos de simetriacutea

Eje de inversioacuten de orden n(par) + eje binario perpendicular -------- n2 ejes binarios y planos de simetriacutea

-Los ejes de inversioacuten realizan una operacioacuten de simetriacutea equivalente a la de dos elementos de simetriacutea (excepto el de orden 4)

3 = 3 + i

Eje de rotoinversioacuten de orden impar = eje propio del mismo orden + centro de simetriacutea

(6 = 3 + m)

Eje de rotoinversioacuten de orden par = eje propio de mitad de orden + un plano de simetriacutea perpendicular a eacutel

- Las 32 clases de simetriacuteaEs faacutecil prever que en el medio cristalino los elementos de simetriacutea se combinan entre siacute hasta engendrar los modelos cristalinos regulares que se combinan de treinta y dos maneras distintas y dan lugar a las treinta y dos posibles clases cristalinas o grupos puntuales (la operacioacuten de simetriacutea deja un punto particular del diagrama inmoacutevil) existentes

Estas treinta y dos clases cristalinas se han obtenido mediante las siguientes combinaciones de elementos de simetriacutea

Siacutembolo Combinacioacuten de simetriacutea Elementos de simetriacutea

1 Eje monario (giro de 360ordm)

2 Eje binario (giro de 180ordm)

3 Eje ternario (giro de 120ordm)

4 Eje cuaternario (giro de 90ordm)

6 Eje senario (giro de 60ordm)

1 Eje monario de inversioacuten (giro de 360ordm+inversioacuten) = centro de inversioacuten (2=i)

2 Eje binario de inversioacuten (giro de 180ordm+inversioacuten) = plano de simetriacutea (2=m)

3 Eje ternario de inversioacuten (giro de 120ordm+inversioacuten)

T4 TEje cuaternario de inversioacuten (giro de 90ordm+inversioacuten)

6

Clases con un soacutelo elemento de simetriacutea

Eje senario de inversioacuten (giro de 60ordm+inversioacuten) = eje ternario + plano de simetriacutea perpendicular

(6=3m)

222 Tres ejes binarios en planos perpendiculares entre siacute

32 Un eje ternario + tres ejes binarios en planos perpendiculares

422 Un eje cuaternario + dos ejes binarios en planos perpendiculares

622 Un eje senario + tres ejes binarios a 120ordm (plano perpendicular al senario)

23 Cuatro ejes ternarios + Tres ejes binarios

432

Clases con combinacioacuten de ejes

Tres ejes cuaternarios + cuatro ejes ternarios + seis ejes binarios

2m Clases con un eje de Eje binario + plano de simetriacutea perpendicular a eacutel

4m Eje cuaternario + plano de simetriacutea perpendicular a eacutel

6m

orden par + un centro de simetriacutea

(Eje de orden par + centro de simetriacutea=plano de

simetriacutea perpendicular al eje)

Eje senario + plano de simetriacutea perpendicular a eacutel

2mm Eje binario + dos planos de simetriacutea que se cortan en eacutel

3m Eje ternario + tres planos de simetriacutea que se cortan en eacutel

4mm Eje cuaternario + cuatro planos de simetriacutea que se cortan en eacutel

6mm

Clases con un eje + un plano de simetriacutea que

contenga al eje

Eje senario + seis planos de simetriacutea que se cortan en eacutel

42m Eje cuaternario de inversioacuten + dos ejes binarios + dos planos de simetriacutea

43m Tres ejes cuaternarios de inversioacuten + cuatro ejes ternarios + seis planos de simetriacutea

62m

Clases con un eje + dos ejes impropios

Eje senario de inversioacuten (=eje ternario + plano de simetriacutea perpendicular) + tres ejes binarios + tres

planos de simetriacutea

2m2m2m

(mmm)

Tres ejes binarios + tres planos de simetriacutea perpendiculares

32m

(3m)

Un eje ternario + tres ejes binarios + tres planos de simetriacutea perpendiculares + un centro de simetriacutea

4m2m2m

(4mmm)

Un eje cuaternario + un plano de simetriacutea perpendicular + cuatro ejes binarios + cuatro

planos de simetriacutea perpendiculares + centro de simetriacutea

6m2m2m

(6mmm)

Un eje senario + un plano de simetriacutea perpendicular + seis ejes binarios + seis planos de simetriacutea perpendiculares + un centro de simetriacutea

2m3

(m3)

Cuatro ejes ternarios + tres ejes binarios + tres planos de simetriacutea perpendiculares + un centro de

simetriacutea

4m32m

(m3m)

TClases con tres ejes + un centro de

simetriacutea

Tres ejes cuaternarios + tres planos de simetriacutea perpendiculares + cuatro ejes ternarios + seis ejes binarios + seis planos de simetriacutea perpendiculares

+ un centro de simetriacutea

La distribucioacuten sistema cristalino-Redes de Bravais-Grupos puntuales o clases de simetriacutea es la siguiente

Red de Bravais Sistema Grupo puntual

Red Tricliacutenica primitiva P Tricliacutenico 1 1Red monocliacutenica primitiva PRed monocliacutenica centrada en las caras C

Monocliacutenico 2 m 2m

Red roacutembica primitiva PRed roacutembica centrada en las bases CRed roacutembica centrada en el interior IRed roacutembica centrada en las caras F

Roacutembico 222 mm2 mmm

Red tetragonal primitiva P

Red tetragonal centrada en el interior CTetragonal

4 4 4m 4mm 422

42m 4mmm

Red hexagonal primitiva P Hexagonal6 6 6m 6mm 622

62m 6mmm

Red romboeacutedrica primitiva P Romboeacutedrico o Trigonal

3 3 3m 32 3m

Red cuacutebica primitiva PRed cuacutebica centrada en el interior IRed cuacutebica centrada en las caras F

Cuacutebico o Isomeacutetrico23 m3

43m 432 m3m

- Simetriacutea y redes de BravaisLa presencia de elementos de simetriacutea en la red cristalina condiciona a su vez la existencia de ciertas relaciones meacutetricas entre los elementos de la celda elemental las relaciones angulares entre los ejes del cristal o ejes cristalograacuteficos y las intersecciones sobre estos ejes de la cara fundamental (111) Las dimensiones de estas intersecciones son proporcionales a las traslaciones en las tres dimensiones de la red

Por esta razoacuten se han agrupado las redes de Bravais en siete grandes grupos redes tricliacutenicas redes monocliacutenicas redes roacutembicas redes tetragonales redes hexagonales redes romboeacutedricas y redes cuacutebicas Cada uno de estos grupos de redes corresponde a un sistema cuyo nombre es ideacutentico al de las redes correspondientes y posee unas constantes reticulares fijas y una miacutenima simetriacutea caracteriacutestica

Red de Bravais SistemaRed Tricliacutenica primitiva P TricliacutenicoRed monocliacutenica primitiva PRed monocliacutenica centrada en las caras C

Monocliacutenico

Red roacutembica primitiva PRed roacutembica centrada en las bases CRed roacutembica centrada en el interior IRed roacutembica centrada en las caras F

Roacutembico

Red tetragonal primitiva PRed tetragonal centrada en el interior C

Tetragonal

Red hexagonal primitiva P HexagonalRed romboeacutedrica primitiva P Romboeacutedrico o Trigonal Red cuacutebica primitiva PRed cuacutebica centrada en el interior IRed cuacutebica centrada en las caras F

Cuacutebico o Isomeacutetrico

Las constantes reticulares y la miacutenima simetriacutea que caracteriza a cada grupo de redes o sistema cristalino es la siguiente

- Sistema tricliacutenico (abc αszligγ90ordm)

No posee ninguna simetriacutea miacutenima

- Sistema monocliacutenico (abc α=γ=90ordmszliggt90ordm)

Presenta como simetriacutea miacutenima un eje de rotacioacuten binario o un eje de inversioacuten binario (=plano de simetriacutea)

- Sistema roacutembico (abc α=szlig=γ=90ordm)

Como miacutenimo posee tres ejes binarios perpendiculares entre siacute

- Sistema tetragonal (a=bc α=szlig=γ=90ordm)

Posee como caracteriacutestica fundamental un eje de rotacioacuten cuaternario o un eje de inversioacuten cuaternario

- Sistema hexagonal (a=bc α=szlig=90ordm γ=120ordm)

Su caracteriacutestica fundamental es la presencia de un eje de rotacioacuten senario o un eje de inversioacuten senario (eje ternario + plano de simetriacutea perpendicular)

Para mayor precisioacuten generalmente se introduce un cuarto eje i coplanario con a y b que forma un aacutengulo de 120ordm con cada uno de ellos asiacute la cruz axial seraacute (a=b=ic α=szlig=90ordm γ=120ordm)

Iacutendices de Miller hexagonales Como se trabaja con un cuarto iacutendice que se situacutea en el plano a1 a2 y a 120ordm de cada uno de estos ejes los planos hexagonales se van a representar por cuatro iacutendices (hkil) El valor de i se determina como h+k

- Sistema romboeacutedrico o trigonal (a=b=c α=szlig=γ90ordm)

Su caracteriacutestica comuacuten es la presencia de un eje de rotacioacuten ternario o un eje de inversioacuten ternario (eje ternario + centro de simetriacutea)

- Sistema cuacutebico (a=b=c α=szlig=γ=90ordm)

Posee como caracteriacutestica fundamental cuatro ejes de rotacioacuten ternarios inclinados a 10947ordm

NOTA Ademaacutes de las constantes reticulares para definir un sistema cristalino puede utilizarse la relacioacuten parameacutetrica siendo eacutesta la relacioacuten existente entre los moacutedulos de a y c respecto al moacutedulo de b

ab 1 cb

Normalmente se toman estos valores y los aacutengulos para definir la red

14- SIMETRIacuteA CON TRASLACIOacuteN - Elementos de simetriacutea con traslacioacutenLa red cristalina soacutelo tiene sentido como indicadora de la periodicidad que se presenta en el cristal como consecuencia de la repeticioacuten del motivo Debido a ello la simetriacutea que revela por siacute la red no tiene que ser necesariamente la que posea el cristal aunque en general lo sea

Ejemplo La coesita (variedad de la siacutelice de alta presioacuten) tiene una red cuya meacutetrica es roacutembica mientras que la estructura es monocliacutenica ya que el motivo carece de ciertos elementos de simetriacutea que la meacutetrica de la red indicaban

Es faacutecil comprender que debido a que la red es solamente la consecuencia de unas fuerzas cohesivas entre los aacutetomos que forman el cristal fuerzas que obligan a una repeticioacuten monoacutetona de las agrupaciones atoacutemicas la simetriacutea de la red debe estar iacutentimamente relacionada con la del cristal entendido como agrupacioacuten repetitiva de aacutetomos

La red nos proporciona por tanto la simetriacutea maacutexima que el cristal puede tener pero dicha simetriacutea depende de la simetriacutea propia del motivo La complejidad que el motivo cristalino aacutetomos iones y moleacuteculas aporta a la red cristalina hace que los elementos de simetriacutea del medio cristalino se ampliacuteen Aparece la traslacioacuten que tiene dimensiones submicroscoacutepicas no accesibles a la morfologiacutea macroscoacutepica

Los operadores de simetriacutea que completan la tarea de rellenar el espacio cristalino se consideran cada uno de ellos como una sola y nueva operacioacuten de simetriacutea Estos son los planos de deslizamiento que implican la reflexioacuten asociada a una traslacioacuten y los ejes helicoidales que implican a su vez giro y traslacioacuten

- Plano de deslizamiento

El plano de deslizamiento realiza simultaacuteneamente dos operaciones refleja la imagen o traslada la imagen a intervalos de media traslacioacuten

Cuando la semitraslacioacuten asociada al plano de deslizamiento corresponde a alguna de las direcciones fundamentales del cristal el plano se denomina a b c respectivamente

Cuando la semitraslacioacuten corresponde a la diagonal del plano reflector es decir el plano de deslizamiento se situacutea paralelo a la diagonal entre las filas definidas por a b y c el plano se simboliza por n y las componentes de su traslacioacuten son

a2 + b2 b2 + c2 c2 + a2 y a2 + b2 + c2

Los planos d (aparece en la estructura del diamante) se tratan tambieacuten de planos diagonales Presentan como componentes de traslacioacuten cuartos de la fundamental es decir

a4 plusmn b4 b4 plusmn c4 c4 plusmn a4 y a4 plusmn b4 plusmn c4

El siguiente cuadro sintetiza la notacioacuten y simetriacutea de los planos en los grupos espaciales

Siacutembolo Siacutembolo graacutefico Orientacioacuten y Traslacioacuten

m

perpendicular al papel

paralelo al papel

(100) o (010) ninguna traslacioacuten

(001) ninguna traslacioacuten

a

perpendicular al papel

paralelo al papel

(010) traslacioacuten a2

(001) traslacioacuten a2

b

perpendicular al papel

paralelo al papel

(100) traslacioacuten b2

(001) traslacioacuten b2

c perpendicular al papel

(100) 0 (010) traslacioacuten c2

n

______ perpendicular al papel

paralelo al papel

traslacioacuten (b+c)2 en (100) traslacioacuten (c+a)2 en (010)

traslacioacuten (a+b)2 en (001) traslacioacuten (a+b+c)2 en (110) en sistemas tetragonal o cuacutebico

d

perpendicular al papel

paralelo al papel

traslacioacuten (b+c)4 en (100) traslacioacuten (c+a)4 en (010)

traslacioacuten (a+b)4 en (001) traslacioacuten (a+b+c)4 en (110) en sistemas tetragonal o cuacutebico

- Eje helicoidal

Un eje helicoidal implica similarmente una operacioacuten doble

Un giro el permisible para su orden

Una traslacioacuten constante a lo largo del eje

Como sabemos el orden del eje es el nuacutemero de repeticiones que se necesitan para lograr la identidad implicando una serie de giros sucesivos hasta haber completado su operacioacuten de simetriacutea total

En un eje helicoidal cada uno de estos giros parciales debe asociarse a una parte aliacutecuota de la traslacioacuten total t paralela a la direccioacuten del eje La identidad se logra en la operacioacuten giro cuando se ha aplicado tantas veces el giro permisible como indica el orden del eje

Haciendo el periodo de identidad t coincidente con el giro completo del eje se obtienen los siguientes ejes helicoidales

Siacutembolo Siacutembolo graacutefico Denominacioacuten Giro Traslacioacuten

21 Eje binario helicoidal 180ordm t2

31 Eje ternario helicoidal

derecho120ordm

dextroacutegiro t3

32 Eje ternario helicoidal

izquierdo 120ordm levoacutegiro t3

41 Eje cuaternario helicoidal

derecho90ordm

dextroacutegiro t4

43 Eje cuaternario helicoidal

izquierdo 90ordm levoacutegiro t4

61 Eje senario helicoidal

derecho 60ordmdextroacutegiro t6

65 Eje senario helicoidal

izquierdo 60ordm levoacutegiro t6

Tambieacuten se pueden deducir los ejes helicoidales haciendo que la identidad se alcance para Nn giros siendo N el orden del eje y n un divisor entero de N

N (orden

del eje)

n (divisor entero de N)

Nn (giros)

Siacutembolo Siacutembolo graacutefico Denominacioacuten Giro Traslacioacuten

4 T2 2 42 Eje cuaternario-binario helicoidal 90ordm t2

6 3 2 63

Eje senario-ternario

helicoidal60ordm t2

6 2 3 62

Eje senario-binario helicoidal

derecho

60ordm dextroacutegiro t3

6 2 3 64

Eje senario-binario helicoidal

izquierdo

60ordm levoacutegiro t3

- Los 17 grupos planos En la deduccioacuten de los grupos planos hay que tener en cuenta que es el motivo contenido de la celda definida por unas traslaciones dadas el que muestra la existencia de los elementos de simetriacutea Es decir que las partes del motivo estaacuten relacionadas entre siacute por dichos elementos de simetriacutea (que puede ser simetriacutea con traslacioacuten) que la suma de estas partes constituye la celda y que las celdas implican una meacutetrica dada es decir tiene una forma y unas dimensiones que condicionan una simetriacutea maacutexima

En los grupos planos los haces de elementos de simetriacutea son perpendiculares al plano que se asocia a un tipo de red plana El nuacutemero de estos grupos planos es de 17

- Grupos planos con red oblicua

La simetriacutea maacutexima que permite una red obiacutecua es un haz de ejes binarios Existiraacuten por tanto dos posibilidades

Grupo plano p1 p como indicativo de primitivo y 1 como indicativo de no simetriacutea El dominio complejo coincide con el motivo y por tanto su multiplicidad es 1

Grupo plano p2 p como indicativo de primitivo y 2 como indicativo de eje binario de simetriacutea La multiplicidad del dominio complejo es 2 ya que la simetriacutea genera duplicidad del motivo

- Grupos planos con red rectangular

La simetriacutea maacutexima que permite una red rectangular es dos haces de planos de simetriacutea y un haz de ejes binarios Existiraacuten por tanto diferentes combinaciones

Grupo plano pm p como indicativo de primitivo y m como indicativo del plano de simetriacutea La multiplicidad del dominio complejo es 2 ya que la simetriacutea genera duplicidad del motivo

Grupo plano pg p como indicativo de primitivo y g como indicativo del plano de deslizamiento La multiplicidad del dominio complejo es 2 ya que la simetriacutea genera duplicidad del motivo

Grupo plano pmm (p2mm) p como indicativo de primitivo y dos m como indicativo de planos de simetriacutea mutuamente perpendiculares Los planos de simetriacutea llevan impliacutecitos la aparcicioacuten de ejes binarios La multiplicidad del dominio complejo es 4

Grupo plano pmg (p2mg) p como indicativo de primitivo y planos perpendiculares de tipo distinto (m ordinarios y g de deslizamiento) Esto hace que los ejes de simetriacutea no se encuentren en la interseccioacuten sino desplazados a lo largo del plano de deslizamiento a mitad de la componente desplazamiento El origen de la celda se toma sobre un eje binario La multiplicidad del dominio complejo es 4

Grupo plano pgg(p2gg) p como indicativo de primitivo y dos g de planos perpendiculares de deslizamiento Esto hace que los ejes de simetriacutea no se encuentren en la interseccioacuten sino desplazados a lo largo de cada plano de deslizamiento a mitad de la componente deslizamiento El origen de la celda se toma sobre un eje binario La multiplicidad del dominio complejo es 4

- Grupos planos con red roacutembica o rectangular centrada

Grupo plano cm c como indicativo de la operacioacuten de centrado y m como indicativo del plano de simetriacutea La operacioacuten de centrado lleva impliacutecita la existencia de un plano de deslizamiento La multiplicidad del dominio complejo es 4

Grupo plano cmm (c2mm) c como indicativo de centrado y dos m como indicativo de planos de simetriacutea mutuamente perpendiculares La operacioacuten de centrado lleva impliacutecita la existencia de planos de deslizamiento La multiplicidad del dominio complejo es 4 Los planos de simetriacutea ordinarios y de deslizamiento llevan impliacutecitos la aparcicioacuten de ejes binarios en las intersecciones del mismo tipo de planos no de distintos La multiplicidad del dominio complejo es 8

- Grupos planos con red cuadrada

La simetriacutea maacutexima que permite una red cuadrada es un haz de ejes cuaternarios y sus planos de simetriacutea contenidos en ellos En todos los casos se toma un eje cuaternario como origen de

la celda apareciendo otro eje cuaternario en el centro de la celda Existiraacuten por tanto diferentes combinaciones

Grupo plano p4 p como indicativo de primitivo y 4 como indicativo de eje cuaternario de simetriacutea Los ejes cuaternarios generan la aparcicioacuten de ejes binarios intercalados entre los cuaternarios La multiplicidad del dominio complejo es 4

Grupo plano p4mm p como indicativo de primitivo 4 como indicativo de eje cuaternario de simetriacutea y m como los planos de simetriacutea que contienen a dichos ejes Los ejes cuaternarios generan la aparcicioacuten de ejes binarios intercalados entre los cuaternarios y toda la simetriacutea genera planos de deslizamiento paralelos a las diagonales de la celda La multiplicidad del dominio complejo es 8

Grupo plano p4gm p como indicativo de primitivo 4 como indicativo de eje cuaternario de simetriacutea g como planos de deslizamiento y m como los planos de simetriacutea La multiplicidad del dominio complejo es 8

- Grupos planos con red hexagonal

La simetriacutea maacutexima que permite una red hexagonal es un haz de ejes senarios o ternarios y los planos de simetriacutea que contienen a dichos ejes Existiraacuten por tanto diferentes combinaciones

Grupo plano p3 p como indicativo de primitivo y 3 como indicativo de eje ternario de simetriacutea Los ejes ternarios generan la aparcicioacuten de otros ternarios en el centro de los dos triaacutengulos equilaacuteteros que conforman la celda La multiplicidad del dominio complejo es 3

Grupo plano p3m1 p como indicativo de primitivo 3 como indicativo de eje ternario de simetriacutea y m como plano de simetriacutea en la diagonal mayor del rombo Se genera alternancia de planos de deslizamiento La multiplicidad del dominio complejo es 6

Grupo plano p31m p como indicativo de primitivo 3 como indicativo de eje ternario de simetriacutea y m como plano de simetriacutea en la diagonal menor del rombo Se genera alternancia de planos de deslizamiento La multiplicidad del dominio complejo es 6

Grupo plano p6 p como indicativo de primitivo y 6 como indicativo de eje senario de simetriacutea Se generan ejes ternarios en los centros de los triaacutengulos equilaacuteteros conformadores y ejes binarios en los centros de los lados de dichos triaacutengulos La multiplicidad del dominio complejo es de 6

Grupo plano p6mm p como indicativo de primitivo 6 como indicativo de eje senario de simetriacutea y m de los planos de simetriacutea que los contienen Se generan ejes ternarios en los centros de los triaacutengulos equilaacuteteros conformadores ejes binarios en los centros de los lados de dichos triaacutengulos y planos de deslizamiento alternantes La multiplicidad del dominio complejo es de 12

La tabla que relaciona los grupos puntuales y los grupos planos pone de manifiesto que no todas las combinaciones conducen a nuevos o diferentes grupos puntuales La interaccioacuten de la simetriacutea del motivo con la simetriacutea de las diversas redes planas afecta al contenido de simetriacutea resultante del modelo planar El modelo final muestra la simetriacutea de la red cuando los elementos de simetriacutea del motivo estaacuten alineados con los elementos de simetriacutea correspondiente de la red Si el motivo tiene menos simetriacutea que la red el modelo expresaraacute el menor grado de simetriacutea del motivo con los elementos de simetriacutea de eacuteste alineados con los correspondientes elementos de simetriacutea de la red

Red Grupo puntual Grupo plano

1 p1 Obliacutecua

2 p2 m pm pg

Rectangular mm pmm pmg pgg m cm

Roacutembica mm cmm

4 p4

Cuadrada

4mm p4mm p4gm

3 p3 3m p3m p31m 6 p6

Hexagonal

6mm p6mm

- Grupos espaciales Los grupos espaciales representan las diversas formas en que los motivos pueden distribuirse en el espacio en una estructura homogeacutenea

Los grupos espaciales surgen de la combinacioacuten de los 14 tipos posibles de redes espaciales (redes de Bravais) con la simetriacutea propia de las 32 clases cristalinas o grupos puntuales maacutes la simetriacutea con traslacioacuten

Las caracteriacutesticas de la red se expresan con las letras P A B C F I R de las redes de Bravais que designan el tipo de red general A continuacioacuten se describen en el siacutembolo los elementos de simetriacutea

Ejemplos

P4m2m2m oacute p4mmm

4m2m2m oacute 4mmm Grupo de simetriacutea 4mmm

P Red tetragonal sencilla

P42n2n2m oacute P42nnm

42nnm Grupo isogonal con el 4mmm donde los ejes de rotacioacuten cuaternaria del grupo puntual aparecen como ejes de rotoinversioacuten cuaternaria y helicoidal cuaternario paralelos y alternativos Existen planos de deslizamiento n y de simetriacutea m asiacute como ejes de rotacioacuten binaria con helicoidales binarios intercalados

P Red tetragonal sencilla

Al igual que ocurriacutea en los grupos planos en los grupos espaciales con redes no primitivas la operacioacuten de centrado introduce la simetriacutea con traslacioacuten y sin embargo estos nuevos elementos no se aprecian en los siacutembolos Por ejemplo

C2m

2m Grupo de simetriacutea 2m Sin embargo aparecen debido al centrado ejes helicoidales binarios intercalados con los binarios y planos de deslizamiento intercalados con los planos de simetriacutea

C Red roacutembica centrada de tipo C

Los 230 grupos espaciales vienen descritos en las International Tables for X-ray Crystallography clasificadas seguacuten los grupos puntuales y los sistemas cristalinos

Una composicioacuten de la informacioacuten contenida en estas Tablas se muestra a continuacioacuten para el grupo espacial Cmm2 en el que la C significa una red centrada en las caras separadas por el eje c la primera m representa un plano de simetriacutea perpendicular al eje a la segunda m

representa un plano de simetriacutea perpendicular al eje b y el 2 se refiere al eje binario paralelo al eje c

  • EL ESTADO CRISTALINO
Page 12: Cristalografia Estructural

Red cuadrada (a=b γ =90ordm)

Las redes planas forman por apilamiento homogeacuteneo los distintos tipos de redes espaciales es decir las distintas familias de planos cristalinos que integran el cristal La manera como estos planos se apilan determina los aacutengulos entre las traslaciones fundamentales en las tres dimensiones que es lo que define a su vez la forma y dimensiones del paralelepiacutepedo o celda unidad que caracteriza la red cristalina

- Redes de BravaisDe la superposicioacuten de planos se generan catorce celdas morfoloacutegicamente distintas que se conocen como las Redes de Bravais en honor de su descubridor

En teacuterminos de redes cristalinas tridimensionales los paralelepiacutepedos fundamentales morfoloacutegicamente distintos son el resultado de combinar las tres traslaciones fundamentales de valores dados con sus inclinaciones respectivas es decir con los tres aacutengulos α szlig y γ

Su construccioacuten se realiza apilando paralelamente una sucesioacuten infinita de modelos planos ideacutenticos de manera que la distancia entre ellos sea siempre igual (familia de planos) Mientras que en el plano se deduciacutean cinco tipos de redes en el espacio tridimensional se reconocen hasta catorce distribuciones perioacutedicas

Red tricliacutenica (abc αszligγ90ordm)

Debido a los valores distintos entre siacute de las traslaciones y de los aacutengulos fundamentales el paralelepiacutepedo tiene forma cualquiera triplemente inclinado (por ello se denomina tricliacutenico) Se trata de una red primitiva

Redes monocliacutenicas (abc α=γ=90ordmszlig )

La celda es un paralelepiacutepedo no recto de base rectangular (formados por redes planas rectangulares)

- Red monocliacutenica primitiva P

- Red monocliacutenica de base centrada

La operacioacuten de centrado de redes permite la generacioacuten de este otro tipo de red Si se centra la red plana rectangular (100) su siacutembolo es A y si se centra la (001) es C Morfoloacutegicamente estas redes soacutelo se diferencian en su orientacioacuten por tanto las redes monocliacutenicas de base centrada A y C son equivalentes

Redes roacutembicas (abc α=szlig=γ=90ordm)

- Red roacutembica primitiva P

El paralelepiacutepedo fundamental es un prisma recto de base rectangular Los tres planos fundamentales (100) (010) y (001) maacutes los planos diagonales del prisma son redes planas rectangulares

- Redes roacutembicas centradas

La operacioacuten de centrado de redes permite la generacioacuten de estos otros tipos de red Si se centran las redes planas rectangulares (100) (010) y (001) sus siacutembolos son respectivamente A B y C

Morfoloacutegicamente estas redes son iguales y se denominan red roacutembica de base centrada simbolizada por C Cuando la operacioacuten de centrado es sobre las tres caras a la vez la red se denomina red roacutembica de caras centradas y se simboliza por F Si el centrado se produce en los planos diagonales del prisma la red resultante se denomina red roacutembica centrada en el interior de siacutembolo I

Redes tetragonales (a=bc α=szlig=γ=90ordm)

- Red tetragonal P

La celda fundamental es un prisma recto de base cuadrada La familia de planos (001) son de red plana cuadrada mientras que (100) y (010) son rectangulares e ideacutenticos entre siacute

- Red tetragonal centrada I

Al ser iguales por simetriacutea los planos (100) y (010) no pueden centrarse independientemente y a su vez no pueden hacerlo simultaacuteneamente porque ello destruye la homogeneidad de los planos de la misma familia

Sin embargo los planos diagonales que son tambieacuten redes rectangulares pueden centrarse dando origen a la red tetragonal centrada en el interior I

Red hexagonal P (a=bc α=szlig=90ordm γ=120ordm 60ordm)

El paralelepiacutepedo fundamental es un prisma recto de base roacutembica (de aacutengulo de 60ordm) Para visualizar la forma hexagonal se toma una celda muacuteltiple integrada por tres de estas celdillas roacutembicas

Esta red hexagonal permite un apilamiento especial de los planos hexagonales Seguacuten eacuteste los nudos se proyectan a 13 o a 23 de la diagonal mayor del rombo dando como resultado una red romboeacutedrica R de (a=b=c α=szlig=γ90ordm)

Redes cuacutebicas (a=b=c α=szlig=γ=90ordm)

- Red cuacutebica primitiva P

El paralelepiacutepedo fundamental es un cubo

- Redes cuacutebicas centradas

El centrado de las caras del cubo no debiera ser posible puesto que son redes planas cuadradas Las redes cuacutebicas centradas se originan cuando el aacutengulo del romboedro se hace igual a 60ordm y las tres diagonales del romboedro se hacen iguales entre siacute definiendo las aristas de un cubo que circunscribe al romboedro Asiacute la distribucioacuten de nudos es la correspondiente a un cubo de caras centradas originando la red cuacutebica de caras centradas F

De forma similar cuando el aacutengulo entre las aristas del romboedro es de 109ordm 28acute 16acuteacute las diagonales de sus tres caras fundamentales son perpendicuales entre si e iguales en magnitud y definen un cubo inscrito en el romboedro La distribucioacuten de nudos corresponde a una red cuacutebica centrada en el interior I

(Las redes cuacutebicas no soacutelo son casos especiales de redes romboeacutedricas sino que tambieacuten lo son de redes tetragonales)

13- SIMETRIacuteA La porcioacuten miacutenima del espacio cristalino que contiene en siacute misma toda la simetriacutea de la red cristalina es la celda unidad El medio cristalino por ser perioacutedico es un medio simeacutetrico y todas sus propiedades derivan de este hecho

Entendiendo por simetriacutea aquella transformacioacuten que al aplicarse a un objeto hace que eacuteste conserve todas sus dimensiones y lo deje en una posicioacuten indistinguible de su posicioacuten original la operacioacuten de simetriacutea maacutes sencilla que existe por definicioacuten en el medio cristalino es la simple traslacioacuten entre un motivo y otro

- Elementos de simetriacuteaEl lugar geomeacutetrico que ayuda a la visualizacioacuten de la simetriacutea de una distribucioacuten ordenada recibe el nombre de elemento de simetriacutea Los elementos de simetriacutea puntual (la operacioacuten de simetriacutea deja un punto particular del diagrama inmoacutevil) sin traslacioacuten son el plano de simetriacutea el eje de rotacioacuten y el centro de simetriacutea o centro de inversioacuten

El plano de simetriacutea m o de reflexioacuten refleja partes o todos ideacutenticos del objeto a traveacutes de un plano

El eje de rotacioacuten origina una rotacioacuten al objeto de 360ordmn alrededor del eje (de derecha a izquierda)

eje monario n=1 (360ordm1=360ordm)

eje binario (perpendicular al plano) (paralelo al plano)

n=2 (360ordm2=180ordm)

eje ternario n=3 (360ordm3=120ordm)

eje cuaternario n=4 (360ordm4=90ordm)

eje senario n=6 (360ordm6=60ordm)

(La restriccioacuten cristalograacutefica limita los giros permisibles a estos cinco para que su orden sea compatible con la existencia de redes)

Las combinaciones de ambos elementos de simetriacutea originan los ejes de rotacioacuten impropios

- eje de rotorreflexioacuten rotacioacuten de 360ordmn seguida por reflexioacuten en un plano perpendicular al eje

- eje de rotoinversioacuten rotacioacuten de 360ordmn seguida por inversioacuten a traveacutes de un punto en el eje

orden 1 orden 3 orden 4 orden 6

Nota Los ejes de rotoinversioacuten se representan por el orden del eje (2 3 4 o 6) con el siacutembolo negativo encima de ellos En esta Web ese siacutembolo se identifica tambieacuten por el signo negativo bien delante o inferior al nuacutemero de orden del eje

(el esquema superior representa una rotoreflexioacuten de orden 4 y el inferior una rotoinversioacuten del mismo orden)

Por su parte el centro de simetriacutea i o centro de inversioacuten es un elemento de simetriacutea puntual que invierte el objeto a traveacutes de una liacutenea recta

- Combinacioacuten de elementos de simetriacuteaLa combinacioacuten de elementos de simetriacutea no se produce al azar estaacute regida por una serie de normas y limitaciones que son

- Los elementos que se combinan guardan unas relaciones angulares caracteriacutesticas

- La combinacioacuten de algunos elementos de simetriacutea genera directamente la presencia de otros

Eje de orden par + centro de simetriacutea ------- plano de simetriacutea perpendicular al eje

Eje de orden n contenido en un plano de simetriacutea -------- n-1 planos de simetriacutea que intersectan en el eje

Dos ejes que se cortan --------- un tercer eje que pasa por el punto de corte

(entre propios e impropios soacutelo es posible un propio y dos impropios)

Eje de orden n + eje binario perpendicular -------- n-1 ejes binarios tambieacuten normales a eacutel

Eje de inversioacuten de orden n(impar) + eje binario perpendicular -------- n ejes binarios y planos de simetriacutea

Eje de inversioacuten de orden n(par) + eje binario perpendicular -------- n2 ejes binarios y planos de simetriacutea

-Los ejes de inversioacuten realizan una operacioacuten de simetriacutea equivalente a la de dos elementos de simetriacutea (excepto el de orden 4)

3 = 3 + i

Eje de rotoinversioacuten de orden impar = eje propio del mismo orden + centro de simetriacutea

(6 = 3 + m)

Eje de rotoinversioacuten de orden par = eje propio de mitad de orden + un plano de simetriacutea perpendicular a eacutel

- Las 32 clases de simetriacuteaEs faacutecil prever que en el medio cristalino los elementos de simetriacutea se combinan entre siacute hasta engendrar los modelos cristalinos regulares que se combinan de treinta y dos maneras distintas y dan lugar a las treinta y dos posibles clases cristalinas o grupos puntuales (la operacioacuten de simetriacutea deja un punto particular del diagrama inmoacutevil) existentes

Estas treinta y dos clases cristalinas se han obtenido mediante las siguientes combinaciones de elementos de simetriacutea

Siacutembolo Combinacioacuten de simetriacutea Elementos de simetriacutea

1 Eje monario (giro de 360ordm)

2 Eje binario (giro de 180ordm)

3 Eje ternario (giro de 120ordm)

4 Eje cuaternario (giro de 90ordm)

6 Eje senario (giro de 60ordm)

1 Eje monario de inversioacuten (giro de 360ordm+inversioacuten) = centro de inversioacuten (2=i)

2 Eje binario de inversioacuten (giro de 180ordm+inversioacuten) = plano de simetriacutea (2=m)

3 Eje ternario de inversioacuten (giro de 120ordm+inversioacuten)

T4 TEje cuaternario de inversioacuten (giro de 90ordm+inversioacuten)

6

Clases con un soacutelo elemento de simetriacutea

Eje senario de inversioacuten (giro de 60ordm+inversioacuten) = eje ternario + plano de simetriacutea perpendicular

(6=3m)

222 Tres ejes binarios en planos perpendiculares entre siacute

32 Un eje ternario + tres ejes binarios en planos perpendiculares

422 Un eje cuaternario + dos ejes binarios en planos perpendiculares

622 Un eje senario + tres ejes binarios a 120ordm (plano perpendicular al senario)

23 Cuatro ejes ternarios + Tres ejes binarios

432

Clases con combinacioacuten de ejes

Tres ejes cuaternarios + cuatro ejes ternarios + seis ejes binarios

2m Clases con un eje de Eje binario + plano de simetriacutea perpendicular a eacutel

4m Eje cuaternario + plano de simetriacutea perpendicular a eacutel

6m

orden par + un centro de simetriacutea

(Eje de orden par + centro de simetriacutea=plano de

simetriacutea perpendicular al eje)

Eje senario + plano de simetriacutea perpendicular a eacutel

2mm Eje binario + dos planos de simetriacutea que se cortan en eacutel

3m Eje ternario + tres planos de simetriacutea que se cortan en eacutel

4mm Eje cuaternario + cuatro planos de simetriacutea que se cortan en eacutel

6mm

Clases con un eje + un plano de simetriacutea que

contenga al eje

Eje senario + seis planos de simetriacutea que se cortan en eacutel

42m Eje cuaternario de inversioacuten + dos ejes binarios + dos planos de simetriacutea

43m Tres ejes cuaternarios de inversioacuten + cuatro ejes ternarios + seis planos de simetriacutea

62m

Clases con un eje + dos ejes impropios

Eje senario de inversioacuten (=eje ternario + plano de simetriacutea perpendicular) + tres ejes binarios + tres

planos de simetriacutea

2m2m2m

(mmm)

Tres ejes binarios + tres planos de simetriacutea perpendiculares

32m

(3m)

Un eje ternario + tres ejes binarios + tres planos de simetriacutea perpendiculares + un centro de simetriacutea

4m2m2m

(4mmm)

Un eje cuaternario + un plano de simetriacutea perpendicular + cuatro ejes binarios + cuatro

planos de simetriacutea perpendiculares + centro de simetriacutea

6m2m2m

(6mmm)

Un eje senario + un plano de simetriacutea perpendicular + seis ejes binarios + seis planos de simetriacutea perpendiculares + un centro de simetriacutea

2m3

(m3)

Cuatro ejes ternarios + tres ejes binarios + tres planos de simetriacutea perpendiculares + un centro de

simetriacutea

4m32m

(m3m)

TClases con tres ejes + un centro de

simetriacutea

Tres ejes cuaternarios + tres planos de simetriacutea perpendiculares + cuatro ejes ternarios + seis ejes binarios + seis planos de simetriacutea perpendiculares

+ un centro de simetriacutea

La distribucioacuten sistema cristalino-Redes de Bravais-Grupos puntuales o clases de simetriacutea es la siguiente

Red de Bravais Sistema Grupo puntual

Red Tricliacutenica primitiva P Tricliacutenico 1 1Red monocliacutenica primitiva PRed monocliacutenica centrada en las caras C

Monocliacutenico 2 m 2m

Red roacutembica primitiva PRed roacutembica centrada en las bases CRed roacutembica centrada en el interior IRed roacutembica centrada en las caras F

Roacutembico 222 mm2 mmm

Red tetragonal primitiva P

Red tetragonal centrada en el interior CTetragonal

4 4 4m 4mm 422

42m 4mmm

Red hexagonal primitiva P Hexagonal6 6 6m 6mm 622

62m 6mmm

Red romboeacutedrica primitiva P Romboeacutedrico o Trigonal

3 3 3m 32 3m

Red cuacutebica primitiva PRed cuacutebica centrada en el interior IRed cuacutebica centrada en las caras F

Cuacutebico o Isomeacutetrico23 m3

43m 432 m3m

- Simetriacutea y redes de BravaisLa presencia de elementos de simetriacutea en la red cristalina condiciona a su vez la existencia de ciertas relaciones meacutetricas entre los elementos de la celda elemental las relaciones angulares entre los ejes del cristal o ejes cristalograacuteficos y las intersecciones sobre estos ejes de la cara fundamental (111) Las dimensiones de estas intersecciones son proporcionales a las traslaciones en las tres dimensiones de la red

Por esta razoacuten se han agrupado las redes de Bravais en siete grandes grupos redes tricliacutenicas redes monocliacutenicas redes roacutembicas redes tetragonales redes hexagonales redes romboeacutedricas y redes cuacutebicas Cada uno de estos grupos de redes corresponde a un sistema cuyo nombre es ideacutentico al de las redes correspondientes y posee unas constantes reticulares fijas y una miacutenima simetriacutea caracteriacutestica

Red de Bravais SistemaRed Tricliacutenica primitiva P TricliacutenicoRed monocliacutenica primitiva PRed monocliacutenica centrada en las caras C

Monocliacutenico

Red roacutembica primitiva PRed roacutembica centrada en las bases CRed roacutembica centrada en el interior IRed roacutembica centrada en las caras F

Roacutembico

Red tetragonal primitiva PRed tetragonal centrada en el interior C

Tetragonal

Red hexagonal primitiva P HexagonalRed romboeacutedrica primitiva P Romboeacutedrico o Trigonal Red cuacutebica primitiva PRed cuacutebica centrada en el interior IRed cuacutebica centrada en las caras F

Cuacutebico o Isomeacutetrico

Las constantes reticulares y la miacutenima simetriacutea que caracteriza a cada grupo de redes o sistema cristalino es la siguiente

- Sistema tricliacutenico (abc αszligγ90ordm)

No posee ninguna simetriacutea miacutenima

- Sistema monocliacutenico (abc α=γ=90ordmszliggt90ordm)

Presenta como simetriacutea miacutenima un eje de rotacioacuten binario o un eje de inversioacuten binario (=plano de simetriacutea)

- Sistema roacutembico (abc α=szlig=γ=90ordm)

Como miacutenimo posee tres ejes binarios perpendiculares entre siacute

- Sistema tetragonal (a=bc α=szlig=γ=90ordm)

Posee como caracteriacutestica fundamental un eje de rotacioacuten cuaternario o un eje de inversioacuten cuaternario

- Sistema hexagonal (a=bc α=szlig=90ordm γ=120ordm)

Su caracteriacutestica fundamental es la presencia de un eje de rotacioacuten senario o un eje de inversioacuten senario (eje ternario + plano de simetriacutea perpendicular)

Para mayor precisioacuten generalmente se introduce un cuarto eje i coplanario con a y b que forma un aacutengulo de 120ordm con cada uno de ellos asiacute la cruz axial seraacute (a=b=ic α=szlig=90ordm γ=120ordm)

Iacutendices de Miller hexagonales Como se trabaja con un cuarto iacutendice que se situacutea en el plano a1 a2 y a 120ordm de cada uno de estos ejes los planos hexagonales se van a representar por cuatro iacutendices (hkil) El valor de i se determina como h+k

- Sistema romboeacutedrico o trigonal (a=b=c α=szlig=γ90ordm)

Su caracteriacutestica comuacuten es la presencia de un eje de rotacioacuten ternario o un eje de inversioacuten ternario (eje ternario + centro de simetriacutea)

- Sistema cuacutebico (a=b=c α=szlig=γ=90ordm)

Posee como caracteriacutestica fundamental cuatro ejes de rotacioacuten ternarios inclinados a 10947ordm

NOTA Ademaacutes de las constantes reticulares para definir un sistema cristalino puede utilizarse la relacioacuten parameacutetrica siendo eacutesta la relacioacuten existente entre los moacutedulos de a y c respecto al moacutedulo de b

ab 1 cb

Normalmente se toman estos valores y los aacutengulos para definir la red

14- SIMETRIacuteA CON TRASLACIOacuteN - Elementos de simetriacutea con traslacioacutenLa red cristalina soacutelo tiene sentido como indicadora de la periodicidad que se presenta en el cristal como consecuencia de la repeticioacuten del motivo Debido a ello la simetriacutea que revela por siacute la red no tiene que ser necesariamente la que posea el cristal aunque en general lo sea

Ejemplo La coesita (variedad de la siacutelice de alta presioacuten) tiene una red cuya meacutetrica es roacutembica mientras que la estructura es monocliacutenica ya que el motivo carece de ciertos elementos de simetriacutea que la meacutetrica de la red indicaban

Es faacutecil comprender que debido a que la red es solamente la consecuencia de unas fuerzas cohesivas entre los aacutetomos que forman el cristal fuerzas que obligan a una repeticioacuten monoacutetona de las agrupaciones atoacutemicas la simetriacutea de la red debe estar iacutentimamente relacionada con la del cristal entendido como agrupacioacuten repetitiva de aacutetomos

La red nos proporciona por tanto la simetriacutea maacutexima que el cristal puede tener pero dicha simetriacutea depende de la simetriacutea propia del motivo La complejidad que el motivo cristalino aacutetomos iones y moleacuteculas aporta a la red cristalina hace que los elementos de simetriacutea del medio cristalino se ampliacuteen Aparece la traslacioacuten que tiene dimensiones submicroscoacutepicas no accesibles a la morfologiacutea macroscoacutepica

Los operadores de simetriacutea que completan la tarea de rellenar el espacio cristalino se consideran cada uno de ellos como una sola y nueva operacioacuten de simetriacutea Estos son los planos de deslizamiento que implican la reflexioacuten asociada a una traslacioacuten y los ejes helicoidales que implican a su vez giro y traslacioacuten

- Plano de deslizamiento

El plano de deslizamiento realiza simultaacuteneamente dos operaciones refleja la imagen o traslada la imagen a intervalos de media traslacioacuten

Cuando la semitraslacioacuten asociada al plano de deslizamiento corresponde a alguna de las direcciones fundamentales del cristal el plano se denomina a b c respectivamente

Cuando la semitraslacioacuten corresponde a la diagonal del plano reflector es decir el plano de deslizamiento se situacutea paralelo a la diagonal entre las filas definidas por a b y c el plano se simboliza por n y las componentes de su traslacioacuten son

a2 + b2 b2 + c2 c2 + a2 y a2 + b2 + c2

Los planos d (aparece en la estructura del diamante) se tratan tambieacuten de planos diagonales Presentan como componentes de traslacioacuten cuartos de la fundamental es decir

a4 plusmn b4 b4 plusmn c4 c4 plusmn a4 y a4 plusmn b4 plusmn c4

El siguiente cuadro sintetiza la notacioacuten y simetriacutea de los planos en los grupos espaciales

Siacutembolo Siacutembolo graacutefico Orientacioacuten y Traslacioacuten

m

perpendicular al papel

paralelo al papel

(100) o (010) ninguna traslacioacuten

(001) ninguna traslacioacuten

a

perpendicular al papel

paralelo al papel

(010) traslacioacuten a2

(001) traslacioacuten a2

b

perpendicular al papel

paralelo al papel

(100) traslacioacuten b2

(001) traslacioacuten b2

c perpendicular al papel

(100) 0 (010) traslacioacuten c2

n

______ perpendicular al papel

paralelo al papel

traslacioacuten (b+c)2 en (100) traslacioacuten (c+a)2 en (010)

traslacioacuten (a+b)2 en (001) traslacioacuten (a+b+c)2 en (110) en sistemas tetragonal o cuacutebico

d

perpendicular al papel

paralelo al papel

traslacioacuten (b+c)4 en (100) traslacioacuten (c+a)4 en (010)

traslacioacuten (a+b)4 en (001) traslacioacuten (a+b+c)4 en (110) en sistemas tetragonal o cuacutebico

- Eje helicoidal

Un eje helicoidal implica similarmente una operacioacuten doble

Un giro el permisible para su orden

Una traslacioacuten constante a lo largo del eje

Como sabemos el orden del eje es el nuacutemero de repeticiones que se necesitan para lograr la identidad implicando una serie de giros sucesivos hasta haber completado su operacioacuten de simetriacutea total

En un eje helicoidal cada uno de estos giros parciales debe asociarse a una parte aliacutecuota de la traslacioacuten total t paralela a la direccioacuten del eje La identidad se logra en la operacioacuten giro cuando se ha aplicado tantas veces el giro permisible como indica el orden del eje

Haciendo el periodo de identidad t coincidente con el giro completo del eje se obtienen los siguientes ejes helicoidales

Siacutembolo Siacutembolo graacutefico Denominacioacuten Giro Traslacioacuten

21 Eje binario helicoidal 180ordm t2

31 Eje ternario helicoidal

derecho120ordm

dextroacutegiro t3

32 Eje ternario helicoidal

izquierdo 120ordm levoacutegiro t3

41 Eje cuaternario helicoidal

derecho90ordm

dextroacutegiro t4

43 Eje cuaternario helicoidal

izquierdo 90ordm levoacutegiro t4

61 Eje senario helicoidal

derecho 60ordmdextroacutegiro t6

65 Eje senario helicoidal

izquierdo 60ordm levoacutegiro t6

Tambieacuten se pueden deducir los ejes helicoidales haciendo que la identidad se alcance para Nn giros siendo N el orden del eje y n un divisor entero de N

N (orden

del eje)

n (divisor entero de N)

Nn (giros)

Siacutembolo Siacutembolo graacutefico Denominacioacuten Giro Traslacioacuten

4 T2 2 42 Eje cuaternario-binario helicoidal 90ordm t2

6 3 2 63

Eje senario-ternario

helicoidal60ordm t2

6 2 3 62

Eje senario-binario helicoidal

derecho

60ordm dextroacutegiro t3

6 2 3 64

Eje senario-binario helicoidal

izquierdo

60ordm levoacutegiro t3

- Los 17 grupos planos En la deduccioacuten de los grupos planos hay que tener en cuenta que es el motivo contenido de la celda definida por unas traslaciones dadas el que muestra la existencia de los elementos de simetriacutea Es decir que las partes del motivo estaacuten relacionadas entre siacute por dichos elementos de simetriacutea (que puede ser simetriacutea con traslacioacuten) que la suma de estas partes constituye la celda y que las celdas implican una meacutetrica dada es decir tiene una forma y unas dimensiones que condicionan una simetriacutea maacutexima

En los grupos planos los haces de elementos de simetriacutea son perpendiculares al plano que se asocia a un tipo de red plana El nuacutemero de estos grupos planos es de 17

- Grupos planos con red oblicua

La simetriacutea maacutexima que permite una red obiacutecua es un haz de ejes binarios Existiraacuten por tanto dos posibilidades

Grupo plano p1 p como indicativo de primitivo y 1 como indicativo de no simetriacutea El dominio complejo coincide con el motivo y por tanto su multiplicidad es 1

Grupo plano p2 p como indicativo de primitivo y 2 como indicativo de eje binario de simetriacutea La multiplicidad del dominio complejo es 2 ya que la simetriacutea genera duplicidad del motivo

- Grupos planos con red rectangular

La simetriacutea maacutexima que permite una red rectangular es dos haces de planos de simetriacutea y un haz de ejes binarios Existiraacuten por tanto diferentes combinaciones

Grupo plano pm p como indicativo de primitivo y m como indicativo del plano de simetriacutea La multiplicidad del dominio complejo es 2 ya que la simetriacutea genera duplicidad del motivo

Grupo plano pg p como indicativo de primitivo y g como indicativo del plano de deslizamiento La multiplicidad del dominio complejo es 2 ya que la simetriacutea genera duplicidad del motivo

Grupo plano pmm (p2mm) p como indicativo de primitivo y dos m como indicativo de planos de simetriacutea mutuamente perpendiculares Los planos de simetriacutea llevan impliacutecitos la aparcicioacuten de ejes binarios La multiplicidad del dominio complejo es 4

Grupo plano pmg (p2mg) p como indicativo de primitivo y planos perpendiculares de tipo distinto (m ordinarios y g de deslizamiento) Esto hace que los ejes de simetriacutea no se encuentren en la interseccioacuten sino desplazados a lo largo del plano de deslizamiento a mitad de la componente desplazamiento El origen de la celda se toma sobre un eje binario La multiplicidad del dominio complejo es 4

Grupo plano pgg(p2gg) p como indicativo de primitivo y dos g de planos perpendiculares de deslizamiento Esto hace que los ejes de simetriacutea no se encuentren en la interseccioacuten sino desplazados a lo largo de cada plano de deslizamiento a mitad de la componente deslizamiento El origen de la celda se toma sobre un eje binario La multiplicidad del dominio complejo es 4

- Grupos planos con red roacutembica o rectangular centrada

Grupo plano cm c como indicativo de la operacioacuten de centrado y m como indicativo del plano de simetriacutea La operacioacuten de centrado lleva impliacutecita la existencia de un plano de deslizamiento La multiplicidad del dominio complejo es 4

Grupo plano cmm (c2mm) c como indicativo de centrado y dos m como indicativo de planos de simetriacutea mutuamente perpendiculares La operacioacuten de centrado lleva impliacutecita la existencia de planos de deslizamiento La multiplicidad del dominio complejo es 4 Los planos de simetriacutea ordinarios y de deslizamiento llevan impliacutecitos la aparcicioacuten de ejes binarios en las intersecciones del mismo tipo de planos no de distintos La multiplicidad del dominio complejo es 8

- Grupos planos con red cuadrada

La simetriacutea maacutexima que permite una red cuadrada es un haz de ejes cuaternarios y sus planos de simetriacutea contenidos en ellos En todos los casos se toma un eje cuaternario como origen de

la celda apareciendo otro eje cuaternario en el centro de la celda Existiraacuten por tanto diferentes combinaciones

Grupo plano p4 p como indicativo de primitivo y 4 como indicativo de eje cuaternario de simetriacutea Los ejes cuaternarios generan la aparcicioacuten de ejes binarios intercalados entre los cuaternarios La multiplicidad del dominio complejo es 4

Grupo plano p4mm p como indicativo de primitivo 4 como indicativo de eje cuaternario de simetriacutea y m como los planos de simetriacutea que contienen a dichos ejes Los ejes cuaternarios generan la aparcicioacuten de ejes binarios intercalados entre los cuaternarios y toda la simetriacutea genera planos de deslizamiento paralelos a las diagonales de la celda La multiplicidad del dominio complejo es 8

Grupo plano p4gm p como indicativo de primitivo 4 como indicativo de eje cuaternario de simetriacutea g como planos de deslizamiento y m como los planos de simetriacutea La multiplicidad del dominio complejo es 8

- Grupos planos con red hexagonal

La simetriacutea maacutexima que permite una red hexagonal es un haz de ejes senarios o ternarios y los planos de simetriacutea que contienen a dichos ejes Existiraacuten por tanto diferentes combinaciones

Grupo plano p3 p como indicativo de primitivo y 3 como indicativo de eje ternario de simetriacutea Los ejes ternarios generan la aparcicioacuten de otros ternarios en el centro de los dos triaacutengulos equilaacuteteros que conforman la celda La multiplicidad del dominio complejo es 3

Grupo plano p3m1 p como indicativo de primitivo 3 como indicativo de eje ternario de simetriacutea y m como plano de simetriacutea en la diagonal mayor del rombo Se genera alternancia de planos de deslizamiento La multiplicidad del dominio complejo es 6

Grupo plano p31m p como indicativo de primitivo 3 como indicativo de eje ternario de simetriacutea y m como plano de simetriacutea en la diagonal menor del rombo Se genera alternancia de planos de deslizamiento La multiplicidad del dominio complejo es 6

Grupo plano p6 p como indicativo de primitivo y 6 como indicativo de eje senario de simetriacutea Se generan ejes ternarios en los centros de los triaacutengulos equilaacuteteros conformadores y ejes binarios en los centros de los lados de dichos triaacutengulos La multiplicidad del dominio complejo es de 6

Grupo plano p6mm p como indicativo de primitivo 6 como indicativo de eje senario de simetriacutea y m de los planos de simetriacutea que los contienen Se generan ejes ternarios en los centros de los triaacutengulos equilaacuteteros conformadores ejes binarios en los centros de los lados de dichos triaacutengulos y planos de deslizamiento alternantes La multiplicidad del dominio complejo es de 12

La tabla que relaciona los grupos puntuales y los grupos planos pone de manifiesto que no todas las combinaciones conducen a nuevos o diferentes grupos puntuales La interaccioacuten de la simetriacutea del motivo con la simetriacutea de las diversas redes planas afecta al contenido de simetriacutea resultante del modelo planar El modelo final muestra la simetriacutea de la red cuando los elementos de simetriacutea del motivo estaacuten alineados con los elementos de simetriacutea correspondiente de la red Si el motivo tiene menos simetriacutea que la red el modelo expresaraacute el menor grado de simetriacutea del motivo con los elementos de simetriacutea de eacuteste alineados con los correspondientes elementos de simetriacutea de la red

Red Grupo puntual Grupo plano

1 p1 Obliacutecua

2 p2 m pm pg

Rectangular mm pmm pmg pgg m cm

Roacutembica mm cmm

4 p4

Cuadrada

4mm p4mm p4gm

3 p3 3m p3m p31m 6 p6

Hexagonal

6mm p6mm

- Grupos espaciales Los grupos espaciales representan las diversas formas en que los motivos pueden distribuirse en el espacio en una estructura homogeacutenea

Los grupos espaciales surgen de la combinacioacuten de los 14 tipos posibles de redes espaciales (redes de Bravais) con la simetriacutea propia de las 32 clases cristalinas o grupos puntuales maacutes la simetriacutea con traslacioacuten

Las caracteriacutesticas de la red se expresan con las letras P A B C F I R de las redes de Bravais que designan el tipo de red general A continuacioacuten se describen en el siacutembolo los elementos de simetriacutea

Ejemplos

P4m2m2m oacute p4mmm

4m2m2m oacute 4mmm Grupo de simetriacutea 4mmm

P Red tetragonal sencilla

P42n2n2m oacute P42nnm

42nnm Grupo isogonal con el 4mmm donde los ejes de rotacioacuten cuaternaria del grupo puntual aparecen como ejes de rotoinversioacuten cuaternaria y helicoidal cuaternario paralelos y alternativos Existen planos de deslizamiento n y de simetriacutea m asiacute como ejes de rotacioacuten binaria con helicoidales binarios intercalados

P Red tetragonal sencilla

Al igual que ocurriacutea en los grupos planos en los grupos espaciales con redes no primitivas la operacioacuten de centrado introduce la simetriacutea con traslacioacuten y sin embargo estos nuevos elementos no se aprecian en los siacutembolos Por ejemplo

C2m

2m Grupo de simetriacutea 2m Sin embargo aparecen debido al centrado ejes helicoidales binarios intercalados con los binarios y planos de deslizamiento intercalados con los planos de simetriacutea

C Red roacutembica centrada de tipo C

Los 230 grupos espaciales vienen descritos en las International Tables for X-ray Crystallography clasificadas seguacuten los grupos puntuales y los sistemas cristalinos

Una composicioacuten de la informacioacuten contenida en estas Tablas se muestra a continuacioacuten para el grupo espacial Cmm2 en el que la C significa una red centrada en las caras separadas por el eje c la primera m representa un plano de simetriacutea perpendicular al eje a la segunda m

representa un plano de simetriacutea perpendicular al eje b y el 2 se refiere al eje binario paralelo al eje c

  • EL ESTADO CRISTALINO
Page 13: Cristalografia Estructural

Redes monocliacutenicas (abc α=γ=90ordmszlig )

La celda es un paralelepiacutepedo no recto de base rectangular (formados por redes planas rectangulares)

- Red monocliacutenica primitiva P

- Red monocliacutenica de base centrada

La operacioacuten de centrado de redes permite la generacioacuten de este otro tipo de red Si se centra la red plana rectangular (100) su siacutembolo es A y si se centra la (001) es C Morfoloacutegicamente estas redes soacutelo se diferencian en su orientacioacuten por tanto las redes monocliacutenicas de base centrada A y C son equivalentes

Redes roacutembicas (abc α=szlig=γ=90ordm)

