Introduccion a la Cinematica de las Maquinas.

Jose Marıa Rico Martınez

Departamento de Ingenierıa Mecanica

Division de Ingenierıas, Campus Irapuato-Salamanca

Universidad de Guanajuato

Salamanca, Gto. 36885, Mexico

February 22, 2016

Objetivo: El objetivo de estas notas es proporcionar al interesado una recopilacion de las definiciones yresultados mas importantes acerca de los fundamentos de la teorıa de las maquinas y mecanismos. Ademaspermite realizar algunas puntualizaciones necesarias ausentes en algunos libros de texto.

1 Generalidades

La cinematica de las maquinas, tambien llamada mecanismos, es una disciplina que enlaza ciencias mas basicas,como dinamica, con otras mas ingenieriles o de aplicacion, tales como el diseno de maquinas. Durante el estudiode la dinamica se aprendio el calculo de velocidades y aceleraciones de cuerpos rıgidos y agrupaciones de cuerposrıgidos; ademas, se analizaron las fuerzas necesarias para producir determinadas aceleraciones en los cuerpos.Mucho de ese material sera nuevamente estudiado en la cinematica de las maquinas; sin embargo, ahora elestudio se concentrara en agrupaciones de cuerpos conocidos como mecanismos.

Por otro lado, la cinematica de las maquinas concede especial atencion a las distintas posiciones que loscuerpos que forman parte de un mecanismo adquieren durante el movimiento del mecanismo. Este analisis deposicion es requerido en el diseno de maquinas. Cronologicamente, la primera consideracion en un diseno, esel movimiento que es necesario producir a fın de cumplir con el objetivo deseado; en un segundo termino, seencuentran las consideraciones de resistencia y rigidez. En cuanto a predominancia, en algunos casos, como en eldiseno del mecanismo de impresion de una maquina de escribir manual, el punto de vista mas importante es aquelque se relaciona con el movimiento requerido; mientras que en otros, como el diseno de trascabos y maquinaria deconstruccion, los argumentos de resistencia y rigidez predominan sobre los argumentos puramente cinematicos.En ultimo caso, el diseno final debe obtenerse despues de un compromiso entre ambas consideraciones. Despuesde estos comentarios preliminares, es posible intentar una definicion de la cinematica de las maquinas.

1.1 Definicion de la Cinematica de las Maquinas.

Definicion: La cinematica de las maquinas se define como aquella division del diseno de maquinas queconcierne con el diseno cinematico de eslabonamientos, levas, engranes, etc. A fın de precisar el significado dela cinematica de las maquinas se requiere de dos definiciones adicionales.

Definicion: Diseno de maquinas: Es la creacion de un plan para la construccion de una maquina odispositivo para realizar una funcion.

Definicion: Diseno cinematico: Es diseno sobre la base de requerimientos de movimiento, en contrastecon el diseno en base a requerimientos de resistencia y rigidez. Ası pues, es posible redefinir la cinematica delas maquinas como: “Aquella parte del diseno de maquinas que concierne con el diseno, en base arequerimientos de movimiento, de eslabonamientos, levas, engranes, etc”.

1.2 Mecanismo y Maquina.

Haremos ahora una distincion conceptual entre mecanismos y maquinas.

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Definicion: Mecanismo. Es un dispositivo para trasformar un movimiento en otro.

Definicion: Maquina1: Es un mecanismo o una combinacion de mecanismos que trasmiten fuerza, desdela fuente de potencia hasta la resistencia a vencer. Si las fuerzas estan asociadas con la conversion de la energıade fluidos a alta temperatura, entonces podemos hablar de una maquina termica2.

Mientras que en la idea de mecanismo, el pensamiento se centra sobre el movimiento, dejando en un planosecundario la transmision de fuerza necesaria para vencer la friccion o una fuerza exterior; en la idea de maquina,la mente asocia la transmision de fuerzas substanciales. Debe reconocerse que las partes que constituyen unmecanismo deben ser resistentes a la deformacion; es decir, cuerpos rıgidos aproximados.3

Ademas, puesto que en la cinematica de las maquinas no interesa la resistencia y la rigidez, supondremos quelas partes de un mecanismo son completamente rıgidas y sin peso. A la luz de la anterior discusion, podemosdefinir un mecanismo como un conjunto de cuerpos conectados de tal manera que cada uno semueve respecto a los demas y transmiten movimiento.

2 Grados de Libertad del Movimiento de un Cuerpo Rıgido.

El concepto de grados de libertad proviene de la teorıa de sistemas y es de aplicacion muy general, en estasnotas adoptaremos la siguiente definicion.

Definicion: Grado de libertad de un sistema. Se define como el numero mınimo y suficiente devariables que es necesario conocer para determinar el estado de un sistema.

En la cinematica, donde no nos interesan las fuerzas que producen el movimiento, el estado de un sistema,cinematico, es sinonimo con posicion. Si se conoce la posicion de un sistema cinematico se conoce todo acercadel sistema. Ası pues, es posible iniciar explorando el concepto de grados de libertad del movimiento de uncuerpo rıgido.

Definicion: Grado de libertad de un cuerpo rıgido es el numero mınimo y suficiente de variablesnecesarias para especificar completamente la posicion del cuerpo. Si el cuerpo esta libre de moverse en elespacio su movimiento tiene seis grados de libertad, vea la figura 1.

Figure 1: Grados de Libertad de un Cuerpo Rıgido Libre de Moverse en el Espacio.

Es decir, se requieren seis variables para especificar completamente la posicion del cuerpo: Tres variablespara especificar las coordenadas de un punto cualquiera del cuerpo, respecto a un sistema de referencia dado, ytres variables para especificar la orientacion de un sistema coordenado formado por tres lıneas perpendicularesunidas al punto seleccionado del cuerpo. A cada una de esas variables se le asocia un grado de libertad.

Al ponerse en contacto, con otros cuerpos, el movimiento del cuerpo original pierde grados de libertad, porejemplo

1En idioma ingles Machine.2En idioma ingles Engine.3Este requisito es necesario debido a la gran dificultad para analizar elementos flexibles en movimiento. Sin embargo, desde

hace unos veinte anos, se han dado los primeros pasos en esa direccion.

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1. Un trompo que gira manteniendo contacto con un plano pierde un grado de libertad, el de translacion alo largo del eje perpendicular al plano de movimiento.

2. Si el trompo gira de manera tal que la punta permanece fija en un punto, pierde los tres grados de libertadasociados a la translacion.

3. Un cuerpo sujeto a rotacion alrededor de un eje fijo pierde cinco grados de libertad, restandole tan soloaquel asociado a la rotacion alrededor del eje fijo.

4. Un cuerpo sujeto a translacion rectilınea, pierde todos sus grados de libertad excepto aquel asociado a latranslacion a lo largo del eje de desplazamiento.

5. Un cuerpo sujeto a movimiento plano, un movimiento tal que todas las partıculas del cuerpo se mueven enplanos paralelos, tiene tres grados de libertad. Dos de ellos estan asociados a las translaciones a lo largode ejes linealmente independientes contenidos en el plano de movimiento y el grado de libertad restanteesta asociado a la rotacion alrededor de un eje fijo perpendicular al plano, vea la figura 2.

Figure 2: Grados de Libertad de un Cuerpo Rıgido Sujeto a Movimiento Plano General.

Este ultimo tipo de movimiento reviste especial importancia en virtud de que en una gran parte de losmecanismos industriales los cuerpos que forman el mecanismo se mueven de esta manera. Mas aun, la mayorparte del curso se centra sobre esta clase de mecanismos llamados planos

El movimiento plano general tiene como casos especiales la traslacion bidimensional y la rotacion alrededorde un eje fijo.

Una vez establecidos estos conceptos fundamentales, se analizaran los elementos que constituyen los mecan-ismos.

3 Elementos Constitutivos de un Mecanismo.

Los elementos constitutivos de un mecanismo son, por un lado, los cuerpos que forman el mecanismo y, por elotro lado, las conecciones entres estos cuerpos que les permiten permanecer en contacto y transmitir movimiento.Los cuerpos se denominan eslabones o barras y las conecciones se denominan pares cinematicos, en estasseccion ambos se definiran de manera puntual y se clasificaran en diferentes tipos o clases.

