INTERVENCIÓN PSICOPEDAGÓGICA EN MATEMÁTICA

UNIDAD II

LOS APRENDIZAJES MATEMÁTICOS

Semana 4

1

INTRODUCCIÓN

Dada la necesidad de los niños y niñas de utilizar procesos concretos o mecánicos de apoyo para las operaciones, el educador debe favorecer la adquisición y dominio de dichas estrategias, de modo que ellos logren efectuarlas con autonomía.

En este proceso, debe tomarse el tiempo el profesor de explorar cuáles son los procedimientos que utiliza cada alumno y apoyar a quienes aún no descubre este tipo de atajos para el cálculo aritmético.

No se puede pensar que todos los estudiantes han aprendido los mismos mecanismos, ya que sus experiencias de aprendizaje distan mucho de ser similares.

“La resolución de problemas, aunque no lo parezca a veces está claro que constituye uno de los objetivos finales en la enseñanza de las matemáticas en la escuela obligatoria, para cuya

consecución no basta con que el alumno domine las operaciones elementales de cálculo: requiere un aprendizaje específico de ciertas habilidades de representación, reglas y estrategias generales y

específicas, así como de la capacidad de traducir de uno lenguaje (modo de representación) a otros”. (García Vidal Jesús: 2002:69).

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4. Fracciones

Se trata de mostrar el maravilloso e inmenso mundo de las fracciones y de cómo ellas, se insertan en la vida real. Una cantidad grande de problemas de la vida real, necesitan del concepto y luego de las operaciones en fracciones, por lo que su estudio es indispensable en la comprensión del mundo circundante y en la resolución de problemas, además de constituir parte importante del lenguaje y comunicación diaria entre las personas.

Es fundamental que los estudiantes aprendan a: - Leer y escribir fracciones - Interpretar en relación con la unidad - Determinar el valor de fracciones de un número o de un conjunto de elementos - Ubicar fracciones en la recta numérica - Comparar fracciones y establecer relaciones de orden entre ellas - Amplificar y simplificar - Establecer familias de fracciones equivalentes - Sumar y restar fracciones de igual y distinto denominador - Resolver problemas en contextos cotidianos

Lo que realmente interesa, es que los alumnos y alumnas se den cuenta que no todo se cuantifica con números naturales, que muchas veces necesitamos fracciones, (compartir, dividir un todo, una cantidad en partes, en trozos); que para cuantificar trozos, pedacitos, empleamos números fraccionarios o números decimales.

Además, deben comprender que las fracciones ocupan un lugar en nuestra vida cotidiana y que su aprendizaje nos permitirá resolver problemas de compartir en partes, de ser equitativos, en fin, de comunicarnos mejor y lograr una poderosa herramienta para resolver más y mejores problemas cotidianos.

En el tema de las fracciones, es conveniente solicitar a los alumnos y alumnas, términos o frases que ilustren su presencia en la vida real. Ejemplos:

­ Vivo a media cuadra del estadio ­ Quiero medio vaso de leche ­ Dame un pedazo de tu naranja ­ Divide el queque en 4 partes ­ Vierta 1/8 de litro de aceite en la olla ­ Paguemos la cuenta a medias, etc.

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Luego introducir el concepto de fraccionamiento de un entero, de una unidad.

1/2

1/4

1/8 Lo mismo se puede realizar con fracciones de 1 litro, para lo cual es aconsejable jugar

con diferentes envases de ½, ¼, , litro (Botellitas distintas). También es posible estimar la capacidad de copas, tazas y otras, en función de las medidas anteriores.