- Red roacutembica primitiva P

El paralelepiacutepedo fundamental es un prisma recto de base rectangular Los tres planos fundamentales (100) (010) y (001) maacutes los planos diagonales del prisma son redes planas rectangulares

- Redes roacutembicas centradas

La operacioacuten de centrado de redes permite la generacioacuten de estos otros tipos de red Si se centran las redes planas rectangulares (100) (010) y (001) sus siacutembolos son respectivamente A B y C

Morfoloacutegicamente estas redes son iguales y se denominan red roacutembica de base centrada simbolizada por C Cuando la operacioacuten de centrado es sobre las tres caras a la vez la red se denomina red roacutembica de caras centradas y se simboliza por F Si el centrado se produce en los planos diagonales del prisma la red resultante se denomina red roacutembica centrada en el interior de siacutembolo I

Redes tetragonales (a=bc α=szlig=γ=90ordm)

- Red tetragonal P

La celda fundamental es un prisma recto de base cuadrada La familia de planos (001) son de red plana cuadrada mientras que (100) y (010) son rectangulares e ideacutenticos entre siacute

- Red tetragonal centrada I

Al ser iguales por simetriacutea los planos (100) y (010) no pueden centrarse independientemente y a su vez no pueden hacerlo simultaacuteneamente porque ello destruye la homogeneidad de los planos de la misma familia

Sin embargo los planos diagonales que son tambieacuten redes rectangulares pueden centrarse dando origen a la red tetragonal centrada en el interior I

Red hexagonal P (a=bc α=szlig=90ordm γ=120ordm 60ordm)

El paralelepiacutepedo fundamental es un prisma recto de base roacutembica (de aacutengulo de 60ordm) Para visualizar la forma hexagonal se toma una celda muacuteltiple integrada por tres de estas celdillas roacutembicas

Esta red hexagonal permite un apilamiento especial de los planos hexagonales Seguacuten eacuteste los nudos se proyectan a 13 o a 23 de la diagonal mayor del rombo dando como resultado una red romboeacutedrica R de (a=b=c α=szlig=γ90ordm)

Redes cuacutebicas (a=b=c α=szlig=γ=90ordm)

- Red cuacutebica primitiva P

El paralelepiacutepedo fundamental es un cubo

- Redes cuacutebicas centradas

El centrado de las caras del cubo no debiera ser posible puesto que son redes planas cuadradas Las redes cuacutebicas centradas se originan cuando el aacutengulo del romboedro se hace igual a 60ordm y las tres diagonales del romboedro se hacen iguales entre siacute definiendo las aristas de un cubo que circunscribe al romboedro Asiacute la distribucioacuten de nudos es la correspondiente a un cubo de caras centradas originando la red cuacutebica de caras centradas F

De forma similar cuando el aacutengulo entre las aristas del romboedro es de 109ordm 28acute 16acuteacute las diagonales de sus tres caras fundamentales son perpendicuales entre si e iguales en magnitud y definen un cubo inscrito en el romboedro La distribucioacuten de nudos corresponde a una red cuacutebica centrada en el interior I

(Las redes cuacutebicas no soacutelo son casos especiales de redes romboeacutedricas sino que tambieacuten lo son de redes tetragonales)

13- SIMETRIacuteA La porcioacuten miacutenima del espacio cristalino que contiene en siacute misma toda la simetriacutea de la red cristalina es la celda unidad El medio cristalino por ser perioacutedico es un medio simeacutetrico y todas sus propiedades derivan de este hecho

Entendiendo por simetriacutea aquella transformacioacuten que al aplicarse a un objeto hace que eacuteste conserve todas sus dimensiones y lo deje en una posicioacuten indistinguible de su posicioacuten original la operacioacuten de simetriacutea maacutes sencilla que existe por definicioacuten en el medio cristalino es la simple traslacioacuten entre un motivo y otro

- Elementos de simetriacuteaEl lugar geomeacutetrico que ayuda a la visualizacioacuten de la simetriacutea de una distribucioacuten ordenada recibe el nombre de elemento de simetriacutea Los elementos de simetriacutea puntual (la operacioacuten de simetriacutea deja un punto particular del diagrama inmoacutevil) sin traslacioacuten son el plano de simetriacutea el eje de rotacioacuten y el centro de simetriacutea o centro de inversioacuten

El plano de simetriacutea m o de reflexioacuten refleja partes o todos ideacutenticos del objeto a traveacutes de un plano

El eje de rotacioacuten origina una rotacioacuten al objeto de 360ordmn alrededor del eje (de derecha a izquierda)

eje monario n=1 (360ordm1=360ordm)

eje binario (perpendicular al plano) (paralelo al plano)

n=2 (360ordm2=180ordm)

eje ternario n=3 (360ordm3=120ordm)

eje cuaternario n=4 (360ordm4=90ordm)

eje senario n=6 (360ordm6=60ordm)

(La restriccioacuten cristalograacutefica limita los giros permisibles a estos cinco para que su orden sea compatible con la existencia de redes)

Las combinaciones de ambos elementos de simetriacutea originan los ejes de rotacioacuten impropios

- eje de rotorreflexioacuten rotacioacuten de 360ordmn seguida por reflexioacuten en un plano perpendicular al eje

- eje de rotoinversioacuten rotacioacuten de 360ordmn seguida por inversioacuten a traveacutes de un punto en el eje

orden 1 orden 3 orden 4 orden 6

Nota Los ejes de rotoinversioacuten se representan por el orden del eje (2 3 4 o 6) con el siacutembolo negativo encima de ellos En esta Web ese siacutembolo se identifica tambieacuten por el signo negativo bien delante o inferior al nuacutemero de orden del eje

(el esquema superior representa una rotoreflexioacuten de orden 4 y el inferior una rotoinversioacuten del mismo orden)

Por su parte el centro de simetriacutea i o centro de inversioacuten es un elemento de simetriacutea puntual que invierte el objeto a traveacutes de una liacutenea recta

- Combinacioacuten de elementos de simetriacuteaLa combinacioacuten de elementos de simetriacutea no se produce al azar estaacute regida por una serie de normas y limitaciones que son

- Los elementos que se combinan guardan unas relaciones angulares caracteriacutesticas

- La combinacioacuten de algunos elementos de simetriacutea genera directamente la presencia de otros

Eje de orden par + centro de simetriacutea ------- plano de simetriacutea perpendicular al eje

Eje de orden n contenido en un plano de simetriacutea -------- n-1 planos de simetriacutea que intersectan en el eje

Dos ejes que se cortan --------- un tercer eje que pasa por el punto de corte

(entre propios e impropios soacutelo es posible un propio y dos impropios)

Eje de orden n + eje binario perpendicular -------- n-1 ejes binarios tambieacuten normales a eacutel

Eje de inversioacuten de orden n(impar) + eje binario perpendicular -------- n ejes binarios y planos de simetriacutea

Eje de inversioacuten de orden n(par) + eje binario perpendicular -------- n2 ejes binarios y planos de simetriacutea

-Los ejes de inversioacuten realizan una operacioacuten de simetriacutea equivalente a la de dos elementos de simetriacutea (excepto el de orden 4)

3 = 3 + i

Eje de rotoinversioacuten de orden impar = eje propio del mismo orden + centro de simetriacutea

(6 = 3 + m)

Eje de rotoinversioacuten de orden par = eje propio de mitad de orden + un plano de simetriacutea perpendicular a eacutel

- Las 32 clases de simetriacuteaEs faacutecil prever que en el medio cristalino los elementos de simetriacutea se combinan entre siacute hasta engendrar los modelos cristalinos regulares que se combinan de treinta y dos maneras distintas y dan lugar a las treinta y dos posibles clases cristalinas o grupos puntuales (la operacioacuten de simetriacutea deja un punto particular del diagrama inmoacutevil) existentes

Estas treinta y dos clases cristalinas se han obtenido mediante las siguientes combinaciones de elementos de simetriacutea

Siacutembolo Combinacioacuten de simetriacutea Elementos de simetriacutea

1 Eje monario (giro de 360ordm)

2 Eje binario (giro de 180ordm)

3 Eje ternario (giro de 120ordm)

4 Eje cuaternario (giro de 90ordm)

6 Eje senario (giro de 60ordm)

1 Eje monario de inversioacuten (giro de 360ordm+inversioacuten) = centro de inversioacuten (2=i)

2 Eje binario de inversioacuten (giro de 180ordm+inversioacuten) = plano de simetriacutea (2=m)

3 Eje ternario de inversioacuten (giro de 120ordm+inversioacuten)

T4 TEje cuaternario de inversioacuten (giro de 90ordm+inversioacuten)

6

Clases con un soacutelo elemento de simetriacutea

Eje senario de inversioacuten (giro de 60ordm+inversioacuten) = eje ternario + plano de simetriacutea perpendicular

(6=3m)

222 Tres ejes binarios en planos perpendiculares entre siacute

32 Un eje ternario + tres ejes binarios en planos perpendiculares

422 Un eje cuaternario + dos ejes binarios en planos perpendiculares

622 Un eje senario + tres ejes binarios a 120ordm (plano perpendicular al senario)

23 Cuatro ejes ternarios + Tres ejes binarios

432

Clases con combinacioacuten de ejes

Tres ejes cuaternarios + cuatro ejes ternarios + seis ejes binarios

2m Clases con un eje de Eje binario + plano de simetriacutea perpendicular a eacutel

4m Eje cuaternario + plano de simetriacutea perpendicular a eacutel

6m

orden par + un centro de simetriacutea

(Eje de orden par + centro de simetriacutea=plano de

simetriacutea perpendicular al eje)

Eje senario + plano de simetriacutea perpendicular a eacutel

2mm Eje binario + dos planos de simetriacutea que se cortan en eacutel

3m Eje ternario + tres planos de simetriacutea que se cortan en eacutel

4mm Eje cuaternario + cuatro planos de simetriacutea que se cortan en eacutel

6mm

Clases con un eje + un plano de simetriacutea que

contenga al eje

Eje senario + seis planos de simetriacutea que se cortan en eacutel

42m Eje cuaternario de inversioacuten + dos ejes binarios + dos planos de simetriacutea

43m Tres ejes cuaternarios de inversioacuten + cuatro ejes ternarios + seis planos de simetriacutea

62m

Clases con un eje + dos ejes impropios

Eje senario de inversioacuten (=eje ternario + plano de simetriacutea perpendicular) + tres ejes binarios + tres

planos de simetriacutea

2m2m2m

(mmm)

Tres ejes binarios + tres planos de simetriacutea perpendiculares

32m

(3m)

Un eje ternario + tres ejes binarios + tres planos de simetriacutea perpendiculares + un centro de simetriacutea

4m2m2m

(4mmm)

Un eje cuaternario + un plano de simetriacutea perpendicular + cuatro ejes binarios + cuatro

planos de simetriacutea perpendiculares + centro de simetriacutea

6m2m2m

(6mmm)

Un eje senario + un plano de simetriacutea perpendicular + seis ejes binarios + seis planos de simetriacutea perpendiculares + un centro de simetriacutea

2m3

(m3)

Cuatro ejes ternarios + tres ejes binarios + tres planos de simetriacutea perpendiculares + un centro de

simetriacutea

4m32m

(m3m)

TClases con tres ejes + un centro de

simetriacutea

Tres ejes cuaternarios + tres planos de simetriacutea perpendiculares + cuatro ejes ternarios + seis ejes binarios + seis planos de simetriacutea perpendiculares

+ un centro de simetriacutea

La distribucioacuten sistema cristalino-Redes de Bravais-Grupos puntuales o clases de simetriacutea es la siguiente

Red de Bravais Sistema Grupo puntual

Red Tricliacutenica primitiva P Tricliacutenico 1 1Red monocliacutenica primitiva PRed monocliacutenica centrada en las caras C

Monocliacutenico 2 m 2m

Red roacutembica primitiva PRed roacutembica centrada en las bases CRed roacutembica centrada en el interior IRed roacutembica centrada en las caras F

Roacutembico 222 mm2 mmm

Red tetragonal primitiva P

Red tetragonal centrada en el interior CTetragonal

4 4 4m 4mm 422

42m 4mmm

Red hexagonal primitiva P Hexagonal6 6 6m 6mm 622

62m 6mmm

Red romboeacutedrica primitiva P Romboeacutedrico o Trigonal

3 3 3m 32 3m

Red cuacutebica primitiva PRed cuacutebica centrada en el interior IRed cuacutebica centrada en las caras F

Cuacutebico o Isomeacutetrico23 m3

43m 432 m3m

- Simetriacutea y redes de BravaisLa presencia de elementos de simetriacutea en la red cristalina condiciona a su vez la existencia de ciertas relaciones meacutetricas entre los elementos de la celda elemental las relaciones angulares entre los ejes del cristal o ejes cristalograacuteficos y las intersecciones sobre estos ejes de la cara fundamental (111) Las dimensiones de estas intersecciones son proporcionales a las traslaciones en las tres dimensiones de la red

Por esta razoacuten se han agrupado las redes de Bravais en siete grandes grupos redes tricliacutenicas redes monocliacutenicas redes roacutembicas redes tetragonales redes hexagonales redes romboeacutedricas y redes cuacutebicas Cada uno de estos grupos de redes corresponde a un sistema cuyo nombre es ideacutentico al de las redes correspondientes y posee unas constantes reticulares fijas y una miacutenima simetriacutea caracteriacutestica

Red de Bravais SistemaRed Tricliacutenica primitiva P TricliacutenicoRed monocliacutenica primitiva PRed monocliacutenica centrada en las caras C

Monocliacutenico

Red roacutembica primitiva PRed roacutembica centrada en las bases CRed roacutembica centrada en el interior IRed roacutembica centrada en las caras F

Roacutembico

Red tetragonal primitiva PRed tetragonal centrada en el interior C

Tetragonal

Red hexagonal primitiva P HexagonalRed romboeacutedrica primitiva P Romboeacutedrico o Trigonal Red cuacutebica primitiva PRed cuacutebica centrada en el interior IRed cuacutebica centrada en las caras F

Cuacutebico o Isomeacutetrico

Las constantes reticulares y la miacutenima simetriacutea que caracteriza a cada grupo de redes o sistema cristalino es la siguiente

- Sistema tricliacutenico (abc αszligγ90ordm)

No posee ninguna simetriacutea miacutenima

- Sistema monocliacutenico (abc α=γ=90ordmszliggt90ordm)

Presenta como simetriacutea miacutenima un eje de rotacioacuten binario o un eje de inversioacuten binario (=plano de simetriacutea)

- Sistema roacutembico (abc α=szlig=γ=90ordm)

Como miacutenimo posee tres ejes binarios perpendiculares entre siacute

- Sistema tetragonal (a=bc α=szlig=γ=90ordm)

Posee como caracteriacutestica fundamental un eje de rotacioacuten cuaternario o un eje de inversioacuten cuaternario

- Sistema hexagonal (a=bc α=szlig=90ordm γ=120ordm)

Su caracteriacutestica fundamental es la presencia de un eje de rotacioacuten senario o un eje de inversioacuten senario (eje ternario + plano de simetriacutea perpendicular)

Para mayor precisioacuten generalmente se introduce un cuarto eje i coplanario con a y b que forma un aacutengulo de 120ordm con cada uno de ellos asiacute la cruz axial seraacute (a=b=ic α=szlig=90ordm γ=120ordm)

Iacutendices de Miller hexagonales Como se trabaja con un cuarto iacutendice que se situacutea en el plano a1 a2 y a 120ordm de cada uno de estos ejes los planos hexagonales se van a representar por cuatro iacutendices (hkil) El valor de i se determina como h+k

- Sistema romboeacutedrico o trigonal (a=b=c α=szlig=γ90ordm)

Su caracteriacutestica comuacuten es la presencia de un eje de rotacioacuten ternario o un eje de inversioacuten ternario (eje ternario + centro de simetriacutea)

- Sistema cuacutebico (a=b=c α=szlig=γ=90ordm)

Posee como caracteriacutestica fundamental cuatro ejes de rotacioacuten ternarios inclinados a 10947ordm

NOTA Ademaacutes de las constantes reticulares para definir un sistema cristalino puede utilizarse la relacioacuten parameacutetrica siendo eacutesta la relacioacuten existente entre los moacutedulos de a y c respecto al moacutedulo de b

ab 1 cb

Normalmente se toman estos valores y los aacutengulos para definir la red

14- SIMETRIacuteA CON TRASLACIOacuteN - Elementos de simetriacutea con traslacioacutenLa red cristalina soacutelo tiene sentido como indicadora de la periodicidad que se presenta en el cristal como consecuencia de la repeticioacuten del motivo Debido a ello la simetriacutea que revela por siacute la red no tiene que ser necesariamente la que posea el cristal aunque en general lo sea

Ejemplo La coesita (variedad de la siacutelice de alta presioacuten) tiene una red cuya meacutetrica es roacutembica mientras que la estructura es monocliacutenica ya que el motivo carece de ciertos elementos de simetriacutea que la meacutetrica de la red indicaban

Es faacutecil comprender que debido a que la red es solamente la consecuencia de unas fuerzas cohesivas entre los aacutetomos que forman el cristal fuerzas que obligan a una repeticioacuten monoacutetona de las agrupaciones atoacutemicas la simetriacutea de la red debe estar iacutentimamente relacionada con la del cristal entendido como agrupacioacuten repetitiva de aacutetomos

La red nos proporciona por tanto la simetriacutea maacutexima que el cristal puede tener pero dicha simetriacutea depende de la simetriacutea propia del motivo La complejidad que el motivo cristalino aacutetomos iones y moleacuteculas aporta a la red cristalina hace que los elementos de simetriacutea del medio cristalino se ampliacuteen Aparece la traslacioacuten que tiene dimensiones submicroscoacutepicas no accesibles a la morfologiacutea macroscoacutepica

Los operadores de simetriacutea que completan la tarea de rellenar el espacio cristalino se consideran cada uno de ellos como una sola y nueva operacioacuten de simetriacutea Estos son los planos de deslizamiento que implican la reflexioacuten asociada a una traslacioacuten y los ejes helicoidales que implican a su vez giro y traslacioacuten

- Plano de deslizamiento

El plano de deslizamiento realiza simultaacuteneamente dos operaciones refleja la imagen o traslada la imagen a intervalos de media traslacioacuten

Cuando la semitraslacioacuten asociada al plano de deslizamiento corresponde a alguna de las direcciones fundamentales del cristal el plano se denomina a b c respectivamente

Cuando la semitraslacioacuten corresponde a la diagonal del plano reflector es decir el plano de deslizamiento se situacutea paralelo a la diagonal entre las filas definidas por a b y c el plano se simboliza por n y las componentes de su traslacioacuten son

a2 + b2 b2 + c2 c2 + a2 y a2 + b2 + c2

Los planos d (aparece en la estructura del diamante) se tratan tambieacuten de planos diagonales Presentan como componentes de traslacioacuten cuartos de la fundamental es decir

a4 plusmn b4 b4 plusmn c4 c4 plusmn a4 y a4 plusmn b4 plusmn c4

El siguiente cuadro sintetiza la notacioacuten y simetriacutea de los planos en los grupos espaciales

Siacutembolo Siacutembolo graacutefico Orientacioacuten y Traslacioacuten

m

perpendicular al papel

paralelo al papel

(100) o (010) ninguna traslacioacuten

(001) ninguna traslacioacuten

a

perpendicular al papel

paralelo al papel

(010) traslacioacuten a2

(001) traslacioacuten a2

b

perpendicular al papel

paralelo al papel

(100) traslacioacuten b2

(001) traslacioacuten b2

c perpendicular al papel

(100) 0 (010) traslacioacuten c2

n

______ perpendicular al papel

paralelo al papel

traslacioacuten (b+c)2 en (100) traslacioacuten (c+a)2 en (010)

traslacioacuten (a+b)2 en (001) traslacioacuten (a+b+c)2 en (110) en sistemas tetragonal o cuacutebico

d

perpendicular al papel

paralelo al papel

traslacioacuten (b+c)4 en (100) traslacioacuten (c+a)4 en (010)

traslacioacuten (a+b)4 en (001) traslacioacuten (a+b+c)4 en (110) en sistemas tetragonal o cuacutebico

- Eje helicoidal

Un eje helicoidal implica similarmente una operacioacuten doble

Un giro el permisible para su orden

Una traslacioacuten constante a lo largo del eje

Como sabemos el orden del eje es el nuacutemero de repeticiones que se necesitan para lograr la identidad implicando una serie de giros sucesivos hasta haber completado su operacioacuten de simetriacutea total

En un eje helicoidal cada uno de estos giros parciales debe asociarse a una parte aliacutecuota de la traslacioacuten total t paralela a la direccioacuten del eje La identidad se logra en la operacioacuten giro cuando se ha aplicado tantas veces el giro permisible como indica el orden del eje

Haciendo el periodo de identidad t coincidente con el giro completo del eje se obtienen los siguientes ejes helicoidales

Siacutembolo Siacutembolo graacutefico Denominacioacuten Giro Traslacioacuten

21 Eje binario helicoidal 180ordm t2

31 Eje ternario helicoidal

derecho120ordm

dextroacutegiro t3

32 Eje ternario helicoidal

izquierdo 120ordm levoacutegiro t3

41 Eje cuaternario helicoidal

derecho90ordm

dextroacutegiro t4

43 Eje cuaternario helicoidal

izquierdo 90ordm levoacutegiro t4

61 Eje senario helicoidal

derecho 60ordmdextroacutegiro t6

65 Eje senario helicoidal

izquierdo 60ordm levoacutegiro t6

Tambieacuten se pueden deducir los ejes helicoidales haciendo que la identidad se alcance para Nn giros siendo N el orden del eje y n un divisor entero de N

N (orden

del eje)

n (divisor entero de N)

Nn (giros)

Siacutembolo Siacutembolo graacutefico Denominacioacuten Giro Traslacioacuten

4 T2 2 42 Eje cuaternario-binario helicoidal 90ordm t2

6 3 2 63

Eje senario-ternario

helicoidal60ordm t2

6 2 3 62

Eje senario-binario helicoidal

derecho

60ordm dextroacutegiro t3

6 2 3 64

Eje senario-binario helicoidal

izquierdo

60ordm levoacutegiro t3

- Los 17 grupos planos En la deduccioacuten de los grupos planos hay que tener en cuenta que es el motivo contenido de la celda definida por unas traslaciones dadas el que muestra la existencia de los elementos de simetriacutea Es decir que las partes del motivo estaacuten relacionadas entre siacute por dichos elementos de simetriacutea (que puede ser simetriacutea con traslacioacuten) que la suma de estas partes constituye la celda y que las celdas implican una meacutetrica dada es decir tiene una forma y unas dimensiones que condicionan una simetriacutea maacutexima

En los grupos planos los haces de elementos de simetriacutea son perpendiculares al plano que se asocia a un tipo de red plana El nuacutemero de estos grupos planos es de 17

- Grupos planos con red oblicua

La simetriacutea maacutexima que permite una red obiacutecua es un haz de ejes binarios Existiraacuten por tanto dos posibilidades

Grupo plano p1 p como indicativo de primitivo y 1 como indicativo de no simetriacutea El dominio complejo coincide con el motivo y por tanto su multiplicidad es 1

Grupo plano p2 p como indicativo de primitivo y 2 como indicativo de eje binario de simetriacutea La multiplicidad del dominio complejo es 2 ya que la simetriacutea genera duplicidad del motivo

- Grupos planos con red rectangular

La simetriacutea maacutexima que permite una red rectangular es dos haces de planos de simetriacutea y un haz de ejes binarios Existiraacuten por tanto diferentes combinaciones

Grupo plano pm p como indicativo de primitivo y m como indicativo del plano de simetriacutea La multiplicidad del dominio complejo es 2 ya que la simetriacutea genera duplicidad del motivo

Grupo plano pg p como indicativo de primitivo y g como indicativo del plano de deslizamiento La multiplicidad del dominio complejo es 2 ya que la simetriacutea genera duplicidad del motivo

Grupo plano pmm (p2mm) p como indicativo de primitivo y dos m como indicativo de planos de simetriacutea mutuamente perpendiculares Los planos de simetriacutea llevan impliacutecitos la aparcicioacuten de ejes binarios La multiplicidad del dominio complejo es 4

Grupo plano pmg (p2mg) p como indicativo de primitivo y planos perpendiculares de tipo distinto (m ordinarios y g de deslizamiento) Esto hace que los ejes de simetriacutea no se encuentren en la interseccioacuten sino desplazados a lo largo del plano de deslizamiento a mitad de la componente desplazamiento El origen de la celda se toma sobre un eje binario La multiplicidad del dominio complejo es 4

Grupo plano pgg(p2gg) p como indicativo de primitivo y dos g de planos perpendiculares de deslizamiento Esto hace que los ejes de simetriacutea no se encuentren en la interseccioacuten sino desplazados a lo largo de cada plano de deslizamiento a mitad de la componente deslizamiento El origen de la celda se toma sobre un eje binario La multiplicidad del dominio complejo es 4

- Grupos planos con red roacutembica o rectangular centrada

Grupo plano cm c como indicativo de la operacioacuten de centrado y m como indicativo del plano de simetriacutea La operacioacuten de centrado lleva impliacutecita la existencia de un plano de deslizamiento La multiplicidad del dominio complejo es 4

Grupo plano cmm (c2mm) c como indicativo de centrado y dos m como indicativo de planos de simetriacutea mutuamente perpendiculares La operacioacuten de centrado lleva impliacutecita la existencia de planos de deslizamiento La multiplicidad del dominio complejo es 4 Los planos de simetriacutea ordinarios y de deslizamiento llevan impliacutecitos la aparcicioacuten de ejes binarios en las intersecciones del mismo tipo de planos no de distintos La multiplicidad del dominio complejo es 8

- Grupos planos con red cuadrada

La simetriacutea maacutexima que permite una red cuadrada es un haz de ejes cuaternarios y sus planos de simetriacutea contenidos en ellos En todos los casos se toma un eje cuaternario como origen de

la celda apareciendo otro eje cuaternario en el centro de la celda Existiraacuten por tanto diferentes combinaciones

Grupo plano p4 p como indicativo de primitivo y 4 como indicativo de eje cuaternario de simetriacutea Los ejes cuaternarios generan la aparcicioacuten de ejes binarios intercalados entre los cuaternarios La multiplicidad del dominio complejo es 4

Grupo plano p4mm p como indicativo de primitivo 4 como indicativo de eje cuaternario de simetriacutea y m como los planos de simetriacutea que contienen a dichos ejes Los ejes cuaternarios generan la aparcicioacuten de ejes binarios intercalados entre los cuaternarios y toda la simetriacutea genera planos de deslizamiento paralelos a las diagonales de la celda La multiplicidad del dominio complejo es 8

Grupo plano p4gm p como indicativo de primitivo 4 como indicativo de eje cuaternario de simetriacutea g como planos de deslizamiento y m como los planos de simetriacutea La multiplicidad del dominio complejo es 8

- Grupos planos con red hexagonal

La simetriacutea maacutexima que permite una red hexagonal es un haz de ejes senarios o ternarios y los planos de simetriacutea que contienen a dichos ejes Existiraacuten por tanto diferentes combinaciones

Grupo plano p3 p como indicativo de primitivo y 3 como indicativo de eje ternario de simetriacutea Los ejes ternarios generan la aparcicioacuten de otros ternarios en el centro de los dos triaacutengulos equilaacuteteros que conforman la celda La multiplicidad del dominio complejo es 3

Grupo plano p3m1 p como indicativo de primitivo 3 como indicativo de eje ternario de simetriacutea y m como plano de simetriacutea en la diagonal mayor del rombo Se genera alternancia de planos de deslizamiento La multiplicidad del dominio complejo es 6

Grupo plano p31m p como indicativo de primitivo 3 como indicativo de eje ternario de simetriacutea y m como plano de simetriacutea en la diagonal menor del rombo Se genera alternancia de planos de deslizamiento La multiplicidad del dominio complejo es 6

Grupo plano p6 p como indicativo de primitivo y 6 como indicativo de eje senario de simetriacutea Se generan ejes ternarios en los centros de los triaacutengulos equilaacuteteros conformadores y ejes binarios en los centros de los lados de dichos triaacutengulos La multiplicidad del dominio complejo es de 6

Grupo plano p6mm p como indicativo de primitivo 6 como indicativo de eje senario de simetriacutea y m de los planos de simetriacutea que los contienen Se generan ejes ternarios en los centros de los triaacutengulos equilaacuteteros conformadores ejes binarios en los centros de los lados de dichos triaacutengulos y planos de deslizamiento alternantes La multiplicidad del dominio complejo es de 12

La tabla que relaciona los grupos puntuales y los grupos planos pone de manifiesto que no todas las combinaciones conducen a nuevos o diferentes grupos puntuales La interaccioacuten de la simetriacutea del motivo con la simetriacutea de las diversas redes planas afecta al contenido de simetriacutea resultante del modelo planar El modelo final muestra la simetriacutea de la red cuando los elementos de simetriacutea del motivo estaacuten alineados con los elementos de simetriacutea correspondiente de la red Si el motivo tiene menos simetriacutea que la red el modelo expresaraacute el menor grado de simetriacutea del motivo con los elementos de simetriacutea de eacuteste alineados con los correspondientes elementos de simetriacutea de la red

Red Grupo puntual Grupo plano

1 p1 Obliacutecua

2 p2 m pm pg

Rectangular mm pmm pmg pgg m cm

Roacutembica mm cmm

4 p4

Cuadrada

4mm p4mm p4gm

3 p3 3m p3m p31m 6 p6

Hexagonal

6mm p6mm

- Grupos espaciales Los grupos espaciales representan las diversas formas en que los motivos pueden distribuirse en el espacio en una estructura homogeacutenea

Los grupos espaciales surgen de la combinacioacuten de los 14 tipos posibles de redes espaciales (redes de Bravais) con la simetriacutea propia de las 32 clases cristalinas o grupos puntuales maacutes la simetriacutea con traslacioacuten

Las caracteriacutesticas de la red se expresan con las letras P A B C F I R de las redes de Bravais que designan el tipo de red general A continuacioacuten se describen en el siacutembolo los elementos de simetriacutea

Ejemplos

P4m2m2m oacute p4mmm

4m2m2m oacute 4mmm Grupo de simetriacutea 4mmm

P Red tetragonal sencilla

P42n2n2m oacute P42nnm

42nnm Grupo isogonal con el 4mmm donde los ejes de rotacioacuten cuaternaria del grupo puntual aparecen como ejes de rotoinversioacuten cuaternaria y helicoidal cuaternario paralelos y alternativos Existen planos de deslizamiento n y de simetriacutea m asiacute como ejes de rotacioacuten binaria con helicoidales binarios intercalados

P Red tetragonal sencilla

Al igual que ocurriacutea en los grupos planos en los grupos espaciales con redes no primitivas la operacioacuten de centrado introduce la simetriacutea con traslacioacuten y sin embargo estos nuevos elementos no se aprecian en los siacutembolos Por ejemplo

C2m

2m Grupo de simetriacutea 2m Sin embargo aparecen debido al centrado ejes helicoidales binarios intercalados con los binarios y planos de deslizamiento intercalados con los planos de simetriacutea

C Red roacutembica centrada de tipo C

Los 230 grupos espaciales vienen descritos en las International Tables for X-ray Crystallography clasificadas seguacuten los grupos puntuales y los sistemas cristalinos

Una composicioacuten de la informacioacuten contenida en estas Tablas se muestra a continuacioacuten para el grupo espacial Cmm2 en el que la C significa una red centrada en las caras separadas por el eje c la primera m representa un plano de simetriacutea perpendicular al eje a la segunda m

representa un plano de simetriacutea perpendicular al eje b y el 2 se refiere al eje binario paralelo al eje c

  • EL ESTADO CRISTALINO
Page 14: Cristalografia Estructural

- Redes roacutembicas centradas

La operacioacuten de centrado de redes permite la generacioacuten de estos otros tipos de red Si se centran las redes planas rectangulares (100) (010) y (001) sus siacutembolos son respectivamente A B y C

Morfoloacutegicamente estas redes son iguales y se denominan red roacutembica de base centrada simbolizada por C Cuando la operacioacuten de centrado es sobre las tres caras a la vez la red se denomina red roacutembica de caras centradas y se simboliza por F Si el centrado se produce en los planos diagonales del prisma la red resultante se denomina red roacutembica centrada en el interior de siacutembolo I

Redes tetragonales (a=bc α=szlig=γ=90ordm)

- Red tetragonal P

La celda fundamental es un prisma recto de base cuadrada La familia de planos (001) son de red plana cuadrada mientras que (100) y (010) son rectangulares e ideacutenticos entre siacute

- Red tetragonal centrada I

Al ser iguales por simetriacutea los planos (100) y (010) no pueden centrarse independientemente y a su vez no pueden hacerlo simultaacuteneamente porque ello destruye la homogeneidad de los planos de la misma familia

Sin embargo los planos diagonales que son tambieacuten redes rectangulares pueden centrarse dando origen a la red tetragonal centrada en el interior I

Red hexagonal P (a=bc α=szlig=90ordm γ=120ordm 60ordm)

El paralelepiacutepedo fundamental es un prisma recto de base roacutembica (de aacutengulo de 60ordm) Para visualizar la forma hexagonal se toma una celda muacuteltiple integrada por tres de estas celdillas roacutembicas

Esta red hexagonal permite un apilamiento especial de los planos hexagonales Seguacuten eacuteste los nudos se proyectan a 13 o a 23 de la diagonal mayor del rombo dando como resultado una red romboeacutedrica R de (a=b=c α=szlig=γ90ordm)

Redes cuacutebicas (a=b=c α=szlig=γ=90ordm)

- Red cuacutebica primitiva P

El paralelepiacutepedo fundamental es un cubo

- Redes cuacutebicas centradas

El centrado de las caras del cubo no debiera ser posible puesto que son redes planas cuadradas Las redes cuacutebicas centradas se originan cuando el aacutengulo del romboedro se hace igual a 60ordm y las tres diagonales del romboedro se hacen iguales entre siacute definiendo las aristas de un cubo que circunscribe al romboedro Asiacute la distribucioacuten de nudos es la correspondiente a un cubo de caras centradas originando la red cuacutebica de caras centradas F

De forma similar cuando el aacutengulo entre las aristas del romboedro es de 109ordm 28acute 16acuteacute las diagonales de sus tres caras fundamentales son perpendicuales entre si e iguales en magnitud y definen un cubo inscrito en el romboedro La distribucioacuten de nudos corresponde a una red cuacutebica centrada en el interior I

(Las redes cuacutebicas no soacutelo son casos especiales de redes romboeacutedricas sino que tambieacuten lo son de redes tetragonales)

13- SIMETRIacuteA La porcioacuten miacutenima del espacio cristalino que contiene en siacute misma toda la simetriacutea de la red cristalina es la celda unidad El medio cristalino por ser perioacutedico es un medio simeacutetrico y todas sus propiedades derivan de este hecho

Entendiendo por simetriacutea aquella transformacioacuten que al aplicarse a un objeto hace que eacuteste conserve todas sus dimensiones y lo deje en una posicioacuten indistinguible de su posicioacuten original la operacioacuten de simetriacutea maacutes sencilla que existe por definicioacuten en el medio cristalino es la simple traslacioacuten entre un motivo y otro

- Elementos de simetriacuteaEl lugar geomeacutetrico que ayuda a la visualizacioacuten de la simetriacutea de una distribucioacuten ordenada recibe el nombre de elemento de simetriacutea Los elementos de simetriacutea puntual (la operacioacuten de simetriacutea deja un punto particular del diagrama inmoacutevil) sin traslacioacuten son el plano de simetriacutea el eje de rotacioacuten y el centro de simetriacutea o centro de inversioacuten

El plano de simetriacutea m o de reflexioacuten refleja partes o todos ideacutenticos del objeto a traveacutes de un plano

El eje de rotacioacuten origina una rotacioacuten al objeto de 360ordmn alrededor del eje (de derecha a izquierda)

eje monario n=1 (360ordm1=360ordm)

eje binario (perpendicular al plano) (paralelo al plano)

n=2 (360ordm2=180ordm)

eje ternario n=3 (360ordm3=120ordm)

eje cuaternario n=4 (360ordm4=90ordm)

eje senario n=6 (360ordm6=60ordm)

(La restriccioacuten cristalograacutefica limita los giros permisibles a estos cinco para que su orden sea compatible con la existencia de redes)

Las combinaciones de ambos elementos de simetriacutea originan los ejes de rotacioacuten impropios

- eje de rotorreflexioacuten rotacioacuten de 360ordmn seguida por reflexioacuten en un plano perpendicular al eje

- eje de rotoinversioacuten rotacioacuten de 360ordmn seguida por inversioacuten a traveacutes de un punto en el eje

orden 1 orden 3 orden 4 orden 6

Nota Los ejes de rotoinversioacuten se representan por el orden del eje (2 3 4 o 6) con el siacutembolo negativo encima de ellos En esta Web ese siacutembolo se identifica tambieacuten por el signo negativo bien delante o inferior al nuacutemero de orden del eje

(el esquema superior representa una rotoreflexioacuten de orden 4 y el inferior una rotoinversioacuten del mismo orden)

Por su parte el centro de simetriacutea i o centro de inversioacuten es un elemento de simetriacutea puntual que invierte el objeto a traveacutes de una liacutenea recta

- Combinacioacuten de elementos de simetriacuteaLa combinacioacuten de elementos de simetriacutea no se produce al azar estaacute regida por una serie de normas y limitaciones que son

- Los elementos que se combinan guardan unas relaciones angulares caracteriacutesticas

- La combinacioacuten de algunos elementos de simetriacutea genera directamente la presencia de otros

Eje de orden par + centro de simetriacutea ------- plano de simetriacutea perpendicular al eje

Eje de orden n contenido en un plano de simetriacutea -------- n-1 planos de simetriacutea que intersectan en el eje

Dos ejes que se cortan --------- un tercer eje que pasa por el punto de corte

(entre propios e impropios soacutelo es posible un propio y dos impropios)

Eje de orden n + eje binario perpendicular -------- n-1 ejes binarios tambieacuten normales a eacutel

Eje de inversioacuten de orden n(impar) + eje binario perpendicular -------- n ejes binarios y planos de simetriacutea

Eje de inversioacuten de orden n(par) + eje binario perpendicular -------- n2 ejes binarios y planos de simetriacutea

-Los ejes de inversioacuten realizan una operacioacuten de simetriacutea equivalente a la de dos elementos de simetriacutea (excepto el de orden 4)

3 = 3 + i

Eje de rotoinversioacuten de orden impar = eje propio del mismo orden + centro de simetriacutea

(6 = 3 + m)

Eje de rotoinversioacuten de orden par = eje propio de mitad de orden + un plano de simetriacutea perpendicular a eacutel

- Las 32 clases de simetriacuteaEs faacutecil prever que en el medio cristalino los elementos de simetriacutea se combinan entre siacute hasta engendrar los modelos cristalinos regulares que se combinan de treinta y dos maneras distintas y dan lugar a las treinta y dos posibles clases cristalinas o grupos puntuales (la operacioacuten de simetriacutea deja un punto particular del diagrama inmoacutevil) existentes

Estas treinta y dos clases cristalinas se han obtenido mediante las siguientes combinaciones de elementos de simetriacutea

Siacutembolo Combinacioacuten de simetriacutea Elementos de simetriacutea

1 Eje monario (giro de 360ordm)

2 Eje binario (giro de 180ordm)

3 Eje ternario (giro de 120ordm)

4 Eje cuaternario (giro de 90ordm)

6 Eje senario (giro de 60ordm)

1 Eje monario de inversioacuten (giro de 360ordm+inversioacuten) = centro de inversioacuten (2=i)

2 Eje binario de inversioacuten (giro de 180ordm+inversioacuten) = plano de simetriacutea (2=m)

3 Eje ternario de inversioacuten (giro de 120ordm+inversioacuten)

T4 TEje cuaternario de inversioacuten (giro de 90ordm+inversioacuten)

6

Clases con un soacutelo elemento de simetriacutea

Eje senario de inversioacuten (giro de 60ordm+inversioacuten) = eje ternario + plano de simetriacutea perpendicular

(6=3m)

222 Tres ejes binarios en planos perpendiculares entre siacute

32 Un eje ternario + tres ejes binarios en planos perpendiculares

422 Un eje cuaternario + dos ejes binarios en planos perpendiculares

622 Un eje senario + tres ejes binarios a 120ordm (plano perpendicular al senario)

23 Cuatro ejes ternarios + Tres ejes binarios

432

Clases con combinacioacuten de ejes

Tres ejes cuaternarios + cuatro ejes ternarios + seis ejes binarios

2m Clases con un eje de Eje binario + plano de simetriacutea perpendicular a eacutel

4m Eje cuaternario + plano de simetriacutea perpendicular a eacutel

6m

orden par + un centro de simetriacutea

(Eje de orden par + centro de simetriacutea=plano de

simetriacutea perpendicular al eje)

Eje senario + plano de simetriacutea perpendicular a eacutel

2mm Eje binario + dos planos de simetriacutea que se cortan en eacutel

3m Eje ternario + tres planos de simetriacutea que se cortan en eacutel

4mm Eje cuaternario + cuatro planos de simetriacutea que se cortan en eacutel

6mm

Clases con un eje + un plano de simetriacutea que

contenga al eje

Eje senario + seis planos de simetriacutea que se cortan en eacutel

42m Eje cuaternario de inversioacuten + dos ejes binarios + dos planos de simetriacutea

43m Tres ejes cuaternarios de inversioacuten + cuatro ejes ternarios + seis planos de simetriacutea

62m

Clases con un eje + dos ejes impropios

Eje senario de inversioacuten (=eje ternario + plano de simetriacutea perpendicular) + tres ejes binarios + tres

planos de simetriacutea

2m2m2m

(mmm)

Tres ejes binarios + tres planos de simetriacutea perpendiculares

32m

(3m)

Un eje ternario + tres ejes binarios + tres planos de simetriacutea perpendiculares + un centro de simetriacutea

4m2m2m

(4mmm)

Un eje cuaternario + un plano de simetriacutea perpendicular + cuatro ejes binarios + cuatro

planos de simetriacutea perpendiculares + centro de simetriacutea

6m2m2m

(6mmm)

Un eje senario + un plano de simetriacutea perpendicular + seis ejes binarios + seis planos de simetriacutea perpendiculares + un centro de simetriacutea

2m3

(m3)

Cuatro ejes ternarios + tres ejes binarios + tres planos de simetriacutea perpendiculares + un centro de

simetriacutea

4m32m

(m3m)

TClases con tres ejes + un centro de

simetriacutea

Tres ejes cuaternarios + tres planos de simetriacutea perpendiculares + cuatro ejes ternarios + seis ejes binarios + seis planos de simetriacutea perpendiculares

+ un centro de simetriacutea

La distribucioacuten sistema cristalino-Redes de Bravais-Grupos puntuales o clases de simetriacutea es la siguiente

Red de Bravais Sistema Grupo puntual

Red Tricliacutenica primitiva P Tricliacutenico 1 1Red monocliacutenica primitiva PRed monocliacutenica centrada en las caras C

Monocliacutenico 2 m 2m

Red roacutembica primitiva PRed roacutembica centrada en las bases CRed roacutembica centrada en el interior IRed roacutembica centrada en las caras F

Roacutembico 222 mm2 mmm

Red tetragonal primitiva P

Red tetragonal centrada en el interior CTetragonal

4 4 4m 4mm 422

42m 4mmm

Red hexagonal primitiva P Hexagonal6 6 6m 6mm 622

62m 6mmm

Red romboeacutedrica primitiva P Romboeacutedrico o Trigonal

3 3 3m 32 3m

Red cuacutebica primitiva PRed cuacutebica centrada en el interior IRed cuacutebica centrada en las caras F

Cuacutebico o Isomeacutetrico23 m3

43m 432 m3m

- Simetriacutea y redes de BravaisLa presencia de elementos de simetriacutea en la red cristalina condiciona a su vez la existencia de ciertas relaciones meacutetricas entre los elementos de la celda elemental las relaciones angulares entre los ejes del cristal o ejes cristalograacuteficos y las intersecciones sobre estos ejes de la cara fundamental (111) Las dimensiones de estas intersecciones son proporcionales a las traslaciones en las tres dimensiones de la red

Por esta razoacuten se han agrupado las redes de Bravais en siete grandes grupos redes tricliacutenicas redes monocliacutenicas redes roacutembicas redes tetragonales redes hexagonales redes romboeacutedricas y redes cuacutebicas Cada uno de estos grupos de redes corresponde a un sistema cuyo nombre es ideacutentico al de las redes correspondientes y posee unas constantes reticulares fijas y una miacutenima simetriacutea caracteriacutestica

Red de Bravais SistemaRed Tricliacutenica primitiva P TricliacutenicoRed monocliacutenica primitiva PRed monocliacutenica centrada en las caras C

Monocliacutenico

Red roacutembica primitiva PRed roacutembica centrada en las bases CRed roacutembica centrada en el interior IRed roacutembica centrada en las caras F

Roacutembico

Red tetragonal primitiva PRed tetragonal centrada en el interior C

Tetragonal

Red hexagonal primitiva P HexagonalRed romboeacutedrica primitiva P Romboeacutedrico o Trigonal Red cuacutebica primitiva PRed cuacutebica centrada en el interior IRed cuacutebica centrada en las caras F

Cuacutebico o Isomeacutetrico

Las constantes reticulares y la miacutenima simetriacutea que caracteriza a cada grupo de redes o sistema cristalino es la siguiente

- Sistema tricliacutenico (abc αszligγ90ordm)

No posee ninguna simetriacutea miacutenima

- Sistema monocliacutenico (abc α=γ=90ordmszliggt90ordm)

Presenta como simetriacutea miacutenima un eje de rotacioacuten binario o un eje de inversioacuten binario (=plano de simetriacutea)

- Sistema roacutembico (abc α=szlig=γ=90ordm)

Como miacutenimo posee tres ejes binarios perpendiculares entre siacute

- Sistema tetragonal (a=bc α=szlig=γ=90ordm)

Posee como caracteriacutestica fundamental un eje de rotacioacuten cuaternario o un eje de inversioacuten cuaternario

- Sistema hexagonal (a=bc α=szlig=90ordm γ=120ordm)

Su caracteriacutestica fundamental es la presencia de un eje de rotacioacuten senario o un eje de inversioacuten senario (eje ternario + plano de simetriacutea perpendicular)

Para mayor precisioacuten generalmente se introduce un cuarto eje i coplanario con a y b que forma un aacutengulo de 120ordm con cada uno de ellos asiacute la cruz axial seraacute (a=b=ic α=szlig=90ordm γ=120ordm)

Iacutendices de Miller hexagonales Como se trabaja con un cuarto iacutendice que se situacutea en el plano a1 a2 y a 120ordm de cada uno de estos ejes los planos hexagonales se van a representar por cuatro iacutendices (hkil) El valor de i se determina como h+k

- Sistema romboeacutedrico o trigonal (a=b=c α=szlig=γ90ordm)

Su caracteriacutestica comuacuten es la presencia de un eje de rotacioacuten ternario o un eje de inversioacuten ternario (eje ternario + centro de simetriacutea)

- Sistema cuacutebico (a=b=c α=szlig=γ=90ordm)

Posee como caracteriacutestica fundamental cuatro ejes de rotacioacuten ternarios inclinados a 10947ordm

NOTA Ademaacutes de las constantes reticulares para definir un sistema cristalino puede utilizarse la relacioacuten parameacutetrica siendo eacutesta la relacioacuten existente entre los moacutedulos de a y c respecto al moacutedulo de b

ab 1 cb

Normalmente se toman estos valores y los aacutengulos para definir la red

14- SIMETRIacuteA CON TRASLACIOacuteN - Elementos de simetriacutea con traslacioacutenLa red cristalina soacutelo tiene sentido como indicadora de la periodicidad que se presenta en el cristal como consecuencia de la repeticioacuten del motivo Debido a ello la simetriacutea que revela por siacute la red no tiene que ser necesariamente la que posea el cristal aunque en general lo sea

Ejemplo La coesita (variedad de la siacutelice de alta presioacuten) tiene una red cuya meacutetrica es roacutembica mientras que la estructura es monocliacutenica ya que el motivo carece de ciertos elementos de simetriacutea que la meacutetrica de la red indicaban

Es faacutecil comprender que debido a que la red es solamente la consecuencia de unas fuerzas cohesivas entre los aacutetomos que forman el cristal fuerzas que obligan a una repeticioacuten monoacutetona de las agrupaciones atoacutemicas la simetriacutea de la red debe estar iacutentimamente relacionada con la del cristal entendido como agrupacioacuten repetitiva de aacutetomos

La red nos proporciona por tanto la simetriacutea maacutexima que el cristal puede tener pero dicha simetriacutea depende de la simetriacutea propia del motivo La complejidad que el motivo cristalino aacutetomos iones y moleacuteculas aporta a la red cristalina hace que los elementos de simetriacutea del medio cristalino se ampliacuteen Aparece la traslacioacuten que tiene dimensiones submicroscoacutepicas no accesibles a la morfologiacutea macroscoacutepica

Los operadores de simetriacutea que completan la tarea de rellenar el espacio cristalino se consideran cada uno de ellos como una sola y nueva operacioacuten de simetriacutea Estos son los planos de deslizamiento que implican la reflexioacuten asociada a una traslacioacuten y los ejes helicoidales que implican a su vez giro y traslacioacuten

- Plano de deslizamiento

El plano de deslizamiento realiza simultaacuteneamente dos operaciones refleja la imagen o traslada la imagen a intervalos de media traslacioacuten

Cuando la semitraslacioacuten asociada al plano de deslizamiento corresponde a alguna de las direcciones fundamentales del cristal el plano se denomina a b c respectivamente

Cuando la semitraslacioacuten corresponde a la diagonal del plano reflector es decir el plano de deslizamiento se situacutea paralelo a la diagonal entre las filas definidas por a b y c el plano se simboliza por n y las componentes de su traslacioacuten son

a2 + b2 b2 + c2 c2 + a2 y a2 + b2 + c2

Los planos d (aparece en la estructura del diamante) se tratan tambieacuten de planos diagonales Presentan como componentes de traslacioacuten cuartos de la fundamental es decir

a4 plusmn b4 b4 plusmn c4 c4 plusmn a4 y a4 plusmn b4 plusmn c4

El siguiente cuadro sintetiza la notacioacuten y simetriacutea de los planos en los grupos espaciales

Siacutembolo Siacutembolo graacutefico Orientacioacuten y Traslacioacuten

m

perpendicular al papel

paralelo al papel

(100) o (010) ninguna traslacioacuten

(001) ninguna traslacioacuten

a

perpendicular al papel

paralelo al papel

(010) traslacioacuten a2

(001) traslacioacuten a2

b

perpendicular al papel

paralelo al papel

(100) traslacioacuten b2

(001) traslacioacuten b2

c perpendicular al papel

(100) 0 (010) traslacioacuten c2

n

______ perpendicular al papel

paralelo al papel

traslacioacuten (b+c)2 en (100) traslacioacuten (c+a)2 en (010)

traslacioacuten (a+b)2 en (001) traslacioacuten (a+b+c)2 en (110) en sistemas tetragonal o cuacutebico

d

perpendicular al papel

paralelo al papel

traslacioacuten (b+c)4 en (100) traslacioacuten (c+a)4 en (010)

traslacioacuten (a+b)4 en (001) traslacioacuten (a+b+c)4 en (110) en sistemas tetragonal o cuacutebico

- Eje helicoidal

Un eje helicoidal implica similarmente una operacioacuten doble

Un giro el permisible para su orden

Una traslacioacuten constante a lo largo del eje

Como sabemos el orden del eje es el nuacutemero de repeticiones que se necesitan para lograr la identidad implicando una serie de giros sucesivos hasta haber completado su operacioacuten de simetriacutea total

En un eje helicoidal cada uno de estos giros parciales debe asociarse a una parte aliacutecuota de la traslacioacuten total t paralela a la direccioacuten del eje La identidad se logra en la operacioacuten giro cuando se ha aplicado tantas veces el giro permisible como indica el orden del eje

Haciendo el periodo de identidad t coincidente con el giro completo del eje se obtienen los siguientes ejes helicoidales

Siacutembolo Siacutembolo graacutefico Denominacioacuten Giro Traslacioacuten

21 Eje binario helicoidal 180ordm t2

31 Eje ternario helicoidal

derecho120ordm

dextroacutegiro t3

32 Eje ternario helicoidal

izquierdo 120ordm levoacutegiro t3

41 Eje cuaternario helicoidal

derecho90ordm

dextroacutegiro t4

43 Eje cuaternario helicoidal

izquierdo 90ordm levoacutegiro t4

61 Eje senario helicoidal

derecho 60ordmdextroacutegiro t6

65 Eje senario helicoidal

izquierdo 60ordm levoacutegiro t6

Tambieacuten se pueden deducir los ejes helicoidales haciendo que la identidad se alcance para Nn giros siendo N el orden del eje y n un divisor entero de N

N (orden

del eje)

n (divisor entero de N)

Nn (giros)

Siacutembolo Siacutembolo graacutefico Denominacioacuten Giro Traslacioacuten

4 T2 2 42 Eje cuaternario-binario helicoidal 90ordm t2

6 3 2 63

Eje senario-ternario

helicoidal60ordm t2

6 2 3 62

Eje senario-binario helicoidal

derecho

60ordm dextroacutegiro t3

6 2 3 64

Eje senario-binario helicoidal

izquierdo

60ordm levoacutegiro t3

- Los 17 grupos planos En la deduccioacuten de los grupos planos hay que tener en cuenta que es el motivo contenido de la celda definida por unas traslaciones dadas el que muestra la existencia de los elementos de simetriacutea Es decir que las partes del motivo estaacuten relacionadas entre siacute por dichos elementos de simetriacutea (que puede ser simetriacutea con traslacioacuten) que la suma de estas partes constituye la celda y que las celdas implican una meacutetrica dada es decir tiene una forma y unas dimensiones que condicionan una simetriacutea maacutexima

En los grupos planos los haces de elementos de simetriacutea son perpendiculares al plano que se asocia a un tipo de red plana El nuacutemero de estos grupos planos es de 17

- Grupos planos con red oblicua

La simetriacutea maacutexima que permite una red obiacutecua es un haz de ejes binarios Existiraacuten por tanto dos posibilidades

Grupo plano p1 p como indicativo de primitivo y 1 como indicativo de no simetriacutea El dominio complejo coincide con el motivo y por tanto su multiplicidad es 1

Grupo plano p2 p como indicativo de primitivo y 2 como indicativo de eje binario de simetriacutea La multiplicidad del dominio complejo es 2 ya que la simetriacutea genera duplicidad del motivo

- Grupos planos con red rectangular

La simetriacutea maacutexima que permite una red rectangular es dos haces de planos de simetriacutea y un haz de ejes binarios Existiraacuten por tanto diferentes combinaciones

Grupo plano pm p como indicativo de primitivo y m como indicativo del plano de simetriacutea La multiplicidad del dominio complejo es 2 ya que la simetriacutea genera duplicidad del motivo

Grupo plano pg p como indicativo de primitivo y g como indicativo del plano de deslizamiento La multiplicidad del dominio complejo es 2 ya que la simetriacutea genera duplicidad del motivo

Grupo plano pmm (p2mm) p como indicativo de primitivo y dos m como indicativo de planos de simetriacutea mutuamente perpendiculares Los planos de simetriacutea llevan impliacutecitos la aparcicioacuten de ejes binarios La multiplicidad del dominio complejo es 4

Grupo plano pmg (p2mg) p como indicativo de primitivo y planos perpendiculares de tipo distinto (m ordinarios y g de deslizamiento) Esto hace que los ejes de simetriacutea no se encuentren en la interseccioacuten sino desplazados a lo largo del plano de deslizamiento a mitad de la componente desplazamiento El origen de la celda se toma sobre un eje binario La multiplicidad del dominio complejo es 4

Grupo plano pgg(p2gg) p como indicativo de primitivo y dos g de planos perpendiculares de deslizamiento Esto hace que los ejes de simetriacutea no se encuentren en la interseccioacuten sino desplazados a lo largo de cada plano de deslizamiento a mitad de la componente deslizamiento El origen de la celda se toma sobre un eje binario La multiplicidad del dominio complejo es 4

- Grupos planos con red roacutembica o rectangular centrada

Grupo plano cm c como indicativo de la operacioacuten de centrado y m como indicativo del plano de simetriacutea La operacioacuten de centrado lleva impliacutecita la existencia de un plano de deslizamiento La multiplicidad del dominio complejo es 4

Grupo plano cmm (c2mm) c como indicativo de centrado y dos m como indicativo de planos de simetriacutea mutuamente perpendiculares La operacioacuten de centrado lleva impliacutecita la existencia de planos de deslizamiento La multiplicidad del dominio complejo es 4 Los planos de simetriacutea ordinarios y de deslizamiento llevan impliacutecitos la aparcicioacuten de ejes binarios en las intersecciones del mismo tipo de planos no de distintos La multiplicidad del dominio complejo es 8

- Grupos planos con red cuadrada

La simetriacutea maacutexima que permite una red cuadrada es un haz de ejes cuaternarios y sus planos de simetriacutea contenidos en ellos En todos los casos se toma un eje cuaternario como origen de

la celda apareciendo otro eje cuaternario en el centro de la celda Existiraacuten por tanto diferentes combinaciones

Grupo plano p4 p como indicativo de primitivo y 4 como indicativo de eje cuaternario de simetriacutea Los ejes cuaternarios generan la aparcicioacuten de ejes binarios intercalados entre los cuaternarios La multiplicidad del dominio complejo es 4

Grupo plano p4mm p como indicativo de primitivo 4 como indicativo de eje cuaternario de simetriacutea y m como los planos de simetriacutea que contienen a dichos ejes Los ejes cuaternarios generan la aparcicioacuten de ejes binarios intercalados entre los cuaternarios y toda la simetriacutea genera planos de deslizamiento paralelos a las diagonales de la celda La multiplicidad del dominio complejo es 8

Grupo plano p4gm p como indicativo de primitivo 4 como indicativo de eje cuaternario de simetriacutea g como planos de deslizamiento y m como los planos de simetriacutea La multiplicidad del dominio complejo es 8

- Grupos planos con red hexagonal

La simetriacutea maacutexima que permite una red hexagonal es un haz de ejes senarios o ternarios y los planos de simetriacutea que contienen a dichos ejes Existiraacuten por tanto diferentes combinaciones

Grupo plano p3 p como indicativo de primitivo y 3 como indicativo de eje ternario de simetriacutea Los ejes ternarios generan la aparcicioacuten de otros ternarios en el centro de los dos triaacutengulos equilaacuteteros que conforman la celda La multiplicidad del dominio complejo es 3

Grupo plano p3m1 p como indicativo de primitivo 3 como indicativo de eje ternario de simetriacutea y m como plano de simetriacutea en la diagonal mayor del rombo Se genera alternancia de planos de deslizamiento La multiplicidad del dominio complejo es 6

Grupo plano p31m p como indicativo de primitivo 3 como indicativo de eje ternario de simetriacutea y m como plano de simetriacutea en la diagonal menor del rombo Se genera alternancia de planos de deslizamiento La multiplicidad del dominio complejo es 6

Grupo plano p6 p como indicativo de primitivo y 6 como indicativo de eje senario de simetriacutea Se generan ejes ternarios en los centros de los triaacutengulos equilaacuteteros conformadores y ejes binarios en los centros de los lados de dichos triaacutengulos La multiplicidad del dominio complejo es de 6