3.1 Eslabon o Barra.

Definicion: Eslabon o barra es cada uno de los cuerpos que forman un mecanismo y, de acuerdo con loexplicado, se suponen que son rıgidos y no tienen peso.

La condicion de rigidez de los eslabones no es necesariamente total, sino unicamente implica que sea rıgidorespecto a las fuerzas a las que se somete el eslabon.

Esta consideracion da lugar a una clasificacion de los eslabones de acuerdo a su rigidez:

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1. Rıgido en ambos sentidos, cuando el eslabon tiene rigidez a tension y compresion. Ejemplos: La bielade un compresor, un engrane, el piston de una maquina de combustion interna, etc.

2. Rıgido en un unico sentido.

(a) Rıgido cuando se sujeta a compresion. Ejemplo: Fluidos hidraulicos.

(b) Rıgido cuando se sujeta a tension. Ejemplo: Correas, bandas y cadenas.

A fın de transmitir movimiento, los eslabones deben conectarse unos a otros. Esas conexiones se realizan atraves de ciertas partes de sus cuerpos que reciben el nombre de elementos. La siguiente subseccion examinala relacion entre elementos y pares.

3.2 Eslabones y Pares.

Definicion: Par cinematico. Una pareja de elementos, pertenecientes a diferentes eslabones, mantenidospermanentemente en contacto y de manera que existe movimiento relativo entre ellos, recibe el nombre de parcinematico.

Esta definicion da lugar a una nueva clasificacion de los eslabones, esta clasificacion depende del numero deelementos que contiene un eslabon; en otra palabras, la clasificacion indica el numero maximo de pares, quepuede formar el eslabon.

Es logico que si los eslabones tienen como funcion la transmision de movimiento, el numero mınimo de paresque deben formar es dos; ası pues, los eslabones se clasifican en:

1. Eslabon o barra binaria, vea la figura 3.4

Figure 3: Eslabon o Barra Binaria.

2. Eslabon o barra poligonal.5

(a) Barra ternaria, vea la figura 4.

Figure 4: Dos Posibles Representaciones de una Barra Ternaria.

(b) Barra cuaternaria.

(c) Barra quinaria, etcetera.

Una vez que se han completado las clasificaciones de eslabones, es necesario proceder con el estudio y clasificacionde pares cinematicos.

4Es importante senalar que esta clasificacion se desarrollo antes de la aparicion de manipuladores seriales, en los cuales, eleslabon terminal y el eslabon que une al manipulador con la tierra, unicamente tiene un elemento y son, por lo tanto, eslabonesunarios.

5A fın de indicar que se trata de un unico cuerpo, y no de tres o mas cuerpos unidos mediante pares cinematicos, los eslabonespoligonales se anchuran.

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3.3 Clasificacion de Pares Cinematicos.

La clasificacion de pares cinematicos puede realizarse en base a tres diferentes criterios.

1. El numero de grados de libertad del movimiento relativo de los eslabones que estan conectados por el par.

2. El tipo de contacto entre los elementos.

3. La forma en que los elementos se mantienen en contacto.

Clasificacion de pares cinematicos en cuanto al numero de grados de libertad del movimientorelativo entre los elementos.6

En esta clasificacion, existen dos condiciones que imponen un lımite superior e inferior al numero de gradosde libertad, esas condiciones son:

• El par cinematico debe permitir movimiento relativo entre los elementos. Por lo tanto, debeexistir al menos un grado de libertad en el movimiento relativo.

• Los elementos, y consecuentemente los eslabones unidos por el par, deben permanecer encontacto. De aqui que deba existir como maximo cinco grados de libertad en el movimiento relativo entrelos eslabones. Una vez que se han determinado los lımites superior e inferior del numero de grados delibertad del movimiento relativo que permite un par cinematico, es posible clasificarlos de forma exhaustiva.

En base a estos fundamentos es posible clasificar a los pares cinematicos en base al numero de grados delibertad del movimiento relativo que permiten entre los eslabones.

6Esta clasificacion esta basada en las diferentes formas en que el movimiento relativo entre los dos cuerpos puede restringirse.Existe otro criterio mas estricto para la definicion de un par cinematico; este criterio requiere que el conjunto de movimientos relativosque permite un par sea un subgrupo del grupo de los movimientos de un cuerpo rıgido junto con la operacion de composicion. Estegrupo se conoce como grupo euclidiano.

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3.3.1 Clasificacion de Pares Cinematicos en Base a los Grados de Libertad del MovimientoPermitido Entre los Eslabones.

Pares Cinematicos de Clase I. Numero de grados de libertad del movimiento 1. Numero de grados delibertad perdidos 5. Posibles casos:

1. Revoluta (R), permite un movimiento de rotacion alrededor de un eje fijo.

Figure 5: Par de Revoluta.

2. Prismatico (P), permite un movimiento de traslacion a lo largo de un eje, o una curva dada.

Figure 6: Par Prismatico.

3. Helicoidal o de tornillo (H), permite un movimiento de traslacion a lo largo de un eje y simultaneamenteun movimiento de rotacion, dependiente de la translacion, alrededor del mismo eje.

Figure 7: Par de Tornillo o Helicoidal.

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Pares cinematicos de la clase II. Numero de grados de libertad del movimiento 2. Numero de grados delibertad perdidos 4. Posibles casos:

1. Esfera ranurada (Sl), permite un movimiento de rotacion alrededor de dos ejes linealmente independi-entes.

Figure 8: Par Constituido por un Esfera con Mango en Contacto con un Soporte Ranurado.

2. Cilındrico (C), permite un movimiento de traslacion a lo largo de un eje y un movimiento de rotacionindependiente alrededor del mismo eje.

Figure 9: Par Cilındrico.

3. Leva (Ca), permite traslacion a lo largo de un eje y rotacion alrededor de un eje perpendicular al primero.

Figure 10: Par de Leva.

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Pares Cinematicos de la clase III. Numero de grados de libertad del movimiento 3. Numero de gradosde libertad perdidos 3. Posibles casos:

1. Esferico o globular (S), permite rotacion alrededor de tres ejes . Es decir permite rotacion alrededorde un punto fijo.

Figure 11: Par Esferico o Globular.

2. Esfera sobre cilindro acanalado (Ss), permite rotacion alrededor de dos ejes linealmente independi-entes y traslacion a lo largo de un tercer eje.

Figure 12: Par Constituido por una Esfera con Mango en Contacto con un Cilındro Acanalado.

3. Plano (Pl), permite traslacion a lo largo de dos ejes y rotacion alrededor de otro eje perpendicular a losotros dos.

Figure 13: Par Plano.

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Pares Cinematicos de la clase IV. Numero de grados de libertad del movimiento 4. Numero de gradosde libertad perdidos 2. Posibles casos:

1. Esfera sobre acanaladura (Sg), permite rotacion alrededor de tres ejes y translacion a lo largo de otro.

Figure 14: Par Constituido por una Esfera con Mango en Contacto con un Cilindro Ranurado.

2. Cilindro sobre plano (Cp), permite rotacion alrededor de dos ejes y traslacion a lo largo de otros dos.

Figure 15: Par Constituido por un Cilindro en Contacto con un Plano.

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Pares Cinematicos de la clase V. Numero de grados de libertad del movimiento 5. Numero de gradosde libertad perdidos 1. Posibles casos:

1. Esfera sobre plano (Sp), permite translacion a lo largo de dos ejes y rotacion alrededor de tres ejes.

Figure 16: Par Constituido por una Esfera en Contacto con un Plano.

Existen otras dos clasificaciones que aun cuando no son de importancia en el analisis de mecanismos sonaltamente importantes en el contexto mas amplio del diseno de maquinas.

3.3.2 Clasificacion de pares cinematicos de acuerdo al tipo de contacto entre elementos

. En base a esta clasificacion, los pares cinematicos se clasifican en

1. Pares inferiores. El contacto entre los elementos es a traves de una superficie. Ejemplos, Piston-camisade un compresor, par globular de un portaplumas.