El papel lustre es un material que se adapta al trabajo de las fracciones y con él, usted puede inventar diferentes situaciones problemáticas interesantes. Luego se introducen las partes de una fracción y su significado: 1 numerador 2 denominador

El denominador indica el número de partes iguales en que se fracciona el entero o unidad. El numerador señala el número de partes que se toman del entero. Es claro que el nombre de una fracción depende principalmente de su denominador:

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- 1/2 = Un medio - 1/3 = Un tercio - 1/4 = Un cuarto - 1/5 = Un quinto - 1/6 = Un sexto - 1/7 = Un séptimo - 1/8 = Un octavo - 1/9 = Un noveno - 1/10 = Un décimo - A partir del 10, se leen 11 avo, 12 avo, 13 avo, etc., y tienen nombres especiales, por

ejemplo: - 1/20 = Un vigésimo - 1/50 = Un quincuagésimo - 1/100 = Un centésimo - 1/1.000 = Un milésimo - 1/10.000 = Un diez milésimo A esta altura, se deben presentar fracciones con numerador distinto a 1 Ejemplo:

2/4

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5

3/4 Es clave que los estudiantes lean e interpreten fracciones: 2 se entiende como que el entero se fracciona en 5 partes iguales y se toman dos de ellas. 5

Lo importante es situar las fracciones en el curso, en la escuela, en la familia, en la comunidad. Constituyen ejemplos de ello:

Fracciones en el curso (alianzas, equipos, etc.) En la familia (fraccionamiento de una torta, de dinero, etc.) En la comunidad (fracción de países de Sudamérica que tienen fronteras comunes con

Chile, etc.) Fracciones que representen las:

­ Horas de sueño en relación al día ­ Horas de estudio en el hogar ­ Horas de clases dentro del día ­ Lectura de censos comunales y nacionales ­ Unidades de tiempo: qué fracción corresponde un mes del año, una semana del mes y

otros. Ya el camino está abonado para trabajar las fracciones equivalentes:

2/4

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1/2 Fácilmente el alumno y alumna deduce que 1/2 = 2/4

1/3

2/6 Aquí se espera que los alumnos y alumnas concluyan que 1/ 3 = 2/ 6 y que puedan definir que éstas, son fracciones equivalentes. Los alumnos podrán dar ejemplos de fracciones equivalentes a: 1 /2 = {2/4, 3 /6, 4 /8, 5 /10, 6 /12,…} 1 /3 = {2 /6, 3 /9, 4 /12, 5 /15, 6 /18,…}

“Fracciones equivalentes son las que representan el mismo valor, la misma porción del

entero, etc.”

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Así de esta forma, introducir el concepto de familias de fracciones equivalentes y además, descubrir algunas regularidades:

i. 1 /2 = del entero tomo la mitad ii. 2 /4 = 2 es la mitad de 4 iii. 3 /6 = 3 es la mitad de 6

En consecuencia, 25/50 es equivalente a 1/2, es posible esperar que sean los propios alumnos y alumnas quienes enuncien los teoremas relativos a amplificación y simplificación de fracciones. Amplificar: el valor de una fracción no se altera si se multiplica su numerador y denominador por un mismo número. Simplificar: una fracción no altera su valor si se divide el numerador y denominador por un mismo número. Ejemplos: Si se simplifica la fracción 3 /6, se tiene 3/6: 3/3 = 1 /2 Antes de simplificar:

1/6

1/6

1/6

1/6

1/6

1/6

1/6

1/6

1/6

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Después de simplificar:

1/2

1/2 1/2

El estudiante recurre al ejemplo concreto para afianzar el concepto. Una fracción se puede simplificar sólo si el numerador y denominador son divisibles por un mismo número. Si se quiere amplificar la fracción 1 /2 por 3, se tiene: 1 x 3 = 3 2 x 3 = 6 Antes de amplificar

1/2

1/2 1/2

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Después de amplificar

1/6

1/6

1/6

1/6

1/6

1/6

1/6

1/6

1/6

Al amplificar o simplificar una fracción, se obtiene un conjunto de fracciones equivalentes. Por ejemplo, si la fracción 24/18 se simplifica, se tiene: 24: 2 = 12 18: 2 = 9 24: 3 = 8 18: 3 = 6 Si se amplifica se obtiene: 24 x 2 = 48 18 x 2 = 36 24 x 3 = 72 18 x 3 = 54 24 x 4 = 96 18 x 4 = 72 Luego: {4 /3, 8 /6, 12/9, 24/18, 48/36, 72/54, 96/72} es un conjunto de fracciones equivalentes. Conviene también presentar desafíos en términos de ordenar en forma descendente y ascendente, por ejemplo: Ordene las siguientes fracciones 1/ 3, 1/ 4, 5/ 6, 1/2 1/3 = 4/12 1/4 = 3/12 5/6 = 10/12

