Ejemplo 3-1: Interpolacion parametrica deuna funcion cubica

Dada la siguiente funcion cubica interpolarla parametricamente con unelemento cuadratico de tres nodos y con un elemento cubico de cuatro nodos.

f(x) = x3 − 2x2 + 4

SolucionSolucion

Consideremos la funcion y = x3 − 2x2 + 4 dibujada en la Figura E3.1.1.Dicha funcion puede representar, por ejemplo, una viga curva o el contorno deun elemento curvo. Supongamos que conocemos los valores de la funcion en tresabcisas x1 = 0, x2 = 1, x3 = 2. Ası

y(x1) = 4 ; y(x2) = 2 ; y(x3) = 2

Vamos a interpolar dicha funcion partiendo de las coordenadas de dichos trespuntos utilizando un elemento cuadratico de tres nodos. La relacion entre lascoordenadas x, y con ξ se expresa para dicho elemento por la ec.(3.17) de losapuntes del curso como

x =3∑

i=1Ni(ξ)xi =

12ξ(ξ − 1)x1 + (1 − ξ2)x2 +

12ξ(1 + ξ)x3 = 1 + ξ

y =3∑

i=1Ni(ξ)yi =

12ξ(ξ − 1)y1 + (1 − ξ2)y2 +

12ξ(1 + ξ)y3 = ξ(ξ − 1) + 2

Para obtener la expresion y = f(x) basta sustituir el valor de ξ de la primerade estas dos ecuaciones en la segunda.

En la Figura E3.1.1 se muestra la funcion aproximada, observandose que tieneun cierto error en relacion a la funcion exacta. Por otra parte, dicho error es muchomayor fuera del intervalo en el que hemos seleccionado los tres puntos [0,2].

Procedamos ahora a utilizar una aproximacion cubica a partir de los valores delas coordenadas conocidas de cuatro puntos x1 = 0, x2 = 2/3, x3 = 4/3, y x4 = 2.0,con y(x1) = 4, y(x2) = 74/27, y(x3) = 40/27 y y(x4) = 2, respectivamente. Paraello, tomamos un elemento cubico de cuatro nodos para el que puede escribirse

x =4∑

i=1Ni(ξ)xi ; y =

4∑

i=1Ni(ξ)yi

E3.1.1 Ejemplo de interpolacion parametrica de un polinomio cubico.

donde las Ni son las funciones de forma cubicas de la ec. (3.12) de los apuntes delcurso. Es facil comprobar que en este caso se obtiene, tras operar

x = 1 + ξ ; y = (1 + ξ)3 − 2(1 + ξ)2 − (1 + ξ) + 4

Ası, pues, como era de esperar, la aproximacion cubica escogida reproduceexactamente la funcion original, siendo el error de aproximacion nulo en este caso.