2. Pares superiores. El contacto entre los elementos es, al menos idealmente, a traves de un punto o unalınea. Ejemplos, Contacto entre una leva y su seguidor de rodillo.

Para la transmision de fuerzas de mediana elevada magnitud se prefieren los pares inferiores; pues lossuperiores estarıan sujetos a esfuerzos de contacto muy elevados.

3.3.3 Clasificacion de pares cinematicos en cuanto a la forma en que se mantienen los elementosen contacto

. En base a esta clasificacion, los pares cinematicos se clasifican en

1. Pares abiertos o cerrados por fuerza. Los elementos se mantienen en contacto mediante el concursode una fuerza externa tal como la gravedad o la fuerza de un resorte deformado. Ejemplo, El par formadopor una leva y su seguidor en una maquina de combustion interna.

2. Pares cerrados por forma. Los elementos se mantienen en contacto por la forma misma de construcciondel par. Ejemplo, El par prismatico formado por el piston y camara de un compresor.

Debe observarse que los pares cinematicos cerrados por forma son mas confiables que los cerrados por fuerza.7

7Es importante notar que estas dos ultimas clasificaciones son mas importantes en el ambito del diseno mecanico que en eldiseno cinematico de maquinas. La razon de estas clasificaciones esta en su generador, el ingeniero aleman Franz Reuleaux, quienen la segunda mitad del siglo XIX fue el impulsor de la ensenanza sistematica de la cinematica de las maquinas y se autodefinıacomo un constructor de maquinas.

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3.4 Mecanismos Planos y Pares Cinematicos.

Dentro de los mecanismos, existe una clase conocida como mecanismos planos; su construccion es sencilla y suestudio relativamente simple, estas caracterısticas, aunadas a su gran versatilidad de aplicacion, son suficientespara que nuestro curso se concentre en su estudio.

Definicion: Mecanismos planos. Los mecanismos planos se definen como aquellos mecanismos tales quetodos sus eslabones estan sujetos a movimiento plano general y los planos de movimiento son paralelos.

La pregunta que surge de inmediato es: ¿Que tipos de pares cinematicos pueden formar parte de un meca-nismo plano?

Esta pregunta puede contestarse en base a un sencillo analisis. Un cuerpo sujeto a movimiento plano generaltiene tres grados de libertad; si ademas el cuerpo esta conectado a otros eslabones a fın de formar parte deun mecanismo, entonces los pares que pueden formar parte de mecanismos planos deben perder como mınimocuatro grados de libertad. Este resultado restringe los posibles pares a aquellos de las clases I y II.

Ahora bien, los pares de las clases I y II que pueden formar parte de mecanismos planos seran aquellos quepermitan uno o varios de los movimientos que constituyen el movimiento plano. De forma mas correcta, debedecirse que esos pares generan alguno de los subconjuntos contenidos en el grupo de los movimientos formadospor todos los movimientos planos generales. Translacion a lo largo de dos ejes linealmente independientescontenidos en el plano, o rotacion alrededor de un eje perpendicular al plano. Un sencillo analisis muestra quelos pares que pueden formar parte de un mecanismo plano son: los pares de revoluta, los pares prismaticos ylos pares de leva.

Esta restriccion sobre los tipos de pares cinematicos que pueden formar parte de mecanismos planos sebasa exclusivamente en consideraciones del numero de grados de libertad en el movimiento relativo ası comodel movimiento asociado a esos pares. Existe una infinidad de mecanismos formados exclusivamente por lospares antes mencionados que no son planos: Transmisiones mediante engranes conicos, la junta de cardan, levascilındricas, etc. Por lo tanto, deben existir otras restricciones que conciernen a la disposicion u orientacion delos ejes de los pares cinematicos y que en conjunto con las anteriores, aseguran que el mecanismo formado esplano. Estas restricciones se indican a continuacion.

1. En un mecanismo plano constituido por pares de revoluta, todos los ejes de rotacion deben ser paralelos.

2. Si un par de revoluta se sustituye por un par prismatico, el eje de desplazamiento del par prismatico debeser perpendicular a los ejes de rotacion de los restantes pares de revoluta.

3. Si en un mecanismo plano se incluye un par de leva, el eje de rotacion del par de leva debe ser paraleloa los ejes de los restantes pares de revoluta y el eje de la traslacion debe ser perpendicular a los ejes derotacion de los restantes pares de revoluta.

Hasta aquı, hemos definido, clasificado y analizado cada uno de las partes constitutivas de los mecanismos,toca ahora unirlas o conjuntarlas para obtener eventualmente mecanismos, ese es el tema de la siguiente seccion.

4 Cadena Cinematica, Eslabonamiento e Inversion.

La entidad basica, a partir de la cual se generan todos los mecanismos se llama cadena cinematica.

Definicion: Cadena Cinematica. Una cadena cinematica es la union de pares cinematicos y eslabonesde modo que formen uno o varios circuitos o lazos8 cerrados.

Las cadenas cinematicas se clasifican en:

1. Simples cuando todos los eslabones que forman la cadena cinematica son binarios.

2. Complejas cuando en la cadena existen uno o varios eslabones poligonales.

Ejemplo. La cadena mostrada en la figura 17 tiene un unico lazo y cinco eslabones binarios, por lo tantoes simple.

8En lenguaje ingles loops.

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Figure 17: Cadena Cinematica Simple.

La cadena mostrada en la figura 18 tiene dos lazos. Existe ademas otro lazo que comprende parte de los otrosdos lazos; sin embargo, puede probarse que las ecuaciones escalares que genera este tercer lazo son combinacionesde las ecuaciones escalares que generan los dos primeros lazos. En esta cadena cinematica, los eslabones 2, 5, y7 son binarios y los eslabones 1, 3, 4 y 6 son ternarios, por lo tanto, la cadena es compleja.

Figure 18: Cadena Cinematica Compleja.

El siguiente paso en la generacion de mecanismos es la generacion de eslabonamientos.

Definicion: Eslabonamiento. Un eslabonamiento9 es una cadena cinematica en la cual se ha fijado unode sus eslabones a un marco de referencia, este eslabon fijo se denomina marco o eslabon fijo.

Por otro lado, la palabra eslabonamiento se emplea, con un sentido mas especıfico, para nombrar mecanismosformados exclusivamente por pares inferiores.

Ejemplo. Los eslabonamientos mostrados en la figura 19 se han formado fijando respectivamente loseslabones 1 y 5 de la cadena cinematica de la figura 17.

Estos dos ejemplos permiten introducir el ultimo concepto de esta seccion.

Definicion: Inversion. A partir de una cadena cinematica formada por n-eslabones, puede generarse comomaximo n eslabonamientos diferentes. Dado un eslabonamiento, los diferentes eslabonamientos que se producenal fijar alternativamente uno de los restantes eslabones de la cadena, se llaman inversiones del eslabonamientoinicial.

9En lenguaje ingles linkage.

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Figure 19: Dos Eslabonamientos Generados a Partir de la Cadena Cinematica Simple de la Figura 5.

Es importante reconocer que en una inversion, el movimiento relativo entre los eslabones no se altera y solocambia su movimiento absoluto. Un ejemplo importante del concepto de inversion se encuentra en la sıntesisgrafica de levas.

Una de las aplicaciones mas importantes del concepto de inversion cinematica consiste en la busquedaexhaustiva de nuevos eslabonamientos. Esta parte del estudio de los mecanismos es conocida como sıntesis denumero o sistematica.

Figure 20: Cadena Cinematica de Watt.

Por ejemplo, la sistematica nos indica que a partir de la cadena cinematica de Watt, figura 20, los unicoseslabonamientos diferentes —sin importar las dimensiones de los eslabones— son los mostrados en la figura 21.

Figure 21: Dos Eslabonamientos Obtenido a Partir de la Cadena Cinematica de Watt.

