1

Introducción 1. Responde las siguientes preguntas.

Figura 1

a. ¿Qué conoces acerca de Tales de Mileto?

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el teorema de Tales y el teorema de Pitágoras

Resolución de problemas relacionados con

Descubriendo medidas a partir de la forma

2

Objetivos de aprendizaje

El estudiante resuelve situaciones problema haciendo uso del teorema de Tales

descubriendo medidas a las cuales no se tiene acceso.

1. El estudiante deduce el teorema de Tales y sus aplicaciones a partir del planteamiento

de conjeturas.

2. El estudiante aplica el teorema de Pitágoras y Tales en la solución de situaciones

problema.

3. El estudiante halla la medida de un segmento inmerso en un contexto haciendo uso

del teorema de Tales.

b. ¿Por qué crees que le funcionó su método para hallar la medida de la altura de la pirámide?

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Actividad 1 Midiendo y conjeturando

1. Observa las imágenes de los siguientes edificios. Luego contesta.

Figura 2

3

a. ¿Cómo medirías la altura de esos edificios?

b. ¿Es posible utilizar una escalera?

c. ¿Se facilitaría con un metro?

d. ¿Como lo harías?

2. ¿En qué lugares de tu entorno puedes identificar rectas paralelas cortadas por rectas secantes?

4

Luego de identificar las rectas paralelas cortadas por una o varias secantes en tu entorno, realiza la

representación gráfica de las mismas.

3. Observa las siguientes imágenes y repisa con color rojo las rectas paralelas y con color verde las

rectas secantes a las paralelas.

Figura 3

Figura 4 Figura 5

5

4. Observa con atención las siguientes representaciones y halla las medidas indicadas utilizando

una regla. Luego, completa.

a.

A

B

C

m OP = m PQ =

m MN = m NT =

¿Qué puedes concluir sobre las medidas halladas?

S1

o

p

S2

m

n

q t

6

r s

A’

B’

C’

b.

m AB = m BC =

, , , , m A B = m N T =

¿Qué puedes concluir sobre las medidas halladas?

7

S1

S2

o m

q t

5. De acuerdo a las conclusiones halladas y a lo visto en el recurso interactivo, completa el teorema

de Tales escribiendo las palabras correctas.

r s

A A’

B B’

“Si o más rectas son cortadas por

dos o más secantes, la de las longitudes de

los determinados en una de las paralelas es

C C’ Igual a la razón de las de los segmento

S1 S2

correspondientes determinados por las otras

paralelas.”

A o m

B p n

C q t

Retomando la gráfica y aplicando el teorema de Tales, tenemos:

Si las rectas A, B y C son paralelas y las rectas

A S1 y S2 son secantes entonces:

OP = MN

B PQ NT

C

Recuerda que se lee OP es

a PQ como MN es a NT

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6. Traza diferentes representaciones de 3 rectas paralelas y 2 secantes. Luego, verifica las medidas

de los segmentos determinados entre las paralelas y sus razones.

Realiza aquí tus cálculos

9

1,5

m

¿?

Re s lo lcu cá s tuuíaq aliza

Actividad 2

Uso de los dos Teoremas

1. Resuelve el siguiente problema.

En el siguiente triángulo rectángulo, determina la altura y la medida de la hipotenusa

20m 3m

Describe el procedimiento que empleaste para resolver el problema.

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2. Identifica los elementos que se indican en el diagrama.

a. ¿Qué segmentos de recta son paralelos?

b. ¿Cuáles las transversales?

c. ¿Qué teorema puedes utilizar para hallar la altura? Explica tu respuesta.

d. ¿Qué teorema puedes utilizar para hallar el valor de la hipotenusa? Explica tu respuesta.

B’

b=4m

c=

3m

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3. Completa la solución del problema.

a. Utilizamos el teorema de Pitágoras para hallar el valor de ¿? h

1,22 + 32 = ¿?2

2,25 + 9 = ¿?2

11.25 = ¿?2

x

¿? 1,5m

20m 3m

=

= ¿?2

b. Ahora utilizamos el teorema de Tales para hallar el valor de x.

_2__0__= ___x____ 3 3, 35

_3__,_3_5__•__2__0__ = x 3

= x

c. Para hallar el valor de la hipotenusa del triángulo grande, se debe sumar:

+ 3,35 =

d. Y para hallar el valor de h, la altura del triángulo, utilizamos el teorema de Pitágoras.

22,32-202 = h2 497,29-400 = h2 97,29 = h2

= h

11.25 ¿?2

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4. Tomando como guía el proceso descrito anteriormente, resuelve el siguiente problema. Luego,

completa.

