f ( x )

x

(x i , f (x i))

6 puntos

polinomio de grado 5

Interpolación Polinomial

Dados n+1 puntos distintos (xi,f(xi)), obtener el único polinomio de 

grado n que pase por todos ellos para estimar f(x).

Interpolación Polinomial

Datos con error importante      Regresión

Datos muy precisos                 Interpolación

Los datos se obtienen a través de mediciones o mediante  cálculos.

Ejemplos de Interpolación Polinomial

De primer grado          De segundo grado     De tercer grado

        (lineal)                           (cuadrática)                  (cúbica)

Polinomio de Interpolación de Lagrange de 1º Grado

f 1(x )

x0 x1

x

f (x1)

f (x 0)

f 1 (x )

f 1( x ) :Polinomio interpolante de grado 1Sustituimos              en (1):

f 1( x)=a1( x− x1)+ a0( x− x0)

f ( x0)=a1( x0− x1)

a1=f ( x0)

( x0− x1)

f ( x1)=a0 ( x1− x0)

a0=f ( x1)

( x1− x0)

(1)

x= x0

Sustituimos              en (1):x= x1

(2)

(3)

Polinomio interpolante de 1º grado

Polinomio de Interpolación de Lagrange de 1º Grado

Reemplazamos       y       dados por (2) y (3) en (1):

f 1( x)=f ( x0)

( x0− x1)( x− x1)+

f ( x1)

( x1− x0)( x− x0)

f 1( x)=( x− x1)

( x0− x1)⏟L0( x)

f ( x0)+( x− x0)

( x1− x0)⏟L1( x)

f ( x1)

Reordenamos:

f 1( x)=L0( x) f ( x0)+ L1( x) f ( x1)Polinomio  de Lagrange de 1º grado

               y               se denominan lagrangianos.

a0 a1

L0( x) L1( x)

Propiedades de los Lagrangianos

Li( x)= { 1 si  x= xi

0  si  x= x j

Para un polinomio  de Lagrange de grado 1:

L0( x)= { 1 si  x= x0

0 si  x= x1

L1( x)= { 1 si  x= x1

0 si  x= x0

L i(x )

x0 x1

x

L0( x) L1(x )

1

Gráfico del Polinomio de Interpolación de Lagrange de 1º Grado

Evaluación en              :

L0( x0)=1 L1( x0)=0

x= x0

f 1(x )

x0 x1

x

L0 ( x) f ( x 0)L1( x) f (x 1)

f (x1)

f (x 0)

f 1 (x )

f 1(x )=L0( x) f (x0)+L1(x ) f (x1)

f 1( x ):Polinomio interpolante de Lagrange de grado 1

f 1( x0)=1⋅ f ( x0)+0⋅ f ( x1)

= f ( x0)

Evaluación en              :

L0( x1)=0 L1( x1)=1

x= x1

f 1( x1)=0⋅ f ( x0)+1⋅ f ( x1)

= f ( x1)

Polinomios de Interpolación de Lagrange – Expresión General

Expresión de un polinomio de interpolación de Lagrange de grado n :

f n( x)=∑i=0

n

L i( x)⋅ f ( x i)

donde los lagrangianos se definen como:

Li ( x)=∏i=0i≠ j

n ( x− x j)

( x i− x j)

L i( x)=( x− x0)

( x i− x0)

( x− x1)

( xi− x1)⋯

( x− x i−1)

( xi− x i−1)

( x− xi+1)

( xi− xi+1)⋯

( x− xn)

( xi− xn)

Polinomio de Lagrange de 2º Grado

f 2 ( x)=L0( x) f ( x0)+ L1( x) f ( x1)+ L2( x) f ( x2)

L0 ( x)=( x− x1)

( x0− x1)

( x− x2)

( x0−x2)

L1( x)=( x− x0)

( x1−x0)

( x− x2)

( x1− x2)

L2 ( x)=( x− x0)

( x2− x0)

( x− x1)

( x2−x1)

L i(x )

x0 x 2 x

L0( x) L1(x )

1

x1

L2(x )

Gráfica de los lagrangianos

Polinomio de Lagrange de 2º Grado

x0 x 2 xx1

f 2( x)

f (x 2)

f (x 0)

f (x1)

L0 ( x) f ( x 0)

L1( x) f (x 1)

L 2(x ) f ( x 2)

f 2(x )

f 2( x)=L0 (x ) f (x0)+L1( x) f (x1)+L2( x) f (x2)

f 2( x) : Polinomio interpolante de Lagrange de grado 2

Ejemplo de Aplicación: EnunciadoEstimar la densidad del aire para una temperatura de 70 ºC mediante un polinomio de Lagrange de tercer grado:

Ejemplo de Aplicación: SoluciónSe deben elegir los valores de xi más cercanos a x = 70, y sus respectivos valores de f(xi)

puntos elegidos

Ejemplo de Aplicación: Solución

f 3( x=70)=0,3⋅1,29+(−0,785)⋅1,20+1,4⋅1,09+0,175⋅0,946

x0=0 x1=20 x2=50 x3=100

f ( x0)=1,29 f ( x1)=1,20 f ( x2)=1,09 f ( x3)=0,946

x=70 f 3 ( x=70)=?

          =−0,875

L1( x)=(70− x0)

( x1− x0)

(70− x2)

( x1− x2)

(70− x3)

( x1− x3)

L2 ( x=70)=(70− x0)

( x2− x0)

(70− x1)

( x2− x1)

(70− x3)

( x2− x3)L3 ( x)=

(70− x0)

( x3− x0)

(70− x1)

( x3− x1)

(70− x2)

( x3− x2)

L0( x=70)=(70− x1)

( x0− x1)

(70− x2)

( x0− x2)

(70− x3)

( x0− x3)

                  =0,3

                 =1,4           =0,175

f 3( x=70)=1,029

Interpolación de Lagrange: Pseudocódigo

# algoritmo  para estimar y(x) mediante un  polinomio # interpolante de Lagrange (de grado n) a partir de  # los datos X, Y.

leer X, Y, x, n     # X,Y: vectores; n+1: tamaño de Ysuma = 0              # n: grado del polinomiorepetir para i desde 0 hasta n:   producto = Y(i)   repetir para j desde 0 hasta n:      si j es distinto de i:         producto = producto * (x­X(j)) / (X(i)­X(j))      suma = suma + productomostrar suma # muestra la estimación y(x)

Interpolación de Lagrange: Observaciones importantes

Implementación en Python:

Lagrange.py

interpLagrange.py

graficoPoli.py

(módulo)

Interpolación de Lagrange: Observaciones Importantes

● Se deben elegir los valores xi más cercanos al valor de x donde se quiere estimar f(x).

● No se debe trabajar con polinomios de alto grado. 

● No es necesario que los valores de xi estén uniformemente distribuidos.