Comentarios historicos: En la literatura actual, en particular en artıculos cientıficos, los terminos: Cadena,eslabonamiento y mecanismos se consideran sinonimos. Sin embargo, debe recordarse que estos terminos seoriginaron durante la sistematizacion de la cinematicas de las maquinas en Alemania, notorio por la rigidez desu forma de pensar. Por otro lado, el desarrollo de la tecnologıa moderna ha hecho obsoletos algunos de estosconceptos; por ejemplo, los manipuladores seriales se generan a partir de “cadenas” abiertas. Estas cadenasabiertas estan formadas por pares cinematicas y eslabones que no forman un lazo cerrado.

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5 Grados de Libertad de un Eslabonamiento, Criterio de Grubler

.Definicion: Grados de libertad, o mobilidad, de un eslaboramiento es el numero mınimo y suficiente

de variables requeridas para determinar completamente la posicion del eslabonamiento. Es decir, conociendoesas variables debe ser posible conocer la posicion de cualesquiera de los eslabones que forman parte del es-labonamiento.

Ejemplos. A continuacion se presentan dos ejemplos de eslabonamientos que incluyen un conteo de susgrados de libertad o movilidad.

1. Mecanismo Plano de Cuatro Barras. Este es un eslabonamiento plano con cuatro barras y cuatropares de revoluta, vea la figura 1. Todos los ejes de los pares de revoluta son paralelos. El eslabonamientotiene un grado de libertad o movilidad igual a 1, pues si se conoce el valor del angulo θ2, se conoce el valorde θ3 y θ4.

Figure 22: Mecanismo Plano de Cuatro Barras.

Debe notarse que desde el punto de vista estricto, el grado de libertad asociado a θ2, no es suficientepara determinar la posicion del resto de los eslabones del mecanismo plano de cuatro barras. La figura 1muestra las dos posibles soluciones del analisis de posicion del mecanismo. Como puede verse, es necesarioindicar cual de las dos posibles soluciones del analisis de posicion es la que se requiere. Sin embargo, estavariable es discreta, y en este caso binaria —abierta o cruzada— y no se cuenta como un grado de libertadadicional.

Figure 23: Las Dos Posibles Soluciones del Analisis de Posiciones de un Mecanismo Plano de Cuatro Barras.

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2. Leva Espacial. Este es un eslabonamiento espacial de tres eslabones y tres pares, un par cilındrico entreel marco y la leva, un par de leva entre la leva y el seguidor y un par prismatico entre el seguidor y elmarco. El eslabonamiento tiene dos grados de libertad o movilidad igual a 2.

Figure 24: Leva Espacial.

Una forma de determinar el numero de grados de libertad de un eslabonamiento consiste en observar sumovimiento –si lo hay–, y determinar empiricamente ese numero mınimo y suficiente de variables.

Sin embargo, frecuentemente es necesario determinar los grados de libertad de eslabonamientos que no hansido construidos; para solucionar este problema, desde el siglo pasado se formularon diferentes criterios demovilidad, uno de los mas sencillos es el criterio de Grubler.

A continuacion se deducira el criterio de Grubler para eslabonamientos planos. Es decir, para aquelloseslabonamientos cuyos eslabones se mueven en planos paralelos. La secuencia del razonamiento es la siguiente

1. Imagine la formacion de un eslabonamiento constituido por N eslabones, vea la figura 25. Originalmenteel sistema tiene 3N grados de libertad –3 grados de libertad por cada uno de los cuerpos que se conectaranpara construir el eslabonamiento–.

Figure 25: Cuerpos Rıgidos Aislados que Formaran un Eslabonamiento.

2. Para formar un eslabonamiento, se requiere que uno de los eslabones se fije al sistema referencia, vea lafigura 26. Por lo tanto, el conjunto tiene ahora 3 (N − 1) grados de libertad.

3. Por ultimo, a fın de transmitir movimiento, los eslabones deben unirse mediante pares cinematicos, veala figura 27. Puesto que los eslabones estan originalmente obligados a tener movimiento plano general,entonces un par de la clase I –prismatico o de revoluta– elimina 2 grados de libertad y un par de leva, dela clase II elimina un grado de libertad.

Ası pues, en base a los anteriores razonamientos es posible formular la ecuacion

F = 3 (N − 1)− 2P1 − P2 (1)

Donde F es el numero de grados de libertad del eslabonamiento, N es el numero de eslabones que formanel eslabonamiento, P1 es el numero de pares de la clase I que forman parte del eslabonamiento y P2 es el

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Figure 26: Cuerpos Rıgidos Aislados que Formaran un Eslabonamiento, con uno de Ellos Fijo.

Figure 27: Eslabonamiento Formado a Partir de los Cuerpos Rıgidos Inicialmente Aislados.

numero de pares de la clase II que forman parte del eslabonamiento. La ecuacion (1) se conoce como elcriterio de Grubler.10

Dependiendo del numero de grados de libertad, un eslabonamiento se clasifica en

1. F < 0, grado de libertad o movilidad negativo. El eslabonamiento es una estructura estaticamenteindeterminada.

2. F = 0, grado de libertad o movilidad cero. El eslabonamiento es una estructura estaticamentedeterminada.

3. F > 0, grado de libertad o movilidad positivo. El eslabonamiento es un mecanismo de 1, 2, 3, etc.grados de libertad, segun sea el caso.

5.1 Aplicacion del Criterio de Grubler.

En esta seccion se determinaran los grados de libertad de diferentes eslabonamientos aplicando el criterio deGrubler.

1. Considere el eslabonamiento mostrado en la figura 27, el eslabonamiento contiene 5 eslabones, y 6 parescinematicos, indicados en italica, todos estos pares, excepto el par 6, que es un par de leva, entre loseslabones 2 y 5, son pares de la clase I, de manera que aplicando el criterio de Grubler, se tiene que

F = 3 (N − 1)− 2P1 − P2 = 3 (5− 1)− 2 (5)− 1 = 12− 10− 1 = 1. (2)

10Existe una modificacion del criterio de Grubler, conocido como criterio de Kutzbach-Grubler, aplicable a eslabonamientosespaciales. La formula de este criterio esta dada por

F = 6(N − 1)− 5P1 − 4P2 − 3P3 − 2P4 − 1P5

donde N es el numero de eslabones y P1, P2, P3, P4 y P5 son el numero de pares de las clases I, II, III, IV y V, respectivamente. Sinembargo, el numero de excepciones es en el caso espacial enorme, de manera que este criterio se estudia por razones principalmentehistoricas.

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El eslabonamiento es un mecanismo de un grado de libertad.

2. Considere el eslabonamiento mostrado en la figura 28, el eslabonamiento contiene 4 eslabones, y 4 paresde revoluta, indicados en italica, todos estos pares pertenecen a la clase I, de manera que aplicando elcriterio de Grubler, se tiene que

F = 3 (N − 1)− 2P1 − P2 = 3 (4− 1)− 2 (4)− 0 = 9− 8− 0 = 1. (3)

El eslabonamiento es un mecanismo de un grado de libertad, como era de esperarse. Este mecanismo sele conoce como un mecanismo plano de cuatro barras.

Figure 28: Eslabonamiento Formado por Cuatro Eslabones y Cuatro Pares de Revoluta. Mecanismo Plano deCuatro Barras.

3. Considere el eslabonamiento mostrado en la figura 29, el eslabonamiento contiene 3 eslabones, y 3 paresde revoluta, indicados en italica, todos estos pares pertenecen a la clase I, de manera que aplicando elcriterio de Grubler, se tiene que

F = 3 (N − 1)− 2P1 − P2 = 3 (3− 1)− 2 (3)− 0 = 6− 6− 0 = 0. (4)

El eslabonamiento es una estructura estaticamente determinada, como era de esperarse pues, del estudiode la Estatica, se sabe bien que un triangulo es la celula basica de las estructuras.

Figure 29: Eslabonamiento Formado por Tres Eslabones y Tres Pares de Revoluta. Estructura estaticamenteDeterminada.

4. Considere el eslabonamiento mostrado en la figura 30, el eslabonamiento contiene 3 eslabones, y 3 parescinematicos indicados en italica, todos estos pares, excepto el par 3, que es un par de leva, entre loseslabones 2 y 3, son pares de la clase I, pares de revoluta, de manera que aplicando el criterio de Grubler,se tiene que

F = 3 (N − 1)− 2P1 − P2 = 3 (3− 1)− 2 (2)− 1 = 6− 4− 1 = 1. (5)

El eslabonamiento es un mecanismo de un grado de libertad. Este mecanismo se conoce como un mecan-ismo de leva de disco con seguidor de cara plana.