Grupo plano p6mm p como indicativo de primitivo 6 como indicativo de eje senario de simetriacutea y m de los planos de simetriacutea que los contienen Se generan ejes ternarios en los centros de los triaacutengulos equilaacuteteros conformadores ejes binarios en los centros de los lados de dichos triaacutengulos y planos de deslizamiento alternantes La multiplicidad del dominio complejo es de 12

La tabla que relaciona los grupos puntuales y los grupos planos pone de manifiesto que no todas las combinaciones conducen a nuevos o diferentes grupos puntuales La interaccioacuten de la simetriacutea del motivo con la simetriacutea de las diversas redes planas afecta al contenido de simetriacutea resultante del modelo planar El modelo final muestra la simetriacutea de la red cuando los elementos de simetriacutea del motivo estaacuten alineados con los elementos de simetriacutea correspondiente de la red Si el motivo tiene menos simetriacutea que la red el modelo expresaraacute el menor grado de simetriacutea del motivo con los elementos de simetriacutea de eacuteste alineados con los correspondientes elementos de simetriacutea de la red

Red Grupo puntual Grupo plano

1 p1 Obliacutecua

2 p2 m pm pg

Rectangular mm pmm pmg pgg m cm

Roacutembica mm cmm

4 p4

Cuadrada

4mm p4mm p4gm

3 p3 3m p3m p31m 6 p6

Hexagonal

6mm p6mm

- Grupos espaciales Los grupos espaciales representan las diversas formas en que los motivos pueden distribuirse en el espacio en una estructura homogeacutenea

Los grupos espaciales surgen de la combinacioacuten de los 14 tipos posibles de redes espaciales (redes de Bravais) con la simetriacutea propia de las 32 clases cristalinas o grupos puntuales maacutes la simetriacutea con traslacioacuten

Las caracteriacutesticas de la red se expresan con las letras P A B C F I R de las redes de Bravais que designan el tipo de red general A continuacioacuten se describen en el siacutembolo los elementos de simetriacutea

Ejemplos

P4m2m2m oacute p4mmm

4m2m2m oacute 4mmm Grupo de simetriacutea 4mmm

P Red tetragonal sencilla

P42n2n2m oacute P42nnm

42nnm Grupo isogonal con el 4mmm donde los ejes de rotacioacuten cuaternaria del grupo puntual aparecen como ejes de rotoinversioacuten cuaternaria y helicoidal cuaternario paralelos y alternativos Existen planos de deslizamiento n y de simetriacutea m asiacute como ejes de rotacioacuten binaria con helicoidales binarios intercalados

P Red tetragonal sencilla

Al igual que ocurriacutea en los grupos planos en los grupos espaciales con redes no primitivas la operacioacuten de centrado introduce la simetriacutea con traslacioacuten y sin embargo estos nuevos elementos no se aprecian en los siacutembolos Por ejemplo

C2m

2m Grupo de simetriacutea 2m Sin embargo aparecen debido al centrado ejes helicoidales binarios intercalados con los binarios y planos de deslizamiento intercalados con los planos de simetriacutea

C Red roacutembica centrada de tipo C

Los 230 grupos espaciales vienen descritos en las International Tables for X-ray Crystallography clasificadas seguacuten los grupos puntuales y los sistemas cristalinos

Una composicioacuten de la informacioacuten contenida en estas Tablas se muestra a continuacioacuten para el grupo espacial Cmm2 en el que la C significa una red centrada en las caras separadas por el eje c la primera m representa un plano de simetriacutea perpendicular al eje a la segunda m

representa un plano de simetriacutea perpendicular al eje b y el 2 se refiere al eje binario paralelo al eje c

  • EL ESTADO CRISTALINO
Page 15: Cristalografia Estructural

Redes tetragonales (a=bc α=szlig=γ=90ordm)

- Red tetragonal P

La celda fundamental es un prisma recto de base cuadrada La familia de planos (001) son de red plana cuadrada mientras que (100) y (010) son rectangulares e ideacutenticos entre siacute

- Red tetragonal centrada I

Al ser iguales por simetriacutea los planos (100) y (010) no pueden centrarse independientemente y a su vez no pueden hacerlo simultaacuteneamente porque ello destruye la homogeneidad de los planos de la misma familia

Sin embargo los planos diagonales que son tambieacuten redes rectangulares pueden centrarse dando origen a la red tetragonal centrada en el interior I

Red hexagonal P (a=bc α=szlig=90ordm γ=120ordm 60ordm)

El paralelepiacutepedo fundamental es un prisma recto de base roacutembica (de aacutengulo de 60ordm) Para visualizar la forma hexagonal se toma una celda muacuteltiple integrada por tres de estas celdillas roacutembicas

Esta red hexagonal permite un apilamiento especial de los planos hexagonales Seguacuten eacuteste los nudos se proyectan a 13 o a 23 de la diagonal mayor del rombo dando como resultado una red romboeacutedrica R de (a=b=c α=szlig=γ90ordm)

Redes cuacutebicas (a=b=c α=szlig=γ=90ordm)

- Red cuacutebica primitiva P

El paralelepiacutepedo fundamental es un cubo

- Redes cuacutebicas centradas

El centrado de las caras del cubo no debiera ser posible puesto que son redes planas cuadradas Las redes cuacutebicas centradas se originan cuando el aacutengulo del romboedro se hace igual a 60ordm y las tres diagonales del romboedro se hacen iguales entre siacute definiendo las aristas de un cubo que circunscribe al romboedro Asiacute la distribucioacuten de nudos es la correspondiente a un cubo de caras centradas originando la red cuacutebica de caras centradas F

De forma similar cuando el aacutengulo entre las aristas del romboedro es de 109ordm 28acute 16acuteacute las diagonales de sus tres caras fundamentales son perpendicuales entre si e iguales en magnitud y definen un cubo inscrito en el romboedro La distribucioacuten de nudos corresponde a una red cuacutebica centrada en el interior I

(Las redes cuacutebicas no soacutelo son casos especiales de redes romboeacutedricas sino que tambieacuten lo son de redes tetragonales)

13- SIMETRIacuteA La porcioacuten miacutenima del espacio cristalino que contiene en siacute misma toda la simetriacutea de la red cristalina es la celda unidad El medio cristalino por ser perioacutedico es un medio simeacutetrico y todas sus propiedades derivan de este hecho

Entendiendo por simetriacutea aquella transformacioacuten que al aplicarse a un objeto hace que eacuteste conserve todas sus dimensiones y lo deje en una posicioacuten indistinguible de su posicioacuten original la operacioacuten de simetriacutea maacutes sencilla que existe por definicioacuten en el medio cristalino es la simple traslacioacuten entre un motivo y otro

- Elementos de simetriacuteaEl lugar geomeacutetrico que ayuda a la visualizacioacuten de la simetriacutea de una distribucioacuten ordenada recibe el nombre de elemento de simetriacutea Los elementos de simetriacutea puntual (la operacioacuten de simetriacutea deja un punto particular del diagrama inmoacutevil) sin traslacioacuten son el plano de simetriacutea el eje de rotacioacuten y el centro de simetriacutea o centro de inversioacuten

El plano de simetriacutea m o de reflexioacuten refleja partes o todos ideacutenticos del objeto a traveacutes de un plano

El eje de rotacioacuten origina una rotacioacuten al objeto de 360ordmn alrededor del eje (de derecha a izquierda)

eje monario n=1 (360ordm1=360ordm)

eje binario (perpendicular al plano) (paralelo al plano)

n=2 (360ordm2=180ordm)

eje ternario n=3 (360ordm3=120ordm)

eje cuaternario n=4 (360ordm4=90ordm)

eje senario n=6 (360ordm6=60ordm)

(La restriccioacuten cristalograacutefica limita los giros permisibles a estos cinco para que su orden sea compatible con la existencia de redes)

Las combinaciones de ambos elementos de simetriacutea originan los ejes de rotacioacuten impropios

- eje de rotorreflexioacuten rotacioacuten de 360ordmn seguida por reflexioacuten en un plano perpendicular al eje

- eje de rotoinversioacuten rotacioacuten de 360ordmn seguida por inversioacuten a traveacutes de un punto en el eje

orden 1 orden 3 orden 4 orden 6

Nota Los ejes de rotoinversioacuten se representan por el orden del eje (2 3 4 o 6) con el siacutembolo negativo encima de ellos En esta Web ese siacutembolo se identifica tambieacuten por el signo negativo bien delante o inferior al nuacutemero de orden del eje

(el esquema superior representa una rotoreflexioacuten de orden 4 y el inferior una rotoinversioacuten del mismo orden)

Por su parte el centro de simetriacutea i o centro de inversioacuten es un elemento de simetriacutea puntual que invierte el objeto a traveacutes de una liacutenea recta

- Combinacioacuten de elementos de simetriacuteaLa combinacioacuten de elementos de simetriacutea no se produce al azar estaacute regida por una serie de normas y limitaciones que son

- Los elementos que se combinan guardan unas relaciones angulares caracteriacutesticas

- La combinacioacuten de algunos elementos de simetriacutea genera directamente la presencia de otros

Eje de orden par + centro de simetriacutea ------- plano de simetriacutea perpendicular al eje

Eje de orden n contenido en un plano de simetriacutea -------- n-1 planos de simetriacutea que intersectan en el eje

Dos ejes que se cortan --------- un tercer eje que pasa por el punto de corte

(entre propios e impropios soacutelo es posible un propio y dos impropios)

Eje de orden n + eje binario perpendicular -------- n-1 ejes binarios tambieacuten normales a eacutel

Eje de inversioacuten de orden n(impar) + eje binario perpendicular -------- n ejes binarios y planos de simetriacutea

Eje de inversioacuten de orden n(par) + eje binario perpendicular -------- n2 ejes binarios y planos de simetriacutea

-Los ejes de inversioacuten realizan una operacioacuten de simetriacutea equivalente a la de dos elementos de simetriacutea (excepto el de orden 4)

3 = 3 + i

Eje de rotoinversioacuten de orden impar = eje propio del mismo orden + centro de simetriacutea

(6 = 3 + m)

Eje de rotoinversioacuten de orden par = eje propio de mitad de orden + un plano de simetriacutea perpendicular a eacutel

- Las 32 clases de simetriacuteaEs faacutecil prever que en el medio cristalino los elementos de simetriacutea se combinan entre siacute hasta engendrar los modelos cristalinos regulares que se combinan de treinta y dos maneras distintas y dan lugar a las treinta y dos posibles clases cristalinas o grupos puntuales (la operacioacuten de simetriacutea deja un punto particular del diagrama inmoacutevil) existentes

Estas treinta y dos clases cristalinas se han obtenido mediante las siguientes combinaciones de elementos de simetriacutea

Siacutembolo Combinacioacuten de simetriacutea Elementos de simetriacutea

1 Eje monario (giro de 360ordm)

2 Eje binario (giro de 180ordm)

3 Eje ternario (giro de 120ordm)

4 Eje cuaternario (giro de 90ordm)

6 Eje senario (giro de 60ordm)

1 Eje monario de inversioacuten (giro de 360ordm+inversioacuten) = centro de inversioacuten (2=i)

2 Eje binario de inversioacuten (giro de 180ordm+inversioacuten) = plano de simetriacutea (2=m)

3 Eje ternario de inversioacuten (giro de 120ordm+inversioacuten)

T4 TEje cuaternario de inversioacuten (giro de 90ordm+inversioacuten)

6

Clases con un soacutelo elemento de simetriacutea

Eje senario de inversioacuten (giro de 60ordm+inversioacuten) = eje ternario + plano de simetriacutea perpendicular

(6=3m)

222 Tres ejes binarios en planos perpendiculares entre siacute

32 Un eje ternario + tres ejes binarios en planos perpendiculares

422 Un eje cuaternario + dos ejes binarios en planos perpendiculares

622 Un eje senario + tres ejes binarios a 120ordm (plano perpendicular al senario)

23 Cuatro ejes ternarios + Tres ejes binarios

432

Clases con combinacioacuten de ejes

Tres ejes cuaternarios + cuatro ejes ternarios + seis ejes binarios

2m Clases con un eje de Eje binario + plano de simetriacutea perpendicular a eacutel

4m Eje cuaternario + plano de simetriacutea perpendicular a eacutel

6m

orden par + un centro de simetriacutea

(Eje de orden par + centro de simetriacutea=plano de

simetriacutea perpendicular al eje)

Eje senario + plano de simetriacutea perpendicular a eacutel

2mm Eje binario + dos planos de simetriacutea que se cortan en eacutel

3m Eje ternario + tres planos de simetriacutea que se cortan en eacutel

4mm Eje cuaternario + cuatro planos de simetriacutea que se cortan en eacutel

6mm

Clases con un eje + un plano de simetriacutea que

contenga al eje

Eje senario + seis planos de simetriacutea que se cortan en eacutel

42m Eje cuaternario de inversioacuten + dos ejes binarios + dos planos de simetriacutea

43m Tres ejes cuaternarios de inversioacuten + cuatro ejes ternarios + seis planos de simetriacutea

62m

Clases con un eje + dos ejes impropios

Eje senario de inversioacuten (=eje ternario + plano de simetriacutea perpendicular) + tres ejes binarios + tres

planos de simetriacutea

2m2m2m

(mmm)

Tres ejes binarios + tres planos de simetriacutea perpendiculares

32m

(3m)

Un eje ternario + tres ejes binarios + tres planos de simetriacutea perpendiculares + un centro de simetriacutea

4m2m2m

(4mmm)

Un eje cuaternario + un plano de simetriacutea perpendicular + cuatro ejes binarios + cuatro

planos de simetriacutea perpendiculares + centro de simetriacutea

6m2m2m

(6mmm)

Un eje senario + un plano de simetriacutea perpendicular + seis ejes binarios + seis planos de simetriacutea perpendiculares + un centro de simetriacutea

2m3

(m3)

Cuatro ejes ternarios + tres ejes binarios + tres planos de simetriacutea perpendiculares + un centro de

simetriacutea

4m32m

(m3m)

TClases con tres ejes + un centro de

simetriacutea

Tres ejes cuaternarios + tres planos de simetriacutea perpendiculares + cuatro ejes ternarios + seis ejes binarios + seis planos de simetriacutea perpendiculares

+ un centro de simetriacutea

La distribucioacuten sistema cristalino-Redes de Bravais-Grupos puntuales o clases de simetriacutea es la siguiente

Red de Bravais Sistema Grupo puntual

Red Tricliacutenica primitiva P Tricliacutenico 1 1Red monocliacutenica primitiva PRed monocliacutenica centrada en las caras C

Monocliacutenico 2 m 2m

Red roacutembica primitiva PRed roacutembica centrada en las bases CRed roacutembica centrada en el interior IRed roacutembica centrada en las caras F

Roacutembico 222 mm2 mmm

Red tetragonal primitiva P

Red tetragonal centrada en el interior CTetragonal

4 4 4m 4mm 422

42m 4mmm

Red hexagonal primitiva P Hexagonal6 6 6m 6mm 622

62m 6mmm

Red romboeacutedrica primitiva P Romboeacutedrico o Trigonal

3 3 3m 32 3m

Red cuacutebica primitiva PRed cuacutebica centrada en el interior IRed cuacutebica centrada en las caras F

Cuacutebico o Isomeacutetrico23 m3

43m 432 m3m

- Simetriacutea y redes de BravaisLa presencia de elementos de simetriacutea en la red cristalina condiciona a su vez la existencia de ciertas relaciones meacutetricas entre los elementos de la celda elemental las relaciones angulares entre los ejes del cristal o ejes cristalograacuteficos y las intersecciones sobre estos ejes de la cara fundamental (111) Las dimensiones de estas intersecciones son proporcionales a las traslaciones en las tres dimensiones de la red

Por esta razoacuten se han agrupado las redes de Bravais en siete grandes grupos redes tricliacutenicas redes monocliacutenicas redes roacutembicas redes tetragonales redes hexagonales redes romboeacutedricas y redes cuacutebicas Cada uno de estos grupos de redes corresponde a un sistema cuyo nombre es ideacutentico al de las redes correspondientes y posee unas constantes reticulares fijas y una miacutenima simetriacutea caracteriacutestica

Red de Bravais SistemaRed Tricliacutenica primitiva P TricliacutenicoRed monocliacutenica primitiva PRed monocliacutenica centrada en las caras C

Monocliacutenico

Red roacutembica primitiva PRed roacutembica centrada en las bases CRed roacutembica centrada en el interior IRed roacutembica centrada en las caras F

Roacutembico

Red tetragonal primitiva PRed tetragonal centrada en el interior C

Tetragonal

Red hexagonal primitiva P HexagonalRed romboeacutedrica primitiva P Romboeacutedrico o Trigonal Red cuacutebica primitiva PRed cuacutebica centrada en el interior IRed cuacutebica centrada en las caras F

Cuacutebico o Isomeacutetrico

Las constantes reticulares y la miacutenima simetriacutea que caracteriza a cada grupo de redes o sistema cristalino es la siguiente

- Sistema tricliacutenico (abc αszligγ90ordm)

No posee ninguna simetriacutea miacutenima

- Sistema monocliacutenico (abc α=γ=90ordmszliggt90ordm)

Presenta como simetriacutea miacutenima un eje de rotacioacuten binario o un eje de inversioacuten binario (=plano de simetriacutea)

- Sistema roacutembico (abc α=szlig=γ=90ordm)

Como miacutenimo posee tres ejes binarios perpendiculares entre siacute

- Sistema tetragonal (a=bc α=szlig=γ=90ordm)

Posee como caracteriacutestica fundamental un eje de rotacioacuten cuaternario o un eje de inversioacuten cuaternario

- Sistema hexagonal (a=bc α=szlig=90ordm γ=120ordm)

Su caracteriacutestica fundamental es la presencia de un eje de rotacioacuten senario o un eje de inversioacuten senario (eje ternario + plano de simetriacutea perpendicular)

Para mayor precisioacuten generalmente se introduce un cuarto eje i coplanario con a y b que forma un aacutengulo de 120ordm con cada uno de ellos asiacute la cruz axial seraacute (a=b=ic α=szlig=90ordm γ=120ordm)

Iacutendices de Miller hexagonales Como se trabaja con un cuarto iacutendice que se situacutea en el plano a1 a2 y a 120ordm de cada uno de estos ejes los planos hexagonales se van a representar por cuatro iacutendices (hkil) El valor de i se determina como h+k

- Sistema romboeacutedrico o trigonal (a=b=c α=szlig=γ90ordm)

Su caracteriacutestica comuacuten es la presencia de un eje de rotacioacuten ternario o un eje de inversioacuten ternario (eje ternario + centro de simetriacutea)

- Sistema cuacutebico (a=b=c α=szlig=γ=90ordm)

Posee como caracteriacutestica fundamental cuatro ejes de rotacioacuten ternarios inclinados a 10947ordm

NOTA Ademaacutes de las constantes reticulares para definir un sistema cristalino puede utilizarse la relacioacuten parameacutetrica siendo eacutesta la relacioacuten existente entre los moacutedulos de a y c respecto al moacutedulo de b

ab 1 cb

Normalmente se toman estos valores y los aacutengulos para definir la red

14- SIMETRIacuteA CON TRASLACIOacuteN - Elementos de simetriacutea con traslacioacutenLa red cristalina soacutelo tiene sentido como indicadora de la periodicidad que se presenta en el cristal como consecuencia de la repeticioacuten del motivo Debido a ello la simetriacutea que revela por siacute la red no tiene que ser necesariamente la que posea el cristal aunque en general lo sea

Ejemplo La coesita (variedad de la siacutelice de alta presioacuten) tiene una red cuya meacutetrica es roacutembica mientras que la estructura es monocliacutenica ya que el motivo carece de ciertos elementos de simetriacutea que la meacutetrica de la red indicaban

Es faacutecil comprender que debido a que la red es solamente la consecuencia de unas fuerzas cohesivas entre los aacutetomos que forman el cristal fuerzas que obligan a una repeticioacuten monoacutetona de las agrupaciones atoacutemicas la simetriacutea de la red debe estar iacutentimamente relacionada con la del cristal entendido como agrupacioacuten repetitiva de aacutetomos

La red nos proporciona por tanto la simetriacutea maacutexima que el cristal puede tener pero dicha simetriacutea depende de la simetriacutea propia del motivo La complejidad que el motivo cristalino aacutetomos iones y moleacuteculas aporta a la red cristalina hace que los elementos de simetriacutea del medio cristalino se ampliacuteen Aparece la traslacioacuten que tiene dimensiones submicroscoacutepicas no accesibles a la morfologiacutea macroscoacutepica

Los operadores de simetriacutea que completan la tarea de rellenar el espacio cristalino se consideran cada uno de ellos como una sola y nueva operacioacuten de simetriacutea Estos son los planos de deslizamiento que implican la reflexioacuten asociada a una traslacioacuten y los ejes helicoidales que implican a su vez giro y traslacioacuten

- Plano de deslizamiento

El plano de deslizamiento realiza simultaacuteneamente dos operaciones refleja la imagen o traslada la imagen a intervalos de media traslacioacuten

Cuando la semitraslacioacuten asociada al plano de deslizamiento corresponde a alguna de las direcciones fundamentales del cristal el plano se denomina a b c respectivamente

Cuando la semitraslacioacuten corresponde a la diagonal del plano reflector es decir el plano de deslizamiento se situacutea paralelo a la diagonal entre las filas definidas por a b y c el plano se simboliza por n y las componentes de su traslacioacuten son

a2 + b2 b2 + c2 c2 + a2 y a2 + b2 + c2

Los planos d (aparece en la estructura del diamante) se tratan tambieacuten de planos diagonales Presentan como componentes de traslacioacuten cuartos de la fundamental es decir

a4 plusmn b4 b4 plusmn c4 c4 plusmn a4 y a4 plusmn b4 plusmn c4

El siguiente cuadro sintetiza la notacioacuten y simetriacutea de los planos en los grupos espaciales

Siacutembolo Siacutembolo graacutefico Orientacioacuten y Traslacioacuten

m

perpendicular al papel

paralelo al papel

(100) o (010) ninguna traslacioacuten

(001) ninguna traslacioacuten

a

perpendicular al papel

paralelo al papel

(010) traslacioacuten a2

(001) traslacioacuten a2

b

perpendicular al papel

paralelo al papel

(100) traslacioacuten b2

(001) traslacioacuten b2

c perpendicular al papel

(100) 0 (010) traslacioacuten c2

n

______ perpendicular al papel

paralelo al papel

traslacioacuten (b+c)2 en (100) traslacioacuten (c+a)2 en (010)

traslacioacuten (a+b)2 en (001) traslacioacuten (a+b+c)2 en (110) en sistemas tetragonal o cuacutebico

d

perpendicular al papel

paralelo al papel

traslacioacuten (b+c)4 en (100) traslacioacuten (c+a)4 en (010)

traslacioacuten (a+b)4 en (001) traslacioacuten (a+b+c)4 en (110) en sistemas tetragonal o cuacutebico

- Eje helicoidal

Un eje helicoidal implica similarmente una operacioacuten doble

Un giro el permisible para su orden

Una traslacioacuten constante a lo largo del eje

Como sabemos el orden del eje es el nuacutemero de repeticiones que se necesitan para lograr la identidad implicando una serie de giros sucesivos hasta haber completado su operacioacuten de simetriacutea total

En un eje helicoidal cada uno de estos giros parciales debe asociarse a una parte aliacutecuota de la traslacioacuten total t paralela a la direccioacuten del eje La identidad se logra en la operacioacuten giro cuando se ha aplicado tantas veces el giro permisible como indica el orden del eje

Haciendo el periodo de identidad t coincidente con el giro completo del eje se obtienen los siguientes ejes helicoidales

Siacutembolo Siacutembolo graacutefico Denominacioacuten Giro Traslacioacuten

21 Eje binario helicoidal 180ordm t2

31 Eje ternario helicoidal

derecho120ordm

dextroacutegiro t3

32 Eje ternario helicoidal

izquierdo 120ordm levoacutegiro t3

41 Eje cuaternario helicoidal

derecho90ordm

dextroacutegiro t4

43 Eje cuaternario helicoidal

izquierdo 90ordm levoacutegiro t4

61 Eje senario helicoidal

derecho 60ordmdextroacutegiro t6

65 Eje senario helicoidal

izquierdo 60ordm levoacutegiro t6

Tambieacuten se pueden deducir los ejes helicoidales haciendo que la identidad se alcance para Nn giros siendo N el orden del eje y n un divisor entero de N

N (orden

del eje)

n (divisor entero de N)

Nn (giros)

Siacutembolo Siacutembolo graacutefico Denominacioacuten Giro Traslacioacuten

4 T2 2 42 Eje cuaternario-binario helicoidal 90ordm t2

6 3 2 63

Eje senario-ternario

helicoidal60ordm t2

6 2 3 62

Eje senario-binario helicoidal

derecho

60ordm dextroacutegiro t3

6 2 3 64

Eje senario-binario helicoidal

izquierdo

60ordm levoacutegiro t3

- Los 17 grupos planos En la deduccioacuten de los grupos planos hay que tener en cuenta que es el motivo contenido de la celda definida por unas traslaciones dadas el que muestra la existencia de los elementos de simetriacutea Es decir que las partes del motivo estaacuten relacionadas entre siacute por dichos elementos de simetriacutea (que puede ser simetriacutea con traslacioacuten) que la suma de estas partes constituye la celda y que las celdas implican una meacutetrica dada es decir tiene una forma y unas dimensiones que condicionan una simetriacutea maacutexima

En los grupos planos los haces de elementos de simetriacutea son perpendiculares al plano que se asocia a un tipo de red plana El nuacutemero de estos grupos planos es de 17

- Grupos planos con red oblicua

La simetriacutea maacutexima que permite una red obiacutecua es un haz de ejes binarios Existiraacuten por tanto dos posibilidades

Grupo plano p1 p como indicativo de primitivo y 1 como indicativo de no simetriacutea El dominio complejo coincide con el motivo y por tanto su multiplicidad es 1

Grupo plano p2 p como indicativo de primitivo y 2 como indicativo de eje binario de simetriacutea La multiplicidad del dominio complejo es 2 ya que la simetriacutea genera duplicidad del motivo

- Grupos planos con red rectangular

La simetriacutea maacutexima que permite una red rectangular es dos haces de planos de simetriacutea y un haz de ejes binarios Existiraacuten por tanto diferentes combinaciones

Grupo plano pm p como indicativo de primitivo y m como indicativo del plano de simetriacutea La multiplicidad del dominio complejo es 2 ya que la simetriacutea genera duplicidad del motivo

Grupo plano pg p como indicativo de primitivo y g como indicativo del plano de deslizamiento La multiplicidad del dominio complejo es 2 ya que la simetriacutea genera duplicidad del motivo

Grupo plano pmm (p2mm) p como indicativo de primitivo y dos m como indicativo de planos de simetriacutea mutuamente perpendiculares Los planos de simetriacutea llevan impliacutecitos la aparcicioacuten de ejes binarios La multiplicidad del dominio complejo es 4

Grupo plano pmg (p2mg) p como indicativo de primitivo y planos perpendiculares de tipo distinto (m ordinarios y g de deslizamiento) Esto hace que los ejes de simetriacutea no se encuentren en la interseccioacuten sino desplazados a lo largo del plano de deslizamiento a mitad de la componente desplazamiento El origen de la celda se toma sobre un eje binario La multiplicidad del dominio complejo es 4

Grupo plano pgg(p2gg) p como indicativo de primitivo y dos g de planos perpendiculares de deslizamiento Esto hace que los ejes de simetriacutea no se encuentren en la interseccioacuten sino desplazados a lo largo de cada plano de deslizamiento a mitad de la componente deslizamiento El origen de la celda se toma sobre un eje binario La multiplicidad del dominio complejo es 4

- Grupos planos con red roacutembica o rectangular centrada

Grupo plano cm c como indicativo de la operacioacuten de centrado y m como indicativo del plano de simetriacutea La operacioacuten de centrado lleva impliacutecita la existencia de un plano de deslizamiento La multiplicidad del dominio complejo es 4

Grupo plano cmm (c2mm) c como indicativo de centrado y dos m como indicativo de planos de simetriacutea mutuamente perpendiculares La operacioacuten de centrado lleva impliacutecita la existencia de planos de deslizamiento La multiplicidad del dominio complejo es 4 Los planos de simetriacutea ordinarios y de deslizamiento llevan impliacutecitos la aparcicioacuten de ejes binarios en las intersecciones del mismo tipo de planos no de distintos La multiplicidad del dominio complejo es 8

- Grupos planos con red cuadrada

La simetriacutea maacutexima que permite una red cuadrada es un haz de ejes cuaternarios y sus planos de simetriacutea contenidos en ellos En todos los casos se toma un eje cuaternario como origen de

la celda apareciendo otro eje cuaternario en el centro de la celda Existiraacuten por tanto diferentes combinaciones

Grupo plano p4 p como indicativo de primitivo y 4 como indicativo de eje cuaternario de simetriacutea Los ejes cuaternarios generan la aparcicioacuten de ejes binarios intercalados entre los cuaternarios La multiplicidad del dominio complejo es 4

Grupo plano p4mm p como indicativo de primitivo 4 como indicativo de eje cuaternario de simetriacutea y m como los planos de simetriacutea que contienen a dichos ejes Los ejes cuaternarios generan la aparcicioacuten de ejes binarios intercalados entre los cuaternarios y toda la simetriacutea genera planos de deslizamiento paralelos a las diagonales de la celda La multiplicidad del dominio complejo es 8

Grupo plano p4gm p como indicativo de primitivo 4 como indicativo de eje cuaternario de simetriacutea g como planos de deslizamiento y m como los planos de simetriacutea La multiplicidad del dominio complejo es 8

- Grupos planos con red hexagonal

La simetriacutea maacutexima que permite una red hexagonal es un haz de ejes senarios o ternarios y los planos de simetriacutea que contienen a dichos ejes Existiraacuten por tanto diferentes combinaciones

Grupo plano p3 p como indicativo de primitivo y 3 como indicativo de eje ternario de simetriacutea Los ejes ternarios generan la aparcicioacuten de otros ternarios en el centro de los dos triaacutengulos equilaacuteteros que conforman la celda La multiplicidad del dominio complejo es 3

Grupo plano p3m1 p como indicativo de primitivo 3 como indicativo de eje ternario de simetriacutea y m como plano de simetriacutea en la diagonal mayor del rombo Se genera alternancia de planos de deslizamiento La multiplicidad del dominio complejo es 6

Grupo plano p31m p como indicativo de primitivo 3 como indicativo de eje ternario de simetriacutea y m como plano de simetriacutea en la diagonal menor del rombo Se genera alternancia de planos de deslizamiento La multiplicidad del dominio complejo es 6

Grupo plano p6 p como indicativo de primitivo y 6 como indicativo de eje senario de simetriacutea Se generan ejes ternarios en los centros de los triaacutengulos equilaacuteteros conformadores y ejes binarios en los centros de los lados de dichos triaacutengulos La multiplicidad del dominio complejo es de 6

Grupo plano p6mm p como indicativo de primitivo 6 como indicativo de eje senario de simetriacutea y m de los planos de simetriacutea que los contienen Se generan ejes ternarios en los centros de los triaacutengulos equilaacuteteros conformadores ejes binarios en los centros de los lados de dichos triaacutengulos y planos de deslizamiento alternantes La multiplicidad del dominio complejo es de 12

La tabla que relaciona los grupos puntuales y los grupos planos pone de manifiesto que no todas las combinaciones conducen a nuevos o diferentes grupos puntuales La interaccioacuten de la simetriacutea del motivo con la simetriacutea de las diversas redes planas afecta al contenido de simetriacutea resultante del modelo planar El modelo final muestra la simetriacutea de la red cuando los elementos de simetriacutea del motivo estaacuten alineados con los elementos de simetriacutea correspondiente de la red Si el motivo tiene menos simetriacutea que la red el modelo expresaraacute el menor grado de simetriacutea del motivo con los elementos de simetriacutea de eacuteste alineados con los correspondientes elementos de simetriacutea de la red

Red Grupo puntual Grupo plano

1 p1 Obliacutecua

2 p2 m pm pg

Rectangular mm pmm pmg pgg m cm

Roacutembica mm cmm

4 p4

Cuadrada

4mm p4mm p4gm

3 p3 3m p3m p31m 6 p6

Hexagonal

6mm p6mm

- Grupos espaciales Los grupos espaciales representan las diversas formas en que los motivos pueden distribuirse en el espacio en una estructura homogeacutenea

Los grupos espaciales surgen de la combinacioacuten de los 14 tipos posibles de redes espaciales (redes de Bravais) con la simetriacutea propia de las 32 clases cristalinas o grupos puntuales maacutes la simetriacutea con traslacioacuten

Las caracteriacutesticas de la red se expresan con las letras P A B C F I R de las redes de Bravais que designan el tipo de red general A continuacioacuten se describen en el siacutembolo los elementos de simetriacutea

Ejemplos

P4m2m2m oacute p4mmm

4m2m2m oacute 4mmm Grupo de simetriacutea 4mmm

P Red tetragonal sencilla

P42n2n2m oacute P42nnm

42nnm Grupo isogonal con el 4mmm donde los ejes de rotacioacuten cuaternaria del grupo puntual aparecen como ejes de rotoinversioacuten cuaternaria y helicoidal cuaternario paralelos y alternativos Existen planos de deslizamiento n y de simetriacutea m asiacute como ejes de rotacioacuten binaria con helicoidales binarios intercalados

P Red tetragonal sencilla

Al igual que ocurriacutea en los grupos planos en los grupos espaciales con redes no primitivas la operacioacuten de centrado introduce la simetriacutea con traslacioacuten y sin embargo estos nuevos elementos no se aprecian en los siacutembolos Por ejemplo

C2m

2m Grupo de simetriacutea 2m Sin embargo aparecen debido al centrado ejes helicoidales binarios intercalados con los binarios y planos de deslizamiento intercalados con los planos de simetriacutea

C Red roacutembica centrada de tipo C

Los 230 grupos espaciales vienen descritos en las International Tables for X-ray Crystallography clasificadas seguacuten los grupos puntuales y los sistemas cristalinos

Una composicioacuten de la informacioacuten contenida en estas Tablas se muestra a continuacioacuten para el grupo espacial Cmm2 en el que la C significa una red centrada en las caras separadas por el eje c la primera m representa un plano de simetriacutea perpendicular al eje a la segunda m

representa un plano de simetriacutea perpendicular al eje b y el 2 se refiere al eje binario paralelo al eje c

  • EL ESTADO CRISTALINO
Page 16: Cristalografia Estructural

Red hexagonal P (a=bc α=szlig=90ordm γ=120ordm 60ordm)

El paralelepiacutepedo fundamental es un prisma recto de base roacutembica (de aacutengulo de 60ordm) Para visualizar la forma hexagonal se toma una celda muacuteltiple integrada por tres de estas celdillas roacutembicas

Esta red hexagonal permite un apilamiento especial de los planos hexagonales Seguacuten eacuteste los nudos se proyectan a 13 o a 23 de la diagonal mayor del rombo dando como resultado una red romboeacutedrica R de (a=b=c α=szlig=γ90ordm)

Redes cuacutebicas (a=b=c α=szlig=γ=90ordm)

- Red cuacutebica primitiva P

El paralelepiacutepedo fundamental es un cubo

- Redes cuacutebicas centradas

El centrado de las caras del cubo no debiera ser posible puesto que son redes planas cuadradas Las redes cuacutebicas centradas se originan cuando el aacutengulo del romboedro se hace igual a 60ordm y las tres diagonales del romboedro se hacen iguales entre siacute definiendo las aristas de un cubo que circunscribe al romboedro Asiacute la distribucioacuten de nudos es la correspondiente a un cubo de caras centradas originando la red cuacutebica de caras centradas F

De forma similar cuando el aacutengulo entre las aristas del romboedro es de 109ordm 28acute 16acuteacute las diagonales de sus tres caras fundamentales son perpendicuales entre si e iguales en magnitud y definen un cubo inscrito en el romboedro La distribucioacuten de nudos corresponde a una red cuacutebica centrada en el interior I

(Las redes cuacutebicas no soacutelo son casos especiales de redes romboeacutedricas sino que tambieacuten lo son de redes tetragonales)

13- SIMETRIacuteA La porcioacuten miacutenima del espacio cristalino que contiene en siacute misma toda la simetriacutea de la red cristalina es la celda unidad El medio cristalino por ser perioacutedico es un medio simeacutetrico y todas sus propiedades derivan de este hecho

Entendiendo por simetriacutea aquella transformacioacuten que al aplicarse a un objeto hace que eacuteste conserve todas sus dimensiones y lo deje en una posicioacuten indistinguible de su posicioacuten original la operacioacuten de simetriacutea maacutes sencilla que existe por definicioacuten en el medio cristalino es la simple traslacioacuten entre un motivo y otro

- Elementos de simetriacuteaEl lugar geomeacutetrico que ayuda a la visualizacioacuten de la simetriacutea de una distribucioacuten ordenada recibe el nombre de elemento de simetriacutea Los elementos de simetriacutea puntual (la operacioacuten de simetriacutea deja un punto particular del diagrama inmoacutevil) sin traslacioacuten son el plano de simetriacutea el eje de rotacioacuten y el centro de simetriacutea o centro de inversioacuten

El plano de simetriacutea m o de reflexioacuten refleja partes o todos ideacutenticos del objeto a traveacutes de un plano

El eje de rotacioacuten origina una rotacioacuten al objeto de 360ordmn alrededor del eje (de derecha a izquierda)

eje monario n=1 (360ordm1=360ordm)

eje binario (perpendicular al plano) (paralelo al plano)

n=2 (360ordm2=180ordm)

eje ternario n=3 (360ordm3=120ordm)

eje cuaternario n=4 (360ordm4=90ordm)

eje senario n=6 (360ordm6=60ordm)

(La restriccioacuten cristalograacutefica limita los giros permisibles a estos cinco para que su orden sea compatible con la existencia de redes)

Las combinaciones de ambos elementos de simetriacutea originan los ejes de rotacioacuten impropios

- eje de rotorreflexioacuten rotacioacuten de 360ordmn seguida por reflexioacuten en un plano perpendicular al eje

- eje de rotoinversioacuten rotacioacuten de 360ordmn seguida por inversioacuten a traveacutes de un punto en el eje

orden 1 orden 3 orden 4 orden 6

Nota Los ejes de rotoinversioacuten se representan por el orden del eje (2 3 4 o 6) con el siacutembolo negativo encima de ellos En esta Web ese siacutembolo se identifica tambieacuten por el signo negativo bien delante o inferior al nuacutemero de orden del eje

(el esquema superior representa una rotoreflexioacuten de orden 4 y el inferior una rotoinversioacuten del mismo orden)

Por su parte el centro de simetriacutea i o centro de inversioacuten es un elemento de simetriacutea puntual que invierte el objeto a traveacutes de una liacutenea recta

- Combinacioacuten de elementos de simetriacuteaLa combinacioacuten de elementos de simetriacutea no se produce al azar estaacute regida por una serie de normas y limitaciones que son

- Los elementos que se combinan guardan unas relaciones angulares caracteriacutesticas

- La combinacioacuten de algunos elementos de simetriacutea genera directamente la presencia de otros

Eje de orden par + centro de simetriacutea ------- plano de simetriacutea perpendicular al eje

Eje de orden n contenido en un plano de simetriacutea -------- n-1 planos de simetriacutea que intersectan en el eje

Dos ejes que se cortan --------- un tercer eje que pasa por el punto de corte

(entre propios e impropios soacutelo es posible un propio y dos impropios)

Eje de orden n + eje binario perpendicular -------- n-1 ejes binarios tambieacuten normales a eacutel

Eje de inversioacuten de orden n(impar) + eje binario perpendicular -------- n ejes binarios y planos de simetriacutea

Eje de inversioacuten de orden n(par) + eje binario perpendicular -------- n2 ejes binarios y planos de simetriacutea

-Los ejes de inversioacuten realizan una operacioacuten de simetriacutea equivalente a la de dos elementos de simetriacutea (excepto el de orden 4)

3 = 3 + i

Eje de rotoinversioacuten de orden impar = eje propio del mismo orden + centro de simetriacutea

(6 = 3 + m)

Eje de rotoinversioacuten de orden par = eje propio de mitad de orden + un plano de simetriacutea perpendicular a eacutel

- Las 32 clases de simetriacuteaEs faacutecil prever que en el medio cristalino los elementos de simetriacutea se combinan entre siacute hasta engendrar los modelos cristalinos regulares que se combinan de treinta y dos maneras distintas y dan lugar a las treinta y dos posibles clases cristalinas o grupos puntuales (la operacioacuten de simetriacutea deja un punto particular del diagrama inmoacutevil) existentes

Estas treinta y dos clases cristalinas se han obtenido mediante las siguientes combinaciones de elementos de simetriacutea

Siacutembolo Combinacioacuten de simetriacutea Elementos de simetriacutea

1 Eje monario (giro de 360ordm)

2 Eje binario (giro de 180ordm)

3 Eje ternario (giro de 120ordm)

4 Eje cuaternario (giro de 90ordm)

6 Eje senario (giro de 60ordm)

1 Eje monario de inversioacuten (giro de 360ordm+inversioacuten) = centro de inversioacuten (2=i)

2 Eje binario de inversioacuten (giro de 180ordm+inversioacuten) = plano de simetriacutea (2=m)

3 Eje ternario de inversioacuten (giro de 120ordm+inversioacuten)

T4 TEje cuaternario de inversioacuten (giro de 90ordm+inversioacuten)

6

Clases con un soacutelo elemento de simetriacutea

Eje senario de inversioacuten (giro de 60ordm+inversioacuten) = eje ternario + plano de simetriacutea perpendicular

(6=3m)

222 Tres ejes binarios en planos perpendiculares entre siacute

32 Un eje ternario + tres ejes binarios en planos perpendiculares

422 Un eje cuaternario + dos ejes binarios en planos perpendiculares

622 Un eje senario + tres ejes binarios a 120ordm (plano perpendicular al senario)

23 Cuatro ejes ternarios + Tres ejes binarios

432

Clases con combinacioacuten de ejes

Tres ejes cuaternarios + cuatro ejes ternarios + seis ejes binarios

2m Clases con un eje de Eje binario + plano de simetriacutea perpendicular a eacutel

4m Eje cuaternario + plano de simetriacutea perpendicular a eacutel

6m

orden par + un centro de simetriacutea

(Eje de orden par + centro de simetriacutea=plano de

simetriacutea perpendicular al eje)

Eje senario + plano de simetriacutea perpendicular a eacutel

2mm Eje binario + dos planos de simetriacutea que se cortan en eacutel

3m Eje ternario + tres planos de simetriacutea que se cortan en eacutel

4mm Eje cuaternario + cuatro planos de simetriacutea que se cortan en eacutel

6mm

Clases con un eje + un plano de simetriacutea que

contenga al eje

Eje senario + seis planos de simetriacutea que se cortan en eacutel

42m Eje cuaternario de inversioacuten + dos ejes binarios + dos planos de simetriacutea

43m Tres ejes cuaternarios de inversioacuten + cuatro ejes ternarios + seis planos de simetriacutea

62m

Clases con un eje + dos ejes impropios

Eje senario de inversioacuten (=eje ternario + plano de simetriacutea perpendicular) + tres ejes binarios + tres

planos de simetriacutea

2m2m2m

(mmm)

Tres ejes binarios + tres planos de simetriacutea perpendiculares

32m

(3m)

Un eje ternario + tres ejes binarios + tres planos de simetriacutea perpendiculares + un centro de simetriacutea

4m2m2m

(4mmm)

Un eje cuaternario + un plano de simetriacutea perpendicular + cuatro ejes binarios + cuatro

planos de simetriacutea perpendiculares + centro de simetriacutea

6m2m2m

(6mmm)

Un eje senario + un plano de simetriacutea perpendicular + seis ejes binarios + seis planos de simetriacutea perpendiculares + un centro de simetriacutea

2m3

(m3)

Cuatro ejes ternarios + tres ejes binarios + tres planos de simetriacutea perpendiculares + un centro de

simetriacutea

4m32m

(m3m)

TClases con tres ejes + un centro de

simetriacutea

Tres ejes cuaternarios + tres planos de simetriacutea perpendiculares + cuatro ejes ternarios + seis ejes binarios + seis planos de simetriacutea perpendiculares

+ un centro de simetriacutea

La distribucioacuten sistema cristalino-Redes de Bravais-Grupos puntuales o clases de simetriacutea es la siguiente

Red de Bravais Sistema Grupo puntual

Red Tricliacutenica primitiva P Tricliacutenico 1 1Red monocliacutenica primitiva PRed monocliacutenica centrada en las caras C

Monocliacutenico 2 m 2m

Red roacutembica primitiva PRed roacutembica centrada en las bases CRed roacutembica centrada en el interior IRed roacutembica centrada en las caras F

Roacutembico 222 mm2 mmm

Red tetragonal primitiva P

Red tetragonal centrada en el interior CTetragonal

4 4 4m 4mm 422

42m 4mmm

Red hexagonal primitiva P Hexagonal6 6 6m 6mm 622

62m 6mmm

Red romboeacutedrica primitiva P Romboeacutedrico o Trigonal

3 3 3m 32 3m

Red cuacutebica primitiva PRed cuacutebica centrada en el interior IRed cuacutebica centrada en las caras F

Cuacutebico o Isomeacutetrico23 m3

43m 432 m3m

- Simetriacutea y redes de BravaisLa presencia de elementos de simetriacutea en la red cristalina condiciona a su vez la existencia de ciertas relaciones meacutetricas entre los elementos de la celda elemental las relaciones angulares entre los ejes del cristal o ejes cristalograacuteficos y las intersecciones sobre estos ejes de la cara fundamental (111) Las dimensiones de estas intersecciones son proporcionales a las traslaciones en las tres dimensiones de la red

Por esta razoacuten se han agrupado las redes de Bravais en siete grandes grupos redes tricliacutenicas redes monocliacutenicas redes roacutembicas redes tetragonales redes hexagonales redes romboeacutedricas y redes cuacutebicas Cada uno de estos grupos de redes corresponde a un sistema cuyo nombre es ideacutentico al de las redes correspondientes y posee unas constantes reticulares fijas y una miacutenima simetriacutea caracteriacutestica

Red de Bravais SistemaRed Tricliacutenica primitiva P TricliacutenicoRed monocliacutenica primitiva PRed monocliacutenica centrada en las caras C

Monocliacutenico

Red roacutembica primitiva PRed roacutembica centrada en las bases CRed roacutembica centrada en el interior IRed roacutembica centrada en las caras F

Roacutembico

Red tetragonal primitiva PRed tetragonal centrada en el interior C

Tetragonal

Red hexagonal primitiva P HexagonalRed romboeacutedrica primitiva P Romboeacutedrico o Trigonal Red cuacutebica primitiva PRed cuacutebica centrada en el interior IRed cuacutebica centrada en las caras F

Cuacutebico o Isomeacutetrico

Las constantes reticulares y la miacutenima simetriacutea que caracteriza a cada grupo de redes o sistema cristalino es la siguiente

- Sistema tricliacutenico (abc αszligγ90ordm)

No posee ninguna simetriacutea miacutenima

- Sistema monocliacutenico (abc α=γ=90ordmszliggt90ordm)

Presenta como simetriacutea miacutenima un eje de rotacioacuten binario o un eje de inversioacuten binario (=plano de simetriacutea)

- Sistema roacutembico (abc α=szlig=γ=90ordm)

Como miacutenimo posee tres ejes binarios perpendiculares entre siacute

- Sistema tetragonal (a=bc α=szlig=γ=90ordm)

Posee como caracteriacutestica fundamental un eje de rotacioacuten cuaternario o un eje de inversioacuten cuaternario

- Sistema hexagonal (a=bc α=szlig=90ordm γ=120ordm)

Su caracteriacutestica fundamental es la presencia de un eje de rotacioacuten senario o un eje de inversioacuten senario (eje ternario + plano de simetriacutea perpendicular)

Para mayor precisioacuten generalmente se introduce un cuarto eje i coplanario con a y b que forma un aacutengulo de 120ordm con cada uno de ellos asiacute la cruz axial seraacute (a=b=ic α=szlig=90ordm γ=120ordm)

Iacutendices de Miller hexagonales Como se trabaja con un cuarto iacutendice que se situacutea en el plano a1 a2 y a 120ordm de cada uno de estos ejes los planos hexagonales se van a representar por cuatro iacutendices (hkil) El valor de i se determina como h+k

- Sistema romboeacutedrico o trigonal (a=b=c α=szlig=γ90ordm)

Su caracteriacutestica comuacuten es la presencia de un eje de rotacioacuten ternario o un eje de inversioacuten ternario (eje ternario + centro de simetriacutea)

- Sistema cuacutebico (a=b=c α=szlig=γ=90ordm)

Posee como caracteriacutestica fundamental cuatro ejes de rotacioacuten ternarios inclinados a 10947ordm

NOTA Ademaacutes de las constantes reticulares para definir un sistema cristalino puede utilizarse la relacioacuten parameacutetrica siendo eacutesta la relacioacuten existente entre los moacutedulos de a y c respecto al moacutedulo de b

ab 1 cb

Normalmente se toman estos valores y los aacutengulos para definir la red

14- SIMETRIacuteA CON TRASLACIOacuteN - Elementos de simetriacutea con traslacioacutenLa red cristalina soacutelo tiene sentido como indicadora de la periodicidad que se presenta en el cristal como consecuencia de la repeticioacuten del motivo Debido a ello la simetriacutea que revela por siacute la red no tiene que ser necesariamente la que posea el cristal aunque en general lo sea

Ejemplo La coesita (variedad de la siacutelice de alta presioacuten) tiene una red cuya meacutetrica es roacutembica mientras que la estructura es monocliacutenica ya que el motivo carece de ciertos elementos de simetriacutea que la meacutetrica de la red indicaban

Es faacutecil comprender que debido a que la red es solamente la consecuencia de unas fuerzas cohesivas entre los aacutetomos que forman el cristal fuerzas que obligan a una repeticioacuten monoacutetona de las agrupaciones atoacutemicas la simetriacutea de la red debe estar iacutentimamente relacionada con la del cristal entendido como agrupacioacuten repetitiva de aacutetomos

La red nos proporciona por tanto la simetriacutea maacutexima que el cristal puede tener pero dicha simetriacutea depende de la simetriacutea propia del motivo La complejidad que el motivo cristalino aacutetomos iones y moleacuteculas aporta a la red cristalina hace que los elementos de simetriacutea del medio cristalino se ampliacuteen Aparece la traslacioacuten que tiene dimensiones submicroscoacutepicas no accesibles a la morfologiacutea macroscoacutepica

Los operadores de simetriacutea que completan la tarea de rellenar el espacio cristalino se consideran cada uno de ellos como una sola y nueva operacioacuten de simetriacutea Estos son los planos de deslizamiento que implican la reflexioacuten asociada a una traslacioacuten y los ejes helicoidales que implican a su vez giro y traslacioacuten

- Plano de deslizamiento

El plano de deslizamiento realiza simultaacuteneamente dos operaciones refleja la imagen o traslada la imagen a intervalos de media traslacioacuten

Cuando la semitraslacioacuten asociada al plano de deslizamiento corresponde a alguna de las direcciones fundamentales del cristal el plano se denomina a b c respectivamente

Cuando la semitraslacioacuten corresponde a la diagonal del plano reflector es decir el plano de deslizamiento se situacutea paralelo a la diagonal entre las filas definidas por a b y c el plano se simboliza por n y las componentes de su traslacioacuten son

a2 + b2 b2 + c2 c2 + a2 y a2 + b2 + c2

Los planos d (aparece en la estructura del diamante) se tratan tambieacuten de planos diagonales Presentan como componentes de traslacioacuten cuartos de la fundamental es decir

a4 plusmn b4 b4 plusmn c4 c4 plusmn a4 y a4 plusmn b4 plusmn c4

El siguiente cuadro sintetiza la notacioacuten y simetriacutea de los planos en los grupos espaciales

Siacutembolo Siacutembolo graacutefico Orientacioacuten y Traslacioacuten

m

perpendicular al papel

paralelo al papel

(100) o (010) ninguna traslacioacuten

(001) ninguna traslacioacuten

a

perpendicular al papel

paralelo al papel

(010) traslacioacuten a2

(001) traslacioacuten a2

b

perpendicular al papel

paralelo al papel

(100) traslacioacuten b2

(001) traslacioacuten b2

c perpendicular al papel

(100) 0 (010) traslacioacuten c2

n

______ perpendicular al papel

paralelo al papel

traslacioacuten (b+c)2 en (100) traslacioacuten (c+a)2 en (010)

traslacioacuten (a+b)2 en (001) traslacioacuten (a+b+c)2 en (110) en sistemas tetragonal o cuacutebico

d

perpendicular al papel

paralelo al papel

traslacioacuten (b+c)4 en (100) traslacioacuten (c+a)4 en (010)

traslacioacuten (a+b)4 en (001) traslacioacuten (a+b+c)4 en (110) en sistemas tetragonal o cuacutebico

- Eje helicoidal

Un eje helicoidal implica similarmente una operacioacuten doble

Un giro el permisible para su orden

Una traslacioacuten constante a lo largo del eje

Como sabemos el orden del eje es el nuacutemero de repeticiones que se necesitan para lograr la identidad implicando una serie de giros sucesivos hasta haber completado su operacioacuten de simetriacutea total

En un eje helicoidal cada uno de estos giros parciales debe asociarse a una parte aliacutecuota de la traslacioacuten total t paralela a la direccioacuten del eje La identidad se logra en la operacioacuten giro cuando se ha aplicado tantas veces el giro permisible como indica el orden del eje

Haciendo el periodo de identidad t coincidente con el giro completo del eje se obtienen los siguientes ejes helicoidales

Siacutembolo Siacutembolo graacutefico Denominacioacuten Giro Traslacioacuten

21 Eje binario helicoidal 180ordm t2

31 Eje ternario helicoidal

derecho120ordm

dextroacutegiro t3

32 Eje ternario helicoidal

izquierdo 120ordm levoacutegiro t3

41 Eje cuaternario helicoidal

derecho90ordm

dextroacutegiro t4

43 Eje cuaternario helicoidal

izquierdo 90ordm levoacutegiro t4

61 Eje senario helicoidal

derecho 60ordmdextroacutegiro t6

65 Eje senario helicoidal

izquierdo 60ordm levoacutegiro t6

Tambieacuten se pueden deducir los ejes helicoidales haciendo que la identidad se alcance para Nn giros siendo N el orden del eje y n un divisor entero de N

N (orden

del eje)

n (divisor entero de N)

Nn (giros)

Siacutembolo Siacutembolo graacutefico Denominacioacuten Giro Traslacioacuten

4 T2 2 42 Eje cuaternario-binario helicoidal 90ordm t2

6 3 2 63

Eje senario-ternario

helicoidal60ordm t2

6 2 3 62

Eje senario-binario helicoidal

derecho

60ordm dextroacutegiro t3

6 2 3 64

Eje senario-binario helicoidal

izquierdo

60ordm levoacutegiro t3

- Los 17 grupos planos En la deduccioacuten de los grupos planos hay que tener en cuenta que es el motivo contenido de la celda definida por unas traslaciones dadas el que muestra la existencia de los elementos de simetriacutea Es decir que las partes del motivo estaacuten relacionadas entre siacute por dichos elementos de simetriacutea (que puede ser simetriacutea con traslacioacuten) que la suma de estas partes constituye la celda y que las celdas implican una meacutetrica dada es decir tiene una forma y unas dimensiones que condicionan una simetriacutea maacutexima

En los grupos planos los haces de elementos de simetriacutea son perpendiculares al plano que se asocia a un tipo de red plana El nuacutemero de estos grupos planos es de 17

- Grupos planos con red oblicua

La simetriacutea maacutexima que permite una red obiacutecua es un haz de ejes binarios Existiraacuten por tanto dos posibilidades

Grupo plano p1 p como indicativo de primitivo y 1 como indicativo de no simetriacutea El dominio complejo coincide con el motivo y por tanto su multiplicidad es 1

Grupo plano p2 p como indicativo de primitivo y 2 como indicativo de eje binario de simetriacutea La multiplicidad del dominio complejo es 2 ya que la simetriacutea genera duplicidad del motivo

- Grupos planos con red rectangular

La simetriacutea maacutexima que permite una red rectangular es dos haces de planos de simetriacutea y un haz de ejes binarios Existiraacuten por tanto diferentes combinaciones

Grupo plano pm p como indicativo de primitivo y m como indicativo del plano de simetriacutea La multiplicidad del dominio complejo es 2 ya que la simetriacutea genera duplicidad del motivo

Grupo plano pg p como indicativo de primitivo y g como indicativo del plano de deslizamiento La multiplicidad del dominio complejo es 2 ya que la simetriacutea genera duplicidad del motivo

Grupo plano pmm (p2mm) p como indicativo de primitivo y dos m como indicativo de planos de simetriacutea mutuamente perpendiculares Los planos de simetriacutea llevan impliacutecitos la aparcicioacuten de ejes binarios La multiplicidad del dominio complejo es 4

Grupo plano pmg (p2mg) p como indicativo de primitivo y planos perpendiculares de tipo distinto (m ordinarios y g de deslizamiento) Esto hace que los ejes de simetriacutea no se encuentren en la interseccioacuten sino desplazados a lo largo del plano de deslizamiento a mitad de la componente desplazamiento El origen de la celda se toma sobre un eje binario La multiplicidad del dominio complejo es 4

Grupo plano pgg(p2gg) p como indicativo de primitivo y dos g de planos perpendiculares de deslizamiento Esto hace que los ejes de simetriacutea no se encuentren en la interseccioacuten sino desplazados a lo largo de cada plano de deslizamiento a mitad de la componente deslizamiento El origen de la celda se toma sobre un eje binario La multiplicidad del dominio complejo es 4

- Grupos planos con red roacutembica o rectangular centrada

Grupo plano cm c como indicativo de la operacioacuten de centrado y m como indicativo del plano de simetriacutea La operacioacuten de centrado lleva impliacutecita la existencia de un plano de deslizamiento La multiplicidad del dominio complejo es 4

Grupo plano cmm (c2mm) c como indicativo de centrado y dos m como indicativo de planos de simetriacutea mutuamente perpendiculares La operacioacuten de centrado lleva impliacutecita la existencia de planos de deslizamiento La multiplicidad del dominio complejo es 4 Los planos de simetriacutea ordinarios y de deslizamiento llevan impliacutecitos la aparcicioacuten de ejes binarios en las intersecciones del mismo tipo de planos no de distintos La multiplicidad del dominio complejo es 8

- Grupos planos con red cuadrada

La simetriacutea maacutexima que permite una red cuadrada es un haz de ejes cuaternarios y sus planos de simetriacutea contenidos en ellos En todos los casos se toma un eje cuaternario como origen de

la celda apareciendo otro eje cuaternario en el centro de la celda Existiraacuten por tanto diferentes combinaciones

Grupo plano p4 p como indicativo de primitivo y 4 como indicativo de eje cuaternario de simetriacutea Los ejes cuaternarios generan la aparcicioacuten de ejes binarios intercalados entre los cuaternarios La multiplicidad del dominio complejo es 4

Grupo plano p4mm p como indicativo de primitivo 4 como indicativo de eje cuaternario de simetriacutea y m como los planos de simetriacutea que contienen a dichos ejes Los ejes cuaternarios generan la aparcicioacuten de ejes binarios intercalados entre los cuaternarios y toda la simetriacutea genera planos de deslizamiento paralelos a las diagonales de la celda La multiplicidad del dominio complejo es 8