En el siguiente triángulo rectángulo,

determina la altura y la medida de la

hipotenusa.

a. ¿Qué segmentos de recta son paralelos?

b. ¿Cuáles las transversales?

Halla los valores de:

, , , , B B = B C = C C =

Describe el proceso para hallar los valores indicados.

C’ b=4m

B’

c=

3m

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Actividad 3

Observando y Conjeturando

1. Halla la altura de la torre Colpatria. Luego, responde las preguntas.

a. Describe el proceso que realizaste para hallar la altura de la torre.

Figura 6

b. ¿El poste que se encuentra paralelo a la torre, sirve para encontrar la altura de la torre?

c. ¿Consideras importante el teorema de Tales? ¿Por qué?

d. Si el poste no estuviera paralelo a la torre, se podría utilizar el teorema de Tales ¿Por qué?

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S1

S2

o m

q t

e. Si el poste no estuviera paralelo a la torre, se podría utilizar el teorema de Tales ¿Por qué?

1. Completa el teorema de Tales.

“Si tres o más paralelas son por dos o más secantes, la

de las longitudes de los segmentos determinados en una de las es igual a la

razón de las longitudes de los correspondientes determinados por las otras dos

paralelas.”

Si las rectas A, B y C son paralelas y las rectas

A S1 y S2 son entonces:

B = MN

PQ

C

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2. Plantea un ejemplo donde se aplique y verifique el teorema de Tales. Luego, socialízalo con tus

compañeros.

1. Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 1,5 metros ¿Qué altura tendrá un árbol

que a la misma hora proyecta una sombra de 4 metros?

Realiza aquí tus cálculos

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2. Explica el método utilizado por Tales para encontrar la altura de la pirámide.

Figura 7

3. Encuentra el valor de x.

Altura

pirámide

Altura

bastón

Sombra pirámide Sombra bastón

c

b

a

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4. En la siguiente figura L1//L2

a. PC = 12 cm., PB = 6cm., BD = 2 cm., AC = ? b. CD = 7 cm., PA = 2 cm., AC = 5 cm., AB = ?

c. PC = 9 cm., CD = 6 cm., AB = 5 cm., BD = 1 cm.

Determina PA, PB y PD.

C D L

A B L

P

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Lista de figuras

Figura 1. Pirámide con camello.

Figura 2. Rascacielos.

Autor: Kadellar. (10 de Abril de 2011), [Fotografía]. Torre de Madrid - 05.jpg. (13-07-2015).

Obtenido de: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Torre_de_Madrid_-_05.jpg. Autor: Benchill.

(9 de Noviembre de 2007), [Fotografía]. Q1 Gold Coast March 2006.jpg. (13-07-2015). Obtenido de: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Q1_Gold_Coast_March_2006.jpg. Autor:

Manske,

M. (28 de Diciembre de 2007), [Fotografía]. 4 One Atlantic Center.jpg. (13-07-2015). Obtenido de: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:4_One_Atlantic_Center.jpg. Autor:

Someformofhuman. (15 de Julio de 2009), [Fotografía]. Petronas Panorama II.jpg. (13-07-2015). Obtenido de: https:// pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Petronas_Panorama_II.jpg. Autor: JHH755.

(29 de Octubre de 2011), [Fotografía]. (13-07-2015). Obtenido de: https://pt.wikipedia.org/wiki/

Figura 3. Riel.

Autor: shilmar. (29 de Noviembre de 2013), [Fotografía]. 225 images. (13-07-2015). Obtenido de: https://pixabay.com/en/train-railway-line-travel-gleise-227143/

Figura 4. Estructura.

Autor: HorseBadorties. (2013), [Fotografía]. 11 images. (13-07-2015). Obtenido de: https://pixabay. com/en/steel-beams-scaffold-steel-industry-63658/

Figura 5. Obelisco.

Autor: Zaqarbal. (2008), [Fotografía]. Obelisco de la Caja (Santiago Calatrava, Madrid) 01.jpg. (13- 07-2015). Obtenido de:

https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Obelisco_de_la_Caja_(Santiago_

Calatrava,_Madrid)_01.jpg

Figura 6. Edificio Colpatria.

Autor: Pedro Felipe. (12 de Junio 2011), [Fotografía]. Costado suroriental de la torre Colpatria.JPG. (13- 07-2015). Obtenido de:

https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Costado_suroriental_de_la_ torre_Colpatria.JPG

Figura 7. Pirámide.