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Figure 30: Eslabonamiento Formado por Tres Eslabones, Dos Pares de Revoluta y un Par de Leva. Leva deDisco con Seguidor de Cara Plana .

5. Finalmente, considere el eslabonamiento mostrado en la figura 31, el eslabonamiento contiene 4 eslabones,y 4 pares cinematicos indicados en italica, todos estos pares, excepto el par 4, que es un par de leva,entre los eslabones 2 y 3, son pares de la clase I, pares de revoluta, de manera que aplicando el criterio deGrubler, se tiene que

F = 3 (N − 1)− 2P1 − P2 = 3 (4− 1)− 2 (3)− 1 = 9− 6− 1 = 2. (6)

El eslabonamiento es un mecanismo de dos grado de libertad. Este mecanismo se conoce como un mecan-ismo de leva de disco con seguidor de rodillo. A primera vista, este resultado parece erroneo, pues unaleva de disco con seguidor de rodillo puede sustituirse, sin problema alguno, por una leva de disco conseguidor de cara plana, un mecanismo que tiene unicamente un grado de libertad. Sin embargo, debenotarse que la leva de disco con seguidor de rodillo presenta un grado de libertad pasivo que consiste enun movimiento de rotacion del rodillo, cuando el resto de los eslabones del mecanismo permanecen fijos.

Figure 31: Eslabonamiento Formado por Cuatro Eslabones, Dos Pares de Revoluta y un Par de Leva. Leva deDisco con Seguidor de Rodillo.

5.1.1 Analisis de Revolutas Multiples.

En esta pequena seccion, se estudia un problema especıfico: Si en un eslabonamiento dado aparece una revolutaen la que se conectan varios eslabones, desde el punto de vista cinematico ¿ Cuantas revolutas deben considerarsepara propositos de aplicacion del criterio de Grubler?

La solucion a este problema se basa en la idea misma de movimientos relativos entre los eslabones. En larevoluta mostrada en la figura 32 se conectan 3 eslabones, y por lo tanto, existen tres movimientos relativosentre los eslabones

θ2/1 = θ2 − θ1 θ3/1 = θ3 − θ1 θ3/2 = θ3 − θ2

Sin embargo, solo dos de esos movimientos son independientes. Es decir, si se conocen dos de esos tres movimien-tos relativos, digamos θ2/1 y θ3/1, entonces

θ3/2 = θ3 − θ2 = (θ3 − θ1)− (θ2 − θ1) = θ3/1 − θ2/1

18

Figure 32: Revoluta en la que se Conectan tres eslabones.

De manera que esta revoluta representa dos movimientos relativos independientes y para efectos del empleo delcriterio de Grubler, esta revoluta multiple cuenta como 2 revolutas. No es muy difıcil generalizar este resultadoy mostrar que si en una revoluta en la que se conectan n eslabones, esta revoluta cuenta como n− 1 revolutaspara efectos del empleo del criterio de Grubler.

5.2 Excepciones al Criterio de Grubler.

Un criterio de movilidad, como el de Grubler, basado exclusivamente en consideraciones del numero de eslabonesy de pares necesariamente debe tener excepciones; es decir eslabonamientos para los cuales el numero de gradosde libertad determinado mediante el criterio de Grubler no es el correcto. Algunas de ellas se ilustran acontinuacion.

1. Considere un mecanismo de cuatro barras y cuatro pares de revoluta, tal como el mostrado en la figura33.

Figure 33: Mecanismo Plano de Cuatro Barras que Constituye una Excepcion del Criterio de Grubler.

Aplicando el criterio de Grubler, se tiene que

F = 3(4− 1)− 4(2)− 0(1) = 9− 8 = 1 (7)

Sin embargo, si las longitudes de los eslabones del mecanismo plano de cuatro barras son a1 = 4u.l.,a2 = 2u.l., a3 = 7u.l. y a4 = 1u.l.. y se trata de ensamblar el mecanismo, se encuentra que la unicamanera en que los eslabones pueden unirse es la mostrada en la figura 15. Consecuentemente, este“mecanismo plano de cuatro barras” tiene 0 grados de libertad y es en realidad una estructura.

2. Considere ahora el eslabonamiento mostrado en la figura 34.

Aplicando el criterio de Grubler, se tiene que

F = 3(5− 1)− 2(6)− 0 = 12− 12− 0 = 0. (8)

Sin embargo, es necesario reconocer que, en este caso, los eslabones 1, 3, y 4 son paralelos, ademas loseslabones 2 y 4 son, igualmente paralelos y permiten que el eslabonamiento gire en el sentido indicado,por lo tanto F = 1.

3. Considere el eslabonamiento mostrado en la figura 35.

19

Figure 34: Eslabonamiento de 5 Barras y 6 Pares Cinematicos que Constituye una Excepcion del Criterio deGrubler.

Figure 35: Eslabonamiento de Dos Lazos con Pares Prismaticos y de Revoluta que Constituye una Excepciondel Criterio de Grubler.

Aplicando el criterio de Grubler, se tiene que

F = 3(5− 1)− 2(6)− 0 = 12− 12− 0 = 0. (9)

Este eslabonamiento es un ejemplo de mecanismos complejos, en los que un lazo, aquel formado por loseslabones conectados por los pares prismaticos esta asociado a las traslacionales planas, mientras quecualquiera de los dos restantes lazos esta asociado al movimiento plano general. Puede probarse que eleslabonamiento es movible y tiene un grado de libertad.

4. Finalmente, considere el eslabonamiento mostrado en la figura 36. El eslabonamiento tiene 23 eslabones,33 pares cinematicos de la clase I y no tiene pares cinematicos de la clase II. Por lo tanto, aplicando elcriterio de Grubler, se tiene que

F = 3 (N − 1)− 2PI − 1PII = 3 (23− 1)− 33 (2)− 1 (0) = 66− 66− 0 = 0. (10)

El resultado, correcto en este caso, indica que el eslabonamiento es un estructura. Estas estructuras seemplean frecuentemente en techos y puentes.

De manera similar, considere el eslabonamiento mostrado en la figura 37. Este eslabonamiento tiene elmismo numero de eslabones y pares cinematicos que el eslabonamiento de la figura 36. Por lo tanto,

20

Figure 36: Un eslabonamiento con cero grados de libertad: Estructura reticular para un puente.

aplicando el criterio de Grubler, se tiene que

F = 3 (N − 1)− 2PI − 1PII = 3 (23− 1)− 33 (2)− 1 (0) = 66− 66− 0 = 0. (11)

Sin embargo, en este caso, el resultado es incorrecto. Ninguna persona precavida le gustarıa pasar cami-nando o manejando un automovil por un puente disenado de esa manera.

Figure 37: Un eslabonamiento con un grados de libertad: Un puente peligroso.

Es facil darse cuenta que el eslabonamiento mostrado en la figura 37 se obtuvo del eslabonamiento mostradoen la figura 36 simplemente cambiando de localizacion el eslabon o barra numero 14. Este cambio conducea que el cuadrilatero formado por las barras 16, 17, 18, 19 y 20 forma una subestructura estaticamente inde-terminada, de manera que el comportamiento cinematico del eslabonamiento no se altera si el cuadrilaterose sustituye por un cuerpo rıgido como se muestra en la figura 38. Este eslabonamiento tiene 18 eslaboneso barras, 25 pares cinematicos de la clase I y no tiene pares cinematicos de la clase II. Aplicando, el criteriode Grubler se tiene

F = 3 (N − 1)− 2PI − 1PII = 3 (18− 1)− 25 (2)− 1 (0) = 51− 50− 0 = 1. (12)

Este calculo correcto, indica que el eslabonamiento tiene un grado de libertad y en un mecanismo, confir-mando las sospechas que habiamos indicado en el parrafo anterior.