Grupo plano p4gm p como indicativo de primitivo 4 como indicativo de eje cuaternario de simetriacutea g como planos de deslizamiento y m como los planos de simetriacutea La multiplicidad del dominio complejo es 8

- Grupos planos con red hexagonal

La simetriacutea maacutexima que permite una red hexagonal es un haz de ejes senarios o ternarios y los planos de simetriacutea que contienen a dichos ejes Existiraacuten por tanto diferentes combinaciones

Grupo plano p3 p como indicativo de primitivo y 3 como indicativo de eje ternario de simetriacutea Los ejes ternarios generan la aparcicioacuten de otros ternarios en el centro de los dos triaacutengulos equilaacuteteros que conforman la celda La multiplicidad del dominio complejo es 3

Grupo plano p3m1 p como indicativo de primitivo 3 como indicativo de eje ternario de simetriacutea y m como plano de simetriacutea en la diagonal mayor del rombo Se genera alternancia de planos de deslizamiento La multiplicidad del dominio complejo es 6

Grupo plano p31m p como indicativo de primitivo 3 como indicativo de eje ternario de simetriacutea y m como plano de simetriacutea en la diagonal menor del rombo Se genera alternancia de planos de deslizamiento La multiplicidad del dominio complejo es 6

Grupo plano p6 p como indicativo de primitivo y 6 como indicativo de eje senario de simetriacutea Se generan ejes ternarios en los centros de los triaacutengulos equilaacuteteros conformadores y ejes binarios en los centros de los lados de dichos triaacutengulos La multiplicidad del dominio complejo es de 6

Grupo plano p6mm p como indicativo de primitivo 6 como indicativo de eje senario de simetriacutea y m de los planos de simetriacutea que los contienen Se generan ejes ternarios en los centros de los triaacutengulos equilaacuteteros conformadores ejes binarios en los centros de los lados de dichos triaacutengulos y planos de deslizamiento alternantes La multiplicidad del dominio complejo es de 12

La tabla que relaciona los grupos puntuales y los grupos planos pone de manifiesto que no todas las combinaciones conducen a nuevos o diferentes grupos puntuales La interaccioacuten de la simetriacutea del motivo con la simetriacutea de las diversas redes planas afecta al contenido de simetriacutea resultante del modelo planar El modelo final muestra la simetriacutea de la red cuando los elementos de simetriacutea del motivo estaacuten alineados con los elementos de simetriacutea correspondiente de la red Si el motivo tiene menos simetriacutea que la red el modelo expresaraacute el menor grado de simetriacutea del motivo con los elementos de simetriacutea de eacuteste alineados con los correspondientes elementos de simetriacutea de la red

Red Grupo puntual Grupo plano

1 p1 Obliacutecua

2 p2 m pm pg

Rectangular mm pmm pmg pgg m cm

Roacutembica mm cmm

4 p4

Cuadrada

4mm p4mm p4gm

3 p3 3m p3m p31m 6 p6

Hexagonal

6mm p6mm

- Grupos espaciales Los grupos espaciales representan las diversas formas en que los motivos pueden distribuirse en el espacio en una estructura homogeacutenea

Los grupos espaciales surgen de la combinacioacuten de los 14 tipos posibles de redes espaciales (redes de Bravais) con la simetriacutea propia de las 32 clases cristalinas o grupos puntuales maacutes la simetriacutea con traslacioacuten

Las caracteriacutesticas de la red se expresan con las letras P A B C F I R de las redes de Bravais que designan el tipo de red general A continuacioacuten se describen en el siacutembolo los elementos de simetriacutea

Ejemplos

P4m2m2m oacute p4mmm

4m2m2m oacute 4mmm Grupo de simetriacutea 4mmm

P Red tetragonal sencilla

P42n2n2m oacute P42nnm

42nnm Grupo isogonal con el 4mmm donde los ejes de rotacioacuten cuaternaria del grupo puntual aparecen como ejes de rotoinversioacuten cuaternaria y helicoidal cuaternario paralelos y alternativos Existen planos de deslizamiento n y de simetriacutea m asiacute como ejes de rotacioacuten binaria con helicoidales binarios intercalados

P Red tetragonal sencilla

Al igual que ocurriacutea en los grupos planos en los grupos espaciales con redes no primitivas la operacioacuten de centrado introduce la simetriacutea con traslacioacuten y sin embargo estos nuevos elementos no se aprecian en los siacutembolos Por ejemplo

C2m

2m Grupo de simetriacutea 2m Sin embargo aparecen debido al centrado ejes helicoidales binarios intercalados con los binarios y planos de deslizamiento intercalados con los planos de simetriacutea

C Red roacutembica centrada de tipo C

Los 230 grupos espaciales vienen descritos en las International Tables for X-ray Crystallography clasificadas seguacuten los grupos puntuales y los sistemas cristalinos

Una composicioacuten de la informacioacuten contenida en estas Tablas se muestra a continuacioacuten para el grupo espacial Cmm2 en el que la C significa una red centrada en las caras separadas por el eje c la primera m representa un plano de simetriacutea perpendicular al eje a la segunda m

representa un plano de simetriacutea perpendicular al eje b y el 2 se refiere al eje binario paralelo al eje c

  • EL ESTADO CRISTALINO
Page 17: Cristalografia Estructural

- Redes cuacutebicas centradas

El centrado de las caras del cubo no debiera ser posible puesto que son redes planas cuadradas Las redes cuacutebicas centradas se originan cuando el aacutengulo del romboedro se hace igual a 60ordm y las tres diagonales del romboedro se hacen iguales entre siacute definiendo las aristas de un cubo que circunscribe al romboedro Asiacute la distribucioacuten de nudos es la correspondiente a un cubo de caras centradas originando la red cuacutebica de caras centradas F

De forma similar cuando el aacutengulo entre las aristas del romboedro es de 109ordm 28acute 16acuteacute las diagonales de sus tres caras fundamentales son perpendicuales entre si e iguales en magnitud y definen un cubo inscrito en el romboedro La distribucioacuten de nudos corresponde a una red cuacutebica centrada en el interior I

(Las redes cuacutebicas no soacutelo son casos especiales de redes romboeacutedricas sino que tambieacuten lo son de redes tetragonales)

13- SIMETRIacuteA La porcioacuten miacutenima del espacio cristalino que contiene en siacute misma toda la simetriacutea de la red cristalina es la celda unidad El medio cristalino por ser perioacutedico es un medio simeacutetrico y todas sus propiedades derivan de este hecho

Entendiendo por simetriacutea aquella transformacioacuten que al aplicarse a un objeto hace que eacuteste conserve todas sus dimensiones y lo deje en una posicioacuten indistinguible de su posicioacuten original la operacioacuten de simetriacutea maacutes sencilla que existe por definicioacuten en el medio cristalino es la simple traslacioacuten entre un motivo y otro

- Elementos de simetriacuteaEl lugar geomeacutetrico que ayuda a la visualizacioacuten de la simetriacutea de una distribucioacuten ordenada recibe el nombre de elemento de simetriacutea Los elementos de simetriacutea puntual (la operacioacuten de simetriacutea deja un punto particular del diagrama inmoacutevil) sin traslacioacuten son el plano de simetriacutea el eje de rotacioacuten y el centro de simetriacutea o centro de inversioacuten

El plano de simetriacutea m o de reflexioacuten refleja partes o todos ideacutenticos del objeto a traveacutes de un plano

El eje de rotacioacuten origina una rotacioacuten al objeto de 360ordmn alrededor del eje (de derecha a izquierda)

eje monario n=1 (360ordm1=360ordm)

eje binario (perpendicular al plano) (paralelo al plano)

n=2 (360ordm2=180ordm)

eje ternario n=3 (360ordm3=120ordm)

eje cuaternario n=4 (360ordm4=90ordm)

eje senario n=6 (360ordm6=60ordm)

(La restriccioacuten cristalograacutefica limita los giros permisibles a estos cinco para que su orden sea compatible con la existencia de redes)

Las combinaciones de ambos elementos de simetriacutea originan los ejes de rotacioacuten impropios

- eje de rotorreflexioacuten rotacioacuten de 360ordmn seguida por reflexioacuten en un plano perpendicular al eje

- eje de rotoinversioacuten rotacioacuten de 360ordmn seguida por inversioacuten a traveacutes de un punto en el eje

orden 1 orden 3 orden 4 orden 6

Nota Los ejes de rotoinversioacuten se representan por el orden del eje (2 3 4 o 6) con el siacutembolo negativo encima de ellos En esta Web ese siacutembolo se identifica tambieacuten por el signo negativo bien delante o inferior al nuacutemero de orden del eje

(el esquema superior representa una rotoreflexioacuten de orden 4 y el inferior una rotoinversioacuten del mismo orden)

Por su parte el centro de simetriacutea i o centro de inversioacuten es un elemento de simetriacutea puntual que invierte el objeto a traveacutes de una liacutenea recta

- Combinacioacuten de elementos de simetriacuteaLa combinacioacuten de elementos de simetriacutea no se produce al azar estaacute regida por una serie de normas y limitaciones que son

- Los elementos que se combinan guardan unas relaciones angulares caracteriacutesticas

- La combinacioacuten de algunos elementos de simetriacutea genera directamente la presencia de otros

Eje de orden par + centro de simetriacutea ------- plano de simetriacutea perpendicular al eje

Eje de orden n contenido en un plano de simetriacutea -------- n-1 planos de simetriacutea que intersectan en el eje

Dos ejes que se cortan --------- un tercer eje que pasa por el punto de corte

(entre propios e impropios soacutelo es posible un propio y dos impropios)

Eje de orden n + eje binario perpendicular -------- n-1 ejes binarios tambieacuten normales a eacutel

Eje de inversioacuten de orden n(impar) + eje binario perpendicular -------- n ejes binarios y planos de simetriacutea

Eje de inversioacuten de orden n(par) + eje binario perpendicular -------- n2 ejes binarios y planos de simetriacutea

-Los ejes de inversioacuten realizan una operacioacuten de simetriacutea equivalente a la de dos elementos de simetriacutea (excepto el de orden 4)

3 = 3 + i

Eje de rotoinversioacuten de orden impar = eje propio del mismo orden + centro de simetriacutea

(6 = 3 + m)

Eje de rotoinversioacuten de orden par = eje propio de mitad de orden + un plano de simetriacutea perpendicular a eacutel

- Las 32 clases de simetriacuteaEs faacutecil prever que en el medio cristalino los elementos de simetriacutea se combinan entre siacute hasta engendrar los modelos cristalinos regulares que se combinan de treinta y dos maneras distintas y dan lugar a las treinta y dos posibles clases cristalinas o grupos puntuales (la operacioacuten de simetriacutea deja un punto particular del diagrama inmoacutevil) existentes

Estas treinta y dos clases cristalinas se han obtenido mediante las siguientes combinaciones de elementos de simetriacutea

Siacutembolo Combinacioacuten de simetriacutea Elementos de simetriacutea

1 Eje monario (giro de 360ordm)

2 Eje binario (giro de 180ordm)

3 Eje ternario (giro de 120ordm)

4 Eje cuaternario (giro de 90ordm)

6 Eje senario (giro de 60ordm)

1 Eje monario de inversioacuten (giro de 360ordm+inversioacuten) = centro de inversioacuten (2=i)

2 Eje binario de inversioacuten (giro de 180ordm+inversioacuten) = plano de simetriacutea (2=m)

3 Eje ternario de inversioacuten (giro de 120ordm+inversioacuten)

T4 TEje cuaternario de inversioacuten (giro de 90ordm+inversioacuten)

6

Clases con un soacutelo elemento de simetriacutea

Eje senario de inversioacuten (giro de 60ordm+inversioacuten) = eje ternario + plano de simetriacutea perpendicular

(6=3m)

222 Tres ejes binarios en planos perpendiculares entre siacute

32 Un eje ternario + tres ejes binarios en planos perpendiculares

422 Un eje cuaternario + dos ejes binarios en planos perpendiculares

622 Un eje senario + tres ejes binarios a 120ordm (plano perpendicular al senario)

23 Cuatro ejes ternarios + Tres ejes binarios

432

Clases con combinacioacuten de ejes

Tres ejes cuaternarios + cuatro ejes ternarios + seis ejes binarios

2m Clases con un eje de Eje binario + plano de simetriacutea perpendicular a eacutel

4m Eje cuaternario + plano de simetriacutea perpendicular a eacutel

6m

orden par + un centro de simetriacutea

(Eje de orden par + centro de simetriacutea=plano de

simetriacutea perpendicular al eje)

Eje senario + plano de simetriacutea perpendicular a eacutel

2mm Eje binario + dos planos de simetriacutea que se cortan en eacutel

3m Eje ternario + tres planos de simetriacutea que se cortan en eacutel

4mm Eje cuaternario + cuatro planos de simetriacutea que se cortan en eacutel

6mm

Clases con un eje + un plano de simetriacutea que

contenga al eje

Eje senario + seis planos de simetriacutea que se cortan en eacutel

42m Eje cuaternario de inversioacuten + dos ejes binarios + dos planos de simetriacutea

43m Tres ejes cuaternarios de inversioacuten + cuatro ejes ternarios + seis planos de simetriacutea

62m

Clases con un eje + dos ejes impropios

Eje senario de inversioacuten (=eje ternario + plano de simetriacutea perpendicular) + tres ejes binarios + tres

planos de simetriacutea

2m2m2m

(mmm)

Tres ejes binarios + tres planos de simetriacutea perpendiculares

32m

(3m)

Un eje ternario + tres ejes binarios + tres planos de simetriacutea perpendiculares + un centro de simetriacutea

4m2m2m

(4mmm)

Un eje cuaternario + un plano de simetriacutea perpendicular + cuatro ejes binarios + cuatro

planos de simetriacutea perpendiculares + centro de simetriacutea

6m2m2m

(6mmm)

Un eje senario + un plano de simetriacutea perpendicular + seis ejes binarios + seis planos de simetriacutea perpendiculares + un centro de simetriacutea

2m3

(m3)

Cuatro ejes ternarios + tres ejes binarios + tres planos de simetriacutea perpendiculares + un centro de

simetriacutea

4m32m

(m3m)

TClases con tres ejes + un centro de

simetriacutea

Tres ejes cuaternarios + tres planos de simetriacutea perpendiculares + cuatro ejes ternarios + seis ejes binarios + seis planos de simetriacutea perpendiculares

+ un centro de simetriacutea

La distribucioacuten sistema cristalino-Redes de Bravais-Grupos puntuales o clases de simetriacutea es la siguiente

Red de Bravais Sistema Grupo puntual

Red Tricliacutenica primitiva P Tricliacutenico 1 1Red monocliacutenica primitiva PRed monocliacutenica centrada en las caras C

Monocliacutenico 2 m 2m

Red roacutembica primitiva PRed roacutembica centrada en las bases CRed roacutembica centrada en el interior IRed roacutembica centrada en las caras F

Roacutembico 222 mm2 mmm

Red tetragonal primitiva P

Red tetragonal centrada en el interior CTetragonal

4 4 4m 4mm 422

42m 4mmm

Red hexagonal primitiva P Hexagonal6 6 6m 6mm 622

62m 6mmm

Red romboeacutedrica primitiva P Romboeacutedrico o Trigonal

3 3 3m 32 3m

Red cuacutebica primitiva PRed cuacutebica centrada en el interior IRed cuacutebica centrada en las caras F

Cuacutebico o Isomeacutetrico23 m3

43m 432 m3m

- Simetriacutea y redes de BravaisLa presencia de elementos de simetriacutea en la red cristalina condiciona a su vez la existencia de ciertas relaciones meacutetricas entre los elementos de la celda elemental las relaciones angulares entre los ejes del cristal o ejes cristalograacuteficos y las intersecciones sobre estos ejes de la cara fundamental (111) Las dimensiones de estas intersecciones son proporcionales a las traslaciones en las tres dimensiones de la red

Por esta razoacuten se han agrupado las redes de Bravais en siete grandes grupos redes tricliacutenicas redes monocliacutenicas redes roacutembicas redes tetragonales redes hexagonales redes romboeacutedricas y redes cuacutebicas Cada uno de estos grupos de redes corresponde a un sistema cuyo nombre es ideacutentico al de las redes correspondientes y posee unas constantes reticulares fijas y una miacutenima simetriacutea caracteriacutestica

Red de Bravais SistemaRed Tricliacutenica primitiva P TricliacutenicoRed monocliacutenica primitiva PRed monocliacutenica centrada en las caras C

Monocliacutenico

Red roacutembica primitiva PRed roacutembica centrada en las bases CRed roacutembica centrada en el interior IRed roacutembica centrada en las caras F

Roacutembico

Red tetragonal primitiva PRed tetragonal centrada en el interior C

Tetragonal

Red hexagonal primitiva P HexagonalRed romboeacutedrica primitiva P Romboeacutedrico o Trigonal Red cuacutebica primitiva PRed cuacutebica centrada en el interior IRed cuacutebica centrada en las caras F

Cuacutebico o Isomeacutetrico

Las constantes reticulares y la miacutenima simetriacutea que caracteriza a cada grupo de redes o sistema cristalino es la siguiente

- Sistema tricliacutenico (abc αszligγ90ordm)

No posee ninguna simetriacutea miacutenima

- Sistema monocliacutenico (abc α=γ=90ordmszliggt90ordm)

Presenta como simetriacutea miacutenima un eje de rotacioacuten binario o un eje de inversioacuten binario (=plano de simetriacutea)

- Sistema roacutembico (abc α=szlig=γ=90ordm)

Como miacutenimo posee tres ejes binarios perpendiculares entre siacute

- Sistema tetragonal (a=bc α=szlig=γ=90ordm)

Posee como caracteriacutestica fundamental un eje de rotacioacuten cuaternario o un eje de inversioacuten cuaternario

- Sistema hexagonal (a=bc α=szlig=90ordm γ=120ordm)

Su caracteriacutestica fundamental es la presencia de un eje de rotacioacuten senario o un eje de inversioacuten senario (eje ternario + plano de simetriacutea perpendicular)

Para mayor precisioacuten generalmente se introduce un cuarto eje i coplanario con a y b que forma un aacutengulo de 120ordm con cada uno de ellos asiacute la cruz axial seraacute (a=b=ic α=szlig=90ordm γ=120ordm)

Iacutendices de Miller hexagonales Como se trabaja con un cuarto iacutendice que se situacutea en el plano a1 a2 y a 120ordm de cada uno de estos ejes los planos hexagonales se van a representar por cuatro iacutendices (hkil) El valor de i se determina como h+k

- Sistema romboeacutedrico o trigonal (a=b=c α=szlig=γ90ordm)

Su caracteriacutestica comuacuten es la presencia de un eje de rotacioacuten ternario o un eje de inversioacuten ternario (eje ternario + centro de simetriacutea)

- Sistema cuacutebico (a=b=c α=szlig=γ=90ordm)

Posee como caracteriacutestica fundamental cuatro ejes de rotacioacuten ternarios inclinados a 10947ordm

NOTA Ademaacutes de las constantes reticulares para definir un sistema cristalino puede utilizarse la relacioacuten parameacutetrica siendo eacutesta la relacioacuten existente entre los moacutedulos de a y c respecto al moacutedulo de b

ab 1 cb

Normalmente se toman estos valores y los aacutengulos para definir la red

14- SIMETRIacuteA CON TRASLACIOacuteN - Elementos de simetriacutea con traslacioacutenLa red cristalina soacutelo tiene sentido como indicadora de la periodicidad que se presenta en el cristal como consecuencia de la repeticioacuten del motivo Debido a ello la simetriacutea que revela por siacute la red no tiene que ser necesariamente la que posea el cristal aunque en general lo sea

Ejemplo La coesita (variedad de la siacutelice de alta presioacuten) tiene una red cuya meacutetrica es roacutembica mientras que la estructura es monocliacutenica ya que el motivo carece de ciertos elementos de simetriacutea que la meacutetrica de la red indicaban

Es faacutecil comprender que debido a que la red es solamente la consecuencia de unas fuerzas cohesivas entre los aacutetomos que forman el cristal fuerzas que obligan a una repeticioacuten monoacutetona de las agrupaciones atoacutemicas la simetriacutea de la red debe estar iacutentimamente relacionada con la del cristal entendido como agrupacioacuten repetitiva de aacutetomos

La red nos proporciona por tanto la simetriacutea maacutexima que el cristal puede tener pero dicha simetriacutea depende de la simetriacutea propia del motivo La complejidad que el motivo cristalino aacutetomos iones y moleacuteculas aporta a la red cristalina hace que los elementos de simetriacutea del medio cristalino se ampliacuteen Aparece la traslacioacuten que tiene dimensiones submicroscoacutepicas no accesibles a la morfologiacutea macroscoacutepica

Los operadores de simetriacutea que completan la tarea de rellenar el espacio cristalino se consideran cada uno de ellos como una sola y nueva operacioacuten de simetriacutea Estos son los planos de deslizamiento que implican la reflexioacuten asociada a una traslacioacuten y los ejes helicoidales que implican a su vez giro y traslacioacuten

- Plano de deslizamiento

El plano de deslizamiento realiza simultaacuteneamente dos operaciones refleja la imagen o traslada la imagen a intervalos de media traslacioacuten

Cuando la semitraslacioacuten asociada al plano de deslizamiento corresponde a alguna de las direcciones fundamentales del cristal el plano se denomina a b c respectivamente

Cuando la semitraslacioacuten corresponde a la diagonal del plano reflector es decir el plano de deslizamiento se situacutea paralelo a la diagonal entre las filas definidas por a b y c el plano se simboliza por n y las componentes de su traslacioacuten son

a2 + b2 b2 + c2 c2 + a2 y a2 + b2 + c2

Los planos d (aparece en la estructura del diamante) se tratan tambieacuten de planos diagonales Presentan como componentes de traslacioacuten cuartos de la fundamental es decir

a4 plusmn b4 b4 plusmn c4 c4 plusmn a4 y a4 plusmn b4 plusmn c4

El siguiente cuadro sintetiza la notacioacuten y simetriacutea de los planos en los grupos espaciales

Siacutembolo Siacutembolo graacutefico Orientacioacuten y Traslacioacuten

m

perpendicular al papel

paralelo al papel

(100) o (010) ninguna traslacioacuten

(001) ninguna traslacioacuten

a

perpendicular al papel

paralelo al papel

(010) traslacioacuten a2

(001) traslacioacuten a2

b

perpendicular al papel

paralelo al papel

(100) traslacioacuten b2

(001) traslacioacuten b2

c perpendicular al papel

(100) 0 (010) traslacioacuten c2

n

______ perpendicular al papel

paralelo al papel

traslacioacuten (b+c)2 en (100) traslacioacuten (c+a)2 en (010)

traslacioacuten (a+b)2 en (001) traslacioacuten (a+b+c)2 en (110) en sistemas tetragonal o cuacutebico

d

perpendicular al papel

paralelo al papel

traslacioacuten (b+c)4 en (100) traslacioacuten (c+a)4 en (010)

traslacioacuten (a+b)4 en (001) traslacioacuten (a+b+c)4 en (110) en sistemas tetragonal o cuacutebico

- Eje helicoidal

Un eje helicoidal implica similarmente una operacioacuten doble

Un giro el permisible para su orden

Una traslacioacuten constante a lo largo del eje

Como sabemos el orden del eje es el nuacutemero de repeticiones que se necesitan para lograr la identidad implicando una serie de giros sucesivos hasta haber completado su operacioacuten de simetriacutea total

En un eje helicoidal cada uno de estos giros parciales debe asociarse a una parte aliacutecuota de la traslacioacuten total t paralela a la direccioacuten del eje La identidad se logra en la operacioacuten giro cuando se ha aplicado tantas veces el giro permisible como indica el orden del eje

Haciendo el periodo de identidad t coincidente con el giro completo del eje se obtienen los siguientes ejes helicoidales

Siacutembolo Siacutembolo graacutefico Denominacioacuten Giro Traslacioacuten

21 Eje binario helicoidal 180ordm t2

31 Eje ternario helicoidal

derecho120ordm

dextroacutegiro t3

32 Eje ternario helicoidal

izquierdo 120ordm levoacutegiro t3

41 Eje cuaternario helicoidal

derecho90ordm

dextroacutegiro t4

43 Eje cuaternario helicoidal

izquierdo 90ordm levoacutegiro t4

61 Eje senario helicoidal

derecho 60ordmdextroacutegiro t6

65 Eje senario helicoidal

izquierdo 60ordm levoacutegiro t6

Tambieacuten se pueden deducir los ejes helicoidales haciendo que la identidad se alcance para Nn giros siendo N el orden del eje y n un divisor entero de N

N (orden

del eje)

n (divisor entero de N)

Nn (giros)

Siacutembolo Siacutembolo graacutefico Denominacioacuten Giro Traslacioacuten

4 T2 2 42 Eje cuaternario-binario helicoidal 90ordm t2

6 3 2 63

Eje senario-ternario

helicoidal60ordm t2

6 2 3 62

Eje senario-binario helicoidal

derecho

60ordm dextroacutegiro t3

6 2 3 64

Eje senario-binario helicoidal

izquierdo

60ordm levoacutegiro t3

- Los 17 grupos planos En la deduccioacuten de los grupos planos hay que tener en cuenta que es el motivo contenido de la celda definida por unas traslaciones dadas el que muestra la existencia de los elementos de simetriacutea Es decir que las partes del motivo estaacuten relacionadas entre siacute por dichos elementos de simetriacutea (que puede ser simetriacutea con traslacioacuten) que la suma de estas partes constituye la celda y que las celdas implican una meacutetrica dada es decir tiene una forma y unas dimensiones que condicionan una simetriacutea maacutexima

En los grupos planos los haces de elementos de simetriacutea son perpendiculares al plano que se asocia a un tipo de red plana El nuacutemero de estos grupos planos es de 17

- Grupos planos con red oblicua

La simetriacutea maacutexima que permite una red obiacutecua es un haz de ejes binarios Existiraacuten por tanto dos posibilidades

Grupo plano p1 p como indicativo de primitivo y 1 como indicativo de no simetriacutea El dominio complejo coincide con el motivo y por tanto su multiplicidad es 1

Grupo plano p2 p como indicativo de primitivo y 2 como indicativo de eje binario de simetriacutea La multiplicidad del dominio complejo es 2 ya que la simetriacutea genera duplicidad del motivo

- Grupos planos con red rectangular

La simetriacutea maacutexima que permite una red rectangular es dos haces de planos de simetriacutea y un haz de ejes binarios Existiraacuten por tanto diferentes combinaciones

Grupo plano pm p como indicativo de primitivo y m como indicativo del plano de simetriacutea La multiplicidad del dominio complejo es 2 ya que la simetriacutea genera duplicidad del motivo

Grupo plano pg p como indicativo de primitivo y g como indicativo del plano de deslizamiento La multiplicidad del dominio complejo es 2 ya que la simetriacutea genera duplicidad del motivo

Grupo plano pmm (p2mm) p como indicativo de primitivo y dos m como indicativo de planos de simetriacutea mutuamente perpendiculares Los planos de simetriacutea llevan impliacutecitos la aparcicioacuten de ejes binarios La multiplicidad del dominio complejo es 4

Grupo plano pmg (p2mg) p como indicativo de primitivo y planos perpendiculares de tipo distinto (m ordinarios y g de deslizamiento) Esto hace que los ejes de simetriacutea no se encuentren en la interseccioacuten sino desplazados a lo largo del plano de deslizamiento a mitad de la componente desplazamiento El origen de la celda se toma sobre un eje binario La multiplicidad del dominio complejo es 4

Grupo plano pgg(p2gg) p como indicativo de primitivo y dos g de planos perpendiculares de deslizamiento Esto hace que los ejes de simetriacutea no se encuentren en la interseccioacuten sino desplazados a lo largo de cada plano de deslizamiento a mitad de la componente deslizamiento El origen de la celda se toma sobre un eje binario La multiplicidad del dominio complejo es 4

- Grupos planos con red roacutembica o rectangular centrada

Grupo plano cm c como indicativo de la operacioacuten de centrado y m como indicativo del plano de simetriacutea La operacioacuten de centrado lleva impliacutecita la existencia de un plano de deslizamiento La multiplicidad del dominio complejo es 4

Grupo plano cmm (c2mm) c como indicativo de centrado y dos m como indicativo de planos de simetriacutea mutuamente perpendiculares La operacioacuten de centrado lleva impliacutecita la existencia de planos de deslizamiento La multiplicidad del dominio complejo es 4 Los planos de simetriacutea ordinarios y de deslizamiento llevan impliacutecitos la aparcicioacuten de ejes binarios en las intersecciones del mismo tipo de planos no de distintos La multiplicidad del dominio complejo es 8

- Grupos planos con red cuadrada

La simetriacutea maacutexima que permite una red cuadrada es un haz de ejes cuaternarios y sus planos de simetriacutea contenidos en ellos En todos los casos se toma un eje cuaternario como origen de

la celda apareciendo otro eje cuaternario en el centro de la celda Existiraacuten por tanto diferentes combinaciones

Grupo plano p4 p como indicativo de primitivo y 4 como indicativo de eje cuaternario de simetriacutea Los ejes cuaternarios generan la aparcicioacuten de ejes binarios intercalados entre los cuaternarios La multiplicidad del dominio complejo es 4

Grupo plano p4mm p como indicativo de primitivo 4 como indicativo de eje cuaternario de simetriacutea y m como los planos de simetriacutea que contienen a dichos ejes Los ejes cuaternarios generan la aparcicioacuten de ejes binarios intercalados entre los cuaternarios y toda la simetriacutea genera planos de deslizamiento paralelos a las diagonales de la celda La multiplicidad del dominio complejo es 8

Grupo plano p4gm p como indicativo de primitivo 4 como indicativo de eje cuaternario de simetriacutea g como planos de deslizamiento y m como los planos de simetriacutea La multiplicidad del dominio complejo es 8

- Grupos planos con red hexagonal

La simetriacutea maacutexima que permite una red hexagonal es un haz de ejes senarios o ternarios y los planos de simetriacutea que contienen a dichos ejes Existiraacuten por tanto diferentes combinaciones

Grupo plano p3 p como indicativo de primitivo y 3 como indicativo de eje ternario de simetriacutea Los ejes ternarios generan la aparcicioacuten de otros ternarios en el centro de los dos triaacutengulos equilaacuteteros que conforman la celda La multiplicidad del dominio complejo es 3

Grupo plano p3m1 p como indicativo de primitivo 3 como indicativo de eje ternario de simetriacutea y m como plano de simetriacutea en la diagonal mayor del rombo Se genera alternancia de planos de deslizamiento La multiplicidad del dominio complejo es 6

Grupo plano p31m p como indicativo de primitivo 3 como indicativo de eje ternario de simetriacutea y m como plano de simetriacutea en la diagonal menor del rombo Se genera alternancia de planos de deslizamiento La multiplicidad del dominio complejo es 6

Grupo plano p6 p como indicativo de primitivo y 6 como indicativo de eje senario de simetriacutea Se generan ejes ternarios en los centros de los triaacutengulos equilaacuteteros conformadores y ejes binarios en los centros de los lados de dichos triaacutengulos La multiplicidad del dominio complejo es de 6

Grupo plano p6mm p como indicativo de primitivo 6 como indicativo de eje senario de simetriacutea y m de los planos de simetriacutea que los contienen Se generan ejes ternarios en los centros de los triaacutengulos equilaacuteteros conformadores ejes binarios en los centros de los lados de dichos triaacutengulos y planos de deslizamiento alternantes La multiplicidad del dominio complejo es de 12

La tabla que relaciona los grupos puntuales y los grupos planos pone de manifiesto que no todas las combinaciones conducen a nuevos o diferentes grupos puntuales La interaccioacuten de la simetriacutea del motivo con la simetriacutea de las diversas redes planas afecta al contenido de simetriacutea resultante del modelo planar El modelo final muestra la simetriacutea de la red cuando los elementos de simetriacutea del motivo estaacuten alineados con los elementos de simetriacutea correspondiente de la red Si el motivo tiene menos simetriacutea que la red el modelo expresaraacute el menor grado de simetriacutea del motivo con los elementos de simetriacutea de eacuteste alineados con los correspondientes elementos de simetriacutea de la red

Red Grupo puntual Grupo plano

1 p1 Obliacutecua

2 p2 m pm pg

Rectangular mm pmm pmg pgg m cm

Roacutembica mm cmm

4 p4

Cuadrada

4mm p4mm p4gm

3 p3 3m p3m p31m 6 p6

Hexagonal

6mm p6mm

- Grupos espaciales Los grupos espaciales representan las diversas formas en que los motivos pueden distribuirse en el espacio en una estructura homogeacutenea

Los grupos espaciales surgen de la combinacioacuten de los 14 tipos posibles de redes espaciales (redes de Bravais) con la simetriacutea propia de las 32 clases cristalinas o grupos puntuales maacutes la simetriacutea con traslacioacuten

Las caracteriacutesticas de la red se expresan con las letras P A B C F I R de las redes de Bravais que designan el tipo de red general A continuacioacuten se describen en el siacutembolo los elementos de simetriacutea

Ejemplos

P4m2m2m oacute p4mmm

4m2m2m oacute 4mmm Grupo de simetriacutea 4mmm

P Red tetragonal sencilla

P42n2n2m oacute P42nnm

42nnm Grupo isogonal con el 4mmm donde los ejes de rotacioacuten cuaternaria del grupo puntual aparecen como ejes de rotoinversioacuten cuaternaria y helicoidal cuaternario paralelos y alternativos Existen planos de deslizamiento n y de simetriacutea m asiacute como ejes de rotacioacuten binaria con helicoidales binarios intercalados

P Red tetragonal sencilla

Al igual que ocurriacutea en los grupos planos en los grupos espaciales con redes no primitivas la operacioacuten de centrado introduce la simetriacutea con traslacioacuten y sin embargo estos nuevos elementos no se aprecian en los siacutembolos Por ejemplo

C2m

2m Grupo de simetriacutea 2m Sin embargo aparecen debido al centrado ejes helicoidales binarios intercalados con los binarios y planos de deslizamiento intercalados con los planos de simetriacutea

C Red roacutembica centrada de tipo C

Los 230 grupos espaciales vienen descritos en las International Tables for X-ray Crystallography clasificadas seguacuten los grupos puntuales y los sistemas cristalinos

Una composicioacuten de la informacioacuten contenida en estas Tablas se muestra a continuacioacuten para el grupo espacial Cmm2 en el que la C significa una red centrada en las caras separadas por el eje c la primera m representa un plano de simetriacutea perpendicular al eje a la segunda m

representa un plano de simetriacutea perpendicular al eje b y el 2 se refiere al eje binario paralelo al eje c

  • EL ESTADO CRISTALINO
Page 18: Cristalografia Estructural

13- SIMETRIacuteA La porcioacuten miacutenima del espacio cristalino que contiene en siacute misma toda la simetriacutea de la red cristalina es la celda unidad El medio cristalino por ser perioacutedico es un medio simeacutetrico y todas sus propiedades derivan de este hecho

Entendiendo por simetriacutea aquella transformacioacuten que al aplicarse a un objeto hace que eacuteste conserve todas sus dimensiones y lo deje en una posicioacuten indistinguible de su posicioacuten original la operacioacuten de simetriacutea maacutes sencilla que existe por definicioacuten en el medio cristalino es la simple traslacioacuten entre un motivo y otro

- Elementos de simetriacuteaEl lugar geomeacutetrico que ayuda a la visualizacioacuten de la simetriacutea de una distribucioacuten ordenada recibe el nombre de elemento de simetriacutea Los elementos de simetriacutea puntual (la operacioacuten de simetriacutea deja un punto particular del diagrama inmoacutevil) sin traslacioacuten son el plano de simetriacutea el eje de rotacioacuten y el centro de simetriacutea o centro de inversioacuten

El plano de simetriacutea m o de reflexioacuten refleja partes o todos ideacutenticos del objeto a traveacutes de un plano

El eje de rotacioacuten origina una rotacioacuten al objeto de 360ordmn alrededor del eje (de derecha a izquierda)

eje monario n=1 (360ordm1=360ordm)

eje binario (perpendicular al plano) (paralelo al plano)

n=2 (360ordm2=180ordm)

eje ternario n=3 (360ordm3=120ordm)

eje cuaternario n=4 (360ordm4=90ordm)

eje senario n=6 (360ordm6=60ordm)

(La restriccioacuten cristalograacutefica limita los giros permisibles a estos cinco para que su orden sea compatible con la existencia de redes)

Las combinaciones de ambos elementos de simetriacutea originan los ejes de rotacioacuten impropios

- eje de rotorreflexioacuten rotacioacuten de 360ordmn seguida por reflexioacuten en un plano perpendicular al eje

- eje de rotoinversioacuten rotacioacuten de 360ordmn seguida por inversioacuten a traveacutes de un punto en el eje

orden 1 orden 3 orden 4 orden 6

Nota Los ejes de rotoinversioacuten se representan por el orden del eje (2 3 4 o 6) con el siacutembolo negativo encima de ellos En esta Web ese siacutembolo se identifica tambieacuten por el signo negativo bien delante o inferior al nuacutemero de orden del eje

(el esquema superior representa una rotoreflexioacuten de orden 4 y el inferior una rotoinversioacuten del mismo orden)

Por su parte el centro de simetriacutea i o centro de inversioacuten es un elemento de simetriacutea puntual que invierte el objeto a traveacutes de una liacutenea recta

- Combinacioacuten de elementos de simetriacuteaLa combinacioacuten de elementos de simetriacutea no se produce al azar estaacute regida por una serie de normas y limitaciones que son

- Los elementos que se combinan guardan unas relaciones angulares caracteriacutesticas

- La combinacioacuten de algunos elementos de simetriacutea genera directamente la presencia de otros

Eje de orden par + centro de simetriacutea ------- plano de simetriacutea perpendicular al eje

Eje de orden n contenido en un plano de simetriacutea -------- n-1 planos de simetriacutea que intersectan en el eje

Dos ejes que se cortan --------- un tercer eje que pasa por el punto de corte

(entre propios e impropios soacutelo es posible un propio y dos impropios)

Eje de orden n + eje binario perpendicular -------- n-1 ejes binarios tambieacuten normales a eacutel

Eje de inversioacuten de orden n(impar) + eje binario perpendicular -------- n ejes binarios y planos de simetriacutea

Eje de inversioacuten de orden n(par) + eje binario perpendicular -------- n2 ejes binarios y planos de simetriacutea

-Los ejes de inversioacuten realizan una operacioacuten de simetriacutea equivalente a la de dos elementos de simetriacutea (excepto el de orden 4)

3 = 3 + i

Eje de rotoinversioacuten de orden impar = eje propio del mismo orden + centro de simetriacutea

(6 = 3 + m)

Eje de rotoinversioacuten de orden par = eje propio de mitad de orden + un plano de simetriacutea perpendicular a eacutel

- Las 32 clases de simetriacuteaEs faacutecil prever que en el medio cristalino los elementos de simetriacutea se combinan entre siacute hasta engendrar los modelos cristalinos regulares que se combinan de treinta y dos maneras distintas y dan lugar a las treinta y dos posibles clases cristalinas o grupos puntuales (la operacioacuten de simetriacutea deja un punto particular del diagrama inmoacutevil) existentes

Estas treinta y dos clases cristalinas se han obtenido mediante las siguientes combinaciones de elementos de simetriacutea

Siacutembolo Combinacioacuten de simetriacutea Elementos de simetriacutea

1 Eje monario (giro de 360ordm)

2 Eje binario (giro de 180ordm)

3 Eje ternario (giro de 120ordm)

4 Eje cuaternario (giro de 90ordm)

6 Eje senario (giro de 60ordm)

1 Eje monario de inversioacuten (giro de 360ordm+inversioacuten) = centro de inversioacuten (2=i)

2 Eje binario de inversioacuten (giro de 180ordm+inversioacuten) = plano de simetriacutea (2=m)

3 Eje ternario de inversioacuten (giro de 120ordm+inversioacuten)

T4 TEje cuaternario de inversioacuten (giro de 90ordm+inversioacuten)

6

Clases con un soacutelo elemento de simetriacutea

Eje senario de inversioacuten (giro de 60ordm+inversioacuten) = eje ternario + plano de simetriacutea perpendicular

(6=3m)

222 Tres ejes binarios en planos perpendiculares entre siacute

32 Un eje ternario + tres ejes binarios en planos perpendiculares

422 Un eje cuaternario + dos ejes binarios en planos perpendiculares

622 Un eje senario + tres ejes binarios a 120ordm (plano perpendicular al senario)

23 Cuatro ejes ternarios + Tres ejes binarios

432

Clases con combinacioacuten de ejes

Tres ejes cuaternarios + cuatro ejes ternarios + seis ejes binarios

2m Clases con un eje de Eje binario + plano de simetriacutea perpendicular a eacutel

4m Eje cuaternario + plano de simetriacutea perpendicular a eacutel

6m

orden par + un centro de simetriacutea

(Eje de orden par + centro de simetriacutea=plano de

simetriacutea perpendicular al eje)

Eje senario + plano de simetriacutea perpendicular a eacutel

2mm Eje binario + dos planos de simetriacutea que se cortan en eacutel

3m Eje ternario + tres planos de simetriacutea que se cortan en eacutel

4mm Eje cuaternario + cuatro planos de simetriacutea que se cortan en eacutel

6mm

Clases con un eje + un plano de simetriacutea que

contenga al eje

Eje senario + seis planos de simetriacutea que se cortan en eacutel

42m Eje cuaternario de inversioacuten + dos ejes binarios + dos planos de simetriacutea

43m Tres ejes cuaternarios de inversioacuten + cuatro ejes ternarios + seis planos de simetriacutea

62m

Clases con un eje + dos ejes impropios

Eje senario de inversioacuten (=eje ternario + plano de simetriacutea perpendicular) + tres ejes binarios + tres

planos de simetriacutea

2m2m2m

(mmm)

Tres ejes binarios + tres planos de simetriacutea perpendiculares

32m

(3m)

Un eje ternario + tres ejes binarios + tres planos de simetriacutea perpendiculares + un centro de simetriacutea

4m2m2m

(4mmm)

Un eje cuaternario + un plano de simetriacutea perpendicular + cuatro ejes binarios + cuatro

planos de simetriacutea perpendiculares + centro de simetriacutea

6m2m2m

(6mmm)

Un eje senario + un plano de simetriacutea perpendicular + seis ejes binarios + seis planos de simetriacutea perpendiculares + un centro de simetriacutea

2m3

(m3)

Cuatro ejes ternarios + tres ejes binarios + tres planos de simetriacutea perpendiculares + un centro de

simetriacutea

4m32m

(m3m)

TClases con tres ejes + un centro de

simetriacutea

Tres ejes cuaternarios + tres planos de simetriacutea perpendiculares + cuatro ejes ternarios + seis ejes binarios + seis planos de simetriacutea perpendiculares

+ un centro de simetriacutea

La distribucioacuten sistema cristalino-Redes de Bravais-Grupos puntuales o clases de simetriacutea es la siguiente

Red de Bravais Sistema Grupo puntual

Red Tricliacutenica primitiva P Tricliacutenico 1 1Red monocliacutenica primitiva PRed monocliacutenica centrada en las caras C

Monocliacutenico 2 m 2m

Red roacutembica primitiva PRed roacutembica centrada en las bases CRed roacutembica centrada en el interior IRed roacutembica centrada en las caras F

Roacutembico 222 mm2 mmm

Red tetragonal primitiva P

Red tetragonal centrada en el interior CTetragonal

4 4 4m 4mm 422

42m 4mmm

Red hexagonal primitiva P Hexagonal6 6 6m 6mm 622

62m 6mmm

Red romboeacutedrica primitiva P Romboeacutedrico o Trigonal

3 3 3m 32 3m

Red cuacutebica primitiva PRed cuacutebica centrada en el interior IRed cuacutebica centrada en las caras F

Cuacutebico o Isomeacutetrico23 m3

43m 432 m3m

- Simetriacutea y redes de BravaisLa presencia de elementos de simetriacutea en la red cristalina condiciona a su vez la existencia de ciertas relaciones meacutetricas entre los elementos de la celda elemental las relaciones angulares entre los ejes del cristal o ejes cristalograacuteficos y las intersecciones sobre estos ejes de la cara fundamental (111) Las dimensiones de estas intersecciones son proporcionales a las traslaciones en las tres dimensiones de la red

Por esta razoacuten se han agrupado las redes de Bravais en siete grandes grupos redes tricliacutenicas redes monocliacutenicas redes roacutembicas redes tetragonales redes hexagonales redes romboeacutedricas y redes cuacutebicas Cada uno de estos grupos de redes corresponde a un sistema cuyo nombre es ideacutentico al de las redes correspondientes y posee unas constantes reticulares fijas y una miacutenima simetriacutea caracteriacutestica

Red de Bravais SistemaRed Tricliacutenica primitiva P TricliacutenicoRed monocliacutenica primitiva PRed monocliacutenica centrada en las caras C

Monocliacutenico

Red roacutembica primitiva PRed roacutembica centrada en las bases CRed roacutembica centrada en el interior IRed roacutembica centrada en las caras F

Roacutembico

Red tetragonal primitiva PRed tetragonal centrada en el interior C

Tetragonal

Red hexagonal primitiva P HexagonalRed romboeacutedrica primitiva P Romboeacutedrico o Trigonal Red cuacutebica primitiva PRed cuacutebica centrada en el interior IRed cuacutebica centrada en las caras F

Cuacutebico o Isomeacutetrico

Las constantes reticulares y la miacutenima simetriacutea que caracteriza a cada grupo de redes o sistema cristalino es la siguiente

- Sistema tricliacutenico (abc αszligγ90ordm)

No posee ninguna simetriacutea miacutenima

- Sistema monocliacutenico (abc α=γ=90ordmszliggt90ordm)

Presenta como simetriacutea miacutenima un eje de rotacioacuten binario o un eje de inversioacuten binario (=plano de simetriacutea)

- Sistema roacutembico (abc α=szlig=γ=90ordm)

Como miacutenimo posee tres ejes binarios perpendiculares entre siacute

- Sistema tetragonal (a=bc α=szlig=γ=90ordm)

Posee como caracteriacutestica fundamental un eje de rotacioacuten cuaternario o un eje de inversioacuten cuaternario

- Sistema hexagonal (a=bc α=szlig=90ordm γ=120ordm)

Su caracteriacutestica fundamental es la presencia de un eje de rotacioacuten senario o un eje de inversioacuten senario (eje ternario + plano de simetriacutea perpendicular)

Para mayor precisioacuten generalmente se introduce un cuarto eje i coplanario con a y b que forma un aacutengulo de 120ordm con cada uno de ellos asiacute la cruz axial seraacute (a=b=ic α=szlig=90ordm γ=120ordm)

Iacutendices de Miller hexagonales Como se trabaja con un cuarto iacutendice que se situacutea en el plano a1 a2 y a 120ordm de cada uno de estos ejes los planos hexagonales se van a representar por cuatro iacutendices (hkil) El valor de i se determina como h+k

- Sistema romboeacutedrico o trigonal (a=b=c α=szlig=γ90ordm)

Su caracteriacutestica comuacuten es la presencia de un eje de rotacioacuten ternario o un eje de inversioacuten ternario (eje ternario + centro de simetriacutea)

- Sistema cuacutebico (a=b=c α=szlig=γ=90ordm)

Posee como caracteriacutestica fundamental cuatro ejes de rotacioacuten ternarios inclinados a 10947ordm

NOTA Ademaacutes de las constantes reticulares para definir un sistema cristalino puede utilizarse la relacioacuten parameacutetrica siendo eacutesta la relacioacuten existente entre los moacutedulos de a y c respecto al moacutedulo de b

ab 1 cb

Normalmente se toman estos valores y los aacutengulos para definir la red

14- SIMETRIacuteA CON TRASLACIOacuteN - Elementos de simetriacutea con traslacioacutenLa red cristalina soacutelo tiene sentido como indicadora de la periodicidad que se presenta en el cristal como consecuencia de la repeticioacuten del motivo Debido a ello la simetriacutea que revela por siacute la red no tiene que ser necesariamente la que posea el cristal aunque en general lo sea

Ejemplo La coesita (variedad de la siacutelice de alta presioacuten) tiene una red cuya meacutetrica es roacutembica mientras que la estructura es monocliacutenica ya que el motivo carece de ciertos elementos de simetriacutea que la meacutetrica de la red indicaban

Es faacutecil comprender que debido a que la red es solamente la consecuencia de unas fuerzas cohesivas entre los aacutetomos que forman el cristal fuerzas que obligan a una repeticioacuten monoacutetona de las agrupaciones atoacutemicas la simetriacutea de la red debe estar iacutentimamente relacionada con la del cristal entendido como agrupacioacuten repetitiva de aacutetomos

La red nos proporciona por tanto la simetriacutea maacutexima que el cristal puede tener pero dicha simetriacutea depende de la simetriacutea propia del motivo La complejidad que el motivo cristalino aacutetomos iones y moleacuteculas aporta a la red cristalina hace que los elementos de simetriacutea del medio cristalino se ampliacuteen Aparece la traslacioacuten que tiene dimensiones submicroscoacutepicas no accesibles a la morfologiacutea macroscoacutepica

Los operadores de simetriacutea que completan la tarea de rellenar el espacio cristalino se consideran cada uno de ellos como una sola y nueva operacioacuten de simetriacutea Estos son los planos de deslizamiento que implican la reflexioacuten asociada a una traslacioacuten y los ejes helicoidales que implican a su vez giro y traslacioacuten

- Plano de deslizamiento

El plano de deslizamiento realiza simultaacuteneamente dos operaciones refleja la imagen o traslada la imagen a intervalos de media traslacioacuten

Cuando la semitraslacioacuten asociada al plano de deslizamiento corresponde a alguna de las direcciones fundamentales del cristal el plano se denomina a b c respectivamente

Cuando la semitraslacioacuten corresponde a la diagonal del plano reflector es decir el plano de deslizamiento se situacutea paralelo a la diagonal entre las filas definidas por a b y c el plano se simboliza por n y las componentes de su traslacioacuten son

a2 + b2 b2 + c2 c2 + a2 y a2 + b2 + c2

Los planos d (aparece en la estructura del diamante) se tratan tambieacuten de planos diagonales Presentan como componentes de traslacioacuten cuartos de la fundamental es decir

a4 plusmn b4 b4 plusmn c4 c4 plusmn a4 y a4 plusmn b4 plusmn c4

El siguiente cuadro sintetiza la notacioacuten y simetriacutea de los planos en los grupos espaciales

Siacutembolo Siacutembolo graacutefico Orientacioacuten y Traslacioacuten

m

perpendicular al papel

paralelo al papel

(100) o (010) ninguna traslacioacuten

(001) ninguna traslacioacuten

a

perpendicular al papel

paralelo al papel

(010) traslacioacuten a2

(001) traslacioacuten a2

b

perpendicular al papel

paralelo al papel

(100) traslacioacuten b2

(001) traslacioacuten b2

c perpendicular al papel

(100) 0 (010) traslacioacuten c2

n

______ perpendicular al papel

paralelo al papel

traslacioacuten (b+c)2 en (100) traslacioacuten (c+a)2 en (010)

traslacioacuten (a+b)2 en (001) traslacioacuten (a+b+c)2 en (110) en sistemas tetragonal o cuacutebico

d

perpendicular al papel

paralelo al papel

traslacioacuten (b+c)4 en (100) traslacioacuten (c+a)4 en (010)

traslacioacuten (a+b)4 en (001) traslacioacuten (a+b+c)4 en (110) en sistemas tetragonal o cuacutebico

- Eje helicoidal

Un eje helicoidal implica similarmente una operacioacuten doble

Un giro el permisible para su orden

Una traslacioacuten constante a lo largo del eje

Como sabemos el orden del eje es el nuacutemero de repeticiones que se necesitan para lograr la identidad implicando una serie de giros sucesivos hasta haber completado su operacioacuten de simetriacutea total

En un eje helicoidal cada uno de estos giros parciales debe asociarse a una parte aliacutecuota de la traslacioacuten total t paralela a la direccioacuten del eje La identidad se logra en la operacioacuten giro cuando se ha aplicado tantas veces el giro permisible como indica el orden del eje

Haciendo el periodo de identidad t coincidente con el giro completo del eje se obtienen los siguientes ejes helicoidales

Siacutembolo Siacutembolo graacutefico Denominacioacuten Giro Traslacioacuten

21 Eje binario helicoidal 180ordm t2

31 Eje ternario helicoidal

derecho120ordm

dextroacutegiro t3

32 Eje ternario helicoidal

izquierdo 120ordm levoacutegiro t3

41 Eje cuaternario helicoidal

derecho90ordm

dextroacutegiro t4

43 Eje cuaternario helicoidal

izquierdo 90ordm levoacutegiro t4

61 Eje senario helicoidal

derecho 60ordmdextroacutegiro t6

65 Eje senario helicoidal

izquierdo 60ordm levoacutegiro t6

Tambieacuten se pueden deducir los ejes helicoidales haciendo que la identidad se alcance para Nn giros siendo N el orden del eje y n un divisor entero de N

N (orden

del eje)

n (divisor entero de N)

Nn (giros)

Siacutembolo Siacutembolo graacutefico Denominacioacuten Giro Traslacioacuten

4 T2 2 42 Eje cuaternario-binario helicoidal 90ordm t2

6 3 2 63

Eje senario-ternario

helicoidal60ordm t2

6 2 3 62

Eje senario-binario helicoidal

derecho

60ordm dextroacutegiro t3

6 2 3 64

Eje senario-binario helicoidal

izquierdo

60ordm levoacutegiro t3

- Los 17 grupos planos En la deduccioacuten de los grupos planos hay que tener en cuenta que es el motivo contenido de la celda definida por unas traslaciones dadas el que muestra la existencia de los elementos de simetriacutea Es decir que las partes del motivo estaacuten relacionadas entre siacute por dichos elementos de simetriacutea (que puede ser simetriacutea con traslacioacuten) que la suma de estas partes constituye la celda y que las celdas implican una meacutetrica dada es decir tiene una forma y unas dimensiones que condicionan una simetriacutea maacutexima

En los grupos planos los haces de elementos de simetriacutea son perpendiculares al plano que se asocia a un tipo de red plana El nuacutemero de estos grupos planos es de 17

- Grupos planos con red oblicua

La simetriacutea maacutexima que permite una red obiacutecua es un haz de ejes binarios Existiraacuten por tanto dos posibilidades

Grupo plano p1 p como indicativo de primitivo y 1 como indicativo de no simetriacutea El dominio complejo coincide con el motivo y por tanto su multiplicidad es 1

Grupo plano p2 p como indicativo de primitivo y 2 como indicativo de eje binario de simetriacutea La multiplicidad del dominio complejo es 2 ya que la simetriacutea genera duplicidad del motivo

- Grupos planos con red rectangular

La simetriacutea maacutexima que permite una red rectangular es dos haces de planos de simetriacutea y un haz de ejes binarios Existiraacuten por tanto diferentes combinaciones

Grupo plano pm p como indicativo de primitivo y m como indicativo del plano de simetriacutea La multiplicidad del dominio complejo es 2 ya que la simetriacutea genera duplicidad del motivo

Grupo plano pg p como indicativo de primitivo y g como indicativo del plano de deslizamiento La multiplicidad del dominio complejo es 2 ya que la simetriacutea genera duplicidad del motivo

Grupo plano pmm (p2mm) p como indicativo de primitivo y dos m como indicativo de planos de simetriacutea mutuamente perpendiculares Los planos de simetriacutea llevan impliacutecitos la aparcicioacuten de ejes binarios La multiplicidad del dominio complejo es 4

Grupo plano pmg (p2mg) p como indicativo de primitivo y planos perpendiculares de tipo distinto (m ordinarios y g de deslizamiento) Esto hace que los ejes de simetriacutea no se encuentren en la interseccioacuten sino desplazados a lo largo del plano de deslizamiento a mitad de la componente desplazamiento El origen de la celda se toma sobre un eje binario La multiplicidad del dominio complejo es 4

Grupo plano pgg(p2gg) p como indicativo de primitivo y dos g de planos perpendiculares de deslizamiento Esto hace que los ejes de simetriacutea no se encuentren en la interseccioacuten sino desplazados a lo largo de cada plano de deslizamiento a mitad de la componente deslizamiento El origen de la celda se toma sobre un eje binario La multiplicidad del dominio complejo es 4

- Grupos planos con red roacutembica o rectangular centrada

Grupo plano cm c como indicativo de la operacioacuten de centrado y m como indicativo del plano de simetriacutea La operacioacuten de centrado lleva impliacutecita la existencia de un plano de deslizamiento La multiplicidad del dominio complejo es 4

Grupo plano cmm (c2mm) c como indicativo de centrado y dos m como indicativo de planos de simetriacutea mutuamente perpendiculares La operacioacuten de centrado lleva impliacutecita la existencia de planos de deslizamiento La multiplicidad del dominio complejo es 4 Los planos de simetriacutea ordinarios y de deslizamiento llevan impliacutecitos la aparcicioacuten de ejes binarios en las intersecciones del mismo tipo de planos no de distintos La multiplicidad del dominio complejo es 8

- Grupos planos con red cuadrada

La simetriacutea maacutexima que permite una red cuadrada es un haz de ejes cuaternarios y sus planos de simetriacutea contenidos en ellos En todos los casos se toma un eje cuaternario como origen de

la celda apareciendo otro eje cuaternario en el centro de la celda Existiraacuten por tanto diferentes combinaciones

Grupo plano p4 p como indicativo de primitivo y 4 como indicativo de eje cuaternario de simetriacutea Los ejes cuaternarios generan la aparcicioacuten de ejes binarios intercalados entre los cuaternarios La multiplicidad del dominio complejo es 4

Grupo plano p4mm p como indicativo de primitivo 4 como indicativo de eje cuaternario de simetriacutea y m como los planos de simetriacutea que contienen a dichos ejes Los ejes cuaternarios generan la aparcicioacuten de ejes binarios intercalados entre los cuaternarios y toda la simetriacutea genera planos de deslizamiento paralelos a las diagonales de la celda La multiplicidad del dominio complejo es 8

Grupo plano p4gm p como indicativo de primitivo 4 como indicativo de eje cuaternario de simetriacutea g como planos de deslizamiento y m como los planos de simetriacutea La multiplicidad del dominio complejo es 8

- Grupos planos con red hexagonal

La simetriacutea maacutexima que permite una red hexagonal es un haz de ejes senarios o ternarios y los planos de simetriacutea que contienen a dichos ejes Existiraacuten por tanto diferentes combinaciones

Grupo plano p3 p como indicativo de primitivo y 3 como indicativo de eje ternario de simetriacutea Los ejes ternarios generan la aparcicioacuten de otros ternarios en el centro de los dos triaacutengulos equilaacuteteros que conforman la celda La multiplicidad del dominio complejo es 3

Grupo plano p3m1 p como indicativo de primitivo 3 como indicativo de eje ternario de simetriacutea y m como plano de simetriacutea en la diagonal mayor del rombo Se genera alternancia de planos de deslizamiento La multiplicidad del dominio complejo es 6

Grupo plano p31m p como indicativo de primitivo 3 como indicativo de eje ternario de simetriacutea y m como plano de simetriacutea en la diagonal menor del rombo Se genera alternancia de planos de deslizamiento La multiplicidad del dominio complejo es 6