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Luego el orden descendente sería: (se usó simplemente la amplificación) {3 /12, 4/12, 6/12, 10/12.} Es decir: 1/4, 1/3, 1/2, 5/6 El concepto de fracciones equivalentes nos va a permitir sumar y restar fracciones de igual y distinto denominador. a) 1/4 + 2/4 = 3/4

Sólo se suman los numeradores, se puede apoyar gráficamente. b) 1/2 + 1/4 + = 2/4 + 1/4 = 3/4

1/2 es equivalente a 2/4 c) 3/4 + 1/8 = 6/8 + 1/8 = 7/8

Se amplifica 3/4 por 2

Si queremos una comprensión más global del tema de las fracciones, es conveniente además, graficar fracciones de:

Numerador igual al denominador

4/4

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3/4

2/4

1/4

Numerador igual al denominador

5/4

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Presentando situaciones reales que así lo requieran:

­ 3 vasos de 1/2 litro ­ 6 tazones de 1/4 litro

Otorgando también dominio del tema, al ubicar fracciones en la recta numérica y

ordenar fracciones en forma ascendente y descendente. Ejemplo:

­ Ubicar en la recta numérica 1, 1/2, 2, 2/4, 1/3, 5/2.

­ Ordenar de mayor a menor 1 /2, 1 /3, 1 /4, 5 /6 (una forma es transformarlas a fracciones de igual denominador)

Actividades con los alumnos 1) Comenten en el grupo

­ En la fracción ¾ ¿qué indica el denominador 4?, ¿qué indica el numerador 3? ­ Para comprobar lo que han concluido, piensen en la fracción ¾ en distintas

situaciones como por ejemplo:

¾ de kilo, ¾ de litro, ¾ de hectárea, ¾ de una herencia, ¾ de 20 sacos, etc. 2) Discutan en grupos

­ ¿Es posible vender ¾ de 20 sacos de porotos? ­ ¿Cuántos sacos venderá el campesino? ­ ¿Cuántos sacos dejará sin vender? ­ ¿Qué indica en este caso el 4 en ¾?, ¿y el 3 en ¾?

3) Comenten con sus compañeras y compañeros de grupo

­ ¿3 cuartos de 1 hora, es menos, es más o es lo mismo que una hora? ­ ¿Cuántos minutos tiene 1 hora? ¿Cuántos minutos tiene ¼ de hora? ­ ¿Cuántos minutos tiene ½ hora? ­ Entonces, ¿cuántos minutos hay en ¾ de hora? ­ ¿Qué indica el denominador y el numerador en ¼ de hora, en ¾ de hora, en ½ hora?

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Verifiquen sus resultados, completando en el cuaderno el siguiente cuadro. No olviden que una hora tiene 60 minutos.

HORAS MINUTOS

1/4 de Hora

2/4 de Hora

3/4 de Hora

4/4 de Hora

5. Resolución de problemas

En este eje transversal, se trata de poner a prueba los conocimientos adquiridos y se enfatiza la habilidad para resolver problemas.

Cuando se dice transversal, pareciera que se trata sólo de lo valórico y actitudinal. No

se considera entre lo transversal, las habilidades cognitivas de orden superior que cruzan todo el currículo y que están explícitas en los objetivos fundamentales transversales de los programas de estudio.

Por el contrario, se apunta a que los alumnos desarrollen y profundicen habilidades

intelectuales de orden superior relacionadas con la clasificación, evaluación y generalización de ideas, que progresen en experimentación, en el aprender a aprender, que sean capaces de predecir, estimar, ponderar, que ejerciten y aprecien la capacidad de concentración, de perseverancia y rigor en el trabajo.