6 Movilidad Mediante Ecuaciones de Clausura, Criterio de Paul.

Otro importante criterio de movilidad de eslabonamientos, se basa en el numero de variables necesarias paradeterminar la posicion del eslabonamiento ası como las ecuaciones que restringen esas variables, es debido a

21

Figure 38: Un eslabonamiento equivalente al mostrado en la figura 37.

Paul y se estudia a continuacion. El metodo requiere de formular las ecuaciones vectoriales de clausura deleslabonamiento cuya movilidad se desea determinar, descomponer las ecuaciones vectoriales de clausura ensus componentes escalares, que se convierten en las ecuaciones escalares de clausura, y determinar cuantas deellas son linealmente independientes. Puesto que las ecuaciones escalares de clausura son, tambien, el puntode partida para resolver el analisis de posicion de mecanismos planos, el estudio de la movilidad de cadenascinematicas mediante ecuaciones de clausura permite adelantar el estudio del analisis de posicion de mecanismosplanos.

6.1 Ejemplo 1. Mecanismo Plano de Cuatro Barras.

Considere el mecanismo plano de cuatro barras mostrado en la figura 1. La posicion del eslabonamiento quedaunicamente determinada si se conocen los angulos θ2, θ3, θ4. Estas variables cinematicas se conocen tambiencomo coordenadas Lagrangianas, o coordenadas generalizadas. Es importante reconocer que estas variablesno son independientes sino que estan obligadas a satisfacer las ecuaciones de clausura del lazo o lazos deleslabonamiento.

Figure 39: Ecuaciones Vectoriales en un Mecanismo Plano de Cuatro Barras.

En el caso particular del mecanismo plano de cuatro barras la ecuacion de clausura en forma vectorial es

~a2 + ~a3 = ~a1 + ~a4 (13)

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y las ecuaciones escalares resultantes son

a2 Cos θ2 + a3 Cos θ3 = a1 Cos θ1 + a4 Cos θ4

a2 Sen θ2 + a3 Sen θ3 = a1 Sen θ1 + a4 Sen θ4 (14)

sustituyendo θ1 = 0◦, y reagrupando los terminos las anteriores ecuaciones pueden escribirse como

f1( θ2, θ3, θ4) = a2 Cos θ2 + a3 Cos θ3 − a1 − a4 Cos θ4 = 0

f2( θ2, θ3, θ4) = a2 Sen θ2 + a3 Sen θ3 − a4 Sen θ4 = 0 (15)

Entonces, el numero de grados de libertad, F , sera el numero de coordenadas Lagrangianas o generalizadas, C,menos el numero de ecuaciones independientes E. Es decir

F = C − E (16)

En particular, para el mecanismo plano de cuatro barras,

F = 3− 2 = 1. (17)

Este resultado comprueba el resultado obtenido previamente mediante el criterio de Grubler.

6.2 Ejemplo 2. Mecanismo de Biela Manivela Corredera.

Considere el mecanismo de dos lazos mostrado en la figura 40. La posicion del eslabonamiento queda unicamentedeterminada si se conocen los angulos θ2, θ3, y la coordenada s. Debe notarse que las dimensiones a2, a3, e, θe,θs son parametros constantes.

Figure 40: Ecuaciones Vectoriales en un Mecanismo de Biela Manivela Corredera.

Las ecuacion de clausura, en forma vectorial, esta dada por

~a2 = ~e+ ~s+ ~a3. (18)

Las correspondientes ecuaciones escalares de clausura son

f1(θ2, θ3, s) = a2 Cos θ2 − s− a3 Cos θ3 = 0

f2(θ2, θ3, s) = a2 Sen θ2 − e− a3 Sen θ3 = 0 (19)

Entonces, el numero de grados de libertad sera

F = C − E = 3− 2 = 1 (20)

De nueva cuenta, el empleo del criterio de Grubler corrobora el resultado.

23

6.3 Ejemplo 3. Mecanismo Plano de dos Lazos.

Considere el mecanismo de dos lazos mostrado en la figura 41. La posicion del eslabonamiento queda unicamentedeterminada si se conocen los angulos θ2, θ3, θ4, θ5, θ6. Debe notarse que las dimensiones a1, a2, a3, a4, a5, a6,b1, b2, θ1, δ y γ son parametros constantes.

Figure 41: Ecuaciones Vectoriales en un Mecanismo Plano de Dos Lazos.

Las ecuaciones de clausura, en forma vectorial, son

~a2 + ~a3 = ~a1 + ~a4

~a2 +~b2 + ~a6 = ~a1 +~b1 + ~a5 (21)

Las correspondientes ecuaciones escalares de clausura son

f1(θ2, θ3, θ4, θ5, θ6) = a2 Cos θ2 + a3 Cos θ3 − a1 Cos θ1 − a4 Cos θ4 = 0

f2(θ2, θ3, θ4, θ5, θ6) = a2 Sen θ2 + a3 Sen θ3 − a1 Sen θ1 − a4 Sen θ4 = 0

f3(θ2, θ3, θ4, θ5, θ6) = a2 Cos θ2 + b2 Cos( θ3 + δ) + a6 Cos θ6 − a1 Cos θ1 − b1 Cos( θ4 − γ)− a5 Cos θ5 = 0

f4(θ2, θ3, θ4, θ5, θ6) = a2 Sen θ2 + b2 Sen( θ3 + δ) + a6 Sen θ6 − a1 Sen θ1 − b1 Sen( θ4 − γ)− a5 Sen θ5 = 0

(22)

Entonces, el numero de grados de libertad esta dado por

F = C − E = 5− 4 = 1 (23)

De nueva cuenta, el empleo del criterio de Grubler corrobora el resultado. Sin embargo, una revision de la figura41, revela que existen otros posibles lazos que conducen a otras ecuaciones vectoriales, por ejemplo

~a4 +~b3 + ~a6 = ~b1 + ~a5 (24)

No obstante, puede probarse que esta ecuacion vectorial, al igual que cualquier otra ecuacion que se puedaobtener, son linealmente dependientes de las dos ecuaciones vectoriales que ya se han obtenido. En particular,si se resta la primera ecuacion (21) de la segunda ecuacion (21), se tiene que

~a2 +~b2 + ~a6 − ~a2 − ~a3 = ~a1 +~b1 + ~a5 − ~a1 − ~a4 (25)

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o~b2 − ~a3 + ~a6 + ~a4 = ~b1 + ~a5 (26)

Sin embargo, de la figura 41, es evidente que

~b2 − ~a3 = ~b3 (27)

Por lo tanto, la ecuacion puede escribirse como

~a4 +~b3 + ~a6 = ~b1 + ~a5 (28)

Es claro, pues, que la aplicacion de este criterio requiere de la determinacion de un conjunto de ecuaciones vec-toriales linealmente independientes y que representen totalmente las ecuaciones de clausura del eslabonamiento.Informacion completa acerca de este problema puede encontrarse en el libro de Paul, vea [1].

6.4 Ejemplo 4. Mecanismo Plano de Dos Lazos, que Clarifica Porque Falla el

Criterio de Grubler.

En este ejemplo se usara el criterio de Paul para dar una nueva interpretacion a algunos de los casos en los queel criterio de Grubler falla. Considere el eslabonamiento mostrado en la figura 42.

Figure 42: Ecuaciones Vectoriales en un Mecanismo Plano de Dos Lazos que Permite Ilustrar Porque Falla elCriterio de Grubler.