Grupo plano p6 p como indicativo de primitivo y 6 como indicativo de eje senario de simetriacutea Se generan ejes ternarios en los centros de los triaacutengulos equilaacuteteros conformadores y ejes binarios en los centros de los lados de dichos triaacutengulos La multiplicidad del dominio complejo es de 6

Grupo plano p6mm p como indicativo de primitivo 6 como indicativo de eje senario de simetriacutea y m de los planos de simetriacutea que los contienen Se generan ejes ternarios en los centros de los triaacutengulos equilaacuteteros conformadores ejes binarios en los centros de los lados de dichos triaacutengulos y planos de deslizamiento alternantes La multiplicidad del dominio complejo es de 12

La tabla que relaciona los grupos puntuales y los grupos planos pone de manifiesto que no todas las combinaciones conducen a nuevos o diferentes grupos puntuales La interaccioacuten de la simetriacutea del motivo con la simetriacutea de las diversas redes planas afecta al contenido de simetriacutea resultante del modelo planar El modelo final muestra la simetriacutea de la red cuando los elementos de simetriacutea del motivo estaacuten alineados con los elementos de simetriacutea correspondiente de la red Si el motivo tiene menos simetriacutea que la red el modelo expresaraacute el menor grado de simetriacutea del motivo con los elementos de simetriacutea de eacuteste alineados con los correspondientes elementos de simetriacutea de la red

Red Grupo puntual Grupo plano

1 p1 Obliacutecua

2 p2 m pm pg

Rectangular mm pmm pmg pgg m cm

Roacutembica mm cmm

4 p4

Cuadrada

4mm p4mm p4gm

3 p3 3m p3m p31m 6 p6

Hexagonal

6mm p6mm

- Grupos espaciales Los grupos espaciales representan las diversas formas en que los motivos pueden distribuirse en el espacio en una estructura homogeacutenea

Los grupos espaciales surgen de la combinacioacuten de los 14 tipos posibles de redes espaciales (redes de Bravais) con la simetriacutea propia de las 32 clases cristalinas o grupos puntuales maacutes la simetriacutea con traslacioacuten

Las caracteriacutesticas de la red se expresan con las letras P A B C F I R de las redes de Bravais que designan el tipo de red general A continuacioacuten se describen en el siacutembolo los elementos de simetriacutea

Ejemplos

P4m2m2m oacute p4mmm

4m2m2m oacute 4mmm Grupo de simetriacutea 4mmm

P Red tetragonal sencilla

P42n2n2m oacute P42nnm

42nnm Grupo isogonal con el 4mmm donde los ejes de rotacioacuten cuaternaria del grupo puntual aparecen como ejes de rotoinversioacuten cuaternaria y helicoidal cuaternario paralelos y alternativos Existen planos de deslizamiento n y de simetriacutea m asiacute como ejes de rotacioacuten binaria con helicoidales binarios intercalados

P Red tetragonal sencilla

Al igual que ocurriacutea en los grupos planos en los grupos espaciales con redes no primitivas la operacioacuten de centrado introduce la simetriacutea con traslacioacuten y sin embargo estos nuevos elementos no se aprecian en los siacutembolos Por ejemplo

C2m

2m Grupo de simetriacutea 2m Sin embargo aparecen debido al centrado ejes helicoidales binarios intercalados con los binarios y planos de deslizamiento intercalados con los planos de simetriacutea

C Red roacutembica centrada de tipo C

Los 230 grupos espaciales vienen descritos en las International Tables for X-ray Crystallography clasificadas seguacuten los grupos puntuales y los sistemas cristalinos

Una composicioacuten de la informacioacuten contenida en estas Tablas se muestra a continuacioacuten para el grupo espacial Cmm2 en el que la C significa una red centrada en las caras separadas por el eje c la primera m representa un plano de simetriacutea perpendicular al eje a la segunda m

representa un plano de simetriacutea perpendicular al eje b y el 2 se refiere al eje binario paralelo al eje c

  • EL ESTADO CRISTALINO
Page 19: Cristalografia Estructural

(La restriccioacuten cristalograacutefica limita los giros permisibles a estos cinco para que su orden sea compatible con la existencia de redes)

Las combinaciones de ambos elementos de simetriacutea originan los ejes de rotacioacuten impropios

- eje de rotorreflexioacuten rotacioacuten de 360ordmn seguida por reflexioacuten en un plano perpendicular al eje

- eje de rotoinversioacuten rotacioacuten de 360ordmn seguida por inversioacuten a traveacutes de un punto en el eje

orden 1 orden 3 orden 4 orden 6

Nota Los ejes de rotoinversioacuten se representan por el orden del eje (2 3 4 o 6) con el siacutembolo negativo encima de ellos En esta Web ese siacutembolo se identifica tambieacuten por el signo negativo bien delante o inferior al nuacutemero de orden del eje

(el esquema superior representa una rotoreflexioacuten de orden 4 y el inferior una rotoinversioacuten del mismo orden)

Por su parte el centro de simetriacutea i o centro de inversioacuten es un elemento de simetriacutea puntual que invierte el objeto a traveacutes de una liacutenea recta

- Combinacioacuten de elementos de simetriacuteaLa combinacioacuten de elementos de simetriacutea no se produce al azar estaacute regida por una serie de normas y limitaciones que son

- Los elementos que se combinan guardan unas relaciones angulares caracteriacutesticas

- La combinacioacuten de algunos elementos de simetriacutea genera directamente la presencia de otros

Eje de orden par + centro de simetriacutea ------- plano de simetriacutea perpendicular al eje

Eje de orden n contenido en un plano de simetriacutea -------- n-1 planos de simetriacutea que intersectan en el eje

Dos ejes que se cortan --------- un tercer eje que pasa por el punto de corte

(entre propios e impropios soacutelo es posible un propio y dos impropios)

Eje de orden n + eje binario perpendicular -------- n-1 ejes binarios tambieacuten normales a eacutel

Eje de inversioacuten de orden n(impar) + eje binario perpendicular -------- n ejes binarios y planos de simetriacutea

Eje de inversioacuten de orden n(par) + eje binario perpendicular -------- n2 ejes binarios y planos de simetriacutea

-Los ejes de inversioacuten realizan una operacioacuten de simetriacutea equivalente a la de dos elementos de simetriacutea (excepto el de orden 4)

3 = 3 + i

Eje de rotoinversioacuten de orden impar = eje propio del mismo orden + centro de simetriacutea

(6 = 3 + m)

Eje de rotoinversioacuten de orden par = eje propio de mitad de orden + un plano de simetriacutea perpendicular a eacutel

- Las 32 clases de simetriacuteaEs faacutecil prever que en el medio cristalino los elementos de simetriacutea se combinan entre siacute hasta engendrar los modelos cristalinos regulares que se combinan de treinta y dos maneras distintas y dan lugar a las treinta y dos posibles clases cristalinas o grupos puntuales (la operacioacuten de simetriacutea deja un punto particular del diagrama inmoacutevil) existentes

Estas treinta y dos clases cristalinas se han obtenido mediante las siguientes combinaciones de elementos de simetriacutea

Siacutembolo Combinacioacuten de simetriacutea Elementos de simetriacutea

1 Eje monario (giro de 360ordm)

2 Eje binario (giro de 180ordm)

3 Eje ternario (giro de 120ordm)

4 Eje cuaternario (giro de 90ordm)

6 Eje senario (giro de 60ordm)

1 Eje monario de inversioacuten (giro de 360ordm+inversioacuten) = centro de inversioacuten (2=i)

2 Eje binario de inversioacuten (giro de 180ordm+inversioacuten) = plano de simetriacutea (2=m)

3 Eje ternario de inversioacuten (giro de 120ordm+inversioacuten)

T4 TEje cuaternario de inversioacuten (giro de 90ordm+inversioacuten)

6

Clases con un soacutelo elemento de simetriacutea

Eje senario de inversioacuten (giro de 60ordm+inversioacuten) = eje ternario + plano de simetriacutea perpendicular

(6=3m)

222 Tres ejes binarios en planos perpendiculares entre siacute

32 Un eje ternario + tres ejes binarios en planos perpendiculares

422 Un eje cuaternario + dos ejes binarios en planos perpendiculares

622 Un eje senario + tres ejes binarios a 120ordm (plano perpendicular al senario)

23 Cuatro ejes ternarios + Tres ejes binarios

432

Clases con combinacioacuten de ejes

Tres ejes cuaternarios + cuatro ejes ternarios + seis ejes binarios

2m Clases con un eje de Eje binario + plano de simetriacutea perpendicular a eacutel

4m Eje cuaternario + plano de simetriacutea perpendicular a eacutel

6m

orden par + un centro de simetriacutea

(Eje de orden par + centro de simetriacutea=plano de

simetriacutea perpendicular al eje)

Eje senario + plano de simetriacutea perpendicular a eacutel

2mm Eje binario + dos planos de simetriacutea que se cortan en eacutel

3m Eje ternario + tres planos de simetriacutea que se cortan en eacutel

4mm Eje cuaternario + cuatro planos de simetriacutea que se cortan en eacutel

6mm

Clases con un eje + un plano de simetriacutea que

contenga al eje

Eje senario + seis planos de simetriacutea que se cortan en eacutel

42m Eje cuaternario de inversioacuten + dos ejes binarios + dos planos de simetriacutea

43m Tres ejes cuaternarios de inversioacuten + cuatro ejes ternarios + seis planos de simetriacutea

62m

Clases con un eje + dos ejes impropios

Eje senario de inversioacuten (=eje ternario + plano de simetriacutea perpendicular) + tres ejes binarios + tres

planos de simetriacutea

2m2m2m

(mmm)

Tres ejes binarios + tres planos de simetriacutea perpendiculares

32m

(3m)

Un eje ternario + tres ejes binarios + tres planos de simetriacutea perpendiculares + un centro de simetriacutea

4m2m2m

(4mmm)

Un eje cuaternario + un plano de simetriacutea perpendicular + cuatro ejes binarios + cuatro

planos de simetriacutea perpendiculares + centro de simetriacutea

6m2m2m

(6mmm)

Un eje senario + un plano de simetriacutea perpendicular + seis ejes binarios + seis planos de simetriacutea perpendiculares + un centro de simetriacutea

2m3

(m3)

Cuatro ejes ternarios + tres ejes binarios + tres planos de simetriacutea perpendiculares + un centro de

simetriacutea

4m32m

(m3m)

TClases con tres ejes + un centro de

simetriacutea

Tres ejes cuaternarios + tres planos de simetriacutea perpendiculares + cuatro ejes ternarios + seis ejes binarios + seis planos de simetriacutea perpendiculares

+ un centro de simetriacutea

La distribucioacuten sistema cristalino-Redes de Bravais-Grupos puntuales o clases de simetriacutea es la siguiente

Red de Bravais Sistema Grupo puntual

Red Tricliacutenica primitiva P Tricliacutenico 1 1Red monocliacutenica primitiva PRed monocliacutenica centrada en las caras C

Monocliacutenico 2 m 2m

Red roacutembica primitiva PRed roacutembica centrada en las bases CRed roacutembica centrada en el interior IRed roacutembica centrada en las caras F

Roacutembico 222 mm2 mmm

Red tetragonal primitiva P

Red tetragonal centrada en el interior CTetragonal

4 4 4m 4mm 422

42m 4mmm

Red hexagonal primitiva P Hexagonal6 6 6m 6mm 622

62m 6mmm

Red romboeacutedrica primitiva P Romboeacutedrico o Trigonal

3 3 3m 32 3m

Red cuacutebica primitiva PRed cuacutebica centrada en el interior IRed cuacutebica centrada en las caras F

Cuacutebico o Isomeacutetrico23 m3

43m 432 m3m

- Simetriacutea y redes de BravaisLa presencia de elementos de simetriacutea en la red cristalina condiciona a su vez la existencia de ciertas relaciones meacutetricas entre los elementos de la celda elemental las relaciones angulares entre los ejes del cristal o ejes cristalograacuteficos y las intersecciones sobre estos ejes de la cara fundamental (111) Las dimensiones de estas intersecciones son proporcionales a las traslaciones en las tres dimensiones de la red

Por esta razoacuten se han agrupado las redes de Bravais en siete grandes grupos redes tricliacutenicas redes monocliacutenicas redes roacutembicas redes tetragonales redes hexagonales redes romboeacutedricas y redes cuacutebicas Cada uno de estos grupos de redes corresponde a un sistema cuyo nombre es ideacutentico al de las redes correspondientes y posee unas constantes reticulares fijas y una miacutenima simetriacutea caracteriacutestica

Red de Bravais SistemaRed Tricliacutenica primitiva P TricliacutenicoRed monocliacutenica primitiva PRed monocliacutenica centrada en las caras C

Monocliacutenico

Red roacutembica primitiva PRed roacutembica centrada en las bases CRed roacutembica centrada en el interior IRed roacutembica centrada en las caras F

Roacutembico

Red tetragonal primitiva PRed tetragonal centrada en el interior C

Tetragonal

Red hexagonal primitiva P HexagonalRed romboeacutedrica primitiva P Romboeacutedrico o Trigonal Red cuacutebica primitiva PRed cuacutebica centrada en el interior IRed cuacutebica centrada en las caras F

Cuacutebico o Isomeacutetrico

Las constantes reticulares y la miacutenima simetriacutea que caracteriza a cada grupo de redes o sistema cristalino es la siguiente

- Sistema tricliacutenico (abc αszligγ90ordm)

No posee ninguna simetriacutea miacutenima

- Sistema monocliacutenico (abc α=γ=90ordmszliggt90ordm)

Presenta como simetriacutea miacutenima un eje de rotacioacuten binario o un eje de inversioacuten binario (=plano de simetriacutea)

- Sistema roacutembico (abc α=szlig=γ=90ordm)

Como miacutenimo posee tres ejes binarios perpendiculares entre siacute

- Sistema tetragonal (a=bc α=szlig=γ=90ordm)

Posee como caracteriacutestica fundamental un eje de rotacioacuten cuaternario o un eje de inversioacuten cuaternario

- Sistema hexagonal (a=bc α=szlig=90ordm γ=120ordm)

Su caracteriacutestica fundamental es la presencia de un eje de rotacioacuten senario o un eje de inversioacuten senario (eje ternario + plano de simetriacutea perpendicular)

Para mayor precisioacuten generalmente se introduce un cuarto eje i coplanario con a y b que forma un aacutengulo de 120ordm con cada uno de ellos asiacute la cruz axial seraacute (a=b=ic α=szlig=90ordm γ=120ordm)

Iacutendices de Miller hexagonales Como se trabaja con un cuarto iacutendice que se situacutea en el plano a1 a2 y a 120ordm de cada uno de estos ejes los planos hexagonales se van a representar por cuatro iacutendices (hkil) El valor de i se determina como h+k

- Sistema romboeacutedrico o trigonal (a=b=c α=szlig=γ90ordm)

Su caracteriacutestica comuacuten es la presencia de un eje de rotacioacuten ternario o un eje de inversioacuten ternario (eje ternario + centro de simetriacutea)

- Sistema cuacutebico (a=b=c α=szlig=γ=90ordm)

Posee como caracteriacutestica fundamental cuatro ejes de rotacioacuten ternarios inclinados a 10947ordm

NOTA Ademaacutes de las constantes reticulares para definir un sistema cristalino puede utilizarse la relacioacuten parameacutetrica siendo eacutesta la relacioacuten existente entre los moacutedulos de a y c respecto al moacutedulo de b

ab 1 cb

Normalmente se toman estos valores y los aacutengulos para definir la red

14- SIMETRIacuteA CON TRASLACIOacuteN - Elementos de simetriacutea con traslacioacutenLa red cristalina soacutelo tiene sentido como indicadora de la periodicidad que se presenta en el cristal como consecuencia de la repeticioacuten del motivo Debido a ello la simetriacutea que revela por siacute la red no tiene que ser necesariamente la que posea el cristal aunque en general lo sea

Ejemplo La coesita (variedad de la siacutelice de alta presioacuten) tiene una red cuya meacutetrica es roacutembica mientras que la estructura es monocliacutenica ya que el motivo carece de ciertos elementos de simetriacutea que la meacutetrica de la red indicaban

Es faacutecil comprender que debido a que la red es solamente la consecuencia de unas fuerzas cohesivas entre los aacutetomos que forman el cristal fuerzas que obligan a una repeticioacuten monoacutetona de las agrupaciones atoacutemicas la simetriacutea de la red debe estar iacutentimamente relacionada con la del cristal entendido como agrupacioacuten repetitiva de aacutetomos

La red nos proporciona por tanto la simetriacutea maacutexima que el cristal puede tener pero dicha simetriacutea depende de la simetriacutea propia del motivo La complejidad que el motivo cristalino aacutetomos iones y moleacuteculas aporta a la red cristalina hace que los elementos de simetriacutea del medio cristalino se ampliacuteen Aparece la traslacioacuten que tiene dimensiones submicroscoacutepicas no accesibles a la morfologiacutea macroscoacutepica

Los operadores de simetriacutea que completan la tarea de rellenar el espacio cristalino se consideran cada uno de ellos como una sola y nueva operacioacuten de simetriacutea Estos son los planos de deslizamiento que implican la reflexioacuten asociada a una traslacioacuten y los ejes helicoidales que implican a su vez giro y traslacioacuten

- Plano de deslizamiento

El plano de deslizamiento realiza simultaacuteneamente dos operaciones refleja la imagen o traslada la imagen a intervalos de media traslacioacuten

Cuando la semitraslacioacuten asociada al plano de deslizamiento corresponde a alguna de las direcciones fundamentales del cristal el plano se denomina a b c respectivamente

Cuando la semitraslacioacuten corresponde a la diagonal del plano reflector es decir el plano de deslizamiento se situacutea paralelo a la diagonal entre las filas definidas por a b y c el plano se simboliza por n y las componentes de su traslacioacuten son

a2 + b2 b2 + c2 c2 + a2 y a2 + b2 + c2

Los planos d (aparece en la estructura del diamante) se tratan tambieacuten de planos diagonales Presentan como componentes de traslacioacuten cuartos de la fundamental es decir

a4 plusmn b4 b4 plusmn c4 c4 plusmn a4 y a4 plusmn b4 plusmn c4

El siguiente cuadro sintetiza la notacioacuten y simetriacutea de los planos en los grupos espaciales

Siacutembolo Siacutembolo graacutefico Orientacioacuten y Traslacioacuten

m

perpendicular al papel

paralelo al papel

(100) o (010) ninguna traslacioacuten

(001) ninguna traslacioacuten

a

perpendicular al papel

paralelo al papel

(010) traslacioacuten a2

(001) traslacioacuten a2

b

perpendicular al papel

paralelo al papel

(100) traslacioacuten b2

(001) traslacioacuten b2

c perpendicular al papel

(100) 0 (010) traslacioacuten c2

n

______ perpendicular al papel

paralelo al papel

traslacioacuten (b+c)2 en (100) traslacioacuten (c+a)2 en (010)

traslacioacuten (a+b)2 en (001) traslacioacuten (a+b+c)2 en (110) en sistemas tetragonal o cuacutebico

d

perpendicular al papel

paralelo al papel

traslacioacuten (b+c)4 en (100) traslacioacuten (c+a)4 en (010)

traslacioacuten (a+b)4 en (001) traslacioacuten (a+b+c)4 en (110) en sistemas tetragonal o cuacutebico

- Eje helicoidal

Un eje helicoidal implica similarmente una operacioacuten doble

Un giro el permisible para su orden

Una traslacioacuten constante a lo largo del eje

Como sabemos el orden del eje es el nuacutemero de repeticiones que se necesitan para lograr la identidad implicando una serie de giros sucesivos hasta haber completado su operacioacuten de simetriacutea total

En un eje helicoidal cada uno de estos giros parciales debe asociarse a una parte aliacutecuota de la traslacioacuten total t paralela a la direccioacuten del eje La identidad se logra en la operacioacuten giro cuando se ha aplicado tantas veces el giro permisible como indica el orden del eje

Haciendo el periodo de identidad t coincidente con el giro completo del eje se obtienen los siguientes ejes helicoidales

Siacutembolo Siacutembolo graacutefico Denominacioacuten Giro Traslacioacuten

21 Eje binario helicoidal 180ordm t2

31 Eje ternario helicoidal

derecho120ordm

dextroacutegiro t3

32 Eje ternario helicoidal

izquierdo 120ordm levoacutegiro t3

41 Eje cuaternario helicoidal

derecho90ordm

dextroacutegiro t4

43 Eje cuaternario helicoidal

izquierdo 90ordm levoacutegiro t4

61 Eje senario helicoidal

derecho 60ordmdextroacutegiro t6

65 Eje senario helicoidal

izquierdo 60ordm levoacutegiro t6

Tambieacuten se pueden deducir los ejes helicoidales haciendo que la identidad se alcance para Nn giros siendo N el orden del eje y n un divisor entero de N

N (orden

del eje)

n (divisor entero de N)

Nn (giros)

Siacutembolo Siacutembolo graacutefico Denominacioacuten Giro Traslacioacuten

4 T2 2 42 Eje cuaternario-binario helicoidal 90ordm t2

6 3 2 63

Eje senario-ternario

helicoidal60ordm t2

6 2 3 62

Eje senario-binario helicoidal

derecho

60ordm dextroacutegiro t3

6 2 3 64

Eje senario-binario helicoidal

izquierdo

60ordm levoacutegiro t3

- Los 17 grupos planos En la deduccioacuten de los grupos planos hay que tener en cuenta que es el motivo contenido de la celda definida por unas traslaciones dadas el que muestra la existencia de los elementos de simetriacutea Es decir que las partes del motivo estaacuten relacionadas entre siacute por dichos elementos de simetriacutea (que puede ser simetriacutea con traslacioacuten) que la suma de estas partes constituye la celda y que las celdas implican una meacutetrica dada es decir tiene una forma y unas dimensiones que condicionan una simetriacutea maacutexima

En los grupos planos los haces de elementos de simetriacutea son perpendiculares al plano que se asocia a un tipo de red plana El nuacutemero de estos grupos planos es de 17

- Grupos planos con red oblicua

La simetriacutea maacutexima que permite una red obiacutecua es un haz de ejes binarios Existiraacuten por tanto dos posibilidades

Grupo plano p1 p como indicativo de primitivo y 1 como indicativo de no simetriacutea El dominio complejo coincide con el motivo y por tanto su multiplicidad es 1

Grupo plano p2 p como indicativo de primitivo y 2 como indicativo de eje binario de simetriacutea La multiplicidad del dominio complejo es 2 ya que la simetriacutea genera duplicidad del motivo

- Grupos planos con red rectangular

La simetriacutea maacutexima que permite una red rectangular es dos haces de planos de simetriacutea y un haz de ejes binarios Existiraacuten por tanto diferentes combinaciones

Grupo plano pm p como indicativo de primitivo y m como indicativo del plano de simetriacutea La multiplicidad del dominio complejo es 2 ya que la simetriacutea genera duplicidad del motivo

Grupo plano pg p como indicativo de primitivo y g como indicativo del plano de deslizamiento La multiplicidad del dominio complejo es 2 ya que la simetriacutea genera duplicidad del motivo

Grupo plano pmm (p2mm) p como indicativo de primitivo y dos m como indicativo de planos de simetriacutea mutuamente perpendiculares Los planos de simetriacutea llevan impliacutecitos la aparcicioacuten de ejes binarios La multiplicidad del dominio complejo es 4

Grupo plano pmg (p2mg) p como indicativo de primitivo y planos perpendiculares de tipo distinto (m ordinarios y g de deslizamiento) Esto hace que los ejes de simetriacutea no se encuentren en la interseccioacuten sino desplazados a lo largo del plano de deslizamiento a mitad de la componente desplazamiento El origen de la celda se toma sobre un eje binario La multiplicidad del dominio complejo es 4

Grupo plano pgg(p2gg) p como indicativo de primitivo y dos g de planos perpendiculares de deslizamiento Esto hace que los ejes de simetriacutea no se encuentren en la interseccioacuten sino desplazados a lo largo de cada plano de deslizamiento a mitad de la componente deslizamiento El origen de la celda se toma sobre un eje binario La multiplicidad del dominio complejo es 4

- Grupos planos con red roacutembica o rectangular centrada

Grupo plano cm c como indicativo de la operacioacuten de centrado y m como indicativo del plano de simetriacutea La operacioacuten de centrado lleva impliacutecita la existencia de un plano de deslizamiento La multiplicidad del dominio complejo es 4

Grupo plano cmm (c2mm) c como indicativo de centrado y dos m como indicativo de planos de simetriacutea mutuamente perpendiculares La operacioacuten de centrado lleva impliacutecita la existencia de planos de deslizamiento La multiplicidad del dominio complejo es 4 Los planos de simetriacutea ordinarios y de deslizamiento llevan impliacutecitos la aparcicioacuten de ejes binarios en las intersecciones del mismo tipo de planos no de distintos La multiplicidad del dominio complejo es 8

- Grupos planos con red cuadrada

La simetriacutea maacutexima que permite una red cuadrada es un haz de ejes cuaternarios y sus planos de simetriacutea contenidos en ellos En todos los casos se toma un eje cuaternario como origen de

la celda apareciendo otro eje cuaternario en el centro de la celda Existiraacuten por tanto diferentes combinaciones

Grupo plano p4 p como indicativo de primitivo y 4 como indicativo de eje cuaternario de simetriacutea Los ejes cuaternarios generan la aparcicioacuten de ejes binarios intercalados entre los cuaternarios La multiplicidad del dominio complejo es 4

Grupo plano p4mm p como indicativo de primitivo 4 como indicativo de eje cuaternario de simetriacutea y m como los planos de simetriacutea que contienen a dichos ejes Los ejes cuaternarios generan la aparcicioacuten de ejes binarios intercalados entre los cuaternarios y toda la simetriacutea genera planos de deslizamiento paralelos a las diagonales de la celda La multiplicidad del dominio complejo es 8

Grupo plano p4gm p como indicativo de primitivo 4 como indicativo de eje cuaternario de simetriacutea g como planos de deslizamiento y m como los planos de simetriacutea La multiplicidad del dominio complejo es 8

- Grupos planos con red hexagonal

La simetriacutea maacutexima que permite una red hexagonal es un haz de ejes senarios o ternarios y los planos de simetriacutea que contienen a dichos ejes Existiraacuten por tanto diferentes combinaciones

Grupo plano p3 p como indicativo de primitivo y 3 como indicativo de eje ternario de simetriacutea Los ejes ternarios generan la aparcicioacuten de otros ternarios en el centro de los dos triaacutengulos equilaacuteteros que conforman la celda La multiplicidad del dominio complejo es 3

Grupo plano p3m1 p como indicativo de primitivo 3 como indicativo de eje ternario de simetriacutea y m como plano de simetriacutea en la diagonal mayor del rombo Se genera alternancia de planos de deslizamiento La multiplicidad del dominio complejo es 6

Grupo plano p31m p como indicativo de primitivo 3 como indicativo de eje ternario de simetriacutea y m como plano de simetriacutea en la diagonal menor del rombo Se genera alternancia de planos de deslizamiento La multiplicidad del dominio complejo es 6

Grupo plano p6 p como indicativo de primitivo y 6 como indicativo de eje senario de simetriacutea Se generan ejes ternarios en los centros de los triaacutengulos equilaacuteteros conformadores y ejes binarios en los centros de los lados de dichos triaacutengulos La multiplicidad del dominio complejo es de 6

Grupo plano p6mm p como indicativo de primitivo 6 como indicativo de eje senario de simetriacutea y m de los planos de simetriacutea que los contienen Se generan ejes ternarios en los centros de los triaacutengulos equilaacuteteros conformadores ejes binarios en los centros de los lados de dichos triaacutengulos y planos de deslizamiento alternantes La multiplicidad del dominio complejo es de 12

La tabla que relaciona los grupos puntuales y los grupos planos pone de manifiesto que no todas las combinaciones conducen a nuevos o diferentes grupos puntuales La interaccioacuten de la simetriacutea del motivo con la simetriacutea de las diversas redes planas afecta al contenido de simetriacutea resultante del modelo planar El modelo final muestra la simetriacutea de la red cuando los elementos de simetriacutea del motivo estaacuten alineados con los elementos de simetriacutea correspondiente de la red Si el motivo tiene menos simetriacutea que la red el modelo expresaraacute el menor grado de simetriacutea del motivo con los elementos de simetriacutea de eacuteste alineados con los correspondientes elementos de simetriacutea de la red

Red Grupo puntual Grupo plano

1 p1 Obliacutecua

2 p2 m pm pg

Rectangular mm pmm pmg pgg m cm

Roacutembica mm cmm

4 p4

Cuadrada

4mm p4mm p4gm

3 p3 3m p3m p31m 6 p6

Hexagonal

6mm p6mm

- Grupos espaciales Los grupos espaciales representan las diversas formas en que los motivos pueden distribuirse en el espacio en una estructura homogeacutenea

Los grupos espaciales surgen de la combinacioacuten de los 14 tipos posibles de redes espaciales (redes de Bravais) con la simetriacutea propia de las 32 clases cristalinas o grupos puntuales maacutes la simetriacutea con traslacioacuten

Las caracteriacutesticas de la red se expresan con las letras P A B C F I R de las redes de Bravais que designan el tipo de red general A continuacioacuten se describen en el siacutembolo los elementos de simetriacutea

Ejemplos

P4m2m2m oacute p4mmm

4m2m2m oacute 4mmm Grupo de simetriacutea 4mmm

P Red tetragonal sencilla

P42n2n2m oacute P42nnm

42nnm Grupo isogonal con el 4mmm donde los ejes de rotacioacuten cuaternaria del grupo puntual aparecen como ejes de rotoinversioacuten cuaternaria y helicoidal cuaternario paralelos y alternativos Existen planos de deslizamiento n y de simetriacutea m asiacute como ejes de rotacioacuten binaria con helicoidales binarios intercalados

P Red tetragonal sencilla

Al igual que ocurriacutea en los grupos planos en los grupos espaciales con redes no primitivas la operacioacuten de centrado introduce la simetriacutea con traslacioacuten y sin embargo estos nuevos elementos no se aprecian en los siacutembolos Por ejemplo

C2m

2m Grupo de simetriacutea 2m Sin embargo aparecen debido al centrado ejes helicoidales binarios intercalados con los binarios y planos de deslizamiento intercalados con los planos de simetriacutea

C Red roacutembica centrada de tipo C

Los 230 grupos espaciales vienen descritos en las International Tables for X-ray Crystallography clasificadas seguacuten los grupos puntuales y los sistemas cristalinos

Una composicioacuten de la informacioacuten contenida en estas Tablas se muestra a continuacioacuten para el grupo espacial Cmm2 en el que la C significa una red centrada en las caras separadas por el eje c la primera m representa un plano de simetriacutea perpendicular al eje a la segunda m

representa un plano de simetriacutea perpendicular al eje b y el 2 se refiere al eje binario paralelo al eje c

  • EL ESTADO CRISTALINO
Page 20: Cristalografia Estructural

Por su parte el centro de simetriacutea i o centro de inversioacuten es un elemento de simetriacutea puntual que invierte el objeto a traveacutes de una liacutenea recta

- Combinacioacuten de elementos de simetriacuteaLa combinacioacuten de elementos de simetriacutea no se produce al azar estaacute regida por una serie de normas y limitaciones que son

- Los elementos que se combinan guardan unas relaciones angulares caracteriacutesticas

- La combinacioacuten de algunos elementos de simetriacutea genera directamente la presencia de otros

Eje de orden par + centro de simetriacutea ------- plano de simetriacutea perpendicular al eje

Eje de orden n contenido en un plano de simetriacutea -------- n-1 planos de simetriacutea que intersectan en el eje

Dos ejes que se cortan --------- un tercer eje que pasa por el punto de corte

(entre propios e impropios soacutelo es posible un propio y dos impropios)

Eje de orden n + eje binario perpendicular -------- n-1 ejes binarios tambieacuten normales a eacutel

Eje de inversioacuten de orden n(impar) + eje binario perpendicular -------- n ejes binarios y planos de simetriacutea

Eje de inversioacuten de orden n(par) + eje binario perpendicular -------- n2 ejes binarios y planos de simetriacutea

-Los ejes de inversioacuten realizan una operacioacuten de simetriacutea equivalente a la de dos elementos de simetriacutea (excepto el de orden 4)

3 = 3 + i

Eje de rotoinversioacuten de orden impar = eje propio del mismo orden + centro de simetriacutea

(6 = 3 + m)

Eje de rotoinversioacuten de orden par = eje propio de mitad de orden + un plano de simetriacutea perpendicular a eacutel

- Las 32 clases de simetriacuteaEs faacutecil prever que en el medio cristalino los elementos de simetriacutea se combinan entre siacute hasta engendrar los modelos cristalinos regulares que se combinan de treinta y dos maneras distintas y dan lugar a las treinta y dos posibles clases cristalinas o grupos puntuales (la operacioacuten de simetriacutea deja un punto particular del diagrama inmoacutevil) existentes

Estas treinta y dos clases cristalinas se han obtenido mediante las siguientes combinaciones de elementos de simetriacutea

Siacutembolo Combinacioacuten de simetriacutea Elementos de simetriacutea

1 Eje monario (giro de 360ordm)

2 Eje binario (giro de 180ordm)

3 Eje ternario (giro de 120ordm)

4 Eje cuaternario (giro de 90ordm)

6 Eje senario (giro de 60ordm)

1 Eje monario de inversioacuten (giro de 360ordm+inversioacuten) = centro de inversioacuten (2=i)

2 Eje binario de inversioacuten (giro de 180ordm+inversioacuten) = plano de simetriacutea (2=m)

3 Eje ternario de inversioacuten (giro de 120ordm+inversioacuten)

T4 TEje cuaternario de inversioacuten (giro de 90ordm+inversioacuten)

6

Clases con un soacutelo elemento de simetriacutea

Eje senario de inversioacuten (giro de 60ordm+inversioacuten) = eje ternario + plano de simetriacutea perpendicular

(6=3m)

222 Tres ejes binarios en planos perpendiculares entre siacute

32 Un eje ternario + tres ejes binarios en planos perpendiculares

422 Un eje cuaternario + dos ejes binarios en planos perpendiculares

622 Un eje senario + tres ejes binarios a 120ordm (plano perpendicular al senario)

23 Cuatro ejes ternarios + Tres ejes binarios

432

Clases con combinacioacuten de ejes

Tres ejes cuaternarios + cuatro ejes ternarios + seis ejes binarios

2m Clases con un eje de Eje binario + plano de simetriacutea perpendicular a eacutel

4m Eje cuaternario + plano de simetriacutea perpendicular a eacutel

6m

orden par + un centro de simetriacutea

(Eje de orden par + centro de simetriacutea=plano de

simetriacutea perpendicular al eje)

Eje senario + plano de simetriacutea perpendicular a eacutel

2mm Eje binario + dos planos de simetriacutea que se cortan en eacutel

3m Eje ternario + tres planos de simetriacutea que se cortan en eacutel

4mm Eje cuaternario + cuatro planos de simetriacutea que se cortan en eacutel

6mm

Clases con un eje + un plano de simetriacutea que

contenga al eje

Eje senario + seis planos de simetriacutea que se cortan en eacutel

42m Eje cuaternario de inversioacuten + dos ejes binarios + dos planos de simetriacutea

43m Tres ejes cuaternarios de inversioacuten + cuatro ejes ternarios + seis planos de simetriacutea

62m

Clases con un eje + dos ejes impropios

Eje senario de inversioacuten (=eje ternario + plano de simetriacutea perpendicular) + tres ejes binarios + tres

planos de simetriacutea

2m2m2m

(mmm)

Tres ejes binarios + tres planos de simetriacutea perpendiculares

32m

(3m)

Un eje ternario + tres ejes binarios + tres planos de simetriacutea perpendiculares + un centro de simetriacutea

4m2m2m

(4mmm)

Un eje cuaternario + un plano de simetriacutea perpendicular + cuatro ejes binarios + cuatro

planos de simetriacutea perpendiculares + centro de simetriacutea

6m2m2m

(6mmm)

Un eje senario + un plano de simetriacutea perpendicular + seis ejes binarios + seis planos de simetriacutea perpendiculares + un centro de simetriacutea

2m3

(m3)

Cuatro ejes ternarios + tres ejes binarios + tres planos de simetriacutea perpendiculares + un centro de

simetriacutea

4m32m

(m3m)

TClases con tres ejes + un centro de

simetriacutea

Tres ejes cuaternarios + tres planos de simetriacutea perpendiculares + cuatro ejes ternarios + seis ejes binarios + seis planos de simetriacutea perpendiculares

+ un centro de simetriacutea

La distribucioacuten sistema cristalino-Redes de Bravais-Grupos puntuales o clases de simetriacutea es la siguiente

Red de Bravais Sistema Grupo puntual

Red Tricliacutenica primitiva P Tricliacutenico 1 1Red monocliacutenica primitiva PRed monocliacutenica centrada en las caras C

Monocliacutenico 2 m 2m

Red roacutembica primitiva PRed roacutembica centrada en las bases CRed roacutembica centrada en el interior IRed roacutembica centrada en las caras F

Roacutembico 222 mm2 mmm

Red tetragonal primitiva P

Red tetragonal centrada en el interior CTetragonal

4 4 4m 4mm 422

42m 4mmm

Red hexagonal primitiva P Hexagonal6 6 6m 6mm 622

62m 6mmm

Red romboeacutedrica primitiva P Romboeacutedrico o Trigonal

3 3 3m 32 3m

Red cuacutebica primitiva PRed cuacutebica centrada en el interior IRed cuacutebica centrada en las caras F

Cuacutebico o Isomeacutetrico23 m3

43m 432 m3m

- Simetriacutea y redes de BravaisLa presencia de elementos de simetriacutea en la red cristalina condiciona a su vez la existencia de ciertas relaciones meacutetricas entre los elementos de la celda elemental las relaciones angulares entre los ejes del cristal o ejes cristalograacuteficos y las intersecciones sobre estos ejes de la cara fundamental (111) Las dimensiones de estas intersecciones son proporcionales a las traslaciones en las tres dimensiones de la red

Por esta razoacuten se han agrupado las redes de Bravais en siete grandes grupos redes tricliacutenicas redes monocliacutenicas redes roacutembicas redes tetragonales redes hexagonales redes romboeacutedricas y redes cuacutebicas Cada uno de estos grupos de redes corresponde a un sistema cuyo nombre es ideacutentico al de las redes correspondientes y posee unas constantes reticulares fijas y una miacutenima simetriacutea caracteriacutestica

Red de Bravais SistemaRed Tricliacutenica primitiva P TricliacutenicoRed monocliacutenica primitiva PRed monocliacutenica centrada en las caras C

Monocliacutenico

Red roacutembica primitiva PRed roacutembica centrada en las bases CRed roacutembica centrada en el interior IRed roacutembica centrada en las caras F

Roacutembico

Red tetragonal primitiva PRed tetragonal centrada en el interior C

Tetragonal

Red hexagonal primitiva P HexagonalRed romboeacutedrica primitiva P Romboeacutedrico o Trigonal Red cuacutebica primitiva PRed cuacutebica centrada en el interior IRed cuacutebica centrada en las caras F

Cuacutebico o Isomeacutetrico

Las constantes reticulares y la miacutenima simetriacutea que caracteriza a cada grupo de redes o sistema cristalino es la siguiente

- Sistema tricliacutenico (abc αszligγ90ordm)

No posee ninguna simetriacutea miacutenima

- Sistema monocliacutenico (abc α=γ=90ordmszliggt90ordm)

Presenta como simetriacutea miacutenima un eje de rotacioacuten binario o un eje de inversioacuten binario (=plano de simetriacutea)

- Sistema roacutembico (abc α=szlig=γ=90ordm)

Como miacutenimo posee tres ejes binarios perpendiculares entre siacute

- Sistema tetragonal (a=bc α=szlig=γ=90ordm)

Posee como caracteriacutestica fundamental un eje de rotacioacuten cuaternario o un eje de inversioacuten cuaternario

- Sistema hexagonal (a=bc α=szlig=90ordm γ=120ordm)

Su caracteriacutestica fundamental es la presencia de un eje de rotacioacuten senario o un eje de inversioacuten senario (eje ternario + plano de simetriacutea perpendicular)

Para mayor precisioacuten generalmente se introduce un cuarto eje i coplanario con a y b que forma un aacutengulo de 120ordm con cada uno de ellos asiacute la cruz axial seraacute (a=b=ic α=szlig=90ordm γ=120ordm)

Iacutendices de Miller hexagonales Como se trabaja con un cuarto iacutendice que se situacutea en el plano a1 a2 y a 120ordm de cada uno de estos ejes los planos hexagonales se van a representar por cuatro iacutendices (hkil) El valor de i se determina como h+k

- Sistema romboeacutedrico o trigonal (a=b=c α=szlig=γ90ordm)

Su caracteriacutestica comuacuten es la presencia de un eje de rotacioacuten ternario o un eje de inversioacuten ternario (eje ternario + centro de simetriacutea)

- Sistema cuacutebico (a=b=c α=szlig=γ=90ordm)

Posee como caracteriacutestica fundamental cuatro ejes de rotacioacuten ternarios inclinados a 10947ordm

NOTA Ademaacutes de las constantes reticulares para definir un sistema cristalino puede utilizarse la relacioacuten parameacutetrica siendo eacutesta la relacioacuten existente entre los moacutedulos de a y c respecto al moacutedulo de b

ab 1 cb

Normalmente se toman estos valores y los aacutengulos para definir la red

14- SIMETRIacuteA CON TRASLACIOacuteN - Elementos de simetriacutea con traslacioacutenLa red cristalina soacutelo tiene sentido como indicadora de la periodicidad que se presenta en el cristal como consecuencia de la repeticioacuten del motivo Debido a ello la simetriacutea que revela por siacute la red no tiene que ser necesariamente la que posea el cristal aunque en general lo sea

Ejemplo La coesita (variedad de la siacutelice de alta presioacuten) tiene una red cuya meacutetrica es roacutembica mientras que la estructura es monocliacutenica ya que el motivo carece de ciertos elementos de simetriacutea que la meacutetrica de la red indicaban

Es faacutecil comprender que debido a que la red es solamente la consecuencia de unas fuerzas cohesivas entre los aacutetomos que forman el cristal fuerzas que obligan a una repeticioacuten monoacutetona de las agrupaciones atoacutemicas la simetriacutea de la red debe estar iacutentimamente relacionada con la del cristal entendido como agrupacioacuten repetitiva de aacutetomos

La red nos proporciona por tanto la simetriacutea maacutexima que el cristal puede tener pero dicha simetriacutea depende de la simetriacutea propia del motivo La complejidad que el motivo cristalino aacutetomos iones y moleacuteculas aporta a la red cristalina hace que los elementos de simetriacutea del medio cristalino se ampliacuteen Aparece la traslacioacuten que tiene dimensiones submicroscoacutepicas no accesibles a la morfologiacutea macroscoacutepica

Los operadores de simetriacutea que completan la tarea de rellenar el espacio cristalino se consideran cada uno de ellos como una sola y nueva operacioacuten de simetriacutea Estos son los planos de deslizamiento que implican la reflexioacuten asociada a una traslacioacuten y los ejes helicoidales que implican a su vez giro y traslacioacuten

- Plano de deslizamiento

El plano de deslizamiento realiza simultaacuteneamente dos operaciones refleja la imagen o traslada la imagen a intervalos de media traslacioacuten

Cuando la semitraslacioacuten asociada al plano de deslizamiento corresponde a alguna de las direcciones fundamentales del cristal el plano se denomina a b c respectivamente

Cuando la semitraslacioacuten corresponde a la diagonal del plano reflector es decir el plano de deslizamiento se situacutea paralelo a la diagonal entre las filas definidas por a b y c el plano se simboliza por n y las componentes de su traslacioacuten son

a2 + b2 b2 + c2 c2 + a2 y a2 + b2 + c2

Los planos d (aparece en la estructura del diamante) se tratan tambieacuten de planos diagonales Presentan como componentes de traslacioacuten cuartos de la fundamental es decir

a4 plusmn b4 b4 plusmn c4 c4 plusmn a4 y a4 plusmn b4 plusmn c4

El siguiente cuadro sintetiza la notacioacuten y simetriacutea de los planos en los grupos espaciales

Siacutembolo Siacutembolo graacutefico Orientacioacuten y Traslacioacuten

m

perpendicular al papel

paralelo al papel

(100) o (010) ninguna traslacioacuten

(001) ninguna traslacioacuten

a

perpendicular al papel

paralelo al papel

(010) traslacioacuten a2

(001) traslacioacuten a2

b

perpendicular al papel

paralelo al papel

(100) traslacioacuten b2

(001) traslacioacuten b2

c perpendicular al papel

(100) 0 (010) traslacioacuten c2

n

______ perpendicular al papel

paralelo al papel

traslacioacuten (b+c)2 en (100) traslacioacuten (c+a)2 en (010)

traslacioacuten (a+b)2 en (001) traslacioacuten (a+b+c)2 en (110) en sistemas tetragonal o cuacutebico

d

perpendicular al papel

paralelo al papel

traslacioacuten (b+c)4 en (100) traslacioacuten (c+a)4 en (010)

traslacioacuten (a+b)4 en (001) traslacioacuten (a+b+c)4 en (110) en sistemas tetragonal o cuacutebico

- Eje helicoidal

Un eje helicoidal implica similarmente una operacioacuten doble

Un giro el permisible para su orden

Una traslacioacuten constante a lo largo del eje

Como sabemos el orden del eje es el nuacutemero de repeticiones que se necesitan para lograr la identidad implicando una serie de giros sucesivos hasta haber completado su operacioacuten de simetriacutea total

En un eje helicoidal cada uno de estos giros parciales debe asociarse a una parte aliacutecuota de la traslacioacuten total t paralela a la direccioacuten del eje La identidad se logra en la operacioacuten giro cuando se ha aplicado tantas veces el giro permisible como indica el orden del eje

Haciendo el periodo de identidad t coincidente con el giro completo del eje se obtienen los siguientes ejes helicoidales

Siacutembolo Siacutembolo graacutefico Denominacioacuten Giro Traslacioacuten

21 Eje binario helicoidal 180ordm t2

31 Eje ternario helicoidal

derecho120ordm

dextroacutegiro t3

32 Eje ternario helicoidal

izquierdo 120ordm levoacutegiro t3

41 Eje cuaternario helicoidal

derecho90ordm

dextroacutegiro t4

43 Eje cuaternario helicoidal

izquierdo 90ordm levoacutegiro t4

61 Eje senario helicoidal

derecho 60ordmdextroacutegiro t6

65 Eje senario helicoidal

izquierdo 60ordm levoacutegiro t6

Tambieacuten se pueden deducir los ejes helicoidales haciendo que la identidad se alcance para Nn giros siendo N el orden del eje y n un divisor entero de N

N (orden

del eje)

n (divisor entero de N)

Nn (giros)

Siacutembolo Siacutembolo graacutefico Denominacioacuten Giro Traslacioacuten

4 T2 2 42 Eje cuaternario-binario helicoidal 90ordm t2

6 3 2 63

Eje senario-ternario

helicoidal60ordm t2

6 2 3 62

Eje senario-binario helicoidal

derecho

60ordm dextroacutegiro t3

6 2 3 64

Eje senario-binario helicoidal

izquierdo

60ordm levoacutegiro t3

- Los 17 grupos planos En la deduccioacuten de los grupos planos hay que tener en cuenta que es el motivo contenido de la celda definida por unas traslaciones dadas el que muestra la existencia de los elementos de simetriacutea Es decir que las partes del motivo estaacuten relacionadas entre siacute por dichos elementos de simetriacutea (que puede ser simetriacutea con traslacioacuten) que la suma de estas partes constituye la celda y que las celdas implican una meacutetrica dada es decir tiene una forma y unas dimensiones que condicionan una simetriacutea maacutexima

En los grupos planos los haces de elementos de simetriacutea son perpendiculares al plano que se asocia a un tipo de red plana El nuacutemero de estos grupos planos es de 17

- Grupos planos con red oblicua

La simetriacutea maacutexima que permite una red obiacutecua es un haz de ejes binarios Existiraacuten por tanto dos posibilidades

Grupo plano p1 p como indicativo de primitivo y 1 como indicativo de no simetriacutea El dominio complejo coincide con el motivo y por tanto su multiplicidad es 1

Grupo plano p2 p como indicativo de primitivo y 2 como indicativo de eje binario de simetriacutea La multiplicidad del dominio complejo es 2 ya que la simetriacutea genera duplicidad del motivo

- Grupos planos con red rectangular

La simetriacutea maacutexima que permite una red rectangular es dos haces de planos de simetriacutea y un haz de ejes binarios Existiraacuten por tanto diferentes combinaciones

Grupo plano pm p como indicativo de primitivo y m como indicativo del plano de simetriacutea La multiplicidad del dominio complejo es 2 ya que la simetriacutea genera duplicidad del motivo

Grupo plano pg p como indicativo de primitivo y g como indicativo del plano de deslizamiento La multiplicidad del dominio complejo es 2 ya que la simetriacutea genera duplicidad del motivo

Grupo plano pmm (p2mm) p como indicativo de primitivo y dos m como indicativo de planos de simetriacutea mutuamente perpendiculares Los planos de simetriacutea llevan impliacutecitos la aparcicioacuten de ejes binarios La multiplicidad del dominio complejo es 4

Grupo plano pmg (p2mg) p como indicativo de primitivo y planos perpendiculares de tipo distinto (m ordinarios y g de deslizamiento) Esto hace que los ejes de simetriacutea no se encuentren en la interseccioacuten sino desplazados a lo largo del plano de deslizamiento a mitad de la componente desplazamiento El origen de la celda se toma sobre un eje binario La multiplicidad del dominio complejo es 4

Grupo plano pgg(p2gg) p como indicativo de primitivo y dos g de planos perpendiculares de deslizamiento Esto hace que los ejes de simetriacutea no se encuentren en la interseccioacuten sino desplazados a lo largo de cada plano de deslizamiento a mitad de la componente deslizamiento El origen de la celda se toma sobre un eje binario La multiplicidad del dominio complejo es 4

- Grupos planos con red roacutembica o rectangular centrada

Grupo plano cm c como indicativo de la operacioacuten de centrado y m como indicativo del plano de simetriacutea La operacioacuten de centrado lleva impliacutecita la existencia de un plano de deslizamiento La multiplicidad del dominio complejo es 4

Grupo plano cmm (c2mm) c como indicativo de centrado y dos m como indicativo de planos de simetriacutea mutuamente perpendiculares La operacioacuten de centrado lleva impliacutecita la existencia de planos de deslizamiento La multiplicidad del dominio complejo es 4 Los planos de simetriacutea ordinarios y de deslizamiento llevan impliacutecitos la aparcicioacuten de ejes binarios en las intersecciones del mismo tipo de planos no de distintos La multiplicidad del dominio complejo es 8

- Grupos planos con red cuadrada

La simetriacutea maacutexima que permite una red cuadrada es un haz de ejes cuaternarios y sus planos de simetriacutea contenidos en ellos En todos los casos se toma un eje cuaternario como origen de

la celda apareciendo otro eje cuaternario en el centro de la celda Existiraacuten por tanto diferentes combinaciones

Grupo plano p4 p como indicativo de primitivo y 4 como indicativo de eje cuaternario de simetriacutea Los ejes cuaternarios generan la aparcicioacuten de ejes binarios intercalados entre los cuaternarios La multiplicidad del dominio complejo es 4

Grupo plano p4mm p como indicativo de primitivo 4 como indicativo de eje cuaternario de simetriacutea y m como los planos de simetriacutea que contienen a dichos ejes Los ejes cuaternarios generan la aparcicioacuten de ejes binarios intercalados entre los cuaternarios y toda la simetriacutea genera planos de deslizamiento paralelos a las diagonales de la celda La multiplicidad del dominio complejo es 8

Grupo plano p4gm p como indicativo de primitivo 4 como indicativo de eje cuaternario de simetriacutea g como planos de deslizamiento y m como los planos de simetriacutea La multiplicidad del dominio complejo es 8

- Grupos planos con red hexagonal

La simetriacutea maacutexima que permite una red hexagonal es un haz de ejes senarios o ternarios y los planos de simetriacutea que contienen a dichos ejes Existiraacuten por tanto diferentes combinaciones

Grupo plano p3 p como indicativo de primitivo y 3 como indicativo de eje ternario de simetriacutea Los ejes ternarios generan la aparcicioacuten de otros ternarios en el centro de los dos triaacutengulos equilaacuteteros que conforman la celda La multiplicidad del dominio complejo es 3

Grupo plano p3m1 p como indicativo de primitivo 3 como indicativo de eje ternario de simetriacutea y m como plano de simetriacutea en la diagonal mayor del rombo Se genera alternancia de planos de deslizamiento La multiplicidad del dominio complejo es 6

Grupo plano p31m p como indicativo de primitivo 3 como indicativo de eje ternario de simetriacutea y m como plano de simetriacutea en la diagonal menor del rombo Se genera alternancia de planos de deslizamiento La multiplicidad del dominio complejo es 6

Grupo plano p6 p como indicativo de primitivo y 6 como indicativo de eje senario de simetriacutea Se generan ejes ternarios en los centros de los triaacutengulos equilaacuteteros conformadores y ejes binarios en los centros de los lados de dichos triaacutengulos La multiplicidad del dominio complejo es de 6

Grupo plano p6mm p como indicativo de primitivo 6 como indicativo de eje senario de simetriacutea y m de los planos de simetriacutea que los contienen Se generan ejes ternarios en los centros de los triaacutengulos equilaacuteteros conformadores ejes binarios en los centros de los lados de dichos triaacutengulos y planos de deslizamiento alternantes La multiplicidad del dominio complejo es de 12

La tabla que relaciona los grupos puntuales y los grupos planos pone de manifiesto que no todas las combinaciones conducen a nuevos o diferentes grupos puntuales La interaccioacuten de la simetriacutea del motivo con la simetriacutea de las diversas redes planas afecta al contenido de simetriacutea resultante del modelo planar El modelo final muestra la simetriacutea de la red cuando los elementos de simetriacutea del motivo estaacuten alineados con los elementos de simetriacutea correspondiente de la red Si el motivo tiene menos simetriacutea que la red el modelo expresaraacute el menor grado de simetriacutea del motivo con los elementos de simetriacutea de eacuteste alineados con los correspondientes elementos de simetriacutea de la red

Red Grupo puntual Grupo plano

1 p1 Obliacutecua

2 p2 m pm pg

Rectangular mm pmm pmg pgg m cm

Roacutembica mm cmm

4 p4

Cuadrada

4mm p4mm p4gm

3 p3 3m p3m p31m 6 p6

Hexagonal

6mm p6mm

- Grupos espaciales Los grupos espaciales representan las diversas formas en que los motivos pueden distribuirse en el espacio en una estructura homogeacutenea

Los grupos espaciales surgen de la combinacioacuten de los 14 tipos posibles de redes espaciales (redes de Bravais) con la simetriacutea propia de las 32 clases cristalinas o grupos puntuales maacutes la simetriacutea con traslacioacuten

Las caracteriacutesticas de la red se expresan con las letras P A B C F I R de las redes de Bravais que designan el tipo de red general A continuacioacuten se describen en el siacutembolo los elementos de simetriacutea

Ejemplos

P4m2m2m oacute p4mmm

4m2m2m oacute 4mmm Grupo de simetriacutea 4mmm

P Red tetragonal sencilla

P42n2n2m oacute P42nnm

42nnm Grupo isogonal con el 4mmm donde los ejes de rotacioacuten cuaternaria del grupo puntual aparecen como ejes de rotoinversioacuten cuaternaria y helicoidal cuaternario paralelos y alternativos Existen planos de deslizamiento n y de simetriacutea m asiacute como ejes de rotacioacuten binaria con helicoidales binarios intercalados

P Red tetragonal sencilla

Al igual que ocurriacutea en los grupos planos en los grupos espaciales con redes no primitivas la operacioacuten de centrado introduce la simetriacutea con traslacioacuten y sin embargo estos nuevos elementos no se aprecian en los siacutembolos Por ejemplo

C2m

2m Grupo de simetriacutea 2m Sin embargo aparecen debido al centrado ejes helicoidales binarios intercalados con los binarios y planos de deslizamiento intercalados con los planos de simetriacutea

C Red roacutembica centrada de tipo C

Los 230 grupos espaciales vienen descritos en las International Tables for X-ray Crystallography clasificadas seguacuten los grupos puntuales y los sistemas cristalinos

Una composicioacuten de la informacioacuten contenida en estas Tablas se muestra a continuacioacuten para el grupo espacial Cmm2 en el que la C significa una red centrada en las caras separadas por el eje c la primera m representa un plano de simetriacutea perpendicular al eje a la segunda m

representa un plano de simetriacutea perpendicular al eje b y el 2 se refiere al eje binario paralelo al eje c

  • EL ESTADO CRISTALINO
Page 21: Cristalografia Estructural

Eje de rotoinversioacuten de orden impar = eje propio del mismo orden + centro de simetriacutea

(6 = 3 + m)

Eje de rotoinversioacuten de orden par = eje propio de mitad de orden + un plano de simetriacutea perpendicular a eacutel

- Las 32 clases de simetriacuteaEs faacutecil prever que en el medio cristalino los elementos de simetriacutea se combinan entre siacute hasta engendrar los modelos cristalinos regulares que se combinan de treinta y dos maneras distintas y dan lugar a las treinta y dos posibles clases cristalinas o grupos puntuales (la operacioacuten de simetriacutea deja un punto particular del diagrama inmoacutevil) existentes

Estas treinta y dos clases cristalinas se han obtenido mediante las siguientes combinaciones de elementos de simetriacutea

Siacutembolo Combinacioacuten de simetriacutea Elementos de simetriacutea

1 Eje monario (giro de 360ordm)

2 Eje binario (giro de 180ordm)

3 Eje ternario (giro de 120ordm)

4 Eje cuaternario (giro de 90ordm)

6 Eje senario (giro de 60ordm)

1 Eje monario de inversioacuten (giro de 360ordm+inversioacuten) = centro de inversioacuten (2=i)

2 Eje binario de inversioacuten (giro de 180ordm+inversioacuten) = plano de simetriacutea (2=m)

3 Eje ternario de inversioacuten (giro de 120ordm+inversioacuten)

T4 TEje cuaternario de inversioacuten (giro de 90ordm+inversioacuten)

6

Clases con un soacutelo elemento de simetriacutea

Eje senario de inversioacuten (giro de 60ordm+inversioacuten) = eje ternario + plano de simetriacutea perpendicular

(6=3m)

222 Tres ejes binarios en planos perpendiculares entre siacute

32 Un eje ternario + tres ejes binarios en planos perpendiculares

422 Un eje cuaternario + dos ejes binarios en planos perpendiculares

622 Un eje senario + tres ejes binarios a 120ordm (plano perpendicular al senario)

23 Cuatro ejes ternarios + Tres ejes binarios

432

Clases con combinacioacuten de ejes

Tres ejes cuaternarios + cuatro ejes ternarios + seis ejes binarios

2m Clases con un eje de Eje binario + plano de simetriacutea perpendicular a eacutel

4m Eje cuaternario + plano de simetriacutea perpendicular a eacutel

6m

orden par + un centro de simetriacutea

(Eje de orden par + centro de simetriacutea=plano de

simetriacutea perpendicular al eje)