Se trata de articular con el lenguaje y la comunicación, de captar la importancia de

una lectura eficaz, de analizar la información que se tiene y la que falta, de encontrar procedimientos (adaptar), que ojalá encuentren varias formas de resolución, verifiquen y evalúen y puedan a partir del problema resuelto, plantearse y resolver nuevas preguntas o situaciones.

Según Cofré y Tapia en 1986, la resolución de problemas es analizar la situación con las informaciones dadas, establecer relaciones en situaciones simples, esquematizadas a fin de poner en evidencia las relaciones matemáticas que describe. También es utilizar estas relaciones y sus propiedades para deducir las soluciones que se busca.

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5.1 Características de la resolución de problemas

1) Resolver un problema es una situación que requiere un acto mental. 2) Pasos o fases de la resolución de problemas se relacionan con el procedimiento

reflexivo. 3) La resolución de problemas implica cognitivos como: atención, percepción, lenguaje,

retención, retención de información, relación de datos, evaluación de datos, creatividad (elaborar estrategias), adecuada ejecución.

5.2 Factores implicados en la resolución de problemas

a) Estructuras cognitivas (nivel de maduración)

Cada etapa requiere de ciertas habilidades cognitivas que le van a favorecer o perjudicar al niño un nuevo aprendizaje, por lo tanto es primordial para cualquier aprendizaje.

b) Lenguaje: factor crucial en la resolución de problemas puesto que viene un enunciado

verbal, además un lenguaje poco habitual causa dificultad en la comprensión, al igual que la pobreza de vocabulario.

c) Clima afectivo: relacionado con lo emocional tanto dentro como fuera de la escuela.

(familia/escuela)

d) Comprensión lectora: se requiere para analizar los datos y vincularlos con las operaciones y tomar decisiones

e) Comprensión conceptual de los aprendizajes.

f) Familiaridad de los términos de problemas: relacionado con el factor lenguaje, la complejidad debe ser progresiva.

g) Tipos de números implicados: naturales, racionales, enteros, etc.

h) Estructuras semánticas del problema

i) Papel que cumple cada número en la operación y la oración: saber relacionar datos numéricos de problemas con lo que significa, es decir, tengo cuatro y me quitan dos. El cuatro es mi total.

j) Manejo del ámbito numérico. Factores de las dificultades de aprendizaje en la resolución de problemas.

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Según Lanford en 1989, indica que existen distintos obstáculos asociados a la expresión de un problema.

1- Escasa familiaridad de vocabulario. (léxico) 2- Complejidad semántica de los enunciados. 3- Longitud del enunciado (número de palabras, frases, cantidad de operaciones a

realizar) 4- Complejidad gramatical (número de sustantivos, adjetivos, pronombres, etc. que

tenga un problema, su sintáctica). 5- Orden en la presentación de los datos.

5.3 Tipos de solución de problemas

Para resolver problemas es necesario considerar dos tipos:

1) Solución intuitiva, relacionada a los problemas de adición y sustracción. 2) Solución planificada, relacionada a los problemas de multiplicación y división.

Según Maza y Puente en 1994, los tipos de problemas de suma y resta se clasifican en:

1- Problemas de combinación: dados dos conjuntos se pregunta por el resultado al unirlos. O se da la cantidad un conjunto y el total al unirlo con otro y se pregunta por la cantidad del segundo conjunto. Dos de las estrategias implicadas son subconjuntos de una tercera.

Ejemplo: para 7 años (2° básico) En una bolsa 100 bolitas y en otra 50 bolitas ¿cuántas bolitas hay en total entre las dos bolsas? Para 8 años (3° básico) En clases hay 15 alumnos; 9 son niñas y el resto niños ¿Cuántos niños hay?

Actividad 14. ¿Qué es la resolución de problemas?