La posicion del eslabonamiento queda unicamente definida si se conocen los angulos θ2, θ3, θ4, θ5. Existendos ecuaciones vectoriales de clausura, que estan dadas por

~a2 + ~a3 = ~a1 + ~a4~b2 + ~a5 = ~a3 +~b4 (29)

Las ecuaciones escalares son

a2 Cos θ2 + a3 Cos θ3 = a1 Cos θ1 + a4 Cos θ4

a2 Sen θ2 + a3 Sen θ3 = a4 Sen θ4 + a1 Sen θ1

b2 Cos θ2 + a5 Cos θ5 = a3 Cos θ3 + b4 Cos θ4

b2 Sen θ2 + a5 Sen θ5 = a3 Sen θ3 + b4 Sen θ4 (30)

Debe notarse que a1, a2, a3, a4, b2, b4, y θ1 son parametros cuyo valor no cambia durante el movimiento deleslabonamiento. Por lo tanto, el numero de grados de libertad o movilidad del eslabonamiento sera

F = C − E = 4− 4 = 0 (31)

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De aquı que, en general, el eslabonamiento sea una estructura.Considere, sin embargo, el caso particular del eslabonamiento que satisface las siguientes condiciones

a1 = a3 = a5, a2 = a4 y b2 = b4. (32)

Analize, por el momento, las ecuaciones escalares de clausura correspondientes al lazo inferior, vea las dosprimeras ecuaciones de las de la ecuacion (30), donde se han sustituido las igualdades indicadas en la ecuacion(32).

a2 Cos θ2 + a1 Cos θ3 = a1 Cos θ1 + a2 Cos θ4

a2 Sen θ2 + a1 Sen θ3 = a2 Sen θ4 + a1 Sen θ1 (33)

Elevando al cuadrado ambos lados de las dos ecuaciones anteriores y sumando los terminos correspondientes,se tiene que

a2(C2θ2 + S2θ2) + a1(C

2θ3 + S2θ3) + 2 a1 a2(C θ2 C θ3 + S θ2 S θ3) =

a2(C2θ4 + S2θ4) + a1(C

2θ1 + S2θ1) + 2 a1 a2(C θ1 C θ4 + S θ1 S θ4)

o, reduciendo aun mas,C (θ3 − θ2) = C (θ1 − θ4). (34)

Figure 43: Mecanismo Plano de Cuatro Barras. Determinacion de la Longitud AN .

Por otro lado, para cualquier mecanismo de cuatro barras, vea figura 43, la determinacion de la longitudAN conduce a la ecuacion

a21+ a2

2− 2 a1 a2 C (θ2 − θ1) = a2

3+ a2

4− 2 a3 a4 C (θ4 − θ3),

sustituyendo las igualdades dadas por (32), la ecuacion se reduce a

a21+ a2

2− 2 a1 a2 C (θ2 − θ1) = a2

1+ a2

2− 2 a1 a2 C (θ4 − θ3),

o, finalmente,C (θ2 − θ1) = C (θ4 − θ3). (35)

Las ecuaciones (34) y (35), conducen a las siguientes posibilidades

θ3 − θ2 = θ1 − θ4 o θ3 − θ2 = −(θ1 − θ4) (36)

θ2 − θ1 = θ4 − θ3 o θ2 − θ1 = −(θ4 − θ3) (37)

A continuacion se analizaran todas las posibles combinaciones de ecuaciones.

26

1. Si se toma la primera posibilidad de ambas ecuaciones (36) y (37), se obtiene que sumando termino atermino

(θ3 − θ2) + (θ2 − θ1) = (θ1 − θ4) + (θ4 − θ3)

θ3 − θ1 = θ1 − θ3 o 2 θ3 = 2 θ1

Por lo tantoθ3 = θ1

y sustituyendo esta ecuacion, en la restante, se tiene que

θ4 = θ2.

El resultado se muestra en la figura 44.

Figure 44: Primera Posible Solucion del cuadrilatero, con a3 = a1 y a4 = a2.

2. Si se toma la segunda posibilidad de la primera ecuacion (36) y la primera posibilidad de la segundaecuacion (37), se obtiene que sumando termino a termino

(θ3 − θ2) + (θ2 − θ1) = (−θ1 + θ4) + (θ4 − θ3)

θ3 − θ1 = −θ1 − θ3 + 2 θ4 o 2 θ3 = 2 θ4

Por lo tantoθ3 = θ4

y sustituyendo esta ecuacion, en la primera posibilidad de la segunda ecuacion (37), se obtiene que

θ2 = θ1.

El resultado se muestra en la figura 45.

Figure 45: Segunda Posible Solucion del cuadrilatero, con a3 = a1 y a4 = a2.

Esta solucion es valida, pero constituye un caso particular del primer inciso de este analisis.

27

3. Si se toma la primera posibilidad de la primera ecuacion (36) y la segunda posibilidad de la segundaecuacion (37), se obtiene que sumando termino a termino

(θ3 − θ2) + (θ2 − θ1) = (θ1 − θ4) + (θ3 − θ4)

θ3 − θ1 = θ1 + θ3 − 2 θ4 o 2 θ4 = 2 θ1

Por lo tantoθ4 = θ1

y sustituyendo esta ecuacion, en la segunda posibilidad de la segunda ecuacion (37), se obtiene que

θ2 = θ3.

Los resultados son iguales a los reportados en el segundo inciso.

4. Finalmente, si se toma la segunda posibilidad de la primera ecuacion (36) y la segunda posibilidad de lasegunda ecuacion (37), resulta que ambas ecuaciones son iguales y no permite resolver el problema.

Puesto que θ4 = θ2, un analisis mucho mas simple para el lazo superior conduce a

θ5 = θ3 = θ1. (38)

El eslabonamiento que se obtiene bajo estas restricciones se muestra en la Figura 46.

Figure 46: Caso Especial del Mecanismo Mostrado en la Figura 42.

Bajo estas circunstancias, las ecuaciones de restriccion se reducen a

a2 Cos θ2 + a1 Cos θ1 = a1 Cos θ1 + a2 Cos θ2

a2 Sen θ2 + a1 Sen θ1 = a1 Sen θ1 + a2 Sen θ2

b2 Cos θ2 + a1 Cos θ1 = a1 Cos θ1 + b2 Cos θ2

b2 Sen θ2 + a1 Sen θ1 = a1 Sen θ1 + b2 Sen θ2 (39)

Es facil notar que estas ecuaciones se satisfacen identicamente. Por lo tanto,

F = C − E = 1− 0 = 1 (40)

El grado de libertad, indicado por la ecuacion anterior, es evidente cuando se observa que el conjunto puederotar alrededor de un eje perpendicular al plano del papel.

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6.5 Ejemplo 5. Mecanismo Plano de Dos Lazos Independientes, que Clarifica

Porque Falla el Criterio de Grubler.

En este ejemplo se usara el criterio de Paul para dar una nueva interpretacion a algunos de los casos en los queel criterio de Grubler falla. Considere el eslabonamiento mostrado en la figura 47, que se emplea en mecanismosde prensas mecanicas e hidraulicas. En particular, debe notarse la simetrıa de la geometrıa y de la topologıa.Esta simetrıa se emplea para aplicar de manera mas uniforme la fuerza de prensado mediante el dado superiorrepresentado por el eslabon 6.

Figure 47: Ecuaciones Vectoriales en otro Mecanismo Plano de Dos Lazos Que Permite Ilustrar Porque Falla elCriterio de Grubler.

El mecanismo de la figura 47, tiene 9 eslabones y 12 pares de la clase I, 10 pares de revoluta y 2 prismaticos,si se aplica el criterio de Grubler, se tiene que

F = 3(N − 1)− 2PI − PII = 3(9− 1)− 2(12)− 0 = 24− 24 = 0. (41)

De manera semejante, si se emplea el criterio de Paul, debe notarse que

θ1 = 180◦ θ2 = 270◦ θ3 = 90◦ + γ3

θ4 = 90◦ + γ4 θ5 = 270◦ θ6 = 180◦

θ7 = 90◦ − γ7 θ11 = 0◦ θ12 = 270◦

θ13 = 90◦ − γ3 θ14 = 90◦ − γ4 θ16 = 0◦

θ17 = 90◦ + γ7

Ademas, las siguientes magnitudes son constantes a1 = a11, a3 = a13, a4 = a14, a6 = a16, a7 = a17. Por lo que,las unicas coordenadas generalizadas son a2, a12, a5, junto con γ3, γ4, γ7.

Las ecuaciones vectoriales de clausura, estan dadas por

~a1 + ~a2 = ~a3 + ~a4

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~a5 + ~a6 + ~a7 = ~a3

~a11 + ~a12 = ~a13 + ~a14

~a5 + ~a16 + ~a17 = ~a13 (42)

Puesto que, en general, cada ecuacion vectorial genera 2 ecuaciones escalares, a primera vista el criterio de Paulconduce a

F = C − E = 6− 8 = −2 (43)

Ambos resultados, nos indican que el eslabonamiento es una estructura, aun cuando el criterio de Paul, nosindica que la estructura es estaticamente indeterminada.