Eje senario + plano de simetriacutea perpendicular a eacutel

2mm Eje binario + dos planos de simetriacutea que se cortan en eacutel

3m Eje ternario + tres planos de simetriacutea que se cortan en eacutel

4mm Eje cuaternario + cuatro planos de simetriacutea que se cortan en eacutel

6mm

Clases con un eje + un plano de simetriacutea que

contenga al eje

Eje senario + seis planos de simetriacutea que se cortan en eacutel

42m Eje cuaternario de inversioacuten + dos ejes binarios + dos planos de simetriacutea

43m Tres ejes cuaternarios de inversioacuten + cuatro ejes ternarios + seis planos de simetriacutea

62m

Clases con un eje + dos ejes impropios

Eje senario de inversioacuten (=eje ternario + plano de simetriacutea perpendicular) + tres ejes binarios + tres

planos de simetriacutea

2m2m2m

(mmm)

Tres ejes binarios + tres planos de simetriacutea perpendiculares

32m

(3m)

Un eje ternario + tres ejes binarios + tres planos de simetriacutea perpendiculares + un centro de simetriacutea

4m2m2m

(4mmm)

Un eje cuaternario + un plano de simetriacutea perpendicular + cuatro ejes binarios + cuatro

planos de simetriacutea perpendiculares + centro de simetriacutea

6m2m2m

(6mmm)

Un eje senario + un plano de simetriacutea perpendicular + seis ejes binarios + seis planos de simetriacutea perpendiculares + un centro de simetriacutea

2m3

(m3)

Cuatro ejes ternarios + tres ejes binarios + tres planos de simetriacutea perpendiculares + un centro de

simetriacutea

4m32m

(m3m)

TClases con tres ejes + un centro de

simetriacutea

Tres ejes cuaternarios + tres planos de simetriacutea perpendiculares + cuatro ejes ternarios + seis ejes binarios + seis planos de simetriacutea perpendiculares

+ un centro de simetriacutea

La distribucioacuten sistema cristalino-Redes de Bravais-Grupos puntuales o clases de simetriacutea es la siguiente

Red de Bravais Sistema Grupo puntual

Red Tricliacutenica primitiva P Tricliacutenico 1 1Red monocliacutenica primitiva PRed monocliacutenica centrada en las caras C

Monocliacutenico 2 m 2m

Red roacutembica primitiva PRed roacutembica centrada en las bases CRed roacutembica centrada en el interior IRed roacutembica centrada en las caras F

Roacutembico 222 mm2 mmm

Red tetragonal primitiva P

Red tetragonal centrada en el interior CTetragonal

4 4 4m 4mm 422

42m 4mmm

Red hexagonal primitiva P Hexagonal6 6 6m 6mm 622

62m 6mmm

Red romboeacutedrica primitiva P Romboeacutedrico o Trigonal

3 3 3m 32 3m

Red cuacutebica primitiva PRed cuacutebica centrada en el interior IRed cuacutebica centrada en las caras F

Cuacutebico o Isomeacutetrico23 m3

43m 432 m3m

- Simetriacutea y redes de BravaisLa presencia de elementos de simetriacutea en la red cristalina condiciona a su vez la existencia de ciertas relaciones meacutetricas entre los elementos de la celda elemental las relaciones angulares entre los ejes del cristal o ejes cristalograacuteficos y las intersecciones sobre estos ejes de la cara fundamental (111) Las dimensiones de estas intersecciones son proporcionales a las traslaciones en las tres dimensiones de la red

Por esta razoacuten se han agrupado las redes de Bravais en siete grandes grupos redes tricliacutenicas redes monocliacutenicas redes roacutembicas redes tetragonales redes hexagonales redes romboeacutedricas y redes cuacutebicas Cada uno de estos grupos de redes corresponde a un sistema cuyo nombre es ideacutentico al de las redes correspondientes y posee unas constantes reticulares fijas y una miacutenima simetriacutea caracteriacutestica

Red de Bravais SistemaRed Tricliacutenica primitiva P TricliacutenicoRed monocliacutenica primitiva PRed monocliacutenica centrada en las caras C

Monocliacutenico

Red roacutembica primitiva PRed roacutembica centrada en las bases CRed roacutembica centrada en el interior IRed roacutembica centrada en las caras F

Roacutembico

Red tetragonal primitiva PRed tetragonal centrada en el interior C

Tetragonal

Red hexagonal primitiva P HexagonalRed romboeacutedrica primitiva P Romboeacutedrico o Trigonal Red cuacutebica primitiva PRed cuacutebica centrada en el interior IRed cuacutebica centrada en las caras F

Cuacutebico o Isomeacutetrico

Las constantes reticulares y la miacutenima simetriacutea que caracteriza a cada grupo de redes o sistema cristalino es la siguiente

- Sistema tricliacutenico (abc αszligγ90ordm)

No posee ninguna simetriacutea miacutenima

- Sistema monocliacutenico (abc α=γ=90ordmszliggt90ordm)

Presenta como simetriacutea miacutenima un eje de rotacioacuten binario o un eje de inversioacuten binario (=plano de simetriacutea)

- Sistema roacutembico (abc α=szlig=γ=90ordm)

Como miacutenimo posee tres ejes binarios perpendiculares entre siacute

- Sistema tetragonal (a=bc α=szlig=γ=90ordm)

Posee como caracteriacutestica fundamental un eje de rotacioacuten cuaternario o un eje de inversioacuten cuaternario

- Sistema hexagonal (a=bc α=szlig=90ordm γ=120ordm)

Su caracteriacutestica fundamental es la presencia de un eje de rotacioacuten senario o un eje de inversioacuten senario (eje ternario + plano de simetriacutea perpendicular)

Para mayor precisioacuten generalmente se introduce un cuarto eje i coplanario con a y b que forma un aacutengulo de 120ordm con cada uno de ellos asiacute la cruz axial seraacute (a=b=ic α=szlig=90ordm γ=120ordm)

Iacutendices de Miller hexagonales Como se trabaja con un cuarto iacutendice que se situacutea en el plano a1 a2 y a 120ordm de cada uno de estos ejes los planos hexagonales se van a representar por cuatro iacutendices (hkil) El valor de i se determina como h+k

- Sistema romboeacutedrico o trigonal (a=b=c α=szlig=γ90ordm)

Su caracteriacutestica comuacuten es la presencia de un eje de rotacioacuten ternario o un eje de inversioacuten ternario (eje ternario + centro de simetriacutea)

- Sistema cuacutebico (a=b=c α=szlig=γ=90ordm)

Posee como caracteriacutestica fundamental cuatro ejes de rotacioacuten ternarios inclinados a 10947ordm

NOTA Ademaacutes de las constantes reticulares para definir un sistema cristalino puede utilizarse la relacioacuten parameacutetrica siendo eacutesta la relacioacuten existente entre los moacutedulos de a y c respecto al moacutedulo de b

ab 1 cb

Normalmente se toman estos valores y los aacutengulos para definir la red

14- SIMETRIacuteA CON TRASLACIOacuteN - Elementos de simetriacutea con traslacioacutenLa red cristalina soacutelo tiene sentido como indicadora de la periodicidad que se presenta en el cristal como consecuencia de la repeticioacuten del motivo Debido a ello la simetriacutea que revela por siacute la red no tiene que ser necesariamente la que posea el cristal aunque en general lo sea

Ejemplo La coesita (variedad de la siacutelice de alta presioacuten) tiene una red cuya meacutetrica es roacutembica mientras que la estructura es monocliacutenica ya que el motivo carece de ciertos elementos de simetriacutea que la meacutetrica de la red indicaban

Es faacutecil comprender que debido a que la red es solamente la consecuencia de unas fuerzas cohesivas entre los aacutetomos que forman el cristal fuerzas que obligan a una repeticioacuten monoacutetona de las agrupaciones atoacutemicas la simetriacutea de la red debe estar iacutentimamente relacionada con la del cristal entendido como agrupacioacuten repetitiva de aacutetomos

La red nos proporciona por tanto la simetriacutea maacutexima que el cristal puede tener pero dicha simetriacutea depende de la simetriacutea propia del motivo La complejidad que el motivo cristalino aacutetomos iones y moleacuteculas aporta a la red cristalina hace que los elementos de simetriacutea del medio cristalino se ampliacuteen Aparece la traslacioacuten que tiene dimensiones submicroscoacutepicas no accesibles a la morfologiacutea macroscoacutepica

Los operadores de simetriacutea que completan la tarea de rellenar el espacio cristalino se consideran cada uno de ellos como una sola y nueva operacioacuten de simetriacutea Estos son los planos de deslizamiento que implican la reflexioacuten asociada a una traslacioacuten y los ejes helicoidales que implican a su vez giro y traslacioacuten

- Plano de deslizamiento

El plano de deslizamiento realiza simultaacuteneamente dos operaciones refleja la imagen o traslada la imagen a intervalos de media traslacioacuten

Cuando la semitraslacioacuten asociada al plano de deslizamiento corresponde a alguna de las direcciones fundamentales del cristal el plano se denomina a b c respectivamente

Cuando la semitraslacioacuten corresponde a la diagonal del plano reflector es decir el plano de deslizamiento se situacutea paralelo a la diagonal entre las filas definidas por a b y c el plano se simboliza por n y las componentes de su traslacioacuten son

a2 + b2 b2 + c2 c2 + a2 y a2 + b2 + c2

Los planos d (aparece en la estructura del diamante) se tratan tambieacuten de planos diagonales Presentan como componentes de traslacioacuten cuartos de la fundamental es decir

a4 plusmn b4 b4 plusmn c4 c4 plusmn a4 y a4 plusmn b4 plusmn c4

El siguiente cuadro sintetiza la notacioacuten y simetriacutea de los planos en los grupos espaciales

Siacutembolo Siacutembolo graacutefico Orientacioacuten y Traslacioacuten

m

perpendicular al papel

paralelo al papel

(100) o (010) ninguna traslacioacuten

(001) ninguna traslacioacuten

a

perpendicular al papel

paralelo al papel

(010) traslacioacuten a2

(001) traslacioacuten a2

b

perpendicular al papel

paralelo al papel

(100) traslacioacuten b2

(001) traslacioacuten b2

c perpendicular al papel

(100) 0 (010) traslacioacuten c2

n

______ perpendicular al papel

paralelo al papel

traslacioacuten (b+c)2 en (100) traslacioacuten (c+a)2 en (010)

traslacioacuten (a+b)2 en (001) traslacioacuten (a+b+c)2 en (110) en sistemas tetragonal o cuacutebico

d

perpendicular al papel

paralelo al papel

traslacioacuten (b+c)4 en (100) traslacioacuten (c+a)4 en (010)

traslacioacuten (a+b)4 en (001) traslacioacuten (a+b+c)4 en (110) en sistemas tetragonal o cuacutebico

- Eje helicoidal

Un eje helicoidal implica similarmente una operacioacuten doble

Un giro el permisible para su orden

Una traslacioacuten constante a lo largo del eje

Como sabemos el orden del eje es el nuacutemero de repeticiones que se necesitan para lograr la identidad implicando una serie de giros sucesivos hasta haber completado su operacioacuten de simetriacutea total

En un eje helicoidal cada uno de estos giros parciales debe asociarse a una parte aliacutecuota de la traslacioacuten total t paralela a la direccioacuten del eje La identidad se logra en la operacioacuten giro cuando se ha aplicado tantas veces el giro permisible como indica el orden del eje

Haciendo el periodo de identidad t coincidente con el giro completo del eje se obtienen los siguientes ejes helicoidales

Siacutembolo Siacutembolo graacutefico Denominacioacuten Giro Traslacioacuten

21 Eje binario helicoidal 180ordm t2

31 Eje ternario helicoidal

derecho120ordm

dextroacutegiro t3

32 Eje ternario helicoidal

izquierdo 120ordm levoacutegiro t3

41 Eje cuaternario helicoidal

derecho90ordm

dextroacutegiro t4

43 Eje cuaternario helicoidal

izquierdo 90ordm levoacutegiro t4

61 Eje senario helicoidal

derecho 60ordmdextroacutegiro t6

65 Eje senario helicoidal

izquierdo 60ordm levoacutegiro t6

Tambieacuten se pueden deducir los ejes helicoidales haciendo que la identidad se alcance para Nn giros siendo N el orden del eje y n un divisor entero de N

N (orden

del eje)

n (divisor entero de N)

Nn (giros)

Siacutembolo Siacutembolo graacutefico Denominacioacuten Giro Traslacioacuten

4 T2 2 42 Eje cuaternario-binario helicoidal 90ordm t2

6 3 2 63

Eje senario-ternario

helicoidal60ordm t2

6 2 3 62

Eje senario-binario helicoidal

derecho

60ordm dextroacutegiro t3

6 2 3 64

Eje senario-binario helicoidal

izquierdo

60ordm levoacutegiro t3

- Los 17 grupos planos En la deduccioacuten de los grupos planos hay que tener en cuenta que es el motivo contenido de la celda definida por unas traslaciones dadas el que muestra la existencia de los elementos de simetriacutea Es decir que las partes del motivo estaacuten relacionadas entre siacute por dichos elementos de simetriacutea (que puede ser simetriacutea con traslacioacuten) que la suma de estas partes constituye la celda y que las celdas implican una meacutetrica dada es decir tiene una forma y unas dimensiones que condicionan una simetriacutea maacutexima

En los grupos planos los haces de elementos de simetriacutea son perpendiculares al plano que se asocia a un tipo de red plana El nuacutemero de estos grupos planos es de 17

- Grupos planos con red oblicua

La simetriacutea maacutexima que permite una red obiacutecua es un haz de ejes binarios Existiraacuten por tanto dos posibilidades

Grupo plano p1 p como indicativo de primitivo y 1 como indicativo de no simetriacutea El dominio complejo coincide con el motivo y por tanto su multiplicidad es 1

Grupo plano p2 p como indicativo de primitivo y 2 como indicativo de eje binario de simetriacutea La multiplicidad del dominio complejo es 2 ya que la simetriacutea genera duplicidad del motivo

- Grupos planos con red rectangular

La simetriacutea maacutexima que permite una red rectangular es dos haces de planos de simetriacutea y un haz de ejes binarios Existiraacuten por tanto diferentes combinaciones

Grupo plano pm p como indicativo de primitivo y m como indicativo del plano de simetriacutea La multiplicidad del dominio complejo es 2 ya que la simetriacutea genera duplicidad del motivo

Grupo plano pg p como indicativo de primitivo y g como indicativo del plano de deslizamiento La multiplicidad del dominio complejo es 2 ya que la simetriacutea genera duplicidad del motivo

Grupo plano pmm (p2mm) p como indicativo de primitivo y dos m como indicativo de planos de simetriacutea mutuamente perpendiculares Los planos de simetriacutea llevan impliacutecitos la aparcicioacuten de ejes binarios La multiplicidad del dominio complejo es 4

Grupo plano pmg (p2mg) p como indicativo de primitivo y planos perpendiculares de tipo distinto (m ordinarios y g de deslizamiento) Esto hace que los ejes de simetriacutea no se encuentren en la interseccioacuten sino desplazados a lo largo del plano de deslizamiento a mitad de la componente desplazamiento El origen de la celda se toma sobre un eje binario La multiplicidad del dominio complejo es 4

Grupo plano pgg(p2gg) p como indicativo de primitivo y dos g de planos perpendiculares de deslizamiento Esto hace que los ejes de simetriacutea no se encuentren en la interseccioacuten sino desplazados a lo largo de cada plano de deslizamiento a mitad de la componente deslizamiento El origen de la celda se toma sobre un eje binario La multiplicidad del dominio complejo es 4

- Grupos planos con red roacutembica o rectangular centrada

Grupo plano cm c como indicativo de la operacioacuten de centrado y m como indicativo del plano de simetriacutea La operacioacuten de centrado lleva impliacutecita la existencia de un plano de deslizamiento La multiplicidad del dominio complejo es 4

Grupo plano cmm (c2mm) c como indicativo de centrado y dos m como indicativo de planos de simetriacutea mutuamente perpendiculares La operacioacuten de centrado lleva impliacutecita la existencia de planos de deslizamiento La multiplicidad del dominio complejo es 4 Los planos de simetriacutea ordinarios y de deslizamiento llevan impliacutecitos la aparcicioacuten de ejes binarios en las intersecciones del mismo tipo de planos no de distintos La multiplicidad del dominio complejo es 8

- Grupos planos con red cuadrada

La simetriacutea maacutexima que permite una red cuadrada es un haz de ejes cuaternarios y sus planos de simetriacutea contenidos en ellos En todos los casos se toma un eje cuaternario como origen de

la celda apareciendo otro eje cuaternario en el centro de la celda Existiraacuten por tanto diferentes combinaciones

Grupo plano p4 p como indicativo de primitivo y 4 como indicativo de eje cuaternario de simetriacutea Los ejes cuaternarios generan la aparcicioacuten de ejes binarios intercalados entre los cuaternarios La multiplicidad del dominio complejo es 4

Grupo plano p4mm p como indicativo de primitivo 4 como indicativo de eje cuaternario de simetriacutea y m como los planos de simetriacutea que contienen a dichos ejes Los ejes cuaternarios generan la aparcicioacuten de ejes binarios intercalados entre los cuaternarios y toda la simetriacutea genera planos de deslizamiento paralelos a las diagonales de la celda La multiplicidad del dominio complejo es 8

Grupo plano p4gm p como indicativo de primitivo 4 como indicativo de eje cuaternario de simetriacutea g como planos de deslizamiento y m como los planos de simetriacutea La multiplicidad del dominio complejo es 8

- Grupos planos con red hexagonal

La simetriacutea maacutexima que permite una red hexagonal es un haz de ejes senarios o ternarios y los planos de simetriacutea que contienen a dichos ejes Existiraacuten por tanto diferentes combinaciones

Grupo plano p3 p como indicativo de primitivo y 3 como indicativo de eje ternario de simetriacutea Los ejes ternarios generan la aparcicioacuten de otros ternarios en el centro de los dos triaacutengulos equilaacuteteros que conforman la celda La multiplicidad del dominio complejo es 3

Grupo plano p3m1 p como indicativo de primitivo 3 como indicativo de eje ternario de simetriacutea y m como plano de simetriacutea en la diagonal mayor del rombo Se genera alternancia de planos de deslizamiento La multiplicidad del dominio complejo es 6

Grupo plano p31m p como indicativo de primitivo 3 como indicativo de eje ternario de simetriacutea y m como plano de simetriacutea en la diagonal menor del rombo Se genera alternancia de planos de deslizamiento La multiplicidad del dominio complejo es 6

Grupo plano p6 p como indicativo de primitivo y 6 como indicativo de eje senario de simetriacutea Se generan ejes ternarios en los centros de los triaacutengulos equilaacuteteros conformadores y ejes binarios en los centros de los lados de dichos triaacutengulos La multiplicidad del dominio complejo es de 6

Grupo plano p6mm p como indicativo de primitivo 6 como indicativo de eje senario de simetriacutea y m de los planos de simetriacutea que los contienen Se generan ejes ternarios en los centros de los triaacutengulos equilaacuteteros conformadores ejes binarios en los centros de los lados de dichos triaacutengulos y planos de deslizamiento alternantes La multiplicidad del dominio complejo es de 12

La tabla que relaciona los grupos puntuales y los grupos planos pone de manifiesto que no todas las combinaciones conducen a nuevos o diferentes grupos puntuales La interaccioacuten de la simetriacutea del motivo con la simetriacutea de las diversas redes planas afecta al contenido de simetriacutea resultante del modelo planar El modelo final muestra la simetriacutea de la red cuando los elementos de simetriacutea del motivo estaacuten alineados con los elementos de simetriacutea correspondiente de la red Si el motivo tiene menos simetriacutea que la red el modelo expresaraacute el menor grado de simetriacutea del motivo con los elementos de simetriacutea de eacuteste alineados con los correspondientes elementos de simetriacutea de la red

Red Grupo puntual Grupo plano

1 p1 Obliacutecua

2 p2 m pm pg

Rectangular mm pmm pmg pgg m cm

Roacutembica mm cmm

4 p4

Cuadrada

4mm p4mm p4gm

3 p3 3m p3m p31m 6 p6

Hexagonal

6mm p6mm

- Grupos espaciales Los grupos espaciales representan las diversas formas en que los motivos pueden distribuirse en el espacio en una estructura homogeacutenea

Los grupos espaciales surgen de la combinacioacuten de los 14 tipos posibles de redes espaciales (redes de Bravais) con la simetriacutea propia de las 32 clases cristalinas o grupos puntuales maacutes la simetriacutea con traslacioacuten

Las caracteriacutesticas de la red se expresan con las letras P A B C F I R de las redes de Bravais que designan el tipo de red general A continuacioacuten se describen en el siacutembolo los elementos de simetriacutea

Ejemplos

P4m2m2m oacute p4mmm

4m2m2m oacute 4mmm Grupo de simetriacutea 4mmm

P Red tetragonal sencilla

P42n2n2m oacute P42nnm

42nnm Grupo isogonal con el 4mmm donde los ejes de rotacioacuten cuaternaria del grupo puntual aparecen como ejes de rotoinversioacuten cuaternaria y helicoidal cuaternario paralelos y alternativos Existen planos de deslizamiento n y de simetriacutea m asiacute como ejes de rotacioacuten binaria con helicoidales binarios intercalados

P Red tetragonal sencilla

Al igual que ocurriacutea en los grupos planos en los grupos espaciales con redes no primitivas la operacioacuten de centrado introduce la simetriacutea con traslacioacuten y sin embargo estos nuevos elementos no se aprecian en los siacutembolos Por ejemplo

C2m

2m Grupo de simetriacutea 2m Sin embargo aparecen debido al centrado ejes helicoidales binarios intercalados con los binarios y planos de deslizamiento intercalados con los planos de simetriacutea

C Red roacutembica centrada de tipo C

Los 230 grupos espaciales vienen descritos en las International Tables for X-ray Crystallography clasificadas seguacuten los grupos puntuales y los sistemas cristalinos

Una composicioacuten de la informacioacuten contenida en estas Tablas se muestra a continuacioacuten para el grupo espacial Cmm2 en el que la C significa una red centrada en las caras separadas por el eje c la primera m representa un plano de simetriacutea perpendicular al eje a la segunda m

representa un plano de simetriacutea perpendicular al eje b y el 2 se refiere al eje binario paralelo al eje c

  • EL ESTADO CRISTALINO
Page 22: Cristalografia Estructural

4m Eje cuaternario + plano de simetriacutea perpendicular a eacutel

6m

orden par + un centro de simetriacutea

(Eje de orden par + centro de simetriacutea=plano de

simetriacutea perpendicular al eje)

Eje senario + plano de simetriacutea perpendicular a eacutel

2mm Eje binario + dos planos de simetriacutea que se cortan en eacutel

3m Eje ternario + tres planos de simetriacutea que se cortan en eacutel

4mm Eje cuaternario + cuatro planos de simetriacutea que se cortan en eacutel

6mm

Clases con un eje + un plano de simetriacutea que

contenga al eje

Eje senario + seis planos de simetriacutea que se cortan en eacutel

42m Eje cuaternario de inversioacuten + dos ejes binarios + dos planos de simetriacutea

43m Tres ejes cuaternarios de inversioacuten + cuatro ejes ternarios + seis planos de simetriacutea

62m

Clases con un eje + dos ejes impropios

Eje senario de inversioacuten (=eje ternario + plano de simetriacutea perpendicular) + tres ejes binarios + tres

planos de simetriacutea

2m2m2m

(mmm)

Tres ejes binarios + tres planos de simetriacutea perpendiculares

32m

(3m)

Un eje ternario + tres ejes binarios + tres planos de simetriacutea perpendiculares + un centro de simetriacutea

4m2m2m

(4mmm)

Un eje cuaternario + un plano de simetriacutea perpendicular + cuatro ejes binarios + cuatro

planos de simetriacutea perpendiculares + centro de simetriacutea

6m2m2m

(6mmm)

Un eje senario + un plano de simetriacutea perpendicular + seis ejes binarios + seis planos de simetriacutea perpendiculares + un centro de simetriacutea

2m3

(m3)

Cuatro ejes ternarios + tres ejes binarios + tres planos de simetriacutea perpendiculares + un centro de

simetriacutea

4m32m

(m3m)

TClases con tres ejes + un centro de

simetriacutea

Tres ejes cuaternarios + tres planos de simetriacutea perpendiculares + cuatro ejes ternarios + seis ejes binarios + seis planos de simetriacutea perpendiculares

+ un centro de simetriacutea

La distribucioacuten sistema cristalino-Redes de Bravais-Grupos puntuales o clases de simetriacutea es la siguiente

Red de Bravais Sistema Grupo puntual

Red Tricliacutenica primitiva P Tricliacutenico 1 1Red monocliacutenica primitiva PRed monocliacutenica centrada en las caras C

Monocliacutenico 2 m 2m

Red roacutembica primitiva PRed roacutembica centrada en las bases CRed roacutembica centrada en el interior IRed roacutembica centrada en las caras F

Roacutembico 222 mm2 mmm

Red tetragonal primitiva P

Red tetragonal centrada en el interior CTetragonal

4 4 4m 4mm 422

42m 4mmm

Red hexagonal primitiva P Hexagonal6 6 6m 6mm 622

62m 6mmm

Red romboeacutedrica primitiva P Romboeacutedrico o Trigonal

3 3 3m 32 3m

Red cuacutebica primitiva PRed cuacutebica centrada en el interior IRed cuacutebica centrada en las caras F

Cuacutebico o Isomeacutetrico23 m3

43m 432 m3m

- Simetriacutea y redes de BravaisLa presencia de elementos de simetriacutea en la red cristalina condiciona a su vez la existencia de ciertas relaciones meacutetricas entre los elementos de la celda elemental las relaciones angulares entre los ejes del cristal o ejes cristalograacuteficos y las intersecciones sobre estos ejes de la cara fundamental (111) Las dimensiones de estas intersecciones son proporcionales a las traslaciones en las tres dimensiones de la red

Por esta razoacuten se han agrupado las redes de Bravais en siete grandes grupos redes tricliacutenicas redes monocliacutenicas redes roacutembicas redes tetragonales redes hexagonales redes romboeacutedricas y redes cuacutebicas Cada uno de estos grupos de redes corresponde a un sistema cuyo nombre es ideacutentico al de las redes correspondientes y posee unas constantes reticulares fijas y una miacutenima simetriacutea caracteriacutestica

Red de Bravais SistemaRed Tricliacutenica primitiva P TricliacutenicoRed monocliacutenica primitiva PRed monocliacutenica centrada en las caras C

Monocliacutenico

Red roacutembica primitiva PRed roacutembica centrada en las bases CRed roacutembica centrada en el interior IRed roacutembica centrada en las caras F

Roacutembico

Red tetragonal primitiva PRed tetragonal centrada en el interior C

Tetragonal

Red hexagonal primitiva P HexagonalRed romboeacutedrica primitiva P Romboeacutedrico o Trigonal Red cuacutebica primitiva PRed cuacutebica centrada en el interior IRed cuacutebica centrada en las caras F

Cuacutebico o Isomeacutetrico

Las constantes reticulares y la miacutenima simetriacutea que caracteriza a cada grupo de redes o sistema cristalino es la siguiente

- Sistema tricliacutenico (abc αszligγ90ordm)

No posee ninguna simetriacutea miacutenima

- Sistema monocliacutenico (abc α=γ=90ordmszliggt90ordm)

Presenta como simetriacutea miacutenima un eje de rotacioacuten binario o un eje de inversioacuten binario (=plano de simetriacutea)

- Sistema roacutembico (abc α=szlig=γ=90ordm)

Como miacutenimo posee tres ejes binarios perpendiculares entre siacute

- Sistema tetragonal (a=bc α=szlig=γ=90ordm)

Posee como caracteriacutestica fundamental un eje de rotacioacuten cuaternario o un eje de inversioacuten cuaternario

- Sistema hexagonal (a=bc α=szlig=90ordm γ=120ordm)

Su caracteriacutestica fundamental es la presencia de un eje de rotacioacuten senario o un eje de inversioacuten senario (eje ternario + plano de simetriacutea perpendicular)

Para mayor precisioacuten generalmente se introduce un cuarto eje i coplanario con a y b que forma un aacutengulo de 120ordm con cada uno de ellos asiacute la cruz axial seraacute (a=b=ic α=szlig=90ordm γ=120ordm)

Iacutendices de Miller hexagonales Como se trabaja con un cuarto iacutendice que se situacutea en el plano a1 a2 y a 120ordm de cada uno de estos ejes los planos hexagonales se van a representar por cuatro iacutendices (hkil) El valor de i se determina como h+k

- Sistema romboeacutedrico o trigonal (a=b=c α=szlig=γ90ordm)

Su caracteriacutestica comuacuten es la presencia de un eje de rotacioacuten ternario o un eje de inversioacuten ternario (eje ternario + centro de simetriacutea)

- Sistema cuacutebico (a=b=c α=szlig=γ=90ordm)

Posee como caracteriacutestica fundamental cuatro ejes de rotacioacuten ternarios inclinados a 10947ordm

NOTA Ademaacutes de las constantes reticulares para definir un sistema cristalino puede utilizarse la relacioacuten parameacutetrica siendo eacutesta la relacioacuten existente entre los moacutedulos de a y c respecto al moacutedulo de b

ab 1 cb

Normalmente se toman estos valores y los aacutengulos para definir la red

14- SIMETRIacuteA CON TRASLACIOacuteN - Elementos de simetriacutea con traslacioacutenLa red cristalina soacutelo tiene sentido como indicadora de la periodicidad que se presenta en el cristal como consecuencia de la repeticioacuten del motivo Debido a ello la simetriacutea que revela por siacute la red no tiene que ser necesariamente la que posea el cristal aunque en general lo sea

Ejemplo La coesita (variedad de la siacutelice de alta presioacuten) tiene una red cuya meacutetrica es roacutembica mientras que la estructura es monocliacutenica ya que el motivo carece de ciertos elementos de simetriacutea que la meacutetrica de la red indicaban

Es faacutecil comprender que debido a que la red es solamente la consecuencia de unas fuerzas cohesivas entre los aacutetomos que forman el cristal fuerzas que obligan a una repeticioacuten monoacutetona de las agrupaciones atoacutemicas la simetriacutea de la red debe estar iacutentimamente relacionada con la del cristal entendido como agrupacioacuten repetitiva de aacutetomos

La red nos proporciona por tanto la simetriacutea maacutexima que el cristal puede tener pero dicha simetriacutea depende de la simetriacutea propia del motivo La complejidad que el motivo cristalino aacutetomos iones y moleacuteculas aporta a la red cristalina hace que los elementos de simetriacutea del medio cristalino se ampliacuteen Aparece la traslacioacuten que tiene dimensiones submicroscoacutepicas no accesibles a la morfologiacutea macroscoacutepica

Los operadores de simetriacutea que completan la tarea de rellenar el espacio cristalino se consideran cada uno de ellos como una sola y nueva operacioacuten de simetriacutea Estos son los planos de deslizamiento que implican la reflexioacuten asociada a una traslacioacuten y los ejes helicoidales que implican a su vez giro y traslacioacuten

- Plano de deslizamiento

El plano de deslizamiento realiza simultaacuteneamente dos operaciones refleja la imagen o traslada la imagen a intervalos de media traslacioacuten

Cuando la semitraslacioacuten asociada al plano de deslizamiento corresponde a alguna de las direcciones fundamentales del cristal el plano se denomina a b c respectivamente

Cuando la semitraslacioacuten corresponde a la diagonal del plano reflector es decir el plano de deslizamiento se situacutea paralelo a la diagonal entre las filas definidas por a b y c el plano se simboliza por n y las componentes de su traslacioacuten son

a2 + b2 b2 + c2 c2 + a2 y a2 + b2 + c2

Los planos d (aparece en la estructura del diamante) se tratan tambieacuten de planos diagonales Presentan como componentes de traslacioacuten cuartos de la fundamental es decir

a4 plusmn b4 b4 plusmn c4 c4 plusmn a4 y a4 plusmn b4 plusmn c4

El siguiente cuadro sintetiza la notacioacuten y simetriacutea de los planos en los grupos espaciales

Siacutembolo Siacutembolo graacutefico Orientacioacuten y Traslacioacuten

m

perpendicular al papel

paralelo al papel

(100) o (010) ninguna traslacioacuten

(001) ninguna traslacioacuten

a

perpendicular al papel

paralelo al papel

(010) traslacioacuten a2

(001) traslacioacuten a2

b

perpendicular al papel

paralelo al papel

(100) traslacioacuten b2

(001) traslacioacuten b2

c perpendicular al papel

(100) 0 (010) traslacioacuten c2

n

______ perpendicular al papel

paralelo al papel

traslacioacuten (b+c)2 en (100) traslacioacuten (c+a)2 en (010)

traslacioacuten (a+b)2 en (001) traslacioacuten (a+b+c)2 en (110) en sistemas tetragonal o cuacutebico

d

perpendicular al papel

paralelo al papel

traslacioacuten (b+c)4 en (100) traslacioacuten (c+a)4 en (010)

traslacioacuten (a+b)4 en (001) traslacioacuten (a+b+c)4 en (110) en sistemas tetragonal o cuacutebico

- Eje helicoidal

Un eje helicoidal implica similarmente una operacioacuten doble

Un giro el permisible para su orden

Una traslacioacuten constante a lo largo del eje

Como sabemos el orden del eje es el nuacutemero de repeticiones que se necesitan para lograr la identidad implicando una serie de giros sucesivos hasta haber completado su operacioacuten de simetriacutea total

En un eje helicoidal cada uno de estos giros parciales debe asociarse a una parte aliacutecuota de la traslacioacuten total t paralela a la direccioacuten del eje La identidad se logra en la operacioacuten giro cuando se ha aplicado tantas veces el giro permisible como indica el orden del eje

Haciendo el periodo de identidad t coincidente con el giro completo del eje se obtienen los siguientes ejes helicoidales

Siacutembolo Siacutembolo graacutefico Denominacioacuten Giro Traslacioacuten

21 Eje binario helicoidal 180ordm t2

31 Eje ternario helicoidal

derecho120ordm

dextroacutegiro t3

32 Eje ternario helicoidal

izquierdo 120ordm levoacutegiro t3

41 Eje cuaternario helicoidal

derecho90ordm

dextroacutegiro t4

43 Eje cuaternario helicoidal

izquierdo 90ordm levoacutegiro t4

61 Eje senario helicoidal

derecho 60ordmdextroacutegiro t6

65 Eje senario helicoidal

izquierdo 60ordm levoacutegiro t6

Tambieacuten se pueden deducir los ejes helicoidales haciendo que la identidad se alcance para Nn giros siendo N el orden del eje y n un divisor entero de N

N (orden

del eje)

n (divisor entero de N)

Nn (giros)

Siacutembolo Siacutembolo graacutefico Denominacioacuten Giro Traslacioacuten

4 T2 2 42 Eje cuaternario-binario helicoidal 90ordm t2

6 3 2 63

Eje senario-ternario

helicoidal60ordm t2

6 2 3 62

Eje senario-binario helicoidal

derecho

60ordm dextroacutegiro t3

6 2 3 64

Eje senario-binario helicoidal

izquierdo

60ordm levoacutegiro t3

- Los 17 grupos planos En la deduccioacuten de los grupos planos hay que tener en cuenta que es el motivo contenido de la celda definida por unas traslaciones dadas el que muestra la existencia de los elementos de simetriacutea Es decir que las partes del motivo estaacuten relacionadas entre siacute por dichos elementos de simetriacutea (que puede ser simetriacutea con traslacioacuten) que la suma de estas partes constituye la celda y que las celdas implican una meacutetrica dada es decir tiene una forma y unas dimensiones que condicionan una simetriacutea maacutexima

En los grupos planos los haces de elementos de simetriacutea son perpendiculares al plano que se asocia a un tipo de red plana El nuacutemero de estos grupos planos es de 17

- Grupos planos con red oblicua

La simetriacutea maacutexima que permite una red obiacutecua es un haz de ejes binarios Existiraacuten por tanto dos posibilidades

Grupo plano p1 p como indicativo de primitivo y 1 como indicativo de no simetriacutea El dominio complejo coincide con el motivo y por tanto su multiplicidad es 1

Grupo plano p2 p como indicativo de primitivo y 2 como indicativo de eje binario de simetriacutea La multiplicidad del dominio complejo es 2 ya que la simetriacutea genera duplicidad del motivo

- Grupos planos con red rectangular

La simetriacutea maacutexima que permite una red rectangular es dos haces de planos de simetriacutea y un haz de ejes binarios Existiraacuten por tanto diferentes combinaciones

Grupo plano pm p como indicativo de primitivo y m como indicativo del plano de simetriacutea La multiplicidad del dominio complejo es 2 ya que la simetriacutea genera duplicidad del motivo

Grupo plano pg p como indicativo de primitivo y g como indicativo del plano de deslizamiento La multiplicidad del dominio complejo es 2 ya que la simetriacutea genera duplicidad del motivo

Grupo plano pmm (p2mm) p como indicativo de primitivo y dos m como indicativo de planos de simetriacutea mutuamente perpendiculares Los planos de simetriacutea llevan impliacutecitos la aparcicioacuten de ejes binarios La multiplicidad del dominio complejo es 4

Grupo plano pmg (p2mg) p como indicativo de primitivo y planos perpendiculares de tipo distinto (m ordinarios y g de deslizamiento) Esto hace que los ejes de simetriacutea no se encuentren en la interseccioacuten sino desplazados a lo largo del plano de deslizamiento a mitad de la componente desplazamiento El origen de la celda se toma sobre un eje binario La multiplicidad del dominio complejo es 4

Grupo plano pgg(p2gg) p como indicativo de primitivo y dos g de planos perpendiculares de deslizamiento Esto hace que los ejes de simetriacutea no se encuentren en la interseccioacuten sino desplazados a lo largo de cada plano de deslizamiento a mitad de la componente deslizamiento El origen de la celda se toma sobre un eje binario La multiplicidad del dominio complejo es 4

- Grupos planos con red roacutembica o rectangular centrada

Grupo plano cm c como indicativo de la operacioacuten de centrado y m como indicativo del plano de simetriacutea La operacioacuten de centrado lleva impliacutecita la existencia de un plano de deslizamiento La multiplicidad del dominio complejo es 4

Grupo plano cmm (c2mm) c como indicativo de centrado y dos m como indicativo de planos de simetriacutea mutuamente perpendiculares La operacioacuten de centrado lleva impliacutecita la existencia de planos de deslizamiento La multiplicidad del dominio complejo es 4 Los planos de simetriacutea ordinarios y de deslizamiento llevan impliacutecitos la aparcicioacuten de ejes binarios en las intersecciones del mismo tipo de planos no de distintos La multiplicidad del dominio complejo es 8

- Grupos planos con red cuadrada

La simetriacutea maacutexima que permite una red cuadrada es un haz de ejes cuaternarios y sus planos de simetriacutea contenidos en ellos En todos los casos se toma un eje cuaternario como origen de

la celda apareciendo otro eje cuaternario en el centro de la celda Existiraacuten por tanto diferentes combinaciones

Grupo plano p4 p como indicativo de primitivo y 4 como indicativo de eje cuaternario de simetriacutea Los ejes cuaternarios generan la aparcicioacuten de ejes binarios intercalados entre los cuaternarios La multiplicidad del dominio complejo es 4

Grupo plano p4mm p como indicativo de primitivo 4 como indicativo de eje cuaternario de simetriacutea y m como los planos de simetriacutea que contienen a dichos ejes Los ejes cuaternarios generan la aparcicioacuten de ejes binarios intercalados entre los cuaternarios y toda la simetriacutea genera planos de deslizamiento paralelos a las diagonales de la celda La multiplicidad del dominio complejo es 8

Grupo plano p4gm p como indicativo de primitivo 4 como indicativo de eje cuaternario de simetriacutea g como planos de deslizamiento y m como los planos de simetriacutea La multiplicidad del dominio complejo es 8

- Grupos planos con red hexagonal

La simetriacutea maacutexima que permite una red hexagonal es un haz de ejes senarios o ternarios y los planos de simetriacutea que contienen a dichos ejes Existiraacuten por tanto diferentes combinaciones

Grupo plano p3 p como indicativo de primitivo y 3 como indicativo de eje ternario de simetriacutea Los ejes ternarios generan la aparcicioacuten de otros ternarios en el centro de los dos triaacutengulos equilaacuteteros que conforman la celda La multiplicidad del dominio complejo es 3

Grupo plano p3m1 p como indicativo de primitivo 3 como indicativo de eje ternario de simetriacutea y m como plano de simetriacutea en la diagonal mayor del rombo Se genera alternancia de planos de deslizamiento La multiplicidad del dominio complejo es 6

Grupo plano p31m p como indicativo de primitivo 3 como indicativo de eje ternario de simetriacutea y m como plano de simetriacutea en la diagonal menor del rombo Se genera alternancia de planos de deslizamiento La multiplicidad del dominio complejo es 6

Grupo plano p6 p como indicativo de primitivo y 6 como indicativo de eje senario de simetriacutea Se generan ejes ternarios en los centros de los triaacutengulos equilaacuteteros conformadores y ejes binarios en los centros de los lados de dichos triaacutengulos La multiplicidad del dominio complejo es de 6

Grupo plano p6mm p como indicativo de primitivo 6 como indicativo de eje senario de simetriacutea y m de los planos de simetriacutea que los contienen Se generan ejes ternarios en los centros de los triaacutengulos equilaacuteteros conformadores ejes binarios en los centros de los lados de dichos triaacutengulos y planos de deslizamiento alternantes La multiplicidad del dominio complejo es de 12

La tabla que relaciona los grupos puntuales y los grupos planos pone de manifiesto que no todas las combinaciones conducen a nuevos o diferentes grupos puntuales La interaccioacuten de la simetriacutea del motivo con la simetriacutea de las diversas redes planas afecta al contenido de simetriacutea resultante del modelo planar El modelo final muestra la simetriacutea de la red cuando los elementos de simetriacutea del motivo estaacuten alineados con los elementos de simetriacutea correspondiente de la red Si el motivo tiene menos simetriacutea que la red el modelo expresaraacute el menor grado de simetriacutea del motivo con los elementos de simetriacutea de eacuteste alineados con los correspondientes elementos de simetriacutea de la red

Red Grupo puntual Grupo plano

1 p1 Obliacutecua

2 p2 m pm pg

Rectangular mm pmm pmg pgg m cm

Roacutembica mm cmm

4 p4

Cuadrada

4mm p4mm p4gm

3 p3 3m p3m p31m 6 p6

Hexagonal

6mm p6mm

- Grupos espaciales Los grupos espaciales representan las diversas formas en que los motivos pueden distribuirse en el espacio en una estructura homogeacutenea

Los grupos espaciales surgen de la combinacioacuten de los 14 tipos posibles de redes espaciales (redes de Bravais) con la simetriacutea propia de las 32 clases cristalinas o grupos puntuales maacutes la simetriacutea con traslacioacuten

Las caracteriacutesticas de la red se expresan con las letras P A B C F I R de las redes de Bravais que designan el tipo de red general A continuacioacuten se describen en el siacutembolo los elementos de simetriacutea

Ejemplos

P4m2m2m oacute p4mmm

4m2m2m oacute 4mmm Grupo de simetriacutea 4mmm

P Red tetragonal sencilla

P42n2n2m oacute P42nnm

42nnm Grupo isogonal con el 4mmm donde los ejes de rotacioacuten cuaternaria del grupo puntual aparecen como ejes de rotoinversioacuten cuaternaria y helicoidal cuaternario paralelos y alternativos Existen planos de deslizamiento n y de simetriacutea m asiacute como ejes de rotacioacuten binaria con helicoidales binarios intercalados

P Red tetragonal sencilla

Al igual que ocurriacutea en los grupos planos en los grupos espaciales con redes no primitivas la operacioacuten de centrado introduce la simetriacutea con traslacioacuten y sin embargo estos nuevos elementos no se aprecian en los siacutembolos Por ejemplo

C2m

2m Grupo de simetriacutea 2m Sin embargo aparecen debido al centrado ejes helicoidales binarios intercalados con los binarios y planos de deslizamiento intercalados con los planos de simetriacutea

C Red roacutembica centrada de tipo C

Los 230 grupos espaciales vienen descritos en las International Tables for X-ray Crystallography clasificadas seguacuten los grupos puntuales y los sistemas cristalinos

Una composicioacuten de la informacioacuten contenida en estas Tablas se muestra a continuacioacuten para el grupo espacial Cmm2 en el que la C significa una red centrada en las caras separadas por el eje c la primera m representa un plano de simetriacutea perpendicular al eje a la segunda m

representa un plano de simetriacutea perpendicular al eje b y el 2 se refiere al eje binario paralelo al eje c

  • EL ESTADO CRISTALINO
Page 23: Cristalografia Estructural

La distribucioacuten sistema cristalino-Redes de Bravais-Grupos puntuales o clases de simetriacutea es la siguiente

Red de Bravais Sistema Grupo puntual

Red Tricliacutenica primitiva P Tricliacutenico 1 1Red monocliacutenica primitiva PRed monocliacutenica centrada en las caras C

Monocliacutenico 2 m 2m

Red roacutembica primitiva PRed roacutembica centrada en las bases CRed roacutembica centrada en el interior IRed roacutembica centrada en las caras F

Roacutembico 222 mm2 mmm

Red tetragonal primitiva P

Red tetragonal centrada en el interior CTetragonal

4 4 4m 4mm 422

42m 4mmm

Red hexagonal primitiva P Hexagonal6 6 6m 6mm 622

62m 6mmm

Red romboeacutedrica primitiva P Romboeacutedrico o Trigonal

3 3 3m 32 3m

Red cuacutebica primitiva PRed cuacutebica centrada en el interior IRed cuacutebica centrada en las caras F

Cuacutebico o Isomeacutetrico23 m3

43m 432 m3m

- Simetriacutea y redes de BravaisLa presencia de elementos de simetriacutea en la red cristalina condiciona a su vez la existencia de ciertas relaciones meacutetricas entre los elementos de la celda elemental las relaciones angulares entre los ejes del cristal o ejes cristalograacuteficos y las intersecciones sobre estos ejes de la cara fundamental (111) Las dimensiones de estas intersecciones son proporcionales a las traslaciones en las tres dimensiones de la red

Por esta razoacuten se han agrupado las redes de Bravais en siete grandes grupos redes tricliacutenicas redes monocliacutenicas redes roacutembicas redes tetragonales redes hexagonales redes romboeacutedricas y redes cuacutebicas Cada uno de estos grupos de redes corresponde a un sistema cuyo nombre es ideacutentico al de las redes correspondientes y posee unas constantes reticulares fijas y una miacutenima simetriacutea caracteriacutestica

Red de Bravais SistemaRed Tricliacutenica primitiva P TricliacutenicoRed monocliacutenica primitiva PRed monocliacutenica centrada en las caras C

Monocliacutenico

Red roacutembica primitiva PRed roacutembica centrada en las bases CRed roacutembica centrada en el interior IRed roacutembica centrada en las caras F

Roacutembico

Red tetragonal primitiva PRed tetragonal centrada en el interior C

Tetragonal

Red hexagonal primitiva P HexagonalRed romboeacutedrica primitiva P Romboeacutedrico o Trigonal Red cuacutebica primitiva PRed cuacutebica centrada en el interior IRed cuacutebica centrada en las caras F

Cuacutebico o Isomeacutetrico

Las constantes reticulares y la miacutenima simetriacutea que caracteriza a cada grupo de redes o sistema cristalino es la siguiente

- Sistema tricliacutenico (abc αszligγ90ordm)

No posee ninguna simetriacutea miacutenima

- Sistema monocliacutenico (abc α=γ=90ordmszliggt90ordm)

Presenta como simetriacutea miacutenima un eje de rotacioacuten binario o un eje de inversioacuten binario (=plano de simetriacutea)

- Sistema roacutembico (abc α=szlig=γ=90ordm)

Como miacutenimo posee tres ejes binarios perpendiculares entre siacute

- Sistema tetragonal (a=bc α=szlig=γ=90ordm)

Posee como caracteriacutestica fundamental un eje de rotacioacuten cuaternario o un eje de inversioacuten cuaternario

- Sistema hexagonal (a=bc α=szlig=90ordm γ=120ordm)

Su caracteriacutestica fundamental es la presencia de un eje de rotacioacuten senario o un eje de inversioacuten senario (eje ternario + plano de simetriacutea perpendicular)

Para mayor precisioacuten generalmente se introduce un cuarto eje i coplanario con a y b que forma un aacutengulo de 120ordm con cada uno de ellos asiacute la cruz axial seraacute (a=b=ic α=szlig=90ordm γ=120ordm)

Iacutendices de Miller hexagonales Como se trabaja con un cuarto iacutendice que se situacutea en el plano a1 a2 y a 120ordm de cada uno de estos ejes los planos hexagonales se van a representar por cuatro iacutendices (hkil) El valor de i se determina como h+k

- Sistema romboeacutedrico o trigonal (a=b=c α=szlig=γ90ordm)

Su caracteriacutestica comuacuten es la presencia de un eje de rotacioacuten ternario o un eje de inversioacuten ternario (eje ternario + centro de simetriacutea)

- Sistema cuacutebico (a=b=c α=szlig=γ=90ordm)

Posee como caracteriacutestica fundamental cuatro ejes de rotacioacuten ternarios inclinados a 10947ordm

NOTA Ademaacutes de las constantes reticulares para definir un sistema cristalino puede utilizarse la relacioacuten parameacutetrica siendo eacutesta la relacioacuten existente entre los moacutedulos de a y c respecto al moacutedulo de b

ab 1 cb

Normalmente se toman estos valores y los aacutengulos para definir la red

14- SIMETRIacuteA CON TRASLACIOacuteN - Elementos de simetriacutea con traslacioacutenLa red cristalina soacutelo tiene sentido como indicadora de la periodicidad que se presenta en el cristal como consecuencia de la repeticioacuten del motivo Debido a ello la simetriacutea que revela por siacute la red no tiene que ser necesariamente la que posea el cristal aunque en general lo sea

Ejemplo La coesita (variedad de la siacutelice de alta presioacuten) tiene una red cuya meacutetrica es roacutembica mientras que la estructura es monocliacutenica ya que el motivo carece de ciertos elementos de simetriacutea que la meacutetrica de la red indicaban

Es faacutecil comprender que debido a que la red es solamente la consecuencia de unas fuerzas cohesivas entre los aacutetomos que forman el cristal fuerzas que obligan a una repeticioacuten monoacutetona de las agrupaciones atoacutemicas la simetriacutea de la red debe estar iacutentimamente relacionada con la del cristal entendido como agrupacioacuten repetitiva de aacutetomos

La red nos proporciona por tanto la simetriacutea maacutexima que el cristal puede tener pero dicha simetriacutea depende de la simetriacutea propia del motivo La complejidad que el motivo cristalino aacutetomos iones y moleacuteculas aporta a la red cristalina hace que los elementos de simetriacutea del medio cristalino se ampliacuteen Aparece la traslacioacuten que tiene dimensiones submicroscoacutepicas no accesibles a la morfologiacutea macroscoacutepica

Los operadores de simetriacutea que completan la tarea de rellenar el espacio cristalino se consideran cada uno de ellos como una sola y nueva operacioacuten de simetriacutea Estos son los planos de deslizamiento que implican la reflexioacuten asociada a una traslacioacuten y los ejes helicoidales que implican a su vez giro y traslacioacuten

- Plano de deslizamiento

El plano de deslizamiento realiza simultaacuteneamente dos operaciones refleja la imagen o traslada la imagen a intervalos de media traslacioacuten

Cuando la semitraslacioacuten asociada al plano de deslizamiento corresponde a alguna de las direcciones fundamentales del cristal el plano se denomina a b c respectivamente

Cuando la semitraslacioacuten corresponde a la diagonal del plano reflector es decir el plano de deslizamiento se situacutea paralelo a la diagonal entre las filas definidas por a b y c el plano se simboliza por n y las componentes de su traslacioacuten son

a2 + b2 b2 + c2 c2 + a2 y a2 + b2 + c2

Los planos d (aparece en la estructura del diamante) se tratan tambieacuten de planos diagonales Presentan como componentes de traslacioacuten cuartos de la fundamental es decir

a4 plusmn b4 b4 plusmn c4 c4 plusmn a4 y a4 plusmn b4 plusmn c4

El siguiente cuadro sintetiza la notacioacuten y simetriacutea de los planos en los grupos espaciales

Siacutembolo Siacutembolo graacutefico Orientacioacuten y Traslacioacuten

m

perpendicular al papel

paralelo al papel

(100) o (010) ninguna traslacioacuten

(001) ninguna traslacioacuten

a

perpendicular al papel

paralelo al papel

(010) traslacioacuten a2

(001) traslacioacuten a2

b

perpendicular al papel

paralelo al papel

(100) traslacioacuten b2

(001) traslacioacuten b2

c perpendicular al papel

(100) 0 (010) traslacioacuten c2

n

______ perpendicular al papel

paralelo al papel

traslacioacuten (b+c)2 en (100) traslacioacuten (c+a)2 en (010)

traslacioacuten (a+b)2 en (001) traslacioacuten (a+b+c)2 en (110) en sistemas tetragonal o cuacutebico

d

perpendicular al papel

paralelo al papel

traslacioacuten (b+c)4 en (100) traslacioacuten (c+a)4 en (010)

traslacioacuten (a+b)4 en (001) traslacioacuten (a+b+c)4 en (110) en sistemas tetragonal o cuacutebico

- Eje helicoidal

Un eje helicoidal implica similarmente una operacioacuten doble

Un giro el permisible para su orden

Una traslacioacuten constante a lo largo del eje

Como sabemos el orden del eje es el nuacutemero de repeticiones que se necesitan para lograr la identidad implicando una serie de giros sucesivos hasta haber completado su operacioacuten de simetriacutea total

En un eje helicoidal cada uno de estos giros parciales debe asociarse a una parte aliacutecuota de la traslacioacuten total t paralela a la direccioacuten del eje La identidad se logra en la operacioacuten giro cuando se ha aplicado tantas veces el giro permisible como indica el orden del eje

Haciendo el periodo de identidad t coincidente con el giro completo del eje se obtienen los siguientes ejes helicoidales

Siacutembolo Siacutembolo graacutefico Denominacioacuten Giro Traslacioacuten

21 Eje binario helicoidal 180ordm t2

31 Eje ternario helicoidal

derecho120ordm

dextroacutegiro t3

32 Eje ternario helicoidal

izquierdo 120ordm levoacutegiro t3

41 Eje cuaternario helicoidal

derecho90ordm

dextroacutegiro t4

43 Eje cuaternario helicoidal

izquierdo 90ordm levoacutegiro t4

61 Eje senario helicoidal

derecho 60ordmdextroacutegiro t6

65 Eje senario helicoidal

izquierdo 60ordm levoacutegiro t6

Tambieacuten se pueden deducir los ejes helicoidales haciendo que la identidad se alcance para Nn giros siendo N el orden del eje y n un divisor entero de N

N (orden

del eje)

n (divisor entero de N)

Nn (giros)

Siacutembolo Siacutembolo graacutefico Denominacioacuten Giro Traslacioacuten

4 T2 2 42 Eje cuaternario-binario helicoidal 90ordm t2

6 3 2 63

Eje senario-ternario

helicoidal60ordm t2

6 2 3 62

Eje senario-binario helicoidal

derecho

60ordm dextroacutegiro t3

6 2 3 64

Eje senario-binario helicoidal

izquierdo

60ordm levoacutegiro t3

- Los 17 grupos planos En la deduccioacuten de los grupos planos hay que tener en cuenta que es el motivo contenido de la celda definida por unas traslaciones dadas el que muestra la existencia de los elementos de simetriacutea Es decir que las partes del motivo estaacuten relacionadas entre siacute por dichos elementos de simetriacutea (que puede ser simetriacutea con traslacioacuten) que la suma de estas partes constituye la celda y que las celdas implican una meacutetrica dada es decir tiene una forma y unas dimensiones que condicionan una simetriacutea maacutexima

En los grupos planos los haces de elementos de simetriacutea son perpendiculares al plano que se asocia a un tipo de red plana El nuacutemero de estos grupos planos es de 17

- Grupos planos con red oblicua

La simetriacutea maacutexima que permite una red obiacutecua es un haz de ejes binarios Existiraacuten por tanto dos posibilidades

Grupo plano p1 p como indicativo de primitivo y 1 como indicativo de no simetriacutea El dominio complejo coincide con el motivo y por tanto su multiplicidad es 1

Grupo plano p2 p como indicativo de primitivo y 2 como indicativo de eje binario de simetriacutea La multiplicidad del dominio complejo es 2 ya que la simetriacutea genera duplicidad del motivo

- Grupos planos con red rectangular

La simetriacutea maacutexima que permite una red rectangular es dos haces de planos de simetriacutea y un haz de ejes binarios Existiraacuten por tanto diferentes combinaciones

Grupo plano pm p como indicativo de primitivo y m como indicativo del plano de simetriacutea La multiplicidad del dominio complejo es 2 ya que la simetriacutea genera duplicidad del motivo

Grupo plano pg p como indicativo de primitivo y g como indicativo del plano de deslizamiento La multiplicidad del dominio complejo es 2 ya que la simetriacutea genera duplicidad del motivo

Grupo plano pmm (p2mm) p como indicativo de primitivo y dos m como indicativo de planos de simetriacutea mutuamente perpendiculares Los planos de simetriacutea llevan impliacutecitos la aparcicioacuten de ejes binarios La multiplicidad del dominio complejo es 4

Grupo plano pmg (p2mg) p como indicativo de primitivo y planos perpendiculares de tipo distinto (m ordinarios y g de deslizamiento) Esto hace que los ejes de simetriacutea no se encuentren en la interseccioacuten sino desplazados a lo largo del plano de deslizamiento a mitad de la componente desplazamiento El origen de la celda se toma sobre un eje binario La multiplicidad del dominio complejo es 4

Grupo plano pgg(p2gg) p como indicativo de primitivo y dos g de planos perpendiculares de deslizamiento Esto hace que los ejes de simetriacutea no se encuentren en la interseccioacuten sino desplazados a lo largo de cada plano de deslizamiento a mitad de la componente deslizamiento El origen de la celda se toma sobre un eje binario La multiplicidad del dominio complejo es 4

- Grupos planos con red roacutembica o rectangular centrada

Grupo plano cm c como indicativo de la operacioacuten de centrado y m como indicativo del plano de simetriacutea La operacioacuten de centrado lleva impliacutecita la existencia de un plano de deslizamiento La multiplicidad del dominio complejo es 4

Grupo plano cmm (c2mm) c como indicativo de centrado y dos m como indicativo de planos de simetriacutea mutuamente perpendiculares La operacioacuten de centrado lleva impliacutecita la existencia de planos de deslizamiento La multiplicidad del dominio complejo es 4 Los planos de simetriacutea ordinarios y de deslizamiento llevan impliacutecitos la aparcicioacuten de ejes binarios en las intersecciones del mismo tipo de planos no de distintos La multiplicidad del dominio complejo es 8

- Grupos planos con red cuadrada

La simetriacutea maacutexima que permite una red cuadrada es un haz de ejes cuaternarios y sus planos de simetriacutea contenidos en ellos En todos los casos se toma un eje cuaternario como origen de

la celda apareciendo otro eje cuaternario en el centro de la celda Existiraacuten por tanto diferentes combinaciones

Grupo plano p4 p como indicativo de primitivo y 4 como indicativo de eje cuaternario de simetriacutea Los ejes cuaternarios generan la aparcicioacuten de ejes binarios intercalados entre los cuaternarios La multiplicidad del dominio complejo es 4

