Nataly Diaz Meyer

TEMA: INTERPOLACIÓN Y APROXIMACIÓN

INTERPOLACIÓN Y APROXIMACIÓN

INTERPOLACIÓN: Es asignar a una cantidad un valor intermedio entre dos valores directamente calculados, los cuales se pueden aproximar mediante polinomios.

Sea en el sistema de coordenadas de la gráfica anterior, las ecuaciones F(x) y G(x) en cuyo espacio “a”, “b” se pueden interpolar determinados valores.

Son técnicas distintas pero relacionados.

INTERPOLACIÓN LINEAL

La forma más simple de interpolación es la de conectar dos puntos con una línea recta.

La notación f1(x) indica que se trata de un polinomio de interpolación de primer orden. Nótese que además de representar la pendiente de la línea que conecta los dos puntos, el término es una aproximación de diferencias divididas fintas a la primera derivada.En general , entre más pequeño sea el intervalo entre los puntos, más exacta será la aproximación.

APROXIMACIÓN: Es una representación inexacta. Ocurre cuando existen problemas demasiados complejos para resolverse analíticamente.

APROXIMACIÓN POLINÓMICASe realiza cuando la función puede ser conocida en forma explícita o mediante un conjunto de valores tabulados para cada uno de los argumentos por donde pasa la función (valores funcionales).

Normalmente se acepta aproximar a la función tabulada en puntos coincidentes mediante un polinomio de grado “n” (condición de aproximación):f(xi) Pn(xi) ; para todo xi en [xo,xn]Donde: Pn(x) = anxn + an-1xn-1+...+a1x+ao, con an0

Donde: E(x) = f(x) – Pn(x) ; Para todo x en [x0,xn]

Para elaborar una interpolación se hace uso de dos herramientas que a continuación daremos a conocer:-DIFERENCIAS FINITAS- DIFERENCIAS DIVIDIDAS

INTERPOLACIÓN DE NEWTÓNHay ocasiones en las que resulta útil construir varios polinomios aproximantes P1(x), P2(x),…, PN(x), después elegir el más adecuado. Si usamos el polinomio interpolante de Lagrange, uno de los inconvenientes es que no se pueden utilizar los cálculos realizados en la construcción de PN-1(x) para la de PN(x); cada polinomio debe construirse individualmente y para calcular polinomios de grado elevado es necesario hacer muchas operaciones. Por ello vamos a recurrir a una construcción muy distinta.

FORMA GENERAL DE LOS POLINOMIOS DE INTERPOLACIÓN DE NEWTON

El polinomio de n-ésimo orden es:

Se requieren n+1 puntos para obtener un polinomio de n-ésimo ordenEvaluando los coeficientes

Las evaluaciones de la función de los corchetes son diferencias divididas finitas.

La PRIMERA DIFERENCIA DIVIDIDA FINITA se representa

La SEGUNDA DIFERENCIA DIVIDIDA FINITA que representa la diferencia de las 2 primeras diferencias divididas finitas, se expresa:

De manera similar La N-ÉSIMA DIFERENCIA DIVIDIDA FINITA es:

ANALIZANDO

Esquema gráfico de la naturaleza recursiva de una diferencia dividida finita

Estas diferencias se usan para evaluar los coeficientes de las ecuaciones los cuáles se sustituyen en la ecuación para obtener el polinomio de interpolación:

A la cual se le llama polinomio de interpolación con diferencias divididas de Newton

DIFERENCIAS DIVIDIDAS PROGRESIVA Diferencia dividida de Primer orden:

Diferencia dividida de segundo orden:

.

o Diferencia dividida de orden “n”:

ii

iiii xx

xfxfxxf

1

11

)()(],[

ii

iiiiiii xx

xxfxxfxxxf

2

12121

],[],[],,[

ini

niiniininiii xx

xxfxxfxxxxf

],...,[],...,[],,...,,[ 11

11

Diferencias Divididas Regresiva

EJERCICIO 1:

Determinar el polinomio interpolante para la diferencia dividida de Newton en los puntos: (1,0);(2,6);(4;12);(5;24)

Xi Yi f[x1,x2] f[x1,x2,x3] F[x1,x2,x3,x4]

1

2

4

5

0

6

12

24

(6-0)/(2-1)=6

(12-6)/(4-2)=3

(24-12)/(5-4)=12

(3-6)/(4-1)=-1

(12-3)/(5-2)=3

(3-(-1))/(5-1)=1

P(x)= 0+6(x-1)+(-1)(x-1)(x-2)+1(x-1)(x-2)(x-4)

P(x)=

DIFERENCIA FINITA PROGRESIVA

(5)

(6)

(7)

(8)

TABLA DE DIFERENCIAS FINITAS PROGRESIVA

DIFERENCIA FINITA REGRESIVADiferencia finita regresiva de 1er Orden

Diferencia finita regresiva de 2do Orden

La de Orden K

Ambas diferencias fintas relacionados

TABLA DE DIFERENCIAS FINITAS REGRESIVA

EJERCICIO:

Obtener el polinomio de interpolación usando la fórmula de Newton en diferencias Progresivas/Regresivas y utilizando la tabla de valores que sigue. Interpolar en el punto x=9/4

SOLUCIÓN:

PASO1. Calculamos la tabla de diferencias progresivas /regresivas finita.

PASO 2. Aplicamos la fórmula progresiva

H=3/2

PASO 3. Aplicamos la fórmula Regresiva

PASO 4. Interpolar.

La diagonal de la tabla finita esta en color rojo, sus valores representan la diferencia progresiva en y0 . En color azul, ultima línea horizontal, están en diferencia regresiva en yn

1.

2.La diagonal [17,6,0]

3.

La línea horizontal [29,6,0]

4.

Se trata de interpolar en el punto x=9/4 que se encuentra próximo al primer valor de la tabla. Por lo que utilizaremos la fórmula progresiva de Newton

Reemplazando:

P(X)=18

EJERCICIOS:

1. Determinar el polinomio interpolante para la diferencia dividida de Newton, teniendo en cuenta la siguiente tabla.

Puntos

0 1 2 3 4 5

X -2 -1 0 2 3 6

F(x) -18 -5 -2 -2 7 142Rpta.

1. Obtener el polinomio de interpolación usando la fórmula de Newton en diferencias progresivas/regresivas utilizando la tabla de valores que sigue. Interpolar en el punto x= -19/6.

Rpta. -77/6

Y así de simple se da la interpolación….