En la parte final de este ejemplo, se analizaran, con mas detalle, las ecuaciones escalares que resultande las ecuaciones vectoriales (42), para de esa forma descubrir el numero correcto de grados de libertad deleslabonamiento. Las ecuaciones vectoriales estan dadas por

−a1i− a2j = a3 C (90◦ + γ3)i+ a3 S (90◦ + γ3)j + a4 C (90◦ + γ4)i+ a4 S (90◦ + γ4)j

−a5j − a6i+ a7 C (90◦ − γ7)i+ a7 S (90◦ − γ7)j = a3 C (90◦ + γ3)i+ a3 S (90◦ + γ3)j

a11i− a12j = a13 C (90◦ − γ3)i+ a13 S (90◦ − γ3)j + a14 C (90◦ − γ4)i+ a14 S (90◦ − γ4)j

−a5j + a16i+ a17 C (90◦ + γ7)i+ a17 S (90◦ + γ7)j = a13 C (90◦ − γ3)i+ a13 S (90◦ − γ3)j (44)

Sustituyendo las condiciones de igualdad entre los eslabones, las ecuaciones escalares son

−a1 = −a3 S γ3 − a4 S γ4 (45)

−a2 = a3 C γ3 + a4 C γ4 (46)

−a6 + a7 S γ7 = −a3 S γ3 (47)

−a5 + a7 C γ7 = a3 C γ3 (48)

a1 = a3 S γ3 + a4 S γ4 (49)

−a12 = a3 C γ3 + a4 C γ4 (50)

a6 − a7 S γ7 = a3 S γ3 (51)

−a5 + a7 C γ7 = a3 C γ3 (52)

Un analisis muy simple de las ecuaciones revela que las siguientes parejas de ecuaciones, la (45) y la (49), la(47) y la (51), la (48) y la (52) son redundantes por lo tanto, el sistema de ecuaciones se reduce a

−a1 = −a3 S γ3 − a4 S γ4 (53)

−a2 = a3 C γ3 + a4 C γ4 (54)

−a6 + a7 S γ7 = −a3 S γ3 (55)

−a5 + a7 C γ7 = a3 C γ3 (56)

−a12 = a3 C γ3 + a4 C γ4 (57)

De esa manera, se tiene que el numero de grados de libertad, de acuerdo al criterio de Paul, esta dado por

F = C − E = 6− 5 = 1 (58)

Ademas es interesante notar que las ecuaciones (54) y (57) conducen a

a2 = a12 (59)

Este resultado permite verificar la completa simetrıa del mecanismo, que es la causante de los errores inicialesen el calculo de los grados de libertad del mecanismo.

30

6.6 Ejemplo 6. Mecanismo Plano Complejo, Que Constituye Una Excepcion del

Criterio de Grubler.

Considere el mecanismo plano mostrado en la figura 48, el mecanismo esta formado por cinco eslabones y seispares de la clase I, cuatro pares prismaticos y dos pares de revoluta. Si se aplica el criterio de Grubler, elresultado es

F = 3 · (N − 1)− 2 · PI − PII = 3 · (5− 1)− 2 · 6− 0 = 12− 12− 0 = 0. (60)

De acuerdo con este resultado el eslabonamiento parece ser una estructura. Si se consideran las ecuacionesde clausura dadas por

~s1 + ~s2 = ~a2 +~b3

~a2 + ~a3 = ~s3 + ~s4 (61)

y las ecuaciones escalares correspondientes son

s1 C θs1 + s2 C φ2 = a2 Cθ2 + b3 C (θ3 + γ)

s1 S θs1 + s2 S φ2 = a2 Sθ2 + b3 S (θ3 + γ)

a2 Cθ2 + a3 C θ3 = s3 C θs3 + s4 C φ4

a2 Sθ2 + a3 S θ3 = s3 S θs3 + s4 S φ4 (62)

Figure 48: Mecanismo Plano Complejo que Constituye una Excepcion del Criterio de Grubler.

Ademas, las siguientes magnitudes son constantes a2, a3, b3, φ2, φ4, γ, φs1, φs3. Por lo que, las unicascoordenadas generalizadas son, a primera vista, θ2, θ3, s1, s2, s3 y s4.

De esa manera, se tiene que el numero de grados de libertad, de acuerdo al criterio de Paul, esta dado por

F = C − E = 6− 4 = 2. (63)

Sin embargo, debe notarse que el eslabon triangular esta conectado al eslabon fijo mediante dos pares prismaticosde modo que el movimiento relativo del eslabon triangular respecto al eslabon fijo es unicamentede traslacion, por lo tanto la “variable” θ3 es en realidad un parametro.

Por lo tanto, volviendo a aplicar el criterio de Paul, se tiene que la movilidad esta dada por

F = C − E = 5− 4 = 1. (64)

El mecanismo tiene un grado de libertad.

31

6.7 Ejemplo 7. Mecanismo Plano Que Incluye Pares Superiores.

En los tres ejemplos anteriores se mostro que la movilidad de mecanismos planos puede determinarse sub-strayendo al numero de variables necesarias,para determinar la posicion de todos los eslabones del mecanismo,el numero de ecuaciones independientes obtenidas a partir de las ecuaciones de clausura de los lazos. Sin em-bargo, todos los ejemplos ilustrados contienen exclusivamente pares de revoluta y prismaticos. En esta pequenanota, se muestra como se puede determinar, empleando este mismo metodo, la movilidad de mecanismos planosque contienen pares de leva, en particular una pareja de engranes.

Considere el mecanismo mostrado en la figura 49, el mecanismo esta formado por un eslabon fijo, una parejade engranes y dos bielas. Por lo tanto, el numero total de eslabones del mecanismo es N = 5, ademas elmecanismo tiene PI = 5 pares de la clase I, todos ellos de revoluta, finalmente el mecanismo tiene un par deleva, representado por la pareja de engranes, por lo tanto, PII = 1. Aplicando el criterio de Grubler, se tieneque

F = 3 · (N − 1)− 2 · PI − PII = 3 · (5− 1)− 2 · 5− 1 = 12− 10− 1 = 1. (65)

Figure 49: Mecanismo Plano con un Par de Leva, Formado por una Pareja de Engranes.

Considere ahora la ecuacion vectorial mostrada en la figura 49. La ecuacion esta dada por

~a1 + ~a2 + ~a3 = ~a5 + ~a4 (66)

las componentes escalares de esta ecuacion estan dadas por

a1 Cθ1 + a2 Cθ2 + a3 Cθ3 = a5 Cθ5 + a4 Cθ4 (67)

a1 Sθ1 + a2 Sθ2 + a3 Sθ3 = a5 Sθ5 + a4 Sθ4 (68)

los parametros de estas ecuaciones son a1, a2, a3, a4, a5, r2 y r5 donde estos dos ultimos parametros son losradios de los engranes. Ademas θ1 = 0◦, las variables son θ2, θ3, θ4 y θ5.

Sin embargo, los engranes introducen una nueva ecuacion, sean θ20 y θ50 las posiciones iniciales, o deensamble, de los eslabones 2 y 5. Entonces, las angulos θ2 y θ5, vea la figura 50, estan relacionados por

θ2 − θ20

θ5 − θ50= −

r5

r2. (69)

o(θ2 − θ20) r2 = −(θ5 − θ50) r5. (70)

En algunos libros, esta ecuacion se denomina ecuacion auxiliar.Concluyendo, el numero de variables necesarias para determinar la posicion del mecanismo es V = 4,

mientras que las ecuaciones escalares independientes son las ecuaciones (67,68,70). Es decir, E = 3, por lo tanto

F = V − E = 4− 3 = 1. (71)

El mismo numero de grados de libertad que el determinado empleando el criterio de Grubler.

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Figure 50: Relacion Entre los Angulos de Giro de los Engranes.

Bibliografıa

[1] Paul, B. [1979], Kinematics and Dynamics of Planar Machinery, Englewood Cliffs, New Jersey: Prentice-Hall.

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