Grupo plano p4mm p como indicativo de primitivo 4 como indicativo de eje cuaternario de simetriacutea y m como los planos de simetriacutea que contienen a dichos ejes Los ejes cuaternarios generan la aparcicioacuten de ejes binarios intercalados entre los cuaternarios y toda la simetriacutea genera planos de deslizamiento paralelos a las diagonales de la celda La multiplicidad del dominio complejo es 8

Grupo plano p4gm p como indicativo de primitivo 4 como indicativo de eje cuaternario de simetriacutea g como planos de deslizamiento y m como los planos de simetriacutea La multiplicidad del dominio complejo es 8

- Grupos planos con red hexagonal

La simetriacutea maacutexima que permite una red hexagonal es un haz de ejes senarios o ternarios y los planos de simetriacutea que contienen a dichos ejes Existiraacuten por tanto diferentes combinaciones

Grupo plano p3 p como indicativo de primitivo y 3 como indicativo de eje ternario de simetriacutea Los ejes ternarios generan la aparcicioacuten de otros ternarios en el centro de los dos triaacutengulos equilaacuteteros que conforman la celda La multiplicidad del dominio complejo es 3

Grupo plano p3m1 p como indicativo de primitivo 3 como indicativo de eje ternario de simetriacutea y m como plano de simetriacutea en la diagonal mayor del rombo Se genera alternancia de planos de deslizamiento La multiplicidad del dominio complejo es 6

Grupo plano p31m p como indicativo de primitivo 3 como indicativo de eje ternario de simetriacutea y m como plano de simetriacutea en la diagonal menor del rombo Se genera alternancia de planos de deslizamiento La multiplicidad del dominio complejo es 6

Grupo plano p6 p como indicativo de primitivo y 6 como indicativo de eje senario de simetriacutea Se generan ejes ternarios en los centros de los triaacutengulos equilaacuteteros conformadores y ejes binarios en los centros de los lados de dichos triaacutengulos La multiplicidad del dominio complejo es de 6

Grupo plano p6mm p como indicativo de primitivo 6 como indicativo de eje senario de simetriacutea y m de los planos de simetriacutea que los contienen Se generan ejes ternarios en los centros de los triaacutengulos equilaacuteteros conformadores ejes binarios en los centros de los lados de dichos triaacutengulos y planos de deslizamiento alternantes La multiplicidad del dominio complejo es de 12

La tabla que relaciona los grupos puntuales y los grupos planos pone de manifiesto que no todas las combinaciones conducen a nuevos o diferentes grupos puntuales La interaccioacuten de la simetriacutea del motivo con la simetriacutea de las diversas redes planas afecta al contenido de simetriacutea resultante del modelo planar El modelo final muestra la simetriacutea de la red cuando los elementos de simetriacutea del motivo estaacuten alineados con los elementos de simetriacutea correspondiente de la red Si el motivo tiene menos simetriacutea que la red el modelo expresaraacute el menor grado de simetriacutea del motivo con los elementos de simetriacutea de eacuteste alineados con los correspondientes elementos de simetriacutea de la red

Red Grupo puntual Grupo plano

1 p1 Obliacutecua

2 p2 m pm pg

Rectangular mm pmm pmg pgg m cm

Roacutembica mm cmm

4 p4

Cuadrada

4mm p4mm p4gm

3 p3 3m p3m p31m 6 p6

Hexagonal

6mm p6mm

- Grupos espaciales Los grupos espaciales representan las diversas formas en que los motivos pueden distribuirse en el espacio en una estructura homogeacutenea

Los grupos espaciales surgen de la combinacioacuten de los 14 tipos posibles de redes espaciales (redes de Bravais) con la simetriacutea propia de las 32 clases cristalinas o grupos puntuales maacutes la simetriacutea con traslacioacuten

Las caracteriacutesticas de la red se expresan con las letras P A B C F I R de las redes de Bravais que designan el tipo de red general A continuacioacuten se describen en el siacutembolo los elementos de simetriacutea

Ejemplos

P4m2m2m oacute p4mmm

4m2m2m oacute 4mmm Grupo de simetriacutea 4mmm

P Red tetragonal sencilla

P42n2n2m oacute P42nnm

42nnm Grupo isogonal con el 4mmm donde los ejes de rotacioacuten cuaternaria del grupo puntual aparecen como ejes de rotoinversioacuten cuaternaria y helicoidal cuaternario paralelos y alternativos Existen planos de deslizamiento n y de simetriacutea m asiacute como ejes de rotacioacuten binaria con helicoidales binarios intercalados

P Red tetragonal sencilla

Al igual que ocurriacutea en los grupos planos en los grupos espaciales con redes no primitivas la operacioacuten de centrado introduce la simetriacutea con traslacioacuten y sin embargo estos nuevos elementos no se aprecian en los siacutembolos Por ejemplo

C2m

2m Grupo de simetriacutea 2m Sin embargo aparecen debido al centrado ejes helicoidales binarios intercalados con los binarios y planos de deslizamiento intercalados con los planos de simetriacutea

C Red roacutembica centrada de tipo C

Los 230 grupos espaciales vienen descritos en las International Tables for X-ray Crystallography clasificadas seguacuten los grupos puntuales y los sistemas cristalinos

Una composicioacuten de la informacioacuten contenida en estas Tablas se muestra a continuacioacuten para el grupo espacial Cmm2 en el que la C significa una red centrada en las caras separadas por el eje c la primera m representa un plano de simetriacutea perpendicular al eje a la segunda m

representa un plano de simetriacutea perpendicular al eje b y el 2 se refiere al eje binario paralelo al eje c

  • EL ESTADO CRISTALINO
Page 24: Cristalografia Estructural

- Simetriacutea y redes de BravaisLa presencia de elementos de simetriacutea en la red cristalina condiciona a su vez la existencia de ciertas relaciones meacutetricas entre los elementos de la celda elemental las relaciones angulares entre los ejes del cristal o ejes cristalograacuteficos y las intersecciones sobre estos ejes de la cara fundamental (111) Las dimensiones de estas intersecciones son proporcionales a las traslaciones en las tres dimensiones de la red

Por esta razoacuten se han agrupado las redes de Bravais en siete grandes grupos redes tricliacutenicas redes monocliacutenicas redes roacutembicas redes tetragonales redes hexagonales redes romboeacutedricas y redes cuacutebicas Cada uno de estos grupos de redes corresponde a un sistema cuyo nombre es ideacutentico al de las redes correspondientes y posee unas constantes reticulares fijas y una miacutenima simetriacutea caracteriacutestica

Red de Bravais SistemaRed Tricliacutenica primitiva P TricliacutenicoRed monocliacutenica primitiva PRed monocliacutenica centrada en las caras C

Monocliacutenico

Red roacutembica primitiva PRed roacutembica centrada en las bases CRed roacutembica centrada en el interior IRed roacutembica centrada en las caras F

Roacutembico

Red tetragonal primitiva PRed tetragonal centrada en el interior C

Tetragonal

Red hexagonal primitiva P HexagonalRed romboeacutedrica primitiva P Romboeacutedrico o Trigonal Red cuacutebica primitiva PRed cuacutebica centrada en el interior IRed cuacutebica centrada en las caras F

Cuacutebico o Isomeacutetrico

Las constantes reticulares y la miacutenima simetriacutea que caracteriza a cada grupo de redes o sistema cristalino es la siguiente

- Sistema tricliacutenico (abc αszligγ90ordm)

No posee ninguna simetriacutea miacutenima

- Sistema monocliacutenico (abc α=γ=90ordmszliggt90ordm)

Presenta como simetriacutea miacutenima un eje de rotacioacuten binario o un eje de inversioacuten binario (=plano de simetriacutea)

- Sistema roacutembico (abc α=szlig=γ=90ordm)

Como miacutenimo posee tres ejes binarios perpendiculares entre siacute

- Sistema tetragonal (a=bc α=szlig=γ=90ordm)

Posee como caracteriacutestica fundamental un eje de rotacioacuten cuaternario o un eje de inversioacuten cuaternario

- Sistema hexagonal (a=bc α=szlig=90ordm γ=120ordm)

Su caracteriacutestica fundamental es la presencia de un eje de rotacioacuten senario o un eje de inversioacuten senario (eje ternario + plano de simetriacutea perpendicular)

Para mayor precisioacuten generalmente se introduce un cuarto eje i coplanario con a y b que forma un aacutengulo de 120ordm con cada uno de ellos asiacute la cruz axial seraacute (a=b=ic α=szlig=90ordm γ=120ordm)

Iacutendices de Miller hexagonales Como se trabaja con un cuarto iacutendice que se situacutea en el plano a1 a2 y a 120ordm de cada uno de estos ejes los planos hexagonales se van a representar por cuatro iacutendices (hkil) El valor de i se determina como h+k

- Sistema romboeacutedrico o trigonal (a=b=c α=szlig=γ90ordm)

Su caracteriacutestica comuacuten es la presencia de un eje de rotacioacuten ternario o un eje de inversioacuten ternario (eje ternario + centro de simetriacutea)

- Sistema cuacutebico (a=b=c α=szlig=γ=90ordm)

Posee como caracteriacutestica fundamental cuatro ejes de rotacioacuten ternarios inclinados a 10947ordm

NOTA Ademaacutes de las constantes reticulares para definir un sistema cristalino puede utilizarse la relacioacuten parameacutetrica siendo eacutesta la relacioacuten existente entre los moacutedulos de a y c respecto al moacutedulo de b

ab 1 cb

Normalmente se toman estos valores y los aacutengulos para definir la red

14- SIMETRIacuteA CON TRASLACIOacuteN - Elementos de simetriacutea con traslacioacutenLa red cristalina soacutelo tiene sentido como indicadora de la periodicidad que se presenta en el cristal como consecuencia de la repeticioacuten del motivo Debido a ello la simetriacutea que revela por siacute la red no tiene que ser necesariamente la que posea el cristal aunque en general lo sea

Ejemplo La coesita (variedad de la siacutelice de alta presioacuten) tiene una red cuya meacutetrica es roacutembica mientras que la estructura es monocliacutenica ya que el motivo carece de ciertos elementos de simetriacutea que la meacutetrica de la red indicaban

Es faacutecil comprender que debido a que la red es solamente la consecuencia de unas fuerzas cohesivas entre los aacutetomos que forman el cristal fuerzas que obligan a una repeticioacuten monoacutetona de las agrupaciones atoacutemicas la simetriacutea de la red debe estar iacutentimamente relacionada con la del cristal entendido como agrupacioacuten repetitiva de aacutetomos

La red nos proporciona por tanto la simetriacutea maacutexima que el cristal puede tener pero dicha simetriacutea depende de la simetriacutea propia del motivo La complejidad que el motivo cristalino aacutetomos iones y moleacuteculas aporta a la red cristalina hace que los elementos de simetriacutea del medio cristalino se ampliacuteen Aparece la traslacioacuten que tiene dimensiones submicroscoacutepicas no accesibles a la morfologiacutea macroscoacutepica

Los operadores de simetriacutea que completan la tarea de rellenar el espacio cristalino se consideran cada uno de ellos como una sola y nueva operacioacuten de simetriacutea Estos son los planos de deslizamiento que implican la reflexioacuten asociada a una traslacioacuten y los ejes helicoidales que implican a su vez giro y traslacioacuten

- Plano de deslizamiento

El plano de deslizamiento realiza simultaacuteneamente dos operaciones refleja la imagen o traslada la imagen a intervalos de media traslacioacuten

Cuando la semitraslacioacuten asociada al plano de deslizamiento corresponde a alguna de las direcciones fundamentales del cristal el plano se denomina a b c respectivamente

Cuando la semitraslacioacuten corresponde a la diagonal del plano reflector es decir el plano de deslizamiento se situacutea paralelo a la diagonal entre las filas definidas por a b y c el plano se simboliza por n y las componentes de su traslacioacuten son

a2 + b2 b2 + c2 c2 + a2 y a2 + b2 + c2

Los planos d (aparece en la estructura del diamante) se tratan tambieacuten de planos diagonales Presentan como componentes de traslacioacuten cuartos de la fundamental es decir

a4 plusmn b4 b4 plusmn c4 c4 plusmn a4 y a4 plusmn b4 plusmn c4

El siguiente cuadro sintetiza la notacioacuten y simetriacutea de los planos en los grupos espaciales

Siacutembolo Siacutembolo graacutefico Orientacioacuten y Traslacioacuten

m

perpendicular al papel

paralelo al papel

(100) o (010) ninguna traslacioacuten

(001) ninguna traslacioacuten

a

perpendicular al papel

paralelo al papel

(010) traslacioacuten a2

(001) traslacioacuten a2

b

perpendicular al papel

paralelo al papel

(100) traslacioacuten b2

(001) traslacioacuten b2

c perpendicular al papel

(100) 0 (010) traslacioacuten c2

n

______ perpendicular al papel

paralelo al papel

traslacioacuten (b+c)2 en (100) traslacioacuten (c+a)2 en (010)

traslacioacuten (a+b)2 en (001) traslacioacuten (a+b+c)2 en (110) en sistemas tetragonal o cuacutebico

d

perpendicular al papel

paralelo al papel

traslacioacuten (b+c)4 en (100) traslacioacuten (c+a)4 en (010)

traslacioacuten (a+b)4 en (001) traslacioacuten (a+b+c)4 en (110) en sistemas tetragonal o cuacutebico

- Eje helicoidal

Un eje helicoidal implica similarmente una operacioacuten doble

Un giro el permisible para su orden

Una traslacioacuten constante a lo largo del eje

Como sabemos el orden del eje es el nuacutemero de repeticiones que se necesitan para lograr la identidad implicando una serie de giros sucesivos hasta haber completado su operacioacuten de simetriacutea total

En un eje helicoidal cada uno de estos giros parciales debe asociarse a una parte aliacutecuota de la traslacioacuten total t paralela a la direccioacuten del eje La identidad se logra en la operacioacuten giro cuando se ha aplicado tantas veces el giro permisible como indica el orden del eje

Haciendo el periodo de identidad t coincidente con el giro completo del eje se obtienen los siguientes ejes helicoidales

Siacutembolo Siacutembolo graacutefico Denominacioacuten Giro Traslacioacuten

21 Eje binario helicoidal 180ordm t2

31 Eje ternario helicoidal

derecho120ordm

dextroacutegiro t3

32 Eje ternario helicoidal

izquierdo 120ordm levoacutegiro t3

41 Eje cuaternario helicoidal

derecho90ordm

dextroacutegiro t4

43 Eje cuaternario helicoidal

izquierdo 90ordm levoacutegiro t4

61 Eje senario helicoidal

derecho 60ordmdextroacutegiro t6

65 Eje senario helicoidal

izquierdo 60ordm levoacutegiro t6

Tambieacuten se pueden deducir los ejes helicoidales haciendo que la identidad se alcance para Nn giros siendo N el orden del eje y n un divisor entero de N

N (orden

del eje)

n (divisor entero de N)

Nn (giros)

Siacutembolo Siacutembolo graacutefico Denominacioacuten Giro Traslacioacuten

4 T2 2 42 Eje cuaternario-binario helicoidal 90ordm t2

6 3 2 63

Eje senario-ternario

helicoidal60ordm t2

6 2 3 62

Eje senario-binario helicoidal

derecho

60ordm dextroacutegiro t3

6 2 3 64

Eje senario-binario helicoidal

izquierdo

60ordm levoacutegiro t3

- Los 17 grupos planos En la deduccioacuten de los grupos planos hay que tener en cuenta que es el motivo contenido de la celda definida por unas traslaciones dadas el que muestra la existencia de los elementos de simetriacutea Es decir que las partes del motivo estaacuten relacionadas entre siacute por dichos elementos de simetriacutea (que puede ser simetriacutea con traslacioacuten) que la suma de estas partes constituye la celda y que las celdas implican una meacutetrica dada es decir tiene una forma y unas dimensiones que condicionan una simetriacutea maacutexima

En los grupos planos los haces de elementos de simetriacutea son perpendiculares al plano que se asocia a un tipo de red plana El nuacutemero de estos grupos planos es de 17

- Grupos planos con red oblicua

La simetriacutea maacutexima que permite una red obiacutecua es un haz de ejes binarios Existiraacuten por tanto dos posibilidades

Grupo plano p1 p como indicativo de primitivo y 1 como indicativo de no simetriacutea El dominio complejo coincide con el motivo y por tanto su multiplicidad es 1

Grupo plano p2 p como indicativo de primitivo y 2 como indicativo de eje binario de simetriacutea La multiplicidad del dominio complejo es 2 ya que la simetriacutea genera duplicidad del motivo

- Grupos planos con red rectangular

La simetriacutea maacutexima que permite una red rectangular es dos haces de planos de simetriacutea y un haz de ejes binarios Existiraacuten por tanto diferentes combinaciones

Grupo plano pm p como indicativo de primitivo y m como indicativo del plano de simetriacutea La multiplicidad del dominio complejo es 2 ya que la simetriacutea genera duplicidad del motivo

Grupo plano pg p como indicativo de primitivo y g como indicativo del plano de deslizamiento La multiplicidad del dominio complejo es 2 ya que la simetriacutea genera duplicidad del motivo

Grupo plano pmm (p2mm) p como indicativo de primitivo y dos m como indicativo de planos de simetriacutea mutuamente perpendiculares Los planos de simetriacutea llevan impliacutecitos la aparcicioacuten de ejes binarios La multiplicidad del dominio complejo es 4

Grupo plano pmg (p2mg) p como indicativo de primitivo y planos perpendiculares de tipo distinto (m ordinarios y g de deslizamiento) Esto hace que los ejes de simetriacutea no se encuentren en la interseccioacuten sino desplazados a lo largo del plano de deslizamiento a mitad de la componente desplazamiento El origen de la celda se toma sobre un eje binario La multiplicidad del dominio complejo es 4

Grupo plano pgg(p2gg) p como indicativo de primitivo y dos g de planos perpendiculares de deslizamiento Esto hace que los ejes de simetriacutea no se encuentren en la interseccioacuten sino desplazados a lo largo de cada plano de deslizamiento a mitad de la componente deslizamiento El origen de la celda se toma sobre un eje binario La multiplicidad del dominio complejo es 4

- Grupos planos con red roacutembica o rectangular centrada

Grupo plano cm c como indicativo de la operacioacuten de centrado y m como indicativo del plano de simetriacutea La operacioacuten de centrado lleva impliacutecita la existencia de un plano de deslizamiento La multiplicidad del dominio complejo es 4

Grupo plano cmm (c2mm) c como indicativo de centrado y dos m como indicativo de planos de simetriacutea mutuamente perpendiculares La operacioacuten de centrado lleva impliacutecita la existencia de planos de deslizamiento La multiplicidad del dominio complejo es 4 Los planos de simetriacutea ordinarios y de deslizamiento llevan impliacutecitos la aparcicioacuten de ejes binarios en las intersecciones del mismo tipo de planos no de distintos La multiplicidad del dominio complejo es 8

- Grupos planos con red cuadrada

La simetriacutea maacutexima que permite una red cuadrada es un haz de ejes cuaternarios y sus planos de simetriacutea contenidos en ellos En todos los casos se toma un eje cuaternario como origen de

la celda apareciendo otro eje cuaternario en el centro de la celda Existiraacuten por tanto diferentes combinaciones

Grupo plano p4 p como indicativo de primitivo y 4 como indicativo de eje cuaternario de simetriacutea Los ejes cuaternarios generan la aparcicioacuten de ejes binarios intercalados entre los cuaternarios La multiplicidad del dominio complejo es 4

Grupo plano p4mm p como indicativo de primitivo 4 como indicativo de eje cuaternario de simetriacutea y m como los planos de simetriacutea que contienen a dichos ejes Los ejes cuaternarios generan la aparcicioacuten de ejes binarios intercalados entre los cuaternarios y toda la simetriacutea genera planos de deslizamiento paralelos a las diagonales de la celda La multiplicidad del dominio complejo es 8

Grupo plano p4gm p como indicativo de primitivo 4 como indicativo de eje cuaternario de simetriacutea g como planos de deslizamiento y m como los planos de simetriacutea La multiplicidad del dominio complejo es 8

- Grupos planos con red hexagonal

La simetriacutea maacutexima que permite una red hexagonal es un haz de ejes senarios o ternarios y los planos de simetriacutea que contienen a dichos ejes Existiraacuten por tanto diferentes combinaciones

Grupo plano p3 p como indicativo de primitivo y 3 como indicativo de eje ternario de simetriacutea Los ejes ternarios generan la aparcicioacuten de otros ternarios en el centro de los dos triaacutengulos equilaacuteteros que conforman la celda La multiplicidad del dominio complejo es 3

Grupo plano p3m1 p como indicativo de primitivo 3 como indicativo de eje ternario de simetriacutea y m como plano de simetriacutea en la diagonal mayor del rombo Se genera alternancia de planos de deslizamiento La multiplicidad del dominio complejo es 6

Grupo plano p31m p como indicativo de primitivo 3 como indicativo de eje ternario de simetriacutea y m como plano de simetriacutea en la diagonal menor del rombo Se genera alternancia de planos de deslizamiento La multiplicidad del dominio complejo es 6

Grupo plano p6 p como indicativo de primitivo y 6 como indicativo de eje senario de simetriacutea Se generan ejes ternarios en los centros de los triaacutengulos equilaacuteteros conformadores y ejes binarios en los centros de los lados de dichos triaacutengulos La multiplicidad del dominio complejo es de 6

Grupo plano p6mm p como indicativo de primitivo 6 como indicativo de eje senario de simetriacutea y m de los planos de simetriacutea que los contienen Se generan ejes ternarios en los centros de los triaacutengulos equilaacuteteros conformadores ejes binarios en los centros de los lados de dichos triaacutengulos y planos de deslizamiento alternantes La multiplicidad del dominio complejo es de 12

La tabla que relaciona los grupos puntuales y los grupos planos pone de manifiesto que no todas las combinaciones conducen a nuevos o diferentes grupos puntuales La interaccioacuten de la simetriacutea del motivo con la simetriacutea de las diversas redes planas afecta al contenido de simetriacutea resultante del modelo planar El modelo final muestra la simetriacutea de la red cuando los elementos de simetriacutea del motivo estaacuten alineados con los elementos de simetriacutea correspondiente de la red Si el motivo tiene menos simetriacutea que la red el modelo expresaraacute el menor grado de simetriacutea del motivo con los elementos de simetriacutea de eacuteste alineados con los correspondientes elementos de simetriacutea de la red

Red Grupo puntual Grupo plano

1 p1 Obliacutecua

2 p2 m pm pg

Rectangular mm pmm pmg pgg m cm

Roacutembica mm cmm

4 p4

Cuadrada

4mm p4mm p4gm

3 p3 3m p3m p31m 6 p6

Hexagonal

6mm p6mm

- Grupos espaciales Los grupos espaciales representan las diversas formas en que los motivos pueden distribuirse en el espacio en una estructura homogeacutenea

Los grupos espaciales surgen de la combinacioacuten de los 14 tipos posibles de redes espaciales (redes de Bravais) con la simetriacutea propia de las 32 clases cristalinas o grupos puntuales maacutes la simetriacutea con traslacioacuten

Las caracteriacutesticas de la red se expresan con las letras P A B C F I R de las redes de Bravais que designan el tipo de red general A continuacioacuten se describen en el siacutembolo los elementos de simetriacutea

Ejemplos

P4m2m2m oacute p4mmm

4m2m2m oacute 4mmm Grupo de simetriacutea 4mmm

P Red tetragonal sencilla

P42n2n2m oacute P42nnm

42nnm Grupo isogonal con el 4mmm donde los ejes de rotacioacuten cuaternaria del grupo puntual aparecen como ejes de rotoinversioacuten cuaternaria y helicoidal cuaternario paralelos y alternativos Existen planos de deslizamiento n y de simetriacutea m asiacute como ejes de rotacioacuten binaria con helicoidales binarios intercalados

P Red tetragonal sencilla

Al igual que ocurriacutea en los grupos planos en los grupos espaciales con redes no primitivas la operacioacuten de centrado introduce la simetriacutea con traslacioacuten y sin embargo estos nuevos elementos no se aprecian en los siacutembolos Por ejemplo

C2m

2m Grupo de simetriacutea 2m Sin embargo aparecen debido al centrado ejes helicoidales binarios intercalados con los binarios y planos de deslizamiento intercalados con los planos de simetriacutea

C Red roacutembica centrada de tipo C

Los 230 grupos espaciales vienen descritos en las International Tables for X-ray Crystallography clasificadas seguacuten los grupos puntuales y los sistemas cristalinos

Una composicioacuten de la informacioacuten contenida en estas Tablas se muestra a continuacioacuten para el grupo espacial Cmm2 en el que la C significa una red centrada en las caras separadas por el eje c la primera m representa un plano de simetriacutea perpendicular al eje a la segunda m

representa un plano de simetriacutea perpendicular al eje b y el 2 se refiere al eje binario paralelo al eje c

  • EL ESTADO CRISTALINO
Page 25: Cristalografia Estructural

Como miacutenimo posee tres ejes binarios perpendiculares entre siacute

- Sistema tetragonal (a=bc α=szlig=γ=90ordm)

Posee como caracteriacutestica fundamental un eje de rotacioacuten cuaternario o un eje de inversioacuten cuaternario

- Sistema hexagonal (a=bc α=szlig=90ordm γ=120ordm)

Su caracteriacutestica fundamental es la presencia de un eje de rotacioacuten senario o un eje de inversioacuten senario (eje ternario + plano de simetriacutea perpendicular)

Para mayor precisioacuten generalmente se introduce un cuarto eje i coplanario con a y b que forma un aacutengulo de 120ordm con cada uno de ellos asiacute la cruz axial seraacute (a=b=ic α=szlig=90ordm γ=120ordm)

Iacutendices de Miller hexagonales Como se trabaja con un cuarto iacutendice que se situacutea en el plano a1 a2 y a 120ordm de cada uno de estos ejes los planos hexagonales se van a representar por cuatro iacutendices (hkil) El valor de i se determina como h+k

- Sistema romboeacutedrico o trigonal (a=b=c α=szlig=γ90ordm)

Su caracteriacutestica comuacuten es la presencia de un eje de rotacioacuten ternario o un eje de inversioacuten ternario (eje ternario + centro de simetriacutea)

- Sistema cuacutebico (a=b=c α=szlig=γ=90ordm)

Posee como caracteriacutestica fundamental cuatro ejes de rotacioacuten ternarios inclinados a 10947ordm

NOTA Ademaacutes de las constantes reticulares para definir un sistema cristalino puede utilizarse la relacioacuten parameacutetrica siendo eacutesta la relacioacuten existente entre los moacutedulos de a y c respecto al moacutedulo de b

ab 1 cb

Normalmente se toman estos valores y los aacutengulos para definir la red

14- SIMETRIacuteA CON TRASLACIOacuteN - Elementos de simetriacutea con traslacioacutenLa red cristalina soacutelo tiene sentido como indicadora de la periodicidad que se presenta en el cristal como consecuencia de la repeticioacuten del motivo Debido a ello la simetriacutea que revela por siacute la red no tiene que ser necesariamente la que posea el cristal aunque en general lo sea

Ejemplo La coesita (variedad de la siacutelice de alta presioacuten) tiene una red cuya meacutetrica es roacutembica mientras que la estructura es monocliacutenica ya que el motivo carece de ciertos elementos de simetriacutea que la meacutetrica de la red indicaban

Es faacutecil comprender que debido a que la red es solamente la consecuencia de unas fuerzas cohesivas entre los aacutetomos que forman el cristal fuerzas que obligan a una repeticioacuten monoacutetona de las agrupaciones atoacutemicas la simetriacutea de la red debe estar iacutentimamente relacionada con la del cristal entendido como agrupacioacuten repetitiva de aacutetomos

La red nos proporciona por tanto la simetriacutea maacutexima que el cristal puede tener pero dicha simetriacutea depende de la simetriacutea propia del motivo La complejidad que el motivo cristalino aacutetomos iones y moleacuteculas aporta a la red cristalina hace que los elementos de simetriacutea del medio cristalino se ampliacuteen Aparece la traslacioacuten que tiene dimensiones submicroscoacutepicas no accesibles a la morfologiacutea macroscoacutepica

Los operadores de simetriacutea que completan la tarea de rellenar el espacio cristalino se consideran cada uno de ellos como una sola y nueva operacioacuten de simetriacutea Estos son los planos de deslizamiento que implican la reflexioacuten asociada a una traslacioacuten y los ejes helicoidales que implican a su vez giro y traslacioacuten

- Plano de deslizamiento

El plano de deslizamiento realiza simultaacuteneamente dos operaciones refleja la imagen o traslada la imagen a intervalos de media traslacioacuten

Cuando la semitraslacioacuten asociada al plano de deslizamiento corresponde a alguna de las direcciones fundamentales del cristal el plano se denomina a b c respectivamente

Cuando la semitraslacioacuten corresponde a la diagonal del plano reflector es decir el plano de deslizamiento se situacutea paralelo a la diagonal entre las filas definidas por a b y c el plano se simboliza por n y las componentes de su traslacioacuten son

a2 + b2 b2 + c2 c2 + a2 y a2 + b2 + c2

Los planos d (aparece en la estructura del diamante) se tratan tambieacuten de planos diagonales Presentan como componentes de traslacioacuten cuartos de la fundamental es decir

a4 plusmn b4 b4 plusmn c4 c4 plusmn a4 y a4 plusmn b4 plusmn c4

El siguiente cuadro sintetiza la notacioacuten y simetriacutea de los planos en los grupos espaciales

Siacutembolo Siacutembolo graacutefico Orientacioacuten y Traslacioacuten

m

perpendicular al papel

paralelo al papel

(100) o (010) ninguna traslacioacuten

(001) ninguna traslacioacuten

a

perpendicular al papel

paralelo al papel

(010) traslacioacuten a2

(001) traslacioacuten a2

b

perpendicular al papel

paralelo al papel

(100) traslacioacuten b2

(001) traslacioacuten b2

c perpendicular al papel

(100) 0 (010) traslacioacuten c2

n

______ perpendicular al papel

paralelo al papel

traslacioacuten (b+c)2 en (100) traslacioacuten (c+a)2 en (010)

traslacioacuten (a+b)2 en (001) traslacioacuten (a+b+c)2 en (110) en sistemas tetragonal o cuacutebico

d

perpendicular al papel

paralelo al papel

traslacioacuten (b+c)4 en (100) traslacioacuten (c+a)4 en (010)

traslacioacuten (a+b)4 en (001) traslacioacuten (a+b+c)4 en (110) en sistemas tetragonal o cuacutebico

- Eje helicoidal

Un eje helicoidal implica similarmente una operacioacuten doble

Un giro el permisible para su orden

Una traslacioacuten constante a lo largo del eje

Como sabemos el orden del eje es el nuacutemero de repeticiones que se necesitan para lograr la identidad implicando una serie de giros sucesivos hasta haber completado su operacioacuten de simetriacutea total

En un eje helicoidal cada uno de estos giros parciales debe asociarse a una parte aliacutecuota de la traslacioacuten total t paralela a la direccioacuten del eje La identidad se logra en la operacioacuten giro cuando se ha aplicado tantas veces el giro permisible como indica el orden del eje

Haciendo el periodo de identidad t coincidente con el giro completo del eje se obtienen los siguientes ejes helicoidales

Siacutembolo Siacutembolo graacutefico Denominacioacuten Giro Traslacioacuten

21 Eje binario helicoidal 180ordm t2

31 Eje ternario helicoidal

derecho120ordm

dextroacutegiro t3

32 Eje ternario helicoidal

izquierdo 120ordm levoacutegiro t3

41 Eje cuaternario helicoidal

derecho90ordm

dextroacutegiro t4

43 Eje cuaternario helicoidal

izquierdo 90ordm levoacutegiro t4

61 Eje senario helicoidal

derecho 60ordmdextroacutegiro t6

65 Eje senario helicoidal

izquierdo 60ordm levoacutegiro t6

Tambieacuten se pueden deducir los ejes helicoidales haciendo que la identidad se alcance para Nn giros siendo N el orden del eje y n un divisor entero de N

N (orden

del eje)

n (divisor entero de N)

Nn (giros)

Siacutembolo Siacutembolo graacutefico Denominacioacuten Giro Traslacioacuten

4 T2 2 42 Eje cuaternario-binario helicoidal 90ordm t2

6 3 2 63

Eje senario-ternario

helicoidal60ordm t2

6 2 3 62

Eje senario-binario helicoidal

derecho

60ordm dextroacutegiro t3

6 2 3 64

Eje senario-binario helicoidal

izquierdo

60ordm levoacutegiro t3

- Los 17 grupos planos En la deduccioacuten de los grupos planos hay que tener en cuenta que es el motivo contenido de la celda definida por unas traslaciones dadas el que muestra la existencia de los elementos de simetriacutea Es decir que las partes del motivo estaacuten relacionadas entre siacute por dichos elementos de simetriacutea (que puede ser simetriacutea con traslacioacuten) que la suma de estas partes constituye la celda y que las celdas implican una meacutetrica dada es decir tiene una forma y unas dimensiones que condicionan una simetriacutea maacutexima

En los grupos planos los haces de elementos de simetriacutea son perpendiculares al plano que se asocia a un tipo de red plana El nuacutemero de estos grupos planos es de 17

- Grupos planos con red oblicua

La simetriacutea maacutexima que permite una red obiacutecua es un haz de ejes binarios Existiraacuten por tanto dos posibilidades

Grupo plano p1 p como indicativo de primitivo y 1 como indicativo de no simetriacutea El dominio complejo coincide con el motivo y por tanto su multiplicidad es 1

Grupo plano p2 p como indicativo de primitivo y 2 como indicativo de eje binario de simetriacutea La multiplicidad del dominio complejo es 2 ya que la simetriacutea genera duplicidad del motivo

- Grupos planos con red rectangular

La simetriacutea maacutexima que permite una red rectangular es dos haces de planos de simetriacutea y un haz de ejes binarios Existiraacuten por tanto diferentes combinaciones

Grupo plano pm p como indicativo de primitivo y m como indicativo del plano de simetriacutea La multiplicidad del dominio complejo es 2 ya que la simetriacutea genera duplicidad del motivo

Grupo plano pg p como indicativo de primitivo y g como indicativo del plano de deslizamiento La multiplicidad del dominio complejo es 2 ya que la simetriacutea genera duplicidad del motivo

Grupo plano pmm (p2mm) p como indicativo de primitivo y dos m como indicativo de planos de simetriacutea mutuamente perpendiculares Los planos de simetriacutea llevan impliacutecitos la aparcicioacuten de ejes binarios La multiplicidad del dominio complejo es 4

Grupo plano pmg (p2mg) p como indicativo de primitivo y planos perpendiculares de tipo distinto (m ordinarios y g de deslizamiento) Esto hace que los ejes de simetriacutea no se encuentren en la interseccioacuten sino desplazados a lo largo del plano de deslizamiento a mitad de la componente desplazamiento El origen de la celda se toma sobre un eje binario La multiplicidad del dominio complejo es 4

Grupo plano pgg(p2gg) p como indicativo de primitivo y dos g de planos perpendiculares de deslizamiento Esto hace que los ejes de simetriacutea no se encuentren en la interseccioacuten sino desplazados a lo largo de cada plano de deslizamiento a mitad de la componente deslizamiento El origen de la celda se toma sobre un eje binario La multiplicidad del dominio complejo es 4

- Grupos planos con red roacutembica o rectangular centrada

Grupo plano cm c como indicativo de la operacioacuten de centrado y m como indicativo del plano de simetriacutea La operacioacuten de centrado lleva impliacutecita la existencia de un plano de deslizamiento La multiplicidad del dominio complejo es 4

Grupo plano cmm (c2mm) c como indicativo de centrado y dos m como indicativo de planos de simetriacutea mutuamente perpendiculares La operacioacuten de centrado lleva impliacutecita la existencia de planos de deslizamiento La multiplicidad del dominio complejo es 4 Los planos de simetriacutea ordinarios y de deslizamiento llevan impliacutecitos la aparcicioacuten de ejes binarios en las intersecciones del mismo tipo de planos no de distintos La multiplicidad del dominio complejo es 8

- Grupos planos con red cuadrada

La simetriacutea maacutexima que permite una red cuadrada es un haz de ejes cuaternarios y sus planos de simetriacutea contenidos en ellos En todos los casos se toma un eje cuaternario como origen de

la celda apareciendo otro eje cuaternario en el centro de la celda Existiraacuten por tanto diferentes combinaciones

Grupo plano p4 p como indicativo de primitivo y 4 como indicativo de eje cuaternario de simetriacutea Los ejes cuaternarios generan la aparcicioacuten de ejes binarios intercalados entre los cuaternarios La multiplicidad del dominio complejo es 4

Grupo plano p4mm p como indicativo de primitivo 4 como indicativo de eje cuaternario de simetriacutea y m como los planos de simetriacutea que contienen a dichos ejes Los ejes cuaternarios generan la aparcicioacuten de ejes binarios intercalados entre los cuaternarios y toda la simetriacutea genera planos de deslizamiento paralelos a las diagonales de la celda La multiplicidad del dominio complejo es 8

Grupo plano p4gm p como indicativo de primitivo 4 como indicativo de eje cuaternario de simetriacutea g como planos de deslizamiento y m como los planos de simetriacutea La multiplicidad del dominio complejo es 8

- Grupos planos con red hexagonal

La simetriacutea maacutexima que permite una red hexagonal es un haz de ejes senarios o ternarios y los planos de simetriacutea que contienen a dichos ejes Existiraacuten por tanto diferentes combinaciones

Grupo plano p3 p como indicativo de primitivo y 3 como indicativo de eje ternario de simetriacutea Los ejes ternarios generan la aparcicioacuten de otros ternarios en el centro de los dos triaacutengulos equilaacuteteros que conforman la celda La multiplicidad del dominio complejo es 3

Grupo plano p3m1 p como indicativo de primitivo 3 como indicativo de eje ternario de simetriacutea y m como plano de simetriacutea en la diagonal mayor del rombo Se genera alternancia de planos de deslizamiento La multiplicidad del dominio complejo es 6

Grupo plano p31m p como indicativo de primitivo 3 como indicativo de eje ternario de simetriacutea y m como plano de simetriacutea en la diagonal menor del rombo Se genera alternancia de planos de deslizamiento La multiplicidad del dominio complejo es 6

Grupo plano p6 p como indicativo de primitivo y 6 como indicativo de eje senario de simetriacutea Se generan ejes ternarios en los centros de los triaacutengulos equilaacuteteros conformadores y ejes binarios en los centros de los lados de dichos triaacutengulos La multiplicidad del dominio complejo es de 6

Grupo plano p6mm p como indicativo de primitivo 6 como indicativo de eje senario de simetriacutea y m de los planos de simetriacutea que los contienen Se generan ejes ternarios en los centros de los triaacutengulos equilaacuteteros conformadores ejes binarios en los centros de los lados de dichos triaacutengulos y planos de deslizamiento alternantes La multiplicidad del dominio complejo es de 12

La tabla que relaciona los grupos puntuales y los grupos planos pone de manifiesto que no todas las combinaciones conducen a nuevos o diferentes grupos puntuales La interaccioacuten de la simetriacutea del motivo con la simetriacutea de las diversas redes planas afecta al contenido de simetriacutea resultante del modelo planar El modelo final muestra la simetriacutea de la red cuando los elementos de simetriacutea del motivo estaacuten alineados con los elementos de simetriacutea correspondiente de la red Si el motivo tiene menos simetriacutea que la red el modelo expresaraacute el menor grado de simetriacutea del motivo con los elementos de simetriacutea de eacuteste alineados con los correspondientes elementos de simetriacutea de la red

Red Grupo puntual Grupo plano

1 p1 Obliacutecua

2 p2 m pm pg

Rectangular mm pmm pmg pgg m cm

Roacutembica mm cmm

4 p4

Cuadrada

4mm p4mm p4gm

3 p3 3m p3m p31m 6 p6

Hexagonal

6mm p6mm

- Grupos espaciales Los grupos espaciales representan las diversas formas en que los motivos pueden distribuirse en el espacio en una estructura homogeacutenea

Los grupos espaciales surgen de la combinacioacuten de los 14 tipos posibles de redes espaciales (redes de Bravais) con la simetriacutea propia de las 32 clases cristalinas o grupos puntuales maacutes la simetriacutea con traslacioacuten

Las caracteriacutesticas de la red se expresan con las letras P A B C F I R de las redes de Bravais que designan el tipo de red general A continuacioacuten se describen en el siacutembolo los elementos de simetriacutea

Ejemplos

P4m2m2m oacute p4mmm

4m2m2m oacute 4mmm Grupo de simetriacutea 4mmm

P Red tetragonal sencilla

P42n2n2m oacute P42nnm

42nnm Grupo isogonal con el 4mmm donde los ejes de rotacioacuten cuaternaria del grupo puntual aparecen como ejes de rotoinversioacuten cuaternaria y helicoidal cuaternario paralelos y alternativos Existen planos de deslizamiento n y de simetriacutea m asiacute como ejes de rotacioacuten binaria con helicoidales binarios intercalados

P Red tetragonal sencilla

Al igual que ocurriacutea en los grupos planos en los grupos espaciales con redes no primitivas la operacioacuten de centrado introduce la simetriacutea con traslacioacuten y sin embargo estos nuevos elementos no se aprecian en los siacutembolos Por ejemplo

C2m

2m Grupo de simetriacutea 2m Sin embargo aparecen debido al centrado ejes helicoidales binarios intercalados con los binarios y planos de deslizamiento intercalados con los planos de simetriacutea

C Red roacutembica centrada de tipo C

Los 230 grupos espaciales vienen descritos en las International Tables for X-ray Crystallography clasificadas seguacuten los grupos puntuales y los sistemas cristalinos

Una composicioacuten de la informacioacuten contenida en estas Tablas se muestra a continuacioacuten para el grupo espacial Cmm2 en el que la C significa una red centrada en las caras separadas por el eje c la primera m representa un plano de simetriacutea perpendicular al eje a la segunda m

representa un plano de simetriacutea perpendicular al eje b y el 2 se refiere al eje binario paralelo al eje c

  • EL ESTADO CRISTALINO
Page 26: Cristalografia Estructural

- Sistema cuacutebico (a=b=c α=szlig=γ=90ordm)

Posee como caracteriacutestica fundamental cuatro ejes de rotacioacuten ternarios inclinados a 10947ordm

NOTA Ademaacutes de las constantes reticulares para definir un sistema cristalino puede utilizarse la relacioacuten parameacutetrica siendo eacutesta la relacioacuten existente entre los moacutedulos de a y c respecto al moacutedulo de b

ab 1 cb

Normalmente se toman estos valores y los aacutengulos para definir la red

14- SIMETRIacuteA CON TRASLACIOacuteN - Elementos de simetriacutea con traslacioacutenLa red cristalina soacutelo tiene sentido como indicadora de la periodicidad que se presenta en el cristal como consecuencia de la repeticioacuten del motivo Debido a ello la simetriacutea que revela por siacute la red no tiene que ser necesariamente la que posea el cristal aunque en general lo sea

Ejemplo La coesita (variedad de la siacutelice de alta presioacuten) tiene una red cuya meacutetrica es roacutembica mientras que la estructura es monocliacutenica ya que el motivo carece de ciertos elementos de simetriacutea que la meacutetrica de la red indicaban

Es faacutecil comprender que debido a que la red es solamente la consecuencia de unas fuerzas cohesivas entre los aacutetomos que forman el cristal fuerzas que obligan a una repeticioacuten monoacutetona de las agrupaciones atoacutemicas la simetriacutea de la red debe estar iacutentimamente relacionada con la del cristal entendido como agrupacioacuten repetitiva de aacutetomos

La red nos proporciona por tanto la simetriacutea maacutexima que el cristal puede tener pero dicha simetriacutea depende de la simetriacutea propia del motivo La complejidad que el motivo cristalino aacutetomos iones y moleacuteculas aporta a la red cristalina hace que los elementos de simetriacutea del medio cristalino se ampliacuteen Aparece la traslacioacuten que tiene dimensiones submicroscoacutepicas no accesibles a la morfologiacutea macroscoacutepica

Los operadores de simetriacutea que completan la tarea de rellenar el espacio cristalino se consideran cada uno de ellos como una sola y nueva operacioacuten de simetriacutea Estos son los planos de deslizamiento que implican la reflexioacuten asociada a una traslacioacuten y los ejes helicoidales que implican a su vez giro y traslacioacuten

- Plano de deslizamiento

El plano de deslizamiento realiza simultaacuteneamente dos operaciones refleja la imagen o traslada la imagen a intervalos de media traslacioacuten

Cuando la semitraslacioacuten asociada al plano de deslizamiento corresponde a alguna de las direcciones fundamentales del cristal el plano se denomina a b c respectivamente

Cuando la semitraslacioacuten corresponde a la diagonal del plano reflector es decir el plano de deslizamiento se situacutea paralelo a la diagonal entre las filas definidas por a b y c el plano se simboliza por n y las componentes de su traslacioacuten son

a2 + b2 b2 + c2 c2 + a2 y a2 + b2 + c2

Los planos d (aparece en la estructura del diamante) se tratan tambieacuten de planos diagonales Presentan como componentes de traslacioacuten cuartos de la fundamental es decir

a4 plusmn b4 b4 plusmn c4 c4 plusmn a4 y a4 plusmn b4 plusmn c4

El siguiente cuadro sintetiza la notacioacuten y simetriacutea de los planos en los grupos espaciales

Siacutembolo Siacutembolo graacutefico Orientacioacuten y Traslacioacuten

m

perpendicular al papel

paralelo al papel

(100) o (010) ninguna traslacioacuten

(001) ninguna traslacioacuten

a

perpendicular al papel

paralelo al papel

(010) traslacioacuten a2

(001) traslacioacuten a2

b

perpendicular al papel

paralelo al papel

(100) traslacioacuten b2

(001) traslacioacuten b2

c perpendicular al papel

(100) 0 (010) traslacioacuten c2

n

______ perpendicular al papel

paralelo al papel

traslacioacuten (b+c)2 en (100) traslacioacuten (c+a)2 en (010)

traslacioacuten (a+b)2 en (001) traslacioacuten (a+b+c)2 en (110) en sistemas tetragonal o cuacutebico

d

perpendicular al papel

paralelo al papel

traslacioacuten (b+c)4 en (100) traslacioacuten (c+a)4 en (010)

traslacioacuten (a+b)4 en (001) traslacioacuten (a+b+c)4 en (110) en sistemas tetragonal o cuacutebico

- Eje helicoidal

Un eje helicoidal implica similarmente una operacioacuten doble

Un giro el permisible para su orden

Una traslacioacuten constante a lo largo del eje

Como sabemos el orden del eje es el nuacutemero de repeticiones que se necesitan para lograr la identidad implicando una serie de giros sucesivos hasta haber completado su operacioacuten de simetriacutea total

En un eje helicoidal cada uno de estos giros parciales debe asociarse a una parte aliacutecuota de la traslacioacuten total t paralela a la direccioacuten del eje La identidad se logra en la operacioacuten giro cuando se ha aplicado tantas veces el giro permisible como indica el orden del eje

Haciendo el periodo de identidad t coincidente con el giro completo del eje se obtienen los siguientes ejes helicoidales

Siacutembolo Siacutembolo graacutefico Denominacioacuten Giro Traslacioacuten

21 Eje binario helicoidal 180ordm t2

31 Eje ternario helicoidal

derecho120ordm

dextroacutegiro t3

32 Eje ternario helicoidal

izquierdo 120ordm levoacutegiro t3

41 Eje cuaternario helicoidal

derecho90ordm

dextroacutegiro t4

43 Eje cuaternario helicoidal

izquierdo 90ordm levoacutegiro t4

61 Eje senario helicoidal

derecho 60ordmdextroacutegiro t6

65 Eje senario helicoidal

izquierdo 60ordm levoacutegiro t6

Tambieacuten se pueden deducir los ejes helicoidales haciendo que la identidad se alcance para Nn giros siendo N el orden del eje y n un divisor entero de N

N (orden

del eje)

n (divisor entero de N)

Nn (giros)

Siacutembolo Siacutembolo graacutefico Denominacioacuten Giro Traslacioacuten

4 T2 2 42 Eje cuaternario-binario helicoidal 90ordm t2

6 3 2 63

Eje senario-ternario

helicoidal60ordm t2

6 2 3 62

Eje senario-binario helicoidal

derecho

60ordm dextroacutegiro t3

6 2 3 64

Eje senario-binario helicoidal

izquierdo

60ordm levoacutegiro t3

- Los 17 grupos planos En la deduccioacuten de los grupos planos hay que tener en cuenta que es el motivo contenido de la celda definida por unas traslaciones dadas el que muestra la existencia de los elementos de simetriacutea Es decir que las partes del motivo estaacuten relacionadas entre siacute por dichos elementos de simetriacutea (que puede ser simetriacutea con traslacioacuten) que la suma de estas partes constituye la celda y que las celdas implican una meacutetrica dada es decir tiene una forma y unas dimensiones que condicionan una simetriacutea maacutexima

En los grupos planos los haces de elementos de simetriacutea son perpendiculares al plano que se asocia a un tipo de red plana El nuacutemero de estos grupos planos es de 17

- Grupos planos con red oblicua

La simetriacutea maacutexima que permite una red obiacutecua es un haz de ejes binarios Existiraacuten por tanto dos posibilidades

Grupo plano p1 p como indicativo de primitivo y 1 como indicativo de no simetriacutea El dominio complejo coincide con el motivo y por tanto su multiplicidad es 1

Grupo plano p2 p como indicativo de primitivo y 2 como indicativo de eje binario de simetriacutea La multiplicidad del dominio complejo es 2 ya que la simetriacutea genera duplicidad del motivo

- Grupos planos con red rectangular

La simetriacutea maacutexima que permite una red rectangular es dos haces de planos de simetriacutea y un haz de ejes binarios Existiraacuten por tanto diferentes combinaciones

Grupo plano pm p como indicativo de primitivo y m como indicativo del plano de simetriacutea La multiplicidad del dominio complejo es 2 ya que la simetriacutea genera duplicidad del motivo

Grupo plano pg p como indicativo de primitivo y g como indicativo del plano de deslizamiento La multiplicidad del dominio complejo es 2 ya que la simetriacutea genera duplicidad del motivo

Grupo plano pmm (p2mm) p como indicativo de primitivo y dos m como indicativo de planos de simetriacutea mutuamente perpendiculares Los planos de simetriacutea llevan impliacutecitos la aparcicioacuten de ejes binarios La multiplicidad del dominio complejo es 4

Grupo plano pmg (p2mg) p como indicativo de primitivo y planos perpendiculares de tipo distinto (m ordinarios y g de deslizamiento) Esto hace que los ejes de simetriacutea no se encuentren en la interseccioacuten sino desplazados a lo largo del plano de deslizamiento a mitad de la componente desplazamiento El origen de la celda se toma sobre un eje binario La multiplicidad del dominio complejo es 4

Grupo plano pgg(p2gg) p como indicativo de primitivo y dos g de planos perpendiculares de deslizamiento Esto hace que los ejes de simetriacutea no se encuentren en la interseccioacuten sino desplazados a lo largo de cada plano de deslizamiento a mitad de la componente deslizamiento El origen de la celda se toma sobre un eje binario La multiplicidad del dominio complejo es 4

- Grupos planos con red roacutembica o rectangular centrada

Grupo plano cm c como indicativo de la operacioacuten de centrado y m como indicativo del plano de simetriacutea La operacioacuten de centrado lleva impliacutecita la existencia de un plano de deslizamiento La multiplicidad del dominio complejo es 4

Grupo plano cmm (c2mm) c como indicativo de centrado y dos m como indicativo de planos de simetriacutea mutuamente perpendiculares La operacioacuten de centrado lleva impliacutecita la existencia de planos de deslizamiento La multiplicidad del dominio complejo es 4 Los planos de simetriacutea ordinarios y de deslizamiento llevan impliacutecitos la aparcicioacuten de ejes binarios en las intersecciones del mismo tipo de planos no de distintos La multiplicidad del dominio complejo es 8

- Grupos planos con red cuadrada

La simetriacutea maacutexima que permite una red cuadrada es un haz de ejes cuaternarios y sus planos de simetriacutea contenidos en ellos En todos los casos se toma un eje cuaternario como origen de

la celda apareciendo otro eje cuaternario en el centro de la celda Existiraacuten por tanto diferentes combinaciones

Grupo plano p4 p como indicativo de primitivo y 4 como indicativo de eje cuaternario de simetriacutea Los ejes cuaternarios generan la aparcicioacuten de ejes binarios intercalados entre los cuaternarios La multiplicidad del dominio complejo es 4

Grupo plano p4mm p como indicativo de primitivo 4 como indicativo de eje cuaternario de simetriacutea y m como los planos de simetriacutea que contienen a dichos ejes Los ejes cuaternarios generan la aparcicioacuten de ejes binarios intercalados entre los cuaternarios y toda la simetriacutea genera planos de deslizamiento paralelos a las diagonales de la celda La multiplicidad del dominio complejo es 8

Grupo plano p4gm p como indicativo de primitivo 4 como indicativo de eje cuaternario de simetriacutea g como planos de deslizamiento y m como los planos de simetriacutea La multiplicidad del dominio complejo es 8

- Grupos planos con red hexagonal

La simetriacutea maacutexima que permite una red hexagonal es un haz de ejes senarios o ternarios y los planos de simetriacutea que contienen a dichos ejes Existiraacuten por tanto diferentes combinaciones

Grupo plano p3 p como indicativo de primitivo y 3 como indicativo de eje ternario de simetriacutea Los ejes ternarios generan la aparcicioacuten de otros ternarios en el centro de los dos triaacutengulos equilaacuteteros que conforman la celda La multiplicidad del dominio complejo es 3

Grupo plano p3m1 p como indicativo de primitivo 3 como indicativo de eje ternario de simetriacutea y m como plano de simetriacutea en la diagonal mayor del rombo Se genera alternancia de planos de deslizamiento La multiplicidad del dominio complejo es 6

Grupo plano p31m p como indicativo de primitivo 3 como indicativo de eje ternario de simetriacutea y m como plano de simetriacutea en la diagonal menor del rombo Se genera alternancia de planos de deslizamiento La multiplicidad del dominio complejo es 6

Grupo plano p6 p como indicativo de primitivo y 6 como indicativo de eje senario de simetriacutea Se generan ejes ternarios en los centros de los triaacutengulos equilaacuteteros conformadores y ejes binarios en los centros de los lados de dichos triaacutengulos La multiplicidad del dominio complejo es de 6

Grupo plano p6mm p como indicativo de primitivo 6 como indicativo de eje senario de simetriacutea y m de los planos de simetriacutea que los contienen Se generan ejes ternarios en los centros de los triaacutengulos equilaacuteteros conformadores ejes binarios en los centros de los lados de dichos triaacutengulos y planos de deslizamiento alternantes La multiplicidad del dominio complejo es de 12

La tabla que relaciona los grupos puntuales y los grupos planos pone de manifiesto que no todas las combinaciones conducen a nuevos o diferentes grupos puntuales La interaccioacuten de la simetriacutea del motivo con la simetriacutea de las diversas redes planas afecta al contenido de simetriacutea resultante del modelo planar El modelo final muestra la simetriacutea de la red cuando los elementos de simetriacutea del motivo estaacuten alineados con los elementos de simetriacutea correspondiente de la red Si el motivo tiene menos simetriacutea que la red el modelo expresaraacute el menor grado de simetriacutea del motivo con los elementos de simetriacutea de eacuteste alineados con los correspondientes elementos de simetriacutea de la red

Red Grupo puntual Grupo plano

1 p1 Obliacutecua

2 p2 m pm pg

Rectangular mm pmm pmg pgg m cm

Roacutembica mm cmm

4 p4

Cuadrada

4mm p4mm p4gm

3 p3 3m p3m p31m 6 p6

Hexagonal

6mm p6mm

- Grupos espaciales Los grupos espaciales representan las diversas formas en que los motivos pueden distribuirse en el espacio en una estructura homogeacutenea

Los grupos espaciales surgen de la combinacioacuten de los 14 tipos posibles de redes espaciales (redes de Bravais) con la simetriacutea propia de las 32 clases cristalinas o grupos puntuales maacutes la simetriacutea con traslacioacuten

Las caracteriacutesticas de la red se expresan con las letras P A B C F I R de las redes de Bravais que designan el tipo de red general A continuacioacuten se describen en el siacutembolo los elementos de simetriacutea

Ejemplos

P4m2m2m oacute p4mmm

4m2m2m oacute 4mmm Grupo de simetriacutea 4mmm

P Red tetragonal sencilla

P42n2n2m oacute P42nnm

42nnm Grupo isogonal con el 4mmm donde los ejes de rotacioacuten cuaternaria del grupo puntual aparecen como ejes de rotoinversioacuten cuaternaria y helicoidal cuaternario paralelos y alternativos Existen planos de deslizamiento n y de simetriacutea m asiacute como ejes de rotacioacuten binaria con helicoidales binarios intercalados

P Red tetragonal sencilla

Al igual que ocurriacutea en los grupos planos en los grupos espaciales con redes no primitivas la operacioacuten de centrado introduce la simetriacutea con traslacioacuten y sin embargo estos nuevos elementos no se aprecian en los siacutembolos Por ejemplo

C2m

2m Grupo de simetriacutea 2m Sin embargo aparecen debido al centrado ejes helicoidales binarios intercalados con los binarios y planos de deslizamiento intercalados con los planos de simetriacutea

C Red roacutembica centrada de tipo C

Los 230 grupos espaciales vienen descritos en las International Tables for X-ray Crystallography clasificadas seguacuten los grupos puntuales y los sistemas cristalinos

Una composicioacuten de la informacioacuten contenida en estas Tablas se muestra a continuacioacuten para el grupo espacial Cmm2 en el que la C significa una red centrada en las caras separadas por el eje c la primera m representa un plano de simetriacutea perpendicular al eje a la segunda m

representa un plano de simetriacutea perpendicular al eje b y el 2 se refiere al eje binario paralelo al eje c

  • EL ESTADO CRISTALINO
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14- SIMETRIacuteA CON TRASLACIOacuteN - Elementos de simetriacutea con traslacioacutenLa red cristalina soacutelo tiene sentido como indicadora de la periodicidad que se presenta en el cristal como consecuencia de la repeticioacuten del motivo Debido a ello la simetriacutea que revela por siacute la red no tiene que ser necesariamente la que posea el cristal aunque en general lo sea

Ejemplo La coesita (variedad de la siacutelice de alta presioacuten) tiene una red cuya meacutetrica es roacutembica mientras que la estructura es monocliacutenica ya que el motivo carece de ciertos elementos de simetriacutea que la meacutetrica de la red indicaban

Es faacutecil comprender que debido a que la red es solamente la consecuencia de unas fuerzas cohesivas entre los aacutetomos que forman el cristal fuerzas que obligan a una repeticioacuten monoacutetona de las agrupaciones atoacutemicas la simetriacutea de la red debe estar iacutentimamente relacionada con la del cristal entendido como agrupacioacuten repetitiva de aacutetomos

La red nos proporciona por tanto la simetriacutea maacutexima que el cristal puede tener pero dicha simetriacutea depende de la simetriacutea propia del motivo La complejidad que el motivo cristalino aacutetomos iones y moleacuteculas aporta a la red cristalina hace que los elementos de simetriacutea del medio cristalino se ampliacuteen Aparece la traslacioacuten que tiene dimensiones submicroscoacutepicas no accesibles a la morfologiacutea macroscoacutepica