15. Nombre 5 factores implicados en la resolución de problema.

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2- Problemas de cambio: existe un cantidad inicial y directa que causa un incremento o disminución en la cantidad de objetos. Ejemplo: para 7- 8 años Juanita tiene 12 lápices ¿cuántos más necesita para tener 17 en total? (cambio- unión) María 17 dulces. Da algunos a Miguel y le quedan 5 dulces ¿cuántos dulces dio a Miguel) (cambio- separación) Ejemplo para 8-9 años

Lila tiene algunos juguetes, le dan dos más. Tiene entonces 7 juguetes ¿Cuánto

juguetes tenia al principio? (cambio – unión) Juan tiene algunas bolitas. Da dos a Mario y le quedan 5 bolitas ¿ cuántas bolitas

tenia al principio Juan? (cambio- separación)

3- Problemas de comparación: implica la comparación de dos conjuntos disjuntos. Uno de ellos cumple la función de referente y el otro de comprado; el tercer elemento es la diferencia o cantidad que excede uno de otro. Cada uno de los elementos puede servir de incógnita.

Ejemplo para 6-8 años Anita tiene 7 dulces y Juana tiene 4 ¿cuántas tendrá Anita más que Juana? Para 7-8 años Vicente tiene 4 lápices. Florencia tiene 3 menos que Vicente ¿cuántos lápices tiene Florencia? Para 8- 9 años Benjamín tiene 7 caracoles. María tiene 3 menos que Benjamín ¿cuántos caracoles tiene María?

Tipos de problemas de multiplicación y división Se clasifican en 3:

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1) Problemas de razón (isoformismo de medidas) Se relacionan dos tipos de magnitudes diferentes a través de una función de proporcionalidad. Ejemplo: una de bolsa tiene 7 caramelos. 1 7 6 bolsas de caramelos ¿tendrá? 6 = x multiplicación

4 botellas de vino cuestas 24 euros. Problemas de división 1 botella de vino costara X euros.

Se relacionan dos magnitudes diferentes:

- Cantidad – precio - Cajas- cantidad

2) Combinación (producto de medidas)

Estos ejercicios platean que se combinan dos cosas para encontrar un tercera. Ejemplo: ¿Cuántos uniformes (magnitud) diferentes pueden lucir un equipo de futbol que tiene 3 clases de pantalones y 4 clases de camisetas? 3 x 4 =? Relaciona la multiplicación con la división.

3) Comparación (espacio único de medidas): Es determinar la posición de dos o más elementos en un único continuo de medidad. Nociones: doble- mitad- triple- etc. Ejemplo: Cuando Juan cumplió 12 años su padre tenía tres veces más años que él y su abuelo el doble de años que su padre ¿qué edad tenían el padre y el abuelo? Multiplicación: Juan: 12 padre: X3= 36 años abuelo: X2= 72 años División: 36: 3= 12 años 72:2= 36 años 72 años.

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5.4 Fases de la resolución de problemas y conocimiento implicado Se consideran cuatro fases para resolver efectivamente los problemas, ellas son:

a) Traducción: relacionada a lo lingüístico, es la comprensión de enunciados verbales.

b) Integración: conocimiento general y el conocimiento de esquemas (representación mental de la estructura semántica) es el qué hacer y el por qué hacer.

c) Planificación: es de carácter estratégico, ya que es la elaboración y seguimiento de

planes. Es la búsqueda del camino para llegar a los resultados.

d) Ejecución: es de tipo operativo o procedimental. Según Company y Mayer en 1988 Las dificultades características de los tipos de conocimiento son:

- Conocimiento lingüístico: se encuentra en la fase de comprensión- traducción. Puede

haber una comprensión lectora deficiente y dificultad para decodificar textos

abstractos o ambiguos. Se evidencia mala calidad lectora.

- Conocimiento de esquema: Presente en la fase de interpretación. Es la representación

inadecuada del problema.

- Conocimiento estratégico: presente en la fase de planificación. Relacionado con

establecer metas, escasa familiaridad con los procedimientos, incapacidad para

elabora, seguir y corregir un plan.