Los operadores de simetriacutea que completan la tarea de rellenar el espacio cristalino se consideran cada uno de ellos como una sola y nueva operacioacuten de simetriacutea Estos son los planos de deslizamiento que implican la reflexioacuten asociada a una traslacioacuten y los ejes helicoidales que implican a su vez giro y traslacioacuten

- Plano de deslizamiento

El plano de deslizamiento realiza simultaacuteneamente dos operaciones refleja la imagen o traslada la imagen a intervalos de media traslacioacuten

Cuando la semitraslacioacuten asociada al plano de deslizamiento corresponde a alguna de las direcciones fundamentales del cristal el plano se denomina a b c respectivamente

Cuando la semitraslacioacuten corresponde a la diagonal del plano reflector es decir el plano de deslizamiento se situacutea paralelo a la diagonal entre las filas definidas por a b y c el plano se simboliza por n y las componentes de su traslacioacuten son

a2 + b2 b2 + c2 c2 + a2 y a2 + b2 + c2

Los planos d (aparece en la estructura del diamante) se tratan tambieacuten de planos diagonales Presentan como componentes de traslacioacuten cuartos de la fundamental es decir

a4 plusmn b4 b4 plusmn c4 c4 plusmn a4 y a4 plusmn b4 plusmn c4

El siguiente cuadro sintetiza la notacioacuten y simetriacutea de los planos en los grupos espaciales

Siacutembolo Siacutembolo graacutefico Orientacioacuten y Traslacioacuten

m

perpendicular al papel

paralelo al papel

(100) o (010) ninguna traslacioacuten

(001) ninguna traslacioacuten

a

perpendicular al papel

paralelo al papel

(010) traslacioacuten a2

(001) traslacioacuten a2

b

perpendicular al papel

paralelo al papel

(100) traslacioacuten b2

(001) traslacioacuten b2

c perpendicular al papel

(100) 0 (010) traslacioacuten c2

n

______ perpendicular al papel

paralelo al papel

traslacioacuten (b+c)2 en (100) traslacioacuten (c+a)2 en (010)

traslacioacuten (a+b)2 en (001) traslacioacuten (a+b+c)2 en (110) en sistemas tetragonal o cuacutebico

d

perpendicular al papel

paralelo al papel

traslacioacuten (b+c)4 en (100) traslacioacuten (c+a)4 en (010)

traslacioacuten (a+b)4 en (001) traslacioacuten (a+b+c)4 en (110) en sistemas tetragonal o cuacutebico

- Eje helicoidal

Un eje helicoidal implica similarmente una operacioacuten doble

Un giro el permisible para su orden

Una traslacioacuten constante a lo largo del eje

Como sabemos el orden del eje es el nuacutemero de repeticiones que se necesitan para lograr la identidad implicando una serie de giros sucesivos hasta haber completado su operacioacuten de simetriacutea total

En un eje helicoidal cada uno de estos giros parciales debe asociarse a una parte aliacutecuota de la traslacioacuten total t paralela a la direccioacuten del eje La identidad se logra en la operacioacuten giro cuando se ha aplicado tantas veces el giro permisible como indica el orden del eje

Haciendo el periodo de identidad t coincidente con el giro completo del eje se obtienen los siguientes ejes helicoidales

Siacutembolo Siacutembolo graacutefico Denominacioacuten Giro Traslacioacuten

21 Eje binario helicoidal 180ordm t2

31 Eje ternario helicoidal

derecho120ordm

dextroacutegiro t3

32 Eje ternario helicoidal

izquierdo 120ordm levoacutegiro t3

41 Eje cuaternario helicoidal

derecho90ordm

dextroacutegiro t4

43 Eje cuaternario helicoidal

izquierdo 90ordm levoacutegiro t4

61 Eje senario helicoidal

derecho 60ordmdextroacutegiro t6

65 Eje senario helicoidal

izquierdo 60ordm levoacutegiro t6

Tambieacuten se pueden deducir los ejes helicoidales haciendo que la identidad se alcance para Nn giros siendo N el orden del eje y n un divisor entero de N

N (orden

del eje)

n (divisor entero de N)

Nn (giros)

Siacutembolo Siacutembolo graacutefico Denominacioacuten Giro Traslacioacuten

4 T2 2 42 Eje cuaternario-binario helicoidal 90ordm t2

6 3 2 63

Eje senario-ternario

helicoidal60ordm t2

6 2 3 62

Eje senario-binario helicoidal

derecho

60ordm dextroacutegiro t3

6 2 3 64

Eje senario-binario helicoidal

izquierdo

60ordm levoacutegiro t3

- Los 17 grupos planos En la deduccioacuten de los grupos planos hay que tener en cuenta que es el motivo contenido de la celda definida por unas traslaciones dadas el que muestra la existencia de los elementos de simetriacutea Es decir que las partes del motivo estaacuten relacionadas entre siacute por dichos elementos de simetriacutea (que puede ser simetriacutea con traslacioacuten) que la suma de estas partes constituye la celda y que las celdas implican una meacutetrica dada es decir tiene una forma y unas dimensiones que condicionan una simetriacutea maacutexima

En los grupos planos los haces de elementos de simetriacutea son perpendiculares al plano que se asocia a un tipo de red plana El nuacutemero de estos grupos planos es de 17

- Grupos planos con red oblicua

La simetriacutea maacutexima que permite una red obiacutecua es un haz de ejes binarios Existiraacuten por tanto dos posibilidades

Grupo plano p1 p como indicativo de primitivo y 1 como indicativo de no simetriacutea El dominio complejo coincide con el motivo y por tanto su multiplicidad es 1

Grupo plano p2 p como indicativo de primitivo y 2 como indicativo de eje binario de simetriacutea La multiplicidad del dominio complejo es 2 ya que la simetriacutea genera duplicidad del motivo

- Grupos planos con red rectangular

La simetriacutea maacutexima que permite una red rectangular es dos haces de planos de simetriacutea y un haz de ejes binarios Existiraacuten por tanto diferentes combinaciones

Grupo plano pm p como indicativo de primitivo y m como indicativo del plano de simetriacutea La multiplicidad del dominio complejo es 2 ya que la simetriacutea genera duplicidad del motivo

Grupo plano pg p como indicativo de primitivo y g como indicativo del plano de deslizamiento La multiplicidad del dominio complejo es 2 ya que la simetriacutea genera duplicidad del motivo

Grupo plano pmm (p2mm) p como indicativo de primitivo y dos m como indicativo de planos de simetriacutea mutuamente perpendiculares Los planos de simetriacutea llevan impliacutecitos la aparcicioacuten de ejes binarios La multiplicidad del dominio complejo es 4

Grupo plano pmg (p2mg) p como indicativo de primitivo y planos perpendiculares de tipo distinto (m ordinarios y g de deslizamiento) Esto hace que los ejes de simetriacutea no se encuentren en la interseccioacuten sino desplazados a lo largo del plano de deslizamiento a mitad de la componente desplazamiento El origen de la celda se toma sobre un eje binario La multiplicidad del dominio complejo es 4

Grupo plano pgg(p2gg) p como indicativo de primitivo y dos g de planos perpendiculares de deslizamiento Esto hace que los ejes de simetriacutea no se encuentren en la interseccioacuten sino desplazados a lo largo de cada plano de deslizamiento a mitad de la componente deslizamiento El origen de la celda se toma sobre un eje binario La multiplicidad del dominio complejo es 4

- Grupos planos con red roacutembica o rectangular centrada

Grupo plano cm c como indicativo de la operacioacuten de centrado y m como indicativo del plano de simetriacutea La operacioacuten de centrado lleva impliacutecita la existencia de un plano de deslizamiento La multiplicidad del dominio complejo es 4

Grupo plano cmm (c2mm) c como indicativo de centrado y dos m como indicativo de planos de simetriacutea mutuamente perpendiculares La operacioacuten de centrado lleva impliacutecita la existencia de planos de deslizamiento La multiplicidad del dominio complejo es 4 Los planos de simetriacutea ordinarios y de deslizamiento llevan impliacutecitos la aparcicioacuten de ejes binarios en las intersecciones del mismo tipo de planos no de distintos La multiplicidad del dominio complejo es 8

- Grupos planos con red cuadrada

La simetriacutea maacutexima que permite una red cuadrada es un haz de ejes cuaternarios y sus planos de simetriacutea contenidos en ellos En todos los casos se toma un eje cuaternario como origen de

la celda apareciendo otro eje cuaternario en el centro de la celda Existiraacuten por tanto diferentes combinaciones

Grupo plano p4 p como indicativo de primitivo y 4 como indicativo de eje cuaternario de simetriacutea Los ejes cuaternarios generan la aparcicioacuten de ejes binarios intercalados entre los cuaternarios La multiplicidad del dominio complejo es 4

Grupo plano p4mm p como indicativo de primitivo 4 como indicativo de eje cuaternario de simetriacutea y m como los planos de simetriacutea que contienen a dichos ejes Los ejes cuaternarios generan la aparcicioacuten de ejes binarios intercalados entre los cuaternarios y toda la simetriacutea genera planos de deslizamiento paralelos a las diagonales de la celda La multiplicidad del dominio complejo es 8

Grupo plano p4gm p como indicativo de primitivo 4 como indicativo de eje cuaternario de simetriacutea g como planos de deslizamiento y m como los planos de simetriacutea La multiplicidad del dominio complejo es 8

- Grupos planos con red hexagonal

La simetriacutea maacutexima que permite una red hexagonal es un haz de ejes senarios o ternarios y los planos de simetriacutea que contienen a dichos ejes Existiraacuten por tanto diferentes combinaciones

Grupo plano p3 p como indicativo de primitivo y 3 como indicativo de eje ternario de simetriacutea Los ejes ternarios generan la aparcicioacuten de otros ternarios en el centro de los dos triaacutengulos equilaacuteteros que conforman la celda La multiplicidad del dominio complejo es 3

Grupo plano p3m1 p como indicativo de primitivo 3 como indicativo de eje ternario de simetriacutea y m como plano de simetriacutea en la diagonal mayor del rombo Se genera alternancia de planos de deslizamiento La multiplicidad del dominio complejo es 6

Grupo plano p31m p como indicativo de primitivo 3 como indicativo de eje ternario de simetriacutea y m como plano de simetriacutea en la diagonal menor del rombo Se genera alternancia de planos de deslizamiento La multiplicidad del dominio complejo es 6

Grupo plano p6 p como indicativo de primitivo y 6 como indicativo de eje senario de simetriacutea Se generan ejes ternarios en los centros de los triaacutengulos equilaacuteteros conformadores y ejes binarios en los centros de los lados de dichos triaacutengulos La multiplicidad del dominio complejo es de 6

Grupo plano p6mm p como indicativo de primitivo 6 como indicativo de eje senario de simetriacutea y m de los planos de simetriacutea que los contienen Se generan ejes ternarios en los centros de los triaacutengulos equilaacuteteros conformadores ejes binarios en los centros de los lados de dichos triaacutengulos y planos de deslizamiento alternantes La multiplicidad del dominio complejo es de 12

La tabla que relaciona los grupos puntuales y los grupos planos pone de manifiesto que no todas las combinaciones conducen a nuevos o diferentes grupos puntuales La interaccioacuten de la simetriacutea del motivo con la simetriacutea de las diversas redes planas afecta al contenido de simetriacutea resultante del modelo planar El modelo final muestra la simetriacutea de la red cuando los elementos de simetriacutea del motivo estaacuten alineados con los elementos de simetriacutea correspondiente de la red Si el motivo tiene menos simetriacutea que la red el modelo expresaraacute el menor grado de simetriacutea del motivo con los elementos de simetriacutea de eacuteste alineados con los correspondientes elementos de simetriacutea de la red

Red Grupo puntual Grupo plano

1 p1 Obliacutecua

2 p2 m pm pg

Rectangular mm pmm pmg pgg m cm

Roacutembica mm cmm

4 p4

Cuadrada

4mm p4mm p4gm

3 p3 3m p3m p31m 6 p6

Hexagonal

6mm p6mm

- Grupos espaciales Los grupos espaciales representan las diversas formas en que los motivos pueden distribuirse en el espacio en una estructura homogeacutenea

Los grupos espaciales surgen de la combinacioacuten de los 14 tipos posibles de redes espaciales (redes de Bravais) con la simetriacutea propia de las 32 clases cristalinas o grupos puntuales maacutes la simetriacutea con traslacioacuten

Las caracteriacutesticas de la red se expresan con las letras P A B C F I R de las redes de Bravais que designan el tipo de red general A continuacioacuten se describen en el siacutembolo los elementos de simetriacutea

Ejemplos

P4m2m2m oacute p4mmm

4m2m2m oacute 4mmm Grupo de simetriacutea 4mmm

P Red tetragonal sencilla

P42n2n2m oacute P42nnm

42nnm Grupo isogonal con el 4mmm donde los ejes de rotacioacuten cuaternaria del grupo puntual aparecen como ejes de rotoinversioacuten cuaternaria y helicoidal cuaternario paralelos y alternativos Existen planos de deslizamiento n y de simetriacutea m asiacute como ejes de rotacioacuten binaria con helicoidales binarios intercalados

P Red tetragonal sencilla

Al igual que ocurriacutea en los grupos planos en los grupos espaciales con redes no primitivas la operacioacuten de centrado introduce la simetriacutea con traslacioacuten y sin embargo estos nuevos elementos no se aprecian en los siacutembolos Por ejemplo

C2m

2m Grupo de simetriacutea 2m Sin embargo aparecen debido al centrado ejes helicoidales binarios intercalados con los binarios y planos de deslizamiento intercalados con los planos de simetriacutea

C Red roacutembica centrada de tipo C

Los 230 grupos espaciales vienen descritos en las International Tables for X-ray Crystallography clasificadas seguacuten los grupos puntuales y los sistemas cristalinos

Una composicioacuten de la informacioacuten contenida en estas Tablas se muestra a continuacioacuten para el grupo espacial Cmm2 en el que la C significa una red centrada en las caras separadas por el eje c la primera m representa un plano de simetriacutea perpendicular al eje a la segunda m

representa un plano de simetriacutea perpendicular al eje b y el 2 se refiere al eje binario paralelo al eje c

  • EL ESTADO CRISTALINO
Page 28: Cristalografia Estructural

Cuando la semitraslacioacuten corresponde a la diagonal del plano reflector es decir el plano de deslizamiento se situacutea paralelo a la diagonal entre las filas definidas por a b y c el plano se simboliza por n y las componentes de su traslacioacuten son

a2 + b2 b2 + c2 c2 + a2 y a2 + b2 + c2

Los planos d (aparece en la estructura del diamante) se tratan tambieacuten de planos diagonales Presentan como componentes de traslacioacuten cuartos de la fundamental es decir

a4 plusmn b4 b4 plusmn c4 c4 plusmn a4 y a4 plusmn b4 plusmn c4

El siguiente cuadro sintetiza la notacioacuten y simetriacutea de los planos en los grupos espaciales

Siacutembolo Siacutembolo graacutefico Orientacioacuten y Traslacioacuten

m

perpendicular al papel

paralelo al papel

(100) o (010) ninguna traslacioacuten

(001) ninguna traslacioacuten

a

perpendicular al papel

paralelo al papel

(010) traslacioacuten a2

(001) traslacioacuten a2

b

perpendicular al papel

paralelo al papel

(100) traslacioacuten b2

(001) traslacioacuten b2

c perpendicular al papel

(100) 0 (010) traslacioacuten c2

n

______ perpendicular al papel

paralelo al papel

traslacioacuten (b+c)2 en (100) traslacioacuten (c+a)2 en (010)

traslacioacuten (a+b)2 en (001) traslacioacuten (a+b+c)2 en (110) en sistemas tetragonal o cuacutebico

d

perpendicular al papel

paralelo al papel

traslacioacuten (b+c)4 en (100) traslacioacuten (c+a)4 en (010)

traslacioacuten (a+b)4 en (001) traslacioacuten (a+b+c)4 en (110) en sistemas tetragonal o cuacutebico

- Eje helicoidal

Un eje helicoidal implica similarmente una operacioacuten doble

Un giro el permisible para su orden

Una traslacioacuten constante a lo largo del eje

Como sabemos el orden del eje es el nuacutemero de repeticiones que se necesitan para lograr la identidad implicando una serie de giros sucesivos hasta haber completado su operacioacuten de simetriacutea total

En un eje helicoidal cada uno de estos giros parciales debe asociarse a una parte aliacutecuota de la traslacioacuten total t paralela a la direccioacuten del eje La identidad se logra en la operacioacuten giro cuando se ha aplicado tantas veces el giro permisible como indica el orden del eje

Haciendo el periodo de identidad t coincidente con el giro completo del eje se obtienen los siguientes ejes helicoidales

Siacutembolo Siacutembolo graacutefico Denominacioacuten Giro Traslacioacuten

21 Eje binario helicoidal 180ordm t2

31 Eje ternario helicoidal

derecho120ordm

dextroacutegiro t3

32 Eje ternario helicoidal

izquierdo 120ordm levoacutegiro t3

41 Eje cuaternario helicoidal

derecho90ordm

dextroacutegiro t4

43 Eje cuaternario helicoidal

izquierdo 90ordm levoacutegiro t4

61 Eje senario helicoidal

derecho 60ordmdextroacutegiro t6

65 Eje senario helicoidal

izquierdo 60ordm levoacutegiro t6

Tambieacuten se pueden deducir los ejes helicoidales haciendo que la identidad se alcance para Nn giros siendo N el orden del eje y n un divisor entero de N

N (orden

del eje)

n (divisor entero de N)

Nn (giros)

Siacutembolo Siacutembolo graacutefico Denominacioacuten Giro Traslacioacuten

4 T2 2 42 Eje cuaternario-binario helicoidal 90ordm t2

6 3 2 63

Eje senario-ternario

helicoidal60ordm t2

6 2 3 62

Eje senario-binario helicoidal

derecho

60ordm dextroacutegiro t3

6 2 3 64

Eje senario-binario helicoidal

izquierdo

60ordm levoacutegiro t3

- Los 17 grupos planos En la deduccioacuten de los grupos planos hay que tener en cuenta que es el motivo contenido de la celda definida por unas traslaciones dadas el que muestra la existencia de los elementos de simetriacutea Es decir que las partes del motivo estaacuten relacionadas entre siacute por dichos elementos de simetriacutea (que puede ser simetriacutea con traslacioacuten) que la suma de estas partes constituye la celda y que las celdas implican una meacutetrica dada es decir tiene una forma y unas dimensiones que condicionan una simetriacutea maacutexima

En los grupos planos los haces de elementos de simetriacutea son perpendiculares al plano que se asocia a un tipo de red plana El nuacutemero de estos grupos planos es de 17

- Grupos planos con red oblicua

La simetriacutea maacutexima que permite una red obiacutecua es un haz de ejes binarios Existiraacuten por tanto dos posibilidades

Grupo plano p1 p como indicativo de primitivo y 1 como indicativo de no simetriacutea El dominio complejo coincide con el motivo y por tanto su multiplicidad es 1

Grupo plano p2 p como indicativo de primitivo y 2 como indicativo de eje binario de simetriacutea La multiplicidad del dominio complejo es 2 ya que la simetriacutea genera duplicidad del motivo

- Grupos planos con red rectangular

La simetriacutea maacutexima que permite una red rectangular es dos haces de planos de simetriacutea y un haz de ejes binarios Existiraacuten por tanto diferentes combinaciones

Grupo plano pm p como indicativo de primitivo y m como indicativo del plano de simetriacutea La multiplicidad del dominio complejo es 2 ya que la simetriacutea genera duplicidad del motivo

Grupo plano pg p como indicativo de primitivo y g como indicativo del plano de deslizamiento La multiplicidad del dominio complejo es 2 ya que la simetriacutea genera duplicidad del motivo

Grupo plano pmm (p2mm) p como indicativo de primitivo y dos m como indicativo de planos de simetriacutea mutuamente perpendiculares Los planos de simetriacutea llevan impliacutecitos la aparcicioacuten de ejes binarios La multiplicidad del dominio complejo es 4

Grupo plano pmg (p2mg) p como indicativo de primitivo y planos perpendiculares de tipo distinto (m ordinarios y g de deslizamiento) Esto hace que los ejes de simetriacutea no se encuentren en la interseccioacuten sino desplazados a lo largo del plano de deslizamiento a mitad de la componente desplazamiento El origen de la celda se toma sobre un eje binario La multiplicidad del dominio complejo es 4

Grupo plano pgg(p2gg) p como indicativo de primitivo y dos g de planos perpendiculares de deslizamiento Esto hace que los ejes de simetriacutea no se encuentren en la interseccioacuten sino desplazados a lo largo de cada plano de deslizamiento a mitad de la componente deslizamiento El origen de la celda se toma sobre un eje binario La multiplicidad del dominio complejo es 4

- Grupos planos con red roacutembica o rectangular centrada

Grupo plano cm c como indicativo de la operacioacuten de centrado y m como indicativo del plano de simetriacutea La operacioacuten de centrado lleva impliacutecita la existencia de un plano de deslizamiento La multiplicidad del dominio complejo es 4

Grupo plano cmm (c2mm) c como indicativo de centrado y dos m como indicativo de planos de simetriacutea mutuamente perpendiculares La operacioacuten de centrado lleva impliacutecita la existencia de planos de deslizamiento La multiplicidad del dominio complejo es 4 Los planos de simetriacutea ordinarios y de deslizamiento llevan impliacutecitos la aparcicioacuten de ejes binarios en las intersecciones del mismo tipo de planos no de distintos La multiplicidad del dominio complejo es 8

- Grupos planos con red cuadrada

La simetriacutea maacutexima que permite una red cuadrada es un haz de ejes cuaternarios y sus planos de simetriacutea contenidos en ellos En todos los casos se toma un eje cuaternario como origen de

la celda apareciendo otro eje cuaternario en el centro de la celda Existiraacuten por tanto diferentes combinaciones

Grupo plano p4 p como indicativo de primitivo y 4 como indicativo de eje cuaternario de simetriacutea Los ejes cuaternarios generan la aparcicioacuten de ejes binarios intercalados entre los cuaternarios La multiplicidad del dominio complejo es 4

Grupo plano p4mm p como indicativo de primitivo 4 como indicativo de eje cuaternario de simetriacutea y m como los planos de simetriacutea que contienen a dichos ejes Los ejes cuaternarios generan la aparcicioacuten de ejes binarios intercalados entre los cuaternarios y toda la simetriacutea genera planos de deslizamiento paralelos a las diagonales de la celda La multiplicidad del dominio complejo es 8

Grupo plano p4gm p como indicativo de primitivo 4 como indicativo de eje cuaternario de simetriacutea g como planos de deslizamiento y m como los planos de simetriacutea La multiplicidad del dominio complejo es 8

- Grupos planos con red hexagonal

La simetriacutea maacutexima que permite una red hexagonal es un haz de ejes senarios o ternarios y los planos de simetriacutea que contienen a dichos ejes Existiraacuten por tanto diferentes combinaciones

Grupo plano p3 p como indicativo de primitivo y 3 como indicativo de eje ternario de simetriacutea Los ejes ternarios generan la aparcicioacuten de otros ternarios en el centro de los dos triaacutengulos equilaacuteteros que conforman la celda La multiplicidad del dominio complejo es 3

Grupo plano p3m1 p como indicativo de primitivo 3 como indicativo de eje ternario de simetriacutea y m como plano de simetriacutea en la diagonal mayor del rombo Se genera alternancia de planos de deslizamiento La multiplicidad del dominio complejo es 6

Grupo plano p31m p como indicativo de primitivo 3 como indicativo de eje ternario de simetriacutea y m como plano de simetriacutea en la diagonal menor del rombo Se genera alternancia de planos de deslizamiento La multiplicidad del dominio complejo es 6

Grupo plano p6 p como indicativo de primitivo y 6 como indicativo de eje senario de simetriacutea Se generan ejes ternarios en los centros de los triaacutengulos equilaacuteteros conformadores y ejes binarios en los centros de los lados de dichos triaacutengulos La multiplicidad del dominio complejo es de 6

Grupo plano p6mm p como indicativo de primitivo 6 como indicativo de eje senario de simetriacutea y m de los planos de simetriacutea que los contienen Se generan ejes ternarios en los centros de los triaacutengulos equilaacuteteros conformadores ejes binarios en los centros de los lados de dichos triaacutengulos y planos de deslizamiento alternantes La multiplicidad del dominio complejo es de 12

La tabla que relaciona los grupos puntuales y los grupos planos pone de manifiesto que no todas las combinaciones conducen a nuevos o diferentes grupos puntuales La interaccioacuten de la simetriacutea del motivo con la simetriacutea de las diversas redes planas afecta al contenido de simetriacutea resultante del modelo planar El modelo final muestra la simetriacutea de la red cuando los elementos de simetriacutea del motivo estaacuten alineados con los elementos de simetriacutea correspondiente de la red Si el motivo tiene menos simetriacutea que la red el modelo expresaraacute el menor grado de simetriacutea del motivo con los elementos de simetriacutea de eacuteste alineados con los correspondientes elementos de simetriacutea de la red

Red Grupo puntual Grupo plano

1 p1 Obliacutecua

2 p2 m pm pg

Rectangular mm pmm pmg pgg m cm

Roacutembica mm cmm

4 p4

Cuadrada

4mm p4mm p4gm

3 p3 3m p3m p31m 6 p6

Hexagonal

6mm p6mm

- Grupos espaciales Los grupos espaciales representan las diversas formas en que los motivos pueden distribuirse en el espacio en una estructura homogeacutenea

Los grupos espaciales surgen de la combinacioacuten de los 14 tipos posibles de redes espaciales (redes de Bravais) con la simetriacutea propia de las 32 clases cristalinas o grupos puntuales maacutes la simetriacutea con traslacioacuten

Las caracteriacutesticas de la red se expresan con las letras P A B C F I R de las redes de Bravais que designan el tipo de red general A continuacioacuten se describen en el siacutembolo los elementos de simetriacutea

Ejemplos

P4m2m2m oacute p4mmm

4m2m2m oacute 4mmm Grupo de simetriacutea 4mmm

P Red tetragonal sencilla

P42n2n2m oacute P42nnm

42nnm Grupo isogonal con el 4mmm donde los ejes de rotacioacuten cuaternaria del grupo puntual aparecen como ejes de rotoinversioacuten cuaternaria y helicoidal cuaternario paralelos y alternativos Existen planos de deslizamiento n y de simetriacutea m asiacute como ejes de rotacioacuten binaria con helicoidales binarios intercalados

P Red tetragonal sencilla

Al igual que ocurriacutea en los grupos planos en los grupos espaciales con redes no primitivas la operacioacuten de centrado introduce la simetriacutea con traslacioacuten y sin embargo estos nuevos elementos no se aprecian en los siacutembolos Por ejemplo

C2m

2m Grupo de simetriacutea 2m Sin embargo aparecen debido al centrado ejes helicoidales binarios intercalados con los binarios y planos de deslizamiento intercalados con los planos de simetriacutea

C Red roacutembica centrada de tipo C

Los 230 grupos espaciales vienen descritos en las International Tables for X-ray Crystallography clasificadas seguacuten los grupos puntuales y los sistemas cristalinos

Una composicioacuten de la informacioacuten contenida en estas Tablas se muestra a continuacioacuten para el grupo espacial Cmm2 en el que la C significa una red centrada en las caras separadas por el eje c la primera m representa un plano de simetriacutea perpendicular al eje a la segunda m

representa un plano de simetriacutea perpendicular al eje b y el 2 se refiere al eje binario paralelo al eje c

  • EL ESTADO CRISTALINO
Page 29: Cristalografia Estructural

El siguiente cuadro sintetiza la notacioacuten y simetriacutea de los planos en los grupos espaciales

Siacutembolo Siacutembolo graacutefico Orientacioacuten y Traslacioacuten

m

perpendicular al papel

paralelo al papel

(100) o (010) ninguna traslacioacuten

(001) ninguna traslacioacuten

a

perpendicular al papel

paralelo al papel

(010) traslacioacuten a2

(001) traslacioacuten a2

b

perpendicular al papel

paralelo al papel

(100) traslacioacuten b2

(001) traslacioacuten b2

c perpendicular al papel

(100) 0 (010) traslacioacuten c2

n

______ perpendicular al papel

paralelo al papel

traslacioacuten (b+c)2 en (100) traslacioacuten (c+a)2 en (010)

traslacioacuten (a+b)2 en (001) traslacioacuten (a+b+c)2 en (110) en sistemas tetragonal o cuacutebico

d

perpendicular al papel

paralelo al papel

traslacioacuten (b+c)4 en (100) traslacioacuten (c+a)4 en (010)

traslacioacuten (a+b)4 en (001) traslacioacuten (a+b+c)4 en (110) en sistemas tetragonal o cuacutebico

- Eje helicoidal

Un eje helicoidal implica similarmente una operacioacuten doble

Un giro el permisible para su orden

Una traslacioacuten constante a lo largo del eje

Como sabemos el orden del eje es el nuacutemero de repeticiones que se necesitan para lograr la identidad implicando una serie de giros sucesivos hasta haber completado su operacioacuten de simetriacutea total

En un eje helicoidal cada uno de estos giros parciales debe asociarse a una parte aliacutecuota de la traslacioacuten total t paralela a la direccioacuten del eje La identidad se logra en la operacioacuten giro cuando se ha aplicado tantas veces el giro permisible como indica el orden del eje

Haciendo el periodo de identidad t coincidente con el giro completo del eje se obtienen los siguientes ejes helicoidales

Siacutembolo Siacutembolo graacutefico Denominacioacuten Giro Traslacioacuten

21 Eje binario helicoidal 180ordm t2

31 Eje ternario helicoidal

derecho120ordm

dextroacutegiro t3

32 Eje ternario helicoidal

izquierdo 120ordm levoacutegiro t3

41 Eje cuaternario helicoidal

derecho90ordm

dextroacutegiro t4

43 Eje cuaternario helicoidal

izquierdo 90ordm levoacutegiro t4

61 Eje senario helicoidal

derecho 60ordmdextroacutegiro t6

65 Eje senario helicoidal

izquierdo 60ordm levoacutegiro t6

Tambieacuten se pueden deducir los ejes helicoidales haciendo que la identidad se alcance para Nn giros siendo N el orden del eje y n un divisor entero de N

N (orden

del eje)

n (divisor entero de N)

Nn (giros)

Siacutembolo Siacutembolo graacutefico Denominacioacuten Giro Traslacioacuten

4 T2 2 42 Eje cuaternario-binario helicoidal 90ordm t2

6 3 2 63

Eje senario-ternario

helicoidal60ordm t2

6 2 3 62

Eje senario-binario helicoidal

derecho

60ordm dextroacutegiro t3

6 2 3 64

Eje senario-binario helicoidal

izquierdo

60ordm levoacutegiro t3

- Los 17 grupos planos En la deduccioacuten de los grupos planos hay que tener en cuenta que es el motivo contenido de la celda definida por unas traslaciones dadas el que muestra la existencia de los elementos de simetriacutea Es decir que las partes del motivo estaacuten relacionadas entre siacute por dichos elementos de simetriacutea (que puede ser simetriacutea con traslacioacuten) que la suma de estas partes constituye la celda y que las celdas implican una meacutetrica dada es decir tiene una forma y unas dimensiones que condicionan una simetriacutea maacutexima

En los grupos planos los haces de elementos de simetriacutea son perpendiculares al plano que se asocia a un tipo de red plana El nuacutemero de estos grupos planos es de 17

- Grupos planos con red oblicua

La simetriacutea maacutexima que permite una red obiacutecua es un haz de ejes binarios Existiraacuten por tanto dos posibilidades

Grupo plano p1 p como indicativo de primitivo y 1 como indicativo de no simetriacutea El dominio complejo coincide con el motivo y por tanto su multiplicidad es 1

Grupo plano p2 p como indicativo de primitivo y 2 como indicativo de eje binario de simetriacutea La multiplicidad del dominio complejo es 2 ya que la simetriacutea genera duplicidad del motivo

- Grupos planos con red rectangular

La simetriacutea maacutexima que permite una red rectangular es dos haces de planos de simetriacutea y un haz de ejes binarios Existiraacuten por tanto diferentes combinaciones

Grupo plano pm p como indicativo de primitivo y m como indicativo del plano de simetriacutea La multiplicidad del dominio complejo es 2 ya que la simetriacutea genera duplicidad del motivo

Grupo plano pg p como indicativo de primitivo y g como indicativo del plano de deslizamiento La multiplicidad del dominio complejo es 2 ya que la simetriacutea genera duplicidad del motivo

Grupo plano pmm (p2mm) p como indicativo de primitivo y dos m como indicativo de planos de simetriacutea mutuamente perpendiculares Los planos de simetriacutea llevan impliacutecitos la aparcicioacuten de ejes binarios La multiplicidad del dominio complejo es 4

Grupo plano pmg (p2mg) p como indicativo de primitivo y planos perpendiculares de tipo distinto (m ordinarios y g de deslizamiento) Esto hace que los ejes de simetriacutea no se encuentren en la interseccioacuten sino desplazados a lo largo del plano de deslizamiento a mitad de la componente desplazamiento El origen de la celda se toma sobre un eje binario La multiplicidad del dominio complejo es 4

Grupo plano pgg(p2gg) p como indicativo de primitivo y dos g de planos perpendiculares de deslizamiento Esto hace que los ejes de simetriacutea no se encuentren en la interseccioacuten sino desplazados a lo largo de cada plano de deslizamiento a mitad de la componente deslizamiento El origen de la celda se toma sobre un eje binario La multiplicidad del dominio complejo es 4

- Grupos planos con red roacutembica o rectangular centrada

Grupo plano cm c como indicativo de la operacioacuten de centrado y m como indicativo del plano de simetriacutea La operacioacuten de centrado lleva impliacutecita la existencia de un plano de deslizamiento La multiplicidad del dominio complejo es 4

Grupo plano cmm (c2mm) c como indicativo de centrado y dos m como indicativo de planos de simetriacutea mutuamente perpendiculares La operacioacuten de centrado lleva impliacutecita la existencia de planos de deslizamiento La multiplicidad del dominio complejo es 4 Los planos de simetriacutea ordinarios y de deslizamiento llevan impliacutecitos la aparcicioacuten de ejes binarios en las intersecciones del mismo tipo de planos no de distintos La multiplicidad del dominio complejo es 8

- Grupos planos con red cuadrada

La simetriacutea maacutexima que permite una red cuadrada es un haz de ejes cuaternarios y sus planos de simetriacutea contenidos en ellos En todos los casos se toma un eje cuaternario como origen de

la celda apareciendo otro eje cuaternario en el centro de la celda Existiraacuten por tanto diferentes combinaciones

Grupo plano p4 p como indicativo de primitivo y 4 como indicativo de eje cuaternario de simetriacutea Los ejes cuaternarios generan la aparcicioacuten de ejes binarios intercalados entre los cuaternarios La multiplicidad del dominio complejo es 4

Grupo plano p4mm p como indicativo de primitivo 4 como indicativo de eje cuaternario de simetriacutea y m como los planos de simetriacutea que contienen a dichos ejes Los ejes cuaternarios generan la aparcicioacuten de ejes binarios intercalados entre los cuaternarios y toda la simetriacutea genera planos de deslizamiento paralelos a las diagonales de la celda La multiplicidad del dominio complejo es 8

Grupo plano p4gm p como indicativo de primitivo 4 como indicativo de eje cuaternario de simetriacutea g como planos de deslizamiento y m como los planos de simetriacutea La multiplicidad del dominio complejo es 8

- Grupos planos con red hexagonal

La simetriacutea maacutexima que permite una red hexagonal es un haz de ejes senarios o ternarios y los planos de simetriacutea que contienen a dichos ejes Existiraacuten por tanto diferentes combinaciones

Grupo plano p3 p como indicativo de primitivo y 3 como indicativo de eje ternario de simetriacutea Los ejes ternarios generan la aparcicioacuten de otros ternarios en el centro de los dos triaacutengulos equilaacuteteros que conforman la celda La multiplicidad del dominio complejo es 3

Grupo plano p3m1 p como indicativo de primitivo 3 como indicativo de eje ternario de simetriacutea y m como plano de simetriacutea en la diagonal mayor del rombo Se genera alternancia de planos de deslizamiento La multiplicidad del dominio complejo es 6

Grupo plano p31m p como indicativo de primitivo 3 como indicativo de eje ternario de simetriacutea y m como plano de simetriacutea en la diagonal menor del rombo Se genera alternancia de planos de deslizamiento La multiplicidad del dominio complejo es 6

Grupo plano p6 p como indicativo de primitivo y 6 como indicativo de eje senario de simetriacutea Se generan ejes ternarios en los centros de los triaacutengulos equilaacuteteros conformadores y ejes binarios en los centros de los lados de dichos triaacutengulos La multiplicidad del dominio complejo es de 6

Grupo plano p6mm p como indicativo de primitivo 6 como indicativo de eje senario de simetriacutea y m de los planos de simetriacutea que los contienen Se generan ejes ternarios en los centros de los triaacutengulos equilaacuteteros conformadores ejes binarios en los centros de los lados de dichos triaacutengulos y planos de deslizamiento alternantes La multiplicidad del dominio complejo es de 12

La tabla que relaciona los grupos puntuales y los grupos planos pone de manifiesto que no todas las combinaciones conducen a nuevos o diferentes grupos puntuales La interaccioacuten de la simetriacutea del motivo con la simetriacutea de las diversas redes planas afecta al contenido de simetriacutea resultante del modelo planar El modelo final muestra la simetriacutea de la red cuando los elementos de simetriacutea del motivo estaacuten alineados con los elementos de simetriacutea correspondiente de la red Si el motivo tiene menos simetriacutea que la red el modelo expresaraacute el menor grado de simetriacutea del motivo con los elementos de simetriacutea de eacuteste alineados con los correspondientes elementos de simetriacutea de la red

Red Grupo puntual Grupo plano

1 p1 Obliacutecua

2 p2 m pm pg

Rectangular mm pmm pmg pgg m cm

Roacutembica mm cmm

4 p4

Cuadrada

4mm p4mm p4gm

3 p3 3m p3m p31m 6 p6

Hexagonal

6mm p6mm

- Grupos espaciales Los grupos espaciales representan las diversas formas en que los motivos pueden distribuirse en el espacio en una estructura homogeacutenea

Los grupos espaciales surgen de la combinacioacuten de los 14 tipos posibles de redes espaciales (redes de Bravais) con la simetriacutea propia de las 32 clases cristalinas o grupos puntuales maacutes la simetriacutea con traslacioacuten

Las caracteriacutesticas de la red se expresan con las letras P A B C F I R de las redes de Bravais que designan el tipo de red general A continuacioacuten se describen en el siacutembolo los elementos de simetriacutea

Ejemplos

P4m2m2m oacute p4mmm

4m2m2m oacute 4mmm Grupo de simetriacutea 4mmm

P Red tetragonal sencilla

P42n2n2m oacute P42nnm

42nnm Grupo isogonal con el 4mmm donde los ejes de rotacioacuten cuaternaria del grupo puntual aparecen como ejes de rotoinversioacuten cuaternaria y helicoidal cuaternario paralelos y alternativos Existen planos de deslizamiento n y de simetriacutea m asiacute como ejes de rotacioacuten binaria con helicoidales binarios intercalados

P Red tetragonal sencilla

Al igual que ocurriacutea en los grupos planos en los grupos espaciales con redes no primitivas la operacioacuten de centrado introduce la simetriacutea con traslacioacuten y sin embargo estos nuevos elementos no se aprecian en los siacutembolos Por ejemplo

C2m

2m Grupo de simetriacutea 2m Sin embargo aparecen debido al centrado ejes helicoidales binarios intercalados con los binarios y planos de deslizamiento intercalados con los planos de simetriacutea

C Red roacutembica centrada de tipo C

Los 230 grupos espaciales vienen descritos en las International Tables for X-ray Crystallography clasificadas seguacuten los grupos puntuales y los sistemas cristalinos

Una composicioacuten de la informacioacuten contenida en estas Tablas se muestra a continuacioacuten para el grupo espacial Cmm2 en el que la C significa una red centrada en las caras separadas por el eje c la primera m representa un plano de simetriacutea perpendicular al eje a la segunda m

representa un plano de simetriacutea perpendicular al eje b y el 2 se refiere al eje binario paralelo al eje c

  • EL ESTADO CRISTALINO
Page 30: Cristalografia Estructural

- Eje helicoidal

Un eje helicoidal implica similarmente una operacioacuten doble

Un giro el permisible para su orden

Una traslacioacuten constante a lo largo del eje

Como sabemos el orden del eje es el nuacutemero de repeticiones que se necesitan para lograr la identidad implicando una serie de giros sucesivos hasta haber completado su operacioacuten de simetriacutea total

En un eje helicoidal cada uno de estos giros parciales debe asociarse a una parte aliacutecuota de la traslacioacuten total t paralela a la direccioacuten del eje La identidad se logra en la operacioacuten giro cuando se ha aplicado tantas veces el giro permisible como indica el orden del eje

Haciendo el periodo de identidad t coincidente con el giro completo del eje se obtienen los siguientes ejes helicoidales

Siacutembolo Siacutembolo graacutefico Denominacioacuten Giro Traslacioacuten

21 Eje binario helicoidal 180ordm t2

31 Eje ternario helicoidal

derecho120ordm

dextroacutegiro t3

32 Eje ternario helicoidal

izquierdo 120ordm levoacutegiro t3

41 Eje cuaternario helicoidal

derecho90ordm

dextroacutegiro t4

43 Eje cuaternario helicoidal

izquierdo 90ordm levoacutegiro t4

61 Eje senario helicoidal

derecho 60ordmdextroacutegiro t6

65 Eje senario helicoidal

izquierdo 60ordm levoacutegiro t6

Tambieacuten se pueden deducir los ejes helicoidales haciendo que la identidad se alcance para Nn giros siendo N el orden del eje y n un divisor entero de N

N (orden

del eje)

n (divisor entero de N)

Nn (giros)

Siacutembolo Siacutembolo graacutefico Denominacioacuten Giro Traslacioacuten

4 T2 2 42 Eje cuaternario-binario helicoidal 90ordm t2

6 3 2 63

Eje senario-ternario

helicoidal60ordm t2

6 2 3 62

Eje senario-binario helicoidal

derecho

60ordm dextroacutegiro t3

6 2 3 64

Eje senario-binario helicoidal

izquierdo

60ordm levoacutegiro t3

- Los 17 grupos planos En la deduccioacuten de los grupos planos hay que tener en cuenta que es el motivo contenido de la celda definida por unas traslaciones dadas el que muestra la existencia de los elementos de simetriacutea Es decir que las partes del motivo estaacuten relacionadas entre siacute por dichos elementos de simetriacutea (que puede ser simetriacutea con traslacioacuten) que la suma de estas partes constituye la celda y que las celdas implican una meacutetrica dada es decir tiene una forma y unas dimensiones que condicionan una simetriacutea maacutexima

En los grupos planos los haces de elementos de simetriacutea son perpendiculares al plano que se asocia a un tipo de red plana El nuacutemero de estos grupos planos es de 17

- Grupos planos con red oblicua

La simetriacutea maacutexima que permite una red obiacutecua es un haz de ejes binarios Existiraacuten por tanto dos posibilidades

Grupo plano p1 p como indicativo de primitivo y 1 como indicativo de no simetriacutea El dominio complejo coincide con el motivo y por tanto su multiplicidad es 1

Grupo plano p2 p como indicativo de primitivo y 2 como indicativo de eje binario de simetriacutea La multiplicidad del dominio complejo es 2 ya que la simetriacutea genera duplicidad del motivo

- Grupos planos con red rectangular

La simetriacutea maacutexima que permite una red rectangular es dos haces de planos de simetriacutea y un haz de ejes binarios Existiraacuten por tanto diferentes combinaciones

Grupo plano pm p como indicativo de primitivo y m como indicativo del plano de simetriacutea La multiplicidad del dominio complejo es 2 ya que la simetriacutea genera duplicidad del motivo

Grupo plano pg p como indicativo de primitivo y g como indicativo del plano de deslizamiento La multiplicidad del dominio complejo es 2 ya que la simetriacutea genera duplicidad del motivo

Grupo plano pmm (p2mm) p como indicativo de primitivo y dos m como indicativo de planos de simetriacutea mutuamente perpendiculares Los planos de simetriacutea llevan impliacutecitos la aparcicioacuten de ejes binarios La multiplicidad del dominio complejo es 4

Grupo plano pmg (p2mg) p como indicativo de primitivo y planos perpendiculares de tipo distinto (m ordinarios y g de deslizamiento) Esto hace que los ejes de simetriacutea no se encuentren en la interseccioacuten sino desplazados a lo largo del plano de deslizamiento a mitad de la componente desplazamiento El origen de la celda se toma sobre un eje binario La multiplicidad del dominio complejo es 4

Grupo plano pgg(p2gg) p como indicativo de primitivo y dos g de planos perpendiculares de deslizamiento Esto hace que los ejes de simetriacutea no se encuentren en la interseccioacuten sino desplazados a lo largo de cada plano de deslizamiento a mitad de la componente deslizamiento El origen de la celda se toma sobre un eje binario La multiplicidad del dominio complejo es 4

- Grupos planos con red roacutembica o rectangular centrada

Grupo plano cm c como indicativo de la operacioacuten de centrado y m como indicativo del plano de simetriacutea La operacioacuten de centrado lleva impliacutecita la existencia de un plano de deslizamiento La multiplicidad del dominio complejo es 4

Grupo plano cmm (c2mm) c como indicativo de centrado y dos m como indicativo de planos de simetriacutea mutuamente perpendiculares La operacioacuten de centrado lleva impliacutecita la existencia de planos de deslizamiento La multiplicidad del dominio complejo es 4 Los planos de simetriacutea ordinarios y de deslizamiento llevan impliacutecitos la aparcicioacuten de ejes binarios en las intersecciones del mismo tipo de planos no de distintos La multiplicidad del dominio complejo es 8

- Grupos planos con red cuadrada

La simetriacutea maacutexima que permite una red cuadrada es un haz de ejes cuaternarios y sus planos de simetriacutea contenidos en ellos En todos los casos se toma un eje cuaternario como origen de

la celda apareciendo otro eje cuaternario en el centro de la celda Existiraacuten por tanto diferentes combinaciones

Grupo plano p4 p como indicativo de primitivo y 4 como indicativo de eje cuaternario de simetriacutea Los ejes cuaternarios generan la aparcicioacuten de ejes binarios intercalados entre los cuaternarios La multiplicidad del dominio complejo es 4

Grupo plano p4mm p como indicativo de primitivo 4 como indicativo de eje cuaternario de simetriacutea y m como los planos de simetriacutea que contienen a dichos ejes Los ejes cuaternarios generan la aparcicioacuten de ejes binarios intercalados entre los cuaternarios y toda la simetriacutea genera planos de deslizamiento paralelos a las diagonales de la celda La multiplicidad del dominio complejo es 8

Grupo plano p4gm p como indicativo de primitivo 4 como indicativo de eje cuaternario de simetriacutea g como planos de deslizamiento y m como los planos de simetriacutea La multiplicidad del dominio complejo es 8

- Grupos planos con red hexagonal

La simetriacutea maacutexima que permite una red hexagonal es un haz de ejes senarios o ternarios y los planos de simetriacutea que contienen a dichos ejes Existiraacuten por tanto diferentes combinaciones

Grupo plano p3 p como indicativo de primitivo y 3 como indicativo de eje ternario de simetriacutea Los ejes ternarios generan la aparcicioacuten de otros ternarios en el centro de los dos triaacutengulos equilaacuteteros que conforman la celda La multiplicidad del dominio complejo es 3

Grupo plano p3m1 p como indicativo de primitivo 3 como indicativo de eje ternario de simetriacutea y m como plano de simetriacutea en la diagonal mayor del rombo Se genera alternancia de planos de deslizamiento La multiplicidad del dominio complejo es 6

Grupo plano p31m p como indicativo de primitivo 3 como indicativo de eje ternario de simetriacutea y m como plano de simetriacutea en la diagonal menor del rombo Se genera alternancia de planos de deslizamiento La multiplicidad del dominio complejo es 6

Grupo plano p6 p como indicativo de primitivo y 6 como indicativo de eje senario de simetriacutea Se generan ejes ternarios en los centros de los triaacutengulos equilaacuteteros conformadores y ejes binarios en los centros de los lados de dichos triaacutengulos La multiplicidad del dominio complejo es de 6

Grupo plano p6mm p como indicativo de primitivo 6 como indicativo de eje senario de simetriacutea y m de los planos de simetriacutea que los contienen Se generan ejes ternarios en los centros de los triaacutengulos equilaacuteteros conformadores ejes binarios en los centros de los lados de dichos triaacutengulos y planos de deslizamiento alternantes La multiplicidad del dominio complejo es de 12

La tabla que relaciona los grupos puntuales y los grupos planos pone de manifiesto que no todas las combinaciones conducen a nuevos o diferentes grupos puntuales La interaccioacuten de la simetriacutea del motivo con la simetriacutea de las diversas redes planas afecta al contenido de simetriacutea resultante del modelo planar El modelo final muestra la simetriacutea de la red cuando los elementos de simetriacutea del motivo estaacuten alineados con los elementos de simetriacutea correspondiente de la red Si el motivo tiene menos simetriacutea que la red el modelo expresaraacute el menor grado de simetriacutea del motivo con los elementos de simetriacutea de eacuteste alineados con los correspondientes elementos de simetriacutea de la red

Red Grupo puntual Grupo plano

1 p1 Obliacutecua

2 p2 m pm pg

Rectangular mm pmm pmg pgg m cm

Roacutembica mm cmm

4 p4

Cuadrada

4mm p4mm p4gm

3 p3 3m p3m p31m 6 p6

Hexagonal

6mm p6mm

- Grupos espaciales Los grupos espaciales representan las diversas formas en que los motivos pueden distribuirse en el espacio en una estructura homogeacutenea

Los grupos espaciales surgen de la combinacioacuten de los 14 tipos posibles de redes espaciales (redes de Bravais) con la simetriacutea propia de las 32 clases cristalinas o grupos puntuales maacutes la simetriacutea con traslacioacuten

Las caracteriacutesticas de la red se expresan con las letras P A B C F I R de las redes de Bravais que designan el tipo de red general A continuacioacuten se describen en el siacutembolo los elementos de simetriacutea

Ejemplos

P4m2m2m oacute p4mmm

4m2m2m oacute 4mmm Grupo de simetriacutea 4mmm

P Red tetragonal sencilla

P42n2n2m oacute P42nnm

42nnm Grupo isogonal con el 4mmm donde los ejes de rotacioacuten cuaternaria del grupo puntual aparecen como ejes de rotoinversioacuten cuaternaria y helicoidal cuaternario paralelos y alternativos Existen planos de deslizamiento n y de simetriacutea m asiacute como ejes de rotacioacuten binaria con helicoidales binarios intercalados

P Red tetragonal sencilla

Al igual que ocurriacutea en los grupos planos en los grupos espaciales con redes no primitivas la operacioacuten de centrado introduce la simetriacutea con traslacioacuten y sin embargo estos nuevos elementos no se aprecian en los siacutembolos Por ejemplo

C2m

2m Grupo de simetriacutea 2m Sin embargo aparecen debido al centrado ejes helicoidales binarios intercalados con los binarios y planos de deslizamiento intercalados con los planos de simetriacutea

C Red roacutembica centrada de tipo C

Los 230 grupos espaciales vienen descritos en las International Tables for X-ray Crystallography clasificadas seguacuten los grupos puntuales y los sistemas cristalinos

Una composicioacuten de la informacioacuten contenida en estas Tablas se muestra a continuacioacuten para el grupo espacial Cmm2 en el que la C significa una red centrada en las caras separadas por el eje c la primera m representa un plano de simetriacutea perpendicular al eje a la segunda m

representa un plano de simetriacutea perpendicular al eje b y el 2 se refiere al eje binario paralelo al eje c

  • EL ESTADO CRISTALINO
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Haciendo el periodo de identidad t coincidente con el giro completo del eje se obtienen los siguientes ejes helicoidales

Siacutembolo Siacutembolo graacutefico Denominacioacuten Giro Traslacioacuten

21 Eje binario helicoidal 180ordm t2

31 Eje ternario helicoidal

derecho120ordm

dextroacutegiro t3

32 Eje ternario helicoidal

izquierdo 120ordm levoacutegiro t3

41 Eje cuaternario helicoidal

derecho90ordm

dextroacutegiro t4

43 Eje cuaternario helicoidal

izquierdo 90ordm levoacutegiro t4

61 Eje senario helicoidal

derecho 60ordmdextroacutegiro t6

65 Eje senario helicoidal

izquierdo 60ordm levoacutegiro t6

Tambieacuten se pueden deducir los ejes helicoidales haciendo que la identidad se alcance para Nn giros siendo N el orden del eje y n un divisor entero de N

N (orden

del eje)

n (divisor entero de N)

Nn (giros)

Siacutembolo Siacutembolo graacutefico Denominacioacuten Giro Traslacioacuten

4 T2 2 42 Eje cuaternario-binario helicoidal 90ordm t2

6 3 2 63

Eje senario-ternario

helicoidal60ordm t2

6 2 3 62

Eje senario-binario helicoidal

derecho

60ordm dextroacutegiro t3

6 2 3 64

Eje senario-binario helicoidal

izquierdo

60ordm levoacutegiro t3

- Los 17 grupos planos En la deduccioacuten de los grupos planos hay que tener en cuenta que es el motivo contenido de la celda definida por unas traslaciones dadas el que muestra la existencia de los elementos de simetriacutea Es decir que las partes del motivo estaacuten relacionadas entre siacute por dichos elementos de simetriacutea (que puede ser simetriacutea con traslacioacuten) que la suma de estas partes constituye la celda y que las celdas implican una meacutetrica dada es decir tiene una forma y unas dimensiones que condicionan una simetriacutea maacutexima

En los grupos planos los haces de elementos de simetriacutea son perpendiculares al plano que se asocia a un tipo de red plana El nuacutemero de estos grupos planos es de 17

- Grupos planos con red oblicua

La simetriacutea maacutexima que permite una red obiacutecua es un haz de ejes binarios Existiraacuten por tanto dos posibilidades

Grupo plano p1 p como indicativo de primitivo y 1 como indicativo de no simetriacutea El dominio complejo coincide con el motivo y por tanto su multiplicidad es 1

Grupo plano p2 p como indicativo de primitivo y 2 como indicativo de eje binario de simetriacutea La multiplicidad del dominio complejo es 2 ya que la simetriacutea genera duplicidad del motivo

- Grupos planos con red rectangular

La simetriacutea maacutexima que permite una red rectangular es dos haces de planos de simetriacutea y un haz de ejes binarios Existiraacuten por tanto diferentes combinaciones

Grupo plano pm p como indicativo de primitivo y m como indicativo del plano de simetriacutea La multiplicidad del dominio complejo es 2 ya que la simetriacutea genera duplicidad del motivo

Grupo plano pg p como indicativo de primitivo y g como indicativo del plano de deslizamiento La multiplicidad del dominio complejo es 2 ya que la simetriacutea genera duplicidad del motivo

Grupo plano pmm (p2mm) p como indicativo de primitivo y dos m como indicativo de planos de simetriacutea mutuamente perpendiculares Los planos de simetriacutea llevan impliacutecitos la aparcicioacuten de ejes binarios La multiplicidad del dominio complejo es 4

Grupo plano pmg (p2mg) p como indicativo de primitivo y planos perpendiculares de tipo distinto (m ordinarios y g de deslizamiento) Esto hace que los ejes de simetriacutea no se encuentren en la interseccioacuten sino desplazados a lo largo del plano de deslizamiento a mitad de la componente desplazamiento El origen de la celda se toma sobre un eje binario La multiplicidad del dominio complejo es 4

Grupo plano pgg(p2gg) p como indicativo de primitivo y dos g de planos perpendiculares de deslizamiento Esto hace que los ejes de simetriacutea no se encuentren en la interseccioacuten sino desplazados a lo largo de cada plano de deslizamiento a mitad de la componente deslizamiento El origen de la celda se toma sobre un eje binario La multiplicidad del dominio complejo es 4

- Grupos planos con red roacutembica o rectangular centrada

Grupo plano cm c como indicativo de la operacioacuten de centrado y m como indicativo del plano de simetriacutea La operacioacuten de centrado lleva impliacutecita la existencia de un plano de deslizamiento La multiplicidad del dominio complejo es 4

Grupo plano cmm (c2mm) c como indicativo de centrado y dos m como indicativo de planos de simetriacutea mutuamente perpendiculares La operacioacuten de centrado lleva impliacutecita la existencia de planos de deslizamiento La multiplicidad del dominio complejo es 4 Los planos de simetriacutea ordinarios y de deslizamiento llevan impliacutecitos la aparcicioacuten de ejes binarios en las intersecciones del mismo tipo de planos no de distintos La multiplicidad del dominio complejo es 8

- Grupos planos con red cuadrada

La simetriacutea maacutexima que permite una red cuadrada es un haz de ejes cuaternarios y sus planos de simetriacutea contenidos en ellos En todos los casos se toma un eje cuaternario como origen de

la celda apareciendo otro eje cuaternario en el centro de la celda Existiraacuten por tanto diferentes combinaciones

Grupo plano p4 p como indicativo de primitivo y 4 como indicativo de eje cuaternario de simetriacutea Los ejes cuaternarios generan la aparcicioacuten de ejes binarios intercalados entre los cuaternarios La multiplicidad del dominio complejo es 4

Grupo plano p4mm p como indicativo de primitivo 4 como indicativo de eje cuaternario de simetriacutea y m como los planos de simetriacutea que contienen a dichos ejes Los ejes cuaternarios generan la aparcicioacuten de ejes binarios intercalados entre los cuaternarios y toda la simetriacutea genera planos de deslizamiento paralelos a las diagonales de la celda La multiplicidad del dominio complejo es 8

Grupo plano p4gm p como indicativo de primitivo 4 como indicativo de eje cuaternario de simetriacutea g como planos de deslizamiento y m como los planos de simetriacutea La multiplicidad del dominio complejo es 8

- Grupos planos con red hexagonal

La simetriacutea maacutexima que permite una red hexagonal es un haz de ejes senarios o ternarios y los planos de simetriacutea que contienen a dichos ejes Existiraacuten por tanto diferentes combinaciones

Grupo plano p3 p como indicativo de primitivo y 3 como indicativo de eje ternario de simetriacutea Los ejes ternarios generan la aparcicioacuten de otros ternarios en el centro de los dos triaacutengulos equilaacuteteros que conforman la celda La multiplicidad del dominio complejo es 3

Grupo plano p3m1 p como indicativo de primitivo 3 como indicativo de eje ternario de simetriacutea y m como plano de simetriacutea en la diagonal mayor del rombo Se genera alternancia de planos de deslizamiento La multiplicidad del dominio complejo es 6

Grupo plano p31m p como indicativo de primitivo 3 como indicativo de eje ternario de simetriacutea y m como plano de simetriacutea en la diagonal menor del rombo Se genera alternancia de planos de deslizamiento La multiplicidad del dominio complejo es 6

Grupo plano p6 p como indicativo de primitivo y 6 como indicativo de eje senario de simetriacutea Se generan ejes ternarios en los centros de los triaacutengulos equilaacuteteros conformadores y ejes binarios en los centros de los lados de dichos triaacutengulos La multiplicidad del dominio complejo es de 6