Actividad 16- Explica en qué consiste el tipo de problema de combinación de suma y resta. 17- ¿Cómo se clasifican los problemas de multiplicación y división?

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- Conocimiento operativo: en la fase de ejecución. Es el desconocimiento del algoritmo.

Se evidencia mala operatoria.

Estrategia de resolución de problemas

1- Estudio del problema: consiste en comprender los enunciados. a) Preguntas a contestar b) Datos importantes.

2- Plan para resolver el problema a) Ordenar b) Identificar las operaciones.

Evaluación de la relación de problemas Si es correcta la resolución de problemas de una colección adecuada de problemas de tipo cambio, comparación, etc. Está lograda la resolución de problemas. De lo contrario, si no se logra, de sebe disminuir el nivel de complejidad segmentado los problemas, y si aun así persiste la dificultad se debe comprobar el dominio de las fases de traducción, interpretación, planificación y ejecución.

5.5 Importancia del Lenguaje Simbólico Matemático en la Resolución de Problemas La relevancia que tiene el hecho de que los alumnos desarrollen un adecuado lenguaje simbólico en la Educación Matemática, se puede palpar en las siguientes expresiones: 1) ¿Qué número sumado con 3 es igual a cinco? Y + 3 = 5

Actividad 19- Realice un esquema que integre las fases de la resolución de problemas. 20- Explica las dificultades de los tipos de conocimiento.

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2) 5 veces un número disminuido en 2, equivale a 7. 5Y – 2 = 7 3) El perímetro de un rectángulo 2 a + 2b 4) El área de un rectángulo a x b 5) El área de un triángulo b x h 2

Los símbolos matemáticos facilitan el hacer cálculos, también la expresión de

relaciones cuantitativas que de otro modo requerirían una infinidad de tiempo. No es exageración decir que los símbolos matemáticos ocupan el segundo puesto, después del alfabeto, como un instrumento para el progreso humano. Si pedimos a un alumno o alumna, calcular el perímetro de un rectángulo, él podrá proceder así: 4 2 4+2+4+2=12 En un segundo momento podrá decir: es 2 x 4 + 2x 2 = 12

Pero luego de sucesivas prácticas y cálculos de perímetro, deberá generalizar diciendo: “el perímetro de un rectángulo es la suma de sus 4 lados”. P = a + b + c + d, o bien P = 2 a + 2 b

Leer matemática puede ser una aventura excitante; tan excitante como leer un cuento de misterio o explorar una caverna. La matemática está llena de trucos, estigmas, sorpresas e ideas interesantes.

“La luz camina rápidamente y el espacio es inmenso, pero los símbolos pueden dejarlo atrás en ese recorrido.” (Stephen Leacock)

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Una de las cosas más difíciles de lograr en el razonamiento, es exactamente que generemos significado. También es difícil saber lo que el otro me quiere decir, especialmente cuando no estamos seguros de sí está utilizando un lenguaje preciso. La matemática en este sentido, puede expresar ideas con precisión y luego proporcionar modos de decidir si el enunciado es cierto.

Pero esto es progresivo, lo que realmente importa es que el alumno y alumna lea, hable, afine, discuta, participe de debates, en fin que se comunique.

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BIBLIOGRAFÍA Bengoechea Garín Pedro,(1999) Dificultades de aprendizaje escolar, en niños con necesidades educativas especial: un enfoque cognitivo, Editorial Oviedo. Cofre y Tapia (1986) Proyecto de educación en América Latina y el Caribe, Editorial UNESCO. Fernández, I. (2010). Matemáticas en educación primaria. Eduinnova. Revista digital, N° 24, pp. 41 - 46. Batería Psicopedagógica Evalúa-7 (Versión Chilena). Ed. 1. Madrid,. Editorial Eos. 2010. ISBN 978-84-9727-401-2 Oehmichen Bazán Cristina, (2005 a) Diagnóstico y reevaluación de los trastornos del cálculo, Editorial Unam. Santillana (2008) Manual esencial Santillana Aritmética y algebra, Editorial Santillana.